MATEMATICAS - LISTADO 04 - INDUCCION
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8/7/2019 MATEMATICAS - LISTADO 04 - INDUCCION
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASMWC/ 29.04.10.-
LISTADO 4. INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA. 520145
Contenido: Induccin, Teorema del Binomio y Progresiones.
1.- Demuestre, usando el principio de induccin matemtica, que las siguientes igualdades sonvlidas para cada INn
a)( )
2
121
+=+++
nnn
b) ( )12642 +=++++ nnn
c) ( )23 3 3 211 2 1
4n n n+ + + = +
d) ( ) ( )2 2 2 21
1 2 3 1 2 16
n n n n+ + + = + +
e)( )
2
133333 2
=+++
nn
f) ( ) ( )1212531 223333 =++++ nnn
g) ( ) ( ) ( )( )421777555 122121 +=+++++++ nnnn
h)( ) 11
1
32
1
21
1
+=
+++
+
n
n
nn
i)( )
( )
( )2222222 1
2
1
12
32
5
21
3
+
+=
+
+++
+
n
nn
nn
n
j)( )( )
( )( )( )214
3
21
1
432
1
321
1
++
+=
++++
+
nn
nn
nnn
k)1
1
1
11
3
11
2
11
+=
+
nn
l)( )
r
rarararaa
nn
=++++
1
112 , si .1,, rIRra
2.- Si ba , son nmeros reales, pruebe que:
a) ( ) ,nnn baba = para cada INn .
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b) ( ) nmnm aa = , para cada m y n en IN.
c) nn ba es divisible por ba para cada INn .
d) ba + es un factor de 1212 + nn ba para cada INn .
3.- Use induccin matemtica para probar que:
a) nn 23 + es divisible por 3 , para cada INn .
b) 167 nn es divisible por 6 , para cada INn .
c) 2nn , para cada INn .
d)2
12
3 nn
+
, para cada INn .
e) ( ) ana n ++ 11 para cada INn y 1, aIRa .
4.- Demuestre por induccin matemtica:
a) ( ) ( ) 1!1!1
+==
nkk
n
k
, para cada INn .
b) ( ) ( ) 11
2122 +
=
+= nn
k
k nk , para cada INn .
c)1
11 1
1
n
j
nj j=
= + + +
, para cada INn .
5.- Si se tiene la sucesin definida inductivamente por:1
1
3
2n n
a
a a+
=
= , demuestre que
13 2 ,nna= para cada n .
6.- Se define la sucesin ( )n na inductivamente por.1
1
2
1n n
a
a a n+
=
= + +, demuestre que
( )21
22
na n n= + + para cada n .
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7.- En los desarrollos de los siguientes binomios encuentre el trmino que se indica:
a) El noveno trmino de:
25
2
12
yy
b) El trmino independiente de x de:10
2
16
xx , si existe.
c) El trmino que contiene a 3c en: ( )10adc ++ , si existe.
d) El trmino que contiene a 8a en el desarrollo de:
28
2
25
aa , si existe.
e) El coeficiente del trmino en2
2
y
x, si existe, en el desarrollo de
8
2
2
2
x
y
y
x.
8.- Simplifique las expresiones dadas sabiendo que n es un natural:
a)( )( )!1
!1
+
n
nb)
( )( )!22
!2
n
nc)
( ) ( )( )!1!
!2!1
+
+
nn
nn
d)( ) ( )
( )2!
!2!1
n
nn ++e)
( )( )[ ] 2
2
!13
!3
+n
n
9.- Demuestre que:
a) nn
kk
n2
0
=
=
, INn b) ( )0
1 0n
k
k
n
k=
=
, INn
10.- Si la suma de los 7 trminos de una P.A. es 49 y la suma de los 17 primeros es 289,
calcule la suma de los n primeros trminos.
11.- La suma de tres trminos en P.G. es 186 y la diferencia de los trminos extremos es
144. Encuentre los tres trminos.
12.- En una P.A. el primer trmino es 2, el ltimo es 29 y la suma es 155. Encuentre la
diferencia comn.
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13.- Calcular la suma de los p primeros trminos de una P.A. cuyo n-simo trmino es
13 n .
14.- Determine el valor de IRk de modo que 115,22 + kk y 137 k formen una
P.G.
15.- La suma de los primeros 6 trminos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres
primeros. Determine la razn comn.
16.- Un jugador apuesta $ 5.000 en el primer juego y como pierde, duplica la apuesta en el
segundo juego, con el mismo resultado. Contina duplicando la apuesta hasta que en el octavo
juego apuesta todo el dinero que le queda. Cunto apost en el ltimo juego y cunto perdi ?
17.- Cada movimiento de una bomba de aire remueve un tercio del aire que hay en un
recipiente. Qu fraccin de la cantidad total de aire habr despus de 5 movimientos ?.
Cuntos movimientos se necesitarn para sacar el 99 % del aire del recipiente ?
18.- En el interior de un cuadrado que tiene lados de un metro de longitud, se construye un
segundo cuadrado cuyos vrtices son los puntos medios de los lados del primer cuadrado. De
modo anlogo se construye un tercer cuadrado cuyos vrtices son los puntos medios de los lados
del segundo cuadrado. Si se contina esta sucesin de construcciones, calcule:
a) El rea del dcimo cuadrado.b) El rea del n-simo cuadrado.c) La suma de las reas de los primeros 10 cuadrados.
19.- Calcule la suma de todos los mltiplos de 7 entre 2889 y 56.842.
20.- Calcule las siguientes sumas:
a) ( )30
3
3 1
i
i
=
+ b) ( )51
2
10
2 1
k
k
=
c) ( )2
1n
j n
n k
=
+
d) ( )( ) 10
12
3
n
kk
+=
e)0
3
nk
k
a
=
:
