matematicas para la informatica

DESARROLLO TEMÁTICO

LÓGICA PROPOSICIONAL

Para expresar sus ideas, el hombre ha utilizado fundamentalmente los signos orales y escritos. El lenguaje corriente a veces se presta a confusiones y a falsas interpretaciones. Este es uno de los problemas que ha tenido el hombre en el estudio de las matemáticas y de las ciencias en general. Por ello, se hace necesario construir un lenguaje claro y preciso que nos permita llegar a una correcta interpretación en la comunicación.

El tema de esta unidad está orientado a sustentar teóricamente la aplicación de la lógica en la tecnología moderna.

La lógica es el sistema de comunicación entre las personas, y entre éstas y los dispostivos electrónicos; consiste en el estudio de los métodos y principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto o válido del incorrecto. Se conoce además como la ciencia de las formas del pensamiento, de su estructura y de las leyes del conocimiento inferido(causado), las cuales permiten obtener conclusiones partiendo de proposiciones.


PROPOSICIÓN Es una expresión u oración declarativa de la que puede decirse que es verdadera o falsa pero no ambas situaciones a la vez; es decir, es un enunciado del que puede decirse con exactitud que es verdadero o falso.

Dichos enunciados o proposiciones se representan mediante letras minúsculas tales como: p,q,r,s,t…

A la verdad o falsedad de dicha proposición se le llama “su valor de verdad”. Ejemplo:

-En este salón hay solamente 5 alumnos.

-10 + 3 = 13

-¿Cómo estás?

- 5 = 5


PROPOSICIÓN En el Álgebra Proposicional decimos que proposición es un enunciado o frase a la cual puede asignársele inequívocamente uno de los valores de verdad :

“1”, si es verdadera ó “0”, si es falsa. A este tipo de situaciones las denominamos Lógica Bivalente o Lógica Binaria.

TIPOS DE PROPOSICIONES.- En el estudio de las matemáticas encontramos 2 tipos de proposiciones:

1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS.- Son aquellas que constan de un solo enunciado, en ella no interviene ningún enlace o conector.

Ejemplos: p: “Paris está en Francia” q: “2 es menor que 3”.

r: “7 es un número par” s: “3 es un número primo”

t: “2 + 2 = 4”


PROPOSICIÓN

2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES.- Son las que constan de dos o más enunciados o proposiciones simples, entrelazadas por partículas lógicas llamadas Conectores Lógicos (operadores lógicos).

Ejemplos:

p: “Paris está en Francia Y 2 es un número impar”.

q: “3 es un número primo O 1 es un número par”.

s: “Si hoy es domingo entonces no hay que laborar”.

r: “Hoy es martes Y hay clase de matemáticas”.


1. Para una proposición simple(una proposición o una variable p), sólo existen 21 posibilidades o combinaciones posibles.

POSIBILIDADES LÓGICAS.-

p Posibilidades Total de posibilidades

V Verdadero

F Falso

21 = 2


2. Para una proposición compuesta(dos proposiciones o dos variables p,q), existen 22 posibilidades o combinaciones posibles.


Total posibilidadesPosibilidades

Verdadera - Verdadera

p q

V V

V

F

F

F

V

F

Verdadera - Falsa

Falsa - Verdadera

Falsa - Falsa

22 = 4


3. Para una proposición compuesta(tres proposiciones o tres variables p,q,r), existen 23 posibilidades o combinaciones posibles.


Total posibilidadesPosibilidadesp q

V VV

VF

V

FV

Verdadero - Falso – Verdadera Verdadero - Falso - Falso 23 = 8

V F

rVFVFV

Verdadero – Verdadero - Verdadero

Verdadero – Verdadero - Falso

F

F

F

V

F

F

F

V

F

Falso – Verdadero - Verdadero

Falso – Verdadero - Falso

Falso – Falso - Verdadero

Falso – Falso - Falso

4. En general, podemos concluir que para una proposición compuesta de

n variables, existen 2n posibilidades o combinaciones posibles.


Son los símbolos que empleamos en el lenguaje para relacionar o conectar proposiciones simples, permitiéndonos formar proposiciones compuestas.

CONECTORES LÓGICOS U OPERADORES LÓGICOS

1. LA CONJUNCIÓN.-

- Símbolo gramatical .- Y (AND).

- Símbolo lógico.- Λ (Representa el producto lógico).

Es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples entrelazadas mediante el conectivo Y (Λ).

VALOR DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN.- Esta proposición sólo es verdadera, cuando las dos proposiciones simples que la formen son verdaderas, en los demás casos será falsa.


Ejemplo:

1. p: “1 es un número impar”

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

p q p Λ qV

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

q: “3 es un número primo”

p Λ q: “1 es un número impar Y 3 es un número primo”

2. p: “Bogotá está en Colombia” q: “6 es un número impar”

p Λ q: “Bogotá está en Colombia Y 6 es un número impar”

(V) (V)

(V)

(V) (F)

(F)


3. p: “Cali es la capital de Colombia”

En una empresa determinada, se tiene un archivo maestro de nómina, que contiene el registro de cada trabajador . Se requiere un informe que contenga los nombres de las damas que tengan más de 40 años de edad para hacerles un homenaje especial en el día de la mujer.

q: “3 + 3 = 6” (F) (V)

p Λ q: “Cali es la capital de Colombia Y 3 + 3 = 6”

(F)

4. Una interpretación de la conjunción, desde el punto de vista de la programación de computadores, puede hacerse con la ejecución del siguiente programa.

En el programa a realizar debo incluir 2 proposiciones:

p: “Sexo” q: “Edad”

p Λ q: “Si sexo = F Λ Edad > 40” V Λ V ( Imprimo nombre de dama y leo otro registro.)

V Λ F ( Leo otro registro.)

F Λ V ( Leo otro registro.)

F Λ F (Leo otro registro.)


Notaremos que la lámpara sólo se enciende en caso de que ambos interruptores estén cerrados, o sea cuando p = 1 y q = 1; p Λ q = 1 (Es una operación que depende de la simultaneidad de dos eventos). Veamos:

Una interpretación de la conjunción desde el mundo físico, puede hacerse con un circuito o red de interruptores en serie , para controlar el encendido de una lámpara .

Θ ОCircuito AND con interruptores conectados en SERIE

Pila

p = 0 q = 0

Lámpara apagada Θ O

Pila Circuito AND con interruptores conectados en SERIE

Lámpara encendida

p = 1 q = 1

La compuerta que representa la conjunción recibe el nombre de AND tiene el siguiente símbolo:

EntradasSalida

p

qp Λ q


2. LA DISYUNCIÓN.-

- Símbolo gramatical .- O (OR).

- Símbolo lógico.- V (Representa la suma lógica).

Es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples entrelazadas mediante el conectivo O (V).

VALOR DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN.- Esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones simples que la forman son falsas, en caso contrario es verdadera.

En matemáticas se emplea la letra “O” en el sentido Inclusivo, como el término (Y/O), es decir p ó q ó ambas.


Ejemplo:

1. p: “2 es un número impar”

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN

p q p V qV

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

q: “3 es un número par”

p V q: “2 es un número impar O 3 es un número par”

2. p: “Bogotá está en Colombia” q: “6 es un número impar”

p V q: “Bogotá está en Colombia O 6 es un número impar”

(F) (F)

(F)

(V) (F)

(V)


3. p: “Cali es la capital de Colombia”

La administración municipal necesita cobrarle un 50% de recargo sobre las utilidades, a los establecimientos públicos que tengan avisos comerciales o juegos al azar o ambos.

q: “3 + 3 = 6” (F) (V)

p V q: “Cali es la capital de Colombia O 3 + 3 = 6” (V)

4. Una interpretación de la disyunción, desde el punto de vista de la programación de computadores, puede hacerse con la ejecución del siguiente programa.

En el programa a realizar debo incluir 2 proposiciones:

p: “Avisos comerciales” q: “Juegos al azar”

p V q: “Si avisos comerciales V juegos al azar”

V V V ( cobro 50% y leo otro registro.)

V V F ( cobro 50% y Leo otro registro.)

F V V ( cobro 50% y Leo otro registro.)

F V F (Leo otro registro.)


Obsérvese que la lámpara permanece apagada sólo cuando ambos interruptores estén abiertos, o sea cuando p = 0 , q = 0; p V q = 0, veamos:

Una interpretación de la disyunción desde el mundo físico, puede hacerse con un circuito de interruptores en paralelo, para controlar el encendido de una lámpara .

Θ ОCircuito OR con interruptores conectados en paralelo paralelo

Pila

p = 0

q = 0 Lámpara apagada

Θ OPila

Circuito OR con interruptores conectados en paralelo

Lámpara encendida

p = 1

q = 1

La compuerta que representa la disyunción recibe el nombre de OR y tiene el siguiente símbolo:

EntradasSalida

p

qp V q


3. LA NEGACIÓN.-

- Símbolo gramatical .- NO (NOT). (No es verdad que).

- Símbolo lógico.- ( ~ )

La conectiva “NO” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad.

VALOR DE VERDAD DE LA NEGACIÓN.- Si una proposición sea simple o compuesta es verdadera , su negación es falsa y viceversa.


Ejemplo:

1. p: “12 es un número par”

TABLA DE VERDAD DE LA NEGACIÓN

p ~ pV

F

F

V

2. q: “15 es un número primo”

(V)

(F)

(F)

~ p: “12 no es un número par”

~ q: “15 no es un número primo” (V)


3. r: “Colombia se encuentra en Suramérica”

En la frontera Nororiental de Colombia, se tiene un archivo maestro que contiene los registros de los vehículos colombianos y extranjeros que pasan por allí, marcados con los distintivos, Placa C ,si es colombiano y placa E , si es extranjero. Se quiere saber, ¿Cuántos vehículos colombianos han pasado por allí?

(V)

~ r: “Colombia no se encuentra en Suramérica”

(F)

4. Una interpretación de la negación, desde el punto de vista de la programación de computadores, puede hacerse con la ejecución del siguiente programa.

En el programa a realizar genero la proposición:

p: “Placa E”

Si es (F) ( leo registro).

~ p: “La placa no es E“ Si es (V) (sumo 1 a acumulador y leo registro).


Obsérvese que la lámpara se enciende cuando el interruptor está cerrado, veamos:

Una interpretación de la negación desde el mundo físico, puede hacerse con un circuito de interruptores simple , para controlar el encendido de una lámpara .

Θ OPilaCircuito con interruptores simple

Lámpara encendida

p = 0 ~p = 1

La compuerta inversora que representa la negación recibe el nombre de NOT y tiene el siguiente símbolo:

Entrada Salidapp

NOT


4. LA PROPOSICIÓN CONDICIONAL O IMPLICACIÓN.-

- Forma gramatical .- Si…Entonces…

- Símbolo lógico.-

La condicional o implicación es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva, “Si…Entonces…”.

VALOR DE VERDAD DE LA CONDICIONAL O IMPLICACIÓN.- Sólo es falsa cuando su Antecedente es Verdadero y el Consecuente falso, en los demás casos la condicional es verdadera.

La proposición que aparece entre las palabras, “Si y Entonces”, se denomina Antecedente o Hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se llama Consecuente o Conclusión.

NOTA.- Esta proposición condicional, juega un papel muy importante en las demostraciones matemáticas en cuanto a teoremas y demás.


Ejemplo:

TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL O IMPLICACIÓN

p q p qV

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Un candidato a la presidencia de la República promete : Si salgo electo presidente, recibirán un 50% de aumento en su sueldo.

Proposiciones: p:”Salgo electo presidente”.

q:“Recibirán un 50% de aumento en su sueldo”.

Condicional: p q:”Si salgo electo presidente entonces recibirán un 50% de aumento en su sueldo”.

De acuerdo a este ejemplo, la interpretación que le damos a la tabla de verdad es la siguiente:


TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL O IMPLICACIÓN

p q p qV

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Si p = V (Salió electo) y q = V (Reciben un 50% de aumento) ; por lo tanto p q = V (significa que el candidato dijo la verdad en la campaña).Si p = V (Salió electo) y q = F (No reciben un 50% de aumento) ; Por lo tanto p q = F (significa que el candidato mintió). Si p = F (No salió electo) y q = V (Reciben un 50% de aumento); por lo tanto p q = V (Significa que aunque no salió electo, hubo un aumento del 50% en sueldos, por lo tanto, tampoco mintió. Es trivialmente verdadero). Si p = F (No salió electo) y q = F (No reciben un 50% de aumento); por lo tanto p q = V ( significa que tampoco mintió porque no salió electo).


Ejemplos:

p: “Resolvemos la tarea “.

p: “La demanda crece”. p q: “Si la demanda crece entonces las compañías se expanden”.

p q: “Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la lección”.p: “Vamos a la fiesta”.

q: “Las compañías se expanden”.

q: “Aprenderemos la lección”.

q: “No nos acostaremos temprano”.

p q: “Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano”.

Recíproca y Contrarecíproca de un Condicional.- A partir de la proposición p → q, podemos obtener otras dos condicionales de gran aplicación. a). q → p , la cual se denomina la Recíproca de p → q.

b). ~ q → ~ p , la cual se denomina la Contrarecíproca de p → q.


5. PROPOSICIÓN BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN.-

- Forma gramatical .-

- Símbolo lógico.-

La Bicondicional o Doble Implicación es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo, “Si y Sólo Si”.

VALOR DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL.- Esta es sólo verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tienen el mismo valor de verdad.

…Si y Sólo Si…

↔


Ejemplos:

TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL

p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

p: “x es par”.

p ↔ q:”x es par si sólo si x es divisible por 2”.

p:”Es buen estudiante”. q:“Tiene promedio de 4”.

p ↔ q:“Es buen estudiante si y sólo si tiene promedio de 4”.

p ↔ q:”Londres está en Inglaterra si y sólo si Paris está en Francia”.

p:” Londres está en Inglaterra”.

p ↔ q

q:”x es divisible por 2”.

q:” Paris está en Francia”.

DESARROLLO TEMÁTICONOTA.- Toda Bicondicional puede descomponerse en dos condicionales

de de la siguiente manera:

p ↔ q (p → q) Λ (q → p)

Ejemplo: “ Si x es Par entonces x es divisible por 2” Y “Si x es divisible por 2 entonces x es par”.

“Si es un buen estudiante entonces tiene promedio de 4” Y “Si tiene promedio de 4 entonces es un buen estudiante”.

“Si Londres está en Inglaterra entonces Paris está en Francia” Y “Si Paris está en Francia entonces Londres está en Inglaterra”.

DESARROLLO TEMÁTICOLOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN.- Dentro de la lógica proposicional los signos de agrupación como:

( ) , [ ] , { } sirven para separar una proposición de otra, permitiendo identificar en una proposición compuesta el Conector Dominante o Conector Principal o conector determinante.

En la proposición compuesta p Λ (q V r) el conector principal es Λ.

En la proposición compuesta (p → q) ↔ (~q → ~p) el conector principal es ↔.

Ejemplo:

En la proposición compuesta p →(p V r) el conector principal es →.

En la proposición compuesta {[(p Λ q) V r ] Λ ~ q} V q el conector principal es V.

DESARROLLO TEMÁTICOVALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS .-

Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:

(~ p Λ q) ↔ (p → ~ r) , teniendo en cuenta que ,“ p ” es falsa, “ q “ es verdadera y “ r “ es verdadera.

En la determinación de valores de verdad de proposiciones compuestas, se nos puede presentar el caso de plantearnos la proposición y luego darnos a conocer el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la componen. Ejemplo:

(~ p Λ q) ↔ (p → ~ r)

V V

V

F F

V

V


Ejemplo: Elabore la tabla de verdad para: (~p Λ q) ↔ (p → ~ r)

El otro caso, es el de elaborar una tabla de verdad, que nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad, que puedan presentarse, de acuerdo al número de variables contenidas por la proposición dada.

p q r ( ~ p Λ q ) ↔ ( p → ~ r )

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F V

V

F

F

V V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

VV

V

V F

V

F

V

V

F

F

V

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