Matematicas plicada a la Ing. Petrolera

Matemticas aplicadas ala ingeniera petrolera

Jetzabeth Ramrez Sabag

Ttulo de la obra original Matemticas aplicadas a la ingeniera petrolera

D.R. Jetzabeth Ramrez Sabag

D.R. Revert Ediciones S.A. de C.V. Ro Pnuco 141, Col. Cuauhtmoc, Del. Cuauhtmoc, C.P. 06500 Mxico D.F.

ISBN Mxico: 978-607-7815-09-9 ISBN Espaa: 978-84-291-7914-9

Primera edicin 2013 Reimpresin digital 2014

DISEO DE CUBIERTA: SANTIAGO ROBLES DISEO Y FORMACIN DE INTERIORES: VCTOR M. MONTALVO CORRECCIN DE ESTILO: ARADAI PARDO MARTNEZ

Reservados todos los derechos. No se permite la reproduccin, total o parcial, de este libro, ni el almacenamiento en un sistema informtico, ni la transmisin de cualquier forma o cualquier medio, electrnico, mecnico, fotocopia, registro u otros medios sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

Impreso en Espaa - Printed in Spain DL B 12027-2014 Impreso por Arvato Services Iberia, S. A.

# 1389

ndice

Prlogo XIX

Captulo 1. Planteamiento matemtico de problemas 11.1 Introduccin al planteamiento matemtico de problemas 2

1.1.1 Ejemplo 1. Clculo de un tiempo determinado a partir 4del cambio de temperatura de un cuerpo inerte 1.1.2 Ejemplo 2. Problema de decaimiento radioactivo 6

1.2 Introduccin a los modelos matemticos 71.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemticos 71.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemtico 8

1.4.1 Ejemplo 3. Problema de calentamiento de una esferade hielo 81.4.2 Ejemplo 4. Determinacin de la temperatura de un objeto 10sometido a una fuente de calor en un momento determinado1.4.3 Ejemplo 5. Planteamiento de un problema cotidianode un objeto sometido a una fuente de calor 11

1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales 12 1.5.1 Ejemplo 6. Clculo de la concentracin de sal en untanque con entrada y salida de salmuera 12 1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del flujo de calor en una barra pormedio de una ecuacin diferencial parcial de un objeto sometido a una fuente de calor 141.5.3 Modelado matemtico de un experimento de flujo de calor 16

1.6 Esquema general del planteamiento matemtico de unproblema fsico 191.7 Categoras de modelos matemticos 201.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad 20

VI

Matemticas aplicadas a la ingeniera petrolera

1.9 Modelado matemtico de yacimientos 231.9.1 Procedimiento general del modelado matemticode problemas de ingeniera petrolera 24

Captulo 2. Principios de los fenmenos de transporte 252.1 Conceptos fundamentales 26

2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo 262.1.2 Sistemas termodinmicos 272.1.3 Tipos de procesos 31

2.2 Transporte de cantidad de movimiento (momentum) 322.2.1 Ley de Newton de la viscosidad 33

2.3 Transporte de calor 392.3.1 Principios bsicos de termodinmica 402.3.2 Leyes fundamentales de la termodinmica 462.3.3 Transferencia de calor por conduccin 512.3.4 Ejemplo 1. Flujo de calor a travs de una tubera de acero 55 2.3.5 Ejemplo 2. Clculo de la densidad de flujo de calor en uncilindro conductivo 57

2.4 Transporte de masa 582.4.1 Definiciones de concentraciones, velocidades y densidadesde flujo de materia 592.4.2 Ley de Fick de difusin 622.4.3 Analoga entre los diferentes mecanismos de transporte 632.4.4 Ecuacin de balance de materia 642.4.5 Ejemplo 3. Proceso de evaporacin de agua en rgimenpermanente 682.4.6 Ejemplo 4. Determinacin del coeficiente dedifusin binario 73

2.5 Ecuaciones generales de conservacin 742.5.1 Leyes fundamentales de conservacin 752.5.2 Ecuacin de continuidad (conservacin de masa) 802.5.3 Ecuacin generalizada de transporte de cantidadde movimiento 83

2.6 Ecuaciones de cambio para sistemas no isotrmicos 872.6.1 Ecuacin general de la energa trmica 87

VII

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Captulo 3. Preliminares de las ecuacionesdiferenciales parciales 933.1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales ordinarias 94

3.1.1 Ecuaciones lineales homogneas 963.1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 973.1.3 Ejemplo 1. Solucin de una ecuacin diferencialhomognea 973.1.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 983.1.5 Principio de superposicin 983.1.6 Coeficientes constantes 1013.1.7 Ecuacin de Cauchy-Euler 1033.1.8 Otras ecuaciones diferenciales homogneas 1053.1.9 Ecuaciones diferenciales no homogneas 1073.1.10 Variacin de parmetros 1083.1.11 Ejemplo 2. Solucin de una ecuacindiferencial homognea 1113.1.12 Ejemplo 3. Solucin de una ecuacin diferencialno homognea

3.2 Ecuaciones diferenciales parciales 1143.2.1 Ecuacin diferencial parcial de primer orden 115 3.2.2 Uso de un cambio de variable para reducir una ecuacindiferencial parcial a una ecuacin diferencial ordinaria. 1173.2.3 Solucin e interpretacin de una ecuacindiferencial parcial 1183.2.4 Ecuaciones diferenciales parciales en fsica e ingeniera 1223.2.5 Clasificacin de las ecuaciones diferenciales parciales 124

3.3 Problemas de valores en la frontera 1263.4 Problemas de valores iniciales y de frontera adimensionales 127

3.4.1 Ejemplo 4. Transformacin del problema de difusin asu forma adimensional 1283.4.2 Ejemplo 5. Transformacin de un problemahiperblico a su forma adimensional 132

3.5 Ecuaciones y funciones especiales 1343.5.1 Ecuaciones y funciones Bessel 1343.5.2 Series de Fourier 140

VIII


Captulo 4. Desarrollo de las ecuaciones diferencialesparciales que gobiernan el ujo de uidos en los yacimientospetroleros 155

4.1 Introduccin 1564.2 Principios fundamentales del flujo del agua en medios porosos 1574.3 La Ley de Darcy y el potencial de Hubbert 1634.4 Experimento de Darcy 1674.5 Ley de Darcy para medios porosos anisotrpicos 1704.6 Derivacin en coordenadas cartesianas de la ecuacin dedifusividad para el flujo de un fluido de una sola fase 172

4.6.1 Ecuacin de continuidad 1734.6.2 Ecuacin de movimiento 1784.6.3 Ecuacin de estado para un fluido ligeramenteincompresible 179

4.7 Ecuacin de difusividad para gases 1834.8 Derivacin de la ecuacin de Hagen-Poiseville para flujoa travs de un tubo circular 1874.9 Clculo de parmetros importantes 1924.10 Derivacin de la ecuacin de Hagen-Poiseville para flujo a travs de una tubera horizontal, considerando un factor deresbalamiento 4.11 Flujo multifsico en yacimientos 199

4.11.1 Fundamentos de las fuerzas superficiales y capilares 2004.12 Principales ecuaciones de flujo multifsico en yacimientos 2044.13 Desplazamiento miscible ideal 211

4.13.1 Dispersin en medios porosos 2124.13.2 Mecanismos de dispersin 2144.13.3 Flujo de trazadores en yacimientos 2144.13.4 Desarrollo de la ecuacin fundamental de dispersin 216

4.14 Balance general de energa 2204.14.1 Ecuacin de energa para flujo en una fase 2214.14.2 Ecuacin de energa para flujo multifsico 2244.14.3 Ecuaciones de transporte 2254.14.4 Componentes de cada fase 227

IX

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4.15 Introduccin a la simulacin numrica de yacimientos 2284.15.1 Tipos de simuladores numricos de yacimientos 2294.15.2 Ecuaciones bsicas del modelo de simulacinnumrica de yacimientos de tipo composicional 2324.15.3 Anlisis del problema 2364.15.4 Ecuaciones bsicas del modelo de simulacinnumrica de yacimientos tipo aceite negro 237

Captulo 5. Aplicacin del mtodo de separacin de variables 243 5.1 Introduccin 2445.2 Solucin de ecuaciones diferenciales parciales con elmtodo de separacin de variables 245

5.2.1 Problema de conduccin de calor en una varilla con temperatura de cero grados centgrados en los extremos 2455.2.2 Valores y funciones caractersticos 2495.2.3 El producto de soluciones, el principio desuperposicin y la ortogonalidad 2565.2.4 Ejemplo 1. Formulacin, solucin e interpretacin 2625.2.5 Problema de conduccin del calor en una varillacon extremos aislados 267

5.3 Aplicacin del mtodo de separacin de variables a un problemade valores iniciales y de frontera de flujo de aceite hacia un pozo 269

5.3.1 Planteamiento fsico del problema 2695.4 Aplicacin al problema de flujo lineal de un fluido ligeramentecompresible y de viscosidad constante en un medio poroso homogneo 277

5.4.1 Descripcin fsica del problema de aplicacin 2775.4.2 Uso de variables adimensionales para evitar el problema de condiciones inhomogneas 2795.4.3 Aplicacin del mtodo 281

5.5 Aplicacin del mtodo de separacin de variables aproblemas de flujo con condiciones de frontera no homogneas 289

5.5.1 Aplicacin 1. Aplicacin al problema de flujo lineal deun fluido ligeramente compresible con viscosidad constanteen un medio poroso, con condiciones iniciales y de fronterano homogneas. 290

XMatemticas aplicadas a la ingeniera petrolera

5.5.2 Aplicacin 2. Flujo lineal de un fluido ligeramentecompresible con viscosidad constante en un medio poroso,con condiciones iniciales y de frontera no homogneas,tipo Neumann 2955.5.3 Aplicacin 3. Problema de distribucin de presin paraun sistema lineal cerrado 3005.5.4 Problema de flujo de fluidos en un medio semiinfinito 303

5.6 Problemas de valores caractersticos, problemas de Sturn-Liouville 3065.6.1 Introduccin 3065.6.2 Clasificacin general 3075.6.3 Problema Sturn-Liouville 308

5.7 Procedimiento general del mtodo de separacin de variables 3095.8 Condicin de frontera del tercer tipo (tcnica grfica) 310

5.8.1 Ejemplo 2. Solucin de la funcin dependiente de x para los problemas de flujo de calor y cuerda vibrante 3115.8.2 Ejemplo3. Problema de transferencia de calor con unacondicin de frontera del tercer tipo 315

5.9 Modelado de la ecuacin de onda 3205.9.1 Movimiento de una cuerda con extremos fijos 3205.9.2 Ejemplo 3. Movimiento de una cuerda con extremos fijos 324

Captulo 6. Aplicacin del mtodo de transformada de Laplace 3276.1 Conceptos fundamentales y propiedades de la transformadade Laplace 328

6.1.1 Definicin de la transformada de Laplace 3296.1.2 La existencia de la transformada de Laplace 3336.1.3 La transformacin de Laplace como operador lineal 3406.1.4 La transformada inversa de Laplace 3436.1.5 La existencia y unicidad de la transformada inversade Laplace, L1 3466.1.6 Teorema de Lerch 3486.1.7 Propiedades de las transformaciones L y L1 3486.1.8 Teorema de traslacin en el dominio de Laplace s 3496.1.9 Teorema de traslacinen el dominio del tiempo t 3516.1.10 Transformacin de derivadas 353

XI

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6.1.11 Teorema de convolucin 3556.1.12 La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales 3576.1.13 La transformada de Laplace de una derivada parcial ylas ecuaciones diferenciales 3596.1.14 Ejemplo de aplicacin: flujo de calor en un contenedor 3616.1.15 Resumen del mtodo y algunas observaciones 366

6.2 Aplicacin del mtodo de la transformada de Laplace alproblema de flujo de un fluido incompresible hacia un pozofluyendo a presin constante 368

6.2.1 Planteamiento del problema fsico por resolver 369 6.2.2 Desarrollo de la ecuacin de difusividad para flujo radialen variables adimensionales 3706.2.3 Desarrollo de la ecuacin de difusividad adimensionalpara flujo radial 3726.2.4 Variables adimensionales utilizadas 3806.2.5 Problema lnea fuente 3826.2.6 Solucin lnea fuente por medio de la transformacinde Boltzman 3836.2.7 Aplicacin 1. Pozo que produce a gasto constante enun yacimiento infinito. Solucin lnea fuente 3886.2.8 Aplicacin 2. Pozo que produce a gasto constante enun yacimiento infinito. Solucin fuente cilndrica 4046.29 Aplicacin 3. Pozo que produce a gasto constante enun yacimiento finito 408

6.3 Aplicacin del mtodo de transformada de Laplace al problemade flujo de trazadores a travs de yacimientos petroleros 426

6.3.1 Aplicaciones de los trazadores a la industria petrolera 4276.3.2 Modelos matemticos 4286.3.3 Aplicacin 4. Flujo lineal unidimensional de trazadoresa travs de yacimientos homogneos 4306.3.4 Aplicacin 5. Flujo lineal unidimensional de trazadoresa travs de yacimientos homogneos con condiciones mixtas 435

Captulo 7. Aplicacin del mtodo de funciones de Green 4437.1 Introduccin a las funciones de Green 444

XII


7.2 Operador diferencial adjunto 4487.3 Mtodo de la expansin de las eigenfunciones para las funciones de Green 450

7.3.1 Ejemplo 1. Solucin de la funcin dependiente de x delproblema de flujo hacia unidimensional 452

7.4 La funcin delta de Dirac y su relacin con las funcionesde Green 4537.5 Reciprocidad de Maxwell 4577.6 Aplicacin del mtodo de las funciones de Green al problemade flujo unidimensional en rgimen permanente 458

7.6.1 Ejemplo 2. Planteamiento del problema adjunto 4607.6.2 Caso 1. Problema tipo Dirichlet 4637.6.3 Caso 2. Problema tipo Neumann 465

7.7 Resumen del mtodo de las funciones de Green 4687.8 Introduccin al mtodo de las funciones de Greenpara ecuaciones diferenciales parciales 4697.9 Aplicacin del mtodo de las funciones de Green a problemasbidimensionales en rgimen permanente 4737.10 Aplicacin del mtodo de las funciones de Green a problemasde flujo tridimensionales en rgimen transitorio 483

Captulo 8. Problema inverso 491Por Oscar C. Valdiviezo Mijangos8.1 Introduccin al problema inverso 4928.2 Problema inverso 4938.3 Problema mal condicionado 4958.4 Planteamientos de la funcin objetivo 4988.5 Problema inverso lineal 4998.6 Problema directo 501

8.6.1 Transporte de trazadores en medios porosos 5018.6.2 Modelo de lnea fuente para pruebas de presin 504

8.7 Mtodos de optimizacin no lineal 5078.8 Aplicaciones 514

8.8.1 Pruebas de presin 5148.8.2 Pruebas de trazadores 516

XIII

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Apndice A. Preliminares de ingeniera petrolera 521A.1 Introduccin a la productividad de pozos 522

A.1.1 Sistema integral de produccin 522A.1.2 Flujo del yacimiento al pozo 525A.1.3 Flujo en tuberas 528A.1.4 Flujo en estranguladores 535

A.2 Conceptos bsicos y propiedades relacionadas 537A.2.1 Tendencia del medio continuo en ingeniera petrolera 537A.2.2 Porosidad, una propiedad petrofsica esttica 539A.2.3 Permeabilidad, una propiedad de flujo de un medio 541

A.3 Conceptos relacionados con el flujo multifsico 549A.3.1 Saturacin de fluidos 549A.3.2 Permeabilidades efectivas y relativas 552A.3.3 Solubilidad del gas 557A.3.4 Factor de volumen de formacin del aceite, Bo 559A.3.5 Relacin agua-aceite instantnea 560A.3.6 Densidad relativa y grados API 561A.3.7 Relacin gas-aceite y gas-agua instantnea 562A.3.8 Flujo msico para cada fase 564

A.4 Propiedades del gas 566A.4.1 Ley de los gases reales 567A.4.2 Densidad relativa del gas 568A.4.3 Densidad del gas 570A.4.4 Factor de compresibilidad del gas 570A.4.5 Viscosidad del gas 571A.4.6 Factor de volumen del gas 572A.4.7 Compresibilidad del gas 572A.4.8 Ejemplo de aplicacin 575

A.5 Comportamiento de las fases de fluidos del yacimientoy superficiales 576

A.5.1 Diagrama de fases 577A.5.2 Clasificacin de los yacimientos de acuerdo con eldiagrama de fases 578

A.6 Mecanismos de flujo y de desplazamiento enyacimientos petroleros 583

XIV


A.6.1 Mecanismos de flujo a travs de yacimientos 583A.6.2 Mecanismos de desplazamiento 589

A.7 Comportamiento de afluencia 593A.7.1 Ecuacin de afluencia 594A.7.2 Geometras de flujo 595A.7.3 Regmenes de flujo 603

A.8 Procesos de recuperacin adicional 616A.8.1 Mtodos trmicos 618A.8.2 Mtodos qumicos 623A.8.3 Desplazamiento miscible 625

Apndice B. Flujo radial de trazadores a travs de unyacimiento estraticado 629B.1 Desarrollo de las ecuaciones fundamentales de flujo 630

B.1.1 Ecuacin de flujo en la fractura o regin mvil 630B.1.2 Ecuacin de flujo para la regin inmvil, estancadao matriz 634

B.2 Solucin del modelo matemtico de flujo radial con fracturahorizontal 636

B.2.1 Modelo matemtico expresado en variablesadimensionales 636B.2.2 Solucin de la ecuacin para la regin inmvil

B.2.3 Solucin de la ecuacin fundamental para la regin mvil 639

Apndice C. Tabla de las transformadas de Laplace utilizadas 645

Notacin 649

Unidades 659

Bibliografa 675

Prlogo

El objetivo principal de esta obra es ofrecer un documento que sirva como libro de texto para el curso de Matemticas aplicadas a la ingeniera petrole-ra y que tambin pueda ser consultado como material de apoyo en diversas asignaturas de la carrera de ingeniera petrolera por aquellos que requieran conocer la aplicacin de las ecuaciones diferenciales en el planteamiento y la solucin de problemas relacionados con los fenmenos de transporte. Otro objetivo es familiarizar a los lectores de otras reas con algunos de los fundamentos tericos y prcticos del quehacer de los ingenieros petroleros.

Cabe destacar que este libro no est dirigido a los matemticos, sino a los ingenieros petroleros y a los estudiantes y profesionistas de otras reas donde se privilegia la intuicin fsica sobre el rigor matemtico. Al examinar en retrospectiva los conocimientos adquiridos en un primer curso de mate-mticas sustentado en escasos y simples principios fsicos, muchos alumnos que estudian temas perceptibles del mundo fsico y que emplean recur-sos matemticos repetitivos que rayan en la monotona, consideran que no siempre tienen la oportunidad de obtener una comprensin suficiente de varios de los conceptos como para llevar a cabo con ciertas probabilida-des de xito la solucin de algunos problemas reales y prcticos con los mtodos aprendidos.

Esta problemtica se debe, en gran medida, al rigor y a la extrema pre-cisin con que debe definirse y tratarse cada uno de los conceptos bsicos, a falta de una imagen fsica lo suficientemente grfica o tangible, y al hecho de que la metodologa recurre, con frecuencia, a restricciones que reducen la complejidad de los fenmenos naturales y que suelen requerir cierto grado de conocimiento fsico que, desafortunadamente, los alumnos no obtendrn hasta cursar materias de aos superiores en los distintos planes de estudios.

XX


El presente texto es, por lo tanto, el resultado de un esfuerzo encamina-do, esencialmente, a subsanar los aspectos principales de esta problemtica. Los temas aqu expuestos buscan estimular el pensamiento intuitivo en tor-no a temas fsicos, cuidando de no perder demasiada precisin matemtica pues la combinacin de temas de un alto nivel matemtico con los fen-menos que ocurren en la naturaleza pueden ocasionar, al final, una com-prensin parcial o incompleta por parte de muchos estudiantes de pregrado e, incluso, llegar a un punto donde ni al estudiante ni al profesor les sea factible el tratamiento matemtico del problema. Es por ello que se ha in-tentado alcanzar un equilibrio entre estos dos extremos al describir, en pri-mer trmino, la situacin fsica del problema y, posteriormente, mediante la presentacin de las herramientas matemticas necesarias, algunas tcnicas para plantear, formular y resolver el problema en cuestin, privilegiando siempre, como se ha mencionado, los aspectos fsicos.

La gnesis de este libro emana de la necesidad de responder adecua-damente a los mltiples comentarios de mis alumnos, quienes, cada ge-neracin y de manera sistemtica, solicitan referencias sobre los tpicos cubiertos en el curso. Esta insistente solicitud deriva del hecho de que prcticamente no existe una bibliografa que integre la fsica de los proble-mas de ingeniera petrolera con las tcnicas matemticas mnimas reque-ridas para resolverlo. Es decir, por un lado, se dispone de la bibliografa clsica sobre ecuaciones diferenciales destinada a cientficos e ingenieros, en donde se revisan los mtodos de solucin aplicados a la transferencia de calor y a problemas de vibraciones de cuerda (ecuacin de onda) y, por el otro, las referencias puramente tcnicas de la industria petrolera, las cuales consisten en una serie de artculos que revisan los mtodos tradicionales de solucin de ecuaciones diferenciales pero que, no obstante, carecen ge-neralmente de los detalles necesarios para que los estudiantes de pregrado los comprendan.

Fue as como surgi el reto de satisfacer esta carencia intelectual por medio de un libro con las caractersticas del que aqu se presenta; esto es, enfocado al planteamiento y la solucin de problemas de valores iniciales y de frontera de ingeniera petrolera, en el que se guarde un equilibrio entre la fsica del problema y las tcnicas matemticas necesarias para su solucin analtica. La premisa bsica de esta obra es unir la intuicin del estudiante de aspectos

XXI

Prlogo

fsicos con los mtodos matemticos, lo cual se aspira lograr por medio de la derivacin del modelo matemtico para un problema determinado, el uso del razonamiento fsico en el desarrollo matemtico y la interpretacin de los resultados matemticos en trminos fsicos; es por ello que los modelos matemticos se formulan aqu por medio del i) desarrollo de las ecuaciones que gobiernan los procesos fsicos y ii) el planteamiento de las condiciones de frontera posibles en los problemas de inters. Esto abarca el conocimiento fsico del problema, las leyes fsicas que lo rigen y el planteamiento matem-tico que lo representa. En servicio de lo anterior, se discuten con detalle estos temas en el captulo IV; en los captulos posteriores se revisan las posibles condiciones de frontera y se incluye el planteamiento completo de un modelo matemtico y su solucin aplicados a los problemas de estudio.

Cabe sealar que tanto los lectores no relacionados con el rea como los estudiantes de la carrera requieren una base apropiada de conocimientos tanto de temas de la fsica involucrada en los problemas de estudio como de algunos elementos matemticos, adems de los tpicos propios de la inge-niera petrolera, por lo que se han incluido los primeros tres captulos y el apndice A, que abarcan los siguientes temas: planteamiento matemtico de problemas fsicos, principios de fenmenos de transporte, preliminares de ecuaciones diferenciales parciales y preliminares de ingeniera petrolera. La finalidad de estos captulos es ofrecer una base para la comprensin ptima de los captulos dedicados a los mtodos clsicos de solucin de ecuaciones diferenciales parciales y las aplicaciones que se discuten en este texto: separa-cin de variables, transformada de Laplace y funciones de Green, as como la solucin del problema inverso de dos aplicaciones importantes dentro de la ingeniera petrolera: el anlisis de pruebas de variacin de presin y las pruebas de trazadores, temas presentados en los captulos V al VIII. El lec-tor notar que el mtodo de transformada de Laplace recibe mayor atencin ya que su uso es el ms frecuente en el rea.

Los captulos V, VI y VII tienen esta estructura: i) explicacin bsica de los mtodos de solucin, ii) aplicacin del mtodo en algn ejemplo de transferencia de calor (con la intencin de que el lector pueda consultar una referencia anloga en caso de as requerirlo) y iii) aplicacin del mtodo de solucin a problemas especficos, como el flujo de fluidos hacia un pozo en un yacimiento petrolero.

XXII


Este prlogo no estara completo si no expresara mi profundo agradeci-miento a todos aquellos que contribuyeron, de una u otra manera, a la rea-lizacin de este libro; desde la motivacin para aceptar el reto de elaborarlo (aproximadamente hace cinco aos) hasta el cierre de esta tarea. He recibido comentarios y sugerencias muy valiosas de parte de colegas y amigos; sin embargo, no me es posible mencionarlos a todos como me gustara hacerlo. En particular, agradezco a las ingenieras Martha Argelles y Jimena Gonz-lez, a la licenciada Guadalupe Castro y a los maestros en ingeniera Mnica Meraz, Marisol Rojas, Abraham Ramrez y Jos Trejo por su colaboracin en la edicin de esta obra. Estoy en deuda con la Facultad de Ingeniera de la UNAM y, en especfico, con el Departamento de Ingeniera Petrolera, porque me han conferido el honor de ser la profesora de este curso por ms de quince aos; igualmente, reconozco la enorme deuda que tengo con todos mis alumnos dado que de ellos deriva la formidable oportunidad de escribir este documento.

Agradezco de forma especial al Dr. Oscar Valdiviezo Mijangos, autor del captulo VIII, Problema inverso, por su interesante aportacin a este texto.

Hago un reconocimiento especial a la maestra en ingeniera Mara Cristina Avils Alcntara, as como a la maestra y trabajadora social Blanca Estela Ran-gel Colchado, por el apoyo brindado para la publicacin del presente libro.

No olvido agradecer a la editorial Revert por el inters mostrado en la edicin de esta obra, en particular a las maestras Jimena Lascurain y Aradai Pardo por la inestimable colaboracin recibida.

Finalmente, sealo con mucho orgullo que parte intangible de este texto es mi familia, gracias al soporte y comprensin brindados durante el desa-rrollo del mismo.

Apreciar mucho cualquier sugerencia proveniente de estudiantes, pro-fesores o colegas, as como de cualquier persona interesada en mejorar este libro. Favor de hacerlas llegar al siguiente correo electrnico:[email protected].

Jetzabeth Ramrez SabagMxico D.F. a 26 de agosto de 2012

Captulo 1

Planteamiento matemtico de problemas

El enfoque que busca resolver problemas del mundo real con herramientas matemticas es frecuentemente llamado modelado matemtico o matem-ticas aplicadas. Este enfoque o modelado consta de los siguientes pasos:

1. Identificar un problema procedente de un fenmeno del mundo real. De los fenmenos complicados del mundo real, hay que identificar y extraer slo el problema fsico que se desea estudiar y entender por com-pleto la naturaleza del problema elegido. Se recomienda realizar esque-mas con figuras.

2. Hacer la formulacin matemtica del problema:q Determinar un conjunto apropiado de variables e incgnitas relacio-

nadas con el problema.q Especificar las leyes fsicas y/o geomtricas involucradas en el problema.

3. Establecer el modelo matemtico. Derivar las ecuaciones que gobier-nan el problema y determinar las condiciones adicionales con base en las leyes fsicas o las restricciones geomtricas. Este proceso conduce al llamado modelo matemtico.

4. Realizar el anlisis matemtico. 5. Realizar la interpretacin fsica de los resultados matemticos. Discutir

el comportamiento de la solucin matemtica, realizar esquemas con figuras y hacer su interpretacin fsica.

6. Regresar al problema original del fenmeno del mundo real. Compa-rar los resultados de la solucin matemtica con experimentos fsicos, encontrar los defectos del modelo matemtico y modificar el modelo, y comenzar de nuevo el proceso.

2Captulo 1

En este captulo se presentan, primero de forma intuitiva, los pasos a seguir en el planteamiento matemtico de un problema fsico, para lo cual se des-criben algunos problemas especficos muy sencillos. Despus se incrementa gradualmente la dificultad de los problemas fsicos hasta llegar, al final del captulo, a la formulacin de ecuaciones diferenciales parciales a partir de la descripcin de un problema de transferencia de calor.

Objetivo

Mostrar cmo los problemas fsicos y sus variaciones pueden ser explicados (modelados matemticamente) por medio de un pro-cedimiento basado en la identicacin, formulacin, solucin e interpretacin del problema.

1.1 Introduccin al planteamiento matemtico de problemas

En esta seccin se discute la solucin de algunos problemas elementales caractersticos de los diversos campos de la ciencia y de la ingeniera, que comprenden ecuaciones diferenciales parciales. Una ecuacin diferencial par-cial, o EDP, es una ecuacin que contiene derivadas parciales; por ejemplo:

En este caso, el estudio debera comenzar con la determinacin de las fun-ciones u(x,t) que satisfacen la ecuacin anterior; sin embargo, dos razones llevan a considerar ms conveniente empezar por investigar el problema fsico: la primera es que se estima que el inters del lector por las ecua-ciones diferenciales ser mayor si comprende que estos mtodos analizan problemas fsicos. La segunda es el hecho de que las consideraciones fsicas motivan muchos de los desarrollos matemticos presentados en este texto.Muchos de los problemas de la ingeniera y las ciencias fsicas son domina-dos por el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. Algunas de las reas que dependen en alto grado del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales son la acstica, la aerodinmica, la elasticidad, la electrodinmi-

3Planteamiento matemtico de problemas

ca, la dinmica de fluidos, la geofsica (propagacin de onda), la transfe-rencia de calor, la transferencia de masa, la meteorologa, la oceanografa, la ptica, la fsica de plasmas (ionizacin de lquidos y gases), la mecnica cuntica y la ingeniera petrolera, objeto del presente libro.

En este texto se sigue una filosofa de la aplicacin de las matemticas que analiza los problemas en tres etapas principales:

1. Formulacin del problema.2. Solucin.3. Interpretacin o anlisis de la solucin.

A continuacin se presentan problemas especficos sencillos para ilus-trar el planteamiento matemtico de un problema fsico. Para resolver el primer problema es importante hacer una introduccin a los procesos de transferencia de calor por medio de una ecuacin emprica que relacione la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con el medio. Esta ecuacin se conoce como Ley de enfriamiento de Newton y dice que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Supo-niendo que la constante de proporcionalidad sea la misma independiente-mente de que la temperatura aumente o disminuya, la ecuacin diferencial de la ley de enfriamiento ser:

Donde : Temperatura de un cuerpo : Tiempo

: Temperatura del medio ambiente

Se soluciona la ecuacin y se separan las variables:

4Captulo 1

Despus, se integra cada miembro de la ecuacin anterior:

Y se obtiene:

Pero , por lo que finalmente se obtiene:

Ec.1.1

Si se define que

, entonces queda:

Ec. 1.2

1.1.1 Ejemplo 1. Clculo de un tiempo determinado a partir del cambio de temperatura de un cuerpo inerte Se requiere conocer la hora de deceso de una persona de edad muy avanza-da cuyo cuerpo fue encontrado sin vida a las doce del da.

1. Identificacin del problemaq La persona muri en su casa en algn momento antes del medio da.q Al medio da, el cuerpo fue encontrado a una temperatura de 21.1 C.q El cuerpo se enfri otros 2.8 C en las dos horas posteriores al medio da.q Se asume que la habitacin se encontraba a una temperatura con

tante de 15.5 C.2. Formulacin matemtica del problema


q Introduccin del conjunto de variables e incgnitas relacionadas con el problema. Se toma el medio da como , se tiene que =21.1 ,

=15.5 y 2 ( = 2 horas) =18.3 C.

q Ley o leyes fsicas que gobiernan el cambio de temperatura. La ley que rige este problema es la Ley de enfriamiento de Newton; enton-ces, aplicando la ecuacin 1.2 a = 2 horas se tiene que:

De donde se obtiene lo siguiente:

18.315.5=5.62 Ec. 1.3

De esta ecuacin se obtiene que:

(2)/2

Para determinar el momento del deceso se utiliza la ecuacin 1.3 con la temperatura corporal humana normal de 37 C y se plantea la siguiente ecuacin:

37 15.5 = 5.6

Esta ecuacin se resuelve para y, finalmente, se encuentra el tiempo buscado:

=3.83/ = 23.832 Ec. 1.4

= 3.90 horas

Por lo que se concluye que el deceso ocurri a las 12:00 menos tres horas 54 minutos; esto es, a las 8:06 a.m.

6Captulo 1

1.1.2 Ejemplo 2. Problema de decaimiento radioactivo

Una sustancia radioactiva decae a un ritmo proporcional a la cantidad de la sustancia presente. Si es la cantidad al tiempo , se tiene:

Ec. 1.5

Donde es una constante. La solucin de la ED es:

Ec. 1.6

Si es la vida media de la sustancia radioactiva, se tiene por definicin:

Donde !.Cabe sealar que la relacin del radioistopo y el tomo normal 12 es, y ha sido durante toda la historia del planeta, siempre la misma para toda criatura viviente y en la atmsfera, y que cuando los organismos mueren y cesa su metabolismo, inicia el proceso de decaimiento radioactivo de 14. A partir de los datos experimentales del istopo 14 y =0.0001216/ao, se puede determinar el momento en que un organismo muri al medir la concentracin de 14 en un fsil y compararla con un organismo actual-mente en vida. Esta tcnica se llama datado con radiocarbono. Por ejemplo, asuma que:

Se tiene que:


1.2 Introduccin a los modelos matemticos

La mayora de los sistemas o fenmenos fsicos estudiados en las ciencias fsicas y en las ingenieras se describen por medio de ecuaciones diferenciales. Esta descripcin considera los cambios progresivos, tanto temporales como espaciales, de los sistemas o fenmenos fsicos bajo observacin.La relacin entre las matemticas y el mundo real se representa por medio de expresiones cuantitativas que constituyen leyes fenomenolgicas. Dichas expresiones se conocen, generalmente, como ecuaciones diferenciales. Se considera que las ecuaciones diferenciales gobiernan el comportamiento de ciertos sistemas o fenmenos y, al ser resueltas, proporcionan una gran cantidad de informacin que permite conocer y analizar la historia, el pre-sente y el futuro de los parmetros involucrados en los objetos de estudio. Es justamente este conocimiento sobre los parmetros lo que permite predecir el comportamiento de los fenmenos estudiados y lo que hace sustantivas a las ecuaciones diferenciales y a los mtodos o tcnicas que sirven para resolverlas.

Estimar el comportamiento es difcil, especialmente cuando se trata de predicciones. Las metas generales del modelado matemtico son:q La comprensin. Obtener una idea general de cmo ocurre un fen-

meno, cules son sus causas y cmo se relaciona con otras partes del sistema natural al que pertenece.

q La explicacin. Intentar ir ms all al explicar por qu el fenmeno o el proceso en cuestin sucede de una manera u otra.

q La prediccin. Ser especfico al establecer lo que le suceder a un sistema bien definido en el futuro si se cumplen ciertas condiciones.

q La retrodiccin. En algunas reas de la ingeniera se obtiene una prediccin del pasado cuando se extraen conclusiones relativas a la historia todava inexplorada de un proceso o fenmeno.

1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemticos

El modelo matemtico es la ecuacin o el conjunto de ecuaciones, usual-mente en derivadas parciales, donde se plasma la teora del modelo con-

8Captulo 1

ceptual. Dentro de la computadora, el modelo matemtico constituye la entidad abstracta que sustenta numricamente al comportamiento idea-lizado del sistema real, y si bien todo modelo es perfectible y su grado de dificultad puede elevarse tericamente hasta el infinito, esa complejidad puede ser bloqueada en la prctica por la carencia de datos medidos y por las capacidades siempre limitadas de las computadoras, aun las ms poderosas.

Cabe sealar que las ecuaciones del modelo matemtico son suposiciones en tanto que definen el comportamiento supuesto de un continuo ideal. Aunque matemticamente toda hiptesis constitutiva presentada en forma de ecuacin es una definicin, en realidad se llega a ella por medio de eviden-cias fsicas fortalecidas con mediciones experimentales. Es por esto que a las ecuaciones constitutivas del modelo se les considera leyes fenomenolgicas, las cuales abarcan procesos de excitacin y respuesta del sistema natural. Es importante indicar que es muy escasa la probabilidad de determinar todos los aspectos de alguna teora sin recurrir a la praxis de la fsica.

Como ya se mencion, la formulacin de un modelo matemtico im-plica, en trminos generales, tanto identificar los parmetros o variables de cambio en un sistema como establecer el conjunto de hiptesis razonables acerca del sistema en cuestin. Dichas hiptesis suelen consideran el ritmo del cambio de uno o ms de los parmetros involucrados. El enunciado matemtico de esas hiptesis lo constituyen una o ms ecuaciones donde intervienen derivadas; es decir, ecuaciones diferenciales.

El proceso de modelado sigue, en esencia, el siguiente orden:

1. Identificacin de variables. Establecer la notacin matemtica.2. Determinacin de las leyes empricas que se pueden aplicar. Establecer

las hiptesis del sistema estudiado. 3. Planteamiento de las ecuaciones.

1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemtico

1.4.1 Ejemplo 3. Problema de calentamiento de una esfera de hielo

Considere una esfera de hielo que se derrite a un ritmo proporcional al rea


de su superficie. Hay que encontrar una expresin para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo.

1. Identificacin de las variables:q Incgnita: volumen (eficacia del tiempo).q Notacin matemtica.

2. Las leyes empricas que se pueden aplicar:q En los datos se indica que la esfera se derrite a un ritmo proporcional

al rea de su superficie; es decir, el volumen de la esfera cambia a un ritmo proporcional al rea de su superficie.

q El ritmo de cambio del volumen es la derivada de " con respecto al tiempo:

q La expresin de la ley en notacin matemtica: es el radio de la esfera, # = constante.

3. Planteamiento de la ecuacin con la incgnita". Se sabe que el volu-men de la esfera es:

Entonces, resolver para #:

Y al sustituir # en la derivada:

Esta es la expresin que proporciona el cambio del volumen con res-pecto al tiempo; es decir, la ecuacin diferencial que gobierna el compor-tamiento de la esfera y su reduccin de volumen a un ritmo proporcional a su superficie.

Durante el proceso de modelado se presentan frecuentemente condi-ciones adicionales que se deben aadir al problema planteado. El problema presentado a continuacin ejemplifica dicha situacin.

10

Captulo 1

1.4.2 Ejemplo 4. Determinacin de la temperatura de un objeto some-tido a una fuente de calor en un momento determinado

Un termmetro marca la temperatura de un sistema en 80 C; se mide tam-bin la temperatura del medio, la cual es de 20 C. El sistema se empieza a enfriar y, tres minutos despus, se encuentra que el termmetro marca 75 C. Se desea predecir la lectura del termmetro para varios tiempos poste-riores y, por lo tanto, se requiere determinar la ecuacin del enfriamiento en funcin de los valores dados.

1. Identificacin del problema: $. representa la temperatura marcada por el termmetro, los datos indican que cuando = 0.0, = 80.0, y cuando = 3.0 min, = 75 C.

2. Leyes empricas que gobiernan el problema. De acuerdo con la ecuacin de la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variacin de la temperatura con el tiempo es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas,

3. Notacin matemtica: ! es proporcional a la diferencia de tempe-raturas ( 20.0). Puesto que la temperatura que marca el termmetro est decreciendo, entonces () resulta la constante de proporcionali-dad. As, debe ser determinada a partir de la ecuacin diferencial y, por lo tanto, necesitamos conocer las lecturas del termmetro en dos tiempos diferentes, dado que hay dos constantes a determinar: de la ecuacin de enfriamiento de Newton y la constante de integracin que se encuentra en la solucin de la misma.

4. Condiciones adicionales.

Y transcurrido cierto tiempo de enfriamiento,

Debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 C, de la ecuacin 1.1 se sigue que:

11


Entonces, la condicin indica que 80 = 20 + y, por lo tanto, la cons-tante de integracin es = 60, de modo que la ecuacin anterior resulta:

El valor de ser determinado ahora usando la condicin: para = 3.0,

= 75 C, por lo que, con la ecuacin anterior, se obtiene:

De esta ecuacin se obtiene que ! %&% Por consiguiente:

Entonces, sustituyendo se obtiene la siguiente expresin:

Ecuacin con la que se puede determinar la temperatura en un momen-to dado y, por consiguiente, al conocer la temperatura, tambin permite hallar el tiempo de enfriamiento transcurrido.

1.4.3 Ejemplo 5. Planteamiento de un problema cotidiano de un objeto sometido a una fuente de calor

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 148 C. Tres minutos despus, su temperatura es de 93 C. Se requiere conocer la temperatura del pastel a un tiempo determinado. Considere una temperatura ambiente de 21 C.

1. Identificacin de las variables: temperatura en funcin del tiempo.2. Ley emprica: la ley de enfriamiento de Newton que seala que la ve-

12

Captulo 1

locidad con que la temperatura cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea.

3. Notacin matemtica: !4. Condiciones adicionales: '

1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales

En esta seccin se presenta una introduccin a la deduccin de las ecuacio-nes diferenciales a partir de algunas situaciones fsicas de sistemas o fen-menos fsicos. Adems, se revisan los pasos del modelado matemtico para hacer un planteamiento matemtico y obtener su solucin, as como para realizar la interpretacin fsica del resultado. Esta seccin se orienta al mo-delado de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales.

1.5.1 Ejemplo 6. Clculo de la concentracin de sal en un tanque con entrada y salida de salmuera

Un tanque se est llenando con salmuera a un ritmo de ( unidades de volumen por segundo; al mismo tiempo, ) unidades por segundo son bom-beadas fuera del tanque. Se supone que la concentracin de salmuera es unidades de masa por unidad de volumen.

A un tiempo

, el volumen de salmuera del tanque es "

y contiene *

unidades de masa de sal. Cul es la cantidad de sal en el tanque en un tiempo determinado , asumiendo que el contenido del tanque est bien mezclado?

1. Definicin de la notacin:q Sea la cantidad de sal en un tiempo determinado .q Sea " el volumen de salmuera en un tiempo determinado .

2. Las leyes fsicas que gobiernan el problema:q Conservacin de volumen de salmuera.q Conservacin de masa de sal.

3. El balance de masa de sal en el tanque: q La sal que se tire por segundo: ac (unidades de masa unidades de

tiempo).

13


q La sal que contendr el tanque ser:

q La conservacin del volumen de salmuera:

q La conservacin de masa de sal. El cambio de la cantidad de sal con respecto al tiempo:

Al sustituir + en la ecuacin anterior, se obtiene la siguiente ecuacin lineal:

Ec. 1.a

En el caso particular de que el ritmo de entrada de salmuera por segundo fuera igual al ritmo de volumen de fluido de salida, (), la solucin sera:

Ec. 1.b

La ecuacin 1.a representa el modelo matemtico del problema fsico del tanque llenado con salmuera con una extraccin determinada, mientras que la ecuacin 1.b representa un caso particular del problema. Como un ejemplo numrico se tiene que si "

l, entonces

,

.

Ec. 1.c

Ahora bien, si despus de 100 minutos suponemos que del tanque se empieza a fugar un litro de salmuera adicional por minuto, determinemos cunta sal permanecer en el tanque doce horas despus del inicio de la fuga.

Se tiene que resolver una ecuacin diferencial diferente, ahora con los parmetros )- (- "

-

:

14

Captulo 1

Ec. 1.d

Y como se tiene como condicin inicial, se sustituye en la ecua-cin 1.c:

Ec. 1.e La solucin general de la nueva ecuacin es:

Con la condicin inicial C.I,.%/ se obtiene la constante :

Y despus de doce horas, 0 minutos.

La solucin se representa con una parbola con un mximo

.&% 1%0 2 , . Cuando , el tanque est vaco y la ecuacin diferencial no constituye una descripcin vlida del proceso fsico. La concentracin en un tiempo 3 3 es:

La cual converge a 1 conforme 5 .

1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del ujo de calor en una barra por medio de una ecuacin diferencial parcial de un objeto sometido a una fuente de calor

Considere que se tiene un experimento dividido en los siguientes pasos:

15


1. Se inicia con una barra de cobre de una longitud razonable ( 6) de 2 cm de dimetro, cuyos lados laterales (pero no los extremos) estn cubiertos con material aislante. En otras palabras, el flujo de calor puede entrar y salir de la barra por los extremos, pero no por la superficie lateral.

2. La barra se encuentra en un ambiente con una temperatura fija (en

C) durante un tiempo suficientemente largo para que el comporta-miento de la temperatura est en un rgimen permanente similar al ambiente. Por simplicidad, sea la temperatura del ambiente

=10 C.

3. Se toma la barra y se coloca fuera del ambiente a un tiempo = 0 y se adhieren dos elementos de temperatura (termostatos) en los extremos de la barra. El propsito de estos elementos es mantener los extremos de la barra a temperaturas especficas

y

(sea

= 0 C y

= 50 C). En

otras palabras, los termostatos monitorean constantemente la tempera-tura en los extremos de la barra y aseguran los valores de temperatura asignados en los extremos. El experimento se ilustra en la figura 1.1.

4. Se monitorea el perfil de temperatura de la barra en algn tipo de display.

Figura 1.1 Diagrama esquemtico del experimento

T1 T2

T1

T0

T2

L

u

Estado estacionario

Elemento que asegurala temperatura en el extremo izquierdo

Elemento que asegura la temperatura en el extremo derecho

16

Captulo 1

1.5.3 Modelado matemtico de un experimento de ujo de calor

La descripcin de este problema fsico requiere tres tipos de ecuaciones:1. Una ecuacin diferencial parcial que describa el fenmeno fsico del

flujo de calor; esto es, la Ley de Fourier de flujo de calor por conduccin.2. Las condiciones de frontera que describan la naturaleza fsica del proble-

ma en los extremos.3. La condicin inicial que describa el fenmeno fsico al inicio del experi-

mento.

La ecuacin bsica en una dimensin que describe el flujo de calor a travs de la barra es:

Ec. 1.f

La cual relaciona las cantidades presentadas a continuacin.

: Ritmo de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, medido

en grados/seg.

: Concavidad del perfil de temperatura -, la cual compara, esencialmente, la temperatura en un punto con la temperatura en los puntos vecinos.

La derivacin de esta ecuacin se presentar en el captulo II. Esta ecuacin indica simplemente que la temperatura, -, en algn punto de la barra y ( en algn momento se incrementa

0 o disminuye

0 de acuerdo con el valor, positivo o negativo, de la parcial

. La

figura 1.2 ilustra el cambio de temperatura a diferentes puntos a lo largo de la barra.

17


Figura 1.2 Cambio de temperatura de acuerdo con 7

xx

Para ver como

puede interpretarse para medir el flujo de calor, se supone una aproximacin de

por la diferencia del cociente:

Ec. 1.g

Se tiene la siguiente interpretacin de

:1. Si la temperatura - < que el promedio de la temperatura de dos

puntos vecinos, entonces

> 0. Aqu el flujo neto de calor en es positivo.

2. Si la temperatura - es igual al promedio de dos temperaturas co-rrespondientes a puntos vecinos, entonces

= 0. En este caso, el flujo

de calor en es igual a cero.3. Si la temperatura - > que el promedio de las temperaturas de dos

puntos vecinos, entonces

< 0. En este caso, el flujo neto de calor en es negativo. Esto se ilustra en la figura 1.2.

u(x- )x,t

u(x+ )x,t

u(x- x,t)+u(x+ x,t) Promedio de temperatura de 2 puntos vecinos

u

x

2

u(x,t)

Perfil de Temperatura al tiempo t

18

Captulo 1

Es decir, si la temperatura en un punto > que el promedio de la tem-peratura en dos puntos vecinos 9 2 9, entonces la temperatura en decrecer. Adems, el ritmo exacto del decremento es proporcional a esta diferencia. La constante de proporcionalidad es una propiedad del material que no se discutir en este texto.

En cuanto al tipo de ecuaciones llamadas condiciones de frontera, se puede decir que todos los problemas fsicos tienen condiciones de frontera de algn tipo. Se tiene que describir matemticamente lo que existe en los extremos para describir adecuadamente el problema fsico.En el experimento referido, las condiciones de frontera, CFI y CFE, se pueden deducir fcilmente a partir de las temperaturas que quedaron fijas para todo : en

y

en los dos extremos y ; por lo que

se puede escribir,

Ec. 1.h

Con relacin a las condiciones iniciales, tambin se puede mencionar que todos los problemas fsicos deben iniciar en un valor de tiempo, gene-ralmente llamado tiempo inicial, . Es en este tiempo donde se tiene que especificar el problema fsico. En el caso del experimento en cuestin, se inicia el monitoreo de la temperatura justo en el tiempo en el que la barra pierde su temperatura constante de

. Entonces se puede escribir:

Ec. 1.i

Ahora est descrito matemticamente el experimento. Si se escriben las ecuaciones juntas, se tiene un problema de valores iniciales y de frontera, PVIF; es decir:

19


El conjunto de las cuatro ecuaciones (la ecuacin que gobierna el flujo de calor, en este caso, las dos condiciones de frontera y la condicin ini-cial) constituye la formulacin matemtica o planteamiento matemtico del experimento y se le conoce como el problema de valores iniciales y de frontera, o PVIF, del experimento.

Cabe sealar que slo existe una funcin - que satisface el pro-blema 1.5.2 y que esta funcin describe la temperatura de la barra. El pro-blema despus ser encontrar la solucin nica -. En los siguientes captulos se revisarn los elementos necesarios para encontrar la solucin nica a este problema y a otros similares.

1.6 Esquema general del planteamiento matemtico de un problema fsico

Con la finalidad de ilustrar de forma sencilla los pasos a seguir en el planteamien-to matemtico de un pro-blema del mundo real, a continuacin se presenta un diagrama de bloques que representa el procedi-miento de modelado ma-temtico.

Figura 1.3 Diagrama debloques del procedimientode modelado matemtico

Concebir la forma

La

!

"

NO

S

20

Captulo 1

1.7 Categoras de modelos matemticos

Los modelos matemticos pueden clasificarse de acuerdo con sus formas matemticas, como sigue:q Modelos determinsticos y modelos estocsticos, dependiendo de la

aleatoriedad de las variables que aparezcan en el modelo.q Modelos lineales y modelos no lineales, dependiendo del tipo de las

ecuaciones del modelo.q Modelos estacionarios y modelos dinmicos, dependiendo de la inclu-

sin de la variable tiempo.q Modelos de parmetros concentrados (condensados) y modelos de par-

metros distribuidos, dependiendo de la inclusin de las variables espa-ciales.

En ingeniera de yacimientos es preferible el modelado de parmetros distribuidos porque este tipo de modelos es ms general, ms aproximado y ms adecuado para los propsitos de planeacin y administracin de la explotacin de los yacimientos. Un modelo de parmetros distribuidos se describe con una ecuacin diferencial parcial o con un conjunto de ecua-ciones diferenciales parciales. Por ejemplo, se puede tener un modelo deter-minstico, no lineal y transitorio.

1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad

Dada la complejidad de muchos de los sistemas naturales que se requieren representar por medio de un modelo, en aquellos cuyo tratamiento matem-tico exacto es prcticamente imposible, surge la necesidad de introducir la nocin de modelo conceptual, que es el enfoque ms poderoso para abstraer y simplificar los fenmenos naturales. En esta categora, el sistema natural original se reemplaza con un sistema ficticio ms simple o esquema, que puede ser representado por medio de un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales definidas en un espacio matemtico que representa virtualmente el espacio real en donde ocurre el fenmeno a modelar.

Una vez que el modelo conceptual ha sido establecido, los principios bsicos de la fsica y los procedimientos matemticos que se apliquen con-

21


ducirn directamente a una teora que describa el fenmeno investigado de manera aproximada. El sistema natural debe obedecer las leyes fsi-cas y qumicas, y estas tambin deben regir el comportamiento qumico, mecnico y termodinmico del sistema esquematizado. Dichas leyes y su expresin en ecuaciones contienen varios parmetros, por ejemplo, en el caso de los yacimientos petroleros estn la porosidad, la permeabilidad, la conductividad trmica y la compresibilidad, todas ellas relacionadas con las propiedades del sistema real.

Otro concepto clave en el arte de modelar es la nocin de escala, la cual interviene en el grado de simplificacin del modelo. Siempre hay un punto en el cual debe detenerse el detalle del modelado. No es posible estudiar la termodinmica de un fluido a partir de las interacciones cunticas entre las partculas elementales que forman sus molculas o calcular la deforma-cin de una roca describiendo los quarks de sus tomos. De ser factible su elaboracin, tal modelo sera inimaginable y, por tanto, intil. Al resultado final proveniente de esquematizar, escalar y simplificar las caractersticas y el comportamiento del sistema real se le denomina modelo conceptual.

Toda teora para modelar un sistema determinado tiene que especificar los siguientes puntos:q Dominio y validez. Dnde se aplica?q Precisin. Qu tan bien reproduce lo observado?q Complejidad. Cuntas ecuaciones y procesos abarca?

El aspecto ms prctico del modelo conceptual es su grado de compleji-dad, el cual se refiere al nmero de postulados, relaciones y parmetros que necesitan especificarse a priori para obtener respuestas nicas y predecibles del modelo. Cuando no se pueden determinar todos los parmetros, ni siquiera de manera aproximada, la estrategia consiste en reducir la com-plejidad, aun a costa de una precisin y un campo de aplicacin reducidos. Aqu interviene otra vez la nocin de escala.

A continuacin se resumen las caractersticas bsicas de un buen mo-delo conceptual:q La complejidad del modelo conceptual debe ser directamente propor-

cional a la cantidad de datos disponibles. Se debe escoger el modelo ms simple que reproduzca toda la informacin medida.

22

Captulo 1

q No se deben introducir complejidades tericas para las cuales no se ten-gan datos medidos. La aparicin posterior de informacin nueva indica en qu direccin es conveniente refinar o elaborar ms el modelo.

q La simplificacin no debe ser exagerada, ni debe llegarse al punto de eli-minar las caractersticas fundamentales. Un modelo demasiado simple slo proporcionar anlisis igualmente simplistas.

q El modelo no debe tener tendencias; por ejemplo, no debe reproducir un tipo de datos a expensas de otro.

q El modelo debe reproducir con el mismo rango de precisin todos los grupos de datos disponibles. Un modelo que calibra con precisin slo cierto tipo de informacin, slo est validado parcialmente.

q El modelo debe verificar y reproducir primero los datos observados y medidos, hasta donde sea posible. La informacin medida o calculada debe calibrarse con el modelo en un segundo paso con el fin de evitar que se filtren tendencias al incorporar los datos interpretados usualmen-te con otros modelos. Incluso el suavizar los datos medidos puede borrar informacin relevante.

En general, modelar es comprender. A mejores y ms representativos modelos matemticos corresponde una comprensin ms completa del fe-nmeno estudiado. Del conocimiento sobre el sistema, procedente de la observacin y de la medicin, slo puede abstraerse la parte de su compor-tamiento susceptible de ser modelada con una teora aceptada. La actividad de modelar se refiere a la formalizacin de un procedimiento; sin embargo, esta formalizacin no es nica, pues depende inevitablemente de las teo-ras que la sustentan y de la informacin disponible. Todo modelo tiene limitaciones inherentes y debe verificarse con la realidad fsica observable. Dependiendo de qu tan adecuadas resulten sus predicciones de esa reali-dad, se hablar de la precisin del modelo y del rango de su aplicacin. El mejor modelo ser aquel que, para el mismo dominio simulado, prediga la conducta del sistema con ms precisin dentro del rango de incertidumbre de los datos medidos. Es por esto que, aplicado a mediciones imprecisas e incorrectas, el tipo de modelo no tiene ninguna importancia.

23


1.9 Modelado matemtico de yacimientos

El estudio y la comprensin de los procesos de transporte que ocurren en sistemas naturales fracturados, tales como acuferos, yacimientos petroleros y geotrmicos, es relativamente reciente. Desde hace aproximadamente 40 aos se han desarrollado mtodos de investigacin basados tanto en modelos matemticos-analticos y numricos como experimentales para tratar de com-prender los complicados mecanismos de flujo presentes en tales escenarios.

En este tipo de sistemas, el problema principal radica en la dificultad para representar con precisin las dimensiones y la distribucin espacial de propiedades del medio como la permeabilidad, la porosidad, el fractura-miento, etc. La comprensin cabal de estas propiedades requerira conocer la forma en la que fueron creadas por procesos geolgicos y tectnicos de naturaleza aleatoria. En el comportamiento de los yacimientos, tanto el transporte de masa, de cantidad de movimiento y de energa, como la dis-tribucin de los parmetros petrofsicos, juegan un papel de gran relevan-cia. Es por ello que en este texto se consider necesario dedicar los captulos 4 y 5 a revisar conceptos indispensables para la formulacin de problemas de flujo en yacimiento. En el captulo 4 se revisan los conceptos bsicos de los fenmenos de transporte mientras que en el captulo 5 se revisan los preliminares de la ingeniera petrolera junto con los conceptos necesarios para la comprensin de la fenomenologa de un problema de flujo de fluidos en yacimientos.

La limitante ms importante en el desarrollo cientfico general de la in-geniera de yacimientos es la escasez de datos en unas reas y su abundancia en otras. En esta disciplina siempre se trabaja con informacin incompleta y con incertidumbre. Tampoco es posible elaborar maquetas fsicas que representen globalmente el yacimiento. Se tienen dudas incluso sobre cmo ligar los datos obtenidos en la medicin directa en los ncleos de la forma-cin con las propiedades del yacimiento mismo. Existen tcnicas, como las pruebas de variacin de presin y las pruebas de trazadores, que propor-cionan informacin a nivel megascpico que resultan ms confiables pues analizan el yacimiento de manera global en vez de en fragmentos pequeos. Lo mismo puede decirse de la simulacin numrica de yacimientos, con la cual se puede obtener la descripcin integral detallada del yacimiento,

24

Captulo 1

reproduciendo los datos conocidos. Una vez lograda la aproximacin de-tallada del yacimiento, se puede extrapolar la informacin y predecir el futuro del comportamiento del sistema, sujetos a diferentes condiciones o escenarios de explotacin, bajo distintos procesos, riesgos y grados de incer-tidumbre. Los avances logrados en estos aspectos son la base de la ingenie-ra de yacimientos petroleros. A continuacin se presenta el procedimiento general del modelado de problemas en ingeniera petrolera.

1.9.1 Procedimiento general del modelado matemtico de problemas de ingeniera petrolera

1. Enfoque del problema: q Reconocimiento de las variables (presin, temperatura, gasto, etc.).

2. Simplificacin del problema:q Rgimen estacionario, fluido ligeramente compresible, presin cons-

tante, gasto constante.3. Formulacin del problema:q Dependencia de una variable con respecto a otra.

4. Solucin (No. de incgnitas = No. de ecuaciones):q Mtodo analtico.q Mtodos numricos.

5. Validacin de la solucin.6. Utilizar la solucin.7. Desarrollar procedimientos de caracterizacin del sistema.

Puesto que el enfoque principal de este texto es el planteamiento mate-mtico y la solucin analtica de problemas valores iniciales y de frontera de ingeniera petrolera, los captulos a continuacin se limitan a desarrollar los primeros cuatro pasos del procedimiento anterior, considerando exclusiva-mente los mtodos de solucin analtica.

Captulo 2

Principios de los fenmenos de transporte

En este captulo se presenta una breve introduccin al campo de los fen-menos de transporte en el que se revisan tres mecanismos principales: transporte de cantidad de movimiento (flujo viscoso), transporte de calor (slo conduccin) y transporte de masa (difusin). El medio a travs del cual se transportan estos fenmenos es un medio continuo. La finalidad de esta seccin es presentar los conceptos de los mecanismos de transporte y las leyes fundamentales que rigen cada uno de los procesos, para garantizar, as, la comprensin cabal del lector necesaria para el desarrollo de las ecua-ciones de flujo en medios porosos de los captulos subsecuentes. Por ejem-plo, para el desarrollo de la ecuacin conocida como ecuacin de difusivi-dad se requiere la ecuacin de transporte de cantidad de movimiento, o bien, para la derivacin de la ecuacin de flujo msico de un trazador en un medio poroso se requiere la ecuacin de continuidad y la de transporte de masa por difusin. Lo anterior es una muestra de que el entendimiento de los conceptos y principios bsicos de las tres formas de transferencia es, definitivamente, muy importante.

En este captulo tambin se presentan los principios fundamentales de los mecanismos de transporte de cantidad de movimiento (momentum), calor y masa. En primer trmino, se revisan algunos conceptos fundamen-tales, como la definicin de fluido, y se presenta una sucinta discusin sobre las tendencias moleculares y del medio continuo; luego se describe el estado de deformacin de los fluidos. Una vez revisados los conceptos fundamen-tales, se describen los mecanismos de transporte a nivel molecular de las tres formas de transferencia.

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Captulo 2

Objetivo

Presentar los elementos preliminares de los mecanismos de transporte necesarios para comprender el desarrollo de las ecua-ciones que gobiernan el ujo de uidos en yacimientos petroleros presentadas en los siguientes captulos. Para alcanzar este objeti-vo, es necesario utilizar las ecuaciones de conservacin, como la de continuidad y la de movimiento, entre otras. En este captulo slo se revisan los principios bsicos de los tres tipos de transfe-rencia de manera resumida y se presenta una analoga entre ellas.

2.1 Conceptos fundamentales

El contenido de este captulo se enfoca en el movimiento de los fluidos viscosos. La propiedad fsica que caracteriza la resistencia de un fluido a fluir es la viscosidad y esta, a su vez, est definida por la ley de Newton de la viscosidad, la cual ser revisada ms adelante. Partiendo de lo anterior, presentaremos primero la definicin de fluido y, posteriormente, las dos tendencias de estudio de este libro: molecular y continuo.

Fluido. Es aquella sustancia que se deforma continuamente bajo la accin de un esfuerzo; es decir, que fluye. Existen dos tipos de fluidos: los lquidos y los gases.

Figura 2.1 Deformacin continua de un fluidobajo la accin de un esfuerzo

2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo

El estudio de la transferencia de cantidad de movimiento atae tanto a los fluidos en movimiento como a las fuerzas responsables de este movi-miento. En este estudio existen dos formas de analizar los problemas:

t1

t2F FlujoFluido

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q Tendencia molecular. Los fluidos, al igual que todas las sustancias en la naturaleza, estn compuestos por molculas que, en cantidades muy altas forman grupos que, a su vez, dan origen a los diferentes elementos y compuestos presentes en el medio ambiente. As, por ejemplo, tan slo en una pulgada cbica de aire a condiciones ambiente se estima que existen alrededor de 1020 molculas, con lo cual resulta evidente la im-posibilidad de describir y predecir los movimientos individuales de las diferentes molculas que componen un fluido. Incluso en la teora cin-tica de los gases y en la mecnica estadstica, los movimientos molecu-lares se describen en trminos de agrupamientos estadsticos, ms que en trminos de molculas individuales.

q Tendencia del medio continuo. En este caso, el fluido se trata como un cuerpo en el que existe una distribucin continua de materia (conti-nuum). Se considera que el volumen de control ms pequeo que pueda tomarse del fluido contendr un nmero suficiente de molculas como para que cualquier promedio estadstico tomado en l sea vlido; as, las propiedades macroscpicas de un medio continuo variarn ligeramente y de forma continua de un punto a otro del fluido. Este concepto no sera vlido si en un volumen lo suficiente pequeo el nmero de mol-culas por unidad de volumen contenidas fuera dependiente del tiempo, aun cuando a nivel macroscpico el nmero de molculas contenido en un volumen mayor resultara constante.

En este texto se utiliza la tendencia del medio continuo ya que es la de inters inmediato para resolver el tipo de problemas que aqu se tratan; sin embargo, es necesario enfatizar que ambas tendencias son necesarias para completar el estudio de los mecanismos de transporte y para describir las propiedades de los fluidos, as como para el estudio de los diferentes pro-blemas que aqu se tratan.

2.1.2 Sistemas termodinmicos

Existe una serie de conceptos de uso comn en termodinmica que ser de gran utilidad al estudiar los procesos de transferencia. A continuacin se presenta un breve repaso.

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Captulo 2

Sistema. Es la parte del universo que se asla para estudiar un proceso de inters.

Contorno o lmites. Son las superficies que separan al sistema de sus alrededores. Pueden ser superficies fsicas o matemticas. Cabe mencionar que el contorno o los lmites de un sistema pueden ser superficies reales o imaginarias. Normalmente, el contorno queda definido mediante la sus-pensin de la continuidad de una propiedad del sistema.

Alrededores. Es el mundo fsico que no est comprendido ni en el siste-ma ni en el contorno.

Se puede establecer una primera clasificacin de los sistemas a partir de sus alrededores: q Sistema completamente aislado. Se obtiene cuando no existe transferen-

cia de masa ni de ninguna forma de energa entre el sistema y sus alre-dedores.

q Sistema trmicamente aislado. Puede existir intercambio de masa u otra forma de energa, mientras no sea trmica, con los alrededores.

q Sistema mecnicamente aislado. Tiene contornos rgidos y de volumen constante. No puede dar ni recibir trabajo.

q Sistema cerrado. No existe transferencia de masa con los alrededores.q Sistema abierto. Existe intercambio tanto de masa como de energa en-

tre el sistema y sus alrededores.

Estado de un sistema. El estado de un sistema queda definido por la magnitud de sus propiedades y por la condicin que guardan en un mo-mento dado; as, quedar definido por ciertas magnitudes medibles como masa, volumen, presin y temperatura.

Por estado de equilibrio de un sistema se entiende la invariabilidad de las propiedades del sistema con respecto al tiempo. Las variables que go-biernan un proceso determinado estn ligadas por medio de una interrela-cin que se denominar ecuacin de estado, la cual puede definirse como la relacin matemtica que existe entre las propiedades puntuales del sistema en estado de equilibrio.

Las propiedades puntuales del sistema poseen las siguientes caracte-rsticas:

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q El cambio en estas propiedades puede expresarse mediante una diferen-cial total.

q La diferencial total debe ser una diferencial exacta y se define as:

Sea una funcin ; -,, entonces su diferencial ser:

Ec. 2.1

Por otra parte, se tiene:

Ec. 2.2

Donde debe cumplirse la condicin:

Ec. 2.3

Al expresarse una variable (propiedad) del sistema en funcin de las restantes, tendremos lo que se denominan grados de libertad del sistema. Si la propiedad del sistema que nos ocupa en un momento dado cumple con las condiciones de las ecuaciones 2.2 y 2.3, la forma en la que pase de un estado inicial a uno final es intrascendente; es decir, es independiente del camino seguido.

Las propiedades de un sistema pueden dividirse en dos clases:

q Propiedades intensivas. Son aquellas propiedades independientes de la cantidad de materia contenida dentro del sistema; por ejemplo: tempe-ratura, presin y densidad.

q Propiedades extensivas. Son aquellas cuyos valores son directamente proporcionales a la masa del sistema. As, el volumen total de un siste-ma es una propiedad extensiva; otros ejemplos son la masa y el nme-ro de moles. En general, al dividir una propiedad extensiva por la masa, se convierte en una propiedad intensiva; por ejemplo, el volu-men especfico.

Captulo 3

Preliminares de las ecuaciones diferenciales parciales

Este captulo revisa los conceptos bsicos de las ecuaciones diferenciales. En primer trmino se presentan los conceptos relacionados con las ecua-ciones diferenciales ordinarias, EDO, y, en segundo, los conceptos de las ecuaciones diferenciales parciales, EDP. Cabe sealar que slo se incluyen los conceptos bsicos de las ecuaciones diferenciales que la autora conside-ra necesarios para la comprensin de los captulos subsecuentes. Este ma-terial pertenece a un curso elemental de ecuaciones diferenciales y es estric-tamente opcional.

Las dos secciones de este captulo estn dedicadas a la introduccin tanto de las EDO como de las EDP, ecuaciones de primer y segundo orden, prin-cipalmente. Se introducen conceptos como linealidad y superposicin, as como los mtodos de solucin de las ecuaciones diferenciales, tanto homog-neas como no homogneas, y algunas tcnicas de las ecuaciones y problemas de valores en la frontera. Se derivan tambin, a manera de ejemplo, algunas formas de equilibrio de ecuaciones bien conocidas, como la ecuacin de ca-lor. La finalidad de los ejemplos es presentar algunas aplicaciones sencillas antes de entrar de lleno a las aplicaciones objeto de este libro, los problemas de valores iniciales y de frontera frecuentes en la ingeniera petrolera; es decir, esencialmente problemas de flujo de fluidos en tuberas y medios porosos, cuyas ecuaciones fundamentales corresponden a EDP de segundo orden.

Es por lo anterior que en la primera seccin se presentan los conceptos de las EDO con base en las definiciones respectivas, en tanto que la presen-tacin de los preliminares de las EDP aparece en la segunda parte y con ejemplos de aplicacin.

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Captulo 3

Objetivo

Resumir los preliminares matemticos necesarios requeridos para la comprensin de los siguientes captulos. A manera de introduccin se presentan los conceptos tericos y las principa-les tcnicas de las ecuaciones diferenciales parciales y de pro-blemas de valores en la frontera, los cuales son de vital impor-tancia para los temas centrales del libro.

3.1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales ordinarias Este texto se enfoca en las ecuaciones diferenciales parciales: su significado fsico, los problemas en los cuales aparecen y sus soluciones. Una de las principales tcnicas de solucin consiste en separar el problema de las ecuaciones diferenciales parciales en problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por lo tanto, es necesario revisar algunos aspectos de las ecua-ciones diferenciales ordinarias y sus soluciones.

La siguiente ecuacin es una ecuacin diferencial ordinaria, EDO, sobre el intervalo (

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Se puede verificar que la ecuacin 3.3 satisface, en efecto, el requeri-miento de linealidad de la ecuacin 3.2.

Un ejemplo de un operador diferencial no lineal es:

Donde se denota, por abreviar:

Aplicando a = una combinacin lineal arbitraria + se obtiene:

Aqu se observa claramente que lo que encierran los corchetes no es idnticamente igual a cero para cualesquiera valores de - ,+>- por lo que = no satisface el requerimiento de linealidad de la ecuacin 3.2. Por lo tanto, el operador = no es lineal. Esto, por supuesto, no es una sorpresa, ya que claramente no tiene la forma de la ecuacin 3.3.

Ahora, si se consideran condiciones de frontera asociadas con la ecua-cin 3.1, como es de ensimo orden, se requieren condiciones de fron-tera. De forma general se puede escribir:

Ec. 3.4

Donde ? son constantes y

? pueden ser funciones de las incgnitas;

es decir, ;. El conjunto de todos los valores de para cada se define sobre el intervalo (-) de un eje . La funcin ; asigna un valor numrico ; a un punto en el eje ;. La totalidad de los puntos de ; se co-noce como rango de ;.

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Captulo 3

Para aadir precisin, el inters principal est en las ?, las cuales son

combinaciones lineales de y sus derivadas de orden 1 en los extremos o en las fronteras del dominio (-).

Por ejemplo, si = 2, se tiene:

Se dice que y

son funcionales lineales porque cumplen con el re-

querimiento de linealidad de la ecuacin 3.2; es decir:

Para cualesquiera constantes y funciones arbitrarias - - 2 +.Cabe notar que el trmino operador diferencial se refiere slo a y que

el trmino operador diferencial total, denotado por @, incluye tanto al operador lineal, , como a las condiciones de frontera A?, por lo que am-bos tienen que ser lineales.

3.1.1 Ecuaciones lineales homogneas

El inters principal lo constituyen las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Se presentan las siguientes ecuaciones:

Ec. 3.5

Ec. 3.6

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Si ; en cualquiera de las dos ecuaciones, la ecuacin diferencial es homognea. Otra prueba consiste en determinar si la funcin constante B0 es una solucin; en ese caso, la ecuacin es homognea. Es decir que se requiere que la ecuacin sea igual a cero para ser homognea.

En las siguientes secciones se revisan las ecuaciones lineales homogneas.

3.1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden

La forma general de la mayora de las ecuaciones lineales homogneas de primer orden es:

Ec. 3.7

Esta ecuacin puede resolverse al separar de un lado de la ecuacin e integrando:

Ec. 3.8

Es sencillo verificar que la expresin de la ecuacin 3.8 es una solucin de la ecuacin diferencial para cualquier valor de ; esto es, es una cons-tante arbitraria y puede usarse para satisfacer la condicin inicial, en el caso que se especifique.

3.1.3 Ejemplo 1. Solucin de una ecuacin diferencial homognea

Resolver la ecuacin diferencial homognea:

Con base en el procedimiento anterior, la solucin general es:

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Captulo 3

Para cualquier . Si se especifica una condicin inicial, por ejemplo = 5, entonces debe ser tal que satisfaga la solucin = 5.

El caso ms comn de esta ecuacin diferencial tiene constan-te. La ecuacin diferencial y su solucin son:

Si es negativo, entonces se aproxima a cero conforme se incre-menta. Si es positivo, entonces se incrementa rpidamente en mag-nitud de acuerdo a .

3.1.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden

No es posible dar un mtodo de solucin general para una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden como la siguiente:

Ec. 3.9

No obstante, se pueden resolver algunos casos importantes detallados a continuacin. El punto ms significativo en la teora general es el principio de superposicin.

3.1.5 Principio de superposicin

Si1 ( y 2 ( son soluciones de la misma ecuacin diferencial lineal homognea de la ecuacin 3.6, entonces cualquier combinacin lineal de las soluciones tambin ser una solucin de la ecuacin diferencial. Esto es:

Ec. 3.10

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Este teorema es muy sencillo de probar y merece ser considerado como un principio porque se aplica, con slo algunos cambios, a muchas otras ecuaciones lineales homogneas. Ms adelante se utilizar de nuevo para las ecuaciones diferenciales parciales.

Para satisfacer una condicin inicial se requieren dos soluciones lineal-mente independientes de una ecuacin de segundo orden. Dos soluciones son linealmente independientes sobre un intervalo nicamente si la com-binacin lineal de ellas (con coeficientes constantes), que es idntica a cero, corresponde a la combinacin con cero para sus coeficientes.

Existe una prueba alternativa: dos soluciones de la misma ecuacin di-ferencial homognea del tipo de la ecuacin 3.10 son independientes si y slo si su wronskiano, C, es distinto a cero en ese intervalo. El wronskiano se define como:

Ec. 3.11

Si se tienen dos soluciones linealmente independientes y

de

una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden, entonces la combinacin lineal de

es una solucin general

de la ecuacin 3.9, dadas cualesquiera condiciones iniciales y

que

satisfaga.Un ejemplo del principio de superposicin es el siguiente. Se tiene una

ecuacin diferencial lineal de segundo orden y sus respectivas condiciones de frontera como en la ecuacin 3.12

Ec. 3.12

La ecuacin 3.12 se puede reescribir sobre el intervalo 0 1 con la forma de las ecuaciones 3.1 y 3.11:

Ec. 3.12 a

Captulo 4

Desarrollo de las ecuaciones bsicas de transporte en yacimientos petroleros

El propsito de este captulo es revisar las matemticas del flujo de fluidos, limitndose a los aspectos bsicos de las principales ecuaciones de flujo en tuberas y medios porosos. En este captulo se muestra cmo formular un problema de flujo de fluidos en yacimientos y se revisa el uso del anlisis matemtico en el planteamiento y la resolucin de problemas de flujo tran-sitorio. Este procedimiento es comn en muchas otras disciplinas como la conduccin de calor en slidos, la hidrologa subterrnea, el transporte de masa, etc.

Las ecuaciones diferenciales aqu presentadas se obtienen combinando la Ley de Darcy con una sencilla ecuacin de balance de materia para cada fase. En este captulo se derivan, primero, las ecuaciones ms simples, aque-llas que describen el flujo monofsico y, despus, paso a paso, las ecuaciones diferenciales parciales, aquellas que describen casos ms complicados, como los multidimensionales, los multicomposicionales y los multifsicos. Cabe resaltar que las soluciones analticas obtenidas con las tcnicas clsicas de solucin de ecuaciones diferenciales parciales se limitan al caso ms sencillo: un yacimiento homogneo con condiciones de frontera muy regulares (como fronteras circulares y un slo pozo en el centro). Para casos ms com-plejos se plantea un sistema de ecuaciones lineales y no lineales que se re-suelven numricamente por medio del modelado numrico.

Un modelado numrico de un yacimiento es un programa de cmputo que usa mtodos numricos para obtener una solucin aproximada del mo-delo matemtico. Cabe sealar que el modelado numrico sale de los obje-tivos de este texto y al lector interesado se le recomienda consultar alguna

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Captulo 4

referencia especializada en el tema, por ejemplo, Azis y Zettari (1979). Sin embargo, dada la importancia de la simulacin numrica de los yacimien-tos, al final de captulo se trata el tema de manera introductoria. Se presen-ta una breve descripcin de los objetivos generales de la simulacin num-rica de los yacimientos, as como las ecuaciones que conforman la base del modelo matemtico de dos tipos de simuladores. La penltima seccin abarca las ecuaciones desarrolladas en los apartados previos para formular el problema de flujo composicional y multifsico. En la seccin final se realiza la simplificacin del caso general a un modelo de aceite negro. Cabe sealar que los mtodos de solucin de las ecuaciones diferenciales parciales que describen casos muy sencillos de flujo de fluidos en yacimientos petroleros se presentan en los captulos siguientes.

Objetivo

La nalidad de este captulo es introducir las ecuaciones funda-mentales de ujo a travs de yacimientos petroleros que se utili-zan en los ejemplos de aplicaciones de los mtodos de solucin de ecuaciones diferenciales parciales presentados en los captu-los siguientes; adicionalmente, se pretende dirigir al lector inte-resado hacia las referencias relevantes sobre el tema.

4.1 Introduccin

En la ingeniera petrolera es muy importante inferir el comportamiento de un yacimiento real a partir de su representacin en un modelo. El modelo del yacimiento puede ser fsico, como un modelo a escala de laboratorio, o matemtico. Para propsitos de este texto, se define un modelo matemtico como el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales aunado al conjunto de condiciones de frontera apropiadas que, se considera, describen adecua-damente los procesos fsicos ms significativos del sistema real en cuestin. Los procesos que ocurren en los yacimientos petroleros son, bsicamente, el de la cantidad de movimiento, debido al flujo de fluidos y a los efectos vis-

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cosos, y el de transferencia de masa; adems, en ciertos casos se presenta el transporte de energa. Hasta tres fases (conocidas en ingeniera petrolera como agua, aceite y gas) fluyen simultneamente en los yacimientos, en tanto que la transferencia de masa ocurre entre las fases (principalmente entre las fases de gas y aceite). La fuerza de gravedad, la capilaridad y la viscosidad juegan un papel muy importante en el flujo de fluidos.

Para introducir estas ecuaciones es necesario conocer algunos conceptos bsicos de mecnica de yacimientos. Para un tratamiento ms completo se recomienda consultar Collins (1961) y Craft y Hawkins (1956). Al recurrir a las ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un yaci-miento es necesario plantear el problema de valores iniciales y de frontera, consistente en la ecuacin diferencial parcial que gobierna el problema y las condiciones iniciales y de frontera correspondientes; una vez planteada la ecuacin, sta se resuelve con alguno de los mtodos de solucin de las ecuaciones diferenciales. Cabe resaltar que las soluciones analticas alcanza-das por medio de las tcnicas clsicas de solucin de ecuaciones diferenciales parciales slo pueden ser obtenidas para el caso ms sencillo, es decir, un yacimiento homogneo con condiciones de frontera regulares.

Se revisan los principios fundamentales de flujo, se discute el desarrollo de la ecuacin de Darcy, se compara con la de Navier-Stokes y se hace hin-capi en las condiciones de su aplicacin. Tambin se revisan algunas ecua-ciones fundamentales de flujo, como la ecuacin de continuidad, basada en el principio de conservacin de masa, y la ecuacin de movimiento, utiliza-da frecuentemente para describir el flujo de fluidos en medios porosos. Fi-nalmente, se discute la construccin de la ecuacin de difusividad, notoria en el mbito de la ingeniera petrolera, la cual gobierna el flujo de un fluido ligeramente compresible en una sola fase en un medio poroso homogneo. Asimismo, se revisan las ecuaciones fundamentales de flujo para el caso ms complejo, el flujo multifsico composicional, el cual slo puede resolverse con mtodos numricos, mediante la simulacin numrica de yacimientos.

4.2 Principios fundamentales del ujo del agua en medios porosos

La Ley de Darcy describe, a partir de experimentos de laboratorio, las carac-tersticas del movimiento del agua a travs de un medio poroso. La Ley de

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Captulo 4

Darcy de flujo laminar de fluidos homogneos en medios porosos homog-neos puede ser derivada a partir del equilibrio de las fuerzas actuantes sobre el fluido que fluye dentro de un volumen elemental macroscpico. El mo-vimiento del agua en el medio poroso va de un nivel alto a un nivel menor de energa, lo cual se debe, principalmente, a la elevacin y a la presin. Cabe notar que la energa cintica, proporcional a la raz cuadrada de la velocidad, se desprecia porque las velocidades en el medio poroso son muy bajas, al menos para flujo laminar. Mientras el agua fluye, experimenta una prdida de energa debida a la friccin contra las paredes del medio granular a lo largo de su recorrido; esta prdida de energa por unidad de longitud de distancia recorrida, o gradiente hidrulico, es directamente proporcional a la velocidad del agua en flujo laminar en medios porosos. La proporciona-lidad entre el gradiente hidrulico y la velocidad del agua en el medio se expresa matemticamente con una ecuacin conocida como Ley de Darcy, una ley del flujo lineal a travs de un medio poroso.

La similitud entre el flujo del agua en un medio poroso y el flujo laminar a travs de las tuberas fue reconocida por Darcy (1856) y por Dupuit (1863). Tanto Hagen en 1839 como Poiseville en 1841 realizaron experi-mentos con flujo en tuberas; fue a Poiseville a quien, ms tarde, se le atri-buira la ley de flujo laminar en tuberas. Darcy tambin se dedic al traba-jo experimental y, en particular, al factor friccin de las frmulas de flujo en tuberas. En 1856, Darcy realiz un experimento en una tubera vertical de rea de seccin transversal, D, llena de arena (ver experimento de Darcy, presentado en la seccin 4.4). Derivado de sus investigaciones sobre el flujo a travs de camas de arena estratificadas, Darcy concluy que el ritmo de flujo, E, era proporcional a la prdida de energa, inversamente proporcio-nal a la longitud de la ruta de flujo y proporcional al coeficiente F, depen-diente de la naturaleza de la arena.

Cabe sealar que tanto Darcy como Dupuit fallaron al reconocer el hecho de que F depende de las propiedades del fluido y de las caracte-rsticas del medio. La Ley de Darcy puede expresarse matemticamente como:

Ec. 4.1

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Los subndices de la ecuacin 4.1 se refieren al valor de h correspon-diente a las elevaciones

y

, y F es la conductividad hidrulica. Donde

h se define como:

Ec. 4.2

Ec. 4.3

En estas ecuaciones, h es la energa por unidad de peso de fluido o altura hidrulica; en el caso del agua, es la elevacin arriba de un plano arbitra-rio, G, es la presin sostenida por el fluido en los poros del medio, H es el peso especfico del fluido, I es la viscosidad dinmica del fluido y es la permeabilidad intrnseca del medio. Cuando el fluido es agua, el gradiente hidrulico, J, se define como:

Ec. 4.4

El flujo de fluidos en un medio poroso podra ser tratado microscpica-mente por las leyes hidrodinmicas si el esqueleto granular del medio fuera un simple montaje geomtrico de tubos prismticos. Sin embargo, los cana-les que conducen el fluido, lejos de ser prismticos, son tortuosos, estn ramificados y tienen mltiples afluentes. En su forma original, la Ley de Darcy e

Matematicas plicada a la Ing. Petrolera

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