Matematicas Resueltos (Soluciones) Proporcional y Porcentajes 2º ESO

Las relaciones de proporcionalidad

1 Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directa-mente proporcionales, los que son inversamente proporcionales y los que noguardan relación de proporcionalidad:

a) La edad de una persona y su peso.

b) La cantidad de lluvia caída en un año y el crecimiento de una planta.

c) La cantidad de litros de agua que arroja una fuente y el tiempo transcurrido.

d) El número de hojas que contiene un paquete de folios y su peso.

e) La velocidad de un coche y el tiempo que dura un viaje.

f ) La altura de una persona y el número de calzado que usa.

g) El precio del kilo de naranjas y el número de kilos que me dan por 10 euros.

Magnitudes directamente proporcionales → c), d)

Magnitudes inversamente proporcionales → e), g)

No guardan relación de proporcionalidad → a), b), f )

2 Completa las siguientes tablas e indica, en cada caso, si los pares de va-lores son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o noguardan ninguna relación de proporcionalidad:

A

B

3 5 7 8 12

9 15 21 30

M

N

3 4 9 15 25

2 3 8 20

K

L

2 3 4 5 10

30 20 15 10

A

B

3 5 7 8 10 12

9 15 21 24 30 36

M

N

3 4 9 15 21 25

2 3 8 14 20 24

K

L

2 3 4 5 6 10

30 20 15 12 10 6

Proporcionalidad directa.

Proporcionalidad inversa.

No guardan proporción.Si M vale k, N vale k – 1.

1

RAZONES Y PROPORCIONES

3 Busca:

a) Tres pares de números cuya razón sea igual a �12

�.

b) Tres parejas de números que estén en la relación de tres a uno.

c) Tres parejas de números que estén en razón de dos a cinco.

Soluciones abiertas. Por ejemplo:

4 Escribe cuatro proporciones con las siguientes razones:

5 Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla:

¿Qué relación de proporcionalidad liga ambas magnitudes?

Proporcionalidad directa.

6 Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla:

a) = = = …

b) = = = …

c) = = = …615

820

410

93

124

62

1224

48

36

= = = = 1421

1015

621

27

1242

621

1015

46

621

1421

1015

27

46

KILOS DE ALMENDRAS

125

91845

COSTEEN EUROS

= = = 545

218

545

19

218

19

VELOCIDAD DE UN TREN (km/h) 50 100

TIEMPO QUE DURA EL VIAJE (h) 6 3

150

2

2

¿Qué relación liga ambas magnitudes?

Proporcionalidad inversa.

7 Completa las siguientes proporciones:

8 Calcula la constante de proporcionalidad y, con ayuda de ella, completaesta tabla de valores directamente proporcionales:

Constante de proporcionalidad = 0,8

= = = 23

100150

26

50150

36

50100

a) = b) =

c) = d) =

e) = f ) =

g) = h) =

i ) = j ) =

a) x = = 28 b) x = =

c) x = = 15 d) x = = 44

e) x = = 18 f ) x = = 93

g) x = = 710 h) x2 = 1 296 → x = 36

i) x2 = 225 → x = 15 j) x2 = 24 · 54 = 1 296 → x = 36

35 · 28414

372 · 1768

72 · 53212

28 · 5535

24 · 4064

214

6 · 2124

20 · 2115

54x

x24

x25

9x

x54

24x

284x

1435

68372

17x

53212

x72

3555

28x

4064

x24

x21

624

21x

1520

A

B

2 5 6 8 10 15

1,6 4 4,8

A

B

2 5 6 8 10 15

1,6 4 4,8 6,4 8 12

3

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

9 Calcula mentalmente y contesta:

a) Tres kilos de naranjas cuestan 2,4 €. ¿Cuánto cuestan dos kilos?

b) Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tardarán cuatroobreros?

c) 200 g de jamón cuestan 4 €. ¿Cuánto costarán 150 gramos?

d) Un avión, en 3 horas, recorre 1 500 km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en5 horas?

e) Un camión cargado, a 60 km/h, recorre cierta distancia en 9 horas. ¿Cuán-to tiempo invertirá en el viaje de vuelta, descargado, a 90 km/h?

a) 1,6 €

b) 4 horas y media

c) 3 €

d) 2 500 km

e) 6 horas

11 Si cuatro entradas para el cine han costado 15,2 €, ¿cuánto costaráncinco entradas?

12 El dueño de un supermercado ha abonado 180 € por 15 cajas de ajos.¿Cuánto deberá pagar por un nuevo pedido de 13 cajas de ajos?

= → x = = 19 €15,2 · 54

5x

415,2

P. DIRECTA

CAJAS COSTE

x = = 156 €13 · 18015

15 ——— 180 €13 ——— x

4

13 Un tren ha recorrido 240 km en tres horas. Si mantiene la misma velo-cidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en las próximas dos horas?

14 Un grifo, abierto durante 10 minutos, hace que el nivel de un depósitosuba 35 cm. ¿Cuánto subirá el nivel si el grifo permanece abierto 18 minu-tos más? ¿Cuánto tiempo deberá permanecer abierto para que el nivel suba70 cm?

El nivel subirá 63 cm en 18 minutos.

El nivel subirá 70 cm en 20 minutos.

16 Ocho obreros construyen una pared en 9 días. ¿Cuánto tardarían en ha-cerlo seis obreros?

8 · 9 = 72 días tardaría un obrero

72 : 6 = 12 días tardarían 6 obreros

P. DIRECTA

DISTANCIA TIEMPO

x = = 160 km240 · 23

240 km ——— 3 hx ——— 2 h

p p p q

P. DIRECTA

TIEMPO NIVEL

x = = 63 cm18 · 3510

10 min ——— 35 cm18 min ——— x

P. DIRECTA

TIEMPO NIVEL

x = = 20 minutos10 · 7035

10 min ——— 35 cmx ——— 70 cm

• REGLA DE TRES

Proporcionalidad inversa

= → x = 12 días9x

68

8 obreros ——— 9 días6 obreros ——— x

5

17 Un grifo que arroja un caudal de 3 litros por minuto, llena un depósitoen 20 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar ese mismo depósito otro grifo cuyocaudal es de 5 litros por minuto?

18 Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en14 días. ¿Cuánto se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de 7 palas excavadoras?

19 Un bidón de dos litros de aceite cuesta 5,8 €. ¿Cuánto costará un bi-dón de 5 litros de la misma marca?

21 Por 3,5 kg de chirimoyas he pagado 6,3 €. ¿Cuánto pagaré por cincokilos?

CAUDAL TIEMPO

3 l/min 20 min

5 l/min x

= → x = = 12 minutos3 · 205

20x

53


PALAS TIEMPO (días)

4 ——— 14

7 ——— x

= → x = = 8 días4 · 147

14x

74


Proporcionalidad directa

= → x = = 14,5 €5,8 · 52

5,8x

25

2 litros ——— 5,8 €5 litros ——— x

P. DIRECTA

CHIRIMOYAS (kg) PRECIO (€)

= → x = = 9 €6,3 · 53,5

6,3x

3,55

3,5 ——— 6,35 ——— x

6

22 Una tienda rebaja todos los artículos en la misma proporción. Si poruna camiseta de 18 € pago 16,20 €, ¿cuánto debo pagar por un jersey de 90 €?

23 Por dos kilos y trescientos gramos de merluza he pagado 41,4 €.¿Cuánto pagaré por un kilo y setecientos gramos?

24 Por un besugo que pesaba 875 g Juana ha pagado 10,85 €. ¿Cuántopagará Norberto por otro besugo de 1,2 kg?

25 Dos poblaciones que distan 18 km están, en un mapa, a una distanciade 6 cm. ¿Cuál será la distancia real entre dos ciudades que, en ese mismomapa, están separadas 21 cm?

P. DIRECTA

PRECIO PRECIO

SIN REBAJA REBAJADO

= → x = = 81€90 · 16,20

1816,20

x1890

18 € ——— 16,20 €90 € ——— x

P. DIRECTA

PESO (kg) COSTE (€)

= → x = = 30,6 €1,7 · 41,42,3

41,4x

2,31,7

2,3 ——— 41,41,7 ——— x

P. DIRECTA

PESO (g) COSTE (€)

= → x = = 14,88 €10,85 · 1200875

10,85x

8751200

875 ——— 10,851200 ——— x

18 : 6 = 3 km de la realidad por cada centímetro del mapa.

3 · 21 = 63 km distan en realidad las dos ciudades.

REGLA DE TRES

x = 63 km

18 km ——— 6 cmx ——— 21 cm

7

27 Un coche, a 90 km/h, hace un recorrido en 5 horas. ¿Cuánto tiempoganaría si aumentara su velocidad en 10 km/h?

28 Un grifo que arroja un caudal de 25 litros por minuto, llena un depósi-to de agua en hora y media. ¿Cuánto tardará en llenar ese mismo depósitootro grifo con un caudal de 20 litros por minuto?

29 Virginia mide 1,60 m de altura y, en este momento, su sombra tieneuna longitud de 0,8 m. Si la sombra de un árbol próximo mide 10 m, ¿cuál essu altura?

El árbol mide 20 metros.

90 · 5 = 450 km de recorrido

450 : 100 = 4,5 h = 4 h 30 min

Ganaría media hora.

REGLA DE TRES


= → x = 4,5 horas

4 – 4,5 = 0,5. Ganaría media hora.

5x

10090

90 km/h ——— 5 horas100 km/h ——— x

Una hora y media = 90 min

25 · 90 = 2 250 l tiene el depósito

2 250 : 20 = 112,5 min = 1 h 52 min 30 s

REGLA DE TRES


= → x = 1,875 horas

Tardaría 1,875 horas, es decir, 1 hora y 0,875 segundos · 60 = 52,5 minutos.

Por tanto, tardaría 1 horas 52 minutos y 30 segundos.

1,5x

2025

25 l/min ——— 1,5 horas20 l/min ——— x

= → x = = 20 m1,60 · 100,8

x10

1,600,8

8

30 Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito vacío y 54 673 kmen su cuentakilómetros. Echa 39 litros de gasolina y continúa su viaje. Cuandovuelve a tener el depósito vacío, su cuentakilómetros marca 55 273 km. ¿Cuál esel consumo de combustible cada 100 kilómetros?

31 Una empresa de confección debe entregar un pedido en 12 días. Parapoder cumplir el encargo debe fabricar 2 000 prendas diarias. Sin embargo,sufre una avería que detiene la producción durante dos jornadas. ¿Cuántasprendas deberá fabricar diariamente para enfrentarse a esta nueva situación?

2 000 · 12 = 24 000 prendas debe fabricar en 12 días.

24 000 : 10 = 2 400 prendas diarias debe fabricar si solo dispone de 10 días.

32 Con el dinero que tengo, ayer podría haber comprado diez pegatinas de0,4 € cada una, pero hoy las han subido 0,1 € por unidad. ¿Cuántas pegati-nas puedo comprar ahora?

Tengo 10 · 0,4 = 4 €

Las pegatinas cuestan hoy 0,4 + 0,1 = 0,5 €

Ahora podría comprar: 4 : 0,5 = 8 pegatinas

55 273 – 54 673 = 600 km recorre

= 6,5 l gasta por cada 100 km

REGLA DE TRES

x = 6,5 l

600 km ——— 39 litros100 km ——— x

396

REGLA DE TRES


= → x = 2 400 diarias2000x

1012

2000 prendas diarias ——— 12 díasx ——— 10 días

9

33 Un granjero necesita diariamente 45 kg de pienso y 105 kg de forrajepara alimentar a sus 30 vacas.

¿Qué cantidad de pienso y de forraje diarios necesitaría en el supuesto de quevendiese 10 vacas?

45 : 30 = 1,5 kg de pienso por cada vaca.

105 : 30 = 3,5 kg de forraje por cada vaca.

34 El radio de una circunferencia mide 2 m. ¿Cuál es su longitud?

Sabiendo que la circunferencia completa abarca 360°, ¿cuál es la longitud deun arco de 90°? ¿Y la de un arco de 25°?

� La longitud de una circunferencia es: L = 2 · π · r

• Longitud de la circunferencia de 2 m de radio:

Longitud de la circunferencia → 2π r

Longitud de la circunferencia de radio 2 m → 2 · π · 2 = 12,56 m

Por las 20 vacas que le quedan.

REGLA DE TRES

x = 30 kg de pienso

x = 70 kg de forraje

105 kg de forraje ——— 30 vacasx ——— 20 vacas

45 kg de pienso ——— 30 vacasx ——— 20 vacas

1,5 · 20 = 30 kg de pienso3,5 · 20 = 70 kg de forraje

360° 25°

• Longitud de un arco de 90°:

12,56 · = 3,14 m

REGLA DE TRES

x = 3,14 m

• Longitud de un arco de 25°:

12,56 · = 0,872 m25°360°

360° ——— 12,56 m90° ——— x

90°360°

10

35 ¿Cuál es la superficie de un sector circular de 90° en un círculo de 2 mde radio? ¿Y la superficie de un sector de 25°?

� La longitud de un círculo es: S = π · r 2

Superficie del círculo → π · r 2

Superficie de un círculo de 2 m de radio → π · 22 = 12,56 m2

• Superficie de un sector de 90°:

• Superficie de un sector de 25°:

36 Un supermercado recibe una carga de 100 cajas de refrescos cada semana.Si cada caja contiene 20 botellas, ¿cuántas botellas vende ese supermercado,aproximadamente, cada mes?

Tomamos el mes como 4 semanas: 100 · 20 · 4 = 8 000 botellas al mes, aproxi-madamente.

REGLA DE TRES

x = 0,872 m

360° ——— 12,56 m25° ——— x

90°2m

25°

p

12,56 · = 3,14 m2

REGLA DE TRES

x = 3,14 m2

360° ——— 12,56 m2

90° ——— x

90°360°

12,56 · = 0,872 m2

REGLA DE TRES

x = 0,872 m2

360° ——— 12,56 m2

25° ——— x

25°360°

REGLA DE TRES

x = 8 000 botellas

2 000 botellas ——— 1 semanax ——— 4 semanas

11

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

37 Cincuenta terneros de engorde consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana.

a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día?

b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros du-rante 15 días?

c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de600 kg de alfalfa?

a) 4 200 : 50 = 84 kg de alfalfa por ternero a la semana

84 : 7 = 12 kg de alfalfa por ternero al día

Con 600 kg de alfalfa se pueden alimentar a 10 terneros durante 5 días.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

P. DIRECTA

TERNEROS DÍAS ALFALFA

50 7 4 2001 1 x

· = → x = 12 kilos de alfalfa

b) PROPORCIONALIDAD DIRECTA

P. DIRECTA

TERNEROS DÍAS ALFALFA

50 7 4 200

20 15 x

· = → x = = 3 600 kg4 200 · 20 · 1550 · 7

4 200x

715

5020

4 200x

71

501

c) PROPORCIONALIDAD INVERSA

P. DIRECTA

TERNEROS ALFALFA DÍAS

50 4 200 7

10 600 x

· = → x = = 7 · 50 · 60010 · 4 200

7x

4 200600

1050

5 días

12

38 Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 kmde distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me cos-tará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?

Si el coste fuera directamente proporcional al peso del paquete y a la distanciadel lugar de destino, el nuevo envío costará:

9 : 60 = 0,15 € por cada kilómetro (un paquete de 5 kg)

0,15 : 5 = 0,03 € por kilómetro y kilogramo

0,03 · 15 · 200 = 90 € por un paquete de 15 kg a 200 km

39 Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 30 €.¿Cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha?

30 : (2,5 · 0,8) = 15 € cada metro cuadrado

15 · (3 · 1,2) = 54 € cuesta la nueva pieza

· = → x = 90 €9x

60200

515

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PESO DISTANCIA COSTE

5 kg 60 km 9 €

15 kg 200 km x

REGLA DE TRES

· = → x = 54 €30x

0,81,2

2,53

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

LARGO (m) ANCHO (m) COSTE (€)

2,5 0,8 30

3 1,2 x

REGLA DE TRES

13

40 Para llenar un pilón de riego hasta una altura de 80 cm se ha necesitadoaportar un caudal de 20 litros por minuto durante 1 h 20 min. ¿Cuántotiempo tardará en llenarse ese mismo pilón hasta una altura de 90 cm si se leaporta un caudal de 15 litros por minuto?

20 litros por minuto durante 80 minutos → 1 600 litros se necesitan para queel agua suba 80 cm.

1 600 : 80 = 20 litros se necesitan para que el agua suba 1 cm.

20 · 90 = 1 800 litros se necesitan para que el agua suba 90 cm.

1 800 : 15 = 120 minutos se necesitan para conseguir 1 800 litros con un cau-dal de 15 l/min. Por tanto, tardará 2 horas en llenarse.

41 Cinco máquinas iguales envasan 7 200 litros de aceite en una hora.

¿Cuántos litros envasarán tres máquinas en dos horas y media?

¿Cuánto tiempo tardarán cuatro máquinas en envasar 12 000 litros?

• 7200 : 5 = 1440 litros envasa cada máquina en 1 hora.

1440 · 3 · 2,5 = 10800 litros envasan 3 máquinas en 2 horas y media.


P. INVERSA

ALTURA CAUDAL TIEMPO

80 cm 20 l/m 60 + 20 = 80 minutos

90 cm 15 l/m x

· = → x = 120 minutos = 2 horas80x

1520

8090

REGLA DE TRES


P. DIRECTA

MÁQUINAS TIEMPO LITROS

5 1 hora 7 2003 2,5 horas x

· = → x = 10 800 litros7200x

12,5

53

REGLA DE TRES

14

2,083)

· 60 = 125 minutos → Tardarán 2 h 5 min

42 Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días.¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horasdiarias?

12 · 8 · 25 = 2 400 horas de trabajo de 1 obrero hay que emplear en realizar eltrabajo.

2 400 : 5 = 480 horas debe realizar cada uno de los 5 obreros.

480 : 10 = 48 días tardarán.

REGLA DE TRES


P. DIRECTA

MÁQUINAS TIEMPO LITROS

5 1 hora 7 2003 2,5 horas x

· = → x = 10 800 litros

• 12 000 : 4 = 3 000 litros ha de envasar cada máquina.

3 000 · 432 = 6 h 56,4 min tardan.

REGLA DE TRES

PROPORCIONALIDAD INVERSA

P. DIRECTA

MÁQUINAS LITROS TIEMPO

5 7200 1 hora4 12000 x

· = → x = 6,94 horas1x

720012 000

45

7200x

12,5

53

2,083)

horas

REGLA DE TRES

PROPORCIONALIDAD INVERSA

P. INVERSA

OBREROS HORAS DÍAS

12 8 255 10 x

· = → x = 48 días → Tardarán 48 días25x

108

512

15

43 COMPARANDO SUPERFICIES

• ¿Cuántas veces aumenta la superficie de un cuadradosi se aumenta al doble el lado? ¿Y si se aumenta el ladoal triple?

• ¿Cuántas veces aumenta la superficie de un hexágonosi los lados se hacen el doble de largo? ¿Y si los lados sehacen el triple de largo?

a

a

a

2a

2a

2a

a

2a

a

a

3a

3a

S = a2

S = 9a

2

a

a

2a

2a

S = a2

S = 4a

2 Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, susuperficie aumenta al cuádruple.

Si el lado de un cuadrado aumenta altriple, su superficie queda multiplicadapor 9.

Si el lado de un hexágono aumenta al doble, susuperficie queda multiplicada por 4.

16

a

3a

Si el lado de un hexágono aumenta al triple,su superficie queda multiplicada por 9.

44 COMPARANDO TAMAÑOS

Supón que aumentamos el tamaño de un cubo hasta que la arista se hace doble.

• ¿Cuántos cubos como el primitivo caben en el cubo ampliado?

• ¿Y si hacemos que la arista aumente al triple?

• Con arista doble, en el nuevo cubo caben 8 cubos como el primitivo.

• Con arista triple, en el nuevo cubo caben 27 cubos como el primitivo.

17

a z o n e s y p r o p o r c i o n e s

1 Escribe:

a) Tres pares de números cuya razón sea 2/3.

b)Tres parejas de números que estén en relación de cinco a uno.

c) Tres parejas de números que estén en razón de tres a cuatro.

a) Por ejemplo: 4 y 6; 10 y 15; 18 y 27.

b) Por ejemplo: 15 y 3; 20 y 4; 35 y 7.

c) Por ejemplo: 15 y 20; 21 y 28; 33 y 44.

2 Escribe una proporción con cada conjunto de números:

a) 3 - 6 - 10 - 5 b)2 - 24 - 3 - 36

c) 35 - 10 - 6 - 21 d)52 - 28 - 63 - 117

Por ejemplo:

a) = b) = c) = d) =

3 Calcula x en las siguientes proporciones:

a) = b) = c) =

d) = e) = f ) =

g) = h) = i) =

j) = k) · = l) · =

a) x = 15 b) x = 9 c) x = 10

d) x = 3 e) x = 18 f ) x = 12

g) x = 88 h) x = 49 i) x = 8

j) x = 33 k) x = 15 l) x = 84

e l ac i ones de p ropo rc i ona l i dad

4 Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que guardan relaciónde proporcionalidad directa, los que guardan relación de proporcionalidad in-versa y los que no guardan relación de proporcionalidad:

a) El número de kilos vendidos y el dinero recaudado.

b)El número de operarios que hacen un trabajo y el tiempo invertido.

c) La edad de una persona y su altura.

R

7x

1536

420

54x

85

94

5575

x45

3216

16x

x63

4254

55x

1524

4942

14x

3065

x39

428

x21

1215

8x

x6

64

10x

69

6328

11752

106

3521

336

224

510

36

R

18

d)La velocidad de un vehículo y la distancia recorrida en media hora.

e) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja.

f ) El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito.

g) El número de páginas de un libro y su precio.

a) Proporcionalidad directa.

b) Proporcionalidad inversa.

c) Sin relación de proporcionalidad.

d) Proporcionalidad directa.

e) Proporcionalidad directa.

f ) Proporcionalidad inversa.

g) Sin relación de proporcionalidad.

5 Observa las siguientes tablas y di si son de proporcionalidad directa, in-versa o de ninguna de las dos:

a) b) c)

No proporcionales Proporcionalidad Proporcionalidadinversa directa

15 · 1 = 3 · 5 = 5 · 3 Constante de proporcionalidad = 15

6 Completa estas tablas de proporcionalidad directa:

a) b)

a) b)

7 Completa estas tablas de proporcionalidad inversa:

a) b)

a) b)

8 Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de pro-porcionalidad directa:

Por ejemplo: = , = , = 255

306

2515

53

153

102

M AG N I T U D A 2 3 5 6

M AG N I T U D B 10 15 25 30

1 2 3 4 6

36 18 12 9 6

1 2 4 5 10

20 10 5 4 2

1 2 3 4

18 9 6

1 2 4 5

20 10 2

1 2 3 4 10

2,5 5 7,5 10 25

1 2 3 7 12

5 10 15 35 60

1 2 3 4

5 10 25

1 2 3 7

5 10 60

1 2 3

15 30 45

15 3 5

1 5 3

1 2 3

1 4 9

Pág. 2

19

9 Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de pro-porcionalidad inversa:

Por ejemplo: = , = , =

10 Calcula la constante de proporcionalidad en estas tablas de valores direc-tamente proporcionales:

a) b) c)

a) Cte. prop. = = 2,5 b) Cte. prop. = 0,3 c) Cte. prop. = = 1,2

r o b l e m a s d e p r o p o r c i o n a l i d a d d i r e c t a e i n v e r s a

11 Calcula mentalmente y contesta.

a) Un tren recorre 240 km en 3 horas. ¿Qué distancia recorre en 2 horas?

b)Dos kilos de manzanas cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan tres kilos?

c) Cuatro obreros hacen un trabajo en 3 horas. ¿Cuánto tardarían seis obreros?

d)Cinco entradas para un concierto han costado 40 euros. ¿Cuánto cuestancuatro entradas?

e) Un ciclista, a 20 km/h, recorre cierta distancia en 3 horas. ¿Cuánto tardaráuna moto a 60 km/h?

a) Recorre 160 km.

b) Cuestan 2,70 €.

c) Tardarían 2 horas.

d) Cuestan 32 €.

e) Tardará 1 hora.

12 Dos kilos y medio de patatas cuestan 1,75 €. ¿Cuánto cuestan tres kilosy medio?

Cuestan 2,45 €.

x = = 2,45 €3,5 · 1,752,5

°¢£

2,5 kg 8 1,75 €3,5 kg 8 x €

P

65

310

52

0,2 3 15

0,24 3,6 18

5 6 7

1,5 1,8 2,1

2 3 4

5 7,5 10

64

1812

424

318

2436

23

M AG N I T U D A 2 3 4 6

M AG N I T U D B 36 24 18 12

20

13 Un coche ha recorrido 30 kilómetros en 18 minutos. Si sigue a la mismavelocidad, ¿qué distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora?

Recorrerá 25 km

x = = 25 km.

14 Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían5 operarios?

Tardarán 8 horas.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 8 h

15 Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acerade una calle en 15 días. ¿Cuánto tardarían si trabajaran 10 horas diarias?

Tardarán 12 días.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 12 días

16 Un paquete de 500 folios pesa 1,8 kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 fo-lios?

Pesará 3,06 kg.

x = = 3,06 kg

17 En una fuente, se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 li-tros. ¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros?

Tardará 40 segundos.

x = = 40 s

18 Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días.¿Cuántas horas debería trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12días?

Debería trabajar 10 horas al día.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 10 h/día8 · 1512

1215

8x

°¢£

8 h/día 8 15 díasx h/día 8 12 días

50 · 2430

°¢£

30 l 8 24 s50 l 8 x s

850 · 1,8500

°¢£

500 folios 8 1,8 kg850 folios 8 x kg

8 · 1510

x15

810

°¢£

8 h/día 8 15 días10 h/día 8 x días

4 · 105

x10

45

°¢£

4 operarios 8 10 h5 operarios 8 x h

15 · 302,5

°¢£

18 min 8 30 km15 min 8 x km

21

19 Con la motobomba que extrae agua de un pozo, se han tardado 18 mi-nutos en llenar una cisterna de 15 000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otracisterna de 25 000 litros?

Se tardará 30 minutos.

x = = 30 min

20 El dueño de un supermercado abona una factura de 720 euros por un pe-dido de 15 cajas de aceite. ¿A cuánto ascenderá la factura por otro pedido de12 cajas?

La factura será de 576 €.

x = = 576 €

21 Una piscina tiene tres desagües iguales. Si se abren dos, la piscina se va-cía en 45 minutos. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?

Tardará 30 minutos en vaciarse.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 30 min

22 Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora.¿Cuántas botellas llena en hora y media?

Llena 4 500 botellas.

x = = 4 500 botellas

23 Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuántotardaría en hacer el mismo trabajo, si las jornadas fueran de 12 horas diarias?

Tardaría 6 días.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 6 días

24 Un tractor, trabajando 8 horas al día, labra un campo en 9 días. ¿Cuántashoras diarias debe trabajar para realizar el trabajo en solo 6 días?

Debe trabajar 12 horas al día.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 12 h/día8 · 96

69

8x

°¢£

8 h/día 8 9 díasx h/día 8 6 días

8 · 912

x9

812

°¢£

8 h/día 8 9 días12 h/día 8 x días

90 · 75015

°¢£

15 min 8 750 botellas1,5 h = 90 min 8 x botellas

2 · 453

x45

23

°¢£

2 desagües 8 45 min3 desagües 8 x min

12 · 72015

°¢£

15 cajas 8 720 €12 cajas 8 x €

25 000 · 1815 000

°¢£

15 000 l 8 18 min25 000 l 8 x min

22

25 Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 65 vacas durante 32 días.¿Cuánto le durarán las provisiones si compra 15 vacas más?

Durarán 26 días.

Proporcionalidad inversa 8 = 8

8 x = = 26 días.

26 Una merluza de dos kilos y trescientos gramos, ha costado 28,75 €.¿Cuánto pagaré por otra más pequeña de kilo y medio?

Pagaré 18,75 €.

x = = 18,75 €

27 Un granjero tiene pienso en su almacén para alimentar a 2 500 gallinas du-rante 60 días. ¿Cuántas gallinas debe retirar si desea que el pienso le dure 80 días?

Debe retirar 625 gallinas.


8 x = = 1 875

Debe quedarse con 1 875 gallinas. Debe retirar 2 500 – 1 875 = 625 gallinas.

28 Un lingote de oro de 0,340 kilos tiene un valor de 2 142 euros. ¿Qué va-lor tendría una porción de 30 gramos cortada de ese lingote?

Tendría un valor de 189 €.

x = = 189 €

29 Un ciclista ha recorrido 6,3 km en 18 minutos. Expresa su velocidad me-dia en kilómetros por hora.

La velocidad media es de 21 km/h.

x = = 21 km en 1 h 8 vm = 21 km/h

30 Una pala excavadora vacía 48 metros cúbicos de tierra en 4 horas. ¿Cuántotardará en extraer 60 metros cúbicos?

Tardará 5 horas.

x = = 5 h60 · 448

°¢£

48 m3 8 4 h60 m3 8 x h

60 · 6,318

°¢£

18 min 8 6,3 km1 h = 60 min 8 x km

2 142 · 30340

°¢£

0,340 kg = 340 g 8 2 142 €30 g 8 x €

2 500 · 6080

8060

2 500x

°¢£

2 500 gallinas 8 60 díasx gallinas 8 80 días

1 500 · 28,752 300

°¢£

2 kg y 300 g = 2 300 g 8 28,75 €1,5 = 1 500 g 8 x €

65 · 3280

x32

6580

°¢£

65 vacas 8 32 días65 + 15 = 80 vacas 8 x días

23

31 Un tren de mercancías, a una velocidad media de 72 km/h, realiza el tra-yecto entre la ciudad A y la ciudad B en 7 horas. ¿Cuál debería ser la velocidadmedia para hacer el mismo viaje en solo 6 horas?

La velocidad media debe ser de 84 km/h.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 84 km/h

32 Un negocio que abre todos los días tiene unos gastos semanales de 420euros. ¿Qué gastos prevé para un periodo de 25 días?

Los gastos serán de 1 500 €.

x = = 1 500 €

33 Un granjero necesita cada día 255 kilos de pienso para dar de comer a sus85 vacas. ¿Cuántos kilos necesitaría si vendiera 35 vacas?

Necesitaría 150 kg de pienso.

x = = 150 kg

34 De 5 kilos de olivas se han obtenido 3,2 litros de aceite. ¿Cuántos litrosse obtendrán de una tonelada y media de aceitunas?

Se obtendrán 960 litros de aceite.

x = = 960 l

35 Cuarenta litros de aceite pesan 36,28 kilos. ¿Cuánto pesarán 60 litros?

Pesan 54,42 kg

x = = 54,42 kg

36 En una empresa que tiene 840 empleados, 5 de cada 8 utilizan diariamenteel servicio de comedor. ¿Cuántas comidas se sirven en el comedor cada día?

Se sirven 525 comidas.

de 840 empleados = = 525 empleados se quedan a comer.5 · 8408

58

60 · 36,2840

°¢£

40l 8 36,28 kg60 l 8 x kg

1 500 · 3,25

°¢£

5 kg 8 3,2 l1,5 t = 1 500 kg 8 x l

255 · 5085

°¢£

85 vacas 8 255 kgQuedan 85 – 35 = 50 vacas 8 x kg

420 · 257

°¢£

1 semana = 7 días 8 420 €25 días 8 x €

72 · 76

67

72x

°¢£

72 km/h 8 7 hx km/h 8 6 h

24

37 Una tienda rebaja todos sus artículos en la misma proporción. Si una blu-sa que valía 36 € se queda en 28,80 €, ¿en cuánto se quedará un vestido quecostaba 80 €?

Costará 64 €.

ANTES REBAJADO——— —————

x = = 64 €

38 Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distanciaen la realidad. ¿Cuál es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapadistan 13 cm?

La distancia real es de 91 km.

MAPA REALIDAD——— —————

x = = 91 km

39 Un coche, a 90 km/h, tarda 20 minutos en ir de la población A a la pobla-ción B. ¿Cuánto tardaría un camión, a 60 km/h? ¿Y una furgoneta, a 80 km/h?

El camión tardaría 30 minutos y la furgoneta 22,5 minutos.

Proporcionalidad inversa 8

8 90 · 20 = 60 · x = 80 · y 8 x = 30 min; y = = 22,5 min

40 Resuelto en el libro de texto.

41 Un ciclista ha recorrido 25 kilómetros en hora y cuarto. A esa velocidad,¿cuánto tardaría en recorrer una etapa de 64 kilómetros?

Tardaría 3 horas y 12 minutos.

x = = h

80 h 25

5 3 h 12 minÒ 60

300 min

8025

64 · 1,2525

°¢£

25 km 8 1,25 h64 km 8 x h

90 · 2080

90 · 2060

°§¢§£

Coche 90 km/h 8 20 minCamión 60 km/h 8 x minFurgoneta 80 km/h 8 y min

13 · 355

°¢£

5 cm 8 35 km13 cm 8 x km

80 · 28,8036

°¢£

36 € 8 28,80 €80 € 8 x €

25

42 Un tren, a 90 km/h, cubre un recorrido en 6 horas. ¿Cuánto tardaría a 100 km/h?

Tardaría 5 h y 24 minutos.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = h

43 Un manantial que aporta un caudal de 3,5 litros por minuto llena un de-pósito en una hora y media. ¿Cuánto tardaría si el caudal aumentara a 4,5 li-tros por minuto?

Tardaría 1 h y 10 minutos.


8 x = = = h 8

44 Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de en-tregar en 12 días, debe fabricar 2 000 prendas cada día. Si por una avería en lasmáquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, ¿cuántas prendas diariasdebe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido?

Debe fabricar 2 400 prendas diarias.


8 x = 8 x = 2 400 prendas/día

r o b l e m a s d e p r o p o r c i o n a l i d a d c o m p u e s t a

45 Cincuenta terneros consumen 4 200 kilos de alfalfa a la semana.

a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día?

b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante15 días?

c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de600 kilos de alfalfa?

P

2 000 · 1210

1012

2 000x

°¢£

2 000 prendas/día 8 12 díasx prendas/día 8 10 días

525450

5,254,5

3,5 · 1,54,5

x1,5

3,54,5

°¢£

3,5 l /min 8 1,5 h4,5 l /min 8 x h

54 h 10

4 5 h 24 minÒ 60

240 min

5410

90 · 6100

x6

90100

°¢£

90 km/h 8 6 h100 km/h 8 x h

525 h 450

75 1 h 10 minÒ 60

4 500 min

26

a) 12 kg por ternero y día. b) 3 600 kg. c) 5 días.

46 En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado600 chaquetas en 10 días.

a) ¿Cuántas prendas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días?

b) ¿Cuántas máquinas habría que poner en producción para fabricar 750 pren-das en 15 días?

c) Si se trabajara solamente con 5 máquinas, ¿cuántos días se tardaría en fabri-car 750 prendas?

a) 750 chaquetas. b) 5 máquinas. c) 15 días.

6 10 600 600 · 5 · 15— · — = — 8 x = —— = 750 chaquetas5 15 x 6 · 10

6 10 600 6 · 10 · 750— · — = — 8 y = —— = 5 máquinasy 15 750 15 · 600

6 10 600 6 · 10 · 750— · — = — 8 z = —— = 15 días5 z 750 5 · 600

MÁQUINAS DÍAS CHAQUETAS———— ——— —————

6 10 600

5 15 x

y 15 750

5 z 750

°§§§§¢§§§§£

50 7 4 200 4 200— · — = — 8 x = — = 12 kg1 1 x 50 · 7

50 7 4 200 4 200 · 20 · 15— · — = — 8 y = —— = 3 600 kg20 15 y 50 · 7

50 7 4 200 50 · 7 · 600— · — = — 8 z = —— = 5 días10 z 600 10 · 4 200

TERNEROS DÍAS PIENSO (kg)———— ——— —————

50 7 4 200

1 1 x

20 15 y

10 z 600

°§§§§¢§§§§£

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

27

47 Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha la-vado 1 000 kilos de ropa. ¿Cuántos kilos de ropa lavará en 12 días trabajando10 horas diarias?

Lavará 3 000 kg de ropa.

H/DÍA DÍAS KG DE ROPA—— ——— —————

· = 8 x = = 3000 kg

48 Una alfombra sintética, de 1,80 m de larga por 90 cm de ancha, ha cos-tado 72 €. ¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 mde larga y 1,20 m de ancha?

Costará 160 €.

• 1.a alfombra: 1,80 · 0,90 = 1,62 m2 a 72 € 8 cada m2 a €

• 2.a alfombra: 3 · 1,20 = 3,6 m2 8 3,6 m2 · €/m2 = 160 €

49 Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datospara un estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismotrabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada día?

Tardarían 12 días.

ENCUESTADORES H/DÍA DÍAS——————— ——— ———

· = 8 x = = 12 días

á l c u l o m e n t a l c o n p o r c e n t a j e s

50 Calcula mentalmente.

a) 50% de 220 b)50% de 4 600 c) 50% de 82

d)50% de 12 e) 25% de 800 f ) 75% de 800

g) 25% de 280 h)75% de 280 i) 25% de 60

j) 75% de 60

a) 110 b) 2 300 c) 41 d) 6 e) 200

f ) 600 g) 70 h) 210 i) 15 j) 45

C

5 · 8 · 279 · 10

x27

810

59

°¢£

5 8 279 10 x

721,62

721,62

10 · 12 · 1 0008 · 5

1 000x

512

810

°¢£

8 5 1 00010 12 x

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PROP. INVERSA

P. INV.

28

51 Obtén mentalmente el valor de x en cada caso:

a) 50% de x = 150 b)50% de x = 7 c) 25% de x = 120

d)25% de x = 6 e) 75% de x = 150 f ) 75% de x = 9

a) x = 300 b) x = 14 c) x = 480

d) x = 24 e) x = 200 f ) x = 12

52 Fíjate en los ejemplos y, después, calcula mentalmente.

• 10% de 220 = 220 : 10 = 22

30% de 220 = 22 · 3 = 66

5% de 220 = 22 : 2 = 11

a) 10% de 310 b)20% de 310 c) 10% de 480

d)5% de 480 e) 10% de 70 f ) 30% de 70

a) 31 b) 62 c) 48

d) 24 e) 7 f ) 21

53 Obtén, mentalmente, el valor de x en cada caso:

a) 10% de x = 31 b)10% de x = 4 c) 20% de x = 18

d)20% de x = 86 e) 5% de x = 35 f ) 5% de x = 2

a) x = 310 b) x = 40 c) x = 90

d) x = 430 e) x = 700 f ) x = 40

54 Copia y completa.

a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2.

b)Para calcular el 25%, dividimos entre…

c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por…

d)Para calcular el 10%, dividimos entre…

e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por…

a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2.

b) Para calcular el 25%, dividimos entre 4.

c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por 3.

d) Para calcular el 10%, dividimos entre 10.

e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por 4.

55 ¿Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes?

a) 50% b)25% c) 75%

d)10% e) 20% f) 5%

g) 30% h)70% i) 90%

29

a) 50% 8 b) 25% 8 c) 75% 8

d) 10% 8 e) 20% 8 f ) 5% 8

g) 30% 8 h) 70% 8 i) 90% 8

á l c u l o d e p o r c e n t a j e s

56 Calcula.

a) 15% de 160 b)13% de 700

c) 24% de 850 d)12% de 3 625

e) 4% de 75 f ) 65% de 720

g) 76% de 1 200 h)95% de 140

i) 32% de 420 j) 5% de 182

k)6% de 18 l) 72% de 641

m) 3,5% de 1 000 n)2,4% de 350

ñ)1,7% de 2 500 o)6,2% de 85

a) 24 b) 91 c) 204 d) 435

e) 3 f ) 468 g) 912 h) 133

i) 134,4 j) 9,1 k) 1,08 l) 461,52

m) 35 n) 8,4 ñ) 42,5 o) 5,27

57 Copia la tabla y completa.

58 Calcula como se hace en el ejemplo.

• 15% de 280 = 280 · 0,15 = 42

a) 18% de 1 350

b)57% de 2 400

c) 8% de 125

d)6% de 40

a) 18% de 1 350 = 1 350 · 0,18 = 243

b) 57% de 2 400 = 2 400 · 0,57 = 1 368

c) 8% de 125 = 125 · 0,08 = 10

d) 6% de 40 = 40 · 0,06 = 2,4

23% 16% 11% 92% 87% 2% 5% 2,5%

0,23 0,16 0,11 0,92 0,87 0,02 0,05 0,025

23% 16% 92% 2%

0,23 0,11 0,87 0,05 0,025

C

910

710

310

120

15

110

34

14

12

30

59 Calcula x como en el ejemplo.

• 15% de x = 42 8 x · 0,15 = 42 8

8 x = 42 : 0,15 = 280

a) 20% de x = 27

b)17% de x = 595

c) 5% de x = 3,2

d)7% de x = 17,5

a) 20% de x = 27 8 x · 0,20 = 27 8 x = 27 : 0,20 = 135

b) 17% de x = 595 8 x · 0,17 = 595 8 x = 595 : 0,17 = 3 500

c) 5% de x = 3,2 8 x · 0,05 = 3,2 8 x = 3,2 : 0,05 = 64

d) 7% de x = 17,5 8 x · 0,07 = 17,5 8 x = 17,5 : 0,07 = 250

r o b l e m a s d e p o r c e n t a j e s

60 Un empleado gana 1 700 euros al mes y gasta el 40% en pagar la hipote-ca de su vivienda. ¿Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos?

Le quedan 1 020 €.

Queda el 60% de 1 700 € = 1 700 · 0,6 = 1 020

61 De una clase de 35 alumnos, han ido de excursión 28. ¿Qué tanto porciento ha faltado a la excursión?

Ha faltado un 20% de la clase.

x = = 20 8

8 de cada 100 alumnos 20 han faltado 8 20%

62 Un hotel tiene 187 habitaciones ocupadas, lo que supone el 85% del to-tal. ¿De cuántas habitaciones dispone el hotel?

Dispone de 220 habitaciones.

85% de x = 187 8 0,85 · x = 187 8 x = 187 : 0,85 = 220

63 Un jugador de baloncesto ha efectuado 25 lanzamientos y ha conseguido16 canastas. ¿Cuál es su porcentaje de aciertos?

64% de aciertos.

x = = 64 aciertos de 100 lanzamientos16 · 10025

°¢£

25 lanz. 8 16 aciertos100 lanz. 8 x

7 · 10035

°¢£

35 alumnos 8 35 – 28 = 7 han faltado100 alumnos 8 x

P

31

64 La barra de pan ha subido un 10%, y ya cuesta 0,55 €. ¿Cuánto costabaantes de la subida?

Antes costaba 0,50 €.

x = = 0,50 €

65 En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2 500 personas, elalcalde actual recibió 1 500 votos. ¿Qué tanto por ciento votó al alcalde?

Votó al alcalde el 60% del censo.

= 0,6 del censo votó al alcalde.

66 Un embalse está al final del verano al 23% de su capacidad. Si en este mo-mento contiene 35 decámetros cúbicos de agua, ¿cuál es la capacidad total delembalse?

La capacidad del embalse es de 152,2 dam3

23% de x = 35 dam3 8 0,23 · x = 35 8 x = 35 : 0,23 = 152,2 dam3

67 Se ha caído una caja de huevos y se han contado 54 rotos, lo que suponeun 15% del total. ¿Cuántos huevos había en la caja?

Había 360 huevos.

15% de x = 54 8 0,15 · x = 54 8 x = 54 : 0,15 = 360

68 De 5 475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar.¿Qué tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar?

El 1,4% de los hombres.

= 0,014 8 1,4% sabe planchar.

69 Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que yaha solucionado más del 65% pero menos del 70%. ¿Cuántos problemas le que-dan por resolver?

Le quedan por resolver 6 problemas.

Ha terminado 12 problemas 8 quedan 18 – 12 = 6

70 Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden 14 000 li-tros, quedará completo. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

La capacidad es de 200 000 l.

100% – 93% = 7% 8 7% de x = 14 000 8 x = 14 000 : 0,07 = 200 000 l

°¢£

65% de 18 = 0,65 · 18 = 11,770% de 18 = 0,7 · 18 = 12,6

76 saben planchar5 475 total encuestados

1 500 votó al alcalde2 500 censo

100 · 0,55110

°¢£

110% 8 0,55 €100% 8 x €

32

71 Un jersey que costaba 45 € se vende en las rebajas por 36 €. ¿Qué tantopor ciento se ha rebajado?

Se ha rebajado un 20%.

PR. INICIAL REBAJADO————— —————

x = = 80 € 8

8 de cada 100 € se pagan 80 €, es decir, se rebajan 20 €.

72 Al sacar 2 000 litros de agua de un depósito cilíndrico, que estaba lleno,el nivel ha bajado un 8%. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

La capacidad es de 25 000 l.

8% de x = 2 000 8 0,08 · x = 2 000 8 x = 2 000 : 0,08 = 25 000 l

73 Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10% de agua,un 8% de proteínas, el doble de grasa y el resto de hidratos de carbono.¿Cuántos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta?

1 188 g de hidratos de carbono.

Porcentaje de hidratos = 100% – 10% – 8% – 16% = 66%

66% de 1 800 g = 0,66 · 1 800 = 1 188 g de hidratos.

74 Hace cinco años compré un piso por 240 000 €. En este tiempo la vi-vienda ha subido un 37%. ¿Cuánto vale ahora mi piso?

El piso cuesta ahora 328 800 €.

137% de 240 000 € = 1,37 · 240 000 = 328 800 €

75 Un bebé pesó al nacer, hace tres meses, 3 kilos y 600 gramos. Durante estetiempo su peso ha aumentado un 43%. ¿Cuál es su peso actual?

El peso actual es de 5 kg y 148 g.

143% de 3 600 g = 1,43 · 3 600 = 5 148 g

76 Un embalse tenía, a principios de verano, 775 decámetros cúbicos deagua. Durante el estío, sus reservas han disminuido en un 68%. ¿Cuáles son lasreservas actuales ahora, al final del verano?

Las reservas son de 248 decámetros cúbicos.

Queda: 100% – 68% = 32% de 775 dam3 = 0,32 · 775 = 248 dam3

36 · 10045

°¢£

45 € 8 36 €100 € 8 x

33

77 Este mes ha habido en mi comunidad autónoma 120 accidentes de tráfi-co, lo que mejora la cifra del año pasado que fue de 160 accidentes. ¿En qué tan-to por ciento han disminuido este tipo de accidentes?

Han disminuido en un 25% los accidentes.

ACCIDENTES DISMINUCIÓN————— ——————

x = = 25 accidentes menos de cada 100

78 Un hortelano tiene un campo de 3 500 metros cuadrados y desea plantarun 45% de los mismos de pimientos. ¿Cuántas plantas pimenteras debe adqui-rir si coloca 9 plantas por metro cuadrado y siempre compra un 10% más, parareponer las que se estropean?

Debe comprar 15 593 plantas.

• 45% de 3 500 m2 = 1 575 m2 para pimientos.

• 9 · 1 575 = 14 175 plantas.

• 10% de 14 175 = 1 417,5 8 1 418 plantas extra.

Total = 14 175 + 1 418 = 15 593 plantas.

79 En una población de 10 000 habitantes, el 15% son inmigrantes, y el 40%de los inmigrantes son ecuatorianos.

a) ¿Cuántos ecuatorianos viven en esa población?

b) ¿Qué porcentaje de la población es ecuatoriana?

a) Viven 600 ecuatorianos.

b) Un 6% de la población es ecuatoriana.

• 15% de 10 000 = 1 500 inmigrantes.

• 40% de 1 500 = 600 ecuatorianos.

• 600 ecuatorianos de 10 000 habitantes 8 = 0,06 8 6% ecuatorianos.

O bien: 40% del 15% = 0,4 · 15 = 6%

80 En unos grandes almacenes, rebajan un abrigo un 20% en las primerasrebajas y, sobre ese precio, vuelven a hacer otro 20% de descuento en las se-gundas rebajas. ¿Qué porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo?

☞ Supón que el abrigo costaba inicialmente 100 euros.

Se ha rebajado un 36% sobre el precio original.

Rebaja 20 €

100 € Rebaja 20% de 80 = 16 €8Rebaja total = 20 € + 16 € = 36 €

Pago 80 €

Pago 80%

60010 000

40 · 100160

°¢£

160 160 – 120 = 40100 x

34

81 Calcula el interés producido por un capital de 3 500 euros, colocado al5% anual durante tres años.

I = = = 525 €

82 Si pido un préstamo de 4 500 euros, al 6,5%, y lo devuelvo al cabo de 4años, ¿qué intereses debo pagar?

I = = = 1 170 €

83 Resuelto en el libro de texto.

84 ¿Qué interés producen 800 euros al 6% durante un año? ¿Y durante unmes? ¿Y durante 7 meses?

• 1 año: IAÑO

= = 48 €

• 1 mes: IMES

= IAÑO

: 12 = 48 : 12 = 4 €

• 7 meses: I7 MESES= 4 · 7 = 28 €

85 Calcula los intereses que genera un préstamo de 6 000 euros al 4,5% du-rante 5 meses.

Genera unos intereses de 112,5 €.

I = · = 112,5 €

86 En un banco de las Bahamas se ingresa un capital de 35 400 dólares enuna cuenta retribuida con un interés del 5% anual. Los beneficios se ingresanmensualmente en la cuenta. ¿Cuál será el saldo dentro de año y medio?

El saldo será de 38 151,15 €.

• Capital inicial 8 35 400 €

• Al final del 1.er mes 8 35 400 + = 35 547,5

• Al final del 2.° mes 8 35 547,5 + = 35 695,614…

Así:

MES SALDO INICIAL SALDO FINAL——— —————— ——————

3.° 35 695,61 35 844,35

4.° 35 844,35 35 993,70

5.° 35 993,70 36 143,67

6.° 36 143,67 36 294,27

35 547,5 · 512 · 100

35 400 · 512 · 100

6 000 · 4,5 · 1100

512

800 · 6 · 1100

4 500 · 6,5 · 4100

C · r · t100

3 500 · 5 · 3100

C · r · t100

35

MES SALDO INICIAL SALDO FINAL——— —————— ——————

7.° 36 294,27 36 445,50

8.° 36 445,50 36 597,35

9.° 36 597,35 36 749,84

10.° 36 749,84 36 902,97

11.° 36 902,97 37 056,72

12.° 37 056,72 37 211,13

13.° 37 211,13 37 366,17

14.° 37 366,17 37 521,87

15.° 37 521,87 37 678,21

16.° 37 678,21 37 835,20

17.° 37 835,20 37 992,85

año y medio = 18.° 37 992,85 38 151,15

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Matematicas Resueltos (Soluciones) Proporcional y Porcentajes 2º ESO

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