Matemàtiques: Resum Tema 9

REPÀS TEORIC

y=f(x).

y es la imatge de x, o que x es una antiimatge de y.

Si considerem la funció f(x)= x²-4, veurem que hi ha valors de la variable y que tenen

mes d’una antiimatge. Per exemple, el valor f(x) = 0 té per antiimatges x=2 i x=-2.

Domini i recorregut d’una funció

El domini es defineix com:

El conjunt de tots els valors reals de la variable independent que tenen per imatge un

nombre real constitueixen el domini de la funció. S’expressa per Df

El recorregut es defineix com:

El conjunt de totes les imatges reals de la funció és el recorregut o rang de la funció.

Funcions algebraiques:

Son funcions algèbriques les polinòmiques, les racionals, les irracionals i les definides a

trossos.

Funcions polinòmiques:

Son del tipus f(x)= A(x), on A(x) es un polinomi. La funció lineal, la funció afí i la funció

quadràtica, són exemples de funcions polinòmiques. Les funcions constants es poden

considerar funcions polinòmiques de grau zero. Qualsevol funció polinòmica tindrà

sempre imatge, per tant podem dir que el seu domini i el seu recorregut seran tots els

nombres reals.

F(x)=4x3-6x2+4x-12 Funció polinòmica de 3r GRAU

En qualsevol funció polinòmica qualsevol valor de la variable x sempre tindrà imatge

per tant podem deduir que:

Df=dg=dh= Tots els nombres Reals

Funcions racionals:

L’expressió algèbrica de les funcions racionals és del tipus f(x) = a(x)/b(x), amb b(x)

diferent a 0 i on A(x) i b(x) són polinomis.

Perquè les imatges siguin nombres reals cal que el denominador de la fracció sigui ≠0.

EXEMPLE:............................................................................

Domini de :

Es tracta de trobar l’arrel del polinomi denominador que el fa 0

2x-4=0 x=4/2=2

Per tant el Domini d’aquesta funció serà Tots els nombres reals tals que 2x-4≠0= O

sigui tots els reals - ‹2›

Funcions irracionals:

Les funcions irracionals són funcions en què no totes les imatges són nombres

racionals, però si nombres reals. Normalment, la seva expressió algebraica ve donada

per una arrel.

El domini d’una funció irracional ve condicionat per l’índex de l’arrel.

Quan l’índex es parell, el domini formen tots aquells nombres reals tant que el

radicand de l’arrel no sigui negatiu.

Quan l’índex es senar, el radicand pot ser positiu, negatiu o zero.

EXEMPLE:............................................................................

Trobar el domini de :

F(x)=

La condició que s’hi aplica aquest cas es simplement que per que es pugui operar el

radicand ha de ser major a 0, per tant podem escriure la inequació:

x-1≥0 Per tant x ha de ser necessàriament major que 1

El domini llavors seran tots els nombres Reals tals que es comprenguin entre l’ interval

{1,+ infinit)

Funcions definides a trossos:

Aquesta no sempre està definida de la mateixa

manera per a tots els valors de x. Quan una funció es

defineix utilitzant més d’una expressió algebraica, es

diu que està definida a trossos.

-x2----------------------- Si x > 0

x+1---------------------- Si x ≤ 0

Operacions amb funcions:

Funció suma:

els dominis de cada una serán els mateixos quan es sumi la funció.

EXEMPLE:............................................................................

F(x)=

G(x)=

Domini f(x)=

Nomes cal veure que igualant a 0 la part inferior de la fracció el domini son tots els

nombres reals excepte el 1 i el -1

FUNCIO PRODUCTE

(f·g)(x)=f(x)·g(x)

Aquesta segueix el mateix procediment que la suma, pero en comptes d’això es

multipliquen. Els dominis al igual que la suma es calculen després de haver operat.

EXEMPLE:............................................................................

=

El domini d’aquesta nova funció es el mateix que les altres d’on provenen.

FUNCIÓ COMPOSTA:

La funció composta s’expressa de la següent manera:

Simplement es tracta de que per la x de una funció es substitueix per tota una altra

funció.

EXEMPLE:............................................................................

F(x)=

G(x)=

(F composta de g)(x)=

F(x)= ------Aquesta seria la funció composta.

LA FUNCIO INVERSA:

La funció inversa, el que pretén es invertir les variables, la dependent per la

independent, d’aquesta manera per posar un exemple si fem una taula de valors on

s’observi per cada radi de la esfera, la seva superfície. Com tots sabem, la variable

dependent es la superfície, i la independent el

radi que tu penses.

Doncs be, el que podem aconseguir amb la

funció inversa es en comptes de prendre X com

el radi, prendre X com la superfície.

El procés que es segueix es el següent:

1-En primer lloc aïllar la x

2-Simplement invertir la x per la y i viceversa.

Finalment seguint aquests dos passos, obtenim

la funció inversa.

Part entera de x i part decimal de x

EXEMPLE:............................................................................

Després d’haver seguit els passos corresponents:

La funció part entera:

La funció part entera d’un nombre real es

pot definir de la manera següent:

A tot nombre real X, li correspon f(x) =n

Sent n el major nombre enter tal que

n≤x.

EXEMPLE:............................................................................