MATEMATICAS TRES ASINTOTAS DE UNA FUNCION X.doc
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7/22/2019 MATEMATICAS TRES ASINTOTAS DE UNA FUNCION X.doc
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Matemticas
ESTUDIO DE LAS ASINTOTAS DE UNA FUNCION.
RESUMEN:
El estudio de las funciones representa un argumento muy importante en losfenmenos fsicos aplicados a la ingeniera.
Un reto pedaggico para el docente universitario, consiste en transmitirconocimientos a travs del gr fico, y si a este gr fico se le conocen sus asntotas,
todo su estudio se facilita. En este tra!a"o presentaremos de forma clara ypedaggica la o!tencin de asntotas funcionales para una curva.
#onsideremos la funcin x x ee x x f +== )cosh(2)( . $!servando lo siguiente:0=
x
xelim
0=
x
xelim
El comportamiento asinttico por la derec%a es x
e , respectivamente por lai&'uierda xe
(a funcin )cosh(2)( x x f = , tiene dos asntotas funcionales no rectilneas.Si se conoce las asntotas de una funcin en estudio se facilita.
)efinicin:
Sea )( x f una funcin real de varia!le real definida en el intervalo [ ),a orespectivamente ( ]a, , tal 'ue:
*+ )()()( xh x g x f += , 'ue satisface:
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*- 0)( =+ xhlim x , o respectivamente:
*0)( =
xhlim
x .
Entonces se dice 'ue, para + x *respectivamente: x , la curva)(: x g yG = es una curva asinttica, o simplemente una asntota para la curva)(: x f y F = .
/or e"emplo, la funcin12
2
4
+
+=
x x
y , definida en . Se puede escri!ir:
13
112
22
2
4
++=
+
+=
x x
x x
y , con:
01
32 =++ x
lim x
, 01
32 =+ x
lim x
.
(a curva de ecuacin: 12 = x y , es una asntota para!lica para la funcin
racional12
2
4
++
= x x
y .
Se define la distancia del punto ),( y x P a la curva )(: x f y F = de lasiguiente manera:
( ){ }q pd F pd ,inf ),( = F q
Si 0, es una recta ),( F pd es la medida del segmento perpendicular desde p%asta la recta.
1. 2E$REM3: Si )(: x g yG = , es una asntota para la curva )(: x f y F = para
+ x
*respectivamente: x
, entonces se tiene :0),( =
G pd lim
x , F p .
)emostracin:
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#omo )( x g y = es una asntota para )( x f y = se tiene 'ue:
)()()( xh x g x f += , con 0)( =+ xhlim x si e l punto )(),( x f y F y x P =
)()( xh x g y += y por lo tanto el punto ),( y x P es de la forma( ))()(, xh x g x + .
/or otra parte:
i. ( ) ( )q P d G P d Gq ,,0 > , las curvas )( x f y = ,)( x g y = se pegan asintticamente 0),( = G P d .
)e particular importancia es el caso en el cual la curva )(: x f y F = presentaasntotas rectilneas. En tal caso se tiene:
).()()( xhbmx x f ++= con 0)( =+ xhlim x , respectivamente: 0)( =
xhlim
x.
(a recta bmx y L +=: es una asntota para + x *asntota rectilneaderec%a o respectivamente: x *asntota rectilnea i&'uierda . #uando (,es una asntota rectilnea derec%a e i&'uierda simult neamente se dice 'ue ( esuna asntota rectilnea.
11. 2E$REM3: (a curva 0, representada por la funcin )( x f y = . 2iene a lo m suna asntota rectilnea derec%a *respectivamente i&'uierda .
)emostracin:
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Supongamos 'ue 0 tiene una asntota rectilnea derec%a de ecuacinbmx y += . /or *+ se tiene:
i. ).()()( xhbmx x f ++= con 0)( =
xhlim x .
Supongamos 'ue 0 admite otra curva asinttica derec%a, de ecuacin:
ii. ).()()( 111 xhb xm x f ++= con 0)(1 =+ xhlim x . )e *i y *ii se tiene:
iii. 0))()(()()()( 111 =++= xh xhbb xmm x f .
4 se deduce 'ue :
iv. )()(,, 111 xh xhbbmm ===
5aranti&ando la unicidad de la asntota. (a unicidad de la asntota i&'uierda sedemuestra de forma an loga.
3S1N2$23S )E UN3 0UN#1$N R3#1$N3(.
#onsideremos la funcin racional)()(
)( xq x P
x f = . )onde )( x P y )( xq son
polinomios con coeficientes reales en la varia!le 678, s )( x A y )( x R sonrespectivamente los polinomios cociente y resto de divisin de )( x P y )( xq , se
tiene: )()()()( x R x A xq x P +=
+.)()(
)()()(
xq x R
x A xq x P += .
#omo el grado del polinomio )( x R es inferior al grado del polinomio )( xq se tiene:
-. 0)()( =
xq x Rlim
x.
(a ecuacin )( x A y = es una curva asinttica para la funcin)()(
xq x P
y = ,
tanto derec%a como i&'uierda, es decir: )( x A y = es una asntota.
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Si )( x P es de grado 6n8 y de grado 6n9+8, entonces )( x A es de grado +, y
por lo tanto)( x A
es una asntota rectilnea.
E"emplo:
11 223
+
+=
+ x x
x x
x
(a recta x y = es una asntota rectilnea para la funcin12
3
+=
x
x y .
111. 2E$REM3: 2oda funcin racional)()(
xq x P
y = tiene asntota.
)emostracin:
Sea n grado del polinomio )( x P ; m grado del polinomio )( xq :
Si mn > , por *+ se tiene 'ue el grado del polinomio )( x A es mn , ycomo se cumple *- se tiene 'ue el polinomio )( x A de grado mn , es una
asntota para la funcin)()(
xq x P y = .
S mn < :
0)()( =
xq x P
lim x
, Respectivamente: 0)()(
= xq
x P lim
x
(a recta 0= y es una asntota rectilnea para la funcin)()(
xq x P
y =
Si mn = . (a rectan
n
b
a y = es una asntota para la funcin
)(
)(
xq
x P y = . #on
na y nb coeficientes principales de los polinomios.
#uando )( x f y = , no es una funcin racional las cosas se complican al tratarde %acer la descomposicin *+ , pero e7iste un criterio para la !
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Supongamos:
L x f lim x
=+
)( , *Respectivamente L x f lim x
=
)( . L
(a curva )( x f y = , admite una asntota rectilnea derec%a *respectivamentei&'uierda de ecuacin L y = , !asta o!servar 'ue:
( ) L x f L x f += )()(
y %ay 'ue notar solamente 'ue:( ) 0)( =
+ L x f lim
x*respectivamente ( ) 0)( = L x f lim x .
E=EM/($:
(a funcin 8362 22 ++++= x x x x y , tiene asntota rectilnea derec%a: 21= y
y asntota rectilnea i&'uierda: 21= y .
E=EM/($:
x x
x x
eeee x y
+== )tgh(
1)tgh( =+
xlim x
1)tgh( =
xlim x
(a recta 1= y es una asntota rectilnea derec%a.(a recta 1= y es una asntota rectilnea i&'uierda.
Supongamos:
+=+ )( x f lim x y m x x f lim
x=
+)( . m *respectivamente para x
.
(a curva )( x f y = , tiene una asntota rectilnea derec%a y dic%a asntotatiene por ecuacin: bmx y += , donde:
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( )mx x f limb x
=
)( .
En efecto: Si la curva )(: x f y F = admite asntota derec%a, sta tiene porecuacin: bmx y += y se tiene:
( ) )()( xhbmx x f ++= con 0)( = xhlim x .
/or lo tanto tenemos:
x xh
xb
m x x f )()( ++=
tomando lmite: 0)( =
+
x
xhlim
x
y por lo tanto: m x x f
lim x
=+
)(.
/or otra parte se tiene:
)()( xhmx x f b = y como 0)( = xhlim x , se tiene:( )mx x f limb
x=
)(
Este resultado constituye un mtodo de c lculo para la asntota.
E=EM/($:
12 = x y . (as rectas x y = y x y = son las asntotas rectilneas derec%ase i&'uierdas respectivamente.
Supongamos:
+=+
)( x f lim x
y +=+ x
x f lim
x
)(
*respectivamente para x
(a curva )( x f y = no admite asntota rectilnea derec%a. )e %ec%o, si la
admitiera de!era ser:
( ) )()( xhbmx x f ++= , con 0)( = xhlim x y m x x f
lim x
=+
)(, y esto es una
contradiccin ya 'ue se tendra =m y ( )= ,m .
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)efinicin:
S =+ )(0 x f lim x x , se dice 'ue la recta 0 x x = es una asntota vertical derec%a.
S =)(
0
x f lim x x
, la recta 0 x x = es una asntota vertical i&'uierda.
S 0 x x = , es una asntota vertical derec%a e i&'uierda simult neamente, se dice'ue es una asntota vertical.
1>. 2E$REM3: Sea )(: x f y F = una curva 'ue satisface:
+=+
)(0
x f lim x x
o +=)(
0
x f lim x x
*respectivamente =+)(
0
x f lim x x
=)(
0
x f lim x x
Entonces, la recta ( de ecuacin 0 x x = , satisface:0),( =
+ L P d lim
y *respectivamente:0),( =
L P d lim
y ; con
( ) F y x P , .
)emostracin:
)emostremos el teorema en el caso cuando +)( x f y an logamente sera&ona cuando )( x f .
Sa!emos 'ue: )(),( x f y F y x P = y por lo tanto el punto P es de laforma: ( ))(, x f x P . ),(),( Q P d L P d LQ
En particular tomando el punto ))(,( 0 x f xQ , se tiene:
( )[ ] 00 ))(,(,)(,),( x x x f x x f xd Q P d ==
; y por lo tanto se tiene:
0),(),(0 x xQ P d L P d = .
S + 0 x x *respectivamente 0 x x , se tiene: 00 x x , + y y seconcluye 'ue:
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0),( =+
L P d lim y l.'.'.d.
Una funcin puede admitir infinitas asntotas verticales. /or e"emplo:
)tg()( x x f = , ya 'ue:
=
++
)tg(
2)12(
xlimn
x y
+=+
)tg(
2)12(
xlimn
x
n
(as rectas:
n x +
=2
, n , son asntotas verticales para )tg( x y = .
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