MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak
-
Upload
jmancisidor -
Category
Education
-
view
1.734 -
download
11
description
Transcript of MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak
![Page 1: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/1.jpg)
UD2: ANALISI MATEMATIKOAINTEGRAZIOA
BATXILERGO ZIENTIFIKO TEKNOLOGIKOAMATEMATIKA II
![Page 2: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/2.jpg)
2
1 1. INTEGRAL MUGAGABEA.
1.1. Funtzio baten jatorrizkoa.
[a, b] tartean definituta dauden f(x) eta F(x) bi funtzio izanik, esango dugu F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizko funtzioa dela, baldin eta F(x)-ren deribatua f(x) bada tartean.
𝐹 (𝑥) f
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑏𝑎𝑡𝑢𝑎
𝑗𝑎𝑡𝑜𝑟𝑟𝑖𝑧𝑘𝑜𝑎
Demagun F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizkoa dela [a,b] tartean; f(x)-ren integral mugagabea deritzogu haren jatorrizko guztien multzoari, F(x) + K eta honela adierazten dugu:
∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=𝐹 (𝑥 )+𝑘
![Page 3: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/3.jpg)
2
1 1.2. Berealako integralak.
![Page 4: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/4.jpg)
2
1
![Page 5: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/5.jpg)
2
1 1.3. Integral mugagabeen propietateak.
[∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ]′= 𝑓 (𝑥)
∫ [ 𝑓 (𝑥 )+𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥=∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥+∫𝑔 (𝑥 )𝑑𝑥
∫𝑐 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=𝑐∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥
![Page 6: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/6.jpg)
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.1. Deskonposizio bidezko integralak.
∫ ∫ ∫ dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()()(
∫ (3 𝑥2+4 𝑥−2 ) ∙𝑑𝑥=¿¿
![Page 7: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/7.jpg)
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.2. Ordezkapen metodoa.
∫ 2𝑙𝑛𝑥
𝑥∙𝑑𝑥=¿ ¿
![Page 8: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/8.jpg)
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.3. Zatikako integrazio metodoa.
∫𝑢 ∙𝑑𝑣=𝑢 ∙𝑣−∫𝑣 ∙𝑑𝑢
∫𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥=¿¿
![Page 9: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/9.jpg)
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.
∫ 𝑝 (𝑥)𝑞 (𝑥)
𝑑𝑥=¿¿
→ P(x)-en maila ≥ Q(x)-en maila : bi polinomioen arteko zatiketa egiten da. → P(x)-en maila < Q(x)-en maila: Q(x) faktoreetan deskonposatzen dugu ; aukera desberdinak lortu ditzakegu.
a) erro bakunak.
![Page 10: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/10.jpg)
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.
a) Erro bakunak:
b) Erro anizkoitzak:
c) Erro errealik gabeko faktoreak agertzen direnean:
d) Erro errealik gabeko faktoreak eta gainera izendatzailean polinomio bat agertzen denean;
![Page 11: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/11.jpg)
2
1 1.4. Integral motak.
1.4.5. Funtzio Trigonometrikoen integrazioa.
motatakoak:
a) m bakoitia eta n bikoitia; cosx=t ordezkapena egin
b) m bikoitia eta n bakoitia; sinx=t ordezkapena egin
c) m eta n bakoitiak; sinx=t edo cosx=t ordezkapenak egin daitezke
d) m eta n bikoitiak ; tanx=t ordezkapena egin. Kasu honetan;
, eta
Integrazioan funtzio trigonometriko generikoak ageri direnean:
,
![Page 12: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/12.jpg)
1
2
3
4
2. INTEGRAL MUGATUA.
2.1. Kurba baten azpiko azalera.
[a,b] tartearen partizioa deritzogu honako hau betetzen duten zenbaki errealen multzo ordenatu eta finitoari:
= b
Weierstrass- en teorema:F(x) funtzioa jarraitua bada [a,b] tartean, tarte horretako bi puntutan f(x) funtzioak maximoa eta minimoa ditu.Tarte horretan funtzioak duen maximoari M deituko diogu eta minimoari, m
![Page 13: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/13.jpg)
1
2
P partizioari lotutako f(x)-en goi-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:
𝑆𝑔 ( 𝑓 ,𝑃 )=(𝑥1−𝑥0 )𝑀 1+ (𝑥2−𝑥1)𝑀 2+…+(𝑥𝑛−𝑥𝑛− 1)𝑀𝑛
P partizioari lotutako f(x)-en behe-batura deritzogu, , zenbaki erreal honi:
𝑆𝑏 ( 𝑓 ,𝑃 )=(𝑥1−𝑥0 )𝑚1+(𝑥2−𝑥1 )𝑚2+…+ (𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 )𝑚𝑛
![Page 14: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/14.jpg)
1
2
[a,b] tartean jarraitua den f funtzio bat izanik, f-ren integral mugatua [a,b]-n deritzogu goi eta behe baturek biek duten limiteari, eta honela adierazten dugu:
∫𝑎
𝑏
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥= lim𝑛→∞
𝑆𝑔 ( 𝑓 ,𝑃 )=¿ lim𝑛→∞
𝑆𝑏 ( 𝑓 ,𝑃 ) ¿
![Page 15: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/15.jpg)
1
2
2.2. Funtzio integrala.
F funtzioa [a,b] tartean integragarria bada, funtzioari, izanik, f(x)-en funtzio integrala [a,b]-n deitzen zaio.
Barrow-ren erregela:Izan bedi f(x) funtzioa jarraitua [a,b]-n, eta F(x), f(x)-en jatorrizkoa [a,b]-n. Orduan;
- F
Integral mugatuen propietateak:
F(x) [a,b] tartean definituta egonik eta izanik, orduan;
![Page 16: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/16.jpg)
1
2
=
![Page 17: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/17.jpg)
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua eta positiboa bada [a,b]-n;
F(x)-en grafikoak, x=a eta x=b zuzenen eta abzisa ardatzak mugatzen duten eskualdearen azalera adierazpen hinek emandakoa da:
𝐴=∫𝑎
𝑏
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥
![Page 18: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/18.jpg)
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua, postiboa eta negatiboa bada [a,b]-n;
𝐴=∫𝑎
𝑐
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥−∫𝑐
𝑑
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥+∫𝑑
𝑏
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥
![Page 19: MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081413/54961e2db47959604d8b4efb/html5/thumbnails/19.jpg)
1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
f(x) eta g(x) funtzioa jarraituak, [a,b]-n;
𝐴=∫𝑎
𝑐
[ 𝑓 (𝑥 )−𝑔 (𝑥 ) ]𝑑𝑥+∫𝑐
𝑏
[𝑔 (𝑥 )− 𝑓 (𝑥 )]𝑑𝑥