1

1) MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS. Quan dues magnituds són directament proporcionals passa que en augmentar una d'elles llavors automàticament també augmenta l'altra Un exemple de dues magnituds directament proporcionals seria el nombre de quilòmetres recorregut per un cotxe i els litres que benzina gastats per fer aquests quilòmetres. És evident que si augmenta el nombre de quilòmetres que fem amb el cotxe, llavors també augmenta el nombre de litres de benzina que gastem. Si per recórrer un cert nombre de quilòmetres gastem una determinada quantitat de litres de benzina , seguint amb el raonament anterior, tenim que si per exemple fem el triple de quilòmetres (multipliquem la primera magnitud per 3) llavors el nombre de litres de benzina que gastem (2a magnitud) també serà el triple. EXEMPLES: 1) Una fruiteria ven mandarines a 6 € el Kg. Calculeu quin preu caldrà pagar per la compra de 8 Kg de mandarines. Si multipliquem per 8 la quantitat de mandarines que comprem (1 Kg) també caldrà multiplicar per 8 el preu de la nostra compra. ( 6 € ), ja que aquestes dues magnituds són directament proporcionals.

Preu final €488·6 € == Kgkg

2) Una màquina envasa 200 productes en 1 hora . Calculeu quants productes haurà envasat en 7 hores. Tenim un altre cas de dues magnituds directament proporcionals , el nombre de productes envasats i el temps que ha estat treballant la màquina.

Total = roductesPHoresHora

roductesP 16008·200 ==

TEMA 3: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA

Dues magnituds són directament proporcionals si, quan en multipliquem o dividim una d'elles per un nombre (diferent de zero), l'altra queda també multiplicada o dividida per aquest mateix nombre.

2

RAÓ DE PROPORCIONALITAT La raó de proporcionalitat és la relació constant que hi ha entre dues magnituds que són directament proporcionals. Quan diem que per exemple que un pintor ha pintat 18 metres de tanca en 6 hores, ja podem calcular quina és la relació que hi ha entre aquestes dues magnituds que són directament proporcionals (la longitud de tanca pintada i el temps tardat en fer-ho) En aquest cas la raó de proporcionalitat seria el nombre de metres de tanca que pinta aquest pintor en una hora.

hmhmr 36:18 ==

Representa doncs, que aquest pintor pinta 3 metres de tanca per hora i per tant ja podem calcular quina longitud de tanca pintarà en qualsevol quantitat de temps que vulguem saber. Si per exemple volem calcualr quina quantitat de tanca serà capaç de pintar en 7 hores . Multipliquem 7 h per la raó i obtindrem el resultat buscat.

mhLhm

hores 21·3·77 ==

Si per exemple volem saber quina longitud de tanca pot pintar en 11 hores . Multipliquem aquestes 11 hores per la raó de proporcionalitat d'aquest problema i obtindrem el resultat.

mhLhm

hores 33·3·1111 ==

I així successivament per qualsevol altre càlcul que vulguem fer. En definitiva podríem dir que aquesta raó de proporcionalitat és la que ens permet resoldre tots els problemes de proporcionalitat EXEMPLES: 1) Hem anat a comprar oli a la cooperativa del nostre poble i per 15 litres d'oli ens han cobrat 45 €. Calculeu quin seria el preu d'una compra de 75 litres d'aquest oli. En primer lloc calculem el preu de cada litre d’aquest oli es a dir la raó de proporcionalitat.

llr €3

15

€45==

Ara ja podem calcular el preu total de 75 litres d’oli multiplicant per la raó de proporcionalitat. llP lTotal 2253·75 € ==

3

2) Tenim un llibre que té 500 pàgines i hem tardat 40 dies a llegir-lo tot. Amb aquestes dades calculeu quantes pàgines podríem llegir en 60 dies. En primer lloc calculem la quantitat de pàgines que llegim cada dia es a dir la raó de proporcionalitat entre aquestes dues magnituds.

diaPàg

dies

pàgr 5'12

40

500==

Ara ja podem calcular el total de pagines que podríem llegir en 60 dies.

pàgdiesP diapàg

Total 7505'12·60 ==

3) Un pagès ha calculat que per regar les 30 tomateres que té al seu hort necessita uns 2250 litres d'aigua per temporada. Calculeu quants litres hauria de tenir a la cisterna per tal de poder regar 140 tomateres en aquest hort. Calculeu en primer lloc la raó de proporcionalitat entre aquestes dues magnituds (es a dir el nombre de litres que necessita cada tomatera.

.7530

2250Tomat

l

Tomateres

litresr ==

Finalment fem el càlcul demanat. litresTomatL Tomat

lTotal 500.1075·.140 . ==

4) Un cotxe ha donat 60 voltes a un circuit en 105 minuts. Calculeu quant de temps necessitarà per donar 70 voltes. En aquest cas la raó de proporcionalitat que ens interessa és els minuts que tardà en donar una volta.

.min75'1

60

min105voltavoltes

r ==

.min5'12275'1·70 .

min == voltatotal voltesT

4

2) MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS En el cas de les magnituds inversament proporcionals quan augment a la primera magnitud llavors disminueix la segona magnitud i a l'inrevés. Observem els següents exemples per aprendre a resoldre els problemes de proporcionalitat inversa EXEMPLES: 1) Si 8 treballadors han acabat de muntar una xarxa elèctrica en 6 dies. Calculeu quants dies haurien tardat en muntar aquesta xarxa un equip de 12 treballadors. Podem veure que com més treballador posem a la feina menys dies tardaran en acabar-la. Per tant es tracta d'un problema de proporcionalitat inversa. En aquest cas calculem primer quants dies hauria tardat un sol treballador en acabar la tasca És evident que un sol treballador hauria trigat 8 vegades més que tot l'equip de 8 treballadors. Calculem quant de temps hauria tardat un treballador sol a fer tota la feina diesdiesk 486·8 ==

Ara també podem veure que un equip de 12 treballadors tardarà 12 cops menys que un treballador sol

diesTFinal 412

48 ==

2) Si en unes oficines 6 fotocopiadores tarden 15 hores en fer totes les copies necessàries d'uns informes. Calculeu quantes hores haurien tardat en fer aquesta mateixa feina 10 fotocopiadores. Aquest també és un cas de proporcionalitat inversa ja que en augmentar el nombre de màquines disminueix el temps que es tarda en fer la feina Calculem en primer lloc quant de temps hauria tardat una sola fotocopiadora. horeshoresk 9015·6 ==

Calculem ara quant de temps tardarien 10 fotocopiadores.

horesTFinal 910

90 ==

Dues magnituds són inversament proporcionals si, quan multipliquem una d'aquestes magnituds per un nombre (diferent de zero), l'altra queda dividida per aquest mateix nombre. I si dividim la primera per un nombre diferent de zero llavors la segona queda multiplicada per aquest nombre.

5

3) Si repartim un sac de cereals entre 8 gallines els toca a 150 grams de cereals per gallina. Calculeu quina quantitat de cereals tocaria a cada gallina si repartim aquest sac de cereals entre 20 gallines. És evident que si augmentem el nombre de gallines disminueix la quantitat de cereals que li toca a cada una. Es tracta doncs d'un problema de proporcionalitat inversa. Calculem primer quina quantitat de cereals tocaria si únicament hi hagués una gallina. gramsgramsk 1200150·8 ==

De fet aquesta és la quantitat total de cereals que hi ha al sac. Ara repartim aquesta quantitat entre 20 gallines.

gramsCFinal 6020

1200 ==

4) Un cotxe circulant a 90 Km/h ha tardat 12 hores a fer un viatge. Calculeu quantes hores tardarà aquest cotxe a fer el mateix viatge si circula a 80 Km /h Veiem que si el cotxe disminueix la seva velocitat llavors augmenta el temps que tarda en completar el viatge, per tant és un cas de magnituds inversament proporcionals. Calculem quants quilometres ha fet en total aquest cotxe circulant a 90 Km/h durant 16 hores. KmhhKmk 144016·/90 ==

Finalment calculem quantes hores tardarà aquest cotxe a recórrer aquests quilòmetres circulant a 80 Km/h

horeshkm

kmTFinal 18

/80

1440==

3) PERCENTATGES. Una aplicació molt important de la proporcionalitat entre magnituds són els percentatges. El tant per cent d'una quantitat és el resultat que obtenim en dividir el total de la magnitud en 100 parts iguals i agafar-ne tantes com indica el percentatge. * Els percentatges s'expressen amb el símbol " % ". Així per exemple calcular el 15 % de 540 vol dir agafar la totalitat (540) i dividir aquesta quantitat en 100 parts iguals per agafar-ne 15.

Es a dir 8115·100

540 =

6

Una altra manera d'entendre com es calcula un percentatge, consisteix en expressar el percentatge en forma de fracció i multiplicar aquesta fracció per la quantitat total de la qual en calculem el percentatge. En el cas anterior .

100

15%15 →

Calculem ara quina part representa el 15 % d'un total de 540

81450·100

15 ==Part

4) PROBLEMES DE CÀLCUL DE PERCENTGES a) Càlcul de la part coneixent el percentatge i el total.

El que hem vist anteriorment és el procediment a utilitzar per resoldre tots els problemes en els quals hem de calcular a quina part del total correspon un cert percentatge. EXEMPLES:

1) En un institut de 400 alumnes el 12 % dels alumnes són de transport escolar. Calculeu quants alumnes d’aquests institut són de transport escolar.

En aquest cas s’ha de calcular a quina quantitat correspon el 12 % de 400.

alumnesPart 48400·100

12 ==

Així doncs 48 alumnes d’aquest centre són de transport escolar.

2) En un curs de 64 alumnes, el 25 % d’aquests alumnes han suspès la tecnologia. Calculeu quants

alumnes del total d’aquest curs han suspès la tecnologia.

Hem de calcular doncs el 25 % de del total de 64.

alumnesPart 1664·100

25 ==

Resulta que 16 alumnes han suspès la tecnologia i que això representa el 25 % dels 64 alumnes del curs.

7

3) D’un sac d’arena de 60 Kg en cal treure el 27 % per tal de barrejar-lo amb ciment. Calculeu quina

quantitat d’arena cal treure del sac.

KgPart 2'16100

162060·

100

27 ===

4) Una carretera de 156 Km de llargada està convenientment senyalitzada en un 78% del seu recorregut. Calculeu quants quilòmetres d’aquesta carretera estan ben senyalitzats.

KmtsenyalitzaTramPart 68'121100

12168156·

100

78 ====

ATENCIÓ: Hi pot haver percentatges que són nombres decimals.

5) Unes arracades que hem comprat en una joieria fan un per de 24’5 grams i ens diuen que porten un 56’8 % d’or. Calculeu quin pes d’or porten aquestes arracades ?

gordPart 916'13100

6'13915'24·

100

8'56' ===

b) Càlcul del percentatge coneixent la part i el total. Per resoldre aquests problemes cal tenir en compte sempre que, per calcular el percentatge es comença fent el quocient de la part entre el total i convertint el resultat d’aquesta fracció (que com a nombre decimal expressa un tant per u ) a percentatge tot multiplicant per cent el resultat.

100·%Total

Parta

Total

PartF =→=

EXEMPLES:

1) En una classe de 28 alumnes n’hi ha 7 que no van d’excursió. Calculeu quin percentatge d’alumnes suposa això.

%25100·25'0%25'028

7 ==→=== aTotal

PartF ExcursióNo

8

2) D’una caixa que té 60 bombetes, en surten 9 de defectuoses. Calculeu quin percentatge de bombetes defectuoses han sortit i també quin percentatge de bombetes correctes.

%15100·15'0%15'060

9 ==→=== aTotal

PartF sDefectuose

Bombetes Correctes = 60 - 9 = 51

%85100·85'0%85'060

51 ==→=== bTotal

PartFCorrectes

ATENCIÓ: Els percentatges s’acostumen a expressar amb dos decimals i si fa el cas, cal arrodonir el resultat.

3) En una finca que té una extensió de 35 Ha. hem deixat 8 Ha sense cultivar. Calculeu quin percentatge d’aquesta finca hem deixat sense cultivar.

%86'22%....857142'22100·.....22857142'0%

...22857142'035

8

≅==→

→===

a

Total

PartF cultivatNo

4) Si tenim en compte que un dia té 24 hores i que avui hem dormit 9’5 hores. Calculeu quin percentatge de dia hem passat dormint avui.

%58'39%...58333333'39100·3958333333'0%

......33958333333'024

5'9

≅==→

→===

a

Total

PartF ntDormi

c) Càlcul del total coneixent la part i el percentatge. Si a l'apartat "a" calculàvem la part multiplicant el percentatge en forma de fracció per el total, ara podem calcular el total dividint la part entre el percentatge expressat com a fracció. FPartTotal :=

EXEMPLES: 1) En una classe on 21 alumnes han aprovat les matemàtiques, el professor informa que han aprovat el 70% dels alumnes de la classe. Calculeu quin és el total dels alumnes d’aquesta classe. Cal expressar el percentatge en forma de fracció

100

70%70 =→ F Llavors:

alumnesFPartTotal 3070

2100

100

70:21: ====

9

2) Un pintor que ha estat pintant una fabrica durant 12 dies diu que ja ha completat el 60 € de la feina. Indiqueu quants dies són necessaris en total per pintar tota la fabrica.

100

60%60 =→ F

diesFPartTotal 2060

1200

100

60:12: ====

3) Quan ja portem 36 minuts fent un examen, el professor ens informa que ja hem gasta el 40 % del temps de que disposàvem per aquest examen. Calculeu quant de temps teníem en total per fer aquest examen i quant de temps encara tenim per acabar-lo

100

40%40 =→ F

inutsmFPartTotal 9090

3600

100

40:36: ====

4) Un jardiner te instruccions de tallar el 24 % de tots els arbres que hi ha en un jardí . Quan ha tallat 18 arbres para perquè ja ha complit les instruccions. Amb aquestes dades calculeu quants arbres encara queden en aquest jardí. En primer lloc calcularem quin era el total d'arbres d'aquest jardí.

100

24%24 =→ F

arbresFPartTotal 7524

1800

100

24:18: ====

Ara podem calcular quants arbres queden sense tallar. ArbresQueden 571875 =−=

5) ALTRES PROBLEMES DE PERCENTATGES a) Relació entre percentatges i fraccions

EXEMPLES

1) Indiqueu a quin percentatge equivalen cada una de les següents fraccions.

a) 11

8 b)

31

34 c)

25

9 d)

15

8

Per trobar a quin percentatge equival una fracció, en primer lloc cal trobar el nombre decimal corresponent a aquesta fracció fen la divisió del numerador entre el denominador. A continuació cal tenir en compte que aquest resultat expressa un tant per u i que cal passar-lo a percentatge multiplicant-lo per 100.

10

Recordem que els percentatges s'acostumen a expressar amb dues xifres decimals i que si fa falta s'ha d'arrodonir el resultat.

a) %73'72...72727272'72%......7272727272'011

8 ≅=→= x

b) %42'77.....4193548'77%..........774193548'031

34 ≅=→= x

c) %00'36%36'025

9 =→= x

d) %33'53.....333333333'53%..........53333333'015

8 ≅=→= x

2) Calculeu la fracció irreductible a la qual equival cada un dels següents percentatges.

a) 24 % b) 45 % c) 75 % d) 60 %

a) 25

6

100

24%24 ==→ F

b) 20

9

100

45%45 ==→ F

c) 4

3

100

75%75 ==→ F

d) 5

3

100

60%60 ==→ F

3) En un estadi de futbol hi caben 58.000 espectadors. Si avui han dit per megafonia que s'havien fet 3/5 d'entrada, calculeu quin percentatge representa això i també quin era el nombre d'espectadors que hi havia avui a l'estadi.

%60%6'05

3 =→= x

sEspectadorPart 800.34000.58·100

60 ==

4) En un edifici que esta en obres ja s'han construït les 3/8 parts d'aquest edifici. Indiqueu quin percentatge d'edifici ja s'ha aixecat i quin percentatge d'edifici queda per acabar.

%50'37%375'08

3 =→= Fetx

%50'62%50'37%100% =−=acabatNox

11

b) Problemes de increments percentuals. EXEMPLES: 1) Una camisa que valia 48 € ha vist incrementat el seu preu en un 15 %. Calculeu el preu final d’aquesta camisa. En aquest cas calculem en primer lloc quin ha esta l’augment de preu d’aquesta camisa.

€20'7€48·100

15 ==Augment

Un cop fet això ja podem calcular el preu final sumant aquest increment de preu al preu inicial. €20'55€20'7€48 =+=+= AugmentPP InicialFinal

2) Uns pantalons que valien 65 € han estat rebaixats en un 8 % . Calculeu el preu final d’aquests pantalons a les rebaixes. Aquest problema es resol de la mateixa manera que l’anterior però tenint en compte que ara cal restar el descompte o rebaixa del preu inicial per tal de trobar el preu final.

€20'5€65·100

8 ==ebaixaR

Un cop fet això ja podem calcular el preu final sumant aquest increment de preu al preu inicial. €80'59€20'5€65 =−=−= ebaixaRPP InicialFinal

3) Un llibre que val 18'20 € el veiem el dia de Sant Jordi etiquetat amb un preu de 15'47 €. Indiqueu en quin percentatge de descompte ha estat rebaixat el seu preu. El preu inicial era : €20'18=iP

El preu final era: €47'15=fP

La rebaixa ha estat doncs: €73'2€47'15€20'18 =−=− fi PP

Això suposa:

%15100·15'0%15'020'18

73'2 ==→=== aTotal

PartF ebaixaóR

12

c) Altres problemes 1) En una classe sabem que el 40% són nois i que hi ha 18 noies. Calculeu: a) El percentatge de noies que hi ha en aquesta classe. b) El nombre total d'alumnes. c) El nombre de nois. a) %60%40%100%%100%. =−=−= NoisNoies PP

b) 100

60%60 =→ F

alumnesFPartTotal 3060

1800

100

60:18: ====

c) NoisNoisNombre 121830 =−=

2) Un dipòsit amb capacitat per a 300 litres esta ple fins al 65 % de la seva capacitat. Calculeu quin percentatge de dipòsit falta per omplir i calculeu quants litres falten per acabar d'omplir aquest dipòsit %35%65%100%%100%. =−=−= PleFalta PP

100

35%35 =→ F

litresPart 10503000·100

35 ==