RESUM MATEMA TIQUES PARCIAL I TEMA 1 L’ESPAI EUCLIDEA

1. Operacions amb vectors

- Suma: se sumen els components.

- Producte per un escalar: es multiplica l’escalar per cadascun dels

components del vector.

- Producte escalar: es multiplica component per component i com a resultat

dóna un escalar.

- Calcular la norma:

( ) || || √

- Calcular la distància:

( ) ( ) ( )

( )

- Vector ortogonal: a i b són ortogonals si el producte escalar és igual a 0

(ortogonal vol dir perpendicular).

2. Conjunts oberts i tancats

OBERTS

Un conjunt és obert si tots els punts són interiors i els punts frontera no s’inclouen. És

a dir, quan la restricció no estigui igualada com per exemple o bé

TANCATS

Un conjunt és tancat si tots els seus punts són frontera. És a dir, quan la restricció

estigui igualada sí serà tancat. Com per exemple: o bé

3. Conjunts fitats i compactes

Serà fitat si pot estar contingut en un cercle. Serà compacte si és tancat i fitat.

4. Conjunts convexes

Serà convex si el segment de la recta que uneix dos punts qualsevols del conjunt està

contingut en aquest.

TEMA 2 MATRIUS

Les matrius són d’ordre (i x j) on i són les files i j les columnes.

Les operacions que podem realitzar amb matrius són:

- Suma: ( ) matriu del mateix ordre.

- Producte de matrius: sigui A i B es podran multiplicar sempre i quan A tingui

el mateix número de columnes que de files B. Per exemple:

No és commutatiu:

- Transposició: canviar les files per columnes.

1. Tipus de matrius

Distingim entre:

i. Matrius quadrades: mateix número de files que de columnes.

i. Simètriques.

ii. Triangular: per davant o sota la diagonal són tot zeros.

iii. Diagonal: per davant i sota de la diagonal són tot zeros.

iv. Identitat: la diagonal és tot 1 i la resta 0.

PROPIETATS DE LA TRANSPOSICIÓ

i. ( )

ii. ( )

iii. ( )

iv.

2. Determinants d’una matriu quadrada

- Si A té alguna fila o columna proporcional a auna altra, el determinant és 0.

- | | | |

- | | | | | |

CÀLCUL

Per a matrius d’ordre menor o igual a tres aplicarem la regla de Sarrus (anar

multiplicant les diagonals).

En canvi, per a matrius d’ordre superior a 3 aplicarem el càlcul d’adjunts. Vegem un

exemple:

| | |

| |

| |

|

Atenció: en matriu triangular, el determinant és igual a multiplicar el nombres de la

diagonal.

- Si una matriu és molt gran, calcular els adjunts es pot fer molt pesat, per això

podem anar aplicant Gauss i buscar una fila de zeros.

3. Rang d’una matriu

Es pot calcular amb menors i operacions elementals entre files.

Menors: submatriu formada per elements comuns a K files i K columnes.

Operacions elementals: es poden intercanviar files, multiplicar per un escalar o bé

substituir una fila per ella mateixa.

EXEMPLE

Buscar el rang de:

(

)

i. Buscarem la diagonal (en vermell).

ii. A posteriori buscarem una fila de zeros.

Vectors linealment dependents i independents: el nombre de vectors L.I. és igaul al

rang de la matriu formada per ells.

EXEMPLE II

Matriu amb una incògnita; estudiar el rang:

(

)

|

|

Si Rang A =2

Ara bé, si a=1:

(

)

Si a=-1:

(

) |

|

Per tant tenim:

{

4. Sistemes d’equacions lineals

Els podem expressar en forma matricial com:

(

) ( ) (

)

La matriu ampliada definida com (A/b) vol dir que és la matriu A més els termes

independents (b).

4.1. Classificació

Les matrius les podem classificar com:

- Compatible Existeix solució

o Determinat: existeix una solució per a cada incògnita.

o Indeterminat: infinites solucions. És quan usem paràmetres.

- Incompatible: no té solucions.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

Un sistema és compatible si i només si:

|

REGLA DE CRAMER

El determinant d’A és diferent a 0 aleshores el sistema té una única solució. Aplicarem:

| | |

|

| | |

|

| | |

|

També ho podem resoldre mitjançant Gauss.

TEMA 3 FUNCIONS DE DIFERENTS VARIABLES

Matriu associada a una funció lineal

Per exemple: ( ) ( ) (

)

CORBES DE NIVELL

Donada una funció, la igualarem a K per trobar les corbes de nivell, sent: ( )

Recorda les següents formes:

( )

( )

( ) ( ) ( ) √