Matemàtiques II Melanie Nogué Fructuoso

1

1

TEMA 7 OPTIMITZACIO SENSE RESTRICCIONS

Anem a veure el propòsit:

Si tenim un problema [P], que hem d’opt f(x) s.a. (subjecte a) tal

que:

{

} ( )

Per classificar les formes quadràtiques podem utilitzar dos mètodes:

- Per elements de la diagonal si és una matriu diagonal.

Una matriu és diagonal si:

(

)

a. Definida positiva si

b. Definida negativa si

c. Semidefinida positiva si

d. Semidefinida negativa si

e. Indefinida si

- Pel mètode de la regla de Sylvester: usarem els menors principals

diagonals o dominants.

(

)

a. Q és definida positiva si

b. Q és definida negativa si és a dir, alternen signes

començant per negatiu.

c. Q és indefinida si almenys un dels menors principals d’ordre parell és negatiu.

Per trobar els òptims tenim dues condicions:

i. Condició necessària de primer ordre (CNPO).

Matemàtiques II Melanie Nogué Fructuoso

2

2

( )

Hi ha un paral·lelisme amb les funcions d’una variable, les quals les derivàvem i les

igualàvem a 0. No obstant, aquí es mira el gradient, format per les parcials i s’iguala a

0.

ii. Condició suficient de segon ordre (CSSO).

- Si l’Hessiana en el possible òptim és definida positiva MÍNIM LOCAL

- Si l’Hessiana en el possible òptim és definida negativa MÀXIM LOCAL

- Si l’Hessiana en el possible òptim és indefinida PUNT DE SELLA

Un punt de sella és, si visualitzem una sella de muntar a cavall, hi ha uns punts crítics

els quals poden ser un màxim o bé un mínim, per això anul·la el gradient.

A més tenim la condició suficient de globalitat dels extrems locals:

- Si f és convexa i és un mínim local és mínim global

- Si f és còncava i és un màxim local és un màxim global

Caracterització de les funcions còncaves/convexes:

Si ( ) és definida positiva per tot x f és CONVEXA

Si ( ) és definida negativa per tot x f és CÒNCAVA

EXEMPLE I Troba i classifica els punts crítics d’aquesta funció:

( )

1. CNPO ( )

(1)

(2)

(1) ( ) ( ) ( )

(2) ( ) ( )

( )

(3)+(5) PC(0,0)

(3)+(6) PC(0,1/2)

(4)+(5) PC(4,0)

Matemàtiques II Melanie Nogué Fructuoso

3

3

(4)+(6) PC(4,1/2)

2. CSSO Classificar

PC (0,0)

( ) (

)

PC (0,1/2)

(

) (

)

PC (4,0)

( ) (

)

PC(4,1/2)

(

) (

)

PC (0,0) MÀXIM

PC (0, ½) PUNT DE SELLA PC (4,0) PUNT DE SELLA PC (4, ½ ) MÍNIM