MATEMÁTICA 2 - Losa · listones conociendo el número de tramos de cerca. d. Diseña una...

Este libro constituye una ayuda en el proceso de estudio de la Matemática. Los contenidos se presentan organizados en los distintos capítulos y responden a los temas presentes en el programa vigente para segundo año de Ciclo Básico.

Cada capítulo se inicia planteando actividades, preguntas, desafíos o juegos que pretenden, por un lado, recuperar lo que el estudiante ya sabe de cursos anteriores y, por otro, presentarle reflexiones relevantes para el desarrollo del tema que se inicia.

Las actividades presentes en el texto permiten trabajar en forma individual, en pequeños equipos o también con todo el grupo guiado por el docente. Algunas se realizan en el cuaderno, otras con la ayuda de la computadora y a veces será necesario construir material concreto ya sea para jugar o para elaborar modelos matemáticos. En estos últimos casos todo lo necesario está en el libro, pronto para recortar y armar.

Sobre el final de cada capítulo se presenta una sección de desafíos o acertijos no necesariamente relacionados con el tema abordado en él. El estudiante deberá desplegar toda su creatividad para afrontar los retos planteados.

Cierra cada capítulo una sección de actividades en la que se plantean situaciones problemáticas a resolver, aprovechando todo lo estudiado.Las actividades seleccionadas jerarquizan la comprensión de los conceptos evitando su aplicación desprovista de sentido.

Cristina Ochoviet / Fabián VitabarMATEMÁTICA 2

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MATEMÁTICA 2

MATEMÁTICA 2Cristina Ochoviet / Fabián Vitabar

© 2014 Cristina Ochoviet y Fabián Vitabar

Diseño y diagramaciónJuan Manuel Díaz

IlustraciónJorge Faruelo

© 2014 Losa Libros Ltda.Colonia 1551/53CP 11200 Montevideo, UruguayTel.: 2 401 2905 - 2 401 [email protected]

ISBN 978-9974-98-908-5

Presentación Este libro fue pensando para ayudarte en tu proceso de estudio de la Matemática. Los contenidos se presentan organizados en los distintos capítulos y responden a los temas presentes en el programa vigente para segundo año de Ciclo Básico.

Cada capítulo se inicia planteando actividades, preguntas, desafíos o juegos que pretenden, por un lado, recuperar lo que ya sabes de cursos anteriores y, por otro, presentarte reflexiones relevantes para el desarrollo del tema que se inicia.

Las actividades presentes en el texto te permiten trabajar en forma individual, en pequeños equipos o también con todo el grupo guiado por el docente. Algunas se realizan en el cuaderno, otras con la ayuda de la computadora y a veces te será necesario construir material concreto ya sea para jugar o para elaborar modelos matemáticos. En estos últimos casos todo lo necesario está en el libro, pronto para recortar y armar aunque seguramente deberás tener a mano los útiles necesarios.

Sobre el final de cada capítulo encontrarás una sección de desafíos o acertijos no necesariamente relacionados con el tema abordado en él. Deberás desplegar toda tu creatividad para afrontar los retos planteados.

Finalmente, cierra cada capítulo una sección de actividades en la que se te presentan situaciones problemáticas a resolver, aprovechando todo lo estudiado. Las actividades seleccionadas jerarquizan la comprensión de los conceptos evitando su aplicación desprovista de sentido.

Notarás que al intentar resolver algunas de las situaciones que se te plantean la información dada es insuficiente. En estos casos tendrás que investigar por tu cuenta y complementar los elementos dados. Es posible que tus compañeros lleguen a respuestas diferentes a la tuya. Lo importante no es arribar a una respuesta única sino que cada uno ofrezca una afirmación bien fundamentada. Esto, sin dudas, dará lugar a debates entre los integrantes del grupo que resultarán muy valiosos para todos.

En este camino de aprender matemática será muy importante el acompañamiento de tu docente. Él será quien te oriente y ayude.

Esperamos que este libro te guste mucho y, sobre todo, que a través de él desarrolles el gusto por la Matemática.

Cristina y Fabián

Este ícono indica que se presenta información ampliatoria o complementaria al contenido que se está desarrollando.

Este ícono indica que se plantea una actividad, se presenta luego un posible abordaje de ella y se arriba a una conclusión.

Este ícono indica una actividad para realizar con computadora. En el libro encontrarás la consigna de trabajo e ingresando en www.losa.com.uy/ediciones/matematica2podrás interactuar con distintos applets que te ayudarán a explorar diversos problemas y extraer conclusiones que contribuirán a la construcción de los conceptos que estás aprendiendo.

Este ícono indica una actividad que te será útil como punto de partida para comprender conceptos, para ampliar tu mirada sobre ellos, para establecer relaciones con otros temas o para plantear nuevas preguntas que te permitirán profundizar en lo ya estudiado.

Este ícono indica que se presenta una síntesis de los conceptos o procedimientos trabajados previamente. Se trata de información importante para recordar o tener en cuenta más adelante.

IconografíaEn este libro encontrarás diversos íconos que te indicarán la forma en que están organizados los contenidos.

8

capítulo 1

Es habitual que se utilicen cercas para delimitar una parcela de campo.

En este caso, cada tramo está formado por cinco listones de madera colocados horizontalmente y dos en forma vertical.

Completa la tabla:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

a. ¿Cuántos listones de madera tendrá una cerca de doce tramos?

b. ¿Y una de 20?

c. Explica con tus palabras cómo averiguas la cantidad de listones conociendo el número de tramos de cerca.

d. Diseña una expresión que te permita obtener la cantidad de listones de maderas conociendo la cantidad x de tramos.

Observa las siguientes igualdades y completa la última usando el mismo criterio.

Si ☺ representa un número natural cualquiera entonces ☺+1 representa su siguiente. Por ejemplo, si ☺ representa el cinco entonces ☺+1 representa el seis. El uso de un símbolo para representar un número natural cualquiera y su siguiente resulta útil para expresar en forma genérica lo que está escrito en el primer miembro de cada igualdad, porque como habrás observado las bases de las potencias son números naturales consecutivos:

(☺ + 1)2 - ☺2

Completa ahora con la expresión que corresponde al segundo miembro de la igualdad.

(☺ + 1)2 - ☺2 = ___________

4

5

Número de tramos

Número de listones de

madera

4

5

1 7

32 22 3 2

42 32 4 3

52 42 5 4_____ _____

− = +

− = +

− = +=

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9

+ =

+ =

- =: =

-( ) · ( - ) =

: =

Cada imagen representa un número. Averígualo de forma que sean correctas todas las operaciones planteadas.

Ya conoces bien la fórmula para calcular el área de un triángulo porque la has utilizado en muchas oportunidades. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la medida de uno de sus lados por la medida de su altura respectiva.En símbolos:

Completa la siguiente tabla:

b 5 0,5 3

h 7,8 6,2 4

A´ 27 36 10,2 Á

b h2

=×

10 Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresiones algebraicas

María José va a festejar su cumpleaños y desea decorar la mesa de tortas.

Se decide por un arreglo de magdalenas por una razón muy particular: si suma la cantidad de magdalenas de todas las bandejasdel arreglo obtiene exactamente la edad que cumplirá.

En cada bandeja siempre hay un número impar de magdalenas. En la superior se coloca una, en la siguiente tres, luego cinco y así sucesivamente.

a. ¿Cuántos años crees que cumple María José?

b. Completa la siguiente tabla:

c. ¿Podría María José estar cumpliendo 60 años? ¿Por qué?

d. Expresa con tus palabras cuáles son las edades que podría cumplir María José de acuerdo al criterio utilizado.

e. Si un arreglo tuviera nueve bandejas, ¿cuántas magdalenas habría en total?

f. ¿Cómo puedes calcular el número total de magdalenas conociendo el número de bandejas y sin hacer una suma?

g. Si a representa el número de bandejas, ¿cómo expresas el número de magdalenas que tiene el arreglo?

Número total de magdalenas

Número de bandejas

1

2

3

4

5

6

7

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 =

Der

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11

a. Describe con tus palabras cómo está construida cada figura.

b. Explica cómo sería la cuarta figura.

c. Completa la siguiente tabla.

Número deazulejos rojos

6

Número deazulejos turquesas

2

Número deazulejos totales

8

Figura

1

Los siguientes mosaicos decorativos están hechos con pequeños azulejos cuadrados de color rojo y turquesa.

d. ¿Cómo puedes expresar la cantidad total de azulejos que contendrá la figura que ocupa el lugar t en la fila de mosaicos?

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Abre el applet 1.1. La clase se dividirá en grupos. Cada grupo mirará y analizará una sola de las animaciones según se la asigne su profesor.Cada animación muestra cómo obtener la siguiente figura formada por cuadrados a partir de fósforos:

a. Luego de analizar la animación que les tocó mirar, expliquen con sus palabras cómo se generó la figura.

b. A continuación elaboren una fórmula que permita obtener la cantidad de fósforos necesarios para armar una figura de n cantidad de cuadrados.


En las actividades anteriores utilizaste expresiones algebraicas con diferentes objetivos: para expresar regularidades, para modelizar la relación entre dos cantidades que varían, para establecer diferentes relaciones numéricas.

En esta sección nos abocaremos al estudio de las expresiones algebraicas denominadas polinomios, como por ejemplo:

El polinomio x6 1× + tiene variable x. Esta variable representa un número. En el caso del problema que generó esta expresión, que es el referido al número de listones de madera para construir una cerca, x representa un número natural. Si x = 1 entonces la expresión algebraica x6 1× + toma valor numérico 7 ya que 6 1 1 7× + = , esto es, la cantidad de listones de la siguiente valla:

a2

n3 1× +

t2 62× +

x6 1× +

¿Para qué valor de x se obtiene una valla fabricada con 103 listones?

Si x 3= , el polinomio x6 1× + toma valor numérico 19 pues 6 3 1× + =19.En este caso la valla correspondiente es la siguiente:

Der

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13

Monomios semejantes

aa

Pila AV a= 3 Pila B Pila C

a

El volumen V de un cubo de arista a está dado, como ya sabes, por la expresión a3. ¿Cómo expresas el volumen de las siguientes pilas de cubos?

La pila A de cubos tiene volumen a2 3× , la pila B tiene volumen a3 3× y la pila C, a5 3× . Estas expresiones algebraicas se denominan, particularmente, monomios. En un monomio distinguimos coeficiente y parte literal:

En este problema, todos los monomios que expresan el volumen de estas pilas de cubos son monomios semejantes pues todos tienen la misma parte literal. Esto es, la misma variable con el mismo exponente.

PARTE LITERALCOEFICIENTE

a5 3×

MONOMIOS SEMEJANTES

a2 3×

a3 3×

a3

a5 3×


Cuando escribimos un monomio, se suele utilizar otro símbolo para expresar la multiplicación: un punto, y es muy habitual no explicitar siquiera este punto y escribir simplemente:

a3a2 3

a3 3 a5 3

El monomio a3 tiene coeficiente 1. Habitualmente, el coeficiente 1 se omite, esto es:

a a1 3 3⋅ =

Un profesor preguntó a sus estudiantes si los monomios m7 4− × y a1,2 4× son semejantes.

Mateo contestó que lo son pues la variable tiene, en ambas expresiones, el mismo exponente.

Candelaria opinó que no son semejantes pues tienen distinta variable si bien el exponente es el mismo.

¿Quién tiene razón?

En ambos monomios la variable aparece con exponente 4 pero para que los monomios sean semejantes eso no es suficiente. Deben tener además, la misma variable. Las partes literales no son iguales y en consecuencia, estos monomios no son semejantes. Candelaria tiene razón.

Manuel perdió su llave. Ayúdalo a encontrar el camino de monomios semejantes que le permitirá llegar a ella. Se entra por una casilla de la primera fila y se sale por una casilla de la última fila.

3x2

5x2 0,1 x2 14 x2 -x2

7,3 x2 x2 23 x2

3x -7x -10z2 6,3 z2 -z 2

z 2 -9z2 0,1 z2

4z 2 8z 214 y 2

-y 0,1 z

-3x 9,4 z 2

9x2

4 4z 8y-5z 2-7,3x-y 2

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15

Abre el applet 1.2. En cada caja solamente pueden guardarse monomios semejantes entre sí. Arrastra cada monomio a la caja que le corresponde. Deja afuera solamente a los que no sea posible ubicar en alguna caja.

En la siguiente figura puedes observar dos pilas formadas por cubos iguales: la pila A y la pila B.

a. Si formamos una nueva pila colocando una sobre otra, ¿cómo expresas el volumen de la nueva pila de cubos?

b. ¿Cómo puedes expresar el área de la superficie de un cubito? ¿Y el área de la superficie de la nueva pila?

c. ¿Es cierto que el área de la superficie de la nueva pila es la suma de las áreas de las pilas A y B?

Recuerda que:

x x x3 3 33 3 3= ⋅ = ×

x xx

Pila A

Pila B

Reducción de monomios semejantes

El volumen de la pila A puede expresarse como x3 3 y el volumen de la pila B como x4 3 o sea que la nueva pila tiene volumen x7 3. Para obtener una fórmula para el volumen de la nueva pila planteamos:

x x3 43 3+Ahora bien, en esta expresión podemos extraer factor común x3 y llegar a que:

x x x x3 4 (3 4) 73 3 3 3+ = + =

En síntesis:x x x3 4 73 3 3+ =

Esto puede visualizarse en la ilustración.


Observa que hemos sumado dos monomios semejantes y hemos obtenido otro monomio semejante a ellos. A este proceso lo denominamos habitualmente reducir monomios semejantes.

Para abordar la parte b, recordemos que el área de la superficie de un cubo de arista x es igual a la suma de las áreas de cada cara. Como la superficie de un cubo está formada por seis cuadrados de área x2, tenemos que el área de la superficie de cada cubito es x6 2 .

xx

x

Á x= 6 2

x2 x2 x2

x2

x2

x2

La superficie de la nueva pila está formada por treinta cuadrados, cada uno de ellos de área x2, de forma que el área de la superficie de la nueva pila es 30x2.

Para abordar la pregunta c, expresemos en primer lugar el área de la superficie de las pilas A y B:

Á (Pila A) = x14 2

Á (Pila B) = x18 2

Ahora sumamos ambas expresiones y como los monomios son semejantes podemos reducir:

x x x14 18 322 2 2+ =

Concluimos que el área de la superficie de la nueva pila no es igual a la suma de las áreas de las pilas A y B.

¿Cómo puedes explicar esta última conclusión sin recurrir a las expresiones algebraicas?

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17

Adición de polinomios

Completa con un monomio en cada recuadro para que los polinomios sean iguales en cada caso:

La suma de dos polinomios es otro polinomio. A continuación te explicaremos cómo hallar el polinomio suma de x x4 32 − + y x x9 7 12 − − .

Planteamos la adición con sus dos sumandos; luego suprimimos paréntesis e identificamos monomios semejantes con un mismo color para luego reducir:

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

a.

b. , ,

c.

d.

+ − + = − +

− + + + − + = + − +

− − − + = − −

− + − + + + = + +

4 7 2 9 7 2

8 4 16 0 1 5 16 0 1

7 18 12 0 18 12

5 7 01 0 0

22

3 2 3 2

22

22

x x x x x x x x x x( ) ( )− + + − − = − + + − − = − +4 3 9 7 1 4 3 9 7 1 13 8 22 2 2 2 2

POLINOMIOSSUMANDOS

POLINOMIOSUMA

En el caso d de la actividad anterior, seguramente analizaste que para obtener el polinomio x x0 0 02 + + debías completar los recuadros con monomios opuestos a los dados. Por ejemplo:

x x x x x x− + − + + − + = + +5 7 1 5 7 1 0 0 022 2

Los polinomios x x5 7 12− + − y x x5 7 12 − + son polinomios opuestos porque su suma es un polinomio que tiene todos sus coeficientes cero. Este último polinomio recibe el nombre de polinomio nulo. Usualmente lo planteamos así:

x x x x( 5 7 1) (5 7 1) 02 2− + − + − + =


m

3m + 1

a. Los polinomios 7m m53 − y x x7 53− + , ¿son polinomios opuestos? ¿Por qué?

b. a a0,1 32− − + y , ¿son polinomios opuestos? Explica tu respuesta.

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x

x x xx

xx x x x

x x xx x

,

, ,

− + − + − + + + +

+ + − + + − + + +

− + + − + − − − −

+ + + + + + + −

− − + + + − − + +

− + − + − + + + +

+ − + −

2 9 5 3 11 12

5 7 8 10 21 5 3

3 4 6 10 8 7 7

11 914

0 19 7 6 2

1 12 8 9 6 5 17 1

0 25 35 6 8 5 5 8

4 712

0 3 2 1

2 2 2

2 4 22 3 2 3

22

22 2

4

33 33

2

Sopa de monomiosEn la siguiente sopa de monomios Bruno circuló con un mismo color dos polinomios y su suma.

Trabajaremos con un rectángulo de lados variables como se muestra en la siguiente figura:

a. Dibuja los tres rectángulos que se obtienen asignando a la variable x tres valores distintos.

b. ¿Cuál de los siguientes enunciados describe a este rectángulo de lados variables?

• El ancho es igual a la mitad del largo.• El largo es igual al doble del ancho más uno.• El ancho es igual a la mitad del largo menos uno.

c. Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas representan el perímetro del rectángulo.

i. sii. m8 2+iii. m10iv. m m m m3 1 3 1+ + + + +v. m m4 1 4 1+ + +vi. m m3 1+ +

d. ¿Para qué valor de m el perímetro es 86?

a. ¿Es correcto el trabajo que hizo?

b. Completa las casillas en blanco con los monomios que correspondan de acuerdo al criterio de colores utilizado por Bruno.

c. Compara con tus compañeros la forma en que completaste las casillas en blanco. ¿Todos lo hicieron de la misma manera?

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Sustracción de polinomios

Para restar dos polinomios, le sumamos al minuendo el opuesto del polinomio sustraendo tal como lo podemos ver en el siguiente ejemplo.

( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x x3 4 3 3 4 3 42 3 2 2 3 2 3+ − − + = + − + − − = − + −

MINUENDO MINUENDO

SUSTRAENDO

DIFERENCIA

OPUESTO DELSUSTRAENDO

Inventa dos polinomios cuya diferencia sea +3x 9x 10.2 −

Asocia cada resta con el polinomio que falta.

x x x x

x x x x x

x x xx x

x x

. a.

. b.

. c.

. d.

51 1 4 5 2 1

2 4 2 1 4 2 7 4

3 18 12 1 11 17

4 7 04 4 3

2

23 2

2 2

2

( )

( )

( )

( )

( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − − = − ++ −

− + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − − + −

− + − − + = − + +

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +=


Multiplicación de polinomios

Este juego requiere la participación de dos jugadores. En primer lugar deberás recortar todas las fichas hexagonales de la página de al lado. Se seleccionan seis fichas verdes al azar y se colocan sobre el tablero en la franja de partida. Se reparten a cada jugador cinco fichas celestes. El juego consiste en ir completando por turnos la red de forma que cada monomio rojo sea el producto de los dos monomios en negro que quedan debajo de él. Si no se puede colocar ninguna ficha celeste, se toma una del mazo y pasa el turno al compañero. Gana quien se queda sin ninguna ficha o el que se queda con menor cantidad de fichas luego de completar el tablero de juego.

Desafío: Armar un puzzle¿Pueden completar un tablero cuya franja de partida tenga nueve fichas verdes? Recuerda que cada monomio rojo debe ser el producto de los dos monomios en negro que estén debajo de él.

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21

-

x

-3x2-2x3

-3x2-4x

-3x2-x4

-3x23x2

-3x2-2x

-3x2x2

x-2x3

x-4x

x-x4

x3x2

x-2x

xx2

2x2-2x3

2x2-4x

2x2-x4

2x23x2

2x2-2x

2x2x2

x3-2x3

x3-4x

x3-x4

x

x33x2

x3-2x

x3x2

2x-2x3

2x-4x

2x-x4

2x3x2

2x-2x

2xx2

2x4-2x3

2x4-4x

2 4-x4

2x43x2

2x4-2x

2x4x2

x7

3x5

-2x4

x5

-2x6

4x4

-2x5

6x3

-4x2

2x3

-4x4

8x2

-2x8

6x6

-4x5

2x6

-4x7

8x5

-12x3

3x6

-9 4

6x3

-3x4

6x5

4x2

-x5

3x3

-2x2

x3

-2x4

8x3

-2x6

6x4

-4x3

2x4

-4x5

2x-x4

x-2x3

x3-4x

-3x2-2x

x-x4

2x4-4xx3x2

x3-2x-3x2-2x3

x3-x4


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23

Veamos ahora cómo hallar el producto de un monomio por un polinomio. Aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos el polinomio producto.

Como habrás observado, para obtener el producto aplicamos la propiedad distributiva.

Multipliquemos ahora dos polinomios. Para ello multiplicamos cada término del primer polinomio por cada uno del segundo. Luego identificamos términos semejantes y reducimos. Finalmente escribimos el polinomio ordenado según potencias decrecientes de base x.

FACTORES PRODUCTO

x x x x x x10 1822 3 5 9 6 32( )− − = − −

Se desea instalar una piscina de fibra de vidrio de 2,2 m de profundidad pero aún no se han definido largo y ancho. Sí se sabe que el largo será de 2 m más que el ancho tal como se modela en la siguiente figura.

a. Indica cuáles dimensiones (largo, ancho, profundidad), expresadas en metros, se adecuan al modelo proyectado.

i. 8; 6; 2,2ii. 5,3; 3,3; 2,2iii. 6,4; 6,2; 2,2iv. 4,2; 2,2; 2,2

b. Deduce una fórmula que exprese el volumen de esta piscina en función de x.

c. Después de instalada la piscina se decide pintar todas las paredes laterales con color verde agua. La pintura para fibra de vidrio tiene un rendimiento de 5 m2/l. Si se utilizaron 44 litros de pintura para cubrir con una mano los cuatro laterales, ¿cuál fue el valor de x que se decidió utilizar finalmente para construir la piscina?

x + 2 2,2 m

x

( x + x )( + ) = x( + ) + x ( + ) + = + x2x 3 2x 3 2x 3 2x 3x 2x 3x 2x 3x2 2 2 3 2 3 2− − − − −= +


En este capítulo te enfrentaste a la resolución de ecuaciones para dar respuesta a algunos problemas que se plantearon.

En el caso del problema de las vallas, seguramente planteaste que si el número de listones era 103, debías averiguar para qué valor de la variable x se cumplía que x6 1 103+ = . Esta expresión recibe el nombre de ecuación. En ella la variable x representa un número real y recibe también el nombre de incógnita.

En una ecuación identificamos dos miembros vinculados a través de un signo de igualdad como puedes ver a continuación:

Ecuaciones

Habrás llegado a que con 103 listones es posible construir 17 tramos. 17 se llama solución o raíz de la ecuación porque 6 17 1 103⋅ + = . Por ejemplo, el número 25 no es solución porque 6 25 1 103⋅ + ≠

Ahora bien, si tenemos una ecuación, ¿cómo podemos averiguar su solución? Te enseñaremos un método muy antiguo empleado por los hindúes. Estos lo llamaban método de inversión para resolver ecuaciones y consiste en “desandar lo andado”, o sea realizar todas las operaciones en orden inverso. Aryabhata (476 d. C.) lo explicaba así:

PRIMERMIEMBRO

x6 1 103+ =

SEGUNDOMIEMBRO

INCÓGNITASolución significa `el acto de desatar´,`deshacer´, `desenredar´, `desembarazar´. Es el acto de eliminar el problema. Proviene del sustantivo latino solutio, derivado del verbo sólvere que significa `soltar´, `deshacer´, `desatar´, `librar´, `desenvolver´.

La multiplicación se convierte en división; la división en multiplicación; lo que era beneficio se convierte en pérdida; lo que era pérdida se convierte en ganancia.

Extraído de Historia de las matemáticas de Vicente Meavilla Seguí

Te mostraremos a continuación cómo aplicarlo para resolver la ecuación:

x6 1 103+ =

La ecuación nos dice que un número llamado x se multiplica por 6, al resultado se le suma 1 y se obtiene 103.

El camino inverso a realizar consiste en partir de 103, restar 1 y dividir entre 6. Te lo mostramos en el siguiente esquema:

Der

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25

x

x

x

6 1 103

6 102

17

+ =

=

=

sumar 1

multiplicar por 6

restar 1

dividir entre 6

CAM

INO DIRECTO

CAMIN

O INVERSO

Si nos preguntan para qué valor de x se obtiene una valla fabricada con 74 listones planteamos la ecuación:

x6 1 74+ =

Para resolverla usamos el método de inversión:

x6 73=

x736

=

La solución de la ecuación no es número natural y por lo tanto, podemos afirmar que no existe un número de vallas que requiera exactamente 74 listones de madera.

Como ves, cuando utilizas una ecuación como medio para resolver un problema es muy importante que analices si la solución de la ecuación brinda una respuesta al problema acorde al contexto donde está planteado. En el caso anterior, el número de listones debe ser necesariamente un número natural.

En el problema del rectángulo se pedía averiguar para qué valor de m el perímetro es 86. Esto puede traducirse mediante la ecuación m8 2 86+ = .

Si aplicamos el método de inversión para resolver esta ecuación tendremos que restar 2 a 86 y el resultado obtenido dividirlo entre 8. Esto es:

m8 86 2= −

m8 84=

m848

=

m 10,5=

10,5 es la solución o raíz de la ecuación pues en efecto se verifica que 8 10,5 2 86× + = .

En épocas pasadas, cuando el álgebra que utilizamos hoy en día no existía como tal o estaba dando sus primeros y balbuceantes pasos, la resolución de problemas elementales de primer grado (problemas de móviles, grifos, relojes,…) fue atacada por los matemáticos mediante métodos aritméticos y geométricos en los que no era preciso utilizar ningún tipo de simbolismo algebraico.

Extraído de Historia de las matemáticas de Vicente Meavilla Seguí


Halla la solución de cada una de las siguientes ecuaciones por el método de inversión. En cada caso la incógnita representa un número real.

a. x 15 32+ =

b. x14 5 4= −

c. a4 7 107+ =

d. c17 10 330− =

e. t26 56= −

f. v9 34 214+ =

g. x20 33 66− =h. z349 29= +

Te proponemos la resolución de algunos problemas expresados en álgebra retórica. Esto es, en lenguaje verbal. En primer lugar traduce cada enunciado mediante una ecuación (álgebra simbólica) y luego halla su solución.

a. Encontrar un número tal que si se lo multiplica por ocho y se le suma cuarenta y uno, se obtiene noventa y seis.

b. ¿Cuál es el número tal que si se lo divide entre cuatro y al resultado obtenido se le suma cinco, da treinta y dos?

c. ¿Puedes decir cuál es el número tal que si se lo multiplica por cinco y se le resta ciento nueve da como resultado cuarenta y uno?

El profesor mandó como tarea domiciliaria investigar si existe un número entero x que cumpla que x4 1 10− = .

Al otro día los alumnos presentaron sus respuestas. Una parte de la clase afirmó que x es 2,75 y otro grupo dijo que el número buscado no existe.

¿Qué grupo tiene razón?

Como ves, para decidir si un número es solución de una ecuación, es fundamental tener en cuenta a qué conjunto númerico debe pertenecer.

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27

DESAFÍOS

Averigua el área de la cruz sabiendo que cada número corresponde al área de la parte coloreada de azul.

Cinco de las figuras coloreadas completan el siguiente damero. ¿Cuáles son?

10 10 4

Unidad de superficie:


ACTIVIDADES

1

Utilizando escarbadientes diseñamos la siguiente secuencia de figuras. Cada pieza tiene forma de “L” y se forma con ocho escarbadientes.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a. ¿Cuántos escarbadientes se necesitan para formar la figura que está compuesta por cuatro piezas?

b. Completa la tabla.

c. Deduce una expresión que permita obtener el número de escarbadientes a partir del número n de piezas.

d. ¿Qué número de piezas se construye con 150 escarbadientes?

Figura Número de piezas

Número de escarbadientes

1

2

3

4

5

Der

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29

3

2

Abre el applet 1.3. Visualizarás una cuadrícula y un cuadrilátero cuyos vértices son puntos de la trama. Hay puntos rojos y puntos azules.

1. El precio de cuatro pendrives de 8Gb cada uno.2. El precio de tres pendrives de 8Gb y dos de 32 Gb.3. El dinero que te devuelven cuando compras dos pendrive de 8Gb y pagas con un billete de 1000 pesos.4. El dinero que te devuelven cuando compras una unidad de cada tipo de pendrive y pagas con un billete de 1000 pesos.5. La diferencia entre el precio de ambos tipos de pendrive.

Con la letra d se indica el precio en pesos de un pendrive de 8Gb y con la letra m el precio en pesos de uno de 32Gb. Asocia cada enunciado con su traducción al lenguaje simbólico.

Mueve el cuadrilátero por uno de sus vértices y observarás que algunos puntos cambian de color.

a. Ahora no muevas el cuadrilátero, déjalo en una posición fija. ¿Qué puntos quedan pintados de azul? ¿Y de rojo?

b. Completa la siguiente tabla cambiando el cuadrilátero las veces que sea necesario.

c. Deduce una fórmula que permita expresar el área de un cuadrilátero en función del número de puntos rojos y azules.

Número de puntosinteriores al cuadriláteroNúmero de puntos azules Área del cuadrilátero

d. Calcula el área del polígono de la figura.

a. m d1000 ( )− + b. m d( ) 1000+ −c. d4d. m d−e. d m3 2+

f. d1000 2−g. d1000−h. m d3 2+


4

Sustituye 0 en 2x - 1 y anota el resultado en el casillero de su derecha. Sustituye este resultado en la expresión siguiente y así sucesivamente. Si no te equivocas llegarás al tesoro de 5000 monedas de oro.

5

x −2 1

x( )+3 3

x +13

3

x, −6 5

x −4 5

x( )− −

x−6 2

x−

9

x −30 1000

x +5 202

x +6 4

-x -2x -3x

19 x

x2

-37x

a27a2-a2

a2

2,5 a2

Completa sumando monomios semejantes de adentro hacia fuera de acuerdo a la información que se presenta en cada red. En la primera red hay un caso ya resuelto:

Der

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nes

31

6

Completa la red partiendo del número que está dentro del triángulo y llega a la cima.

xx( )−

x− x− x + x( )+

x − x−x

−x −

x − x

73 7 1

1 3 3 5 2 1

52

1 2 13

64

2 2

3

Las actividades 4 y 6 fueron inspiradas en materiales desarrollados por el Departamento de Enseñanza de las Ciencias del Instituto Científico Weizmann de Israel.


8

7

Calcula de todas las formas posibles el área del rectángulo más grande.

a

a x

a

aa

ax

Conecta aquellas expresiones algebraicas tales que luego de operar y reducir generan el mismo polinomio.

x x x x( 2 ) ( 3 5 7)2 2+ + − + +

x x x3 82 3 2− − −

x x x(7 6 10) ( 6 1)2− + + − − +

x x x x2 93 3− − + − +x x2 7 13 2− + − −

x 12 −

x x x2(3 5) (2 3 1)3− − + −

x x x x( 1)( 1) ( 7)3 2− + − + +

x x x5 7 15 212− − + +

x x x3( 5 7) 5 72− − − − −

x x( 3)( 5 7)− − −

x x x9 2 72− + − +

x10 7 12− − −

Der

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icio

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33

9

Completa el crucigrama.

1 2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12

13 14 15 16

Horizontales1. Una docena3. x ....=5. x 6 4+ = , x ....=7. x40 5 2+ = + , x ....= 9. El siguiente de 58.11. Si le sumamos cuatro y dividimos el resultado entre 10, obtenemos el 3.13. Es un cuadrado perfecto.16. x7 4 0− = , x ....=

Verticales1. Sus cifras suman 5.11. x 18 3− = , x ....=


Este libro constituye una ayuda en el proceso de estudio de la Matemática. Los contenidos se presentan organizados en los distintos capítulos y responden a los temas presentes en el programa vigente para segundo año de Ciclo Básico.

Cada capítulo se inicia planteando actividades, preguntas, desafíos o juegos que pretenden, por un lado, recuperar lo que el estudiante ya sabe de cursos anteriores y, por otro, presentarle reflexiones relevantes para el desarrollo del tema que se inicia.

Las actividades presentes en el texto permiten trabajar en forma individual, en pequeños equipos o también con todo el grupo guiado por el docente. Algunas se realizan en el cuaderno, otras con la ayuda de la computadora y a veces será necesario construir material concreto ya sea para jugar o para elaborar modelos matemáticos. En estos últimos casos todo lo necesario está en el libro, pronto para recortar y armar.

Sobre el final de cada capítulo se presenta una sección de desafíos o acertijos no necesariamente relacionados con el tema abordado en él. El estudiante deberá desplegar toda su creatividad para afrontar los retos planteados.

Cierra cada capítulo una sección de actividades en la que se plantean situaciones problemáticas a resolver, aprovechando todo lo estudiado.Las actividades seleccionadas jerarquizan la comprensión de los conceptos evitando su aplicación desprovista de sentido.

Cristina Ochoviet / Fabián VitabarMATEMÁTICA 2

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MATEMÁTICA 2 - Losa · listones conociendo el número de tramos de cerca. d. Diseña una...

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