MATEMÁTICA CIU 2018 - untdf.edu.ar · 3 53ªº3 2 ¬¼ f) 3 3 23 2 2. Si a dos números naturales...

MATEMÁTICA

CIU 2018

COMISIONES: 1-2-3-4-7-8

CIU 2018-MATEMÁTICA

Operatoria con Números Reales PRÁCTICO 1

1

1. Controla si los resultados son correctos: a) 6 ( 3) ( 12) : ( 3) 6 19

b) 8: ( 4) ( 5).( 15) : ( 3) 27

c) 4 2 52 4 :8 2 18

d) 8 (6 4) :3 24 8 : 16 12 9 : 5 2 3

e) 3

23 1 28 32 : 4 12 3 2.5 5 53

f) 2 3 234 2. 5 2 2 4 .( 1) ( 3) 14 : 2 9 13

2. Si a dos números naturales se los identifica con las letras a y b , y se sabe que:

- 300 a b . ¿Cuál es el resultado de:

- 298 ? a b

- 298 ? a b

3. Controla si los resultados son correctos:

3 5 1 4 3 1 19 5 3 1 10 1 3 17) . . ; ) .8 3 2 11 4 5 80 9 4 2 3 2 5 36

3 2 4 4 1 3 3 19) : . :

5 3 5 3 3 4 7 12

a b

c

4. Un comprimido se compone de 20% de aspirina, 42% de vitamina C y 38% de

excipiente. Si pesa 2 gramos, cuántos miligramos contiene de cada componente?

5. En un partido de básquet, Alejandro ha acertado 12 tiros al aro sobre un total de 20 intentos; Santiago ha acertado 7 tiros sobre un total de 10, y Agustín 15 sobre un total de 25. Cuál de los jugadores obtuvo el mejor porcentaje de aciertos?

6. En el rectángulo ABCD, qué porcentaje de su área total, representa el área sombreada?

7. Une con una flecha los números iguales: 3 3 2 -5

2 -2 2 -2

0,2.10 20 0,02.10 2.10 2000 0,02.10 200.10 0,02

0,2.10 0,2 2000.10 20.10 2 200 0,002 2.10



2

8. Verifica los resultados de estas operaciones:

22 -2

2 0

7 2 71 2 1 81 1 110 10 4 a) 2 ; b) ; c) +3 .10 4

1 1 4 3 2 4 2 91 2

2 4

3 1 4.

12 4 5 d) 1

1 3 15 2:

8 4 16

9. Analiza cada expresión para verificar si es verdadera o falsa.

12 3 3 1 1 1 1) 4 1 ..... ; ) 1 ..... ; ) .....

3 12 3 4 9 6 9 6

9 7) 9 ..... ; ) 4.9 4. 9 ..... ; ) 64 36 64 36 .....

7

1 1 13) .....

4 9 6

a b c

d e f

g

10. Observa cada una de las expresiones:

- 1

.1 1

.

a b c d c b a c a c

b d b d b d

a c a c c c a d

b b b b d b d b c

En todas ellas es 20, 5, 30, 3a b c d .

Sin hacer los cálculos, ¿puedes decir cuáles tienen igual resultado?. ¿Por qué?. Verifica lo afirmado, calculando el valor de las expresiones.

11. Escribe, en los casos posibles, cada una de las siguientes expresiones como una sola potencia:

a) 4 2( 3) .( 3) .( 3) b) 5 2( 3) ( 3)

c) 3

2( 4)

12. Expresa como una sola potencia:

2 2 52 5 5 5 5

3 3 53 4 5 3 6

) . ) . ) . ) :

) : ) : ) : ) :

a x x b x x c x x d x x

e x x f x x g x x h x x

13. Escribir como radicales los siguientes números:

1/ 2 2/3 1/3 2/34 ; 7 ; 9 ; 8



3

14. ¿Son ciertas las siguientes igualdades?:

13

2 3 6 3 2 43

3 3 3 21

1 1 0 3142 2

10 . 10 2 .2 .2) 14.2 6.2 8.2 2 ) 1000 ) 512

2 .2 .210 . 10

a b c

; ;

15. Resuelve, expresando el resultado sólo con exponentes positivos:

1/ 2 2 / 5 5/ 4 3 2 1/ 2 2 / 3 3

3/ 2 1/ 5 1/ 4 10 1/ 2 1/ 3 5

. . ( ) . ( ) .) )

. . ( ) . .

a b c a b ca b

a b c a b c

;

16. Analiza la validez de las siguientes afirmaciones: 1 1)2 2 3.2 )3 3 2.3n n n n n na b ;

17. La expresión: 3 3

3

2 2

2 2

x x

x x

, es igual a:

32 2 2 7 8a) b) c) d) e) x x

18. Verifica que:

42 3 57

4 1

2

1) 2 : 2 ; b)

2

x xa x x

x x

19. Verifica, aplicando las propiedades convenientes:

31

1 5 54 1 2 2 2 131 4 239 3

21 1 53 3 12 3 9

2 2

) 2 : 2 .2 2 ) 0,3 : 0,3 1

1 1 1) .5 . : 5

5 5 5

a b

c

20. Aplica las propiedades de la potenciación y verifica que:

3 3 3 3

1 2 2 1 1 2 1 2) 3.3 3 : 3 8 ) 10.2 : 2 1000 )2 . 2.2 2 32n n n n n n n na b c ; ;

21. Comprueba que:

2 2

2

2

1 10,09 0,7 0,7

1,2 1,8 6 2 5) 1 ) 2

31,5 1,5 0,3 0,24 0,252

a b

;



4

22. Indica cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas y cuáles son falsas. En este

último caso, justifica:

2 3

3 3 3) 5 5 25 5 ) 3 3 3 ) 2 2 4

)7 2 4 2 3 2 ) 2 2.3 2 6 2 ) 50 5 2

) 12 3 2

a b c

d e f

g

23. Racionaliza las expresiones (suprime las raíces del denominador):

4 2 2 3 27) ) )

2 6 - 2 3 27 a b c

24. El valor de: 2 2

2 3 2 3 es:

a) negativo ; b) menor que 14 ; c) igual a 14 ; d) mayor que 14

e) no puede responderse si no se conoce un valor aproximado de 3

25. Indica el resultado correcto:

2

2 3

3 2

10

8 3.9

13

2

x

a

Resultados: 35 81 35 323 18

) ) ) ) )9 1225 18 81 35

a x b x c x d x e x ; ; ; ; ;

f ) ninguno de los anteriores 26. Indica el resultado correcto de la expresión:

2 1

3 3

1

64 27 1

1

11

Resultados: 46 14 4 46 14

) ) ) ) )11 33 3 3 3

a b c d e ; ; ; ; ; f) ninguno de los anteriores

27. Indica el resultado correcto de I y II:

I)1

2 5 2

Resultados: 1 1 1) 5 2 ) 2 5 2 ) 5 219 18 9

a b c ; ; ; d) ninguno de los

anteriores

II) 2

3 2 8

Resultados: )2 ) 26 ) - 2 ;a b c ; ; d) ninguno de los anteriores



5

28. Calcula el valor de z en las siguientes figuras.

a)

b)

29. ¿Cuántas cifras tiene el resultado de la multiplicación de 23000000 x 12000000? 30. ¿Es verdad que 13 x 10000000 y 1,3 x 100000000 dan el mismo resultado? 31. Expresa cada número en notación científica.

a) 456782543200 b) 8200000000000

c) 0,00000004567 d) 0,0000000018

32.Escribe cada uno de estos números en notación decimal.

a) 121,756 . 10 b)

76,08 . 10

c) 107,26 . 10

d) 93,721 . 10

33. Utiliza la notación científica, las propiedades de la potenciación y la calculadora, para

resolver las siguientes operaciones. Expresa el resultado en notación científica.

a) 8 133,5.10 . 2,709.10 b) 14 2120,3.10 . 7,5.10 c)

1454. 2,5.10

0,0000000025

34. La luz que viaja aproximadamente a 3 × 105 km por segundo, tarda aproximadamente 5 ×

102 segundos en llegar a la Tierra. ¿Cuál es la distancia aproximada, en notación científica, del Sol a la Tierra?

35. Si una persona tiene 5 litros de sangre y aproximadamente 4500000 glóbulos rojos en cada

milímetro cúbico de sangre, calcula en notación científica su número aproximado de

glóbulos rojos. (Recordar: 31 1litro dm )

CIU 2018 -MATEMÁTICA Ecuaciones de 1º grado -Porcentaje- Sistemas de ecuaciones lineales

PRÁCTICO 2

6

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

1. ¿Para qué valor de x la expresión 4 2 5 2 1 4 1 2x x x es igual a 3?.

Resuelve y comprueba el resultado obtenido.

2. ¿Para qué valor de x , la expresión 5 2 4 2 6 2x x toma los mismos valores que la

expresión 9 27x ?. Resuelve y comprueba.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales:

1 5 5) 9 5 2 3 ) 2 ) 9 1 12 0

3 3 4

3 12 1 1 1 2 3) 2 4 ) 3 ) 2

6 9 2 4 2 4 3

5 3) 3(2 ) 1 (1 )

2 2

a x x x b x x x c x x

xx x x xd x e x x f x

xg x x x

5 3 4 2

) 23 2 2

) 5 3(2 1) 2 4(3 5) 2

x x xh x

i x x x

Determinación de una variable en términos de otras. 4. En las siguientes expresiones, despeja la variable indicada en términos de las otras variables:

2

2 2 2

5 .) C= ( 32) despejar ; ) . despejar

9

) . . . despejar ; ) 2 2 despejar

1) V= . despejar ; )

3

m Ma F F b F g M

r

c PV n RT R d P l m m

e r h r f a b c

2

3

despejar

4) 2 120 despejar ; ) V= . despejar

3

b

g p q q h r r

Porcentaje 5. Calcula y completa:

) el 12% de 2500 es ..... ; ) 600 es el ....% de 1500 ; ) 200 es el 4% de.....a b c

6. Un comerciante:

i) compró un producto en $4250 y quiere obtener una ganancia del 15%. ¿A cuánto deberá vender dicho producto? ii) compró un artículo en $5750 y lo vendió en $8625. ¿Qué porcentaje de ganancia obtuvo? iii) tiene una ganancia del 20% sobre el precio de costo de los productos que vende. Si vendió un producto en $870, ¿cuál habrá sido el precio de costo?

7. El 20% del padrón votó al partido A, el 18% al partido B, y el 50% al partido C. Seis mil personas no votaron a ninguno de esos partidos.

a) ¿Cuántas personas figuraban en dicho padrón?. b) ¿Cuántas personas votaron a cada partido?.

CIU 2018 -MATEMÁTICA Ecuaciones de 1º grado -Porcentaje- Sistemas de ecuaciones lineales

PRÁCTICO 2

7

8. Un gremio acordó aumentos encadenados (acumulativos) de la siguiente manera: 15% en

marzo, 10% en agosto y 10% en febrero. ¿Cuánto ganará un empleado después del mes de febrero si cobraba $25000 antes del aumento?.

Sistemas de ecuaciones lineales

9. Resuelve analíticamente los siguientes sistemas:

4 23 2 11 3 5 9 2 5 19

) ; ) ; ) ; ) 1 6 6 18 2 4 5 4 2 2

2

x yx y x y x y

a b c dx y x y x yy x


Conjuntos numéricos - Operatoria y propiedades- Revisión de conceptos

8

Números enteros

El conjunto de los números enteros, que se representa con la letra Z , está formado por la unión de los siguientes conjuntos: el de los números naturales, el de los enteros negativos y el conjunto cuyo único elemento es el cero.

0Z N Z

..., 5, 4, 3, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,...Z

El conjunto de los naturales se identifica con los enteros positivos Z , es decir es lo mismo hablar de naturales que de enteros positivos.

Números racionales

- Los números racionales son los que se pueden escribir como una fracción: a

b, donde a y b son

números enteros, con 0b . -Un número racional se puede expresar en forma fraccionaria o decimal.

1 2 3 25

.... 0,25 0,2504 8 12 100

forma decimalforma fraccionaria

-Las expresiones decimales de los números racionales pueden clasificarse en: * expresiones decimales exactas * expresiones decimales periódicas

3 4 50,75 ; 0,8 ; 0,625

4 5 8 expresiones decimales exactas

2 23 230,2 ; 0,23 ; 0,25

9 99 90

expresiones decimales periódicas

Algunos ejemplos que ayudan a afianzar el concepto de número racional.

1. 4 40

0,410 100

(o,en términos de porcentaje, 40%)

2.

1.180

4

1 180180

4 4

180 4

de

3. 20% 180 de = 20 1

.180 .180 0,20.180100 5

4. De 84 alumnos, 21 estuvieron ausentes, ¿cuál es el porcentaje de ausentes?.

21 250,25 .

84 100 Elporcentaje de ausentes es de 25%.



9

Algunos ejemplos para afianzar la operatoria y propiedades de los números racionales Analiza, los ejemplos de la 1º columna y la generalización correspondiente en la 2º columna.

3 4 5 3 4 5 2 1

6 6 6 6 6 3

……….

a b c a b c

d d d d

8 8 8

2 4 2 4

…………………………..

a a a

b c b c

3 5 3 5 15

4 7 4 7 28

………………………

a c a c

b d b d

3 7 3 4 3

8 4 8 7 14 ……………………

a c a d a d

b d b c b c

Potenciación

factores

: es un número real cualquiera que se llama base

. . ...... : es un número natural que se llama exponente

: es la potencia enésima de a

n

n n

a

a a a a a n

a

Ejemplos:

a)

42 2 2 2 2 16

3 3 3 3 3 81

b)

42 2 2 2 2 16

c) 42 2.2.2.2 16 d) 310 10.10.10 1000

Exponentes cero y negativos Si a es un número real distinto de cero y n es un número entero positivo, entonces:

0 1a y 1n

na

a

Ejemplos:

a)

02

13

b) 03 1 c) 00 no está definido d) 1 1

33

e) 1

2 1 3

23 2

3

f) 2

2

1 13

3 9

g)

2

2

1 13

93

3

3

1 1 1) 3

27 273h

i) 3

3

1 110 0,001

10 1000



10

Propiedades de la potenciación Sean: , , ,a R b R n N y m N se cumplen las siguientes propiedades:

I. Distributiva con respecto al producto y al cociente

( . ) .n n na b a b 4 4 43.5 3 .5

n n

n

a a

b b

4 4

4

3 3

5 5

II. Producto y cociente de potencias de igual base, potencia de potencia.

.n m n ma a a 3 5 3 52 .2 2 m

m n

n

aa

a

55 3 2

3

44 4

4

.m

n n ma a 5

2 2.5 103 3 3

Observación: La potenciación no es distributiva con respecto a la suma ni a la diferencia:

2 2

2 2 2

2 2

5 2 7 495 2 5 2

5 2 25 4 29

2 22 2 2

2 2

9 2 7 499 2 9 2

9 2 81 4 77

La potenciación con exponente racional.

Sea a R , se llama potencia de base a y exponente 1

n, a la raíz enésima de a , en símbolos:

1

; nna a n N

Observación: Si n es par, debe ser: 0a

Ejemplos:

1 11

3 53 528 8 16 16 32 32

¿Por qué se impone la condición de que si n es par, debe ser a 0 ?, porque:

1

216 16 no tiene solución en R



11

O sea que si a <0, necesariamente n debe ser impar para que exista n a

Vamos a generalizar y definir las potencias de la forma:

m

na

Si utilizamos la definición anterior y las propiedades de la potenciación, vemos que:

Si 2 1

32 23 38 8 8x x

Si 4 1

34 43 39 9 9x x

Podemos decir que , :n N m N

0

m

n mnSi a a a 0 solo si n es impar

m

n mnSi a a a

Propiedades de la radicación

Si , 0, 0, ,a R a b n N y m N se cumplen las siguientes propiedades:

Distributiva respecto del producto . .n n na b a b

Distributiva respecto del cociente , 0na an bnb b

Raíz de raíz .n m n ma a

Recordemos:

La radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la diferencia.

64 16 100 1064 16 64 16

64 16 8 4 12

25 16 9 325 16 25 16

25 16 5 4 1



12

Notación científica

Un número está expresado en notación científica cuando se escribe como el producto de dos factores: - una potencia de 10 y - un número mayor o igual que 1 y menor que 10. Es decir:

a x 10n siendo 1 10a y n entero.

La notación científica es muy útil para expresar cantidades muy grandes, como el año luz (distancia que recorre la luz en un año), que es aproximadamente 9.460.800.000.000 km; o cantidades muy pequeñas, como el diámetro de un electrón, que mide aproximadamente 0,0000000000003 cm. Ejemplos de pasaje de números en notación decimal a notación científica

Not. Decimal 1 10a n Not. Cient.

760000000000 7,6 11 117,6.10

35600000000000 3,56 13 133,56.10

0,0000000045 4,5 -9 94,5.10

0,0000000000027 2,7 -12 122,7.10

Clasificación de los números Nos hemos referido a los números racionales e hicimos hincapié en sus distintas representaciones de tipo simbólico, como las notaciones fraccionaria, decimal y porcentual. Por otro lado, también trabajamos, en el práctico 1, con números que no se pueden expresar como el cociente de dos

números enteros, por ejemplo 2 1,414213562... , que tiene infinitas cifras decimales no

periódicas. Estos números son los números irracionales. Algunos tipos de números irracionales, lo constituyen: - las raíces cuadradas de números naturales que no den por resultado otro número natural, por

ejemplo: 2, 3, 5, 6, 7,..

- los resultados de operar , , , un número irracional con otro racional, por ejemplo:

3 6 1 3 41 2 , , , ,..

5 2 5 3

- los números: 3,141592654... ; 2,718281..e ; el “número de oro”, que se designa con la letra

griega 1,61803... (Fi). Este número, que también se puede expresar como 1 5

2

,es solución de

la ecuación de segundo grado: 2 1 0x x .



13

Para clarificar lo dicho, recurrimos al siguiente cuadro:

Clasificación de los números reales

Qué ocurre si tenemos que resolver la ecuación 2 4 13 0x x . Vemos que al aplicar la fórmula

para resolverla, obtenemos 4 36

2x

. Como dentro de los números Reales no está permitida

la operación radicación de índice par de un número negativo, entonces al definirse la unidad

imaginaria como 1i , la expresión anterior puede escribirse

4 36 4 36 1 4 62 3

2 2 2

ix i

. Estos números se llaman, números complejos.

Son números de la forma a bi , donde a y b son reales. Los números reales resultan incluidos

dentro de los números complejos, podemos ampliar entonces la clasificación anterior y escribir

RealesComplejos

Imaginarios

CIU 2018 -MATEMÁTICA

Ecuaciones lineales-Porcentaje- Sistemas de ecuaciones lineales- Revisión de conceptos

14

Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Empecemos con un ejemplo. La suma de las edades de Julia y Sofía es 26 años y, esta última tiene 8

años menos que Julia. ¿Cuáles son sus edades?

Si representamos con x la edad de Julia, y con 8x la edad de Sofía, la expresión que resulta

es:

8 26x x , que se puede escribir 2 8 26x

Esta expresión es una ecuación lineal donde x es la incógnita. La solución de esta ecuación es el

valor de x que verifica la igualdad. En este caso la solución es 9, ya que si reemplazamos este

valor en dicha ecuación, ésta se transforma en una identidad numérica. Es decir: 2.9+8=26

Resolver una ecuación significa determinar si tiene solución, y en tal caso hallar dicha solución.

Para poder resolver una ecuación se hace uso de algunas propiedades de la aritmética.

Analicemos primero estas ecuaciones:

4 5 91

2 2 50

12 15 273

x

x

x

Estas tres ecuaciones tienen a 24x como solución. Como las tres ecuaciones tienen la misma

solución, se llaman equivalentes.

La noción de ecuaciones equivalentes es de suma importancia para resolver ecuaciones, porque

cuando la resolución de una ecuación es complicada, se busca otra ecuación equivalente a la dada

cuya resolución sea mucho más sencilla.

Transformación de ecuaciones en otras equivalentes

Si en cada miembro de una ecuación se suma un mismo número real o una expresión

algebraica entera, se obtiene una nueva ecuación equivalente a la dada.

Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo número real, se obtiene

una nueva ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación 2 2 50x

Si sumamos en ambos miembros -2, se obtiene 2 2 ( 2) 50 ( 2) 2 48x x .

Si multiplicamos ambos miembros por 1

2 (que es equivalente a dividir por 2), se obtiene

1 1.2 .48 24

2 2x x .

Es decir, 24x es la solución de la ecuación dada.



15

Ejemplo 2: Resolver la ecuación 4 5 91x .

Si sumamos en ambos miembros 5, se obtiene 4 5 5 91 5 4 96x x .

Si multiplicamos ambos miembros por 1

4 (que es equivalente a dividir por 4), se obtiene

1 1.4 .96 24

4 4x x .

Su solución es 24x

Ejemplo 3: Resolver la ecuación 8 5 3 2x x

Sumando -5 ( o restando 5) en los dos miembros, resulta:

8 5 ( 5) 3 2 ( 5)x x

8 3 7x x

Restando la expresión 3x , en ambos miembros:

8 3 3 3 7x x x x

5 7x

Dividiendo ambos miembros por 5 o multiplicando por 1

5, resulta:

7

5x

Esta solución se puede expresar: 7

5S

Es conveniente comprobar si el resultado es correcto, para lo cual, se reemplaza la x por el valor

7

5 en la ecuación original, y debe obtenerse una igualdad.

7 78. 5 3. 2

5 5

56 215 2

5 5

56 25 21 10

5 5

31 31

5 5

Cabe preguntarse si las ecuaciones de primer grado con una incógnita, siempre tienen una única

solución.



16

Ejemplo 4: Resolver la ecuación: 5 4 1

1 33 3 4

x x x

Aplicamos la propiedad distributiva:

5 5 4 13

3 3 3 4x x x

Agrupamos los términos donde figura la incógnita:

5 4 5 1

33 3 3 4

x x

5 1

3 33 4

x x (*)

Restamos 3x en ambos miembros:

5 1

3 4

Esto es falso, por lo tanto se concluye que la ecuación no tiene solución.

También se podría pensar de esta manera, si en la ecuación (*) se restan en ambos miembros 3x y

5

3, se obtiene:

1 50

4 3

170

12

x

x

Esta igualdad no se verifica para ningún valor de x , porque no hay valor de x que multiplicado por

0 de por resultado 17

12 .

Ejemplo 5: Resolver la ecuación: 4 3 9 -4 13 -1x x x

Agrupamos los términos donde figura la incógnita:

13 1 13 1x x

Esta igualdad se verifica para cualquier valor de x , por lo tanto la ecuación tiene infinitas

soluciones.

También se podría pensar de esta manera, si se resta en ambos miembros 13x , y se suma 1 en

cada miembro, se obtiene:

0 0x



17

Esta expresión se verifica para cualquier valor de x .

Resumiendo:

Las ecuaciones lineales en una variable se pueden expresar en la forma general ax b , donde a es el coeficiente de la incógnita y b es el término independiente

Sólo si 0a , existe una única solución de la ecuación, y está dada por b

xa

.

Si 0a , se presentan dos posibilidades: 0 No existe solucion

0 Existen infinitas soluciones

b

b

Porcentaje

Ejemplo 6

Un comerciante tiene una ganancia de 25% sobre el precio de costo de los productos que vende.

a) Si el producto A le costó $3520, ¿a cuánto deberá venderlo para obtener dicha ganancia?

b) Si vendió el producto B a $2750, ¿cuál habrá sido el precio de costo?

Primero vamos a interpretar qué significa tener una ganancia del 25%. Significa que por cada $100 se ganan $25. Y lo expresamos así:

25

25100

%

Pero decir 25 de cada 100, es lo mismo que decir 1 de cada 4. Con lo cual:

25 1

25 0 25100 4

% ,

Es claro entonces, que para hallar el 25% de una cantidad, por ejemplo el 25% de $3520, se debe resolver:

25

$3520 0,25.$3520 $880100

La forma más sencilla para hallar el tanto por ciento de una cantidad, es expresar el tanto por ciento en forma decimal y multiplicarlo por dicha cantidad.

Ahora estamos en condiciones de resolver el problema planteado anteriormente.

a) ¿Cómo calculamos el valor de venta del producto A sabiendo que se quiere obtener una ganancia del 25%?.

Para resolver planteamos la siguiente ecuación:

3520 0,25.3520 x

Resolviendo las cuentas resulta: $4400x



18

El producto se debe vender a $ 4400 .

b) Vamos a calcular ahora el precio de costo, sabiendo que lo vendió a $2750. Para resolver esta situación suponemos que x es el precio de costo, entonces planteamos:

25 2750x % x

O sea que: 0 25 2750x , x

Sacando factor común x , resulta: 1 0 25 2750x ,

Despejando el valor de 2750

1 25x

, y efectuando los cálculos correspondientes, obtenemos:

2200x .

El precio de costo del producto es: $2200 .

Ejemplo 7

El precio de costo de un artículo es $1430 y el precio de venta es $1980. ¿Cuál es la variación porcentual de aumento?

Planteamos la siguiente ecuación:

1430 %1430 1980x

Sacando factor común $1430, resulta:

1430 1 % 1980x

O sea que:

1 x % = 1980

1430

De donde resulta que: x % = 1980

11430

Es decir: x % = 1980 1430

0 201430

,

. - .

. %.

V final V inicialV porcentual x

V inicial

Coeficientes de aumento y de disminución

Ejemplo 8

En muchas oportunidades habrás escuchado frases de este tipo:

“ Si abona el pasaje en tres cuotas se le recarga un 12%”

“Hoy sobre todas las compras de más de $2000 recibe un descuento del 12%”,

a) ¿cómo podemos expresar dicho enunciado en lenguaje simbólico?, si llamamos x al precio del

pasaje, podemos expresar que 1C (el precio del pasaje incrementado en un 12%), será:



19

1C =12

12% 0,12. (1 0,12) 1,12100

x x x x x x x x 1,12 este último número

se llama coeficiente de aumento.

Por ejemplo, si el pasaje cuesta $1500, y al pagarlo en tres cuotas nos recargan un 12%, deberemos

pagar 1500 1 12 1680$ , $

b) En el segundo caso, el precio de la compra recibe una rebaja del 12%, entonces:

si llamamos x al monto de la compra, podemos expresar que 0C (el precio de la compra rebajado

en un 12%), será:

0

1212% (1 0,12) 0,88

100C x x x x x x 0,88 este último número se

llama coeficiente de disminución.

Por ejemplo, si hacemos una compra de $2500, con el descuento del 12%, pagaremos $2200.

Es decir que:

Para hallar aumentos o disminuciones porcentuales, se multiplica la cantidad inicial por el coeficiente de variación (de aumento o disminución)

Encadenamiento de aumentos o disminuciones porcentuales

¿Qué pasará cuando se “encadenan” los porcentajes de aumentos o disminuciones?

Vamos a suponer que una cantidad C se incrementa primero en un 12% y luego en un 18%. ¿Cuál es el porcentaje correspondiente a la variación porcentual total?

Partimos de sumar el 12% de C, a la cantidad inicial C.

12

1,12100

C C C

Luego sumamos a esta cantidad incrementada: 1,12C , el 18% de la misma, con lo cual, resulta:

18

1,12 1,12100

C C

Sacando factor común: 1,12C resulta:

1,12 (1 0,18) 1,12 1,18 1,3216 C C C

Podemos concluir que cuando se aplican dos aumentos porcentuales sucesivos a una cantidad, el valor final resulta de multiplicar los coeficientes de aumento por el capital inicial.

Se procede de la misma forma cuando se encadenan disminuciones porcentuales, sólo que multiplicando el capital inicial por los coeficientes de disminución.



20

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pues se verifica para infinitas parejas de números.

Por ejemplo, la siguiente ecuación lineal con dos incógnitas: 3

8

3

2 yx , tiene infinitas

soluciones. Algunas de esas soluciones, son:

x = 0 , y = 3

8

x = 1 , y = 3

10

x = -1 , y = 2 ..........................

Gráficamente, esta ecuación se representa por una recta. Los puntos de coordenadas

2,1;3

10,1;

3

8,0

; ... son puntos de dicha recta.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa por tanto, dos rectas. Resolverlo equivale a hallar los puntos del plano comunes a las mismas. Es decir, la resolución algebraica del sistema equivale geométricamente a estudiar las posiciones relativas de las dos rectas en el plano. Vamos a repasar dos métodos de resolución algebraica de un sistema de ecuaciones lineales:

Método de sustitución.

Método de igualación.

Ejemplo 9. Resolver los siguientes sistemas:

a)

0238

053

yx

yx

Resolvemos aplicando el método de sustitución: De cualquiera de las dos ecuaciones, despejamos una incógnita y la reemplazamos en la otra ecuación. Despejamos y , de la primera ecuación:

3 5y x

Reemplazamos en la segunda ecuación y hallamos el valor de x . 8 3( 3 5) 2 0x x

8 9 15 2 0

17 17 0

1

x x

x

x

Reemplazando el valor de x obtenido, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, resulta 2y



21

El sistema tiene una única solución 1

2

x

y

También se puede escribir la solución: Sol.: (1,2)

Resolvemos ahora, el mismo sistema con el método de igualación. Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualamos. Despejando y , en ambas ecuaciones, obtenemos:

3 5

8 2

3 3

y x

y x

Igualamos:

8 2

3 53 3

x x

Resolvemos la ecuación:

2 8

5 33 3

x

17 17

3 3x

1x

Reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema y obtenemos el valor de

2y

Si graficamos las dos rectas del sistema, corroboramos que las mismas se cortan en el punto (1;2) .



22

b)

072

0324

yx

yx

Resolvemos aplicando el método de sustitución. Despejamos y de la segunda ecuación.

2 7y x

la sustituimos en la primera: 4 2(2 7) 3 0x x

se obtiene

4 4 14 3 0

0 -11

x x

x

. Observemos que no existe ningún número real x que multiplicado por 0 de -11. En consecuencia, el sistema no tiene solución pues no existen valores reales de x e y que verifiquen simultáneamente ambas ecuaciones. Gráficamente, vemos que las rectas no tienen ningún punto en común; luego son rectas paralelas.

c)

072

01424

yx

yx

Resolvemos aplicando el método de sustitución:

Despejamos ,y de la ecuación: 2 7 0x y



23

2 7y x

sustituyendo y en la ecuación: 4 2 14 0x y , se obtiene:

4 2(2 7) 14 0x x

Al resolver esta ecuación, resulta:

0. 0x Observemos que cualquier número real x multiplicado por 0 da 0. En consecuencia, existen infinitos valores de x e y que verifican ambas ecuaciones.

En el sistema las dos ecuaciones son proporcionales, pues la segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que el sistema se reduce a un sola ecuación y, tiene por lo tanto infinitas soluciones. La representación gráfica del sistema son dos rectas coincidentes.

MATEMÁTICA CIU 2018 - untdf.edu.ar · 3 53ªº3 2 ¬¼ f) 3 3 23 2 2. Si a dos números naturales...

Documents

Transcript of MATEMÁTICA CIU 2018 - untdf.edu.ar · 3 53ªº3 2 ¬¼ f) 3 3 23 2 2. Si a dos números naturales...