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ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO

COLEGIO SANTA ANA

NIVEL SECUNDARIO

MATEMÁTICA

DOSSIER BIBLIOGRÁFICO 5to AÑO

2019

Compilado por: Molina José Santiago – Borda David

ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 1

Índice de Contenidos

Programa………………………………………………………………………………………………………………………………….2

Evaluación…………………………………………………………………………………………………………..……………………3

Criterios de Evaluación………………………………………………………………………………………..……………………3

Eje Temático 1: Números Reales……………………………………………………………………………………..……….4

Sucesiones……….…………………………………………………………………………………………………..……………..4

Término general de una sucesión………………………………………………………………………………………..4

Sucesiones aritméticas y geométricas……………………………………………………………………………….…4

Razón aritmética………………………………………………………………………………………………………………….4

Razón geométrica……………………………………………………………………………………………………………....5

Sucesiones aritméticas…………………………………………………………………………………………………………6

Suma de términos de una sucesión aritmética………………………………………………….………………...7

Sucesiones geométricas…………………………………………………………………………………….…………….….8

Eje Temático 2: Números Complejos………………………………………………………………..…………………….11

El conjunto de los números complejos……………………………………………………………………………...11

La unidad imaginaria………………………………………………………………………………………………………….11

Componente real y componente imaginaria de un complejo…………………………………….…..….11

Expresión binómica de un complejo……………………………………………………………………..………..…12

Potencias de la unidad imaginaria………………………………………………………………………………….….14

Módulo de un complejo…………………………………………………………………………………..………….…....15

Complejos conjugados……………………………………………………………………………….………………………16

División de números complejos……………………………………………………………………………..……….…17

Forma Polar o trigonométrica de un complejo…………………………………………………………….….…17

Eje Temático 3: Funciones y Ecuaciones………………………………………………………………………………...19

Función Cuadrática….………………………………………………………………………………………………………..19

Resolvente….……………………………………………………………………………………………………………………..19

Funciones exponenciales….……………………………………………………………………………………………….20

Logaritmación: Definición y propiedades…………………………………………………………………………..22

Ecuaciones Exponenciales……………………………………………………………………………………………….…22

Eje Temático 4: Matrices y Determinantes……………………………………………………………………………..24

Matrices….………………………………………………………………………………………………………………………...24

Matrices especiales…………………………………………………………………………………………………………...25

Adición de matrices y multiplicación por un escalar…………………………………………………………..27

Determinante…………………………………………………………………………………………………………………….29

Calculo de determinante de una matriz……………………………………………………………………….……29

Regla de Sarrus………………………………………………………………………………………………………………….30

Sistema de ecuaciones. Método matricial………………………………………………………………………….31

Regla de Cramer……………………………………………………………………………………………………………..…32


Programa Matemática

Curso: 5to Año Ciclo Lectivo: 2018

Turno: Mañana Docentes:

Molina José Santiago Carga Horaria: 4 hs semanales

Ejes Temáticos

Eje Temático 1: NUMEROS REALES

Propiedades. Recta numérica Orden. Intervalo. Valor absoluto

Sucesión de números reales. Formulas. Sucesión aritmética y geométrica. Concepto. Suma de n

términos.

Eje Temático 2: NUMEROS COMPLEJOS

Números Complejos: Definición. Formas: par ordenado, binómica, exponencial. Representación:

en forma vectorial. Opuesto y conjugado. Módulo de un complejo. Adición y sustracción.

Potencias de la unidad imaginaria. Producto y cociente.

Eje Temático 3: FUNCIONES Y ECUACIONES

Función Cuadrática. Eje de simetría, raíces y vértice. Función logarítmica y exponencial.

Parámetros de la función exponencial. Logaritmación definición y propiedades.

Representación gráfica. Construcción de tablas.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Ecuación cuadrática. Formula resolvente

Eje Temático 4: MATRICES Y DETERMINANTES

Algebra matricial. Igualdad de matrices. Inversa de una matriz. Operaciones con matrices: suma,

resta y producto de matrices.

Determinantes. Definición. Sistema de ecuaciones. Método matricial. Regla de Cramer


EVALUACIÓN:

La evaluación de la materia se realizará a través de exámenes parciales y finales y a través del

trabajo y participación en la hora de clases. Se deben presentar los trabajos prácticos y

demostrar el correcto uso y conocimientos de los conceptos y teorías trabajadas a lo largo de

todo el trimestre.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Capacidad de expresar los conocimientos en los diferentes lenguajes matemáticos.

Capacidad para expresar los conocimientos previos, ampliarlos o modificarlos y transferirlos

a situaciones nuevas.

Capacidad para desenvolverse con confianza, creatividad, tenacidad, perseverancia y

respeto


Eje Temático 1: Números Reales

Datos bibligráficos:

Adriana Berio, María Lucila Colombo, Carina D`Albano, Oscar Sardella. (2001). Matemática

2 Activa. Buenos Aires: Puerto de Palos.

Sucesiones

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.

Se denomina término a cada uno de los terminos de la sucesión.

En algunas sucesiones se puede encotrar un termino general an (térmnio enésimo) que la

fórmula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa

En la sucesión 1; 4; 9; 16; 25; 36;…; el término general de la sucesión es an = n2.

Si se conoce el término general se puede hallar la sucesión, o cualquier término de la misma,

reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor de “n” del término genral.

Se denomina sucesión aritmetica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene

sumando al anterior un número constante “r” llamado razón aritmética.

Para que una sucesión sea aritmética se debe verificar:

Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene

multiplicando el anterior un número constante “r” llamado razón geométrica.


Para que una sucesión sea aritmética se debe verificar:

1_ Escriban a partir del término general, los 8 primeros términos de cada una de las siguientes

sucesiones

2_ Escriban los siguientes 4 términos de cada sucesión

3_ Indique si las siguientes razones son aritmeticas o geométricas y calcule la razón

4_Escriba el termino general de cada una de las siguientes sucesiones


Sucesiones aritméticas

En una sucesión aritmética, cada término se obtiene sumandole al anterior un valor constante r


Suma de los Términos de una sucesión aritmética

La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética, se obtiene de la siguiente

manera:

Calcular la suma de todos los números pares comprendidos entre 42 y 120, inclusive.

Se debe calcular la cantidad de números pares entre ambos números y luego la suma entre ellos.

5_ Dados a1= 3 y r= 5

Hallar

6_ Calcular el número de términos de cada una de las siguientes sucesiones

7_ Escriba los 8 primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones arítmeticas.


8_ Calcular y responder:

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica, cada término se obtiene multiplicando al anterior por un valor

constantes “q”

9_ Dados a1=3 y a2 =1 , hallar:

a) Los 8 primeros términos de la sucesión geométrica


b) El término general an.

10_ Hallar el número de términos de las siguientes suceciones geométricas

11_ Unir con flechas según corresponda

12_ Escriban los siguientes 5 términos de cada una de las siguientes sucesiones


13_ Encuentren el término general y la razón de cada una de las siguientes sucesiones

14_ Hallar el valor de a1 y r en cada una de las siguientes sucesiones aritméticas

14_ Hallar el valor de a1 y r en cada una de las siguientes sucesiones geométricas

15_ Hallar el valor de x para que la sucesión :

a) Sea aritmética

b) Sea geométrica


Eje Temático 2: Números Complejos




El Conjunto de los números complejos

La radicación de base negativa y exponente par no tiene solución en el conjunto de los números

reales (√−2; √−4; √−16; etc.), ya que no existe ningún número real que elevado a una

potencia par de por resultado un número negativo.

Se define entonces un número, llamado i, cuyo cuadrado es igual a -1: 𝑖2 = −1

Dicho número es la unidad imaginaria en el conjunto de los números complejos:

𝒊 = √−𝟏

Se define al conjuntos de los números complejos C, de la siguiente manera:

La primera componente (x) se denomina componente real; y la sefgunda componente (y), se

denomina componente imaginaria.


A cada número complejo, le corresponde un punto en el plano

La expresión binómica de un complejo z es la siguiente:

1_ Hallar el valor de cada una de las siguientes raices


2_ Resolver cada una de las siguientes operaciones combinadas con numeros complejos


3_ Resolver las siguientes operaciones:

Potencias de la unidad Imaginaria

Aplicando las propiedades de las potencias:

Y asi sucesivamente se observa que:


4_ Resolver

5_ Resuelva cada una de las siguientes operaciones

6_ Resolver

Módulo de un complejo

A cada número complejo z=a+b.i, le esta asociado un vector, con origen en el origen de

coordenadas y extremo en el punto (a;b). De este modo se puede hacer corresponder a cada

número complejo un vector v.


El módulo de ese vector es el módulo del complejo y se lo representa |z|

Ejemplo:

El ángulo �̂� se llama argumento y se calcula de la siguiente manera:

�̂� = tan−1𝑏

𝑎

Complejos Conjugados

Dado un complejo z, se define como su conjugado �̅� al complejo que tiene la misma parte real y

opuesta su parte imaginaria.

Un complejo y su conjugado son simetricos respecto al eje x

6_ Hallar el módulo y el conjugado de cada uno de los siguientes números complejos.


7_ Encuentre el siguiente producto de complejos conjugados

División de Números Complejos

Para dividir dos números complejos en forma binómica, se multiplican al dividendo y al divisor

por el conjugado del divisor y luego se resuelven las operaciones resultantes.

8_ Resolver las siguientes divisiones

Forma polar o trigonométrica de un complejo


9_ Expresar en forma trigonométrica cada uno de los siguientes números complejos

10_ Expresar en forma binomica cada uno de los siguientes números complejos


Eje Temático 3: Funciones y Ecuaciones




Pablo Effenberger. (2013). Matemática 4/3. Buenos Aires, Argentina: Kapelusz.

Función Cuadrática

Para encontrar las raices de la función cuadrática en su forma genaral o polinómica, se utiliza la

formula resolvente:

Ejemplo:

El vertice se obtiene con la siguiente formula:


1_ Hallar el vértice, las raíces y graficar

2_ Realizar el grafico y analisis de las siguientes parábolas

3_ Hallar la expresión factorizada (o binómica) de cada una de las siguietnes funciones y graficar

Funciones Exponenciales

Se denomina función exponencian a toda función de la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑎𝑥 + 𝑐. Donde 𝒂 es

mayor que cero y distinto a 1

La grafica de la función varia según el valor de 𝒂 de la siguiente manera:

El valor de k me indica el punto por donde la función corta al “eje y” cuando c=0. Además, si el

valor de k es positivo, la función estará por encima del eje x, en cambio, si k es negativo, la

función estará por debajo del eje x.


En caso de que c sea distinto a 0, la función se desplaza hacia arriba o hacia abajo según si c

fuera positivo o negatico respectivamente, la función cortará al “eje y” en el punto k+c. Además,

el valor de c me determina una asintota de la función paralela al eje x.

4_ Realizar una grafica aproximada para las siguientes funciones exponenciales, teniendo

en cuenta sus parámetros.

a) 𝑦 = 3. 0,5𝑥

b) 𝑦 = 4. 3𝑥 + 2

c) 𝑦 = −2. 5𝑥

d) 𝑦 = −3. 0,2𝑥 + 3

5_ Completar la tabla y graficar cada una de las siguientes funciones


Logaritmación; definición y propiedades

La logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y argumento

respectivamente. Se define de la siguiente manera:

Propiedades:

Ecuaciones Exponenciales

Una ecuación es exponencial cuando la incognita de la misma forma parte del exponente.

Para resolver una ecuación exponencial, se debe aplicaar la logaritmación de igual base en

ambos miembros o la siguiente propiedad:


Para resolver ecuaciones exponeciales, se deben aplicar propiedades de la potenciación y

logaritmacion:

6_ Resolver las siguientes ecuaciones

7_ Hallar las raíces de las siguientes funciones

8_ Resuelva aplicando la definición de logaritmo


Eje Temático 4: Matrices y Determinantes




Matrices

La producción mensual de una fabrica de sillones, según el modelo y color, se resume en la

siguiente tabla:

La información anteriror se puede mostrar en de una manera más sencilla, en forma de matriz

Entonces: se denomina matriz de orden mxn, a cualquier disposición ordenada de números en

m filas y en n columnas.

En forma general una matriz se escribe como:

Un elemento cualquiera de la matriz se indica como 𝒂𝒊𝒋, donde i determina su posición según la

fila y j según su columna.


Matrices especiales

Se llama matriz fila a toda matriz de orden 1 x n:

Se llama matriz columna a toda matriz de orden mx1:

Si todos los 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, se obtiene la matriz nula

Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas (m=n), se denomina matriz

cuadrada de orden n.

La diagonal principal de una matriz cuadrada la forman los elementos 𝒂𝒊𝒋 en donde i=j

Se denomina matriz identidad, a la matriz cuadrada de orden n donde todos los elementos de

la diagonal principal son 1 y el resto 0; se simboliza 𝑰.

Dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden, y si los elementos que ocupan la

misma posición tienen el mismo valor.

Se llama matriz diagonal superiror cuando los elementos situados por debajo de la diagonal

principal son todos ceros.


Se llama matriz diagonal inferior cuando los elementos situados por encima de la diagonal

principal son todos ceros.

1_ Indique el orden de cada una de las siguientes matrices

2_ Escriban cada una de las siguientes matrices

3_ Calcule el valor de k y p, en cada uno de los casos, para que las matrices A y B resulten iguales.


4_ Escriban cada una de las siguientes matrices

a) Matriz identidad de orden 5

b) Matriz cuadrada de orden 4 que sea diagonal superiror

c) Matriz diagonal inferior que no sea cuadrada

d) Matriz nula que sea diagonal inferiror

e) Matriz diagonal superior en la que cada elemento distinto a cero cumpla con la siguiente

formula: 𝑎𝑖𝑗 = 2. 𝑖 + 𝑗

f) Matriz diagonal inferior en la que cada termino distinto de cero sea igual a: : 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖2 − 𝑗

Adición de matrices y multiplicación por un escalar

Dadas dos matrices del mismo orden, se denomina matriz suma a la que se obtiene de sumar

los términos correspondientes.


Dada una matriz 𝑨𝒎𝒙𝒏 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏 y un número real k, el producto k.A es la matriz de orden

mxn que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.

Al multiplicar por -1, se obtiene la matriz –A que es opuesta a la dada.

Al sumar una matriz y su opuesta, se obtiene la matriz nula

5_ Dadas dos matrices:

Marcar con una X el resultado de A+B y con XX el resultado de -3.A


6_ Dadas las matrices:

Hallar el resultado de las siguientes operaciones

7_ Dadas las siguientes matrices:

Calcular

Determinantes

Toda matriz A tiene asociado un número real, denominado determinante y se simboliza ∆𝐴 o

|A|.

Cálculo del determinante de una matriz

El valor del determinante de una matriz de orden 1, es el valor del único elemento de la misma.


El valor del determinante de una matriz de orden 2, es la diferencia entre el producto de los

elementos de la diagonal principal, con los elementos de la diagonal secundaria.

Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3, se aplica el metodo conocido

con el nombre de “Regla de Sarrus”.

En metodo consiste en:

1º Escribir, a continuación de la tercera fila, la primera y segunda filas en ese orden

2º Calcular la suma de los productos de las diagonales principales

3º Calcular la suma de las diagonales secundarias

4º Restar la suma de las diagonales principales con la suma de las diagonales secundarias

7_ Calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 2

8_ Calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 3


9_ Hallar el valor de x en cada uno de los siguientes determinates

Sistema de Ecuaciones. Método Matricial

Un sistema de ecuaciones lineales mxn es aquel que tiene m ecuaciones y n incognitas.

En el caso de un sistema de ecuaciones de 2x2, es aquel que tiene 2 ecuaciones y dos incognitas.

Regla de Cramer


La regla de Cramer es un método para resolver, mediante el uso de determinantes, sistema de

ecuaciones cuadrados, es decir, que contengan el mismo número de ecuaciones que de

incógnitas.

A continuación se muestra el procedimiento para un sistema de ecuaciones de 2x2 y de manera

análoga, se resuelve cualquier sistema de ecuaciones cuadrado:

1º Se hallan los valores de los siguientes determinantes

2º Se calculan los valores de las incognitas

Ejemplo:

Para resolver el sistema: se deben realizar dos procedimientos


10_ Verificar si los puntos son soluciones de los sistemas de ecuaciones

11_ Resolver por determinante los siguientes sistema de ecuaciones

12_ Escriban los determinantes que se piden en cada uno de los siguientes sistemas


13_ Resolver los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer

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