Matemática - Educación Rural

Material distribuido a establecimientos educacionalesdel Programa Escuelas Arriba y a Establecimientos rurales.

SEMANA 1

Matemática

GUÍA PARA ESTUDIANTES

Guía de actividades de apoyo

Estimado y estimada estudiante:

Las actividades desarrolladas para la presente guía y para las de las próximas dos semanas, están diseñadas para poder tomar decisiones según la información que se desprende de los datos estadísticos.

Al finalizar podrás tomar decisiones ante situaciones de incerteza a partir de datos estadísticos.

OBJETIVO DE LA GUÍA:Conocer y utilizar las medidas de dispersión y conocer lo que es una probabilidad.

NOMBRE:

CURSO: LETRA: FECHA:

ESTABLECIMIENTO:

IV MEDIO

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MATEMáTICASEMANA 1

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

1. Para reconocer las medidas de dispersión, es necesario conocer la media o promedio, simbolizada como 𝑥 ̅.

Comencemos por un ejemplo:Al hacer un estudio de los pesos entre 2 grupos de estudiantes, cuyos pesos son:

Grupo 1Juan Elena Pía Pedro Fernando

10 kg 15 kg 25 kg 20 kg 30 kg

Grupo 2Ema Pancho Jaime Alfredo Mariana

15 kg 19 kg 20 kg 21 kg 25 kg

Se hace un estudio del 𝑥 ̅ (promedio o media) de cada uno de los grupos.

Grupo 1: 𝛴 𝑥𝑖𝑛 ¿qué nos dice esta expresión?

Nos dice que debemos sumar todos los pesos de los integrantes del grupo y dividirlo por el número total de datos, es decir, sumar 10 kg, 12 kg, 23 kg, 20 kg y 35 kg y son 5 datos. Es decir:

𝑥𝑖𝑛 20kg10kg + 15kg + 25kg + 20kg + 30kg

5100

5 kg

En este grupo vemos que la media o promedio de los pesos de sus integrantes es 20 kg

Grupo 2:𝑥𝑖𝑛 20kg15kg + 19kg + 20kg + 21kg + 25kg

5100

5 kg

La media o promedio de los pesos de sus integrantes también es 20 kg

Pero los pesos de algunos estudiantes no se parecen al promedio . Esto sucede porque el promedio tiene por objetivo describir el punto central de los datos, lo que implica que hay algunos datos que se alejan del .

El , no tiene como objetivo hablar de la dispersión, es decir, lo alejado del centro que se encuentran algunos datos. Como se observa en este ejemplo, hay niños cuyos pesos están alejados de esta medida de tendencia central llamada .

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MATEMáTICASEMANA 1


Presentemos en un gráfico los pesos del grupo 1 y grupo 2 y veamos qué sucede con el promedio o media que es 20 kg.

Grupo 1

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

En el grupo 1 solo 1 dato coincide con el

Grupo 2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31


Al observar estas gráficas nos podemos dar cuenta que los datos del grupo 1 están más dispersos que los pesos del grupo 2.

A partir de la media , reconocer y determinar qué tan dispersos están los datos dados. Para ello, se deben calcular las medidas de dispersión, rango, varianza y desviación estándar.

2. Rango (R): es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de una agrupación de datos

Rango= vmax - vmin

Grupo 1: Vmax 30 kg Vmin 10 kg ⟹ R=30-10= 20 kg


Por lo tanto, como la diferencia del G2 < G1 implica que G2 está más cerca del , el promedio se acerca más a la realidad de los datos.

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MATEMáTICASEMANA 1


3. Una segunda medida de dispersión que entrega más información, es la varianza (σ2).

La varianza (σ2 )= 𝛴(𝑥𝑖- )2

𝑛 establece la distancia promedio que tiene cada uno de los puntos con respecto a la media.

La varianza para el grupo 1, sabiendo que =20 kg, sería:

(σ2 )= (𝑥𝑖- )2

𝑛

(10-20)2 + (15-20)2 + (25-20)2 + (20 - 20)2 + (30-20)2

5

(σ2 )= (𝑥𝑖- )2

𝑛(-10kg)2 + (-5kg)2 + (5kg)2 + (0kg)2 + (10kg)2

5

(σ2 ) = (𝑥𝑖- )2

𝑛100 + 25 + 25 + 0 +100

5250

5 50

( - 20)2 + ( - 20)2 + ( - 20)2 + ( - 20)2 + ( - 20)2

5

Por lo tanto, para el grupo 1 (G1) σ2=50kg2

Usando la información anterior, determina la varianza para el grupo 2, sabiendo que = 20 kg, sería:

(σ2 )= (𝑥𝑖- )2

𝑛

Por lo tanto, para el grupo 2 (G2) σ2=

¿Cuál valor es menor, el del grupo 1 o el del grupo 2? El que tenga menor varianza, o valor más pequeño entre ambos cálculos, estará más cerca de la media, por tanto, menos disperso.

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MATEMáTICASEMANA 1


4. Desviación estándar (σ), corresponde a σ22 , es decir, (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎)

2

En el ejemplo anterior.

σ2σ = 2 , entonces kg

3,2 kg10,4

≈

≈

σg1 =

σg2 =

2

2

En este caso, nuevamente observamos que el valor del grupo 1 está más alejado de la media de los grupos.

Resumiendo

Rango (R) Varianza (σ2) Desviación estándar (σ)

Grupo 1 20 kg 50 kg2 7,1 kg


En todos los casos los valores de G1 son mayores al G2, lo que implica que los datos están más dispersos.

Determina las medidas de dispersión en las siguientes situaciones que se presentan:

• Los siguientes 3 conjuntos muestran las edades de grupos de amigos:

Amigo1 Amigo2 Amigo3 Amigo4 Amigo5 Amigo6

Grupo 1 15 16 17 17 18 19

Grupo 2 14 15 15 18 19 21

Grupo 3 13 14 15 17 20 23

Termina para cada uno de los grupos

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

Rango

Media

Varianza

Desviación estándar

Teniendo como referencia los resultados encontrados: • ¿Qué grupo es más homogéneo, es decir, las edades son más cercanas entre todos los

amigos?• Observa los datos de los grupos. ¿Tus resultados corresponden a lo que puedes analizar

directamente de los datos?

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MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 2

Cuando los datos son muchos, suelen ser entregados e informados de forma resumida. Hoy veremos cómo resumir datos desde una tabla y calcular las medidas de dispersión asociadas.

1. Las notas de 15 estudiantes en una prueba fueron las siguientes:

Est1 Est2 Est3 Est4 Est5 Est6 Est7 Est8 Est9 Est10 Est11 Est12 Est13 Est14 Est15

5,9 6,5 3,5 5,2 4,6 4,8 6,5 5,9 6,5 6,5 4,6 3,5 3,5 4,8 7

Podemos entregar un primer resumen:

Nota Frecuencia

3,5 3

4,6 2

4,8 2

5,2 1

5,9 2

6,5 4

7 1

Sabiendo que el promedio o media es 5,28, calcula lo siguiente:

Grupo 1

Rango

Media 5,28

Varianza


¿Qué conclusiones puedes obtener en relación con estas notas?

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MATEMáTICASEMANA 1


2. En el curso entregaron las notas de 24 alumnos en la prueba de matemática. El profesor resumió las notas en una tabla de la siguiente forma:

Notas Marca de clase (MC) Frecuencia

[2,3[ (2+3)2 = 2,5 3

[3,4[ (3+4)2 = 3,5 4

[4,5[ (4+5)2 = 4,5 6

[5,6[ (5+6)2 = 5,5 8

[6,7[ (6+7)2 = 6,5 3

Total de estudiantes 24

¿Cómo calcularías la media o promedio?

Determina las medidas de dispersión de las notas de matemática.

Grupo 1

Rango

Media

Varianza


¿Qué conclusiones puedes obtener en relación con estas notas?

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MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 3

Las probabilidades surgen de la colección de observaciones hechas en datos de juego de azar. En épocas muy antiguas, el juego de dados y el lanzamiento de monedas producían una gran atracción. Con el tiempo, estos juegos se fueron convirtiendo en una gran ayuda para la ciencia, por ejemplo, la estadística, economía, sociología y biología, por nombrar algunas áreas en que se utiliza con frecuencia.

¿Sabías que?

• La probabilidad de que alguien nazca con 11 dedos es de 1 en 500 o dicho de otra forma 1

500 = 0,002• La probabilidad de encontrar una perla en una ostra es de 1 entre 1200 o bien, 1

1200• Las características que cada uno tiene al momento de nacer también pueden ser

determinadas mediante la estadística.

Pensemos solamente que la posibilidad de que nuestros progenitores se juntaran es de 1 en 10.000. Además, una mujer genera en su vida fértil 100.000 óvulos y un hombre aproximadamente 4.000 trillones de espermios durante su vida.Entonces, la probabilidad de haber tenido nuestras características es de 1 en 400 cuatrillones.

ESPACIO MUESTRALEl conjunto de todos los resultados que pueden ser obtenidos al realizar un experimento aleatorio, se llama espacio muestral (Ω).

Ejemplos:

• Al lanzar un dado Ω={0,1,2,3,4,5,6}• Al lanzar dos monedas Ω={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s)}

EVENTO O SUCESO (A)Son los subconjuntos de un espacio muestral (Ω).

Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara?

• Ω={c,s}• A={c}

Los sucesos pueden ser:

• Elemental: está formado por solo un resultado.• Compuesto: está formado por más de un resultado.• Seguro: siempre puede suceder.• Imposible: nunca se puede realizar.

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MATEMáTICASEMANA 1


QUÉ ES UNA PROBABILIDAD Una probabilidad (P) de un suceso (A) está dado por la regla de Laplace que dice:

P(A) = n° de casos favorables de A n° de casos posibles (totales)

Entonces al lanzar una moneda podemos calcular la probabilidad (P) de obtener una cara.• Ω={cara,sello }• A={cara}

Entonces, P(A) = 12

La probabilidad (P) se encuentra entre 0 y 1. Es decir, 0 ≤ P(A) ≤ 1• Será 0 cuando el suceso sea imposible que ocurra.

Por ejemplo, al lanzar un dado honesto obtener un 8,

Ω={1,2,3,4,5,6}A={8}

P(A) = 06 = 0

• Será 1 cuando el suceso es un evento seguro. Por ejemplo, al lanzar un dado honesto obtener un número menor que 7.

Ω={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3,4,5,6} P(A) = 6

6 = 1

• O bien, estará entre 0 y 1. Por ejemplo, al lanzar un dado honesto obtener un número par.

Ω={1,2,3,4,5,6}A={2,4,6}

P(A) = 36 = 1

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EjerciciosMarca la alternativa correcta y determina el espacio muestral (Ω) y evento o suceso (A).

1. En una caja hay 2 fichas rojas y 6 fichas azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul?

a) 8 b) 6 c) 34 d) 1

4

• espacio muestral (Ω) =• evento o suceso (A) =

10

MATEMáTICASEMANA 1


2. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30. Si se saca una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha tenga un número par mayor que 15?

a) 130 b) 4

15 c) 12 d) 1

4

• espacio muestral (Ω) =• evento o suceso (A) =

3. Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas(s)

i. La probabilidad de sacar “M” es 12

ii. La probabilidad de sacar una consonante es 712

iii. La probabilidad de sacar “A” es igual a sacar una “T”

a) Solo ii b) Solo iii c) i y ii d) ii y iii

• espacio muestral (Ω)=• evento o suceso (A1)= evento o suceso (A2)= evento o suceso (A3)=

4. ¿Cuál de los siguientes sucesos es imposible?

a. Sacar una cara al lanzar una moneda.b. Sacar un múltiplo de 6 al lanzar un dado.c. Sacar una cara o un sello al lanzar una moneda.d. Sacar un número menor que seis al lanzar un dado.e. Todos son sucesos posibles.

• espacio muestral (Ωmoneda ) = • espacio muestral (Ωdado ) = • evento o suceso (Aa) =• evento o suceso (Ab) =• evento o suceso (Ac) =• evento o suceso (Ad) =

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MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 4

Identificar las clases de sucesos probabilísticos excluyentes o no excluyentes.

Dos sucesos son excluyentes si ambos sucesos no tienen elementos en común.

Ejemplo:

De un curso de 4° medio:

A: 15 estudiantes eligen participar del taller de matemática.

B: 25 estudiantes eligen participar en el taller de deportes.

Si se elige un estudiante al azar el estudiante pertenece al grupo A o B; estos dos sucesos son excluyentes. Entonces:

P(AoB) = P(A⋃B) = P(A) + P(B) = 1540 + 25

40 = 4040 = 1A

15

B

25

Dos sucesos no son excluyentes si es que tienen algo en común:

Ejemplo:




C: 2 estudiantes eligen ambos.

¿Cuántos estudiantes eligen solo matemática o solo deporte?

P(AoB) = P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(C) = 1540 + 25

40 - 240= 38

40 = 1920 = 0,95

A B

15 252

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MATEMáTICASEMANA 1


EjerciciosIdentifica si los siguientes ejemplos son sucesos excluyentes o no excluyentes y marca la alternativa correcta.

1. En una caja hay 10 bolitas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar o múltiplo de 4?

a. Excluyentes, (P) = 710

b. No excluyentes, (P) = 710

c. Excluyentes, (P) = 510

d. No excluyentes, (P) = 510

2. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar o múltiplo de 6?

a. Excluyente P(A∪B)= 36 = 1

2b. No excluyente P(A∪B)= 3

6 = 12

c. Excluyente P(A∪B)= 46 = 2

3d. No excluyente P(A∪B)= 4

6 = 23

3. Un curso está formado por 10 hombres y 15 mujeres. La mitad de estos hombres y un tercio de las mujeres eligieron la asignatura optativa de música. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea un hombre o esté en el curso optativo de música?

a. Excluyente P(A∪B) = 25

b. No excluyente P(A∪B) = 25

c. Excluyente P(A∪B) = 35

d. No excluyente P(A∪B) = 35

4. Se lanzan simultáneamente dos dados. La probabilidad de obtener dos números cuya suma sea 5 o 12 es:

a. Excluyente P(A∪B)= 536

b. No excluyente P(A∪B)= 536

c. Excluyente P(A∪B)= 56

d. No excluyente P(A∪B)= 56

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MATEMáTICASEMANA 1


5. Se tienen 5 libros de distintas materias: matemática, lenguaje, biología, química y física. Si se toma un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de matemática o física?





6. Si se extrae al azar una carta de un naipe ingles de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que resulte un 8 o un trébol?





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MATEMáTICASEMANA 1

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

1. Para reconocer las medidas de dispersión, es necesario conocer la media o promedio, simbolizada como 𝑥 ̅.

Comencemos por un ejemplo:Al hacer un estudio de los pesos entre 2 grupos de estudiantes, cuyos pesos son:

Grupo 1Juan Elena Pía Pedro Fernando

10 kg 15 kg 25 kg 20 kg 30 kg

Grupo 2Ema Pancho Jaime Alfredo Mariana

15 kg 19 kg 20 kg 21 kg 25 kg

Se hace un estudio del 𝑥 ̅ (promedio o media) de cada uno de los grupos.

Grupo 1: 𝛴 𝑥𝑖𝑛 ¿qué nos dice esta expresión?

Nos dice que debemos sumar todos los pesos de los integrantes del grupo y dividirlo por el número total de datos, es decir, sumar 10 kg, 12 kg, 23 kg, 20 kg y 35 kg y son 5 datos. Es decir:

𝑥𝑖𝑛 20kg10kg + 15kg + 25kg + 20kg + 30kg

5100

5 kg

En este grupo vemos que la media o promedio de los pesos de sus integrantes es 20 kg

Grupo 2:𝑥𝑖𝑛 20kg15kg + 19kg + 20kg + 21kg + 25kg

5100

5 kg

La media o promedio de los pesos de sus integrantes también es 20 kg

Pero los pesos de algunos estudiantes no se parecen al promedio . Esto sucede porque el promedio tiene por objetivo describir el punto central de los datos, lo que implica que hay algunos datos que se alejan del .

El , no tiene como objetivo hablar de la dispersión, es decir, lo alejado del centro que se encuentran algunos datos. Como se observa en este ejemplo, hay niños cuyos pesos están alejados de esta medida de tendencia central llamada .

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA

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MATEMáTICASEMANA 1


Presentemos en un gráfico los pesos del grupo 1 y grupo 2 y veamos qué sucede con el promedio o media que es 20 kg.

Grupo 1

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31


Grupo 2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31


Al observar estas gráficas nos podemos dar cuenta que los datos del grupo 1 están más dispersos que los pesos del grupo 2.

A partir de la media , reconocer y determinar qué tan dispersos están los datos dados. Para ello, se deben calcular las medidas de dispersión, rango, varianza y desviación estándar.

2. Rango (R): es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de una agrupación de datos

Rango= vmax - vmin



Por lo tanto, como la diferencia del G2 < G1 implica que G2 está más cerca del , el promedio se acerca más a la realidad de los datos.

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MATEMáTICASEMANA 1


3. Una segunda medida de dispersión que entrega más información, es la varianza (σ2).

La varianza (σ2 )= 𝛴(𝑥𝑖- )2

𝑛 establece la distancia promedio que tiene cada uno de los puntos con respecto a la media.

La varianza para el grupo 1, sabiendo que =20 kg, sería:

(σ2 )= (𝑥𝑖- )2

𝑛

(10-20)2 + (15-20)2 + (25-20)2 + (20 - 20)2 + (30-20)2

5

(σ2 )= (𝑥𝑖- )2

𝑛(-10kg)2 + (-5kg)2 + (5kg)2 + (0kg)2 + (10kg)2

5

(σ2 ) = (𝑥𝑖- )2

𝑛100 + 25 + 25 + 0 +100

5250

5 50

( - 20)2 + ( - 20)2 + ( - 20)2 + ( - 20)2 + ( - 20)2

5

Por lo tanto, para el grupo 1 (G1) σ2=50kg2

Usando la información anterior, determina la varianza para el grupo 2, sabiendo que = 20 kg, sería:

(σ2 )= (𝑥𝑖- )2

𝑛

Por lo tanto, para el grupo 2 (G2) σ2=

¿Cuál valor es menor, el del grupo 1 o el del grupo 2? El que tenga menor varianza, o valor más pequeño entre ambos cálculos, estará más cerca de la media, por tanto, menos disperso.

15 19 20 21 25

(σ2 ) = (𝑥𝑖- )2

𝑛

(σ2 ) = (𝑥𝑖- )2

𝑛

(-5)2 + (-1)2 + (0)2 + (1)2 +(5)2

5

25 + 1 + 0 + 1 + 255

525 10,4 kg2

10,4 kg2

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MATEMáTICASEMANA 1


4. Desviación estándar (σ), corresponde a σ22 , es decir, (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎)

2

En el ejemplo anterior.

σ2σ = 2 , entonces kg

3,2 kg10,4

≈

≈

σg1 =

σg2 =

2

2

En este caso, nuevamente observamos que el valor del grupo 1 está más alejado de la media de los grupos.

Resumiendo

Rango (R) Varianza (σ2) Desviación estándar (σ)



En todos los casos los valores de G1 son mayores al G2, lo que implica que los datos están más dispersos.

Determina las medidas de dispersión en las siguientes situaciones que se presentan:

• Los siguientes 3 conjuntos muestran las edades de grupos de amigos:

Amigo1 Amigo2 Amigo3 Amigo4 Amigo5 Amigo6

Grupo 1 15 16 17 17 18 19

Grupo 2 14 15 15 18 19 21

Grupo 3 13 14 15 17 20 23

Termina para cada uno de los grupos

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

Rango 4 7 10

Media 17 17 17

Varianza 1,6 1,3 12,3

Desviación estándar 1,29 2,5 3,5

Teniendo como referencia los resultados encontrados: • ¿Qué grupo es más homogéneo, es decir, las edades son más cercanas entre todos los

amigos?• Observa los datos de los grupos. ¿Tus resultados corresponden a lo que puedes analizar

directamente de los datos?

50 7,1

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MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 2

Cuando los datos son muchos, suelen ser entregados e informados de forma resumida. Hoy veremos cómo resumir datos desde una tabla y calcular las medidas de dispersión asociadas.

1. Las notas de 15 estudiantes en una prueba fueron las siguientes:

Est1 Est2 Est3 Est4 Est5 Est6 Est7 Est8 Est9 Est10 Est11 Est12 Est13 Est14 Est15

5,9 6,5 3,5 5,2 4,6 4,8 6,5 5,9 6,5 6,5 4,6 3,5 3,5 4,8 7

Podemos entregar un primer resumen:

Nota Frecuencia

3,5 3

4,6 2

4,8 2

5,2 1

5,9 2

6,5 4

7 1

Sabiendo que el promedio o media es 5,28, calcula lo siguiente:

Grupo 1

Rango 3,5

Media 5,28

Varianza 1,28

Desviación estándar 1,13

¿Qué conclusiones puedes obtener en relación con estas notas?Al observar las medidas de dispersión podemos señalar que las notas presentan una gran dispersión con respecto a la media (5,28).

Observamos que los estudiantes, en general, lograron medianamente los objetivos que fueron evaluados en la prueba, debido al promedio. Pero al observar la desviación estándar, encontramos que la mayoría de los datos se encuentran en el intervalo [4,15;6,42]. Es decir, los datos son muy dispersos.Entonces, en general, debería trabajarse para que el curso alcance los objetivos planteados.

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MATEMáTICASEMANA 1


2. En el curso entregaron las notas de 24 alumnos en la prueba de matemática. El profesor resumió las notas en una tabla de la siguiente forma:

Notas Marca de clase (MC) Frecuencia

[2,3[ (2+3)2 = 2,5 3

[3,4[ (3+4)2 = 3,5 4

[4,5[ (4+5)2 = 4,5 6

[5,6[ (5+6)2 = 5,5 8

[6,7[ (6+7)2 = 6,5 3

Total de estudiantes 24

¿Cómo calcularías la media o promedio?

Determina las medidas de dispersión de las notas de matemática.

Grupo 1

Rango 3

Media 4,6

Varianza 1,47

Desviación estándar 1,21

¿Qué conclusiones puedes obtener en relación con estas notas?Al observar las medidas de dispersión, podemos señalar que las notas presentan una gran dispersión con respecto a la media (4,6).

Observamos que los estudiantes, en general, no lograron los objetivos que fueron evaluados en la prueba, debido a que el promedio es más bien bajo y, por sobre todo, al observar la desviación estándar encontramos que la mayoría de los datos se encuentran en el intervalo [3,45;5,87]. Es decir, los datos son muy dispersos.Eso quiere decir que se debería hacer un proceso para todos los estudiantes que permita que alcancen los objetivos trazados.

Se calcula usando la MC como nota para el intervalo, es decir, para el primero sería 2,5 · 3

= 𝑥𝑖𝑛

2,5 · 3 + 3,5 · 4 + 4,5 · 6 + 5,5 · 8 + 6,5 · 324

11224 4,6

= 4,6

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MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 3

Las probabilidades surgen de la colección de observaciones hechas en datos de juego de azar. En épocas muy antiguas, el juego de dados y el lanzamiento de monedas producían una gran atracción. Con el tiempo, estos juegos se fueron convirtiendo en una gran ayuda para la ciencia, por ejemplo, la estadística, economía, sociología y biología, por nombrar algunas áreas en que se utiliza con frecuencia.

¿Sabías que?

• La probabilidad de que alguien nazca con 11 dedos es de 1 en 500 o dicho de otra forma 1

500 = 0,002• La probabilidad de encontrar una perla en una ostra es de 1 entre 1200 o bien, 1

1200• Las características que cada uno tiene al momento de nacer también pueden ser

determinadas mediante la estadística.

Pensemos solamente que la posibilidad de que nuestros progenitores se juntaran es de 1 en 10.000. Además, una mujer genera en su vida fértil 100.000 óvulos y un hombre aproximadamente 4.000 trillones de espermios durante su vida.Entonces, la probabilidad de haber tenido nuestras características es de 1 en 400 cuatrillones.

ESPACIO MUESTRALEl conjunto de todos los resultados que pueden ser obtenidos al realizar un experimento aleatorio, se llama espacio muestral (Ω).

Ejemplos:

• Al lanzar un dado Ω={0,1,2,3,4,5,6}• Al lanzar dos monedas Ω={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s)}

EVENTO O SUCESO (A)Son los subconjuntos de un espacio muestral (Ω).

Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara?

• Ω={c,s}• A={c}

Los sucesos pueden ser:

• Elemental: está formado por solo un resultado.• Compuesto: está formado por más de un resultado.• Seguro: siempre puede suceder.• Imposible: nunca se puede realizar.

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MATEMáTICASEMANA 1


QUÉ ES UNA PROBABILIDAD Una probabilidad (P) de un suceso (A) está dado por la regla de Laplace que dice:

P(A) = n° de casos favorables de A n° de casos posibles (totales)

Entonces al lanzar una moneda podemos calcular la probabilidad (P) de obtener una cara.• Ω={cara,sello }• A={cara}

Entonces, P(A) = 12

La probabilidad (P) se encuentra entre 0 y 1. Es decir, 0 ≤ P(A) ≤ 1• Será 0 cuando el suceso sea imposible que ocurra.

Por ejemplo, al lanzar un dado honesto obtener un 8,

Ω={1,2,3,4,5,6}A={8}

P(A) = 06 = 0

• Será 1 cuando el suceso es un evento seguro. Por ejemplo, al lanzar un dado honesto obtener un número menor que 7.

Ω={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3,4,5,6} P(A) = 6

6 = 1

• O bien, estará entre 0 y 1. Por ejemplo, al lanzar un dado honesto obtener un número par.

Ω={1,2,3,4,5,6}A={2,4,6}

P(A) = 36 = 1

2

EjerciciosMarca la alternativa correcta y determina el espacio muestral (Ω) y evento o suceso (A).

1. En una caja hay 2 fichas rojas y 6 fichas azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul?

a) 8 b) 6 c) 34 d) 1

4

• espacio muestral (Ω) = {r,r,a,a,a,a}• evento o suceso (A) = {a}

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MATEMáTICASEMANA 1


2. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30. Si se saca una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha tenga un número par mayor que 15?

a) 130 b) 4

15 c) 12 d) 1

4

• espacio muestral (Ω) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}

• evento o suceso (A) = {16,18,20,22,24,26,28,30}

3. Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas(s)

i. La probabilidad de sacar “M” es 12

ii. La probabilidad de sacar una consonante es 712

iii. La probabilidad de sacar “A” es igual a sacar una “T”

a) Solo ii b) Solo iii c) i y ii d) ii y iii

• espacio muestral (Ω)= {D,E,P,A,R,T,A,M,E,N,T,O}• evento o suceso (A1)= {M} evento o suceso (A2)= {D,P,R,T,M,N,T} evento o suceso (A3)= {A,A,T,T}

4. ¿Cuál de los siguientes sucesos es imposible?

a. Sacar una cara al lanzar una moneda.b. Sacar un múltiplo de 6 al lanzar un dado.c. Sacar una cara o un sello al lanzar una moneda.d. Sacar un número menor que seis al lanzar un dado.e. Todos son sucesos posibles.

• espacio muestral (Ωmoneda ) = {c,s}• espacio muestral (Ωdado ) = {1,2,3,4,5,6}• evento o suceso (Aa) = {c}• evento o suceso (Ab) = {6}• evento o suceso (Ac) = {c,s}• evento o suceso (Ad) = {1,2,3,4,5}• evento o suceso (Ae) = {1,2,3,4,5,6}

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MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 4

Identificar las clases de sucesos probabilísticos excluyentes o no excluyentes.

Dos sucesos son excluyentes si ambos sucesos no tienen elementos en común.

Ejemplo:




Si se elige un estudiante al azar el estudiante pertenece al grupo A o B; estos dos sucesos son excluyentes. Entonces:

P(AoB) = P(A⋃B) = P(A) + P(B) = 1540 + 25

40 = 4040 = 1A

15

B

25

Dos sucesos no son excluyentes si es que tienen algo en común:

Ejemplo:




C: 2 estudiantes eligen ambos.

¿Cuántos estudiantes eligen solo matemática o solo deporte?

P(AoB) = P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(C) = 1540 + 25

40 - 240= 38

40 = 1920 = 0,95

A B

15 252

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MATEMáTICASEMANA 1


EjerciciosIdentifica si los siguientes ejemplos son sucesos excluyentes o no excluyentes y marca la alternativa correcta.

1. En una caja hay 10 bolitas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar o múltiplo de 4?

a. Excluyentes, (P) = 710

b. No excluyentes, (P) = 710

c. Excluyentes, (P) = 510

d. No excluyentes, (P) = 510

2. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar o múltiplo de 6?

a. Excluyente P(A∪B)= 36 = 1

2b. No excluyente P(A∪B)= 3

6 = 12

c. Excluyente P(A∪B)= 46 = 2

3d. No excluyente P(A∪B)= 4

6 = 23

3. Un curso está formado por 10 hombres y 15 mujeres. La mitad de estos hombres y un tercio de las mujeres eligieron la asignatura optativa de música. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea un hombre o esté en el curso optativo de música?





4. Se lanzan simultáneamente dos dados. La probabilidad de obtener dos números cuya suma sea 5 o 12 es:

a. Excluyente P(A∪B)= 536

b. No excluyente P(A∪B)= 536

c. Excluyente P(A∪B)= 56

d. No excluyente P(A∪B)= 56

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MATEMáTICASEMANA 1


5. Se tienen 5 libros de distintas materias: matemática, lenguaje, biología, química y física. Si se toma un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de matemática o física?





6. Si se extrae al azar una carta de un naipe ingles de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que resulte un 8 o un trébol?





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