MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático:...

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MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Geometría 1. CRITERIOS DE CONGRUENCIA Dos triángulos son congruentes cuando sus lados y ángulos correspondientes son congruentes entre sí. Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) no son independientes, no es necesario para asegurar la congruencia que los tres ángulos y los tres lados correspondientes sean congruentes. La información mínima necesaria para que los triángulos sean congruentes responde a los llamados criterios de congruencia: Criterio (L,L,L) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son proporcionales: Criterio (L,A,L) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo comprendido entre ellos. Criterio (A,L,A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes congruentes y el lado comprendido entre ellos.

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Criterio (L,L A>) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo opuesto mayor de estos lados. Puedes encontrar información acerca de transformaciones isométricas en el sitio: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/congruencia_desarrollo.htm 2. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Una transformación isométrica es una transformación geométrica que conserva la medida de los lados de los ángulos. Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es congruente a la original. Las transformaciones que estudiaremos aquí son la traslación, el giro o rotación, la reflexión en torno a un eje y la reflexión en torno a un punto. 2.1. Traslación Cuando movemos paralelamente una cierta figura en una dirección, lo que estamos efectuando es una traslación. Observa que la traslación queda completamente determinada si conocemos el vector de la dirección del movimiento, ya que podríamos obtener la imagen de todos los puntos de la figura.

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Traslación en un sistema cartesiano

Si el punto P(a,b) lo trasladamos en la dirección se transforma en el punto P’(a+u,b+y). Ejemplo: ¿En qué posición queda el punto A(-3,4) si lo trasladamos en la dirección

? El punto A(-3,4) se traslada al punto: A’ (-3+5,4+6) = A’(2,10). Propiedades de la traslación

Supongamos que el segmento de la figura se ha trasladado en la dirección

del vector . Entonces se cumplen las siguientes propiedades: (1) AB = B’A’ (2) ABB’A’ es un paralelogramo

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Las propiedades anteriores se pueden demostrar a través de la congruencia de los triángulos ABA’ y B’A’B. 2.2. Giro o rotación Si giramos una figura en torno a un punto O, obtenemos una figura congruente a la original. Observa que el giro queda completamente determinado si conocemos el punto que utilizaremos como centro de rotación y el ángulo de giro. Por convención, el ángulo siempre se medirá contrario al movimiento de los punteros del reloj. Rotación en un sistema cartesiano La rotación en torno al origen en un sistema cartesiano se puede determinar fácilmente si el ángulo de rotación es múltiplo de 90º. Si el ángulo es distinto a esto, su estudio escapa a la profundidad de la PSU. Rotación en 90° El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(-y ,x)

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Rotación en 180° El punto P(x,y) se transforma en el punto P’(-x,-y) Rotación en 270° El punto P(x,y) se transforma en el punto P’(y,-x) Propiedades de la rotación

Supongamos que el segmento de la figura se ha rotado en torno al punto O en un ángulo �.

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Entonces se cumplen las siguientes propiedades: (1) AB = A’B’ (2) BOA B'OA '∆ ≅ ∆ 2.3. Reflexión en torno a un eje Sea una recta L y un punto P de modo que el punto no esté contenido en ella. La reflexión del punto A en torno a la recta L es un punto A’, de modo que se cumplen las siguientes condiciones: (1) AA ' L⊥ (2) AP = PA’ Observaciones:

Si el punto A está en la recta L, su imagen es el mismo punto. Se dice que A’ es el simétrico de A en torno a L.

Propiedades de la reflexión en torno a un eje

Supongamos que el segmento de la figura se ha reflejado en torno a la recta L, transformándose en el segmento A 'B' .

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Entonces se tienen las siguientes propiedades: (1) AB = A’B’ (2) AA’ // BB’ (3) L es la simetral de AA ' y BB' (4) L es el eje de simetría del cuadrilátero AA’B’B (5) Al reflejar una figura en torno a un eje, se obtiene una figura congruente, produciéndose una simetría axial. Reflexión en torno a un eje en un sistema cartesiano Reflexión en torno al eje x: El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(x ,-y). Reflexión en torno al eje y: El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(-x ,y). Ejemplo: ¿Qué coordenadas tiene el punto A(-3,4) si se refleja en torno al eje x y después en torno al eje y? Si A se refleja en torno al eje x: A(-3,4) queda en A’(-3,-4) Si A’ se refleja en torno al eje y: A’(-3,-4) queda en A’’(3,-4) Respuesta: (3,-4)

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2.4. Reflexión en torno a un punto Supongamos que tenemos un punto P y un punto O diferente de P. La reflexión de P en torno de O es un punto P’ que cumple las siguientes condiciones: (1) O, P y P’ son colineales (2) OP = OP’ Propiedades de la reflexión en torno a un punto Supongamos que el segmento AB de la figura se ha reflejado en torno al punto O, transformándose en el segmento A 'B' . Entonces, se tienen las siguientes propiedades: (1) AB = A’B’ (2) ABA’B’ es un paralelogramo Observaciones:

Al efectuar una reflexión a un segmento en torno a un punto, se obtiene un segmento paralelo y congruente.

Si un punto coincide con el centro de reflexión, su imagen es el mismo punto.

Al reflejar una figura en torno a un punto, se obtiene una figura congruente produciéndose una simetría central en torno al punto.

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Reflexión en torno al origen en un sistema cartesiano Reflejar un punto en torno al origen es equivalente a efectuar un giro en 180° en torno a este punto, por lo tanto, la reflexión de P(x,y) en 180° es el punto P’(-x,-y): Para mayor información acerca de congruencias y transformaciones isométricas, te sugerimos los siguientes sitios: Simetría central: http://nti.educa.rcanaria.es/matematicas/Geometria/Actividades/Transformaciones/simetria_central.htm Congruencia y transformaciones isométricas: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/congruencia_desarrollo.htm

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3. TESELACIONES Teselar un plano es recubrirlo con figuras geométricas de modo que no se superpongan ni dejen espacio entre ellas. 3.1. Teselaciones regulares Si se tesela con polígonos regulares de un mismo tipo, se llama teselación regular. Ejemplos de teselaciones regulares: Con triángulos equiláteros: Con hexágonos regulares: 3.2. Teselaciones semirregulares Si se tesela con polígonos regulares de diferente tipo, se llama teselación semirregular. Ejemplos de teselaciones semirregulares: Con hexágonos y triángulos equiláteros:

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Con octógonos y cuadrados: Puedes ver más ejemplos de teselaciones semirregulares en: http://www.sectormatematica.cl/media/NM1/NM1_MOSAICOS.doc 3.3. Teselaciones con polígonos no regulares Ejemplos de teselaciones con polígonos no regulares: Con rectángulos: Con paralelogramos: En todas las teselaciones las figuras se obtienen a partir de las figuras base, aplicándoles una transformación isométrica. Por ejemplo, si en la última figura partimos de un paralelogramo inicial, los demás se obtienen aplicándoles una traslación.

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Te sugerimos visitar las siguientes páginas de Internet para que repases el tema de teselaciones: http://personal.telefonica.terra.es/web/emiliomartin2002/mosaicos_y_teselaciones.htmhttp://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Otras_teselaciones.htm#Teselación%20del%20plano%20por%20triángulos%20no%20equiláteros. (contiene software interactivo donde puedes teselar con diferentes figuras) A continuación puedes ver un mapa conceptual que relaciona las transformaciones isométricas con la congruencia de figuras:

EducarChile.cl www.psucuentaregresiva.cl

Números racionales y potencias Números racionles Son aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros. También podemos referirnos a ellos como el conjunto de todos los números decimales finitos, periódicos y semiperiódicos y, por lo tanto, todo cuociente entre números enteros tiene su equivalente decimal. Este conjunto se

simboliza con la letra ℚ

Ejemplos de números racionales son:

• Cualquier número decimal finito

• Cualquier número decimal periódico

• Cualquier número decimal semiperiódico

OPERATORIA EN ℚ a) Adición. Sean a, b, c, y d números enteros, con b ¹ 0 y d ¹ 0. Entonces,

Ejemplo:

b) Multiplicación: Sean a, b, c, y d números enteros, con b¹0 y d¹0. Entonces, a * c = a*c b d = b * d Ejemplo:

Aproximación Redondeo


Redondear un número significa aproximarlo a una cifra determinada. Esto es útil para estimar cantidades rápidamente u operar con números demasiados extensos. Nunca se recomienda el redondeo en casos en que necesitamos mucha precisión de los cálculos y en donde una milésima puede significar, por ejemplo, grandes distancias. Se recomienda usar redondeo para operar manualmente decimales infinitos o números irracionales, además de hacer cálculos mentales para ver la pertinencia de un resultado. Redondeo a la unidad: consiste en eliminar la parte decimal, aproximándola a la unidad más cercana. Si la parte decimal es igual o inferior a 0,500 se aproxima a la unidad inferior, si es superior se aproxima a la unidad superior. Ejemplos: A 4,14 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,1) 4,673 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,6) 4,449 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,4) 4,399 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,3) 4,723 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,7) Redondeo a la décima: consiste en dejar una sola cifra decimal, aproximando las centésimas a la décima más cercana. Si la parte centesimal es igual o inferior a 0,050 se aproxima a la décima inferior, si es superior se aproxima a la décima superior. Ejemplos: 5,14 se aproxima a 5,1 (ya que la parte centesimal es 0,04) 5,673 se aproxima a 5,7 (ya que la parte centesimal es 0,07) 5,449 se aproxima a 5,4 (ya que la parte centesimal es 0,04) 5,399 se aproxima a 5,4 (ya que la parte centesimal es 0,09) 5,723 se aproxima a 5,7 (ya que la parte centesimal es 0,02) Redondeo a la centésima: consiste en dejar tan sólo dos cifras decimales, aproximando las milésimas a la centésima más cercana. Si la parte milesimal es igual o inferior a 0,005 se aproxima a la centésima inferior, si es superior se aproxima a la centésima superior. Ejemplos: 4,14 se aproxima a 4,14 (ya que la parte milesimal es 0,000) 4,673 se aproxima a 4,67 (ya que la parte milesimal es 0,003) 4,449 se aproxima a 4,45 (ya que la parte milesimal es 0,009) 4,399 se aproxima a 4,40 (ya que la parte milesimal es 0,009) 4,723 se aproxima a 4,72 (ya que la parte milesimal es 0,003) Truncamiento. En el truncamiento de un número decimal se eliminan las cifras a partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento. Truncamiento por la unidad: se eliminan todas las cifras decimales. Ejemplos: 45,325 se trunca por 45 122,3434 se trunca por 122 91,435123 se trunca por 91 Truncamiento por la décima: solo se deja esta cifra decimal.


Ejemplos: 45,325 se trunca por 45,3 122,3434 se trunca por 122,3 91,435123 se trunca por 91,4 Truncamiento por la centésima: solo se dejan 2 cifras decimales. Ejemplos: 45,325 se trunca por 45,32 122,3434 se trunca por 122,34 91,435123 se trunca por 91,43 Y así sucesivamente. Transformaciones de números decimales a fracciones Si bien este es un contenido explícito del temario para la PSU de matemática, en la práctica es un contenido necesario para responder todo tipo de preguntas, por ejemplo, el resultado de un ejercicio puede venir dado en decimales o en notación de fracciones, si no sabemos transformar de una a otro no podremos reconocer el resultado correcto de un ejercicio, incluso si somos capaces de resolverlo correctamente. Trasformar decimales finitos a fracciones: Es la transformación más sencilla, en el numerador se escribe el número decimal sin su coma y en el denominador un múltiplo de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Luego se simplifica hasta obtener una fracción irreductible. Ejemplo:

Transformar decimales semiperiodos a fracciones: En el numerador se escribe el número decimal sin la coma, como un número natural, y se le resta los números antes del período el resultado es el numerador de la fracción. En el denominador de primero se escribe un 9 por cada cifra periódica, seguidas de un cero por cada cifra decimal que no será periodo. Ejemplo:

Transformar decimales periódicos a fracciones: En el numerador se escribe el número decimal sin la coma, como un número natural, y se le resta la parte entera del decimal. En denominador de escriben tantos nueves como cifras periódicas tenga el número decimal. Ejemplo:


ÁLGEBRA

1. OPERATORIA ALGEBRAICA

1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a

2b y

5a2b son semejantes. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los

coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo: -2a

2 b + 5a2b = 3a

2b 10x

2z

3–22x

2z

3= -12x

2z

3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar: La operación 12a

2b + 13ab

2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

1.2 ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: (1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. (2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. Ejemplo: 2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) = Aplicando las reglas anteriores, tenemos: 2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes: -2ab + 2a - ab 1.3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”. Por ejemplo: Ejemplo: (2x

2y

3z)*(4x

4y

2)= 8x

6y

5z

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de realizar las operaciones y reducir los términos semejantes, el máximo exponente de la incógnita es 1. Para resolver una ecuación de primer grado se debe trasponer los términos, esto es: traspasarlos de un lado (o miembro de la ecuación) al otro de la igualdad, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro. Este procedimiento se conoce como “despejar la incógnita” de la ecuación. Cada vez que transponemos un término cambia de signo debido a la aplicación de la propiedad del inverso aditivo u opuesto, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: (x + 3)

2 – (x - 1)

2 = 3x – (x – 4)

Primero desarrollamos los productos notables: x

2 + 6x + 9 – (x

2 – 2x + 1) = 3x – (x - 4)

Ahora se eliminan los paréntesis: x

2 + 6x + 9 – x

2 + 2x - 1 = 3x – x + 4;

Ahora trasponemos los términos: x

2 + 6x – x

2 + 2x -3x + x = 4 – 9 + 1;

Luego reducimos los términos semejantes: 6x = -4 ;

Y dividiendo esta expresión por 6: x = -4/6 ;

Finalmente simplificando por 2 se obtiene x = -2/3


1. Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación literal de primer grado, es aquella que contiene otras expresiones literales además de la incógnita, que se consideran valores constantes. Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla. Ejemplo:

ax – b(x - 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y transponemos términos:

ax – bx + b = 3x + 3a ax – bx – 3x = 3a – b;

Ahora, extraemos el factor común x en el primer miembro de la ecuación: x(a – b – 3) = 3a – b

y dividiendo la ecuación por el factor (a - b - 3)

2. Planteo de ecuaciones de primer grado Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado en una expresión algebraica. A continuación te entregamos una lista de transformaciones útiles: El doble de a......................................................... 2a El triple de b........................................................... 3b El cuádruplo de c................................................... 4c El cuadrado de d.................................................... d

2

El cubo de e........................................................... e3

El antecesor del entero f.................................. f–1 El sucesor del entero g ................................... g+1 El cuadrado del doble de h................................... (2h)

2

El doble del cuadrado de i..................................... 2i2

Un número par...................................................... 2n Un número impar .................................................2n-1 ó 2n+1 Dos números consecutivos....................................n y n+1 Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2 Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1

La mitad de x..........................................................

La tercera parte de y .............................................. Para mayor ejercitación acerca de interpretación de enunciados, te sugerimos visitar la página: Guía de ecuaciones Veamos a continuación un par de ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9. Sean x y x + 1 los números buscados, entonces, según el enunciado dado, escribimos:

(x + 1)2 – x

2 = 9;

desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x

2 + 2x + 1 – x

2 = 9

2x + 1 = 9 2x= 9 - 1 x= x = 4; por lo tanto los números buscados son 4 y 5.

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/guias/ecuacion/GuiaTraducciones/Guia_de_Ecuaciones.htm


Ejemplo 2: Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97. ¿Qué edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, tenemos la ecuación: x + 2x + 1 = 97 3x = 97 - 1 3x = 96 x = 32, Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 años y la de Sergio es 65 años, por lo tanto el menor tiene 32 años. FÓRMULAS DE PERÍMETROS, SUPERFICIES Y VOLUMENES 1. Fórmulas lineales. a) El perímetro de cualquier polígono equivale a la suma de sus lados b) El perímetro de un polígono de n lados de longitud a es n • a. c) El perímetro de una circunferencia de radio r es 2 • p • r. Ejemplo 1. El perímetro de un triángulo equilátero de lado 5 cm es 3 • 5 cm = 15 cm Ejemplo 2. ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de largo 25 cm y cuyo ancho es la mitad del largo? Solución. Perímetro rectángulo = 25 + 12,5 + 25 + 12,5 = 75 cm. Ejemplo 3. El perímetro de una circunferencia de radio 1,5 m es 2 • p • 1,5 m = 3p m Ejemplo 4. El perímetro de un pentágono regular de lado 6 cm es 5 • 6 cm = 30 cm. Ejemplo 5. La figura muestra 6 circunferencias congruentes de 6 cm de diámetro y tangentes entre sí. Si A, B y C son los centros de las circunferencias respectivas, entonces ¿cuál es el perímetro del Δ ABC? ¿Cuánto suman las longitudes de todas las circunferencias?

Solución. Si el diámetro de las circunferencias es 6 cm, entonces cada radio mide 3 cm. El lado AB del triángulo está formado por el radio de la circunferencia A, por el diámetro de la circunferencia central y por el radio de la circunferencia B, por lo tanto: AB = 3 + 6 + 3 = 12 cm. y como el triángulo ABC es equilátero, entonces su perímetro es 3 • 12 cm = 36 cm. Las 6 circunferencias tienen una longitud total de 6 • 2 • p • 3 cm = 36p cm 2. Fórmulas cuadráticas.

a) Área de triángulo de base b y altura h =

Área del triángulo equilátero de lado a = b) Área de un paralelogramo de base a y altura h = a • h Área de un cuadrado de lado a = a

2

Área de un rombo de diagonales e y f =


c) Área de un trapecio de bases a y b y altura h = d) Área del círculo de radio r = p • r

2

Ejemplo 1. El área de un triángulo equilátero de lado 2 cm es cm2

Ejemplo 2. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide 2,5 m y su altura es igual a los de la base?

Solución. Área rectángulo = Ejemplo 3. ¿Cuál es el área de un rombo de lado 5 cm y cuya diagonal mayor mide 8 cm?

Solución. Para determinar las medidas de la otra diagonal, planteamos el teorema de Pitágoras, recordando que las diagonales se dimidian.

Por lo tanto, la diagonal menor del rombo mide 2 • 3 = 6 cm

Finalmente, el área del rombo mide cm2.

Ejemplo 4. ¿Cuánto mide la altura de un trapecio cuyas bases miden 5,5 cm y 2,5 cm y cuya superficie mide 14 cm

2?

Solución. Área trapecio = 14 cm2 =

Ahora despejamos la incógnita.


Ejemplo 5. El cuadrilátero ABCD está formado por dos triángulos rectángulos congruentes donde AB= 8 cm. ¿Cuál debe ser la medida de AC para que el área del paralelogramo sea 120 cm

2?

Solución. Área paralelogramo = AB∙AC =120 cm

2

Despejando AC tenemos:

Ejemplo 6. ¿Cuál es el radio de un círculo cuya superficie mide 20p cm

2?

Solución. Área del círculo = p • r2 = 20p cm

2

Despejando r tenemos:

3. Cuerpos geométricos. a) Paralelepípedo de largo a, ancho b y altura h. Volumen = a • b • c Superficie total = 2(ab + ah + bh) b) Hexaedro regular o cubo de arista a. Volumen = a

3

Superficie total = 6a2

Diagonal = c) Prisma regular recto de n lados, arista basal a y altura h. Volumen = área basal x altura = área basal • h Superficie total = 2 • área basal + área lateral = 2 • área basal + n • a • h d) Esfera de radio r.

Volumen = Superficie = 4 • p • r

2

e) Cilindro recto de radio basal r y altura h. Volumen = Área basal x altura = p • r

2 • h

Superficie total = 2 • área basal + área del manto = 2 • p • r2 + 2 • p • r • h

f) Cono recto de radio basal r, altura h y generatriz g.

Volumen =

Generatriz = g = Superficie total = área basal + área del manto = p • r

2 + p • r • g

Ejemplo 1. ¿En cuánto aumenta el volumen de un paralelepípedo si su largo se duplica, su ancho se reduce a la mitad y su altura se mantiene constante?


Solución. Asignamos las dimensiones iniciales como l = largo, a = ancho y h = altura. Entonces, el volumen inicial es:

Vol i = l • a • h

Las dimensiones después de la variación son: largo = 2 • l, ancho = y altura = h, Luego, el volumen final es:

Vol f = = l • a • h Por lo tanto, concluimos que el volumen del paralelepípedo no varía. Ejemplo 2. ¿Cuánto debe medir la arista de un cubo para que el módulo de su superficie sea equivalente al módulo de su volumen? Solución. Sea a la arista del cubo. Entonces, igualamos la expresión de su superficie total con la expresión de su volumen y despejamos la variable a.

Ejemplo 3. A un cilindro macizo recto de radio basal 4 cm y altura 20 cm, se le hacen dos cortes, uno vertical según su eje de simetría y otro transversal por la mitad del manto, resultando 4 piezas congruentes. ¿Cuál es la superficie total, en cm², de una de las piezas? Solución. Basémonos en un esquema para resolver este problema.

En la pieza resultante observamos: i) La cuarta parte del manto del cilindro ii) Dos semicírculos de radio 4 cm iii) Un rectángulo de largo 8 cm y altura 10 cm Por lo tanto, la superficie total de la pieza equivale a la suma de las superficies ya determinadas.

Sup. Total =


Ejemplo 4. Determinar el volumen de un cono recto si la superficie del manto es 260p cm² y el radio basal mide 10 cm. Solución: Superficie del manto = p • r • g. Reemplazando los datos tenemos:

Ahora ocupamos la fórmula de la generatriz para despejar la altura del cono.

Finalmente calculamos el volumen del cono como

Ejemplo 5. Si la superficie de una esfera de 3 cm de radio se duplica, ¿cuánto mide el volumen de la nueva esfera? Solución. La esfera de 3 cm de radio tiene una superficie inicial de 4 • p • 3² = 36p cm². Si duplicamos la superficie, el nuevo valor será 2 • 36p =72p cm². Ahora igualamos el último valor con la fórmula de la superficie para la nueva esfera y así poder determinar su radio R.

Finalmente calculamos el volumen de la nueva esfera.


Función lineal La función lineal es muy conocida en economía. Es de gran ayuda para modelar problemas porque es simple y fácil de manejar matemáticamente. Tiene muchas aplicaciones importantes. Las funciones lineales son aquellos cuya gráfica es una línea recta. Una función lineal tiene la siguiente forma: y = f (x) = a + bx Una función lineal tiene una variable independiente y una variable dependiente. La variable independiente es x y la variable dependiente es y, a es el término constante o la intersección. Es el valor de la variable dependiente cuando x = 0. b es el coeficiente de la variable independiente, también se conoce como la pendiente. Representación gráfica de una función lineal Para graficar una función lineal: 1. Encontrar 2 puntos que satisfacen la ecuación 2. Marcar los puntos en el plano cartesiano. 3. Conecte los puntos con una línea recta Ejemplo: y = 25 + 5x vamos x = 1 entonces y = 25 + 5 (1) = 30 vamos x = 3 entonces Y = 25 + 5 (3) = 40


Un ejemplo simple de una ecuación lineal Una empresa tiene costos fijos de $ 7.000 para los costos variables de $ 600 por cada unidad de producción de la planta y equipamiento. ¿Cuál es el costo total en los niveles de producción? Sea x = unidades de producción permiten C = coste total C = costo fijo más variables de costos = 7.000 + 600 x

Las combinaciones de ecuaciones lineales Ecuaciones lineales se pueden sumar, multiplicar o dividir. Un ejemplo simple de adición de ecuaciones lineales C (x) es una función de costo C (x) = costo fijo + costo variable R (x) es una función de ingreso R (x) = precio de venta (número de artículos vendidos) beneficio es igual al ingreso menos costo P (x) es una función de ganancia x = el número de artículos producidos y vendidos Datos: Una empresa recibe $ 45 por cada unidad de producto vendido. Tiene un costo variable de $ 25 por artículo y un costo fijo de $ 1.600. ¿Cuál es su ganancia si vende (a) 75 artículos, (b) 150 artículos, y (c) 200 artículos?


Composición de funciones Dadas dos funciones, f ( x) y g ( x ), y el segundo dominio de funciones está dentro del rango de la primera , una nueva función se puede definir que asocia cada elemento del dominio de f ( x ) con el valor de g [ f ( x ) ]

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 (g o f) (1) = 6 • 1 + 1 = 7 Propiedad de la composición de funciones Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h No conmutativa: f o g ≠ g o f El elemento neutro es la imagen de la función, i(x) = x. f o i = i o f = f Ejemplo:


Función afín La función de una variable real que toma como una ecuación general y = mx + n, cuya gráfica es una línea recta que no pasa por el origen (si n =\ 0 ), se denomina función afín. Como en el caso anterior, m es la pendiente de la línea recta. También vale la pena mencionar que el punto de una función afín f(x) = mx + n con el eje de ordenadas es punto (0, n). Ejemplo Un ejemplo de función afín es f (x) = -x + 2

Función constante Esta es una función del tipo f (x) = k, donde k es cualquier número real. Tenga en cuenta que el valor de f (x) es siempre k, independientemente del valor de x. De esta manera, por ejemplo, si quisiéramos representar una cantidad que se mantiene constante a lo largo del tiempo t, usaríamos una función constante f (t) = k , en la que la variable no aparece t. Las funciones constantes corta a través del eje vertical en el valor de la constante y son paralelas al eje horizontal (y por lo tanto no se cortan a través de él). La gráfica de una función constante, por ejemplo f (x) = 2, es:


Función lineal La función de una variable real que toma como una ecuación general y = mx , cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, que se llama una función lineal. En las funciones lineales de este tipo (y = mx), el valor de m, que corresponde a un número real, se llama la pendiente. La pendiente mide la inclinación de la línea con respecto al eje de abscisas. Ejemplo La pendiente de la recta y = -2x es - 2. La pendiente de la recta y = 0 es 0. La pendiente de la recta y = 3x es 3. Es importante entender que cuanto mayor sea el valor de la pendiente m es, cuanto mayor sea la inclinación de la línea con respecto al eje horizontal es. También, Si m es positivo ( m> 0 ), la línea pasa por el primer y tercer cuadrantes. Si m es negativo (m <0 ), la línea pasa por el segundo y cuarto cuadrantes. Si m es cero ( m = 0 ), la línea es horizontal y coincide con el eje de abscisas.

La pendiente de una línea también puede calcularse usando las coordenadas de un punto de la línea de una función lineal, ya partir de las coordenadas de dos puntos para cualquier línea. Vamos a ver la manera general, ya que también nos será muy útil para las funciones afines: Dados dos puntos de una línea (ya sea una función lineal o afín) (x1, y1) y (x2, y2), podemos calcular la pendiente de la línea antes mencionada por medio de la expresión:

Ejemplo Teniendo en cuenta la siguiente línea que pasa por el punto A(2, -1):


Podemos calcular la pendiente, ya que además de señalar A, sabemos que pasa por el origen. De esta manera, la aplicación de la fórmula:

Ejemplo Considere las siguientes funciones, y determinar de qué tipo son, en qué momento se cortan a través del eje de ordenadas y abscisas, y cuáles son sus laderas son. 1. f (x) = 2 2. f (x) = 2x 3. f (x) = 2x + 2 4. Esta es una función constante. Su pendiente es 0 y por lo tanto es paralela al eje de abscisas. Se corta a través del eje vertical en (0,2). 5. Esta es una función lineal. Su pendiente es 2. Se corta a través de dos ejes en el punto (0,0). 6. Esta es una función afín. Su pendiente es 2. Corta a través del eje vertical en el punto (0, 2), y el eje horizontal en (- 1, 0) (hacemos y = 0 = 2x + 2 y resolver) .

Medidas de tendencia central Una medida de tendencia central es un valor único que intenta describir un conjunto de datos mediante la identificación de la posición central dentro de ese conjunto de datos. Como tal, las medidas de tendencia central a veces se llaman medidas de tendencia central. También se clasifican como estadísticas de resumen. La media (a menudo llamado el promedio) es probablemente la medida de tendencia central que son más familiarizado, pero hay otros, como la mediana y la moda. La media, la mediana y la moda son medidas válidas de tendencia central, pero en condiciones diferentes, algunas de las medidas de tendencia central se vuelven más apropiado usar que otros. En las secciones siguientes, vamos a ver en la media, la moda y la mediana, y aprender a calcular ellos y en qué condiciones son las más apropiadas para ser utilizado. La media (Aritmética) La media (o promedio) es la medida más popular y conocido de la tendencia central. Se puede utilizar tanto con los datos discretos y continuos, aunque su uso es más a menudo con los datos continuos (ver nuestros tipos de variables guía para los tipos de datos). La media es igual a la suma de todos los valores en el conjunto de datos dividido por el número de valores en el conjunto de datos. Por lo tanto, si tenemos n valores en un conjunto de datos y tienen valores de x 1, x 2, , ..., x n, la media muestral, por lo

general denota por (x bar pronunciado), es:

Esta fórmula se suele escribir de una manera ligeramente diferente utilizando la letra mayúscula

griega, , Pronunciado "sigma", que significa "suma de ...":


Usted puede haber notado que la fórmula anterior se refiere a la media de la muestra. Así que, ¿por qué hemos llamado una media muestral? Esto se debe a que, en las estadísticas, muestras y poblaciones tienen significados muy diferentes y estas diferencias son muy importantes, aunque, en el caso de la media, que se calculan de la misma manera. Reconocer que estamos calculando la media poblacional y no a la media de la muestra, se utiliza la letra minúscula griega "mu", denotados como μ:

La media es esencialmente un modelo de su conjunto de datos. Es el valor que es más común. Usted se dará cuenta, sin embargo, que la media no es a menudo uno de los valores reales que se han observado en el conjunto de datos. Sin embargo, una de sus propiedades importantes es que minimiza el error en la predicción de cualquier valor en su conjunto de datos. Es decir, es el valor que produce la menor cantidad de error de todos los otros valores en el conjunto de datos. Una propiedad importante de la media es que incluye todos los valores establecidos en el marco del cálculo de sus datos. Además, la media es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor de la media es siempre cero. Cuándo no utilizar la media La media tiene una desventaja principal: es particularmente susceptible a la influencia de los valores atípicos. Estos son valores que son inusuales en comparación con el resto del conjunto de datos por ser especialmente pequeño o grande en valor numérico. Por ejemplo, considere los salarios del personal de una fábrica de abajo:

El salario medio de estos diez personal es $ 30.7k. Sin embargo, la inspección de los datos en bruto sugiere que este valor medio puede no ser la mejor manera de reflejar con precisión el salario típico de un trabajador, como la mayoría de los trabajadores tienen salarios en el 12k a 18k gama. La media se está sesgada por los dos grandes salarios. Por lo tanto, en esta situación, nos gustaría tener una mejor medida de tendencia central. Como vamos a descubrir más tarde, tomando la mediana sería una mejor medida de tendencia central en esta situación. Otro momento en el que por lo general preferimos la mediana sobre la media es cuando nuestros datos es asimétrica (es decir, la distribución de frecuencias de nuestros datos es sesgada). Si tenemos en cuenta la distribución normal - ya que es la evaluado con mayor frecuencia en las estadísticas - cuando los datos es perfectamente normal, la media, la mediana y la moda son idénticos. Por otra parte, todos ellos representan el valor más típico en el conjunto de datos. Sin embargo, ya que los datos se vuelven sesgados de la media pierde su capacidad de proporcionar la mejor ubicación central para los datos porque los datos sesgados arrastran lejos del valor típico. Sin embargo, la mediana mejor conserva esta posición y no es tan fuertemente influenciada por los valores sesgados. La mediana La mediana es la puntuación media de un conjunto de datos que se han dispuesto en orden de magnitud. La mediana es menos afectado por los valores atípicos y datos asimétricos. Para el cálculo de la mediana, supongamos que tenemos los siguientes datos:

Primero tenemos que reorganizar esos datos en orden de magnitud (el más pequeño primero):

Nuestra marca mediana es la marca media - en este caso, 56 (resaltado en negrita). Es la marca media porque hay 5 cuentas ante sí y 5 cuentas después de ella. Esto funciona bien cuando se tiene un número impar de las puntuaciones, pero lo que sucede cuando se tiene un número par de puntuaciones? ¿Y si


tuviera sólo 10 puntuaciones? Bueno, usted simplemente tiene que tomar las dos puntuaciones medias y promediar el resultado. Así pues, si nos fijamos en el ejemplo siguiente:

Volvemos a reorganizar esos datos en orden de magnitud (el más pequeño primero):

Sólo que ahora tenemos que tomar la puntuación 5ª y 6ª de nuestro conjunto de datos y un promedio de ellos para obtener una media de 55,5. Moda La moda es el puntaje más frecuente en nuestro conjunto de datos. En un histograma que representa la barra más alta en un gráfico de barras o histograma. Puede, por lo tanto, a veces considerar el modo como la opción más popular. Un ejemplo de un modo se presenta a continuación:

Normalmente, la moda se utiliza para los datos categóricos donde queremos saber cuál es la categoría más común, como se ilustra a continuación:

Podemos ver por encima de que la forma más común de transporte, en este conjunto de datos en particular, es el autobús. Sin embargo, uno de los problemas con el modo es que no es única, por lo que nos deja con problemas cuando tenemos dos o más valores que comparten la frecuencia más alta, como a continuación:


Ahora estamos atrapados en cuanto a que el modo que mejor describe la tendencia central de los datos. Esto es especialmente problemático cuando tenemos datos continuos porque somos más propensos a no tener ningún un valor que es más frecuente que el otro. Por ejemplo, considere la medición de peso de 30 pueblos (a los 0,1 kg). ¿Qué probabilidades hay de que vamos a encontrar dos o más personas con exactamente el mismo peso (por ejemplo, 67,4 kg)? La respuesta, probablemente es muy poco probable - que mucha gente podría estar cerca, pero con una muestra tan pequeña (30 personas) y una amplia gama de posibles pesos, es poco probable encontrar dos personas con exactamente el mismo peso; es decir, a los 0,1 kg. Es por esto que el modo está muy rara vez se utiliza con datos continuos. Otro problema con la moda es que no nos proporcionan una muy buena medida de tendencia central cuando la marca más común está muy lejos del resto de los datos en el conjunto de datos, como se muestra en el siguiente diagrama:

En el diagrama anterior la moda tiene un valor de 2. Podemos ver claramente, sin embargo, que la moda no es representativa de los datos, que se concentra principalmente en torno a la gama del 20 al 30 de valor. Para utilizar la moda de describir la tendencia central de este conjunto de datos sería engañoso.


Histogramas Un histograma es un método gráfico para mostrar la forma de una distribución. Es particularmente útil cuando hay un gran número de observaciones. Comenzamos con un ejemplo que consiste en las puntuaciones de los 642 estudiantes en una prueba de la psicología. La prueba consta de 197 artículos, cada uno calificado como "correcta" o "incorrecta". Puntajes de los estudiantes variaron 46-167. El primer paso es crear una tabla de frecuencias. Desafortunadamente, una tabla de frecuencias simple sería demasiado grande, que contiene más de 100 filas. Para simplificar la mesa, nosotros los puntajes agrupar como se muestra en la Tabla 1. Tabla 1. Datos agrupados. Puntajes en los exámenes de psicología.

Para crear esta tabla, el rango de calificaciones se divide en intervalos, denominados intervalos de clase. El primer intervalo es de 39.5 a 49,5, se contó el segundo a partir de 49,5 a 59,5, etc. A continuación, el número de puntuaciones que caen en cada intervalo para obtener las frecuencias de clase. Hay tres anotaciones en el primer intervalo, 10 en el segundo, etc. Intervalos de clase de ancho 10 proporcionan suficientes detalles acerca de la distribución que se revela sin hacer la gráfica también "entrecortado". La colocación de los límites de los intervalos de clase a medio camino entre dos números (por ejemplo, 49,5) asegura que cada puntuación se reducirá en un intervalo en lugar de en el límite entre los intervalos. En un histograma, las frecuencias de clase están representadas por barras. La altura de cada barra corresponde a su frecuencia de clase. Un histograma de estos datos se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Histograma de las puntuaciones en una prueba de la psicología.


El histograma deja claro que la mayoría de las puntuaciones se encuentran en el centro de la distribución, con un menor número de puntuaciones en los extremos. También puede ver que la distribución no es simétrica: los resultados se extienden a la más correcta de lo que hacen a la izquierda. Por consiguiente, la distribución se dice que está sesgado. En nuestro ejemplo, las observaciones son números enteros. Los histogramas también se pueden utilizar cuando las puntuaciones se miden en una escala más continua tal como la longitud de tiempo (en milisegundos) que se requieren para realizar una tarea. En este caso, no hay necesidad de preocuparse por los indecisos ya que son improbables. (Sería bastante una coincidencia para una tarea que requiere exactamente 7 segundos, medidos a la milésima de segundo.) Por tanto, estamos libres de elegir los números enteros como límites para nuestros intervalos de clase, por ejemplo, 4000, 5000, etc. La frecuencia de clase es entonces el número de observaciones que son mayores que o igual que el límite inferior, y estrictamente menor que el límite superior. Por ejemplo, un intervalo podría ser de 4.000 a 4.999 milisegundos. El uso de números enteros como límites evita un aspecto desordenado, y es la práctica de muchos programas informáticos que crean histogramas. Ten en cuenta también que algunos programas de computador etiquetan el medio de cada intervalo en lugar de los puntos extremos. Los histogramas se pueden basar en frecuencias relativas en lugar de las frecuencias reales. Histogramas basados en frecuencias relativas muestran la proporción de las puntuaciones en cada intervalo en lugar del número de puntuaciones. En este caso, el eje Y se extiende desde 0 a 1 (o en algún punto intermedio, si no hay proporciones extremas). Puede cambiar un histograma basado en frecuencias a otra basada en frecuencias relativas de (a) dividir cada frecuencia de clase por el número total de observaciones, y luego (b) el trazado de los cocientes en el eje Y (etiquetado como proporción). No hay más que decir acerca de las anchuras de los intervalos de clase, a veces llamados anchos de caja. Su elección de la anchura bin determina el número de intervalos de clase. Esta decisión, junto con la elección del punto de partida para el primer intervalo, afecta a la forma del histograma. Hay algunas "reglas de oro" que pueden ayudar a elegir una anchura apropiada. (Pero tenga en cuenta que ninguna de las reglas es perfecta.) Regla de Sturges es establecer el número de intervalos lo más cerca posible a 1 + Log2(N), donde Log2 (N) es la base 2 de registro del número de observaciones. La fórmula también puede escribirse como 1 + 3,3 Log10 (N), donde log 10 (N) es el logaritmo en base 10 del número de observaciones. Según la regla de Sturges, 1.000 observaciones se grafican con intervalos de clase 11 ya que 10 es el número entero más cercano Log2 (1.000). Más sencilla es la conocida como la regla de arroz, que es para ajustar el número de intervalos de al doble de la raíz cúbica del número de observaciones. En el caso de 1000 observaciones, la regla de arroz produce 20 intervalos en lugar de los 11 recomendados por la regla de Sturges. Para el ejemplo de prueba psicología utilizado anteriormente, regla de Sturges recomienda intervalos de 10, mientras que el Estado Rice recomienda 17. Al final, llegamos a un acuerdo y elegimos 13 intervalos para la Figura 1 para crear un histograma que parecía más claro. El mejor consejo es experimentar con diferentes opciones de ancho, y para elegir un histograma de acuerdo con lo bien que se comunica la forma de la distribución. Polígonos de frecuencia Polígonos de frecuencia son un dispositivo gráfico para la comprensión de las formas de las distribuciones. Ellos tienen el mismo propósito que los histogramas, pero son especialmente útiles para comparar conjuntos de datos. Los polígonos de frecuencia son también una buena opción para la visualización de la distribución de frecuencias acumuladas. Un polígono de frecuencia para 642 resultados de las pruebas psicología mostrados en la Figura 1 se construyó a partir de la tabla de frecuencias se muestra en la Tabla 1. Tabla 1. Distribución de frecuencia de Psicología puntajes en los exámenes.


La primera etiqueta en el eje X es 35. Esto representa un intervalo que se extiende desde 29,5 a 39,5. Dado que la puntuación de la prueba más baja es 46, este intervalo tiene una frecuencia de 0. El punto marcado 45 representa el intervalo a partir de 39.5 a 49.5. Hay tres puntuaciones en este intervalo. Hay 147 puntuaciones en el intervalo que rodea 85 Se puede discernir fácilmente la forma de la distribución de la Figura 1. La mayoría de las puntuaciones son entre 65 y 115. Es evidente que la distribución no es simétrica en la medida en buenas puntuaciones (a la derecha) se apagara más gradual que puntajes pobres (a la izquierda).


Figura 1. polígono de frecuencia para los resultados de las pruebas de la psicología. Un polígono de frecuencia acumulada para los mismos resultados de las pruebas se muestra en la Figura 2. El gráfico es el mismo que antes, excepto que el valor de Y para cada punto es el número de estudiantes en el intervalo de clase correspondiente, además de todos los números en intervalos inferiores. Por ejemplo, no hay resultados en el intervalo de la etiqueta "35", tres en el intervalo de "45", y 10 en el intervalo "55." Por lo tanto, el valor de Y que corresponde a "55" es 13. Desde 642 estudiantes tomaron la prueba, la frecuencia acumulada durante el último intervalo es 642.

Figura 2. Polígono de frecuencias acumulativas para los resultados de las pruebas de la psicología. Polígonos de frecuencia son útiles para comparar distribuciones. Esto se logra mediante la superposición de los polígonos de frecuencia extraídas para diferentes conjuntos de datos. La Figura 3 proporciona un ejemplo. Los datos provienen de una tarea en la que el objetivo es mover un cursor de ordenador a un blanco en la pantalla lo más rápido posible. En 20 de los ensayos, el objetivo era un pequeño rectángulo; en el otro 20, el objetivo era un rectángulo grande. El tiempo para alcanzar el objetivo se ha grabado en cada ensayo. Las dos distribuciones (uno para cada objetivo) se representan juntos en la Figura 3. La figura muestra que, aunque existe un cierto solapamiento en los tiempos, por lo general tomó más tiempo para mover el cursor a la diana pequeña que a la grande.


Figura 3, polígonos de frecuencia superpuestos. También es posible trazar dos distribuciones de frecuencias acumuladas en el mismo gráfico. Esto se ilustra en la Figura 4 utilizando los mismos datos de la tarea cursor. La diferencia en las distribuciones de los dos objetivos es de nuevo evidente.

Figura 4. Polígonos de frecuencia acumulada superpuestos. Tamaño de muestra El tamaño de la muestra de una muestra estadística es el número de observaciones que la componen. El tamaño de la muestra normalmente es representado por "n" y siempre es un número entero positivo. No se puede hablar de ningún tamaño exacto de la muestra, ya que puede variar dependiendo de los diferentes marcos de investigación. Sin embargo, si todo lo demás es igual, una muestra de tamaño grande brinda mayor precisión en las estimaciones de las diversas propiedades de la población. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Determinar el tamaño de la muestra que se va a seleccionar es un paso importante en cualquier estudio de investigación. Por ejemplo, un investigador desea determinar la prevalencia de problemas oculares en niños en edad escolar y quiere realizar una encuesta.


La pregunta importante que debe ser contestada en todas las encuestas de muestra es: "¿Cuántos participantes deben ser elegidos para una encuesta?" Sin embargo, la respuesta no puede ser dada sin tener en cuenta los objetivos y circunstancias de las investigaciones. La elección del tamaño de la muestra depende de consideraciones no estadísticas y estadísticas. Las consideraciones no estadísticas pueden incluir la disponibilidad de los recursos, la mano de obra, el presupuesto, la ética y el marco de muestreo. Las consideraciones estadísticas incluirán la precisión deseada de la estimación de la prevalencia y la prevalencia esperada de los problemas oculares en niños en edad escolar. Para determinar el tamaño adecuado de las muestras es necesario seguir los tres criterios:

1. Error de muestreo

El nivel de precisión, también llamado error de muestreo, es el rango en donde se estima que está el valor real de la población. Este rango se expresa en puntos porcentuales. Por lo tanto, si un investigador descubre que el 70% de los agricultores de la muestra han adoptado una tecnología recomendada con una tasa de precisión de ± 5%, el investigador puede concluir que entre el 65% y el 75% de los agricultores de la población han adoptado la nueva tecnología.

2. Nivel de confianza

El intervalo de confianza es la medida estadística del número de veces de cada 100 que se espera que los resultados se encuentren dentro de un rango específico. Por ejemplo, un intervalo de confianza de 90% significa que los resultados de una acción probablemente cubrirán las expectativas el 90% de las veces. La idea básica descripta en el Teorema del límite central es que cuando una población se muestrea muchas veces, el valor promedio de un atributo obtenido es igual al valor real de la población. En otras palabras, si un intervalo de confianza es del 95%, significa que 95 de 100 muestras tendrán el valor real de la población dentro del rango de precisión.

3. Grado de variabilidad

Dependiendo de la población objetivo y los atributos a considerar, el grado de variabilidad varía considerablemente. Cuanto más heterogénea sea una población, mayor deberá ser el tamaño de la muestra para obtener un nivel óptimo de precisión. Ten en cuenta que una proporción de 55% indica un nivel más alto de variabilidad que un 10% o un 80%. Esto se debe a que 10% y 80% significa que una gran mayoría no posee o posee el atributo en cuestión. Existen muchos enfoques para determinar el tamaño de la muestra, incluyendo el uso de un censo en el caso de poblaciones más pequeñas, el uso de tablas publicadas, imitar un tamaño de muestra de estudios similares y aplicar fórmulas para calcular un tamaño de la muestra. Una fórmula muy extendida que orienta sobre el cálculo del tamaño de la muestra para datos globales es la siguiente:

N: es el tamaño de la población o universo (número total de posibles encuestados). k: es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos. El nivel de confianza indica la probabilidad de que los resultados de nuestra investigación sean ciertos: un 95,5 % de confianza es lo mismo que decir que nos podemos equivocar con una probabilidad del 4,5%. Los valores de k se obtienen de la tabla de la distribución normal estándar N(0,1). Los valores de k más utilizados y sus niveles de confianza son: Valor de k 1,15 1,28 1,44 1,65 1,96 2,24 2,58 Nivel de confianza 75% 80% 85% 90% 95% 97,5% 99% (Por tanto si pretendemos obtener un nivel de confianza del 95% necesitamos poner en la fórmula k=1,96)


e: es el error muestral deseado, en tanto por ciento. El error muestral es la diferencia que puede haber entre el resultado que obtenemos preguntando a una muestra de la población y el que obtendríamos si preguntáramos al total de ella. Tamaño de muestra y población Si tienes el siguiente conjunto de datos: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5 Lo único valor representa mejor estos datos? Para calcular la media, primero sumar todos los valores, y se divide por el número total de valores que tiene

Hay dos tipos de media aritmética: media de la población, y la media de la muestra. Ambos están calculados de la misma manera, pero están escritos de manera diferente: Media de la población:

Media de la muestra:

Recuerde que N representa el tamaño de una población, y n representa el tamaño de una muestra.

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