Matemática Primero Medio mes de...

Habilidades: Representa la información – (Aplicar – Analizar)

Habilidades: Representa la información – (Comprender - aplicar)

Matemática Primero Medio mes de Abril

Nombre: ___________________________________________________________________

Fecha: ______________________________________Curso: 1ero. Medio ___

Clase1: “Propiedades de las potencias”

Aprendizajes esperados: OA 2 Mostrar que comprenden las potencias de base racional y exponente entero: • Transfiriendo propiedades de la multiplicación y división de potencias a los ámbitos numéricos correspondientes. • Relacionándolas con el crecimiento y decrecimiento de cantidades. • Resolviendo problemas de la vida diaria y otras asignaturas. Conceptos Clave: potencias de base racional, exponente, propiedades. Inicio

1) Si tengo un cuadrado y lo divido en la mitad, a esta mitad la divido en la mitad y si sucesivamente. ¿Qué razón seria la cuarta división del total? Dibuja la situación y plantéala como una expresión matemática.

Desarrollo

Propiedades de las potencias

Propiedad Nº1: Potencias de exponente cero.

Propiedad Nº2:Potencias de exponente uno.

Toda potencia de exponente cero, da como resultado la unidad.

Ejemplo: (10

3)

0= 1

Nota: Excepto 𝟎𝟎

Toda potencia de exponente uno, da como resultado la base de la

potencia.

Ejemplo: (3

5)

1=

3

5

(𝑎

𝑏)

0

= 1

(𝑎

𝑏)

1

=𝑎

𝑏

Propiedad Nº 3: Producto de potencias con la misma base.

Propiedad Nº 4: Producto de potencias de igual exponente

Propiedad Nº 5: División de potencias de igual base y distinto exponente

Propiedad Nº 6: División de potencias de igual exponente

Para multiplicar potencias con igual base y distinto

denominador, se conserva la base y se suman los

numeradores, obteniendo una única potencia como

resultado.

Ejemplo: (2

9)

10

(2

9)

−5

= (2

9)

5

NOTA: Se respeta de la regla de los signos en los exponentes

Para multiplicar potencias de igual exponente, se conserva

el exponente y se multiplican las bases. Obteniendo una

única potencia como resultado.

Ejemplo: (7

15)

−9

∙ (2

5)

−9

= (14

65)

−9

NOTA: Con b, d 0

Para dividir dos potencia de igual base y distinto exponente,

se conserva la base y se resta los exponentes. Obteniendo

una única potencia como resultado.

Ejemplo: (9

5)

10

: (9

5)

7

= (9

5)

3

NOTA: Con d 0

Para dividir dos potencia s de igual exponente y distinta

base, se conserva el exponente y se divide las bases.

Obteniendo una única potencia como resultado.

Ejemplo: (−18

16)

4

: (9

10)

4

= (−5

4)

4

NOTA: Con d, c, d 0

(𝑎

𝑏)

𝑛

∙ (𝑐

𝑑)

𝑛

= (𝑎 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑑)

𝑛

(𝑎

𝑏)

𝑚

: (𝑐

𝑑)

𝑛

= (𝑐

𝑑)

𝑚−𝑛

(𝑎

𝑏)

𝑚

: (𝑐

𝑑)

𝑚

= (𝑎

𝑏:

𝑐

𝑑)

𝑚

(𝑎

𝑏)

𝑚

∙ (𝑎

𝑏)

𝑛

= (𝑐

𝑏)

𝑚+𝑛

Habilidades: Selecciona información – (Aplicar, analizar)

Propiedad Nº 7: Potencia de una potencia

Recuerda simplificar las fracciones en caso de ser posible.

Ahora tú!

2) Reduce a una sola potencia cada operación y calcula el resultado final.

A. (−120

45)

0=

B. (121

30)

1=

C. (3

7)

−8∙ (

3

7)

6=

D. (3

2)

3∙ (

2

5)

3=

E. (4

5)

111: (

4

5)

109=

F. (−28

45)

2: (

7

15)

2=

G. [(2

3)

3

]−2

=

Cierre

Para resolver una potencia elevada otro exponente

(potenciación), se conserva la base y se multiplican los

exponentes. Obteniendo una única potencia como solución.

Ejemplo: [(3

4)

−2

]6

= (3

4)

−12

NOTA: Con d, c, d 0

[(𝑎

𝑏)

𝑚

]𝑛

= (𝑎

𝑏)

𝑚∙𝑛

3) Reconozcamos los conceptos y procedimientos que aprendimos. Indica si son

verdaderas o falsas las aseveraciones:

a) ____ En la multiplicación de potencias con igual base, se mantiene la base y se

multiplican los exponentes.

b) ____ La multiplicación de potencias de igual exponente es igual a 1.

c) ____ En la división de potencias con igual base: se multiplican las bases y se suman los

exponentes.

d) ____ La multiplicación de potencias con la misma base; se mantiene la base.

4) Responde.

a) ¿Consideras que sirve aprender las propiedades de las potencias?, ¿por qué?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

b) ¿Por qué en todas las definiciones se puso restricción a los denominadores, donde

estos debían ser distintos de cero?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

c) ¿Hay alguna propiedad de las potencias que crees que no has aprendido? Si tu

respuesta es afirmativa infórmaselo a tu profesor.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Habilidades: Realiza inferencias – (Recordar - comprender)

Habilidades: Elabora estrategias de solución – (Comprender - aplicar)


Nombre: ___________________________________________________________________


Clase2: “Crecimiento y decrecimiento de cantidades”

Aprendizajes esperados: OA 2 Mostrar que comprenden las potencias de base racional y exponente entero: • Transfiriendo propiedades de la multiplicación y división de potencias a los ámbitos numéricos correspondientes. • Relacionándolas con el crecimiento y decrecimiento de cantidades. • Resolviendo problemas de la vida diaria y otras asignaturas. Conceptos Clave:Crecimientos exponencial, decrecimiento exponencial Inicio

1) Observa la imagen y responde las preguntas

Gentileza de: http://www.lanacion.cl/noticias/economia/macroeconomia/imacec-de-enero-crecimiento-economico-aumento-1-7/2017-03-06/100022.html

a) ¿Has escuchado o leído este tipo de información?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué crees tú que significa crecimiento económico?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Será bueno para el país esta noticia que el crecimiento económico aumentó en un 1,7%

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Desarrollo

La cifra entregada es te lunes

por el Banco Central sorprendió

a los analistas que solo

proyectaban para el primer mes

del año un crecimiento de 1,3 %

1) Crecimiento exponencial La señora Emilia, decide abrir una cuenta de ahorros con $500.000 para pagar los estudios

superiores de su hija, que actualmente tiene 10 años. El banco le ofrece una tasa de interés

del 2% anual, ¿cuánto dinero habrá reunido la señora Emilia en 8 años, si nunca retiró

dinero del banco? Año Dinero

0 500.000

1

2

3

4

5

6

7

8 Responde

a) ¿Qué significa que el interés anual que le da el banco a la Señora Emilia es el 2%?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué expresión matemática permitiría calcular los ahorros de Emilia en 15 años? Y

¿en n años?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) Realiza el gráfico de la situación anterior.

FORMALIZANDO: Cuando se modela una situación de crecimiento exponencial, la

base de la potencia es mayor que 1. En el caso anterior el factor de crecimientos es

2, por 2%.

2) Decrecimiento exponencial

Cada año se pierden 1

12 de los terrenos rurales de Chile. Si hay 3.110.400 kms2. ¿Cuánto

terreno queda disponible en Chile luego de cuatro años?

Años transcurridos Kms2 de terrenos rurales disponibles

0

1

2

3

4

Responde

a) ¿Qué significa que cada año se pierda 1

12 de los terrenos rurales de Chile?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué expresión matemática permitiría calcular la cantidad de terreno perdido al cabo

de 10 años? Y ¿en n años?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) Realiza el gráfico de la situación anterior.

FORMALIZANDO: Cuando se modela una situación de decrecimiento exponencial,

la base de la potencia es menor que 1. En el caso anterior el factor de

decrecimientos es 1

12.

Habilidades: Realiza inferencias – (Analizar)

3) Resuelve las siguientes actividades.

3.1) Responda las siguientes preguntas A. La población en una ciudad el año

2017 era de 100.000 habitantes, si a

partir de esa fecha el ritmo de

crecimiento se triplica por cada 10

años. ¿Cuál es la cantidad de

habitantes el año 2047?

B. Debido a la contaminación una

población de 37.490 a veces

decrece a un quinto de su población

anualmente. ¿Cuantas aves hay en

el 3er. año?

3.2) Resuelve el siguiente problema

Don José quiere comprar un terreno en el que el área sin construir sea mayor que el área construida, ya que piensa sembrar. Abajo se muestra el esquema de una propiedad. .Cumple el terreno la condición solicitada por don José? Escribe las operaciones necesarias para justificar tu respuesta.

Cierre

4) Responde las siguientes preguntas

a) ¿Por qué los números racionales (sólo fracción propia) al ser elevados por un número

racional positivo son más pequeños y viceversa? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Consideras que lo aprendido hoy sirve para la vida cotidiana? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Escuchaste con atención a tus compañeros cuando daban su opinión? ________________________________________________________________________

Habilidades: Organiza la información – (Recordar – Aplicar)

Habilidades: Representa la información – (Comprender, Aplicar)


Nombre: ___________________________________________________________________


Clase3: “Productos notables”

Aprendizajes esperados: OA 3 Desarrollar los productos notables de manera concreta,

pictórica y simbólica: • Transformando productos en sumas y viceversa. • Aplicándolos a

situaciones concretas. • Completando el cuadrado del binomio. • Utilizándolas en la

reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.

Conceptos Clave: productos notables, cuadrado de binomios, suma por su diferencia, producto de dos binomios con un término en común. Inicio

Calcula el área de los siguientes cuadrados

Área = Área = Área =

¿Cómo calculaste el área de cada cuadrado?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Desarrollo

Productos Notables

1) Cuadrado de Binomio. Observa cómo se calcula el área del cuadrado ABCD, de

lado (a + b)

x 3x 10x

Formalizando: (𝑎 + 𝑏) corresponde a un binomio, y (𝑎 + 𝑏)2 corresponde a un cuadrado de binomio. Para resolver un cuadrado de binomio se procede la siguiente manera “se eleva al cuadrado el primer término, más (o menos si el binomio es una diferencia) el doble del producto del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término” Así tenemos:

2) Suma por su diferencia. Observa cómo se calcula el área del rectángulo DEFG,

de lados (a + b) y (a - b)

Formalizando: Para calcular el área de un rectángulo, donde las medidas de sus lados corresponde (𝑎 + 𝑏) y (𝑎 − 𝑏), se debe resolver le producto (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏), lo que corresponde a una suma por su diferencia. Para resolver dicho producto notable se procede la siguiente manera “se calcula el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término” Así tenemos:

3) Producto de dos binomios con un término en común. Observa cómo se

calcula el área del rectángulo de lados (x + a) y (x+ b)

Formalizando: Para calcular el área de un rectángulo, donde las medidas de sus lados corresponde (𝑥 + 𝑏) y (𝑥 + 𝑏), las cuales tienen un término en común, se debe resolver el producto (𝑥 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑏), lo que corresponde a el producto de dos binomios con un término en común. Para resolver dicho producto notable se procede la siguiente manera “se calcula el cuadrado del término en común, más el producto de la suma de los términos distintos (respetar regla de signos de la adición) por el término en común más el producto de los términos distintos (respetar regla de signos del producto)” Así tenemos: Ahora tú! Calcula los siguientes productos notables.

a) (5𝑤 + 𝑧)2 =

b) (𝑥

4+ 3)

2=

c) (3x + 1)(3x – 1) =

d) (2x + y2)(2x – y2) =

e) ( )( )=+− xyxy 101101

f) (4a +5)(4a – 9) =

Habilidades: Realiza inferencias – (Analizar)

Cierre

1) Desafío: Se tiene el cuadrado ABCD, donde se ha sombreado un área

correspondiente a la expresión x2-16, ¿cuánto mide el lado del cuadrado ABCD y del

cuadrado en blanco?

2) Reconozcamos los conceptos y procedimientos que aprendimos. Indica si son

verdaderas o falsas las aseveraciones:

a) ____ Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se

encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista.

b) _____ El cuadrado de la diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos

el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda

cantidad.

c) _____El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

3) ¿Se cumplió el objetivo de la clase?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

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A B

C D

X2 = 16

Habilidades: Elabora estrategias de solución – (Aplicar– Analizar - Evaluar)


Nombre: ___________________________________________________________________


Clase 4: “Completación de expresiones algebraicas”

Aprendizajes esperados: OA 3 Desarrollar los productos notables de manera concreta,

pictórica y simbólica: • Transformando productos en sumas y viceversa. • Aplicándolos a

situaciones concretas. • Completando el cuadrado del binomio. • Utilizándolas en la

reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.

Conceptos Clave: productos notables, factorización, completación de cuadrados.

Inicio Con lo aprendido la clase anterior, reduce las siguientes expresiones algebraicas, aplicando los productos notables.

a) (a + 2b)2 − (a + b)(a − b)

b) (5x + 2) + (3x + 4)2 − (9x2 − 16)

Escribe paso a paso qué estrategia utilizaste para dar solución a las expresiones algebraicas anteriores.

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__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

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Habilidades: Evalúa y argumenta la respuesta – (Aplicar, evaluar, crear) Desarrollo

Ejemplo de análisis…

Si queremos completar cuadrados en expresiones como x2 + 8x, debemos llevarlo a la

forma (x + h)2 + k

Vemos que ella es parte del desarrollo del binomio

(x + 4)2 , cuyo desarrollo es x2 + 8x + 16. En la expresión que queremos completar cuadrado

falta 16. Se suma y se resta 16, no se altera la expresión.

x2 + 8x + 16 – 16 .

Ahora se sustituye el desarrollo por su expresión al cuadrado.

(x+4)2 – 16 .

1) Complete cuadrados de las siguientes expresiones

z2 + 5z

X2 – 7x

4x2 + 16x

2) Usando la completación de cuadrados y factorizando explica algebraicamente como

se llega de:

𝑥2 + 5𝑥 + 4(𝑥 + 1)(𝑥 + 4)

Habilidades: Fundamenta posibles respuestas – (Analizar, Evaluar)

𝑥2 − 9(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

𝑥2 − 3𝑥 − 40(𝑥 − 8)(𝑥 + 5)

IMPORTANTE:El transformar una expresión algebraica a un producto notable, lo que estás

haciendo es FACTORIZAR.

Cierre

Respondamos…

1) ¿Por qué al completar cuadrados, hay que agregar el inverso aditivo de lo completado?, da un ejemplo valorizado.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) Crea una regla paso a paso para factorizar una diferencia de cuadrados ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3) Inventa 3 ejercicios donde se deba factorizar una expresión algebraica resultando cada uno de los productos notables aprendidos.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4) ¿Qué aprendiste hoy? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Habilidades: Realiza inferencias – (Recordar – Analizar)

Habilidades: Fundamenta posibles respuestas – (comprender, Analizar, Aplicar)


Nombre: ___________________________________________________________________


Clase 5: “¿Qué tiene que ver un cono con un cilindro?”

Aprendizajes esperados: OA 7 Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de la

superficie y el volumen del cono: • Desplegando la red del cono para la fórmula del área de

superficie. • Experimentando de manera concreta para encontrar la relación entre el volumen

del cilindro y el cono. • Aplicando las fórmulas a la resolución de problemas geométricos y de

la vida diaria.

Conceptos Clave: Volumen de cono, relación de volúmenes. Inicio La figura de abajo muestra un cilindro y un cono que tienen la misma base y la misma altura.

a. ¿Crees que ambos cuerpos tendrán el mismo volumen? Explica tu respuesta.

b. ¿Para calcular la superficie de un cono, podremos utilizar la misma fórmula que hemos

utilizado para calcular la superficie de un cilindro? Explica tu respuesta.

__________________________________________________________________________

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______________________________________________________________________

Desarrollo

Recordemos la expresión que permite calcular el volumen de un cilindro

RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CONO Y DE UN CILINDRO

Observa el video que proyectará tu profesor

a. ¿Qué puedes concluir sobre la relación que existe entre el volumen de un cono y un

cilindro de igual base e igual altura?

b. Se tiene un cono de radio R y altura h , ¿cuál es el volumen de un cilindro de radio R

y altura h?

c. Si el volumen de un cilindro es 400m3, ¿puedes determinar el volumen de un cono

que tiene igual base e igual altura que el cilindro?

d. Crea una expresión algebraica que permita calcular el volumen de un cono de radio

“R” y altura “h”

ACTIVIDADES

1) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.

a)

b)

c)

d)

2) Resuelve los siguientes problemas

a) Un barquillo de helado mide 7cm de radio y 12cm de altura, ¿cuántos cc de helado

caben en su interior? (π=3,14)

Habilidades: Elabora estrategias de solución – (Analizar - Crear)

b) La cúspide de una iglesia tiene forma cónica de volumen 54π m. Si la altura de la

cúspide mide 2m, ¿cuánto mide su radio?

c) ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de

cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm? (π=3,14)

Cierre DESAFÍO: Calcula el volumen del siguiente tronco

Responde…

a) Un cilindro y un cono tienen radios y alturas iguales. ¿En qué razón están sus volúmenes?

b) Nombra tres objetos de la vida cotidiana que tiene forma de cono.

c) Calcula el volumen de siguiente cono

d) ¿Qué te parecieron las actividades del día de hoy?

2,1 cm

Habilidades: Procesamiento de información – (Aplicar)

Habilidades: Representa la información – (Comprender - Aplicar)


Nombre: ___________________________________________________________________


Clase 6: “Superficie de un cono”

Aprendizajes esperados: OA 7 Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de la

superficie y el volumen del cono: • Desplegando la red del cono para la fórmula del área de

superficie. • Experimentando de manera concreta para encontrar la relación entre el volumen

del cilindro y el cono. • Aplicando las fórmulas a la resolución de problemas geométricos y de

la vida diaria.

Conceptos Clave: superficie de cono, redes de cuerpos, generatriz

Inicio

Resuelve el siguiente problema…

Un cono se encuentra al interior de un cilindro de radio 8 cm, como se muestra en la figura.

Si la generatriz del cono mide8√5cm, entonces ¿cuánto mide el volumenNO cubierto por el

cono? (Los radios y las alturas del cono y del cilindro coinciden)

Explica la estrategia que utilizaste para resolver el problema, luego compártela cuando el

profesor lo indique.

Desarrollo

SUPERFIFCIE DE UN CONO

Observa la red de un cono de señalización vial.

g = generatriz

Compartamos…

a) ¿La superficie de un cono, por qué figuras está compuesta?

b) El radio r del sector circular de la red, ¿con que elemento del cono se relaciona?

c) ¿Qué relación tiene la expresión 2𝜋𝑟 del sector circular con la base del cono?

Para calcular la superficie de un cono se debe visualizar la red de construcción, pues

al sumar cada una de estas áreas se obtiene la superficie del cono. Es decir:

Acono = Abase + Alateral

Acono = π𝑟2 + 𝜋𝑟𝑔

Acono = πr(𝑟 + 𝑔)

Actividad

1) Calcula la superficie de los siguientes conos.

Área Total

Área Total

2) Resuelve los siguientes problemas

a) La red que se muestra corresponde a la de un cono, .cuanto es el área del cono?

b) El volumen de un cono es 13,52 cc y el área de la base es 14,01 cm2. ¿Cuánto mide

su altura?

Habilidades: Selecciona información – (Recordar - Crear)

c) Un cono de radio 6 cm tiene un área total de 156 cm2. Encontrar su volumen.

d) En una fábrica se va a construir una lata cilíndrica de aluminio para colocar su

producto. La altura del cilindro debe ser de 10 pulgadas y el área superficial total igual

a 112 pulgadas cuadradas. Determine el radio de la lata cilíndrica.

Cierre

A continuación se muestra una tabla con los contenidos vistos en estas dos últimas clases, marca aquellas que consideras necesitas reforzar.

Conocimiento y habilidades Necesito reforzar

Determinar la relación entre el volumen del cono y del cilindro.

Desarrollar la fórmula del área de un cono identificándola con el área de su red.

Calcular el área y volumen de un cono.

Resuelven problemas que involucren volúmenes y áreas de conos.

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