MATEMÁTICAS 1.º ESO PARA QUE LAS COSAS OCURRAN …

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© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero Torralba © GRUPO EDELVIVES

MATEMÁTICAS

1.º ESO

PARA QUE LAS COSAS OCURRAN

SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO

Unidad 11. Cuadriláteros y otros polígonos

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Unidad 11. Cuadriláteros y otros polígonos

PÁGINA 182

1 CUADRILÁTEROS: CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

1. Clasifica los siguientes cuadriláteros en función del paralelismo de sus lados:

a. c. e.

b. d. f.

a. Trapecio rectángulo. c. Cuadrado. e. Romboide.

b. Trapezoide. d. Trapezoide. f. Rombo.

2. Dibuja los cuatro tipos de paralelogramos que hay y señala sus elementos: lados,

vértices, ángulos y diagonales.

3. Indica el nombre de los siguientes cuadriláteros:

a. c. e.

b. d.

3


a. Trapecio isósceles. c. Rectángulo. e. Cuadrado.

b. Romboide. d. Trapecio escaleno.

4. Halla el valor de todos los ángulos en cada una de estas figuras:

a. b.

a. A = 360º – (69 + 135 + 67) = 89

b. C = 63º. B = D = 180 – 63 = 117º

5*. Indica las diferencias entre un rombo y un cuadrado.

Ambos tienen los lados iguales, pero el cuadrado tiene sus cuatro ángulos rectos, mientras que el

rombo tiene los ángulos iguales dos a dos.

6*. Halla el valor de los ángulos que falten en cada figura:

a. c.

b. d.

a. B = 111º, por ser opuesto al de 111º.

Los ángulos A y B son suplementarios, por tanto:

111° + A = 180° A = 69º

El ángulo C mide lo mismo que el ángulo A por ser opuestos:

A = C = 69º

b. B = C = 90º; A = 360 – (90º + 90º + 64º) = 116º

c. A = 360º – (133º + 70º + 107º) = 50º

d. C = 45º, A = B = 135º

4


PÁGINA 183

7*. ¿Cuántos paralelogramos aprecias en esta figura?

Cuatro cuadrados pequeños, dos rectángulos horizontales, dos rectángulos verticales, un

cuadrado grande (todo el dibujo).

8*. Indica el nombre del polígono que cumple las siguientes condiciones:

a. Es un cuadrilátero, tiene cuatro lados iguales, y dos de sus ángulos miden 110°.

b. Tiene cuatro lados, de los cuales solamente dos son paralelos, y dos ángulos rectos.

c. Es un paralelogramo y no es un polígono regular, pero sus cuatro lados son iguales.

a. Rombo.

b. Trapecio rectángulo.

c. Rombo.

9*. Considerando los paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide,

indica cuáles de ellos cumplen las siguientes propiedades:

a. Tienen todos sus lados iguales.

b. Tienen todos sus ángulos iguales.

c. Tienen sus diagonales iguales.

d. Tienen sus diagonales perpendiculares.

a. El cuadrado y el rombo.

b. El cuadrado y el rectángulo.

c. El cuadrado y el rectángulo.

d. El cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide.

10**. Pon a prueba tu ingenio y consigue dejar únicamente tres cuadrados moviendo tan

solo tres cerillas.

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2 PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS CUADRILÁTEROS

11. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

a. Un rombo de 11 m de lado.

b. Un rectángulo cuyos lados miden 7 cm y 12 cm.

c. Un cuadrado de 5 cm de lado.

El perímetro de cualquier polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados.

a. P = 11 · 4 = 44 m

b. P = 7 + 12 + 7 + 12 = 38 cm

c. P = n · l P = 5 · 4 = 20 cm

12. Halla el perímetro de las siguientes figuras con sus dimensiones en cm:

a. c.

b. d.

a. P = (4 + 10) · 2 = 28 cm. c. P = 4 + 6 + 4,5 + 2,8 + 4 = 21,3 cm.

b. P = 4 + 6 + 4,5 + 8 = 22,5 cm. d. P = 4 · 6,3 = 25,2 cm.

13. Determina el área de estas figuras:

a. c.

b. d.

a. 2

romboide romboide romboide2 4 8 8 cmA b h A A

b. 2

rombo rombo rombo

8 416 16 cm

2 2

D dA A A

c. 2

trapecio trapecio trapecio

6 2 6( ) 24 24 cm

2 2

B b hA A A

d. 2

rectángulo rectángulo rectángulo2 4 8 8 cmA b h A A

6


14*. Calcula el área de las siguientes figuras:

a. Un romboide de 10 cm de base y de 8 cm de altura.

b. Un cuadrado de 12 cm de lado.

c. Un rectángulo cuyos lados miden 15 cm y 9 cm.

a. 2

romboide romboide romboide10 8 80 80 cmA b h A A

b. 2 2 2

cuadrado cuadrado cuadrado12 144 144 cmA l A A

c. 2

rectángulo rectángulo rectángulo15 9 135 135 cmA b h A A

15*. Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 60 cm.

P = 60 = 4 · l l = 15 cm

A = 152 = 225 cm2

16*. Calcula el perímetro de un cuadrado que tiene un área de 169 cm2.

A = 169 = l2 l = 13 cm

P = 4 · 13 = 52 cm

17*. Una piscina rectangular cuyas dimensiones son 8 m x 4 m se quiere cubrir en invierno

con una lona de forma que exceda 1 m por cada borde de la piscina para poder anclarla al

suelo. ¿Qué dimensiones tendrá la lona?

A = (1 + 4 +1) · (1 + 8 + 1) = 60 m2

18*. Se quiere pintar una pared en forma rectangular con unas dimensiones de 9 m x 2,5 m.

Si en la pared hay un hueco de una ventana en forma de rombo cuyas diagonales miden

100 cm x 70 cm, ¿cuánta superficie se tiene que pintar?

A = 9 · 2,5 = 22,5 m2. 21 0,70,35 m

2A

A = 22,5 – 0,35 = 22,15 m2

19*. ¿Cuánto mide la diagonal menor de un rombo si su área es de 48 cm2 y su diagonal

mayor mide 12 cm?

1248 8 cm

2

dA d

20*. Averigua el perímetro de un rectángulo que tiene una diagonal de 13 cm y uno de cuyos

lados mide 8 cm.

132 = 82 + x2 x = 10,25 cm

7


21*. Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras dibujadas en una trama de

cuadrados de 1 cm de lado:

Figura A.

A = 22 = 4 A = 4 cm2

P = 4 · 2 = 8 P = 8 cm

Figura B.

A = 2 · 1 = 2 A = 2 cm2

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la longitud del lado oblicuo:

l2 = 12 + 12 l2 = 2 l = 1,41 cm

P = 1,41 + 1,41 + 2 + 2 = 6,82 cm

Figura C.

24 1 1

2,5 2,5 cm2 2

B b hA A A

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de los lados oblicuos:

2 21 1 2 1,41 1,41 cmx x

2 21 2 5 2,24 2,24 cmy y

P = 1,41 + 2,24 + 4 + 1 = 8,65 cm

Figura D.

24 24 4 cm

2 2

D dA A A

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la longitud del lado:

l2 = 22 + 12 l2 = 5; l = 2,24 cm

P = 4 · 2,24 = 8,96 cm

8


PÁGINA 184

22*. Halla el área y el perímetro de los siguientes cuadriláteros:

a. Un cuadrado de 7 m de lado.

b. Un rectángulo de 15 m y 9 m de lado.

c. Un romboide de 11 m de base, 8 m de lado y 6 m de altura.

d. Un rombo cuyas diagonales miden, respectivamente, 30 dm y 20 dm.

e. Un trapecio isósceles cuyas bases miden 150 cm y 11 dm, respectivamente, y que tiene

4 dm de altura.

a. A = 72 = 49 m2. P = 4 · 7 = 28 m.

b. A = 15 · 9 = 135 m2. P = 2 · (15 + 9) = 48 m.

c. A = 11 · 6 = 66 m2. P = 2 · (11 + 8) = 38 m.

d. 230 20300 dm

2A . l2 = 152 + 102 l = 18,03 dm P = 4 · 18,03 = 72,11 dm.

e. 215 114 52 dm

2A . l2 = 22 + 42 l = 3,47 dm P = 15 + 11 + 2 · 3,47 = 32,93 dm.

23*. Halla el área de estas figuras:

a. c.

b. d.

a. Se aplica el teorema de Pitágoras para averiguar el lado del cuadrado:

62 = l2 + l2 36 = 2 · l2; 2 3618 18 4,24 4,24 cm

2l l l

A = l2 A = 4,242 = 18 cm2

b. Se traza las alturas y se averigua el valor de x:

6 22

2x

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la altura del trapecio:

2 23 2 5 2,24h

El área es:

26 2 2,24

8,96 8,96 cm2 2

B b hA A A

9


c. Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la base del rectángulo:

72 = b2 + 22 49 = b2 + 4 49 – 4 = b2 45 = b2 b = 6,71

A = b · h A = 6,71 · 2 = 13,42 A = 13,42 cm2

d. Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la mitad de la diagonal mayor del rombo:

62 = x2 + 42 36 = x2 + 16 36 – 16 = x2 20 = x2 x = 4,47 cm

La diagonal mayor es el doble del valor de x. Por tanto, D = 8,94 cm:

28 8,9435,76 35,76 cm

2 2

D dA A A

24*. Una pizarra tiene 1,50 m de alto y 2,20 m de largo. Si se coloca en la pared de una clase

que mide 7 m de largo por 2,60 m de alto, ¿qué superficie queda libre en la pared?

Apizarra = b · h = 1,50 · 2,20 = 3,3 m2

Aclase = b · h = 7 · 2,60 = 18,2 m2

Alibre = Aclase – Apizarra = 18,2 – 3,3 = 14,90 m2

25*. El tamaño de una pantalla de ordenador es la medida de su diagonal, que se suele dar

en pulgadas. Si un monitor de forma cuadrada tiene 22 pulgadas, lo que equivale a 55,88

cm, ¿cuál es la superficie de la pantalla?

Se aplica el teorema de Pitágoras para hallar el lado del cuadrado:

55,882 = l2 + l2 3 122,57 = 2 · l2 l = 3 122,57

1 561,29 39,512

l = 39,51 cm

Acuadrado = l2 Acuadrado = 39,512 = 1 561,04 cm2

26*. Irene quiere construir una cometa con forma de rombo. En sus diagonales va a colocar

como armazón unas varillas de 50 cm y 80 cm de longitud, respectivamente. Si utiliza 1 m2

de tela para construir la cometa:

a. ¿Qué superficie de tela empleará?

b. ¿Cuánta le sobrará?

a. 2 280 502 000 2 000 cm 0,2 m

2 2

D dA A A

b. 1 – 0,2 = 0,8 m2

Por tanto, le sobrará 0,8 m2

27*. Moly es un perro muy alegre y cariñoso y le encanta hacer ejercicio. Todos los días

recorre a toda velocidad el borde de una parcela rectangular que tiene el doble de largo que

de ancho y cuya diagonal mide 20 m. Ayer 13 de diciembre hizo este trayecto dos veces,

¿puedes indicar qué distancia recorrió?

202 = x2 + (2x)2 x = 400

5 = 80 m

P = 2 · (80 + 160) = 480 m

Recorrió = 2 · 480 = 960 m.

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28*. El lado de un cuadrado y de un rombo miden exactamente lo mismo, 8 cm. Además, una

de las diagonales del rombo es el doble que la otra:

a. ¿Cuál tiene mayor perímetro?

b. ¿Cuál tiene mayor área?

a. Pc = 4 · 8 = 32 cm = Pr. Tienen el mismo perímetro.

b. Ac = 82 = 64 cm2

82 = 4x2 + x2 x = 3,58 cm

Las diagonales miden 7,16 cm y 14,31 cm.

27,16 14,3151,23 cm

2rA

Por tanto, el área del cuadrado es mayor.

29*. Averigua las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mide 36 cm, si la longitud

de uno de sus lados es el doble que la del otro.

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus lados.

Prectángulo = 2 · x + 2 · 2x 36 = 2x + 4x 36 = 6x; x = 36

66

Un lado 6 cm el otro el doble: 12 cm

30*. Sobre un paño de tela en forma cuadrada de 16 dm de lado se recorta otro cuadrado de

forma que los vértices del nuevo cuadrado se sitúan en el punto medio del cuadrado inicial;

¿cuánta tela queda una vez recortado el cuadrado?

Visualmente se aprecia que el cuadrado cortado es la mitad del inicial, por tanto, quedará 2

216128 dm

2 de tela.

Comprobémoslo numéricamente:

x2 = 82 + 82 x = 11,31 dm.

A = 11,312 = 128 dm2 A’ = 162 = 256 dm2

Tela = 256 – 128 = 128 dm2.

31**. ¿Cuántas baldosas de 25 cm de lado se necesita para recubrir una cocina cuyas

dimensiones son 8 m × 3 m?

Se averigua el área de la cocina:

A = 8 · 3 = 24 m2 = 240 000 cm2

El área de cada baldosa es: 252 = 625 cm2. Por tanto, el número de baldosas que necesitará es:

240 000 : 625 = 384 baldosas.

11


32**. Halla el área de las zonas sombreadas, sabiendo que el lado de cada uno de los cuatro

cuadrados mide 8 cm.

a. b. c. d.

El área del cuadrado grande es 64 cm2, y de cada cuadrado pequeño es: 4 cm2. Por tanto:

a. A = 64 – 32 = 32 cm2

b. A = 64 – 16 = 48 cm2

c. A = 64 – 8 = 56 cm2

d. A = 64 – 16 = 48 cm2

3 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES Y EJES DE SIMETRÍA

33. Dibuja en tu cuaderno los polígonos regulares de tres, cuatro, seis y ocho lados.

34*. Traza los ejes de simetría de los polígonos dibujados en la actividad anterior e indica el

número de ejes de cada uno.

35*. Copia en tu cuaderno estas letras y traza los ejes de simetría que tiene cada una de

ellas:

a. c.

b. d.

12


a. c.

b. d.

PÁGINA 185

36*. Utiliza el libro de espejos para encontrar el eje o ejes de simetría de cada figura.

a. c.

b. d.

a. c.

b. d.

13


4 PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS REGULARES

37. Halla el perímetro de estos polígonos regulares:

a. b.

a. P = 5 · 6 = 30 cm

b. P = 7 · 5 = 35 cm

38. Determina el área y el perímetro de estos polígonos regulares:

a. b.

a. 26 6 5,293,6 cm

2 2

P apA . P = 6 · 6 = 36 cm.

b. 28 4,6 5,6103,04 cm

2 2

P apA . P = 8 · 4,6 = 36,8 cm.

39*. Averigua el perímetro y el área de estos polígonos regulares:

a. b.

a. Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el valor del lado:

2,52 = 22 + x2 = x = 1,5 cm. El lado es el doble de este valor: 2 · 1,5 = 3 cm

25 3 215 cm

2 2

P apA . P = 5 · 3 = 15 cm.

b. Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el valor del lado:

2,72 = 2,32 + x2 = x = 1,41 cm. El lado es el doble de este valor: 2 · 1,41 = 2,83 cm

26 2,83 2,319,52 cm

2 2

P apA . P = 6 · 2,83 = 16,97 cm.

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40*. Calcula el perímetro y el área de estos polígonos regulares:

a. Un octógono de 4,07 cm de lado y 5 cm de apotema.

b. Un eneágono de 5,82 dm de lado y 8 dm de apotema.

c. Un decágono de 7,15 m de lado y 11 m de apotema.

d. Un endecágono de 5,28 cm de lado y 9 cm de apotema.

a. 28 4,07 581,4 cm

2 2

P apA . P = 8 · 4,07 = 32,56 cm.

b. 29 5,82 8209,52 dm

2 2

P apA . P = 9 · 5,82 = 52,38 dm.

c. 210 7,15 11393,25 m

2 2

P apA . P = 10 · 7,15 = 71,5 m.

d. 211 5,28 9261,36 cm

2 2

P apA . P = 11 · 5,28 = 58,08 cm.

41*. Halla el perímetro y el área de estos polígonos regulares:

a. b.

a. En un hexágono regular el lado mide lo mismo que el radio, en este caso 5,2 cm. Usamos el

teorema de Pitágoras para calcular el valor de la apotema:

5,22 = 2,62 + ap2 ap = 4,5 cm.

26 5,2 4,570,2 cm

2 2

P apA . P = 6 · 5,2 = 31,2 cm.

b. Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el valor del lado:

5,52 = 4,52 + x2 x = 3,16 cm. El lado es el doble de este valor: 2 · 3,16 = 6,32 cm

25 6,32 4,571,1 cm

2 2

P apA . P = 5 · 6,32 = 31,6 cm.

42*. Abril quiere elaborar una cometa; para ello, dispone de una lámina plastificada

rectangular cuyas dimensiones son 150 cm y 80 cm. Se dispone a cortar un rombo de la

lámina que tenga su misma altura y anchura.

a. ¿Cuál es el área de la cometa?

b. ¿Qué superficie de lámina sobrará?

c. Si quiere adornar la cometa pegando una cinta a lo largo de todo su borde, ¿cuál será la

longitud de la cinta?

15


a. 2

rombo

150 806 000 cm

2 2

D dA

b. 2

rectángulo 150 80 12 000 cmA

12 000 – 6 000 = 6 000 cm2 sobrará de lámina.

c. Con el teorema de Pitágoras calculamos el lado del rombo:

h2 = 402 + 752 h = 85

P = 4 · 85 = 340 cm de cinta.

43*. Unos amigos se han construido una bandera en la que incluyen la imagen de un

trapecio isósceles como el de la figura.

Si el trapecio tiene unas bases de 50 cm y 30 cm, respectivamente, y una altura de 25 cm:

a. Halla el área que está pintada de cada color.

b. Calcula el perímetro de cada una de estas zonas.

a. La zona azul es un triángulo rectángulo cuyos catetos son 10 cm y 25 cm respectivamente, por

lo que su área es de:

2

t. azul

10 25125 cm

2A

La zona amarilla es un rectángulo cuyos lados miden 25 cm y 30 cm, su área es:

Arectángulo = 30 · 25 = 750 cm2

La zona verde es un triángulo igual que el azul, por lo que su área es igual.

At. verde = At. azul = 125 cm2

b. Usamos el teorema de Pitágoras para calcula la hipotenusa de uno de los triángulos, el otro

tiene el mismo valor.

h2 = 252 + 102 h = 26,9 cm

Pt. azul = 26,9 + 25 + 10 = 61,9 cm

Prectángulo = 30 · 2 + 25 · 2 = 60 + 50 = 110 cm

Pt. verde = 26,9 + 25 + 10 = 61,9 cm

44*. Averigua el área de las siguientes figuras, con sus dimensiones en centímetros:

a. c.

16


b.

a. 62 = 3,52 + ap2 apotema = 4,87. 25 7 4,8785,22 cm

2A .

b. 52 = 4,52 + x2 x = 2,18 lado = 4,36. 27 4,36 4,568,67 cm

2A .

c. En un hexágono el lado y el radio son iguales.

82 = 42 + ap2 apotema = 6,93. 26 8 6,93166,32 cm

2A .

PÁGINA 186

45*. En un papel continuo disponible en bobinas de 1,80 m de ancho se van a dibujar

cuadrados de 30 cm de lado.

a. Si se han dibujado 72 cuadrados, sin desperdiciar nada de espacio, ¿qué longitud de

papel continuo se ha usado?

b. ¿Qué superficie de papel se ha empleado para dibujar todos los cuadrados?

c. Y si se quisieran dibujar 72 rectángulos de unas dimensiones de 60 cm y 30 cm, ¿qué

longitud de papel se utilizaría?

a. Sin desperdiciar papel se pueden dibujar 6 cuadrados en todo el ancho del papel, como son 72

cuadrado en total, se dibujan 12 filas de cuadrados.

Por ello, 12 · 30 = 360 cm es la longitud de papel empleado.

b. La superficie es 3,60 · 1,80 = 6,48 m2.

c. Considerando el lado de 30 cm, se pueden seguir dibujando 6 rectángulos en todo el ancho del

papel, como son 72 rectángulos en total, se siguen dibujando 12 filas.

Por ello, 12 · 60 = 720 cm es la longitud de papel empleado.

Considerando el problema invirtiendo los datos no varía la solución.

46*. ¿Cuánto valdrá el área de un dodecágono regular de 6,76 dm de apotema y 7 dm de

radio?

Primero calculamos el valor del lado:

72 = 6,762 + x2 x = 1,82 lado = 3,64 dm

212 3,64 6,76147,42 cm

2A

17


47*. Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.

P = 3 · 12 = 36 cm

122 = 62 + alt2 alt = 10,39 cm

212 10,3962,35 cm

2A

48*. Calcula el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares:

a. Un dodecágono de 3,11 cm de lado y 6 cm de radio.

b. Un eneágono de 15 cm de radio y 14,1 cm de apotema.

a. 62 = 1,5552 + ap2 apotema = 5,79 cm.

212 3,11 5,79108,13 cm

2A . P = 12 · 3,11 = 37,32 cm.

b. 152 = 14,12 + x2 x = 5,117 lado = 10,23 cm

29 10,23 14,1649,43 cm

2A . P = 9 · 10,23 = 92,07 cm.

5 SEMEJANZA DE POLÍGONOS

49. Dado un rectángulo con unas dimensiones de 12 cm x 8 cm, halla las dimensiones de un

nuevo rectángulo semejante cuya razón de semejanza sea r = 3.

Las dimensiones del nuevo rectángulo son 36 cm x 24 cm.

50. Determina la razón de semejanza en estas figuras:

a. b.

a. r = 2,5

b. r = 0,75

51. Halla la longitud de los lados del polígono semejante a este con una razón de semejanza

r = 2,5.

3 · 2,5 = 7,5 cm 2,3 · 2,5 = 5,75 cm 2,5 · 2,5 = 6,25 cm 3,6 · 2,5 = 9 cm 2,8 · 2,5 = 7 cm

18


52. Averigua la razón de semejanza entre estos dos polígonos semejantes:

La razón de semejanza es r = 1,8 pues:

5,1 : 2,8 = 1,8; 5,4 : 3 = 1,8

53. Halla la longitud de los lados desconocidos para que ambas figuras sean semejantes.

La razón de semejanza es r = 4,8 : 8 = 0,6.

x = 3,2 : 0,6 = 5,3 cm

y = 3,6 : 0,6 = 6 cm

z = 4 · 0,6 = 2,4 cm

54. Las medidas de los lados de un triángulo son 8 cm, 10 cm y 15 cm y las de otro triángulo

semejante a él son 11,2 cm, 14 cm y 21 cm.

a. Halla la razón de semejanza de ambos cuadriláteros.

b. Calcula el perímetro de cada uno.

c. Establece la razón de semejanza entre los perímetros de los triángulos. ¿Cómo son esta

razón y la razón de sus lados?

a. La razón de semejanza es r = 1,4 pues:

11,2 : 8 = 1,4; 14 : 10 = 1,4; 21 : 15 = 1,4

b. P = 8 + 10 + 15 = 33 cm P’ = 11,2 + 14 + 21 = 46,2 cm

c. r’ = 46,2 : 33 = 1,4. Es la misma razón de semejanza.

55*. Los rectángulos de la imagen son semejantes, como puedes comprobar fácilmente:

a. Determina la razón de semejanza de ambos rectángulos.

b. Halla el área de cada uno de ellos.

c. Calcula la razón de semejanza entre las áreas. ¿Cómo son esta razón y la razón de sus

lados?

19


a. La razón de semejanza es r = 1,2 pues:

4,8 : 4 = 1,2; 2,4 : 2 = 1,2

b. A = 4 · 2 = 8 cm2 A’ = 4,8 · 2,4 = 11,52 cm2

c. La razón de las áreas es: r’ = 11,52 : 8 = 1,44.

Resulta ser el cuadrado de la razón de los lados r’ : r = 1,44 : 1,2 = 1,2.

6 CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA POR DESCOMPOSICIÓN

56*. Copia estos polígonos en tu cuaderno y descomponlos en triángulos. Para ello, traza

desde un vértice todas sus diagonales.

57*. El tangram es un juego muy ingenioso en el que puedes crear multitud de figuras

uniendo los 7 tans, que es el nombre que recibe cada una de sus piezas.

Utilizad un tangram para responder a estas preguntas:

a. ¿Qué tipo de polígono es cada tan?

b. ¿Cuál es el área de cada uno de los tans, si el lado del cuadrado completo mide 12 cm?

c. Construid una figura con los siete tans y hallad su perímetro y su área.

a. Triángulo rectángulo isósceles: naranja, azul claro, violeta, verde y amarillo. Romboide y

cuadrado.

b. Acuadrado completo = 12 · 12 = 144 cm2

Atriángulos naranja + Aazul claro = 72 cm2, por ser la mitad del tangram. Cada uno tiene un área de 36 cm2.

Atriángulo violeta = 18 cm2, por ser la mitad del triángulo naranja.

Atriángulos amarillo y verde = 9 cm2 cada uno, por ser la mitad del triángulo violeta.

Acuadrado = 18 cm2, por ser el doble del triángulo amarillo.

Aromboide = 18 cm2, por ser el doble del triángulo amarillo.

c. Respuesta abierta.

20


58*. Construye las siguientes figuras utilizando todas las piezas del tangram:

59*. Halla el área de esta figura teniendo en cuenta la descomposición indicada y que la

trama está formada por cuadrados cuyo lado es la unidad:

El área total es la suma de las áreas en las que se descompone la figura:

A1 =1 3 3

2 2; A2 =

2 2 2

2; A3 =

1

55

2 2; A4 =

3 2 3

2

Atotal = 3

2 +

5

2 + 2 + 3 = 9 u2

60*. Copia en tu cuaderno estas figuras dibujadas en una trama cuadrada de 1 cm de lado y

calcula sus áreas descomponiéndolas en polígonos más sencillos:

21


Figura A:

2

1 4 5 7 1 1 4 5 7

1 21 cm

2 2

b hA A A A A A A A A

2

2 2

2 22 cm

2 2

b hA A

2

3 3 2 5 10 cmA b h A

2

6 3 1 4 4 cmA b h A

2

8 8 1 1 1 cmA l l A

2

9 9

1 1 1 cm

2 2 2

b hA A

2

10 10

2 22 cm

2 2

b hA A

Atotal = 1 + 2 + 10 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1

2 + 2 = 23,5 cm2

Figura B:

2

1 1

( ) (2 1) 23 cm

2 2

B b hA A

2

2 2

4 24 cm

2 2

b hA A

2

3 3

4 12 cm

2 2

b hA A

2

4 4 2 5 10 cmA b h A

2

5 5

2 22 cm

2 2

b hA A

2

6 6

3 11,5 cm

2 2

b hA A

Atotal = 3 + 4 + 2 + 10 + 2 + 1,5 = 22,5 cm2

22


Figura C:

2

1 1

1 21 cm

2 2

b hA A

2

2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7

( ) (2 1) 11,5 cm

2 2

B b hA A A A A A A A A A A A

Atotal = 1 + 1,5 · 6 = 10 cm2

Figura D:

2

1 1 3 2 6 cmA b h A

2

2 2

2 22 cm

2 2

b hA A

2

3 3

( ) (2 1) 23 cm

2 2

B b hA A

2

4 4

( ) (3 2) 12,5 cm

2 2

B b hA A

2

5 5

1 31,5 cm

2 2

b hA A

Atotal = 6 + 2 + 3 + 2,5 + 1,5 = 15 cm2

61*. Determina el área de la siguiente figura si la trama cuadrada mide 1 cm de lado:

2

1 2 3 total

3 3 9 (6 3) 1,5 13,5 13,5; ; =15,75 u

2 2 2

3 3 9 9 9;

2 2 22 22A A A A

23


62*. Calcula para la siguiente figura:

a. Su perímetro.

b. El área del trapecio descomponiéndolo en un rectángulo y dos triángulos rectángulos.

c. El área del trapecio descomponiéndolo en un triángulo y un paralelogramo.

d. Su área aplicando la expresión de la superficie de un trapecio.

a.

Se averigua el valor de x:

x + 5 + x + = 8 2x = 8 – 5 2x = 3 x = 3

2 = 1,5 cm el cateto pequeño del triángulo

rectángulo.

Se aplica el teorema de Pitágoras para averiguar la hipotenusa del triángulo rectángulo:

a2 = 42 + 1,52 a2 = 16 + 2,25 a2 = 18,25 a = 4,27 cm

P = 8 + 5 + 4,27 + 4,27 = 21,54 cm

b. El área del trapecio descomponiéndolo en dos triángulos rectángulos y un rectángulo.

Atriángulo = 21,5 43 cm

2

Arectángulo = 5 · 4 = 20 cm2

Atotal = 20 + 3 + 3 = 26 cm2

c. El área del trapecio descomponiéndolo en un triángulo y un paralelogramo.

Atriángulo = 21,5 43 cm

2

Aparalelogramo = 26,5 5 4

23 cm2

Atotal = 23 + 3 = 26 cm2

d. Su área aplicando la expresión de la superficie de un trapecio.

Atotal = 28 5 4

26 cm2

24


63*. Dibuja en tu cuaderno el contorno de tu mano, aproxima la figura resultante a un

polígono y descomponlo para hacer un cálculo estimativo de su área.

Respuesta abierta.

64**. Andrés se ha manchado la camisa con aceite. Su padre le ha pedido que la lave y que,

además, calcule el área de la mancha.

Copia la figura en tu cuaderno. Después, descomponla lo más ajustadamente posible en

polígonos para, finalmente, realizar un cálculo aproximado de su área sumando las áreas de

dichos polígonos.

Se puede descomponer de esta forma, en la que el área que queda fuera se compensa con otra

que queda dentro y no es de la figura:

Un área aproximada es 16 u2.

65. Halla el área de esta figura:

25


2

1 1 2 5 10 cmA b h A

2

2 2

( ) (5 3) 28 cm

2 2

B b hA A

2

3 3 3 3 9 cmA l l A

2

4 5 4 5

3 34,5 cm

2 2

b hA A A A

Atotal = 10 + 8 + 9 + 4,5 + 4,5 = 36 cm2

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