MATEMÁTICAS 2º E.S.O. · 2017. 3. 4. · 2º de ESO Tema 1.Divisibilidad Resumen Un número a es...
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MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Julia Denis
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MATEMÁTICAS
2º E.S.O.
Julia Denis
1
TEORÍA
2
2º de ESO
Tema 1. Divisibilidad Resumen
Un número a es múltiplo por otro b si la división de a entre b es exacta. (Los números a y
b deben ser naturales, aunque el concepto se extiende sin dificultad a los números enteros.)
También puede decirse que b es divisor de a. • Si a es múltiplo de b entonces b es divisor de a, y viceversa.
• Todo número entero tiene infinitos múltiplos, que se obtiene multiplicándolo por 0, 1, 2…
• Todo número es divisor y múltiplo de sí mismo.
• El número 0 es múltiplo de todos los números.
• El número 1 es divisor de todos los números.
Divisores de un número; números primos
Un número puede tener varios divisores → Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, y 12. Si un número sólo es divisible por sí mismo y por la unidad se llama primo.
Ejemplo: Los números 7, 17 o 23 son primos.
Descomposición factorial de un número
Descomponer un número en factores es escribirlo como producto de algunos de sus divisores.
Ejemplo: 72 = 2 · 36; o también, 72 = 8 · 9 = 2 · 3 · 12.
• Cuando todos los factores son primos se dice que el número está descompuesto como
producto de factores primos. Ejemplo: 72 puede escribirse como: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.
• Factor de un número es cada uno de sus divisores.
• Factorizar un número es escribirlo como producto de algunos de sus divisores.
• Un número puede descomponerse factorialmente de varias maneras.
• Un número puede descomponerse en producto de sus factores primos de manera única,
salvo el orden de esos factores.
Criterios de divisibilidad• Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 si es par. Ejemplos: 2, 24 o 130.
• Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras en
múltiplo de 3. Ejemplos: 99, 132 o 2124 son múltiplos de 3, pues sus cifras suman,
respectivamente, 18, 6 o 9, que son números múltiplos de 3. Los números 122 o 2222 no son
múltiplos de 3.
• Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Ej. 100 y 2375.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números
Dos números pueden tener varios divisores comunes. El mayor de ellos se llama máximo
común divisor: m.c.d. Si el mcd de los números es 1, se llaman primos entre sí.
Dos números tienen infinitos múltiplos comunes. El menor de ellos se llama mínimo común
múltiplo: m.c.m.
Criterio para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.
Para determinar el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números se descomponen los números
dados en sus factores primos.
• El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores primos comunes a ambos números (en este
criterio suele añadirse “con el menor exponente”).
• El m.c.m. se obtiene multiplicando los factores primos comunes y no comunes a ambos
números (afectados con el mayor exponente).
Ejemplo: Los números 24 y 36 se descomponen así: 24 = 23 · 3; 36 = 2
2 · 3
2
m.c.d.(24, 36) = 22 · 3 = 12. m.c.m.(24, 36) = 2
3 · 3
2 = 72.
3
2º de ESO
Tema 2. Números enteros Resumen
El conjunto de los números enteros es Z = {... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...}. Esta formado por los
positivos y los negativos. Los números negativos son los opuestos de los positivos; así −2 es
el opuesto de +2.
Pueden representarse en la recta así:
Suma y resta
• Para sumar dos números en teros con el mismo signo se suman los valores absolutos de
ambos números y se pone el signo que tenían los sumandos.
Ejemplos: a) (+3) + (+7) = +10 b) (−7) + (−5) = −12
• Para sumar dos números con distinto signo hay que restarlos y ponerle al resultado el signo
que lleve el número mayor en valor absoluto.
Ejemplos: a) (+3) + (−7) = −(7 − 3) = −4 b) (−6) + (+11) = +(11 − 6) = +5
• Para restar dos números enteros hay que tener en cuenta que: − (+) = −; − (−) = +
Ejemplos: a) − (+ 9) = −9; b) − (−10) = +10
Ejemplos: a) (−7) − (+9) = (−7) − 9 = −16 b) (+6) − (−10) = (+6) + 10 = 16
• Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos los términos que abarca.
Ejemplos: a) −(4 + 5 − 3) = −4 − 5 + 3 = −6 b) −(−5 + 7 − 13) = +5 − 7 + 13 = +11
Multiplicación y división. En todos los casos hay que tener en cuenta las reglas de los signos:
[+] · [+] = [+] [+] · [−] = [−] [−] · [+] = [−] [−] · [−] = [+]
[+] : [+] = [+] [+] : [−] = [−] [−] : [+] = [−] [−] : [−] = [+]
Ejemplos:
(+3) · (+4) = +12; (+7) · (−2) = −14; (−5) · (+6) = −30; (−1) · (−9) = +9
(+18) : (+3) = +6; (+12) : (−2) = −6; (−32) : (+8) = −4; (−28) : (−7) = + 2.
Operaciones combinadas. El orden es el siguiente: 1) Paréntesis; 2) Productos; 3) Sumas
Ejemplos: a) 12 − 2 · (9 − 3) − 10 : (−2) − (−7) = 12 − 2 · 6 + 5 + 7 = 12 − 12 + 5 + 7 = 12
b) (12 − 2) · (9 − 3) − 10 : [(−2) − (−7)] = 10 · 6 − 10 : (+5) = 60 − 2 = 58.
Potencias de números enteros. Se hace igual que con números naturales, pero hay que tener en
cuenta el signo de la base y si el exponente es par o impar, cumpliéndose:
( )nn
aa =+ → siempre positivo Ejemplo: ( ) 3222 55==+ ; ( ) 8133 44
==+
( )nn
aa =− , si n es par; ( )nn
aa −=− , si n es impar
Ejemplos: ( ) 1622 44==− ( ) 24333 55
−=−=−
Propiedades de las potencias:
mnmnaaa
+
=· ( ) mnm
naa
·=
mnmnaaa
−
=: ( )nnn
baba ·· = ( )nnn
baba :: =
Ejemplos: a) ( ) ( ) ( ) 12822·2734
−=−=−− b) ( ) ( ) 7293)3(623
+=−=−
c) ( ) ( ) ( ) 222:2134
−=−=−− d) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 21627·83·23·2333
=+−=+−=+−
Raíz cuadrada: a = b , a > 0 ⇔ b = a2 . Ejemplo: 12144 = , pues 144122
=
Otras raíces: ban
= , n∈ N ⇔ abn
= . Ejemplo: 2325= , pues 3225
= .
4
2º de ESO
Tema 2. Potencias y Fracciones Resumen
La potencia de una fracción tiene el mismo significado que la potenciación en general, y se
cumplen las mismas propiedades que en potenciación con números enteros.
Propiedades de la potenciación con números enteros:
mnmnaaa
+
=· ( ) mnmnaa
·= mnmn
aaa−
=: ( )nnn
baba ·· = ( )nnn
baba :: =
Potencia de una fracción. Definición:
n
b
a
b
a
b
a
b
a
=·...··
Propiedad inicial: n
nn
b
a
b
a=
Ejemplos: a)
125
8
5
2
5
2
5
2·
5
2·
5
23
33
==
= b)
81
1
3
1
3
14
44
==
Al revés:
n
n
n
q
p
q
p
= . Ejemplo:
27
8
3
2
3
2
9
6
9
63
333
3
3
==
=
=
Producto y cociente de potencias de la misma base: mnmn
b
a
b
a
b
a+
=
·
mnmn
b
a
b
a
b
a−
=
:
Ejemplos: a) 243
32
3
2
3
2
3
2·
3
25
5532
==
=
b)
25
16
5
4
5
4:
5
4235
=
=
Potencia de un producto de fracciones:
nnn
d
c
b
a
d
c
b
a
=
··
Ejemplo:256
81
4
3
4
3
12
9
4
9·
3
1
4
9·
3
14
444444
==
=
=
=
Potencia de un cociente de fracciones:
nnn
d
c
b
a
d
c
b
a
=
::
Ejemplos: 125
8
3375
216
125·27
216
216
125:
27
1
6
5:
3
1
6
5:
3
1
6
5:
3
13
3
3
3333
=====
=
• En este caso, conviene operar antes el paréntesis:125
8
5
2
5
2
15
6
6
5:
3
13
3333
==
=
=
Potencia de una potencia:
mnm
n
b
a
b
a·
=
Ejemplo:
84
2
5
3
5
3
=
Potencia de exponente 0: 10=a ; 1
0
=
b
a Ejemplos: 1
8
70
=
; 1
5
10
=
−
Potencia de exponente negativo:
nn
a
b
b
a
=
−
; n
n
aa
1=
− ; n
na
a=
−
1
Ejemplos: a)
22
3
5
5
3
=
−
b) 821
2
2
1 3
33
==
=
−
c) 8
27
2
3
2
3
3
2
3
23
333
3
3
==
=
=
−
−
−
5
2º de ESO IES Complutense
Números y potencias de base 10
La potencia 10n equivale a la unidad de orden de magnitud n; esto es, 1 seguido de tantos
ceros como indica el exponente n. Así:
100 = 1 (unidad) 10
1 = 10 (decena: orden de magnitud 1)
102 = 100 (centena: magnitud 2) 10
3 = 1 000 (unidad de millar: magnitud 3) …
Si extendemos esta notación a exponentes negativos se tiene:
10
110 1
=− = 0,1 (décima)
100
1
10
110
2
2==
− = 0,01 (centésima)
1000
1
10
110
3
3==
− = 0,001 (milésima)
10−4
= 0,0001 0,00001 = 10−5
0,000001 = 10−6
…
Por tanto, cualquier número entero o decimal, puede escribirse mediante potencias de 10.
Ejemplos:
a) 7345304 = 7 · 106 + 3 · 10
5 + 4 · 10
4 + 5 · 10
3 + 3 · 10
2 + 0 · 10
1 + 4 · 10
0
b) 368,098 = 3 · 102 + 6 · 10
1 + 8 · 10
0 + 0 · 10
−1 + 9 · 10
−2 + 8 · 10
−3
= 300 + 60 + 8 + 0,0 + 0,09 + 0,008
Números muy grandes o muy pequeños
Las potencias de 10 facilitan la expresión de números de muchas cifras, decimales o no. En
muchos de ellos, para facilitar la comprensión de la cantidad conviene redondear.
Ejemplos:
a) 160000000 = 16 · 100000000 = 16 · 108. También: 1,6 · 1000000000 = 1,6 · 10
9
b) 0,00000089 = 89 · 0,00000001 = 89 · 10−8
. También: 8,9 · 10−7
Fracciones y números decimales.
Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un número decimal. Por tanto, una
fracción puede considerarse como un número decimal.
Ejemplos: 5
3 = 0,6;
8
3 = 0,375;
5
12 = 2,4; 23,0
100
23= ;
3
2 = 0,666…
• Y al revés, los números decimales (con un número finito de cifras decimales o con infinitas
cifras decimales periódicas) pueden escribirse como una fracción.
Ejemplos: 0,78 = 100
78; 3,2 =
10
32; 0,375 =
1000
375.
Para obtener la fracción equivalente (generatriz) a un números decimal periódico hay
que multiplicar el número dado por 10, 100, …, según convenga, a fin de que al restar
los números se consiga eliminar las cifras decimales.
Ejemplo: Si el número es 2,5676767… → Se escribe F = 2,5676767… • Se multiplica por 1000: 1000 · F = 2567,6767…
• Se multiplica por 10: 10 · F = 25,6767…
• Se restan esos números: 990 · F = 2542 Se despeja F: 990
2542=F
Los números racionales, son todos los que pueden escribirse en forma de fracción.
Los números racionales son: los naturales, los enteros, los decimales con un número finito de
cifras decimales, y los números decimales periódicos.
• Los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no son racionales. Se
llaman números irracionales. Por ejemplo: 7,01002000300004…
6
2º de ESO
Tema 3. Fracciones (I) Resumen
Una fracción suele considerase como “la parte de un todo” que ha
sido dividido en porciones iguales. Así, 5
3 indica que se toman 3
trozos de algo que se dividido en 5 trozos iguales. Es la parte coloreada en la figura.
El número de arriba se llama numerador e indica el número de partes que se toman; el número
de abajo se llama denominador, e indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. • Para otras interpretaciones, véase, en esta web, los Conceptos Básicos del Tema 7 de 1º de ESO.
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo. Así, 15
6
5
2= .
Para obtener fracciones equivalentes a una dada basta con multiplicar o
dividir el numerador y denominador de la fracción dada por un mismo
número distinto de cero. Esto es: nb
na
nb
na
b
a
:
:
·
·==
Simplificar una fracción consiste en igualarla con otra cuyos términos
sean más sencillos. Para ello se dividen los dos términos entre el mismo número. Una fracción
que no se puede simplificar se llama irreducible.
Ejemplos: a) 3
2
6:18
6:12
18
12
2:36
2:24
36
24=
==
= b) [ ] [ ]
8
35:
40
1525:
1000
375==== .
Reducción de dos o más fracciones a común denominador
Para reducir fracciones a común denominador se halla un número que sea múltiplo de los
denominadores; a continuación se buscan fracciones equivalentes a las dadas pero con ese
denominador común.
Un denominador común se obtiene multiplicando los denominadores de todas las fracciones.
• Aunque sea más costoso, se prefiere hallar fracciones con el menor denominador común,
que se obtiene calculado el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo: Dadas las fracciones 8
3 y
12
7, las equivalentes a ellas con el mismo denominador
son, respectivamente, 12·8
12·3 y
8·12
8·7. Esto es:
96
36 y
96
56.
• Si optamos por hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores, mcm(8, 12) = 24,
las fracciones obtenidas serán:3·8
3·3 y
2·12
2·7. Esto es:
24
9 y
24
14. (Como el denominador 8 se
multiplica por 3, 24 = 8 · 3, también debe multiplicarse por 3 el numerador correspondiente.
Igualmente, como el denominador 12 se ha multiplicado por 2, 24 = 12 · 2, también su
numerador, 7, debe multiplicarse por 2.)
Suma y resta de fracciones
• Si las fracciones tienen el mismo denominador: la fracción suma o resta es la que tiene por
numerador la suma o resta de los numeradores y por denominador el común.
Ejemplo: a) 3
1
15
5
15
874
15
8
15
7
15
4==
+−=+− . b)
3
1
9
3
9
1254
9
12
9
5
9
4−=
−=
−+=−+
• Si las fracciones tienen distinto denominador: se reducen a común denominador y se
procede como antes.
Ejemplo: a) 36
67
36
1552
36
15
36
52
12
5
9
13=
+=+=+ . b)
45
1
45
2021
45
20
45
21
9
4
15
7=
−=−=−
7
2º de ESO
Suma o resta de números enteros y fracciones
Si escribimos el número como una fracción con denominador 1, la operación se reduce a
alguna de las anteriores. También puede aplicarse directamente las fórmulas:
d
cad
d
ca
±=± ;
b
cbac
b
a ±=±
Ejemplos: a) 15
49
15
415·3
15
4
1
3
15
43 =
+=+=+ b)
7
25
7
37·4
7
3
1
4
7
34 =
−=−=−
a) 7
18
7
7·24
1
2
7
42
7
4=
+=+=+ b)
8
37
8
8·53
1
5
8
35
8
3 −=
−=−=−
Multiplicación de fracciones
La fracción resultante tiene como numerador el producto de los numeradores y como
denominador, el producto de los denominadores. Esto es: db
ca
d
c
b
a
·
·· =
Ejemplo: a) 21
5
84
20
12·7
)5·(4
12
)5(·
7
4−=
−=
−=
−b)
8
1
120
15
10·12
3·5
10
3·
12
5===
Multiplicación de un número entero por una fracción
La fracción resultante tiene como numerador el producto del número por el numerador; el
denominador será el mismo. Esto es: d
ca
d
ca
·· = y
b
cac
b
a ·· =
Ejemplos: a) 11
35
11
5·7
11
5·7 == . b)
7
9
14
18
14
6·36·
14
3===
División de fracciones
La fracción resultante tiene como numerador el producto del numerador de la primera por el
denominador de la segunda, y como denominador, el producto del denominador de la primera
por el numerador de la segunda. Esto es, sus términos se multiplican en cruz → cb
da
d
c
b
a
·
·: =
Ejemplos: a) 7
18
21
54
3·7
9·6
9
3:
7
6=== b)
22
7
66
21
)6·(11
7·3
7
)6(:
11
3
7
6:
11
3−=
−
=
−
=−
=
−
División de un número entero por una fracción y de una fracción por un número entero
Escribiendo el número entero como una fracción con denominador 1 la operación se hace
como se ha indicado en general. Esto es: c
da
d
ca
d
ca
·:
1: == ;
cb
ac
b
ac
b
a
·1:: ==
Ejemplos: a) 5
28
7
5:
1
4
7
5:4 == . b)
16
3
16
3
)2·(8
3
1
)2(:
8
3)2(:
8
3−=
−
=
−
=−
=−
Prioridad de operaciones y uso de paréntesis
Cuando las operaciones aparecen combinadas, primero se resuelven los paréntesis, después
las multiplicaciones y divisiones; por último, las sumas y restas.
Ejemplos: a) 180
19
20
9
20
19·
9
1
20
9
20
4
20
15·
9
5
9
6
20
9
5
1
4
3·
9
5
3
2
20
9−=−=
+
−−=
+
−− =
= 90
31
180
62
180
19
180
81==−
b) 60
7
180
21
180
36
180
15
5
1
36
3
5
1
4
3·
9
1
5
1
4
3·
9
5
9
6
5
1
4
3·
9
5
3
2−=
−=−=−=−=−
−=−
−
8
2º de ESO
Tema 3. Fracciones (II) Resumen
Aplicaciones de las fracciones para resolver problemas
1. Fracción de una cantidad.
Ejemplo: ¿Cuánto son los 7
3 de 350 euros?
Los 7
3 de 350 € = 150
7
1050
7
350·3350·
7
3=== .
• De otra forma:
La sétima parte de 350 € son 350 : 7 = 50 € → 7
1 de 350 = 50
7
350= .
Por tanto, 7
3 de 350 = 15050·3
7
350·3 ==
2. Expresión de una parte como una fracción.
Ejemplo: En una carrera ciclista participan 180 corredores. Si durante la carrera se retiran 45
corredores, ¿qué fracción del total de ciclista participantes terminó la carrera?
La carrera la terminan 180 − 45 = 135 ciclista. La fracción correspondiente es: 4
3
180
135= .
3. Obtención del total a partir de la fracción.
Ejemplo: Un depósito de agua ha vaciado los 8
3 de su capacidad, lo que equivale a 4500
litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
Si 4500 litros son los 8
3 ⇒ 1500
3
4500= litros será
8
1 de su capacidad ⇒ La capacidad del
depósito será 8 · 1500 = 12000 litros.
• De otra forma: La fracción8
3 debe ser equivalente a la fracción
C
4500, siendo C la
capacidad total del depósito. Luego C
4500
8
3= → Como 4500 = 3 · 1500 ⇒ C = 8 · 1500 =
12000.
4. Suma o resta de partes de una cosa.
Ejemplo: Durante dos días consecutivos un depósito de agua ha vaciado los 8
3 y los
9
2 de su
capacidad. Si inicialmente estaba lleno: a) ¿qué fracción de agua queda en el depósito?; b) si
el depósito contenía 12000 litros, ¿cuántos litros quedan?
a) Lo vaciado es72
43
72
1627
9
2
8
3=
+=+ → Lo que queda es
72
29
72
4372
72
431 =
−=−
b) Quedarán72
29 de 12000 litros = 3,4833
72
12000·29= litros
9
2º de ESO
5. Multiplicación de partes de una cosa.
Ejemplo: ¿Cuántos litros de agua se necesitarán para llenar 200 botellas de un quinto de litro?
Hay que multiplicar 200 por 5
1→ 40
5
200
5
1·200 == .
6. División de una cosa en partes iguales
Ejemplo: Un gato necesita cada día una ración de 9
2 de kg de un producto llamado
“Gatogor”. ¿Cuántas raciones diarias se pueden hacer con 40 kg de producto?
Hay que dividir 40 entre 9
2→ 180
2
360
9
2:40 == .
7. Partes de una parte
Ejemplo 1: Un depósito de agua ha vaciado un día los 8
3 de su capacidad; al día siguiente
vacía 3
1 de lo que quedaba. Si inicialmente estaba lleno: a) ¿qué fracción de agua se ha
vaciado en los dos días?; ¿qué fracción queda en el depósito?; b) si el depósito contenía 12000
litros, ¿cuántos litros se han vaciado?
a) Primer día. Se vacían8
3 → Quedan
8
5
8
31 =−
Segundo día. Se vacía 3
1 de
8
5 =
24
5
8
5·
3
1=
Entre los dos días se ha vaciado: 24
14
24
59
24
5
8
3=
+=+ → Quedan
24
10
24
1424
24
141 =
−=−
b) Se han vaciado24
14 de 12000 litros = 7000
24
12000·14= litros
Ejemplo 2: Un saltamontes salta tres veces seguidas. El primer salto es de 2 metros; el
segundo es 8
7 la longitud del primero; y el tercero de
5
4 la del segundo. ¿Cuánto ha saltado
en total?
Primer salto → 2 m
Segundo salto: 8
7 de 2 m =
8
142·
8
7= m.
Tercer salto: 5
4 de
8
14 =
10
14
40
56
8
14·
5
4== m.
En total ha saltado 40
206
40
567080
10
14
8
142 =
++=++ m = 5,15 m
10
2º de ESO
Tema 4. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal Resumen
El sistema de numeración decimal utiliza diez dígitos: 0, 1, 2, …, 9.
Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.
Una unidad de cualquier orden se divide en diez unidades del orden inmediato inferior.
10 unidades = 1 decena; 10 decenas = 100 unidades = 1 centena.
1 unidad = 10 décimas → 1 décima = 0,1 unidades
1 décima = 10 centésimas → 1 centésima = 0,01 unidades
1 centésima = 10 milésimas → 1 milésima = 0,001 unidades.
El sistema de numeración decimal es posicional, que significa que valor de una cifra depende
de la posición que ocupa en el número.
Para expresar cantidades comprendidas entre dos números se utilizan los números decimales.
Así, los números entre 3 y 4 se designan por 3,1; 3,45; 3,568…
Ejemplo: 345,304 = 300 + 40 + 5 + 0,3 + 0,00 + 0,004 → Se lee: trescientos cuarenta y cinco
unidades y trescientas cuatro milésimas → 345,304 = 345 + 0,304
Tipos de números decimales
Números con un número finito de cifras decimales: 3,56; 0,567; 89,4
Números con infinitas cifras decimales periódicas: 3,55555…; 42,7090909…
Números con infinitas cifras decimales no periódicas: 2,012345…
Para comparar dos números decimales se contrastan cifra a cifra comenzando por la izquierda.
Así, y es obvio: 3,45 < 4,01 y 5,768 > 5,767
Los números decimales pueden representarse en la recta numérica. Todo número representado
a la izquierda es menor que cualquiera representado a su derecha.
Si un número tiene muchas cifras decimales conviene dar una aproximación por redondeo.
Redondear un número consiste en suprimir las cifras decimales a partir de un determinado
orden; si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5 se le suma 1 a la última cifra.
El error cometido, que es la diferencia entre el valor real y el valor redondeado, es menor
que media unidad del orden que se aproxima.
Ejemplo: a) El número 34,74389244 se aproxima a centésimas por 34,74. El error que se comete es 0,00389244 < 0,005 (media centésima).
b) El número 34,7458 se aproxima a centésimas por 34,75. El error que se comete es 34,75 −
34,7458 = 0,0042 < 0,005 (media centésima).
Operaciones con números decimales Suma y resta: para sumar o restar números decimales se colocan en columna haciendo
coincidir los órdenes de las unidades correspondientes.
Multiplicación: se multiplican como si fuesen enteros y, después; el número de cifras
decimales del producto es la suma de las cifras decimales de los factores.
División: Se añaden ceros a la derecha al decimal que tenga menos cifras, hasta igualar las
cifras decimales de ambos números. Para obtener los decimales del cociente se pone la coma
y se siguen “bajando” ceros en el resto, hasta que se consiga el orden decimal deseado.
11
2º de ESO
El sistema sexagesimal: medida del tiempo-Es un sistema de base 60:
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos ⇒ 1 hora = 60 · 60 = 3600 segundos.
Para pasar de horas a minutos se multiplica por 60.
Para pasar de minutos a horas se divide por 60.
Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60.
Para pasar de segundos a minutos se divide por 60.
Ejemplo: 2 h 25 min 42 s = 120 min 25 min 42 s
= 120 · 60 s + 25 · 60 s + 42 s
= 7200 + 1500 + 42 = 8742 s
Ejemplo: Paso de forma incompleja a compleja
Para expresar, por ejemplo 8972 segundos en horas minutos y segundos se divide
sucesivamente por 60. El primer resto son los segundos; el segundo resto, los minutos; el
cociente final, las horas.
8972 60
297 149 60
572 29 min 2 horas
32 s
El sistema sexagesimal: medida de ángulosEs un sistema de base 60:
Un ángulo completo mide 360 grados: 360º.
1 grado = 60 minutos de ángulo → 1º = 60´
1´ = 60 segundos → 1´ = 60´´
Para pasar de grados a minutos se multiplica por 60.
Para pasar de minutos a grados se divide por 60.
Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60.
Para pasar de segundos a minutos se divide por 60.
Ejemplos: a) 35,6º = 35º + 0,6º = 35º 36´ → 0,6º = 0,6 · 60 = 36´
b) 312´´ = 300´´ + 12´´ = 5´ 12´´ → 300´´ : 60 = 5´
c) 12312´´ = 12300´´ + 12´´ = 205´ + 12´´ → 12000´´ : 60 = 205´
= 3º + 25´ + 12´´ → 205¨: 60 = 3º y resto 25´
Por tanto, 12312´´ = 3º 25´ 12´´
12
2º de ESO
El sistema sexagesimal: medida del tiempo-Es un sistema de base 60:
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos ⇒ 1 hora = 60 · 60 = 3600 segundos.
Para pasar de horas a minutos se multiplica por 60.
Para pasar de minutos a horas se divide por 60.
Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60.
Para pasar de segundos a minutos se divide por 60.
Ejemplo: 2 h 25 min 42 s = 120 min 25 min 42 s
= 120 · 60 s + 25 · 60 s + 42 s
= 7200 + 1500 + 42 = 8742 s
Ejemplo: Paso de forma incompleja a compleja
Para expresar, por ejemplo 8972 segundos en horas minutos y segundos se divide
sucesivamente por 60. El primer resto son los segundos; el segundo resto, los minutos; el
cociente final, las horas.
8972 60
297 149 60
572 29 min 2 horas
32 s
El sistema sexagesimal: medida de ángulosEs un sistema de base 60:
Un ángulo completo mide 360 grados: 360º.
1 grado = 60 minutos de ángulo → 1º = 60´
1´ = 60 segundos → 1´ = 60´´
Para pasar de grados a minutos se multiplica por 60.
Para pasar de minutos a grados se divide por 60.
Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60.
Para pasar de segundos a minutos se divide por 60.
Ejemplos: a) 35,6º = 35º + 0,6º = 35º 36´ → 0,6º = 0,6 · 60 = 36´
b) 312´´ = 300´´ + 12´´ = 5´ 12´´ → 300´´ : 60 = 5´
c) 12312´´ = 12300´´ + 12´´ = 205´ + 12´´ → 12000´´ : 60 = 205´
= 3º + 25´ + 12´´ → 205¨: 60 = 3º y resto 25´
Por tanto, 12312´´ = 3º 25´ 12´´
13
Mat 2º ESO
Tema 5. (I) Álgebra Resumen
Una expresión algebraica es aquella en la que aparecen números y letras, unidos por las
operaciones habituales.
El álgebra utiliza esas expresiones para establecer relaciones de carácter genérico, pues
las letras pueden tomar cualquier valor.
• El álgebra permite dar fórmulas generales. Así, el área de cualquier
triangulo es 2
·abA = , siendo b la base y a la altura.
Si la base mide 8 y altura 5, el área del triángulo es: 202
5·8==A .
• El álgebra permite expresar propiedades generales. Así, para indicar que una operación,
por ejemplo la suma, cumple la propiedad conmutativa, se escribe: abba +=+
• El álgebra permite manejar números de valor desconocido. Así, si con la letra x se designa
un número desconocido:
El doble de x es 2x, que significa 2 · x. Por tanto, si x valiese 8, 2x valdría 16.
La mitad de x es 2
2:x
x = → Si x valiese 100, 2
x valdría 50.
El cuadrado de x es 2x , que significa xx· → si x valiese 7, 2x = 7 · 7 = 49.
La suma xx 52 + es igual a x7 . Igualmente: xxx3
8
3
7
3
1=+ ; y
3
2
33
3
313
xxxxxxx =−=−=− .
• El álgebra permite establecer relaciones entre números. Así, para indicar que dos números
son consecutivos se les da valores x y x + 1. escribe
Monomios. Son las expresiones algebraicas más simples. Sólo tiene un término. Un término
es: un número; una letra; o un producto de números por letras.
Ejemplos: a) Cualquier número es un término. Así, 8, −3 o 3
4 son términos, que por no poder
variar se llaman constantes.
b) Cualquier letra es un término. Así, a, b o x son términos.
c) Cualquier producto de números por letras es un término. Así, a·3 , xa··4− o xx· sontérminos. Esos términos suele escribirse omitiendo los puntos de multiplicar. Esto es:
aa 3·3 = , axxa 4··4 −=− o 2· xxx = .
d) La expresión 542 2+− bba no es un monomio, pues esta formada por tres términos. Por
tanto, si hay sumas o restas la expresión no es un monomio. Se llamará polinomio.
• En un monomio, al número se le llama coeficiente; a la letra o letras que lo multiplican sele llama parte literal.
Ejemplo: La parte literal de a3 , ax4− y 2x es, respectivamente, a , ax y 2
x . Sus
coeficientes, también respectivamente, son: 3, −4 y 1. Observa que cuando la parte literal no lleva número, su coeficiente es 1; y si va sola con signo
negativo, su coeficiente es −1. No se ponen por comodidad. Así, los coeficientes de 2ab− y
de 3x son, respectivamente, −1 y 1.
• Valor numérico de un monomio es el valor que se obtiene cuando se sustituyen las letras
por números. Así, en 2ab− , si a = 3 y b = −2, su valor es 124·3)2·(3 2
−=−=−− .
14
Mat 2º ESO
• El grado de un monomio es el grado de la parte literal, que es la suma de los grados de
las letras que la forman.
Ejemplo: El grado de a3 es 1; el grado de 2x es 2; el grado de ba
22 es 3.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte
literal. Ejemplos: a) Los monomios 3a y 5a son semejantes.
b) También son semejantes los monomios: 2x y 26x ; y, ba
22 y ba23 .
c) No son semejantes: a3 y ab2 . Tampoco lo son 22x y x3 .
Suma y resta de monomios
Sólo pueden sumarse o restarse los monomios semejantes.
Cuando dos monomios no son semejantes, no pueden agruparse; la operación se deja
indicada.
Ejemplos: a) Los monomios 3a y 5a pueden sumarse y restarse. Esto es, pueden hacerse las operaciones: 3a + 5a y 3a − 5a
b) Los monomios 22x y x3 no pueden sumarse ni restarse. Las operaciones xx 32 2+ y
xx 32 2− no pueden realizarse.
• Para sumar (o restar) monomios se suman (o restan) los coeficientes y se deja la misma
parte literal.
Ejemplos:
a) aaaa 8)53(53 =+=+ ; b) aaaa 2)53(53 −=−=− ; c) xxxx 4572 =−+
d) xx 32 2+ se deja indicada, como está. e) 59572 −=−+ xxx
• La suma y resta de expresiones algebraicas cumplen las mismas propiedades que la suma y
resta de números. Habrá que tener en cuenta las reglas de los signos.
Ejemplos:
a) aaaa 2772 +=+ ; b) ( ) ( ) aaaaaaaa 7252535 =+=−−=−−
Producto de monomios
Pueden multiplicarse cualquier tipo de monomios entre sí.
Para multiplicar dos monomios se multiplican números por números y letras por letras.
Ejemplos:
a) ( ) ( ) ( ) ( )215··5·35·3 aaaaa == ; b) ( ) ( ) ( ) ( )
215··)5·(35·3 aaaaa −=−=− ;
c) 3·· xxxx = d) ( )( )322 6··3·23·2 xxxxx ==
División de monomios
Pueden dividirse cualquier tipo de monomios entre sí.
Para dividir dos monomios se dividen números entre números y letras entre letras. La parte de
la expresión que no pueda simplificarse se dejará indicada en forma de fracción
Ejemplos:
a) aa
a
a
a4·
3
12
3
12 22
== ; b) 223
2
3
2
3
21··
3
2··
15
10
15
10
b
a
ba
b
b
a
a
ab
ba===
c) 55
1·
15
5
15
5 22 xx
x
x
x
x=== d)
y
x
yx
y
y
x
x
xy
yx 21·2··
5
10
5
102
2
2
2
−=−=−
=−
15
Mat 2º ESO
Tema 5 (II) Polinomios Resumen
Un polinomio es la suma de varios monomios. Si la suma es de dos monomios se le
puede llamar binomio; si es suma de tres monomios, trinomio. Y en general, polinomio.
• Cada uno de los monomios que forman el polinomio se llama término. Como sabes, cada
término está formado por una parte numérica (coeficiente) y por una parte literal.
• El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
Ejemplos: a) Son binomios: ba 53 − , 73 −x ; xx 22+ ; xx
5
32 3
− . El último es de grado 3.
b) Son trinomios: xaax 532 −+− ; 423 2−+ xx ; 2
3
12+− xx . Los tres son de grado 2.
Polinomios en x. En matemáticas la mayoría de las veces se utiliza la letra x. Por eso, casi siempre se emplean polinomios como 654 3
−+ xx o 372 2++− xx ; y con frecuencia se
escriben así: 654)( 3−+= xxxA o 372)( 2
++−= xxxB . La expresión más común es )(xP .
Ejemplo: La expresión 6542)( 35−+−= xxxxP es un polinomio de grado 5. Los términos
que lo forman son: 52x , de grado 5 y coeficiente 2; 34x− , de grado 3 y coeficiente −4; x5 ,
de grado 1 y coeficiente 5; el número −6 es el término independiente.
Ese polinomio no tiene los términos de 4º grado ni de 2º; pero, si conviene, podría escribirse
650402)( 2345−+++−+= xxxxxxP . Así, los coeficientes, ordenados de mayor a menor
grado, son: 2 (para 5x ), 0 (para 4
x ), −4 (para 3x ), 0 (para 2
x ), 5 (para x); −6 (término
independiente).
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta cuando se sustituyen las
letras por números.
Ejemplos: a) El valor numérico de 425 2−+ xx para x = 3 es 47464543·23·5 2
=−+=−+ .
Y para x = −2 es: 12820444·54)2·(2)2·(5 2=−=−−=−−+− .
Operaciones con polinomios
• Suma y resta de polinomios
Para sumar polinomios se suman o restan los términos semejantes.
Ejemplos: Para los polinomios: 654 3−+ xx y xxx 723 23
+− :
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 61227675234723654 23233233−+−=−++−+=+−+−+ xxxxxxxxxxxxx .
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 622675234723654 23233233−−+=−−+−−−=+−−−+ xxxxxxxxxxxxx .
Observación: es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos.
Multiplicación de un polinomio por un monomio
Se multiplica cada término del polinomio por el monomio; para ello se utiliza la propiedad
distributiva del producto y las reglas de la potenciación.
Ejemplo: ( ) ( ) ( )( ) ( )34522232232 288127·42·43·4723·4 xxxxxxxxxxxxx +−=+−+=+−
Observación: es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos.
16
Mat 2º ESO
Multiplicación de dos polinomios
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo:
“todos por todos”. Esto es, se aplica la propiedad distributiva del producto y las reglas de la
potenciación. Una vez realizados los productos deben agruparse los términos semejantes.
Ejemplos: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )132·6132·5132·65 222+−−+−=+−− xxxxxxxx =
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1·6)3·(62·61·5)3·(52·5 22−−−−+−+ xxxxxxx =
= 62327106181251510 23223−+−=−+−+− xxxxxxxx
b) ( )( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxx 7·4)2·(43·4723·654 32333233+−+=+−−+ +
+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxx 7·6)2·(63·67·5)2·(53·5 2323−−−−+−+ =
= xxxxxxxxx 42121835101528812 23234456−+−+−++− =
= xxxxxx 42472843812 23456−+−+−
Observación: es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos, tanto al multiplicar
como al sumar.
Productos notables:
)2
Cuadrado de una suma: (a + b
Multiplicando como dos polinomios:
( ) ( ) ( )222
2····· bababbabbaaabababa ++=+++=++=+ → ( )222
2 bababa ++=+
Ejemplos: a) ( ) ( ) 2530955·3·2353 2222++=++=+ xxxxx
b) ( ) ( ) 1211··21 24222222++=++=+ xxxxx
)2
Cuadrado de una diferencia: (a − b
Multiplicando como dos polinomios:
( ) ( ) ( )222
2)·(·)·(·· bababbabbaaabababa +−=−−−−+=−−=− → ( )222
2 bababa +−=−
Ejemplos: a) ( ) ( ) 9241633·4·2434 2222+−=+−=− xxxxx
b) ( ) ( )42222222 1025·5·255 xxxxx +−=+−=−
Suma por diferencia: (a + b)·(a − b)
Multiplicando como dos polinomios:
( ) ( )22)(·)·(·· babbabbaaababa −=−++−+=−+ → ( ) ( )
22· bababa −=−+
Ejemplos: a) ( ) ( ) ( ) 9163434·34 222−=−=−+ xxxx
b) ( )( ) ( )4222222 422·2 xxxx −=−=−+
17
Mat 2º ESO
Tema 6. Ecuaciones de primer grado Resumen
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligados mediante las
operaciones algebraicas.
En las ecuaciones las letras se llaman incógnitas. La incógnita preferida suele ser la letra x.
Ejemplos. Son ecuaciones las igualdades siguientes: 342 =x ; 252=x ; 30
2=+
xx .
• Las ecuaciones se emplean para resolver problemas, pues al establecer la relación entre los
datos y el valor desconocido (la x) suele obtenerse una igualdad.
Ejemplo: Al intentar encontrar el número que cumple la relación: “un número más su mitad
vale 30”, se obtiene una ecuación, pues si a ese número le llamamos x, entonces 302
=+x
x .
• Las ecuaciones se clasifican por su grado y por su número de incógnitas. La ecuación
342 =x es de primer grado; 252=x es una ecuación de segundo grado.
• Soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita que cumplen la ecuación.
Ejemplo: La ecuación 342 =x se cumple para x = 17, pues 2 · 17 = 34. La ecuación 252=x
tiene dos soluciones: x = 5 y x = −5, pues 52 = 25 y (−5)
2 = 25.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Ejemplos: Los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes:
a) 182 =x y 364 =x b) 732 +=+ xx y 42 += xx c) 302
=+x
x y 602 =+ xx
Puedes comprobar que la solución de las dos primeras es x = 9; que la solución de las dos
segundas es x = 4; y que la solución de las dos últimas es x = 20. (Compruébalo.)
Resolución de una ecuación
• Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones. Para resolver una ecuación hay que
despejar la incógnita.
• Para resolver una ecuación hay que transformarla en otra equivalente a ella, más sencilla,
de manera que encontrar su solución sea fácil.
• Las transformaciones que pueden hacerse en una ecuación son dos:
1. Sumar el mismo número (la misma cosa) a los dos miembros de la igualdad. Lo que se
pretende con esta transformación es cambiar los términos de un lado al otro de la
igualdad. Esto se llama transposición de términos.
2. Multiplicar (o dividir) por un mismo número los dos miembros de la igualdad. Lo que
se pretende con esta transformación es quitar los denominadores de la ecuación.
Ejemplos: a) La ecuación 732 +=− xx puede trasformarse como sigue:
→ Se suma 3 a cada miembro → 732 +=− xx ⇔ 37332 ++=+− xx ⇒ 102 += xx
→ Se resta x a cada miembro → xxxx −+=− 102 ⇔ 10=x .
Así se consigue despejar la x; esto es, determinar su solución. En este caso, 10=x
b) La ecuación 15
2=
−x se transforma así:
→ Se multiplica por 5 cada miembro ⇒ 5·15·5
2=
−x ⇔ 52 =−x
→ Se suma 2 a cada miembro → 2522 +=+−x → 7=x
La solución de la ecuación es 7=x .
18
Mat 2º ESO
Resolución de ecuaciones de primer grado: transposición de términos
1. Ecuación x + a = b . Se resuelve restando a a ambos miembros. Queda: x = b − a .Ejemplos: a) 85 =+x → restando 5 se tiene: 58 −=x ⇒ 3=x .
b) 32 −=+x → restando 2 se tiene: 23 −−=x ⇒ 5−=x .
2. Ecuación x − a = b . Se resuelve sumando a a ambos miembros. Queda: x = b + a .Ejemplos: a) 63 =−x → sumando 3 se tiene: 936 =+=x . La solución es 9=x .
b) 04 =−x → sumando 4 se tiene: 440 =+=x . La solución es 4=x .
Observa:
Lo que está restando en un miembro, pasa sumando al otro miembro: bax =+ ⇒ abx −= .
Lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro: bax =− ⇒ abx += .
3. Ecuación ax = b . Se resuelve dividiendo por a ambos miembros. Queda:a
bx = .
Ejemplos: a) 342 =x → dividiendo por 2 se tiene: 172
34==x . La solución es. 17=x .
b) 32 −=x → dividiendo por 2 se tiene: 5,12
3−=
−=x . La solución es 5,1−=x
4. Ecuacióna
x = b . Se resuelve multiplicando por a ambos miembros. Queda: x = ab .
Ejemplos: a) 23
=x
→ multiplicando por 3 se tiene: 63·2 ==x . La solución es 6=x .
b) 15
−=x
→ multiplicando por 5 se tiene: 55·1 −=−=x . La solución es 5−=x
Observa:
Lo que está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro miembro; y lo que está
dividiendo, pasa multiplicando. Esto es: bax = ⇒ a
bx = ; b
a
x= ⇒ abx = .
Resolución de ecuaciones de primer grado: caso general
Se pueden resolver aplicando los pasos siguientes: 1. Si hay paréntesis, se resuelven. Hay que tener en cuenta las reglas de los signos.
2. Si hay denominadores, se quitan. Para quitarlos hay que multiplicar todos los términos
por el m.c.m. de los denominadores.
3. Se pasan (transponen) las x a un miembro y los números al otro miembro: lo que está
sumando, pasa restando; lo que está restando, pasa sumando. Se agrupan: se suman.
4. Se despeja la x: lo que multiplica a la x pasa dividiendo al otro miembro; lo que divide
a la x, pasa multiplicando al otro miembro.
Ejemplos:
a) xxxx ++−=+− 764253 ⇒ 574623 ++=−++ xxxx ⇒ 1610 =x ⇒ 6,110
16==x
b) ( ) xxx 9145243 −=−−− ⇒ xxx 9145243 −=+−− ⇒ 5314924 −−=+−− xxx ⇒
63 =x ⇒ 32
6==x .
19
Mat 2º ESO
Tema 6. (II) Ecuaciones de segundo grado Resumen
Ecuaciones de segundo grado
La ecuación en la forma estándar (ordenada) es de la forma ax2
+ bx + c = 0 (donde a, b y c
son números reales, con a ≠ 0).
Ejemplos:
Son ecuaciones de segundo grado:
a) 0642 2=−+ xx b) 0442
=++ xx c) 0642=+− xx
• Sus soluciones se hallan aplicando la fórmula:a
acbbx
2
42−±−
= .
Ejemplos:
Las soluciones de las ecuaciones anteriores son:
a) 0642 2=−+ xx ⇒
4
48164
2·2
)6·(2·444 2+±−
=
−−±−
=x =4
84
4
644 ±−=
±−
Por tanto: 34
12
4
841 −=
−=
−−=x y 1
4
4
4
842 ==
+−=x . Las soluciones son: x1 = −3 y x2 = 1.
b) 0442=++ xx ⇒ 2
2
4
2
16164
2
4·1·444 2
−=−
=−±−
=−±−
=x . Sólo tiene una
solución, x = −2.
c) 0642=+− xx ⇒
2
84
2
24164
2
6·1·4)4(4 2−±−
=−±−
=
−−±+
=x ⇒ No tiene
solución, pues la raíz de un número negativo no existe.
Ecuaciones incompletas de segundo grado
Son de la forma:
(1) 02=+ cax , b = 0 (2) 02
=+ bxax , c = 0
Ejemplos:
Son ecuaciones incompletas de segundo grado:
a) 092=−x b) 0322 2
=−x c) 042=− xx d) 063 2
=+ xx
• Para hallar las soluciones de una ecuación incompleta no es preciso recurrir a la fórmula
anterior (aunque pueden resolverse aplicándola).
Ejemplos: Las soluciones de las ecuaciones anteriores son:
a) 092=−x ⇒ 92
=x → (haciendo la raíz cuadrada) ⇒ 39 ±==x .
Las soluciones son x1 = −3 y x2 = 3.
b) 0322 2=−x ⇒ 322 2
=x ⇒ 162=x ⇒ 416 ±==x . Soluciones: x1 = −4 y x2 = 4.
c) 042=− xx → (sacando factor común) ⇒ 0)4( =−xx ⇒ 0=x o 04 =−x ⇒ 4=x .
Las soluciones son x1 = 0 y x2 = 4. (Recuerda: para que un producto valga 0, alguno de sus
factores debe valer 0. En la igualdad anterior, los factores son x y x − 4.)
d) 063 2=+ xx → (sacando factor común) ⇒ 0)2(3 =+xx ⇒ 03 =x ⇒ x = 0 o 02 =+x ⇒
2−=x . Las soluciones son x1 = 0 y x2 = −2.
20
Mat 2º ESO
Tema 7. Sistemas de ecuaciones lineales Resumen
Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Son expresiones de la forma ax + by = c . Las incógnitas son x e y, mientras que a, b y c son números.
• La solución de estas ecuaciones son pares de valores (uno para x y otro para y) que
cumplen la ecuación.
Ejemplos: a) 824 =− yx . El par x = 3 e y = 2 es solución, pues
4 · 3 − 2 · 2 = 8. También es solución el par x = 1 e y = −2. El par
x = 5 e y = 3 no es solución de esa ecuación, pues 4 · 5 − 2 · 3 =
14 ≠ 8.
b) La ecuación 13 =+ yx tiene por soluciones x = 2 e y = −5; x =
1 e y = −2, e infinitos pares más. El par x = 1 e y = 2 no es
solución de ella.
• Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitos pares de
soluciones. Esos pares se corresponden con los puntos de una
recta.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Su forma más simple es
′′′ c=yb+xa
c=by+ax.
• La solución de un sistema es el par de valores de x e y que cumple las dos ecuaciones a la vez.
Ejemplo: Las dos ecuaciones del ejemplo anterior determinan el sistema
=+
=−
13
824
yx
yx. Su
solución es x = 1 e y = −2, ya que ese par es solución de cada una de las ecuaciones.
• Como puede verse, los valores solución, x = 1 e y = −2, se corresponden con las
coordenadas del punto (1, −2), que es el de corte de las rectas asociadas a cada una de las
ecuaciones.
• Hay varios métodos de resolución: sustitución, igualación, reducción.
Sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y su valor se sustituye en la
otra ecuación. Se obtiene una nueva ecuación, cuya solución permite hallar la del sistema.
Ejemplo: Para resolver el sistema
=+
=−
13
824
yx
yx:
1º. Se despeja y en la segunda ecuación ( xy 31−= ).
2º. Se lleva (se sustituye) su valor a la primera ecuación: ( ) 83124 =−− xx .
3º. Se resuelve la nueva ecuación: ( ) 83124 =−− xx ⇒ 8624 =+− xx ⇒ 1010 =x ⇒ 1=x .
4º. El valor x = 1 se lleva a la ecuación despejada: 21·31 −=−=y .
La solución del sistema es: x = 1 e y = −2.
Igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Igualando ambas incógnitas
se obtiene otra ecuación. La solución de esta nueva ecuación permite hallar la solución del
sistema.
21
Mat 2º ESO
Ejemplo: En el mismo sistema
=+
=−
13
824
yx
yx, puede despejarse la incógnita y en las dos
ecuaciones. Se obtiene:
−=
=−
xy
yx
31
284 ⇔
−=
=−
xy
yx
31
42.
Igualando: xx 3142 −=− ⇒ 55 =x ⇒ 1=x .
El valor x = 1 se lleva a la cualquiera de las ecuaciones: 21·31 −=−=y .
La solución del sistema es: x = 1 e y = −2.
Reducción: Se multiplica cada ecuación por un número distinto de 0, con el fin de que los
coeficientes de una de las incógnitas sean iguales (u opuestos). Restando (o sumando) ambas
ecuaciones se obtiene una nueva ecuación cuya solución permite hallar la del sistema.
Ejemplo: En el sistema
=+
=−
13
824
yx
yx, si se multiplica la segunda ecuación por 2, queda:
=+
=−
226
824
yx
yx. Sumando ambas ecuaciones, término a término, se obtiene 1010 =x ⇒ 1=x .
Ese valor x = 1 se sustituye en cualquiera de las ecuaciones; se obtiene y = −2.
Observación: Los sistemas que no tiene solución se llaman incompatibles.
Resolución de problemas con ayuda de sistemas: llámale x; llámale y.
La aplicación de sistemas es necesaria cuando en un problema hay dos incógnitas. A una de
esas incógnitas se le llama x, a la otra y.
Para resolver un problema, debes:
1.º Leer detenidamente el problema: saber qué datos te dan y lo que te piden encontrar.
2.º Descubrir las relaciones entre los datos y las incógnitas. Escribir esas relaciones en forma
de igualdad. Con las ecuaciones halladas se forma un sistema.
3.º Resolver ese sistema.
4.º Comprobar que la solución obtenida es correcta.
Ejemplo: En una granja, entre gallinas y conejos hay 72 cabezas y 184 patas. ¿Cuántos animales
hay de cada clase?
Se desconoce el número de gallinas y el número de conejos. Si se llama x al número de gallinas,
e y al de conejos, debe cumplirse: 72=+ yx → gallinas + conejos = 72.
Cada gallinas tiene 2 patas ⇒ entre las x gallinas tendrán 2x patas.
Cada conejo tiene 4 patas ⇒ entre los y conejos tendrán 4y patas.
En total hay 184 patas: 18442 =+ yx .
Se obtiene el sistema:
=+
=+
18442
72
yx
yx.
Multiplicando por 4 la primera ecuación se tiene:
=+
=+
18442
28844
yx
yx⇒ (restando)
⇒ 1042 =x ⇒ x = 52 → (sustituyendo x = 52 en la primera ecuación) → y = 20.
Por tanto, en la granja hay 52 gallinas y 20 conejos.
• Comprobación:
Número de cabezas: 52 + 20 = 72 → de acuerdo con el enunciado.
Número de patas: 52 · 2 + 20 · 4 = 104 + 80 = 184 → de acuerdo con el enunciado.
22
2º de ESO
Tema 8. (I) Proporcionalidad Resumen
La razón de dos números a y b es la fracción b
a. (Es su cociente, en el orden que dice.)
Ejemplo: Si en una clase hay 3 chicas por cada 2 chicos, la razón correspondiente,
chicas−chicos, es 2
3. La razón chicos−chicas es
3
2.
Una proporción es la igualdad de dos razones. Esto es, una igualdad de la forma d
c
b
a= .
Esa igualdad indica que las cantidades a y c son directamente proporcionales a las cantidades
b y d, respectivamente. Puede leerse así: “a es a b como c es a d”.
• Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre las magnitudescorrespondientes es la misma.
Ejemplo: Las magnitudes A y B, dadas en la tabla
adjunta, son directamente proporcionales. Por tanto,
todas las razones que se forman son iguales; esto es:
k
x
y
1
60
30
30
20
21
14
3
2=====
Propiedad: En una proporción, el producto de los extremos (a y d) es igual al producto de
los medios (b y c). Esto es: a·d = b·c . • Esta propiedad permite encontrar el valor desconocido de uno cualquiera de los cuatro
términos de la proporción, conocidos los otros tres.
Ejemplos: a) De y
30
3
2= ⇒ 30·3·2 =y ⇒ 45
2
90
2
30·3===y .
b) En un frutero hay peras y manzanas. La razón peras−manzanas es de 3 a 4. ¿Si hay 12
manzanas, cuántas peras habrá?
La proporción que se obtiene es 124
3 x= ⇒ x·412·3 = ⇒ x436 = ⇒ x = 9.
Reducción a la unidad en la proporcionalidad directa: constante de proporcionalidad
En los problemas de proporcionalidad resulta útil saber cuánto vale B cuando A = 1. Ese valor
se halla dividiendo el valor de B por su correspondiente en A. (Dividiendo la razón dada.)
Ejemplo: En la Tabla 1 el valor de B cuando A = 1 es 3 : 2 = 1,5. Es el valor de k en la tabla,
que también puede obtenerse, por ejemplo, de la igualdad k
1
30
20= . Sea como sea, k = 1,5.
• Conociendo el valor de k, los valores de B se hallan multiplicando los de A por k.
• Conociendo el valor de k, los valores de A se hallan dividiendo los de B por k.
• El valor de k, para dos magnitudes proporcionales, es siempre el mismo, y se llama
constante de proporcionalidad.
Ejemplo: a) Para la Tabla 1, si A = 4 ⇒ B = 4 · 1,5 = 6; si A = 30 ⇒ B = 30 · 1,5 = 45.
b) En la misma Tabla 1, si B = 15 ⇒ A = 15 : 1,5 = 10; si B = 60 ⇒ A = 60 : 1,5 = 40.
Los problemas de regla de tres pueden resolverse:
• aplicando la propiedad de la igualdad de razones: cálculo del valor desconocido
• mediante la constante de proporcionalidad: reducción a la unidad.
Tabla 1. Directamente proporcionales
Magnitud A 2 14 20 30 x 1
Magnitud B 3 21 30 y 60 k
23
2º de ESO
Ejemplo: Si 15 vacas se comen 36 kg de pienso al día, ¿cuántos kg de pienso serán necesarios
para alimentar a 50 vacas diariamente?
Para resolverlo se hace el siguiente esquema:
Si 15 vacas → comen 36 kg
50 vacas → comerán x kg → Las proporciones asociadas a estos datos son:
x
36
50
15= , o bien:
x
50
36
15= . En ambos casos: 120
15
50·36==x kg.
• La solución mediante la reducción a la unidad consiste en determinar lo que come una vaca
al día, que es 4,215
36= kg. En consecuencia, 50 vacas comerán: 2,4 · 50 = 120 kg.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por
un número, la otra queda dividida por el mismo número; o cuando al dividir la primera por
un número, la segunda queda multiplicada por el mismo número.
Ejemplo: Las magnitudes A y B, dadas en la tabla
adjunta, son inversamente proporcionales
Como puede observarse, al multiplicar la magnitud A
(cuyo valor inicial es 2), por 2, por 4, …, la magnitud
B (de valor inicial 50) se divide por 2, por 4, …
.
Propiedad: si dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de las cantidades
correspondientes es constante: 5,2··20...10·105,12·825·450·2 xy ====== .
Esta propiedad permite encontrar la cantidad y, de B, correspondiente a cierta cantidad conocida
de A. Y al revés, la cantidad x de A, correspondiente a una cantidad conocida de B.
Ejemplo: Para las magnitudes dadas en la tabla, los valores desconocidos y y x se pueden
determinar fácilmente, ya que si y·2050·2 = , entonces y = 5; y si 5,2·50·2 x= , entonces x = 40.
Reducción a la unidad en la proporcionalidad inversa
Es el valor de k en la Tabla 2, que puede obtenerse de la igualdad 2·50 = 1·k ⇒ k = 100. (Es el valor de B correspondiente al valor de A = 1.)
• Conociendo la constante k, los valores de B se hallan dividiendo k entre los valores de A.
• Conociendo la constante k, los valores de A se hallan dividiendo k entre los valores de B.
Ejemplo: a) Para la Tabla 2, si A = 2 ⇒ B = 100 : 2 = 50; si A = 20 ⇒ B = 100 : 20 = 5.
b) Para la Tabla 2, si B = 10 ⇒ A = 100 : 10 = 10; si B = 8 ⇒ A = 100 : 8 = 12,5.
Los problemas de regla de tres inversa pueden resolverse:
• aplicando la propiedad de los productos.
• mediante la constante de proporcionalidad: reducción a la unidad.
Ejemplo: Si 2 pintores encalan una pared en 20 horas, ¿cuántas horas tardarían en encalarla
entre 5 pintores?
Para resolverlo se hace el siguiente esquema:
Si 2 pintores → tardan 20 h
5 pintores → tardarán x h ⇒ 2 · 20 = 5 · x ⇒ 40 = 5 · x ⇒ 5
40=x = 8 h
• La solución mediante la reducción a la unidad consiste en determinar el tiempo que
tardaría un solo pintor. Ese tiempo sería de 40 horas → 2 · 20 = 28; el doble que si lo hacen
entre dos. En consecuencia, entre 5 pintores emplearían 85
40= horas.
Tabla 2. Inversamente proporcionales
Magnitud A 2 4 8 20 x 1
Magnitud B 50 25 12,5 y 2,5 k
24
2º de ESO
Tema 8. (II) Porcentajes Resumen
Un porcentaje se puede estudiar como una razón: es una fracción con denominador 100.
Ejemplo: Un 16 por ciento (16 %), es la razón 100
16.
Los problemas de porcentajes son problemas de fracciones.
Ejemplo: El 16 % de 1200 = la fracción 100
16 de 1200 =
100
16· 1200 = 0,16 · 1200 = 192.
Un porcentaje puede calcularse multiplicando por el número decimal asociado.
Ejemplo: El número decimal asociado al 16 % es 100
16 = 0,16. Por tanto, para hallar el 16 %
de cualquier cantidad se multiplicará esa cantidad por 0,16.
Así 16 % de 1200 = 1200 · 0,16 = 192.
Los problemas de porcentajes son problemas de proporciones (de reglas de tres).
En general, los problemas de porcentajes tratan de encontrar algún término desconocido de la
proporción d
c
b
a= . Los cuatro términos de la proporción serán, no necesariamente en este
orden: (1) el %; (2) 100; (3) la parte (el tanto por cien correspondiente); (4) la cantidad total.
Ejemplo: El 16 % de 1200 se calcula resolviendo la proporción: 1200100
16 x= ⇒ x = 192.
La regla de tres asociada es:
Si a 100 → 16
a 1200 → x ⇒ 1200100
16 x= ⇒ 192
100
1200·16==x €
Cálculo del total conocidos el % y la parte correspondiente.
Ejemplo: Juan ha realizado ya el 30 % de un encargo, para lo que ha empleado 18 horas.
¿Cuántas horas totales necesita ese encargo para que lo realice Juan?
La regla de tres es:
Si el 30 % → son 18 h
el 100 % → serán x ⇒ x
18
100
30= ⇒ 60
30
100·18==x horas
Cálculo del porcentaje conocidos el total y la parte correspondiente a ese porcentaje.
Ejemplo 1: De una deuda de 2500 € se han pagado 800 €. ¿Qué porcentaje se ha pagado? La regla de tres es:
Si de 2500 → se han pagado 800
de 100 → se ha pagado x ⇒ x
800
100
2500= ⇒ 32
2500
100·800==x %
Ejemplo: Un ordenador portátil que valía 280 € se vende en rebajas por 238 €. ¿Qué
porcentaje se ha rebajado?
La regla de tres es:
Si de 280 → rebajan 42 → (280 − 238 = 42)
de 100 → rebajarán x ⇒x
42
100
280= ⇒ 15
280
100·42==x %
25
2º de ESO
Aumentos porcentuales
Cuando a una cantidad inicial se le añade un tanto por ciento de la misma cantidad, se habla
de aumentos porcentuales. (Es lo propio de las subidas de precios.)
Ejemplo: Si el precio de los libros de texto ha aumentado, del año pasado a este, el 12 %,
¿cuánto valdrá este año lo que valía 230 € el pasado?
La cantidad que aumenta es el 12 % de 230 = 0,12 · 230 = 27,6 €.
El precio que debe pagarse es lo que valía + el aumento. Esto es: 230 € + 27,6 € = 257,6 €.
Calculo directo de aumentos porcentuales
1. Para aumentar un porcentaje a una cantidad se multiplica esa cantidad por 100
1porcentaje
+ .
Ejemplo: Si el precio de los libros de texto ha aumentado del año pasado a este el 12 %,
¿cuánto valdrá este año lo que valía 230 € el pasado?
La cantidad a pagar será: 6,25712,1·230)12,01·(230 ==+ €.
2. Para aumentar un porcentaje a una cantidad se puede hacer una regla de tres directa,
teniendo en cuenta que a 100 le corresponde 100 + porcentaje.
Ejemplo: Si el precio de un juego de ordenador ha aumentado, del año pasado a este, un 7 %,
¿cuánto valdrá este año si el pasado costaba 32 €?
El planteamiento es:
Si a 100 € → 107 € (eso es lo que supone un aumento del 7 %)
a 32 € → x € ⇒ 100 · x = 107 · 32 ⇒ 24,34100
32·107==x €
Sugerencia. Alterna el método de solución en estos dos ejemplos y comprueba que el
resultado el mismo.
Disminuciones porcentuales
Cuando a una cantidad inicial se le quita un tanto por ciento de la misma cantidad, se habla de
disminuciones porcentuales. (Es lo propio de las rebajas de precios.)
Ejemplo: Si el precio de un teléfono móvil se ha rebajado un 20 % ¿cuánto costará si antes de
las rebajas costaba 45 €?
La cantidad rebajada es el 20 % de 45 = 0,20 · 45 = 9 €.
El precio que debe pagarse es lo que valía menos la rebaja. Esto es: 45 − 9 = 36 €.
Calculo directo de aumentos porcentuales
1. Para disminuir un porcentaje a una cantidad se multiplica esa cantidad por 100
1porcentaje
− .
Ejemplo: Si el precio de un teléfono móvil se ha rebajado un 20 % ¿cuánto costará si antes de
las rebajas costaba 45 €?
La cantidad a pagar será: 3680,0·45)20,01·(45 ==− €.
2. Para disminuir un porcentaje a una cantidad se puede hacer una regla de tres directa,
teniendo en cuenta que a 100 le corresponde 100 − porcentaje.
Ejemplo: Si el precio de un juego de ordenador se ha rebajado (disminuido) un 8 %, ¿cuánto
valdrá si antes de la rebaja valía 48 €?
El planteamiento es:
Si a 100 € → 92 € (eso es lo que supone una rebaja del 8 %)
a 48 € → x € ⇒ 100 · x = 92 · 48 ⇒ 16,44100
48·92==x €
26
Funciones IES Complutense
Tema 9. Funciones Resumen
Una función es una relación entre dos conjuntos definida de tal manera que a cada elementodel primer conjunto le corresponde exactamente otro elemento (uno y sólo uno) del segundo conjunto. En una función intervienen dos variables, una independiente y otra dependiente. Laindependiente suele designarse por la letra x; la dependiente suele llamarse y. Si el par (x, y) pertenece a la función f, se dice que )(xfy . Puede indicarse así: x → )(xfy . El elemento y es la imagen de x mediante f. El conjunto de valores que puede tomar x (la variable independiente) es el conjunto dominio. El conjunto de valores que toma y (la variable independiente) se llama recorrido o imagen.
Ejemplos: a) La relación “a cada número natural le corresponde su siguiente” es una función. Estafunción asocia, por ejemplo, a 2 → 3; a 9 → 10. En general, a n → n + 1. Esta relación es una función porque para todo número natural siempre existe el siguiente y es único. Su dominio es {0, 1, 2, 3,…}; su imagen {1, 2, 3, 4,…}. El 0 no es de la imagen, pues no es el siguiente de ningún número natural. b) La relación “a cada fracción se le asocia otra equivalente a ella” no es una función, pues laimagen no es única; así, por ejemplo, a 2/3 → 4/6 o 20/30, o infinitas más.
Modos de dar una función Una función puede darse mediante una tabla, una gráfica, una fórmula o un enunciado.
Ejemplo: El enunciado “a cada número real le corresponde su triple” puede expresarse por la fórmula
xxf 3)( . Así, para: x = 0 → 0)0( f : par (0,0); para x = 1 → 3)1( f : par (1, 3); etc. Los pares de elementos relacionados suelen darse con ayuda de una tabla. En este caso:
Representando en el plano cartesiano esos pares (puntos (0, 0), (1, 3), (2, 6) …) y uniéndolos mediante una línea continua se obtiene la gráfica de dicha función.
En el eje horizontal, el de abscisas, se representa la variable independiente; en el vertical, de ordenadas, la variable dependiente.
Cuando una función se da mediante una gráfica todos lospuntos de esa línea corresponden a pares de números relacionados entre sí por la función. Para cada punto (x0, y0) de la gráfica, y0 es la imagen de x0; esto es, )( 00 xfy . En la figura adjunta, 5,1)1( f y 1)5( f .
x 0 1 2 3 4 ... f(x) 0 3 6 9 12 …
27
Funciones IES Complutense
Algunas características de las funciones Simetría respecto del eje OY. Una función es simétrica respectodel eje OY cuando para cualquier valor x de su dominio se cumple que )()( xfxf . Simetría respecto del origen O. Una función es simétricarespecto del origen cuando para cualquier valor x de su dominio se cumple que )()( xfxf .
Una función es periódica si hay algún número k tal que)()( xfkxf para todo x. Esto significa que su gráfica se repite
cada k unidades.
Una función es continua en un intervalo cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz delpapel: su gráfica no presenta saltos. Así, las tres funciones de arriba son continuas. Los puntos en los que la gráfica de la función efectúa un salto se llaman puntos dediscontinuidad. Ejemplo: La función que da el coste de un parking dependiendo del tiempo de permanencia de un coche viene dada por la gráfica adjunta. En este caso el coste es de 1 € por hora o fracción. Esta función es discontinua, da un salto, al cumplirse la primera hora, la segunda,…
Una función es creciente en un intervalo cuando toma cada vez valoresmayores; esto es, cuando )()( hafaf para a y a + h puntos del intervalo y h > 0. (Al trasladarse la x hacia la derecha, la función sube.) Una función es decreciente en un intervalo cuando toma cada vez valoresmenores; esto es, cuando )()( hafaf para a y a + h puntos del intervalo y h > 0. (Al trasladarse la x hacia la derecha, la función baja.) Una función tiene un máximo relativo en el punto x1 cuando )( 1xf es mayor que la imagen de cualquier punto próximo a x1. (La función es creciente a la izquierda de x1 y decreciente a su derecha.) Una función tiene un mínimo relativo en el punto x2 cuando )( 2xf es menor que la imagen de cualquier punto próximo a x2. (La función es decreciente a la izquierda de x2 y creciente a su derecha.)
Ejemplo: La función dada por la gráfica adjunta: es creciente en los intervalos (1, 2) y (4, 6); es decreciente en los intervalos (0, 1), (2, 4) y (6, 7). Tiene máximos en los puntos x = 2 y x = 6; y mínimos en x = 1 y x = 4.
28
Funciones IES Complutense
Tema 9. Funciones lineales Resumen
Las funciones lineales son de la forma nmxy += .
Su representación gráfica es una recta. Para trazarla basta con determinar dos de sus puntos.
• El coeficiente m se llama pendiente, y mide lo que varía la y por
cada aumento unitario de x.
Si m > 0, la pendiente de la recta es positiva (recta creciente). Por
cada aumento de x en una unidad, la y crece m unidades.
Si m < 0, la pendiente de la recta es negativa (recta decreciente).
Por cada aumento de x en una unidad, la y decrece m unidades.
• Al número n se le llama ordenada en el origen: indica el valor de
y cuando x vale 0.
• Si n = 0 la función, que es mxy = , se llama de proporcionalidad directa, pues expresa que
x e y son magnitudes directamente proporcionales, con razón de proporcionalidad m: mx
y= .
Ejemplos:
a) La función 12 += xy es una recta de pendiente m = 2 y ordenada en el
origen 1=n . Para representarla basta con conocer dos de sus puntos:
para x = 0, y = 1, punto (0, 1); para x = 1, y = 3, punto (1, 3).
b) La función 12
1−= xy es una recta de pendiente
2
1=m y ordenada en el
origen 1−=n . Para representarla basta con conocer dos de sus puntos:
para x = 0, y = −1, punto (0, −1); para x = 2, y = 0, punto (2, 0).
c) Las funciones xy 3= , xy = , xy4
1= e xy 2−= son rectas que pasan
por el origen de coordenadas, punto O(0, 0).
• Dos rectas que tienen la misma pendiente son paralelas.
Ejemplo: las rectas 23 += xy , xy 3= e 33 −= xy son paralelas.
• El punto de corte de dos rectas viene dado por la solución del sistema
que determinan.
Ejemplos:
El punto de corte de las rectas 33 −= xy e 12 +−= xy viene dado por
la solución del sistema
+−=
−=
12
33
xy
xy. Este sistema se resuelve por
igualación: se obtiene 5
4=x e
5
3−=y . El punto de corte es
−
5
3 ,
5
4P .
Rectas paralelas a los ejes cartesianos
• La ecuación de las rectas paralelas al eje horizontal OX (de
abscisas) es y = k.
• La ecuación de las rectas paralelas al eje vertical OY (de
ordenadas) es x = k.
Las rectas verticales, paralelas al eje OY, no son funciones, pues
para un valor de x no le corresponde un único valor de y.
29
Estadística Descriptiva (2º de ESO) IES. Complutense
Ylenia Megías 1
TEMA 10: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (I)1. Conceptos básicos.
La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en
una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y
analizándolos para sacar conclusiones de dicha población.
Según se haga el estudio sobre todos los elementos de la población o sobre un grupo de ella, vamos a
diferenciar dos tipos de Estadística:
Estadística descriptiva. Realiza el estudio sobre la población completa, observando una característica de la
misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la población.
Estadística inferencial. Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población llamado
muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población.
En cualquier estudio estadístico aparecerán los conceptos: individuo, cada uno de los elementos, personas u
objetos que se van a estudiar; población, que es el conjunto formado por todos los elementos a los que les
vamos a hacer el estudio; muestra, el subconjunto de la población que elegimos para hacer un estudio más
reducido.
2. Variables estadísticas.
Al hacer un estudio de una determinada población, observamos una característica o propiedad de sus
elementos o individuos. Por ejemplo, con los alumnos y alumnas de nuestra clase, podemos estudiar el lugar
de residencia, el número de hermanos, la estatura, etc. Cada una de estas características estudiadas se llama
variable estadística. Aunque este es el concepto que vamos a utilizar, también reciben el nombre de
carácter estadístico.
Dependiendo de la característica podemos distinguir varios tipos de variables:
Variable cualitativa. Es aquella característica que no podemos expresar con números y hay que expresarla
con palabras. Por ejemplo, el lugar de residencia.
Variable cuantitativa. Es cualquier característica que se puede expresar con números. Por ejemplo, el
número de hermanos o la estatura. Dentro de esta variable podemos distinguir dos tipos:
Variable cuantitativa discreta. Es aquella variable que puede tomar únicamente un número finito de
valores. Por ejemplo, el número de hermanos.
Variable cuantitativa continua. Es aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo
real. Por ejemplo, la estatura.
3. Tablas de frecuencias
Para hacer un estudio estadístico de una característica de una población, necesitamos elegir dicha
característica y después hacer un recuento. Una vez que hemos realizado el recuento, hay que organizar los
datos y expresarlos de forma simplificada para que su interpretación sea fácil y rápida. Esto se hace
disponiendo los datos por columnas o filas formando lo que llamamos una tabla estadística o tabla de
frecuencias. Las tablas de frecuencias suelen incluir.
Frecuencia absoluta. Es el número de veces que aparece cualquier valor de la variable. Se representa por fi.
30
Estadística Descriptiva (2º de ESO) IES. Complutense
Ylenia Megías 2
Frecuencia absoluta acumulada. Es la suma de la frecuencia absoluta de un valor de la variable con todos
los anteriores. Se representa por Fi.
Frecuencia relativa. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de datos (N). Se representa por
hi. Al multiplicarla por 100 obtenemos el porcentaje de individuos que presentan esta característica.
Frecuencia relativa acumulada. Es la suma de la frecuencia relativa de un valor de la variable con todos los
anteriores. También se puede definir como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número
total de datos. Se representa por Hi.
Cuando la variedad de datos sea muy elevada podemos ordenar los datos en una tabla de frecuencias con
los datos agrupados.
Ejemplo 1: La siguiente tabla muestra el número de mensajes cortos recibidos en los teléfonos móviles de 40
personas:
xi fi hi Fi Hi
0 5 0,125 5 0,125
1 12 0,30 17 0,425
2 17 0’425 34 0,85
3 6 0,15 40 1
Totales 40 1
Ejemplo 2: La siguiente tabla representa las edades de 30 asistentes a un concierto de música. Como se trata
de una tabla con datos agrupados, xi es la marca de clase (punto medio del intervalo).
Intervalos xi fi hi Fi Hi
[15, 19) 17 5 0,167 5 0,167
[19, 23) 21 12 0,4 17 0,567
[23, 27) 25 10 0,333 27 0,9
[27, 31) 29 3 0,1 30 1
Totales 30 1
4. Gráficos estadísticos.
Una vez construida la tabla de frecuencias, vamos a representar mediante distintos gráficos el estudio
realizado. Entre los gráficos más utilizado podemos destacar:
Diagrama de barras o rectángulos. Consiste en dos ejes perpendiculares y una barra o rectángulo para cada
valor de la variable. Normalmente, se suele colocar en el eje horizontal los valores de la variable (aunque
también se puede hacer en el vertical). El otro eje se gradúa según los valores de las frecuencias. La
representación gráfica consiste en dibujar una barra o un rectángulo para cada uno de los valores de la
variable de altura igual a su frecuencia.
Ejemplo:
31
Estadística Descriptiva (2º de ESO) IES. Complutense
Ylenia Megías 3
Histograma de frecuencias. Es un caso particular del diagrama anterior en el caso de variables continuas. Si
los intervalos son correlativos, los rectángulos aparecen pegados en la representación gráfica. En caso de que
la amplitud de los intervalos no se igual para todos, hay que hacer coincidir el área del rectángulo con la
frecuencia del intervalo.
Ejemplo:
Polígono de frecuencias. Representamos dos ejes perpendiculares y representamos en el horizontal los
valores de la variable y en el vertical las frecuencias. Representamos los puntos que tiene por primera
coordenada el valor de la variable y por segunda el valor de la frecuencia. Uniendo todos los puntos
obtenemos una línea poligonal que es la representación que buscamos.
Diagrama de sectores. Consiste en dividir un círculo en tantos sectores como valores de la variable. La
amplitud de cada sector debe ser proporcional a la frecuencia del valor correspondiente.
Ejemplo:
32
Estadística Descriptiva (2º de ESO) IES. Complutense
Ylenia Megías 1
TEMA 10: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (III)
5. Parámetros estadísticos.
Parámetros estadísticos. Son datos que resumen el estudio realizado en la población.
5.1. Parámetros de centralización.
Son datos que representan de forma global a toda la población.
Media aritmética. Se define la media aritmética como la suma de todos los datos dividida por el
número de datos. Se representa por .
Moda. Se define la moda como el valor de la variable que más se repite, es el decir, aquél que tiene
mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo.
Mediana. Si ordenamos todos los valores de la variable de menor a mayor, se define la mediana
como el valor de la variable que está en el centro. Se representa por Me.
5.2. Parámetros de dispersión.
Son datos que informan de la concentración o dispersión de los datos respecto de los parámetros de
centralización.
Varianza. Es la media de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a la media aritmética.
Desviación típica. Se define la desviación típica como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
6. Estudio conjunto de la media y desviación típica.
Coeficiente de variación. Si hemos realizado un estudio estadístico en dos poblaciones diferentes,
y queremos comparar resultados, no podemos acudir a la desviación típica para ver la mayor o
menor homogeneidad de los datos, sino a otro parámetro nuevo, llamado coeficiente de variación y
que se define como el cociente entre la desviación típica y la media.
33
Álgebra IES Complutense
Tema 10. Probabilidad Resumen
Experimentos aleatorios
Un experimento es aleatorio cuando no se puede predecir lo que va a ocurrir.
Los experimentos deterministas son aquellos en los que se puede predecir lo
que va a ocurrir.
Ejemplos:
a) Es aleatorio cualquier juego de azar: el lanzamiento de una moneda, de un
dado o la extracción de una carta en una baraja; la lotería...
b) Es determinista averiguar el tiempo que tarda una pelota lanzada desde
una altura de 10 metros en llegar al suelo; o con qué velocidad impactará.
• En general, los experimentos aleatorios poseen dos rasgos característicos:
1. El resultado, de cada prueba del experimento, puede ser diferente.
2. Si se repite el experimento calculando las frecuencias relativas de cada uno
de los resultados posibles, dichas frecuencias tienden a estabilizar su valor hacia un número fijo,
que se llama probabilidad.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados que pueden obtenerse al realizar un experimento aleatorio.
Suele denotarse por la letra E.
• Un suceso es todo subconjunto de E. Si un suceso está determinado por un solo resultado se
llama elemental; si está determinado por varios, se llama compuesto. Los sucesos suelen
denotarse por letras mayúsculas A, B, C...
• Se dice que ha ocurrido un suceso cuando al realizar el experimento se obtiene alguno de los
sucesos elementales que lo forman.
Ejemplos: Al lanzar un dado con las caras numeradas, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cada
cara del dado es un suceso elemental; los sucesos: {1}, {2}, {3},{4}, {5} y {6}.
Otros sucesos serían:
A = “Sacar un número par” = {2, 4, 6}; B = “Obtener un número primo” = {2, 3, 5}.
Otros sucesos con nombre propio
Suceso Imposible. Se llama así al que nunca puede ocurrir. Su probabilidad es 0.
Ejemplo: Obtener un número negativo al lanzar un dado.
Suceso Seguro. Se llama así al suceso que siempre va a ocurrir. Su probabilidad es 1.
Ejemplo: Sacar alguno de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6 al lanzar un dado.
Suceso Contrario o Complementario de A. Es el formado por los
elementos del espacio muestral que no están en A (que no son de A).
Lo simbolizaremos por AC o A .
Ejemplos:
a) Si de una baraja española se extrae una carta, los sucesos pueden ser
“oros”, “copas”, “espadas” y “bastos”. Si B = “sacar bastos”, su complementario, BC = “no
sacar bastos” = “sacar oros, copas o espadas”.
b) Al lanzar un dado numerado del 1 al 6 es imposible que salga un 2,5; pero es seguro que
saldrá alguno de los números {1, 2, 3, 4, 5 o 6}, que es el espacio muestral.
c) Si se considera el suceso A = {1, 2}, su contrario es AC = {3, 4, 5, 6}.
34
Álgebra IES Complutense
Unión de dos sucesos A y B. Es el suceso que está formado por los
elementos del espacio muestral que están en A o que están en B: en
alguno de los dos. Se simboliza por A ∪ B.
Ejemplo:
Si se lanza un dado, y A = {2, 4, 6}y B ={2, 3, 5}, su unión A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}.
Con palabras: A = “sacar par”, B = “sacar número primo” → A ∪ B = “sacar par o primo”.
Intersección de dos sucesos A y B. Es el suceso que está formado por
los elementos de A que están en B, es decir por los que son comunes a
ambos. Se simboliza por A ∩ B.
Ejemplo:
Para los sucesos A y B del ejemplo anterior, A ∩ B= {2} → “Sacar un
número par y primo”.
Probabilidad
La probabilidad, P(A), de un suceso A es un número que indica las posibilidades que tiene de
verificarse al realizar el experimento aleatorio. Cuando los sucesos elementales del experimento
aleatorio son equiprobables, la probabilidad del suceso A se calcula aplicando la regla de
Laplace, que dice:
posibles casos de Total
A a favorables casos de Número=P(A)
Ejemplo:
Si en una bolsa hay 4 rojas (R), 2 blancas (B) y 3 verdes (V), la probabilidad de extraer al azar
una bola roja, una bola blanca o una bola verde es: 9
4=P(R) ;
9
2=P(B) ;
9
3=P(V) .
Propiedades de la probabilidad:
1. Ese número está entre 0 y 1. Esto es, para cualquier suceso A:
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro E es 1:
P(E) = 1
3. Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Ejemplos:
En una baraja española de 40 cartas hay 10 de cada uno de los cuatro
palos: 10 oros, 10 copas, 10 espadas y 10 bastos. Además, en cada palo
hay 3 figuras: sota, caballo y rey; en total, 12 figuras.
Si se considera el experimento aleatorio extraer una carta y ver cuál es,
y se consideran los sucesos:
A = “la carta extraída es una figura”; B = “la carta extraída es un basto”.
Con esto, se tiene:
40
12=P(A) ;
40
10=P(B) ;
40
3=B)P(A ∩ (hay tres figuras de bastos)
Por tanto,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 40
19
40
3
40
10
40
12=−+
35
Mat 2º ESO
Tema 13. (I) Geometría. Teorema de Pitágoras Resumen
Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas
de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Esto es: 222bac +=
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 4, el lado c cumple que 2516943 222=+=+=c ⇒ 525 ==c
• Igualmente, si los lados, a, b y c, de un triángulo verifican la relación 222bac += , siendo
c el de mayor longitud, el triángulo es rectángulo.
Ejemplos:
a) El triángulo de lados 12, 9 y 8 no es rectángulo, pues 222 8912 +≠ , ya que
14564818914412 222=+=+≠= .
b) El triángulo de lados 17, 15 y 8 sí es rectángulo, pues 222 81517 += , ya que 222 8156422528917 +=+== .
• El teorema de Pitágoras permite conocer un lado desconocido de un triángulo rectángulo,
cuando se conocen los otros dos, pues:222
bac += ⇒ 222bca −= ⇒ 222
acb −=
22bac +=
22bca −=
22acb −=
Ejemplos:
a) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm, su
hipotenusa, c, cumple que:
2516943 222=+=+=c ⇒ c = 5.
b) Si la hipotenusa vale c = 8 cm y un cateto vale a = 6 cm, el otro cateto, b,
cumple:
( 222acb −= ) ⇒ 28366468 222
=−=−=b ⇒ 29,528 ≈=b .
Algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras
En muchas figuras geométricas (cuadrados, rectángulos, triángulos…), el
teorema de Pitágoras permite calcular diagonales, lados, alturas, apotemas… Para ello, en
todos los casos, hay que construir el triángulo rectángulo apropiado.
• En los cuadrados y en los rectángulos puede
hallarse la diagonal cuando se conocen los
lados.
En el cuadrado: lllld ·22222
==+= .
También podría hallarse el lado conociendo la diagonal.
En el rectángulo: 22
bad += .
También podría hallarse un lado conociendo la diagonal y el otro lado.
Ejemplos:
a) Si el lado de un cuadrado vale 6 cm, su diagonal es 48,87266 22≈=+=d .
b) Si la diagonal de una rectángulo mide 10 cm y su base mide 8 cm, entonces puede
calcularse su altura, y vale: 3664100810 222=−=−=a ⇒ 6=a cm.
36
Mat 2º ESO
• En un triángulo equilátero, para cualquier vértice, la altura divide al
triángulo en dos triángulos rectángulos de hipotenusa el lado del
triángulo y uno de sus catetos igual a la mitad del lado (de la base)..
Por tanto, la altura podría hallarse aplicando el teorema dePitágoras.
Esto es:
2
22
2
+=
lhl ⇒
4
3
4
2222 ll
lh =−= ⇒ 2
·3 lh = .
Por lo mismo, conociendo la altura puede calcularse la medida del lado.
Ejemplo: a) Si el lado de un triángulo equilátero mide 15 cm, su altura valdrá:
132
15·3≈=h cm.
b) Si la altura de un triángulo equilátero mide 4 cm, entonces:2
22
24
+=
ll ⇒
416
22 l
l += ⇒ 22 644 ll += ⇒ 643 2=l ⇒
3
642=l ⇒ 61,4
3
8
3
64≈==l
• En un triángulo isósceles la altura correspondiente al lado desigual
divide al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de
hipotenusa el lado del triángulo y uno de sus catetos igual a la mitad
del otro lado. Por tanto, conociendo los lados, la altura podría hallarseaplicando el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Si en el triángulo adjunto el lado l = 5 cm y la base b = 6 cm,
se cumple:
2
22
2
+=
bhl ⇒ 222 45 += h ⇒ 21625 h=− ⇒ 92
=h ⇒ 3=h .
• En los polígonos regulares pueden establecerse relaciones pitagóricas entre el lado delpolígono, su apotema y el radio de la circunferencia circunscrita.
Como puede observarse, se establece la relación:
2
22
2
+=
lar . Por tanto, conociendo dos
de las tres medidas puede obtenerse la otra.
37
Mat 2º ESO
Tema 14. (II) Geometría: Semejanza, teorema de Tales
Resumen
• Intuitivamente, puede decirse que dos figuras son semejantes
cuando tienen la misma forma, sin deformaciones: son iguales
salvo en su tamaño; una es más grande que otra. Lasampliaciones o reducciones fotográficas son semejantes.
• Matemáticamente, dos figuras son semejantes cuando las
medidas (las distancias) en una de ellas son proporcionales a
las correspondientes en la otra. El cociente de ambas medidasse llama razón de semejanza.
Que no haya deformaciones significa que los ángulos formados en una de ellas son iguales a
los correspondientes en la otra.
Ejemplos: a) La razón de semejanza entre las dos fotografía de la portada de la
catedral de Burgos es 0,5. Si se divide la medida de cualquier
distancia de la foto pequeña por su correspondiente en la otra, el
cociente es 0,5: (distancia de A´ a B´) / (distancia de A a B) = 0,5.
Igualmente, d(A´, C´) / d(A, C) = 0,5.
Los ángulos de vértice A y A´ son iguales.
b) Los planos, los mapas y las maquetas son representaciones
semejantes de sus correspondientes en la realidad. En todos los casos,
la razón de semejanza viene expresada por la escala. Así, un plano
hecho a escala 1 : 100 indica que 1 cm del plano equivale a 100 cm (1
metro) en la realidad; y al revés, cada metro de la realidad debe
representarse como 1 cm en el plano.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando tienen iguales los ángulos y proporcionales los lados
correspondientes.
Se cumple que:
´ˆˆ AA = ; ´ˆˆ BB = ; ´ˆˆ CC =
c
c
b
b
a
a ´´´==
Si dos triángulos son semejantes pueden superponerse un ángulo y los dos lados que lo
forman; los lados no comunes serían paralelos. Los triángulos puestos así se dicen que están
en posición de Tales.
38
Mat 2º ESO
Teorema de Tales
El teorema de Tales relaciona las longitudes de los segmentos
obtenidos al cortar un conjunto de rectas paralelas por dos rectas
cualesquiera. Se puede formular como sigue:
“Si se tiene un conjunto de rectas paralelas y son cortadas por
otras dos rectas, entonces, las medidas de los segmentos
determinados en una de las rectas secantes son proporcionales a
las medidas de los segmentos determinados en la otra.”
Por tanto: ´´´´´´ DC
CD
CB
BC
BA
AB==
También puede verse que los triángulos PAA´, PBB´, PCC´… son semejantes (están en
posición de Tales): tienen dos lados superpuestos y el tercero, paralelo. Luego, también se
cumple:
´´´ CC
PC
BB
PB
AA
PA==
• De otra manera. Toda paralela a un lado de un triángulo, ABC,
determina otro triángulo pequeño, A´B´C´, semejante al grande
(Los triángulos ABC y A´B´C´ están en posición de Tales.)
Ejemplos: a) Si dos triángulos son semejantes con razón de semejanza 2, y si los lados del pequeño
miden 4 cm, 7 cm y 6 cm, los del mayor medirán 8 cm, 16 cm y 12 cm, respectivamente.
b) Para trazar el triángulo pequeño a partir del grande basta con unir dos de los puntos medios
de dos lados.
c) Para trazar el triángulo grande a partir del pequeño se prolongan dos lados y con medida
doble a partir del vértice común se unen los puntos determinados.
Figuras semejantes. Dos figuras son semejantes cuando los segmentos determinados en
una de ellas son proporcionales a sus correspondientes en la otra.
El cociente de las longitudes de los dos segmentos correspondientes se llama razón de
semejanza o escala, k.
En este caso, la razón de semejanza
entre el pentágono grande y el
pequeño vale 3.
En las figuras semejantes los ángulos son iguales y las distancias proporcionales.
39
Mat 2º ESO
Otras aplicaciones de la semejanza (del teorema de Tales)
División de un segmento en partes iguales
Ejemplo: Para dividir un segmento AB en 5 partes iguales se procede como sigue:
1. Se una traza una semirrecta que parta de A, y sobre
ella se marcan 5 segmentos (consecutivos) de la
misma longitud. Sean P1, P2, P3, P4 y P5 los extremos
de esos segmentos.
2. Se une el extremo del quinto segmento (P5) con el
punto B.
3. Se trazan rectas paralelas a la recta P5B por los
puntos de división P1, P2, P3 y P4.
4. Los puntos M1, M2, M3 y M4 obtenidos sobre el
segmento AB lo dividen en 5 partes iguales. (Debe ser evidente que si los segmentos AP1,
AP2… son iguales también lo serán AM1, AM2…
Medida de la altura de un objeto vertical por su sombra
Ejemplo: Para dividir la altura de un edificio, de un árbol, de
una torre…, en un día de sol, puede procederse como sigue:
1. Se coge otro objeto de medida conocida, pongamos de 1,5
metros, y se mide la longitud de su sombra: 0,8 m, por
ejemplo.
2. Se mide la sombra del edifico, del árbol…; supongamos
que la sombra del edifico mide 22 m, la del árbol 4,8 m.
3. Aplicando Tales se tendrá:
228,0
5,1 x= ⇒ 25,41
8,0
22·5,1==x m
Igualmente8,48,0
5,1 y= ⇒ 9
8,0
8,4·5,1==y m
40
Áreas y Perímetros de Figuras Planas Cuadrado Rectángulo Paralelogramo
P=4ª A=a2 P=2(b+h) A=b·h P=2(a+b) A=b·h
Rombo Trapecio Trapecio Recto
2 2
4· 4·2 2
d DP a
P a B c b
2 2
P a B h b
P B b h B b h
·
2
D dA ·
2
B bA h
·
2
B bA h
Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno
P=3·a ·
2
a hA P=2·a+b
·
2
b hA P=a+b+c
·
2
b hA
Pentágono Regular Hexágono Regular Círculo
P=5·b ·
2
P aA P=6·b
·
2
P aA 2· ·P r 2·A r
Sector Circular Corona Circular Elipse
· ·180
L r
2· ·360
A r
2P R r 2 2A R r P a b · ·A a b
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Áreas y Volúmenes de Figuras en el espacio Cubo Ortoedro Circunferencia
26LatA a 3V a 2 · · ·LatA a b b c a c · ·V a b c24· ·LatA r 34
· ·3
V r
Cilindro Cono Pirámide
2· · ·LatA r h 2 2· ·LatA r g g h r ·
2Base c
Lat
Perímetro hA
2· · ·TotalA r r h · ·TotalA r r g Total lat BaseA A A
2· ·V r h 21· ·
3V r h
1· ·
3baseV A h
Casquete Tronco de cono Tronco de pirámide
2 22· · · 44
LatA r h c h
· ·LatA R r g ·2
BM Bm
Lat
P P gA
2 2·
4 2 8Base
c h cA r
h
2 2· ·TotalA R r g R r
·2
BM Bm
Lat BM Bm
P P apA A A
22 23
· ·3 6 4
h cV h r h h
2 2· · ·
3
h R r R rV
· ·
3
BM Bm BM Bmh A A A AV
Tetraedro Octaedro Prismas Rectos
23·A a 32·
12V a 22· 3·A a 32
·3
V a 2 ·base latA A n A ·baseV A h
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Mat 2º ESO
Resumen Tema 16. Cuerpos geométricos Prisma
Volumen: hlV ·2=
Área total: 2·2··4 lhlA +=
• En general:
Volumen = área de la base × altura
Área total = Suma de las áreas de sus
caras.
Pirámide
Volumen: hal
V ·2
··5·
3
1=
Área total: 2
··5
2
··5
alHlA +=
• En general:
Volumen = 3
1·(área de la base × altura)
Área total = Suma de las áreas de sus
caras.
Cilindro
Volumen: hrV ·· 2π=
Área total: 2····2 rhrA π+π=
Cono
Volumen: hrV ···3
1 2π=
Área total: 2··· rhrA π+π=
43
Ejercicios de
Refuerzo
44
ACTIVIDADES DE REFUERZO
1 Numeros naturales. Divisibilidad
1. Completa la tabla:
Numero Millares Centenas Decenas Unidades
9 854
32 127
7 0 1 9
18 1 7 5
2. Completa las siguientes igualdades aplicando las propiedades de la suma, resta, multiplicacion y division:
a) 35 � 15 � � propiedad conmutativa de la suma.? ?� �b) 7 � 20 � � propiedad conmutativa de la multiplicacion.? ?� �c) (12 � 7) � 40 � � ( � ) propiedad asociativa.? ? ?� � �d) 70 � 15 � (70 � 5) � (15 � ) propiedad de la resta.?�e) Si 60 : 7 � 8 y el resto es 4; entonces (60 � 5) : (7 � 5) � y el resto es � propiedad? ? ?� � �
de la division.
3. Rodea los numeros que sean primos: 131, 243, 218, 143, 847, 555, 117, 229, 202, 301, 721, 123, 473.
4. Haz la descomposicion en factores primos de los numeros:
a) 21b) 36
c) 231d) 66
e) 120f) 100
g) 775h) 999
5. Escribe los numeros que corresponden a estas descomposiciones:
a) 23 · 5b) 23 · 3 · 52
c) 2 · 32 · 5d) 23 · 5 · 3
e) 23 · 32 · 5f) 22 · 3 · 7
6. Halla el maximo comun divisor de:
a) 80 y 120b) 999 y 99
c) 12, 48 y 60d) 180 y 90
7. Halla el mınimo comun multiplo de:
a) 24 y 36b) 18, 15 y 30
c) 100 y 1 000d) 180 y 90
8. Completa esta tabla:
Numeros m.c.d. m.c.m.
5 y 10
4 y 6
8 y 24
12 y 18
Numeros 1.o ESO Actividades de refuerzo 45
SOLUCIONES
1. Numero Millares Centenas Decenas Unidades
9 854 9 8 5 4
32 127 32 1 2 7
7 019 7 0 1 9
18 175 18 1 7 5
2. a) 35 � 15 � 15 � 35 propiedad conmutativade la suma.
b) 7 � 20 � 20 � 7 propiedad conmutativade la multiplicacion.
c) (12 � 7) � 40 � 12 � (7 � 40) propiedadasociativa.
d) 70 � 15 � (70 � 5) � (15 � 5) propiedadde la resta.
e) Si 60 : 7 � 8 y el resto es 4; entonces(60 � 5) : (7 � 5) � 8 y el resto es 4 � 5
propiedad de la division.
3. 131, 243, 218, 143, 847, 555, 117, 229, 202,
301, 721, 123, 473
4. a) 21 � 3 · 7
b) 36 � 22 · 32
c) 231 � 3 · 7 · 11
d) 66 � 2 · 3 · 11
e) 120 � 23 · 3 · 5
f) 100 � 22 · 52
g) 775 � 52 · 31
h) 999 � 33 · 37
5. a) 40
b) 600
c) 90
d) 120
e) 360
f) 84
6. a) 80 � 24 · 5
120 � 23 · 5 · 3
m.c.d. (80, 120) � 23 · 5 � 40
b) 999 � 33 · 37
99 � 32 · 11
m.c.d. (999, 99) � 32 � 9
c) 12 � 22 · 3
48 � 24 · 3
60 � 22 · 5 · 3
m.c.d. (12, 48, 60) � 22 · 3 � 12
d) 180 � 22 · 32 · 5
90 � 2 · 32 · 5
m.c.d. (180, 90) � 2 · 32 · 5 � 90
7. a) 24 � 23 · 3
36 � 22 · 32
m.c.m. (24, 36) � 23 · 32 � 72
b) 18 � 2 · 32
15 � 3 · 5
30 � 2 · 3 · 5
m.c.m. (18, 15, 30) � 2 · 32 · 5 � 90
c) 100 � 22 · 52
1 000 � 23 · 53
m.c.m. (100, 1 000) � 23 · 53 � 1 000
d) 180 � 22 · 32 · 5
90 � 2 · 32 · 5
m.c.m. (180, 90) � 22 · 32 · 5 � 180
8. Numeros m.c.d. m.c.m.
5 y 10 5 10
4 y 6 2 12
8 y 24 8 24
12 y 18 6 36
Actividades de refuerzo Numeros 1.o ESO 46
ACTIVIDADES DE REFUERZO
1 Los numeros enteros
1. Representa los siguientes numeros en la recta numerica y ordenalos de mayor a menor:
a) �5, �6, �4, �2, �3 b) �7, �7, �3, �4, �5
2. Resuelve graficamente las siguientes operaciones con numeros enteros, siguiendo el ejemplo: (�2) � (�3) � (�1)
a) (�3) � (�5) b) (�4) � (�1) c) (�2) � (�2)
3. Completa la siguiente tabla: a b c a � b � c a � b � c �a � b � c
�1 �7 �4
�8 �2 �9
�4 �8 �3
�5 �3 �8
�7 �4 �6
4. Calcula los siguientes productos:
a) (�15) · (�7) · (�3) c) (�5) · (�7) · (�3)
b) (�12) · (�3) · (�7) d) (�70) · (�10) · (�2)
5. Escribe los numeros enteros que faltan:
a) (�48) : � (�6)?� c) (�207) : (�69) � ?�b) : (�12) � (�5)?� d) (�150) : [ · (�3)] � (�25)?�
6. Completa el valor de las siguientes expresiones:
a) [(�6) � (�22) : (�11) � (�7)] · [(�4) � 6 � 5 � 4]
b) 25 : [3 · (�5) : 3] � (�2) · [18 : (�6) � (�2) � (�4)]
c) �7 · (�6 � 5 · 3) � 2 · (�6 · 4 � 8)
7. Halla los resultados de las siguientes operaciones y representalas mediante numeros enteros:
a) Resta cinco al opuesto de menos tres.
b) Multiplica al opuesto de seis el opuesto de menos siete.
c) Al opuesto de doce sumale el resultado de multiplicar cinco por su doble.
8. Expresa mediante numeros enteros las siguientes situaciones cotidianas:
a) Ana debe 5 euros.
b) La temperatura es de 1 grado bajo cero.
c) El valor de las acciones ha «caıdo» dos puntos.
9. Dados los siguientes pares de numeros enteros:
�12 y �18 ; �14 y �28
a) Escribe sus numeros naturales asociados.
b) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los numeros naturales asociados.
c) Escribe el m.c.d. y el m.c.m. de las parejas de los numeros enteros.
10. Inventa tres situaciones que se correspondan con los siguientes numeros enteros:
a) (�3) b) (�2) c) (�5) � (�2)
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
+3
+1–2 0
47
SOLUCIONES
1. a)
�4 � �3 � �2 � �5 � �6
b)
�7 � �4 � �3 � �5 � �7
2. a) (�3) � (�5) � (�2)
b) (�4) � (�1) � (�3)
c) (�2) � (�2) � (�4)
3. a b c a � b � c a � b � c �a � b � c
�1 �7 �4 �4 �10 �4
�8 �2 �9 �1 �3 �1
�4 �8 �3 �1 �15 �1
�5 �3 �8 �16 �10 �16
�7 �4 �6 �17 �9 �17
4. a) 315
b) 252
c) �105
d) �1 400
5. a) (�48) : (�8) � �6
b) (�60) : (�12) � �5
c) (�207) : (�69) � �3
d) (�150) : [(�2) · (�3)] � �25
6. a) [(�6) � (�22) : (�11) � (�7)] ·
· [(�4) � 6 � 5 � 4] �
� [(�6) � 2 � (�7)] · 1 �
� [(�13) � 2] · 1 � (�11) · 1 � �11
b) 25 : [3 · (�5) : 3] � (�2) ·
· [18 : (�6) � (�2) � (�4)] �
� 25 : (�5) � 2 · [(�3) � 2] � �5 � 2 �
� �7
c) �7 · (�6 � 5 · 3) � 2 · (�6 · 4 � 8) �
� �7 · 9 � 2 · (�16) � (�63) � (�32) �
� �95
7. a) [� (�3)] � 5 � (�3) � 5 � �2
b) (�6) · [�(�7)] � (�6) · (�7) � �42
c) (�12) � [5 · (2 · 5)] � (�12) � (5 · 10) �
� �12 � 50 � �38
8. a) �5 euros.
b) �1 grado.
c) �2 puntos.
9. a) Numeros asociados a �12 y �18; 12 y 18
Numeros asociados a � 14 y �28; 14 y 28
b) m.c.d.(12, 18) y m.c.m.(12, 18)
12 � 22 · 3 · 1 m.c.d. � 2 · 1 � 218 � 2 · 32· 1 m.c.m. � 22 · 32 · 1 � 36
m.c.d.(14, 28) y m.c.m.(14, 28)
14 � 2 · 7 · 1 m.c.d. � 2 · 7 · 1 � 1428 � 22 · 7 · 1 m.c.m. � 22 · 7 · 1 � 28
c) m.c.d.(�12, 18) � �2m.c.m.(�12, 18) � �36
m.c.d.(14, �28) � �14m.c.m.(�12, 18) � �28
10. Respuesta abierta. Ejemplos:
a) He recibido tres euros.
b) He pagado dos euros.
c) Tenıa cinco euros y he pagado dos.
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
I I I I I I I I I I I I I I I –6 –5 –2
0
+3 +4
I I I I I I I I I I I I I I I –7 –5
0
+3 +4 +7
+5
+1 +2–3 0
+1 +2
– (+1)
+3 +40
+1 +2
+2
+40
48
ACTIVIDADES DE REFUERZO
2 Potencias y raıces cuadradas de numeros enteros
1. Escribe en forma de producto y halla el valor de las siguientes potencias:
a) (�4)3 b) (�6)2 c) 74
2. Completa y sustituye lo que falta por el numero que le corresponde:
a) (�6)2 · (�6)3 · (�6)0 � ?�?� e) (�25)4 · � (�25)17?�?�b) (�4)2 · (�4) · (�4)8 � 16?� ?� f) [(�42)3]6 � ?�?�c) : (�13)3 � 135?�?� g) [(�32) ]10 � (�32)40?�
d) 512 : 510 � ?�?� h) [(�7)3] � 1?�
3. Escribe en forma de raız cuadrada y halla el valor de:
a) ·144 169� � b) ( · )336 64� � c) · ·25 36 49� � �
4. Halla:
a) El numero cuya raız cuadrada es 15 y el resto 7.
b) La raız cuadrada y el resto de .1 728�
5. Averigua, sin necesidad de hacer la raız, cuales de los siguientes resultados son correctos:
a) 2 272: raız, 47; resto, 63.
b) 86 543: raız, 294; resto, 36.
c) 448: raız, 21; resto, 16.
6. Escribe:
a) Seis cuadrados perfectos de dos cifras.
b) Cinco cuadrados perfectos de tres cifras.
7. Calcula, con una aproximacion de una decima, las siguientes raıces cuadradas:
a) 27� b) 39� c) 92�
8. Queremos embaldosar el suelo de una habitacion cuadrada. Si se han colocado 16 baldosas en cada lado y hansobrado 7, ¿cuantas baldosas habıa al principio?
9. Realiza las siguientes raıces cuadradas expresando primeramente el radicando en forma de potencia de expo-nente 2. Ejemplo: � � 3.29 3� �a) 144� b) 400� c) 169�
10. Luis quiere formar un cuadrado con 36 monedas. ¿Cuantas filas tiene que hacer?
11. Resuelve las siguientes raıces cuadradas expresando previamente el radicando en forma de potencia de unapotencia. Ejemplo: � � 23.6 3 22 (2 )� �a) 83� b) 104� c) 123�
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
49
SOLUCIONES
1. a) (�4)3 � (�4) · (�4) · (�4) � �64
b) (�6)2 � (�6) · (�6) � 36
c) 74 � 7 · 7 · 7 · 7 � 2 401
2. a) (�6)2 · (�6)3 · (�6)0 � (�6)5
b) (�4)2 · (�4)6 · (�4)8 � (�4)16
c) (�13)8 : (�13)3 � 135
d) 512 : 510 � 52
e) (�25)4 · (�25)13 � (�25)17
f) [(�42)3]6 � (�42)18
g) [(�32)4]10 � (�32)40
h) [(�7)3]0 � 1
3. a) · � � �2 2144 169 144 · 169 12 · 13� � � �� 12 · 13 � 156
b) ( · )3 � · �3 336 64 36 64� � � �� � 63 · 83 � 110 5923 2 3 2(6 ) · (8 )�
c) · · � �2 2 225 36 49 5 · 6 · 7� � � �� 5 · 6 · 7 � 210
4. a) 152 � 7 � 225 � 7 � 232
El numero es 232.
b) Raız: 41; resto: 47
1 728� 411 6
1288147
81 · 1 � 81
5. a) Correcto, porque:
47 · 47 � 63 � 2 272
b) Incorrecto, porque:
294 · 294 � 36 � 86 472 � 86 543
c) Incorrecto, porque:
21 · 21 � 16 � 457 � 448
6. a) 16, 25, 36, 49, 64, 81
b) 121, 144, 169, 196, 225
7. a) 27,00� 5,1252 001 01
99
101 · 1 � 101
b) 39,00� 6,2363 002 44
56
122 · 2 � 244
c) 92,00� 9,58111 009 25175
185 · 5 � 925
8. El numero total de baldosas es: (las que se hanutilizado para embaldosar el suelo) � (las que hansobrado) � 162 � 7 � 263.
Al principio habıa 263 baldosas.
9. a) � � 122144 12� �
b) � � 202400 20� �
c) � � 132169 13� �
10. � 636�
11. a) � � 348 4 23 (3 )� �
b) � � 4510 5 24 (4 )� �
c) � � 3612 6 23 (3 )� �
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
50
ACTIVIDADES DE REFUERZO
3 Fracciones. Operaciones con fracciones
1. Para cada fraccion escribe dos equivalentes ampliadas y dos reducidas:
a)1228
b)7590
c)4466
d)315420
2. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:
a) , ,4 3 215 4 2
b) , ,6 7 83 6 5
c) , ,32 14 1816 40 5
3. Calcula y expresa como fraccion irreducible:
a) � �7 32 1510 5 25
b) � �12 22 8� �21 7 3
4. Calcula:
a) La mitad de .52
d) :2 63 4
b) El cuadrado de .98
e) · ·5 3 46 2 7
c) La fraccion que hay que sumar a para obtener .7 718 40
5. Completa la tabla: Fraccion Cuadrado Raız cuadrada
925
�29 81� �25 625
121169
� �2121 11 112�169 �13 13
6481
1636
� �216 4 42�36 �6 6
49144
6. Calcula la raız cuadrada de cada fraccion con la aproximacion de una centesima:
a)54
b)728
c)3425
7. Con los tres cuartos del dinero que me dieron mis abuelos me he comprado un libro de 21 m. ¿Cuanto dinero medieron?
8. Unos albaniles han embaldosado el primer dıa de una habitacion y el segundo dıa de la habitacion.2 15 3
a) ¿Que fraccion de la habitacion les falta?
b) Si la habitacion tiene 60 baldosas, ¿cuantas les faltan por poner?
9. Marıa ha gastado las partes de los euros que tenıa y aun le quedan 12. ¿Cuantos tenıa inicialmente?23
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
51
SOLUCIONES
1. a) Reducidas: ,6 314 7
Ampliadas: ,24 3656 84
c) Reducidas: ,4 226 33
Ampliadas: ,88 132132 198
b) Reducidas: ,15 2518 30
Ampliadas: ,150 225180 270
d) Reducidas: ,105 21140 28
Ampliadas: ,630 945840 1 260
2. a) , , , , � �4 3 21 16 15 210 3 4 215 4 2 20 20 20 4 5 2
b) , , , , � �6 7 8 60 35 48 7 8 63 6 5 30 30 30 6 5 3
c) , , , , � �32 14 18 160 28 288 14 32 1816 40 5 80 80 80 40 16 5
3. a) � � � � � � �7 32 15 35 320 30 325 1310 5 25 50 50 50 50 2
b) � � � � � �12 22 8 12 66 56 22� � � �21 7 3 21 21 21 21
4. a) : 2 � · �5 5 1 52 2 2 4
b) � �29 9 · 9 81� �8 8 · 8 64
c) � � ; � � ; � � � �7 ? 71 71 7 ? 71 7 71 35 368 ? 40 40 8 ? 40 8 40 40 40
d) : � �2 6 8 43 4 18 9
e) · · � �5 3 4 60 56 2 7 84 7
5. Fraccion Cuadrado Raız cuadrada
925
�29 81� �25 625
� �29 3 3225 5 5� �
121169
�2121 14 641� �169 28 561
� �2121 11 112169 13 13� �
6481
�264 4 096� �81 6 561
� �264 8 8281 9 9� �
1636
�216 256� �36 1 296
� �216 4 4236 6 6� �
49144
�249 2 401� �144 20 736
� �249 7 72144 12 12� �
6. a) � 1,2554
1,25� 1,111
2521400221179
21 · 1 � 21211 · 1 � 211
b) � 0,25728
0,25� 0,502500
5 · 5 � 25
c) � 1,363425
1,3 6� 1,161
3 62 11 5001 356
144
1 · 1 � 121 · 1 � 21226 : 6 � 1 356
7. 21 : 3 � 7
7 · 4 � 28 m
8. � � �2 1 6 � 5 115 3 15 15
a) � �15 11 415 15 15
b) · 60 � 16415
9. � �3 2 13 3 3
12 euros � del total13
12 · 3 � 36 euros
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
52
ACTIVIDADES DE REFUERZO
3 Operaciones con fracciones
1. En la clase de Monica se han recogido alimentos para el Tercer Mundo. Doce alumnos han llevado kilogramo12
cada uno y otros 8, kilogramos cada uno. ¿Cuantos kilogramos se han recogido?34
2. Antonio ha gastado de sus ahorros en ropa, en musica y con el resto ha hecho dos regalos iguales a sus2 13 6
padres. ¿Que fraccion de sus ahorros ha dedicado al regalo de cada uno de sus padres?
3. Cesar ha comido de tarta y Gema . ¿Que cantidad de tarta queda?1 37 14
4. Haz estas sumas. Expresa el resultado en forma de fraccion irreducible:
a) � �1 3 53 4 12
b) � �5 2 118 9 2
c) � �8 2 221 7 3
5. Haz estas restas. Expresa el resultado en forma de fraccion irreducible:
a) �6 75 15
b) �17 121 3
c) �3 2 2
�� �7 5 35
6. Efectua estas operaciones. Expresa el resultado en forma de fraccion irreducible:
a) � �5 3 216 5 15
b) � �5 3 1 1
�� �12 4 6 2c) 6 �
4 2�� �5 3
7. Realiza estas operaciones. Expresa el resultado en forma de fraccion irreducible:
a) · 534
c) ·7 145 10
e) :3 214 7
g) :3 7 2
·� �4 5 3
b) · 14127
d) :2 39 2
f) ·5 3 2
:� �4 7 3h) · :
8 1 2� �15 4 9
8. Se toman los de una tira de papel de 20 decımetros de longitud. Despues se pinta de rojo los del trozo3 75 8tomado.
a) ¿Que longitud de papel se ha pintado?
b) ¿Que fraccion de la tira original representa la parte pintada?
9. En un vaso cabe de litro de agua. ¿Cuantos vasos se pueden llenar con dos litros de agua?15
Numeros 1.o ESO Actividades de refuerzo 53
SOLUCIONES
1. 12 · � � 6 kg1 122 2
8 · � � 6 kg3 244 4
6 � 6 � 12 kilogramos en total.
2. � � � �2 1 4 1 53 6 6 6 6
� �6 5 16 6 6
: 2 � de sus ahorros.1 16 12
3. � � � �1 3 2 3 57 14 14 14 14
� � de tarta quedan.14 5 914 14 14
4. a) � � � � � � �1 3 5 4 9 5 18 33 4 12 12 12 12 12 2
b) � � � � � � � 15 2 1 5 4 9 1818 9 2 18 18 18 18
c) � � � � � � �8 2 2 8 6 14 28 421 7 3 21 21 21 21 3
5. a) � � � �6 7 18 7 115 15 15 15 15
b) � � � �17 1 17 7 1021 3 21 21 21
c) � � � �3 2 2 15 14 2
� �� � � �7 5 35 35 35 35
� � �29 2 2735 35 35
6. a) � � � � � � � �5 3 21 25 18 42 43 426 5 15 30 30 30 30 30
�130
b) � � � � � �5 3 1 1 5 9 2 6
� �� � � �12 4 6 2 12 12 12 12
� � � �14 8 6 112 12 12 2
c) 6 � � � � � �4 2 90 12 10 90 2
� �� � � �5 3 15 15 15 15 15
�9215
7. a) · 5 �3 154 4
b) · 14 � � 2412 1687 7
c) · � �7 14 98 495 10 50 25
d) : � · �2 3 2 2 49 2 9 3 27
e) : � · � �3 2 3 7 21 314 7 14 2 28 4
f) : · � · · � · � �5 3 2 5 7 2 35 2 70 35� � � �4 7 3 4 3 3 12 3 36 18
g) : � : � · �3 7 2 3 14 3 15 45
·� �4 5 3 4 15 4 14 56
h) · : � : � · � �8 1 2 2 2 2 9 9 3� �15 4 9 15 9 15 2 15 5
8. a) Se ha tomado: · 20 dm � 12 dm35
Se han pintado: · 12 dm � 10,5 dm78
b) La tira pintada sera: · � de la original.3 7 215 8 40
9. 2 : � 2 · � 10. Se pueden llenar 10 vasos.1 55 1
Actividades de refuerzo Numeros 1.o ESO 54
ACTIVIDADES DE REFUERZO
4 Expresiones decimales
1. Haz las siguientes operaciones:
a) 52,36 � 0,03
b) 76,28 � 1,362
c) 32,26 : 0,2
d) 115,25 : 2,5
e) 74,1 · 8,4 · 6,5
f) 32,5 · 0,02
2. Resuelve las siguientes raıces cuadradas, con una aproximacion de una centesima:
a) 52,2729� b) 0,0225�
3. Expresa las siguientes fracciones en forma de numero decimal:
a)3615
e)2315
b)16990
f)1930
c)1625
g)3145
d)1463
4. ¿Cual es la fraccion irreducible correspondiente a cada expresion?
a) 0,52w d) 2,354x
b) 1,761w e) 72,0562w
c) 2,24
5. Completa lo que falta en las siguientes operaciones:
a) (2,5) � 6,25?� c) 12,32 · � 19,712?� e) 232,56 � � 217,28?�b) ( )2 � 12,96?� d) � 13,002 � 28,072?� f) 7,36 : � 3,2?�
6. He comprado 12 kilogramos de abono para la huerta y me han hecho un 15 % de descuento. ¿Cuanto he pagadosi el kilogramo de abono cuesta 8,50 m sin descuento?
7. ¿Cuanto mide el lado de un cuadrado cuya superficie es de 6,25 cm2?
8. El lado menor de un rectangulo mide 12,75 cm, y el mayor 23,5 cm. ¿Cual es su perımetro?
9. El 25 % de las compras que he realizado son ropa, y el resto, comida. Si me he gastado 120,20 euros en ropa,¿cuanto he gastado en comida?
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
55
SOLUCIONES
1. a) 52,36 � 0,03 � 52,33
b) 76,28 � 1,362 � 74,918
c) 32,26 : 0,2 � 161,3
d) 115,25 : 2,5 � 46,1
e) 74,1 · 8,4 · 6,5 � 4 045,86
f) 32,5 · 0,02 � 0,65
2. a) 52,2729� 7,2349
327284432943290000
142 · 2 � 2841 443 · 3 � 4 329
b) 0,0225� 0,151125125000
25 · 5 � 125
3. a) � 2,43615
e) � 1,523
3v15
b) � 0,016w16990
f) � 0,619
3v30
c) � 0,641625
g) � 0,631
8v45
d) � 0,14
2v63
4. a) 0,52w �5299
b) 1,761w � 1 � �761 � 7
990
� 1 � �377 872495 495
c) 2,24 � �224 56100 25
d) 2,354x � 2 � � 2 � �354 118999 333
�784333
e) 72,0562w � 72 � �562 � 5
9 900
�713 3579 900
5. a) (2,5)2 � 6,25
b) (3,6)2 � 12,96
c) 12,32 · 1,6 � 19,712
d) 15,07 � 13,002 � 28,072
e) 232,56 � 15,28 � 217,28
f) 7,36 : 2,3 � 3,2
6. 12 · 8,50 � 102 m
102 · � 15,3015100
102 � 15,30 � 86,70
Por tanto, he pagado 86,70 m.
7. � 2,5 cm6,25�
8. 12,75 · 2 � 25,5023,5 · 2 � 4725,5 � 47 � 72,5 cm
9. El 25 %, o del gasto, o 120,20 m, se ha gastado14
en ropa.
� � del gasto es comida.4 1 34 4 4
3 · 120,20 � 360,60 m he gastado en comida.
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
56
ACTIVIDADES DE REFUERZO
5 Expresiones algebraicas
1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
a) Sergio ha metido un numero de goles y Enrique el doble.
b) La edad de Sonia dentro de 15 anos.
c) La cuarta parte de un numero.
d) Las paginas que me faltan para acabar de leer un libro, si ya he leıdo 12 de ellas.
2. Calcula el valor numerico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de x que se indican:
Valores de x
�1 1 2 �2 3
(x � 1) · (x � 1)
3x � 2
2x3 � 6x2 � 4x � 1
3. Haz las operaciones que se indican:
a) (2x � 3y) � (6x � 7y � 4) � 6
b) (7a � 3b � 2ab) � (6b � 4ab � 8b) � 4a � 6b
c) 5x � 4 � 3x2 � (7x � 4x2 � 2x2) � 3x � 7
4. Haz las siguientes operaciones y luego reduce los terminos semejantes:
a) (�2x � 3) · (2 � 3x) b) (4x2 � 3) · (4x2 � 3) c) (2x2 � 4x) · (4x � 3)
5. Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (7x � 3)2 b) (x � y)2 c) (2x � 1)2 d) (6a � b) · (6a � b)
6. ¿Que funcion representa la siguiente grafica?:
7. Indica si estas igualdades son verdaderas o falsas:
a) (2x � 3)2 � 9 � 4x2 � 12x
b) (5x � 3) · (5x � 3) � 25x2 � 9
c) (a � b) · (2a) � 2a2 � 2ab
8. Calcula el area de la siguiente figura, calculando previamente el area de las figurasque contiene y sumandolas despues.
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
-3 -2 -11
1
2
3
-3
-2
-1
2 3
a
a a
b b
b
a b
57
SOLUCIONES
1. a) Sergio metio x goles y Enrique metio 2x goles.
b) Dentro de 15 anos la edad de Sonia sera x � 15anos.
c) La cuarta parte de un numero es x/4.
d) Las paginas que me faltan por leer son: x � 12.
2. Valores de x
�1 1 2 �2 3
(x � 1) · (x � 1) 0 0 3 3 8
3x � 2 �5 1 4 �8 7
2x3 � 6x2 � 4x � 1 �3 �7 �15 �31 �11
3. a) 2x � 3y � 6x � 7y � 4 � 6 �� �4x � 10y � 10
b) 7a � 3b � 2ab � 6b � 4ab � 8b � 4a � 6b �� 3a � b � 6ab
c) 5x � 4 � 3x2 � 7x � 4x2 � 2x2 � 3x � 7 �� �5x2 � x � 3
4. a) �4x � 6x2 � 6 � 9x � 6x2 � 5x � 6
b) 16x4 � 12x2 � 12x2 � 9 � 16x4 � 9
c) 8x3 � 6x2 � 16x2 � 12x �
� 8x3 � 10x2 � 12x
5. a) 49x2 � 42x � 9
b) x2 � 2xy � y2
c) 4x2 � 4x � 1
d) 36a2 � b2
6. Lo primero es representar en una tabla los valoresde la funcion representada:
x y
1 0
�1 �2
0 �1
Del analisis de los datos se deduce que la funciones: y � x � 1
7. a) Falsa, ya que (2x � 3)2 �� 4x2 � 12x � 9 � 9 � 4x2 � 12x
b) Verdadera, ya que (5x � 3) · (5x � 3) �� 25x2 � 15x � 15x � 9 � 25x2 � 9
c) Verdadera, ya que (a � b) · (2a) �� 2a2 � 2ab
8.
(a � b)2 � a2 � 2ab � b2
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
a
a a
b b
b
a b
a . b
aba2
b2
58
ACTIVIDADES DE REFUERZO
6 Ecuaciones
1. Comprueba si los siguientes valores de x son soluciones de la ecuacion correspondiente:
a) x � 2 para � x � 3 � 2x � 6x � 6
2
b) x � �4 para 6 � 3(x � 2) � (x � 8)
c) x � 14 para � � 43x 110 5
2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 6x � 3 � 9 � 3x e) 2(3x � 8) � (6x � 4) � �5 · 6x
b) �8 � 2x � �x � 4 f) � � � 15x x x3 2 4
c) 4x � � �3 �8 � 3x 3x � 5
2 2g) � 4 � �
�5x � 4 4 � 4x 3x � 46 3 2
d) x � (4 � 2x) � 1 � 2(4x � 3)
3. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) �15x2 � 0
b) 4x2 � 49 � 0
c) 6x · (2x � 14) � 0
d) 3x2 � 6x � 0
4. En un bosque de 96 arboles hay doble numero de robles plantados que de pinos. ¿Cuantos robles y cuantos pinoshay en el bosque?
5. Alvaro consiguio en un partido de baloncesto la quinta parte de los puntos de su equipo mas 3. Si en total marco21 puntos, ¿cuantos consiguio su equipo?
6. ¿Cuanto mide la base y la altura de un triangulo si su area es de 81 cm2 y su altura es el doble que la base?
7. Calcula el perımetro de un cuadrado cuya area mide 16 cm2.
8. Juan tiene un ano mas que Antonia, y Antonia un ano mas que Sofıa. Si entre los tres tienen 39 anos, ¿cuantosanos tiene cada uno?
9. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 3x2 � 6x � 3 � 0 b) x2 � 3x � 2 � 0
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
59
SOLUCIONES1. a) x � 2 para (x � 6)/2 � x � 3 � 2x � 6
(2 � 6)/2 � 2 � 3 � 2 · 2 � 6�2 � 2 � 3 � 10�3 � 10. No es solucion.
b) x � �4 para 6 � 3(x � 2) � (x � 8)6 � 3(�4 � 2) � �4 � 86 � 18 � �12�12 � �12. Es solucion.
c) x � 14 para 3x/10 � 1/5 � 4(3 · 14)/10 � 1/5 � 442/10 � 1/5 � 442/10 � 2/10 � 40/1042 � 2 � 4040 � 40. Es solucion.
2. a) 6x � 3 � 9 � 3x6x � 3x � 9 � 33x � 12; x � 12/3; x � 4
b) �8 � 2x � �x � 42x � x � �4 � 83x � 4; x � 4/3
c) 4x � (8 � 3x)/2 � �3 � (3x � 5)/28x/2 � (8 � 3x)/2 � �6/2 � (3x � 5)/28x � (8 � 3x) � �6 � (3x � 5)8x � 8 � 3x � �6 � 3x � 58x � 3x � 3x � � 8 �6 � 514x � 7; x � 7/14; x � 1/2
d) x � (4 � 2x) � 1 � 2(4x � 3)x � 4 � 2x � 1 � 8x � 6x � 2x � 8x � 1 � 6 � 4�9x � 11; x � �11/9
e) 2(3x � 8) � (6x � 4) � �5 · 6x6x � 16 � 6x � 4 � �30x6x � 6x � 30x � 16 � 430x � 20; x � 20/30; x � 2/3
f) x/3 � x/2 � x/4 � 154x/12 � 6x/12 � 3x/12 � 180/124x � 6x � 3x � 1804x � 6x � 3x � �180�5x � �180; x � �180/�5; x � 36
g) (�5x � 4)/6 � 4 � (4 � 4x)/3 � (3x � 4)/2(�5x � 4)/6 � 24/6 � (8 � 8x)/6 � (9x � 12)/6�5x � 4 � 24 � 8 � 8x � 9x � 12�5x � 8x � 9x � 4 � 24 � 8 � 1212x � 48; x � 48/12; x � 4
3. a) �15x2 � 0; x2 � 0; x � 0b) 4x2 � 49 � 0; 4x2 � 49; x2 � 49/4;
x � � ; x � �7/249/4�c) 6x · (2x � 14) � 0
6x � 0; x � 0� 2x � 14 � 0; 2x � 14; x � 14/2; x � 7d) 3x2 � 6x � 0; 3x · (x � 2)
3x � 0; x � 0� x � 2 � 0; x � 2
4. Si el numero de pinos es x, el numero de robles sera2x; entonces, la ecuacion que resuelve el problema es:
x � 2x � 963x � 96x � 96/3x � 32
En el bosque hay 32 pinos y 64 robles.
5. Si el numero de puntos del equipo es x, los que con-siguio Alvaro seran x/5 � 3; entonces, la ecuacionque resuelve el problema es:
x/5 � 3 � 21x/5 � 15/5 � 105/5x � 15 � 105x � 105 � 15x � 90
El equipo consiguio 90 puntos.
6. 81 � ; 81 � ; 81 � x22x · 2x 2x
2 2
x � 9 cm mide la base.9 · 2 � 18 cm mide su altura.
7. 16 � x2
x � 4 cm mide un lado.
4 · 4 � 16 cm mide su perımetro.
8. Sofıa: x anos.
Antonia: x � 1 anos.
Juan: (x � 1) � 1 � x � 2 anos.
x � x � 1 � x � 2 � 39
3x � 3 � 39
x �39 � 3
3
x � � 12 anos tiene Sofıa.363
12 � 1 � 13 anos tiene Antonia.
13 � 1 � 14 anos tiene Juan.
9. a) 3x2 � 6x � 3 � 0
x � � � �1�6 � 36 � 36 �6�
6 6
b) x2 � 3x � 2 � 0
x � ��3 � 9 � 8�
2
� �
�3 � 1 �2� � �1
�3 � 1 2 2��3 � 1 �42
� � �22 2
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
2x
x
x
60
ACTIVIDADES DE REFUERZO
1. Resuelve los sistemas:
a)2x � 3y � 5� 3x � 4y � �18
b)2(x � 1) � 3(y � 2) � 19� 5x � 3y � 17
2. Resuelve los sistemas:
a)
x y� � 8
2 3x y� � � 13 2
b)
x � 1� y � �2
2y� x � � 43
3. Considera la ecuacion 3x � 2y � 4 y los valores de x: �2, �1, 0, 1 y 3. Calcula los correspondientes valoresde y para que completen soluciones a la ecuacion dada.
4. Escribe un ejemplo en cada uno de los siguientes casos:
a) sistema con ninguna solucion.
b) sistema con muchas soluciones.
5. Halla dos numeros tales que su suma sea 31 y su diferencia 3.
6. La edad de Javier era exactamente hace 3 anos el triple que la de Elena, pero dentro de 4 anos sera solamenteel doble. Halla las edades actuales de Javier y Elena.
Algoritmo 3.o ESO Actividades de refuerzo
7 Sistemas de ecuaciones
61
SOLUCIONES
1. a) x � �2; y � 3
b) x � 4; y � �1
2. a) x � 12; y � 6
b) x � 3; y � �3
3.x �2 �1 0 1 3
y �5 �3,5 �2 �0,5 2,5
4. a)x � 2y � 3� 2x � 4y � 5
b)x � 2y � 3� 2x � 4y � 6
Actividades de refuerzo Algoritmo 3.o ESO
5. Sean los numeros x e y.
Se puede plantear el sistema de ecuaciones
x � y � 31� x � y � 3
que da la solucion x � 17; y � 14.
6.Edadactual
Hace3 anos
Dentro de4 anos
Javier x x � 3 x � 4
Elena y y � 3 y � 4
Por tanto, se puede plantear el siguiente sistema:
x � 3 � 3(y � 3)� x � 4 � 2(y � 4)
y entonces x � 24 e y � 10.
Edades actuales: 24 anos Javier y 10 anos Elena.
62
ACTIVIDADES DE REFUERZO
8 Magnitudes proporcionales
1. Se quiere repartir 1 500 m entre tres hermanos, proporcionalmente a la edad de cada uno. Si el mayor tiene 15anos, el mediano 8 y el pequeno 5, ¿cuanto le corresponde a cada uno?
2. Calcula el capital que impuesto al 7 % produce 3 800 m al cabo de 1 ano.
3. Un ciclista ha tardado 60 minutos en recorrer una distancia a 50 km/h. ¿A que velocidad debera circular sidesea recorrer la misma distancia en 150 minutos?
4. Por la compra de veintiseis plantas de interior se han pagado 510 m. ¿Cuanto dinero costaran 52 plantas deinterior?
5. Completa el siguiente cuadro:
i C r t
1 080 3 000 2 anos
6 6 % 40 dıas
0,84 3 7 % 4 anos
10,80 216 4 %
6. Has comprado un ordenador de 2 100 m con un descuento del 15 %. ¿Cuanto te ha costado?
7. Senala si los siguientes pares de magnitudes son directa o inversamente proporcionales.
a) Cantidad que se abona y numero de CD que se compran.
b) Velocidad de un vehıculo y tiempo que tarda en recorrer un trayecto.
c) Numero de obreros y tiempo que tardan en realizar una obra.
d) Tiempo de estudio y calificaciones obtenidas.
8. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que las dos magnitudes senaladas son directamente proporcionales:
N.o de botellas de aceite 2 4 6 10 12
Precio 4 8 16 28 32
9. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que las dos magnitudes son inversamente proporcionales:
N.o de caramelos que toca a cada uno 4 8
N.o de ninos que asisten a la fiesta 10 8 4 2
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
63
SOLUCIONES
1. La relacion de proporcionalidad es:
� � � � 53,57x y z 1 500mayor mediano pequeno
15 8 5 28
Entonces:
� 53,57, x � 53,57 · 15, x � 803,55x
15
� 53,57, y � 53,57 · 8, y � 428,56y8
� 53,57; z � 53,57 · 5, z � 267,85z5
Al mayor le corresponden 803,55 m; al mediano,428,56 m; y al pequeno, 267,85 m.
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r · t
C � � � 54 285,71100 · 3 800 380 000
7 · 1 7
El capital es 54 285,71 m.
3. Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamenteproporcionales; entonces:
• Sabemos que tarda 60 minutos a una velocidad de50 km/h.
• Nos pregunta: tarda 150 minutos a una velocidadde x km/h.
60 min 50 km/h� 150 min x km/h 60 · 50 � 150x
x �60 · 50
150x � 20 km/h
La velocidad sera de 20 km/h.
4. El precio y el numero de plantas son magnitudesdirectamente proporcionales; entonces:
• Sabemos que 26 plantas cuestan 510 m.• Nos preguntan: 52 plantas costaran x m.
26 plantas 510 m� 52 plantas x m 52 · 510 � 26x
x �52 · 510
26x � 1 020 m
Las plantas cuestan 1 020 m.
5. i C r t
1 080 3 000 18 % 2 anos
6 900 6 % 40 dıas
0,84 3 7 % 4 anos
10,80 216 4 % 15 meses
6. El 15 % de 2 100 m es: � 315 m2 100 · 15
100que descuentan; por tanto, lo que se ha pagado es2 100 � 315 � 1 785 m
Ha costado 1 785 m.
7. a) Directamente proporcionales.
b) Inversamente proporcionales.
c) Inversamente proporcionales.
d) Directamente proporcionales.
8. N.o de botellasde aceite 2 4 6 8 10 12 14 16
Precio 4 8 12 16 20 24 28 32
9. N.o de caramelos que tocaa cada uno 4 5 8 10 20
N.o de ninos que asisten ala fiesta 10 8 5 4 2
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
64
ACTIVIDADES DE REFUERZO
9 Funciones
1. Clasifica las siguientes funciones y relacionalas con la forma matematica a la que se refieren:
a) y � x2 � 7x � 3 c) y � 4/x e) y � 2x � 7
b) y � x/5 � 6 d) y � 2x2 f) y � 6x
2. Representa las siguientes funciones en un mismo diagrama:
a) y � 1/2x � 2 b) y � x � 2 c) y � 4x � 3
3. Halla las imagenes de �8, �5, �4, �1, 1, 4, 5, 8, en las siguientes funciones y representalas en el mismodiagrama:
a) y � 5/x c) y � �10/x
b) y � �5/x d) y � 10/x
4. Representa graficamente las funciones:
a) y � x2 � 4 b) y � x2 � 4x � 3
5. Un camion circula por una carretera a 30 km/h.
Construye una tabla en la que figure el espacio que habra recorrido en las cinco primeras horas y representa enuna grafica estos datos.
¿De que tipo es la funcion que relaciona la velocidad y el tiempo?
6. Senala cual es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:
a) y � 2x � 3 b) y � 3x � 5 c) y � 6 � 2x
7. Escribe las ecuaciones de las rectas a, b y c:
8. Representa graficamente las siguientes ecuaciones:
1. y � 2x 2. y � 2x � 1 3. y � �2x 4. y � x12
a) ¿Como son las rectas 1 y 2?
b) ¿Que diferencia a las rectas 1 y 3?
c) ¿Que diferencia a las rectas 1 y 4?
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
Y
O 1
a b c
1
X
y = 2x
65
SOLUCIONES1. • La funcion f es una funcion lineal de la forma:
y � mx, donde m es 6.
• Las funciones b y e son afines de la forma:y � mx � n; de modo que en la b, m es 1/5,n es 6; y en la e, m es 2 y n es �7.
• La funcion c es una funcion de proporcionalidadinversa de la forma: y � k/x, donde k es 4.
• La funcion a es una funcion cuadratica de la formay � ax2 � bx � c, donde a es 1, b es 7 y c es �3.
• La funcion d es una funcion cuadratica de la for-ma y � ax2, donde a es 2.
2. a) y � 1/2x � 2
x �1 0 1
y �5/2 �2 �3/2
b) y � x � 2
x �1 0 1
y �3 �2 �1
c) y � 4x � 3
x �1 0 1
y �7 �3 1
3. x �8 �5 �4 �1 1 4 5 8
a) y �5/8 �1 �5/4 �5 5 5/4 1 5/8
b) y 5/8 1 5/4 5 �5 �5/4 �1 �5/8
c) y 10/8 2 10/4 10 �10 �10/4 �2 �10/8
d) y �10/8 �2 �10/4 �10 10 10/4 2 10/8
4. a) y � x2 � 4 b) y � x2 � 1
x �2 �1 0 1 2 x �2 �1 0 1 2
y 0 �3 �4 �3 0 y 3 0 �1 0 3
5. La tabla es: La grafica es:
s 30 60 90 120 150
t 1 2 3 4 5
La funcion que relaciona velocidad y tiempo es unafuncion lineal.
6. Pendiente Ordenada en el origen
a) 2 3
b) 3 �5
c) 6 �2
7. a) y � 2x � 2
b) y � 2x � 1
c) y � 2x � 1
8. y � 2x y�2x�1 y � �2x y � x12
x y x y x y x y
0 0 0 1 0 0 0 0
1 2 1 3 1 �2 0 1/2
�1 �2 �1 �1 �1 2 �1 �1/2
a) Las rectas 1 y 2 son paralelas.
b) La 1 es ascendente y la 3 descendente.
c) La 1 tiene mas pendiente que la 3.
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
Y
O 1
1
X
y = 4x – 3
y = x – 2
y = x – 212
Y
O 2
2X
y = – 5x
Y
O 2
2
X
y = – 10x
Y
O 2
2
X
y = 5x
Y
O 2
2
X
y = 10x
a)
b) d)
c)
Y
O 1
1
X
y = x2 – 4
Y
O 1
1
X
y = x2 – 1
1 2 3 4 5
306090
120150
Y
O 1
1
X
y = 2x
y = 2x + 1
y = x12
y = –2x
66
ACTIVIDADES DE REFUERZO
10 y 11 Estadıstica. Probabilidad
1. En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 al 10.
Se extrae una bola al azar.
De los siguientes sucesos indica cuales son compatibles.
A � {3, 6, 7}B � {ser divisible por 3}C � {7}D � {ser numero primo}
2. Los datos que aparecen a continuacion representan el numero de horas faltadas a clase por un grupo de alumnosen 15 dıas. Representalo mediante un diagrama de barras. Calcula la media y la moda.
Faltas 0 1 3 5 7 9 10
Alumnos 5 5 3 2 2 2 1
3. Efectua el recuento, construye la tabla de frecuencias absolutas y calcula la moda y la media de la siguienteserie de valores:
5, 3, 2, 8, 5, 5, 2, 1, 1, 4
4. En una clase se pregunta sobre el numero de horas que los alumnos dedican al estudio por semana, obteniendoselos siguientes datos:
Horas Alumnos[0, 2) 4[2, 4) 6[4, 6) 5[6, 8) 4[8, 10) 3[10, 12) 3
N.o horas [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12)
N.o alumnos 4 6 5 4 3 3
Representa los datos en un histograma de frecuencias y calcula la media y la moda.
5. En una bolsa hay 5 bolas verdes, 3 negras y 2 rojas. Determina la probabilidad de que al extraer una bola, estasea roja. ¿Que suceso es mas probable: extraer una bola negra o extraer una bola que no sea negra?
6. En un cesto de frutas hay 5 peras, 4 naranjas, 3 mandarinas y 3 platanos. Se coge una fruta al azar. Analizala veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Los sucesos A � {coger una pera} y B � {coger un platano} son equiprobables.
b) La probabilidad de sacar una naranja es 4/15.
c) La probabilidad de coger una mandarina es menor que la de coger un platano.
7. ¿Que significa que la probabilidad de un suceso sea 0? ¿Y que la probabilidad sea 1?
8. Los componentes de un grupo de amigos tienen: 8, 7, 9, 8, 7, 8, 10 y 11 anos. Calcula:
a) La edad media. b) La moda. c) La desviacion media.
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
67
SOLUCIONES
1. A es compatible con todos.
B es compatible con D.
C es compatible con D.
2. Media: 66/20 � 3,3 horas faltadas. Moda: 0 y 1.
3. Valor Recuento Frecuenciaabsoluta
1 // 2
2 // 2
3 / 1
4 / 1
5 /// 3
8 / 1
La media es 36/10 � 3,6.
La moda es 5.
4. Para determinar la media se multiplica la marca delintervalo por el numero de veces que aparece dichointervalo. Se realiza la suma total y se divide porla suma de las frecuencias absolutas.
Ası, la media sera � 5,4 horas por semana.13525
La moda es 3 horas.
5. p(roja) � 2/10 � 1/5.
p(negra) � 3/10.
p(no negra) � 7/10, luego es mas probable que nosea negra.
6. a) No son equiprobables; es mayor la probabilidadde coger una pera.
b) Verdadero.
c) Falso, son sucesos equiprobables.
7. La probabilidad de un suceso es 0 significa que nun-ca se verifica.
La probabilidad de un suceso es 1 significa quesiempre se verifica.
8.Edades Frecuencia
absoluta
Frecuenciaabsoluta
acumulada
Edades - Edadmedia
WEdades -Edad
mediaW
7 2 2 � 47 � 8,5 � �1,5
7 � 8,5 � �1,5
1,5
1,5
8 3 5 � 4
8 � 8,5 � �0,5
8 � 8,5 � �0,5
8 � 8,5 � �0,5
0,5
0,5
0,5
9 1 6 9 � 8,5 � 0,5 0,5
10 1 7 10 � 8,5 � 1,5 1,5
11 1 8 11 � 8,5 � 2,5 2,5
8 0 9
a) Edad media:(7 · 2 � 8 · 3 � 9 � 10 � 11) : 8 � 8,5 anos.
b) Moda: 8 anos.
c) Desviacion media: 9 : 8 � 1,12 anos.
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
0Faltas
N.o
alum
nos
0123456
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20123456
4 6 8 10 12N.o horas
N.o
alum
nos
68
ACTIVIDADES DE REFUERZO
12 Cuerpos geometricos
1. Cierto o falso:
a) Una caja de cerillas es un poliedro.
b) En cada vertice de un octaedro concurren el mismo numero de aristas.
c) Una piramide tiene dos bases.
d) Un dado es un poliedro.
e) El cono tiene una cara plana y otra curva.
f) Cualquier cuerpo redondo tiene todas sus caras curvas.
2. Cuenta el numero de caras, aristas y vertices que hay en una habitacion de base rectangular.
3. Dibuja el desarrollo de esta piramide:
a) ¿Cuantas aristas tiene?
b) ¿Que clase de polıgono son sus caras laterales?
4. Observa estos cuerpos y completa la tabla:
AB
C
DE
Nombre Numero de caras Numero de vertices Numero de aristas c � v a � 2
A
B
C
D
E
¿Que observas?
D C
E
F G
H
A B5. En el poliedro de la figura:
a) Nombra dos aristas perpendiculares y dos aristas paralelas.
b) Nombra dos planos paralelos.
6. Completa la tabla:
Poliedro regular Forma de las caras c v a c � v a � 2
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
7. Dibuja los cuerpos que se obtienen al girar estas figuras planas.
8. ¿Como se puede generar una esfera mediante un giro?
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
a) b) c)
69
SOLUCIONES
1. a Cierto.
b) Cierto.
c) Falso.
d) Cierto.
e) Cierto
f) Falso.
2. Numero de caras: 6.
Numero de aristas: 12.
Numero de vertices: 8.
3. a) 10 aristas
b) Triangulos
4.
NombreNumero
decaras
Numerode
vertices
Numerode
aristasc � v a � 2
A Ortoedro 6 8 12 14 14
B Piramide cuadrangular 5 5 8 10 10
C Prisma triangular 5 6 9 11 11
D Prisma hexagonal 8 12 18 20 20
E Piramide triangular 4 4 6 8 8
En cualquier poliedro el numero de caras mas elnumero de vertices es igual al numero de aristasmas 2.
5. Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) AB y BC son aristas perpendiculares.AB y DC son aristas paralelas.
b) ABCD y EFGHA B
GCF
HE
D
6.Poliedroregular
Formade las caras
c v a c � v a � 2
Tetraedro Triangulos equilateros 4 4 6 8 8
Hexaedro Cuadrados 6 8 12 14 14
Octaedro Triangulos equilateros 8 6 12 14 14
Dodecaedro Pentagonos regulares 12 20 30 32 32
Icosaedro Triangulos equilateros 20 12 30 32 32
7. a) b) c)
8. Mediante el giro de un semicırculo alrededor de undiametro.
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
70
ACTIVIDADES DE REFUERZO
13 Medidas. Teorema de Pitagoras1. Completa:
a) 750 km � mb) 1 035 cm � damc) 35 t � kgd) 585 mg � ge) 359 l � ml
f) 7 895 cl � hlg) 70 m2 � dm2
h) 7 943 cm2 � m2
i) 1 dm3 � lj) 459 l � cm3
2. Marıa y Andres han realizado el mismo trayecto en coche. Marıa ha tardado 4 010 s y Andres 1 h 20 m 45 s.¿Cual de los dos ha tardado menos?
3. Calcula la medida de los angulos agudos de estos triangulos rectangulos:A
BC
A
B CC = 50º 46´ C = 25º 15´ 25´´
A
BCA = 43º
4. Un angulo agudo de un triangulo rectangulo mide 27� 40� 52. ¿Cuanto mide el otro angulo agudo?
5. Completa el dato que falta en la siguiente tabla:
Triangulorectangulo
Cateto Cateto Hipotenusa Perımetro
Triangulo 1 3 4
Triangulo 2 5,25 8,75
Triangulo 3 7,8 13
Triangulo 4 11,25 15
Triangulo 5 4,875 8,125
Triangulo 6 8 10
6. Calcula el perımetro de estos triangulos rectangulos.
4,8 cmc
b)
12,48 cm
a)
2,16 cm
2,88 cm a
7. Calcula la altura de estos triangulos equilateros.
8 cm 8 cm
8 cm
b)a)
perímetro = 30 cm
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
71
SOLUCIONES
1. a) 750 km � 750 000 mb) 1 035 cm � 1,035 damc) 35 t � 1 000 kgd) 585 mg � 0,585 ge) 359 l � 359 000 mlf) 7 895 cl � 0,7895 hlg) 70 m2 � 7 000 dm2
h) 7 943 cm2 � 0,7943 m2
i) 1 dm3 � 1 lj) 459 l � 459 000 cm3
2. 4010 60
410 66 60
50 06 1
Marıa ha tardado 1 h 6 m 50 s y Andres 1 h 20 m45 s. Por lo tanto, Marıa ha tardado menos.
3. a) � 90� � 43� � 47�Cp
A
BCA = 43º
b) � 90� � 50� 46� � 39� 14Ap
A
BCC = 50º 46´
c) � 90� � 25� 15� 25 � 64� 44� 35Ap
A
B CC = 25º 15´ 25´´
4. 90� � 27� 40� 57 � 62� 19� 3
5.Triangulorectangulo
Cateto Cateto Hipotenusa Perımetro
Triangulo 1 3 4 5 12
Triangulo 2 5,25 7 8,75 21
Triangulo 3 10,4 7,8 13 31,2
Triangulo 4 11,25 15 18,75 45
Triangulo 5 4,875 6,50 8,125 19,5
Triangulo 6 6 8 10 24
2,16 cm
2,88 cm a
6. a) a � �2 22,88 � 2,16�� � 3,6;12,96�a � 3,6 cm
P � (2,88 � 2,16 � 3,6) cm � 8,64 cm
b) c � � � 11,52;2 212,48 � 4,8 132,7104� �c � 11,52 cm
P � (12,48 � 4,8 � 11,52) cm � 28,8 cm
4,8 cmc
12,48 cm
h8 cm
4 cm
7. a) h � � �2 28 � 4 48� �� 6,928; h � 6,928 cm
h10 cm
5 cm
b) lado � 30 cm : 3 � 10 cm
h � � �2 210 � 5 75� �� 8,66; h � 8,66 cm
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
72
ACTIVIDADES DE REFUERZO
14 Semejanza. Teorema de Tales
1. Define o explica:
a) Razon de semejanza. b) Triangulos semejantes. c) Razon de areas.
2. Un campo de futbol tiene unas dimensiones de 100 70 m. ¿Que dimensiones tendrıa en una representaciona escala 1:400?
3. De un barco se construye una maqueta a escala 1:10, y de la maqueta se dibuja un plano a escala 1:20.
a) ¿A que escala se ha dibujado el barco en el plano?
b) Una pieza de 10 m del barco, ¿que longitud tendrıa en la maqueta? ¿Y en el plano?
4. Dadas las siguientes parejas de triangulos, indica el criterio que utilizas para determinar que son semejantes:
a) b) c)
5. Dibuja dos figuras semejantes a las que aparecen en el dibujo, utilizandoel metodo de descomposicion de las figuras en triangulos.
a) b)
6. Determina en las siguientes figuras los segmentos que se indican:
a) b)
7. Observa el dibujo y decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Las unidades del segmento OU miden lo mismo que las del segmento OR.
b) Las unidades del segmento OU son proporcionales a las del segmento OR.
c) El triangulo O1a es semejante al triangulo O4d.
d) Los angulos del triangulo O2b son distintos a los del triangulo O5e.
8. Construye una figura semejante a la siguiente utilizando el metodo de Tales, siendo la razon o escala 3:1.
9. ¿Que longitud tiene la sombra de la flecha?
10. Jorge y Pablo salen un dıa al campo y, observando un arbol, Jorge dice: «Cuando la longitud de mi sombracoincida con mi altura, la longitud de la sombra del arbol coincidira con su altura». ¿Es cierta la afirmacion?Razona la respuesta.
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
4 cm
2 cm30o
6 cm
3 cm30o
50o
70o
50o 60o16
12
108
2 cm
4 cmx
4 cm
z
2
4 3
y
3
1 m
2 m
50 cm
O U
1
a b c d e
2
3
4
5R
73
SOLUCIONES
1. a) Es el cociente de dos segmentos correspondien-tes.
b) Dos triangulos son semejantes si cumplen unade las tres condiciones siguientes:i) Tienen los tres angulos iguales.ii) Tienen los tres lados proporcionales.iii) Tienen dos lados proporcionales, y el an-
gulo que forman, igual.
c) Es el cuadrado de la razon de semejanza.
2. 100/400 � 0,25 m y 70/400 � 0,175 m
3. a) 1/10 · 1/20 � 1/200
b) En la maqueta: 10/10 � 1 m;en el plano: 10/200 � 0,05 m.
4. a) Dos lados proporcionales, y angulo comunigual.
b) Angulos iguales.
c) Lados proporcionales.
Por Pitagoras, se calculan los otros lados:
a2 � 162 � 122; a � 20b2 � 102 � 82; b � 6.
5. a) b)
6. a) 4/x � 2/4 ; x � 8 m
b) 4/3 � 2/y; y � 1,5 m; 4/z � 3/3; z � 4 m
7. a) Falsa.
b) Verdadera.
c) Verdadera.
d) Falsa.
8.
9. 2/0,5 � (1 � x)/xx � 0,33 m
10. Sı, por ejemplo, yo mido 1,70 m y mi sombramide 1,70 m, del dibujo se tiene:h/l � 1,7/1,7; h � l
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
1,70 m
h
1,70 ml
74
ACTIVIDADES DE REFUERZO
15 Areas de cuerpos geometricos
1. Calcula el area de los siguientes prismas:
4 cm
3 cm
a)
5 cm
5 cm5 cm
b)
2. Calcula el area de las siguientes piramides:
a = 2,60 cm
A = 3 cm
3 cm
a)
4 cm4 cm
b)
A = 4 cm
3. Razona sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:a) El area total de un cono se calcula multiplicando � por el radio y por la generatriz.b) Para determinar el area de un tronco de piramide se debe calcular el area de cada uno de los trapecios que
forman sus caras y luego sumarlas.
4. Completa las siguientes frases:a) El area de un prisma pentagonal es igual a la suma del area de 5 ... mas 2 ...b) El area de una piramide hexagonal es igual a la suma del area de 6 ... mas ...c) El area del tronco de una piramide pentagonal es igual a la suma del area de ... mas 2 ...d) El area de un ... es igual a � multiplicado por el radio y por la ..., mas el ... de la base.e) El area de un tronco de cono se obtiene sumando al area lateral el area de los ... de las ...
5. Se quiere pintar una habitacion de 6 2,40 4 m. ¿Cuantos m2 tienen las paredes? Si el precio del m2 depared pintada cuesta 3 m, y sabiendo que entre ventanas y puertas tenemos 8 m2, ¿cuanto costara pintar lahabitacion?
6. Determina el area lateral de un prisma dodecagonal de 1 cm de lado y 3 dm de altura.Expresa el resultado en cm2.
7. Determina el area de la siguiente figura:
3 m
2 m
1 m
8. Se construye una tienda de campana con forma de semiesfera. Si el diametro de la esfera es 2,5 m y el preciode la lona es 7,51 m/m2, ¿cuanto cuesta la lona?
9. Calcula el area lateral y total de un tronco de piramide de bases cuadradas de lados 6 cm y 3 cm, respectivamente,sabiendo que la apotema mide 6 cm.
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
75
SOLUCIONES
1. a) p � 4 · 6 � 24 cmAlateral � p · h � 24 · 3 � 72 cm2
Abases � p · a � 24 · 3,46 � 83,04 cm2
Atotal � Alateral � Abases
Atotal � 72 � 83,04 � 155,04 cm2
b) p � 5 · 4 � 20 cmAlateral � p · h � 20 · 5 � 100 cm2
Abases � 2 · l2 � 2 · 25 � 50 cm2
Atotal � Alateral � Abases
Atotal � 100 � 50 � 150 cm2
2. a) p � 3 · 6 � 18 cm
Alateral � � � 27 cm2p · A 18 · 32 2
Abase � � � 23,34 cm2p · a 18 · 2,602 2
Atotal � Alateral � Abase
Atotal � 27 � 23,34 � 50,34 cm2
b) p � 4 · 4 � 16 cm
Alateral � � � 32 cm2p · A 16 · 42 2
Abase � l2 � 42 � 16 cm2
Atotal � Alateral � Abase
Atotal � 32 � 16 � 48 cm2
3. a) Falso. Es el area lateral; faltarıa el area de labase.
b) Falso. Faltarıa el area de las bases.
4. a) Rectangulos, pentagonos.
b) Triangulos, 1 hexagono.
c) 5 trapecios, pentagonos.
d) Cono, generatriz, area.
e) 2 cırculos, bases.
5. Techo: A � 6 · 4 � 24 m2
Paredes: A � 2(6 · 2,40) � 2 · (4 · 2,40) � 48 m2
Atotal � 48 � 24 � 8 � 64 m2
Coste � 64 m2 · 3 m/m2 � 192 m
6. 3 dm � 30 cm
Alateral � p · h
Alateral � 12 · 1 · 30 � 360 cm2 � 3,6 dm2
7. El area sera la suma del area lateral del cono masel area lateral del cilindro mas la base del cilindro.Ası:
A � 3,14 · 0,5 · 2 � 2 · 3,14 · 0,5 · 3 � 3,14 · 0,52 �� 13,34 m2
8. Asemiesfera � 4 · � · r2/2 �� 4 · 3,14 · 1,252/2 �� 9,81 m2
El coste sera: 9,81 m2 · 7,51 m/m2 � 73,67 m
9. Alateral � 1/2 (p1 � p2) · A �� 1/2 (24 � 12) · 6 �� 108 cm2
Abases � 6 · 6 � 3 · 3 � 45 cm2
Atotal � 153 cm2
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
76
ACTIVIDADES DE REFUERZO
16 Medidas de volumen.Volumen de cuerpos geometricos
1. Completa:
a) 10 cm3 � ... dm3 c) 7 322 mm3 � ... dm3
b) 3,5 m3 � ... cm3 d) 3 256 dm3 � ... dam3
2. Relaciona para construir frases correctas:
Un volumen de • • 600 cm2
Un tetra brik de zumo tiene: Una capacidad de • • 1 dm3
Un area de • • 1 l
3. ¿Cual es el volumen en m3 de un deposito si para llenarlo se necesita echar 2 356 l de agua?
4. ¿Cuanto tendra que gastarse un agricultor para llenar un aljibe de 350 m3 si el litro de agua cuesta 0,02 m?
5. De un ortoedro se sabe que tiene una capacidad de 20 l. Si la base es un rectangulo de 10 12 cm, determinasu altura.
6. El volumen de una piramide es 57 cm3, y su altura 1,5 dm. Halla el area de la base.
7. a) ¿En que dos figuras geometricas el volumen es igual al area de la base multiplicada por la altura?
b) ¿Y en cuales es igual a del area de la base multiplicada por la altura?13
8. Un silo tiene la forma indicada en la figura. Si se abre la trampilla, el silo se vacıa en 1 dıa. ¿Cuantos m3
por hora se vierten al exterior?
9. Se construye un anillo macizo de forma cilındrica para una maquina, utilizando un acero que tiene una masade 8,2 g por centımetro cubico. Si el anillo exterior tiene un diametro de 4 m y el interior un diametro de3,5 m, y la altura del anillo es de 1 m, determina los kilogramos de acero utilizados.
10. Una tienda de campana tiene forma de prisma triangular. Calcula el volumen de aire que contiene si la basedel prisma es un triangulo equilatero de lado 2 m y la altura del prisma es 2,5 m.
Numeros 2.o ESO Actividades de refuerzo
2 m
8 m
5 m
77
SOLUCIONES
1. a) 0,01
b) 3,5 · 106
c) 0,007322 � 7,32 · 10�3
d) 3,256 · 10�3 � 0,003256
2. Un tetra brik de zumo tiene:
Un volumen de • • 600 cm2
Una capacidad de • • 1 dm3
Un area de • • 1 l
3. 2 356 l � 2 356 dm3, luego seran 2,356 m3.
4. 350 m3 � 350 · 103 dm3 � 35 · 104 l.
Si esta cantidad se multiplica por los 0,02 m/l,queda 7 000 m.
5. 20 l � 20 dm3 � 2 · 104 cm3
Ası, 2 · 104 � 120 · h;
de donde h � 166,66 cm.
6. V � 1/3 · Abase · hpiramide
0,057 � 1/3 · Abase · 1,5
Abase � 0,114 dm2
7. a) Cilindro y prisma.
b) Cono y piramide.
8. El silo esta formado por un cilindro recto y uncono invertido.
El volumen del cilindro sera: � · 52 · 8 � 628 m3.
Vcono � 1/3 · � · 52 · 2 � 52,33 m3
Vtotal � 680,33 m3
Para averiguar los m3 por hora:680,33/24 � 28,34 m3/h
9. El anillo es un cilindro hueco; por tanto:
V � (� · 22 � � · 1,752)1 � 2,94 m3
2,94 m3 � 2,94 · 106 cm3
Si se multiplica por los 8,2 g/cm3, queda:
2,94 · 106 · 8,2 � 24,1 · 106 t
10. Abase �2 · h
2
Para determinar la altura de la tienda, se aplicael teorema de Pitagoras.
Ası: h2 � 12 � 22; h � 1,73 m.
Abase � 1,73 m2
V � 1,73 · 2,5 � 4,32 m3 sera el volumen deaire.
Actividades de refuerzo Numeros 2.o ESO
2,5 m
2 m
1,73 m
78
79
Ejercicios de
Ampliación.
80
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
1 Numeros naturales. Divisibilidad
1. Con tres piezas de tela que miden 72 m, 60 m y 48 m se quieren obtener trozos de igual longitud lo mas grandesposible sin que sobren retales. ¿Cuanto medira la longitud de cada trozo? ¿Cuantos trozos se obtendran?
2. ¿Cuantos numeros hay menores que 500 que al dividirlos por 8, 9 y 12 den de resto 5?
3. Se quiere pavimentar una sala rectangular de 12 m por 18 m con baldosas cuadradas que sean las mayoresposibles sin tener que romper ninguna.¿Cual sera la medida del lado de cada baldosa?
4. Begona y Marıa dan vueltas a una pista circular. Begona tarda 12 minutos en dar una vuelta completa y Marıa10 minutos.¿Cuantas vueltas tiene que dar cada una para volver a encontrarse en la salida?
5. De una terminal de autobuses, el autobus A sale cada 4 horas, el autobus B cada 3 horas, el autobus C cada 6horas y el autobus D cada 2 horas. Salieron juntos a las 5 h 30 min de la manana. Calcula:
a) ¿A que hora volveran a coincidir en la salida los cuatro autobuses?
b) ¿Cuantas horas tardaran en coincidir el autobus B y el autobus D?
6. Halla todos los numeros menores que 3 000 que sean divisibles por 6, 7, 8 y 9.
7. Disponemos de un monton de libros. Si hacemos paquetes de 6 libros, de 8 libros o de 12 libros sobran treslibros en cada uno de los casos. Pero si hacemos paquetes de 5 libros no sobra ninguno.¿Cual es el menor numero de libros que hay en el monton?
8. Tres corredores recorren una pista circular. El primero cada 6 minutos, el segundo cada 4 minutos y el tercerocada 8 minutos. La salida se dio a las 17 h y 48 min.¿Cuando vuelven a coincidir los tres en la salida?
9. Piensa un numero. Doblalo y anadele al resultado 30 unidades. Toma la mitad de lo que obtengas y restale aesta mitad el numero pensado. Seguro que has obtenido 15.
a) Expresa matematicamente las operaciones realizadas.b) Explica como se puede saber que el resultado sera 15 antes de conocer el numero pensado.
Numeros 1.o ESO Actividades de ampliacion 81
SOLUCIONES
1. Se halla el m.c.d. de 72, 60 y 48.
m.c.d. (72, 60, 48) � 22 · 3 � 12
La longitud de cada trozo es de 12 m.
(72 � 60 � 48) m � 180 m
180 m : 12 m � 15
Se obtienen 15 trozos.
2. Se halla el m.c.m. de 8, 9 y 12.
m.c.m. (8, 9, 12) � 23 · 32 � 72
Se buscan los sucesivos multiplos de 72 menores que500: 72, 144, 216, 288, 360 y 432.
Se suman 5 unidades a cada uno de los numerosanteriores:
72 � 5 � 77; 144 � 5 � 149216 � 5 � 221; 288 � 5 � 293360 � 5 � 365; 432 � 5 � 437
Los numeros 77, 149, 221, 293, 365 y 437 cum-plen las condiciones del problema.
3. Se halla el m.c.d. de 12 y 18.
m.c.d. (12, 18) � 2 · 3 � 6
El lado de cada baldosa tiene que medir 6 m.
4. Se halla el m.c.m. de 12 y 10.
m.c.m. (12, 10) � 22 · 3 · 5 � 60
Se encuentran cada 60 minutos.
Para volver a encontrarse, Begona tiene que dar:60 min : 12 min � 5 vueltas,y Marıa, 60 min : 10 min � 6 vueltas.
5. a) Se halla el m.c.m. de 4, 3, 6 y 2.
m.c.m. (4, 3, 6, 2) � 22 · 3 � 12
Los cuatro autobuses coinciden cada 12 h.
5 h 30 min � 12 h � 17 h 30 min
Los cuatro autobuses vuelven a coincidir a las17 h 30 min.
b) Igualmente se halla el m.c.m. (2, 3) � 6
Los autobuses B y D coinciden cada 6 horas.
6. Se halla el m.c.m. de 6, 7, 8 y 9.
m.c.m. (6, 7, 8, 9) � 504
Se buscan los sucesivos multiplos de 504 menoresque 3 000:
504, 1 008, 1 512, 2 016 y 2 520
7. Se halla el m.c.m. de 6, 8 y 12.
m.c.m. (6, 8, 12) � 23 · 3 � 24
Los sucesivos multiplos de 24 mas 3 unidades cum-plen la primera condicion del problema:
24 � 3 � 27;
48 � 3 � 51;
72 � 3 � 75;
96 � 3 � 99;
120 � 3 � 123;
...
El numero 75, ademas, es multiplo de 5.
El numero 75 es el que cumple todas las condicionesdel problema.
8. Se halla el m.c.m. de 6, 4 y 8.
m.c.m. (6, 4, 8) � 23 · 3 � 24
Coinciden en la meta de la salida cada 24 minutos.
17 h 48 min � 24 min � 17 h 72 min �� 18 h 12 min
Vuelven a coincidir a las 18 h 12 min.
9. a) Si llamamos al numero pensado x, las operacio-nes realizadas son las siguientes:
1.o x
2.o 2x � 30
3.o 2x � 30 � 2(x � 15)
2(x � 15) : 2 � x � 15
x � 15 � x � 15
b) Se sabe el resultado porque unas operaciones secontrarrestan con otras.
Actividades de ampliacion Numeros 1.o ESO 82
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
1 Los numeros enteros
1. Los numeros de la siguiente sucesion se forman de acuerdo con una regla. Calcula los cuatro siguientes terminosy halla el que ocupa el decimo lugar: �5, �10, �20, �40...
2. Halla los signos y los numeros que no aparecen en estas operaciones:
a) [(�6) · (�4)] � (�15) : ( ) � (�6 � 7) � �18?� c) [8 · (14 � 10)] (7 � 3) � �28?�b) 12 � 5 · [( ) : (�8)] � �33?�
3. Averigua que numero resulta al:
a) Multiplicar mas cinco por menos tres por menos dos y por el opuesto de menos seis.
b) Restar cuatro al opuesto del triple de la suma de menos cuatro mas menos dos.
c) Hallar la mitad del triple de la suma de mas seis, menos cuatro y mas ocho.
4. Al multiplicar un numero por 4, el valor absoluto del producto es igual a 128.
a) ¿Cuales son los numeros que cumplen esta condicion?
b) Si el resultado del producto anterior se divide entre �16, se obtiene un numero entero positivo. ¿Cual eseste numero?
5. Completa la hoja de esta libreta de ahorros que pertenece a Isabel:
Fecha Concepto Importe Saldo
31 de mayo Pago recibo �60 �229
04 de junio Pago con libreta �153
09 de junio Ingreso cheque �749
19 de julio Cargo compra �324
22 de julio Ingreso metalico �1 141
30 de julio Pago con libreta �564
6. El cuadruple de la resta de dos numeros es igual a �40. Si el primer numero (minuendo) es �25, ¿cual es el otro?
7. Completa el valor de las siguientes expresiones:
a) [(�5) · (�4) : (�2)] � [(�5) � (�10) · (�2) : (�5)]
b) �4 · (�6 � 5 · 3) � 2 · (5 · 4 � 8)
c) [(�10) � (�15) : (�3) � (�4)] · [(�7) : (�7) � (�4) · (�5)]
8. Inventa tres situaciones que se correspondan con las siguientes operaciones con numeros enteros:
a) (�3) � (�2) � (�5) b) (�2) � (�3) � (�5) c) (�2) � (�2) � 0
9. Dos autobuses que realizan recorridos diferentes comparten una de sus paradas. Uno de los autobuses pasa pordicha parada cada 36m y el otro cada 54m. Si han coincidido a las 9h de la manana, ¿cuando volveran acoincidir?
10. En una pastelerıa tienen 136 pasteles de chocolate y 120 de nata. Quieren colocarlos, sin que se mezclen, enel menor numero posible de bandejas iguales.
a) ¿Cuantos pasteles iran en cada bandeja?
b) ¿Cuantas bandejas necesitan?
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
83
SOLUCIONES
1. La regla es «multiplicar por �2»:
... �80, �160, �320, �640...
El decimo lugar es �2 560.
2. a) [(�6) · (�4)] � (�15) : ( 3 ) � (�6 � 7) �
� �18
b) 12 � 5 · [( �72 ) : (�8)] � �33
c) [8 · (14 � 10)] � (7 � 3) � �28
3. a) (�5) · (�3) · (�2) · (�6) � �180
b) �[3 · (�4 � 2)] � 4 � �(�18) � 4 � �14
c) [3 · (6 � 4 � 8)]/2 � (3 · 10)/2 � �15
4. a) Los numeros pueden ser �32 o �32.
b) Como el resultado del ejercicio anterior es�128, si se divide entre �16 se obtiene �8.
5. Fecha Concepto Importe Saldo
31 de mayo Pago recibo �60 �229
04 de junio Pago con libreta �76 �153
09 de junio Ingreso cheque �596 �749
19 de julio Cargo compra �324 �425
22 de julio Ingreso metalico �716 �1 141
30 de julio Pago con libreta �564 �577
6. El otro numero es �15, ya que:
4 · [(�25) � (�15)] � �40
7. a) [(�5) · (�4) : (�2)] � [(�5) � (�10) ·· (�2) : (�5)] � [20 : 2] � [(�5) � 20 :: (�5)] � 10 � (�9) � 19
b) �4 · (�6 � 5 · 3) � 2 · (5 · 4 � 8) �� �4 · (9) � 2 · (28) � �36 � 56 � �92
c) [(�10) � (�15) : (�3) � (�4)] · [(�7) :: (�7) � (�4) · (�5)] �� (�10 � 5 � 4) · (�1 � 20) �� (�9) · (�21) � �189
8. Respuesta abierta. Ejemplos:
a) Debo 3 y debo 2. En total debo 5.
b) Me dan 2 y me perdonan una deuda de 3. Entotal gano 5.
c) Debo 2 y me perdonan una deuda de 2. Entotal debo 0.
9. m.c.m.(36, 45)36 � 22 · 32 · 154 � 2 · 33 · 1m.c.m. � 22 · 33 · 1 � 108m108m � 1h 48mVolveran a coincidir a las 10h 48m.
10. a) m.c.d.(136, 120)136 � 23 · 17 · 1120 � 23 · 3 · 5 · 1m.c.d. � 23 · 1 � 8 pasteles por bandeja.
b) 136 : 8 � 17 bandejas para pasteles de cho-colate.120 : 8 � 15 bandejas para pasteles de nata.
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
84
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
2 y 3 Numeros enteros. Suma y diferencia.Multiplicacion y division de numeros enteros
1. Comenzando por la casilla superior izquierda, donde esta el �10, y acabando en la inferior derecha, dondeesta el �10, encuentra el camino que, partiendo de la primera y yendo de una casilla a otra en sentido vertical,horizontal o diagonal, llegue hasta el �10, pasando siempre a un numero inferior al anterior.
�10 �9 �8 �7 �1
�2 �5 �2 �5 �1
�1 �8 �4 �3 �4
�9 �7 �6 �6 �8
�3 �1 �7 �2 �5
�6 �3 �9 �9 �9
�5 �1 �4 �2 �10
2. ¿Cual es la diferencia en metros entre la cima del Mont Blanc, que tiene 4 807 m de altura, y la fosa delPacıfico, que tiene 7 302 m de profundidad?
3. El dıa 28 de enero el termometro marco en Segovia una temperatura mınima de �5 �C y en Santa Cruz deTenerife 12 �C. ¿Cual fue la diferencia de temperatura entre ambas ciudades?
4. Una persona nacio en el ano 59 antes de Cristo y murio en el ano 27 despues de Cristo. ¿Cuantos anos vivio?
5. La temperatura de un congelador es de �28 �C. Si aumenta la temperatura 17 �C, ¿que temperatura marcaahora el termometro?
6. Completa las cantidades de la serie, de forma que para pasar de un numero al siguiente haya que sumar orestar siempre la misma cantidad:
�15, ..., ..., ..., ..., �5
7. La luz recorre 300 000 km en un segundo. La luz del Sol tarda en llegar a la Tierra 8 minutos (aproxima-damente). ¿Cual es la distancia que separa el Sol de la Tierra?
8. Manuel ha comprado una enciclopedia por 795 euros. Paga una cantidad al contado y el resto en doce men-sualidades de 57 euros cada una. Calcula:
a) La cantidad aplazada.
b) La cantidad pagada al contado.
9. Marıa y Angel tienen entre los dos 93 euros. Marıa tiene 5 euros mas que Angel. ¿Que cantidad tiene cadauno?
10. El senor Gutierrez emprende un viaje en su coche con el deposito lleno de gasolina. En ese momento elcuentakilometros marca 58 425 km. Cuando el cuentakilometros marca 59 125 km, echa 56 litros de gasolina.¿Cuantos litros de gasolina gasta el coche del senor Gutierrez cada 100 km?
Numeros 1.o ESO Actividades de ampliacion 85
SOLUCIONES
1.�10
�5 �2
�3
�6
�7
�9
�10
2. 4 807 � (�7 352) � 4 807 � 7 352 � 12 159
La diferencia de altura es 12 159 m.
3. 12 � (�5) � 12 � 5 � 17
La diferencia de temperaturas es de 17 �C.
4. 27 � (�59) � 27 � 59 � 86
Vivio 86 anos.
5. �28 �C � 17 �C � �11 �C
6. Se suma 2:
�15, �13, �11, �9, �7, �5
7. 8 min � 480 s
300 000 km/s · 480 s � 144 000 000 km
La distancia aproximada del Sol a la Tierra es144 millones de kilometros.
8. a) 57 · 12 � 684684 1 paga a plazos.
b) 795 � 684 � 111111 1 paga al contado.
9. 93 1 � 5 1 � 88 1
88 : 2 � 44Angel tiene 44 1.
44 � 5 � 49Marıa tiene 49 1.
10. 59 125 km � 58 425 km � 700 km que ha re-corrido.
56 l : 700 km � 0,08 l/km
El coche gasta 8 litros cada 100 km.
Actividades de ampliacion Numeros 1.o ESO 86
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
2 Potencias y raıces cuadradas de numeros enteros
1. Escribe los siguientes numeros como la suma de dos cuadrados perfectos:
a) 170 b) 40 c) 13
2. Si elevamos dos numeros al cuadrado y los sumamos, obtenemos 452. Si uno de los numeros es 16, ¿cual esel otro?
3. Escribe en forma de potencia los siguientes productos:
a) 75 · 225
b) (�24) · 48
c) (�1 715) · (�175)
4. Estima entre que numeros enteros se encuentran las raıces cuadradas de estos numeros:
a) ... � 446 � ...
b) ... � 648 � ...
c) ... � 2 110 � ...
5. ¿Que cifra le falta al numero 13 92 para que su raız sea exacta??�6. Calcula, aplicando los productos notables:
a) (23 � 32)2
b) (44 � 33)2
c) (25 � 12) · (25 � 12)
7. Razona por que � 9 .129�
8. Un nino tiene que recorrer todas las baldosas de la figura antes de llegar a la bicicleta. Pero tiene que irsiempre de un valor inferior a uno superior. Indica la posicion del nino, la de la bicicleta y el recorrido correcto.
(�5)3 (22)2 25 · 16� �
(�6)2 121� 23 · 22
(�35)0 49� 46�
9. Demuestra que 2 elevado a 0 es igual a 1.
10. Calcula, con una aproximacion de una milesima, la raız cuadrada de 2351.
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
87
SOLUCIONES
1. a) 170 � 132 � 12 � 169 � 1
b) 40 � 62 � 22 � 36 � 4
c) 13 � 32 � 22 � 9 � 4
2. Primero hallamos 162 � 256.
Como la suma de los cuadrados de los dos numeroses 452, resulta que 452 � 256 � 196; por tanto,196 es el cuadrado del numero buscado, por lo que
� 14.196�El otro numero es 14.
3. (Se pueden dar otras soluciones.)
a) 75 · 225 �� (52 · 3) · (52 · 32) �� 54 · 33
b) (�24) · 48 �� [(�2)3 · 3] · [3 · (�2)4] �� (�2)7 · 32
c) (�1 715) · (�175) �� [(�7)3 · 5] · [(�7) · 52] �� (�7)4 · 53
4. a) 212 � 446 � 222; 441 � 446 � 484.
Entre 21 y 22.
b) 252 � 648 � 262; 625 � 648 � 676.
Entre 25 y 26.
c) 452 � 2 110 � 462; 2 025 � 2 110 � 2 116.
Entre 45 y 46.
5. Utilizamos la regla de la raız cuadrada:
�13 92 ?� 118103 92 1
1 82 ?�1 824
21 · 1 � 21228 · 8 � 1 824
Tenemos que estimar el resultado de la ultima ope-racion, esto es, calcular que numero multiplicadopor 22 y por sı mismo nos da el numero 182...
Entonces: 227 · 7 � 1 589228 · 8 � 1 824229 · 9 � 2 061 se pasa;
por lo que el numero buscado es el 8.
La cifra buscada es el 4.
6. a) (23 � 32)2 �� (23)2 � 2 · (23 · 32) � (32)2 �� 26 � 24 · 32 � 34 �� 64 � 144 � 81 � 289
b) (44 � 33)2 �� (44)2 � 2 · (44 · 33) � (33)2 �� 48 � 29 · 33 � 36 �� 65 536 � 13 824 � 729 �� 52 441
c) (25 � 12) · (25 � 12) �� (25)2 � (12)2 �� 252 � 122 �� 625 � 144 � 481
7. � 9 , 9 � (9 )2, 9 � 9 , 9 � 9.1 1 22 2 29�
Esto es valido con cualquier numero: en realidad,� a .
1nna�
8. El nino se encuentra en la baldosa (�5)3 y la bi-cicleta en .46�El camino recorrido por el nino es el siguiente:
(�5)3 � �125 (22)2 � 16 · � 2025 16� �
(�6)2 � 36 � 11121� 23 · 22 � 32
(�35)0 � 1 � 749� � 3646�
9. 20 � � 1; como los exponentes se restan:3232
3 � 3 � 0.
10. �2 351 48,4871 6
75170447 0038 568 440 07 750 4
689 600678 76910 831
88 · 8 � 704
964 · 4 � 3 856
9 688 · 8 � 77 504
96 967 · 7 � 678 769
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
88
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
3 Fracciones. Operaciones con fracciones
1. ¿Cual es el valor de la mitad de de los de ?3 4 136 5 8
2. Completa el siguiente cuadro: � � 43/30
� :
· 7/2 � 21/8
� 1/12 � 6/35
3. «Al dividir entre el resultado de multiplicarlo por , se obtiene .» ¿Que numero buscamos?3 6 605 9 108
4. Amparo ha recogido del dinero de una colecta para ayudar a comprar material escolar para una escuela del212
Tercer Mundo. Si todavıa faltan 960 euros para haber recogido la mitad, ¿cuanto dinero se destinara para lacompra del material escolar?
5. En una carrera, los tiempos empleados por los cinco atletas participantes han sido:
Dorsal 1 de hora1525
Dorsal 2 de hora1730
Dorsal 3 de hora2320
Dorsal 4 de hora1812
Dorsal 5 de hora1430
¿Quien ha ganado la carrera?
6. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
a) b)2 22 3 3 4
� �� � � �5 2 2 6
1.o Aplicando los productos notables.
2.o Operando primero lo que indica el parentesis.
7. Escribe 8 fracciones no equivalentes cuyo resultado se encuentre entre y .1 23 5
8. a) Demuestra que equivale a de . b) Demuestra que equivale a de .4 2 9 64 2 16�25 3 �25 �225 3 �25
9. Escribe nueve operaciones; cada una de ellas debe dar como resultado un numero entre el 2 y el 10 (ambosinclusive), utilizando en cada una de ellas cuatro numeros «3» solamente. Puedes realizar cualquier operacion,pero siempre has de incluir una fraccion. Por ejemplo:
�3 33 3
� 03333
� 1
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
89
SOLUCIONES
1. · · · � · · � �1 3 4 13 1 3 52 156 13� � ��2 6 5 8 2 6 40 480 40
2. 56
�35
�4330
� :
34
·72
�218
�112
�635
3. Segun los datos del problema, planteamos:
a · � b y b : �6 3 609 5 108
Para resolverlo utilizamos la estrategia de empezarpor el final; esto es, resolvemos la segunda igualdad:
b : � , b � ·3 60 60 35 108 108 5
b � , b � ; y, sustituyendo en la primera,180 18540 54
queda:
a · � , a � � �6 18 (18 · 9) 162 19 54 (54 · 6) 324 2
El numero es .12
4. La fraccion que representa el total de la colecta es
; entonces, la mitad de la colecta es .12 612 12
Si se han recogido de la mitad, lo que falta por212
recoger de esta mitad es: � � , que segun6 2 412 12 12
el enunciado supone 960 m.
960 : 4 � 240 m
240 · 12 � 2 880 m
Para la compra del material se destinaran 2 880 m.
5. El tiempo que ha empleado cada atleta es:
Dorsal 1 � � 36 min(15 · 60) 900
25 25
Dorsal 2 � � 34 min(17 · 60) 1 020
30 30
Dorsal 3 � � 69 min(23 · 60) 1 380
20 20
Dorsal 4 � � 90 min(18 · 60) 1 080
12 12
Dorsal 5 � � 28 min(14 · 60) 840
30 30
luego el que menos tiempo emplea es el dorsal 5.
El ganador ha sido el atleta que lleva el dorsal 5,que ha empleado 28 minutos.
6. ) � �22 3
a o1. � �5 2
� � 2 · · � �2 22 2 3 3� � � � � � � �5 5 2 2
� � � �4 12 925 10 4
� � � �16 120 225 361100 100 100 100
) � �23 4
b o1. � �2 6
� � 2 · · � �2 23 3 4 4� � � � � � � �2 2 6 6
� � � �9 24 164 12 36
� � � �81 72 16 2536 36 36 36
) � � � � �2 2 22 3 4 15 19 361
a o2. � � � � � �5 2 10 10 10 100
) � � � � �2 2 23 4 9 4 5 25
b o2. � � � � � �2 6 6 6 6 36
7. Por ejemplo:
, , , , , , , ,3 4 5 6 7 7 7 8 98 11 13 17 20 19 18 21 23
8. a) � ; de � de � �4 2 2 9 2 3 6 2�25 5 3 �25 3 5 15 5
b) � ; de � de �64 8 2 16 2 4 8�225 15 3 �25 3 5 15
9. Por ejemplo:
� � 23 33 3
� 3
3333
� 3 � 433� �3
3 � 3 � � 533
� 3 � 633
3� 3 � 3 � 7
33
3 · 3 � � 833
3 · 3 · � 933
3 · 3 � � 1033
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
90
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
4 Expresiones decimales
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones obteniendo previamente la fraccion que representa cada numerodecimal:
a) 0, � 3,16v 6v
b) 12,342w � 0,3v
c) 3,72 · 11,42w
2. Continua las series anadiendo cinco numeros mas a cada una de ellas:
a) 5,63; 3,53
b) 2,1; 0,21
3. Calcula y establece un criterio que te facilite el tipo de operacion que se presenta:
a) 23 · 0,3v d) 23 : 0,3v
b) 4,2 · 0,3v e) 4,2 : 0,3v
c) 5,21 · 0,3v f) 5,21 : 0,3v
4. Calcula y establece un criterio para incorporarlo a tus estrategias de calculo mental:
a) 6,5 · 0,2 d) 5,36 : 0,2
b) 3,72 · 0,02 e) 74,1 : 0,02
c) 4,08 · 0,002 f) 84,6 : 0,002
5. Calcula, con la aproximacion de una milesima, la raız cuadrada de 374,25.
6. Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Por que multiplicar un numero por 2,5 equivale a dividirlo entre 2 y multiplicarlo por 5?
b) ¿Por que multiplicar por 0, es equivalente a dividir entre 9?1v
7. Un coche gasta 8,56 litros de gasolina cada 75 km. Si el precio de la gasolina es de 1 euro el litro, calculacuanto dinero supondra realizar un viaje de 1 358 kilometros.
8. De un grupo de 30 alumnos, 20 son chicas. ¿Que porcentaje suponen?
9. Calcula el perımetro de la siguiente figura:
10. Dos lavadoras de marcas distintas pero de similares caracterısticas valen 306,51 m y 343,77 m, respectivamente.¿Que porcentaje es mas cara la segunda que la primera?
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
A=44,89 cm2
91
SOLUCIONES
1. a) 0, � 3,1 � � � �6 285 345
6v 6v9 90 90
� � � 3,869 23
3v18 6
b) 12,342w � 0, � � �12 219 3
3v990 9
� � � 12,0090w11 889 1 321
990 110
c) 3,72 · 11,42w � · � · �372 1 131 93 1 131100 99 25 99
� � � 42,4981w105 183 11 6872 475 275
2. a) 5,63; 3,53; 1,43; �0,67; �2,77; �4,87; �6,97
b) 2,1; 0,21; 0,021; 0,0021; 0,00021;0,000021; 0,0000021
3. a) 23 · 0, � 7,3v 6v
b) 4,2 · 0, � 1,43v
c) 5,21 · 0, � 1,733v 6v
d) 23 : 0, � 693v
e) 4,2 : 0, � 12,63v
f) 5,21 : 0, � 15,633v
El alumno puede establecer como criterio que ten-dra que incorporar a las estrategias de calculomental: «Multiplicar por 0, equivale a dividir en-3v
tre 3, ya que 0, � , y dividir entre 0, equivale1
3v 3v3
a multiplicar por 3».
4. a) 6,5 · 0,2 � 1,3
b) 3,72 · 0,02 � 0,0744
c) 4,08 · 0,002 � 0,00816
d) 5,36 : 0,2 � 26,8
e) 74,1 : 0,02 � 3 705
f) 84,6 : 0,002 � 42 300
Criterio: «Multiplicar por 0,2; 0,02; 0,002... esequivalente a dividir entre 5, 50, 500..., respecti-
vamente, ya que 0,2 � � , 0,02 � � ,2 1 2 110 5 100 50
0,002 � � y dividir entre 0,2; 0,02;2 1
1 000 5000,002... es equivalente a multiplicar por 5, 50,500..., respectivamente».
5. �374,25 19,3451274261
13 2511 49
1 760 01 545 6
214 400193 425
20 975
29 · 9 � 261
383 · 3 � 1 149
3 864 · 4 � 15 456
38 685 · 5 � 193 425
6. a) Porque se puede establecer la equivalencia:
2,5 � �25 210 5
b) Porque se puede establecer la equivalencia:
0, �1
1v9
7. Para averiguar el consumo de gasolina en todo elviaje se plantea la ecuacion:
8,56 litros 75 kilometros� x litros 1 358 kilometros
x � � 154,993 litros se consumen(1 358 · 8,56)
75en el viaje.
Entonces, como cada litro cuesta 1 m, tenemos:154,993 · 1 � 154,99 m
El viaje supondra 154,99 m.
8. �20 x30 100
x �20 · 100
30
x � 66,6 % son chicas.
9. � 6,744,89�6,7 · 2 � 13,4
6,7 · 2 · 2 � 26,8
13,4 � 26,8 � 40,2
10. 343,77 � 306,51 � 37,26 m
�37,26 x306,51 100
x �37,26 · 100
306,51
x � 12,15 %
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
92
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
5 Expresiones algebraicas
1. Calcula el valor del termino independiente de cada uno de los siguientes polinomios para que su valor numericosea 2, tomando x los valores indicados.
a) A(x) � 6x3 � 4x2 � c, para x � 1
b) B(x) � 2x5 � 6x3 � 2x2 � c, para x � 2
c) C(x) � �7x3 � 6x2 � c, para x � �1
2. Completa las siguientes expresiones:
a) 25x4 � � 49 � ( )2? ?� �b) (6x ) · ( ) � 36x2 � 4a2y4? ?� �c) 25a2y4 � � 9b2x2 � (5ay2 � )2? ?� �
3. Encuentra el polinomio que expresa el area de la siguiente figura:
4. Calcula el valor de x para el cual el valor numerico de (x2 � 4) · (x � 7) es nulo. Haz la comprobacion.
5. Desarrolla la siguiente expresion e indica con palabras la regla que podrıa aplicarse para otros casos semejantes:
(a � b)3
6. Aplica la regla anterior para desarrollar el cubo de los siguientes binomios:
a) (5a � 3by2)3
b) (5r4 � d2)3
7. Desarrolla la expresion (a � b)3 y aplica la regla obtenida para calcular (2a � b)3.
8. Busca una expresion algebraica que represente la suma de tres numeros consecutivos. ¿Que se obtendra siempre,independientemente de cuantos sean los numeros consecutivos elegidos?
9. Calcula el area del siguiente rectangulo:
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
3x2 + 6x – 4
4x2 + 2x
2x2
7
5
b
a
93
SOLUCIONES
1. a) 2 � 6(1)3 � 4(1)2 � c2 � 6 � 4 � c2 � 10 � cc � 8
b) 2 � 2(2)5 � 6(2)3 � 2(2)2 � c2 � 64 � 48 � 8 � c2 � 8 � cc � 6
c) 2 � �7(�1)3 � 6(�1)2 � c2 � 7 � 6 � c2 � 1 � cc � 1
2. a) 25x4 � 70x � 49 � ( 5x2 � 7 )2
b) (6x � 2ay2 ) ( 6x � 2ay2 ) � 36x2 � 4a2y4
c) 25a2y4 � 30ay2bx � 9b2x2 � (5ay2 � 3bx )2
3. La figura es un paralelogramo cuya area es:
A � [(base mayor � base menor)/2] · altura
Entonces, con los datos de la figura es:
A � {[(4x2 � 3x2 � 6x � 4) � (3x2 � 6x � 4)]/2} ·· (4x2 � 2x) �� {[10x2 � 12x � 8]/2} · (4x2 � 2x) �� (5x2 � 6x � 4) · (4x2 � 2x) �� 20x4 � 24x3 � 16x2 � 10x3 � 12x2 � 8x �� 20x4 � 34x3 � 4x2 � 8x
4. Para que el valor sea nulo en el producto, uno delos dos factores tiene que ser igual a cero. Entonces:
Si x2 � 4 � 0 x2 � 4 x � �2Si x � 7 � 0 x � �7
Los valores son x � �2 y x � �7.
Comprobacion:
x � 2 (22 � 4) · (2 � 7) � (4 � 4) · 9 ��0 · 9 � 0
x � �7 [(�7)2 � 4] · [(�7) � 7] �
� (49 � 4) · 0 � 45 · 0 � 0
5. Desarrollo de la expresion:
(a � b) · (a � b) · (a � b) �� [(a � b) · (a � b)] · (a � b) �� (a � b)2 · (a � b) �� (a2 � 2ab � b2) · (a � b) �� a3 � 2a2b � ab2 � a2b � 2ab2 � b3 �� a3 � 3a2b � 3ab2 � b3
Regla: «El cubo de la suma de dos monomios esigual al cubo del primero, mas el triple del primeroal cuadrado por el segundo, mas el triple del pri-mero por el cuadrado del segundo, mas el cubo delsegundo».
6. a) (5a � 3by2)3 �� (5a)3 � 3 · (5a)2 · 3by2 � 3 · 5a · (3by2)2 �� (3by2)3 �� 125a3 � 3 · 75a2by2 � 3 · 45ab2y4 � 27b3y6 �� 125a3 � 225a2by2 � 135ab2y4 � 27b3y6
b) (5r4 � d2)3 �� (5r4)3 � 3 · (5r4)2 · d2 � 3 · 5r4 · (d2)2 �� (d2)3 �� 125r12 � 3 · 25r8d2 � 3 · 5r4d4 � d6 �� 125r12 � 75r8d2 � 15r4d4 � d6
7. (a � b)3 �� (a � b)2 · (a � b) � (a2 � 2ab � b2) · (a � b) �� a3 � 2a2b � ab2 � a2b � 2ab2 � b3 �� a3 � 3a2b � 3ab2 � b3
(2a � b)3 �� (2a)3 � 3 · (2a)2 · (b) � 3 · (2a) · b2 � b3 �� 8a3 � 12a2b � 6ab2 � b3
8. a � (a � 1) � (a � 2) � 3a � 3
Siempre se obtendra el triple del primer numero ele-gido mas tres.
9. (a � 5) · (b � 7) � ab � 7a � 5b � 35
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
94
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
6 Ecuaciones
1. Calcula la longitud de una pieza de tela sabiendo que Ana compro un tercio, Enrique la mitad, Olga la deci-moquinta parte y que Luis se quedo con los quince metros que sobraban.
2. Dos aviones transportan el mismo numero de viajeros.
Si de uno de ellos sacamos 20 viajeros y del otro 90, en el primero quedan el doble de pasajeros que en elsegundo. ¿Cuantos viajeros pueden transportar estos aviones?
3. Alberto sale de su pueblo y se dirige en moto al pueblo de Blanca a una velocidad de 70 km/h siguiendo unacarretera recta que une ambos pueblos. A la misma hora Blanca sale de su pueblo camino del de Alberto en elcoche de su padre a una velocidad de 90 km/h.
Si la distancia entre ambos pueblos es de 480 km, ¿al cabo de cuantas horas, despues de la salida, se encuentran?
4. En un triangulo el angulo menor mide la mitad del mayor de los angulos, y el otro las tres cuartas partes delmayor. ¿Cuantos grados mide cada angulo?
5. Calcula el perımetro de un triangulo rectangulo sabiendo que sus lados miden cantidades enteras consecutivas.
6. Calcula dos numeros pares consecutivos cuyo producto sea 2 208.
7. Calcula el lado de un cuadrado sabiendo que el area de otro cuadrado, cuyos lados miden 2 cm mas que los delanterior, es de 400 cm2.
8. Explica por que si piensas un numero, lo duplicas, le sumas 8 unidades, lo divides por 2 y finalmente le restasel numero pensado, el resultado siempre es 4.
9. La edad de un padre es seis veces la edad de su hijo, y dentro de 20 anos la edad del padre sera el doble quela de su hijo. ¿Cuantos anos tienen padre e hijo en la actualidad?
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
95
SOLUCIONES
1. Si la longitud de la tela es x, Ana compro x/3, En-rique x/2 y Olga x/15; entonces, la ecuacion es:
x � x/3 � x/2 � x/15 � 15;30x/30 � 10x/30 � 15x/30 � 2x/30 � 450/30;30x � 10x � 15x � 2x � 450;30x � 10x � 15x � 2x � 450;3x � 450; x � 450/3; x � 150.
La longitud de la pieza de tela es de 150 m.
2. Si la capacidad de transporte de cada avion es x,al sacar a los pasajeros quedaran en el primerox � 20 y en el segundo x � 90, y el doble de pa-sajeros del segundo sera 2 · (x � 90); entonces:
x � 20 � 2 · (x � 90); x � 20 � 2x � 180;x � 2x � �180 � 20; �x � �160; x � 160
Cada avion transporta 160 pasajeros.
3. Si el tiempo que tardan en encontrarse es x, utili-zando la formula fısica de la velocidad (v � s/t;s � v · t) y el dibujo
la distancia que recorre Alberto es AB � 70x, laque recorre Blanca BC � 90x y AB � BC � AC;entonces, la ecuacion que resuelve el problema es:
70x � 90x � 480; 160x � 480; x � 480/160;x � 3.
Alberto y Blanca se encuentran al cabo de 3 horasa partir del momento de la salida.
4. Si los grados que mide el angulo mayor son x, los delmenor seran x/2 y los del otro 3x/4; entonces, comola suma de los angulos interiores de un triangulo es180�, la ecuacion que resuelve el problema es:
x � x/2 � 3x/4 � 180;4x/4 � 2x/4 � 3x/4 � 720/4;4x � 2x � 3x � 720;9x � 720; x � 720/9; x � 80.
Los angulos miden 80�, 40� y 60�.
5. Si uno de los lados es x, los otros seran x � 1 yx � 2, entonces la ecuacion que resuelve el proble-ma es P � x � (x � 1) � (x � 2); P � 3x � 3.
En esta ecuacion tenemos dosdatos desconocidos, P y x, porlo que debemos obtener una deellas, x, a traves del teoremade Pitagoras, de forma que,teniendo en cuenta el dibujo,
la ecuacion es:
(x � 2)2 � x2 � (x � 1)2
x2 � 4x � 4 � x2 � x2 � 2x � 1
x2 � x2 � x2 � 4x � 2x � 4 � 1 � 0
�x2 � 2x � 3 � 0
x � (2 � )/2; x � (2 � )/24 � 12 16� �x � (2 � 4)/2; x � �1 No valida.
x � (2 � 4)/2 � x � (2 � 4)/2; x � 3 Valida.
Entonces, sustituyendo este valor tenemos:
P � 3x � 3; P � 3 · 3 � 3; P � 12
6. Si x es un numero par, el siguiente sera x � 2;entonces, la ecuacion que resuelve el problema es:
x · (x � 2) � 2 208; x2 � 2x � 2 208;
x2 � 2x � 2 208 � 0;
x � (�2 � )/2; x � (�2 � )/2;4 � 8 832 8 836� �
x � (�2 � 94)/2x � (�2 � 94)/2; x � 46� x � (�2 � 94)/2; x � �48
Los numeros son 46 y 48, y tambien �46 y �48.
7. Area cuadrado grande � 400 cm2
(x � 2) (x � 2) � 400
x2 � 4x � 4 � 400 x2 � 4x � 396 � 0
x � � ��4 � 16 � 1 584 �4 � 1 600� �
2 2
� � � � 18 cm�4 � 40 �4 � 40 36
2 2 2
8. � x � 4; x � 4 � x � 4; 4 � 42x � 8
2En realidad, lo que hemos hecho ha sido pensar unnumero, sumarle 4 y quitar el mismo numero por loque logicamente obtenemos 4.
El numero pensado es x.
9. x es la edad del hijo y 6x es la edad del padre.
Dentro de 20 anos tendran (x � 20) y (6x � 20),respectivamente.
6x � 20 � 2(x � 20) 6x � 20 � 2x � 40
6x � 2x � 40 � 20 4x � 20; x �204
x � 5 anos tiene el hijo
6 · 5 � 30 anos tiene el padre
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
70 km/h B 90 km/h
A C
x + 2
x + 1
x
96
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
1. Resuelve el sistema:3x � 2y � 5z � �84x � y � 3z � �3�x � 2y � 3z � 6
2. Los gastos de transporte de trigo ascienden a 0,60 euros por tonelada y kilometro. Dos poblaciones A y B,situadas a 100 kilometros una de otra, venden el mencionado cereal a 60 y 75 euros cada tonelada. Por otraparte, cierta fabrica de pan esta situada entre las dos poblaciones y se produce el hecho de que le es indiferentecomprar el trigo en A o en B. ¿A que distancia esta situada de cada una de las poblaciones?
3. Un piraguista, yendo a favor de la corriente, tarda 3 horas en recorrer el trayecto comprendido entre los puntosA y B de un rıo. A la vuelta, y cuando va en contra de la corriente pero a su marcha normal, tarda en regresar5 horas. Cansado por el esfuerzo, decide dejarse llevar por la corriente. ¿Cuanto tardara en volver a llegar alpunto B?
4. A un estanque de riego llegan tres riachuelos. Los dos primeros tardan 4 dıas en llenar el estanque, los dosultimos tardan 5 dıas en realizar la misma tarea y, por ultimo, el primero y el tercero juntos tardan 6 dıas.¿Cuanto tardarıa cada uno por separado? ¿Cuanto tardarıan si afluyeran los tres juntos?
5. Los lados de un triangulo miden 5, 6 y 7 centımetros. Se trazan tres circunferencias de tal modo que sus centrosson cada uno de los vertices del triangulo dado y ademas son tangentes dos a dos. Calcula el radio de cada unade las tres circunferencias.
6. Halla los coeficientes a, b y c del polinomio x3 � ax2 � bx � c para que sea divisible por x � 2 y tenga porrestos �9 y �1 al dividirlo por x � 1 y x � 3, respectivamente.
Algoritmo 3.o ESO Actividades de ampliacion
7 Sistemas de ecuaciones
97
SOLUCIONES
1. x � 1; y � 2; z � 3
2. Supongamos que las poblaciones distan de la fabricax kilometros e y kilometros, respectivamente. En-tonces:
x � y � 100� 60 � 0,60x � 75 � 0,60y
Resolviendo el sistema se obtiene la solucion:
La poblacion A dista de la fabrica 62,5 kilometros;y la B, 37,5 kilometros.
3. Llamamos x al numero de horas que tardarıa en irde A a B con el agua parada (solo con la velocidadque corresponde a sus fuerzas) y llamamos y al nu-mero de horas que tardarıa dejandose llevar por lacorriente (solo con la velocidad que corresponde almovimiento del agua).
Hallando la distancia que recorrerıa en una horapara los casos de que fuese remando hacia abajo,remando hacia arriba, remando hacia abajo perocon el agua parada y, por ultimo, sin remar, pode-mos escribir el sistema:
1 1 1� �
x y 31 1 1� � �x y 5
x � 3 horas 45 minutos
y � 15 horas
Actividades de ampliacion Algoritmo 3.o ESO
4. Supongamos que el primero tarda x dıas, el segundoy, el tercero z. En un dıa, cada uno de ellos llenarıa
, y del estanque. En consecuencia, podemos1 1 1x y zplantear el sistema:
1 1 1� �
x y 41 1 1
� �y z 5� 1 1 1
� �x z 6
que da las soluciones aproximadas:
x � 9 dıas 5 horas 32 minutos
y � 7 d 1 h 25 min
z � 17 d 3 h 26 min
Todos juntos tardarıan en llenarlo 3 d 5 h y 50 min.
5. Llamando r, s y t a los radios, se ve que cada unode los lados del triangulo es igual a la suma de dosde los radios.
Por tanto,r � s � 5 r � 2 cmr � t � 6 s � 3 cm� �s � t � 7 t � 4 cm
6. Hallando los valores numericos del polinomio en lospuntos 2, 1 y 3 e igualando a 0, �9 y �1, respec-tivamente, se obtiene el siguiente sistema de tresecuaciones lineales con tres incognitas:
8 � 4a � 2b � c � 01 � a � b � c � �9�
27 � 9a � 3b � c � �1
Resolviendolo se obtiene la solucion:
x3 � 11x2 � 35x � 34
98
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
8 Magnitudes proporcionales
1. Teresa, Lola y Blanca han ido a la Feria del Libro y han comprado 5, 4 y 9 libros del mismo precio, respecti-vamente. Si han tenido que pagar 135,23 m y han decidido hacerlo proporcionalmente a lo que han comprado,¿cuanto pagara cada una?
2. Una persona deposita en el banco un capital al 8 % durante 2 anos. Si el 12 % de los intereses los dona paraayudar al Tercer Mundo y supone la cantidad de 440 m, calcula los intereses producidos y el capital depositado.
3. Tres albaniles trabajan 8 horas al dıa para construir un edificio de 2 plantas durante 3 meses. ¿Cuanto tardarıanen construir un edificio de 3 plantas un equipo de 6 albaniles trabajando 12 horas diarias?
4. Dos familias vecinas deciden construir una piscina compartida que en total les cuesta 9 000 m. La primera familiaaporta el trampolın, que cuesta 510 m, y la segunda las escalerillas, que cuestan 450 m. El resto deciden pagarlodistribuyendo el coste de manera proporcional al numero de miembros de cada familia. ¿Cuanto aportara cadauna si la primera tiene 6 miembros y la segunda 4?
5. Cuatro amigos organizan una fiesta en la que cobran las entradas a 6 m. La organizacion les ha costado 420 m
y deciden repartirse los beneficios proporcionalmente a las entradas que ha conseguido vender cada uno. Sabiendoque Juan ha vendido 39 entradas, Pedro ha vendido 45, Luis 28 y Antonio 42, ¿que parte de los beneficios lecorresponde a cada uno?
6. Un comerciante invierte su capital durante 4 anos al 8 % de interes y obtiene unas ganancias de 12 500 m.¿Cuanto habrıa ganado si lo hubiera invertido en otro banco que le ofrecıa el 8,10 % durante 6 anos y 4 meses?
7. Un barco lleva vıveres para alimentar a su tripulacion, formada por 200 personas, durante 15 dıas. Si en eltrayecto ha aumentado el numero de pasajeros en un 20 %, ¿para cuantos dıas habra vıveres?
8. En una prenda de 150 m me han cobrado 127,5 m. ¿Que porcentaje de descuento me han hecho?
9. Tres socios han obtenido un beneficio de 40 000 m en el ultimo ano. Si lo reparten de forma inversamenteproporcional al numero de dıas de vacaciones que se ha tomado cada uno, ¿cuanto le correspondera a cada uno,sabiendo que el primero se ha tomado 40 dıas, el segundo 50 dıas y el tercero 60 dıas?
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
99
SOLUCIONES
1. Utilizando el metodo de reduccion a la unidad te-nemos:xprecio libros Teresa/5 � yprecio libros Lola/4 � zprecio libros Blanca/9 �� 135,23/18 � 7,51 m cuesta 1 libro; entonces:x � 7,51 · 5 � 37,55; y � 7,51 · 4 � 30,04;z � 7,51 · 9 � 67,59.
Teresa pagara 37,55 m, Lola 30,04 m y Blanca67,59 m.
2. Para hallar los intereses producidos habra que apli-car la regla de tres:
x � (100 · 440)/12 � 3 666,6712 % 440 m �100 % x m
Para hallar el capital aplicamos:
C � (100 · i)/(r · t), donde i � 3 666,67 m,r � 8 % y t � 2 anos; entonces:C � (100 · 3 666,67)/(8 · 2) � 22 916,69.Los intereses producidos son de 3 666,67 m, y el ca-pital que se deposito, de 22 916,69 m.
3. Sabemos:3 albaniles 8 h diarias 2 plantas 3 meses;por el metodo de reduccion a la unidad tenemos:1 albanil 8 h diarias 2 plantas 3 · 3 � 9 meses;1 albanil 1 h diaria 2 plantas 9 · 8 � 72 meses;1 albanil 1 h diaria 1 planta 72/2 � 36 meses;buscando el resultado obtenemos: 6 albaniles 1 hdiaria 1 planta 36/6 � 6 meses; 6 albani-les 12 h diarias 1 planta 6/12 � 1/2 mes;6 albaniles 12 h diarias 3 plantas (1/2) ·· 3 � 1,5 meses tardaran.
4. El total a pagar que se tienen que repartir es:9 000 � 510 � 450 � 8 040; teniendo en cuenta elnumero de miembros de cada familia, les correspondepagar: a la primera, 6 · k, y a la segunda, 4 · k; deforma que:6 · k � 4 · k � 8 040, 10 · k � 8 040; k � 804,esto es, por cada miembro se pagan 804 m.Entonces, la primera familia pagara 804 · 6 � 4 824 m
y la segunda familia, 804 · 4 � 3 216 m.
5. La cantidad a repartir es:(n.o total de entradas vendidas · 6 m cada una) �� 420 � (154 · 6) � 420 � 924 � 420 � 504 m.Teniendo en cuenta el numero de entradas vendidas lescorresponden: a Juan 39 · k, a Pedro 45 · k, a Luis28 · k y a Antonio 42 · k; de forma que:39 k � 45 k � 28 k � 42 k � 504, 154 · k � 504,k � 3,27; esto es, por cada entrada vendida obtienen3,27 m de beneficio.
Entonces, a Juan le corresponden 39 · 3,27 � 127,53 m,a Pedro 45 · 3,27 � 147,15 m, a Luis 28 · 3,27 �� 91,56 m y a Antonio 42 · 3,27 � 137,34 m.
6. Necesitamos saber el capital inicial que invirtio el co-merciante a traves de C � (100 · i)/(r · t), don-de i � 12 500 m, r � 8 %, t � 4 anos; entonces,C � (100 · 12 500)/(8 · 4) � 39 062,50 m es el capitalque invirtio el comerciante.
Para saber los intereses si lo hubiera invertido en elotro banco utilizamos i � (C · r · t)/(12 · 100), dondeC � 39 062,50 m, r � 8,10 % y t � 6 anos y 4 me-ses � (6 · 12) � 4 � 76 meses; entonces:
i � � 20 039,0639 062,50 · 8,10 · 76
12 · 100
Habrıa obtenido unos intereses de 20 039,06 m.
7. 200 · � 40 nuevos pasajeros20100
200 � 40 � 240 pasajeros200 personas 15 dıas240 personas x
x � � 12,5 dıas tienen vıveres200 · 15
240
8. 150 22,5100 x
x � � 15 % de descuento2 250150
9. Al primero le tocara , al segundo y al tercerok k k
40 50 60Por tanto:
� � � 40 000k k k
40 50 6015k � 12k � 10k � 24 000 00037k � 24 000 000
k � � 648 648,6424 000 000
37
648 648,64 : 40 � 16 216,22 euros648 648,64 : 50 � 12 972,97 euros648 648,64 : 60 � 10 810,81 euros
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
100
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
9 Funciones
1. Halla la ecuacion de la parabola que pasa por los puntos (�1, 4), (0, 3) y (�3, 0).
Haz una tabla de valores y representalos.
2. Representa en un diagrama una funcion cuya representacion sea una recta paralela a: y � �6x � 2.
Escribe la funcion de esta recta paralela.
3. Dada la funcion cuadratica y � �x2 � 2x � 3, halla:
a) El punto de interseccion de la grafica con el eje de ordenadas.
b) Los puntos en los que la grafica corta al eje de abscisas.
c) Su representacion grafica.
4. Halla la ecuacion de las siguientes funciones:
a) Tiene pendiente � y ordenada en el origen �2.34
b) Tiene pendiente 6 y ordenada en el origen 0.
c) Es una funcion lineal que pasa por el punto (3, 36).
5. Halla el punto de interseccion entre una recta paralela al eje OX que pasa por (�2, �1) y la recta cuya ecuaciones y � x.
6. Halla la ecuacion de las rectas que pasan por los puntos (2, 4) y (4, 10).
7. Halla los puntos de interseccion entre la parabola cuya ecuacion es y � �x2 � 2x � 3 y la recta cuya ecuaciones y � x � 1.
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
101
SOLUCIONES1. Como la forma general de la funcion cuadratica es
y � ax2 � bx � c, obtenemos:
• Teniendo en cuenta el punto (�1, 4): 4 � a � b � c (1)• Teniendo en cuenta el punto (0, 3): 3 � c (2)• Teniendo en cuenta el punto (�3, 0):
0 � 9a � 3b � c (3)
Ahora, sustituyendo (2) en (1) obtenemos:4 � a � b � 3 1 � a � b a � 1 � b; ysustituyendo este valor en (3) obtenemos:9(1 � b) � 3b � 3 � 0 9 � 9b � 3b � 3 �0
6b � 12 � 0 6b � �12 b � �2;por lo que a � 1 � (�2) a � �1
Entonces, hemos obtenido los valores de a, b y c,por lo que la ecuacion que pasa por los puntos dadoses: y � �x2 � 2x � 3.
Su tabla de valores es: Su representacion grafica es:
x y
�3 0
�2 3
�1 4
0 3
1 0
2 �5
3 �12
2. Primero representamos la recta dada (lınea continuaen la representacion):
x y
0 2
1 �4
2 �10
Dibujamos la recta paralela (lıneadiscontinua en la representacion),aprovechando la cuadrıcula, yescribimos la tabla de valores fi-jandonos en la representacion:
x
0
1
2
y
1
�5
�11
En donde vemos que la funcion deesta recta paralela es: y � �6x�1;es decir, para obtener una funcioncuya representacion sea paralela aotra dada, basta con que tengan lamisma pendiente.
3. a) Para que corte al eje de ordenadas tiene que ocu-rrir que x � 0, por lo que sustituyendo en laecuacion dada tenemos:
y � �(0)2 � 2 · 0 � 3 y � 3
El punto de interseccion con el eje de ordenadases (0, 3).
b) Para que corte al eje de abscisas tiene que ocu-rrir que y � 0, por lo que, sustituyendo en laecuacion dada, tenemos:
0 � �x2 � 2x � 3 x � (2 � /24 � 12)�� (2 � 4)/2 x � �3, x � 1Los puntos de interseccion con el eje de abscisasson (�3, 0) y (1, 0).
c) x y
�3 0
�1 4
0 3
1 0
4. a) y � � x � 2 b) y � 6x34
c) La forma general de la funcion lineal es y � mx;como pasa por (3, 36), sera 36 � m · 3 m � 12.y � 12x
5. Punto (�1, �1).
6. Como la pendiente indica el cambio de la variabley correspondiente a cada unidad de la variable x, setiene que:
m � � 362
y � 3x � by � 6 � bb � 4 � 6b � �2La ecuacion de la recta es: y � 3x � 2
7.2
2 y � �x � 2x � 3y � x � 2x � 3�x � 1� y � x � 1 � �y � � 02�x � 3x � 4
x � �
3 � 5� �4
�3 � 9 � 16 �2�3 � 5�2
� 1�2
Si x � �4 y � x � 1; y � �4 � 1; y � �5Si x � 1 y � x � 1; y � 1 � 1; y � 0
Los dos puntos en los que se cortan son: (�4, �5)y (1, 0).
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
1
-5
-11
102
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
10 y 11 Estadıstica. Probabilidad1. La composicion media de los residuos solidos urbanos es: materia organica un 49,20 %, papel-carton un 20,00 %,
plastico un 7,00 %, metales un 4,00 %, vidrio un 7,80 %, maderas, textiles, gomas y cuero un 7,00 %, inertesun 1,70 % y diversos un 3,30 %. Si una persona, por termino medio, genera 0,99 kg de basura por dıa, indica:¿cuanto papel-carton tira a la basura en un ano?; ¿y cuanto vidrio?
2. A continuacion aparecen tres graficos. Responde a las preguntas relacionadas con ellos:
a) ¿Por que China, siendo el segundo paıs que mas energıa consume (1.er grafico), pasa a ser de los ultimos enel 3.er grafico?
b) ¿Por que Espana, que presenta un valor tan bajo en el 1.er y 2.o grafico, resulta ser uno de los paıses masaltos en el tercero?
3. Los pesos correspondientes a 26 alumnos y alumnas son:
49, 56, 45, 52, 61, 40, 39, 48, 61, 55, 59, 41, 38, 47, 53, 58, 65, 69, 54, 65, 67, 70, 51, 38, 50, 71.
a) Agrupa los datos en intervalos de 7 kg.
b) Representalos en un histograma.
c) Calcula la media y la moda.
4. Los resultados obtenidos por 5 accionistas en la bolsa en un mes han sido: 3 000 m, 1 000 m, 12 000 m, �500 m,�100 m. ¿Cual es la desviacion media?
5. Responde a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cual es la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja de 40 cartas no sea ni copas ni as?
b) ¿Y de que sea oros o un 3?
6. Con las letras de la palabra PAN se construyen tres cartulinas, se vuelven hacia abajo y se barajan. ¿Cual es laprobabilidad de que al dar la vuelta a las cartas este escrita la palabra PAN?
7. Una persona juega al doble o nada. Lanza una moneda al aire. Si la moneda sale cara puede seguir jugando, ysi sale cruz pierde. Calcula la probabilidad de que gane la tercera tirada.
8. Se tienen dos bolsas: en una de ellas (A) hay 6 bolas rojas, 4 bolas verdes y 10 bolas blancas; y en la otra (B),4 bolas azules, 6 bolas verdes y 10 bolas rojas.
a) Determina la probabilidad de que al sacar una bola en A sea verde.
b) Probabilidad de que al sacar una bola de A y otra de B las dos sean verdes.
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
USA China Japón Canadá ReinoUnido
India México Brasil España ArgentinaEgipto
0
200
600
400
1 000
800
1 200
USA China Japón Canadá ReinoUnido
India México Brasil España ArgentinaEgipto
USA China Japón Canadá ReinoUnido
India México Brasil España ArgentinaEgipto
mill
ones
de
T.E.
C.
mill
ones
de
habi
tant
esm
illon
es d
e T.
E.C
.
0
2
6
4
10
8
12Consumo de energía anual per cápita
Población de cada país
Consumo total de energía en distintos países
103
SOLUCIONES
1. La basura generada por una persona en un ano sera:365 · 0,99 � 361,35 kg.De papel-carton es el 20,00 %, luego seran72,27 kg; y de vidrio, el 7,80 %, o sea, 28,18 kg.
2. a) China es el paıs mas poblado del mundo; y, comoel tercer grafico representa el consumo por ha-bitante, al dividir el consumo por el numero dehabitantes da el resultado que aparece en el ter-cer grafico.
b) En el tercer grafico se representa el consumo porhabitante, y el de Espana es elevado comparadocon el de paıses no tan desarrollados.
3. a) Peso (kg) Frecuencia absoluta
[38 – 45) 5
[45 – 52) 6
[52 – 59) 6
[59 – 66) 5
[66 – 73) 4
b)
c) Para calcular la media y moda necesitamos in-corporarle a la tabla las marcas de clase, la fre-cuencia absoluta por las marcas de clase y lasfrecuencias absolutas acumuladas.
Peso (kg) Frecuenciaabsoluta
Marcasde clase
(Frecuenciaabsoluta) �(marca de
clase)
Frecuenciaabsoluta
acumulada
[38 – 45) 5 41,5 166 4 � 13
[45 – 52) 6 48,5 399,5 11 � 13
[52 – 59) 6 55,5 333 17 � 13
[59 – 66) 5 62,5 312,5
[66 – 73) 4 69,5 208,5
26 1 429
Media � 1 429 : 26 � 54,96 kgModa � 48,5 kg
4. Resultadoseconomicos
(o)
Resultados economicos –– Media
WResultadoseconomicos –
– MediaW
3 000 3 000 � 3 080 � �80 80
1 000 1 000 � 3 080 � �2 080 2 080
12 000 12 000 � 3 080 � 8 920 8 920
�500 �500 � 3 080 � �3 580 3 580
�100 �100 � 3 080 � �3 180 3 180
0 17 840
La desviacion media es: � 3 568 m17 840
5
5. a) p(no copas y no as) � �casos favorablescasos posibles
� �(40 � 13) 27
40 40
b) p(oros o un 3) �1340
6. El conjunto de casos posibles es:
{PAN, PNA, APN, ANP, NPA, NAP}
p(PAN) �16
7. Se forman todos los casos posibles mediante un dia-grama como el indicado. En el se observa que:
p(ganar 3 tiradas) �18
8. a) p(verde) � �4 120 5
b) Casos posibles (una bola de A y otra de B):20 · 20 � 400
Casos favorables (una bola verde de A y otra ver-de de B) � 4 · 6 � 24
p(verde en A y verde en B) � �24 3400 50
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
C C
C C+ +
C +C C
+ ++ +
38
1
0
2
3
4
5
6
7
45 52 59 66 73Peso (kg)
Núm
ero
de a
lum
nos
104
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
12 Cuerpos geometricos
1. Contesta:
a ¿Cual es el menor numero de caras que puede tener un poliedro?
b ¿Cual es el poliedro regular que ademas es prisma?
c ¿Cual es el poliedro regular que es tambien piramide?
2. Completa la tabla:
Poliedrosregulares
Numero de carasque concurrenen un vertice
Medidadel angulopoliedro
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Hexaedro
Dodecaedro
3. ¿Por que no hay ningun poliedro regular cuyas caras sean todas hexagonos regulares iguales?
4. ¿Que cuerpo se obtiene al unir los puntos medios de las caras contiguas de un hexaedro?
5. El radio de la circunferencia de la base de un cono mide 10 cm.
¿Cual es la longitud de la base del sector del desarrollo del cono?
6. ¿Cuanto mide la generatriz de un cono de 10 cm de altura y 5 cm de radio de la base?
7. Se divide una esfera en 18 cunas esfericas.
¿Cuanto mide el angulo diedro que forman los planos de una cuna?
8. El diametro del cilindro de una apisonadora mide 150 cm.
¿Cuantos metros recorrera si da 150 vueltas completas?
9. ¿Cuantos centımetros mide el radio de una bola de billar si su circunferencia maxima mide 157 mm?
10. Una piscina cilındrica tiene 8 m de diametro y 2,8 m de profundidad.
¿Cuantos kilogramos de pintura se necesitaran para pintar esta piscina (incluido el fondo) si por 7,5 m2 desuperficie se gasta 1 kg de pintura?
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
105
SOLUCIONES
1. a) Cuatro.
b) El hexaedro o cubo.
c) El tetraedro regular.
2.Poliedrosregulares
Numero de carasque concurrenen un vertice
Medidadel angulopoliedro
Tetraedro 3 180�
Octaedro 4 240�
Icosaedro 5 300�
Hexaedro 3 270�
Dodecaedro 3 324�
3. En cada vertice tienen que concurrir al menos 3hexagonos regulares. Como un angulo interior deun hexagono regular mide 120�, al concurrir almenos tres hexagonos regulares, la suma de losangulos es 360�, lo cual no permite formar volu-men.
4. Se obtiene un octaedro regular.
5. l � 2 � r
l � 2 · 3,14 · 10 � 62,8; l � 62,8 cm
6. g � 2 2h � r�
g � �210 � 25 125� �
g � 11,18 cm
g
10 c
m
5 cm
7. 360� : 18 � 20�
8. l � 2 � r o l � d �
l � (150 · 3,14) cm � 471 cm
En una vuelta recorre 471 cm
471 cm · 150 � 70 650 cm
70 650 cm � 706,5 m
9. r �l
2 �
157 mm � 15,7 cm
r � � 2,5; r � 2,5 cm15,7
2 · 3,14
10. Area total de la piscina � area lateral � area delfondo
Radio: r � · 8 m � 4 m12
Altura del cilindro � profundidad de la piscina:h � 2,8 m
Area lateral:Alat. � 2 · � · r · h � (6,28 · 4 · 2,8) m2 � 70,336 m2
Como el fondo tiene forma circular:
Area del fondo � � · r2 � (3,14 · 42) m2 � 50,24 m2
Luego:
Atot. � 70,336 m2 � 50,24 m2 � 120,576 m2
La cantidad de pintura necesaria para pintar120,576 m2 sera:
kg � 16,0768 kg � 16,1 kg120,576
7,5
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
106
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
13 Medidas. Teorema de Pitagoras
1. A 7 km del pueblo de Juan hay otro pueblo en el que esta descargando una tormenta. ¿Cuanto tardara en oırseel trueno desde que se produzca el relampago?
2. Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8 cm.
3. La diagonal de un rectangulo mide 10 m y uno de sus lados 6 m.
Calcula el perımetro y el area del rectangulo.
4. Sobre los catetos de un triangulo rectangulo se colocan dos polıgonos regulares semejantes de areas 50 cm2 y25 cm2, respectivamente.
¿Cual es el area del polıgono semejante a estos construido sobre la hipotenusa?
5. Un terreno rectangular tiene doble largo que ancho. Su area mide 17 672 m2.
¿Cuanto mide su diagonal?
6. Un triangulo isosceles de 5 cm de base y 7 cm de altura es semejante a otro de base 15,5 cm.
Calcula la medida de los lados iguales de los dos triangulos.
7. Halla el area de un rombo cuyo lado mide 4 cm y una diagonal 4 cm.
8. La base mayor de un trapecio isosceles mide 10 cm; la base menor, 6 cm, y uno de los lados no paralelos5 cm.
Calcula el area del trapecio.
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
107
SOLUCIONES
1. Velocidad del sonido: 331,4 m/s7 km � 7 000 m7 000 : 331,4 � 21,12 s
Tardara 21,12 s en oırse el trueno despues del re-lampago.
l8 cm
2. l2 � l2 � 82
2 l2 � 64
l2 � � 32642
l � � 5,6532�l � 5,65 cm
3. l � � 8 m2 210 � 6�p � 2(6 � 8) m � 2 · 14 m � 28 m
A � b · h
A � 8 m · 6 m � 48 m2
l
6 m10 m
4. El area del polıgono construido sobre la hipotenusaes igual a la suma de las areas de los polıgonosregulares construidos sobre los catetos.
A � 50 cm2 � 25 cm2 � 75 cm2
5. 2x · x � 2x2
2x2 � 17 672 m2
x2 � � 8 83617 672
2
x � � 94; x � 94 m8 836�2x � 2 · 94 m � 188 m
d � � � 210,19;2 2188 � 94 44 180� �d � 210,19 m
2x
xd
6.
C H 2,5 cm5 cm
7 cm
B
A
C´ H´15,5 cm
7,75 cm
h´
B´
A´
� ; h� � � 21,7; h� � 21,7 cm5 7 15,5 · 7
15,5 h� 5
AB � � � 7,43; AB � 7,43 cm2 27 � 2,5 55,25� �AB � AC; AC � 7,43 cm
A�B� � � � 23,04;2 221,7 � 7,75 530,95� �A�B� � 23,04 cm
A�B� � A�C�; A�C� � 23,04 cm
7. A
BDO
4 cm2 cm
C
A �D · d
2
OB � � � 3,464; OB � 3,464 cm2 24 � 2 12� �D � 2 · OB � 2 · 3,464 cm � 6,928 cm
A � cm2 � 13,856 cm26,928 · 4�� ��2
8.
10 cm
6 cm
5 cmh
A´ B´
A B
CD 2 cm
A �(B � b) · h
2
B�C � � 2 cm(10 � 6)
2
h � � � 4,58; h � 4,58 cm2 25 � 2 21� �
A � cm2 � 36,64 cm2(10 � 6) · 4,582
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
108
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
14 Semejanza. Teorema de Tales
1. Demuestra que si en el siguiente triangulo se cumple � , tambien se cumple � .a m a pb n b q
A
M
P
B
CQN
nq
b
a
m
p
2. A partir del siguiente dibujo, ¿serıas capaz de establecer una relacion entre las areas y la razon de semejanzade sus lados?
4 m2 m
12 m
6 m 72 m2
8 m2
3. Calcula las dimensiones de un rectangulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectangulocuyos lados miden 36 y 48 m, respectivamente.
4. Un mapa tiene escrita en su angulo superior la siguiente leyenda: 1:1 500 000. Se saca una fotocopia reducidaa la mitad de dicho mapa. Determina la distancia entre dos ciudades que en la fotocopia distan 2 cm.
5. Se ha dividido un segmento de 8 cm en partes proporcionales a tres segmentos de longitudes 3, 4 y 5 cm. Si seha realizado a escala 1:10, ¿que longitudes tienen las partes obtenidas?
6. Observa el dibujo e indica como podrıa Juan averiguar la distancia que hay desde su casa hasta la torre de laiglesia.
B
CA
c
b
a
7. Dos amigas quieren medir la anchura de un rıo. Para ello se alinean las dos con un arbol que esta en la otraorilla del rıo, siendo la distancia entre ellas de 12 m. La mas cercana a la orilla camina 4 m y la otra 10 m,ambas paralelamente a dicha orilla, quedando de nuevo alineadas con el arbol. Determina la longitud mınima deun puente sobre dicho rıo.
8. Dibuja un triangulo cualquiera y realiza las siguientes operaciones:a) Divide la base en tres partes.b) Une los puntos de la base con el vertice opuesto.El valor de las areas de los tres triangulos que se forman ¿es igual o diferente? ¿Por que?
9. Sin hacer calculos ni haber estudiado, esta arana ha demostrado el teorema de Tales al construir su tela. ¿Porque?
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
109
SOLUCIONES
1. En AMN y APQ se cumple:
�a mb n
En AMN y ABC se cumple:
�a m � pb n � q
De ambas proporciones se obtiene la relacion:
�m m � pn n � q
Y utilizando los productos cruzados resulta que
�m pn q
2. Agrande � 12 · 6 � 72 m2
A � 4 · 2 � 8 m2pequeno
Ladogrande � 3 · ladopequeno
A � 3 · 4 · 3 · 2 � 32 · 8 m2grande
Por tanto, la razon de semejanza se eleva al cua-drado y se multiplica por el area pequena; de estamanera, se obtendra el area grande.
3. Se determina la diagonal del segundo triangulo.362 � 482 � h2; h � 60 m.
Por Tales, se tiene que: � ; x � 45 m75 x60 36
� ; y � 60 m75 y60 48
4. Si en la fotocopia dista 2 cm, en el original distara4 cm. Segun la escala del mapa, cada centımetroequivale a 15 km.
Luego las ciudades estan separadas 4 · 15 � 60 km.
5. Del dibujo, se observa que las longitudes son3,33 cm, 2,67 cm y 2 cm.
Al estar hecho a escala 1:10, las dimensiones realesseran: 33,3 cm, 26,7 cm y 20 cm.
6. 1.o Medir los angulos A y C.2.o Medir la distancia AC.3.o Construir en un papel un triangulo A�B�C� se-
mejante al ABC, comenzando por el lado A�C�y los angulos A y C.
4.o Medir sobre el triangulo A�B�C� el lado A�B�.5.o Teniendo en cuenta la razon de semejanza utili-
zada para el lado A�C�, calcular la distancia AB.
7. Del dibujo se obtiene que:
�12 � x 10
x 4
x � 8 m
8. Sus areas son iguales porque los tres trianguloscoinciden en la base y la altura.
9. Porque la arana construye su tela mediante trian-gulos semejantes que consigue con lıneas paralelasa uno de los lados de un triangulo que cortan a losotros dos lados.
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
3
4
8 cm
5
10 m
12 m x
4 m
110
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
15 Areas de cuerpos geometricos
1. Calcula el area total del tronco de cono generado al girar el trapecio de la figura alrededor del lado ab.
2. Se tiene un tronco de piramide de bases cuadradas de 120 y 70 m de lado, respectivamente, y 30 m de altura.¿Que superficie de la piramide esta en contacto con el aire?
3. A Puri le regalan 24 m2 de carton y esta calculando que dimensiones deberıa tener un cubo para aprovecharlotodo.
4. Alrededor de una casa de campo se construye una alambrada de 40 m de radio y 1,5 m de altura. Si todo elalambre cuesta 1 020 euros, ¿cuanto cuesta el m2 de alambre?
5. Un carpintero tiene un tronco de arbol de 5 m de largo. La seccion es uniforme y circular de 60 cm de diametro.¿Cual sera el area lateral de la mayor viga cuadrada que puede serrarse de dicho tronco?
6. Un caracol quiere subir a una velocidad de 1 cm/s por la arista de una piramide hexagonal. Si el area lateralde la piramide mide 20 m2 y la apotema de la cara lateral 3 m, determina el tiempo que tardara el caracol enllegar a la cima.
7. Calcula el area del cono de la siguiente figura:
8. Martın tiene 26,6 m2 de plastico y quiere construir una piscina para sus hijos. Ha decidido que la base sea unhexagono regular de 2 m de lado. ¿Cual sera la altura de la piscina si no quiere desaprovechar nada de plastico?
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
1 m
4 m
7 m
a
b
2 cm
3 cm
4 cm
r
111
SOLUCIONES
1. Alateral � �(r1 � r2) · g � 3,14 · (4 � 1) · 7 �� 109,9 m2
Abases � 3,14 · 42 � 3,14 · 12 � 53,38 m2
Atotal � 163,28 m2
2. De la figura:
302 � 252 � a2; a � 39 mAlateral � 1/2 · (p1 � p2) · a �
� 1/2 · (4 · 120 � 4 · 70) · 39 � 14 820 m2
Abase superior � 70 · 70 � 4 900 m2
Atotal � 19 720 m2
3. 6 · b · a � 24 m, b · a � 4 m
Por tanto, tiene que ser un cubo cuyos cuadradostengan 2 m de lado.
4. A � 2 · � · r · h � 2 · 3,14 · 40 · 1,5 � 376,8 m2
Precio por m2 � 1 020 m/376,8 � 2,71 m
5. Del dibujo se obtiene:
x2 � x2 � 602;
x2 �260
2
x � 42,42 cm.
Luego la viga sera un prisma de base cuadrada delado 42,42 cm y de altura 5 m.
Su area lateral:
A � 4 · 0,424 · 5 � 8,48 m2
6. A � 1/2 · p · a; 20 � 1/2 · 6 · l · 3; l � 2,22 m,una vez conocido el lado, se determina la longitudde la arista, aplicando el teorema de Pitagoras, se-gun el dibujo:
32 � 1,112 � x2; x � 3,2 m
v � e/t; t � e/v � 320 cm/1 cm · s�1 � 320 s
7. Por semejanza de triangulos, � ; r � 4,6 cm.3 72 r
Como la generatriz es g � 7, se tiene queAlateral � � · r · g � � · 4,6 · 7 � 101,10 cm2
Abase � � · r2 � � · 4,62 � 66,44 cm2
Luego el area del cono sera:
A � 101,10 � 66,44 � 167,54 cm2
8. Area de la base �P · a
2
Apotema � � � 1,732 22 � 1 3� �Area de la base � � 20,76
2 · 6 · 1,732
26,6 � 20,76 � 5,84 m2 le quedan para los lados.5,84 : 6 � 0,97 m2 le quedan para cada lado.
2 · h � 0,97 h � � 0,48 m de altura0,97
2
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
70 m70 m
120 m
120 m
30 m
0,6 m5 m
xx
3 m
1,1 m
112
ACTIVIDADES DE AMPLIACION
16 Medidas de volumen.Volumen de cuerpos geometricos
1. Un dıa de lluvia se recogen 30 l/m2. ¿Podrıas calcular la altura que alcanzarıa el agua, si se supone que sedistribuye uniformemente en una superficie impermeable?
2. Un alumno tiene en su mano un objeto de forma irregular y quiere determinar su volumen. Un companero suyodice que es imposible hacerlo, ya que no han estudiado el calculo de volumenes de objetos tan extranos. ¿Estasde acuerdo con la afirmacion del companero? Si no lo estas, indica como podrıa determinar el volumen.
3. a) Explica por que el cilindro y el prisma tienen la misma formula para calcular el volumen.
b) ¿Es la misma razon la que explica que tambien el cono y la piramide tengan la misma formula?
4. En el apartado cuatro de la unidad aparece la siguiente afirmacion: «El volumen de una piramide equivale ala tercera parte del volumen de un prisma que tiene la misma area de la base e igual altura». ¿Podrıas,mediante dibujos, justificar dicha afirmacion?
5. Un prisma con base en forma de triangulo equilatero tiene una altura de 10 cm. Si su base tiene un perımetrode 6 cm, determina el radio de la base de un cilindro que tiene la misma altura que el prisma y el mismovolumen.
6. Determina el volumen del cono de la figura:
7. ¿Que medidas tendrıa un prisma octogonal para tener una capacidad de 80 l si su apotema es igual a 2,5 y laaltura es el doble que cada lado del octogono?
8. Se introduce una esfera de 4 cm de radio en un cilindro lleno de agua, de forma que esta queda inscrita en el.
Calcula la cantidad de agua que queda en el cilindro.
9. Un raton comienza a roer un trozo de queso con forma de ortoedro, de dimensiones 10 4 5 cm.
El raton va haciendo agujeros de forma cilındrica de 2 mm de radio, atravesando el ortoedro desde una de lascaras de dimensiones 10 4. Si el raton es capaz de realizar 5 cilindros por hora, ¿cuantas horas tardara enreducir el volumen del queso a la cuarta parte?
10. Se construye un recipiente con forma de tronco de piramide y se llena de limaduras de hierro. Determina lamasa de hierro introducida en el tronco sabiendo que la densidad del hierro es 7,9 g/cm3, que la altura de lapiramide sin truncar es de 1 m y de la piramide truncada es 1/5 de la anterior; ademas, se sabe que la basede la piramide es hexagonal, siendo los perımetros, el de la base mayor, 6 m y, el de la menor, 3 m.
Numeros 2.o ESO Actividades de ampliacion
1 cm
2 cm
3 cm
113
SOLUCIONES
1. 30 l � 30 dm3 � 0,03 m3;
0,03 m3/m2 � 0,03 m; es decir, 3 cm.
2. No. El volumen puede determinarse con ayuda dealgun recipiente graduado.
Por ejemplo, si el objeto no es muy grande, sepuede introducir en una probeta y observar el au-mento del volumen.
Este aumento sera el volumen del objeto.
3. a) Porque el cilindro es como un prisma con in-finitos lados.
b) La misma.
4.
5. Si el perımetro es 6 cm, el lado mide 2 cm.
Para determinar la altura del triangulo de la base,se aplica Pitagoras.
Ası:
h2 � 12 � 22; h � 1,73 cm
El area de la base sera:
2 · 1,73/2 � 1,73 cm2
Como el cilindro tiene la misma altura, las basesson iguales.
Ası: 1,73 � � · r2; r � 0,74 cm
6. Por semejanza de triangulos se tiene que:
1/2 � r/5; r � 2,5 cm
Para determinar la altura del cono, se aplica elteorema de Pitagoras:
2,52 � h2 � 52; h � 4,33 cm
El volumen sera:
1/3 · � · 2,52 · 4,33 � 28,32 cm3
7. V � · hP · a
280 litros � 80 dm3
80 � 2l8 l · 2,5
280 � 20l2
l2 � ; l2 � 4; l � ; l � 280
4�20
El prisma tiene como base un octogono de 2 dmde lado y una altura de 4 dm.
8. Segun el dibujo, el cilindro tiene una base de dia-metro 8 cm y de altura 8 cm.
Vagua � Vcilindro � Vesfera � � · 42 · 8 � 4/3 · � · 43 �� 134 cm3, que equivalen a 0,134 l.
9. Vcilindro raton � � · 0,22 · 5 � 0,63 cm3
Vqueso � 10 · 4 · 5 � 200 cm3
Como se ha de comer la cuarta parte, seran 50 cm3.
Se come 5 · 0,63 � 3,15 cm3 por hora; por tanto,tardara 50/3,15 � 15,87 h � 15 h 52�.
10. Tras determinar la longitud del lado del hexagono,se calcula la apotema de los dos hexagonos; apli-cando Pitagoras, se tiene:
Hexagono mayor:0,52 � a2 � 12; a � 0,87 m.
Hexagono menor:0,252 � a�2 � 0,52; a� � 0,43 m.
V � 1/3 · [6 · (0,87/2) · 1 � (3 · 0,43)/2 · 0,8]
V � 0,7 m3
Actividades de ampliacion Numeros 2.o ESO
h
Bases de igual área
114
115
Hojas de
ejercicios
116
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Divisibilidad, MCD y mcm
1
Problemas MCD y mcm Departamento de Matemáticas
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1.- Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
Números M.C.D. m.c.m a) 12 y 36 12 36
b) 24 y 50 2 600
c) 148 y 156 4 5772
d) 75, 30 y 18 3 450
e) 63, 27 y 36 9 756
f) 1048, 786 y 3930 262 18720
2.- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
Sol. A las 6:33 h
3.- Raúl colecciona sellos de América y Europa. Los sellos de América los agrupad en sobres de 24 cada uno y no sobra ninguno, mientras que los sellos de Europa en sobres de 20 y tampoco sobran. Sabiendo que tiene el mismo número de sellos de América y de Europa, ¿cuántos sellos como mínimo hay en cada caja?
Sol. 120 Sellos
4.- Para decorar una fiesta que vamos a celebrar, tenemos una cinta azul de 45 cm, una verde de 75 cm y otra blanca de 18 cm. Necesitamos cortar estas cintas en trozos iguales de la mayor longitud posible. ¿Cuánto tendrán que medir estos trozos? ¿Cuántos trozos de color azul tendremos? ¿Y verdes? ¿Y blancos?
Sol. 3 metros, 15 Azules, 25 Verdes y 6 Blancos
5.- En una parada de autobuses, un autobús pasa con una frecuencia de 18 minutos, otro cada 15 minutos y un tercero cada 8 minutos. ¿Cuándo se volverán a encontrar?
Sol. Dentro de 6 horas
6.- En un pueblo la campana del ayuntamiento toca cada media hora y la de la iglesia cada ¾ de hora. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán las dos campanas? ¿Cuántas veces coinciden al día?
Sol. Cada hora y media. 16 veces
7.- Tres barcos realizan sus recorridos entre las islas Canarias cada 6, 9 y 12 días respectivamente. El día 19 de Julio coincidieron la primera vez, ¿Cuándo volverán a coincidir?
Sol. 24 agosto
8.- Tres amigas trabajan como voluntarias en un hogar de ancianos, de acuerdo con sus posibilidades de tiempo. Una de ellas va cada 5 días, otra lo hace cada
10 días y la otra, cada 15 días. Suponiendo que un día se encuentran las tres en el hogar de ancianos, ¿cuántos días después volverán a encontrarse?
Sol. Dentro de 30 días
9.- Se quieren envasar en una fábrica de alimentos lácteos 350 litros de leche desnatada, 300 litros de leche semidesnatada y 450 litros de leche entera en envases iguales de la mayor capacidad posible. ¿Qué capacidad deben tener estos envases?
Sol. 50 litros
10.- En dos calles de 144 m y 168 m cada una se quieren plantar árboles que estén igualmente espaciados. ¿Cuál es la mayor distancia posible entre cada árbol?
Sol. 24 metros
11.- Aída quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendió en su taller de chocolatería, hizo 32 bombones de trufa, 24 de frambuesa y 28 de manjar. ¿Cuántos paquetes con la misma cantidad de bombones de cada tipo puede hacer?
Sol. 21 paquetes de 4 bombones.
12.- Una de las unidades del grupo scout necesita preparar cintas para una de las pruebas del campamento. Si tienen dos cordeles, uno de 94 cm y otro de 64 cm, ¿cuál es el mayor tamaño en que pueden cortar las cintas de ambos cordeles, para que sean todas iguales?
Sol. 2 cm.
13.- Un autobús de línea sale cada 32 minutos y otro cada 40. Si los dos conductores comienzan sus jornadas a las 9 h, ¿a qué hora volverán a encontrarse? ¿Cuántas salidas habrán hecho cada uno hasta ese momento?
Sol. 11:40 h, 5 el 1º y 4 el 2º
14.- ¿Cómo podemos envasar 40 litros de zumo de piña y 24 litros de naranja en recipientes iguales de la mayor capacidad posible?, ¿Cuántos envases necesitaremos?
Sol. 8 litros, necesitamos 5+3 envases
15.- Diego ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar tres medicamentos distintos: unas pastillas, un jarabe y una crema. Las pastillas las debe tomar cada tres horas, el jarabe cada cuatro y la crema aplicarla cada dos horas. Si Diego tomó todos los medicamentos a las 8:00 de la mañana, ¿a qué hora los volverá a tomar todos a la vez? Sol. A las 8 de la tarde
16.- En el aeropuerto existen dos líneas aéreas que realizan vuelos a Isla de Pascua durante todo el día. Los aviones de la primera línea aérea, despegan cada 10 minutos y los de la otra despegan cada 15 minutos. Si el primer vuelo de ambas líneas aéreas se realiza a las 7:00 A.m., ¿a qué hora vuelven a despegar juntos los aviones?
Sol. A las 7:30 A.m. 17.- En el almacén tenemos 100 cartones de zumo, 60 piezas de fruta y 40 bocadillos. Queremos guardarlos en cajas con el mismo número de objetos. ¿Cuántos artículos habrá en cada caja? ¿Cuántas cajas harán falta?
Sol. 20 artículos y 10 cajas
18.- Escribe tres números que sean primos entre sí y calcula su M.C.D. y m.c.m. ¿Qué conclusión sacas? Luego escribe tres múltiplos de 6, y luego calcula el M.C.D. y m.c.m. de todos ellos. ¿Qué conclusión sacas?
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos omás números es el mayor de los divisorescomunes.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos omás números es el menor múltiplo comúndistinto de cero.
Para calcular ambos, descomponemos los números en factores primos, y una vez hecho esto, para calcular:
El máximo común divisor, cogemos losfactores que se repiten (comunes) elevados al menor exponente
El mínimo común múltiplo, cogemos todos losfactores, se repitan o no, elevados al mayor exponente.
117
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Divisibilidad, MCD y mcm
2
Problemas MCD y mcm Departamento de Matemáticas
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19.- Una habitación tiene 230 cm. de largo por 120 cm. de ancho. Queremos cubrir el suelo con baldosas cuadradas. ¿Cuánto tienen que medir estas baldosas? ¿Cuántas baldosas harán falta?
Sol. 10 x10 cm, 270 baldosas
20.- Montse tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene botones de nácar en bolsitas de 12 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene botones de metal en bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. Si Montse tiene menos de 200 botones de cada tipo, ¿cuántos botones hay en cada caja?, ¿cuántas bolsas hay en cada caja?
Sol. 180 botones, 15 y 9 bolsas
21.- María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer con ellas el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar?
Sol. 26 collares de 5 bolas
22.- Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada?
Sol. 30 metros
23.- Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. a) ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?
Sol. 30 horas. A las 15:00 del día siguiente
24.- Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. ¿Cuántos cubos, como mínimo, necesita de cada color?
Sol. 9 Azules y 11 Rojos
25.- Juan tiene que poner un rodapié de madera a dos paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listón de madera que cabe en un número exacto de veces en cada pared. ¿Cuál será la longitud de este listón?
Sol. 3 metros
26.- Mi moto necesita que le cambien el aceite cada 6.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y la Bujía cada 20.000 km. ¿A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez?
Sol. A los 60.000 Km
27.- En una bahía hay tres faros que emiten sus destellos cada 20, 25 y 30 segundos, respectivamente. Si los tres coinciden emitiendo señales a las 11 de la noche, ¿a qué hora volverán a coincidir?
Sol: A las 11:05 de la noche
28.- La clase de 3º A tiene 32 alumnos y la de 3º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos.
¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo?
Sol: Equipos de 4 personas. 8 equipos en 3ºA y 9 en 3º B.
29.- Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y cada 18 días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres aviones a la vez?
Sol: Cada 36 días
30.- Queremos cubrir el suelo de una habitación rectangular de 82 dm de largo por 44 dm de anchura con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula el lado de cada baldosa y su superficie.
Sol: Lado de 2 dm. Superficie 4 dm2
31.- Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolatinas entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de cada uno de esos elementos. ¿Cuál es el mayor número de niños que puede beneficiarse así y qué cantidad recibe cada uno?
Sol. 60 niños, 3 libros, 4 juguetes y 6 chocolatinas
32.- Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de piezas de fruta de cada caja y el número de cajas necesarias.
Sol. 124 piezas y 200 cajas, 97 de manzanas y 103 de naranjas
33.- ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da un resto de 9?
Sol. El número 179
34.- Un artesano dispone de una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, quiere hacer con ella tableros de ajedrez de forma que sean cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada tablero? b) ¿Cuántos tableros de ajedrez se obtienen de la plancha de madera?
Sol: 32 cm y 24 tableros
35.- Se desean acondicionar 1.830 latas de aceite y 1.170 latas de vinagre en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las latas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que puedan ponerse en cada cajón?
Sol: 30 latas
36.- En la panadería de la esquina hay napolitanas recién hechas cada 10 minutos, ensaimadas cada 14 minutos y rosquillas cada 28 minutos. Si a las 11 y 45 de la mañana pude comprar un producto de cada, recién hechos. ¿A qué hora podré volver a repetir una compra igual?
Sol: A las 14:05 h
37.- Se tienen tres tubos de 84; 270 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos?
Sol: 6 cm3
38.- En un circuito de bicicleta de montaña, dos ciclistas pasan juntos por la línea de meta. Si el primero tarda 76 segundos en dar una vuelta completa al circuito y el otro 250 segundos, ¿Cuánto tardarán en volver a cruzar juntos la línea de meta?. En ese intervalo de tiempo, ¿cuántas vueltas habrá dado cada ciclista?.
Sol: 9500 segundos. 125 vueltas el primero y 38 vueltas el otro.
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Problemas MCD y mcm Departamento de Matemáticas
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39.- Busca un múltiplo de 26 comprendido entre 300 y 350
Sol: 312 y 338
40.- Busca todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 151 y 200.
Sol: 165, 180 y 195
41.- Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada en una plaza cercana cambia cada 250 segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos fuentes con el mismo programa. ¿A qué hora volverán a coincidir?
Sol: A las 9:37:30
42.- El M.C.D. de dos números es 6 y su m.c.m. es 120. Si uno de los números es 30. ¿Cuál es el otro?
Sol: El otro es el 24
43.- Si se tienen dos toneles de vino, uno de 420 litros y otro de 225 litros, y se quiere envasar el vino en garrafas iguales, pero de forma que el número utilizado sea el mínimo. ¿Qué capacidad tendrá cada garrafa?
Sol: 15 Litros
44.- Una hoja de papel de 18 cm de largo y 24 cm de ancho se quiere dividir en cuadraditos iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuántos cuadraditos saldrán?
Sol: 12 Cuadrados de 6 cm de lado
45.- Dos cometas se acercan al Sol, uno cada 100 años y otro cada 75 años. Si se han aproximado juntos al Sol en 1990. ¿Cuándo se volverán a encontrar?
Sol: En el año 2290
46.- José y María van a casa de su abuelo, el primero cada 12 días y la segunda cada 16 días. ¿Cada cuántos días coincidirán?
Sol: Cada 48 días
47.- ¿Cuáles son los números comprendidos entre 200 y 400 que son a la vez divisibles por 4 y 5?
Sol: 220; 240; 260; 280; 300; 320; 340; 360; 380
48.- ¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles a la vez por 2, 3 y 4?
Sol: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 y 96
49.- En un número de 3 cifras que comienza por 2 y termina por 7 se ha borrado la cifra de las decenas. Hállala, sabiendo que es divisible por 3 y por 11.
Sol: 297
50.- ¿Qué números comprendidos entre 2.000 y 3.000 al dividirlos por 24, 36 y 60 dan de resto 5?
Sol: 2165; 2525 y 2885
51.- Cinco timbres tocan simultáneamente y volverán a tocar cada 6, 7, 8, 9 y 10 segundos, respectivamente. Si coinciden a las 11 de la mañana. ¿A qué hora volverán a coincidir?
Sol: A las 11:42
52.- Los soldados de un cuartel están comprendidos entre 780 y 820, y pueden formar grupos de 16, 20 y 25 sin que falte ninguno. ¿Cuántos son?
Sol: 800
53.- Una caja de naranjas contiene entre 70 y 100 unidades: Si las contamos de cuatro en cuatro o de siete en siete no sobra ninguna. ¿Cuántas naranjas hay?
Sol: 84 Naranjas
54.- El autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 9 minutos y el de la línea B, cada 12 minutos. Si acaban de salir ambos a la vez. ¿Cuánto tardarán en volver a coincidir?
Sol: 36 Minutos
55.- En un club de atletismo se han inscrito 18 chicos y 24 chicas. ¿Cuántos equipos se pueden hacer teniendo en cuenta que debe haber en todos el mismo número de chicos y chicas y el máximo número de equipos que sea posible?
Sol: 6 Equipos con 3 chicos y 4 chicas
56.- Se quiere cuadricular un rectángulo de 10 cm por 14 cm. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado de manera que el rectángulo contenga el menor número posible de cuadrados?
Sol: 2 cm de lado
57.- Sara tiene 84 caramelos y 72 chicles. Quiere empaquetarlos en bolsas con igual contenido en cada una y hacer el menor número de paquetes posible, ¿cuántos chicles hay en cada bolsa? ¿cuántas bolsas necesitaría?.
Sol: 12 bolsas con 7 caramelos y 6 chicles
58.- Tenemos dos paquetes de folios cuyos números de hojas son, respectivamente, 2205 y 5250, y queremos formar con ellas montones iguales. ¿Cuántas hojas deberá tener cada montón para que de cada paquete se obtenga un número exacto de montones?
Sol: Paquetes de 105 Hojas
59.- Elena va al dentista cada 6 meses y Juan cada 9 meses. Si fueron juntos el día 1 de Enero de 2006, ¿qué día volverán a coincidir otra vez?
Sol: El 1 de julio de 2007
60.- Dos depósitos contienen, respectivamente, 680 y 650 litros de oxígeno líquido. ¿Cuál será la capacidad máxima de las bombonas que se pueden llenar con el líquido de ambos depósitos?
Sol: 10 litros
61.- Juan va a visitar a su abuela cada 30 días, y su prima Ana, cada 16 días. ¿Cada cuántos días coinciden en la casa de su abuela?
Sol: Cada 240 días
62.- Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla?
Sol: Dentro de 360 días
63.- Decide razonadamente si 131 es primo o no. Sol: Si es primo porque no es divisible por 2,3,5,7,11,13
64.- El mayor de los 3 hijos de una familia visita a sus padres cada 15 días, el mediano cada 10, y la menor cada 12. La cena de Nochebuena se reúne toda la familia. ¿Cuándo volverán a encontrarse los tres juntos? ¿Y el mayor con el mediano?
Sol: a) El 22 de febrero; b) El 23 de enero
65.- Álvaro tiene 60 libros y quiere empaquetarlos poniendo el mismo número de libros en cada paquete. ¿De cuántas formas puede hacerlo, si quiere que cada paquete tenga más de 3 libros y menos de 12?
Sol: De 4 maneras: cada paquete podrá tener 4, 5, 6, ó 10 libros 66.- En un trabajo en un bosque, Marina ha acotado una zona y ha contabilizado 12 animales entre lagartos, escarabajos y lombrices. En total ha contado 26 patas y tantas lombrices como lagartos y escarabajos juntos. ¿Cuántos animales de cada clase ha podido contar? (Recuerda los lagartos tienen 4 patas y los escarabajos 6).
Sol:
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67.- El producto de tres números es 360. a) ¿Cuáles pueden ser estos tres números? b) ¿Podrías escribir todas las soluciones del problema?
Sol: 68.- ¿Puede una suma ser divisible por un número sin que los sean los sumandos?. Pon un ejemplo que justifique tu respuesta.
Sol: 69.- Comprueba que para saber si un número menor que 100 es primo, es suficiente con dividir por 2, 3, 5 y 7. ¿Por cuántos números como máximo tendrás que dividir para saber si es primo el número 497?
Sol: 70.- La suma de dos números es igual a 148. Si se divide el mayor por el menor, el cociente es igual a cinco y el resto es 10. ¿Cuáles son esos números?
Sol: 71.- ¿El número 2.130 es múltiplo de 11? ¿Cambiando el orden de sus cifras, se puede conseguir un número divisible por 11? ¿Cuántas soluciones encuentras? ¿Puede haber además del 2 y del 3, otros dos números consecutivos que sean números primos? Justifica tu respuesta.
Sol: 72.- De una división se conoce que el cociente por defecto es 23, el resto por defecto 7 y el resto por exceso 13. Determina el dividendo y el divisor.
Sol: 73.- Si a y a–b son dos números primos, ¿b es par o impar?. Justifica la respuesta.
Sol: 74.- ¿Por qué un número primo ha de terminar forzosamente en 1, 3, 7 o 9? Razona la respuesta.
Sol: 75.- Los alumnos de primero y segundo han ido de excursión, en total 123 alumnos. El número de alumnos de primero es igual a 3, más el cuádruplo de alumnos de segundo. ¿Cuántos alumnos han ido de cada curso?
Sol: 76.- Un tren está formado por 96 vagones y transporta en cada vagón el mismo número de viajeros. Se desenganchan 12 vagones y los viaje ros pasan a los vagones restantes. De este modo, cada vagón ha pasado a tener una persona más. ¿Cuántas personas iban al principio en cada vagón?
Sol: 77.- En una granja, se ha recogido un número de huevos entre setecientos y ochocientos. Forman un número exacto de docenas. También se podrían colocar exactamente en cartones de 15 huevos. ¿Cuántos huevos se han recogido en la granja?
Sol: 78.- Un comerciante vende camisas a más de 20 euros la unidad. En la primera semana ha obtenido 324 euros por la venta de este artículo y en la segunda semana 1.008 euros. ¿Cuál es el precio de una camisa?
Sol: 79.- En cada casilla de este cuadrado coloca un número distinto entre uno y nueve. De tal forma que sumando los tres números en horizontal, vertical, y diagonal se obtenga siempre un múltiplo de 5.
Sol:
80.- A un niño le preguntaron que cuántas canicas tenía en un bote, contestó de la siguiente manera: Ayer las agrupé de 11 en 11 y sobraban 5; hoy las he agrupado de 23 en 23 y sobraban 3. ¿Cuál es el menor número de canicas que puede tener el niño en el bote?
Sol: 81.- La circunferencia de la rueda delantera de una locomotora mide 342 cm y la trasera 846 cm. ¿Qué distancia ha de recorrer la locomotora para que una rueda de 1204 vueltas más que la otra?
Sol: 82.- ¿Es posible distribuir 24 personas en filas de 5 personas cada una sin que sobre ni falte ninguna? Atención no te precipites en la respuesta y no te autoimpongas condiciones que no indica el problema.
Sol: 83.- Se trata de encontrar cuatro números primos que sean así: EE BEB BECD EEEC Teniendo en cuenta que las letras E,B,C y D son las mismas cifras en los cuatro números.
Sol: 84.- Empareja los seis primeros números primos de manera que la suma de los números de una de las parejas sea múltiplo de 3 y 5; la otra múltiplo de 2 y 7, y la tercera múltiplo de 2 y 3.
Sol: 85.- Si se eliminan 3 de los doce primeros divisores de 216, se puede conseguir con los otros nueve, sin repetir ninguno el siguiente cuadro mágico multiplicativo, de manera que el producto de los tres números que ocupan cualquiera de las filas, columnas o diagonales, es siempre 216.
Sol: 86.- Dos ruedas dentadas forman parte del engranaje de una máquina. Una de las dos ruedas tiene 12 dientes y la otra 18. Si ponemos en marcha la máquina ¿después de cuantas vueltas volverá a la posición inicial?
Sol: 87.- Queremos cerrar una parcela rectangular que mide 36m de largo por 28 m de ancho, colocando estacas que estén situadas a la misma distancia las unas de las otras. Si en cada una de las cuatro esquinas del terreno tiene que haber una estaca y pretendemos que el número de estacas sea el mínimo posible, ¿cada cuántos metros deberemos colocar una? ¿Cuántas necesitaremos?
Sol: 88.- Demostrar que si dos números no son divisibles por 3, su suma o su diferencia si lo son.
Sol: 89.- Demostrar que en tres números consecutivos hay un múltiplo de 3.
Sol: 90.- Demostrar que en tres números pares consecutivos hay un múltiplo de 4.
Sol: 91.- Demostrar que si a + b es un número primo, MCD (a, b) = 1
Sol:
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Operaciones con números enteros Departamento de Matemáticas
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01.- 5·(2+4)-6= 31.- 6·(7-11)+(-5)·[5·(8-2)-4·(9-4)]= 61.- (2-5)·[12+4·(3-8)]-(4-5)·[11-4·(8-3·2)]+2=
02.- 5-8-4+3-6-9= 32.- 6:(13-15)-[(8-4):(-2)-6:(-3)]= 62.- 5·[21-3·(8-3)]-(9-5)·[21-4·(12-2·2)] =
03.- -7-15+8+10-9-6+11= 33.- 25+(7-5)·[12+4·(8-3)]= 63.- 78-5+[34:(18-1)+5]-[45-4·(23-4·5)]+18=
04.- 10-11+7-13+15-6= 34.- 7·[23-5·(2+6:3)+1]+(7-5)= 64.- (14-5)·[34+4·(3-9)]·(19-5·3)·[54-6·(19-5·2)]=
05.- 3-(5+7-10-9)= 35.- (42-25)-3·[5·(16-3·4)]+7= 65.- 54-[21-38+(7-2)·4]+5[27-4·(15-4·3)]·4=
06.- 4+(8-6-10)-(6-10+4)= 36.- 4·(4+2·5)-[(33-3·9)·6]+7·5= 66.- 1+2·[(3+4)–5·(6–7)·2]–{1–[2·(3-4)+5-6]=
07.- (7-11-4)-(9-6-13)= 37.- (3·6-13)-[12+(6+7·2)+(13-5)]= 67.- -2·4+{[2·(3–2+5-7)]:2}·{4–[8+4]:3+2·[5–3–(2-3)]}=
08.- 16+[3-9-(11-4)]= 38.- 7·(28-6·4)-(3·4+4):8+2= 68.- 10-(-2-1+5·3)·[-4+1·(-1)]+8+4·(-2)=
09.- (6-15)-[1-(1-5-4)]= 39.- 25-(12-8)·[17-4·(13-2·3)+15]= 69.- 3·[2+5·(18-13)]-(7-5)·[22-4·(5·6-9·3)]=
10.- [9-(5-17)]-[11-(6-13)]= 40.- 7–(11–8+6)–[10–(7–2+1)–2]= 70.- (–5+2)– 8:[–2+3·(–3+1)]+1+ 6:(–2) =
11.- 6-(5-[4-(3-2)])= 41.- 4–2·(5-8)+2·[5·(2–7+3)-7]= 71.- (+4):(–2)+(+8):(+2)+(+6)·[(+4)+(–5)]=
12.- 5·[11-4·(11-7)]= 42.- {3–[2–(-1+4)+5]-2}= 72.- –[5+4·(-3+2·12:(-3)]-[-4+(-5)·(-4)·(-3)]=
13.- (-4)·[12+3·(5-8)]= 43.- 2+4:2–3·(–5)+6–3:(5–2·3) = 73.- 6-12:3·(-2)+[5·4·(-2)-8-(-9)+6:(-2)]=
14.- 6·[18+(-4)·(9-4)]-13= 44.- 2{4·[7+4·(5·3−9)]−3·(40-8)}= 74.- 45:{-2+12:(-7+3)+12–[(-24):((-3)·5+7)]+5} =
15.- 4-(-2)·[-8-3(5-7)]= 45.- 5−[6−2−(1−8)−3+6]+5 = 75.- 3·(2-7)+5·(1-5)-3·(2·3·7-4·6·2)=
16.- 24-(-3)·[13-4-(10-5)]= 46.- [(–5)–(–3)]–[–(–4)–(–7)] = 76.- -3+8-(-3)+4-[3-(-4+7-5+1)-2+3(-1)]-9=
17.- 10:[8-12:(11-9)]= 47.- 24:(−2)−3·4−6:2−(−3)·(−2) = 77.- 23· 4 -32: 9 +52: 25 =
18.- (2-12+7)-[(4-10)-(5-15)]= 48.- 46–{38–(-2)+(-9)+(42–18-15)-(-7)} = 78.- [3·(52- 16 )·22]:[2· 49 ] =
19.- 4·5-3·(-2)+5·(-8)-4·(-3)= 49.- 4·14:(-2)+9·(-3)–2:(-2)= 79.- 5−{[24:(−2)2]−[(−3)2]0}−2·(12−3·4) =
20.- (10-3·6)-2·[5+3·(4-7)]= 50.- 8–6:(-3)+4·(-2)+5·(-10)= 80.- (−2)4:4−4·(−2)+(−5)·(−2)+8 =
21.- 10-10·[-6+5·(-4+7-3)]= 51.- -[-2(5+6+6)-1]-9[-2(-2-6+6)-9] = 81.- 3−[16:(−2)]−[2−5·3]+(−2)3:(-2) =
22.- 3-[(5-8)-(3-6)]= 52.- 2·(12–14)–8·(16–11)–4·(5–17)= 82.- 4−[2−(3−4·3)]+[4−(24:4)]5−4 =
23.- 5·(8-3)-4·[(2-7)-5(1-6)]= 53.- +1-[+3-(-8)·(+8)]+[+6+(+8):(+4)]= 83.- 6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)2]5} − [4 − (−2)³] + 6 =
24.- 48:[5·3-2·(6-10)-17]= 54.- 30 :((-12 + 9)–(3·3–12:3) + 2) = 84.- 12−{7+4·3−[(−2)2·2−6]}+(22+6−5·3)+3−(5−23:2) =
25.- 3·4-15:[12+4·(2-7)+5]= 55.- (15-11)-[(4-13+21)-(11-13+43)]= 85.- (-2)2·[4+9:(-3)·2-5·4]+72-(42-12+9)=
26.- (2+7)-5-[6-(10-4)]= 56.- (8 ·7 + 5·(-8)):(-4) = 86.- (15−4)+3−(12−5·2)+(5+16:4)−5+(10−23)=
27.- -3·{4–2+[5·2–3·(4-2)]}= 57.- 6 -{28-(-2) -9 + (12-18+15)+(-7)}= 87.- -4·(4-2)-2 + (-3+1)3+(2·3)2:(-1-5)-4:(2-3)7=
28.- 2·{4+[3·2+(4–8:4+2)]}= 58.- 2 + ( 8 :4 )–(-2·3) + 9:(-3 )= 88.- 7·3+[6+2·(23:4+3·2)–7· 4 ]+9:3 =
29.- [15-(-3)·4]·(-2)-8·(-4)+1= 59.- 8 –6:(-3 ) + 4·(-2) + 5·(-10 )= 89.- [(17−15)3+(7−12)2]:[(6−7)·(12−23)] =
30.- (– 5)+(+20):(– 4)–(–3) = 60.- 3 –4:(-4) + 4·(-4)–1= 90.- (5+3·2:6−4)·(4:2−3+6):(7−8:2−2)2 =
Soluciones:
01.- 24 02.- -19 03.- -8 04.- 2 05.- 10 06.- -4 07.- 2 08.- 3 09.- -18 10.- 3
11.- 4 12.- -25 13.- -12 14.- -25 15.- 0 16.- 36 17.- 5 18.- -7 19.- -2 20.- 0
21.- 70 22.- 3 23.- -55 24.- 8 25.- 17 26.- 4 27.- -18 28.- 28 29.- -21 30.- -7
31.- -74 32.- -3 33.- 89 34.- 30 35.- -36 36.- 55 37.- -35 38.- 28 39.- 9 40.- -4
41.- -24 42.- -3 43.- 28 44.- 152 45.- -4 46.- -13 47.- -33 48.- -1 49.- -54 50.- -48
51.- 80 52.- 4 53.- -58 54.- -5 55.- 33 56.- -4 57.- -17 58.- 7 59.- -48 60.- -13
61.- 29 62.- 74 63.- 65 64.- 0 65.- 351 66.- 31 67.- -14 68.- 70 69.- 61 70.- 2
71.- -52 72.- 103 73.- -28 74.- 5 75.- -17 76.- 4 77.- 18 78.- 18 79.- 0 80.- 30
81.- 28 82.- -43 83.- -4 84.- -8 85.- -52 86.- 18 87.- -11 88.- 44 89.- 3 90.- 10
Orden de prioridad en las operaciones: 1. Las expresiones encerradas entre paréntesis, de los interiores a los exteriores. 2. Las potencias y radicales 3. Los productos y cocientes 4. Las sumas y restas Cuando tengamos operaciones de igual prioridad se ejecutan de manera natural, es decir, de izquierda a derecha.
Operaciones en Z
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Operaciones combinadas ESO Departamento de Matemáticas
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Operaciones Combinadas
Orden de prioridad en las operaciones: 1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2. Calcular las potencias y raíces. 3. Efectuar los productos y cocientes. 4. Realizar las sumas y restas. Cuando tengamos operaciones de igual prioridad se ejecutan de manera natural, es decir, de izquierda a derecha.
1) 3
3 16 : 2 2 5·3 2 : 2 23) 3 3 3
2 3 4
2) 5
4 2 3 4·3 4 24 : 4 4 24) 81 : 3 4· 12 2· 3
3) 566 : 22 11·2 40 2 42 : 7 4 : 2 25) 7· 5 3 36 : 3
4) 4
2 : 4 4· 2 5 · 2 8 26) 3 4 · 64 5· 2
5) 12 18 : 2 4 · 121 27) 3100 : 5 3 : 3
6) 315 4 3 12 5·2 5 16 : 4 5 10 2 28)
2 23· 5 16 ·2 : 2· 49
7) 2 02
5 24 : 2 3 2· 12 3·4
29) 2 15 ·3 49 : 5 · 2 3
8) 2 2 22 · 4 9 : 3 ·2 5·4 7 4 12 9 30) 5 3 2 08 : 8 4 · 16 2
9) 0
2 2 2 336 : 3· 3 5 4 · 16 2 : 2 : 16 : 16·8
31) 1 2 2 1· 1·3 1
10) 2
5 3·2 : 6 4 · 4 : 2 3 6 : 7 8 : 2 2 32) 5441 2 ·23 15·4
11)
2 3 2 7
4· 4 2 3 1 2·3 : 1 5 4 : 2 3 33) 210 0 22 25 : 3 4 · 125 : 5 13
12)
37·3 6 2· 2 : 4 3·2 7 4 9 : 3 34) 3
3 41327 : 3 4 : 4 81 : 3
13) 3 2
17 15 7 12 : 6 7 · 12 23 35) 3 2 22 · 4 3 : 9 5 : 25
14) 2 2 849 : 16 : 4 57 15· 23·5 2 : 32 36) 2 336 : 3 5 : 3 4· 7 2 3·4 5
15) 2 2 312 7 4·3 2 ·2 6 2 6 5·3 5 2 : 2
37) 9 3 · 12 7
16) 3 0 23 25 4 · 6 2 5 10 20 2· 8 2· 2
38)
53 42 ·2 100 3 5
17)
52 36 3 13 3· 2 4 2 6 39)
23 21 2 5· 1 3 : 3·4 3
18) 2 33 2 22 3 1 · 3 10 : 5 4 40)
2 2 25 · 2 3 · 3
19) 32 22 2 0
48 :12 22 : 11 2 3 2· 5 41) 12,9 7,1 2,2 ·15,5
20) 0
7 5 3 233 24 3 2 1 2 4· 1 2 : 2
Soluciones:
1) 28; 2) -43; 3) -10; 4) 30; 5) -41) 6) 18; 7) 0; 8) -52; 9) ; 10) 11; 11) -11; 12) 32; 13) 3; 14) -862; 15) -11; 16) 6; 17) -4; 18) 0; 19) -151; 20) -1; 21)-53; 22) 7; 23) 29; 24) -21; 25) 58; 26) 69; 27) -7; 28) 18; 29) -46; 30) 16; 31) 9; 32) -655; 33) 3303; 34) 6; 35) 18; 36) 27; 37) -12; 38) 60; 39) 1; 40) 63; 41) -28,3
21) 22 4 2
32 3 · 1 2 ·5 7 4 3 5 1
22) 23 3 2 344 4·2 : 3 10 2 ·11 3 5 : 2
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Problemas de números Enteros ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Enteros
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1.- Hemos comprado un camión congelador que estaba al ponerlo en marcha, a 25 °C. Al cabo de 4 horas la temperatura del congelador era de -7°C. ¿Cuántos grados bajo cada hora?
Sol: 8°C cada hora
2.- Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió?
Sol: 77 años 3.- Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?
Sol: 1003 metros 4.- ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?
Sol: -22 ºC y +22 ºC
5.- La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera a razón de 9º C cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire ha variado -81 ºC y en tierra teníamos una temperatura de 27 ºC.?
Sol: 3.600 metros 6.- En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Sol: 725 litros 7.- En una estación de esquí la temperatura más alta ha sido de -20 C, y la más baja, de -230 C. ¿Cuál ha sido la diferencia de temperatura?
Sol: de 21 grados 8.- Un avión vuela a 11.000 m y un submarino está a -850 m. ¿Cuál es la diferencia de altura entre ambos?
Sol: 11.850 metros. 9.- En la cuenta corriente del banco tenemos 1.250 €. Se paga el recibo de la luz, que vale 83 €; el recibo del teléfono, que vale 37 €, y dos cheques de gasolina de 40€ cada uno. ¿Cuánto dinero queda en la cuenta corriente?
Sol: 1.050 € 10.- Pitágoras nació el año 585 a.C y murió el año 495 a.C ¿Cuántos años vivió Pitágoras?
Sol: 90 años 11.- Compramos un congelador y cuando lo enchufamos a la red eléctrica está a la temperatura ambiente, que es de 250 C. Si cada hora baja la temperatura 50 C, ¿a qué temperatura estará al cabo de 6 horas?
Sol: -5°C 12.- He viajado desde San Fernando donde la temperatura era de 11 grados hacia Granada que la temperatura es de -3 grados. ¿Cuál ha sido la diferencia de temperaturas?
Sol: -14 grados 13.- Cristian vive en el 4º piso, se sube en el ascensor y baja al sótano 2, ¿Cuántos pisos ha bajado?
Sol: 6 plantas
14.- Ayer, la temperatura a las nueve de la mañana era de 15º C. A mediodía había subido 6º C, a las cinco de la tarde marcaba 3º C más, a las nueve de la noche había bajado 7º C y a las doce de la noche aún había bajado otros 4º C. ¿Qué temperatura hacía a medianoche?
Sol: 13 °C
15.- Camila tiene en su libreta de ahorros 73 euros. Cada mes su padre le ingresa 21 euros y ella saca para sus gastos 11 euros. ¿Cuántos euros tendrá en su libreta al cabo de seis meses?
Sol: 133 € 16.- Le debo a mi amigo 10 €. Me han tocado en la lotería de Navidad 100 €, lo primero que hago es pagarle a mi amigo. ¿Cuánto dinero tengo?
Sol: 90 € 17.- Tengo en el banco 60 €, me ha llegado una factura de 100 €, ¿cuánto me falta para pagar la factura?
Sol: 40 € 18.- Un día de invierno amaneció a 3 grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido 8 grados, y hasta las cuatro de la tarde subió 2 grados más. Desde las cuatro hasta las doce de la noche bajó 4 grados, y desde las doce a las 6 de la mañana bajó 5 grados más. ¿Qué temperatura hacía a esa hora?
Sol: -2°C 19.- La temperatura más alta registrada en la Tierra fue de 58º en Libia en septiembre de 1922, y la más baja fue de –88º en la Antártida en agosto de 1960. ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura registrada en Libia y la registrada en la Antártida?
Sol: 146 °C 20.- Rosa gana cada hora 2 euros más que Lucía. Han trabajado el mismo número de horas. Al terminar el trabajo, Rosa ha ganado 64 euros más que Lucía. a) ¿Cuántas horas ha trabajado cada una?. b) Si Lucía gana 384 euros, ¿cuánto ha ganado Rosa?
Sol: a) 32 horas; b) 448 € 21.- Un edificio está formado por 4 sótanos, la planta baja y 11 pisos más. La altura de cada sótano es un metro mayor que la de cada piso. El sótano –4 está a una altura de –16 m. ¿Cuál es la altura del edificio?
Sol: 36 metros. 22.- Tres niñas se reparten cierta cantidad de dinero. La primera recibe 55 euros, la segunda 5 euros más que la primera y la tercera igual que las otras dos juntas. ¿Cuánto dinero se repartieron entre las tres niñas?
Sol: 230 €. 23.- Manolo tiene 46 años y su hijo 17. ¿Qué edad tendrá Manolo cuando su hijo tenga 28 años?
Sol: 57 años. 24.- En el instituto se gastan diariamente 1.500 folios. a) ¿Cuántos se gastan en una semana? b) ¿Cuál ha sido el gasto en el mes de abril, si el paquete de 500 folios cuesta 6 euros?
Sol: a) 7.500 folios por semana; b) 540 € 25.- Cada semana te dan 5 euros de paga, pero te gastas 3 euros. ¿Cuánto dinero tendrás acumulado dentro de 5 semanas, teniendo en cuenta que en una de ellas fue tu cumpleaños y te regalaron además 25 euros?
Sol: 35 € 26.- En una urbanización viven 13.500 personas; hay un roble por cada 90 personas y 4 pinos por cada 120 personas. ¿Cuántos árboles de cada clase hay en la urbanización?
Sol: 150 robles y 450 pinos. 27.- Un depósito de agua potable de 10.000 litros está lleno. Cada día entran 2.000 litros y salen 3.000 litros. Indica el tiempo que tardará en vaciarse.
Sol: 10 días.
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Problemas de números Enteros ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Enteros
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28.- Estoy en el piso 2º, bajo 3 pisos, subo 2, bajo 4, subo 6 y por último bajo 3, ¿en qué planta me sitúo?
Sol: En la planta baja.
29.- Mónica se monta en el ascensor en la planta baja de su edificio, el ascensor sube 5 plantas, después baja 3, sube 5, baja 8, sube 10, sube 5 y baja 6. ¿En qué planta está Mónica?
Sol: En la octava planta. 30.- Juan debe 40 euros a un taller por la reparación de su moto. Si abona 35 euros, ¿cuánto debe?
Sol: Debe 5 €. 31.- En una estación de esquí el termómetro marcaba 14º bajo cero a las 8 de la mañana; al mediodía la temperatura había subido 10 grados y a las 19.00 había bajado 5 grados respecto al mediodía. ¿Cuál era la temperatura a esa hora?
Sol: 9 grados bajo cero. 32.- El día 28 de enero, el termómetro marcó en Burgos una mínima de -12 ºC y en Santa Cruz de Tenerife llegó a una máxima de 25 ºC. ¿Cuál fue la diferencia de temperatura entre ambas ciudades?
Sol: 37 ºC. 33.- Un barco está hundido a unos 200 metros de profundidad. Se reflota a una velocidad de 2 metros por minuto. ¿A qué profundidad estará al cabo de una hora?
Sol: a 80 metros de profundidad. 34.- Jaime tiene una deuda y decide pagar 12 euros cada mes. ¿Cuál era su importe si tarda 10 meses en saldarla?
Sol: -120 € 35.- En una estación de esquí, la temperatura desciende 2 grados cada hora a partir de las 00:00 y hasta las 8:00. ¿Qué temperatura hay a las 8.00, si la temperatura a las 00:00 era de 4 ºC?
Sol: -12 ºC. 36.- La fosa marina de Mindanao tiene una profundidad de 11.040 metros, y la fosa marina de Java, de 7.250 metros. Calcula la diferencia entre la más y la menos profunda. Calcula también la diferencia entre la menos y la más profunda.
Sol: ± 3.790 metros. 37.- Un repartidor de pizzas gana 36€ cada día y gasta, por término medio, 5€ en gasolina y 10€ en reparaciones de la moto. Si además recibe 11€ de propina, ¿cuánto dinero le queda al final de mes (30 días)?
Sol: 960€ 38.- Calcula:
) 7 3 2 15 ) 12 4 : 2 4 6
) 9 3 2· 4 ) 9 2· 1 3 2 2
a c
b d
Sol: a) 22; b) 1 ; c) 32: d) 24
39.- Representa en una recta numérica los números: (+4), (-3), (0), (+7), (-2), (+2) y luego escríbelos de forma ordenada.
Sol: (-3), (-2), (0), (+2), (+4) y (+7) 40.- En un museo, la visita es guiada y entran 25 personas cada 25 minutos. La visita dura 90 minutos. El primer grupo entra a las 9:00 a) ¿Cuántos visitantes hay dentro del museo a las 10:00? b) ¿Cuántos hay a las 11:15?
Sol: 75 personas; b) 100 personas 41.- Jesús y María juegan de la siguiente forma: tiran un dado y anotan el número que sale. Le ponen signo positivo si es par y signo negativo si es impar. Gana el que suma más puntos al final de todas las tiradas.
Tiradas de Jesús: 3, 6, 1, 5, 2 Tiradas de María: 5, 2, 6, 5, 4
a) ¿Quién ganó el juego? b) ¿Quién iba ganando en la tercera jugada?
Sol: a) María; b) María. 42.- María tiene en el jardín un termómetro que deja marcadas las temperaturas máxima y mínima. Cada mañana toma nota y esta semana registró los siguientes datos: Lunes: 22º y 5º. Martes: 18º y -2º. Miércoles: 15º y -4º. Jueves: 17º y 0º. Viernes: 23º y 4º. Sábado: 20º y 5º. Domingo: 22º y 4º.
a) Calcula la amplitud térmica de cada día. b) ¿Cuál es la amplitud térmica mayor de la semana? Sol: a) L=17, M=20, X=19,J=17, V=19, S=15, D=18; b) M=20
43.- Calcula los siguientes valores absolutos: a) | –4 | = 4 b) | +2 | = 2 c) | +9 | = 9 d) | –8 | = 8 e) | 0 | = 0 f) |-1|= 1
44.- Escribe: a) El número (+25) como suma de dos enteros positivos; b) El número (–10) como suma de dos enteros negativos; c) El número (–2) como suma de un entero positivo y otro negativo; d) El número (+13) como suma de un entero negativo y otro positivo.
Sol: Varias soluciones posibles
45.- Hemos comprado un camión congelador que estaba, al ponerlo en marcha, a 35 °C. Al cabo de 4 horas estaba a –9 °C. ¿Cuántos grados bajó cada hora?.
Sol: 11 grados.
46.- Una de las escalas termométricas más utilizadas es la escala Kelvin. En ésta escala el cero absoluto 0K (temperatura más baja posible) equivale a -273 °C en la escala centígrada.
a) Escribe en la escala kelvin las siguientes temperaturas
centígradas: -7°C, -28°C, 147°C, -57°C b) Escribe en la escala centígrada las siguientes tempe-
raturas kelvin: 3K, 95K, 298K, 369K Sol: a) 266K; 245K; 420K; 216K; b)-270ºC; -178ºC; 25ºC; 96ºC
47.- Una empresa ha cerrado los cuatro trimestres con el siguiente balance: 1º trimestre: beneficio de 2.568 €/mes; 2° trimestre: pérdidas de 792 €/mes; 3º trimestre: pérdidas de 525 €/mes y 4° trimestre: beneficio de 1.050 €/mes ¿Cuál es el balance final de esta empresa?
Sol: Beneficio de 6.903 €
48.- Un avión baja 3.565 m en 23 segundos. ¿Cuánto ha descendido cada segundo?
Sol: -155 m/s
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Potencias y Raíces 1º Ciclo ESO Departamento de Matemáticas
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Potencias y Raíces
Propiedades de las potencias
Producto Cociente
·
· ·
b c b c
cc c
a a a
a b a b
:
: :
b c b c
cc c
a a a
a b a b
Potencia Exponente Negativo
0 1
·
1c
b b c
bc bc
a a a
a a
a a
1 1bb c
b c b
c c
a aa a
a b
b a
Propiedades de las Raíces
nn a b b a
1.- Calcula Aplicando las Propiedades de las potencias:
a) 33 · 34 · 3 b) 57 : 53 c) (53)4
d) (5 · 2 · 3) 4 e) (34)4 f) [(53)4]2
g) (82)3 h) (93)2 i) 25 · 24 · 2
j) 27 : 26 k) (22)4 l) (4 · 2 · 3)4
m) (25)4 n) [(23 )4]0 ñ) (272)5
a)38; b)54; c)512; d)304; e)316; f)524; g)218; h)312; i)210; j)2; k)28; l)244; m)220; n)1; ñ)330
2.- Calcula, teniendo cuidado con los signos:
a) (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 b) (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4
c) 2−2 · 2−3 · 24 d) 22 : 23
e) 2−2 : 23 f) 22 : 2−3
g) 2−2 : 2−3 h) (-2)3·(+2)7
Sol: a) (-2)9 ; b) (-2)5 ; c) 2-1= 1/2 ; d) 2-1 ; e) 2-5 ; f) 25 ; g) 2 ; h) – (2)10
3.- ¿Qué signo tienen las potencias siguientes?
a) 63 b) (-3)12 c) 321 d) (-3)21
e) (-2)4 f) 532 g) (-3)5 h) 451
i) 335 j) (-1)17 k) 3-3 l) (-2)-3
4.- Calcula las siguientes potencias:
a) 34 b) (-1)3 c) (-2)3 d) 25
e) (-2)4 f) -22 g) (-3)3 h) 52
Sol: a) 81; b) -1; c) -8; d) 32; e) 16 ; f) -4 ; g) -27 ; h) 25
5.- Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de potencia:
a) (24 · 32 · 53)3 b) (32 · 53)3 c) (53 · 22 · 43)2
Sol: a) 212·36·59; b) 36·59; c) 56·216
6.- Reduce a una única potencia:
a) 4 6·x x b) 3 4·m m c) 8 6:m m
d) 7 6:x x e) 27 24 : 4 f)
34m
g) 210 6:a a h) 5 2 4: ·x x x i)
52x
j) 6 4 7· :x x x k) 2 4 35 ·5 : 5 l) 34 72 : 2
m) 25 325 : 5
n)
3 34 33 : 3
Sol: a) x10; b) m7; c) m2; d) x; e) -43; f) m12; g) a8; h) x7;
i) x10; j) x3; k) 53; l) 25; m) 54; n) -33
7.- Reduce a una única potencia: 3 3 4
2 3 3 2 3 0 3 2 3
4 2 4 2
2 ·2 3 ·3) ( · · ) ·( · · ) ) 2 ·2· ) 3 ·3 ·
2 ·2 3 ·3
a a a a a a a b c
Sol: a) a23; b) 22; c) 36
8.- Calcula:
a) 58 4 25 ·5 : 5 b)
23 362 · 2 : 2
c) 38 5 47 ·7 : 7
d)
33 2 3
3 : 3 · 3
Sol: a) 52; b) 23; c) 7; d) 34
9.- Opera y calcula:
a) 6 4 410 : 5 ·2 b) 7 5 512 : 3 ·4
c) 5 5 49 · 2 : 18
d)
77 45 · 4 : 20
e) 4 5 28 : 2 ·4 f) 53 525 : 15 : 3
Sol: a) 102; b)1 22; c) 18; d) -203; e) 23; f) -5
10.- Reduce a una única potencia:
a) 2
9 3 32 : 2 ·5
b) 3
2 2 410 : 5 : 5
c) 2
3 7 66 : 2 : 2 ·3 d)
2 42 4 36 ·4 : 2
Sol: a) 103; b) 22; c) 6; d) 34
11.- Calcula, si es posible, las siguientes raíces:
a) 49 b) 28 c) 49 d) 215 e) 169 f) 225 g) 2500 h) 250 i) 2x j) 2x k) 2( 144) l) 4a m) 2( 2) n) 4a ñ) 4( )a o) 6m p) 81 q) 6( )m r) 4a s) 6m
Sol: a) 7; b) 8; c) No; d) 15; e) 13; f) No; g) 50; h) 50; i) No; j) x; k)-144; l) a2; m) 2; n) no; ñ) a2; o) m3; p) no; q) m3; r) no; s) no
12.- Calcula si existen estas raíces: a) 3 1 b) 3 1 c) 3 64
d) 4 625 e) 4 625 f) 4 10.000 Sol: a) 1; b)-1; c) 4; d) 5; e) No; f) 10
13.- Calcula las siguientes raíces exactas: a) 0,04 b) 0,49 c) 0,81
d) 0,0001 e) 0,0121 f) 0,1225
Sol: a) 0,2; b) 0,7; c) 0,9; d) 0,01; e) 0,11; f) 0,35 14.- Expresa en forma de potencia y calcula:
3 512 10 10) ) ) a a b m c x
Sol: a) a4; b) m2; c) x5
15.- Calcula utilizando las propiedades de las potencias: 4 2 2 2 5 3 5 2 1
2 3 4 2 3 1
6 ·8 15 ·4 2 ·4 2 ·3 ·4) ) ) )
163 ·2 ·2 12 ·10 2 ·9a b c d
Sol: a) 72; b)5/2; c) 1/8; d) 81
16.- Simplifica:
4 3 3 23
21
2 2
1 1 1 1) : ) : ) · ) · ) ·
a a a aa b a c d a e
a a b b a ba b
Sol: a) a; b) a2; c) b2/a; d) b3/a; e) a·b2
17.- Calcula utilizando las propiedades de las potencias:
2 33 3
2 2 4 1 5 23 2 3 1 4
2 7 3 20 5 2 5
5 · 5 5 2 · 2 ·2 3 · 3 7 ·7 ·7) ) ) )
2 35 ·5 · 5 7 ·7
a b c d
Sol: a) 5; b) 32/3; c) 2-22; d) 7-12
125
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Fracciones 1º Ciclo ESO Departamento de Matemáticas
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Operaciones en
F
1) 3 5
4 2 18)
5 2 3·
8 3 12 35)
3 5 1 4 3 1
8 3 2 11 4 5
2) 2
43
19) 10 2 1 4
·4 3 3 5
36)
1 1 1 1 1 13 4 3 : :
3 2 4 5 3 2
3) 2 5 7
3 6 15 20)
4 10 7 5: :
5 4 4 4 37)
1 2 3 7· 3 · 1
8 5 2 4
4) 6 3 14
15 10 6 21)
5 12· 7 8
2 3 38)
8 2 5 3 7 1: ·
9 3 2 4 3 9
5) 24 12 15
10 30 25 22)
1 4 5· 3
3 6 3 39)
6 9 7 7 1· 3 : 2
5 4 3 2 4
6) 8 1 7
3 8 12 23)
2 13 · 1
7 3 40)
1 3 1 7 11 · · 1
6 2 8 5 4
7) 3 5 1
4 12 8 24)
5 5 4: 3 2
8 12 7 41)
4 5 1 3 72· : · 1
3 4 3 2 4
8) 3 5 7
8 10 4 25)
5 4 2 22 · : 3·
8 3 6 5 42)
6 1 1 5 1 3· : · 2
9 8 3 3 3 2
9) 3 5 1
4 12 6 26)
2 21 3 73 1 : 2
7 4 5 2 43)
1 1 3 5 3 2 1:
3 2 4 6 4 3 4
10) 3 7
515 10
27)
1 1 23 3· 4
4 2 3 44)
5 1 3 1 1 3 1 6: ·
6 4 4 5 3 4 8 5
11) 4 4 2 4
15 3 10 25 28)
1 1 2 74 7 · 3
3 2 5 2 45)
2 1 2 3 1 3: 1 :
7 4 5 10 2 14
12) 11 5 4 7
36 12 9 24 29)
13 5 5 1 33 4 · ( 2)
2 8 3 3 4 46)
2 22 3 1 1 5 1
·3 4 2 6 6 3
13) 17 11 13 9
40 30 20 8 30)
1 1 3 2 7:
4 3 4 5 10 47)
21 1 1
5 : 1 3 :2 2 4
14) 13 5 17 7
32 24 48 12 31)
1 3 5 11
2 4 6 3 48)
22 1 2 2
13 1 :3 9 3 3
15) 21 31 13 11
44 66 22 12 32)
4 5 1 51 2
3 2 4 6 49)
31 21 5 100
1 · 4 :2 2 225
16) 12 40 10
315 12 8
33)
1 2 3 7 11 1
4 3 2 12 3
50)
11
11
5
51)
12
23
34
5
17) 7 5 10
62 6 3
34) 3 2 4 4 1 3 3
: :5 3 5 3 3 4 7
SO
LU
CIO
NES
1) 13/4 12) 1/24 23) 67/21 34) -19/12 45) 1/4 2) 14/3 13) -5/12 24) -39/14 35) 19/80 46) 0 3) 59/30 14) -1/32 25) -1/4 36) -487/30 47) -88/9 4) 91/30 15) 1/3 26) 176/49 37) -4/5 48) -3 5) 11/5 16) -7/60 27) 45/8 38) 25/36 49) 1 6) 25/8 17) 7 28) 91/60 39) 13/70 50) 11/6 7) 25/24 18) 2/3 29) -77/8 40) -97/48 51) 181/79 8) -7/8 19) 29/15 30) 5/12 41) 113/24 52) 119/30 9) 4/3 20) 43/25 31) -7/4 42) -7/4 53) 5/2
10) -41/10 21) 47/6 32) 43/12 43) 11/24 54) -3/8 11) 41/25 22) -4/9 33) -11/3 44) 1/5 55) 83/15
Algoritmo de Resolución: 1.- Se opera utilizando el orden de prioridad de las operaciones: Primero corchetes, luego paréntesis, después productos y cocientes y por último sumas y restas. 2.- Para sumar o restar, se reducen las fracciones a común denominador mediante el m.c.m. 3.- Se simplifica el resultado. (Se recomienda simplificar en los pasos intermedios para facilitar los cálculos)
52)
13 4 4 12· 3 1 2 2
9 3 5 3
53)
25 5 1 1
1 2 19 4 4 2
54)
33 5 29 1 2
2 4 4 2 3
55) 3 4
10 25 11 8 256
50 3 9 125 81
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Problemas de Fracciones 1º Ciclo ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Fracciones
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1.- Escribe las fracciones correspondientes: a) Medio kilo de naranjas. b) Tres cuartos de hora. c) Dos tercios de la clase. d) Tres partes de aceite y una de vinagre. e) Tres partes de agua y una de tierra.
Solución: a) ½ b) ¾ c) 2/3 d) ¾ e) 3/4
2.- El bronce es una aleación de cobre, estaño y cinc. De cada 100 partes de bronce, 88 son de cobre, 8 de estaño y 4 de cinc. Escribe como una fracción que parte hay en el bronce de cada uno de sus componentes.
Solución: 22/25; 2/25 y 1/25
3.- Se dice que pasamos un tercio de nuestra vida durmiendo. Si vivimos 81 años, ¿cuánto tiempo habremos estado durmiendo?
Solución: 27 Años 4.- La suma de los alumnos de dos clases es 48. De estos alumnos, 1/2 han elegido Astronomía, 1/3 Informática y 1/6 teatro. ¿Cuántos alumnos han elegido cada una de estas asignaturas?
Solución: 24 Astronomía, 16 Informática y 8 Teatro. 5.- Un cine tiene un aforo de 500 espectadores. Se han llenado los 7/10 del aforo. a) ¿Cuántos espectadores han entrado? b) ¿Qué fracción falta por llenar? c) ¿Cuántos espectadores tendrían que entrar para llenar el aforo?
Sol: a) 350; b) 3/10; c) 150 6.- La calidad de los objetos de oro se mide en quilates. Un quilate significa que de cada 24 partes de metal, 1 parte es de oro puro. a) Expresa en forma de fracción 1 quilate. b) El oro de ley tiene 18 quilates. ¿Qué cantidad de oro tiene una pulsera de oro de ley que pesa 72 gr.? c) El oro bajo tiene 14 quilates. ¿Qué cantidad de oro tiene un anillo de oro bajo de 36 gramos?
Solución: a) 1/24 b) 18/24 , 54 g c) 14/24, 21 g 7.- El corazón de Ana late 9 veces en 10 segundos. En forma de fracción se escribe 9/10. Escribe como fracción los latidos de Ana en: a) 60 segundos, b) 3.600 segundos.
Solución: a) 54/60 b) 3240/300 8.- De los alumnos de primero han ido al teatro 72 de 108. Escribe este resultado con 3 fracciones equivalen-tes. ¿Cuántas respuestas posibles hay?
Solución: 36/54, 24/36, 6/9
9.- En las elecciones de un centro con 630 alumnos se presentan 3 candidatos para representar a los alumnos en el Consejo Escolar. Al primero le votan 2 de cada 6 alumnos, al segundo 3 de cada 9 y al tercero 5 de cada 15. ¿Quién ganó las elecciones?
Solución: Todos igual 10.- Las latas de refresco tienen un volumen de 1/3 de litro. ¿Cuántas latas son necesarias para envasar 20000 litros de refresco?
Solución: 60000 botes 11.- Anastasio se ha gastado los 3/5 de su paga. ¿Cuál es su paga si se ha gastado 24 euros?
Solución: 40 Euros
12.- Alberto ha fallado 3 penaltis de 31 y Carlos 4 de 32. ¿Quién tira mejor los penaltis?
Solución: Alberto. 13.- Mounia estudia el lunes 2 horas y media. Dedica 1/3 del tiempo a matemáticas y 1/5 a ciencias. ¿Cuántos minutos dedica a cada asignatura? ¿Qué fracción dedica a las otras asignaturas?
Solución: a) 50 min a mates y 30 min a ciencias. b) 7/15 a las otras. 14.- Marisa dice que han aprobado 24 alumnos de 36, es decir, 24/36. ¿Con qué otras fracciones de términos más sencillos se puede expresar este resultado?
Solución: 2/3, 4/6, 8/12 15.- En la clase de 1ºA hay 12 alumnos y 16 alumnas; en la de 1ºB hay 15 alumnos y 18 alumnas. ¿Hay la misma proporción de chicos y chicas en ambas clases?
Solución: No, hay más en 1º B 16.- En una cuestación para ayudar a los afectados por una riada han colaborado 120 alumnos de los 160 de primer curso y 90 de los 110 de segundo curso. ¿Qué curso ha colaborado más?
Solución: Los de segundo curso 17.- A pesar de la mayor proporción de mujeres que de hombres en la mayoría de los países, su participación en la política activa es muy inferior a la de éstos. De acuerdo con los datos siguientes, ordena los países según la participación femenina en sus parlamentos. España: 5/18, Alemania: 1/3, Suecia: 3/7, EE.UU.: 7/50, Italia: 1/10, Francia: 8/75.
Solución: Suecia, Alemania, España, EEUU, Francia y Italia. 18.- En una clase de 36 alumnos 1/3 han elegido como optativa el idioma francés y 1/6 el alemán. ¿Qué fracción de alumnos estudian idiomas? ¿Cuántos son?
Solución: La mitad estudia idiomas, 18 Alumnos. 19.- El martes, de los alumnos de Primero fueron al teatro 3/8 y a un concierto 2/5. ¿Han participado todos los alumnos?. Si la respuesta es negativa, ¿qué fracción de alumnos no ha ido a ninguna actividad?
Solución: No, 9/40 no han participado a ninguna actividad. 20.- Los alumnos de Quinto van a visitar una reserva de animales. Se sabe que van los 3/4 y se quedan 36 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en 5º?
Solución: 144 Alumnos. 21.- Tres pueblos se ponen de acuerdo para repoblar un monte. Uno de ellos está dispuesto a repoblar 2/5 y otro 3/8. ¿Qué parte ha de repoblar el tercer pueblo?
Solución: 9/40 22.- Mi cortijo tiene un depósito de agua con una capacidad de 24.000 litros. Si gastamos en una semana los 3/8, ¿qué fracción queda? ¿Cuántos litros son?
Solución: Quedan 5/8 que son 15.000 litros. 23.- Un sexto de los alumnos de una clase son 5. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
Solución: 30 Alumnos. 24.- La familia de Silvia gasta 1/3 de su presupuesto en vivienda y 3/7 en alimentación. ¿Qué fracción del presupuesto le queda para otros gastos? Si sus ingresos mensuales son 2100 euros, ¿cuánto pagan por la vivienda? ¿Y por la alimentación?
Solución: a) 5/21 b) 700 por la Vivienda y 900 por la alimentación. 25.- El aforo (número de espectadores posible) de un polideportivo es de 8000 espectadores. Calcula el número de asistentes cuando se llenan 17/40, 7/8 y 3/4.
Solución: 3400, 7000 y 6000 espectadores.
Algoritmo de resolución de Problemas: a) Lectura y comprensión del enunciado b) Traducir el problema al lenguaje matemático
mediante fracciones c) Realizar las operaciones con fracciones sin
olvidar el orden en la prioridad de las operaciones
d) Evaluar e interpretar la solución
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Problemas de Fracciones
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26.- ¿Cuántos vasos de un octavo de litro se necesitan para llenar una botella de tres cuartos de litro?
Solución: 6 Vasos 27.- Los 2/5 de los alumnos de mi clase son 24. ¿Cuántos alumnos hay en mi clase?
Solución: 60 Alumnos 28.- Un ciclista tiene que recorrer 42 kilómetros que separan dos pueblos. Si ha recorrido 3/7 de la distancia, ¿cuántos kilómetros le faltan todavía?
Solución: 24 Km. 29.- Eva ha comprobado que sus pasos miden aproximadamente 3/5 de metro. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 3 kilómetros?
Solución: 5000 pasos 30.- Los 5/6 de una mercancía cuestan 870 €, ¿Cuánto cuestan los 2/3 de dicha mercancía?
Sol: Cuestan 696 € 31.- A María del Carmen le preguntan cuánto pesa, responde: “La mitad de la cuarta parte de mi peso es igual a 7 Kg”. ¿Cuánto pesa María?
Sol: María pesa 56 kilos 32.- Un recipiente está lleno de agua hasta los 4/5 de su capacidad. Si se saca la mitad del agua que contiene, ¿Qué fracción de agua se ha sacado?. Si la capacidad del recipiente es de 80 litros, ¿Cuántos litros quedan?
Sol: Se sacan 2/5 y quedan 32 litros 33.- Un poste de luz tiene enterrado 3/5 de metro y sobresale 2,25 metros. ¿Qué longitud tiene el poste?
Sol: 5,625 metros 34.- He comprado 3/5 de un queso que han pesado 0,75 Kg. ¿Cuánto pesaba el queso entero?
Sol: 1,25 Kg.
35.- Un viajero recorre el primer día las 2/7 partes de su viaje, el segundo día los 3/10, el tercero los 5/14 y el cuarto concluye el viaje haciendo 20 Km. ¿Cuál es el recorrido total y el de cada día?
Sol: a) 350 Km; b) 100, 105 y 125 km respectivamente. 36.- María gasta 3/5 partes de sus 500 euros ahorrados. a) ¿Qué parte le queda sin gastar? b) ¿Cuánto dinero ha gastado? c) Si le deja a su hermana ¼ de lo que le queda, ¿qué cantidad de dinero tiene ahora María?
Sol: a) 2/5; b) 300; c) 150. 37.- Dos hermanos se reparten las canicas de un bote. El primero se lleva 3/8 del total, mientras que el segundo obtiene las 55 restantes. ¿Cuántas contenía el bote?
Sol: 88 canicas
38.- Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de ¾ de litro?
Sol: 15 frascos
39.- Nos dicen que el resultado de un examen ha sido el siguiente: 1/8 de los alumnos y alumnas han obtenido insuficiente, 3/7 suficiente, 3/8 notable y 1/10 sobresaliente. Comprueba si es posible.
Sol: No
40.- Un aventurero realiza 2/5 de un viaje en todo terreno, 1/3 a caballo y el resto andando. Si la caminata ha sido de 80 km, ¿cuál es la longitud total de su recorrido?
Sol: 300 km
41.- Los 5/6 de lo gastado por una familia este fin de semana son 87 €. ¿Cuánto supone los 2/3 de los gastos de esa misma familia?
Sol: 69,60 €
42.- En una biblioteca los 2/9 de los libros que hay son de matemáticas, 3/5 son de literatura, 1/7 son de ciencias sociales y el resto de idiomas. Ordena las diferentes asignaturas por el número de volúmenes que encontraron en la biblioteca.
Sol: Lit>Mat>Soc>Id
43.- Una tienda ofrece pantalones rebajados en 1/7 de su precio. Si ahora se venden a 88'50 €, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?
Sol: 103,25 €
44.- Un niño regala a su hermana 1/6 de sus tebeos, vende 1/3 del total a sus amigos y pierde la quinta parte. Si todavía quedan 9 tebeos, ¿cuántos tenía al principio?
Sol: 30 comics
45.- Un profesor ha corregido 2/5 de los exámenes con rotulador rojo y ¼ con bolígrafo azul. Si todavía le quedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total?
Sol: 120 exámenes
46.- Entre 7 personas se reparten 4/9 de una herencia. Si cada uno recibe 1.750 €, ¿cuál es el total de la herencia?
Sol: 27.562,50 €
47.- De un depósito que contenía 600 litros sacamos primero 1/6 y después 3/4. ¿Cuántos litros quedan?
Sol: 50 litros
48.- Se celebra en Roma una conferencia para la defensa ecológica del Mar Mediterráneo, con la asistencia de científicos de algunos países ribereños: 1/6 españoles, 1/5 marroquíes, 1/8 argelinos, 1/8 tunecinos, 1/10 franceses y el resto italianos, que son 34. ¿Cuántos científicos asisten a la reunión?
Sol: 120 científicos
49.- De un recipiente de 240 litros se han llenado 130 botellas de medio litro. ¿Cuántas botellas de 1/5 de litro se podrán llenar con el resto?
Sol: 875 botellas 50.- Un depósito contiene 20 hl de líquido. Extremos 25 garrafas de 2 litros y el resto se envasa en botellas de 1/3 de litro. ¿Cuántas botellas se necesitan? ¿y si fueran de medio litro?
Sol: a) 450 botellas; b) 300 botellas.
51.- Un tonel de vino está lleno hasta los 7/11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1.804 litros para llenarlo completamente. ¿Cuál es la capacidad del tonel?
Sol: 4.961 litros. 52.- Carlos tiene una caja con 24 bolígrafos que reparte entre sus primos de la forma siguiente: a) Rosa recibe la tercera parte. b) Sergio, la cuarta parte. c) Dani, la mitad de la tercera parte. d) Rocío, la cuarta parte de la mitad. e) ¿Cuántos bolígrafos recibe cada uno? ¿Sobra alguno? Escribe los que sobran mediante una fracción.
Sol: 53.- En la comunidad de vecinos de Carlos, los ingresos obtenidos se emplean de la siguiente forma: 1/8 en electricidad, ¼ en mantenimiento del edificio, 2/5 en combustible para la calefacción y el resto en limpieza. a) Hallar la fracción de ingresos que se emplean en limpieza. b) Calcular en qué servicio se gasta más ingresos y en cuál menos. c) Si en limpieza se gastan 575 €, ¿A cuánto ascienden los ingresos en dicha comunidad de vecinos?
Sol
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53.- Los estudiantes de 2º de ESO han elegido como segundo idioma: 9/12 francés, 2/15 alemán y 1/20 italiano. a) ¿Cuál de los tres idiomas es el más elegido? b) ¿Qué fracción de la clase no cursa segundo idioma?
Sol: a) Francés; b) 1/15 no hace segunda lengua. 54.- En el cumpleaños de Paula la tarta se repartió de la siguiente forma: Blanca tomó un cuarto de tarta, María un quinto, Jorge un tercio y Paula un sexto. ¿Qué fracción de tarta sobró?
Sol: 1/20. 55.- El muelle de un resorte alcanza, estirado los 5/3 de su longitud inicial. Si estirado mide 4,5 cm, ¿cuánto mide en reposo?
Sol: 2,7 cm
56.- En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tres quintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando?
Sol: No bailan 1/3 de los asistentes
57.- Después de haberse estropeado las 2/9 partes de fruta de un almacén, aún quedan 63 toneladas. ¿Cuánta fruta había antes de estropearse?
Sol: 81 toneladas 58.- Un jardinero siega por la mañana los 3/5 de una pradera de un parque. Por la tarde siega el resto, que equivale a 4.000 metros cuadrados. ¿Cuál es la superficie de la parcela en hectáreas?
Sol: 10.000 m2 = 1 Ha.
59.- Un padre deja los 3/5 de su herencia a su hija y 1/3 para su hijo. Además deja 40.000 euros a una asociación benéfica. ¿A cuánto asciende la herencia?
Sol: 600.000 €. 60.- Juan ha gastado 5/12 del dinero que llevaba. Vuelve a casa con 28 euros. a) ¿Cuánto ha gastado?, b) ¿Cuánto dinero tenía al salir de casa?
Sol: 48 €. 61.- Una botella de limonada tiene tres cuartos de litro. Si un grupo de amigos ha comprado 20 botellas para celebrar un cumpleaños, ¿cuántos litros han comprado?
Sol: 15 litros. 62.- Un bidón de agua de 60 litros se vacía en botellas de ¾ de litro. ¿Cuántas botellas se necesitan?
Sol: 80 botellas. 63.- Un parque tiene un estanque cuadrado que mide de lado 9/6 metros. a) ¿Cuánto mide su área? b) ¿Cuánto su perímetro?
Sol: a) A=9/4 m2; b) P=6 m. 64.- Un carpintero tiene un tablero de madera de 14/5 de metro de longitud. ¿Cuántas tablas de 6/5 de metro puede cortar del tablero?
Sol: Solo dos.
65.- Por cada 10 sobres de propaganda repartidos en los buzones nos dan 6/8 de euro. ¿Cuántos euros me darán por repartir 1 500 sobres?
Sol: 112,5 €
66.- Una de las naves espaciales, el Voyager II, salió de La Tierra el 20-8-1977. Tardó en llegar al planeta Júpiter 1+8/9 de año; de Júpiter a Saturno 2+1/8 de año; de Saturno a Urano, 4+3/7 de año; y de Urano a Neptuno, 3+4/7 de año. a) ¿Cuántos años tardó en llegar a Neptuno? b) ¿Dónde estaba 5 años después del despegue?
Sol: a) Un poco más de 12 años; b) Entre Saturno y Urano.
67.- Darío da pasos de 3/5 de metro y su perro Rayo da pasos de ¼ de metro. Si ambos van a igual velocidad y Rayo da 360 pasos por minuto, ¿cuántos pasos por minuto dará Darío?
Sol:
68.- En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte claveles y el resto tulipanes. La sexta parte de las rosas son blancas. Sabiendo que el campo tiene una extensión de 720 m2, y que por cada metro cuadrado tenemos 200 flores, ¿cuántas rosas blancas y tulipanes plantamos?
Sol:
69.- María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se encuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana. Después, pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le quedaban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media. Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha quedado sin nada. ¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partió ninguna?
Sol: 7 Manzanas
71.- Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuando lleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en el caballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la carga en el caballo y 2/5 en el burro. ¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transportar una carga de 190 kg?
Sol: La mula llevará 90 kg, el burro, 40 kg, y el caballo, 60 kg
72.- Entre tres amigos, Elena, Alejandro y Raquel se reparten 1.800 euros de modo que a Elena le corresponde 1/3, a Alejandro 2/5 y a Raquel el resto de dicha cantidad. a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? b) ¿Qué fracción del total le corresponde a Raquel?
Sol: a) 600 a Elena, 720 a Alejandro y 480 a Raquel; b) 4/15.
73.- A un equipo de fútbol escolar le regalan 36 camisetas. Un cuarto son azules, y el resto, amarillas Si la mitad de las azules y un tercio de las amarillas no sirven por ser demasiado pequeñas, ¿qué fracción de las camisetas resulta útil para el equipo? ¿Cuántas son en total y cuántas de cada color?
Sol: 73.- Tres peregrinos deciden iniciar un viaje de 8 días. El primero de los peregrinos aporta 5 panes para el camino, el segundo peregrino, 3 panes, y el tercero no aporta ninguno, pero promete pagarles a sus compañeros al final del viaje por el pan que haya comido. Cada uno de los días que duró el viaje, a la hora de comer sacaban un pan de la bolsa, lo dividían en tres pedazos y cada peregrino se comía un pedazo. Cuando llegaron a su destino, el caminante que no había aportado ningún pan sacó 8 monedas y las entregó a sus compañeros: 5 monedas para el que había puesto 5 panes y 3 monedas para el que había contribuido con 3 panes. ¿Podrías explicar por qué este reparto de monedas no es justo? ¿Cuál sería el reparto justo?
Sol
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Problemas de fracciones con Resto Departamento de Matemáticas
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Problemas de Fracciones II
01.- Virginia recibe el regalo de un paquete de discos. En la primera semana escucha 2/5 de los discos, y en la segunda, 4/5 del resto. Si aún le quedan tres sin escuchar, ¿cuántos discos había en el paquete?
Sol: 25 discos.
02.- Aicha se ha comido los 2/5 de una barra de helado. ¿Qué fracción queda?. Su padre, Robert, se ha comido la mitad del resto. ¿Qué fracción del helado queda ahora?
Solución: a) 3/5, b) Quedan 3/10. 03.- A una persona que le preguntan cuánto pesa, responde: “La mitad de la cuarta parte de mi peso es igual a 10 kg”. ¿Cuánto pesa esa persona?
Sol: 80 Kg. 04.- Una finca se divide en tres parcelas. La primera es igual a los 4/7 de la superficie de la finca y la segunda es igual a la mitad de la primera. a) ¿Qué fracción de la finca representa la tercera parcela?; b) Si la finca es de 14.000 m2, ¿cuál es la superficie de cada parcela?
Sol: a) 1/7; b) 8.000, 4.000 y 2.000 m2 . 05.- Jacinto se come los 2/7 de una tarta y Pepita los 3/5 del resto. a) ¿Qué fracción se ha comido Pepita?; b) ¿Qué fracción queda?
Sol: a) 3/7; b) 2/7. 06.- Aída organiza su armario: la cuarta parte la reserva a los zapatos; del espacio que queda, 7/12 los dedica a ropa y el resto a complementos. ¿Qué fracción del armario dedica a los complementos?
Solución: 5/16 07.- España es el tercer país del mundo que más agua consume por habitante y día: 300 litros aproximada-mente. El consumo de los hogares representa el 3/20 del total, y de esta cantidad 2/5 se van por la cisterna. ¿Cuánta agua se va por la cisterna cada día en una casa con 4 habitantes?
Solución: 72 Litros 08.- Una canica cae al suelo y se eleva cada vez los 2/3 de la altura anterior. Tras botar tres veces, se ha elevado 2 metros. ¿Desde qué altura cayó?
Sol: 6,75 metros
09.- En mi fiesta de cumpleaños se comen en una primera ronda 3/8 de la tarta, y, después, la quinta parte de lo que sobraba. ¿Cuánta tarta queda para mí solo?
Sol: La mitad 10.- Salimos de casa con cierta cantidad de dinero. En cromos gastamos 2/3 de lo que llevábamos y en el transporte una cuarta parte del dinero que nos quedaba después de comprar los cromos. Si regresamos a casa con 6 euros. ¿Cuánto teníamos al salir de casa?
Solución: 24 Euros
11.- Un obrero ha tardado 1 hora y tres cuartos en acuchillar 3/5 partes de un piso. Si ha empezado a las 10 de la mañana, ¿a qué hora acabará?
Sol: A las 12:55 h 12.- Ana, en su cumpleaños, ha gastado 4/5 de su dinero en invitar a sus compañeros de clase y, después, 2/3 de lo que le queda con sus amigos. Si vuelve a casa con 24 euros, ¿con cuántos euros salió?
Solución: 360 Euros
13.- Marta tiene ahorrado 1.800 euros, pero ha gastado tres cuartas partes en un viaje y dos tercios de lo que le quedaba en comprar ropa. a) ¿Cuánto dinero le ha sobrado? b) ¿Qué fracción del total se ha gastado?.
Solución: a) Le sobran 150€ b) Ha gastado 11/12
14.- En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana los 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde se han vendido la mitad de los que han quedado. a) ¿Qué fracción del total de periódicos representan los vendidos por la tarde? b) Si son 20 periódicos los que no se han vendido, ¿cuántos había al empezar la venta?
Sol: a) 1/6; b) 120 periódicos.
15.- Un agricultor tiene una finca de 25.000 ha. Se reserva para él 1/5 de la superficie y el resto lo reparte a partes iguales entre sus dos hijos. Si uno de ellos, vende a un amigo, 3/10 de su parte, ¿cuántos Km2 corresponde a cada uno?
Solución: Padre 50, hijo 1: 100, hijo 2: 70 y amigo 30 Km2. 16.- Luis XIV decidió en 1682 trasladarse a Versalles, para ello utilizó 4 carruajes. En el primero llevó un quinto del equipaje, en el segundo un cuarto del resto, en el tercero, dos tercios del nuevo resto, y en el cuarto 750 Kg. ¿Cuál era el peso total del equipaje?
Solución: 3750 Kg. 17.- En un programa de televisión intervienen 3 médicos. El primero habla 3/8 del tiempo total, la segunda interviene 2/5 del resto y el tercero expone sus ideas en 15 minutos. ¿Cuánto tiempo dura el programa?
Solución: 40 minutos 18.- Imane, sale de viaje al desierto con una cierta cantidad de gasoil. El viaje lo hace en dos etapas: En la primera, consume 2/5 del combustible y en la segunda 1/3 de lo que le quedaba, si llega a Ouarzazate con 16 litros. ¿Con cuántos litros emprendió el viaje?
Solución: 40 litros de Gasoil 19.- Un poste de la luz tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, ¾ del resto bajo el agua y la parte emergente mide 5 m. Halla la longitud del poste.
Solución: 28 metros.
20.- Los 3/8 de un poste están pintados de blanco, los 3/5 del resto, de azul, y el resto, que mide 1,25 m de rojo. a) ¿Cuál es la altura del poste? b) ¿Cuánto mide la parte pintada de azul?
Sol: a) 5 metros. b) 1,875 metros
21.- Diego quiere comprar un apartamento. El banco le concede un préstamo de los 4/5 de su valor y su familia paga 1/3 del resto. ¿Qué fracción del precio del aparta-mento paga Diego? Si desembolsa 40.000 dh, ¿cuánto cuesta el apartamento?
Sol: a) 2/15; b) 300.000 dh
22.- De los vecinos de Carmen, 2/7 son andaluces y la cuarta parte de éstos son de Cádiz. Sabiendo que hay seis gaditanos. ¿Cuántos vecinos hay en su edificio?
Sol: 84 vecinos. 23.- De una garrafa de agua, Juan saca 1/3 del contenido y Pedro 1/3 de lo que queda. Al final restan en la garrafa 4 litros de agua. ¿Cuál es su capacidad?
Sol: 9 litros
24.- Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer día pasé ¼ del trabajo total. El segundo día 1/3 de lo restante. El tercer día 1/6 de lo que faltaba, y el cuarto lo terminé pasando 30 folios. ¿Puedes averiguar cuántos folios tenía el escrito?
Sol: 72 folios 25.- Raquel gasta en una entrada de cine 1/3 del dinero que lleva, luego un 1/4 de lo que le queda en chucherías. Al volver a casa le quedan 15 € ¿Cuánto dinero tenía?
Sol: 30 €. 26.- Un vendedor despacha por la mañana las 3/4 partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 4/5 de las que quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía?
Sol: 2.000 Kg de naranjas. 27.- Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en ferrocarril; los 7/8 del resto en coche y los 26 kilómetros restantes en moto. Calcular cuántos kilómetros recorre.
Sol: 520 Km. 28.- Raúl sale de compras y gasta los 3/7 de su dinero en el supermercado; después 1/2 de lo que le queda en unos pantalones y, finalmente, 1/2 de lo restante en un libro. Si le quedan 12 euros ¿cuánto dinero tenía al salir de casa?
Sol: 84 €.
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Problemas de fracciones con Resto Departamento de Matemáticas
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Problemas de Fracciones II
Sol: 45
29.- Aurora sale de casa con 30 €. Se gasta 2/5 del dinero en un libro y después 4/5 de lo que le quedaba en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
Sol: 3,60 €
30.- De una cesta de manzanas se pudren 2/3. Comemos las 4/5 del resto y las 25 restantes las utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta?
Sol: 31.- Un recipiente está lleno de agua hasta los 4/5 de su capacidad. Se saca la mitad del agua que contiene. a) ¿Qué fracción de la capacidad del recipiente se ha sacado? b) Si la capacidad del recipiente es de 80 litros, ¿cuántos litros quedan en el mismo?
Sol: a) 2/5; b) 48 litros 32.- Paloma salió de fin de semana con 12 €. En ir al cine se gastó la tercera parte del dinero, y, con un cuarto de lo que le quedaba, se compró un bocadillo, prestándole, finalmente, la sexta parte del resto a una amiga. ¿Con cuánto dinero volvió Paloma a casa?
Sol: 5 €. 33.- Una máquina teje en un día 1/8 de una pieza de 96 metros. Al día siguiente teje los 2/7 de lo que quedó por tejer el día anterior. a) ¿Cuántos metros ha tejido en los dos días? b) ¿Qué parte de la pieza queda por tejer?
Sol: a) 36 m; b) 5/8. 34.- Un vendedor tiene un puesto de golosinas. Por la mañana vende la mitad de los caramelos que tiene en una cesta. Por la tarde vende la mitad de los que quedaron por la mañana y ve que le quedan aún 50 caramelos sin vender. ¿Cuántos caramelos tenía la cesta?
Sol: 200 caramelos. 35.- Una persona ha cosechado durante la mañana 1/3 de un campo y por la tarde la mitad del resto. Si todavía le quedan 170 ha, ¿cuál es la superficie del campo?
Sol: 510 hectáreas. 36.- En un videoclub, los tres treceavos son películas de acción. Del resto, los cinco sextos son comedias. Si hay 90 películas de acción, a) ¿cuántas películas son de comedia?, b) ¿cuántas no son ni comedias ni de acción?, c) ¿cuántas películas hay en el catálogo del videoclub?
Sol: a) 250; b) 50; c) 390
37.- Un ganadero vende los 3/4 del número de reses que tiene. Más tarde los 3/4 del resto, quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía en su granja?
Sol: 256 reses. 38.- Un futbolista ha metido los 2/5 del número de goles marcados por su equipo y otro la cuarta parte del resto. Si los demás jugadores han conseguido 45 goles, ¿cuántos goles metió el equipo en toda la temporada?
Sol: 100 goles. 39.- 3/5 de las alumnas de clase hacen el camino de casa al colegio en coche o en autobús, las demás van andando. Si los tres cuartos de las alumnas que usan vehículo hacen el viaje en coche y 9 alumnas utilizan autobús ¿Cuántas alumnas hay en clase?
Sol: 60 alumnas
40.- John va a Las Vegas a jugar en el famoso casino Bellagio. Después de haber perdido consecutivamente los 4/5 de su dinero, 2/7 del resto y 4/11 del nuevo resto, gana 2.340 dólares y de esta manera la pérdida queda reducida a 1/5 del dinero original. ¿Cuánto dinero tenia John al llegar a Las Vegas?.
Sol: $ 3.300
41.- Mi madre sale de compras y gasta los 3/7 de su dinero en el supermercado, después 1/3 de lo que le quedaba en una tienda de ropa, y, finalmente gasta la mitad de lo que le quedaba en un libro de 5 €. a) ¿Cuánto dinero tenía al salir de casa? b) ¿Cuánto gastó en el supermercado?
Sol: a) 26,25 €; b) 11,25 €.
42.- Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. En la primera letra pago 2/9; en la segunda 7/15 de lo que me queda por pagar, en la tercera pago 124 €. a) ¿Cuánto he pagado cada vez?, b) ¿Lo he pagado todo, o me queda algo por pagar? ¿Cuánto? ¿Qué fracción representa?
Sol: a) 120, 196 y 124 €; b) No, me quedan 100 €. 5/27
43.- En una muestra de pacientes que están siendo tratados de una enfermedad pulmonar, se observa que los 2/5 son no fumadores. Del resto de pacientes, los 2/9 no tienen colesterol. Si los pacientes que son fumadores y tienen colesterol son 210, ¿cuántos pacientes son no fumadores con colesterol?, ¿cuántos pacientes son fumadores?, ¿cuántos pacientes son fumadores?, ¿de cuántos pacientes consta la muestra?
Sol: 60 fumadores sin colesterol, 180 no fumadores y 450 pacientes
44.- A un trabajador le bajan el sueldo la sexta parte, de lo que le queda el 25% es para el coche y por último, de lo que le queda, 2/5 son para pagar la hipoteca Si aún le quedan 450 €, a) ¿cuánto cobraba antes de la bajada de sueldo?, b) ¿cuánto paga de coche y de hipoteca?
Sol: a) 1.200€. Paga 250 € de coche y 300 € de hipoteca
45.- En una pausa publicitaria vemos que 5/9 son anuncios de cosméticos. Del resto, 2/5 son anuncios de coches. Si los anuncios de coches fueron ocho, a) ¿cuántos anuncios no fueron ni de cosméticos ni de coches?, b) ¿cuántos anuncios fueron de cosméticos? Si cada anuncio dura 20 segundos y nos publicitan que volverán en 8 minutos, c) ¿cuánto duró la pausa publicitaria?, d) ¿nos mintieron o nos dijeron la verdad?
Sol: a) 12; b) 25; c) 15 minutos; d) Nos Mintieron.
46.- Un agricultor ha visto como su cosecha de tomates ha disminuido debido a un temporal de cuatro días de duración. El primer día perdió 1/3 de la cosecha; el segundo, 1/3 de lo que perdió el primero; el tercero, 1/3 de lo que perdió el segundo; y el cuarto día del temporal perdió 1/3 de lo que perdió el tercero. Después de estas pérdidas le quedan todavía 82 tomates. a) ¿Qué fracción de su cosecha perdió el cuarto día? b) ¿Cuántos tomates tenía antes del temporal? c) ¿Cuántos ha perdido?
Sol: a) 1/81; b) 162 tomates; c) 80 tomates.
47.- Gasto 1/10 de lo que tengo ahorrado, después, ingreso 1/15 de lo que me queda y aún me faltan 36 € para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuánto era esa cantidad?
Sol: 900 €.
48.- De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otra vez la mitad; luego, los 11/15 del resto, y al final 36 litros. ¿Cuánto aceite contenía al principio?
Sol: 540 litros.
49.- Si una persona gasta los 3/5 de su sueldo mensual, cuando han transcurrido 2/3 del mes. Considerando que mantiene el mismo patrón de gasto, ¿Qué fracción de su sueldo le queda al final de un mes de 30 días?
Sol: 1/10.
50.- En una boda, 2/3 de los asistentes son mujeres, los 3/5 de los hombres están casados y los otros 6 están solteros. ¿Cuántas personas asistieron a la boda?
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Problemas con Decimales Departamento de Matemáticas
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Problemas con decimales
1.- La distancia de las casas de cuatro amigos al instituto son: 1,295 – 1,234 – 1,874 y 1,527 kilómetros respectivamente. a) Ordena las distancias de las casas al instituto de mayor a menor. b) Redondea a las décimas cada una de las distancias
Sol: a) 1,874>1,527>1,295>1,234 b) 1,9; 1,5; 1,3; 1,2
2.- Las alas de los aviones se construyen uniendo planchas de aluminio de 6,234 kilogramos. a) ¿Entre qué dos números decimales, con una sola cifra decimal, se encuentra el peso de la plancha? ¿De cuál de los dos números está más cerca el peso real? b) Haz lo mismo pero con dos cifras decimales.
Sol: a) 6,2<6,234<6,3; de 6,2. b) 6,23<6,234<6,24 de 6,23
3.- Los cuatro atletas del equipo de relevos de 4x100 consiguieron estos tiempos: 12,245 – 11,983 – 13,028 y 12,524 segundos. ¿Cuál fue el tiempo del equipo?
Sol: 49,780 segundos
4.- Pedro mide 1,62 m; Luisa 1,57 m y Elisa 1,63 m. Halla la diferencia de alturas entre Pedro, Luisa y Elisa.
Sol: Pedro-Luisa: 0,05 m; Elisa-Pedro: 0,01 m; Elisa-Luisa: 0,06 m
5.- Sara, Javier y Eva hacen un fondo común para ir a un concierto. Sara aporta 12,76 euros; Javier 9,91 euros y Eva 10,05 euros. a) ¿A cuánto asciende el fondo común? Si se gastan 3,75 euros en el transporte, b) ¿cuánto dinero les queda?
Sol: a) 32,72 €; b)28,97€
6.- Completa el cuadro, sabiendo que la suma en horizontal y en vertical es siempre 22.
11,33 4,40 6,27
2,40 7,27 12,33
8,27 10,33 3,40
7.- Juan se cepilla los dientes en 3 minutos. Su hermano le ha dicho que por el grifo salen 3,475 litros de agua por minuto. Si mientras lo hace cierra el grifo, a) ¿cuánta agua ahorra a la semana si se cepilla los dientes 2 veces diarias?; b) ¿Y si lo hace 3 veces al día?
Sol: a) 145,95 litros b) 218,93 litros.
8.- Halla el perímetro de un triángulo equilátero, de un cuadrado y de un hexágono regular sabiendo que el lado en todos ellos mide 34,65 cm.
Sol: a) 103,95 cm; b) 138,6 cm; c) 207,9 cm
9.- Un litro de yogur desnatado contiene 45,6 gramos de proteínas; 69,5 gramos de hidratos de carbono; 10,27 gramos de grasas y 1,63 gramos de calcio. Si el yogur se vende en envases de 0,125 litros, ¿qué cantidad de cada componente tendrá cada envase?
Sol: 5,7; 8,6875; 1,28375 y 0,20375 gramos respectivamente
10.- El perímetro de un cuadrado es de 29,04 cm. Halla la longitud de cada lado. ¿Cuánto vale su área?
Sol: 7,26 cm.; 52,7 cm2
11.- El grosor de un paquete de 100 folios es de 1,35 cm. ¿Cuál es el grosor de un folio? ¿Y el de 25?
Sol: a) 0,0135 cm; b) 0,3375 cm
12.- Para tapizar un tresillo Miguel compra tres clases de tela. De la primera compra 5,40 metros a 11,65 euros el metro; de la segunda, 3,35 metros a 22,92 euros el metro, y de la tercera, 9,50 metros a 18,32 euros el metro. a) ¿Cuántos metros compró en total?; b) ¿Cuánto le costaron?; c) ¿Cuánto le sobró si pagó con 500€?
Sol: a) 18,25 metros; b) 313,73 €; c) 186,27 €
13.- El gasóleo en Marruecos cuesta 9,75 dh el litro, mientras que en España cuesta 1,42 € el litro. ¿Cuántos dirhams me ahorro si lleno el depósito de mi coche de 52 litros de capacidad, sabiendo que el cambio actual está a 1€ =11,25 dh?.
Sol: 323,70 dh
14.- La capacidad del depósito del autobús escolar es de 180,5 litros. Si llenar el depósito ha costado 249,09 euros, ¿cuánto cuesta el litro de gasóleo?
Sol: 1,38 €/l
15.- La distancia entre dos ciudades es 356,78 km. Si faltan por recorrer 124,6 Km, ¿cuántos metros se han recorrido?
Sol: 232.180 metros
16.- Para envolver un regalo necesitamos 1,65 metros de papel. Si cada metro cuesta 0,84 euros, ¿cuánto cuesta envolver el regalo?
Sol: 1,39 €
17.- El peso medio de 6 almendras es 0,004 kilogramos. ¿Cuántas almendras aproximadamente entrarán en un paquete de 0,5 kilogramos?
Sol: 750 almendras.
18.- Compramos 129 litros de aceite por 190 €, y lo envasamos en botellas de 1,5 litros. Si queremos ganar 87,25 €, calcula el precio de venta de cada botella.
Sol: 3,22 € la botella
19.- El coche de Irene consume un promedio de 5,7 litros de gasolina por cada 100 kilómetros. Su depósito tiene una capacidad de 56,5 litros. a) Si el litro de gasolina cuesta 0,83 euros el litro, ¿cuánto le cuesta llenar el depósito? b) Con 25 euros, ¿cuántos litros puede echar al coche? c) Con el depósito lleno, ¿cuántos kilómetros puede recorrer? d) ¿Cuántos litros consumirá en un viaje de 385 kilómetros?
Sol: a) 46,90 €; b) 30,12 litros; c) 991, 23 Km; d) 21,945 litros
20.- Esta es la factura de la compra de Daniel en el súper: a) Redondea a las unidades y estima el coste total de la compra de Daniel. b) ¿Cuál es el coste
exacto de la compra?. c) Si paga con un billete de 20 euros, ¿cuánto le tienen que devolver? d) ¿Cuánto cuesta el litro de leche?, e) ¿Cuánto cuestan 10 yogures?
Sol: a) 16 €; b) 15,91 €; c) 4,09 €; d) 0,93 €; e) 3,80 €
21.- Una modista compra, para hacer vestidos, 110 m de tela por 1.735 €. En cada vestido emplea 2,75 metros, y vende cada uno a 118,75 €. ¿Cuánto dinero gana?
Sol: 3.015 €
22.- Un depósito contiene 124 litros de zumo. Con 57 litros se llenan botellas de 0,25 litros cada una y con el resto que queda en el depósito se llenan botellas de 0,5 litros. ¿Cuántas botellas se llenan en total?
Sol: 362 botellas
23.- Yo vivo en un quinto piso. Entre cada piso hay 15 escalones iguales que miden cada uno 0,175 m. Además hay que pasar un escalón en el portal que mide 0,15 m. ¿A cuántos metros de altura está el suelo de mi piso?
Sol: 13,275 m
24.- Pepe compra en unos grandes almacenes por valor de 185,45 €. Gasta la cuarta parte en libros, y del resto, la mitad en camisetas. ¿Cuánto ha gastado en camisetas?
Sol: 69,54 €
25.- Una granja envasa los huevos que produce en cajas de 12 cartones con 30 huevos cada cartón. Si ha obtenido 810 € por la venta de 20 cajas, ¿a cuánto vende la docena de huevos?
Sol: 1,35 € 26.- Un mayorista compra 2.500 kg de lentejas a granel por 5.200 €. Después los envasa en bolsas de medio kilo y las vende a 1,38 € la bolsa. ¿Qué ganancia obtiene?
Sol: 1.700 € 27.- Sergio ha pagado 19,56 € por un trozo de queso de 150 gramos, ¿cuánto pagará Rosa por un trozo del mismo queso de 250 gramos?
Sol: 32,60€
Cereales ……….….. 2,32 € Verduras ………..… 1,43 € Leche (6 litro)…...... 5,58 € Frutería ………….... 5,06 € Yogur (Pack 4 u)….. 1,52 €
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Problemas con Decimales Departamento de Matemáticas
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Problemas con decimales
28.- Mª Luz dispone de 200 euros para gastarse en las rebajas. La mitad se lo gasta en ropa, 52,73 euros en calzado y otra cierta cantidad en lencería. Si le sobran 5,30 euros. ¿Cuánto dinero se ha gastado en lencería?
Sol: 41,97 € 29.- Una mujer quiere ponerse para su boda el vestido de novia de su madre, para ello tiene que perder 12 kilos en 5 meses. ¿Cuántos gramos deberá adelgazar cada día?
Sol: 80 gramos. 30.- Para celebrar una fiesta, 8 amigos han comprado 10 latas de refresco a 0,65 € cada una, 7 botellas de zumo a 0,55 € la unidad, 5 bolsas de patatas fritas a 0,95 cada una, 4 latas de aceitunas a 0,72€ la unidad y tres bolsas de almendras a 2,25€ cada una. ¿Cuánto han gastado en total?, ¿Cuánto ha pagado cada uno?
Sol: a) 24,73 €; b) 3,09 € 31.- Si Carla tiene el doble de dinero que Marcos y éste tiene la quita parte que Berta, ¿Con cuánto dinero cuentan entre los tres si Berta tiene 31,25 €?, ¿Cuánto tiene Berta más que Carla?
Sol: a) 50 €; b) 18,75 € 32.- En un recipiente hay 39,37 litros de agua y María quiere envasarlos en botellas de 1,5 litros. ¿cuántas botellas necesita? ¿Cuánta agua le sobra?.
Sol: 26 botellas y sobran 0,37 litros. 33.- Una autopista tiene una longitud total de 560 km. Cada 20 km se han instalado puentes para el cambio de sentido, y cada 32 km hay una gasolinera. Calcula cuántos puentes y cuántas gasolineras tiene la carretera.
Sol: 27 puentes y 17 gasolineras. 34.- Se desea pintar una valla de 147,8 m de largo y 1,8 m de altura. Un kilo de pintura cuesta 7,35 € y cubre 1,20 m2 de valla. Calcula el precio de la pintura.
Sol: 1.357,92 € 35.- Compramos 45 adhesivos a 3,4 € cada uno y nos regalan uno por cada 5 que compramos. Si los vendemos todos a 3,25 € cada uno, ¿cuánto ganamos?
Sol: 22,50 € 36.- Un almacenista compró 800 pares de zapatos a 11,20 € cada par. Los vende y obtiene una ganancia de 21.600 €. ¿A qué precio vendió cada par?
Sol: 38,20 € 37.- Las aspas de un ventilador dan un giro en 0,3 segundos. ¿Cuántas vueltas darán desde las 20 h 50 min hasta las 23 h 15 min? ¿Cuántas vueltas da por minuto?
Sol: a) 29.000 vueltas; 200 r.p.m. 38.- Una tarrina de mantequilla y dos botes de merme-lada pesan 0,85 kg. Un bote de mermelada y dos tarrinas de mantequilla pesan 0,8 kilos. ¿Cuánto pesa cada uno?
Sol: 0,25 la mantequilla y 0,30 la mermelada.
39.- En la calle Cantarranas hay aparcados seis coches iguales de 1,5 metros de largo, distanciados entre sí medio metro. ¿Cuántos centímetros deben acercarse los coches para dejar espacio a otro coche igual, de manera que siga habiendo la misma distancia entre los coches?
Sol: 0,33 cm
40.- En el trayecto de casa al trabajo, un coche consume 7,25 litros de gasolina sin plomo cada 100 kilómetros. Dicho trayecto es de 18 kilómetros. El trabajador hace un viaje de ida y otro de vuelta diarios durante los 22 días que trabaja al mes. ¿Cuál es el gasto mensual en gasolina si el litro de gasolina sin plomo cuesta 0,91 euros?
Sol: Aproximadamente, 52 euros y 71 céntimos
41.- Mariano ha comprado 60 jamones a 56,24 € cada uno. En el almacén se han estropeado dos jamones a causa de la humedad. ¿Por cuánto deberá vender cada uno de los restantes si desea ganar 1400 €?
Sol: 82,32 €
42.- Por la autopista Rabat-Casablanca pasan cada día 15.600 coches, que pagan 21,00 dh cada uno. En dicha autopista, hay 75 empleados que cobran 350 dh cada uno, y hay unos gastos generales diarios, de 67.540 dh. ¿Cuál es la ganancia diaria de esta autopista?
Sol: 233.810 dh 43.- El perímetro de un rectángulo es 27,75 cm. La longitud del lado AB es 3 veces menor que la del perímetro. Calcula la longitud de cada lado.
Sol: 4,625 cm y 9,25 cm 44.- El AVE recorre los 350 kilómetros que separan Villacero de Villafin, parando en tres estaciones inter-medias, que se encuentran a 90, 21 y 315 kilómetros de Villacero. En la primera permanece 5 minutos; en la segunda, 10, y en la tercera, 5. El tiempo que tarda en realizar todo el recorrido, contando las paradas, es de 1 hora y 40 minutos. a) Calcula la velocidad media del tren. b) Si el primer tren sale a las siete de la mañana, averigua a qué hora pasa por cada parada y a qué hora llega.
Sol: a) 210 km/h; b) 7:53; 8:40
45.- Eva sigue un régimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada comida de 600 calorías. Ayer almorzó: 125 g de pan, 140 g de espárragos, 45 g de queso y una manzana de 130 g. Si 1 g de pan da 3,3 calorías, 1 g de espárragos 0,32, 1 g de queso 1,2 y 1 g de manzana 0,52 calorías. ¿Respetó Eva su régimen?
Sol: si
46.- De un manantial manan 240 l de agua en una hora y media, ¿qué tiempo tardará en llenar un estanque de 960 litros? ¿Y un recipiente de 18 litros?
Sol: a) 6 horas; b) 6 min 45 segundos.
47.- Un comerciante del sector de la confección compra 125 vestidos a 13,20 € cada uno. ¿A qué precio debe ponerlos a la venta, sabiendo que retira cinco unidades para el escaparate, otras 25 para venderlas en las rebajas a 12,95 € y que desea ganar 450 € con la mercancía?
Sol: 18,70 €
48.- Reflexiona: a) Multiplicar un número por 0,5 es lo mismo que dividir entre… b) Multiplicar un número por 0,25 es lo mismo que dividir entre… c) Multiplicar un número por 0,1 es lo mismo que dividir entre…
Sol: a) 2; b) 4; c) 10
49.- María compra la fruta por unidades. Si por cuatro manzanas y dos naranjas paga 1,54 euros y por dos naranjas y cuatro plátanos paga 1,70 euros, ¿cuánto pagará por una manzana, una naranja y un plátano?
Sol: 0,81 euros
50.- Un comerciante compra 648 litros de leche a 0,32 € cada litro. ¿A cuánto debe vender cada litro para ganar 213,84 €?
Sol: 0,65 € el litro
51.- María sale un sábado de su casa con 15,62 €. Queda con sus amigos en una hamburguesería y se gasta 3,89 €, luego va al cine, paga su entrada de 4,50 € y se compra una bolsa de palomitas que le cuesta 1,45 €. Si el trayecto del autobús le cuesta 0,95 €, determina. a) El dinero total que se ha gastado. b) ¿Le ha sobrado algo de dinero? En caso afirmativo, indica la cantidad. c) María tiene en su hucha 6,75 €. Uniendo sus ahorros con lo que le ha sobrado, ¿podrá comprar un CD de Metallica que cuesta 12,40 €? d) ¿Cuánto le falta?.
Sol: a) 10,79€; b) Si, 4,83; c) No. d) 82 céntimos.
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Lenguaje Algebraico 1º Ciclo ESO Departamento de Matemáticas
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Lenguaje Algebraico
1.- Si representamos la edad de Marta con x, escribe en lenguaje algebraico: a) La edad que tendrá Marta dentro de un año__________ b) La edad que tendrá dentro de 10 años_______________ c) La edad que tenía Marta hace 5 años________________ d) El doble de la edad de Marta_______________________ e) La mitad de su edad aumentada en 12 años__________ f) La suma de la edad de Marta y la de su madre, que es el triple de la de Marta________________________________ g) La suma de la edad de Marta y la de su hermano Jaime, que es la tercera parte de la de Marta__________________ 2.- Considerando un rebaño de “x” ovejas: a) Número de patas del rebaño_______________________ b) Número de patas si se mueren 6 ovejas______________ c) Número de ovejas después de nacer 18 corderillos_____ d) Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año______________________________ e) número de ovejas si se mueren la tercera parte________ 3.- Considerando que Ana tiene “x” euros, expresa de forma algebraica el dinero de: a) Enrique tiene 100 euros más que Ana_______________ b) Susana tiene el doble de Enrique___________________ c) Charo tiene 400 euros menos que Susana____________ d) Manolo tiene el triple que Ana y Enrique juntos_______ e) Pepe tiene la mitad de Susana y Charo______________ 4.- Traduce al lenguaje algebraico las situaciones que se describen en lenguaje común: a) El doble de un número____________________________ b) El doble de un número menos cuatro________________ c) El siguiente de un número x_______________________ d) El anterior a un número x_________________________ e) La mitad de un número___________________________ f) El cubo de un número_____________________________ g) Un número aumentado en cinco unidades___________ h) Un número disminuido en cuatro unidades___________ i) El triple de un número menos tres___________________ j) El triple de un número menos su doble_______________ k) El número de conejos de una granja_________________ l) El número de orejas que tienen todos los conejos______ m) El número de patas de los conejos de la granja________ n) El número de conejos si el granjero vende tres________ ñ) El número de conejos si el granjero compra 12________ o) Mi edad dentro de x años_________________________ p) Mi edad hace x años_____________________________ 5.- Traduce al lenguaje algebraico. a) La longitud del lado de un cuadrado________________ b) El área del cuadrado_____________________________ c) El perímetro del cuadrado_________________________ d) El precio de x bolígrafos si uno cuesta 0,8 euros_______ e) El precio de x cuadernos si uno cuesta 1,5 euros_______ f) La base de un rectángulo__________________________ g) La altura del rectángulo anterior que es el doble que la base_____________________________________________ h) El área del rectángulo anterior_____________________ i) El perímetro del mismo rectángulo__________________ j) La suma de dos números consecutivos_______________
k) La suma de un número y su tercera parte_____________ l) Ruedas necesarias para fabricar x coches_____________ m) Número de días que tienen x semanas______________ n) Número de horas de x días________________________ ñ) Número de dedos en y manos______________________ o) La edad de Braulio hace 4 años____________________ p) La edad de Celinda dentro de 4 años________________ q) La paga semanal de Clara_________________________ r) La paga semanal de Clara menos 3 euros_____________ s) El dinero que recibe Clara, de paga, en un mes________ t) Curro recibe la cuarta parte de paga que Clara_________ 6.- Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados: a El 30% de un número____________________________
b El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida______________________________________
c El perímetro del rectángulo anterior_________________ d El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente_______________________________________
e El triple del resultado de sumar un número con su inverso___________________________________________
f El doble de la edad que tendré dentro de cinco años___ g El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x________ h El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura________________________________ i La mitad del resultado de sumarle 3 a un número______
j La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la altura______________________ k El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos______________________________________ l La media de un número y su cuádruplo______________
m La cuarta parte de un número entero más el cuadrado de su siguiente_____________________________________ n El perímetro de un triángulo isósceles del que sabemos que su lado desigual mide 4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales________________________________
ñ La diagonal de un cuadrado de lado x_______________ o La suma de un número con el doble de otro__________ p El precio de una camisa rebajado en un 20%_________
q El área de un círculo de radio x_____________________ r La suma de tres números enteros consecutivos________ s) Tres múltiplos consecutivos de cuatro________________ t) El cubo de un número más su triple__________________
u El doble de la edad que tenía hace 7 años____________ 7.- Traduce al lenguaje Algebraico: a) El doble de un número menos su cuarta parte_________ b) Años de Ana Belén dentro de 12 años_______________ c) Años de Isabel hace tres años______________________ d) La cuarta parte de un número más su siguiente________ e) Perímetro de un cuadrado_________________________ f) Un número par__________________________________ g) Un número impar________________________________ h) Un múltiplo de 7_________________________________ i) Dos números enteros consecutivos__________________ j) Dos números que se diferencian en dos unidades______ k) El doble de un número menos su quinta parte_________ l) El quíntuplo de un número más su quinta parte________ n) Dos números se diferencian en 13 unidades__________
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m) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años_____________________________________ ñ) Dos números suman 13___________________________ o) Un hijo tiene 22 años menos que su padre____________ p) Dos números cuya suma es 25_____________________ q) La cuarta parte de la mitad de un número____________ r) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho____________________________ s) Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona_______________________________________ t) Repartir una caja de peras entre seis personas_________ u) Un número es 10 unidades mayor que otro___________ v) Un número menos su mitad más su doble____________ w) Un número 5 unidades menor que otro______________ x) El cuadrado de un número________________________ y) Un número y su opuesto__________________________ z) Un número y su inverso___________________________ 8.- Expresa en lenguaje algebraico. a) Veinticinco menos el cuadrado de un número_________ b) El cuadrado de un número menos su cuarta parte_____ c) Dividir 25 en dos partes___________________________ d) La suma de un número al cuadrado con su número consecutivo_______________________________________ e) La suma de un número con su número consecutivo al cuadrado_________________________________________ f) El cociente entre un número y su cuadrado___________ g) La resta de dos números impares consecutivos________ h) El producto de un número con su consecutivo________ i) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado_________________________________________ j) Triple de un número elevado al cuadrado_____________ k) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado__________ l) Roberto es cinco años más joven que Arturo__________ m) Antonio tiene 20 euros más que Juan_______________ n) Carmen supera a Concha en tres años_______________ ñ) El precio de “m” libros a 49 euros cada uno__________ o) El número que es la cuarta parte del número “y”______ p) Dos múltiplos de tres consecutivos__________________ q) El 25% de un número____________________________ r) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros_____________________________________ s) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se vende por “b” euros___________ t) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros_________ u) El número que representa 12 unidades más que el número “x”_______________________________________ v) La edad de Juan es ocho veces la de Rafael__________ w) El número que representa 20 unidades menos que el número “h”_______________________________________ x) Un número tres veces mayor que el número “n”_______
9.- Traduce a lenguaje algebraico: a) El doble de un número____________________________ b) La mitad de un número___________________________ c) El anterior de un número__________________________ d) El siguiente de un número_________________________ e) Dos números pares consecutivos___________________ f) Dos números impares consecutivos__________________ g) La quinta parte de un número______________________
h) La diferencia de los cuadrados de dos números_______ i) La suma de la mitad de un número más el doble del mismo número____________________________________ j) El cuadrado de la suma de dos números______________ k) El triple de un número menos la sexta parte de otro____ l) La cuarta parte de un número más el doble de su siguiente_________________________________________ m) Un número aumentado en 7 unidades______________ n) Un número disminuido en 3 unidades_______________ 10.- Escribir en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados. a) El cuadrado de la suma de dos números reales es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto. _________________________________________________ b) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que está en movimiento_________________ c) Un número elevado a la 10 significa multiplicar 10 veces ese número_______________________________________ d) El producto de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican________________________________________ e) La suma de tres números enteros es 54______________ f) Escribir un número natural, su anterior y su posterior. _________________________________________________ g) La superficie de un cuadrado de lado x es 121________ h) El cociente de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes de las potencias que se dividen___________________________________________ 11.- Expresa en lenguaje algebraico: a) Al sumar 10 al triple de un número se obtiene 46. _________________________________________________ b) El doble de un número sumado a su triple es igual a 40. _________________________________________________ c) La diferencia entre el triple de un número y su mitad es igual a 5__________________________________________ d) El cuadrado de un número es igual a 121____________ 12.- Expresa en lenguaje algebraico: a) El triple de un número x más 100___________________ b) El precio en euros de x quilogramos de peras que cuestan 1,45 € el kilo_______________________________ c) El importe de una factura de x euros si se le aplica un 16% de IVA_______________________________________ d) El doble de la edad que tenía Ana hace 5 años si su edad actual es x años_______________________________ 13.- En un aparcamiento hay coches de color blanco, rojo y negro. El número de coches de color rojo es el doble del de color blanco más 1 y el de color negro el triple del de color blanco menos 5. Con estos datos completa la siguiente tabla:
Coches
Blancos X
Rojos 2x+1
Negros 3x-5
Total 6x-4
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14.- Escribe, utilizando el lenguaje algebraico, los siguientes enunciados. a) El doble de un número es igual a 10_________________ b) El triple de un número es igual a 15_________________ c) El doble de un número más el triple de dicho número es igual a 25_________________________________________ d) La mitad de un número más el triple de dicho número es igual a 14_______________________________________ e) La cuarta parte de un número más su décima parte es igual a 21_________________________________________ f) La suma de un número con el doble de otro___________ g) El precio de una camisa rebajado en un 20%_________ h) El área de un círculo de radio x_____________________ i) La suma de tres números consecutivos_______________ j) La cuarta parte de un número entero más el cuadrado de su siguiente_____________________________________ k) La razón de un número y 3________________________ l) Lo que le falta a un número para llegar a 80___________ m) La raíz cúbica de la suma de dos números pares consecutivos______________________________________ 15.- Traduce a lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) La edad de Pepe es x, dentro de nueve años será_____ b) Un número es x, los tres quintos de ese número menos uno son__________________________________________ c) En un gallinero hay x gallinas, entre picos y patas hay _________________________________________________ d) En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 45° y cada uno de los ángulos iguales mide x grados. La suma de los tres es______________________________________ e) Un chico tiene x años, otro 6 menos y otro, 3 más, entre los tres tienen_____________________________________ f) Un bidón tiene x litros. Se extrae 1/5 del total y después 10 litros. Quedan__________________________________ g) Dos discos cuestan x euros cada uno, en uno me rebajan el 15% y en otro el 10%. Tengo que pagar por los dos discos____________________________________________ h) Carmen tiene x años y su padre, el triple. Dentro de 5 años, la suma de sus edades será______________________ i) En un huerto de x m2 se han plantado los 2/3 de su superficie de tomates. Del resto, la mitad se dedica a cebollas. Queda sin plantar__________________________ j) El perímetro de un triángulo isósceles del que sabemos que su lado desigual mide 4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales, es_____________________________ k) La diagonal de un cuadrado de lado x, es____________ l) La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la altura, es____________________ m) El cuadrado del cociente de la diferencia de 7 menos el doble de un número, dividido entre el triple de ese número, es_______________________________________________ n) un número de tres dígitos que sea igual al cuadrado del doble de la suma de sus dígitos_______________________ ñ) Los libros que traigo a casa si por cada docena de libros que compro, me regalan 3___________________________ o) La suma de 4 números impares consecutivos. _________________________________________________ p) Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres_______________________
SOLUCIONES:
1: a) x+1; b) x+10; c) x-5; d) 2x; e) 122
x ; f) x+3x; g)
3
xx
2: a) 4x; b) 4(x-6); c) x+18; d) 1 1 1
4 4 4x x x x
e)
2
3
x
3: a) x+100; b)2(x+100); c) 2x-200; d) 6x+300; e) x.
4:
5:
6: a) 0,3x; b) 3x; c) 2x+6; d) 4x+2; e) 3(x+1/x); f) 2x+10; g) 5x2; h) x2/4;
i) 3
2
x ; J)
22
3
x ; k) (2x+1)2; l)
5
2
x ; m)
21
4
xx ;n) 3x-4; ñ) 2·x ;
o) x+2y; p) 0,8x; q) 2x ; r) 3x+3; s) 4x, 4(x+1), 4(x+2); t) x3+3x; u) 2x-14.
7: a) 24
xx ; b) x+12; c) x-3; d) 1
4
xx ;e) 4x; f) 2x; g) 2x-1; h) 7x;
i) x, x+1; j) x, x+2; k) 25
xx ; l) 5
5
xx ; m) y=2x-5; n) x; x+12; ñ) x, 13-x;
o) x-22; p) x, 25-x; q) x/8; r) x, x+6; s) x-3; t) x/6 ;u) y= x+10; v) 5x/2; w)
y=x+5; x) x2; y) x, -x; z) x, 1
x
8: a) 25-x2; b)
2
4
xx
; c) x y 25-x; d) x2+x+1; e) x+(x+1)2; f)
2
x
x ;
g) (2x-1)-(2x+1); h) x·(x+1); i) (x2-(x+1)2); j) 3x2; k) 7-2x2; l) x-5; m) x+20;
n) x+3; ñ) 49·m; o) y/4; p) 3x, 3(x+1); q) 0,25x; r) 8c; s) b-a;
t) p/15; u) x+12; v) 8x; w) h-20; x) 3n.
9: a) 2x; b) x/2; c) x-1; d) x+1) e) 2x, 2(x+1); f) (2x-1),(2x+1); g) x/5; h) x2-y2;
i) 22
xx ; j) (x+y)2; k) 3x-x/6; l) x/4+2(x+1); m) x+7; n) x-3
10: a) (x+y)2=x2+y2+2xy ; b) e=v·t; c) x10=x·x·x·x·x·x·x·x·x·x;
d) xa·xb=xa+b; e) x+y+z=54; f) x-1, x, x+1; g) x2=121; h) a
a b
b
xx
x
11: a) 3x+10=46; b) 2x+3x=40; c) 3x-x/2=5; d) x2=121
12: a) 3x+100; b) 1,45x; c) 1,16x; d) 2(x-5)
13
14: a) 2x=10; b) 3x=15; c) 2x+3x=25; d) x/2+3x=24; e) x/4+x/10=21; f) x+2y;
g) 0,8x; h) πx2; i) 3x+3; j) x/4+(x+1)2; k) x/3; l) 80-x; m) 3 2 2 2x x
15: a) x+9; b) 3x/5-1; c) 3x; d) 2x+45=180; e) x+x-6+x+3; f) x-(x/5+10); g) 0,85x+0,9x; h) 4x+10; i) x/6; j) 3x-4; k) x√2; l) 2x2/3; m)(7-2x/3x)2 ;
n) 2
2abc a b c ; ñ) 15x; o) 8x+16; p)
3 1
35 2
xx
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Polinomios y Monomios
1.- Escribe la expresión algebraica correspondiente:
Enunciado Expresión algebraica
Un número cualquiera X El triple de un número La mitad de su anterior
El resultado de sumarle tres unidades La mitad de un número tres unidades mayor que X El triple del número que resulta de sumarle cinco
unidades
Un número cinco unidades mayor que el doble de X El doble de un número.
El cuadrado de un número menos tres. La suma de dos números.
La diferencia de los cuadrados de dos números. La mitad de un número.
El cuádruplo de un número. La suma de un número y su cuadrado. El doble de un número menos cinco.
La tercera parte de un número. El cuadrado de la suma de dos números. El doble de la suma de tres números.
El triple de la raíz cuadrada de un número. La suma de tres números consecutivos.
Una cuarta parte de la suma de dos números. Un número aumentado en cinco unidades.
El doble de un número menos el triple de otro. Las tres cuartas partes de un número.
El cubo de la diferencia de dos números. El producto de dos números.
La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.
El 18% de un número. La mitad de un número menos su anterior. La suma de dos números consecutivos.
El doble de un número menos cuatro unidades. La suma de la mitad de un número más sus dos
terceras partes. El cuadrado de la diferencia del doble de un número
menos su mitad. La mitad del resultado de restarle cuatro unidades a
X. El cuadrado del cociente de la diferencia de 7 menos el doble de un número, dividido entre el
triple de ese número.
2.- Completa la siguiente tabla:
Monomio 8a -3x a2b 22
3xy
Coeficiente 1
4
Parte Literal
ab
Grado
3.- Opera las siguientes expresiones con monomios: 2 2
3 3 3 2 2
4 4 5 5 5 2 2
) ) ) ) 4 ) 2 4 ) 3 6) 4 ) 5 7 3 ) 5 9
a a a b x x x c x xd a a e m m m f x xg n n h c c c i a a
Sol: a) 2a; b) 3x; c) 2x2; d) 5a; e) 7m3; f) 9x2; g) 3n4; h) c5; i) ‐4a2
4.- Opera los siguientes monomios:
2 3
2 33
2
23
2 5
) (3 )·(5 ) ) ( )·(4 ) ) ·2 320
) · 6 ) (4 )·( ) ) 2 4
15 12) ) ( 5 ) : ( 5 ) )
3 4
x xa x x b a a c
x xd x e x y xy f
x
x ag h a a i
x a
Sol: a) 15x2; b) ‐4a2; c) x5/6; d) 3x3; e) 4x4y2; f) 5x; g) 5/x; h) 1/a2; i) 3/a3
5.- Reduce todo lo posible: 2 2
2 2
2 22
22 2
) 4 1 ) 3 (3 1)) (4 2) (3 4)) 3 4 2 5) (6 ) (3 5 6)) 10 3 7 4) ( 3) ( 2 1)) 5 3 4 1 2
a x x e x xf x xb x x xg x x x xc x x xh x x xd x x x
Sol: a) 2x2+5; b) 2x2+2x‐1; c) x2‐7x+3; d) x2‐2x‐2; e) 6x‐1; f) x‐2; g) 3x2+4x‐6; h) –x2‐x‐4
6.- Calcula:
3
2 2
2 2 2
2 3 2 3 2 6 4
) 3·(2 5) ) (2 3)·( 4)) 7·( 3 ) ) (4 )·(2 1)
) ·(5 3) ) 5 ·( 3)
) 3 ·( 2 ) ) (3 2)·(2 4 3)
) ( 2 3)·(3 5 4) ) ( 2 )·(3 2 )
a x f x xb x x g x x
c x x h x x x
d x x x i x x x
e x x x x j x x x xSol: a) 6x+15; b) 7x3‐21x; c) 5x3‐3x2 ; d) 3x4‐6x3 ; e) 3x5+11x4+x3‐19x2‐8x+12;
f) 2x2+5x‐12; g) ‐2x2+9x‐4; h) 5x3+5x2‐15x; i) 6x3+8x2‐17x+6 ; j) 3x9‐6x8‐2x7+4x6
7.- En los siguientes Polinomios, indica el grado y el valor numérico:
P(x) Grado P(0) P(-2) P(1) 8x3+5x4-3x+1 2+3x-9x2+5x3 3x-3x2-2+9x3
Y+7y2-4y
8.- Utiliza las identidades notables para desarrollar estas expresiones:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
) 3 6 ) 3 3 ) 1 · 1
) 2 ) 3 2 ) 1 3 · 1 3
5) 2 ) 3 3 · 3 3 ) 3
2 2
a x b x c y y
d x y e a b f x x
ng m h x x i x
Sol: a) 9x2‐36x+36; b) 9x2+18x+9; c) y4‐1; d) 4x2‐4xy+y2; e) 9a2+12ab+4b2;
f) 1‐9x4; g) 4m2‐2mn+n2/4; h) 9x2‐3; i) 9x2+15x+25/4 9.- Considera los siguientes polinomios:
4 3 3 2
2 2
( ) 3 6 4 2 ( ) 2 3 1
( ) 2 4 5 ( ) 1
P x x x x Q x x x x
R x x x S x x
Calcula:
) ( ) ( ) ) 2· ( ) 3 ( ) 4· ( ) ) 2· ( )· ( )
) 2· ( )· ( ) ) 3· ( )· ( ) 2· ( ) ) ( )· ( ) ( )
a P x Q x b P x Q x R x c P x R x
c P x R x d P x Q x S X e P x S x R x
a) 3x4‐5x3‐2x2+x‐1; b) 6x4‐15x3+14x2+33x‐27; c) 12x6‐78x4+76x3+24x2‐56x+20 d) 9x7‐36x6+9x5+74x4‐48x3‐26x2+30x‐8; e) 3x6‐6x5+3x4‐2x3‐4x2+3
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Polinomios y Monomios
2
:
5 19( ) 3 · 3
2 2
Solución
A x x
10.- Transforma en producto las siguientes expresiones: 2 2 2
2 2 2 2
) 4 8 4 ) 6 9 ) 9 36
) 2 1 ) 2 ) 16
a x x b x x c x
d a a e x xy y f a
Sol: a)(2x+2)2; b) (x‐3)2; c) (3x+6)∙(3x‐6); d) (a‐1)2; e) (x+y)2; f) (a+4)∙(a‐4)
11.- Si el grado de un polinomio P(x)=2 y el grado de otro Q(x)=4, ¿Qué grado tendrá el producto P(x)·Q(x)?.
Sol: Grado 6
12.- Expresa el perímetro y el área de un rectángulo, sabiendo que su base mide 3 m más que su altura.
Sol: P(x)=4x+6; A(x)=x2+3x
13.- En una división exacta de polinomios, el cociente es C(x)=3x-2 y el divisor es D(x)=2x2+1, averigua el dividendo P(x).
Sol: P(x)=6x3‐4x2+3x‐2
14.- En una división de polinomios, el cociente es C(x)=3x-5, el divisor es D(x)=3x2+2x y el dividendo es P(x)=9x3-9x2-10x-4. Halla el resto R(x).
Sol: R(x)= ‐4
15.- Dada una caja sin tapa y su desarrollo, calcula en función de x, su área y su volumen
Sol: A(x)=60‐ 4x2; V(x)=4x3‐32x2+60x
16- Realiza las siguientes operaciones: 2
2 2
2
2 3
) ( 1)·(2 3) 2·( 1)) (2 5)·( 2) 3 ·( 2)
) ( 3)·( 1) ( 5)·( 2)
) (4 3)·(2 5) (6 10 12)
) 3·(2 1) 3·( 3 6)
a x x xb x x x x
c x x x x
d x x x x
e x x x
Sol: a) 5x+1; b) 5x2+5x‐10; c) 3x2‐8x+7 ; d) 2x2‐4x‐3 ; e) ‐3x3+12x2‐21x+21
17.- Extrae factor común: 4 2 2
3 3 2
2 3
) 18 32 ) 6 12 24
) 6 10 8 ) 4 2 10 6
) 9 6 3 ) 2 6 4
a x x d x x
b x x e x x x
c a a a f x xy zx
Sol: a) 2x2∙(9x2+16); b) 2∙(3x3‐5x‐4); c) 3a∙(3+2∙a+a2); d) 6∙(x2+2x‐4); e) 2(x3‐x2‐5x+3); f) 2x(1‐3y‐2z)
18.- Descompón en factores y después simplifica: 2 2
2 2 2
2 2
2 3 2 2
9 5 15 3 6 3) ) )
6 9 6 9 5 52 1 2 6 3 3
) ) ) 5 5 2 12 18 3 3
x x x xa b c
x x x x x xx x x x x
d e fx x x x x x
Sol: 3 5 3 3 1 1 1
) ) ) ) ) )3 3 5 5 3 1
x x xa b c d e fx x x x x x
19.- Doblando un alambre de 40 cm formamos un rectángulo. Halla la expresión algebraica que define el área del rectángulo y calcula su valor para x=4.
Sol: a) A=x(20‐x) b) A=64 cm2
20.- ¿Para qué valor de “m” el polinomio x4+4x3-25x2-16x+m, se anula si x = 2?
Sol: m=84
21.- Calcula el valor de “m” para que al dividir P(x)=2x5–4x4+3x2–(m+5)x+18 por (x–3) de resto 60.
Sol: m=44
22.- Realiza las siguientes divisiones de polinomios:
3 2
3 2
3 2 2
4 3 2
3 4 2 2
4 3 2 2
4 3 2 2
) 2 : 1
) 3 9 : 2
) 2 2 : 1
) 5 14 5 : 4 5
) 20 12 29 39 28 : 4 5
) 9 15 6 5 5 : 3 1
) 6 5 5 : 1
a x x x x
b x x x x
c x x x x
d x x x x
e x x x x x
f x x x x x
g x x x x x x
Sol: a) x2+2x+1; R(3); b) x2+x+5; R(1); c) x‐2; R(‐2x+4); d) 5/4x2+1/4x+25/16; R(25/4x‐99/16); e) 3x2+5x‐6; R(‐3x‐1); f) 3x2+5x‐1; R(4); g) x2+5
23.- ¿Para qué valor de “m” el polinomio x4-2x2+5x-m, toma el valor 3 si x = 2?
Sol: m=15
24.- El cateto de un triángulo rectángulo isósceles es 242x
. Expresa algebraicamente la hipotenusa.
25.- Expresa algebraicamente el área de una corona circular de radios x y x+2. Sol: π(1+2x)
26.- Efectúa las siguientes operaciones: a) (6x3 - 4x2 + 5x - 4)2 - (3x3 + 5x2 - 4x + 2)2 b) (3x3 - 4x2 + 6)2 - (2x3 + 4x - 3)2 c) 2x2 - 4x + 5·3x2 - 4x + 7 - 5x2 - 4x + 32 d) 6x2 - 5x + 3·2x2 - 4x + 5 - 3x2 + 4x - 22
Sol: a) 27x6‐78x5+75x4‐60x3+21x2 ‐24x+12; b) 5x6‐24x5+48x3‐64x2+24x+27; c) ‐19x4+20x3‐x2‐24x+26; d) 3x4‐58x3+52x2‐21x + 11
27.- Expresa con x el perímetro de estas figuras:
Sol: Izq) ·(10 3 2)x ; Der) ·(33 5)2x
28.- Expresa algebraicamente el area de esta figura:
29.- Expresa algebraicamente el perímetro y el área de las siguientes figuras.
Sol: a) P=8x+2y; A=4x2+xy; b) P=3x+2z; A= x2+xy/2
30.- Expresa algebraicamente el área de estas figuras:
2 2
1 2
4 3: ( ) · 1 ( ) ·
4 4Sol A x x A x x
2x
2
: 242
Sol x
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Op. Con Polinomios
1. Si P(x)= 4x3-3x2+1 y Q(x)= 3x2-3x+2, opera:a) P-Q b) 3P+2Q c) P+Q d) P.QSol: a) P-Q= 4x3-6x2+3x-1b) 3P+2Q= 12x3-3x2-6x+7c) P+Q= 4x3-3x+3d) P.Q= 12x5-21x4+17x3-3x2-3x+2
2. Si P(x)= x3-x2-3x+1, Q(x)= 2x2-2x+1 y R(x)= 2x3-6x2+6x-1, opera:a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q.(2P-R); g) R/Q
Sol: a) P+Q= x3+x2-5x+2; b) P-Q+R= 3x3-9x2+5x-1c) 2P-3R= -4x3+16x2-24x+5; d) P.Q-R= 2x5-4x4-5x3+13x2-11x+2e) P+Q-R= -x3+7x2-11x+3; f) Q.(2P-R)= 8x4-32x3+34x2-18x+3g) R/Q 6 Cociente: x-2; Resto: x+1
3. Factoriza:a) x4-x3-x2+x b) 3x3+3x2-18xc) x4-2x3-13x2+38x-24 d) x4-3x3+3x2-3x+2e) x5-5x4+7x3-3x2 f) 2x3-2x2-12xg) 3x4+6x3+6x2+6x+3 h) x4+x3-7x2-x+6i) x4+3x3+4x2+6x+4 j) 4x4-6x3+2x2
Sol: a) (x-1)2.(x+1).x; b) (x+3).(x-2).3x; c) (x-1).(x+4).(x-2).(x-3);d) (x2+1).(x-2).(x-1); e) x2.(x-1)2.(x-3); f) (x+2)(x-3)2x; g) 3(x+1)2(x2+1);h) (x-2)(x-1)(x+1)(x+3); i) (x+1)(x+2)(x2+2); j) 2x2(x-1)(2x-1)
4. Divide:a) x4-4x3+4x2+2 : x2-xb) x5-4x3+4x2+4x-3 : x2-2c) x5+3x4-2x2+5x+2 : x3-x+1d) x4+3x3-3x2-3x+2 : x2-1e) x6-4x4+x3+3x2+x : x3-xf) x4+2x2-5 : x2+3
Sol: a) Cociente: x2-3x+1, resto: x+2; b) Cociente: x3-2x+4, resto: 5; c) cociente:x2+3x+1, resto: 3x+1; d) cociente: x2+3x-2, resto: 0; e) cociente: x3-3x+1, resto: 2x; f)cociente: x2-1, resto: -2
5. Halla el resto de la división:a) x5-2x3+x2-1 : x-2 b) x3-3x+2 : x-1c) 2x4-3x2+x-1 : x+1 d) -x6-3x5+2x2-3 : x+2e) x3-2x2+x+3 : x-1 f) 2x4-3x2-x+1 : x-3g) x4-3x3+2x : x-2 h) 3x4-2x3+3 : x+1
Sol: a) 19; b) 0; c) -3; d) 37; e) 3; f) 133; g) -4; h) 8
6. Halla "a" para que la siguiente división sea exacta:x5-3x3+ax2-4 : x-2
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Op. Con Polinomios
Sol: a=-1
7. Halla "a" para que la siguiente división tenga de resto 2:x6-4x5+5x4-5x3+4x2+ax+2 : x-1Sol: a=-1
8. Divide por el método de Ruffini:a) x5-2x4-3x2+7x+1 : x-2 b) x4-x3-2x2+x-1 : x+1c) 2x3-3x2+4x-3 : x-1 d) x4+3x3-x2-x+3: x+3e) -x4+4x3-3x2-2x+7 : x-3 f) x5+x4-2x3+4x-3 : x+2
Sol: a) c: x4-3x+1, r: 3; b) c: x3-2x2+1, r: -2; c) c: 2x2-x+3, r: 0; d) c: x3-x+2, r:-3; e) c: -x3+x2-2, r: 1; f) c: x4-x3+4, r: -11
9. Efectúa:a) 3x3-2x3-x3 b) -2x2+5x2-4x2 c) -x2-2x2+5x2
d) x 21
+ x 32
- x 444 e) 2x
+ x 32
- 2x f) x 23
- x + x 32 333
Sol: a) 0; b) -x2; c) 2x2; d) 5x4/6; e) 3x/2; f) x3/6
10. Simplifica las siguientes expresiones:a) 2x3-5x2+3-2-3x3+x2 b) 2x-3x2-2-(x2+3x+4)c) x2-(2x+3)-(x2+2x) d) 5-3(x2+1)+x(x+2)e) x2-3x+2-(x-x2)+3x f) x2-x+2x2-4+3xSol: a) -x3-4x2+1; b) -4x2-x-6; c) -4x-3; d) -2x2+2x+2; e) 2x2-x+5; f) 3x2+2x-4
11. Efectúa y reduce:
a) 3x2.5x+2x(-3x2) b)
x
52
- x 23 2
c) x 2x 3
- 2x 2
3
d)xx +
x 3x 9
2
43
Sol: a) 9x3; b) -3x3/5; c) -x3; d) 4x2
12. Opera y simplifica:
a) 3x3-2x2x+x2(-x+3) b) 3) + x(4 21
- (-3x) x 43
32 2
c) (2x2+x+1).(x-2) d) (x2-2x-3).(2x+1)Sol: a) 3x2; b) -7x2/2-3/2; c) 2x3-3x2-x-2; d) 2x3-3x2-8x-3
13. Dados los polinomios: P(x) = x4+3x3+2x2-1; Q(x) = x2-4x+1 y R(x) = 2x4-x3+x2-9, calcula:
a) P+Q; b) P+R; c) P+Q+R; d) P-Q; e) R-QSol: a) x4+3x3+3x2-4x; b) 3x4+2x3+3x2-10; c) 3x4+2x3+4x2-4x-9;d) x4+3x3+x2+4x-2; e) 2x4-x3+4x-10
14. Multiplica:a) (x2-3x+1).(x+2) b) (2x3-3x2+2).(2x-1) c) (x2+x-2).(x2+1)Sol: a) x3-x2-5x+2; b) 4x4-8x3+3x2+4x-2; c) x4+x3-x2+x-2
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Op. Con Polinomios
15. Desarrolla los siguientes cuadrados:a) (x+1)2 b) (x-4)2 c) (2x-1)2
d) (3x+2)2 e)
3 - x
32
2
f)
x 2 +
32
2
Sol: a) x2+2x+1; b) x2-8x+16; c) 4x2-4x+16; d) 9x2+12x+4; e) 4x2/9-4x+9; f)4/9+8x/3+4x2
16. Extrae factor común:a) 3x+6x2 b) x2+3x-2x3 c) x2-3x+4x2
d) x3-3x2+2x e) a(x-2)+b(x-2)-c(x-2) f) 2x2(z-1)+x2(z-2)-x2(z-3)g) 2x(y+3)+x(y+1)-x(y+1)Sol: a) 3x(1+2x); b) x(-2x2+x+3); c) x(5x-3); d) x(x2-3x+2); e) (a+b-c)(x-2); f)
x2(2z-1); g) 2x(y+3)
17. Desarrolla los siguientes productos notables:
a) ( )y - x 2 b)
3y
+ 2x
2
c) ( ) x - 3 2 2
d)
x1
- 2x 2
e)
x +
2x
22
f)
y
43
- 2x
2
Sol: a) x2-2xy+y2; b) x2/4+xy/3+y2/9; c) 9-6x2+x4; d) 4x2-4+1/x2; e)x2/4+x3+x4; f) x2/4-3xy/4-9y2/16
18. Multiplica:a) (x+3).(x-3) b) (2+x).(2-x) c) (3-2x).(3+2x)
d) (2x-3).(2x+3) e)
x +
21
. x - 21 22 f)
x1
+ 2 . x1
- 2
Sol: a) x2-9; b) 4-x2; c) 9-4x2; d) 4x2-9; e) 1/4-x4; f) 4-1/x2
19. Transforma en diferencia de cuadrados:
a)
31
- 2x . 31
+ 2x b) (x2+1).(x2-1) c)
b -
3a
. b + 3a
d) (x-a).(x+a) e)
3 +
2x
. 3 - 2x
f) (a-3b).(a+3b)
Sol: a) 4x2-1/9; b) x4-1; c) a2/9-b2; d) x2-a2; e) w2/2-9; f) a2-9b2
20. Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios:a) 7x2-3x3-4x b) 5x4-3x2+4 c) 4x-3x3-2d) 4-2x2+4x3 e) 4x-7x4-2x3-2 f) 6x-3+4x3
Sol: a) 3; b) 4; c) 3; d) 3; e) 4; f) 3
21. Efectúa:a) 4x2-3x2+x2 b) 7x-3x+2x c) 7x3-3x3+4x3 d) 6x4-
3x4+x4
e) 7x-4x+2x f) 9x5-3x5-2x5 g) 2x-5x+9x h) 4x3-5x3-2x3
Sol: a) 2x2; b) 6x; c) 8x3; d) 4x4; e) 5x; f) 4x5; g) 6x; h) 3x3
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Op. Con Polinomios
22. Reduce las siguientes expresiones:a) 2x2-4+3x-3x2 b) 3x-4x2-4-5x+3x2 c) 6x-3x3-4-4x3+4xd) 7-3(x2-1)+2(x-3)-4x+x2 e) 2x3-3x3-2(x-x3)+4x-2x3 f) 3x2-3+4x-5+3x2
Sol: a) -x2+3x-4; b) -x2-2x-4; c) -7x3+10x-4; d) -2x2-2x+4; e) -x3+2x; f) 6x2+4x-8
23. Efectúa y reduce:a) 2x2.3x-2x.x2 b) 3x-2(7x-5) c) x2(3x-2)+3x3
d) 7x2-3x(-2x)+5x2 e) 4x(x-2)-3x(x-1) f) 6x(-3x2)-5x2(-2x)Sol: a) 4x3; b) -11x+10; c) 6x3-2x2; d) 18x2; e) x2-5x; f) -8x3
24. Opera y reduce las siguientes expresiones:a) (2x2)-3x(2x2-3x)+2(x2-2x) b) 3x(3-x)+4(x2-3x) c) x2-3x(-5x)-x(x-3x)d) (x2-3x+2).(3x-2) e) (x-3)(x2-3x+1) f) (x-3)(-2x+3)Sol: a) -6x3+13x2-4x; b) x2-3x; c) 18x2; d) 3x3-11x2+12x-4; e) x3-6x2+10x-3; f) -
2x2+9x-9
25. Desarrolla los cuadrados siguientes:a) (x-3)2 b) (x-5)2 c) (3x-2)2 d) (3+2x)2
e) (x/2 - 2)2 f) (2/5 + 3x)2 g) (4x-2)2 h) (2x/3 - 1/2)2
Sol: a) x2-6x+9; b) x2-10x+25; c) 9x2-12x+4; d) 9+12x+4x2; e) x2/4-2x+4; f)4/25+12x/5+9x2; g) 16x2-16x+4; h) 4x2/9-2x/3+1/4
26. Expresa como cuadrado de una suma o de una restaa) x2-6x+9 b) x2-4x+4 c) 4x2-12x+9 d) x2+8x+16e) x2-10x+25 f) x2-12x+36 g) 9x2-12x+4 h) x2/4 - x + 1Sol: a) (x-3)2; b) (x-2)2; c) (2x-3)2; d) (x+4)2; e) (x-5)2; f) (x-6)2; g) (3x-2)2; h) (x/2-
1)2
27. Expresa como producto de una suma por una diferenciaa) x2-25 b) 9x2-4 c) 25x2-16 d) 49-4x2
e) x4-9 f) x9-x4 g) 25x2-4 h) 4x2-16Sol: a) (x-5).(x+5); b) (3x-2).(3x+2); c) (5x-4).(5x+4); d) (7-2x).(7+2x);e) (x2-3).(x2+3); f) (x3-x2).(x3+x2); g) (5x-2).(5x+2); h) (2x-4).(2x+4)
28. Factoriza:a) 4x3y2-6x2y3-12xy3 b) 3a2b4-6a3b2+9a2b3 c) 4x2z3-2x2z4+6xz2
d) 5x2y3z4-10xy2z3 e) 8x2y3-4x3y2-6x2y4 f) 3x3-6x2-9x4
Sol: a) 2xy2.(2x2-3xy-6y); b) 3a2b2.(b2-2a+3b); c) 2xz2.(2xz-xz2+3)d) 5xy2z3.(xyz-2); e) 2x2y2.(4y-2x-3y2); f) 3x2.(x-2-3x2)
29. Simplifica las siguientes fracciones:
a)x 9x 3 2
b)2)+(x 22)+(x x
c)x 32x-x2
d)2)+(x x2)+(x x 3 2
e)4 -x
2-x2
f)x
5x+x2
2
g)x 3
2)-(x x2
h)1)+(x x1)+(x x3
Sol: a) x/3; b) x/2; c) (x-2)/3; d) 3x; e) 1/(x+2); f) (x+5)/x; g) (x-2)/3x; h) x2
30. Simplifica:
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Op. Con Polinomios
a)3 + x9 + x 3
b)1)+(x 22x)+x(2 2
c)2)-(x xx2-x 23
d)1)-(x x
1 + 2x - x2
e)16 - x
4x-x2
2
f)6-x-x
4+4x+x2
2
g)6-x-x
9-x2
2
h)2x + x
2x - x + x2
23
Sol: a) 3; b) x; c) x; d) (x-1)/x; e) x/(x+4); f) (x+2)/(x-3); g) (x+3)/(x+2); h) x-1
31. Reduce a común denominador y opera:
a)x
9+
x3
2b)
1)+(x 34
+ 1+x
xc)
x 35
- x
3 +
x
2x22
d)2-2x
2 +
1-x2 - x
e)x
16 -
2x3
- 4x
2-xf)
1-xx 3
- x
4+x
g)1-x
3 +
x-x
3 -
x9-x
2h)
2x + x
2x - x + x2
23
Sol: a)x
9+3x2
; b)1)+(x 34+3x
; c)x 39+x2
; d) 1; e)x 472-x
; f)x-x
4-3x+x2-2
2
; g)x6-x
; h) x-1
32. Efectúa las operaciones y simplifica:a) 4(x2-5x+5)-(2x2-3x+9)b) 2x(5x-2x2-3)+6(x2-3x+5)
c)
5 -
23-2x
+ 3
2-5x . 3
d)
3x
+ 6
2+3x -
21)-(x 3
. 2
e) -2(x-3) + 4(x+3) + 2(3x-4)f) 2(x-1) + 3(x-2) + 2(3x-1) + 5g) (3x2-2x+1).(x2-3x-2)Sol: a) 2x2-17x+11; b) 16x2-4x3-24x+30; c) 8x-43/2; d) (8x-11)/3; e) 8x+14;f) 11x-5; g) 3x4-11x3+x2+x-2
33. Extrae factor común:a) 3x2-2x+3x3 b) 12x2y3-4x3y-6x2y2
c) a3-3a2+4a d) 4x2y3-3xy3-3xy2
e) (x-1)x2-3x(x-1)+2x3(x-1)2 f) 2x4-6(x-1)x2+4x3
Sol: a) x.(3x-2+3x2); b) 2.x2y.(6y2-2x-3y); c) a.(a2-3a+4); d) x.y2.(4xy-3y-3);e) (x-1).x.[x-3+2x2(x-1)]; f) 2.x2.(x2-3(x-1)+2x)
34. Expresa en forma de producto:a) x2-6x+9 b) x2-y2 c) 4x2-9y2
d) 4x2-12x+9 e) 2x2+4x+2 f) x2-x+1/4Sol: a) (x-3)2; b) (x-y).(x+y); c) (2x-3y)(2x+3y); d) (2x-3)2; e) 2.(x+1)2; f) (x-1/2)2
35. Opera:a) (x+3)2 b) (2x-3)2 c) (x-3).(x+3) d) (3x-5)2
e) (2x-5).(2x+5) f) (3-4x)2 g) (2x-x2)2 h) (x-2/3)2
Sol: a) x2+6x+9; b) 4x2-12x+9; c) x2-9; d) 9x2-30x+25 ; e) 4x2-25; f) 9-24x+16x2; g) 4x2-4x3+x4; h) x2-4x/3+4/9
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Operaciones con Polinomios Departamento de Matemáticas
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Op. Con Polinomios
36. Halla el polinomio que sumado a P(x):4x3-3x2+2x da como resultado:a) 2x3-3x2-x+2 b) 3x3-3x2+1c) 4x3+1 d) 2x3-3x2+5x-2Sol: a) -2x3-3x+2; b) -x3-2x+1; c) 3x2-2x+1; d) -2x3+3x-2
37. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución:
a) x)-(3 2 - 6x
2 = x + 3x
b) 1 + x + 3
x+5 +
23x
= x 3 + 2x
- x
c) x - 2 = x - 6x
+ 3x
- 2x
d)3x
2 - 1- = x - 3
3 - x -
2x
e)4x
- x = x + 2x
- 5
3-2xf) 2 - 2x =
53 - 4x
- 3
3-6x
Sol: a) x=6; b) x=4; c) x=6; d) x=12; e) x=4; f) x=2
38. Resuelve las ecuaciones:
a) x + 2 + 3
13- 2x = x +
23 - x
b) 1 + 3
3+2x = x +
21 - x
c)3
1+2x + 2 = 3)-3(x +
32+x
- x d)3
x+4 + x =
23 - x
- x 2
e)4
4+x + x = 2 +
2x
- 5
5-2xf) 4 + 2x =
53 + 4x
- 5
3-x
Sol: a) x=5; b) x=3; c) x=4; d) x=-1; e) x=0; f) x=-2
39. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) (x-2).(x-3)=0 b) x.(2x-4)=0 c) (x+1).(2x-1)=0d) (x-2)2=0 e) 7.(2x-6).(x+3)=0 f) (x-4).(x+3)=0Sol: a) x=2, x=3; b) x=0, x=2; c) x=-1, x=1/2; d) x=2; e) x=3, x=-3; f) x=4,
x=-3
40. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin utilizar la fórmula:a) 3x2-27=0 b) 2x2-4x=0 c) x2=16 d) 9x2=4e) 2x2/3-6=0 f) 2x2-32=0 g) 25x2-9=0 h) 6x2-2x=0Sol: a) x="3; b) x=0, x=2; c) x="4; d) x="2/3; e) x="3; f) x="4; g) x="3/5;
h) x=0, x=1/3
41. Si a un número le restas 14, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?.Sol: 21
42. Calcula tres números sabiendo que:El primero 4 unidades menor que el segundo.El tercero es igual a la suma de los dos primerosEntre los tres suman 36Sol: 7, 11, 18
43. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al triple del segundo.Sol: 10, 11, 12.
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Op. Con Polinomios
44. La suma de un número par, el siguiente y el anterior es 42. ¿Cuál es esenúmero?. Sol: 14
45. Por un libro, una carpeta y un bolígrafo hemos pagado 32 euros. El libro cuestael doble que la carpeta y ésta cuesta cinco veces más que el bolígrafo. ¿Cuál es el precio decada artículo?. Sol: 20, 10 y 2 euros.
46. Me faltan 5 euros para comprar un libro. Si tuviese el doble me sobrarían 10euros. ¿Cuánto dinero tengo y cuánto cuesta el libro?. Sol: 20 euros y 15 euros.
47. Juan tiene 13 años, su hermano Iván 17 años y su padre 44. ¿Cuántos años hande pasar para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?. Sol: 14 años
48. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 108 años. Elpadre tiene 4 años más que la madre. La madre tuvo su primer hijo a los 23 años y elsegundo a los 25. ¿Cuál es la edad de cada uno?. Sol: 13, 15, 38, 42.
49. Un depósito de agua recoge el agua de lluvia y luego se destina al riego. Si undía el depósito está lleno y ese día se consumen 2/5 de su capacidad. Al día siguiente seconsumen 2/3 del resto. El tercer día llueve durante 3 horas y se recogen 1650 litros,llenándose hasta los 3/4. ¿Cuál es la capacidad del depósito?. Sol: 3000 litros.
50. Una persona invierte una cierta cantidad de dinero al 6%. Si recibió unosintereses de 210 euros al cabo de un año. ¿Qué cantidad había invertido?. Sol: 3500 euros
51. Un inversor dispone de 40000 euros. Coloca parte de su capital en un banco al5% y el resto en otro banco al 6%. Si la segunda parte le produce anualmente 750 eurosmás que la primera. ¿Qué cantidad ingresó en cada banco?. Sol: 15000 y 25000 euros.
52. Una asociación de excursionistas contratan un autobús por una cierta cantidad dedinero. Si el autobús estuviese lleno cada uno debería pagar 10 euros. Como quedaron 10plazas vacías tuvieron que pagar 12,5 euros. ¿Qué capacidad tiene el autobús y cuántocobró la empresa del autobús?. Sol: 50 plazas y 500 euros
53. ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?. Di, cuántassoluciones tienen estas ecuaciones, sin resolverlas.
a) x2-16=0 b) x2+16=0 c) x2+x-6=0d) x2+x+4=0 e) x2+2x+1 f) x2-6x+9=0Sol: a) 2; b) 0; c) 2; d) 0; e) 1; f) 1
54. Inventa una ecuación de segundo grado que tenga:a) dos soluciones, x=1 y x=-2b) una solución, x=-3c) ninguna soluciónd) dos soluciones, x=0 y x=1Sol: a) x2+x-2=0; b) x2+6x+9=0; c) ; d) x2-x=0
55. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:a) x3+3x2-4; x4-3x3-3x2+11x-6; x3-2x2-5x+6b) x3-7x2+15x-9; x3-13x+12; x3-2x2-15x+36
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Op. Con Polinomios
c) 4x4+16x3-8x2-48x+36; x3+7x2+16x+12; 2x3+8x2+2x-12d) x3-3x2; x3-x2-2x; x4-5x3+3x2+9xe) x3+5x2+7x+3; x3+3x2-x-3; x3-x2-9x+9f) x3+3x2-x-3; x3+3x2-9x-27; x4+4x3-6x2-36x-27g) 3x3-3x2-24x+36; 4x3-28x+24; 2x4+8x3-6x2-36xSol: a) m.c.m.: (x-1)2(x+2)2(x-3); m.c.d.: (x-1)(x+2); b) m.c.m.: (x-3)2(x+4)(x-1);
m.c.d.: (x-3); c) m.c.m.: 4(x-1)2(x+3)2(x+2)2; m.c.d.: (x+3); d) m.c.m.: x2(x-3)2(x+1);m.c.d.: x; e) m.c.m.: (x-3)(x+3)(x+1)2(x-1); m.c.d.: (x+3); f) m.c.m.: 12x(x+3)2(x-1)(x-2)2; m.c.d.: (x-2)(x+3)
56. Calcula el valor de k para que la división 2x4-6x3+kx2-11:(x+1) sea exacta.Sol: k=3
57. Halla el valor que debe tener m para que el resto de la división (2x3+mx2+x-4):(x-2) sea igual a 6.
Sol: m=-2
58. Calcula m para que el polinomio 2x3+mx2+5x+2 sea divisible por x+1.sol: m=5
59. Escribe un polinomio que tenga por raíces los números 1, 2 y -1
60. Escribe un polinomio de tercer grado que sólo tenga una raíz.
61. En una división de polinomios, el divisor es 2x2-3, el cociente x+3 y el resto x-1. ¿Cuál es el dividendo?
Sol: x3+6x2-2x-10=0
62. Indica el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en cada caso:a) x2+2x+1 y 3x+3 b) x3-2x2 y x3-4x c) x2-x, x2-1 y x2-2x+1Sol: a) m.c.m.: 3(x+1)2; m.c.d.:(x+1); b) m.c.m.:x2(x2-4); m.c.d.:(x-2).x; c)
m.c.m.: x(x-1)2(x+1); m.c.d.: (x-1)
63. Inventa dos polinomios cuyo máximo común divisor se x(x+2) y cuyo mínimocomún múltiplo sea x2(x2-4)(x+1)
64. Escribe dos polinomios de segundo grado tales que:a) P(3)=0; P(2)=-2; P(1)=-2b) Q(1)=3; Q(2)=8; Q(-1)=5Sol: a) x2-3x; b) 2x2-x+2
65. a) Si la división P(x):(x-5) es exacta, ¿cuánto vale P(5)?b) Si -3 es una raíz del polinomio P(x), ¿qué puedes afirmar de la división
P(x):(x+3)?Sol: a) P(5)=0; b) Es exacta
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Ejercicios de Ecuaciones 3º ESO Departamento de Matemáticas
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Ecuaciones
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
Sol: a) 7; b) -1; c) 2; d) 3; e) 3; f) 8; g) 1; h) 2; i) 3; j) 1; k) 2; l) 3/5; m) 5/4; n) 4/5; ñ) 2/3; o) 10; p) 2;
q) 10; r) 6; s) 40; t) 7; u) 3; v) 3; w) 9/2; x) 11; y) 12; z) 9; α) 5/2; β) 8; γ) 1/3
2.- Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis y corchetes:
Sol: a) 1; b) 9; c) ¼; d) 3/5; e) 7; f) 15; g) 11; h) 0; i) 16; j) 5; k) 1/6; l) 2; m) 10; n) 4; ñ) -1; o) -5;
p) 21; q) 1/3; r) 11; s) 4; t) 3/2; u) 2; v) 1/3; w) 1; x) 3; y) -1; z) 2.
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:
Sol: a) 4; b) 12; c) 28; d) 1; e) 4; f) 12; g) 30; h) 15; i) 9; j) 6; k) 10; l) 2; m) 1; n) 12; ñ) 12;
o) -16/27; p) 120; q) 45; r) 2; s) 5; t) 60; u) 2; v) 24; w) 2/3
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Ecuaciones 1º ciclo de ESO Departamento de Matemáticas
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01. 2x-34=-20 Sol: x=7 02. 9x+8=7x+6 Sol: x=-1
03. 4x+3=3x+5 Sol: x=2 04. 7x+9=3+9x Sol: x=3
05. x-8=2x-11 Sol: x=3 06. x+1=2x-7 Sol: x=8
07. 6x+6=4+8x Sol: x=1 08. 9+9x=17+5x Sol: x=2
09. 2x+3=3x Sol: x=3 10. 25-2x=3x+20 Sol: x=1
11. 4x+1=3x+3 Sol: x=2 12. 5x-3=10x-6 Sol: x=3/5
13. 1+8x=-16x+31 Sol: x=5/4 14. 5x-11=15x-19 Sol: x=4/5
15. 12x-48=-15x-30 Sol: x=2/3 16. 2x+17=3x+7 Sol: x=10
17. 10-5x=x-2 Sol: x=2 18. 70-3x=4x Sol: x=10
19. 48-3x=5x Sol: x=6 20. -4x+30=-3x-10 Sol: x=40
21. 10x-15=4x+27 Sol: x=7 22. x-3(x-2)=6x-2 Sol: x=1
23. 3x+1=6x-8 Sol: x=3 24. 3x-7=2(x+1) Sol: x=9
25. 47-3x=5+11x Sol: x=3 26. 2(2+4x)=3+12x Sol: x=1/4
27. 30-9x=-7x+21 Sol: x=9/2 28. 5x=7(5x-3)+3 Sol: x=3/5
29. 3x-10=2x+1 Sol: x=11 30. 2(x-5)=3x-17 Sol: x=7
31. 25-2x=3x-35 Sol: x=12 32. 2+5(x-13)=x-3 Sol: x=15
33. 75-5x=3x+3 Sol: x=9 34. 2y-1=3(2y-15) Sol: y=11
35. 5+8x=2x+20 Sol: x=5/2 36. 2(x-2)=-(4-x) Sol: x=0
37. 2y-3=y+5 Sol: y=8 38. 2(3x-49)=-x+14 Sol: x=16
39. 3(x-5)-2(x+4)=18 Sol: x=41 40. 20=2x-(10-4x) Sol: x=5
41. 60x-1=3(1+12x) Sol: x=1/6 42. 5(x-1)+10(x+2)=45 Sol: x=2
43. 2x+3(2x-1)=x+67 Sol: x=10 44. 12x+3(2x-4)=60 Sol: x=4
45. 3-2x(5-2x)=4x2+x-30 Sol: x=3 46. 3x-(x+1)=x-2 Sol: x=-1
47. 3[2x-(3x+1)]=x+1 Sol: x=-1 48. x-3(x+5)=3x+10 Sol: x=-5
49. 3[x+(14-x)]=2[x-(2x-21)] Sol: x=0 50. 3(2-x)=18x-1 Sol: x=1/3
51. 3(x+4)=4x+1 Sol: x=11 52. 10+5(x-3)=3(x+1) Sol: x=4
53. 2[3(x+5)-9]=-3(2x-4) Sol: x=0 54. 7(x-1)-2(x+8)=3(x-3) Sol: x=7
55. 2(3x+2)=4[2x-5(x-2)] Sol: x=2 56. 15x=2(1+9x)-3 Sol: x=1/3
57. 3(12-x)-4x=2(11-x)+9x Sol: x=1 58. 2(1+x)-3(x-1)-6=x-11 Sol: x=5
59. 5-[3-2(4-x)]=2(4x+4) Sol: x=1/5 60. -5(2-x)+3(2x+4)=(4x-2)·5 Sol: x=4/3
61. 3x+5(12-x)=-3x+4-2(7-3x) Sol: x=14 62. -2+5[-6x+3(5-x)]=20-(x+1) Sol: x=27/22
63. -3x=2x+4x-x Sol: x=0 64. 5(x-3)-4(x-1)=2x-3(x+2) Sol: x=5/2
65. 13x – 5(x + 2) = 4(2x – 1) + 7 No Sol 66. 11 – 5(3x + 2) + 7x = 1 – 8x Identidad
67. 3x + 5(2x – 1) = 8 – 3(4 – 5x) Sol: x=-1/2 68. x – 7(2x + 1) = 2(6 – 5x) – 13 Sol: x=-2
Pasos para la resolución: 1) Suprimimos signos de colección o agrupación (paréntesis o corchetes).¡¡ Ojo si hay un signo – delante !! 2) Hacemos transposición de términos escribiendo los que tienen X en uno de los miembros y los que no en el otro
miembro de la ecuación. ¡¡ Lo positivo pasa negativo y lo negativo positivo !! 3) Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. ¡¡ X con X y números con números !! 4) Despejamos la incógnita. ¡¡ Lo que multiplica pasa dividiendo y lo que divide multiplicando !!
Ecuaciones de 1º Grado
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Ecuaciones 1º ciclo de ESO Departamento de Matemáticas
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1. 1
3 6 22
x x x 4x 21. 3 3 5
152 2 6
x x
81
4x
2. 3 3
8 12 5
x x 10x
22.
3 11 5 1 7 5 6
20 14 10 21
x x x x
27
29x
3. 4
( 1) 2 13
x x 7
2x 23.
3 17 1 4 1 9
8 3 4 6
x x x x
29
51x
4. 2 5
5 142 3 6
x x xx 3x 24.
3 1 4 42
15 5 3
x x x 1x
5. 2 2 6
04 3
x x 6x 25.
5 7 3 9 2 55
2 4 3
x x x 5x
6. 1 2
15 6
x x
34
11x 26.
5 8 3 92
2 2 2
x x x
17
13x
7. 2 4 7
2( 3) 54 2
x xx
1x 27.
2 8 3 35
2 2 5
x x x
32
9x
8. 5 2 4 5
3 12 4 3
x x x x
31
9x 28.
2 3 2 56
6 5 5
x x x
208
47x
9. 1 3
1 3x x
1
2x 29.
5 4 2 88
9 2 2
x x x
95
46x
10. 2 1 5 4 5
53 7 2
x x x 5x 30.
6 5 1 4 34
2 3 3 2 2
x x x
38
11x
11. 5 3 2
6 6 4 4
x x
12
7x 31.
4 2 1 6 58
3 5 5 3 3
x x x
16
15x
12. 4 2 4 5 5 6
6 8 10 12
x x x x 5x 32.
5 7 1 5 35
2 3 3 2 2
x x x
25x
13. 2 1 4
3
x
x x
3x 33.
1 3 6 3 61
2 2 2 2 2
x x x
8
9x
14. 2 5 3
2 53 4
x xx
43
35x 34.
1 6 5 5 24
2 3 3 3 2
x x x
2
21x
15. 2
5 2 12
x
x x
1
5x 35.
1 4 2 6 78
3 2 2 2 3
x x x
13
8x
16. 2( 1) ( 3) 1 ( 2)x x x x x 2x 36. 3 4 5 4 2 5
185 2 2
x x x
143
9x
17. 1 5 5
4 36 9
x x x 4x 37.
13 2 1
3 2 6
x x 5x
18. 5 3(2 4) 9x x 3x 38. 15 35 4 20 3 3
10 3 4 18
x x x 7x
19.
3 5 2 1
32 9 6
x xx
3
5x 39.
4 67
2 3
x xx 7x
20. 8
3 3 12
xx 4x 40.
3 1 5 4 25
3 7 21
x x 1x
Pasos para la resolución: 5) Aquí seguimos el mismo orden de los pasos, pero sin olvidarnos antes de hacer el mínimo común múltiplo para
pasar a común denominador.¡¡ Ojo si hay un signo – delante de alguna fracción!!
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Ecuaciones de Segundo Grado Departamento de Matemáticas
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Son de la forma:
2 0ax bx c
y su solución se calcula utilizando los coeficientes a, b y c mediante:
2 4· ·
2·
b b a cx
a
2
0 una solución
4· · 0 dos Soluciones
0 Sin solución
b a c
Ecuación X1 X2 Ecuación X1 X2 Ecuación X1 X2
2 7 12 0x x 3 4 23 39 108x x 4 9 2 10 25 0x x -5
2 5 6 0x x 2 3 23 2 8x x -2 4/3 2 6 8 0x x 4 2
2 6 27 0x x -3 9 25 1 6x x 1/5 1 2 20x x -4 5
2 6 9x x -3 26 6 5x x -
2/3 3/2 22 5 3 0x x 1 3/2
2 9 14 0x x 2 7 2 2 3x x -1 3 2 9 10x x 1 9
22 10 48 0x x 3 -8 2 9 18 0x x 3 6 22 9 9 0x x 3 3/2
2 5 6x x 6 -1 2 8 15 0x x -5 -3 24 12 9 0x x -3/2
22 7 6 0x x -2 3/2 24 3 8x x 1/2 3/2 2 7 120 0x x -8 15
23 16 5 0x x 5 1/3 2 18 80 0x x 10 8 27 16 9 0x x 1 9/7
2 4 96 0x x 12 -8 2 17 52 0x x 4 13 2 24 12 0x ax a 2a -6a
24 4 3x x ½ -
3/2 2 6 9 0x x 3 26 1 5x x ½ 1/3
Si en la ecuación 2 0ax bx c alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una ecuación incompleta y se resuelven directamente:
si 0b c , la ecuación queda 2 0ax y su solución es 0x
si 0b , la ecuación queda 2 0ax c ;
y sus soluciones son: c
xa
si 0c , la ecuación queda 2 0ax bx ;
y sus soluciones son: 1
2
0x
bx
a
Ecuación X1 X2 Ecuación X1 X2
22 0x 0 2 9 0x 3 -3
2 1 0x 1 -1 24 9 0x 3/2 -3/2
2 23 4 28x x 4 -4 2 9 0x x 0 9
21 4 8x 3/2 -3/2 2 11 0x x 0 -11
( 5)·( 1) 5 0x x 0 4 ( 2)·( 3) 6x x 0 3
2 0x x 0 1 24 16 0x 2 -2
2 2 0x x 0 -2 26 42 0x x 0 -7
28 16 0x x 0 2 2 0x ax 0 -a
2 6 10x 4 4 22 6 0x x 0 3
2 2 2
4 3 5x x x 0 8 2
3 8 9 0x x 0 2
3 2 3 2 77x x 3 -3 ( 2)·( 5) 9 10x x x 0 6
2 2 2
13 12 5x x x 0 12 54
3 182 3
xx
0 9/2
Ecuación X1 X2 Ecuación X1 X2
3 3
4 3 343x x -4 3 2 27 3 5 1 5 2x x x x 1
2 3 21 1
3 3
x x -2 -1
2 22 1 3 4 8x x x x -1/2 -1/3
2 52
3 3
x x 2 3
25 4 3 5 2 1 20 2 27x x x x x -1 -6
2 2 2
9 3
xx x -1/3 2/3
2 221 11 199 3 2x x x x 17 -12
23 11( 1)( 1) 2(1 ) 3
2 2
xx x x
1 -5 1 2 2 3 4 14 0x x x x x 3 -8
2
10 5 3135
xx
x x
10 -3/4 21 2 1
4 5 534 5 5
x x x 19/4 -8
3 5 10
2 1 4 7
x x
x x
-1 11/3 2
2
x (x - 3)(x - 3) (x - 2) + = (x - 2) 1 4
8 1
2 2 10
x x
x x
13 -6 2
3 2
x + 2 (x - 2) (x + 2)(x - 2) x - - = (x - 2) - 4 -2/3 4
5 8 7 4
1 2
x x
x x
4 5/2 2 2
3
x - 2(x - 3) - + (3 - x) (x - 1) = (x - 2) -1 8/3
Ecuaciones de 2º Grado
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Ecuaciones
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
Sol: a) 3 y 4; b) 3 y 6; c) 2 y 3; d) -5 y -3) e) -3 y 9; f) 3; g) -3; h) ½ y -3/2; i) 2 y 7; j) 4 y 2; k) 3 y -8; l) -4 y 5; m) 6 y -1; n) 1 y 3/2;
ñ) -5; o) 1 y 9; p) 4 y 9; q) 3 y 3/2; r) -2 y 4/3; s) -3/2; t) 1 y 1/5; u) ½ y 1/3; v) -2/3 y 3/2; w) -2 y -3/2; x) -1 y 3; y) ½ y 3/2; z) ½. 7.- Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones:
Sol: a) -2 y -1; b) 4/3 y 7; c) 5/8 y 0; d) -3/4 y -1/2; e) -3 y -1/2; f) -3 y 0; g) 1 y -4/3; h) 1 y -1; i) 3 y 1; j) 3; k) -1/3 y 2/3;
l) 2 y 3; m) 1 y 2; n) 4 y 2; ñ) -2 y 6; o) -1/2 y 3; p) 0 y ½; q) -1 y 4; r) -2 y 2; s) ½ y 2/3; t) -1 y 2. 8.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
Sol: a) 1 y 4; b) -2/3 y 4; c) -1 y 8/3; d) -5 y 1; e) -2 y 2; f) 1 y 5/3; g) 5/3 y 0; h) 2 y 4
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Ecuaciones
9.- Resuelve:
10.- Resuelve las ecuaciones:
11.- Resuelve las ecuaciones irracionales:
Sol: a) 25; b) 16; c) -3 y -14; d) 13/9; e) 9 y ¼; f) 8 y ½; g) 5 y 1; h) 5; i) 221; j) 15 y 0; k) 0, 3 y -3; l) 12; m) 12; n) 3 y -6.
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Problemas de Ecuaciones 2º ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Ecuaciones
1.- Tres números consecutivos suman 51, ¿Cuáles son esos números?.
Solución: 16, 17 y 18
2.- Calcula el número que sumado con su anterior y con su siguiente da 114.
Solución: 38
3.- Calcula el número que se triplica al sumarle 26. Solución: 13
4.- Halla un número cuyo triple menos 5 sea igual a su doble más 3.
Solución: 8
5.- Halla un número que sumado a su doble da 48. Solución: 16
6.- Halla un número que multiplicado por 3, sumándole luego 10, multiplicando lo obtenido por 5, agregándole 10 y multiplicando finalmente el resultado por 10 da 750. ¿Qué número es?
Solución: 1
7.- Encontrar dos números que sumados den 204 y tales que uno de ellos es 16 unidades mayor que el otro.
Solución: 94, 110.
8.- Si al doble de un número le sumamos su tercera parte obtenemos 14, ¿Cuál es dicho número?
Solución: El 6.
9.- La suma de 4 números naturales consecutivos es igual a siete veces el menor de ellos. ¿Cuáles son esos números?
Solución: Los números son el 2 el 3 el 4 y el 5.
10.- La suma de dos números pares consecutivos es 122. Halla esos números.
Sol: 60 y 62.
11.- La suma de cuatro números es igual a 105. El 2º número es el doble del 1º; el 3º es el doble del 2º, y el 4º el doble del 3º. Halla los cuatro números.
Sol: Los números son 7, 14, 28 y 56. 12.- La suma de dos números impares consecutivos es 36. Busca esos números.
Sol: 17 y 19. 13.- La suma de tres números impares consecutivos es 129. Busca los números.
Sol: 41,43 y 45.
14.- La suma de dos números pares consecutivos es 222. Halla esos números.
Sol: 110 y 112.
15.- La suma de dos números es 36 y uno de ellos es la quinta parte del otro. Halla los dos números.
Sol: 30 y 6 . 16.- La suma de dos números consecutivos es 207. Calcula esos números.
Sol: 103 y 104. 17.- La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es 2 y queda un resto de 8. ¿Qué números son?
Sol: 30 y 68. 18.- Halla dos números sabiendo que uno es cuatro veces mayor que el otro y su suma es 25.
Sol: 5 y 20. 19.- Calcula dos números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y su suma es 450.
Sol: 221 y 229. 20.- Separa el número 180 en dos partes tales que
dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cocientes sea 12.
Sol: 99 y 81. 21.- Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
Sol: 4 22.- Dividir 1.080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.
Sol: 424 y 656. 23.- Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor.
Sol: 51 y 34. 24.- Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.
Sol: 81,82 y 83. 25.- Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la mayor.
Sol: 123, 138 y 193
26.- La suma de tres números es 72. El segundo es 1/5 del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar dichos números.
Sol: Los números son 6, 36 y 30. 27.- El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?
Sol: El 17. 28.- La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble ¿Cuál es ese número?
Solución: 27
29.- La mitad de la suma de tres números enteros consecutivos es 21. ¿Cuáles son estos números?
Solución: 13, 14, 15 30.- Un número más su mitad suman 630. ¿Qué número es?
Solución: 420 31.- Las dos cifras de un número suman siete y si se invierte de orden se obtiene otro número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata?
Solución: 34
32.- ¿Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual?
Solución: 14 años
33.- El doble de la edad que tenía hace cinco años es 80. ¿Cuál es mi edad?
Solución: 45
34.- Si Elena es tres años menor que Lucio, y este es uno mayor que Berta, y entre los tres suman 41 años, ¿Qué edad tiene cada uno?.
Solución: Berta 14 años, Lucio 15 y Elena 12 años
35.- Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad se obtiene la edad de Andrea ¿Cuál es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años?
Solución: 16 años
36.- La edad de un padre es doble que la del hijo. Hallar ambas edades sabiendo que suman 51 años.
Solución: 17 y 34 años.
37.- Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?
Solución: 7 años
38.- Luís preguntó a su primo Juan cuántos años tenía y Juan le contestó: “Si al triple de los años que tendré dentro de tres años le restas el triple de los años que tenía hace tres años, tendrás los años que tengo ahora” ¿Cuántos años tiene Juan?
Solución: 18 años
Algoritmo de resolución de Problemas de Ecuaciones: a) Lectura y comprensión del enunciado b) Traducción del problema al lenguaje
algebraico. c) Resolución de la ecuación con precisión. d) Evaluación e interpretación de los resultados
con los datos del enunciado.
Problemas de Números
Problemas de Edades
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Problemas de Ecuaciones 2º ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Ecuaciones
39.- Una mamá tiene el cuádruplo de la edad de su hijo, y dentro de cinco años, tendrá el triple de años que él. Indicar que edad tienen ambos.
Solución: Mamá: 40 años, hijo: 10 años.
40.- La edad actual de Sergio es el doble que la de su hermana Raquel, pero hace 10 años la edad de Sergio era el triple que la de Raquel. ¿Cuántos años tienen actualmente cada uno?
Solución: 40 y 20.
41.- Las edades de dos hermanos suman 38 años. Calcularlas, sabiendo que la edad de uno es superior en 8 años a la edad del otro.
Solución: 15 y 23 años
42.- Un padre duplica en edad a su hijo, al que le lleva 40 años. ¿Cuánto tiempo pasó desde que la edad del padre era el triple de la del hijo?
Solución: Pasaron 20 años.
43.- Miguel tiene 2 años más que su hermano José y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo José. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 77 años, ¿Cuántos años tiene actualmente José?
Solución: 15 años José, 17 Miguel y 60 el padre.
44.- La suma de las edades de tres hijos es igual a la edad de su madre. Si la madre tiene 48 años, y cada uno de los hijos tiene 2 años más que el anterior, ¿cuáles son sus edades?
Solución: 14, 16 y 18 años tienen los hijos.
45.- La edad de Patricia es el 40% de la de Imane y hace 7 años la diferencia de sus edades era 30 años. ¿Cuál será la edad de Patricia dentro de 15 años?
Solución: Patricia tendrá 35 años.
46.- La suma de las edades actuales de Sara y su hermano Ghali es 20. Dentro de 7 años la diferencia entre la edad de Ghali y la de Sara será igual a la edad actual de Sara menos 1. Calcula sus edades actuales.
Sol: Ghali 13 años y Sara 7.
47.- La edad de Ana es el doble que la de Mirian y la edad de Mirian es el triple que la de Olga, si entre todas ellas suman 70 años ¿Cuál es la edad de cada una?
Sol: Olga 7 años, Miriam 21 y Ana 42.
48.- María tiene 30 años menos que su padre, y éste tiene el triple de los años de su hija. Halla sus edades.
Sol: María 15 años y su padre 45.
49- Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de 4 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
Sol: Manuel 12 años y Luis 28.
50.- Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor que su hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Sol: Marisa, 12, Rosa, 15 y Roberto 11 años. 51.- Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
Sol: 8 y 28 años
52.- María tiene 13 años más que Juan y dentro de 6 años tendrá el doble ¿Qué edad tiene cada uno?
Sol: Juan tiene 7 años y su hermana 20. 53.- Un padre tiene 25 años más que su hijo y dentro de 5 años tendrá el doble ¿Qué edad tiene cada uno?
Sol: El hijo tiene 20 años y el padre 45. 54.- La diferencia de edad entre dos hermanos es de es de 5 años y dentro de 2 años uno tendrá doble que el otro. ¿Qué edad tiene cada uno?
Sol: Uno 3 años y el otro 8. 55.- Paz y Petra tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre tiene 37 años. ¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edad de la madre?
Sol: 22 años. 56.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor.
Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
Sol: 10, 13 y 17 años.
57.- La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Halla sus edades.
Sol: Sus edades son 42, 22 y 24 años. 58.- Un padre tiene triple edad que su hijo. Si el padre tuviera 30 años menos y el hijo 8 más, los dos tendrían la misma edad. Averiguar la edad de cada uno.
Sol: El hijo 19 años y el padre 57. 59.- Un padre tiene 51 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la sexta parte de la edad del padre?
Sol: 9. 60.- Preguntado un hombre por su edad, responde: “si al doble de mi edad se le quitan 17 años se tendría lo que me falta para tener 100 años”. ¿Qué edad tiene?
Sol: 39 años. 61.- En una clase hay niños de 12, 13 y 14 años. De 13 años hay el doble que de 14 años y de 12 años el triple que de 13. ¿Cuántos niños hay de cada edad si en total hay 27 alumnos en la clase?
Sol: 18 de 12 años, 6 de 13 años y 3 de 14 años.
62.- En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Solución: 10 x 28 cm
63.- Determina las medidas de un rectángulo de 1800 m de perímetro y cuya altura es dos tercios de la base.
Solución: 540 m de base y 360 de Altura.
64.- El ancho de una habitación es dos tercios de su largo. Si el ancho tuviera 3 metros más y el largo tres metros menos la habitación sería cuadrada. Calcula las dimensiones de la habitación.
Solución: 12 x 18 metros
65.- En un triángulo uno de los ángulos es el doble de otro y éste es igual al tercero incrementado en 40º. ¿Cuál es el valor de cada ángulo?
Solución: 44°, 88°, 48°
66.- El triple del perímetro de un cuadrado es 144 cm. ¿Cuánto mide su lado?.
Solución: 12 cm.
67.- En un triángulo, el ángulo mayor mide el quíntuplo del menor, y el mediano mide la mitad de la suma de los otros dos. Calcula lo que mide cada ángulo.
Solución: 20°, 60° y 100°.
68.- El perímetro de un rectángulo es 50 cm. y su base mide 5 cm. más que su altura. Determina sus medidas.
Solución: 10 y 15 cm.
69.- Una parcela rectangular es 18 metros más larga que ancha, y tiene una valla de 156 metros. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
Solución: 30 metros de ancho y 48 m de largo.
70.- El área de un trapecio es 120 m2, la altura 8 m y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base?
Solución: 20 metros.
71.- En un rectángulo de 56 m de perímetro, la altura es 7 metros mayor que la base. ¿Cuál es su área?
Solución: 183,75 m2
72.- En un rectángulo un lado mide 18 cm más que el otro y el perímetro mide 76 cm ¿Cuánto miden sus lados?
Sol: Sus lados miden 10 y 28 cm. 73.- El perímetro de un huerto rectangular es de 66 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
Sol: 11 y 22 metros. 74.- Si aumentamos en 8 cm el lado de un cuadrado, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?
Sol: 4 cm.
Problemas con Figuras Geométricas
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Problemas de Ecuaciones 2º ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Ecuaciones
75.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 cm. El lado desigual del triángulo es la mitad de cada uno de los lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado del triángulo?
Sol: 8 cm los lados iguales y 4 cm el desigual.
76.- El largo de un rectángulo mide 12 cm más que su ancho. Halla sus dimensiones sabiendo que el perímetro mide 264 cm.
Sol: 60 y 72 cm. 77.- Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.
Sol: 10 metros.
78.- En un bosque hay cuatro abetos por cada dos hayas y dos hayas por cada castaño. Además hay 42 árboles de otras especies. Si el bosque tiene 483 árboles en total, ¿Cuántos abetos, hayas y castaños hay?
Solución: 63 castaños, 126 hayas y 252 abetos.
79.- En un control de conocimiento había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos ¿Cuántas preguntas acertó Aida si obtuvo 30 puntos y contestó a todas?
Solución: 14 preguntas
80.- En mi colegio, entre alumnos y alumnas somos 624. El número de chicas supera en 36 al de chicos. ¿Cuántos chicos hay? ¿Y chicas?
Solución: Hay 294 chicos y 330 chicas.
81.- En una ferretería se venden clavos en cajas de tres tamaños diferentes. La caja grande contiene el doble de unidades que la mediana, y esta, el doble que la pequeña. Si compras una caja de cada tamaño, te llevas 504 unidades. ¿Cuántos clavos tiene cada caja?
Solución: En la pequeña 72, mediana 144 y la grande 288.
82.- En una granja, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?
Sol: 14 gallinas y 6 conejos. 83.- En una cafetería, entre sillas y taburetes hemos contado 44 asientos con 164 patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?
Solución: 32 sillas y 12 taburetes.
84.- Si a un cántaro de agua, le añadieras 14 litros de agua, tendría el triple que si le sacaras dos litros. ¿Cuántos litros de agua hay en el cántaro?
Solución: 10 litros.
85.- En un garaje hay 110 vehículos entre coches y motos y sus ruedas suman 360. ¿Cuántas motos y coches hay?
Solución: 40 motos y 70 coches
86.- El padre de Álvaro desea vender un coche, una finca y una casa por 37.500 €. Si la finca vale 4 veces más que el coche, y la casa, 5 veces más que la finca, ¿Cuál es el precio de cada cosa?.
Solución: 1500 el coche, 6000 la finca y 30000 € la casa.
87.- Cada vez que un jugador gana una partida recibe 7€ y cada vez que pierde paga 3€. Al cabo de 15 partidas ha ganado 55 €. Calcula las partidas ganadas.
Solución: 10 partidas
88.- Ana tiene 50 sellos más que Sara, y si le diera 8 sellos, aún tendría el triple. ¿Cuántos sellos tiene cada una?
Solución: Sara 9 y Ana 59 sellos.
89.- He comprado 8 cuadernos y he pagado con un billete de 10€, me han devuelto 0,40 €. ¿Cuánto vale cada cuaderno?
Sol: 1,20 €.
90.- Mi abuelo ha plantado los dos séptimos de la superficie de su huerto que son 12m2. ¿Cuántos m2 mide el huerto?
Sol: 42 m2.
91.- En una caja hay doble número de caramelos de menta que de limón y triple número de caramelos de
naranja que de menta y limón juntos. En total hay 324 caramelos. Halla cuántos caramelos hay de cada sabor.
Sol: 54 caramelos de menta, 27 de limón y 243 de naranja. 92.- Dos depósitos tienen la misma capacidad. Los dos están llenos. De uno de ellos se sacan 1.000 litros, y del otro 9.000 litros, quedando en el primero doble cantidad de agua que en el segundo. ¿Cuál es la capacidad de los depósitos?
Sol: 17.000 litros. 93.- Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al 1º y al 3º el triple que al 1º. Si el total es de 36 bombones. ¿Cuántos bombones dan a cada niño?
Sol: 6, 12 y 18 bombones. 94.- Dos ciclistas avanzan uno hacia otro por una misma carretera. Sus velocidades son de 20 km/h y de 15 km/h. Si les separan 78 km ¿Cuánto tardaran en encontrarse?
Sol: 2,225 h 95.- Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60 km/h. Dos horas más tarde sale en su persecución un coche a 100 km/h ¿cuánto tardarán en encontrarse?
Sol: 5 h y 3 h. 96.- Halla la longitud de una pieza de tela, sabiendo que después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, sobran 20 m.
Sol: 100 m. 97.- En un cine hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de niños. Si en total hay 70 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay?
Sol: Niños 20, niñas 40 y adultos 10. 98.- En un restaurante hay 4 veces más niños que mujeres y 3 veces más hombres que la mitad de mujeres. Si en total hay 91 personas. ¿Cuántos niños, mujeres y hombres hay?
Sol: Niños 56, mujeres 14 y hombres 21. 99.- En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que de mujeres. Si en total vuelan 165 personas. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños viajan?
Sol: Hombres 120, mujeres 30 y niños 15. 100.- En un autobús viajan triple número de mujeres que de niños y doble número de hombres que de mujeres y niños juntos. En total viajan 60 personas. Calcula cuántos niños mujeres y hombres viajan en dicho autobús.
Sol: 5 niños, 15 mujeres y 40 hombres. 101.- La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4,600 kg. ¿Cuánto pesa el pez?
Sol: 9,60 kg. 102.- En un teatro hay 311 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de mujeres, sabiendo que hay 17 mujeres más que hombres?
Sol: 157 hombres y 174 mujeres. 103.- Pedro, Pablo y Paloma reciben 1.200 € como pago por su trabajo de socorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro, y Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?
Sol: Pedro,120; Pablo, 360, y Paloma, 72. 104.- Marisa gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y la quinta parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le quedan 3,60 €?
Sol: 12 €. 105.- Montse tiene el triple de cromos que Rocío, si intercambian 8 de Montse por 3 de Rocío, Montse tendrá el doble que Rocío. ¿Cuántos cromos tiene cada una?
Sol: Rocío 20 cromos y Montse 40. 106.- Tres cestos contienen 376 naranjas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y el segundo 15 más que el tercero. ¿Cuántas naranjas hay en cada cesto?
Sol: 137 en el primero, 127 en el segundo y 112 en el tercero. 107.- En un hotel de 3 pisos hay 77 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero y las del tercero un cuarto de las del primero,
Problemas Varios
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Problemas de Ecuaciones 2º ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Ecuaciones
¿cuántas habitaciones hay en cada piso? Sol: 44, 22 y 11 habitaciones.
108.- Una varilla de 74 metros de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 metros al doble de la parte pintada de blanco. Encuentre la longitud de la parte pintada de cada color.
Sol: La parte blanca 20 metros y la azul 54 metros. 109.- En una elección en que había tres candidatos A, B y C se emitieron 9000 votos. B obtuvo 500 votos menos que A y 800 más que C. ¿Cuántos votos obtuvo el candidato ganador?
Sol: 3.600 votos. 110.- En un control de conocimiento había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que ha obtenido 30 puntos y que contestó a todas?
Sol: 14 Preguntas.
111.- Mónica tiene 12 € más que Javier y esperan que mañana les den 5 € de paga a cada uno. En ese caso, Mónica tendrá mañana el doble que Javier. ¿Cuánto tiene hoy cada uno?
Solución: Javier tiene 7 €, y Mónica, 19 €.
112.- Para organizar la excursión de un grupo de amigos, cada uno ha puesto 16 €. Si fueran tres más, solo pondrían 12 €. ¿Cuántos amigos han ido de excursión?.
Solución: 9 amigos.
113.- A Pedro sus abuelos le han regalado por su cumpleaños un sobre con dinero, y sus padres otro con el doble de dinero que el de sus abuelos. Si con la suma de los dos sobres, Pedro se ha comprado una bicicleta que valía 132 €, ¿Cuánto dinero le dio cada uno?
Solución: Los abuelos 44€ y los padres 88€.
114.- Si Ana y Sonia tienen 2500€ entre las dos, y Ana tiene 700 € más que Sonia, ¿cuánto tiene cada una?
Solución: Marina 1600€ y Sonia 900 € 115.- Tres hermanos se reparten 1300€. El mayor recibe el doble que el mediano y éste el cuádruplo que el pequeño ¿Cuánto recibe cada uno?
Solución: 800€, 400€ y 100€
116.- Dos amigos juntan el dinero que tienen, uno tiene el doble que el otro. Se gastan 20 €, y les quedan 13 € ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Sol: 11 €.
117.- Andrés tiene el triple de dinero que Luis y entre los dos tienen 248 € ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Sol: 62 y 186 euros.
118.- Luis ha gastado 4,20 € más que Loli. Si entre los dos han gastado 18 € ¿Cuánto gastó cada uno?
Sol: Loli 6,90 € y Luis 11,10 €.
119.- Tengo en una mano el doble de monedas que en la otra. Si en total tengo 27 monedas ¿Cuántas monedas tengo en cada mano?
Sol: 9 monedas en una y 18 en la otra.
120.- Juan tiene 90 € en billetes de 5 € y de 10 €. Si el número de billetes de 5 € es el cuádruple del número de billetes de 10 €, ¿cuántos billetes tiene de cada clase?
Sol: 3 billetes de 10 € y 12 de 5 €.
121.- Si sumamos 10 € al doble de tu dinero resultará lo mismo que si restamos tu dinero de 43 €. ¿Cuánto dinero tienes?
Sol: 11 €.
122.- La entrada para una función de teatro al aire libre vale 60 € los adultos y 25 € a los niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de 14.000 €. ¿Cuántos niños y adultos asistieron a la función?
Sol: 200 adultos y 80 niños.
123.- Luis se ha comprado un traje, un bastón y un
sombrero por 259 €. El traje costó 8 veces lo que el sombrero y el bastón 30 € menos que el traje. Hallar los precios de cada prenda.
Sol: El Sombrero 17 €, el traje 136 € y el bastón 106 €.
124.- Ana compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en 505 €. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.
Sol: Pañuelo 5 €, falda 125 € y abrigo 375 €. 125.- Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he pagado 2,60 € por cuatro yogures naturales y seis de frutas?
Sol: El yogurt natural 0,20 y el de frutas 0,30. 126.- Tengo 13 monedas, unas de 2 céntimos y otras de 5 céntimos. Si las cambio todas por una moneda de 50 céntimos, ¿cuántas tengo de cada clase?
Sol: 5 de 2 céntimos y 8 de 5 céntimos. 127.- Repartir 310 € entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 € menos que la primera y 40 € más que la tercera.
Sol: 110, 130 y 70. 128.- Reparte 4680 € entre tres personas de forma que la primera se lleve el triple que la segunda y la tercera el doble que la primera.
Sol: La 1ª, 1.404 €, la 2ª 468 € y la 3ª 2.808 €.
129.- Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía me quedan 33 euros. ¿Cuánto dinero tenía?
Solución: 72 Euros 130.- Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, por el camino se rompen 2/5 de la mercancía. Decide volver al gallinero y recoger 21 huevos más con lo que ahora tiene 6/8 de la cantidad inicial ¿Cuántos huevos tenía al principio?
Solución: 140 huevos
131.- El lunes se asfaltó la sexta parte de un camino. El martes se asfaltaron las tres quintas partes de lo que quedaba sin asfaltar y el miércoles se asfaltaron los últimos 600 m. ¿Cuántos metros tiene el camino en total? ¿Qué fracción del camino falta por asfaltar?
Solución: 1800 m y queda 1/3 del camino sin asfaltar
132.- Se han consumido las 4/5 partes de un bidón de aceite. Si se reponen 30 litros, queda lleno hasta la mitad. ¿Cuál es la capacidad del bidón?.
Solución: 100 L.
133.- Un hombre gastó 1/5 de lo que tenía en ropa y 3/8 en libros, además prestó 102 € a un amigo y se quedó sin nada. ¿Cuánto gastó en ropa y en libros?
Solución: 48 € en ropa y 90 € en libros
134.- Se ha repartido una herencia de 48.000 € entre dos personas, de modo que la parte de la persona que recibió menos, equivale a 5/7 de la parte de la otra. ¿Cuánto recibió cada una?
Solución: 28.000 € y 20.000 €.
135.- Al restar dos números, da 6, y la mitad del mayor excede en 10 a los 3/8 del menor. Halla dichos números.
Solución: Los números son 56 y 62.
136.- De un depósito se extraen los 2/7 de su contenido, después 1/3 de lo que quedaba. Si queda 1 Hl. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?
Solución: 210 litros.
137.- Un cajero hace dos pagos. En el primero da los 2/5 de lo que hay más 500 dh. En el segundo da la mitad de lo que queda más 250 dhs. Al final queda en el cajero la quinta parte de lo que tenía al principio. Calcula lo que tenía el cajero al principio y los pagos que ha efectuado.
Sol: 2.500 dhs 138.- Un hortelano coge una cesta de manzanas, de tan mala suerte que 2/5 de las manzanas están podridas. Entonces vuelve al manzano y recoge 21 más, con lo que
Problemas de Dinero
Problemas con Fracciones
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Problemas de Ecuaciones 2º ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Ecuaciones
ahora tiene 1/8 más de la cantidad inicial. ¿Cuántas manzanas tenía al principio?
Sol: 40 manzanas. 139.- Un hombre dejó en su testamento lo siguiente: la mitad de su dinero para su esposa, la tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 € a una institución benéfica ¿Cuánto dinero tenía?
Sol: 4.320 €. 140.- Un hortelano siembra la mitad de su huerta de pimientos; la tercera parte de tomates, y el resto, 200 m2, de patatas. ¿Cuál es la superficie total de la huerta?
Sol: 1200 m2
141.- Calcula la edad de Andrés sabiendo que los 2/3 más los ¾ de su edad son 51 años?
Sol: 142.- Calcula qué número es preciso sumar a los dos términos de la fracción 3/8 para que nos resulte otra equivalente a ¾.
Sol: 143.- Dos números se diferencian en 32 unidades: Calcularlos, sabiendo que la mitad de su suma, más los 2/3 del menor, son 56.
Sol: 144.- En una granja las gallinas aumentan cada año en 600 unidades, y al final del mismo se venden la mitad de las existentes. Si al final del tercer año hay 650 gallinas, ¿cuántas había al principio?.
Sol: 145.- El numerador de una fracción excede al denomi-nador en 2. Si el denominador se incrementa en 7, el valor de la fracción es 1/2. Hallar la fracción.
Sol: 146.- Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3, el martes se gastan 2/5 de lo que quedaba y el miércoles 300 litros. Si aún quedo 1/10 de su contenido. ¿Cuál es su capacidad?
Sol: 147.- En el mes de agosto, cierto embalse estaba a los 2/5 de su capacidad. En septiembre, no llovió y se gastó 1/5 del agua que tenía. En octubre se recuperaron 700.000 m3, quedado lleno en sus tres cuartas partes. ¿Cuál es su capacidad?
Sol: 148.- La suma de tres números es 72. El segundo es 1/5 del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar dichos números.
Sol: 149.- ¿Cuánto costó un libro, si un quinto, más un sexto, más un séptimo de su precio, menos 0,10 euros suman la mitad de su precio?
Sol: 150.- Calcula qué número es preciso sumar a los dos términos de la fracción 3/8 para que nos resulte otra equivalente a ¾.
Sol: 151.- Dos números se diferencian en 32 unidades: Calcularlos, sabiendo que la mitad de su suma, más los 2/3 del menor, son 56.
Sol: 152.- Los bombones de una caja se reparten entre tres niños. Al primero se le da la mitad más dos; al segundo, la mitad del resto más dos, y al tercero la mitad de lo que quedan más dos. ¿Cuántos bombones tenía la caja? ¿Cuántos recibió cada niño?
Sol: 153.- Un día faltaron a clase 6 alumnos por la gripe, con lo cual sólo asistieron dos más de las tres cuartas partes del total. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
Sol:
154.- Una empresa de pinturas tarda 5 días en pintar un hospital, mientras que una segunda empresa tardaría 8 días. Si las dos empresas empiezan al mismo tiempo y trabajan juntas, ¿cuánto tiempo tardarían en pintar el hospital?
Sol: 3 días aproximadamente.
155.- Dos obreros hacen un trabajo en 3 horas. Uno de ellos lo haría solo en 4 horas. Hallar el tiempo que tardaría el otro solo.
Sol: 12 horas
156.- De los tres caños que afluyen en un estanque uno puede llenarlo solo en 36 horas, otro en 30 horas y el tercero en 20 horas. Hallar el tiempo que tardarían en llenarlo juntos.
Sol: 9 horas
157.- Un depósito tiene un grifo que lo llena en 3 horas; otro tarda en llenarlo 4 horas y un desagüe lo vacía en 5 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse si se abren a la vez los tres caños?
Sol: 2,6 horas
158.- Un labrador tiene pienso para alimentar a una vaca durante 27 días, y si fuera una oveja tendría pienso para 54 días. ¿Para cuánto tiempo tendría pienso si tuviera que alimentar a la vaca y a la oveja?
Sol: 18 días
159.- Un grifo tarda 4 días en llenar una piscina y otro tarda 6 días. Si se abren a la vez, ¿cuánto tardarán en llenarla?
Sol: 2,4 días
160.- Si la piscina del ejercicio anterior tuviera un desagüe que la vacía en 8 días, ¿cuánto tiempo tardarán en llenarla con los dos grifos y el desagüe abiertos?
Sol: 3,428 días.
161.- Una fuente llena un depósito en 10 horas y otra en 15 horas. ¿Qué tardarían en llenarlo manando juntas ambas fuentes?
Solución: 6 horas.
162.- Un depósito se llena por un grifo en 8 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?
Solución: En una hora y 36 minutos.
163.- Un grifo llena un depósito en 2 horas, y otro grifo lo llena en 3 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si se abren ambos grifos a la vez?
Solución: 1 hora y 12 minutos.
164.- Un grifo puede llenar un depósito en 10 horas, otro grifo en 20 h. y un desagüe puede vaciarlo en 15 h. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si estando vacío y abierto el desagüe se abren los dos grifos?
Solución: 12 horas.
Problemas de Grifos
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Sistemas de Ecuaciones Departamento de Matemáticas
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Sistemas de Ecuaciones
1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico:
. . . . . . . . . . . .
1. . 2; 12;
2 1 2 5 2 1 5 2 3 6) ) ) ) )
4 2 2 6 3 3 6 3 1 3 3 15 4 6 6
2 2 1 2 5 7 4 12) ) )
4 4 4 3 1 3 2 7
S C I S I S I S C I S I
S I x yx y
x y x y x y x y x ya b c d e
x y x y x y x y x y
x y x y x yg h i
x y x y x y
3; 2
7 1 110; ; 4; 1
2 2 2 2
2 3 12 )
3 2 5
2 3 1 3 4 8) ) )2 6 1 3 5 4 2 3 11
x y
x y x y x y
x yf
x y
x y x y x yj k lx y x y x y
2.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución:
2 132; 1 3; 2 2; 1 2; 1 . .;3 3
21 13;
4 2
2 3 2 3 12 2 5 2 0 7 2 4 2 2 1) ) ) ) ) )
3 4 10 5 7 3 1 3 7 1 5 1 4 4 4
5 33 2 2) )
12 4
x y x y x y x y S Ix y
x y
x y x y x y x y x y x ya b c d e f
x y x y x y x y x y x y
x y xy
g hx y
1; 33; 5 10; 15
10 184: 3 ;7 7
35 2 25 311 3 2
5 4 17 2) ) ) )4 2 256 96 2
2 7 23 5 2 23 2 2
x yx y x y
x y x y
xy x y y
x yi j k lx y y
y x y x yxx
3.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de igualación:
1 1 6 74; 5; ; 12; 22 4 5 5
1 21 81; ;
2 5 5
31 3
3 7 2 1 3 5 22 4) ) ) ) ) ) 2 22 13 6 1 1 2 1
3 10 1654 4 2
3 8)
2 17
x yx y x y x y
x y x y
x yx y x yy x
x y x y x ya b c d e f
x y x y x x y yx yy x
x yg
x y
1 17; 5 2; 3 2; 3 0; 7;
29 255 3 ;6 6
3 247 2 8 3 5 9 3 21 10 3 1
) ) ) ) ) 6 35 3 1 6 2 6 2 5 35 10 3 3
2 3 0x y x y x y x y
x yx y
x y xx y x y x y x y
h i j k lx y x y x y x y
x y
4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de reducción:
7 92; 3 3; 2 3; 1 2; 1; 2; 34 16
1; 3
52 3 5 3 2 13 3 4 3 2 3 9 2 3 7
) ) ) ) ) )6 5 3 4 5 2 5 4 11 5 4 11 5 6 4 0
2 3
3 0 2 3) )
5 2 1
x y x y x y x yx y x y
x y
x yx y x y x y x y x y
a b c d e f x yx y x y x y x y x y
x y x yg h
x y
3; 2 4; 5 2; 4
9 5 145 5; ;
5 3 17 17
2 112 3 2 2 5 6 1
) ) ) )5 3 15 10 23 2 5 5 4 40 3 2 14
15 15 2 25 2 3x y x y x y
x y x y
y x x yx y x y
i j k lx y x y x y
x y y x
5.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
1 34; 3 5; 2 ;4;
3;
3 2 22
2
112 2 4 7
3 3 2 6 6) ) ) ) )3 4 2 3 3 2 5 52 3 1 33
2 3 9 5 2 4 10 2 5 8 4( 1) 3 6 45 10 10
3 3
2 3 2)2 1
6 4 12
xx y x x yx y
y y
x x yx y x y x y x y
a b c d e x x yx y
x y x y x x y y
x x y
fx y x
3; 01;
1 23; 1 3; 1 ;3 3
4;
3
1
3 22 12 52
4( 3) 05 5 2 3 6) ) ) )4 14 3 31 1 2 5 19 3( 3) 18
2 6 33 4 12 4 6 12
41
5) )6
15
x
x y
y
x y x y
x y
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x y x x yx yx
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y x y x y x yy
xy
k lx
y
4; 10; 1 17; 10 . . .
4 1 2 7 5 3( )1 1 0
1 3 4 3 10 5 10) ) )4 54 1 3 2 3 2 2
3 1 23 3 5 4 4 6 4x y
x y x y S C I
y x y x y x y x yx y x
m n ñx x y x y y x y x
x y y
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Problemas de Sistemas de Ecuaciones Departamento de Matemáticas
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Problemas de Sistemas
1.- María ha adquirido 2 camisetas y un pantalón por un total de 22 euros, y Pedro ha pagado 39 euros por 3 camisetas y 2 pantalones. ¿Cuál es el precio de cada camiseta y de cada pantalón?
Solución: Camiseta 5€ y pantalón 12€
2.- Un librero vende 125 libros a dos precios distintos, unos a 15 € y otros a 12 €. Si obtiene 1.680 € por la venta, ¿cuántos libros vendió de cada clase?.
Solución: 60 libros a 15 € y 65 a 12 €.
3.- Calcula dos números, tales que su suma sea 16 y su diferencia 4.
Solución: 10 y 6.
4.- La suma de las cifras de un número menor que 100 es 12. Si se permutan las cifras, el nuevo número supera al anterior en 18 unidades. Hallar el número.
Solución: 57.
5.- Divide 180 en dos sumandos de modo que al dividir la mayor sea el doble de la menor.
Solución: 120 y 60.
6.- Divide 33 en dos sumandos de tal forma que al sumar 2/5 del primero y 1/3 del segundo dé 12.
Solución: 15 y 18.
7.- La diferencia de dos números es 1/6, y el triple del mayor menos el doble del menor es 1. Hállalos.
Solución: 2/3 y 1/2.
8.- El triple de un número más la mitad de otro suman 10; y si sumamos 14 unidades al primero de ellos, obtenemos el doble del segundo. Halla dichos números.
Solución: 2 y 8. 9.- Por una calculadora y un cuaderno habríamos pagado, hace tres días, 10,80 €. El precio de la calcula-dora ha aumentado un 8%, y el cuaderno tiene una rebaja del 10%. Con estas variaciones, los dos artículos nos cuestan 11,34 €. ¿Cuánto costaba cada uno de los artículos hace tres días?
Solución: Calculadora 9€ y cuaderno 1,80 €
10.- En un colegio de 364 alumnos los hay internos y externos. Si aumentara en 6 el número de internos y disminuyera en 5 el de externos, el número de externos sería 4 veces el de internos ¿Cuántos hay de cada clase?
Solución: 67 internos y 297 externos.
11.- Se han comprado 6 Kg. de azúcar y 3 Kg. de café por un coste total de 8,40 €. Sabiendo que 3 kg de azúcar más 2 kg de café cuestan 4,80 €, hallar el precio del kilogramo de azúcar y el del café.
Solución: 0,8 y 1,2€.
12.- ¿Cuántos litros de leche con un 10% de grasa hemos de mezclar con otra leche que tiene un 4% de grasa para obtener 18 litros con un 6% de grasa?
Solución: 6 litros 13.- Un lingote de oro cuesta 12.000 € y pesa 2 kg, un lingote de plata pesa kilo y medio y su coste en el mercado es de 3.000 €. Una corona de masa 1,5 kg se ha fabricado con una mezcla de oro y plata y le ha costado al joyero 7.000 €. Calcular la cantidad de oro en la corona.
Solución: 1 kg.
14.- En un corral hay conejos y gallinas; en total, 25 cabezas y 80 patas. Cuántos conejos y gallinas hay?
Solución: 15 conejos y 10 gallinas.
15.- El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba 300€ a cada uno le sobraba 600 € y si no daba 500 € le faltaba 1.000 €. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?
Solución: 8 nietos y 3000 €.
16.- Disponemos de 300 € para comprar 2 clases de mercancía diferentes, si compro 10 kg de la primera clase podemos comprar 2 kg de la segunda, pero si compramos 5 kg de la primera clase solamente podemos comprar 4 kg de la segunda. ¿Cuál es el precio de cada una de las clases de dicha mercancía?
Solución: 20 €/Kg, 50 €/Kg.
17.- Se quieren mezclar vino de 60 € con otro de 35 €, de modo que resulte vino con un precio de 50 € el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 L de mezcla?.
Solución: 120 litros de 60€/L y 80 litros de 35€/L.
18.- Un crucero tiene habitaciones dobles y sencillas. En total tiene 47 habitaciones y 79 plazas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
Solución: 15 individuales y 32 dobles.
19.- Mi padrino tiene 80 años y me contó que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese 100 € a cada nieta y 50€ a cada nieto se gastaría 650 €. ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?
Solución: 5 nietas y 3 nietos.
20.- Calcula las medidas de una finca rectangular de 1.330 m2 de área, sabiendo que un lado mide tres metros menos que el otro.
Sol: Los lados miden 38 y 35 m
21.- En una granja se crían gallinas y cerdos. Si se cuentan las cabezas son 50, y las patas son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
Solución: 17 cerdos y 33 gallinas.
22.- En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).
Solución: 30 moscas y 12 arañas.
23.- En la granja se han envasado 300 L de leche en 120 botellas de 2 y 5 L. ¿Cuántas botellas de cada clase se han usado? .
Solución: 100 botellas de 2 L y 20 botellas de 5 L.
24.- Tengo 30 monedas. Unas son de cinco céntimos y otras de un céntimo. ¿Puedo tener en total 78 céntimos?
Solución: Si.
25.- La madre de Ana tiene triple edad que ella, y dentro de 10 años sólo tendrá el doble de la que tenga su hija. ¿Qué edad tiene cada una?
Solución: 30 y 10.
26.- Juan tiene 3 años más que su hermano, y dentro de 3 años la suma de sus edades será de 29 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Solución: 10 y 13 años.
27.- Hace 5 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo, y dentro de 5 años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades del padre y del hijo?
Solución: El padre 35 y el hijo 15.
28.- La suma de las edades de mi abuelo y mi hermano es de 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edades tienen cada uno?
Solución: 53 años el abuelo y 3 mi hermano.
29.- Hallar una fracción tal que si se añade 1 al numerador se convierte en 1/3 y añadiendo 1 a su denominador sea igual a 1/4.
Solución: 4/15.
30.- ¿Cuánto medirán los lados de una piscina que ocupa 280 m2 de la finca y tiene un perímetro de 68 m? (NL)
Sol: Los lados miden 20 y 14 m
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Problemas de Sistemas
31.- Un empresario contrata unos empleados por 660 €. Otro empresario contrata un empleado más, pero paga 5 € menos por cada uno de ellos y emplea la misma suma. Hallar el número de empleados y lo que gana cada uno.
Solución: 11 empleados a 60 €. 32.- Entre dos clases hay 60 alumnos. Si el número de alumnos de una clase es el 5/7 de la otra, ¿cuántos alumnos hay en cada clase?
Solución: 35 y 25. 33.- Hallar la cantidad de vino que hay en dos vasijas, sabiendo que los 2/5 de la primera equivalen a los 2/3 de la segunda y que la mitad de la primera contiene 5 l menos que la segunda.
Solución: 50 y 30 litros. 34.- Se ha comprado un número de objetos del mismo precio, por valor de 240 €. Si cada objeto costase 4 € menos, por el mismo dinero habríamos comprado 10 objetos más. ¿Cuántos objetos se han comprado y cuánto ha costado cada uno?
Solución: 20 objetos a 12 € cada uno. 35.- Un obrero ha trabajado en dos obras durante 40 días. En la primera cobra 50 € diarios, y en la segunda 75 € diarios. Sabiendo que ha cobrado en total 2.375 €. ¿Cuántos días ha trabajado en cada obra?
Solución: 25 y 15 días.
36.- Un padre tiene 30 años más que su hijo, y dentro de 5 años la edad del padre será triple de la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?
Solución: 40 y 10 años. 37.- Sabemos que mi tío tiene 27 años más que mi primo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Solución: Mi tío 42 y mi primo 15 años. 38.- Un bisabuelo le dijo a su bisnieta. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen el bisabuelo y la bisnieta?
Solución: 105 el bisabuelo y 21 la biznieta. 39.- Juan dice: "Si yo te cojo 2 monedas, tendré tantas como tú" y Pepe responde: "Sí, pero si yo te quito 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno?
Solución: Juan 8 monedas y Roberto 12. 40.- En una reunión, el número de chicas excede en 26 al de chicos. Después de haber salido 12 chicos y 12 chicas, quedan doble de éstas que de aquéllos. Halla el número de chicos y chicas que había en la reunión.
Solución: 38 chicos y 64 chicas. 41.- Se han pagado 280€ por la compra de 50 botellas de vino, unas de 5 euros y otras de 7 euros la botella ¿Cuántas botellas de cada clase se han comprado?
Sol: 15 botellas de 7 € y 35 botellas de 5 €.
42.- Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 5€ diarios más que el segundo. El segundo ha trabajado 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el segundo ha ganado 330 € más que el primero, calcula el salario diario de cada obrero.
Sol: El primer obrero gana 80€ y el segundo 75
43.- Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula, pero si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
Solución: 6 jaulas y 32 conejos. 44.- Mi abuela tiene gallinas y conejos. En total, 32 cabezas y 104 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
Sol: gallinas 12 y 20 conejos
45.- Tengo 50 CD’S, unos de media hora y otros de una hora. Si puedo estar oyendo música diferente durante 43 horas y media, ¿cuántos discos hay de cada clase?
Solución: 13 normales y 37 de doble duración.
46.- Un número está formado por dos cifras cuya suma es 9. El número invertido es igual al número dado más 9 unidades. Hállese dicho número.
Solución: 45.
47.- Un número consta de dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número invertido. ¿Cuál es ese número?
Solución: El número 96.
48.- Un transportista va de una ciudad a otra que distan 300 km. Al volver, su velocidad media ha sido superior en 10 km/h a la velocidad de ida, y ha tardado una hora menos. Calcula las velocidades y los tiempos empleados en la ida y la vuelta.
Solución: ida: 50 km/h y 6 h; vuelta: 60 km/h y 5 h
49.- Un comerciante compra 50 kg de harina y 80 kg de arroz, por los que tiene que pagar 66,10 €; pero consigue un descuento del 20% en el precio de la harina y un 10% en el del arroz. De esa forma paga 56,24 €. ¿Cuáles son los precios primitivos de cada artículo?
Solución: 1 kg de harina valía 0,65 € y un kg de arroz 0,42 €
50.- Un comerciante tiene a la venta 50 pares de zapatillas deportivas, a 40 € el par. Cuando ha vendido unos cuantos, los rebaja a 30 € el par, continuando la venta hasta que se agotan. Si la recaudación ha sido de 1.620 €. ¿Cuántos pares de cada uno vendió?
Solución: Tiene 75 bueyes, que puede alimentar durante 12 días.
51.- En una granja se crían gallinas y conejos. Si en total son 100 animales y las patas suman 230. ¿Cuántos conejos y gallinas hay en la granja?
Sol: gallinas 85 y 15 conejos
52.- El doble de la edad de Sara coincide con la cuarta parte de la edad de su padre. Dentro de 2 años la edad de Sara será la sexta parte de la de su padre. ¿Qué edad tiene cada uno?
Sol: Sara 5 añitos y su padre 40.
53.- En el último examen de Tecnología tipo test, Manolo respondió a las 40 preguntas del examen. Por cada cuestión contestada correctamente le dan 0,25 puntos y por cada cuestión incorrecta, le quitan 0,1 puntos. Si su nota fue de 7,9, ¿Cuántas cuestiones respondió bien?
Sol: 34 preguntas correctas y 6 incorrectas
54.- Una caja contiene bolas blancas y negras. Si se añade una bola blanca, éstas representan entonces el 25% del contenido de la caja. Si se quita una blanca, las bolas blancas representan el 20% del total. ¿Cuántas bolas de cada color hay en la caja?
Sol: 9 blancas y 31 negras.
55.- Un anticuario vendió dos relojes de bolsillo por 210€, con uno obtuvo una ganancia del 10% y con el otro una pérdida del 10%. En total obtuvo una ganancia del 5% sobre el precio de compra. ¿Cuál fue el precio de compra de cada uno de los relojes?.
Sol: 50 € uno y 150 € el otro.
56.- Al iniciar una batalla, los efectivos de los dos ejércitos en contienda estaban en la razón de 7 a 9. El ejército menor perdió 15.000 hombres y el mayor 25.000. La relación de efectivos quedó, por efecto de dichas bajas, en la de 11 a 13. Calcular el número inicial de soldados de cada ejército.
Solución: 90.000 y 70.000 soldados.
57.- Un obrero, trabajando 30 días para dos patrones diferentes, ha ganado en total 2.070 €. El primero le pagaba 65 € diarios y el segundo 80 €. ¿Cuantos días trabajó para cada uno de los patrones?
Sol: 8 el de 65€/día y 22 el de 80€/día
58.- Pagamos 450 € por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 30% en el lector de DVD y el 60% en la tarjeta, y se han obtenido 288 €, ¿cuál era el precio inicial de cada artículo?
Sol: DVD 360€ y 90€ la tarjeta.
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Problemas de Sistemas de Ecuaciones Departamento de Matemáticas
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Problemas de Sistemas
59.- En una granja hay caballos y cisnes. Si se cuentan las cabezas, son 10, si contamos las patas, son 36. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
Sol: caballos 8 y 2 cisnes.
60.- Un triángulo es semejante a otro cuyos lados son 3, 4 y 5. Halla los lados sabiendo que su perímetro es 48 cm.
Solución: 12, 16 y 20 cm.
61.- Con 10 € que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de 9,60 €. Si el paquete de leche entera cuesta 1,15 € y el de semidesnatada 0,90 €. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?
Sol: 6 l de leche entera y 3 l de leche semidesnatada
62.- En mi clase hay 30 alumnos. Marta ha regalado por su cumpleaños, ella regala 2 chupas a cada chica y 1 a cada chico. Si en total han sido 49 chupas ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?
Sol: 19 chicas y 11 chicos
63.- Tengo 22 monedas. Unas son de cinco cts de €. y otras de dos cts de €. ¿Puedo tener en total 83 cts.?
Sol: 13 de 5cts y 9 de 2 cts
64.- Tengo 52 monedas. Unas son de cincuenta cts de €. y otras de 1 €. ¿Puedo tener en total 32 €?
Sol: 40 de 50 cts y 12 de 1 €.
65.- En mi bolsillo tengo 50 billetes, mezclados de 5 € y de 20€, si en total tengo 775 €, ¿cuántos billetes de cada tipo tengo?
Sol: 15 de 5€ y 35 de 20€
66.- Se quiere mezclar naranjas de 2,50 € el kilogramo con otras de 1,5 € el kilogramo, de modo que resulte una mezcla de naranjas que se quieren vender a 1,9 € el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada clase deben mezclarse para obtener 1000 kg de la mezcla?
Sol: 400 del de 2,50 €/kg y 600 del de 1,50 €/kg
67.- Se quieren mezclar las mejores manzanas del mundo de 20 €/kg, con otras de 8 €/kg para venderlas a 12,5 €/kg. Si quiero vender 400 kg de mezcla. ¿Cuántos kilogramos de cada una tendré que usar?
Sol: 150 del de 20 €/kg y 250 del de 8 €/kg
68.- Si queremos obtener 10 kg de una aleación de metales mezclando un metal de 1500 €/kg con otro de 2000 €/kg, ¿cuántos kg de cada uno hay que mezclar para vender la aleación a 1610€/kg?
Sol: 7,8 kg de la barata y 2,2 kg de la cara
69.- En un club deportivo, los hombres y las mujeres están en relación de 2 a 3, pero si hubiera 40 hombres más y 30 mujeres menos, entonces estarían a la par. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres son socios del club?
Sol: 140 hombres y 210 mujeres.
70.- Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te cojo 2 monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si yo te cojo 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno?
Sol: Roberto 12 y Juan 8 monedas
71.- Segismundo le dice a Aquilino; ”Si me das dos monedas tendré las mismas que tú y si te quito seis monedas tendré el doble que tú” ¿Cuántas monedas tiene cada uno?
Sol: Segismundo 10 monedas y Aquilino 14 monedas
72.- Pancracio le dice a Policarpo: ”Si te doy dos monedas tendré el cuádruple que tú y si te doy tres tendré el triple” ¿Cuántas monedas tiene cada uno?
Sol: Pancracio 18 monedas y Policarpo 2 monedas
73.- Hace 3 años la edad de mi madre era siete veces más la de mi hermana y hace 5 años la multiplicaba por diez. ¿Cuáles son las edades de mi madre y mi hermana?
Sol: Madre 45 y hermana 9
74.- Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?
Sol: Abuelo 53 y el hermano 3 años
75.- Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?
Sol: Padre 35 y hermano 15
76.- Calcula el valor de dos números naturales, tales que al elevar el primero al cuadrado da el mismo resultado que sumarle uno al segundo; Y, por otro lado, al sumarle cinco al primero me da el segundo número.
Sol: 3 y 8 29.
77.- Calcula las medidas de una finca rectangular de 810 m2 y que tiene una valla que recorre la finca de 114 m.
Sol: Los lados miden 27 y 30 m 78.- Calcula las medidas de una finca rectangular de 1400 m2 y que la rodea un muro de 156 m.
Sol: Los lados miden 50 y 28 m
79.- Calcular el número de monedas que tiene cada uno de los amigos José, Luís e Iván, sabiendo que si Iván diese 5 a José tendrían las mismas; si José diera 5 a Luís, éste tendría el cuádruplo que José; además se sabe que Luís tiene la tercera parte del número de monedas que poseen los tres.
Solución: 10, 15 y 20 monedas
80.- En el examen de Ciencias de la semana pasada, Raúl sacó un 7,3 contestando 50 preguntas. Por cada pregunta acertada le daban 0,2 puntos y por cada una mal le restaban 0,1. ¿Cuántas preguntas contestó bien?
Sol: 41 preguntas correctas y 6 incorrectas
81.- En el último examen de Plástica, Ruperto respondió a las 50 preguntas. Su nota final fue de 5,45. Si por cada pregunta acertada le daban 0,2 y por cada incorrecta le restaban 0,15, ¿cuántas preguntas contestó bien?
Sol: 37 correctas y 13 incorrectas
82.- Un rectángulo tiene 48 cm2 de área y su diagonal mide 10 cm. ¿Cuánto miden sus lados?.
Solución: 8 y 6 cm.
83.- Tres empresas aportan 2, 3 y 5 millones de euros para la comercialización de un nuevo avión. A los cinco años reparten beneficios, correspondiendo a la tercera 189.000 € más que a la segunda. ¿Cuál fue la cantidad repartida?
Solución: La cantidad repartida fue de 945.000 €
84.- Un campesino tiene bueyes. Si vendiese 15 bueyes, el pienso le duraría 3 días más y si comprase 25 bueyes, el pienso le duraría 3 días menos. Halla el número de bueyes y de días que los puede alimentar.
Solución: Tiene 75 bueyes, que puede alimentar durante 12 días.
85.- Se tienen 250 monedas, unas son de 2 céntimos de euro y otras de 5 céntimos de euro. Si en total suman 6,5 euros, calcula cuantas monedas hay de cada tipo.
Sol: 200 monedas de 2 y 50 de 5 céntimos.
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Problemas de Mezclas ESO Departamento de Matemáticas
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Problemas de Mezclas
01.- Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 euros el litro y la segunda de 7.2 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase hay que poner para obtener 60 litros de mezcla a 7 euros el litro?
Sol: 10 litros de la primera y 50 litros de la segunda. 02.- Un joyero tiene dos lingotes de oro, con un 80% de pureza y el otro con un 95% de pureza. ¿Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kilos con un 86% de pureza?
Sol: 3 kilos del oro al 80% y 2 del de 95%.
03.- ¿Cuántos kilos de nueces de Castilla que cuestan 0.80 € el kilo deben mezclarse con 8 kilos de nueces de la India que cuestan 1.25 € el kilo para crear una mezcla que cueste 1,00 € el kilo?
Sol: 10 kilos
04.- Juan mezcla 5 kg de chocolate blanco cuyo precio es de 3 euros el kg. Con 7 kg de chocolate negro, de 4 euros el kg. ¿Cuál es el precio de la mezcla resultante?
Sol: 3,58 €
05.- Se mezclan 36 kg de trigo, de 0,40 €/kg, con 60 kg de cebada, de 0,24 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de tritordeum?.
Sol: 0,3 €
06.- Un lingote de oro cuesta 12.000 € y pesa 2 kg, un lingote de plata pesa kilo y medio y su coste en el mercado es de 3.000 €. Una corona de masa 1,5 kg se ha fabricado con una mezcla de oro y plata y le ha costado al joyero 7.000 €. Calcular la cantidad de oro en la misma.
Sol: 1 kg.
07.- Se quiere mezclar vino de 60 € con otro de 35 €, de modo que resulte vino con un precio de 50 € el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 L de dicha mezcla?.
Sol: 120 litros de 60€/L y 80 litros de 35€/L.
08.- Se sabe que la Coca Cola de botella cuesta un euro por litro, y que una botella de ginebra 10€ el litro. Un empresario desea producir cubatas de 1 € de valor y de cuarto de litro de volumen. ¿Qué cantidad de ginebra empleará?
Sol: 0,083 litros.
09.- En una bodega se mezclan 6 hl de vino de alta calidad que cuesta a 300 € el hectólitro, con 10 hl de vino de calidad inferior a 220 €/hl. ¿A cómo sale el litro del vino resultante?
Sol: 2,5 €
10.- Se han vertido 3 litros de agua, a 15 °C, en una olla que contenía 6 litros de agua a 60 °C. ¿A qué temperatura está ahora el agua de la olla?
Sol: 45°
11.- Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto con otro lingote de 1 kg y 64% de pureza. ¿Cuál es la pureza del lingote resultante?
Sol: 76 %
12.- Calcula cuántos litros de una disolución de ácido sulfúrico al 80% hay que añadir a 5 litros de una disolución de ese mismo ácido, al 15%, para subir la concentración al 20%.
Sol: 0,417 l
13.- ¿Cuántos litros de leche con un 10% de grasa hemos de mezclar con otra leche que tiene un 4% de grasa para obtener 18 litros con un 6% de grasa?
Solución: 6 litros.
14.- Se mezcla una cierta cantidad de café de 34 € el kilo, con 80 kilos de otro café de 50 €/kg, para obtener una mezcla que se pueda vender a 44 € el kilo. ¿Cuánto café de 34 € debe emplearse en la mezcla?
Sol: 48 Kg.
15.- Se mezclan 8 litros de aceite de 4€ el litro con otro más barato para obtener 20 litros a 2,5 € el litro. ¿Cuál es el precio del aceite más barato?
Sol: 1,50 € el litro
16.- Un tipo de aceite de 3,2 € el litro se obtiene mezclando un 60 % de aceite virgen extra de 4 € litro y el resto con otro más barato. ¿Cuál es el precio de ese otro?.
Sol: 2 € el litro
17.- ¿Cuántos litros de un líquido que tiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de otro que tiene 90% de alcohol, si se desea obtener una mezcla de 84% de alcohol?.
Sol: 3 litros
18.- Se mezclan 10 sacos de 40 kg de azúcar cada uno, cuyo precio es de 0'8 €/kg, con 100 kg de otra clase de azúcar, de 0'85 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de mezcla?.
Sol: 0,81 € 19.- En cierta mina de plata hay dos galerías, de la primera se extraen 6 Tm. de mineral con una pureza del 75%, de la segunda se extraen 14 Tm. de una pureza del 65%. Todo en mineral extraído se coloca en una misma pila ¿Cuál es la pureza del mineral de la pila?
Sol: 68 %
20.- Se mezclan vinos de 13 € el litro y de 9 € el litro. ¿Qué cantidad de la primera clase hay que añadir a 80 litros de la segunda, para que vendiéndolo a 10,50 € se gane el 10%?
Sol: Tendremos que tomar 12,63 litros de vino de 13€ el litro.
21.- Un barril contiene 120 litros de vino y 180 litros de agua; un segundo barril contiene 90 litros de vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros debe tomarse de cada uno de los barriles para formar una mezcla que contenga 70 litros de vino y 70 litros de agua?
Sol: 100 litros del primero y 40 del segundo
22.- Se tienen 16 litros de una mezcla con alcohol al 25% contenidos en un recipiente. ¿Cuántos litros de alcohol puro debo agregar a la mezcla inicial para finalmente obtener alcohol al 50%?
Sol: 8 litros
23.- Se mezclan 50 kg de carne de 4,2 €/kg con 25 kg de carne de 7 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de mezcla?.
Sol: 5,13 €
24.- Un vendedor tiene 30 litros de vino cuyo costo es de 10 € el litro. Decide agregarle agua para abaratarlo en 7.50 € y venderlo más rápido. ¿Qué cantidad de agua deberá agregar si desea ganar lo mismo?
Sol: 90 litros
25.- Se ha mezclado 3 sustancias de densidades 2,6 g/cm3; 1,8 g/cm3 y 2,00 g/cm3 y cuyos pesos fueron 169 g, 144 g, 170 g respectivamente. ¿Qué densidad tiene la mezcla obtenida?.
Sol: 2,1 g/cm3 26.- Mezclamos un lingote de 600 g y con una pureza del 80 % de oro con otro lingote de 550 g con un 95 % de pureza de oro. ¿Qué proporción de oro habrá en el lingote resultante?.
Sol: 87,17 %
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Proporcionalidad
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Problemas de Proporcionalidad Departamento de Matemáticas
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1.- Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.
a) El peso de naranjas (en kilogramos) y su precio. b) La velocidad de un coche y el tiempo que emplea en recorrer una distancia. c) El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla. d) El número de hojas de un libro y su peso. e) El precio de una tela y los metros que se van a comprar. f) La edad de un alumno y su altura.
Sol: a) Si; b) No; c) No; d) Si; e) No; f) No
2.- Completa las siguientes tablas de valores: a) b)
3 6 12 24 48 4 8 12 16 4820
4 8 16 32 64 1 2 3 4 1205
3.- Dos kilos de naranjas cuestan 1,50 €. ¿Cuánto costarán 5 kg? ¿Y 12 kg?
Sol: a) 3,75€; b) 9€
4.- En una obra, dos obreros realizan una zanja de 5 m. Si mantienen el mismo ritmo de trabajo, ¿cuántos metros abrirán si se incorporan 3 obreros más?
Sol: 12,5 metros
5.- El precio de 12 fotocopias es de 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?
Sol: 1,25 €
6.- Un ciclista recorre 75 kilómetros en 2 horas. Si mantiene siempre la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?
Sol: 187,5 km
7.- Un túnel de lavado limpia 12 coches en una hora (60 minutos). ¿Cuánto tiempo tardará en lavar 25 coches? ¿Y 50 coches?
Sol: a) 2 h y 5 min; b) 4 h y 10 min
8.- Diez barras de pan cuestan 4,75 €. ¿Cuánto costarán 18 barras? ¿Y 24 barras?
Sol: a) 8,55 €; b) 11,4 €
9.- El precio de 9 billetes de autobús es 10 €. ¿Cuál será el precio de 12 billetes? ¿Y de 15 billetes?
Sol: a) 13,33 €; b) 16,67 €
10.- 5 botellas de leche cuestan 3,75 €, ¿cuánto costará una caja de 12 botellas? ¿Y una caja de 36 botellas?
Sol: a) 9 €; b) 27 €
11.- Completa las siguientes tablas de valores. a) b) 5 10 20 4 12 60 8 2 6 3 1 6
60 30 15 75 25 5 3 12 4 8 24 4
c) d) 1 2 3 4 6 9 6 3 21 7 42 1
36 18 12 9 6 4 7 14 2 6 1 42
12.- 10 albañiles tardan 45 días en construir un muro. Si se quiere terminar en 15 días, ¿cuántos albañiles harían falta? ¿y si se quiere terminar en 5 días?.
Sol: a) 30 albañiles; b) 90 Albañiles
13.- Un depósito de agua se llena en 18 horas con un grifo del que salen 360 litros de agua cada minuto. a) ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito si salieran 270 litros por minuto? b) ¿Y si fueran 648 l/min?
Sol: a) 24 horas; b) 10 horas
14.- Sabiendo que dispongo de una determinada cantidad de dinero y que con ella puedo comprar 6 prendas a 4.000 € cada una. ¿Cuántas prendas podría comprar si me costaran 3.000 € cada una?
Sol: 8 prendas.
15.- Seis personas efectúan un trabajo en 10 días. ¿Cuánto tardarán en hacerlo ocho personas?
Sol: 7.5 días. 16.- Se está construyendo una autopista y hay que realizar un túnel en la montaña. Está planificado que dos máquinas realicen la obra en 90 días. Para reducir ese tiempo a la tercera parte, ¿cuántas máquinas harían falta?
Sol: 6 máquinas 17.- Indica si las siguientes magnitudes son o no inversamente proporcionales.
a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. b) El número de limpiadores de un edificio y el tiempo que tardan. c) El número de ladrillos de una pared y su altura. d) El peso de la fruta y el dinero que cuesta. e) La velocidad de un corredor y la distancia que recorre. f) El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse.
Sol: a) Inv; b) Inv; c) Direc; d) Direc; e) Direct; f) Inv 18.- Tres niños pintan una valla en 2 horas. Si se incorpora uno más, ¿cuánto tiempo tardarán en pintarla?
Sol: Una hora y media 19.- Si 20 obreros levantan un muro de ladrillos en 6 días, ¿cuántos días tardarían 12 obreros?
Sol: 10 días 20.- Un camión tarda 4 horas en hacer un reparto a una velocidad 65 km/h. a) ¿Qué velocidad llevará una moto que hace el mismo reparto en la mitad de tiempo? b) ¿Y una avioneta que emplease 45 minutos?
Sol: a) 130 Km/h; b) 346,67 Km/h 21.- El próximo verano tengo planeado un viaje a Estados Unidos, por lo que necesitaré comprar dólares. Actualmente el banco me hace un cambio de 1 dólar por 1,20 €. ¿Cuántos dólares me darán por 1.500 €?
Sol: 1.250 dólares. 22.- Un ganadero tiene 20 vacas y dispone de pienso para alimentarlas durante 60 días. Si tuviera 120 vacas ¿para cuántos días tendría pienso?
Sol: 10 días.
23.- Un edificio es construido por 15 albañiles en 200 días. ¿Cuántos albañiles tendré que añadir a la cuadrilla para poder terminar el trabajo en 150 días?
Sol: 5 albañiles. 24.- Isabel ha comprado al principio de curso 7 cuadernos que le han costado 6,30 euros. María compró 5 cuadernos. Calcula lo que pagó por el método de reducción a la unidad.
Sol: 4,50 €.
25.- Un grifo con un caudal de 54 litros por hora, llena un depósito en 8 horas. ¿Cuál deberá ser el caudal para llenar la mitad del depósito en 6 horas?
Sol: 36 litros por hora.
26.- Una merluza de 2 kilos y 300 gramos ha costado 28,75 €. ¿Cuánto pagaré por otra de kilo y medio?
Sol: 18,75 €
27.- Una finca tiene una valla antigua sostenida por 650 postes que están colocados a intervalos de 1,20 m. ¿Cuántos postes se necesitarán para la nueva valla en la que los postes se colocarán cada 1,30 m?
Sol: 600 postes
28.- Por tres horas de trabajo, Pedro ha cobrado 60 euros. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
Sol: 160 €.
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Proporcionalidad
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Problemas de Proporcionalidad Departamento de Matemáticas
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29.- 5 fontaneros instalan los baños de una urbanización en 16 días. ¿Cuántos fontaneros se deberían contratar para terminar la obra en 10 días?
Sol: 8 fontaneros.
30.- Un manantial que aporta un caudal de 3,5 litros por minuto, llena un depósito en una hora y media. ¿Cuánto tardaría si el caudal aumentara a 4,5 l/min?
Sol: 1 hora y 10 minutos.
31.- Un campamento de refugiados que alberga a 4600 personas tiene víveres para 24 semanas. ¿En cuánto se reducirá ese tiempo si llegan 200 nuevos refugiados?
Sol: En una semana
32.- Una motobomba, en 7 horas ha vertido 1250 metros cúbicos de agua a un aljibe. ¿Cuánto tardará en aportar los 1.000 m3 que aún faltan para llenarlo?
Sol: 5 horas y 36 minutos
33.- Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 días, debe fabricar 2000 prendas cada día. Si por una avería de las máquinas se retrasa dos días el inicio del trabajo, ¿cuántas prendas diarias debe fabricar para cumplir con el pedido?
Sol: 2400 prendas
34.- Una piscina tiene 6 grifos que manan el mismo caudal, en litros de agua por minuto. Si solo abrimos 2 grifos, la piscina se llena en 8 horas. Calcula cuánto tiempo tardaría en llenarse si abrimos los seis grifos.
Sol: 2 horas y 40 minutos.
35.- Con un depósito de agua se abastecen 20 casas durante 15 días. ¿Cuánto duraría el depósito si los habitantes de 8 casas se marcharan de vacaciones?
Sol: 25 días.
36.- Un ciclista tarda 20 min en recorrer cierta distancia a una velocidad de 40 km/h. ¿Cuál será su velocidad si ha de recorrer la misma distancia en 32 min?
Sol: 25 Km/h.
37.- Un ciclista a una velocidad de 30 km/h, tarda 4h 19’ 56’’ en hacer un circuito. ¿Cuánto tardará una moto en hacer el mismo circuito a una velocidad de 84 km/h?
Sol: 1 h 32 min y 50 seg
38.- Un grifo, abierto durante 10 minutos, hace que el nivel de un depósito suba 35 cm. a) ¿Cuánto subirá el nivel si el grifo permanece abierto 18 minutos más? b) ¿Cuánto tiempo deberá permanecer abierto para que el nivel suba 70 cm?
Sol: a) 63 cm; b) 20 min
39.- Una tienda rebaja todos los artículos en la misma proporción. Si por una camiseta de 18 € pago 16,20 €, a) ¿cuánto debo pagar por un jersey de 90 €?, b) ¿qué porcentaje de descuento hacen?
Sol: a) 81 €; b) El 10 %
40.- Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas?
Sol: 9 viajes 41.- Virginia mide 1,60 m de altura y, en este momento, su sombra tiene una longitud de 0,8 m. Si la sombra de un árbol mide 10 m, ¿cuál es su altura?
Sol: 20 metros
42.- Una receta de tarta de manzana nos especifica los siguientes ingredientes para 6 personas: 360 gr. de harina, 4 huevos, 300 gr de mantequilla, 250 gr de azúcar y 6 manzanas. Calcula los ingredientes necesarios de una tarta de manzana para 15 personas.
Sol: 900 gr harina, 10 huevos, 75 gr mantequilla, 625 gr de azúcar y 15 manzanas
43.- Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 4 días?
Sol: 12 horas 44.- Una fortaleza sitiada tiene víveres para 500 hombres durante tres meses. ¿Cuánto tiempo podrán resistir con ración normal de comida si se incorporan 150 hombres?
Sol: 69 días
45.- ¿Son directamente proporcionales la longitud de una circunferencia y la longitud de su diámetro? Da varios ejemplos y compruébalo.
Sol: Sí.
46.- Un grajero tiene alfalfa en el almacén para alimentar a sus 3 vacas durante 10 días. ¿Cuánto le duraría el forraje si tuviera 5 vacas?
Sol: 6 días
47.- Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán con la ayuda de dos obreros más?
Sol: 1 hora y 12 minutos. 48.- Tres kilogramos de carne cuestan 6 euros. ¿Cuánto podré comprar con 4,5 euros?
Sol: 9 €. 49.- Una moto va a 50 km/h y tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 Km/h?
Sol: 16 minutos y 40 segundos. 50.- Por 5 días trabajados Juan ha ganado 390 euros. ¿Cuánto ganará por 18 días?
Sol: 1.404 €. 51.- Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media?
Sol: 1.080 botellas. 52.- Una moto que va a 100 km/h tarda 20 minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?
Sol: 125 km/h 53.- Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará el pienso si se mueren 5 vacas?
Sol: 40 días 54.- Para hacer una tarta de queso de 3 kilos hemos de utilizar 1,20 kilos de queso. ¿Cuánto queso hemos de utilizar para hacer una tarta de 4,5 kilos?
Sol: 1,8 kg. 55.- Si 46 papeleras cuestan 368 €, ¿cuánto cuesta cada papelera?, ¿cuantas papeletas compramos con 400€?
Sol: a) 8 €, b) 50 papeletas
56.- Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a las otras dos de 15 y 8 años de edad?
Sol: 37,50 € a la de 15 y 20 € a la de 8 años. 57.- Un agricultor labra una determinada superficie en 12 horas utilizando dos tractores. a) ¿Cuánto tardará en labrarla si utiliza tres tractores?; b) ¿y si utiliza 8?.
Sol: a) 8 horas; b) 3 horas 58.- Una máquina pone, 15.000 tornillos en 8 horas, funcionando de forma ininterrumpida. ¿Cuántos tornillos pondrá en 3 horas?; ¿y en 4 horas 13 minutos y 34 seg?.
Sol: a) 5.625; b) 7.923 tornillos. 59.- Después de una tormenta, dos autobombas tardan 6 horas en desaguar un garaje inundado. ¿Cuántas horas hubieran tardado utilizando sólo tres autobombas?
Sol: 4 horas.
60.- Por dos motores de 4 y 6 caballos de potencia se han pagado 1.014 €. El primero tiene 2.400 h de funcionamiento y el segundo 5.400 h. a) ¿Cuánto deberíamos de pagar por cada uno si se estableciera proporcionalmente al número de caballos de vapor?; b) Y si se estableciese en proporción inversa a las horas de funcionamiento?.
Sol: a) 405,60€ y 608,40€; b) 702 y 312 €
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Problemas de Porcentajes
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Problemas Porcentajes Departamento de Matemáticas
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01.- De un colegio con 600 alumnos, el 50% son de Educación Primaria, el 35% de ESO y el 15% de Bachillerato. Halla el número de alumnos de cada nivel educativo.
Sol: 300 de primaria, 210 de ESO y 90 de Bachillerato. 02.- Una fábrica produce 1.500 automóviles al mes. El 25% son furgonetas, el 60% turismos y el resto monovo-lúmenes. Halla las unidades producidas de cada tipo de automóvil.
Sol: 375 furgonetas, 900 turismos y 225 monovolúmenes. 03.- En una reunión hay un 60 % de mujeres. Si son 12 mujeres, calcula el número total de personas que han asistido a la reunión.
Sol: 20 personas 04.- En un instituto de 1.200 alumnos se han publicado los resultados de una encuesta sobre música moderna: el 30% de los alumnos prefieren música tecno, el 25% pop, un 40% rock, y el resto, música melódica. Calcula los alumnos que prefieren cada modalidad musical y el porcentaje de los que eligen la música melódica.
Sol: 360 tecno, 300 pop, 480 rock y 60 música melódica. 05.- Un pantano tiene una capacidad total de 5 millones de metros cúbicos de agua. Actualmente está lleno al 75% de su capacidad. Calcula los metros cúbicos de agua que contiene.
Sol: 3.750.000 metros cúbicos. 06.- El cuaderno de Anastasio tenía originalmente 80 páginas, pero ha usado el 40% y ha arrancado el 25%. ¿Cuántas paginas quedan disponibles? ¿Qué porcentaje del total representan?
Sol: 28 páginas. b) 35 %
07.- Un billete de avión a Paris costaba el verano pasado 460 €. Si este año ha subido un 20 %, ¿cuánto cuesta el billete?
Solución: Este año el billete cuesta 552 €
08.- Una tienda pone una oferta con una rebaja del 15%. Si un televisor está marcado en 900 €, ¿Qué rebaja me harán? ¿Cuánto voy a pagar por el televisor?
Solución: Me rebajarán 135 € pago por el televisor 765 €
09.- El gasto de electricidad de este mes es de 90 €. Al recibir la factura tengo que pagar además el 18 % de IVA. ¿Cuál es el coste total de la factura?
Solución: En la factura pagaré 106,20 €
10.- He comprado un ordenador que costaba 600 €, pero ahora está rebajado con el 25%. ¿Cuánto pago por el ordenador?
Solución: Voy a pagar por el ordenador 450 €
11.- He comprado una bicicleta por 250 €. Si quiero ganarme un 32 %, ¿A cómo debo venderla?
Solución: Debo vender la bicicleta por 330 €.
12.- Unas zapatillas que tienen un 30 % de rebaja me han costado 42 €, ¿cuánto costaban antes de la rebaja?
Solución: Las zapatillas costaban antes de las rebajas 60 €
13.- Un pueblo tenía el año pasado 3.000 habitantes y este año tiene 3.150. ¿Qué porcentaje ha aumentado la población?
Solución: La población ha aumentado un 5 %
14.- En distintos supermercados nos hemos encontrado las siguientes ofertas. Decidir razonadamente la que más interesa al consumidor: a) Pague dos y llévese tres. b) Pague tres y llévese cuatro. c) La segunda unidad a mitad de precio.
Solución: a) paga: 66,67%, rebaja: 33,33% b) paga: 75%, rebaja: 25% c) paga: 75%, rebaja: 25 %
15.- En un teatro con 540 localidades se han vendido el 65 %. Si cada entrada cuesta 25 €, ¿Cuál ha sido la recaudación?
Solución: La recaudación ha sido de 8.775 €.
16.- Una familia compra un frigorífico que cuesta 840 € pagando una entrada del 30 % al contado y el resto en 6 letras. ¿Cuál es el importe de cada letra?
Solución: Cada mes pagarán 98 €.
17.- La factura de dos meses de luz de una familia es de 65 euros, a falta de añadir el 21 % de I.V.A. ¿Cuánto supone el I.V.A.? ¿Cuál es el precio final de la factura?
Solución: I.V.A.: 13,65 €. Precio final: 78,65 €
18.- El 45 % de los alumnos de un instituto ha aprobado todas las asignaturas al final del curso. Sabiendo que han aprobado 234 alumnos, ¿cuántos estudiantes hay en el instituto?
Solución: 520 estudiantes
19.- Un trabajo realizado en un taller de automóviles vale 80 euros. Por pagarlo al contado me hacen un descuento del 7 %. ¿Cuánto me han descontado? ¿Cuánto tengo que pagar?
Solución: Descuento: 5,6 € Precio final: 74,4 €
20.- Un reloj valía 32 euros, pero el relojero me lo ha rebajado y he pagado finalmente 28.80 euros. ¿Qué % me ha rebajado?
Solución: 10 %
21.- En un incendio han ardido el 40% de los árboles de un bosque. Si después del incendio contamos 4800 árboles, ¿cuántos árboles había al principio?
Solución: 8.000 árboles
22.- Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina?
Solución: 1.700 Tornillos 23.- En una tienda en la que todo está rebajado el 15% he comprado un pantalón por el que he pagado 102 €. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?
Solución: 120 € 24.- Hoy ha subido el precio del pan el 10%. Si una barra me ha costado 0,77€, ¿cuánto valía ayer?
Solución: 70 céntimos 25.- El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de 2.100 €. ¿Cuál era el valor anterior a la subida?
Solución: 2.000 € 26.- Un cliente ha comprado una lavadora por 375 euros. Estaba de oferta con un 20 % de descuento. ¿Cuál era el precio sin rebaja?
Sol: 468,75 €.
27.- El año pasado en mi colegio había 72 alumnos que jugábamos al fútbol, pero este año somos 108 alumnos. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento?
Sol: 50 % de aumento.
28.- En el trayecto Madrid-Zaragoza con el AVE, si el tren llega con un retraso superior al 12% del tiempo establecido te devuelven el precio del billete. Si el tiempo previsto para ese viaje es de 1h 50m y hoy ha tardado 2h 5m, ¿tendrán derecho a devolución?
Sol: Si
29.- En un partido de fútbol, el equipo local tuvo el 60 % de posesión del balón. El primer tiempo se prolongó en 3 minutos y el segundo en 4 minutos. ¿Cuánto tiempo tuvo el balón el equipo visitante?
Sol: 38 minutos y 48 segundos.
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Problemas de Porcentajes
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Problemas Porcentajes Departamento de Matemáticas
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30.- El año pasado en mi colegio había 72 alumnos que jugábamos al fútbol, pero este año somos 108 alumnos. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento?
Sol: 50 % de aumento.
31.- Un artículo que vale 75 euros está de oferta. Nos dan dos opciones: A) hacen el descuento y luego añaden el 16 % de IVA, B) añaden el 16 % IVA y luego hacen el descuento del 20 %. ¿Qué conviene más?
Sol: Las dos opciones son iguales.
32.- La gasolina ha subido un 4 %. Si antes costaba 1,25 euros el litro, ¿cuál es su precio actual?
Sol: 1,3 € 33.- Unas zapatillas que antes costaban 60 € tienen un descuento del 15%. Calcula cuánto valen ahora.
Sol: 51 € 34.- Imane realiza el 40% de un viaje en todo-terreno, 1/3 a caballo y el resto andando. Si la caminata ha sido de 80 Km, ¿cuál es la longitud total del recorrido?
Sol: 300 Km
35.- El 26% de los libros de una biblioteca son novelas, el 18% son libros de poesía, el 10 % son libros de historia, el 22 % son libros de ciencias y el resto son enciclopedias. a) ¿Qué tanto por ciento de ellos son enciclopedias? b) ¿Cuántos libros hay de cada tipo si en la biblioteca hay 52.000 litros?
Sol: a) 24%; b) 13.520 novelas, 9.360 libros de poesía, 5.200 de historia, 11.400 de ciencias y 12.520 son enciclopedias.
36.- El valor de un ordenador en una tienda es de 450,50 € pero si nos lo tienen que llevar a casa e instalarlo su valor se incrementa el 6%. Calcula el incremento del coste inicial y cuánto tendremos que pagar si queremos que lo lleven e instalen en casa.
Sol: 27,03 € y 477,53 €
37.- Un pantalón después de una rebaja de un 30% cuesta 21€, por tanto ¿cuál era el precio inicial?
Sol: 30 €
38.- Si he leído 45 páginas, que representan el 60% de la mitad de un libro, ¿qué porcentaje del libro me queda por leer? ¿Y cuántas páginas?
Sol a) el 70% b) 105 páginas
39.- Enrique ha pagado por un ordenador portátil en el Black Friday 850€. Si estaba rebajado un 15% ¿cuál era su precio el jueves?
Sol: 1000 €
40.- Después de rebajarme un 12%, un balón de baloncesto me cuesta 79,20 €. ¿Cuánto costaba el balón antes de rebajarlo? ¿Y tras añadirle el 16 % de IVA?
Sol: 90€ costaba; 104’40€
41.- En un envase de galletas anuncian que hay un 25% más de galletas por el mismo precio. Los envases antiguos pesaban 1 kg y el envase actual con la oferta pesa 1,20 kg. ¿Es cierta la propaganda?
Sol: no, debería pesar 1’25kg
42.- Se venden el 72% de las gallinas de una granja y quedan 238. Averigua cuántas había antes de la venta y cuántas se vendieron.
Sol: 850 gallinas; 612 gallinas
43.- Después de aumentarme el 16% de IVA, he pagado 200 € por un mueble. a) ¿Cuánto costaba antes de pagar el IVA? b) Si me habían hecho un descuento del 15% sobre el precio original antes de pagar el IVA, ¿Cuál era ese precio?
Sol: a) 172,41 €; b) 202,84€
44.- La reserva hidráulica en España en el mes de enero de 2006 fue 24.947 hm3, que representa el 46,8% de su capacidad total de embalse. ¿Cuántos hectómetros cúbicos pueden ser embalsados en España?
Sol: 53.305,555 hm3.
45.- Los medios de comunicación informan de que el 60% de los alumnos de 2° de ESO estudian dos idiomas. Si en una clase de 2° de ESO hay 25 alumnos, ¿cuántos de estos alumnos se supone que estudian dos idiomas?
Sol: 15 alumnos
46.- Si una barra de pan que costaba 0,55 €, cuesta ahora 0,75 €, ¿cuál es el tanto por ciento de subida que ha experimentado?
Sol: 36,36 %
47.- Según la Organización Mundial de la Salud, el 35% de los fumadores padecerá una enfermedad pulmonar en el futuro. Si el 40 % de la población de una ciudad de 54.000 habitantes son fumadores, ¿cuántas personas de esa ciudad podrán padecer una enfermedad pulmonar?
Sol: 7.560 habitantes
48.- Los socios de una Pyme deciden repartir proporcional-mente al número de acciones los 4.200 € de beneficios del último mes. Si la distribución de las acciones de la entre los socios está reflejada en la tabla: a) ¿Qué cantidad de dinero corresponde a cada socio? b) Si la empresa destina un 10 % de los beneficios para obra social, ¿qué cantidad de dinero corresponde al socio C?
Sol: a) Al socio A 840 €, al socio B 1 680 €, al socio C 420 € y al socio D 1.260 € .b) 378 €.
49.- La calificación de Matemáticas se obtiene de la siguiente forma:
Un 20 % por comportamiento en la clase.
Un 30 % por la realización de ejercicios. Un 50 % por la nota del examen.
a) Calcula la calificación final de un alumno si las anotaciones que tiene su profesor de él son:
4 sobre 10 por el comportamiento en clase. 6 sobre 10 por la realización de ejercicios.
5 sobre 10 por la nota del examen. b) Si la calificación que ha obtenido un alumno es 8, ¿cuál es la puntuación que tiene por cada uno de los apartados: comportamiento en clase, por los ejercicios realizados y por la nota de examen?
Sol: a) 5,1; b)
50.- Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden 14.000 litros, quedará completo. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
Sol: 200.000 litros
51.- Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que ya ha resuelto más del 65% pero menos del 70%. ¿Cuántos le quedan por resolver?
Sol: 6. 52.- Este mes ha habido en mi comunidad autónoma 120 accidentes de tráfico, lo que mejora la cifra del año pasado que fue de 160 accidentes. ¿En qué tanto por ciento han disminuido este tipo de accidentes?
Sol: En el 25%
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Iv y Porcentajes Encadenados
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Problemas Porcentajes II Departamento de Matemáticas
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01.- ¿Por qué número hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la final en cada uno de los siguientes casos?:
a) Aumenta un 12%. b) Disminuye el 37%. c) Aumenta un 150%. d) Disminuye un 2%. e) Aumenta un 10% y, después, el 30%. f) Disminuye un 25% y aumenta un 42%.
Sol: a) 1,12; b) 0,63; c)2,5; d)0,98; e) 0,77; f) 1,065
02.- En cada uno de los apartados siguientes, calcula el índice de variación y la cantidad final: a) 325 aumenta el 28%. b) 87 disminuye el 80%. c) 425 aumenta el 120%. d) 125 disminuye el 2%. e) 45 aumenta el 40% y el 30%. f) 350 disminuye el 20% y el 12%.
Sol: a) IV=1,28; CF=416; b) IV=0,2; CF=17,4; c) IV=2,2; CF=935; d) IV=0,98; CF =122,5; e) IV=1,82; CF=81,9; f) IV=0,704; CF=246,4
03.- ¿Qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde a los siguientes índices de variación?: a) 1,54 b) 0,18 c) 0,05 d) 2,2 e) 1,09 f) 3,5.
Sol: a) Aumento 54%. b) Disminución 82%. c) Disminución 95%. d) Aumento 120%. e) Aumento 9%. f) Aumento 250%.
04.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo?
Sol: Vale menos que antes de la subida.
05.- He comprado directamente a la fábrica placas solares para calentar el agua. Su precio está marcado en 3.850 €. Como compro directamente en la fábrica me rebajan el 40%, y cuando ya tengo el precio rebajado al hacerme la factura tengo que pagar el 18% de IVA. ¿Cuánto me cuestan al final las placas solares?
Solución: Las placas solares cuestan 2.725,80 €
06.- El precio de un traje es de 360 euros. En las rebajas se le ha aplicado un primer descuento del 30% y después se ha vuelto a rebajar un 20%. ¿Cuál es el precio final?
Solución: 201,60 €
07.- El precio de un coche es de 11400 euros. Al comprarlo me han hecho un descuento del 22 %, pero después había que pagar un 17% de impuestos de matriculación. ¿Cuál es el precio final?
Solución: 10.403,64 €
08.- Un artículo que vale 50 euros tiene los siguientes cambios de precio: primero sube un 30%, a continuación baja un 15%, vuelve a bajar un 25%, y por último tiene una subida del 10%. ¿Cuál es su precio final? ¿Qué porcentaje ha variado respecto del precio inicial?
Solución: Precio final: 45,58 € Descuento: 8,8375 %
09.- La carne de cordero, durante la Navidad, aumentó su precio de 8,85 €/kg a 11,55 €/kg. Otro producto que se ha encarecido han sido las uvas, de 2,10 €/kg a 3,95 €/kg. ¿Qué producto se ha incrementado más en proporción?
Solución: Las Uvas 10.- Un empleado ha tenido dos subidas de sueldo en un año por un porcentaje de un 5 % y un 4 % respectivamente. El sueldo final es de 2184. ¿Cuál era el sueldo a principios de año?
Solución: 2000 euros
11.- Un capital colocado al 8% anual durante 2 años se ha convertido en 5.598,72 €. ¿Cuál era el capital inicial?
Sol: 5.184 €
12.- El precio de la vivienda en España subió un 8% en 2005, un 15% en 2006, un 10 % en 2007 y bajó en 2008 un 15 %. a) ¿Cuál ha sido el porcentaje de la variación total?. ¿Aumenta o disminuye? ¿Por qué? b) Cual es el precio actual de un apartamento que el 1 de enero de 2005 costaba 140.000 €?
Sol: a) Aumenta un 16,13 % b) 162577,80 €.
13.- Un capital de 10.000 euros sufre las siguientes variaciones a lo largo de un año: aumenta un 15%, después disminuye un 20% y finalmente vuelve a aumentar un 12%. a) ¿Cuál es la variación porcentual total a lo largo del año? b) ¿En cuánto se convierte el capital al final del año?
Sol: a) Aumenta un 3,04 %; b) 10304 € 14.- Los ingresos mensuales de un negocio han aumentado un 20% y un 30% en los dos meses anteriores. En el mes actual han disminuido un 25% y han sido 13.850 €. ¿Cuál ha sido la variación porcentual? Calcula los ingresos del negocio hace tres meses.
Sol: a) aumento del 17%; b) 11.837,60 €
15.- Si en el año 2003 el metro cuadrado de vivienda nueva costaba 1.800€, ¿cuánto costará un piso nuevo de 90m2 en el año 2006 si se prevé que cada año el metro cuadrado sube un 5%?
Sol: 187535,25€
16.- Si en una factura nos tienen que aumentar el 16% de IVA y nos hacen un descuento del 20%, ¿qué es más ventajoso, aplicar primero el aumento y después del descuento, o al revés?
Sol: Es igual.
17.- Al calentar una barra de metal de 1 m a 200°C, se ha dilatado hasta 1,04 m. Una barra de 60 cm de otro metal, al calentarla a la misma temperatura, se ha dilatado hasta 61,9 cm. ¿Qué metal se dilata menos?
Sol: Se dilata menos el metal de la barra de 60 cm
18.- El precio de un litro de combustible experimentó diversas variaciones. En enero costaba 0,95 euros y en febrero bajó su precio un 8%. En marzo subió un 3% y en abril subió un 2%. a) ¿Qué porcentaje ha variado su precio en total? b) ¿Cuál es su precio en abril?
Sol: Rebaja del 3,34%; b) 0,92 €
19.- El café pierde el 20% de su peso al tostarlo. Si lo compramos a 10 €/kg, ¿a qué precio hay que venderlo para ganar un 10% después de tostarlo?
Sol: 13,75 €/kg
20.- Al lavar una tela, su longitud se reduce un 8%, y su anchura un 4%. ¿Qué longitud debemos comprar de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, después de lavada, 5 m2 de tela?
Sol: 6,29 metros
21.- Se depositan en un banco 28.000 € al 6% anual y el fisco nos retiene un 15% de los beneficios. a) ¿Cuál será el porcentaje neto de rendimiento de ese capital? b) Si los intereses se acumulan trimestralmente al capital, ¿cuál será el beneficio obtenido al cabo de 2 años?
Sol: a) 5,1 %; b) 2.986,75 €
22.- El número de visitantes a cierta exposición durante el mes de febrero se incrementó en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo sufrió un descenso del 12 % respecto a febrero. Si el número de visitantes de enero superó en 36 personas al de marzo, ¿Cuántas personas vieron la exposición en enero?
Sol: 2.500 personas.
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1.- Asocia cada gráfica con las situaciones descritas más abajo, y di en cada caso que representan los ejes de abscisas y los de ordenadas.
1) Altura de una pelota que bota al pasar el tiempo. 2) Edad de una persona con el paso del tiempo. 3) Temperaturas mínimas diarias en Segovia a lo largo de un año. 4) Precio de las bolsas de patatas fritas. 5) Nivel de agua de un pantano a lo largo de un año. 6) Evolución de la prima de riesgo española.
Sol: 1) B; 2) A; 3) C; 4) F; 5) D; 6)
2.- Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar al máximo y, después, espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado espirómetro. Esta curva indica el volumen de
aire que entra y sale de los pulmones. a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial? b) ¿Cuánto tiempo duró la observación? c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmo-nes de esta persona? d)
¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba? ¿Y cuándo termina?
Sol: a) 1,5 l. b) 18 seg. c) 4 l. d) 1 l. Tiende a 0,5 l.
3.- Una compañía de transporte público recogió en una gráfica la información que tiene sobre la venta de bonos para viajar en sus líneas.
a) ¿Durante cuánto tiempo se hizo este estudio?, b) ¿En qué momento del año 1999 se vendieron menos bonos?, c) ¿Y en cada uno de los años 2000 y 2001?, d) ¿En qué momento del año 2001 se produce la máxima venta? , e) ¿A qué lo atribuyes?, f) ¿En qué periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos?, g) ¿En qué estación del año es decreciente la venta?
Sol: a) 34 meses, b) Agosto, c) En agosto; d) Octubre, e) A la vuelta al trabajo, f) De agosto a octubre, g) Primavera
4.- La siguiente gráfica muestra la estatura media de los varones españoles según su edad: a) ¿Cuál es la variable dependiente? , b) ¿y la independiente, c) ¿Cuál es la estatura media a los 10 años?, d) ¿Cuál es la etapa de vida de crecimiento?, e) ¿A partir de qué edad se
disminuye de altura?, f) ¿A qué edad la altura es máxima?, g) ¿Cuál es la altura mínima?.
Sol: a) altura, b) edad, c) 1,5 m; d)
de 0 a 20 años, e) a partir de 20 años, f) a los 20 años, g)
0,5 metros
5.- Los cestos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la representación gráfica de la función: tiempo-distancia al suelo de un cesto. a) ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?, b) Indica cuál es la altura máxima y cuál es el radio de la noria, c) ¿Es esta una función periódica?, d) ¿Cuál es el período?, e) Calcula la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la gráfica.
Sol: a) 40 seg; b) 16 m; r=8m; c) Si; d) 40 s; e) 8 m 6.- Luis ha tardado 2 horas en llegar desde su casa a una ciudad situada a 200 km de distancia, en la que tenía que asistir a una reunión de trabajo. Ha permanecido 2 horas en la ciudad y ha vuelto a su casa, invirtiendo 4 horas en el viaje de vuelta. a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. b) Si suponemos que la velocidad es constante en el viaje de ida, ¿cuál sería esa velocidad? c) Si también suponemos que la velocidad es constante en el viaje de vuelta, ¿cuál sería esa velocidad?
Sol: b) 10 km/h; c) 50 km/h
7.- La tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niño durante los primeros meses de vida:
Tiempo (meses) 0 3 9 15 21 27 33
Perímetro (cm) 34 40 44 46 47 48 49
a) Haz una gráfica relacionando estas dos variables. Elige una escala adecuada. b) ¿Qué tendencia se observa en el crecimiento del cráneo de un niño? c) ¿Cuánto crees que medirá el perímetro craneal de un niño de 3 años?
Sol: c) 50 cm
8.- Un tiovivo acelera durante 2 minutos hasta alcanzar una velocidad de 10 km/h. Permanece a esta velocidad durante 7 minutos y decelera hasta parar en 1 minuto. Tras permanecer 5 minutos parado, comienza otra vuelta. Dibuja la gráfica tiempo-velocidad.
Sol: 9.- Completa esta tabla, en la que se relacionan la base y la altura de los rectángulos cuya área es de 12 m2:
Base X (m) 1 2 3 4 6 12 x
Altura Y (m) 12 6 4 3 2 1 12/x
Representa gráficamente esta función e indica su expresión algebraica.
Sol: b) y=12/x 10.- El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando y represéntala.
Sol: a) Y = 0,12 + 0,15x
168
11.- Estudia las discontinuidades de estas funciones a)
b)
c)
Sol: a) y c( De salto finito; b) De salto infinito o asintótica
12.- Observa la gráfica y estudia las siguientes propiedades:
a) Dominio y recorrido. b) Calcula f(-4), f(4) y f(8). c) Continuidad. d) Cortes con los ejes. e) Crecimiento y decrecimiento. f) Máximos y mínimos, absolutos y relativos. Sol: a) (-7,10] (-3,6); b) 3; 4; 1; c) Continua en su dominio excepto en 3 y en 8 donde hay discontinuidades de salto; d) (-6,0) (-2,0) (0,-3) (9,0); e) Creciente en (-7,-4)U(0,3)U(5,6)U(8,10), decreciente en (-4,0)U(6,8); f) Máximos en (-4,2) y Absoluto en (6,6); Mínimo absoluto en (0,-3). 13.- Escribe en función de “x” el área de la parte coloreada de cada una de estas figuras.
Sol: a) 36-3x; b) 36-3x; c) 18+3x-x2/2
14.- Observa la gráfica y estudia las siguientes propiedades:
a) Dominio y recorrido. b) Intervalos de continuidad y discontinuidades. c) Cortes con los ejes. d) Crecimiento y decrecimiento. e) Máximos y mínimos absolutos y relativos. f) Simetrías.
15.- Estudia la siguiente función:
16.- Estudia la función:
17.- Dime todo lo que puedas de la siguiente función:
18.- Estudia la siguiente gráfica:
19.- Halla la pendiente de los siguientes segmentos:
Sol: a) 4/3; b)2/3; c) 2; d) 0; e) 1; f) -1; g) -2/3; h)-3; i) -1/3
169
20.- Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas:
a)
c)
b) 4x 1
y2
d) 2x 3y 4
Sol: a) 1/2; b) - 3; c) 2; d) - 2/3
21.- Escribe la ecuación de cada una de las siguientes funciones:
Sol: 3 3 2
) ; ) ; ) 3 ; ) ; ) 3; ) 2; ) 22 2 2 3
xa y b y x c y x d y x e y f y x g y
22.- Representa gráficamente estas rectas:
3 3a) y 2x 1 b) y x 1 c) y 1 d) y x 1
2 5
23.- Despeja y en cada caso y representa gráficamente:
a) x+2y+1=0 b) 2y 2 c) 3x 4y 12
24.- Escribe la ecuación de una recta paralela al eje Y que pase por (-3, 1). La recta obtenida, ¿corresponde a una función?
Sol: x =-3. No, porque para x = -3 hay infinitos valores de “y”.
25.- Sea la recta: 2x 3
y5
; a) Indica su pendiente y
explica, sin dibujarla, si es creciente o decreciente. b) Escribe la ecuación de la recta con la misma pendiente pero que pase por (0,0).
Sol: a) m = 2/5; b) y = 2/5x
26.- Halla la ecuación de cada una de estas rectas: a) Paralela al eje OX y que pasa por el punto P(4,5). b) Pasa por los puntos A(15,10) y B(8,-6).
Sol: a) y=5; b) 16x-7y=170
27.- Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) Tiene pendiente -2 y corta al eje Y en el punto (0,3). b) Pasa por los puntos M(4,5) y N(2,-3).
Sol: a) y = -2x+3; b) y = 4x - 11
28.- Asocia cada gráfica con su ecuación:
a)
b)
c)
d)
1) 23x
y4
2)
3xy
4
3) 2y 2x 2 4) y 2x 2 Sol: a) 2; b) 1; c) 4; d)3
29.- Escribe la ecuación de una recta paralela al eje Y que pase por (-3, 1). La recta obtenida, ¿corresponde a una función?
Sol: x =-3. No corresponde a una función porque para el valor x = -3 hay infinitos valores de “y”.
30.- Asocia cada gráfica con su ecuación:
a)
b)
c)
d)
1) y 3x 5 2)
2y x 2
3) 5
y x 13
4) 2y 4x
Sol: a) 2; b) 4; c) 3; d) 1 31.- Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared: a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?. b) Construye la función que nos da el área del recinto.
Sol: a) Uno x y el otro 200-2x; b) A=200x – 2x2 32.- Dada la recta: y=-7x+6, halla: a) Dominio y recorrido, b) Pendiente y ordenada en el origen, c) Puntos de corte con los ejes, d) Indica si es creciente o decreciente y señala por qué. e) Pertenece a ella el punto A(-30,216) y el punto B(10,76)? f) Si consideramos la recta y = 2x+2, ¿qué posición tiene esta recta respecto a la recta anterior? Si se cortan, hallar el punto de corte. g) Pon dos ejemplos de funciones paralelas a la función del principio. h) Represéntala gráficamente.
Sol: a) Dom(f)= IR, Rec(f)=IR; b) m=-7; n=6; c) (0,6) y (6/7,0) d) Decre; e) A SI, B no; f) Secantes en (4/9,26/9) g) y=-7x; y=-7x-7
170
33.- Pablo sale a dar un paseo caminando a 2 km/h. Un cuarto de hora más tarde sale a buscarlo su hermano que camina a 3 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance? Representa las gráficas y escribe la solución.
Pablo: Y = 2x; Hermano Y = 3x –3/4. Alcanza en: x = 3/4 h ; y = 1,5 km.
34.- Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25 € por la visita, más 20 € por cada hora de trabajo. a) Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en total, y, en función del tiempo que esté trabajando, x. b) Represéntala gráfica-mente. c) ¿Cuánto pagaríamos si hubiera estado 3 horas?
Sol: a) Y = 25 + 20x; c) Si x= 3 horas, y= 85 €
35.- Rocío sale en bici desde la plaza hacia un pueblo cercano a una velocidad constante de 3 m/s. Sabiendo que la plaza está a 6 m de su casa: a) Halla la ecuación de la recta que nos da la distancia, y, en metros, a la que está Rocío de su casa al cabo de un tiempo x (en segundos). b) Represéntala gráficamente. c) ¿Cuál sería la distancia al cabo de 10 segundos?
Sol: a) y= 6+3x; b) Si, x = 10 seg; c) y = 36 m.
36.- Dadas las siguientes funciones, hallar: a) Dominio, b) Recorrido, c) Puntos de corte con los ejes, d) Continuidad, e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, f) Máximos y mínimos, absolutos o relativos.
1) a) IR; b) IR; c) (-2, 0), (0,0), (4,0); d) Continua; e) Creciente: (- , -1) U (2`5,+ ) y Decreciente: (-1, 2’5); f) No Máximo absoluto, Máximo relativo en: (-1, 1); No Mínimo absoluto y Mínimo relativo en: (2’5, -3,5)
2) a) IR; b) (-3,+ ); c) (-4, 0), (-1’2, 0), (1’2, 0), (0, 1’2); d) Continua; e) Creciente: (-3, 0) U (2,+ ), Decreciente: (+ ,-3)U (0,2); No Más Abs, Máximo relativo en: (0, 1’2), No Mín. absoluto y Mínimo relativo en: (-3, -3)
37.- Representa la función de la que sabemos: Que su dominio es [-10,9], que f(-10)= 5 y que f(9)=1, que es continua en [-10,9], que es creciente en [-6,-1]U[4,9] y que es decreciente en [-10,-6]U[-1,4], que presenta un máximo en (-1,2), y mínimos en (-6,-3) y (4,-2), que corta al eje X en los puntos (-7,0), (-3,0), (1,0) y (7,0) y al eje Y en el punto (0,1). 38.- Los puntos A(3,2), B(8,2) y C(6,6) determinan un triángulo. Calcular las ecuaciones de las rectas que determinan sus lados.
Sol: AB: x=2; AC: 3/4x+3/2; BC:-1/2x+9
39.- Estudiar la siguiente función: (dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, periodicidad y tendencia, continuidad, máximos y mínimos relativos y absolutos, cortes con los ejes……).
171
1.- Asocia cada gráfica con las situaciones descritas más abajo, y di en cada caso que representan los ejes de abscisas y los de ordenadas.
1) Altura de una pelota que bota al pasar el tiempo. 2) Edad de una persona con el paso del tiempo. 3) Temperaturas mínimas diarias en Segovia a lo largo de un año. 4) Precio de las bolsas de patatas fritas. 5) Nivel de agua de un pantano a lo largo de un año. 6) Evolución de la prima de riesgo española.
Sol: 1) B; 2) A; 3) C; 4) F; 5) D; 6)
2.- Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar al máximo y, después, espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado espirómetro. Esta curva indica el volumen de
aire que entra y sale de los pulmones. a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial? b) ¿Cuánto tiempo duró la observación? c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmo-nes de esta persona? d)
¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba? ¿Y cuándo termina?
Sol: a) 1,5 l. b) 18 seg. c) 4 l. d) 1 l. Tiende a 0,5 l.
3.- Una compañía de transporte público recogió en una gráfica la información que tiene sobre la venta de bonos para viajar en sus líneas.
a) ¿Durante cuánto tiempo se hizo este estudio?, b) ¿En qué momento del año 1999 se vendieron menos bonos?, c) ¿Y en cada uno de los años 2000 y 2001?, d) ¿En qué momento del año 2001 se produce la máxima venta? , e) ¿A qué lo atribuyes?, f) ¿En qué periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos?, g) ¿En qué estación del año es decreciente la venta?
Sol: a) 34 meses, b) Agosto, c) En agosto; d) Octubre, e) A la vuelta al trabajo, f) De agosto a octubre, g) Primavera
4.- La siguiente gráfica muestra la estatura media de los varones españoles según su edad: a) ¿Cuál es la variable dependiente? , b) ¿y la independiente, c) ¿Cuál es la estatura media a los 10 años?, d) ¿Cuál es la etapa de vida de crecimiento?, e) ¿A partir de qué edad se
disminuye de altura?, f) ¿A qué edad la altura es máxima?, g) ¿Cuál es la altura mínima?.
Sol: a) altura, b) edad, c) 1,5 m; d)
de 0 a 20 años, e) a partir de 20 años, f) a los 20 años, g)
0,5 metros
5.- Los cestos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la representación gráfica de la función: tiempo-distancia al suelo de un cesto. a) ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?, b) Indica cuál es la altura máxima y cuál es el radio de la noria, c) ¿Es esta una función periódica?, d) ¿Cuál es el período?, e) Calcula la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la gráfica.
Sol: a) 40 seg; b) 16 m; r=8m; c) Si; d) 40 s; e) 8 m 6.- Luis ha tardado 2 horas en llegar desde su casa a una ciudad situada a 200 km de distancia, en la que tenía que asistir a una reunión de trabajo. Ha permanecido 2 horas en la ciudad y ha vuelto a su casa, invirtiendo 4 horas en el viaje de vuelta. a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. b) Si suponemos que la velocidad es constante en el viaje de ida, ¿cuál sería esa velocidad? c) Si también suponemos que la velocidad es constante en el viaje de vuelta, ¿cuál sería esa velocidad?
Sol: b) 10 km/h; c) 50 km/h
7.- La tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niño durante los primeros meses de vida:
Tiempo (meses) 0 3 9 15 21 27 33
Perímetro (cm) 34 40 44 46 47 48 49
a) Haz una gráfica relacionando estas dos variables. Elige una escala adecuada. b) ¿Qué tendencia se observa en el crecimiento del cráneo de un niño? c) ¿Cuánto crees que medirá el perímetro craneal de un niño de 3 años?
Sol: c) 50 cm
8.- Un tiovivo acelera durante 2 minutos hasta alcanzar una velocidad de 10 km/h. Permanece a esta velocidad durante 7 minutos y decelera hasta parar en 1 minuto. Tras permanecer 5 minutos parado, comienza otra vuelta. Dibuja la gráfica tiempo-velocidad.
Sol: 9.- Completa esta tabla, en la que se relacionan la base y la altura de los rectángulos cuya área es de 12 m2:
Base X (m) 1 2 3 4 6 12 x
Altura Y (m) 12 6 4 3 2 1 12/x
Representa gráficamente esta función e indica su expresión algebraica.
Sol: b) y=12/x 10.- El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando y represéntala.
Sol: a) Y = 0,12 + 0,15x
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11.- Estudia las discontinuidades de estas funciones a)
b)
c)
Sol: a) y c( De salto finito; b) De salto infinito o asintótica
12.- Observa la gráfica y estudia las siguientes propiedades:
a) Dominio y recorrido. b) Calcula f(-4), f(4) y f(8). c) Continuidad. d) Cortes con los ejes. e) Crecimiento y decrecimiento. f) Máximos y mínimos, absolutos y relativos. Sol: a) (-7,10] (-3,6); b) 3; 4; 1; c) Continua en su dominio excepto en 3 y en 8 donde hay discontinuidades de salto; d) (-6,0) (-2,0) (0,-3) (9,0); e) Creciente en (-7,-4)U(0,3)U(5,6)U(8,10), decreciente en (-4,0)U(6,8); f) Máximos en (-4,2) y Absoluto en (6,6); Mínimo absoluto en (0,-3). 13.- Escribe en función de “x” el área de la parte coloreada de cada una de estas figuras.
Sol: a) 36-3x; b) 36-3x; c) 18+3x-x2/2
14.- Observa la gráfica y estudia las siguientes propiedades:
a) Dominio y recorrido. b) Intervalos de continuidad y discontinuidades. c) Cortes con los ejes. d) Crecimiento y decrecimiento. e) Máximos y mínimos absolutos y relativos. f) Simetrías.
15.- Estudia la siguiente función:
16.- Estudia la función:
17.- Dime todo lo que puedas de la siguiente función:
18.- Estudia la siguiente gráfica:
19.- Halla la pendiente de los siguientes segmentos:
Sol: a) 4/3; b)2/3; c) 2; d) 0; e) 1; f) -1; g) -2/3; h)-3; i) -1/3
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20.- Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas:
a)
c)
b) 4x 1
y2
d) 2x 3y 4
Sol: a) 1/2; b) - 3; c) 2; d) - 2/3
21.- Escribe la ecuación de cada una de las siguientes funciones:
Sol: 3 3 2
) ; ) ; ) 3 ; ) ; ) 3; ) 2; ) 22 2 2 3
xa y b y x c y x d y x e y f y x g y
22.- Representa gráficamente estas rectas:
3 3a) y 2x 1 b) y x 1 c) y 1 d) y x 1
2 5
23.- Despeja y en cada caso y representa gráficamente:
a) x+2y+1=0 b) 2y 2 c) 3x 4y 12
24.- Escribe la ecuación de una recta paralela al eje Y que pase por (-3, 1). La recta obtenida, ¿corresponde a una función?
Sol: x =-3. No, porque para x = -3 hay infinitos valores de “y”.
25.- Sea la recta: 2x 3
y5
; a) Indica su pendiente y
explica, sin dibujarla, si es creciente o decreciente. b) Escribe la ecuación de la recta con la misma pendiente pero que pase por (0,0).
Sol: a) m = 2/5; b) y = 2/5x
26.- Halla la ecuación de cada una de estas rectas: a) Paralela al eje OX y que pasa por el punto P(4,5). b) Pasa por los puntos A(15,10) y B(8,-6).
Sol: a) y=5; b) 16x-7y=170
27.- Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) Tiene pendiente -2 y corta al eje Y en el punto (0,3). b) Pasa por los puntos M(4,5) y N(2,-3).
Sol: a) y = -2x+3; b) y = 4x - 11
28.- Asocia cada gráfica con su ecuación:
a)
b)
c)
d)
1) 23x
y4
2)
3xy
4
3) 2y 2x 2 4) y 2x 2 Sol: a) 2; b) 1; c) 4; d)3
29.- Escribe la ecuación de una recta paralela al eje Y que pase por (-3, 1). La recta obtenida, ¿corresponde a una función?
Sol: x =-3. No corresponde a una función porque para el valor x = -3 hay infinitos valores de “y”.
30.- Asocia cada gráfica con su ecuación:
a)
b)
c)
d)
1) y 3x 5 2)
2y x 2
3) 5
y x 13
4) 2y 4x
Sol: a) 2; b) 4; c) 3; d) 1 31.- Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared: a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?. b) Construye la función que nos da el área del recinto.
Sol: a) Uno x y el otro 200-2x; b) A=200x – 2x2 32.- Dada la recta: y=-7x+6, halla: a) Dominio y recorrido, b) Pendiente y ordenada en el origen, c) Puntos de corte con los ejes, d) Indica si es creciente o decreciente y señala por qué. e) Pertenece a ella el punto A(-30,216) y el punto B(10,76)? f) Si consideramos la recta y = 2x+2, ¿qué posición tiene esta recta respecto a la recta anterior? Si se cortan, hallar el punto de corte. g) Pon dos ejemplos de funciones paralelas a la función del principio. h) Represéntala gráficamente.
Sol: a) Dom(f)= IR, Rec(f)=IR; b) m=-7; n=6; c) (0,6) y (6/7,0) d) Decre; e) A SI, B no; f) Secantes en (4/9,26/9) g) y=-7x; y=-7x-7
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33.- Pablo sale a dar un paseo caminando a 2 km/h. Un cuarto de hora más tarde sale a buscarlo su hermano que camina a 3 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance? Representa las gráficas y escribe la solución.
Pablo: Y = 2x; Hermano Y = 3x –3/4. Alcanza en: x = 3/4 h ; y = 1,5 km.
34.- Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25 € por la visita, más 20 € por cada hora de trabajo. a) Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en total, y, en función del tiempo que esté trabajando, x. b) Represéntala gráfica-mente. c) ¿Cuánto pagaríamos si hubiera estado 3 horas?
Sol: a) Y = 25 + 20x; c) Si x= 3 horas, y= 85 €
35.- Rocío sale en bici desde la plaza hacia un pueblo cercano a una velocidad constante de 3 m/s. Sabiendo que la plaza está a 6 m de su casa: a) Halla la ecuación de la recta que nos da la distancia, y, en metros, a la que está Rocío de su casa al cabo de un tiempo x (en segundos). b) Represéntala gráficamente. c) ¿Cuál sería la distancia al cabo de 10 segundos?
Sol: a) y= 6+3x; b) Si, x = 10 seg; c) y = 36 m.
36.- Dadas las siguientes funciones, hallar: a) Dominio, b) Recorrido, c) Puntos de corte con los ejes, d) Continuidad, e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, f) Máximos y mínimos, absolutos o relativos.
1) a) IR; b) IR; c) (-2, 0), (0,0), (4,0); d) Continua; e) Creciente: (- , -1) U (2`5,+ ) y Decreciente: (-1, 2’5); f) No Máximo absoluto, Máximo relativo en: (-1, 1); No Mínimo absoluto y Mínimo relativo en: (2’5, -3,5)
2) a) IR; b) (-3,+ ); c) (-4, 0), (-1’2, 0), (1’2, 0), (0, 1’2); d) Continua; e) Creciente: (-3, 0) U (2,+ ), Decreciente: (+ ,-3)U (0,2); No Más Abs, Máximo relativo en: (0, 1’2), No Mín. absoluto y Mínimo relativo en: (-3, -3)
37.- Representa la función de la que sabemos: Que su dominio es [-10,9], que f(-10)= 5 y que f(9)=1, que es continua en [-10,9], que es creciente en [-6,-1]U[4,9] y que es decreciente en [-10,-6]U[-1,4], que presenta un máximo en (-1,2), y mínimos en (-6,-3) y (4,-2), que corta al eje X en los puntos (-7,0), (-3,0), (1,0) y (7,0) y al eje Y en el punto (0,1). 38.- Los puntos A(3,2), B(8,2) y C(6,6) determinan un triángulo. Calcular las ecuaciones de las rectas que determinan sus lados.
Sol: AB: x=2; AC: 3/4x+3/2; BC:-1/2x+9
39.- Estudiar la siguiente función: (dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, periodicidad y tendencia, continuidad, máximos y mínimos relativos y absolutos, cortes con los ejes……).
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Funciones Cuadráticas 2º ciclo ESO Departamento de Matemáticas
http://selectividad.intergranada.com © Raúl González Medina
© http://selectividad.intergranada.com Julio de 2016
Funciones cuadráticas
1.- Identifica cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas:
a) 5y c) 21y x e) 0,04 23y x
b) 22y x d) 0,3y x f) 2 0,5y x Sol: b y c.
2.- Representa las siguientes funciones en un mismo gráfico:
2 2 2) ) 3 ) 5a y x b y x c y x
3.- Representa ayudándote de las transformaciones de
funciones las siguientes parábolas, a partir de 2y x :
a) 2 3y x e) 2
1 3y x
b) 2 2y x f) 2
4 2y x
c) 2
1y x g) 2
1 3y x
d) 2
4y x h) 2
4 1y x
4.- Representa las siguientes parábolas:
a) 22 4 6y x x e) 2 4 3y x x
b) 2 6 27y x x f) 2 6 10y x x
c) 22 6y x g) 2 5 6y x x
d) 2 5y x x h) 22 10y x x
5.- Dada la parábola:
a) ¿Cuál es su vértice? b) Halla la ecuación de su eje de simetría. c) ¿Cuál es la ordenada del punto de abscisa x=4? d) Escribe su ecuación.
Sol: a) (2,-1); b) x=2; c) 4; d) y=x2-4x+3
6.- Una función cuadrática tiene su vértice en el punto (4,4). Completa la tabla utilizando la simetría de la función:
x 2 6 5 -3
y 0 0 -3 -3
7.- La parábola de ecuación 2
5y x a , tiene el
vértice en el punto V (-3, b). Halla el valor de a y b. Sol: a=3; b=-5
8.- Dadas las siguientes parábolas:
2( ) 2f x x 21( ) 2 1
2h x x x
2( ) 2 3g x x 2
( ) 5 2i x x
Indica: a) Cuál es la parábola cuyas ramas se abren hacia abajo. b) Cuáles tienen igual abertura. c) Cuál es la más cerrada. d) Cuál tiene el vértice en el punto (2, 0).
Sol: a) h(x); b) f(x) y g(x); c) h(x); d) h(x).
9.- La ecuación del espacio recorrido por un móvil es
25 3 2S t t , donde s se expresa en metros y t en segundos. a) ¿Qué longitud ha recorrido el móvil al cabo de 5 segundos de iniciar el movimiento? b) ¿Cuál es la longitud recorrida durante el quinto segundo? c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando ha recorrido 157 metros desde el inicio?
Sol: a) 70 m; b) 49 m; c) 8 segundos.
10.- Indica las condiciones que debe tener una parábola para que: a) No corte al eje de abscisas. b) Corte una sola vez al eje de abscisas. c) No corte al eje OY.
Sol: a) Que la ecuación ax2+bx+c=0 no tenga solución. b) Que la ecuación ax2+bx+c=0 tenga una única solución. c) No es posible que
una parábola no corte al eje OY. La condición debería ser que no pasase por x 0, es decir, que no fuera continua.
11.- Dada la parábola de ecuación 22 4 5y x x ,
comprueba si también se puede expresar de la forma
2
2 1 3y x .¿Qué ventajas observas en esta forma
de expresar la ecuación?
12.- Expresa el área de un triángulo equilátero en función de su lado. ¿De qué tipo de función se trata?
23:
4Sol A L , se trata de una parábola.
13.- Averigua cuál es el punto simétrico del punto (-2,-5) con respecto al eje de simetría de la parábola
22 16 29y x x . Sol: el punto (-6,-5)
14.- Una parábola pasa por los puntos (-1, 3) y (-5, 3). Escribe la ecuación de su eje.
Sol: x=-3
15.- Averigua la ecuación de la función cuadrática que cumple las siguientes condiciones:
El eje es x = -2. El recorrido es el intervalo [-4,∞).
La gráfica pasa por el punto (0, 8). Sol: y=3x2+12x+8
16.- La temperatura, en grados centígrados, durante el 21 de mayo en París se puede expresar mediante la
función:
29 200 1000
( )100
x xf x Donde x es la hora
comprendida en el intervalo [0, 24]. a) Calcula la temperatura que había al comenzar y al terminar el día. b) Calcula la hora en la que hubo mayor temperatura y el valor de esta. c) Indica la hora en que hubo menor temperatura y el valor de esta. d) ¿Cómo varió la temperatura entre las 12.00 y las 18.00?
Sol: a) 10 °C y 6 °C; b) 21 °C; c) 6 °C; d) 28,2 °C
17.- Determina la ecuación de la parábola que resulta de
trasladar el vértice de la parábola 2y x al punto (2, 1). Sol: y=x2-4x+5.
18.- Una función cuadrática tiene una expresión de la
forma 2y x ax a y pasa por el punto (1, 9). Calcular
el valor de a. Sol: a=4.
19.- Se sabe que la función cuadrática de ecuación 2y ax bx c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1).
Calcula a, b y c. Sol: a=1; b=c=0.
20.- Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, x, que se invierte, también en miles
de euros, por la expresión: 2( ) 0,001 0,4 3,5R x x x
con x ≥ 10. a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros. b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad. c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?
Sol: a) 33.500 €; b) y c) La máxima rentabilidad es de 43.500 €, y se obtiene con una inversión de 200.000 €.
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Funciones Cuadráticas 2º ciclo ESO Departamento de Matemáticas
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Funciones cuadráticas
21.- Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.
Sol: y=x2-2x+2
22.- Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(x), expresado en litros, viene dado por la función
2( ) 7,5 0,05 0,00025c x x x siendo x la velocidad en
km/h y 25 ≤ x ≤ 175. a) Determine el consumo a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h. b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x). c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son estos?
Sol: a) 5,625 litros; b) c(x) dec en [25,100] y c(x) crece en [100,175]; c) El máx es 6’40625 litros y se alcanza a 25 km/h y a 175 km/h
y el mín es 5 litros y se alcanza a la velocidad de 100 km/h.
23.- En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión 2( ) 0,5 4 6B x x x , siendo “x” la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo [0,10]. a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas? b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible? c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio? Sol: a) tiene pérdidas entre 2.000 y 6.000 €; b) El beneficio máximo que se obtiene es de 16.000 euros y se alcanza para x = 10 mil euros; c) Se
obtienen 6.000 euros no invirtiendo nada ó invirtiendo 8.000 €.
24.- Las funciones 2( ) 2 51I t t t y 2( ) 3 96G t t t con 0 ≤ t ≤ 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueran máximos? Calcule el valor de ese beneficio.
Sol: a) En los años 2 y 16; b) B(t) = -3t2 + 54t – 96; c) los beneficios fueron máximos al cabo de 9 años y fueron de 147. 000 euros
25.- Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en
horas, t, que lleva abierto el consultorio es 2( ) 4N t t t
a) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo?; b) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes. ¿a qué hora cerrará?; c) ¿Cuál es la pendiente de la recta que une el origen de coordenadas y el máximo?
Sol: a) a las 19:00 h y es de 4 pacientes; b) 21:00 h; c) y=7/4x.
26.- Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Vo en metros por segundo. Su altura h(t),
en metros viene dada por la expresión 2( ) 16 ·oh t t v t .
Calcula su velocidad inicial Vo de manera que la altura máxima que el objeto puede alcanzar es de 300 metros sobre el suelo.
: 80 3 msoSol V
27.- Una función cuadrática viene dada por la tabla:
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y 17 10 5 2 1 2 5 10 17
a) Completa la tabla teniendo en cuenta la simetría. b) ¿Puedes determinar la fórmula que define esta función? c) ¿Tiene valores negativos esta función?
Sol: b) y=x2+1; c) No.
28.- Encuentra los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas: a) f(x) = x2 ; b) h(x) = (x + 3)2 c) g(x) = x2 – 4; d) t(x) = (x – 1)2 – 9.
Sol: a) O; b) (0,9) y (-3,0); c) (0,-4), (-2,0) y (2,0); d) (0,-8), (-2,0) y (4,0)
29.- Se conoce que el rendimiento de un jugador de fútbol durante los primeros 45 minutos de un partido viene dado
por la función 2( ) 7,2 0,16R t t t , donde t es el tiempo y
[0,45]t , expresado en minutos. a) ¿Cuál es el máximo rendimiento del jugador? ¿En qué momento lo consigue?; b) ¿En qué instantes tiene un rendimiento igual a 32?; c) Escribe la ecuación de la recta que une los puntos del apartado a) y del b).
Sol: a) El máx a los 22 minutos y 30 segundos y es de 81; b) a los 5 y a
los 40 segundos. c) Existen dos rectas: 1 2
14 1418 144
5 5y x y x
30.- Sara es la propietaria de un negocio que vende y repara teléfonos móviles. El ingreso, I(n), en dólares de la venta de los móviles se determina mediante la expresión
( ) 50 0,2I n n n donde n es el número de teléfonos
vendidos, y con n ≤50. a) Determine los ingresos cuando se venden 20 teléfonos; b) para obtener 480 $ de ingresos, ¿Cuántos teléfonos ha de vender Sara?
Sol: a) 1320 $; b) 10 teléfonos.
31.- Un jugador de fútbol se encuentra a 8 metros de la portería. El portero está a 4 metros y puede cubrir saltando hasta 2’5 metros de altura. El jugador puede escoger para hacer el lanzamiento entre dos trayectorias, las correspondientes a las funciones 20,4 0,05y x x y
21,6 0,2y x x . ¿Cuál es mejor?, ¿Por qué? Sol: la mejor es la segunda porque así mete gol.
32.- Un granjero tiene 72 metros de valla para hacer un corral de gallinas de forma rectangular. a) Expresa el área del corral en función de la variación de uno de los lados y representa gráficamente la función. b) ¿Qué dimensiones debe tener el corral para que su superficie sea la máxima posible?, c) ¿Qué superficie tiene el corral si uno de los lados mide 10 metros? d) El granjero ha construido un corral que tiene 315 m2, ¿qué dimensiones tiene?
Sol: a) A=36x-x2; b) Cuadrado de lado 18; c) 260 m2; d) 15 x 21 m.
33.- Expresa la función cuadrática en cada caso: a) El coeficiente de x2 vale -1 y la gráfica pasa por los puntos (1, 0) y (2, 1). b) Su expresión es de la forma 2y x ax a y pasa por el punto (1, 9). c) Pasa por los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 5). d) Pasa por el punto (0, 1) y tiene el vértice en (-1, -1). e) Corta al eje Y en el punto (0, 3) y al eje X en los puntos (1, 0) y (3, 0).
Sol: a) x2+4x-3; b) x2+4x+4; c) x2+1; d) 2x2+4x+1; e) x2-4x+3.
34.- En el manual de instrucciones de un cañón de artillería podemos leer que la altura alcanzada en metros por el proyectil, y, está en función del espacio recorrido horizontalmente, x, según la ecuación 20,005 3y x x .
a) Representa gráficamente dicha función. b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? c) ¿Cuál es el espacio recorrido por el proyectil hasta dar a un objetivo situado en tierra?
Sol: b) 450 m; c) 600 m
35.- Al proyectar una diapositiva sobre una pantalla, el área de la imagen depende de la distancia del proyector a la pantalla, de tal manera que cuando la pantalla está a 1 metro del proyector la imagen mide 20 cm x 20 cm. ¿Cómo varía el área de la imagen cuando se aleja el proyector de la pantalla? Representa la función “distancia a la pantalla – área de la imagen”.
Sol: lado diapositiva l(x)=0,35+19,65x; Área A(x)= (0,35+19,65x)2
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Teorema de Pitágoras
1
1.- Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
A B C A B C
a) 15 10 11 e) 11 10 7
b) 35 12 37 f) 21 42 21
c) 23 30 21 g) 18 80 82
d) 15 20 25 h) 21 33 20
Sol: b, d y g rectángulos, a y f obtusángulos, c, e y h acutángulos.
2.- Calcula la hipotenusa de los siguientes triángulos.
Solución: a) 5 cm. b) 15 cm. c) 17 cm.
3.- Calcula el cateto que falta en cada triángulo.
Solución: a) 6 cm. b) 12 cm. c) 24 dm.
4.- Calcula en cada triángulo el lado que falta.
Solución: a) 20 m. b) 21 cm. c) 36 dm.
5.- Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X de las siguientes dimensiones.
Solución: a) 65 cm. b) 46 cm. c) 68 cm. 6.- Se cae un poste de 14,5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. ¿Cuál es la altura a la que le golpea?
Solución: 10,5 m.
7.- Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm.
Solución: 16,4 cm.
8.- Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam.
Solución: Aproximadamente 9,9 dam.
9.- Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado.
Solución: 12,12 cm.
10.- Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y la base 6 cm.
Solución: 3,2 cm.
11.- Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm.
Solución: 20 m.m.
12.- Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared. A) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared? B) ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 52 dm?
Solución: a) 60 dm. b) 39 dm.
13.- Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado.
Solución: Perímetro = 36 mm, Área=93,53 mm2
14.- Completa los datos de los siguientes triángulos rectángulos, donde a es la hipotenusa y b y c los catetos:
A B C A B C
a) 3 4 e) 6 3
b) 4 7 f) 10 6
c) 5 2 g) 16 4
d) 15 12 h) 17 15
15.- Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:
Solución: a) 44 cm2 b) 15 m2.
16.- ¿Cuál es el área de los siguientes cuadrados?
Solución: a) 273 cm2 b) 585 dm2.
17.- Tomando como uni-dad de longitud el lado de un cuadradito, calcula en cuadraditos el perimetro de la siguiente figura:
Solución: 16,88 u.l.
18.- En las fiestas de mi pueblo, colgamos una estrella de 1 m de diámetro en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué altura del suelo queda la estrella?
Solución: A 3 metros del suelo.
19.- Los lados paralelos del trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y el lado oblicuo mide 10 dm. Calcula su altura. Solución: La altura es de 8 dm.
20.- Sabiendo que las bases del trapecio isósceles miden 2,4 cm y 5,6 cm, y que la altura es de 3 cm, calcula la longitud del lado oblicuo. Solución: Lado oblicuo 3,4 cm.
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Teorema de Pitágoras
2
21.- En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal. a)
b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k)
l)
m)
Soluciones: Perímetro Área Perímetro Área
a) 43m 39,9 m2 b) 89 dm 462 dm2
c) 58,4 cm 211,2 cm2 d) 12 km 10,4 km2
e) 42,4 cm 100,8 cm2 f) 86 cm 318 cm2
g) 59,7 cm 28,5 cm2 h) 68,3 m 50 m2
i) 9,7 mm 4 mm2 j) 56 m 132 m2
k) 24 m 21,3 m2 l) 42,8 cm 111,28 cm2
m) 37,2 dm 66 dm2
22.- La vela de un barco es de lona y tiene forma de triángulo rectángulo; sus catetos miden 10 m y 18 m. El metro cuadrado de lona vale 18,5 €. ¿Cuánto cuesta la lona para hacer la vela?
Sol: 1.665 €
23.- Calcula el área de la zona coloreada.
Sol: A=20 cm2
24.- Un futbolista entrena corriendo la diagonal del terreno de juego de un campo de fútbol, ida y
vuelta, 30 veces. ¿Qué distancia total recorre si el terreno de juego tiene unas medidas de 105 x 67 m?
Sol: 3.736,65 m
25.- Javier está volando una cometa sujeta por una cuerda de 26 m, y ésta se encuentra sobre un río que está a 10 m de Javier. ¿A qué altura está del suelo?
Sol: 24 metros
26.- Dos camiones parten en direcciones perpendi-culares. Si ambos van a la misma velocidad y se encuentran a una distancia (en línea recta) de 100 km tras dos horas de camino. ¿A qué distancia se encontrarán de su posición de origen?
Sol: P=70,71 km 27.- Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras:
Sol: Izq) 68 cm2; Der) 765 m2
28.- Calcula la longitud de los lados del triángulo que se forma uniendo los tres vértices de un cubo de arista 5 m.
Sol: 7,07 m.
29.- La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura, si su perímetro es 100 cm, calcula el área del cuadrilátero coloreado.
Sol: A=281,25 cm2
30.- En un trapecio isósceles los lados iguales miden 5 cm. Sabiendo que sus bases miden 10 cm y 6 cm, calcula su altura y su área.
Sol: h=4,58 cm; Área=36,64 cm2
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01.- Completa la siguiente tabla.
Hipotenusa a Cateto b Cateto c
20 12 16
13 5 12
2 1 3
26 24 10
02.- La diagonal de un cuadrado es 5,66 dm. ¿Cuál es la longitud del lado?
Sol: 4 dm
03.- Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado.
Sol: Perímetro = 36 mm, Area=93,53 mm2
04.- Aplicando los criterios de semejanza, justifica si los triángulos ABC y MNP son semejantes según los siguientes casos: a) A= 60° B= 45°; M= 75° N= 60°. b) AB=10 cm AC=12 cm A=35°; MN= 20 cm MP= 16 cm M=35°. c) AB=10 cm AC=12 cm BC=15 cm MN=15 cm MP=18 cm NP=22,5 cm d) AB=10 cm AC=12 cm BC=15 cm MN=20 cm MP=24 cm NP=18 cm
Sol: a) SI; b) NO; c) SI; d) NO.
05.- La razón de semejanza de dos cuadrados es 1,5. El cuadrado de menor tamaño tiene un perímetro de 20 cm. Calcula: a) El perímetro del cuadrado mayor. b) El área de cada uno de ellos.
Sol: a) 30 cm; b) 56,25 cm2 y 25 cm2
06.- En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?
Sol: a) 1:67; b) 180,9 cm
07.- Una empresa de construcción ha realizado la maqueta a escala 1:90 de un nuevo edificio de telefonía móvil, con forma de pirámide cuadrangular. En la maqueta, la altura de la pirámide es de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4 dm. Calcula el volumen real del edificio expresando en metros cúbicos el resultado.
Sol: 7418,304 m3
08.- Si una fotografía de 10×15 cm se amplía un 25%, ¿cuáles son las medidas de la fotografía ampliada?
Sol: 18,75 cm
09.- En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? b) ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?
Sol: a) 3,25 km. B) 6 cm
10.- En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?
Sol: 249,9 km
11.- Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
Sol: 3,45 m.
12.- Halla la medida de los lados de un triángulo
rectángulo isósceles si el lado desigual mide 128 cm. Sol: 8 cm.
13.- Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?
Sol 150 m
14.- Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
Sol: 3,45 m.
15.- Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.
Sol: 7,7 m
16.- En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.
Sol 2,06 x 4,12 cm.
17.- Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que está en el portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A qué distancia está Cristina del quiosco?
Sol: 7,6 m
18.- Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.
Sol: 3,56 m.
19.- La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura, si su perímetro es 100 cm, calcula el área del cuadrilátero coloreado.
Sol: A=281,25 cm2
20.- Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro está a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña.
Sol: 91,82 m
21.- Calcula el valor de los segmentos indicados:
Sol: x=18; y= 6 y z=8 cm
22- Una escalera tiene 10 m de largo y se quiere apoyar en una pared vertical de forma que el extremo superior esté a una altura de 8 metros. ¿A qué distancia de la pared se debe poner el extremo inferior de la escalera?
Sol: a 6 metros
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23.- Calcula la apotema de un octógono de lado 4 cm y radio de la circunferencia circunscrita 8 cm.
Sol: Ap=7,75 cm
24- Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.
Sol: 17 m y 16,25 m.
25.- Observa esta figura, en
la que el segmento AB es paralelo a CD. a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC. b) Calcula x e y. Sol: x=5,08 cm; y=7,48 cm 26.- Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo momento que la sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m.
Sol: 28,2 m
27.- Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B y C, rectángulo en B. Se sabe que AC=35, 36 m y la altura sobre AC es 15,6 cm. Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m.
Sol: 25,16 €
28.- Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.
Sol: a) 0,49 m2 b) 0,343 m3
29.- Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.
Sol: 49/25
30.- Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. ¿Cuánto mide la casa?
Sol: 34,33 m
31.- Los lados de un triángulo ABC miden: AC= AB= 36 cm, CB= 42 cm. Desde un punto M de AB se traza una paralela a AC, que corta al lado BC en un punto N. ¿Cuánto deben medir los lados del triángulo MBN para que su área sea 1/9 de la del triángulo ABC?
Sol: MB = MN = 12 cm; NB = 14 cm
32.- Un poste está sujeto al suelo con dos alambres que forman un ángulo recto en su unión. Si la distancia de cada alambre a la base del poste es de 7 y 9 metros. ¿Cuánto alambre se ha utilizado? ¿A qué altura está atado el poste?.
Sol: 22,58 m de alambre. A 7,94 m de altura.
33.- Aplicando el Teorema de Thales, calcula el valor de x e y en esta figura: Sol: x= 20; y =10 cm
34.- Una de las diagonales de un rombo mide 24 cm y el radio del círculo inscrito en dicho rombo es 8 cm.
Calcula el perímetro y el área del rombo.
Sol: P=64,4 cm y A=257,52 cm2
35.- Si se unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero se obtiene un triángulo semejante. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Cuál es la razón entre las áreas de los dos triángulos?
Sol: k=2; k2=4
36.- Los triángulos ABCy MNPson semejantes con razón de semejanza 3. Si: AB= 5 cm, AC= 10 cm y A= M= 40° calcula la medida de los lados MN y MP.
Sol: MN=5/3 cm y MP=10/3 cm
37.- Observa la valla del dibujo. Si en el lado inclinado la medida correspondiente a 20 cm es 25 cm, calcula las medidas de las distancias de los restantes barrotes.
Sol: 27,5 cm y 30 cm
38.- Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras:
a) b)
Soluciones: a) 42,8 cm y 111,28 cm2 ; b) 37,2 dm y 66 dm2
39.- Calcula el perímetro y el área de cada una de las siguientes secciones de un cubo:
Sol: a) P=26,8 cm; A=45 cm2 b) P=26,1 cm; A=44,8 cm2
40.- Un gran árbol, a las once de la mañana de cierto día, arroja una sombra de 6,5 metros. Próximo a él, un cobertizo de 2,8 metros de altura proyecta una sombra de 70 cm. ¿Cuál es la altura del árbol?
Sol: 26 metros
41.- Calcula la altura que alcanzarían 8 señales de tráfico apiladas como en la figura, si cada una de ellas es un octógono regular de 31 cm de lado y 40,5 cm de radio.
Sol: 5,98 m
42 Si DF=5 cm, ¿cuál es el área y el perímetro del pentágono FECGA?
Sol: A=238,75 cm2; P=74,55 cm
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Áreas y Perímetros
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Áreas y Perímetros 1ª Ciclo Eso Departamento de Matemáticas
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01.- a) ¿Cuántos dam2 son 97 hm2 ? b) ¿Cuántos dm2
son 172 dam2? c) ¿Cuántos cm2 son 0.5 km2? d) ¿Cuántos dm2 son 2 km2? e) ¿Cuántos mm2 son 256 m2? f) ¿Cuántos m2 son 250.000 mm2? g) ¿Cuántos dam2 son 6 m2 ? h) ¿Cuántos hm2 son 1423 mm2? i) ¿Cuántos km2 son 8000 dm2 ? j) ¿Cuántos m2 son 1.500.000 cm2 ?
Sol: a) 9.700 dam2 b) 1.720.000 dm2 c) 5.000.000.000 cm2 d) 200.000.000 dm2 e) 256.000.000 mm2 f) 0,25 m2 g) 0,06 dam2
h) 0,0000001423 hm2 i) 0,0008 km2 j) 150 m2
02.- Halla la diagonal y el perímetro de un rectángulo de 12 cm de base y 5 cm de altura.
Sol: d=13 cm; P=34cm
03.- Calcula el perímetro de un cuadrado cuya diagonal es de 6 m.
Sol: P=16,96 cm
04.- Halla el perímetro de un rombo de diagonales de 24 dm y 10 dm, respectivamente.
Sol: P=52 dm
05.- Halla la longitud de una circunferencia de 10 cm de diámetro.
Sol: L=3,14 cm
06.- Halla la longitud de un arco de una circunferencia de 6 cm de radio y 30º de amplitud.
Sol: L=3,24 cm
07.- Un triángulo equilátero tiene 16 cm de lado. a) Halla su altura. b) Calcula su perímetro. c) Halla su área.
Sol: a) h=13,86 cm; b) P=48 cm; c) A=110,88 cm2
08.- Un triángulo isósceles tiene un lado desigual de 10 cm, y cada uno de los lados iguales miden 13 cm. a) Calcula su altura. b) Halla su perímetro. c) Halla su área.
Sol: a) h=12 cm; b) P=36 cm; c) A=60 cm2
09.- Halla el área de los trapecios: a) b)
Sol: a) A=15 m2; b) A=15m2
10.- Un rombo tiene un lado de 5 dm, y la diagonal menor mide 6 dm. a) ¿Cuánto mide su otra diagonal? b) ¿Cuál es su área?.
Sol: a) D=8 dm; b) A=24 dm2
11.- Halla el área de un hexágono regular de 12 cm de lado.
Sol: 374,04 cm2
12.- Halla el área de un octágono regular de 10 cm de lado y 12,07 cm de apotema.
Sol: 482,8 cm2
13.- Halla el área y el perímetro de las figuras:
Sol: a) 17,85 cm; 19,625 cm2; b) 26,23 dm, 32 dm2
14.- Halla el área de un trapecio sabiendo que la base menor mide 10 cm , la base mayor es doble que la menor y la altura mide 8 cm.
Sol: 120 cm2
15.- Calcula el área de las siguientes figuras:
Sol: a) 3,44 cm2; b) 87,92 cm2
16.- Averigua cuánto cuesta la reparación de esta casa sabiendo que hay que: a) Encalar las cuatro paredes, por dentro y por fuera, a 2 € el m2, b) Reparar el tejado a 4,5 € el m2, c) Poner el suelo a 22 €/m2.
Sol: a) 256€; b) 216€; c) 792€; Total: 1.264 €
17.- De un trapecio isósceles conocemos sus bases, 26 cm y 36 cm y sus lados oblicuos, 13 cm. Halla la altura y el área.
Sol: h=12 cm y A=372 cm2
18.- A Luis le han dejado en herencia un terreno con la extraña forma que se ve en el dibujo. ¿Cuánto obtendrá con su venta a 180 euros/m2?
Sol: 2.691.720 €
19.- En un triángulo isósceles los lados iguales miden 9 cm y la base 6 cm. ¿Cuánto mide el área?¿Y el perímetro?
Sol: Á=25,44 cm2 , P=24 cm 20.- Una círculo tiene de área 14,95 cm2 . ¿Cuánto mide la circunferencia que lo delimita?
Sol: 13,69 cm
21.- Dentro de un rectángulo de largo 5 m y ancho 14 m introduzco un rombo cuyos vértices tocan con los lados en el centro ¿Cuánto mide el área del rombo?
Sol: 35 m2
22.- Una corona circular tiene de radios 8 y 5 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide el área de la corono circular? ¿Y el área del círculo más pequeño?
Solución: ÁCorona = 122,46 m2 , ACírculo = 78,5 m2
23.- Halla el diámetro de un círculo que está delimitado por una circunferencia de longitud igual a 46,91 m2.
Sol: 14'92 m
24.- La altura de un campanario es de 15 m. Si yo me encuentro a 12 metros del pie del campanario, ¿a qué distancia me encontraré de la parte más elevada?
Sol: 19,2 metros
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Áreas y Volúmenes
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Problemas Polígonos y Poliedros Departamento de Matemáticas
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26.- a) ¿Qué volumen de aire cabe en una pelota de 30 cm de diámetro? b) ¿Qué superficie tendrá la pelota del problema anterior?
Sol: a) V=36π litros; b) 1,13 m2
23.- Calcula el área total de un cilindro de 20 cm de altura y 10 cm de diámetro.
Sol: 250 π cm2 24.- Halla el volumen, en cm3, de un cono de 5 m de radio y 13 m de generatriz.
Sol: 108 π cm3 25.- En el suelo de unos jardines hay un estanque de base hexagonal de 3 m de lado y 1,20 m de altura. Halla el volumen del estanque.
Sol: 28 m3 26.- Halla la altura de un prisma de base rectangular de 5 cm de ancho y 8 cm de largo, sabiendo que su volumen es de 14 cm3.
Sol: 0,25 cm 27.- Calcula el área de un triángulo equilátero de 15 cm de perímetro.
Sol: 10,83 cm2 28.- Halla la altura de un bote cilíndrico de 1 litro de capacidad y 5 cm de radio.
Sol:12,73 cm. 29.- Calcula el área lateral de una pirámide de base cuadrada de 32 cm de perímetro y 10 cm de altura.
Sol: 236,33 cm2 30.- Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:
Sol: 6098 cm3.
31.- Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm. Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?
Sol: 1.884 litros de agua.
32.- Calcula el volumen de estos cuerpos:
Sol: a) 1260 cm3; b) 444,8 cm3; c) 1695,6 cm3
33.- Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado y su arista lateral es de 29 cm.
Sol: 7266 cm3
34.- Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:
Sol: V=576 cm3
35.- Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m x 15m x 3m.
¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar los 4/5 de su volumen?
Sol: 9·105 litros
36.- Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular recta sabiendo que el lado de la base es 4 m y la altura es 6 m.
Sol: 32 m3
37.- El suelo de un depósito cilíndrico tiene una superficie de 45 m2. El agua que contiene alcanza 2,5 metros. Para
vaciarlo se utiliza una bomba que extrae 8 hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
Sol: 2h, 20 min y 37 seg
38.- Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de la figura de la izquierda.
Sol: V=963 cm3
39.- Calcula el volumen del tronco de pirámide y del tronco de cono:
Sol: a) 700 cm3; b) 293 cm3
40.- Las bases de un prisma recto son pentágonos regulares de 8 cm de lado y 5,5 cm de apotema. La altura del prisma es de 15 cm. Dibuja su desarrollo y calcula el área total.
Sol: A=820 cm2
41.- Calcula el volumen de estos cuerpos:
Sol: a) 960 cm3; b) 1780,24 cm3; c) 2.484 cm3
42.- Calcula la superficie de la esfera y la superficie lateral del cilindro que la envuelve.
Sol: ambas superficies son 400π
43.- Calcula el área total de esta pirámide regular cuya base es un cuadrado de 40 cm de lado y su altura es de 21 cm.
Sol: 3.920 cm2.
44.- Calcula el volumen de la figura siguiente:
Sol: 6 m3
183
Ejercicios de
Evaluación.
184
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 2. Divisibilidad Autoevaluación
1. Calcula tres múltiplos y tres divisores, si los tiene, de cada uno de los siguientes números:
a) 50 b) 72 c) 16 d) 17
2. Indica cuáles de los siguientes números son primos:
a) 101 b) 1003 c) 2003 d) 2009
3. Descompón en factores primos los números:
a) 40 b) 105 c) 97 d) 360
4. A partir de su descomposición factorial, indica todos los divisores de:
a) 36 b) 42 c) 121 d) 71
4. Utilizando los criterios, indica para los siguientes números sus divisores primos:
a) 1234 b) 600 c) 1008 d) 420
5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
a) 25 y 35 b) 42 y 63 c) 10, 30 y 80 d) 24, 36 y 72
6. Halla todos los divisores comunes de:
a) 18 y 24 b) 21 y 28 c) 45 y 60 d) 9 y 23
7. Para cada una de las parejas anteriores, halla los tres múltiplos comunes más pequeños.
8. Halla todos lo múltiplos comunes de 2, 3, 5 y 7 menores que 1000. ¿Cuál es el m.c.m. de
esos números?
9. Indica si las siguientes parejas de números son o no primos entre sí.
a) 21 y 40 b) 14 y 35 c) 33 y 143 d) 34 y 119
10. En cierta parada de autobús coinciden, a las 8:00 h, los vehículos de tres líneas diferentes,
A, B y C. La línea A tiene un servicio cada 10 minutos, la línea B, cada 20 minutos, y la línea
C, cada 15 minutos. ¿A qué hora volverán a coincidir los autobuses de las tres líneas en la
salida?
11. Para pavimentar una habitación de 4 × 3,60 metros se desean emplear baldosas cuadradas.
¿Cuánto medirán de lado para que en número de baldosas sea mínimo, sin necesidad de cortar
ninguna?
12. En una caja hay un número indeterminado de canicas. Si se cuentan de 7 en 7, de 8 en 8 y
de 9 en 9, siempre sobran 5. ¿Cuál es el menor número de canicas que puede haber en la caja?
185
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. a) 50, 100 y 150; 25, 10 y 5. b) 72, 144 y 720; 36, 18 y 1. c) 32, 48 y 64; 8, 4 y 2. d) 17, 34 y 51; 1 y 17: es primo.
2. 101 y 2003.
3. a) 40 = 2 · 2 · 2 · 5. b) 105 = 3 · 5 · 7. c) 97 = 1 · 97, primo. d) 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
4. a) 2 y 617. b) 2, 3 y 5. c) 2, 3 y 7. d) 2, 3, 5 y 7
5. a) 5 y 175. b) 7 y 126. c) 10 y 240. d) 12 y 72.
6. a) 6, 3, 2, 1. b) 7, 1. c) 15, 5, 3, 1. d) 1.
7. a) 48, 96, 144. b) 84, 168, 252. c) 180, 360, 540. d) 207, 414, 621.
8. 210, 420, 630 y 840.
9. a) S. b) No. Divisor común: 7. c) No. Divisor común: 11. d) No. Divisor común: 17.
10. 60 minutos después, a las 9:00 h.
11. 40 cm. 90 baldosas.
12. 509
186
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 1. Números enteros Autoevaluación
1. Representa en la recta real los números: −4, +3, −1. Representa también sus opuestos.
2. Halla:
a) (+13) + (+7) − (−3) + (−5) c) (−7) − (+8) + (−3) − (−9)
b) (−4) − (−5) − (+6) + (−7) d) (+10) − (+9) + (−8) − (−7)
3. Halla:
a) (−2) · (4 −6 +9) c) (−12) : (−2) − (−5) · (+ 7 − 10)
b) (7 − 3) · (4 + 8 − 9) d) (+20) : (−5) − (−2) · (+6)
4. Calcula:
a) 12 + 5 · (−4) – 20 c) (−3) · ( 3 + 5 ) – 4 · ( − 9 – 5 )
b) 13 – 2 · ( 4 − 5 ) d) −6 + (−4 ) · (+3) − 5
5. Halla:
a) 8 − 2 · (9 − 3) + (−12) : (−3) c) (8 − 2) · [(9 − 3) + (−12)] : (−3)
b) 8 − 2 · [(9 − 3) + (−12) : (−3)] d) 8 − 2 · [(9 − 3) + (−12)] : (−3)
6. Calcula:
a) (−12) : (−2) − 15 : (−3) + 2 c) (−3) · ( 3 + 5 ) – 14 : ( − 9 + 7 )
b) (−3) · (−2) – 8 : ( 12 − 10 ) d) [(−3) · ( −3 + 5 ) + 14] : 2 − ( − 9 + 7 )
7. Calcula:
a) ( )3
4+ b) ( )4
3− c) ( )3
5− d) ( )7
2+
8. Calcula:
a) ( )224
)5()3(2 −++−− c) ( )3272
)3()5()1·(5 −−−−−+
b) ( ) ( )34
6:6 −− d) ( ) ( )962 2:)2( −−
9. Halla:
a) ( ) ( )32
23 +−− c) (+14)6 : (−7)
6
b) (+2)3 · (−3) d) (−1) − (+2)
2 + (−3)
3 − (−4)
4
10. Halla, si existen, las siguientes raíces:
a) )81(+ b) )49(− c) )1600(+ d) )3)(12( −−
11. Halla, si existen, las siguientes raíces:
a) 4 )81(+ b) 3 )27(− c) 5 )1(− d) 7 )128(+
12. Halla, indicado todas sus soluciones:
a) 36 b) 8 8− c) 4 625 d) 6 6−
187
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1.
2. a) +18. b) −12. c) −9. d) 0.
3. a) −14. b) +12. c) −9. d) +8.
4. a) −28. b) 15. c) +32. d) −23
5. a) 0. b) −12. c) +12. d) 4.
6. a) +13. b) +2. c) −17. d) +6.
7. a) 64. b) 81. c) −125. d) 128.
8. a) 32. b) −6. c) −23. d) −8.
9. a) +1. b) −24. c) +64. d) −96.
10. a) +9. b) No. c) +40. d) +6.
11. a) +3. b) −3. c) −1. d) +2.
12. a) ±6. b) −2. c) ±5. d) no existe.
188
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 4. Fracciones (I) Autoevaluación
1. Reduce a común denominador las fracciones:
a) 5
2,
3
1,
6
1b)
3
1,
15
7,
12
5c)
9
2,
15
4,
30
11d)
7
2,
21
8,42
11
2. Halla:
a) 6
1
3
1
5
2−+ . b)
12
5
15
7
3
1−− c)
30
11
15
4
9
2+− d)
−−
42
11
21
8
7
2
3. Halla:
a) 5
13 + b)
4
12 − c) 3
7
2+ d) 4
2
11−
4. Calcula y simplifica:
a) 3
1
7
3− b)
12
5
4
12 −+ c)
18
15
5
3⋅ d)
7
12:
5
3
5. Halla, simplificando el resultado:
a) 15
9·
12
5b)
7
6·
18
7c)
15
9·10 d) 12·
15
8
6. Calcula, simplificando el resultado:
a) 15
4:
12
5b)
3
2:4 c)
15
12:
15
8d) 5:
3
50
7. Calcula:
a)
−−
6
1
3
1
5
2. b)
12
5·
15
7
3
1
− c)
30
11:
15
4
9
2
− d)
−
42
11
21
8:
7
2
8. Calcula y simplifica:
a) 4
1
3
5
3
2⋅+ b)
3
1:
⋅
10
3
4
5c)
25
3
14
3
−
+
d)
−⋅−
4
73
3
1
5
2
9. Calcula y simplifica:
a)
−⋅
−
4
73
7
1
5
2b)
4
73
7
1
5
2−⋅
− c)
−⋅−
4
73
7
1
5
2 d)
4
73
7
1
5
2−⋅−
10. Calcula:
a) 5
1
4
3·
9
5
3
2−
+ b)
5
1·
4
3
9
5
3
2+
− c)
−−−
9
5
3
2
7
34 d)
5
1
6
5:
9
5
3
2−
−
189
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1.a) 30
12,
30
10,
30
5. b)
60
20,
60
28,
60
25. c)
90
20,
90
24,
90
33. d)
42
12,
42
16,42
11
2.a) 30
17. b)
20
11− . c)
90
29 d)
6
1.
3. a) 5
16. b)
4
7. c)
7
23 d)
2
3.
4. a) 21
2. b)
6
11. c)
2
1. d)
20
7
5. a) 4
1. b)
3
1. c)
5
18. d)
5
32
6. a) 48
75. b) 6. c)
3
2. d)
3
10
7. a) 30
7. b)
8
1− . c)
33
4− . d)
5
12
8. a) 12
13. b)
9
8 . c)
4
5− . d)
60
1−
9. a) 28
9. b)
140
137−. c)
140
31. d)
140
249−
10. a) 60
43. b)
180
47. c)
63
218. d)
15
1−
190
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 4. Potencias y Fracciones (III) Autoevaluación
1. Calcula:
a)
3
3
1
b)
3
10
1
c)
3
3
3
10d)
3
3
10
3
2. Halla:
a) 8
8
6
3b)
4
4
15
10c)
5
100
50
d)
3
3
8
12
3. Simplifica:
a) 11
15
2
2b)
5
5
6
12c)
6
45
60
50·12d)
3
7
4
16·)2(−
4. Simplifica al máximo:
a) 50·3·2
5·3·276
385
b) 4
6
5
2
10
12·
30
25c)
68
4
9·
3
2
d)
9
812
10
5·)2(−
5. Calcula, simplificando al máximo:
a) 3 · (2−2
+ 32) − 5 · (−4)
2 + 7 · 3
−1 b) 3
12 · 3
−10
6. Expresa mediante una sola potencia:
a) 5
3
5
5b)
7
4
2
2c)
4
4
15
5d)
3
45
27
3·)9(−
−
−
7. Calcula:
a) 4
2
3·3
2
b)
35
8
15·
5
4
c)
35
5
8:
5
4
d)
55
2
1:
3
1
8. Calcula, simplificando al máximo:
a)
35
10
1·
10
1
b)
53
2
3:
2
3
c)
35
7
4·
7
4−
d)
4
15
4:
5
2
9. Calcula:
a)
32
10
1
b)
22
5
2
−
c)
04
9
5
d)
243
3
2·
2
3·
3
2
−
10. Expresa en función de las potencias de 10 las siguientes cantidades:
a) 500000 b) 2100000 c) 1230000000 d) 23050000;
e) 0,000006 f) 0,00032 g) 0,00000090 h) 0,0000309
11. Expresa en notación decimal las siguientes cantidades dadas en función de las potencias
de 10:
a) 3,05 · 106 b) 6,804 · 10
7c) 2 · 10
−4d) 4,01 · 10
−5
12. Escribe como número decimal cada una de las siguientes fracciones:
a) 5
12b)
4
7c)
3
13d)
22
7
13. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales:
a) 12,023 b) 3,444… c) 5,232323… d) 2,12333…
191
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. a) 27
1. b)
1000
1= 0,001. c)
27
1000. d)
1000
27
2. a) 82
1. b)
81
14. c)
32
1. d)
8
27
3. a) 1624= . b) 3225
= . c) 3
100. d) −32.
4. a) 4
15. b)
9
8 . c)
16
81. d)
5
8.
5. a) 12
599− . b) 3
2.
6. a) 25− . b) 32− . c) 3−4
. d) −33.
7. a) 36. b) 25
54.c)
25
2. d)
243
32
8. a) 10−8
= 0,00000001. b) 9
4.c)
49
16. d)
16
81
9. a) 10−6
= 0,000001. b) 4
4
2
5. c) 1.d)
32
243
2
35
=
10. a) 5 · 105. b) 2,1 · 10
6. c) 123 · 10
7. d) 2,305 · 10
7.
e) 6 · 10−6
. f) 3,2 · 10−4
. g) 9 · 10−7
. h) 3,09 · 10−5
.
11. a) 3050000. b) 68040000. c) 0,0002. d) 0,0000401.
12. a) 2,4. b) 1,75. c) 4,333… d) 0,3181818…
13. a) 1000
12023. b)
9
31. c)
99
518. d)
990
2102.
192
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 4. Problemas de fracciones. Aplicaciones (I)
1. Pilar ha leído 100 páginas de un libro, lo que representa 4/7 del total. ¿Cuántas páginas
tiene ese libro?
2. Carlos está leyendo un libro. La primera semana lee 3/7 de las páginas, y la segunda
semana los 4/5 del resto. Si todavía le quedan 48 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el
libro?
3. Se han roto los 8/13 de los huevos que contenía una caja. Si han quedado 75 huevos sin
romper, ¿cuántos huevos contenía la caja?
4. Sara tiene 28 €; gasta la quinta parte en pasteles, y la cuarta parte de lo que le queda en
cromos de 0,40 € cada uno. Calcular: a) El dinero que gastó en pasteles; b) El número de
cromos que compró; c) El dinero que le sobró.
5. Antonio piensa: si gasta la mitad de su dinero en una entrada del circo y 3/8 en invitar a sus
amigos, le quedaran 3 €. ¿Cuánto dinero tiene Antonio?
6. Patricia guarda la mitad de sus ahorros en el banco, 1/3 de lo que le queda lo guarda en una
hucha, y el resto lo gasta. Si ha gastado 60 €, ¿a cuánto ascienden sus ahorros?
7. En un quiosco se han vendido por la mañana los 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde
ha vendido la mitad de los que le quedaban.
a) ¿Qué fracción del total ha vendido por la tarde?
b) Si han quedado por vender 20 periódicos, ¿cuántos periódicos formaban el lote inicial?
8. El dueño de una tienda de tejidos vende el lunes los 2/3 de una pieza de tela, y el martes 1/5
del resto de la pieza. Si quedan 8 metros de tela, ¿cuántos metros media la pieza?
9. Las dos terceras partes de los empleados de una fábrica van a trabajar en autobús. Las tres
cuartas partes del resto van en coche, y 10 trabajadores acuden a trabajar a pie. ¿Cuántos
trabajadores forman la plantilla de esa fábrica?
10. Los 3/4 de los alumnos de una clase van a visitar un museo. Si 1/5 de ellos han ido en
autobús, ¿qué fracción de los alumnos de la clase han ido en autobús? Indica el número de
alumnos de esa clase.
11. Marta lleva 300 € y Sara 1/3 de los 4/5 de esa cantidad. ¿Cuánto dinero lleva Sara?
12. Un recipiente está lleno de agua hasta los 4/5 de su capacidad. Si se saca la mitad del agua
que contiene:
a) ¿Qué fracción de la capacidad total del recipiente se ha sacado?
b) Si la capacidad del recipiente fuera de 80 litros, ¿cuántos litros quedan en el mismo?
13. Una finca se divide en tres parcelas. La primera es igual a los 4/7 de la superficie de la
finca, y la segunda mide la mitad de la primera.
a) ¿Qué fracción de la finca representa la superficie de la tercera parcela?
b) Si la extensión de la finca es de 14000 m2, ¿cuál es la superficie de cada parcela?
193
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
14. Una persona a la que han preguntado cuanto pesa, responde así: “La mitad de la cuarta
parte de mi peso es 10 kg”. ¿Cuánto pesa esa persona?
15. Un sexto de los3
2 de la estatura de Alicia es igual a 17 cm. ¿Cuál es la estatura de Alicia?
16. Tengo diez kilos y medio de bombones distribuidos en cajas de 3/4 kg cada una. ¿Cuántas
cajas tengo?
17. En una bombonería hay 120 cajas de bombones. Si el peso neto de bombones de cada caja
es de 1/3 de kg cada una, ¿cuántos kilos de bombones tienen en total?
18. Un confitero ha distribuido ocho kilos y cuarto de bombones en 33 bolsas. ¿Qué fracción
de kilo contiene cada bolsa?
19. ¿Cuántas botellas de4
3 de litro pueden llenarse con una garrafa de 24 litros?
20. ¿Cuántas botellas de 1,5 litros pueden llenarse con una garrafa de 33 litros?
21. Dos tercios de los alumnos de una clase son chicas. Si el total de alumnos son 27,
¿cuántas chicas hay en la clase?
22. Dos tercios de los alumnos de una clase son chicas, y de ellas un tercio son rubias. ¿Qué
fracción del total representa a las alumnas rubias? Si el total de alumnos son 27, ¿cuántas
chicas rubias hay en la clase?
23. En una clase hay 5 chicas por cada 3 chicos.
a) ¿Qué facción del total representa a las chicas?
b) Si en la clase hay 12 chicos, ¿cuántos alumnos hay en total?
24. En una cesta de fruta hay 3 manzanas por cada 4 naranjas.
a) ¿Qué facción del total representan las manzanas?
b) Si en la cesta hay 15 manzanas, ¿cuántas naranjas habrá?
b) ¿Cuál es la razón definida por los números de manzanas y naranjas?
25. Un poste está clavado en el suelo. La parte enterrada es 1/7 de su longitud. Si la parte
visible mide 120 cm, ¿cuál es la longitud total del poste?
194
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones: 1. 175.
2. 420.
3. 195.
4. a) 5,60 €. b) 14. c) 16,8 €
5. 24 €
6. 120 €
7. a) 5/6. b) 120.
8. 30 m.
9. 120.
10. 3/20. Un múltiplo de 20.
11. 80 €
12. a) 2/5. b) 32 L.
13. a) 1/7. b) 8000, 4000 y 2000 m2, respectivamente.
14. 80 kg.
15. 153 cm.
16. 14.
17. 40 kg.
18. 1/4 kg.
19. 32.
20. 22.
21. 18.
22. 2/9. 6.
23. 5/8. 32.
24. a) 3/7. b) 20. c) 3/4.
25. 140 cm.
195
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 4. Problemas de fracciones. Aplicaciones (II)
26. Una maquina teje en un día 1/8 de una pieza de 96 metros. Al día siguiente teje los 2/7 de
lo que le quedaba.¿Cuántos metros ha tejido entre los dos días? ¿Qué parte de la pieza le
queda por tejer?
27. El límite inferior de la zona de nieves perpetuas en España está, aproximadamente, a 3000
metros. Sabiendo que la altura del pico Mulhacén es los 29/25 de este límite, ¿cuál es la altura
del Mulhacén? ¿Qué altura de este pico tiene nieves perpetuas?
28. Si los 3/4 de los 2/5 del sueldo de Juan son 540 €, ¿cuánto cobra Juan?
29. Andrei ha regalado la quinta parte de sus cromos a Luca y la tercera parte a Juan. Si
Andrei tenía 120 cromos, ¿cuántos cromos le han quedado?
30. Julián ha gastado1/5 de su dinero en chucherías y 1/4 en un libro. Si todavía le quedan 33
euros, ¿cuánto dinero tenía Julián?
31. Jorge ha comprado una calculadora con los 2/7 del dinero que tenia, y un diccionario con
los 2/3 de lo que le quedaba, si le han sobrado 25 €, ¿Cuánto tenía al principio?
32. El bibliotecario Pedro está registrando todos los libros de la biblioteca. Ya ha registrado
los 2/5 del total de libros. Si aún le quedan por registrar la mitad del total, más 800 libros,
¿cuántos libros tiene la biblioteca?
33. Un agricultor ha visto como su cosecha de tomates ha disminuido como consecuencia de
un temporal de cuatro días de duración.
El primer día perdió 1/3 de la cosecha; el segundo, 1/3 de lo que perdió el primero; el tercero,
1/3 de lo que perdió el segundo; y el cuarto día del temporal perdió 1/3 de lo que perdió el
tercero. Después de estas perdidas le quedan todavía 82 tomates.
a) ¿Qué fracción de su cosecha perdió el cuarto día?
b) ¿Cuántos tomates tenía antes del temporal?
c) ¿Cuántos tomates ha perdido en los cuatro días?
34. Si el mismo agricultor dice que cada uno de los cuatro días del temporal perdió un tercio
de la cosecha que le quedaba, ¿habría tenido las mismas pérdidas?
35. Una persona sale de compras. Gasta los 3/7 de su dinero en el supermercado, después 1/3
de lo que le quedaba en una tienda de regalos, y, finalmente gasta la mitad de lo que le
quedaba en un libro de 5 €. ¿Cuánto dinero tenía al salir de casa? ¿Cuánto gastó en el
supermercado?
36. ¿Qué cantidad de agua hay en 150 botellas sabiendo que cada una contiene 1/4 de litro?
37. Un artesano emplea 1/4 de hora para construir un juguete. ¿Cuánto tiempo necesitará para
construir dos docenas de estos juguetes?
196
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
38. Enrique ha comprado 450 litros de aceite. Si los envasa en botellas de 3/4 de litro,
¿cuantas botellas necesita?
¿Cuál será el precio del litro, sabiendo que el valor del aceite que contiene cada botella es de
2,88 €?
39. ¿Por qué fracción hay que multiplicar a 20 para obtener 5/8?
40. Un tornillo avanza 3/10 de centímetro cada 5 vueltas. ¿Cuántas vueltas deberá dar para
avanzar 4,5 cm?
41. Cada vez que cae al suelo una pelota rebota los 3/5 de la altura desde la que ha caído. Si se
deja caer desde una altura de 125 metros, ¿qué altura alcanzará en el tercer bote?
42. Se han consumido los 7/8 de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros, el bidón queda
lleno en sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón
43. ¿Por qué fracción hay que dividir 1/5 para obtener 8/15?
44. ¿Cuál es el valor de 1 kg de jamón si se vende a 6,50 € cada medio cuarto de kilo?
45. El depósito de un coche esta lleno de gasolina al empezar un viaje. Al terminar la primera
etapa le quedan los 3/5 del depósito. En la segunda etapa se ha consumido la mitad de lo que
quedaba. Si me quedan 15 litros, ¿cuál es la capacidad del depósito? ¿Cuántos litros se han
gastado en cada etapa?
46. Una bicicleta se ha rebajado la décima parte. Si ha costado 144 €, ¿cuánto valía antes?
47. Un estudiante gasta un tercio de su paga semanal en refrescos, 1/4 en libros y revistas y el
resto lo ahorra. ¿Qué fracción de dinero ahorra cada semana? Si recibe 18 € a la semana,
¿cuánto ahorra?
48. He andado las dos terceras partes del camino, pero aún me quedan 1200 metros. ¿Qué
longitud tiene el camino?
49. Un grifo llena un depósito en 6 horas y otro en 12 horas. ¿Qué fracción de depósito llena
cada grifo en una hora?
50. Un grifo llena un depósito en 6 horas y otro en 12 horas. ¿Qué fracción de depósito
llenaran entre ambos grifos durante 1 hora? ¿Cuánto tardarán en llenar el depósito entre los
dos grifos?
197
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
26. 36 m. 5/8.
27. 3480 m. 480 m.
28. 1800 €
29. 56.
30. 60 €
31. 525 €
32. 800.
33. a) 1/81. b) 162. c) 80.
34. En este caso perdería 65/81 de su cosecha. En el ejercicio anterior las pérdidas suponen
41/81.
35. 26,25 €. 11,25 €
36. 37,5 L.
37. 8 h.
38. 600. 1728 €
39. 1/32
40. 75.
41. 27 m.
42. 80 L.
43. 3/8.
44. 52 €/kg.
45. 50 L. 20 y 15 L, respectivamente.
46. 160 €.
47. 5/12. 7,5 €.
48. 3600 m.
49. 1/6 y 1/12 respectivamente. 6 h y 12 h, respectivamente
50. 3/12. 4 h.
198
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 3. Sistema de numeración decimal.
Autoevaluación
1. Escribe cómo se leen los siguientes números:
a) 2405 b) 203,8 c) 0,38 d) 20348 e) 3,0012
2. Escribe con números:
a) veinte unidades y treinta y dos milésimas.
b) cuatrocientas cinco diezmilésimas.
c) dos mil trescientas unidades y quinientas veinticinco cienmilésimas.
d) siete cienmilésimas
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
3,08; 3,023; 3,24; 3,189; 3,203; 3,501; 3,303
4. Intercala un número entre cada pareja:
a) 4,9 y 4,91 b) 7,23 y 7,24 c) 0,021 y 0,022 d) 2,33 y 2,333…
5. Redondea a centésimas:
a) 234,6451 b) 3,0025 c) 9,6449 d) 0,9705 e) 1,675
6. Aproxima a las unidades:
a) 12,09 b) 230,62 c) 90,78 d) 10,3 e) 304,8
7. Realiza las siguientes sumas y restas:
a) 23,1 + 12,34 + 678,00367 c) 24 − 12,8
b) 4980,45 + 789,37 + 1003,408 d) 30445,24 − 8892,973
8. Multiplica:
a) 23,7 × 3,4 b) 0,36 × 9,2 c) 39 × 0,09 d) 2,01 × 7,04 e) 0,0028 × 0,06
9. Divide:
a) 24 : 3,2 b) 2,05 : 0,1 c) 0,28 : 0,05 d) 12,6 : 3,02 e) 23,07 : 0,6
Soluciones:
1. a) dos mil cuatrocientos cinco. b) doscientas tres unidades y ocho décimas. c) treinta y ocho centésimas. d) veinte mil trescientas cuarenta y ocho unidades. e) tres unidades y doce
diezmilésimas.
2. a) 20,032. b) 0,0405. c) 2300,00525. d) 0,00007
3. 3,023 < 3,08 < 3,189 < 3,203 < 3,24 < 3,303 < 3,501
4. a) 4,905. b) 7,231. c) 0,02109. d) 2,332
5. a) 234,65. b) 3,00. c) 9,64. d) 0,97. e) 1,68
6. a) 12. b) 231. c) 91. d) 10. e) 305
7. a) 713,44367. b) 5873,228. c) 11,2. d) 21552,267
8. a) 80,58. b) 3,312. c) 3,51. d) 14,1504. e) 0,000168
9. a) 7,5. b) 20,5. c) 5,6. d) 4,17. e) 38,45.
199
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 3. Sistema sexagesimal
Autoevaluación
1. Expresa en segundos:
a) 2 h b) 234 min c) 2 h 36 min d) 2,36 h e) 17,8 min
2. Expresa en horas, minutos y segundos:
a) 130005 s b) 4575 min c) 2,5 h d) 200,4 min e) 2,152 h
3. Expresa en grados, minutos y segundos:
a) 23,85º b) 1000´ c) 30000´´ d) 200,5´ e) 0,23º
4. Halla: a) (23º 27´ 39´´) + (6º 41´ 42´´) b) (23º 27´ 39´´) − (6º 41´ 42´´)
5. Para ir de A a B un caminante empleó 2,34 h y para volver tardó 105,2 min. ¿Cuál fue el
tiempo total que necesitó para ir y volver?
6. Divide un ángulo de 148,5º en cuatro partes iguales. Da el resultado en grados, minutos y
segundos.
Soluciones:
1. a) 7200 s. b) 14040 s. c) 9360 s. d) 8496 s. e) 1068 s.
2. a) 36 h 6 min 45 s. b) 76 h 15 min. c) 2 h 30 min. d) 3 h 20 min 24 s. e) 2 h 9 min 7,2 s.
3. a) 23º 51´. b) 16º 40´. c) 8º 20´. d) 3º 20´ 30´´. e) 13´ 48´´.
4. a) 30º 9´ 21´´. b) 16º 45´ 57´´
5. 4 h 5 min 36 s
6. 37º 7´ 30´´
200
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
201
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
202
Mat 2º ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 6. (II) Polinomios Autoevaluación
1. Indica el grado y los coeficientes de cada término, ordenados de mayor a menor, de los
siguientes polinomios:
a) 532+− xx b) 3+− x c) xx 32 3
− d) 1423 24+−+ xxx
2. Halla el valor numérico de cada uno de los polinomios anteriores para x = 1, x = −2 y x = 0.
3. Halla las siguientes sumas y restas de polinomios:
a) ( ) ( )9365 +++ xx b) ( ) ( )9365 +−+ xx
c) ( ) ( )54723 2−+++ xxx d) ( ) ( )54723 2
−−++ xxx
e) ( ) ( )xxxx 32654 22−−−+ f) ( ) ( )1265 233
+−−+− xxxx .
4. Dados los polinomios: 652)( 2+−= xxxA ; 1723)( 23
−+−= xxxxB ; 23)( 2−+= xxxC ,
halla:
a) )()( xBxA + b) )()( xCxA − c) )()()( xCxBxA +−
5. Halla el resultado de las siguientes operaciones:
a) ( )6542 3−+ xx b) ( )xxx 7233 23
+−− c)) ( ) ( )2336534 22−−−+ xxx
6. Calcula:
a) ( )342·5 22+− xxx b) ( )( )xxx 5·423 2
+− c) ( )( )( )34·5 32−− xxx
7. Halla:
a) ( ) ( )5·3 ++ xx b) ( ) ( )5·4 −+ xx c) ( ) ( )2·3 −− xx
d) ( ) ( )54·65 −+ xx e) ( )( )73·32 2−− xx f) ( ) ( )xxx 74·35 2
++−
8. Dados los polinomios: 432)( 2−+= xxxP ; 27)( −= xxQ ; 35)( 2
+−= xxxR , halla:
a) )()·( xQxP b) )()·( xRxP c) )()·( xRxQ
9. Halla, multiplicando término a término:
a) ( )2
52 +x b) ( )22 3+x c) ( )
232 −x d) ( )
22 2−x
e) ( ) ( )5·5 −+ xx f) ( ) ( )3·3 +− xx h) ( ) ( )12·12 −+ xx i) ( )( )2·2 22+− xx
10. Comprueba los resultados del ejercicio anterior aplicando las fórmulas:
( )222
2 bababa ++=+ ( )222
2 bababa +−=− ( ) ( )22· bababa −=−+
203
Mat 2º ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones.
1. a) 2; 1, −3, 5. b) 1; −1, 3. c) 3; 2, 0, −3, 0. d) 4; 3, 0, 2, −4, 1.
2. a) x = 1 → 3; x = −2 → 15; x = 0 → 5. b) 2; 5; 3. c) −1; −10; 0. d) 2; 65; 1.
3. a) 158 +x . b) 32 −x . c) 263 2++ xx . d) 1223 2
+− xx . e) 682 2−+ xx . f) 552 2
+− xx .
4. a) 523 2++ xx . b) 882
+− xx . c) 5953 23+−+− xxx .
5. a) 12108 3−+ xx . b) xxx 2169 23
−+− . c) 18203 2−+ xx
6. a) xxx 152010 34+− . b) xxx 201015 23
+− . c) 56 1520 xx +−
7. a) 1582++ xx . b) 202
−− xx . c) 652+− xx . d) 3020 2
−− xx . e) 219146 23+−− xxx .
f) xxx 212320 23+−− .
8. a) 8341714 23+−+ xxx . b) 12291372 234
−+−− xxxx . c) 631377 23−+− xxx
9. a) 25204 2++ xx . b) 96 24
++ xx . c) 9124 2+− xx . d) 44 24
+− xx . e) 252−x . f)
92−x . h) 14 2
−x . i) 44−x .
204
Mat 2º ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 6. (I) Álgebra Autoevaluación
1. Sea un rectángulo de base b y altura a. Indica las expresiones algebraicas que dan el área y
el perímetro de ese rectángulo. ¿Cuál será el valor numérico de esas expresiones cuando a = 2
y b = 7 cm.
2. Indica mediante una expresión algebraica las siguientes relaciones:
a) La suma de dos números es 34. b) Un número es tres unidades mayor que otro.
c) Un número más su consecutivo. d) El triple de un número vale 51.
3. Indica mediante una expresión algebraica las siguientes situaciones:
a) La suma de dos números consecutivos vale 71.
b) Un padre tiene cuatro veces la edad de su hijo y entre ambos suman 45 años.
c) Un número más su cuadrado suman 20.
4. Indica el coeficiente y la parte literal de los siguientes monomios:
a) ab5 b) 3x− c)
3
4 2 yxd) 25x
5. Indica si son semejantes o no los siguientes pares de monomios:
a) a3− y a2 b) 34a y a4 c) 2x− y
3
4 2x
d) 32x y 23x
6. Suma o resta, en los casos que puedas:
a) aaa 835 +− b) ( )aaa 265 −− c) xx 32 −
d) 223 xx − e) 32 32 xx + f) xx9
2
3
7−
7. Simplifica, sumando y restando cuando se pueda:
a) xxx 475 −+ b) ( )222 353 aaa −− c) 735 +− xx
d) xxx 363 2−+ e) xxxx 4352 32
+−− f) xx2
1
5
3−
8. Simplifica, agrupando los términos semejantes:
a) ( )3453 −−+ aaa b) ( )xxxx 3253 22+−− c) ( ) 4635 −−− xx
9. Multiplica:
a) ( )23·5 a b) ( ) ( )a5·3 −− c) ( ) ( )
2·2·4 aa −
d) ( )25·3 x e) ( )x43·4 − f) ( ) ( )
2·2 ab−−
g) ( )( )aa 7·3 2 h) ( ) ( )aa 5·3 −− i) ( ) ( )( )32 ·3·2 xxx
10. Simplifica las siguientes expresiones:
a) b
a
3
18b)
x
x
4
12 2
c) xy
yx
3
8 2
d) 210
8
x
x−e)
2
5
4
18
x
xf)
x
xx
4
44 2+
205
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Matemáticas 2º de ESO
Soluciones.
1. a) A = b·a ; P = 2b + 2a . 14 cm2; 18 cm.
2. a) a + b = 34 . b) y = x + 3 . c) x + (x +1) . d) 3x = 51 .
3. a) ( ) 711 =++ xx . b) Hijo → x; padre → 4x. 454 =+ xx . c) 202=+ xx .
4. a) 5 y ab . b) −1 y 3x . c)
3
4 y yx2 . d) 5 y 2
x .
5. Son semejantes: a) y c)
6. a) a10 . b) a . c) −x. d) 22x . f) x9
19
7. a) x8 . b) 2a . c) 72 +x . d) xx 33 2
+ . e) xx −−2 f) x
10
1
8. a) 34 +a . b) 23x− . c) 22 +x
9. a) 215a . b) a15 . c) 38a− . d) 215x . e) x1612 − . f) 22ab . g) 321a . h) 215a . i) 66x
10. a)b
a6. b) x3 . c)
3
8x. d)
x5
4−. e)
2
9 3x
. f) 1+x
206
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 7. Ecuaciones de primer grado Autoevaluación
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 8102 =+x b) 2053 −=−x c) 3423 =− x
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) xxx =++− 3253 b) ( ) 953 =−x c) 5342 −=− xx
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ( ) xxx =++− 5256 b) ( ) ( )32653 −−=− xx c) ( ) 93142 +−=−− xxx
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 52
=x
b) 14
2−=
−x c)
4
3
2
3=
xd) 0
3=
x
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 522
3=+
xb)
3
52
4
−=
xxc) 04
2
3=−
xd) x
x−= 5
3
2
6. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 322
65+=
−x
x b) 522
2
3=+− x
xc) ( )x
x+−=+ 123
4
7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 6
7
3
4
22
5=−+
xxxb) 5
32
3+=−
xx
x c)
2
223
4
−−=+
xx
8. Resuelve las ecuaciones:
a) xxx +=−− 5)2(32 b) ( ) ( ) 25233223 +−=+− xx
9. Resuelve:
a) 3
14
3
5
3
2=+
xxb)
3
4
35
2=+
xxc) x
xx+=−
3
4
35
2
10. Resuelve:
a) 36
4
32
5
4=
+−
xx b)
−=
+−
3
73
6
4
35
2
5
4x
xx
11. La edad de Pedro es la cuarta parte de la de su padre. Si la suma de sus edades es 50,
¿cuántos años tiene cada uno?
12. Los lados iguales de un triángulo isósceles son tres veces más largos que su base. Si el
perímetro del triángulo es 140 cm, ¿cuánto miden sus lados?
207
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Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. a) −1. b) −5. c) 5.
2. a) 1/2. b) 8. c) 1.
3. a) 0. b) 27/5. c) 5.
4. a) 10. b) −2. c) 1/2. d) 0.
5. a) 2. b) 4. c) 8/3. d) 3.
6. a) 12. b) −6. c) 16/5.
7. a) 7/10. b) 30. c) 0.
8. a) 4
11=x . b) x = 1
9. a) x = 2. b) 11
20=x . c)
7
10−=x
10. a) 2
65=x . b)
35
101=x
11. Pedro, 10; Padre, 40 años
12. Base, 20; lados, 60 cada uno.
208
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 7. (II) Ecuaciones de segundo grado Autoevaluación
1. Asocia, entre los valores que se indican, las soluciones a las ecuaciones siguientes:
a) 0652=−+ xx → x = 1; x = 2; x = −6; x = 0.
b) 0862=+− xx → x = 1; x = 2; x = 0; x = 4.
c) 042=− xx → x = 1; x = 2; x = 0; x = 4.
d) 0492=−x → x = 6; x = 7; x = 0; x = −7.
2. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 022=−− xx b) 0962
=+− xx
c) 01082 2=−− xx d) 02463 2
=−+ xx
3. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones incompletas:
a) 02=− xx b) 062
=− xx
c) 082 2=− xx d) 063 2
=+ xx
4. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones incompletas:
a) 012=−x b) 01002
=−x
c) 0722 2=−x d) 0483 2
=−x
5. Las siguientes ecuaciones están desordenadas. Ordénalas antes de resolverlas.
a) 122+= xx b) xx 692
−=+
c) 144130 2−=− x d) 25 xx =
6. Opera las siguientes expresiones algebraicas y después resuelve la ecuación obtenida.
a) 32
2+=
xx b) 6)5( =−xx
c) 21
=+
xx d) 75)3)·(1( =−+− xxx
7. El producto de dos números enteros consecutivos es 72. Plantea una ecuación de segundo
grado para hallarlos. ¿De qué números se trata?
8. El área de un rectángulo es 391 cm2. Si la base es 6 cm más larga que la altura, ¿cuánto
mide de largo y cuánto de alto?
209
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Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. a) x = 1; x = −6. b) x = 2; x = 4. c) x = 0; x = 4. d) x = 7; x = −7.
2. a) x = −1; x = 2. b) x = 3, doble. c) x = −1; x = 5. d) x = 2; x = −4.
3. a) x = 0; x = 1. b) x = 0; x = 6. c) x = 0; x = 4. d) x = 0; x = −2.
4. a) x = −1; x = 1. b) x = −10; x = 10. c) x = −6; x = 6. d) x = −4; x = 4.
5. a) x = −3; x = 4. b) x = 3, doble. c) x = −6; x = 6. d) x = 0; x = 5.
6. a) x = −3/2; x = 2. b) x = −1; x = 6. c) x = 1, doble. d) x = −2; x = 5.
7. x = −9 y x = −8; x = 8 y x = 9.
8. 23 × 17 cm.
210
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 7. Problemas de ecuaciones de primero y segundo grado
Llámale x
La x es la letra más famosa entre los números.
La letra x suele emplearse para sustituir a un número del que no se sabe su valor.
La letra x puede designar la edad de una persona;
La letra x puede ser la longitud de la base de un triángulo;
La letra x puede indicar la distancia entre dos puntos;
La letra x puede designar la capacidad de un depósito, el precio de un determinado producto…
En la resolución de problemas, siempre que no sepas cuánto vale una cosa, llámale x.
Con relación a las operaciones, la letra x se maneja exactamente igual que un número. Así, por
ejemplo:
El doble de x es 2x, que significa 2 · x. Por tanto, si x valiese 8, 2x valdría 16.
La mitad de x es 2
2:x
x = → Si x valiese 100, 2
x valdría 50.
El cuadrado de x es 2x , que significa xx· → si x valiese 7, 2
x = 7 · 7 = 49.
La suma xx 52 + es igual a x7 . Igualmente: xxx3
8
3
7
3
1=+ .
Por lo mismo: 3
2
33
3
313
xxxxxxx =−=−=− .
En consecuencia, no tengas miedo a la x; trátala como tratarías a cualquier número, pero trátala
bien. Fíjate cómo puede tratarse en los siguientes problemas.
Problema 1
La altura de un triángulo es doble que su base. Si su área mide 400 cm2, ¿cuánto vale su base?
¿Sabes la longitud de la base? No. Pues, llámale x → entonces, su altura valdrá x·2 .
Como el área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2:
2
·alturabaseA = , se debe cumplir que
2
2·400
xx= ⇒ 2
2
2
·2400 x
x== ⇒
20400 ==x .
Por tanto, la base medirá 20 cm; y la altura el doble, 40 cm.
Problema 2
Un depósito se está llenando de agua. Si cuando el depósito está lleno hasta un sexto de su
capacidad se le añaden 130 litros, entonces se llena hasta los tres quintos, ¿cuál es la
capacidad del depósito?
Llamamos x a la capacidad del depósito.
Cuando está lleno hasta un sexto de su capacidad tendrá x6
1.
Si se le añaden 130 litros, tendrá 1306
1+x . Pero entonces se llena hasta los tres quintos: x
5
3.
Por tanto, se cumple que:
xx5
3130
6
1=+ ⇔ (× 30): xx 1839005 =+ ⇔ 390013 =x ⇒ 300=x
211
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Matemáticas 2º de ESO
Problemas de ecuaciones
1. Si a un número se le resta su tercera parte el resultado es 40. ¿Cuál es ese número?
2. La edad de Pedro es la quinta parte de la de su padre. Si la suma de sus edades es 48,
¿cuántos años tiene cada uno?
3. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden el doble que su base. Si el perímetro del
triángulo es 140 cm, ¿cuánto mide cada lado?
4. Un poste está clavado en el suelo. La parte enterrada es 1/10 de su longitud. Si la parte
visible mide 126 cm, halla, planteando una ecuación, la longitud total del poste.
5. Escribe la expresión algebraica asociada al enunciado: “un número menos su mitad vale
30”. ¿De qué número se trata?
6. La medida en grados de los tres ángulos de un triángulo viene dada por tres múltiplos
consecutivos de 10. Plantea una ecuación que te permita hallar lo que mide cada ángulo. ¿Cuánto
mide el menor de ellos?
7. Calcula los ángulos de un triángulo isósceles, sabiendo que el ángulo desigual es 30º más
pequeño que los otros dos.
8. Si a cierto número le restas siete unidades te da lo mismo que si lo divides por 5. ¿De qué
número se trata?
9. En una clase hay 35 alumnos. Si hay cinco chicos por cada dos chicas. ¿Cuántos chicos y
chicas hay?
10. A una cuba de vino, inicialmente llena, se le extrae un sexto de su capacidad más 15 litros. Si
añadiendo un cuarto de su capacidad éste vuelve a llenarse, ¿cuántos litros caben en la cuba?
11. Se han mezclado dos tipos de vino, uno que cuesta 4 euros el litro con otro de 5 euros el
litro. Si la mezcla sale a 4,20 euros el litro, ¿cuántos litros se han empleado del más caro si del
más barato se han empleado 40?
12. Se han mezclado x litros de vino, que cuesta 4 euros el litro, con 20 litros de vino que
cuesta a 5 euros el litro. Si la mezcla sale a 4,25 €/litro, ¿cuántos litros se han empleado del
primer vino?
13. Descompón el número 10 en dos sumandos positivos de manera que el cuadrado del
mayor más el doble del menor valga 68.
14. La suma de los cuadrados de la edad actual y de la que tendrá dentro de dos años un
muchacho es de 580. ¿Cuántos años tiene el chico?
15. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 221. ¿Qué números son?
16. Si a los lados de un cuadrado se le añaden 2 cm, su área aumenta en 44 cm2. ¿Cuánto
medía el lado inicial?
212
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Matemáticas 2º de ESO
Soluciones. 1. 60.
2. Pedro, 8; Padre, 40 años
3. Base, 28; lados iguales, 56 cada uno.
4. 140 cm.
5. 45
6. 50º.
7. 40º, 70º y 70º.
8. 1,75.
9. 25 chicos; 10 chicas.
10. 180 litros.
11. 10 litros.
12. 60 litros.
13. 8 + 2.
14. 18
15. 10 y 11.
16. 10 cm.
213
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 8. Sistemas de ecuaciones lineales Autoevaluación
1. Da tres pares de soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) 7=+ yx b) 82 =− yx c) 03 =+− yx d) 423
2=+ yx
2. Para las ecuaciones anteriores, indica la ecuación de la que es solución alguno de los
siguientes partes:
a) (3, 1) b) (10, −3) c) (1, 3) d) (3, −2)
3. Representa gráficamente las rectas asociadas a las ecuaciones a) 7=+ yx y b) 82 =− yx .
¿Hay alguna solución común?
4. Resuelve el sistema
=−
=+
82
7
yx
yx por los tres métodos. Comprueba que la solución es la
misma.
5. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas:
a)
=−
=+
72
52
yx
yxb)
=−
=+
732
72
yx
yxc)
=+
−=−
22
23
yx
yx
6. Resuelve por igualación los siguientes sistemas:
a)
=+
=−
63
25
yx
yxb)
=+
=+
222
02
yx
yxc)
=−
=−
022
323
yx
yx
7. Resuelve por reducción los siguientes sistemas:
a)
=−
=+
143
633
yx
yxb)
−=−
=+
73
02
yx
yxc)
−=+
=−
352
523
yx
yx
8. Halla dos números sabiendo que su suma es 87 y su diferencia 25.
9. Pedro lleva billetes de 5 € y de 10 €. En total son 23 billetes, que suponen 145 euros. ¿Cuántos
billetes tiene de cada cantidad?
10. La edad de Pedro es cuatro veces la de su hijo. Si la suma de sus edades es 55, ¿cuántos
años tiene cada uno?
11. Un estudiante realiza un examen de tipo test. Por cada respuesta acertada recibe 3 puntos,
pero por cada error se le restan 2 puntos. Si ha contestado a 50 preguntas y su calificación ha
sido de 95 puntos, ¿cuántas respuestas contesto correctamente?
12. En una caja hay peras y manzanas. Si se quitan tres peras y se reemplazan por tres
manzanas, la razón de peras y manzanas es de 1 a 1. Si se quitan tres manzanas y se
reemplazan por tres peras, la razón de peras y manzanas es de 13 a 7. ¿Cuántas manzanas hay
en la caja?
214
Mat 2º ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. Hay infinitos pares. Por ejemplo: a) (0, 7), (1, 6), (2, 5); b) (0, −8), (4, 0), (3, −2); c) (0, 0),
(1, 3), (2, 6); c) (0, 2), (3, 1), (6, 0).
2. Respectivamente: d), a), c), b).
3. Sol. (5, 2).
4. x = 5; y = 2.
5. a) (3, −1); b) (5, 1); c) (0, 2)
6. a) (1, 3); b) (2, −1); c) (3, 3)
7. a) (5, −3); b) (−2, 1); c) (1, −1)
8. 56 y 31.
9. 13 de 5 € y 8 de 10 €.
10. 44 y 11 años.
11. 39 aciertos; 11 fallos.
12. 23 peras y 17 manzanas.
215
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 5. (I) Proporcionalidad Autoevaluación
1. En una clase hay 5 chicas por cada 3 chicos.
a) ¿Cuál es la razón de sexos en esa clase?
b) Si en esa clase hay 20 chicas, escribe la proporción que permita determinar el número de
chicos. ¿Cuántos chicos hay en esa clase?
2. En una clase hay 5 chicas por cada 3 chicos.
a) ¿Qué fracción del total representa a las chicas?
b) Si en la clase hay 12 chicos, ¿cuántos alumnos hay en total?
3. En un instituto que tiene 627 alumnos, cinco de cada once son chicos.
a) Escribe la razón de sexos asociada. b) ¿Cuántos chicos y chicas hay en ese instituto?
4. En una cesta de fruta hay 3 manzanas por cada 4 naranjas.
a) ¿Cuál es la razón definida por los números de manzanas y naranjas?
b) Si en la cesta hay 15 manzanas, ¿cuántas naranjas habrá?
5. En la siguiente tabla, calcula los valores de a y b sabiendo que las magnitudes A y B son
directamente proporcionales
A 3 4 a
B 12 b 20
6. Por 2,4 kg de patatas se han pagado 1,92 €. ¿A cuánto sale el kg? ¿Cuánto deberá pagarse
por 4,2 kg?
7. Con 40 kg de pienso se pueden alimentar 16 vacas. ¿Cuántos kilos de pienso serán
necesarios para alimentar a 40 vacas?
8. Por trabajar 2,5 horas a Pedro le han pagado 20 €. ¿Cuánto le pagarán otro día por trabajar
4 horas?
9. En la siguiente tabla, calcula los valores de a y b sabiendo que las magnitudes A y B son
inversamente proporcionales
A 3 4 a
B 12 b 20
10. Para vaciar un contenedor de ladrillos 8 obreros han empleado 3 horas. ¿Cuánto tiempo
emplearían 6 obreros? ¿Y 12 obreros?
11. A la velocidad constante de 4 km/h, un excursionista tarda 2,5 horas en realizar un
trayecto. ¿Cuánto tiempo tardaría en hacer el mismo trayecto a una velocidad de 5 km/h?
12. Un granjero necesita cada día 255 kg de pienso para dar de comer a 75 vacas. ¿Cuántos
kilos de pienso necesitará para dar de comer a 50 vacas durante una semana?
(Observación. Determina cuánto come una vaca al día.)
13. Una excavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de 1000 metros en 8 días.
¿Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12 horas al día?
(Observación. Determina cuántos metros excava en una hora.)
216
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. a) 3
5. b)
x
20
3
5= ⇒ x = 12.
2. a) 8
5. b) 32.
3. a) 6
5.b) 285 y 342.
4. a) 4
3. b) 20.
5. a = 5; b = 16.
6. 0,8 €; 3,36 €.
7. 100 kg.
8. 32 €.
9. a = 1,8; b = 9.
10. 4 h.2 h.
11. 2 h.
12. 3,4 · 50 · 7 = 1190 kg.
13. 4 días.
217
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 5. (II) Porcentajes Autoevaluación
1. Calcula el 10 % de las siguientes cantidades:
a) 300 b) 55 c) 2500 d) 20,4
2. Halla el valor de los siguientes porcentajes:
a) El 18 % de 2500. b) El 27 % de 120. c) El 9 % de 15300. d) El 6,5 % de 48,3.
3. En una clase de 30 alumnos el 60 % son chicas, ¿cuántos chicas hay?
4. Carmen, que ganaba 1800 euros al mes, ha ascendido en la empresa y le han subido el
sueldo un 12 %. ¿Cuánto ganará ahora?
5 ¿Por qué número hay que multiplicar para incrementar una cantidad en un 12 %?
Incrementa las cantidades 15300, 2500 y 320 en un 12 %.
6. Alejandro ha pagado 170 € por una bicicleta que está rebajada un 20 %, ¿cuánto valía la
bicicleta antes de la rebaja?
7. ¿Por qué número hay que multiplicar para disminuir una cantidad en un 6 %? Disminuye
las cantidades 12450, 980 y 700 en un 6 %.
8. Sonia compra un libro que valía 16,40 €. Si le hacen un 20 % de descuento, ¿cuánto pagó
por el libro?
9. Al comprar un frigorífico que valía 1420 € nos han rebajado 120 €. ¿Qué descuento nos
han hecho?
10. El sueldo de los trabajadores de una empresa van a subir un 2 %. Completa en la tabla
siguiente los valores que faltan.
Sueldo actual (€/ mes) 3200 € 1800 € 780 €
Nuevo sueldo (+ 2 %) 2040 €
11. Las rebajas anuncian un descuento del 40%. Indica en la tabla siguiente los precios
rebajados o los iniciales.
12. Los precios de una marca de coches han subido el 3 % en enero y el 2,5 % en febrero,
¿cuánto costará el día 1 de marzo un coche que el 31 de diciembre pasado costaba 14.400 €?
13. Un comerciante marca sus productos un 40% más caro de lo que le cuestan. Después
anuncia que todos sus productos están rebajados un 14 % sobre el precio marcado. ¿Cuál es
su porcentaje de ganancias? ¿Cuánto ganó un día que ingresó 1200 € por ventas?
14. A 100 km/h un automóvil tarda 90 minutos en recorrer cierto trayecto. ¿Cuánto tardaría si
incrementa su velocidad en un 20 %?
15. Marta tiene 250 euros que mete en un banco al 4 % de interés anual. ¿Cuánto dinero
tendrá al cabo de un año? ¿Qué interés le producirán esos 250 € durante 3 años?
Antes 100 € 32 € 40,40 €
Precios rebajados 120 €
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Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1.a) 30. b) 5,5. c) 250. d) 2,04. Método: multiplicar por 0,10.
2. a) 450. b) 32,4. c) 1377.d) 3,1395. 3. 18 chicas y 12 chicos.
4. 2016 €.
5 Por 1,12 → 17135; 2800; 358,4.
6. 212,50 €.
7. Por 0,94 → 11703; 921,2; 658.
8. 13,12 €.
9. 8,45 %
10.
Sueldo actual (€/ mes) 3200 € 1800 € 780 € 2000 €
Nuevo sueldo (+ 2 %) 3264 € 1836 € 795,6 € 2040 €
11.
12. 15202,80 €.
13. 20,4%. 203,7 €.
14. 75 min.
15. 260€. 30 €.
Antes 100 € 200 € 32 € 40,40 €
Precios rebajados 60 € 120 € 19,20 € 24,24 €
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Matemáticas 2º de ESO
Autoevaluación
Tema 9. (I) Geometría. Teorema de Pitágoras (Para resolver los ejercicios de hoja puede utilizar calculadora.)
1. Halla el lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:
2. Comprueba si son rectángulos los triángulos de lados:
a) 9, 11 y 14 cm. b) 12, 35 y 37 cm. c) 1,7, 0,8 y 1,5 m.
3. Halla la diagonal de los siguientes rectángulos.
4. De un rectángulo se sabe que su diagonal mide 29 cm y su base 21 cm. Halla su altura, su
perímetro y su área.
5. Halla la diagonal de los siguientes cuadrados.
6. La diagonal de un cuadrado mide 12 cm, ¿cuánto mide su lado?
7. Halla el área de un cuadrado de diagonal 15 cm.
8. El lado de un rombo mide 10 cm y su diagonal mayor 16 cm. ¿Cuánto vale
su diagonal menor.
9. Las diagonales de un rombo miden 8 y 6 cm. Halla su lado.
10. Halla el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
11. Un triángulo isósceles tiene perímetro 36 cm. Si su lado desigual mide 10 cm, halla su
altura y su área.
12. En la figura adjunta se muestran un pentágono y
un hexágono regulares. Ambos están inscritos en una
circunferencia de radio 10 cm. Se pide:
a) Si la apotema del rectángulo vale
aproximadamente 8,1 cm, calcula el lado del
pentágono y su área.
b) Calcula la apotema del hexágono y su área.
220
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Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. c = 10; a = 8; b = 20.
2. a) No. b) Sí. c) Sí.
3. 26; 37; 25.
4. 20 cm; 82 cm; 420 cm2.
5. Aprox: 14,14; 11,31; 8,49.
6. 8,49.
7. 112,5 cm2.
8. 12 cm.
9. 5 cm.
10. 27,71 cm2.
11. 12 cm; 60 cm2.
12. a) 11,73 cm; 237,5 cm2. b) 8,66; 259,8 cm
2.
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 9. (II) Geometría: Semejanza, teorema de Tales
Autoevaluación
1. Un aula rectangular mide 9 m de largo y 7 m de ancho. Dibújala a escala 1 : 100. Dibuja en
ella la mesa del profesor que mide 1,20 × 0,80 metros.
2. En el plano de una vivienda, el salón mide 5,2 cm de largo y 3,8 cm de
ancho. Si la escala es 1:150, ¿cuáles son las dimensiones del salón?
3. En un mapa a escala 1:100000 la distancia entre dos pueblos A y B es 4,8
cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellos?
4. Los lados del triángulo dado en la figura adjunta miden 7, 6 y 4 cm.
Si el lado AC se divide en cuatro partes iguales, trazando paralelas a la
base por los puntos de división se obtienen otros tres triángulos más
pequeños.
a) ¿Cuáles serán las longitudes de los lados de cada uno de los
triángulos obtenidos?
b) Si la altura desde A mide 3,42 cm, ¿cuánto medirán las alturas de
cada uno de los tres triángulos más pequeños?
c) ¿Cuánto valen las superficies de cada uno de los cuatro triángulos
semejantes?
5. Aplicando el teorema de Tales halla los valores de x, y, z de en la siguiente figura.
6. Divide el segmento AB en 3 partes iguales y en 7 partes iguales.
7. Ana mide 159 cm y proyecta una sombra de 53 cm. A la misma hora, la torre del
campanario de la iglesia y un ciprés proyectan sombras de longitud 13,5 m y 6,2 m,
respectivamente. ¿Cuál es la altura de la iglesia y del ciprés?
8. La maqueta de un rascacielos en forma de prisma cuadrangular mide 5 cm
de lado por 22 cm de alto. Si está hecha a escala 1 : 1000, ¿cuáles son las
medidas de ese edificio en la realidad? ¿Qué volumen ocupa la maqueta y cuál
será el volumen real del rascacielos?
222
Mat 2º ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
2. 7,8 × 7,7 metros.
3. 4,8 km.
4. a) 1,75, 1,5 y 1 cm; 3,5, 3 y 2 cm; 5,25, 4,5 y 3 cm. b) 0,855; 1,71; 2,565. c) 0,748125 cm2;
2,9925 cm2; 5,985 cm
2; 11,97 cm
2.
5. 2
9=x ; y = 6;
9
30=z
7. 40,5 m; 18,6 m.
8. Medidas: 50 m de lado; 220 m de altura. Volumen de la maqueta: 550 cm3. Volumen real:
55000 m3
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Matemáticas 2º de ESO
Tema 3. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal
Autoevaluación
1. Escribe cómo se leen los siguientes números:
a) 2405 b) 203,8 c) 0,38 d) 20348 e) 3,0012
2. Escribe con números:
a) veinte unidades y treinta y dos milésimas.
b) cuatrocientas cinco diezmilésimas.
c) dos mil trescientas unidades y quinientas veinticinco cienmilésimas.
d) siete cienmilésimas
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
3,08; 3,023; 3,24; 3,189; 3,203; 3,501; 3,303
4. Intercala un número entre cada pareja:
a) 4,9 y 4,91 b) 7,23 y 7,24 c) 0,021 y 0,022 d) 2,33 y 2,333…
5. Redondea a centésimas:
a) 234,6451 b) 3,0025 c) 9,6449 d) 0,9705 e) 1,675
6. Aproxima a las unidades:
a) 12,09 b) 230,62 c) 90,78 d) 10,3 e) 304,8
7. Realiza las siguientes sumas y restas:
a) 23,1 + 12,34 + 678,00367 c) 24 − 12,8
b) 4980,45 + 789,37 + 1003,408 d) 30445,24 − 8892,973
8. Multiplica:
a) 23,7 × 3,4 b) 0,36 × 9,2 c) 39 × 0,09 d) 2,01 × 7,04 e) 0,0028 × 0,06
9. Divide:
a) 24 : 3,2 b) 2,05 : 0,1 c) 0,28 : 0,05 d) 12,6 : 3,02 e) 23,07 : 0,6
10. Expresa en segundos:
a) 2 h b) 234 min c) 2 h 36 min d) 2,36 h e) 17,8 min
11. Expresa en horas, minutos y segundos:
a) 130005 s b) 4575 min c) 2,5 h d) 200,4 min e) 2,152 h
12. Expresa en grados, minutos y segundos:
a) 23,85º b) 1000´ c) 30000´´ d) 200,5´ e) 0,23º
13. Halla: a) (23º 27´ 39´´) + (6º 41´ 42´´) b) (23º 27´ 39´´) − (6º 41´ 42´´)
14. Para ir de A a B un caminante empleó 2,34 h y para volver tardó 105,2 min. ¿Cuál fue el
tiempo total que necesitó para ir y volver?
15. Divide un ángulo de 148,5º en cuatro partes iguales. Da el resultado en grados, minutos y
segundos.
224
2º de ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Soluciones:
1. a) dos mil cuatrocientos cinco. b) doscientas tres unidades y ocho décimas. c) treinta y ocho centésimas. d) veinte mil trescientas cuarenta y ocho unidades. e) tres unidades y doce
diezmilésimas.
2. a) 20,032. b) 0,0405. c) 2300,00525. d) 0,00007
3. 3,023 < 3,08 < 3,189 < 3,203 < 3,24 < 3,303 < 3,501
4. a) 4,905. b) 7,231. c) 0,02109. d) 2,332
5. a) 234,65. b) 3,00. c) 9,64. d) 0,97. e) 1,68
6. a) 12. b) 231. c) 91. d) 10. e) 305
7. a) 713,44367. b) 5873,228. c) 11,2. d) 21552,267
8. a) 80,58. b) 3,312. c) 3,51. d) 14,1504. e) 0,000168
9. a) 7,5. b) 20,5. c) 5,6. d) 4,17. e) 38,45.
10. a) 7200 s. b) 14040 s. c) 9360 s. d) 8496 s. e) 1068 s.
11. a) 36 h 6 min 45 s. b) 76 h 15 min. c) 2 h 30 min. d) 3 h 20 min 24 s. e) 2 h 9 min 7,2 s.
12. a) 23º 51´. b) 16º 40´. c) 8º 20´. d) 3º 20´ 30´´. e) 13´ 48´´.
13. a) 30º 9´ 21´´. b) 16º 45´ 57´´
14. 4 h 5 min 36 s
15. 37º 7´ 30´´
225
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Matemáticas 2º de ESO
226
Mat 2º ESO IES Complutense
Matemáticas 2º de ESO
Tema 10. Cuerpos geométricos Autoevaluación
1. Halla el volumen y el área total de un cubo de 20 cm de lado.
2. Una caja de zapatos mide 28 × 15 × 9 cm. Halla su volumen y el cartón
mínimo necesario para construirla.
3. Un aula tiene forma de prisma recto. Si sus dimensiones son: 8 m de largo, 6,50 m de
ancho y 2,80 m de alto, ¿cuántos m3 de aire contiene? Si pudiese llenarse agua, ¿cuántos litros
cabrían?
4. La misma aula tiene un lateral largo acristalado; en otro lateral está la puerta,
que mide 1,20 × 2,30 m. Si se pintan las paredes, menos el lado acristalado y la
puerta, ¿cuánto mide la superficie pintada?
5. Halla el volumen de una pirámide de base un pentágono regular de lado 8
cm, apotema de la base 5,5 cm y altura 15 cm.
Calcula también la apotema (H) de sus caras laterales y el área lateral.
6. Halla la superficie total y el volumen de una pirámide cuadrangular de lado
12 cm y altura 8 cm.
7. Un bidón tiene 54 cm de diámetro y 65 cm de alto. Halla su volumen y la
cantidad de metal necesario para construirlo.
8. Halla el volumen y el área lateral de un cono de altura 4 cm y radio de la base
3 cm.
9. La torre de un castillo tiene forma cilíndrica y está coronada por una cubierta
cónica. La base del cilindro mide 4 m, su altura 10 m y la altura del cono 3
metros más. ¿Cuál es el volumen total de la torre?
Soluciones:
1. 8000 cm3; 2400 cm
2. 2. 3780 cm
3; 1614 cm
2.
3. 145,6 m3; 145600 litros. 4. 56,04 m
2.
5. 1650 cm3; H = 15,98 cm; 319,6 cm
2. 6. 384 cm
2; 384 cm
3.
7. 148788,9 cm3; 15599,52 cm
2. 8. 37,68 cm
3; 75,36 cm
2.
9. 138,16 m3.
227
228
229
230
