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Matemáticas:

Enseñanza Universitaria

(Nueva serie)

Vol. XIII No 1 Junio (2005)

Revista de la ERM

Matemáticas: Enseñanza Universitaria

Revista oficial del Convenio Escuela Regional de Matemáticas (ERM)

Resolución 00116, 24 de Mayo de 1977, Ministerio de Gobierno

ISSN 0120-6788, 1900-043X (Edición Online)

Fundadores Yu Takeuchi (U. Nacional) y Jairo Álvarez (U. del Valle)Director Jaime Arango (U. del Valle) Editor Jaime Arango (U. del Valle)

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Editores de secciones

Matemáticas José Raúl Quintero (U. del Valle)Educación e Historia Pedro Vicente Esteban (U. EAFIT)Notas Miguel Marmolejo (U. del Valle)

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Matemáticas: Enseñanza Universitaria (nueva serie) es editada por las universidades quese agrupan en el Convenio Escuela Regional de Matemáticas (ERM) y está dirigida a losprofesores de matemáticas y a todos los interesados en las matemáticas. Publica dos nú-meros al año, con un tiraje de 1000 ejemplares cada uno. El valor de una suscripción anualinstitucional es de $40.000 pesos e incluye costos de envio. El valor de una suscripciónpersonal anual es de $20.000 pesos. Suscripciones de apoyo o por mayor valor son bien-venidas. En las páginas interiores se hallará un formulario de suscripción. En el reverso dela contracarátula expresamos nuestra política editorial y las recomendaciones para autores.Su correspondencia puede enviarla a:

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Contenido

1 Editorial

Matemáticas

3 Ecuaciones dispersivas para ondas acuáticasJuan Carlos Muñoz Grajales

15 Problemas elementales y soluciones difícilesYu Takeuchi

31 Convective instabilities in thermoviscoelastic micropolar flu-idsVictor Eremeyev and Denis Sukhov

43 An Example of a Heavy Tailed DistributionNorman Giraldo Gómez

51 Influence of periodic temperature and concentration on un-steady free convective viscous incompressible flow and heattransfer past a vertical plate in slip-flow regimePawan Kumar Sharma

Educación e Historia

63 El concepto de semicontinuidad de Baire en las investiga-ciones de FréchetLuis Recalde y Luis C. Arboleda

Notas

83 La caja de polinomiosFernando Soto, Saulo Mosquera y Claudia P. Gómez

99 Resúmenes de Artículos, Proyectos y Tesis103 Noticias y Eventos

Corporación Escuela Regional de Matemáticas

Universidades de Nariño, del Cauca, del Valle, del Quindío, Tecnológica de Pereira,EAFIT, de Antioquia, Surcolombiana, de Medellín y de la Amazonía.

Un compromiso de cooperación interinstitucionalpara el desarrollo de las matemáticas en la regiónde influencia de las universidades del convenio.

Revista de Matemáticas de la E.R.M.Departamento de Matemáticas, Univalle,

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Editorial

El examinador examinado

El próximo 25 de noviembre de 2005 al menos 250 estudiantes de los últi-mos semestres de todos los programas de matemáticas de las universidadescolombianas presentarán las pruebas de estado ECAES. Al margen de algunosconceptos discutibles que sustentan las pruebas y de cierta de improvisaciónen su implementación, los ECAES proporcinarán indicadores objetivos delaprendizaje y el dominio de las llamadas competencias matemáticas. Creemostener ideas claras de lo que nuestros estudiantes deben saber y de lo que debenser capaces de hacer. Y con esas ideas en mente enseñamos y evaluamos. Deotro lado, no será ni un grupo de burócratas o de sabios anónimos quieneselaboren la prueba, pues la comunidad matemática colombiana asumirá esaresponsabilidad. En esta ocasión será el pulgar y no el índice el dedo queusemos para señalar, pues no habrá funcionarios necios de algún institutogubernamental sobre quienes recaigan las críticas. Así las cosas, no sólo losestudiantes serán examinados. En efecto, con el ECAES seremos examina-dos los profesores y se pondrá a prueba todo el sistema de enseñanza de lasmatemáticas en Colombia y de su evaluación.

Es poco pobrable que los resultados del ECAES pasen desapercibidos ytodo se reduzca a informes y admoniciones. Detrás de las pruebas están, porun lado los intereses de los empleadores y por el otro, la homologación detítulos universitarios entre grupos de naciones. Más aún, la educación es unproceso costoso que exige racionalidad, y el estado seguramente utilizará losresultados de las pruebas en la asignación de recursos a las universidades. Ésaes una razón más para desear éxito a nuestros pupilos, pues de qué tan bienles vaya dependerá la viabilidad y existencia misma de nuestros programasde matemáticas.

Consistentes con nuestra vocación científica pensamos que el número deartículos que publicamos, los grados académicos que tenemos y los proyectosque administramos constituyen la garantía de la excelencia académica de nues-tros programas ¿Pero son ésos los únicos indicadores que cuentan? Sí, sonésos a la hora de asignar salarios y decidir sobre promociones en el mediouniversitario. Sin embargo, no son lo únicos, y eso lo sabemos muy bien. Ojalálos ECAES permitan introducir indicadores que rescaten a la buena docenciacomo la actividad más importante de nuestra vida académica. Que nadiese llame a engaños, al final serán favorecidos aquellos programas que tenganun mejor desempeño en el ECAES. Pero ¿ se correlacionarán favorablementelos resultados de las pruebas con los indicadores científicos de proyectos ypublicaciones? Cualquiera que sea la respuesta cambiará para siempre laenseñanza de las matemáticas en Colombia.

1

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Vol. XIII No 1 Junio (2005)Matemáticas: 3–14

Matemáticas:


c©Escuela Regional de MatemáticasUniversidad del Valle - Colombia

Ecuaciones dispersivas para ondas acuáticas

Juan Carlos Muñoz Grajales

Recibido Sep. 27, 2004 Aceptado Ene. 19, 2005

ResumenEn la literatura existen varios modelos para describir la propagación de ondas en la super-ficie de un fluido que ocupa un canal raso con profundidad constante. En particular, se handeducido formalmente algunos modelos simplificados a partir de la formulación potencialde las ecuaciones de Euler [1], [3], [14], [16]. En este trabajo calculamos estimativos en lanorma de L2 que nos permiten comparar las soluciones de un sistema del tipo Boussinesqy las ecuaciones de Euler, en el caso lineal, dentro de un intervalo de tiempo que dependedel parámetro de dispersión de los modelos. Validamos la teoría presentada a través dealgunos experimentos numéricos.

Palabras y frases claves: Ondas acuáticas, dispersión, ecuaciones de Euler, transformadade Fourier.

AbstractThere are several models to describe wave propagation on the surface of a fluid in a shallowchannel with constant depth. In particular, some simplified models have been formallyderived from the potential formulation of the Euler equations [1], [3], [14], [16]. In thiswork we calculate estimates in the L2 norm which allow us to compare the solutions of aBoussinesq-type system with the Euler equations, in the linear case, within a time intervalwhich depends on the dispersion parameter of the models. We validate the theory presentedthrough some numerical experiments.

Keywords: Water waves, dispersion, Euler equations, Fourier transform

AMSC(2000): Primary: 76B15, Secondary: 76B07

1 Introducción

Para describir el movimiento de una onda en la superficie de fluido que ocupaun canal raso unidimensional con fondo plano, se han propuesto varios mo-delos, entre otros, la formulación potencial para las ecuaciones de Euler envariables adimensionales [16]

βφξξ + φζζ = 0, para 0 < ζ < 1 + αη(ξ, t), (1)

con las condiciones

ηt + αφξηξ −1

βφζ = 0, en ζ = 1 + αη(ξ, t),

η + φt +α

2

(

φ2ξ +

1

βφ2

ζ

)

= 0, en ζ = 1 + αη(ξ, t), (2)

φζ = 0, en ζ = 0,

φ(ξ, 1 + αη0(ξ), 0) = φ0(ξ), η(ξ, 0) = η0(ξ),

4 J. C. Muñoz Grajales

y el sistema del tipo Boussinesq

ηt + ((1 + αη)u)ξ = 0,

ut + ηξ +α

2(u2)ξ −

β

3uξξt = 0, (3)

u(ξ, 0) = f(ξ), η(ξ, 0) = η0(ξ).

Aquí las variables ξ, ζ son las coordenadas espaciales, t denota el tiempo,φ(ξ, ζ, t) representa el potencial del flujo, η(ξ, t) denota (en ambos modelos)la elevación de la onda medida con respecto al nivel no perturbado (ζ =1), y el fondo del canal está ubicado en ζ = 0. La función u(ξ, t) denotala componente horizontal de la velocidad de las partículas de fluido en laprofundidad ζ =

√

1/3. Por lo tanto, la velocidad en el modelo (3) y elpotencial en (1)-(2) están relacionadas por u(ξ, t) = φξ(ξ,

√

1/3, t). Estoes importante en el momento de comparar los dos modelos anteriores. Losparámetros α > 0, β > 0 son constantes adimensionales que son pequeñascuando la amplitud de las ondas es pequeña y el canal es raso. La constante αmide los efectos no lineales del modelo y β controla la dispersión del sistema.Otros modelos del tipo Boussinesq para el movimiento de ondas en el aguahan sido presentados en [1],[2], [3], [6],[7], [10]. Por otro lado, formulacionesintegrales para el campo de velocidad del fluido han sido deducidas en [11] y[15] usando la técnica de la función de Green. En el caso del problema (1)-(2),la velocidad potencial en un punto interior del fluido puede ser expresada entérminos de una integral de línea a lo largo del fondo del canal y la superficielibre [9]. Este tipo de formulaciones permite la solución numérica de lasecuaciones (1)-(2) (incluso en el caso tri-dimensional), a través de métodos deelementos de frontera (ver [12]). Una formulación integral de primera clasepara el operador Dirichlet-Newmann en 2D asociado a la ecuación de Laplacese presenta en [5].

Existe evidencia experimental de que el modelo bi-dimensional (1)-(2) des-cribe con razonable precisión el movimiento de una onda que se propaga en lasuperficie de un canal raso con profundidad constante [13]. Sin embargo, laformulación potencial (1)-(2) tiene alta complejidad computacional y teóricaque dificulta su aplicación en predicción de ondas. Note que el dominio delproblema (1)-(2) depende del tiempo (porque la superficie libre descrita porla función η(ξ, t) está en movimiento) y esto es una fuente adicional de nolinealidad. Por esta razón se han propuesto varios modelos simplificados,pero su deducción ha sido solamente formal. Por ejemplo, en [16] se deduceformalmente el sistema de tipo Boussinesq (3) a partir de las ecuaciones deEuler completas (1)-(2) cuando 0 < α << 1, 0 < β << 1, descartando lostérminos de orden O(α2, αβ, β2). Los sistemas Boussinesq tales como (3)están ganando bastante popularidad porque su análisis teórico y numérico re-sulta más fácil que para la formulación potencial (1)-(2). Note que el dominiocomputacional para el sistema (3) es constante en el tiempo.

Ecuaciones dispersivas para ondas acuáticas 5

El problema que se tiene es calcular teóricamente la precisión de la apro-ximación Boussinesq (3) con respecto al modelo original de donde proviene(1)-(2). Esto es crucial si queremos verificar que el sistema Boussinesq aproxi-mado captura razonablemente los fenómenos físicos modelizados por las ecua-ciones (1)-(2). En este artículo respondemos esta pregunta en el caso linealα = 0. Se demuestra que el campo de velocidad y la elevación de la ondacorrespondientes a los dos modelos, permanecen próximas en la norma deL2(R) en un intervalo de tiempo que tiende a infinito cuando β → 0, paradatos iniciales en L2(R) con banda acotada, i.e. tales que su transformadade Fourier tiene soporte compacto. Nuestros estimativos son obtenidos usan-do la transformada de Fourier y algunas de sus propiedades en los modeloslinealizados.

Las contribuciones de este artículo son las siguientes. En primer lugar,mostrar la aplicación de la transformada de Fourier y del algoritmo numéricoFFT (Fast Fourier Transform) en la solución de problemas de valores de fron-tera lineales; en particular estas técnicas pueden usarse para resolver modelosde ondas acuáticas. Segundo, los estimativos que deducimos en el caso li-neal son un primer paso para el estudio de los modelos no lineales (α > 0)completos (1)-(2), (3).

Este trabajo está organizado como sigue. En la sección 2 deducimos lassoluciones de los modelos propuestos cuando α = 0 usando la transformadade Fourier. En la sección 3 calculamos estimativos para las soluciones delos modelos (1)-(2), (3) y en la sección 4 presentamos algunos experimentosnuméricos que validan los resultados teóricos obtenidos. Finalmente, en lasección 5 se encuentran las conclusiones del trabajo.

2 Solución de los modelos linealizados

En esta sección resolvemos los modelos (1)-(2), (3) en el caso lineal α = 0.A fin de eliminar el parámetro β en las ecuaciones, hacemos el cambio devariables

φ(ξ, ζ, t) = β−1/2Φ(β−1/2ξ, ζ, β−1/2t),

η(ξ, t) = β−1N(β−1/2ξ, β−1/2t),

u(ξ, t) = β−1U(β−1/2ξ, β−1/2t).

Por lo tanto, los datos iniciales en las variables U, N, Φ se expresan comoN(ξ, 0) = N0(ξ) = βη0(β

1/2ξ), U(ξ, 0) = F (ξ) = βf(β1/2ξ) y Φ(ξ, 1, 0) =Φ0(ξ) = β1/2φ0(β

1/2ξ). Las ecuaciones (1)-(2) se transforman en

Φξξ + Φζζ = 0, para 0 < ζ < 1, (4)


con las condiciones

Nt − Φζ = 0, en ζ = 1, (5)

N + Φt = 0, en ζ = 1, (6)

Φζ = 0, en ζ = 0, (7)

Φ(ξ, 1, 0) = Φ0(ξ), N(ξ, 0) = N0(ξ), (8)

y el sistema (3) se transforma en

Nt + Uξ = 0, (9)

Ut + Nξ −1

3Uξξt = 0, (10)

U(ξ, 0) = F (ξ), N(ξ, 0) = N0(ξ). (11)

2.1 Modelo Boussinesq

Denotamos la transformada de Fourier de una función g(ξ, t) con respecto aξ como

g(k, t) =

∫ ∞

−∞

g(ξ, t)e−ikξdξ.

Tomando formalmente tranformada de Fourier en la variable ξ en el sistema(9)-(11) obtenemos

Nt + ikU = 0, (12)

Ut + ikN +1

3k2Ut = 0, (13)

U(k, 0) = F (k), N(k, 0) = N0(k). (14)

Eliminando la variable N de las ecuaciones (12)-(13) se obtiene

Utt + ω2 U = 0, (15)

donde

ω2 =k2

1 + (1/3)k2. (16)

Por lo tanto, tenemos

U(k, t) = C1eiωt + C2e

−iωt. (17)

Entonces de la ecuación (13) se tiene

N(k, t) = − ω

k(1 + (1/3)k2)(C1e

iωt − C2e−iωt). (18)

Ahora usando las condiciones iniciales en (14) se tiene

C1 =F (k)

2− kN0(k)

2ω(1 + (1/3)k2), (19)

C2 =F (k)

2+

kN0(k)

2ω(1 + (1/3)k2).


2.2 Formulación potencial

Tomando transformada de Fourier con respecto a la variable ξ en la ecuación(4) obtenemos Φζζ − k2Φ = 0. Por lo tanto, usando la condición en el fondo(7) se obtiene

Φ(k, ζ, t) = A(t)cosh(kζ).

Tomando transformada de Fourier y combinando las ecuaciones (5) y (6) quese satisfacen en la superficie libre ζ = 1, se deduce que el coeficiente A(t)satisface la ecuación A′′(t) + ω2A(t) = 0, con ω2 = k tanh(k). Resolviendoesta ecuación se obtiene

Φ(k, ζ, t) = (D1(k)eiωt + D2(k)e−iωt)cosh(k ζ). (20)

De las condiciones iniciales (8) y la ecuación (6), y evaluando en t = 0, ζ = 1,se deduce que

Φ(k, 1, 0) = (D1(k) + D2(k))cosh(k) = Φ0(k), (21)

Φt(k, 1, 0) = iω(D1(k) − D2(k))cosh(k) = −N0(k).

De las ecuaciones (21) se encuentra que

D1(k) =iωΦ0(k) − N0(k)

2 i ω cosh(k), D2(k) =

iωΦ0(k) + N0(k)

2 i ω cosh(k).

Por otra parte, de la ecuación (6) y usando el resultado en la ecuación (20),se sigue que

N(k, t) = −Φt(k, 1, t) = iω(−D1(k)eiωt + D2(k)e−iωt)cosh(k). (22)

La componente horizontal Up(ξ, t) de la velocidad según el modelo (4)-(8) es

Up(ξ, t) = Φξ(ξ,√

1/3, t),

y por lo tanto, de la ecuación (20) obtenemos

Up(k, t) = i k Φ0(k)

(

D1(k)eiωt + D2(k)e−iωt

)

cosh(√

1/3k)

cosh(k). (23)

Usando la ecuación anterior, es fácil ver que a fin que los modelos (4)-(8) y(9)-(11) coincidan en t = 0 (i.e. Up(k, 0) = U(k, 0) = F (k) ), se requiere lasiguiente relación entre los datos iniciales:

Φ0(k) =F (k)cosh(k)

k i cosh(√

1/3k). (24)


Entonces, reemplazando la expresión (24) en las ecuaciones (22),(23), obten-emos que la elevación de la onda está dada por

Np(k, t) =1

2

[(

− ω F (k)cosh(k)

k cosh(√

1/3k)+ N0(k)

)

eiωt (25)

+

(

ω F (k)cosh(k)

k cosh(√

1/3k)+ N0(k)

)

e−iωt

]

,

y la componente horizontal de la velocidad es

Up(k, t) =1

2

[(

F (k) − k N0(k)cosh(√

1/3k)

ω cosh(k)

)

eiωt (26)

+

(

F (k) +k N0(k)cosh(

√

1/3k)

ω cosh(k)

)

e−iωt

]

.

3 Comparación analítica de los modelos linealizados

Consideramos el espacio L2(R) con la norma

‖f‖2 =

(∫ ∞

−∞

|f(x)|2 dx

)1/2

,

y el espacio E = L2(R) × L2(R) dotado con la norma

‖(u, v)‖E = ‖u‖2 + ‖v‖2 ,

donde u, v ∈ L2(R). Además, usamos la notación estándar f(x) = O(g(x))para indicar que existe una constante C > 0 tal que |f(x)| ≤ C|g(x)|.

En esta sección nos proponemos calcular estimativos que nos permitencomparar las soluciones correspondientes a los modelos (4)-(8) y (9)-(11).Demostramos el siguiente teorema.

Teorema 1. Suponga que η0, f ∈ L2(R), que el soporte de η0, f está contenidoen [−M, M ], M > 0 y 0 < β << 1. Sean (Φ, Np), (U, N) soluciones de losmodelos (4)-(8) y (9)-(11), respectivamente, con datos iniciales Np(ξ, 0) =N(ξ, 0) = N0(ξ) = βη0(β

1/2ξ), U(ξ, 0) = F (ξ) = βf(β1/2ξ) y Φ(ξ, 1, 0) =

Φ0(ξ) con Φ0(k) = F (k) cosh(k)

k i cosh(√

1/3k). Sea Up(ξ, t) = Φξ(ξ,

√

1/3, t). Entonces si

t ∈ [0, β−9/4],

‖(Up(., t), Np(., t)) − (U(., t), N(., t))‖E ≤ Cβ ‖(f, η0)‖E , (27)

donde C > 0 es una constante que depende sólo de M .


Demostración. En primer lugar, de las ecuaciones (17) y (26) tenemos∣

∣

∣Up(k, t) − U(k, t)

∣

∣

∣≤

∣

∣

∣eiωt(A1(k)ei(ω−ω)t − B1(k))

∣

∣

∣+ (28)

∣

∣

∣e−iωt(A2(k)e−i(ω−ω)t − B2(k))

∣

∣

∣,

donde

A1(k) =F (k)

2− k cosh(

√

1/3k)N0(k)

2 ω cosh(k)

B1(k) =F (k)

2− kN0(k)

2 ω(1 + (1/3)k2)(29)

A2(k) =F (k)

2+

k cosh(√

1/3k)N0(k)

2 ω cosh(k)

B2(k) =F (k)

2+

kN0(k)

2 ω(1 + (1/3)k2)

Usando las expansiones de Taylor en torno de k = 0,

k cosh(√

1/3k)

2 ω cosh(k)=

1

2− k2

12+

53

2160k4 + O(k6) (30)

k

2ω(1 + (1/3)k2)=

1

2− k2

12+

1

48k4 + O(k6)

ω = k1/2tanh(k)1/2 = k − 1

6k3 +

19

360k5 + O(k7)

ω =

√

k2

1 + (1/3)k2= k − 1

6k3 +

1

24k5 + O(k7),

obtenemos el estimativo∣

∣

∣Up(k, t) − U(k, t)

∣

∣

∣≤

∣

∣

∣A1(k)ei( 19

360− 1

24)tk5+O(tk7) − B1(k)

∣

∣

∣+ (31)

∣

∣

∣A2(k)e−i( 19

360− 1

24)tk5+O(tk7) − B2(k)

∣

∣

∣≤ |G(t, k)|

para k << 1, donde

G(t, k) = N0(k)(O(k4) + O(tk5)) + F (k)O(tk5).

De manera semejante, usando las expansiones de Taylor en torno de k = 0,

ω cosh(k)

k cosh(√

1/3k)= 1 +

k2

6− 23

1080k4 + O(k6) (32)

ω(1 + (1/3)k2)

k= 1 +

k2

6− 1

72k4 + O(k6),


en las ecuaciones (18) y (25) obtenemos el estimativo∣

∣

∣Np(k, t) − N(k, t)

∣

∣

∣≤

∣

∣

∣N0(k)O(tk5) + F (k)(O(k4) + O(tk5))

∣

∣

∣, (33)

válido para k << 1. Los datos iniciales η0(ξ) y f(ξ) tienen banda acotada, i.e.,que sus transformadas de Fourier tienen soporte compacto en [−M, M ], conM > 0. Por lo tanto, como N0(ξ) = βη0(β

1/2ξ), F (ξ) = βf(β1/2ξ), tenemosque los soportes de N0 y F están contenidos en [−β1/2M, β1/2M ]. Tenemospor el teorema de Parseval y por los estimativos (31) y (33)

‖Up(., t) − U(., t)‖2 =∥

∥

∥Up(., t) − U(., t)∥

∥

∥

2

≤(

∫ β1/2M

−β1/2M

∣

∣

∣N0(k)(C1k4 + C2tk

5) + C3F (k)tk5∣

∣

∣

2dk

)1/2

≤(

∫ β1/2M

−β1/2M

∣

∣

∣β1/2η0(β−1/2k)(C1k

4 + C2tk5)

∣

∣

∣

2dk

)1/2

+

(

∫ β1/2M

−β1/2M

∣

∣

∣β1/2f(β−1/2k)C3tk

5∣

∣

∣

2dk

)1/2

≤(∫ M

−M

∣

∣

∣β1/2η0(s)(C1β

2s4 + C2tβ5/2s5)

∣

∣

∣

2β1/2ds

)1/2

+

(∫ M

−M

∣

∣

∣β1/2f(s)C3tβ5/2s5

∣

∣

∣

2β1/2ds

)1/2

≤ ‖η0‖2 (C1β11/4 + C2tβ

13/4) + C3 ‖f‖2 tβ13/4, (34)

donde C1, C2, C3 son constantes positivas que dependen de M . Note que lasseries de Taylor (30)-(32) usadas en los estimativos anteriores son válidas enel intervalo [−β1/2M, β1/2M ] para β suficientemente pequeño.

Procediendo de manera similar,

‖Np(., t) − N(., t)‖2 =∥

∥

∥Np(., t) − N(., t)∥

∥

∥

2

≤‖f‖2 (D1β11/4 + D2tβ

13/4) + D3 ‖η0‖2 tβ13/4, (35)

donde D1, D2, D3 son constantes positivas que dependen de M . Por lo tantocombinando las desigualdades (34) y (35) tenemos

‖(Up(., t) − U(., t), Np(., t) − N(., t))‖E ≤ C ‖(f, η0)‖E (β11/4 +β13/4t), (36)

donde C > 0 es una constante que depende de M . De los estimativos anterio-res deducimos que el error absoluto en la norma de L2 × L2 es O(β) siempreque 0 < t < β−9/4. Así las soluciones (Up(., t), Np(., t)), (U(., t), N(., t)) se en-cuentran próximas O(β) cuando t ∈ [0, β−9/4]. Esto concluye la demostracióndel estimativo (27). 2


4 Experimentos numéricos

Calculamos Up, U, Np, N las ecuaciones (17),(18),(25),(26) usando el teoremade inversión de Fourier

U(ξ, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

U(k, t)eikξdk (37)

y similarmente para U, Np, N . Para computar la integral del tipo Fourier enla ecuación (37) es más eficiente emplear el algoritmo numérico FFT (FastFourier Transform) el cual disminuye el costo de las operaciones a O(nlog(n)),donde n es el número de puntos donde se evalúa el coeficiente de FourierU(k, t). Esto debe compararse al costo normal de este cálculo sin FFT quees O(n2). La FFT usa la regla del trapecio para aproximar la integral en(37) y su uso es ventajoso cuando se implementan esquemas numéricos deltipo espectral o seudoespectral para ecuaciones de evolución, tales como losmodelos (1)-(2) y (3) considerados en este trabajo, que requieren evaluarvarias integrales del tipo Fourier en cada paso del tiempo. Por ejemplo, elautor implementa un esquema del tipo espectral usando el algoritmo FFTpara la ecuación de Benjamin-Ono y otros sistemas de ecuaciones dispersivaspara ondas acuáticas en [8]. Destacamos que la máxima eficiencia de la FFTrequiere que el número de puntos n sea una potencia de 2. Además, estealgoritmo es fácil de usar y se encuentra implementado en varios sistemas decomputación científica tales como SCILAB, MATLAB y MATHEMATICA.Ver información completa sobre la FFT en [4].

A fin de validar los resultados obtenidos en la sección 3, en la figura 1comparamos la elevación de la onda Np, N , dados por los modelos (4)-(8)y (9)-(11), respectivamente, para t = 5000 y β = 0.01. El pulso inicialN0(ξ) = F (ξ) es un tren de tres Gaussianas con amplitud β ubicadas en lasposiciones ξ = 500, 550, 600 de la forma

N0(ξ) = F (ξ) = β(e−β(x−600)2/ε + e−β(x−550)2/ε + e−β(x−500)2/ε),

donde ε = 0.3. Note que a pesar que este tipo de pulso no es en realidad debanda acotada, su transformada de Fourier es efectivamente cero fuera delintervalo [-4,4], debido a su decaimiento exponencial en infinito. Se observaque las soluciones coinciden con buena precisión en esta escala de tiempo enconcordancia con el teorema 1. Se usaron en este cálculo 8192 puntos para elcálculo de la FFT en el intervalo [0,6000]. Las tres Gaussianas aún puedendistinguirse en la parte de la solución en el intervalo [5450,5700]. Su amplitudha disminuido debido a la atenuación dispersiva generada en el modelo. Enla figura 2 presentamos los resultados para la elevación de la onda en ambosmodelos considerados para un valor mayor de dispersión β = 0.1 y t = 200.La FFT se realiza en este caso con 4096 puntos en el intervalo [0,1000]. Segúnla teoría se espera que las soluciones correspondientes estén próximas dentro


de una escala de tiempo t ∈ [0, β−9/4] = [0, 177.83]. Así en este experimentolas soluciones empiezan a separarse, sobretodo en la cola dispersiva de lasolución ubicada en el intervalo [550,750]. En este intervalo, el número deonda típico k es grande y las aproximaciones de Taylor (válidas en el inter-valo [−β1/2M, β1/2M ]) empleadas en el teorema 1 son menos precisas. Noobstante, en el frente de la onda dentro del intervalo [750,850] se observa quela solución del modelo Boussinesq (9)-(11) aún coincide con buena precisióncon la solución de las ecuaciones de Euler (4)-(8).

4800 4900 5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−3

ξ

Figura 1: Puntos: Elevación de la onda Np(ξ, t) según modelo (4)-(8). Línea contínua: N(ξ, t) según modelo (9)-(11). Parámetros del modelo: t = 5000, β = 0.01.

5 Conclusiones

En este trabajo hemos demostrado que las soluciones de los modelos linea-lizados (4)-(8) y (9)-(11) coinciden O(β) cuando el tiempo varía dentro delintervalo [0, β−9/4]. Así si β << 1 se espera que las soluciones correspondi-entes estén próximas en un intervalo de tiempo razonablemente grande. Saberesto es crucial para tener seguridad de que el modelo Boussinesq aproximadodescribe los fenómenos físicos modelizados por la formulación potencial delas ecuaciones de Euler (4)-(8). Se ha validado la teoría a través de algunosexperimentos numéricos. Este estudio es el punto de partida para analizarla consistencia de los modelos completos no lineales (α > 0) en un futurotrabajo.


500 550 600 650 700 750 800 850 900−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

ξ

Figura 2: Puntos: Elevación de la onda Np(ξ, t) según modelo (4)-(8). Línea con-tínua: N(ξ, t) según modelo (9)-(11). Parámetros del modelo: t = 200, β = 0.1.

6 Agradecimientos

Este trabajo hace parte del proyecto Modelos para ondas en costas al-tamente irregulares (Código 7660) financiado parcialmente por la Univer-sidad del Valle, Cali, Colombia.

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Dirección del autor: J. C. Muñoz, Univ. del Valle, [email protected]


Matemáticas:



Problemas elementales y soluciones difíciles

Yu TakeuchiRecibido Nov. 22, 2004 Aceptado Feb. 03, 2005

ResumenEste artículo trata ecuaciones funcionales del tipo f f = h f o f f = cI, donde I esla función identidad, h es una función conocida y c es unnúmero real. Las técnicas quese emplena son elementales, aunque los problemas que se resulven no son en modo algunotriviales.

Palabras y frases claves: iteraciones, ecuaciones funcionales, involuciones.

AbstractThe article deals with functional equations of the type f f = h f or f f = cI, whereI is the identity function on R, h is a given function and c a real number. Although thetechniques we use are quite elemental, the problems around these functional equations areby no means trivial.

Keywords: Iterations, fuctional equations, involutions.

AMSC(2000): Primary 39B22, Secondary 39B12.

1 Introducción

Hace unos veinte años un estudiante me preguntó: Profesor, ¿cuál es el pro-blema más difícil del cálculo? No pude contestar a esta pregunta en aquellaépoca, pero desde entonces la pregunta de aquel estudiante siempre ha estadoen mi mente. Desde luego que tengo una colección de problemas difíciles delcálculo. Son problemas tradicionales sobre derivadas, integrales, límites y de-sigualdades que son difíciles de resolver sin utilizar algunos trucos precisos. Amí no me gusta mostrarlos como una respuesta a la pregunta pendiente, puessiempre he tenido el deseo de encontrar los problemas difíciles del cálculo quesatisfagan los siguientes criterios:

• que sean preguntas fáciles de comprender,

• que sean problemas difíciles de resolver,

• que los prerrequisitos que no vayan más allá del primer semestre univer-sitario, sin nada de ε y δ, nada de vecindades, nada de conjuntos abiertoso cerrados, nada de la compacidad ni de recubrimientos abiertos, etc.

• que los problemas sean utiles para entender la matemática básica,

• que no sean problemas aislados, sino que formen una parte de algúntema más amplio de la matemática.

16 Yu Takeuchi

Evidentemente, los problemas tradicionales del cálculo no cumplen lascondiciones anteriores. Recientemente encontré problemas que posiblementellenen todos los requisitos mencionados. A continuación voy a presentar unaserie de problemas del cálculo, que aunque son similares requieren métodosdistintos para resolverlos. Curiosamente, no se necesitan conocimientos sobrela derivada, la integral, la regla de L’Hopital o el teorema del valor medio.Los requisitos necesarios son únicamente los conceptos de función de R en R,composición de funciones, límite y continuidad de las funciones, y el teoremadel valor intermedio y sus consecuencias.

2 La ecuación f f = h f y sus variantes

Dada h : R → R continua, vamos a encontrar todas las funciones f : R → R

que satisfacen la ecuaciónf f = h f (1)

o sea, f(f(x)) = h(f(x)), para todo x ∈ R. Haciendo el cambio

g(x) = f(x) − h(x)

se obtieneg(f(x)) = f(f(x)) − h(f(x)) = 0, (2)

o seag(f(x)) = 0, x ∈ R.

Sea S = f(x)|x ∈ R el recorrido de la función f . Entonces se tiene que

g(x) = 0, x ∈ S.

Sabemos que S es un intervalo o un conjunto unitario puesto que la funciónf es continua en R. Por lo tanto se presentan los siguientes casos:Caso 1. S es un conjunto unitario. Digamos S = a. Debe ser entoncesf(x) = a para todo x ∈ R. De la ecuación (1) se tiene que a = h(a); es decir,la constante a debe ser un punto fijo de la función h(x).Caso 2. S = R. En tal caso g(x) = 0 para todo x ∈ R, y de (2) se deducef(x) = h(x) para todo x ∈ R.

Caso 3. S = (−∞, b] ó S = (−∞, b). Aquí se tiene g(x) = 0, esto es,f(x) = h(x) si x ≤ b. Como S = (−∞, b], se tiene que la función f(x) satisfacela siguiente condición:

f(x) =h(x) si x ≤ b,

infx∈R

f(x) = −∞,

supx∈R

f(x) =b.

(3)

Problemas elementales y soluciones difíciles 17

Si S = (−∞, b) se tiene que g(x) = 0 si x < b, por la continuidad de g(x)en b se obtiene también que g(x) = 0 si x ≤ b. En caso de que S = (−∞, b),la condición supx∈R f(x) = b debe ser reemplazada por supx∈R f(x) = b yf(x) 6= b. De (3), teniendo en cuenta que h(x) = f(x) si x ≤ b, se sigue quela constante b no es arbitraria sino que debe cumplir la condición

h(x) ≤ b si x ≤ b. (4)

Una condición necesaria (más sencilla que la condición (3)) para que f seauna solución de la ecuación (1) es la siguiente:

f(x) = h(x) si x ≤ bf(x) ≤ b si x ≥ b.

(5)

Más aún, si f satisface la condición (5), entonces f es una solución de laecuación (1). En efecto, si x ≤ b entonces h(x) ≤ b, y por lo tanto

f(f(x)) = f(h(x)) = h(h(x)) = h(f(x)).

Si x ≥ b, entonces f(f(x)) = h(f(x)) ya que f(x) ≤ b.Caso 4. S = [a,+∞) ó S = (a,+∞). En este caso se tiene g(x) = 0 six ≥ a, esto es, f(x) = h(x) si x ≥ a. Como S es el recorrido de f , entoncesla función f satisface

f(x) = h(x), si x ≥ a,supx∈R

f(x) = +∞,

minx∈R

f(x) = a.

(6)

De (6) se tiene que h(x) = f(x) ≥ a si x ≥ a. Por lo tanto la constante a noes arbitraria sino que debe cumplir:

h(x) ≥ a si x ≥ a. (7)

Análogamente, si f satisface la condición

f(x) = h(x) si x ≥ a,f(x) ≥ a si x ≤ a,

(8)

que es más sencilla que (6), entonces f(x) es una solución de la ecuación (1).En efecto, si x ≥ a, entonces h(x) ≥ a, por lo cual

f(f(x)) = f(h(x)) = h(h(x)) = h(f(x)).

Si x ≤ a, entonces f(f(x)) = h(f(x)).

18 Yu Takeuchi

Caso 5. S = [a, b] (ó S = [a, b), ó S = (a, b] ó S = (a, b)). Aquí tenemosg(x) = 0 si a ≤ x ≤ b, esto es; f(x) = h(x) si a ≤ x ≤ b. Un argumentoanálogo a los casos anteriores muestra que f satisface:

f(x) = h(x) si a ≤ x ≤ bminx∈R

f(x) = a, maxx∈R

f(x) = b.

(9)

De (9) se tiene que a ≤ h(x) = f(x) ≤ b si a ≤ x ≤ b. Entonces las constantesa y b no son arbitrarias sino que deben cumplir las siguientes condicionesrespectivamente:

a ≤ h(x) ≤ b si a ≤ x ≤ b. (10)

Como en los casos 3 y 4, si f satisface la condición simplificada

f(x) = h(x) si a ≤ x ≤ b,a ≤ f(x) ≤ b si x /∈ (a, b),

(11)

entonces f(x) es una solución de la ecuación (1). El recorrido S de f puedeno coincidir con [a, b], pero es un intervalo contenido en [a, b].

2.3 La ecuación f f = c

Si c es una constante se trata de hallar las funciones continuas f que satisfagan

f(f(x)) = c, x ∈ R.

Tome h ≡ c (h es la función contante del valor c), entonces en concordanciacon los casos discutidos previamente se tiene

1. Si S = a, entonces a = c, por lo tanto: f ≡ c

2. Si S = R se tendría del Caso 2 que f ≡ c. Pero una función constanteno puede tener R como recorrido. Es decir, no hay solución.

3. S = (−∞, b] y b ≥ c. Del Caso 3, condición (5), se tiene

f(x) = c si x ≤ b, f(x) ≤ b si x ≥ b.

4. S = [a,+∞) y a ≤ c. Del Caso 4, condición (8), se tiene

f(x) = c si x ≥ a, f(x) ≥ a si x ≤ a.

5. S = [a, b] con a ≤ c ≤ b. Del Caso 5, condición (11), se tiene

f(x) = c si x ∈ [a, b], a ≤ f(x) ≤ b si x /∈ [a, b].


Ejemplo 1. Las siguientes funciones son soluciones de la ecuación f f = 0.

f(x) =

0, x ≥ −3,

x2 + 4x + 3, −3 ≤ x ≤ −1,

0, −1 ≤ x ≤ 2,2(x−2)

x , x ≥ 2,

S = [−1, 2).

f(x) =

2, x ≥ −2 −√

3,

x2 + 4x + 3, −2 −√

3 ≤ x ≤ −1,

0, −1 ≤ x ≤ 2,2(x−2)

x , x ≥ 2,

S = [−1, 2].

2.4 La ecuación f f = f

Se trata de hallar todas las funciones continuas f : R → R que satisfacen

f(f(x)) = f(x) para todo x ∈ R.

Aquí h es la función idéntica.

1. Si S = a entonces f ≡ a.

2. Si S = R, entonces f(x) = x (la función idéntica).

3. S = (−∞, b]. Se tiene

f(x) = x si x ≤ b, f(x) ≤ b si x ≥ b.

4. S = [a,+∞) con a ≤ c, entonces

f(x) = x si x ≥ a, f(x) ≥ a si x ≤ a.

5. S = [a, b] con a ≤ 0 ≤ b, tenemos

f(x) = x si x ∈ [a, b], a ≤ f(x) ≤ b si x /∈ [a, b].

No hay restricciones adicionales para las constantes a, b.

2.5 La ecuación f f = c f, c > 0

Resolver la siguiente ecuación

f(f(x)) = c f(x) para todo x ∈ R, con c > 0.

Se tiene h(x) = c x. Es decir, h = c I donde I es la función idéntica.

20 Yu Takeuchi

1. Si S = a entonces f ≡ a y a = 0 en virtud del Caso 1. Por eso f ≡ 0.

2. Si S = R, se tiene por el Caso 2 que f(x) = c x.

3. S = (−∞, b]. De (4) se tiene la condición adicional para b: b (c−1) ≤0. De (5) se sigue

f(x) = c x si x ≤ b, f(x) ≤ b si x ≥ b.

4. S = [a,∞). De (7) se tiene la condición adicional: a (c−1) ≥ 0. Resultaentonces

f(x) = c x si x ≥ a, f(x) ≥ a si x ≤ a.

5. S = [a, b]. De (10) se obtiene a ≤ h(x) = c x ≤ b. Por eso:

a ≤ c a ≤ b, a ≤ c b ≤ b.

Si c > 1 no existen constantes a y b que satisfagan las desigualdadesanteriores, por lo tanto no aplica el Caso 5. Si 0 < c < 1 se obtienenlas restricciones:

a ≤ 0, c a ≥ a, b ≥ 0 y c b ≤ b,

y las siguientes condiciones para la solución f

f(x) = c x si x ∈ [a, b], a ≤ f(x) ≤ b si x /∈ [a, b].

2.6 La ecuación f f = c f, c < 0

Se toma h(x) = c x, con c < 0 y se analizan los casos.

1. S = a. Nuevamente a = 0 y resulta f ≡ 0.

2. S = R, f(x) = c x.

3. S = (−∞, b]. Se sigue de (4) que c x ≤ b, si x ≤ b. Tomando x → −∞se tendría que ∞ < b, lo cual es una contradicción. Por lo tanto el Caso3 no aplica.

4. S = [a, b]. Se presentan las siguientes restricciones para a y b:

a ≤ c x ≤ b si x ∈ [a, b].

Tomando x = a y x = b en la desigualdad anterior se obtienen:

a ≤ c a ≤ b, a ≤ c b ≤ b,


Por eso (1−c) a ≤ 0 y (1−c) b ≥ 0. Por lo tanto a ≤ 0 y b ≥ 0. Además,se tiene que c a ≤ b, y a ≤ c b. De las desigualdades anteriores seobtiene |c| ≤ 1. Por lo tanto, si |c| > 1 no se presenta el Caso 5.

Si |c| ≤ 1. Se obtienen las siguientes condiciones para f(x):

f(x) = c x, x ∈ [a, b], a ≤ f(x) ≤ b, x /∈ (a, b).

Nótese que se presenta el Caso 5 sólo cuando −1 ≤ c < 0, y a, b satis-facen las desigualdades

a ≤ c b ≤ 0 ≤ c a ≤ b.

3 La ecuación f f = I

Consideraremos la ecuación

f (f (x)) = x, x ∈ R. (12)

Esta ecuación funcional fué considerada por Charles Babbage [2] en 1815. Sussoluciones se conocen en la literatura especilizada como involuciones.

Proposición 1. Cualquier solución continua f de (12) es una biyección enR. Más aún, si f no es la identidad, entonces f es estrictamente decrecientey existe un único p ∈ R tal que f(p) = p.

Demostración. f es estrictamente monótona y la la inversa f−1 de f existepues f(x) = f(x′) implica

x = f (f (x)) = f(

f(

x′)))

= x′.

Evidentemente, la identidad I en R satisface (12). Supongamos que f 6= I.Existen α y β tales que f(α) = β, α 6= β. De (12) se tiene que f(β) =f(f(α)) = α. Supongamos sin pérdida de generalidad que α < β, entonces

f(α) = β > α = f(β) y α < β

por lo tanto f es estrictamente decreciente. De (12), se tiene que f = If−1 =f−1. Además f es sobreyectiva pues

limx→−∞

f(x) = ∞, limx→∞

f(x) = −∞.

Puesto que f es estrictamente decreciente, por el teorema de valor inter-medio existe un p tal que f(p) = p. 2

22 Yu Takeuchi

p

f

f−1

Figura 1:

Sea f la restricción de f al intervalo (−∞, p ]. Obsérvese que

f : (−∞, p ] → [p,∞), f−1 : [p,∞) → (−∞, p ] .

En consecuencia se tiene que

f(x) = f−1(x) para x ≥ p.

Recíprocamente tenemos el siguiente resultado.

Ejemplo 2. Defínase f(x) = −x + 1 para x ∈ (−∞, 12 ]. Observe que p = 1

2 .Resulta claro que f−1(x) = −x + 1, x ∈ (1

2 ,∞), y que f(x) = −x + 1, x ∈ R

resuelve (12).

Proposición 2. Sean p ∈ R y f → (−∞, p ] → R continua, estrictamentedecreciente y tal que f(p) = p. Si limx→−∞ f(x) = ∞, entonces

f(x) =

f(x), x ∈ (−∞, p ] ,

f−1(x), x ∈ [p,∞).

es una solución continua de (12).

Demostración. La función f así definida es continua, estrictamente decre-ciente en R y sobreyectiva. Además se tiene que:

f(f(x)) = f−1(f(x)) = x para x ≤ p,

f(f(x)) = f(f−1(x)) = x para x ≥ p.

Es decir, f es una solución de la ecuación (12). 2


Ejemplo 3. Sea f(x) = x2 − 2 definida en (−∞,−1]. Un cálculo sencillomuestra que la siguiente función es solución continua de (12)

f(x) =

x2 − 2, x ≤ −1,

−√

x + 2, x ≥ −1.

4 La ecuación f f = c I

Sea f : R → R una función continua que satisface la ecuación:

f(f(x)) = c x para todo x ∈ R, c 6= 0, c 6= 1. (13)

Proposición 3. El gráfico de cualquier solución continua de (13) no toca losejes coordenados ni la diagonal principal y = x excepto en el origen.

Demostración. Supóngase que f(0) = β. Entonces f(f(0)) = f(β) = c 0 = 0,f(f(β)) = f(0) = c β. Como f(0) = β y f(0) = c β, se tiene que β (c−1) = 0.Por hipótesis c 6= 1, por lo tanto se tiene que β = 0.

Ahora supóngase que f(α) = 0. Se tiene f(f(α)) = f(0) = c α. Delargumento anterior de la prueba se tiene que c α = 0, por la hipótesis c 6= 0,entonces α = 0.

Si f(α) = α entonces f(f(α)) = f(α) = c α. Luego α = c α, o sea que(c − 1)α = 0. Por hipótesis c 6= 1, entonces α = 0. 2

Otra propiedad importante de las soluciones de (13) es:

Proposición 4. Cualquier solución continua de (13) es biyectiva.

Demostración. Si f(x) = f(x′), entonces

c x = f(f(x)) = f(f(x′)) = c x′, y por tanto x = x′.

Como la función f es continua en R, entonces f(x) es estrictamente monótona.De otro lado, de (13) se obtiene

f = c I f−1 = c f−1, o sea que f−1 =1

cf.

Por lo tanto el dominio de f−1 es igual a R; esto es, el recorrido de f es iguala R. 2

Proposición 5. Si c < 0 no hay soluciones continuas de (13).

Demostración. Por la proposición 3, si f(τ) = 0 entonces τ = 0. Para α > 0,supongamos que f(α) = β, de la ecuación (13) se tiene que

f(β) = f(f(α)) = c α < 0.

24 Yu Takeuchi

Si β > 0, por el teorema del valor intermedio, existe ρ 6= 0 entre α y β talque f(ρ) = 0. Lo cual es absurdo.

Si β < 0, entonces f(c α) = f(f(β)) = c β > 0, y por el teorema delvalor intermedio existe un σ 6= 0 entre β y c α tal que f(σ) = 0. Lo cuales igualmente absurdo. Por lo tanto ninguna función continua f satisface laecuación (13). 2

Ahora abordaremos el caso más interesante cuando c > 0. Podemossuponer que c > 1. Si 0 < c < 1, transformando la ecuación (13) en laforma

I = c f−1 f−1 ó f−1 f−1 =1

cI,

se obtiene el caso de 1c > 1 para la función f−1.

Como f es un homeomorfismo de R, o bien f es estrictamente crecienteo estrictamente decreciente. Teniendo en cuenta que el gráfico de f sólo tocalos ejes coordenados en el origen, se tiene en caso de ser creciente que existenreales α > 0, β > 0, con f(α) = β. Análogamente, si f es decreciente existenreales α < 0, β > 0, con f(α) = β.

Proposición 6. Sea f una solución continua de (13). Si existen reales α > 0,β > 0, con f(α) = β, entonces β > α, f es estrictamente creciente y existeun p > 0 tal que

f((√

c)n

p)

=(√

c)n+1

p, n ∈ Z.

Demostración. Por contradicción supongamos que f(α) = β < α. Por laproposición 3, la curva y = f(x), (x > 0), está por debajo de la recta y = x.Se tiene entonces que

c α = f(f(α)) = f(β).

Es decir, c α < β < α, lo que implica 0 < c < 1 y contradice la hipótesisc > 1.

La función f es estrictamente creciente en x > 0. En efecto, como β =f(α) > α, la curva y = f(x), x > 0, está por encima de la recta y = x y porlo tanto se tiene que f(β) > β = f(α) siendo β > α.

Como f(α) = β >√

c α se obtiene

f(β) = f(f(α)) = c α =√

c α√

c < β√

c.

En consecuencia, los dos puntos (α, f(α)) y (β, f(β)) están en los lados o-puestos de la recta y =

√c x. Por el teorema del valor intermedio, existe

p ∈ (α, β) con f(p) =√

c p. Se tiene que

f(p) =√

c p, f(√

c p) = f(f(p)) = c p =(√

c)2

p,


y de otro lado para t = f(p/√

c) obtenemos

f(t) = f(f(p/√

c)) = c p/√

c =√

c p.

Como f(p) =√

c p entonces se tiene que t = f(p/√

c) = p. El resto de lademostración se obtiene por inducción. 2

Supóngase que f satisface (13) y sea p > 0 elegido de acuerdo con laproposición 6. Considere los intervalos

Ln =[

(√c)n

p,(√

c)n+1

p]

, n ∈ Z. (14)

Se tiene que

(0,∞) =∞⋃

n=−∞

Ln. (15)

Sea fn la restricción de f al intervalo Ln. Como la función f es continua yestrictamente creciente, entonces para todo n ∈ Z las aplicaciones

fn : Ln → Ln+1, f−1n : Ln+1 → Ln

son biyectivas. De (13) se deduce

fn+1 fn = c I, y,1

cfn+1 fn = I,

por lo tanto se obtienen las siguientes fórmulas recursivas:

fn+1 = c f−1n , fn =

(

1

cfn+1

)−1

. (16)

Mostraremos como se construyen todas las soluciones continuas de (13).

Proposición 7. Sean p > 0, c > 1, y Ln, n ∈ Z, la colección de intervalosdefinidas por (14). Si la aplicación

f0 :[

p,√

c p]

→ L1, f0(p) =√

c p, f0(√

c p) = c p

es continua y estrictamente creciente, entonces las aplicaciones

fn : Ln → Ln+1

definidas mediante la recursión (16) son biyectivas y la función

g : (0,∞) → (0,∞) , g(x) = fn(x), si x ∈ Ln

es continua y satisface g(g(x)) = c x para x > 0.

26 Yu Takeuchi

1

λp p λp λ2 p

f0 f1

y = λx

y = xλ =√

c

Figura 2:

Demostración. Nótese que L0 = [√

c p, p]. Se define la función f1 : L1 → L2

mediante f1 = c f−10 . Es claro que f1 es continua y estrictamente creciente en

L1. Más aún, como f1 = c f−10 , se obtiene que

f1 f0 = c f−1 f0 = c I.

Aplicando la recursión (16) se prueba con un argumento análogo que lasfn : Ln → Ln+1, n ∈ Z, son continuas, biyectivas, estrictamente crecientes ysatisfacen

fn+1 fn = c I, n ∈ Z.

2

La Proposición 7 indica un procedimiento para construir soluciones con-tinuas y positivas de de g(g(x)) = c x para x > 0. La construcción para x < 0se puede reducir al caso x > 0 mediante el cambio de variables:

g(x) = −G(−x), −x = t.

En efecto, en términos de la nueva variable se obtiene

G(G(t)) = c t (t > 0, G(t) > 0),

de esta manera se tienen para G las hipótesis de la Proposición 7.Vale la pena destacar lo siguiente: si g1 y g2 son aplicaciones continuas

definidas en [0,∞) y satisfacen

gi (gi (x)) = c x > 0, gi(0) = 0, i = 1, 2,


y = λx

y = xg(x)

x

Figura 3:

entonces

f(x) =

g1(x) si x > 0,

−g2(−x) si x < 0,

es una solución continua de (13).

Ejemplo 4. Sean p = 2 y c = 14 . La aplicación f0 está definida mediante

f0(x) =

x + 1, x ∈ [1, 53 ],

4 (x − 1), x ∈ [53 , 2]

Se verifica que

f1(x) =

4 (x − 1), x ∈ [2, 83 ],

x + 4, x ∈ [83 , 4]

f2(x) =

x + 4, x ∈ [4, 203 ],

4 (x − 4), x ∈ [203 , 8]

Sea

g(x) =

x + 4n, x ∈ [4n 23 , 4n 5

3 ],

4(x − 4n−1), x ∈ [4n−1 53 , 4n 2

3 ]

En particular,

f(x) =

g(x), x > 0,

−g(−x), x < 0,

28 Yu Takeuchi

es solución continua de (13).

Proposición 8. Sea f una solución continua de (13). Si existen reales α < 0y β > 0 con f(α) = β, entonces f es estrictamente decreciente y satisface

f (cn x) = cn f (x) , x ∈ R , n ∈ Z.

Más aún, si f es diferenciable en x = 0 entonces f(x) =√

c x.

Demostración. Por la proposición 3 se tiene f(0) = 0 y por la proposición 4f es biyectiva. Ahora bien, α < 0 y f(α) = β > 0, luego f es estrictamentedecreciente.

Sean f y f las restricciones de f a (−∞, 0] ≡ R− y a [0,∞) ≡ R+

respectivamente. Las funciones

f : R− → R+, f : R+ → R−,

son continuas, biyectivas y estrictamente decrecientes. De (13) resulta

f(

f (x))

=c x, x ≥ 0, (17)

f(

f (x))

=c x, x ≤ 0, (18)

Evaluando la expresión 17 en f (x) y aplicando 18 resulta

c f (x) = f(

f(

f (x)))

= f (c x) , x ≤ 0.

Iterando se obtiene f (cn x) = cn f (x) para todo x ≤ 0 y todo n ∈ Z.Analogamente se deduce f (cn x) = cn f (x) para todo x ≥ 0 y todo n ∈ Z.Por consiguiente

f (cn x) = cn f (x) , x ∈ R, n ∈ Z.

Supongamos que f es derivable (por la izquierda) en x = 0. De un ladose tiene

f(c−n t)

c−n t=

f(t)

tpara todo n = 1, 2, 3, . . .

Como limn→∞ c−n t = 0 para todo t ∈ R−, entonces se tiene:

f ′(0) = limn→∞

f(c−n t) − f(0)

c−n t − 0= lim

n→∞

f(t)

t=

f(t)

t.

Recuerdese que c > 1 y que f(0) = 0, por lo tanto: f(t)t = f ′(0), esto es f(t) =

f ′(0) t, o sea que f es lineal. Análogamente se muestra que la derivabilidad(por la derecha) de f en x = 0 implica que f es lineal. Evidentemente si f eslineal y satisface (13) entonces f(x) =

√c x. 2


Supóngase que f sea una solución de (13) tal que f(α) = β, con α < 0,β > 0. Mostraremos cómo toda la información sobre f se obtiene a partir dela restricción f0 de f al intervalo [c α, α].

Teniendo en cuenta que α < 0, se tiene

limn→∞

cn α = −∞, limn→−∞

cn α = 0.

Ademásf(cn α) = cn f(α) = cnβ n ∈ Z. (19)

Escribiendo Mn ≡ [cn+1α, cnα], n ∈ Z, se tiene:

(−∞, 0) =∞⋃

n=−∞

[cn+1 α, cn α] =∞⋃

n=−∞

Mn, (20)

De la definición de los Mn resulta

x ∈ Mn ⇔ xc ∈ Mn−1,

c x ∈ Mn+1 ⇔ x ∈ Mn.

Sea fn = f∣

∣

Mn, de (19) se tiene que

fn : Mn → [cnβ, cn+1β], n ∈ Z,

es continua, estrictamente decreciente y biyectiva. Obseve ahora que f puedeobtenerse a partir de f0 puesto que

fn+1(c x) = c fn(x), fn−1

(

x

c

)

=1

cfn(x) si x ∈ Mn. (21)

Conocido f se determina f , y con ello f , a partir de la (17, 18). Por eso larecursión (21) determina la solución f de (13). El recíproco resulta tambiéncierto.

Proposición 9. Sean c > 1, α < 0, β > 0. Cualquier aplicación continua,estrictamente decreciente y biyectiva

f0 : M0 = [c α, α] → [β, c β], f0(α) = β, f0(c α) = c β,

define mediante la recursión (21) una solución de (13).

Demostración. Se define f1 y f−1 de acuerdo con (21):

f1(c x) = c f0(x), f−1

(

x

c

)

=1

cf0(x) para x ∈ M0.

30 Yu Takeuchi

Igualmente se definen f2 y f−2 de acuerdo con de acuerdo con (21):

f2(c x) = c f1(x), f−2

(

x

c

)

=1

cf−1(x) para x ∈ M−1.

Así sucesivamente. Mediante este procedimiento, la función f0 puede exten-derse a una función continua f que resuelva (13). 2

Nota del editor. Los problemas tratados en este artículo se enmarcanen las ecuaciones funcionales, cuyos orígenes se remontan a Charles Babbage.Tales ecuaciones fueron estudiadas posteriormente por Abel y Feigenbaumentre otros, debido a su importancia en modelos matemáticos y sus aplica-ciones a la teoría de sistemas dinámicos (ver [1], [4]). Se invita al lector avisitar las siguientes páginas web para más información sobre las ecuacionesfuncionales y sus aplicaciones:

http://www.reglos.com/kindermann/ffx.html

http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm

Referencias

[1] Aczel, J. : Functional equations and their applications ,Academic press1966.

[2] Babbage, C,: An Essay towards the Calculus of Functions. Philosophicaltransaction of the Royal Society London 105: 389-424, 1815

[3] K. Baron, W. Jarczyk, Recent results on functional equations in a singlevariable, perspectives and open problems. Aequationes Math. 61: 1-48,2001

[4] Kindermann, L, Lewandowski, A. and Protzel, L.: Neural InformationProcessing, ICONIP2001 Proceedings, Fudan University Press, Shanghai,2001, Vol 2, pp. 1075-1078.

Dirección del autor: Y. Takeuchi, Univ. Nacional, Bogotá


Matemáticas:



Convective instabilities in thermoviscoelastic micropolar

fluids

Victor A. Eremeyev Denis A. Sukhov

Received Mar. 29, 2005 Accepted Apr. 26, 2005

AbstractInfinitesimal instabilities in plane horizontal layer of viscoelastic micropolar fluid underuniform heating are investigated. A micropolar fluid is a fluid whose particles have thesix degrees of freedom of a rigid body. This model possesses couple stresses and rotationalinteraction of particles. Hydrodynamics of micropolar fluids has significant applications toa variety of different fields of physics and engineering (magnetohydrodynamics, tribologyetc.). Like a model of liquid crystals of nematic or smectic type, the constitutive equationsof viscoelastic fluids have the property of orientation elasticity.The governing equations of viscoelastic micropolar fluid of differential type are considered.The temperature effects are described by using the Oberbeck-Boussinesq approximation.The linearized initial boundary problem is deduced and its solutions are obtained. Theneutral lines are presented. The material characteristics influence on the critical valuesof Rayleigh or Grashof numbers is investigated. It is shown that taking into account theorientation elasticity property of viscoelastic fluid leads to the increasing of critical Rayleighor Grashof numbers.

Keywords: micropolar fluid, convective instabilities, Oberbeck-Boussinesq approximation.

AMSC(2000): Primary: 76E15, Secondary: 76A10, 76E06.

1 Introduction

Models of fluids taking into account microrotations and couple stresses areknown as micropolar fluids. These models ware proposed in pioneer works byE. Aero [1] and K. Eringen [2]. Within the framework of a micropolar fluidmodel every particle has the six degrees of freedom of a rigid body and we cantake into account the rotational interaction of particles. In a micropolar fluidalso exist couple stresses. Various types of constitutive equations of viscoelas-tic micropolar media are introduced in [3, 4, 5, 6, 7]. Extensive literature onthe hydromechanics of micropolar fluids is given in the monograph [8].

The models of micropolar fluids proposed in [1]–[8] have the followingcharacteristic property: for any equilibrium state the couple stresses vanishand we have a hydrostatic stressed state. In papers [9, 10] V. Eremeyev andL. Zubov proposed the model of viscoelastic micropolar fluid which possessesa non-hydrostatic state in that of equilibrium and has the so-called propertyof orientational elasticity similar to liquid crystals.

For the model of viscoelastic fluid introduced in [9, 10], some static anddynamic problems have been solved, for example, viscometric flows, two-phaseequilibrium, problem of capillary surface, etc.

32 V. Eremeyev and D. Sukhov

For heat convection in viscoelastic fluids some preliminary results werepresented in [15, 16].

Heat convection in an infinite plane layer is a well-known example of ahydrodynamical instability, which was investigated by numerous scientists(see, for example, [11]–[14]).

In this paper we present the constitutive equations for thermoviscoelasticmicropolar fluids in general as well as for the special cases of a thermoelasticfluid and a thermoviscoelastic micropolar fluid of differential type.

For an infinite plane layer of thermoviscoelastic micropolar fluid of differ-ential type of complexity (1, 1) under uniform heating, we investigate convec-tive instability for different types of boundary conditions. We determine thecritical values of Rayleigh number as functions of wave number, initial cur-vature of microstructure and material constants. The neutral curves graphsare presented. It is shown that taking into account the property of orien-tation elasticity leads to increasing of the critical Rayleigh numbers. Fromthe physical point of view it means that orientational elasticity of viscoelasticfluid has a stabilizing influence.

The obtained results may be used for modelling the behavior of suchcomplex fluids as suspensions, magnetic fluids, biological solutions, and liquidcrystals.

2 Basic relations of hydromechanics of thermoviscoelastic microp-olar fluid

Within the framework of a Cosserat continuum every particle has six degreesof freedom as a rigid body. The position of particle at actual time t is given bya radius-vector R(t) and its orientation is determined by a triple of orthonor-mal vectors Dk(t) (k = 1, 2, 3) [7]. We also consider a reference configurationwhen the position and orientation of particles are described by vector r anddirectors dk (k = 1, 2, 3), respectively. Triples Dk and dk produce the so-called microrotation tensor or turn-tensor H = dk ⊗Dk, which is a properlyorthogonal tensor.

The motion equations, the heat transfer equation and the second law ofthermodynamics have the form

DivT + ρm = ρdv

dt, (1)

DivM + T× + ρµ = γdω

d t, (2)

ρd

dtε = ρs + Div h + tr

(

T · εT + M · æT)

, (3)

ρθd

dtη ≥ ρs + Div h − 1

θg · h. (4)

Convective instabilities in fluids 33

Here T and M are the Cauchy-type stress and couple stress tensors, g =

∇ θ,

∇ and Div are gradient and divergence operators by using Euler description,ρ is density, m and µ are vectors of external forces and couples, γ is a scalarmeasure of rotational inertia, v is a linear velocity, ω is an angular velocityof triple Dk: dDk/ dt = ω × Dk, d/ dt is a material derivative with respectto time, symbol T× denotes a vector invariant of second-rank tensor T, θ is atemperature, h is heat flux, s is a heat source density, ε and η a mass densityof internal energy and entropy and I is the unit tensor. We use tensors ε andæ as measures of strain and bending strain rates. The latter are given by

ε ≡

∇ v + I × ω, æ ≡

∇ ω.

Following papers [9, 10] we can prove next theorem.

Theorem 1. The general representation of constitutive equations of thermo-viscoelastic fluid are given by

T(t) = H1

[

ρ(t),B(t),Utt(s),L

tt(s), θ

t(s), gt(s)]

,

M(t) = H2

[

ρ(t),B(t),Utt(s),L

tt(s), θ

t(s), gt(s)]

,

h(t) = H3

[

ρ(t),B(t),Utt(s),L

tt(s), θ

t(s), gt(s)]

,

ε(t) = H4

[

ρ(t),B(t),Utt(s),L

tt(s), θ

t(s), gt(s)]

,

η(t) = H5

[

ρ(t),B(t),Utt(s),L

tt(s), θ

t(s), gt(s)]

,

(5)

where H1, H2, H3, H4, H5 are isotropic operators and functionals.

This theorem is a generalization of well-known Noll’s theorem on simplefluids for the case of micropolar fluids.

Here we used notations which are similar to those introduced in [9],[10].Ct(τ) = C

−1(t) · C(τ) is a relative strain gradient for which the actual con-figuration is considered as reference configuration, and configuration at timeτ is considered as the actual one. Ht(τ) = Dk(t)⊗Dk(τ) = H

T (t) ·H(τ) is arelative microrotation tensor, Ut(τ) = Ct(τ) · HT

t (τ), Kt(τ) = Lt(τ) + B(t),

Lt(τ)×I = −[

∇ Ht(τ)]

·HTt (τ) are relative strain measures. Here we use

the following notations for pre-histories Ct(t − s) ≡ Ctt(s), θt(s) = θ(t − s),

gt(s) ≡ g(t − s) etc.B and b are the tensors of curvature of microstructure in reference and

actual configurations, respectively. These tensors are given by ([9],[10])

b = −1

2(∇dk) × dk, B = −1

2

(

∇ Dk

)

× Dk,

where ∇ is a nabla-operator in reference configuration.Let us consider some special cases of constitutive equations (5).


The thermoelastic micropolar fluid model is given by relations

T = T(ρ,B, θ), M = M(ρ,B, θ), h = h(ρ,B, θ, g),

ε = ε(ρ,B, θ), η = η(ρ,B, θ),

where the following relations hold

T = ρ2 ∂ψ

∂ρI − M·B

T , M = ρ∂ψ

∂B, η = −∂ψ

∂θ,

here ψ ≡ ε − θη is a mass density of free energy.The heat transfer equation reduces to the form

ρθdη

dt= Div h + ρs,

and the Clausius-Duhem inequality reduces to the Fourier inequality

h·g ≥ 0.

For the thermoelastic fluid model, energy dissipation is produced only bythermal conductivity.

A simple example of a constitutive equation of elastic fluid is given by thequadratic form

ρψ =1

2

[

λtr2B + µtr(

B · BT)

+ νtrB2]

+ ρψ0(ρ, θ), (6)

where λ, µ, ν are material constants, which should satisfy to the inequalities[10] 3λ + µ + ν > 0, µ + ν > 0, µ > 0, and ψ0 is a mass density of free energywhen B = 0.

For equation (6), we have the linear dependence of couple stresses M onB

M = λItrB + µB + νBT . (7)

Let us consider the thermodynamics of vicoelastic micropolar fluids ofdifferential type. By using the approach in [17], the constitutive equations ofa fluid of differential type of complexity (m, n) may be written as follows

T = f1(ρ,B,A1 . . .Am,B1 . . .Bn, θ, g),

M = f2(ρ,B,A1 . . .Am,B1 . . .Bn, θ, g),

h = f3(ρ,B,A1 . . .Am,B1 . . .Bn, θ, g),

ε = ε(ρ,B, θ), η = η(ρ,B, θ),

(8)

where f1, f2, f3 are isotropic functions. Here we introduce the indifferent ratetensors An, Bn by the recurrence relations given in [10]

An+1 =d

d tAn + (

∇ v) · An + An × ω, A0 = I,A1 = ε,

Bn+1 =d

d tBn + (

∇ v) · Bn + Bn × ω, B0 = B, B1 = æ.


A special case of (8) is a model of viscous fluid introduced by E.Aero andK.Eringen for which we have

T = f1(ρ, ε), M = f2(ρ,æ).

Let us consider in detail the model of micropolar fluid of differential type ofcomplexity (1, 1). Here we have the following constitutive equations

T = f1(ρ,B, ε,æ, θ, g), (9)

M = f2(ρ,B, ε,æ, θ, g),

h = f3(ρ,B, ε,æ, θ, g),

ε = ε(ρ,B, θ), η = η(ρ,B, θ).

Stress and couple stress tensors may be written as a sum of equilibriumand dissipative parts

T = TE + TD, M = ME + MD,

TE = TE(ρ,B, θ) ≡ ρ2 ∂ψ

∂ρI − ME·B

T , ME = ME(ρ,B, θ) ≡ ρ∂ψ

∂B,

TD = TD(ρ,B, θ, ε,æ, g), TD(ρ,B, θ,0,0,0) = 0,

MD = MD(ρ,B, θ, ε,æ, g), MD(ρ,B, θ,0,0,0) = 0.

For this case the second law (4) reduces to the dissipative inequality

tr(TD·εT ) + tr(MD·æT ) +1

θg·h ≥ 0,

and the heat transfer equation (3) can be transformed to the form

ρθdη

dt= Div h + ρs + tr(TD·εT ) + tr(MD·æT ). (10)

Let us note that the equation of thermal conductivity (10) contains sum-mands which depend on strains.

3 Oberbeck-Boussinesq approximation for viscoelastic micropolarfluid

System of equations (1), (2), (10) describing the flow of compressible ther-moviscoelastic fluid may be simplified by using some assumptions which areanalogous to Oberbeck-Boussinesq approximation [11, 12, 13, 14]. Following[15, 16] we will consider incompressible fluid and will neglect the dependenceof material constants on temperature and dissipation of energy due to flow.Dependence of mass density on temperature will be taken into account onlyin expressions of external volume forces and couples.


In addition to these assumptions, we will also neglect the dependence ofη on B in equation (10). For small deviations of temperature field from meanvalue θ and by using Fourier law h = κg we can reduce equation (10) to theusual form

dθ

dt= χDiv

∇ θ, (11)

where χ is the thermal conductivity coefficient

(

χ =κ

ρθCv, Cv =

∂η

∂θ

∣

∣

∣

∣

θ=θ

)

.

Further we will use the constitutive equations in the form

T = −pI + S,

S = µ1ε + µ2εT −

(

ν1B + ν2BT)

· BT ,

M = η1æ + η2æT + ν1B + ν2B

T ,

(12)

where p is a pressure and µ1, µ2, ν1, ν2, η1, η2 are material constants.For incompressible fluid we should consider the incompressibility equation

Div v = 0. (13)

4 Plane problem

In the case of plane problem an orientation of a particles is determined byone parameter. This is rotation angle α(X, Y, t) which describes the rotationof vectors Dk [10]. To be specific, let us consider the rotation D3-axis. Thus,the vectors Dk are given by

D1 = i1 cos α(X, Y, t) + i2 sinα(X, Y, t),

D2 = −i1 sinα(X, Y, t) + i2 cos α(X, Y, t),

D3 = i3.

(14)

By using (14) the curvature tensor B is given by formula

B = i1 ⊗ i3∂α

∂X+ i2 ⊗ i3

∂α

∂Y≡ (

∇ α) ⊗ i3. (15)

For the plane problem, the fields of velocity and angular velocity have aform

v = v1(X, Y, t)i1 + v2(X, Y, t)i2, ω = ω(X, Y, t)i3, (16)

where

ω =dα

dt. (17)


X

θ∗−h

0

Y −θ∗

αH

αB

h

i1

i2

Figure 1: Plane layer of micropolar fluid

Thus, by using equations (14)–(17) the motion equations (1), 2 may bereduced to the form given in [10]

− ∂p

∂X+

∂S11

∂X+

∂S21

∂Y+ ρm1 = ρ

dv1

dt, (18)

− ∂p

∂Y+

∂S12

∂X+

∂S22

∂Y+ ρm2 = ρ

dv2

dt,

∂M13

∂X+

∂M23

∂Y+ S12 − S21 + ρµ3 = γ

d2α

dt2,

where we used the following representation of external forces and couples:m = m1i1 + m2i2, µ = µ3i3.

5 Convective instability

Let us consider the convective instability of an infinite plane layer of thermo-viscoelastic micropolar fluid of differential type of complexity (1, 1). The layeris shown on the figure 1. Here 2h is the width, −∞ < X < ∞, −h ≤ Y ≤ h.This is a generalization of well-known Rayleigh problem [11]–[14]. The tem-perature and the orientation of particles at the top and bottom are fixed. Atthe top boundary the temperature is equal to −θ∗, and the orientation angleis equal to αB. At the bottom boundary the temperature and orientation an-gle are equal to θ∗ and αH , respectively. We will use the constitutive equationin form (12).

For this problem, the motion equations (18), the incompressibility equa-


tion (13) and the thermal conductivity equation (11) transform to the form

− ∂p

∂X+ µ1∆v1 + (µ1 − µ2)

∂ω

∂Y

−ν1

(

∂α

∂X

(

2∂2α

∂X2+

∂2α

∂Y 2

)

+∂α

∂Y

∂2α

∂X∂Y

)

= ρdv1

dt,

(19)

− ∂p

∂Y+ µ1∆v2 − (µ1 − µ2)

∂ω

∂X−

ν1

(

∂α

∂Y

(

2∂2α

∂Y 2+

∂2α

∂X2

)

+∂α

∂X

∂2α

∂X∂Y

)

+ρ(1 + β(θ − θ))g = ρdv2

dt,

(20)

η1∆ω + ν1∆α + (µ1 − µ2)

(

∂v2

∂X− ∂v1

∂Y− 2ω

)

= γdω

dt, ω =

dα

dt, (21)

∂v1

∂X+

∂v2

∂Y= 0, (22)

∂θ

∂t+ v1

∂θ

∂X+ v2

∂θ

∂Y= χ∆θ. (23)

Here m1 = 0, m2 = g, g is the free fall acceleration, the dependenceρ = ρ(1 + β(θ − θ)) is used , ρ is a value of mass density when θ = θ, β isa temperature coefficient expansion (β > 0); ∆ = ∂

/

∂X2 + ∂/

∂Y 2. In whatfollows the sign “ ˜ ” will be omitted.

For the equilibrium state, the system of equations (19)–(23) has the so-lution which depend only on Y (p = p0(Y ), θ = θ0(Y ), α = α0(Y )). Thatsolution may be found from the equations

−p′0 + ρgβθ0 = 0, α′′0 = 0, θ′′0 = 0, (24)

taking into account the boundary conditions

θ0(h) = −θ∗, θ0(−h) = θ∗, α0(h) = αB, α0(−h) = αH . (25)

Here the prime denotes the derivative with respect to Y . This initial equilib-rium solution is given by

θ0 = −θ∗Y

h, α0 = −A

Y

h(A = (αB − αH)/2). (26)

The parameter A describes the initial curvature of a microstructure offluids.

Pressure distribution p0 may be determined from equation (24) takinginto account relations (26).

To investigate the infitesimal stability of the equilibrium solution (26) weconsider a perturbed solution θ0 + τ , υ1, υ2, α0 + a, p0 + p, ω. The linearizedform of the system (19)–(23) has the form


Figure 2: Neutral curves

− ∂p

∂X+ µ1∆υ1 + (µ1 − µ2)

∂ω

∂Y− ν1α

′0

∂2a

∂X∂Y= ρ

∂υ1

∂t, (27)

− ∂p

∂Y+ µ1∆υ2 − (µ1 − µ2)

∂ω

∂X

−ν1α′0

(

2∂2a

∂Y 2+

∂2a

∂X2

)

+ ρgβτ = ρ∂υ2

∂t,

(28)

η1∆ω + ν1∆a + (µ1 − µ2)

(

∂υ2

∂X− ∂υ1

∂Y− 2ω

)

= γ∂ω

∂t, (29)

ω =∂a

∂t+ α′

0υ2,∂υ1

∂X+

∂υ2

∂Y= 0,

∂τ

∂t+ T ′

0υ2 = χ∆τ. (30)

This a system of PDE for the small perturbations τ , υ1, υ2, a, p, ω.

6 Results and Conclusions

The system (27)–(30) can be investigated by the same method as in [11]. Forthe free boundaries the critical values of Rayleigh number are given by thefollowing expressions obtained in [15]:


S4 Ah Ra∗ k∗

−1 0.1 676.26 2.19−1 π /4 796.23 2.02−1 π /2 921.47 1.89−1 3π /4 1038.53 1.79−1 π 1149.92 1.72

0 0.1 679.19 2.190 π /4 818.09 2.010 π /2 963.57 1.870 3π /4 1100.02 1.780 π 1230.29 1.70

1 /2 0.1 680.66 2.191 /2 π /4 828.99 2.001 /2 π /2 984.54 1.861 /2 3π /4 1130.64 1.771 /2 π 1270.30 1.69

Table 1: Critical values of Rayleigh number and wave number (S2 = 10−6, S3 = 10−6

(n = 1, h = 1)).

Ra∗1 =

(

S3

(

π6n6 + k2π4n4)

+ k2 (2S3 + S2S5)(

π4n4 + k2π2n2)

+

k2(

k2S3 + k2S2S5 + 2S2S4S5

) (

π2n2 + k2)

)/

(

k2S3

)

,

(31)

Ra∗2 =

(

π6n6 + k2π4n4 +(

2k2 + 2S4 − S1S4

) (

π4n4 + k2π2n2)

+

k2(

k2 + 2S4 − S1S4

) (

π2n2 + k2)

)

×

(

π2n2 + k2)

/(

k2(

π2n2 + k2 + 2S4

)

)

.

(32)

Formula (31) shows the Rayleigh numbers for a viscoelastic fluid, andformula (31) presents the Rayleigh numbers for a viscous micropolar fluid.Here we introduce the following dimensionless parameters

Ra = ρgβθ∗h

4

µ1χ, Pr =

µ1

ρχ, S1 =

µ1 − µ2

µ1, S2 = ν1ρ

Ah

µ21

, (33)

S3 = ν1ρh2

η1µ1, S4 =

(µ1 − µ2)h2

η1, S5 = Ah , S6 =

µ1γ

ρη1.

By using formulas (31) and (32) we can construct the neutral curves inthe plane (Ra, k), which determine the stability zone when (k < Ra(k)), and


instability zone when (k > Ra(k)) for case viscoelastic and viscous fluids,respectively. For any value of n the neutral curve Ra (k) has a minimum. Forall values of wave number k the minimal value of Rayleigh number correspondsto n = 1.

For the viscoelastic micropolar fluid, the neutral curves are presented infigure 2, and the values of minimal Rayleigh numbers and corresponding wavenumbers presented in Table 1.

The case of other boundary conditions was investigated in [16] by usingnumerical calculations.

From the obtained results we can see that taking into account the ori-entation elasticity property of a viscoelastic fluid leads to the increasing ofcritical Rayleigh numbers. From the physical point of view this means thatthe orientation elasticity of a viscoelastic fluid has an stabilizing influence.

7 Acknowledgements

The authors are deeply grateful to Prof. Leonid P. Lebedev for the inspiration.

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Dirección de los autores: V. A. Eremeyev, Southern Scientific Center of Russian

Academy of Science, Mechanics and Mathematics Department of Rostov State Uni-

versity, Zorge str., 5, Rostov-on-Don, 344090, Russia, [email protected] — D.

A. Sukhov, Mechanics and Mathematics Department of Rostov State University,

Zorge str., 5, Rostov-on-Don, 344090, Russia, [email protected]


Matemáticas:



An Example of a Heavy Tailed Distribution

Norman Giraldo GómezReceived Feb. 18, 2005 Accepted Apr. 25, 2005

AbstractWe study some properties of the distribution function of a random variable of the formX = CD, where C and D are independent random variables. We assume that C is absolutelycontinuous and limited to a finite interval, such that its probability density function hasdefinite limits at the endpoints of the interval and D is exponentially distributed. We showthat the tail function F (.) := 1 − F (·) is of regular variation and that the distributionfunction F is asymptotically equivalent to a log-gamma distribution. Then F can beconsidered as a heavy tailed distribution. It is also shown that it is contained is an specialsubclass of the subexponential distributions.

Keywords: Regular variation, subexponential distributions, heavy tailed distributions,probability of ruin, decreasing hazard rate function.

AMSC(2000): Primary: 60E05.

1 Introduction

We consider the distribution function of a random variable of the form X =CD with C and D independent random variables, C absolutely continuousand limited to a finite interval and D exponentially distributed. The articleis organized as follows. In section 2 it is shown that the random variableX = CD posseses finite moments up to order k and that the distributionfunction F of X belongs to the class of Pareto-type distributions and then,to the class of subexponential distributions, which is an important class ( [3]and [4]). In section 3 some additional properties are developed, related tothe probability of ruin in the collective risk theory, when the claim amountfollows the F distribution. In section 4 some conclusion are presented.

2 Definitions and Properties

Let D be an exponential random variable with parameter ln(q−1), q ∈ (0, 1),i.e. P (D > t) = exp(−t ln(q−1)) = qt, t ≥ 0. And let C be an absolutelycontinuous random variable, independent of D, with values in the interval[1, q−1/k], where k = 1, 2, . . ., with cumulative distribution function (cdf)G(x) = P (C ≤ x) such that G′(x) = g(x) is continuous and satisfies thefollowing condition: there exist constants γ > 0 and λ > 2 such that

g(x) ∼ γ(q−1/k − x)λ−1, x ↑ q−1/k, (1)

where f(x) ∼ g(x), x → x0, means limx→x0f(x)/g(x) = 1. Then define

the random variable X := CD and denote by F its cdf, i.e., F (x) = P (X ≤

44 Norman Giraldo

x), x ≥ 1 and by F (x) = 1 − F (x) its tail function. The next propositionshows that the random variable X has finite moments up to order k.

Proposition 1. Let r = 0, 1, 2, . . .

(i) If r < k then 1 ≤ E(Xr) ≤ 1/(1 − r/k).

(ii) If r > k then E(Xr) = +∞.

(iii) If r = k then E(Xr) < ∞.

Proof. To prove i) see the following: E(Xr) = E(E(CrD|C)) and for 1 < s <q−1/k

E(CrD|C = s) = E(srD|C = s) = E(srD)

= E(er ln(s)D) =ln(q−1)

ln(q−1) − ln sr

≤ ln(q−1)

ln(q−1) − r ln(q−1/k)=

1

1 − rk

,

then 1 ≤ E(Xr) ≤ 1/(1 − r/k). Notice that independence of C and Dallows to eliminate the conditional C = s.

ii) If r > k and q−1/r < s < q−1/k then E(CrD|C = s) = +∞ and soE(Xr) = +∞.

iii) If r = k a direct application of L’Hopital rule and condition (1)

proves that the function ln(q−1)g(s)ln(q−1)−ln sk has an absolutely convergent integral

in [1, q−1/k]. 2

We will now obtain an asymptotic equivalent expresion for the tail func-tion of X, F (t) = P (X > t), t ≥ 1, by applying Laplace’s method forasymptotic expansions of definite integrals of the form:

I(t) =

∫ b

ae−tp(x)h(x)dx (2)

given in the following lemma:

Lemma 2. ([2], chap. 5) Consider an integral of the form (2) and assume

(i) The minimum value of p(x) is located at x = a.

(ii) p′(x) and h(x) are continuous functions in a vicinity of x = a (except,possibly, at x = a).

(iii) p(x) ∼ p(a) + β(x − a)µ, t ↓ a, β > 0, µ > 0.

(iv) h(x) ∼ γ(x − a)λ−1, x ↓ a, λ > 0, γ > 0.

An Example of a Heavy Tailed Distribution 45

(v) I(t) is absolutely convergent for t large enough.

Then

I(t) ∼ γ

µΓ

(

λ

µ

)

e−tp(a)(βt)−λ/µ, t → ∞ , (3)

where Γ(·) denotes the gamma function.

Proposition 3.

(i) F (t) = E

(

qln tln C

)

, t ≥ 1 .

(ii) F (t) ∼ c t−k(ln t)−λ, t → ∞, with c = γ Γ(λ)/βλ

and β = k2q1/k/ ln(q−1).

Proof. First, note that

F (t) =

∫ q−1/k

1P (CD > t|C = s)g(s)ds

=

∫ q−1/k

1P

(

D >ln t

ln s

)

g(s)ds

=

∫ q−1/k

1q

ln tln s g(s)ds = E

(

qln tln C

)

.

Now, let us denote by H(t) the tail function of Y = lnX. The expectationH(t) = F (et) = E(q

tln C ), t > 0 can be represented as a definite integral of

the form (2) by writing

H(t) =

∫ q−1/k

1exp

(

− tln(q−1)

lnx

)

g(x)dx

=

∫ −1

−q−1/k

exp

(

− tln(q−1)

ln(−x)

)

g(−x)dx.

Conditions (i) to (v) can readily be verified by definining a = −q−1/k,b = −1, p(x) = ln(q−1)/ ln(−x) and h(x) = g(−x). We have p′(x), h(x)continuous functions in [a, b], the minimum of p(x) is located at a = −q−1/k,and

p(x) ∼ k +k2q1/k

ln(q−1)(x + q−1/k), x ↓ −q−1/k .

The assumption about g(x) in (1) is equivalent to condition (iv) and theintegral I(t) = H(t) is easily seen to be absolutely convergent for every t > 0.Replacing β = k2q1/k/ ln(q−1) and µ = 1 in Lemma (2), we arrive at thefollowing asymptotic equivalence:

H(t) ∼ c e−kt t−λ, t → ∞ ,

from which the result follows with F (t) = H(ln(t)). 2

46 Norman Giraldo

We use Proposition (3) to prove that F is a function of regular varia-tion. The class of distribution functions of regular variation is included in theclass of subexponential distributions, both defined ahead. As the latter classis usually identified as the class of “heavy tailed distributions", this resultjustifies the denomination of F as “heavy tailed" distribution.

A positive function f defined on (0,∞) is called a function of regularvariation at infinity if it exists a real number δ such that

limt→∞

f(tx)/f(t) = xδ , (4)

for any x > 0. The number δ is called the index of regular variation, andwe write f ∈ Rδ. A function f(.) of regular variation then satisfy f(x) ∼xδl(x), x → ∞ where l(.) is a function of regular variation with index δ = 0,or a funcion of slow variation. A simple calculation shows that c(ln t)−λ is afunction of slow variation, and we obtain from Proposition (3):

Corollary 4. F ∈ R−k.

In general, distributions F such that F ∈ R−ρ with ρ > 0 are calledPareto-type distributions. Some examples of distributions in this class arethe Pareto, Burr, Generalized Pareto, Frechet, Log-hyperbolic, Log-logisticand Log-gamma ([1],ch.2). In particular, the tail function V (.) of the log-gamma distribution with parameters k > 0 and λ < 1, is defined as:

V (t) =1

kλ−1Γ(1 − λ)

∫ ∞

tu−k−1(lnu)−λdu, t ≥ 0.

We now use the following result, Karamata’s theorem, for proving theequivalence of the tail functions ¯V (t) and ¯F (t).

Theorem 5. ([4], th. A.3.6(b)) Let l(.) ∈ R0 be locally bounded in [x0,∞)for some x0 ≥ 0. Then

(i) for α > −1,∫ xx0

tαl(t)dt ∼ (α + 1)−1xα+1l(x), x → ∞.

(ii) for α < −1,∫ ∞

x tαl(t)dt ∼ −(α + 1)−1xα+1l(x), x → ∞.

On applying Karamata’s theorem we obtain

V (t) ∼ 1

kλ Γ(1 − λ)t−k(ln t)−λ, t → ∞ .

Comparing the last expression with Proposition (3.ii):

F (t) ∼ γΓ(λ)

βλt−k(ln t)−λ, t → ∞ ,


we can conclude that the distribution function F of the random variableX = CD is asymptotically equivalent to the distribution function V of alog-gamma distribution with parameters k, λ, in the sense that

limt→∞

F (t)/V (t) = constant .

Another class of interest is the class of subexponential distributions. F be-longs to the class S of subexponential distributions if

limx→∞

F 2∗(x)/F (x) = 2 ,

where F 2∗ is the convolution product F 2∗(x) =∫ x0 F (x−y)F (dy), and F 2∗ :=

1 − F 2∗.It is a well known result that R−ρ ⊆ S, ρ > 0 ([6], pag.328, Exercise No

27, C. [8]). Then, by Corollary 4, the distribution F of CD belongs to S. Theclass S posseses several interesting properties, see, for instance [3] and [4].

3 Additional Properties

Other additional properties can be obtained by studying the correspondinghazard rate function i.e. the function h(x) := −F ′(x)/F (x), x ≥ 0. Wewill show that the hazard rate is such that limx→∞ xh(x) = constant < ∞.This result implies that F is in S but also in other sub-class which possesesimportant properties.

Proposition 6.

(i) h(t) = ln(q−1)E

(

1ln C q

ln tln C

)/(

t E

(

qln tln C

))

, t > 1 .

(ii) h(t) ∼ k/t, t → ∞ .

Proof. (i) The functions qln tln x g(x) and

(∂/∂t)(qln tln x g(x)) = − ln(q−1)q

ln tln x g(x)/(t ln x)

are both continuous in the region 1 < x ≤ q−1/k, t > 1 and can beextended as continuous functions in 1 ≤ x ≤ q−1/k, t > 1. Thendifferentiation under the expectation sign in E(q

ln tln x ) is permitted and:

−F ′(t) = −(d/dt)E

(

qln tln C

)

=

ln(q−1)E

(

1ln C q

ln tln C

)

t

from where part (i) follows.

48 Norman Giraldo

(ii) The expectation in the numerator of (i) can be put in the form of theintegral (2), where the integrand is

ln(q−1)qln tln x g(x)/(t lnx).

Then applying the assumption about g(x) in (1) we get

g(−x)

ln(−x)∼ γ(x + q−1/k)λ−1

ln q−1/k, x ↓ −q−1/k

and then, using Laplace’s method in Lemma (2)

E

(

1

lnCq

ln tln C

)

∼ c

ln(q−1/k)t−k(ln t)−λ, t → ∞,

where c = γΓ(λ)/βλ. We can conclude from Proposition (3) and part(i) that

h(t) ∼ ln(q−1)

t ln(q−1/k)=

k

t, t → ∞.

2

Notice that from the last result it is also true that

limt→∞

t h(t) = k < ∞

This result is related to the class S∗ introduced in [7], and defined as follows.F belongs to the class S∗ if F has finite expectation µ and

limx→∞

∫ x

0

F (x − y)

F (x)F (y)dy = 2µ

In [7] it is proved that if F is absolutely continuous, has finite mean µ and ahazard rate function h(.) such that

limx→∞

x h(x) = constant < ∞

then F ∈ S∗. ([7], th. 3.2 and 3.3). Using this result together with Proposi-tion 1 and Lemma 6 we can conclude that if k > 1 then F ∈ S∗.

The class S∗ has another property, related to collective risk theory. IfF ∈ S∗ then F ∈ S and also FI ∈ S, where FI is the integrated tail function

FI(x) :=1

µ

∫ x

0F (y)dy, x ≥ 0

([7], th. 3.3). The basic model of collective risk theory is defined as follows.Let X1, X2, . . . be a sequence of i.i.d. random variables with common cdf F


and mean µ. This sequence represents the succesive amounts of individualclaim payments made by an Insurance Company. And let N(t), t ≥ 0, bea Poisson process with parameter ρ > 0, representing the number of claimsup to time t (years). Every time a claim arrives a payment is done. Definethe annual premium as the quantity Π such that Π > µρ. This is the totalpayment made by the insurers in one year. And define the amount of reservesat the beginning of the period [0,∞) as the variable x. In the presence ofa heavy tailed distribution, for instance, if F ∈ S∗, it is a key question toestimate the probability of ruin defined as follows

ψ(x) := 1 − limt→∞

P

N(s)∑

i=1

Xi ≤ x + Πs, ∀s ∈ (0, t]

.

Then, theorem 4.6 by Embrechts and Veraverbecke [5], provides the followingasymptotic estimative of ψ(x)

ψ(x) ∼ ρ

Π − ρµ

∫ ∞

xF (t)dt, x → ∞.

Consider again F the cdf of X = CD with k > 1. Applying Karamata’stheorem 5 together with Proposition (3.ii) leads to

∫ ∞

xF (t)dt ∼ c

k − 1x1−k(lnx)−λ, x → ∞,

and the following estimative for the probability of ruin

ψ(x) ∼ cρ

(Π − µρ)(k − 1)x1−k(lnx)−λ, x → ∞.

4 Conclusions

The distribution of the random variable X = CD posseses several propertiesrelated to the fact that it is a heavy tailed distribution. The representationof the tail and the hazard rate functions as expectations or quotients of ex-pectations provides a way of evaluating them through extensive simulation ofthe random variable C.

Acknowledgments. I express my thanks to the two referees for theircriticisms that led to the correction of some errors in the first version of thepaper.

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Dirección del autor: N. Giraldo, Univ. Nacional, [email protected]


Matemáticas:



Influence of periodic temperature and concentration on

unsteady free convective viscous incompressible flow and heat

transfer past a vertical plate in slip-flow regime

Pawan Kumar Sharma

Received Dec. 6, 2004 Accepted Apr. 12, 2005

AbstractThe effect of combined heat and mass transfer on unsteady free convective, viscous incom-pressible flow past a vertical flat plate in slip-flow regime is studied. Assuming variablesuction at the plate, approximate solutions are obtained for velocity, skin-friction, temper-ature, heat transfer and concentration. During the course of discussion, the effects of Gr(Grashof number based on temperature), Gc (modified Grashof number based on concen-tration difference), A (suction parameter) and ω (frequency parameter) for carbon dioxide(Sc = 0.94) in air (Pr = 0.71) are presented and discussed graphically.

Keywords: Free convection, unsteady, incompressible fluid, slip-flow, heat and mass trans-fer.

AMSC(2000): Primary: 76E05, Secondary: 76R10, 80A20.

1 Introduction

In recent years, the requirements of modern technology have stimulated in-terest in fluid flow, which involve the interaction of several phenomena. Theprocess of heat and mass transfer in free convection flow have attracted theattention of a number of scholars due to their application in many branchesof science and engineering, viz. in the early stages of melting adjacent toa heated surface, in chemical engineering processes which are classified asa mass transfer process, in a cooling device. The phenomenon of free con-vection arises in the fluid when temperature changes cause density variationleading to buoyancy forces acting on the fluid elements. This can be seenin our everyday life in the atmospheric flow, which is driven by temperaturedifferences. There are many transport processes occurring in nature due totemperature and chemical differences. The process of heat and mass trans-fer is encountered in aeronautics, fluid fuel nuclear reactor, chemical processindustries and many engineering applications in which fluid is the workingmedium. Now, free convective flow past vertical plate has been studied ex-tensively by Ostrach [1], [2] and many others. These studies are confined tosteady flows only. Gebhart and Pera [3] studied the natural convection flowfrom the combined buoyancy effects on thermal and mass diffusion. Also incase of unsteady free convective flows Soundalgekar [4] studied the effects ofviscous dissipation on the flow past an infinite vertical porous plate. It wasassumed that the plate temperature oscillates in such a way that its amplitude

52 P. Kumar

is small. The free convective heat transfer on a vertical semi-infinite plate hasbeen investigated by Berezovsky et al. [5]. Soundalgekar and Wavre [6], [7]studied the unsteady free convection flow past an infinite vertical plate andmass transfer with constant/variable suction. Also the combined heat andmass transfer in mixed convection along vertical and inclined plates has beenstudied by Chen et al. [8]. Martynenko et al. [9] investigated the laminarfree convection from a vertical plate. Also, the free convection on a horizontalplate in a saturated porous medium with prescribed heat transfer coefficientis studied by Ramanaiah and Malarvizhi [10]. Das et al. [11] studied thetransient free convection flow past an infinite vertical plate with periodictemperature variation, because the free convection is enhanced by superim-posing oscillating temperature on the mean plate temperature. Hossain et al.[12] studied the influence of fluctuating surface temperature and concentra-tion on natural convection flow from a vertical flat plate. In many practicalapplications the particle adjacent to a solid surface no longer takes the veloc-ity of the surface. The particle at the surface has a finite tangential velocity.It "slips" along the surface. The flow regime is called the slip flow regime andthis effect can not be neglected. Using this effect Sharma and Chaudhary[13] studied the effect of variable suction on transient free convective viscousincompressible flow past a vertical plate with periodic temperature variationsin slip-flow regime. Recently, Sharma and Sharma [14] studied influence ofvariable suction on unsteady free convective flow from a vertical flat plateand heat transfer in slip-flow regime. Therefore, the object of this paper isto study the effects of combined heat and mass transfer on unsteady freeconvective, viscous incompressible flow past a vertical flat plate in slip-flowregime, when suction velocity oscillate in time about a constant mean.

2 Formulation of the problem

An unsteady free convective flow of a viscous incompressible fluid past aninfinite vertical porous flat plate in slip-flow regime, with periodic temper-ature and concentration when variable suction velocity distribution, V ∗ =−V0

(

1 + εAetω∗t∗)

, fluctuating with time is applied. We introduce a co-ordinate system with wall lying vertically in x∗ − y∗ plane. The y∗-axis istaken in vertically upward direction along the vertical porous plate and y*-axis is taken normal to the plate. Since the plate is considered infinite in thex*-direction, all physical quantities will be independent of x∗. Under theseassumptions, the physical variables are function of y∗ and t∗ only. Then ne-glecting viscous dissipation and assuming variation of density in the bodyforce term (Boussinesq’s approximation) the problem is governed by the fol-

Influence of periodic temperature 53

lowing set of equations

∂u∗

∂t∗+ V ∗∂u∗

∂y∗= gβ (T ∗ − T ∗

∞) + gβ (C∗ − C∗∞) + ν

∂2u∗

∂y∗2, (1)

∂T ∗

∂t∗+ V ∗ ∂T ∗

∂y∗=

κ

ρ Cp

∂2T ∗

∂y∗2, (2)

∂C∗

∂t∗+ V ∗ ∂C∗

∂y∗= D

∂2C∗

∂y∗2. (3)

The boundary conditions of the problem are

u∗ = L∗∂u∗

∂y∗, T ∗ = T ∗

w + ε (T ∗w − T ∗

∞) eiω∗t∗ , (4)

C∗ = C∗w + ε (C∗

w − C∗∞) eiω∗t∗ at y∗ = 0, (5)

u∗ → 0, T ∗ → T ∗∞, C∗ → C∗

∞, as y∗ → ∞. (6)

We now introduce the following non-dimensional quantities into equations (1)to (4)

y = y∗V ∗

0

ν, t = t∗

V ∗20

4ν, u =

u∗

V ∗0

, ω =4νω∗

V ∗20

,

Θ =T ∗ − T ∗

∞

T ∗w − T ∗

∞

, C =C∗ − C∗

∞

C∗w − C∗

∞

,

Gr =gβν (T ∗

w − T ∗∞)

V ∗30

, (Grashof number),

Gc =gβν (C∗

w − C∗∞)

V ∗30

, (Modified Grashof number),

P r = µCp

K=

ν p Cp

K, (Prandtl number),

Sc =ν

D, (Schmidt number),

h =V ∗

0 L∗

ν, (rarefaction parameter)

All physical variables are defined in nomenclature. The (∗) stands for dimen-sional quantities. The subscript (∞) denotes the free stream condition. Thenequations (1) to (3) reduce to the following non-dimensional form

1

4

∂ u

∂ t−

(

1 + εA ei ω t) ∂ u

∂ y= Gr Θ + Gc C +

∂2u

∂y2, (7)

1

4

∂ Θ

∂ t−

(

1 + εA ei ω t) ∂ Θ

∂ y=

1

Pr

∂2Θ

∂y2, (8)

1

4

∂ C

∂ t−

(

1 + εA ei ω t) ∂ C

∂ y=

1

Sc

∂2C

∂y2. (9)

54 P. Kumar

The boundary conditions to the problem in the dimensionless form are

u = h ∂ u∂ y , Θ = 1 + ε ei ω t, C = 1 + ε ei ω t, at y = 0,

u → 0, Θ → 0 C → 0, at y → ∞.(10)

3 Solution of the problem

Assuming small amplitude oscillations (ε < < 1), we can represent the ve-locity u, temperature Θ and concentration C near the plate as follows

u (y, t) = u0 (y) + ε u1 (y) ei ω t,Θ (y, t) = Θ0 (y) + ε Θ1 (y) ei ω t,C (y, t) = C0 (y) + εC1 (y) ei ω t.

(11)

Substituting (9) in (5) to (7), equating the coefficients of harmonic andnon harmonic terms, neglecting the coefficients of ε2, we get

Θ“0 + Pr Θ‘

0 = 0,

Θ“1 + Pr Θ‘

1 − i ω Pr Θ1

4 = −A Pr Θ‘0,

u“0 + u‘

0 = −Gr Θ0 − Gc C0,

u“1 + u‘

1 − i ω u1

4 = −Gr Θ1 − Gc C1 − A u‘0,

C“0 + Sc C ‘

0 = 0,

C“1 + Sc C ‘

1 − i ω Sc C1

4 = −A Sc C ‘0.

(12)

The corresponding boundary conditions reduce to

u0 = h ∂u0

∂y , u1 = h ∂u1

∂y ,

Θ0 = 1, Θ1 = 1, C0 = 1, C1 = 1, at y = 0,u0 = 0, u1 = 0, Θ0 = 0,Θ1 = 0, C0 = 0, C1 = 0, as y → ∞,

(13)

where primes denote differentiation with respect to ′y′. Solving the set ofequation (10) under the boundary conditions (11) we get

Θ0 (y) = e−Pr y, (14)

C0 (y) = e−Sc y, (15)

u0 (y) = B7 e−y − B5 e−Pr y − B6 e−Sc y, (16)

Θ1 (y) = B1 e−m1 y + B2 e−Pr y, (17)

C1 (y) = B3 e−m2 y + B4 e−Sc y, (18)

u1 (y) = B13 e−m3 y − B8 e−m1 y

−B10 e−Pr y − B11 e−Sc y − B12 e−y, (19)


where

m1 =Pr +

√Pr2 + i ω Pr

2, m2 =

Sc +√

Sc2 + i ω Sc

2

m3 =1 +

√1 + i ω

2, B1 = 1 − 4 A i Pr

ω, B2 = 1 − B1,

B3 = 1 − 4 A i Sc

ω, B4 = 1 − B3, B5 =

Gr

Pr2 − Pr,

B6 =Gc

Sc2 − Sc, B7 =

B5 (hPr + 1) + B6 (hSc + 1)

h + 1,

B8 =Gr B1

(Pr − 1)(

m1 + i ω4

) , B9 =Gc B3

(Sc − 1)(

m2 + i ω4

) ,

B10 =Gr B2 + A B5 Pr

Pr2 − Pr − i ω4

, B11 =Gc B4 + A B6 Sc

Sc2 − Sc − i ω4

,

B12 =−4 A i B7

ω,

B13 = (hm3 + 1)−1 [B8 (hm1 + 1) + B9 (hm2 + 1) +

B10 (hPr + 1) + B11 (hSc + 1) + B12 (h + 1)] .

The important characteristics of the problem are the skin-friction and rateof heat transfer at the plate. From the velocity field, we can calculate theskin-friction in main flow direction as:Skin-friction: The dimensionless shearing stress on the surface of a body,due to a fluid motion, is known as skin-friction and is defined by the Newton’slaw of viscosity.

τ = µ∂ u∗

∂ y∗. (20)

Substituting equations (14) and (17) into equations (9) we can calculate theshearing stress component in dimensionless form as

τ =τ

ρ V ∗ 20

=∂ u

∂ y|y=0 (21)

In terms of the amplitude and phase, the skin-friction can be written as:

τ = τm + ε |M | cos (ω t + Φ)

where tan Φ = MiMr

,

M = Mr + i Mi = −B13 m3 + B8 m1 + B9 m2 + B10 Pr + B11 Sc + B12

and the Mean skin - friction τm is given by

τm = −B7 + B5 Pr + B6 Sc.

56 P. Kumar

Figure 1: The Velocity profiles of carbon dioxide (Sc = 0.94) in air (Pr = 0.71)forω = 10, ωt = 0, A = 5 and ε = 0.2.

From the temperature field we can calculate the heat transfer at the platein dimensionless form as:Heat Transfer: In the dynamics of viscous fluid one is not much interested toknow all the details of the velocity and temperature fields but would certainlylike to know quantity of heat exchange between the body and the fluid. Sinceat the boundary the heat exchanged between the fluid and the body is onlydue to conduction, according to Fourier’s law, we have

q∗w = −κ∂ T ∗

∂ y∗|y∗=0 (22)

where y∗ is the direction of the normal to the surface of the body. Substitutingequations (12) and (15) into (9), we can calculate the dimensionless coefficientof heat transfer as follows

q =q∗w ν

κ V ∗0 (T ∗

w − T ∗∞)

= −∂ Θ

∂ y|y=0 (23)

In terms of the amplitude and phase the rate of heat transfer can be writtenas:

q = Pr + |N | cos (ω t + ϕ)

where

N = Nr + iNi = B1 m1 + B2 Pr, and tan ϕ =Ni

Nr.

4 Discussion

The convection flows driven by a combination of diffusion effects are very im-portant in many applications. The foregoing formulations may be analyzedto indicate the nature of the interaction of the various contributions to buoy-ancy. Here we restricted our discussion to the aiding or favorable case only,for fluids with Prandtl number Pr = 0.71 which represent air at 20 oC at 1


atmosphere. The value of the Schmidt number, Sc is chosen to represent thepresence of species Carbon dioxide (Sc = 0.94). The values of Gr and Gcare selected arbitrarily. We take Gr > 0, which correspond to the cooling ofthe plate by free convection currents. The velocity profiles in air for carbondioxide are presented in Fig. (1-3). It is observed from the figures that

Figure 2: The velocity profiles of carbon dioxide (Sc = 0.94) in air (Pr = 0.71) forGr = 2, Gc = 2, ωt = 0, ω = 10 and ε = 0.2.

velocity increases rapidly near the plate and then decreases exponentially faraway from the plate. The increase in Gr or Gc leads to an increase in veloc-ity. The values of velocity are greater for ω t = 0 than that of ω t = π

2 whenGr = Gc = 5, while reverse effect is observed when Gr = Gc = 2 or Gr = 5,Gc = 2. It is also observed from the figures that the velocity increases withthe increase of suction parameter A and rarefaction parameter h both. Fur-ther we find that when Gc, h and ω t are constant, the velocity of carbondioxide for air increases due to more cooling of the plate by free convectioncurrents. The mean skin-friction of carbon dioxide for air is shown in Fig.4.

It is evident from this figure that the mean skin-friction decreases withincreasing rarefaction parameter. The mean skin-friction increases due to the

Figure 3: The velocity profiles of carbon dioxide (Sc = 0.94) in air (Pr = 0.71) forA = 5, h = 0.4, ω = 10 and ε = 0.2.

58 P. Kumar

A Gr= 2, Gc=2 Gr= 2, Gc=2 Gr= 5, Gc=2 Gr= 2, Gc=5h=0 h=0.4 h=0.4 h=0.4

0 -0.9525 -1.5939 -1.6190 -1.56830.2 -0.7058 -1.1822 -1.1960 -1.16760.4 -0.5634 -0.9383 -0.9514 -0.92420.6 -0.4708 -0.7770 -0.7919 -0.76070.8 -0.4056 -0.6623 -0.6798 -0.64321.0 -0.3573 -0.5767 -0.5966 -0.5549

Table 1: The phase of skin-friction (tan Φ) for carbon dioxide (Sc = 0.94),ω = 10and Pr = 0.71.

increase in Gr or Gc both. Hence it may be concluded that the mean skin-friction increases with more cooling of the plate by free convection currents.The amplitude |M | of the skin-friction for CO2 in air is shown in Fig.5. It isobserved from this figure that amplitude increases with increasing A (suctionparameter), while reverse effect is observed for h (rarefaction parameter). Anincrease in Gr or Gc leads to an increase in amplitude of skin-friction in airfor CO2. The numerical values of phase of skin-friction are presented in Table1. It is observed that the phase of skin-friction increases with increasing A,while reverse effect is observed for h. The phase of skin-friction decreaseswith the increase of Gr, while the reverse effect is observed for Gc for thesame value of rarefaction parameter h.

The temperature profiles are presented in Fig.6. From this figure it is ob-served that it decreases with increasing the suction parameter while increaseswith the increase of frequency of fluctuation ω. This figures further showsthat the values of temperature are greater in vicinity of the plate and de-creases exponentially far away from the plate. The amplitude |N | and phasetanϕ of rate of heat transfer are presented in Table 2. This table shows thatboth increases with increasing frequency ω. The amplitude increases withincreasing suction parameter A while, reverse effect is observed for phase of

Figure 4: The mean skin-friction of carbon dioxide (Sc = 0.94) for (air) Pr = 0.71.


Figure 5: The amplitude of skin-friction of carbon dioxide (Sc = 0.94) in air(Pr=0.71) for ω = 10.

Figure 6: The temperature profiles for (air) Pr = 0.71 and ε = 0.2.

heat transfer.The concentration profile of carbon dioxide is presented in Fig.7. The con-

centration increases with increasing A, the suction parameter. It is also ob-served that the concentration increases with increasing distance in the vicinityof the plate and thereafter decreases exponentially far away from the plate.It is also found that concentration decreases with the increase of ωt for thesame value of suction parameter A.

5 Conclusions

1. The velocity increases with increasing Gr and Gc both. Also, velocityincreases with the increase of h and A both.

2. The mean skin-friction increases with increasing either Gr or Gc, whilereverse phenomena is observed for h.

3. The amplitude |M | of skin-friction increases with increasing Gr and Gcboth.

60 P. Kumar

A ω = 5 ω = 10 ω = 5 ω = 10|N | |N | tan ϕ tan ϕ

0 1.2370 1.6120 0.5800 0.68310.2 1.2794 1.6358 0.5083 0.63210.4 1.3255 1.6616 0.4449 0.58470.6 1.3748 1.6893 0.3886 0.54060.8 1.4272 1.7188 0.3380 0.49951.0 1.4821 1.7501 0.2925 0.4611

Table 2: The amplitude and phase of rate of heat transfer.

Figure 7: The concentration profile of carbon dioxide (Sc = 0.94) for ω = 10 andε = 0.2.

4. The temperature and concentration both are increases near the plateand decreases exponentially far away from the plate.

5. The amplitude |N | of rate of heat transfer increases due to the increasein A and ω both.

6. The phase of rate of heat transfer decreases with increasing A. Also, therate of heat transfer increases with the increase of for the same value ofsuction parameter A.

Acknowledgement

The author is extremely thankful to the editor and the anonymous reviewersfor their valuable suggestions.


Nomenclature:

ε = amplitude ( << 1 ), g = gravity,β = coefficient of thermal expansion, Gc = modified Grashof number,β = coefficient of thermal expansion Gr = Grashof number,

with concentration, h = rarefaction parameter,ω = dimensionless frequency, L∗ = constant,Θ = dimensionless temperature, |M |= amplitude of skin-friction,µ = viscosity, |N | = amplitude of rate of heatν = kinematics viscosity, transfer,α = thermal diffusivity, q = rate of heat transfer,ω∗ = frequency, Pr = Prandtl number,κ = thermal conductivity, q∗w = heat flux at the wall,ρ = density, Sc = Schmidt number,τ = dimensionless shearing stress, t = dimensionless time,τ∗ = shearing stress, T ∗ = temperature,A = suction parameter, T ∗

∞ = temperature of fluid inC = dimensionless species free stream,

concentration of CO2 T ∗w = temperature of wall,

C∗ = species concentration of CO2, t∗ = time,Cp = specific heat at constant u = dimensionless velocity

pressure, component,C∗∞ = species concentration of CO2 u∗ = velocity component,

in free stream, V = suction velocity,C∗

w = concentration at the wall, D = molecular diffusivity ofthe species.

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Dirección del autor: Pawan Kumar Sharma Department of Mathematics, University

of Rajasthan, Jaipur-302004, INDIA, [email protected]

Vol. XIII No 1 Junio (2005)Educación e Historia: 63–82

Matemáticas:



El concepto de semicontinuidad de Baire en las

investigaciones de Fréchet

Luis Cornelio Recalde Luis Carlos Arboleda

Recibido Feb. 18, 2005 Aceptado May. 12, 2005

ResumenEn este artículo se aborda un problema clásico que tiene que ver con el cálculo de áreasy longitudes. En primera instancia se describe el proceso seguido por René Baire en laincorporación de la noción de semi-continuidad. A continuación se detalla la manera comoHenri Lebesgue hace uso de esta noción para definir el área de una superficie y la longitudde una curva en R

3. Al final se puntualiza la forma como Maurice Fréchet, quien estableciólas bases conceptuales de la topología de conjuntos de puntos y del análisis general, recogey generaliza los resultados de Lebesgue para el caso de funcionales.

Palabras y frases claves: Historia de las matemáticas, topología de conjuntos de puntos,semicontinuidad, integral y área.

AbstractIn this paper a classic problem about areas and lengths calculus is approached. At thebeginning we describe how René Baire’s arrived to the notion of semicontinuity. Next, weexplain how Henri Lebesgue used this notion in order to define area of a surface and lengthof a curve in R

s. We finish the paper explaining how Maurice Fréchet, who established theconceptual bases of set point topology and general analysis, generalizes Lebesgue’s resultsto functionals.

Keywords: History of Mathematics, topology of discrete sets, integral, semicontinuity,area.

AMSC(2000): Primary: 01A55, Secondary: 01-02.

1 Introducción1

El objetivo general de este artículo es describir y analizar, a través del con-cepto de semicontinuidad, la manera como se fueron aclimatando, en la co-munidad matemática, nociones de alto grado de generalidad. En el primerapartado se recoge la discusión, muy en boga a principios del siglo XX, sobrela pertinencia de estas nociones, las cuales no parecen responder a ningúntipo de aplicabilidad ni en los problemas de la ciencia ni en la lí nea de de-sarrollo de problemas matemáticos clásicos. Esta discusión se refiere al tipode investigaciones desarrolladas por René Baire y Maurice Fréchet.

En el segundo apartado se presentan, de manera sucinta, algunos de losaspectos conceptuales desplegados por Baire que lo llevaron a establecer sufamosa jerarquía de funciones, conocida como las clases de Baire. Aquí se

1Artículo elaborado en el marco de la investigación "La Representación de Funciones ysu impacto en la Emergencia de la Topología. De René Baire a Maurice Fréchet", realizadacon apoyo de COLCIENCIAS, proyecto 1106-11-11374.

64 Luis Recalde y Luis C. Arboleda

muestra el papel de la noción de semicontinuidad en la caracterización defunciones de cada una de las clases.

El tercer apartado gira en torno al origen de la noción de semicontinuidaden el marco de un problema que marcó el derrotero investigativo de Baire,como lo es la existencia de funciones de dos variables, continuas con respectoa cada una de ellas, pero discontinuas cuando se toman en conjunto. Esteproblema finalmente se mostró subsidiario de otro más robusto que se encuen-tra en la base de las preocupaciones de Baire: determinar el tipo de funcionesrepresentables por series convergentes de funciones continuas.

En la tercera parte analizamos la incidencia de los resultados de Baire,específicamente del concepto de semicontinuidad, en el desarrollo de nuevoscampos conceptuales. En este sentido, mostramos la manera como Lebesgueutilizó este concepto en su tesis doctoral de 1902, para definir las funcioneslongitud de curvas y área de superficies.

Finalmente analizamos la manera en que Fréchet aprovecha las defini-ciones de Lebesgue para mostrar, en su publicación de 1925, que el área es lamenos discontinua de todas las funcionales semicontinuas, que extienden lafuncional que representa el área de una superficie poliédrica.

2 La generalización en los programas de Baire y Fréchet

Durante los primeros años del siglo XX, el matemático francés Maurice Fré-chet estableció las bases conceptuales de la topología de conjuntos de puntosy del análisis general. En el desarrollo de su proyecto intelectual, en muchasocasiones, Fréchet toma como referencia los trabajos del también matemáticofrancés Rene Baire sobre teoría de funciones discontinuas. Aunque los re-sultados de estos dos matemáticos fueron, en general, bien acogidos por lacomunidad matemática, algunos connotados investigadores les reprochabanla extrema generalidad de sus trabajos sobre conjuntos de puntos abstractos.

Al respecto, es conveniente traer a colación las críticas de Émile Picardcon relación a la falta de aplicación de los nuevos conceptos que aparecíanen la línea investigativa de Baire. Las observaciones planteadas por Picardestán muy acordes con la discusión acaecida a finales siglo XIX respecto ala importancia de los estudios generales sobre funciones. Mientras que en laescuela alemana, matemáticos de la talla de Weierstrass, Hankel, Schwarz,Klein, Thomae, Heine y Cantor, entre otros, se motivaron por el estudio delas funciones continuas y no derivables en ningún punto y por las funcionescon alto grado de discontinuidad, los matemáticos franceses lo considerabanuna perdida de tiempo.

Gastón Darboux es el encargado de difundir en Francia los estudios gene-rales de funciones que se desarrollaban en Alemania. Sin embargo, el caminono se presentó expedito. Es famoso el intercambio epistolar entre Darboux yJ. Houël sobre la importancia de las funciones continuas no diferenciables en

El Concepto de semicontinuidad de Baire 65

ningún punto. Tal como lo ha descrito Hélène Gispert en sus artículos [30],[31] y [32]. Houël sostiene que, como “un hecho de la experiencia (sin entrar ademostrarlo en general, lo cual puede ser difícil)” [33][p. 46], las funciones másarbitrarias a tratar son las continuas a trozos, calificando aquellas con infini-tas discontinuidades u oscilaciones de “estrambóticas”, “curiosas” y “bizarras”,que corresponden sólo a patológicos contraejemplos. El único argumento es-grimido por Darboux que ameritaba el “cultivo de ese campo estéril de lasfunciones discontinuas” tenía relación con el rigor.

La mayoría de matemáticos franceses adhirieron al punto de vista de Houëly consideraron que el verdadero objeto del análisis eran las funciones con buencomportamiento en algún intervalo. Las demás funciones fueron condenadasal ostracismo y ubicadas en una especie de “museo de monstruosidades”, comolo señalaba Lebesgue en 1922 [40][p. 100].

La teoría de funciones, en su máxima generalidad, empieza a emergercomo un campo significativo para las matemáticas a partir de Baire. La ma-nera como Baire rompe la resistencia de los conservadores franceses constituyeun caso típico de desarrollo en la historia de las matemáticas: identificandouno de los problemas cruciales del siglo XIX, como lo es la convergencia desucesiones de funciones, Baire lo interpreta a la luz de la teoría de conjuntoscantoriana2, lo aborda a partir de los desarrollos de la tradición alemana yde los resultados de la nueva escuela italiana representada por Peano, Arzelà,Ascoli, Vivanti, Volterra y liderada por Dini, estableciendo un circuito decomunicación intelectual que alcanza su síntesis a través de la interconexión,conseguida por Lebesgue, entre las investigaciones conjuntistas de Borel, lasfunciones medibles y las clases de Baire. A partir de Baire, se sabe que eluniverso de las funciones continuas constituye sólo el primer peldaño de suescalera jerárquica; de las investigaciones de Lebesgue se sabe que el con-junto de funciones constituido por las funciones pertenecientes a las clasesde Baire tiene la potencia del continuo, mientras que el universo de todas lasfunciones tiene una potencia mayor a la del continuo. Esto implica un cambiosustancial en cuanto al género de las funciones dignas de ser indagadas porlos matemáticos. El tipo de funciones denominadas “bizarrras” ya no consti-tuyen la excepción, sino que ocupan un terreno mucho más vasto que el de lasfunciones continuas. La teoría de funciones empieza a constituirse como uncampo de las matemáticas que reclama autonomía. Justamente, en el reportea la Academia de Ciencias de París3, Emile Picard llama la atención sobre laextrema generalidad que desplegaba Baire en sus conceptualizaciones. Picardse refiere a la imposiblidad de concretar ejemplos de funciones de clase supe-

2En sus desarrollos sobre teoría de funciones Baire muestra la potencia de la teoríacantoriana de conjuntos en un ambiente en donde se discutía la legitimidad de los conjuntosactualmente infinitos. Estos aspectos han sido tratados en [Rec04].

3PICARD, E. Rapport sur les travaux de M. R. Baire (12 juin 1911). Archives de

l’Académie des Sciences de Paris.


riores y de funciones que no pertenezcan a ninguna de ellas. También llamala atención respecto al uso del infinito, el cual “ha lanzado después de veinteaños una gran confusión en el campo plausible de las matemáticas” [20][pp.366-368].

Desde la publicación de su tesis doctoral [24], Fréchet también había sidoblanco de objeciones similares a las que se le formulaban a Baire. Uno de suscríticos más célebres, Schoenflies, había comentado, en su influyente informede 1908 sobre el estado de la teoría de conjuntos, que las nociones de la primeraparte de la tesis doctoral de Fréchet eran extremadamente generales y queera necesario abandonarlas a partir del momento en que se quería abordarel estudio de “clases concretas”. Fréchet da respuesta a estas objeciones ensu publicación de 1910: Les ensembles abstraits et le calcul fonctionnel [25].Fréchet toma un espacio de Baire, como ejemplo de espacios concretos a loscuales era posible aplicar la mayor parte de las generalizaciones enunciadasen su tesis para clases L.

Pero más allá del caso particular anterior, se pueden reconocer, en unaépoca común, dos líneas de investigación en las cuales encontramos conexio-nes teóricas importantes: la representación de funciones de René Baire y losespacios abstractos de Maurice Fréchet. Los aspectos comunes se puedenreconocer en varias instancias. Como ejemplo de modalidades complejas dedefinición de conjuntos abstractos, Fréchet menciona la sucesión de clasesde funciones discontinuas de Baire. Fréchet se refiere a la definición de lasucesión de órdenes de derivación de los conjuntos lineales, tal como apareceen el parágrafo §33, de las Leçons sur les fonctions discontinues de Baire [10].

En el parágrafo §22 de su tesis de 1906, Fréchet utilizó las clases de Bairepara mostrar que un conjunto derivado sobre un espacio L no necesariamentees cerrado.

En los parágrafos §23 y §24 de su tesis, Fréchet incorporó el siguienteresultado que ya había sido publicado en los Comptes Rendus de la Academiade París en 1905: “toda función f(x) a la cual se le aplica la clasificación deBaire, puede considerarse como límite de polinomios salvo en un conjunto demedida nula. Si la sucesión de polinomios converge en todas partes, es declase 0 o de clase 1. Si la sucesión converge uniformemente en toda partees de clase 0; es decir, ella es continua. Basta incluso que la convergenciasea cuasi-uniforme en todas partes”. Fréchet aclara que Lebesgue obtuvo esemismo teorema como aplicación de su definición de la integral. En la basede esta aclaración se encuentra una interesante correspondencia dirigida porLebesgue a Fréchet en respuesta a varias preguntas que éste le formulara entre1904 y 1905.

La memoria de 1925 [28] es un ejemplo típico de la manera como Fréchetmaterializa su programa de generalización, el cual aparece bien dilucidado enla “introducción” de su famoso libro Les espaces abstraits et leur théorie con-sidérée comme introduction à l’analyse générale de 1928 [29]. Fréchet procede


por analogía, reconociendo propiedades que se cumplen en un campo particu-lar de funciones pero que se pueden aplicar a otras categorías de funciones, talcomo lo hace en sus artículos, La semi-continuité en géométrie élémentaire de1924 y Sur le prolongement de fonctionnelles semi-continues et sur l’aire dessurfaces courbes, de 1925. Precisamente, el concepto de semicontinuidad con-stituye una de las novedades teóricas incorporadas por Baire para el logro desus resultados. El papel de la semicontinuidad en el programa expansionistade Fréchet se analizará en la última parte de este artículo.

3 El marco teórico del programa de Baire

El problema de las funciones discontinuas que son límite de funciones conti-nuas había sido pensado por Baire desde 1897. En el año siguiente, bosquejasu propuesta de representación de funciones en clases, incluso hasta el niveltransfinito [5][p. 34]. También expresa la diferencia entre el nivel nominal yla existencia efectiva; al respecto escribe:

Se concibe así, al menos desde el punto de vista lógico, unaclasificación racional de una enorme categoría de funciones dis-continuas. Cada clase de funciones corresponderá a un númerotransfinito determinado.

Sería un problema interesante, yo creo, ver en qué medida,esta concepción lógica corresponde a la realidad [5][p. 36].

Ya en su comunicación de 1897 [4], Baire había abordado este interrogante,dejando planteados los problemas básicos que debía resolver. Esta comuni-cación y otras tres que le siguieron: [6], [7] y [8], constituyen el planteamientogeneral de su tesis doctoral.

El objetivo central de Baire era utilizar la convergencia puntual para con-struir, en un proceso iterativo, funciones de clases superiores a partir de lasfunciones continuas. En este sentido incorpora sus famosas clases:

C0: Clase 0, constítuida por todas las funciones continuas.C1: Clase 1, a la cual pertenecen las funciones que son límite de sucesiones

de C0, sin pertenecer a C0.C2: Clase 2, conformada por las funciones que se obtienen como límites

de sucesiones de C0 y C1, sin pertenecer a ninguna de ellas....Cn: Clase n, constítuida por las funciones que se obtienen como límites

de sucesiones de clases anteriores, sin pertenecer a ninguna de estas clases....


Para la definición de clases superiores, Baire se apoya en la construccióncantoriana de los ordinales transfinitos de acuerdo al siguiente esquema:4 Sifn es una sucesión de funciones tal que ∀n, ∃i tal que fn ∈ Ci; además,si fn converge puntualmente a f , donde f /∈ Ci, ∀i, entonces se tiene quef ∈ Cω, donde ω es el primer ordinal transfinito de la teoría cantoriana. Dela misma forma se definen Cω+1, Cω+2, ..., C2ω, ... [9][p. 117].

Baire debe demostrar que su clasificación no es meramente nominal; estoes, debe caracterizar, en concordancia con sus concepciones filosóficas, lasfunciones pertenecientes a cada una de las clases que acaba de definir.5 Odicho de otra forma, debe hallar propiedades que permitan identificarlas. Paraello establece algunos teoremas que en seguida detallamos.

Teorema 10. Una función discontinua f(x) es de la primera clase si y sólosi es puntualmente discontinua respecto a todo conjunto perfecto [9][p. 62].

Para la demostración de este teorema, Baire se ve obligado a constituir unmarco conceptual novedoso alrededor de las funciones, que abarca las nocionesde máximo, mínimo, oscilación, entre otras.

Para la generalización del concepto de máximo, tanto en un punto comoen un dominio, Baire parte de una función f cualquiera de valor real definidasobre D ⊆ R

n; para cada P ((x1)0, (x2)0, . . . , (xn)0) ∈ D, se define la bolaSρ1

(P ) ,

Sρ1(P ) =

(x1, x2, ..., xn) |n∑

i=1[xi − (xi)0]

2 ≤ ρ21

.

Para los puntos de este conjunto, existe M1, tal que f (x) ≤ M1, ∀x ∈ Sρ1(P ) ,

donde M1 es el límite superior de f en Sρ1(P ) .6

Tomando la sucesión ρp , tal que ρ1 > ρ2 > · · · > ρp > · · · , y limp→∞

ρp =

0, se forman las esferas encajadas:

Sρ1(P ) ⊃ Sρ2

(P ) ⊃ · · · ⊃ Sρp (P ) ⊃ · · ·

En cada esfera se toma Mi, como el límite superior de f en Sρi (P ),obteniéndose la sucesión M1, M2, ..., Mp, ..., para la cual:

4En su tesis doctoral, esto lo hará de manera referencial, sin polemizar sobre los proble-mas ontológicos que se discutían en la época sobre la legitimidad o no de de los conjuntosactualmente infinitos.

5La caracterización de las funciones para Baire consiste en dar un procedimiento cons-tructivo que permita mostrar la existencia de casos concretos.

6Baire no fija condiciones para el dominio D; en unas ocasiones parece que fuera undominio abierto y en otras parece que fuera cerrado. Sin perdida de generalidad, se puedetomar cerrado con la condición de que cuando P sea un punto de la frontera de D, se calculeel límite superior para el conjunto de puntos comunes a D y a la bola Sρ1

(P ) . De hecho elproblema genérico trata sobre funciones f(x) definidas en un intervalo cerrado [a, b] . Paramayores detalles, ver [45].


M1 ≥ M2 ≥ · · · ≥ Mp ≥ · · · (1)

A partir de esta sucesión se define M0 = limp→∞

Mp, al cual se le denomina

el máximo de f en P , y se representa por M [f, P ]El máximo de f en P , M0[f, P, ] cumple dos propiedades fundamentales,

especificadas en los teoremas siguientes:

Teorema 11. ∀ε > 0,∃ρ > 0, tal que f (x) < M0 + ε, ∀x ∈ Sρ(P ).

Teorema 12. ∀ε > 0,∀ρ > 0,∃x ∈ Sρ(P ) tal que f (x) > M0 − ε.

Tomando el supx∈D

f (x), se obtiene M [f, D], que designa el máximo de f en

todo el dominio D. La función f debe ser una función acotada en D, paragarantizar la existencia del supremo de cada una de las esferas cerradas y laconvergencia de (1). Además, si M0 = ∞, no se cumpliría el Teorema 3.

Es importante destacar que esta noción de máximo de una función en unpunto perteneciente a un dominio acotado, continuo y cerrado, había sidoestablecida por Volterra en su artículo: Sui principii del calculo integrale de18817 [46]. Precisamente este concepto de máximo de f en un punto le sirvea Baire de base para definir la semicontinuidad superior :

Definición 13. Cuando M [f, P ] = f (P ) se dice que f es semicontinuasuperiormente en P .

Definición 14. Cuando M [f, x] = f (x) ,∀x ∈ D, se dice que la función essemicontinua superiormente en D, o también siempre igual a su máximo.

En seguida, Baire plantea un ejemplo: dada una función cualquiera f, sedefine ϕ (x) = M [f, x] ,∀x ∈ D. La función ϕ (x) es semicontinua superior-mente en D, es decir, siempre igual a su máximo, puesto que para P0 ∈ D yε > 0, por el Teorema 1, se puede encontrar un dominio D1 en torno a P0 talque:

M [f, D1] < M [f, P0] + ε. De otro lado, para x ∈ D1, M [f, x] ≤M [f, D1] , de lo cual M [f, x] ≤ M [f, P0] + ε, lo que significa que ϕ [x] <ϕ (P0) + ε.

De igual manera, se define el mínimo de f en P0, m [f, P0] , y las funcionessemicontinuas inferiormente o funciones siempre iguales a su mínimo.

Después de describir algunas propiedades de las funciones semicontinuas,Baire incorpora otro de los conceptos centrales para el desarrollo de su in-vestigación, como es el concepto de oscilación. Este concepto había sidoincorporado por Riemann y precisado por Darboux en su Memoria de 1875[19][p. 70]. Para ello incorpora la función máximo de f , ϕ (x) = M [f, x] ,∀x,y la función mínimo de f , ψ (x) = m [f, x] ,∀x.

7Cuestión que constituye una generalización del teorema de Weierstrass, según el cualuna función continua alcanza sus extremos superior e inferior en un intervalo cerrado finito.


Definición 15. La oscilación de f en x se define como M [f, x] − m [f, x]

Igualmente define la oscilación de la función en un dominio:

Definición 16. La oscilación de f en el dominio D se define como M [f, D]−m [f, D] .

La oscilación se reveló de inmediato como una noción básica en la de-mostración del Teorema 1. Específicamente, Baire anota las siguientes trespropiedades:

1. Por definición, ω [f, P ] ≥ 0.

2. Si ω [f, P ] = 0 entonces f es continua en P, puesto que M [f, P ] =m [f, P ], y por las propiedades de éstos, f cumple la condiciones decontinuidad.

3. Si ω [f, P ] 6= 0 entonces f es discontinua en P.

De esta forma, Baire reconoce en la oscilación el concepto que mide el grado dediscontinuidad de f . Con base en las características de la función oscilación,Baire incorpora una de sus definiciones básicas registradas en el Teorema 1:

Definición 17. Las funciones no continuas para las cuales existen, en tododominio, puntos donde ω = 0, se denominan funciones puntualmente discon-tinuas; en otro caso se denominan funciones totalmente discontinuas.

De acuerdo con estas definiciones, se pueden demostrar las siguientespropiedades básicas:

1. Si una función es totalmente discontinua, existe un dominio de n dimen-siones, en el cual la oscilación en cada punto tiene su mínimo positivo.

2. Las funciones puntualmente discontinuas cumplen la propiedad de queen cada punto y en todo dominio, el mínimo de ω es cero.

3. Una función discontinua y semicontinua superiormente (semicontinuainferiormente), es puntualmente discontinua.

Para caracterizar las funciones de la segunda clase, Baire introduce algunasnociones que se mostrarían importantes en el desarrollo de la topología con-juntista y del análisis funcional; a continuación se detallan algunas de ellas.

Definición 18. Un conjunto lineal de puntos E es de primera categoría siexiste una sucesion En de conjuntos densos en ninguna parte, tal que ∀x ∈E, ∃n tal que x ∈ En. En otro caso se dirá que E es de segunda categoría [7].

Teorema 19. Una función f(x) es de segunda clase si y sólo si f(x) es pun-tualmente discontinua sobre cada conjunto perfecto, omitiendo un conjuntode primera categoría con respecto al conjunto perfecto.


4 El origen de noción de semicontinuidad en Baire

Baire comenzó a interesarse por las funciones discontinuas desde el inicio desu actividad matemática, cuando redescubrió funciones de dos variables, con-tinuas con respecto a cada una de ellas, pero discontinuas cuando se tomanen conjunto. A través de este problema, Baire llega al concepto de semicon-tinuidad, el cual, como lo hemos dicho antes, constituye uno de los elementosteóricos sobre los que soporta las demostraciones de los teorema 1 y 10.

En su memoria del 8 de noviembre de 1897 [4], Baire define, por primeravez, las funciones semicontinuas superiormente bajo el nombre de funcionessiempre iguales a su máximo. En esta oportunidad, parte de la siguientedefinición:

Definición 20. Sea f : I ⊂ R → R, I un intervalo. La función f es siempreigual a su máximo si ∀ε > 0,∃α tal que f (x) < f (x0) + ε, para cualquier x0

en I, y |x − x0| < α.

Inmediatamente, Baire llama la atención sobre el hecho de que este tipode funciones poseen una de las dos condiciones que en conjunto constituyen lacontinuidad. Anotación para nada intrascendente, ya que refleja, de algunamanera, las filiaciones y perspectivas que visualiza Baire en este concepto.Las referencias a Cauchy son inevitables en lo concerniente a su famoso re-sultado, según el cual, la suma arbitraria de funciones continuas es continua.Justamente, los contraejemplos surgidos tenían la peculiaridad de ser fun-ciones puntualmente discontinuas; característica de la que participaban lasfunciones siempre iguales a su máximo, tal como lo refiere el mismo Baire. Sinembargo, la originalidad de Baire está en haber seguido el camino contrario,es decir, apoyarse en la semicontinuidad para demostrar que las funcionesprovenientes de sumas de funciones continuas, que no eran continuas, debíanser puntualmente discontinuas.

De esta forma, aunque con la convergencia uniforme se asentaba la condi-ción suficiente para que una sucesión convergente de funciones continuas tu-viese como límite una función continua, quedaba por resolver el problema in-verso, es decir, determinar el tipo de discontinuidades de las funciones límitesde una sucesión de funciones continuas, cuando ellas no eran continuas. Eneste sentido se puede entender la perspectiva de Baire y el papel del con-cepto de semicontinuidad, en el cual se soporta el proceso de demostracióndel Teorema 1 y que constituye la respuesta a la cuestión planteada.

Sin embargo, el mismo Baire precisa en su nota Sur l’origine de la notionde semi-continuité [13][p. 528], que fue conducido a este concepto, no a travésde la designación a priori de las dos inecuaciones inherentes a la definición dela continuidad, sino a través del análisis de un problema concreto abordadopor él en 1896. El problema está ligado directamente con uno de los “falsosteoremas de Cauchy” que detallamos en [45][4.1], según el cual, si una función


de dos variables es continua respecto a cada una de ellas, entonces es continuaen general. De manera autónoma, Baire encuentra el contraejemplo con lafunción:

G (x, y) =

2xy

x2 + y2, para 0 < |x| ≤ 1, 0 < |y| ≤ 1,

0, para x = 0 ó y = 0

la cual utilizó también como contraejemplo en la construcción de las fun-ciones semicontinuas que acababa de incorporar. Precisamente Baire, obtieneestas funciones semicontinuas como resultado de sus investigaciones sobrepropiedades de las funciones de dos variables, continuas respecto a cada unade ellas. Toma una función f (x, y) en un rectángulo R de lados paralelosa los ejes, con la condición de que f sea continua con respecto a x y conrespecto a y, pero no con respecto a (x, y) .

Tomando la recta x = x0 sobre el rectángulo R, se tiene que f (x0, y) esuna función continua de la variable y; sea

M (x0) = supy∈[0,1]

f(x, y).

Dado que la función es continua, existe un punto (x0, y0) tal que M (x0) =f (x0, y0). Como f (x, y0) es continua respecto a la variable x, se tiene que∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si |x − x0| < δ, entonces |f (x0, y0) − f(x, y0)| < ε. Sise toma f (x0, y0) − f(x, y) < ε, se tiene que,

M (x0) = f (x0, y0) < f(x, y0) + ε ≤ M (x) + ε,

M (x0) ≤ M (x) + ε.

Inecuación que, como lo apunta Baire, constituye una de las propiedadesque definen la continuidad. Si se toma como base la función G (x, y), definidaantes en R = [0, 1] × [0, 1], se tiene que:

M(x) =

1 si x 6= 0,0 si x = 0.

A esta función Baire la denominó semicontinua inferiormente, haciendonotar que, en general, existen funciones que cumplen una sola de las condi-ciones de la continuidad.

Como ya se aclaró, la semicontinuidad constituye la noción básica para lademostración del Teorema 1, el cual, en palabras de Dugac, “ha sido uno delos puntos de partida de la nueva teoría de funciones de variable real” [21][p.120].

Tomando como referencia la función G(x, y) antes definida, Baire se pre-gunta sobre la característica genérica de este tipo de funciones. Si bien esta


función constituye un contraejemplo al segundo “falso teorema de Cauchy”,el problema sólo se presenta en un punto ¿Es posible construir una funciónf(x, y), continua con respecto a cada una de las variables que sea totalmentediscontinua en todo punto con respecto al conjunto (x, y)? La respuesta ladará Baire en esta misma memoria a través del planteamiento de los siguientesteoremas cuya demostración apenas esboza:

TEOREMA A: Si una función de dos variables, determinadaen una cierta región, es continua con respecto a cada una de ellas,existen en toda área, puntos en cada uno de los cuales la funciónes continua con respecto al conjunto de las dos variables; en otrostérminos, la función es puntualmente discontinua con respecto alconjunto (x, y).

TEOREMA B: En las mismas condiciones, la sucesión de val-ores tomados por la función sobre x = y forma una función deuna variable que es puntualmente discontinua [4][p. 35].

Estos dos resultados se revelan importantes en la demostración de lascondiciones necesarias del Teorema 1, el cual caracteriza las funciones deprimera clase.8 Más concretamente, Baire logra caracterizar las funcionesde una variable como casos particulares de funciones de dos variables, yasea tomando una de ellas como constante o relacionándolas a través de unaecuación. Así, dada una sucesión convergente de funciones continuas

fn(x), tal que limn→∞

fn(x) = f(x),

definidas en el rectángulo R = [0, a]× [0, a], y una sucesión de ordenadas ynque tiende a cero, se puede reemplazar f(x) por la sucesión f(x, yn), de lasiguiente manera:

f1(x) = f(x, y1), fn(x) = f(x, y1) +n−1∑

i=1(f(x, yi+1) − f(x, yi));

de lo cual lımn→∞

f(x, yn) = f(x, 0), y por lo tanto:

f(x) = f(x, 0) = f(x, y1) +∞∑

i=1(f(x, yn+1) − f(x, yn)).

8En la memoria de 1897, Baire también considera el caso para una función de n varia-bles: x1, x2, . . . , xn: si f es continua independientemente para los grupos x1, x1, . . . , xp yxp+1, xp+2, . . . , xn, entonces existen en todo dominio de n dimensiones puntos donde lafunción es continua con respecto a las n variables. Finalmente, Baire plantea el caso en elcual la función f , de n variables, fuese continua con respecto a cada una de ellas. En suTesis Doctoral, Dugac [21][pp. 117-120], describe la evolución de este problema a travésdel intercambio que mantuvieron Baire y Volterra, y que culmina con el desplazamientodel primero a Turín para adelantar su trabajo de doctorado.


Entonces, las condiciones necesarias del Teorema 1 se pueden enunciarde acuerdo al planteamiento del siguiente problema: determinar las carac-terísticas de la función f(x, 0), donde f(x, y) es una función definida en elrectángulo R = [0, a] × [0, a], continua en todo punto excepto sobre el eje x,en el cual es continua sólo con respecto a y.

Observemos que la noción de semicontinuidad dirige la línea de razona-mientos utilizados por Baire para solucionar el problema anterior. Poste-riormente le servirá de referencia en la generalización del Teorema 10. Sinembargo, la importancia histórica de este concepto no se limita a su papel deauxiliar en la demostración de los resultados más importantes de Baire, sinoque ella, en sí misma, constituye una noción “soporte del análisis” superior,como bien lo certifica Georges Bouligand en 1932 [21][p. 316]. Fréchet lautiliza en su programa expansionista; concretamente, para la generalizaciónde las nociones de área y longitud, y en la extensión de funcionales.

5 Lebesgue y la semi-continuidad

En su tesis doctoral, Lebesgue hace uso de la noción de semicontinuidadincorporada por Baire, para definir la longitud de las curvas y el área de lassuperficies. En el capítulo III, aborda el problema de la longitud. Para ello,trae a colación algunas definiciones de longitud de curva:

1. Según Arquímedes, longitud de un arco de curva plana convexa es elvalor común del límite superior de las longitudes de las líneas poligonalesinscritas y del límite inferior de las circunscritas [36][p. 283].

2. Para Jordan, la longitud de un arco de curva es el límite hacia el cualtiende la longitud de una línea poligonal cuyo número de lados tiende ainfinito, mientras la longitud máxima de estos lados tiende a cero [36][p.284].

3. Peano establece la longitud de una curva como el límite superior de laslíneas poligonales inscritas [36][p. 284].

El próposito de Lebesgue es lograr una noción de longitud de curva que, sibien guarde relación con el sentido intuitivo de las definiciones anteriores, evitelas ambivalencias teóricas. El proceso seguido por Lebesgue es el siguiente:sea una curva C en R

2 o en R3, entonces:

1. Si existe Pn , una sucesión de líneas poligonales tales que lımn→∞

l(Pn) =

L ∈ R, donde l(Pn) es la longitud de la línea poligonal Pn, se dice quela curva C es rectificable.

2. Si no ocurre el caso anterior, se dice que la curva es no rectificable.


Tomando en cuenta estas consideraciones, Lebesgue define el conjunto:E = lım

n→∞l(Pn)/ Pn es una sucesión de líneas poligonales que tienden uni-

formente a C.Dado que sup E = ∞, el carácter de la longitud de la curva depende del

inf E :

1. Si inf E = L ∈ R, entonces la curva es rectificable y l(C) = L.

2. Si inf E = ∞, entonces la curva no es rectificable. En este caso se diceque la curva no tiene longitud y se coloca l(C) = ∞.

De esta forma, tal como lo hace notar el mismo Lebesgue en un pie depágina, “si se considera la longitud como una función de la curva, se puededecir que la función es para todo igual a su mínimo o también semi-continuainferiormente” [36][p.286].

Para definir el área de una superficie, Lebesgue sigue los mismos delin-eamientos que para el caso de la longitud. Comieza recordando que durantemucho tiempo, se tomó como bien fundamentado el concepto arquimedianosegún el cual, “el área de una superficie convexa era el valor común del límitesuperior de las áreas de superficies poliedrales convexas inscritas y del límiteinferior de las circunscritas” [36][p.298]. Aunque Arquímedes mostró que paralos casos por él tratados, estos dos límites coincidían, el matemático HermannSchwarz había descubierto que las áreas de las superficies poliedrales inscritasen un trozo de cilindro de revolución carecían de límite superior. Lebesgue,entonces se ve precisado a definir el área de una superficie siguiendo el mismoproceso que para la longitud de una curva.

Definición 21. El área de una superficie es el más pequeño de los límiteshacia los cuales tienden las áreas de las superficies poliedrales que convergenhacia la superficie dada.

6 Fréchet y la semi-continuidad

Tal como lo señalamos en la primera parte de este artículo, la noción de semi-continuidad instaurada por Baire es retomada por Fréchet en sus articulos: Lasemi-continuité en géométrie élémentaire de 1924 [27] y Sur le prolongementde fonctionnelles semi-continues et sur l’aire des surfaces courbes de 1925[28].

Acorde con los planteamientos de Lebesgue, en su artículo de 1924 Fréchetmuestra que la función A(P ) que le asigna un valor determinado al área deun poliedro P, de un número variable de lados, no es continua puesto quepara cada poliedro P0 existe una sucesión Pn , de poliedros, tan próximoscomo se quiera a P0, pero tal que

lımn→∞

A(Pn) 6= A(P0).


Fréchet muestra que la funcional A(P ) es semi-continua inferiormente.Este es el punto de partida de su artículo de 1925 para la generalización delconcepto a funcionales cualesquiera.

Fréchet considera, en forma general, una funcional: A : E → R, dondeE es un conjunto cuyos elementos son de naturaleza cualquiera. La idea deFréchet es definir, para la función A, los conceptos que ha incorporado Baireen su tesis de doctorado y que hemos presentado en el segundo apartado deeste artículo. Ello sólo es posible a condición de que E pertenezca a una clase(H) tal que:

1. Para todo elemento s0 ∈ E ∈ (H), tiene sentido hablar de una vecindadVs0

del elemento s0 (en este caso decimos que s0 es interior a Vs0).

2. Se puede definir sobre los elementos de (H) la operación de derivaciónpor intermedio de la noción de convergencia de una serie infinita deelementos, la cual cumple las siguientes propiedades:

a. La derivación es distributiva: (E + F )′ = E′ + F ′.

b. El conjunto derivado de un conjunto finito (es decir compuesto de unnúmero finito de elementos) es vacío.

c. Todo conjunto derivado es cerrado (es decir, contiene su propio conjuntoderivado).

Fréchet llama E′ al conjunto de puntos de acumulación de E ∈ (H) eincorpora los siguientes conjuntos como prerequisito para definir el mínimo:C = V/V es una vecindad de s0

I = infA(s)/s ∈ E∩ V, s 6= s0, V ∈ C

Definición 22. Se define el mínimo de A en s0 sobre E, designado porAE(s0), como AE(s0) = sup I

Siguiendo el mismo proceso, Fréchet define el máximo de A en s0 sobreE, designado por AE(s0).

Tenemos que AE puede ser finito o infinito. En cualquiera de los dos casosse trata de prolongar (extender) la funcional A de E a E′.

En primer lugar, tomemos el caso finito. Nuevamente se pueden presentardos alternativas:

1. Si E es cerrado, E′ ⊆ E, y el problema carecería de sentido.

2. Si E no es cerrado, puede ocurrir que E ∩E′ 6= ∅. En este caso se debecumplir que para cada s ∈ E ∩ E′,

AE(s) = A(s).


De esta forma se define la función extensión B de la funcional A de lasiguiente forma:

B : F = E ∪ E′ → R

B(s) =

A(s) si s ∈ EAE(s) si s ∈ E′

Se debe demostrar que B es semi-continua inferiormente. Veamos queesto ocurre: si s0 ∈ F ′ entonces AE(s0) ≥ BF (s0) y en consecuencia B(s0) ≥BF (s0). Basta demostrar que la desigualdad no es posible.

Sea Vs0una vecindad abierta de s0, entonces BF (s0) es uno de los límites

de valores de B sobre F ∩ Vs0, esto es, BF (s0) = limB(sn), donde si ∈ Vs0

,i = 1, 2, . . . , si 6= sj cuando i 6= j.

Se pueden presentar dos casos:

1. El conjunto sn /sn ∈ E es infinito. Entonces se tendría que

limB(sn) = limA(sn),

lo cual significa que BF (s0) corresponde a uno de los límites de A sobreE ∩ Vs0

.

2. Para algún n, el conjunto sn, sn+1, sn+2, . . . ⊂ E′. Esto significa quesi ∈ Vs0

, ∀i ≥ n y para cada uno de ellos habría una vecindad Vsn desn que pertenece a Vs0

.

Como B(sn) = AE(sn), existe s′n ∈ E, s′n ∈ Vsn tal que,

∣

∣B(sn) − A(s′n)∣

∣ <1

n

.Los elementos s′1, s′2, . . . pertenecen a Vs0

y se los puede suponer diferentes,escogiendo convenientemente Vsn , de tal forma que BF (s0) sea aún uno de loslímites de A sobre Vs0

. De esta forma, para toda vecindad Vs0de s0, BF (s0)

es uno de los límites de A en s0 sobre E, de donde

BF (s0) ≥ AE(s0) = B(s0).

Combinando las dos relaciones obtenemos,

BF (s0) = B(s0).


Ello significa que B es semicontinua inferiormente sobre F. A continuaciónFréchet demuestra la unicidad de B.

Al final del artículo, Fréchet aborda el caso de la extensión infinita, queprecisamente es el caso del área. Se trata de analizar lo que ocurre cuandola funcional A(s), semicontinua inferiormente sobre E, no tiene un máximo yun mínimo finito en todo elemento de E ∩ E′.

En primer lugar, es necesario suponer que una funcional se considera comobien definida si en ciertos elementos de su campo de existencia se le atribuyeun valor infinito de un signo determinado. Estaríamos frente al caso anterior.

El problema es cuando se desea analizar las funcionales de valor finito.Entonces la extensión de A(s) no será posible más que de E hacia la partede E′ donde AE(s) es finito.

Sea f ⊆ E ∩ E′, el conjunto de los elementos en los cuales el mínimo deA sobre E es finito. Se define la funcional b de la siguiente forma:

b(s) =

A(s), si s ∈ EAE(s), si s ∈ f ∩ E′

El caso anterior se aplica tanto a b(s) y f , como a B(s) y F . El únicoobstáculo es que el conjunto f puede no ser cerrado, y el máximo bF (s) deb en s sobre f puede ser infinito. En este caso, se dice que b(s) es la menosdiscontinua de todas las funcionales c(s) semicontinuas inferiormente sobre Fque extienden A(s).

7 Conclusiones

A partir de algunos de los resultados de Baire, Lebesgue y Fréchet se ha es-tablecido un circuito epistemológico, mediante el cual hemos descrito la ma-nera como se van estableciendo y desarrollando algunos conceptos novedososen las matemáticas.

La instauración de la teoría de funciones de variable real por parte deBaire, Borel y Lebesgue, a comienzos del siglo veinte, dio lugar simultánea-mente a la introducción de nociones matemáticas designadas por propiedadestopológicas radicalmente nuevas. Estas nociones se convertirían en objetosnaturales del “nuevo análisis” en la medida que los matemáticos fueron des-cubriendo que sus propiedades tenían aplicaciones fecundas en varios camposmatemáticos.

Una de estas nuevas nociones fue la “semicontinuidad”, la cual, en un prin-cipio, aparecía como una simple noción auxiliar utilizada en la demostraciónde los teoremas que caracterizaban las funciones de las “clases de Baire".

Hoy sabemos que la noción de semicontinuidad ha sido considerada endiversas conceptualizaciones del análisis clásico y del análisis funcional. Porejemplo, en la presentación de la obra matemática de Baire, Pierre Lelongllama la atención sobre el hecho de que la noción de semicontinuidad se aplica


naturalmente a ciertas clases de funcionales en teoría de potenciales, en elestudio de funciones del análisis complejo [14][p.27].

Aquí hemos descrito la manera como el concepto de semicontinuidad con-stituye el soporte teórico usado por Lebesgue y Fréchet en el caso de extensióncorrespondiente al problema histórico de caracterizar las nociones de longitudy área.

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Dirección de los autores: L. Recalde , Univ. del Valle, [email protected] — L.

Arboleda, Univ. del Valle [email protected]

Vol. XIII No 1 Junio (2005)Notas: 83–97

Matemáticas:



La caja de polinomios

Fernando Soto Saulo Mosquera Claudia Gómez

Recibido Oct. 20, 2003 Aceptado Abr. 19, 2005

ResumenEn este artículo se ilustra la utilización de una herramienta didáctica para la educaciónbásica denominada La Caja de Polinomios la cual permite el desarrollo del álgebra depolinomios. Esta herramienta fue construida a partir de la idea de homogeneización depolinomios cuadráticos introducida por el matemático árabe Tabit ibn Qurra al-Harrani enel siglo IX.

AbstractThis article shows the use of a didactic tool called polynomial box (Caja de Polinomios)to introduce algebraic operations in polynomials. This tool was built having in mindthe idea of quadratic polynomials homogenization which was presented by the Arabianmathematician Tabit ben Qurra al-Harami in the IX century.

Keywords: Polynomial box, homogenization, polynomial and minimal framing.

AMSC(2000): Primary: 97A20, Secondary: 97D40, 97D50.

1 Introducción

La historia de la matemática brinda importantes herramientas a los edu-cadores. El propósito de este artículo es el de animar al docente a buscarsoportes históricos que contribuyan al desarrollo de nuevas alternativas y es-trategias didácticas basadas en lo lúdico. Es importante destacar que el obje-tivo primordial de la enseñanza básica no consiste en embutir en la mente delniño un amasijo de información que podría serle útil como ciudadano. Másbien, el objetivo consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencia-lidades intelectuales, sensitivas, afectivas y físicas de modo armonioso. Porla semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que exis-ten actividades y actitudes comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegosadecuados. La elección de los juegos tiene incluso ventajas de tipo psicológicoy motivacional, ver por ejemplo [3].

La Caja de Polinomios ilustra la relación entre el desarrollo histórico delos conceptos y la lúdica como una actividad que posibilita el paso de lo tan-gible a lo simbólico y a lo abstracto en el conocimiento algebraico. Desdeel punto de vista histórico la Caja de Polinomios rescata el pensamiento al-gebraico de Al-Sabi Tabit ibn Qurra al-Harrani, quien nació en el año 826,Mesopotamia y murió en 901 en Bagdad (ahora Irak). Perteneció a la sectaSabian, la cual inducía a sus adeptos al estudio de la astronomía y de lasmatemáticas. Así mismo, al estudio del griego, lo cual le permitió estudiarlos Elementos de Euclides. Muhammad ibn Musa ibn Shakir impresionado

84 Soto, Mosquera y Gómez

por el conocimiento de Tabit en los idiomas lo persuadió de viajar a Bagdada estudiar matemáticas. En este campo realizó importantes descubrimientoscomo la extensión del concepto de número a números reales positivos y enálgebra, en particular, en la solución de ecuaciones cuadráticas.

En este artículo, se extenderá la idea de homogeneización propuesta porTabit al observar que una ecuación cuadrática de la forma x2 + px + q = 0,no adquiere una representación geométrica adecuada por la imposibilidad desumar áreas con longitudes y con puntos. Tabit propone utilizar una unidadde medida µ para expresar la ecuación anterior como x2 +pµx+ qµ2 = 0, conlo cual ésta puede interpretarse geométricamente como suma de áreas.

En este orden de ideas se construyen los primeros rectángulos básicosfundamentales representados en la Figura 1. Los mismos se denotan conx2, x y 1, respectivamente.

Figura 1 Figura 2

Con estos rectángulos básicos es posible representar geométricamente un poli-nomio cuadrático con coeficientes enteros, como se ilustrará más adelante, sinembargo no es factible representar geométricamente polinomios de grado su-perior. Esta dificultad se abordó en el desarrollo de la Especialización enEnseñanza de la Matemática de la Universidad de Nariño, en el año 1997,y su solución condujo a la construcción del material didáctico denominadola Caja de Polinomios que permite tratar el álgebra de polinomios hastade cuarto grado y en dos variables. La operatoria algebraica que se realizacon esta herramienta consiste esencialmente en armar un rompecabezas, con-struyendo rectángulos con la única regla de que fichas contiguas coincidan enla dimensión de sus bordes vecinos.

2 Polinomios de Grado 2

La idea de Tabit se usa en la enseñanza media al tratar el binomio de Newton.Por ejemplo el desarrollo de (x + y)2 se representa en la figura 3

La caja de polinomios 85

Figura 3 Figura 4

Los rectángulos básicos de dimensión 2 se utilizan en el ambiente escolarpara representar polinomios de grado 2 con coeficientes enteros positivos. Así,la Figura 4 muestra una representación del polinomio 2x2 + 3x + 4.

Sin embargo, surge la inquietud de cómo representar polinomios con coe-ficientes enteros negativos. La generalización de la idea de Tabit para resolvereste interrogante requiere del uso del plano cartesiano. En él, los rectángulosbásicos de dimensión 2, los cuales se denominarán fichas, que se ubiquen enel primer o tercer cuadrante se consideran con coeficientes positivos y los ubi-cados en el segundo o cuarto cuadrante tendrán coeficientes negativos. Así lagráfica de la figura 5a representa el polinomio 2x2 + 3x + 4 y la de la figura5b el polinomio −3x2 − 2, ya que −3x2 − 2 es igual a −3x2 − 3 + x + 1 − x .

Figura 5

Para realizar la operatoria algebraica es necesario tener en cuenta las di-mensiones, la ubicación y el valor algebraico de las fichas, el cual correspondeal producto de las longitudes de sus lados, de acuerdo con la disposición deésta en el plano. La gráfica 6 explica estos hechos


Figura 6

En la lectura de las dimensiones de una ficha se conviene en tomar la dimen-sión de la base en el eje x y luego la dimensión de su altura por el eje y.Así, las figuras 6(a), (b), (c) y (d) corresponden a fichas de valor algebraicox la cuales se han dispuesto con dimensiones 1 y x, x y 1, −1 y −x, −x y−1, respectivamente. Las figuras 6(e), (f), (g) y (h) corresponden a fichas devalor algebraico −x la cuales se han dispuesto con dimensiones −1 y x, −x y1, x y −1, 1 y −x, respectivamente.

2.7 Operaciones

(a) Adición Para calcular p(x)+ q(x) se recomienda utilizar los cuadrantessegundo y tercero para escribir sobre ellos el sumando p(x) mientras que elsumando q(x) se escribe en los cuadrantes primero y cuarto; con el fin defacilitar la lectura de la suma es conveniente retirar, a continuación, las fichasque producen ceros. De acuerdo con lo anterior, la disposición en el planocartesiano para realizar la suma de p(x) = 2x2−3x+2 con q(x) = −x2+2x−3,se muestra en la figura 7.


Figura 7

Una vez retiradas las parejas de fichas que equivalen a cero, resulta:

Figura 8

el cual corresponde al polinomio x2 −x− 1, es decir, (2x2 − 3x + 2) + (−x2 +2x − 3) = x2 − x − 1.

(b) Substracción La diferencia p(x)−q(x) se obtiene de manera análogaa la adición. Las fichas correspondientes al sustraendo que se ubican en loscuadrantes primero y cuarto se trasladan a los cuadrantes segundo y tercero,respectivamente. La lectura del resultado se obtiene eliminando las parejasde ceros. Las figuras 9, 10 y 11 corresponden a

(

x2 + 2x − 3)

−(

x2 + 3x − 2)

.De modo que p(x) − q(x) es 2x2 − x − 1.


Figura 9 Figura 10

Figura 11

(c) Multiplicación Con los rectángulos básicos de dimensión 2 sólo esfactible obtener productos de dos factores lineales p(x) = ax + b y q(x) =cx+d. Cada producto se obtiene construyendo un rectángulo cuya base es unode los factores lineales y la altura el otro, seleccionando fichas que encajenperfectamente como ocurre en todo rompecabezas, observando como reglaúnica que fichas adyacentes deben tener la misma dimensión en su fronteracomún. Para completar el rectángulo, en general, es necesario añadir tantasfichas como se requieran.

Las figuras 12 y 13 representan los pasos sucesivos para hallar el producto


(2x + 1) · (x + 2). Así (2x + 1) · (x + 2) = 2x2 + 5x + 2.

Figura 12

Figura 13

Tal como las operaciones anteriores, para leer el producto, es conveniente,decuentan las parejas de fichas que producen ceros; una ilustración de éstaobservación se muestra al calcular (−x + 2) · (2x + 3).

Figura 14

En el plano de la izquierda se ha dispuesto el primer factor −x + 2, en el dela derecha se muestra el bosquejo del rectángulo a formar, donde la altura es


el segundo factor 2x + 3.

Figura 15

La figura 15(a) indica cómo se completó el rectángulo y la figura 15(b) muestrael producto −2x2 + x + 6, una vez retiradas las fichas equivalentes a cero.Obsérvese que:

• El número total de fichas que se requiere para representar el producto(ax+b) · (cx+d) en un rectángulo es (|a|+ |b|) · (|c|+ |d|); de esta formael cálculo de (2x − 3) · (3x + 5) se obtiene con 40 fichas, mientras que(x − 3) · (−2x + 3) requiere de 20.

• Si la base del rectángulo es el factor ax + b con a > 0 su ubicación serealiza en la parte positiva del eje x, es decir, en el primer o cuartocuadrante en dependencia de la altura del rectángulo (cx + d). Asímismo, se ubica en la parte negativa del eje x cuando a < 0, es decir,en el segundo o tercer cuadrante; de manera análoga se posiciona elvalor de b.

• Obsérvese que de esta forma las fichas de la figura 2 que correspondena los rectángulos básicos, representan los productos x por x; x por 1 y1 por 1 respectivamente.

• El plano cartesiano se traduce en un contexto que posibilita la oper-atoria algebraica con polinomios de coeficientes enteros y por ello senecesita de su correcta utilización, así, un rectángulo conformado conlas mismas fichas corresponde a diferentes productos en concordanciacon su ubicación, como se ilustra en la figura 16.


Figura 16

La lectura que debe realizarse en cada uno de los gráficos anterioreses: la figura 16(a) representa el rectángulo de base −x + 1 y de altura−x+2 que corresponde al producto de (−x+1) ·(−x+2) = x2−3x+2;la figura 16(b) presenta el rectángulo de dimensiones x + 1 y x + 2, esdecir el producto (x + 1) · (x + 2) = x2 + 3x + 2 y la figura 16(c) alproducto(x + 1) · (x − 2) = x2 − x − 2.

Nótese que en los productos anteriores tanto la base como la altura decada uno de los rectángulos se corresponde con el concepto de longitud,es decir, su lectura se realiza por las dimensiones sobre los ejes y deacuerdo con la orientación sin tener en cuenta el cuadrante en que seubica la ficha.

(d) Factorización Un encuadre minimal para un polinomio de segundogrado p(x) es aquella representación del polinomio en el plano cartesiano, apartir de la cual es posible completar un rectángulo por agregación del mínimonúmero de parejas de fichas que algebraicamente sumen cero. Así, factorizarp(x), en la Caja de Polinomios, consiste en construir dicho rectángulo a partirde su encuadre minimal.

La figura 17a presenta el encuadre minimal para el polinomio x2 + x − 2y la figura 17b para el polinomio x2 − x − 2.

Figura 17


La figura 18 presenta el encuadre minimal para el polinomio x2 − 4 y elrectángulo construido a partir de éste; lo que muestra que la factorización delpolinomio x2 − 4 es (x + 2) · (x − 2).

Figura 18

(e) División Dividir un polinomio cuadrático ax2 + bx + c entre un bi-nomio dx+ e, análogamente que en la multiplicación y factorización, consisteen armar con el dividendo, a manera de rompecabezas, un rectángulo cuyabase es el divisor dx+e. Para formar el rectángulo, en ocasiones, es necesario,añadir pares de fichas equivalentes algebraicamente a cero, el cociente es laaltura de dicho rectángulo y el residuo es la cantidad de fichas de valor 1 queno hacen parte del mismo.

La figura 19 presenta, por etapas, la división de x2 + x + 1 por x − 2.

Figura 19

La figura 19(a) muestra el dividendo x2 + x + 1 dispuesto en una franja delongitud igual al divisor x−2, para lo cual se ha agregado un cero conformadopor una pareja de fichas 1. La parte (b) del gráfico presenta el proceso ini-cial de completar el rectángulo con parejas de ceros; dicha figura indica que


el rectángulo completo se obtendría añadiendo siete fichas 1 en el segundocuadrante, las cuales se deben compensar en el primer o tercer cuadrantecomo se observa en la figura 19(c). De ello se deduce que el cociente es x + 3y el residuo es 7.Nota: Para polinomios de grado 2 en dos variables La Caja de Polinomioscontiene adicionalmente, las fichas de valor algebraico y, y2 y x · y que posi-bilitan realizar su operatoria algebraica, de manera análoga a los de grado 2en una variable.

3 Polinomios de Grado Superior a 2

Como es natural, la operatoria con polinomios de grado superior a 2 requierede fichas que representen a x3, x4,...; con el fin de facilitar el trabajo escolarestas fichas deben representarse en el plano. Para ello, obsérvese, en primerlugar, que la ficha correspondiente a x2 puede reemplazarse algebraicamentepor una ficha rectangular de lados x2 y 1. Así mismo, la representacióngeométrica de x3 que corresponde a un cubo de arista x puede transformarse,a partir de la aplicación inversa de la idea de Tabit, en un rectángulo cuyoslados son x2 y x. En este sentido, el proceso de homogeneización se puedegeneralizar a grados superiores.

La figura 20 muestra la clases de fichas fundamentales, para polinomiosde grado 4.

Figura 20

El número de tipos de fichas para representar un polinomio p(x) de grado nestá dado por la expresión

f(n) =

n2+4n−14 si n es impar

n2+4n4 si n es par

.


Así, para fabricar una caja que permita la operatoria con polinomios de cuartogrado en una variable se requiere de 8 clases diferentes de fichas, mientras quepara los de grado once se necesita de 41 clases. A continuación se proponenalgunos ejemplos que ilustran la utilización de las fichas anteriormente con-struidas.

El primer ejemplo ilustra el cálculo de (x−1)3. Obsérvese que el desarrollode (x− 1)3 equivale geométricamente a construir un rectángulo de esta área;por la definición de potenciación (x − 1)3 = (x − 1)2 · (x − 1) y por tantodebe formarse un rectángulo de base (x − 1)2 y altura (x − 1); pero (x − 1)2

equivale a un cuadrado de lado (x − 1) el cual debe disponerse como el ladodel rectángulo que se debe armar para (x − 1)3, como se representa en lafigura 21.

Figura 21

La figura 21(a) presenta el cálculo de (x−1)2 que debe ubicarse longitudinal-mente, al sustituir el cuadrado x2 por el rectángulo de igual área y de ladosx2 y 1, como se muestra en 21(b). En 21(c) se dispone la altura x − 1 delrectángulo a completar y por último, en 21(d), se presenta la multiplicación,cuyo resultado es x3 − 3x2 + 3x − 1.

La figura 22 muestra el cálculo de (x2 −x+1)2 = x4 −2x3 +3x2 −2x+1.


Figura 22

A continuación se presenta la factorización de x3+4x2+x−6, en primer lugarse muestra geométricamente el polinomio a factorizar, la figura a la derechade él nos afirma que éste polinomio se factoriza en primera instancia como(x2+2x−3)·(x+2), el gráfico inferior muestra que (x2+2x−3) = (x+3)·(x−1);de donde x3 + 4x2 + x − 6 = (x + 3) · (x − 1) · (x + 2).

Figura 23

Nótese que en el ejemplo anterior el número total de fichas utilizadas es de18, y que la suma de los valores absolutos de los coeficientes es 12.

En general, para factorizar un polinomio con coeficientes enteros, de la

forma p(x) =n∑

i=0aix

i, con el uso de La Caja de Polinomios, es importante

tener en cuenta que el número total de fichas que se deben utilizar es igual

an∑

i=0|ai| + ρ, donde ρ es un número par, ya que la representación de un

polinomio p(x) en la Caja de Polinomios no cambia por la agrupación deparejas de fichas equivalentes algebraicamente a cero.


Para culminar esta sección se ilustra la división. La figura 24 presenta elcálculo de (x3 + x2 + x + 1) ÷ (x2 − 1).

Figura 24

La figura 24(a) representa la disposición inicial del dividendo x3 + x2 + x + 1en una franja de longitud algebraica x2 − 1 que corresponde al divisor, en lafigura 24(b) se ha armado el rectángulo equivalente de base x2−1 y de alturax + 1, la cual es el cociente y las fichas sobrantes corresponden al residuo2x + 2.

En la siguiente representación gráfica se muestra el cálculo de (x3 + x2 +x + 1) ÷ (x2 + 2), cuyo cociente es x + 1 y de residuo −x − 1.

Figura 25

4 Conclusiones

La Caja de Polinomios, como todo instrumento didáctico tiene sus limita-ciones: en primer lugar, las dimensiones del área que simulan el plano carte-siano y la cantidad de fichas de cada clase de las que puede disponerse, nopermiten representar cualquier polinomio de coeficientes enteros. Sin embargoy por ejemplo al disponer de 15 fichas de cada clase es posible representar


más de un millón y medio de polinomios de cuarto grado en una variable ycon ello la posibilidad de realizar millones de operaciones.

Otra limitación que se puede señalar a la Caja de Polinomios es que nopermite desarrollar satisfactoriamente el concepto de variable que es funda-mental para el desarrollo del pensamiento algebraico por cuanto su principalutilidad está referida a permitir el juego operatorio simbólico.

Como señala Piaget al tratar el desarrollo de la inteligencia, la etapa quecorresponde al período de las operaciones concretas coincide con el momentoescolar en el cual los estudiantes tienen que aproximarse al conocimientoalgebraico y en esta etapa, la inteligencia sólo puede perfeccionarse sobre loconcreto o lo inmediatamente representado y esto es, precisamente, lo quepermite hacer de manera amplia la Caja de Polinomios.

La operatoria algebraica que se ejecuta de manera tangible con la Cajade Polinomios se centra en un rompecabezas que consiste en configurar rec-tángulos con la única regla de que fichas contiguas coincidan en la dimensiónde sus bordes vecinos. El rompecabezas se arma recurriendo a sumar cerosconformados por parejas de fichas equivalentes colocadas en escaques de difer-ente signo y a sustituir unas fichas por otras equivalentes en área, ardides quesuelen parecer demasiado truculentos cuando se desarrolla la operatoria en lapizarra.

Finalmente, los polinomios pueden representarse de diversas maneras, através de una expresión algebraica, por medio de una curva en el plano bidi-mensional o mediante una tabulación numérica; la Caja de Polinomios agregauna forma geométrica que utiliza figuras poligonales.

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[2] Boyer, Carl. Historia de la Matemática. Alianza Editorial. Madrid, 1996.

[3] Guzmán, Miguel de. Juegos Matemáticos en la Enseñanza. En:http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/juemat.htm

Dirección de los autores: Fernando Soto A., Univ. de Nariño — Saulo Mosquera

L., Univ. de Nariño — Claudia P. Gómez, Univ. de Nariño, [email protected]

Resúmenes de Artículos, Proyectos y Tesis

La revista Matemáticas: Enseñanza Universitaria aspira a dar una visión de la inves-tigación que se realiza en Colombia o por colombianos residentes en el exterior, enlas áreas de las matemáticas, su historia y sus problemas educativos. Con este fin sepublicarán en esta sección resúmenes de artículos investigativos en estas áreas, re-cientemente publicados o próximos a publicarse, al igual que resúmenes de proyectosde investigación en marcha y de tesis de grado escritas en los posgrados existentesen el país, que sean presentados a la Revista. Utilizaremos la clasificación de los ab-stracts de la American Mathematical Society (AMS). En el número de clasificaciónde cada resumen, el primer grupo de dígitos indica el año, el segundo el númerodel tema según la clasificación de la AMS y el último el número de recepción delresumen en la sección correspondiente. Las letras A, P o T al final se refieren aartículo, proyecto o tesis. La expresión Copias disponibles, al final de un resumen,indica que usted puede conseguir copias del artículo o proyecto escribiéndole al autor.

80. PROBABILIDAD05–60–3 TTítulo: Algunas aplicaciones de las martingalas en tiempo discretoAutor: Edgar Alirio ValenciaDirector: Dr. Miguel A. MarmolejoInstitución: Universidad del ValleFecha de aprobación: Febrero 18 de 2005

Resumen: En este trabajo de carácter monográfico se presentan algunas aplica-ciones de las martingalas en tiempo discreto. El principal aporte del trabajo consisteen presentar de forma global, coherente y detallada las siguientes aplicaciones:

1. Ley cero uno. Sea (Xn)n∈N una sucesión de variables aleatorias independi-entes. Se definen las σ-álgebras:

τn = σ(Xn+1,Xn+2, · · · ) y τ =

∞⋂

n=1

τn.

Utilizando martingalas se demostrara que si F ∈ τ , entonces P (F ) = 1 ó 0.

2. La ley de los grandes números. Sea (Xk)k∈N una sucesión de variablesaleatorias independientes e indénticamente distribuidas, con E(Xk) = µ yE(|Xk|) < ∞ para todo k ∈ N. Si (Sn)n∈N es una sucesión de variablesaleatorias definidas por Sn =

∑n

k=1Xk, entonces

1

nSn → µ, c.t.p. y en L1.

Se presenta una demostración de este resultado utilizando conceptos de lateoría de las martingalas en tiempo discreto.

100 Resúmenes de Artículos, Proyectos y Tesis

3. Convergencia de series. Sea (Xk)k∈N una sucesión de variables aleatoriasindependientes e indénticamente distribuidas, con E(Xk) = 0, E(X2

k) < ∞ y|Xk| < c < ∞ para todo k ∈ N. Utilizando la martingala Mn =

∑n

k=1Xk se

demostra que la serie∑

∞

k=1Xk converge c.t.p. hacia una variable aleatorio

finita si y sólo si∑

∞

k=1E(X2

k) < ∞.

4. Fluctuación de Bernoulli en un segmento. Sean (Xn)n∈N una sucesiónde variables aleatorias independientes de Bernoulli:

P (Xn = 1) = p, P (Xn = −1) = q,

y Sn =∑n

k=1Xk para todo n ∈ N. Y sea T = infn : Sn = a o Sn = b el

tiempo de paro de la fluctuación de Bernoulli (Sn)n∈N, donde a y b son númerosenteros que cumplen a < 0 < b. Utilizando martingalas determinamos P (ST =a), P (ST = b) y E(T ).

5. Teorema de Radon-Nikodym. Sea (Ω,F) un espacio de medida, P unamedida σ-finita, y Q una medida signada absolutamente continua con respectoa P . Entonces existe una función F-medible f = f(ω) con valores en R talque

Q(A) =

∫

A

f dP, A ∈ F .

Utilizando martingalas se presenta una demostración de este teorema cuando(Ω,F , P ) es un espacio de probabilidad y Q es una medida finita.

6. Una aplicación en análisis. Es conocido que una función f : [0, 1] → R esabsolutamente continua si y sólo si exite h ∈ L1[0, 1] tal que

f(x) − f(0) =

∫ x

0

h(t) dt.

Utilizando martingalas se demuestra que si f : [0, 1] → R es lipschitziana,entonces exite h ∈ L1[0, 1] que verifica la igualdad anterior.

Palabras y frases claves: Espacio de probabilidad, martingalas.

92. BIOMATEMÁTICAS04–92–5 TTítulo: Un modelo matemático de la propagación de Toxoplasma gondii a travésde gatosAutor: Deccy Yaneth Trejos AngelDirector: Irene Duarte GandicaInstitución: Universidad del QuindíoFecha de aprobación: Octubre de 2004Resumen: La toxoplasmosis es una zoonosis parasitaria de amplia distribuciónmundial, que infecta una gran proporción de poblaciones humanas y animales, pro-ducida por el parásito Toxoplasma gondii. Algunos estudios epidemiológicos hanmostrado que en la mayor parte del mundo la presencia de gatos es fundamentalpara la transmisión del parásito a diferentes hospederos intermediarios. En este tra-bajo se modela la difusión del pará sito T. gondii a través de su hospedero definitivo

Resúmenes de Artículos, Proyectos y Tesis 101

Felis catus (gatos). La dinámica está descrita por medio de un sistema de ecuacionesdiferenciales parciales definido en una región rectangular, con condiciones de fronterae iniciales. El modelo considera transmisión indirecta del T. gondii al hospedero, alconsumir presas (pájaros, ratas, ratones), y carne contaminadas por este protozoario;no se tiene en cuenta la forma infectante (quiste tisular, ooquiste o taquizoíto) delparásito. Se obtiene la solución numérica del sistema y se hace la simulación variandoalgunos parámetros, equivalentes a diferentes medidas de control.

Palabras y frases claves: Toxoplasma gondii, difusión, transmisión, contacto efec-tivo, ecuaciones diferenciales parciales.

Noticias y Eventos

Nacionales

50 años del Departamento de matemáticas de la Universidad delValleEl 17 de diciembre de 2004 se celebraron los 50 años del Departamento de Ma-temáticas de la Universidad del Valle. Como invitados especiales asistieronlos profesores Víctor Ariza, Gabriel Poveda, Antonio Vélez, Ángel Zapatay Jairo Álvarez, quienes participaron del proceso de gestación institucional,y doña Doris Bonilla, primera secretaria del Departamento. La celebracióncontó con la presencia de los profesores Guillermo Valdez, Aleyda Espinosa,Doris Hinestroza y Ana María Sanabria quienes ejercieron la jefatura del De-partamento. El profesor Oscar Mario Perdomo disertó sobre la geometríariemanniana en honor de los ilustres invitados.

Con motivo de la celebración el Jefe del Departamento de Matemáticas dela Universidad del Valle, profesor Manuel Villegas, dijo las siguientes palabras:

"Colegas y amigos del Departamento de Matemáticas, y eso losincluye a ustedes doctores Iván Ramos, Rector de la Universidaddel Valle, Doctor Antonio Vélez, Doctor Gabriel Poveda, y a ustedtambién doña Doris Bonilla, primera secretaria del Departamentode Matemáticas.

Es medio siglo de la vida de nuestra institución académica.Más no estamos aquí para evocar nostalgias. Nos reunimos paraafirmar nuestra identidad mediante el ejercicio de la memoria,pues no hay manera de existir sin referirnos a nuestra historia ya nuestros sueños. No somos si no recordamos, no existimos si nosoñamos.

Hablemos de sueños. Érase una vez hace 50 años, en una ciu-dad de 350 mil habitantes, con una universidad recién fundada,habitada por hombres y mujeres infundidos por el espíritu progre-sista de la comarca. Un puñado de visionarios, inspirados por elDoctor Jorge Vergara, Rector de la Universidad del Valle, tomacomo suya la tarea de forjar un Departamento de Física y Mate-máticas.

¿Qué diferencia hay entre la realidad y los sueños? Bueno,cuando muchos sueñan y se esfuerzan por lo mismo, el sueño seconvierte en realidad. Profesor Víctor Ariza, profesor TeodoroBedoya, profesor Mario Yepes, profesor Marco Fidel Suárez, profe-sor Guillermo Vades, profesor Jairo Álvarez, profesor Rubén DaríoNieto, profesora Lilia de Medina, profesora Aleyda Espinosa, pro-fesor Carlos Rodríguez, profesora Doris Hinostroza, profesora AnaMaría Sanabria, gracias, muchas gracias por hacer realidad estedepartamento. Y es realidad una institución como el Departa-

103


Figura 1: De izquierda a derecha los doctores Manuel Villegas, Gabriel Poveda yVictor Ariza.

mento de Matemáticas de la Universidad del Valle que ha influidodecididamente en el desarrollo académico del Valle del Cauca através de la formación de investigadores y profesores universita-rios, que cambiaron para siempre la forma de enseñar y sentir lamatemática.

Ahora que el sueño es memoria, ocurre que esa memoria tieneque ser transformada en nuevos sueños. Ese es nuestro reto! Soyoptimista, pienso que lo lograremos. Y en esa medida, nosotros yquienes nos sucedan, construiremos el futuro. Un día de diciem-bre del 2054, quizá otros celebren un siglo de matemáticas en laUniversidad del Valle. Para entonces, puede que el sustrato físicoque porta nuestras ilusiones ya no exista. No obstante, si nuestrossueños lo ameritan, puede ser que otros los lleven con sigo, y conellos parte de nuestro ser. Si eso ocurre, la vida habrá tenido sen-tido. Que más da si no se recuerden nuestros nombres."

Recuperación digital del patrimonio matemático colombiano

Uno de los más importantes proyectos auspiciados por la Sociedad Colom-biana de Matemáticas, la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicasy Naturales y la Universidad Nacional de Colombia, es el Sistema de infor-mación de la producción matemática colombiana, liderado por los profesoresVíctor S. Albis y Clara H. Sánchez.


Este proyecto consta de dos partes:

a) Una base de datos con la información bibliográfica de la produc-ción matemática colombiana durante los siglos XIX, XX y XXI, lacual contiene actualmente los datos bibliográficos básicos en más de tres milfichas de los trabajos realizados por colombianos, entre trabajos de grado,tesis de maestría y doctorado, artículos en revistas nacionales y extranjeras,libros, capítulos de libros, manuscritos y notas de clases que reposan en bib-liotecas y archivos públicos y privados, con indicación lo más precisa posiblede su ubicación. Por supuesto esta base de datos permanece incompleta puessu crecimiento se da día a día. Por esta razón es muy posible que falte la in-formación de sus trabajos (todos o los más recientes) o los de otras personasde los cuales el equipo del proyecto no tenga noticia, pero que posiblementeusted conozca. Por esta razón le invitamos a participar directamente en elproyecto rellenando tantas veces como sea necesario el formato adjunto o en-viándonos una hoja de vida actualizada usando el editor de textos Word deWindows, y enviando esta información a la siguiente dirección:

[email protected]

Le recomendamos verificar primero si parte de la información que piensaenviarnos ya se encuentra en la base, visitando el sitio WWW:

http://www.scm.org.co/index.php?hoja=historia

Los trabajos que desee incluir pueden versar sobre matemáticas y sus aplica-ciones, educación matemática o historia de la matemática.

b) Recuperación digital del patrimonio matemático colombiano.

http://www.accefyn.org.co/proyecto/conservacion.htm#proyecto

Esta parte está destinada a recuperar la parte más significativa de la produc-ción matemática colombiana del siglo XIX y la primera mitad del siglo XX.Esta recuperación digitalizada no sólo incluye la facsimilar si no también sutrascripción en LaTeX y su presentación en dvi, pdf o html, acompañada enlo posible por biografías, estudios históricos y una iconografía. Es la partemenos avanzada del proyecto, pero su status artis puede consultarse en ladirección indicada arriba.El proyecto es único en Latinoamérica y ha sido invitado especialmente parapresentarlo en el Congreso Internacional de Historia de las Ciencias en Beijinga mediados de 2005.


Formulario

a) ManuscritoAutor(es):Título:

Idioma:Fecha:Localización:Foliación:Fuentes:Palabras claves (AMS):(Por favor usar la última versión: http://www.ams.org/msc/)

Reseña:

Autor de la reseña:Comentarios:

b) LibrosAutor(es):Título:

Idioma:Localización:Editor / impresor:Dirección del editor:Fecha:No. edición:No. páginas:Fuentes:

Palabras claves (AMS):(Por favor usar la última versión: http://www.ams.org/msc/)

Reseña en bases de datos (MathSciNet, MathReviews, Zentralblatt):

Reseña:

Autor de la reseña:


Comentarios:

c) ArtículosAutor(es):Título:

Idioma:Localización:Revista:Volumen:Número:Año:Páginas:Fuentes:Palabras claves (AMS):(Por favor usar la última versión: http://www.ams.org/msc/)

Reseña en bases de datos (MathSciNet, MathReviews, Zentralblatt):

Reseña:

Autor de la reseña:Comentarios:

Simulaciones revelan sorprendentes noticias acerca de los agujerosnegros

Por más de 30 años, los astrofísicos han creído que los agujeros negrospueden absorber la materia cercana a ellos y como resultado, liberar grancantidad de energía. Sin embargo, los mecanismos que atraen la materia ha-cia el agujero negro no han sido bien entendidos y dejan a los investigadoresconfundidos con los detalles del proceso. Actualmente, las simulaciones porcomputador de los agujeros negros han resuelto algunas de estas cuestionesy han puesto en entre dicho algunos supuestos de este fenómeno. Solamentehasta ahora se ha creado un programa de computador lo suficientementepoderoso para captar todos los elementos de acreción hacia el agujero negrotales como: turbulencia, campos magnéticos y gravedad relativa.

Se ha mostrado que la vida en cercanía del agujero negro es algo calmada yquieta, a diferencia de los efectos relativistas que fuerzan la materia a ingresar


hacia el centro del agujero con movimientos aleatorios magnificados dentrodel fluido que crean perturbaciones violentas en la densidad, en la velocidady en la fuerza de los campos magnéticos que conducen ondas de materia ycampos magnéticos hacia adelante y hacia atrás.Las animaciones pueden observarse en la dirección electrónica

http://www.jhu.edu/news_info/news/audio-video/blackholes.html

(Adaptación de la noticia publicada por la Universidad Johns Hopkins).

Se ha encontrado el cuadragésimo segundo número Mersenne

El 18 de febrero de 2005, el Dr. Martin Nowak encontró el número primomás grande hasta ahora conocido: 225964951 − 1. El número primo tiene7816230 dígitos y tomó más de 50 días de cálculos a un computador Pentium4 de 2.4GHz. El Dr. Martin Nowak, un cirujano de Michelfeld Alemania cono-ció sobre GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) en abril de 1999y como aficionado a las matemáticas, comenzó su búsqueda desde entonces.Seis años después, tiene 24 computadores haciendo cálculos para GIMPS.

(Adaptación de la noticia publicada por GIMPS. Para mayor información,puede consultarse la dirección electrónica www.mersenne.org).

Matemático desenreda problema legendario

El 18 de marzo de 2005, Karl Mahlburg estudiante de doctorado de la Uni-versidad de Wisconsin-Madison, ha resuelto una parte crucial del acertijo queha tenido ocupados a gran cantidad de investigadores de la teoría de númerosdesde cuando el matemático Srinivasa Ramanujan escribió sus revoluciona-rias notas. El matemático Hindú, particularmente famoso por notar curiosospatrones al descomponer un número en otros más pequeños, particionó losprimeros 200 enteros y observó que para cualquier número terminado en 4 oen 9, la cantidad de particiones siempre es divisible entre 5. También observóque iniciando en 5, el número de particiones de cada séptimo entero es unmúltiplo de 7; e iniciando con 6, las particiones de cada décimo primer nú-mero, es un múltiplo de 11. Las extrañas relaciones descubiertas por Ramanu-jan, llamadas ahora "las tres congruencias de Ramanujan" fueron estudiadaspor el matemático Freeman Dyson durante la segunda guerra mundial, quiendesarrollo una herramienta llamada "rango" (rank) que le permitió realizarparticiones de todos los números en grupos de igual tamaño. Esta idea fun-cionó con 5 y con 7 pero no con 11.

A finales de los 90, Ken Ono, orientador de Mahlburg y experto en eltrabajo de Ramanujan; obtuvo los manuscritos originales de Ramanujan y


notó una difusa fórmula numérica que parecía no tener conexión con las par-ticiones, pero que estaba raramente asociada con un trabajo no publicadode Ono. Rápidamente, Ono empezó a descubrir que las congruencias en lasparticiones no solamente existen para los números primos 5, 7 y 11, sinotambién para otros primos más grandes. Para probar ésto, Ono encontró unaconexión entre las particiones de números y las formas modulares. Pero ahoraque Ono ha descubierto infinitos números de particiones de congruencias, lapregunta obvia es cuándo puede aplicarse una "manivela" (crank) a todoslos números; Mahlburg lo respondió. Encontró que en lugar de dividir losnúmeros en grupos iguales, podía hacerlo en grupos de distinto tamaño y laidea de congruencia de la partición aún funcionaba. Además, mostró que laidea se extiende para todo número primo.(Adaptación de la noticia publicada por la Universidad de Wisconsin-Madison).

Respuesta matemática a la forma de la torre Eiffel

El profesor asociado de la Universidad de Colorado en Boulder: PatrickWeidman ha determinado el modelo matemático que explica la forma de latorre Eiffel. La torre no fue diseñada de acuerdo a una fórmula matemáticay en lugar de ésto, los ingenieros al mando de Eiffel usaron resultados grá-ficos para calcular la fuerza necesaria para soportar su tremenda altura de300 metros así como la forma de soportar los efectos del viento. "La torre seconstruyó sección por sección y no se tenía una ecuación para su descripción"asegura Weidman. El profesor Weidman inició la investigación del problemacuando recibió una copia de la segunda edición del texto "Advanced Engineer-ing Mathematics" en el 2001. El libro contiene fotografías de varios estadosde la construcción de la torre Eiffel y en el prefacio del libro aparece unaecuación integral no-lineal creada por Christophe Chouard con un número deposibles soluciones para la forma de la torre. Weidman encontró una solucióna la ecuación, una parábola descendente que tenía una curvatura que no co-incidio con a la de la torre. En 2003 Weidman conoce al profesor Iosif Pinelis,experto en análisis numéricos quien ofrece su ayuda para entender las impli-caciones de la ecuación integral. Los cálculos realizados por Pinelis muestranque todas las soluciones de la ecuación deben ser como una parábola, que noes la forma de la torre.

Obsesionado con el problema, Weidman contactó a Henri Loyette, autorde un libro sobre la torre quien le sugirió buscar los archivos históricos de laconstrucción de la torre en la Sociedad Francesa de Ingenieros Civiles; y fueallí donde encontró las bases que usó Eiffel para la construcción de la torre.Basado en la información encontrada, Weidman dedujo nuevas ecuacionespara la estructura dividida en cuatro arcos y sus soluciones en la forma defunciones exponenciales que se acercan sorprendentemente a la forma del mon-umento. Weidman y Pinelis presentaron sus hallazgos en el artículo "Model


Equations for the Eiffel Tower Profile: Historical Perspective and New Re-sults". El escrito apareció en julio de 2004 en la revista "Comptes RendusMecanique".

(Adaptación de la noticia publicada por la Universidad de Colorado).

Noticias y Eventos 111

Eventos

Nacionales

XI Encuentro Escuela Regional de MatemáticasUniversidad del ValleFecha: 27 de Junio al 1 de Julio de 2005Lugar: Universidad del Valle.Las actividades del ERM 2005 serán cursillos, plenarias, conferencias, charlascortas y pósters en dos áreas paralelas de igual importancia

Educación matemáticaMatemáticas y aplicaciones

Cada área tiene su propio comité académico. Para más detalles visitarhttp://www.univalle.edu.co/∼escuelaerm/

Invitados internacionales

Bruce Solomon (Geometría Diferencial)Mathematics DepartmentIndiana UniversityBlomington, IN [email protected]://mypage.iu.edu/∼solomon/

Jorge León (Procesos Estocásticos)[email protected]

Peter Shevandrov (Métodos asintóticos en ecuaciones diferenciales)Escuela de Ciencias Fisico-MatemáticasUniversidad de MichoacánMorelia, Mich, 58060, [email protected]://itzel.ifm.umich.mx:9673/ifm/matematicas/academicos/zhevandrov

Ernst Peter Stephan (Análisis Numérico)Institut für Angewandte Mathematik, IFAMUniversität Hannover, Welfengarten 130167 [email protected]://www.ifam.uni-hannover.de/∼stephan/

112 Noticias y Eventos

Comité organizador

J. Arango, Universidad del ValleD. L. Hoyos, Universidad del ValleCarlos Trujillo, Universidad del Cauca, presidente ERMManuel Villegas, Universidad del Valle.

Comité académico educación matemática

Pedro Vicente Esteban, Universidad EAFIT, MedellínÁlvaro Perea, Vicedecano Académico, Universidad del ValleRoberto Ruiz, Universidad del Valle, CaliErnesto Acosta, Escuela de Ingeniería Julio Garavito, Bogotá.

Comité académico matemáticas y aplicaciones

Oscar Mario Perdomo, Universidad del Valle, CaliJairo Duque, Universidad del Valle, Cali.

Congreso Nacional de MatemáticasSociedad Colombiana de MatemáticasFecha: 8 al 13 de Agosto de 2005Lugar: Santa Fé de BogotáInformación: http://congreso.scm.org.co

Congreso Latino-Ibero-Americano de Investigación de OperacionesSociedad Colombiana de Investigación de OperacionesFecha: Por definir (2006)Lugar: Por definirInformación: http://www.socio.org.co

XVI Encuentro de geometría y sus aplicaciones y IV encuentro dearitméticaUniversidad Pedagógica NacionalFecha: 23 al 25 de junioLugar: Santa Fé de Bogotá

IX Encuentro de ópticaUniversidad EAFITFecha: 13 al 17 de junioLugar: MedellínInformación: http://www.redoptica.eafit.edu.co

Noticias y Eventos 113

Jornada en métodos topológicos en ecuaciones diferencialesUniversidad Tecnológica de PereiraFecha: 11 al 15 de abrilLugar: Pereira

Internacionales

World Congress: IMACS 2005Fecha: 11 al 15 de Julio de 2005Lugar: Paris (Francia)Información: http://imacs2005.ec-lille.fr/index.php

Congresso Ibero-Americano de Educacao Matematica: V CIBEMFecha: 17 al 22 de Julio de 2005Lugar: Porto (Portugal)Información: http://www.fc.up.pt/home/

VI Brazilian Workshop on Continuous OptimizationFecha: 18 al 22 de Julio de 2005Lugar: Goiânia (Brasil)Información: http://www.vibwco.com.br

5th International ISAAC CongressFecha: 25 al 30 de Julio de 2005Lugar: Catania, Sicilia (Italia)Información: http://mathisaac.org/cgi/dm?l=isaac/c/05

XVI Coloquio Latinoamericano de MatemáticasFecha: 1 al 9 de Agosto de 2005Lugar: Colonia (Uruguay)Información: http://www.cmat.edu.uy/cmat/eventos/16cla

XXth Nevanlinna ColloquiumFecha: 8 al 13 de Agosto de 2005Lugar: Lausanne (Suiza)Información: http://www.math.ch/Conferences/Conferences.html#temps

3rd Symposium on Stochastic Algorithms: Foundations and Appli-cations (SAGA2005)Fecha: 20 al 22 de Octubre de 2005Lugar: Moscú (Russia)Información: http://mech.math.msu.su/department/dm/SAGA2005

114 Noticias y Eventos

Compumat 2005Fecha: 24 al 28 de Octubre de 2005Lugar: La Habana (Cuba)Información: http://www.mfc.uclv.edu.co/scmc/Compumat

VII Congreso Internacional Científico Metodológico de Matemáti-cas y Computación: COMAT 2005Fecha: 7 a 11 de Noviembre de 2005Lugar: Matanzas (Cuba)Información: http://www.umcc.cu/comat2003/

Third International Conference on Complex Analysis and Dynam-ical SystemsFecha: 2 al 6 de Enero de 2006Lugar: Galilee (Israel)Información: http://braude.ort.org.il/conference/math2006/

International Congress of Mathematicians 2006Fecha: 22 al 30 de Agosto de 2006Lugar: Madrid (España)Información: http://www.icm2006.org/

Corresponsales de la Revista

U. de Nariño Álvaro Alfredo BravoU. del Cauca Mauricio MacaU. Tec. Pereira Carlos Arturo MoraU. del Quindío Paulo César CarmonaU. de Antioquia Armando Gómez RomeroU. Nacional, Manizales Fabián Fernando Serrano S.U. Nacional, Medellín Fernando PuertaU. Nacional, Bogotá Lorenzo Acosta GempellerU. del Norte Ismael GutiérrezU. Tec. de los Llanos Yolanda FonzecaU. de Sucre Jesús Cepeda CoronadoU. Javeriana, Bogotá Iván Castro ChadidU. Javeriana, Cali Oscar Andrés MontañoU. Distrital Carlos Julio ArrietaU. Santiago de Cali Jairo ApráezU. F. P. S. Mawency Vergel OrtegaU. del Tolima Pedro GallegoU. de la Amazonía Arnulfo CoronadoU. Surcolombiana Mauro MontealegreU. EAFIT Pedro Vicente EstebanU. Ind. de Santander Gilberto ArenasU. de Cartagena Sandra GutiérrezU. de Medellín José Alberto RuaU. de los Andes Ricardo ArteagaU. Tec. del Chocó Américo Mosquera MurilloU. Autónoma de Occidente Oswaldo RodríguezU. del Valle José Raúl QuinteroU. Sergio Arboleda Reinaldo NúñezU. Colegio Mayor de Cundinamarca Cristo Rafael FigueroaU. Simón Bolivar Albeiro ZabalaEscuela Colombiana de Ingeniería Ernesto Acosta GempelerU. de Cordoba Abrahán ArenasU. ICESI Anibal Sosa


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Matemáticas:



Revisión de Artículos

Matemáticas: Enseñanza Universitaria tiene como política confirmar sin demorael recibo de los artículos. Si pasado un tiempo prudencial no hay confirmación derecibo, se ruega un mensaje vía e-mai o Telefax (+57) (2) 330 2566 alertando alrespecto.

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1. Los artículos se someten a un control previo ejercido por el editor generalque verifica si tienen el grado suficiente de elaboración y si cumplen con losrequisitos de presentación. Artículos que hagan mal uso del idioma o que nosigan los lineamientos dados en las instrucciones para autores no se tendránen cuenta para publicación. En tal caso, los documentos se devolverán a losautores a condición que ellos asuman el porte de correo.

2. Los artículos que aprueban el control previo se envían a una revisión adelan-tada por pares académicos. Normalmente, el editor general elige dos parespara el arbitraje de un artículo. El proceso de revisión es confidencial, y losinformes de los pares se usarán únicamente para decidir si un artículo es o nopublicado.

3. Cuando se tengan opiniones divergentes sobre un artículo, el editor generalelige un arbitro.

4. Para la publicación de un artículo se requiere al menos una opinión favorablede los pares académicos.

La revista transmitirá al autor (designado para recibir correspondencia) copiasde los conceptos de los pares académicos. Si un artículo es rechazado, la revistatiene como política no reconsiderar la decisión.

Los cambios exigidos por los pares académicos deben acatarse por parte de losautores. El editor general se reserva el derecho de verificar con los pares académicossi se han hecho debidamente los cambios en cuestión.

La revista hará su mejor esfuerzo para tener una decisión sobre la publicacióndel artículo en los tres meses siguientes a la recepción del mismo.


Revista oficial del Convenio Escuela Regional de Matemáticas (ERM)Resolución 00116, 24 de Mayo de 1977, Ministerio de Gobierno

ISSN 0120-6788, 1900-043X (Edición Online)

Política Editorial

Esta revista es un órgano divulgativo e informativo del Convenio Escuela Regional de Matemáticas(ERM) que aspira a llegar a un amplio círculo de estudiantes, profesores universitarios y personasinteresadas en las matemáticas y su enseñanza. El idioma oficial de la publicación es el castellano.Sin embargo se considerarán artículos escritos en inglés. Las secciones principales de la revistason Matemáticas y Educación e Historia. En estas secciones se publican artículos originales de lassiguientes clases:

• Investigativos, dirigidos a lectores no necesariamente especializados, acompañados de unamotivación apropiada y de claridad en la exposición.

• De reelaboración creativa que presenten en forma novedosa temas clásicos.

• Divulgativos que presenten de manera accesible temas poco conocidos entre lectores noespecializados.

• Sobre experiencias y problemáticas relacionadas con la enseñanza de las matemáticas a niveluniversitario.

• Monográficos, escritos por reconocidos especialistas, que revisen un tema y presenten suestado actual.

La revista contempla además otras secciones que ofrecen opciones adicionales para quienes esténinteresados en publicar en la revista. Estas secciones son: Notas, Resúmenes de Artículos, Proyectosy Tesis, Problemas y Soluciones, Reseñas, Noticias y Eventos.

Instrucciones para autores

Los artículos sometidos a consideración de la revista deben ser originales y no haber sido enviadossimultáneamente a otras revistas. Deben estar provistos de resumen y lista de palabras y frasesclaves (keywords). El resumen no debe exceder una página, ni tener abreviaturas poco usuales ymantener las fórmulas y notación matemática reducidas a un mínimo. El título debe ser breve,descriptivo y apropiado para los efectos de clasificación. Se han de indicar los nombres de losautores y las instituciones a que pertenecen. En el cuerpo del artículo se deben definir las abre-viaturas y símbolos matemáticos poco usuales cuando aparecen por primera vez. Las tablas yfiguras deben reducirse al mínimo. Cuando aparezcan deben estar citadas en el cuerpo princi-pal del texto, estar provistas de leyendas explicativas y numeradas en forma consecutiva según suorden de aparición. Los reconocimientos a instituciones, agradecimientos y dedicatorias estaránal final del cuerpo del artículo. Cada referencia bibliográfica debe tener autor, título, fecha depublicación, nombre de la editorial y lugar de publicación. Los artículos deben enviarse por tri-plicado, escritos en LATEX o ERM-LATEX, a la dirección que aparece en el reverso de la carátula,dirigida preferiblemente al editor de la sección en la que aspira sea publicada su colaboración. Losautores en el exterior pueden enviar su contribución por correo electrónico, siempre y cuando eldocumento pueda ser reproducido por el equipo técnico de la revista. En caso contrario el autordeberá remitir las tres copias en papel. Si un artículo es aceptado para publicación deberá serpreparado por el autor en el formato de la revista Matemáticas: Enseñanza Universitaria . Para esteefecto la revista ha desarrollado el conjunto de comandos ERM-LATEX que está a disposición de losautores en http://revistaerm.univalle.edu.co. Allí está disponible un manual de autores denomi-nado Guía para la preparación de artículos ERM-LATEX. Los autores que tengan dificultades conla elaboración de sus artículos en dicho formato podrán solicitar información a la secretaria de larevista ([email protected]), que con gusto los remitirá a personas que puedan asesorarlosen este trabajo. El envío inicial del artículo debe incluir una carta de remisión indicando el nombrecompleto de los autores y la dirección del autor designado para recibir la correspondencia. Debeincluir, igualmente, una apreciación de los autores sobre la naturaleza de su artículo, el tipo deaporte que hacen en él, y el nombre de la sección de la revista a la que va dirigida su colaboración.


Contenido Vol. XIII No 1 Junio (2005)

1 Editorial

Matemáticas

3 Ecuaciones dispersivas para ondas acuáticasJuan Carlos Muñoz Grajales

15 Problemas elementales y soluciones difícilesYu Takeuchi

31 Convective instabilities in thermoviscoelastic micropolar flu-idsVictor Eremeyev and Denis Sukhov

43 An Example of a Heavy Tailed DistributionNorman Giraldo Gómez

51 Influence of periodic temperature and concentration on un-steady free convective viscous incompressible flow and heattransfer past a vertical plate in slip-flow regimePawan Kumar Sharma

Educación e Historia

63 El concepto de semicontinuidad de Baire en las investiga-ciones de FréchetLuis Recalde y Luis C. Arboleda

Notas

83 La caja de polinomiosFernando Soto, Saulo Mosquera y Claudia P. Gómez

99 Resúmenes de Artículos, Proyectos y Tesis103 Noticias y Eventos

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