MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1 - Editorial Patria...las empresas financieras, de supermercados,...

Jesús Rodríguez FrancoAlberto Isaac Pierdant RodríguezElva Cristina Rodríguez Jiménez

primera edición ebook 2014

MATEMÁTICASFINANCIERAS 1

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

Serie integral por competencias

Derechos reservados:

©2014, Jesús Rodríguez FrancoAlberto Isaac Pierdant RodríguezElva Cristina Rodríguez Jiménez

©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-438-998-2

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en

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Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano CastilloRevisión técnica: Alex Polo VelázquezDiseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísSupervisión de producción: Miguel Ángel Morales VerdugoDiagramación: Braulio Morales SánchezFotografías: Thinkstock

III

Grupo Editorial Patria®

1.1 Fundamentos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Operaciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Principales componentes de la ventana de excel . . . . . . . . . 9 Exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Monto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1.2 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Antilogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Logaritmos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Cálculo del antilogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

BLO

QUE

1 Identificas la aplicación

de los fundamentos matemáticos

en las matemáticas financieras

2.1 Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.2 Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Magnitudes proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Razón de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Tanto por ciento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

BLO

QU

E

2 Interpretas razones y proporciones

Contenido

Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . VIII

Competencias disciplinares extendidas del campo de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

BLO

QU

E

3 3.1 Proporción directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3.2 Proporción inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

3.3 Proporción mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Aplicas el reparto proporcional

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IV

Grupo Editorial Patria®o

4.1 Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79BLO

QU

E

4Calculas las progresiones

5.1 Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Interés y tasa de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Monto, Diagrama de valor-tiempo y Valor Presente . . . .101 Descuento, valor descontado y tasa de rendimiento . . . .107 Aplicación del interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

BLO

QU

E

5Aplicas el interés simple


Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

21 6

V


Introducción a la asignatura y a tu libro

Las matemáticas financieras son de gran utilidad en áreas como la administración, economía y en diversas ramas de la ingeniería; en donde se utilizan para auxiliar cálculos en la ingeniería económica; valuar inversiones en ma-quinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura; y en general, en cualquier inversión que signifique un proceso donde se realice la evaluación de un proyecto. Pero no sólo para estas áreas sofisticadas de inversión son útiles las matemáticas financieras, ya que un pequeño inversionista las puede utilizar para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores condiciones de vida.

Este libro, Matemáticas Financieras 1, está dirigido precisamente a estudiantes de nivel medio superior, profesores y futuros profesionistas de la administración, contaduría, economía y finanzas, que en una forma directa requieran de su uso para analizar de manera sencilla, pero objetiva, los problemas que se les presenten sobre la inversión de un capital, la solicitud de un crédito, la compra de un equipo o una maquinaria, o cualquier operación monetaria que involucre una decisión de inversión.

El libro responde a la actualización de los programas por competencias de la Dirección General de Bachillerato, dgb. Su estructura propicia en el estudiante la construcción de su aprendizaje en forma cotidiana a partir del enfoque educativo basado en competencias. El libro está estructurado para que el estudiante se fije metas de auto-conocimiento y de motivación en forma individual o grupal, a partir de sus habilidades y conocimientos previos o competencias, para alcanzar un nivel cognitivo superior y de desarrollo que lo vincule con el acontecer cotidiano y los problemas financieros reales.

Los conceptos se presentan con un lenguaje ameno, los ejemplos van de lo sencillo a la mediana complejidad, con la idea de que el alumno adquiera confianza y seguridad, al estudiarlos en forma individual, por equipos o grupalmente; los ejemplos son en su mayoría de casos reales y algunos hipotéticos. Los problemas por resolver que se presentan en cada bloque tienen como objetivo reforzar el desarrollo de estrategias, hábitos y técnicas que el alumno utiliza para incorporar nuevos conocimientos y experiencias. Al inicio de cada bloque se plantea una situación didáctica, la cual emplea un problema de aplicación financiera real y la secuencia didáctica propuesta posibilita al alumno analizar e identificar los elementos que conforman el problema, con lo anterior podrá con-testarse la pregunta: ¿en dónde voy aplicar lo que estoy estudiando? Esta pregunta, encuentra una respuesta más completa en el momento que lleva a la práctica su proyecto de trabajo, porque al entrevistar a los funcionarios de las empresas financieras, de supermercados, mueblerías, casas de empeño, entre otras personas, le permite resol-ver todas sus dudas y reforzar el conocimiento adquirido en la escuela con respecto al bloque en estudio.


Jesús Rodríguez Franco Alberto Isaac Pierdant RodríguezElva Cristina Rodríguez Jiménez

MATEMÁTICASFINANCIERAS 1

VI

Introducción a la asignatura y a tu libro Grupo Editorial Patria®

En nuestro país la realidad comercial y sobre todo la financiera se han visto influenciadas por los avances tecno-lógicos que más impactan en la sociedad. Unas de ellas la representan las calculadoras científicas, financieras y las computadoras modernas. El manejo de la computadora y sus programas de cálculo, como la hoja electrónica Excel, han permitido a los analistas de datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera, logrando al mismo tiempo un beneficio máximo que se refleja comúnmente en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón, nos hemos preocupado por incluir en cada bloque, problemas financieros que muestren una solu-ción mediante el uso de la hoja electrónica y la calculadora científica.

El contenido del texto está dividido en cinco bloques:

Bloque 1. Identificas la aplicación de los fundamentos matemáticos en las matemáticas financieras

Bloque 2. Interpretas razones y proporciones

Bloque 3. Aplicas el reparto proporcional

Bloque 4. Calculas las progresiones

Bloque 5. Aplicas el interés simple

Bloque 1En este bloque se estudia las operaciones aritméticas básicas, también en las que hay signos de agrupación, sus propiedades y la jerarquización tanto de operaciones como de paréntesis para encontrar la solución correcta a los problemas planteados. Se estudian los diferentes casos exponentes y radicales, tanto en forma aritmética (para resolver los problemas de multiplicación, división y reducción) como los algebraicos (con exponentes enteros, negativos y fraccionarios). También se explica cómo encontrar el logaritmo de un número utilizando tablas de lo-garitmos, calculadora y hoja de cálculo, para los logaritmos de base , de base 10 y de base ; se estudian las propieda-des de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. En la situación didáctica del bloque se presenta un problema real, en el cual se determina el salario base de reparto de utilidades a los trabajadores de una fábrica textil.

Bloque 2En este bloque se estudia qué es una proporción y cómo plantearla, se explica cómo expresar un problema de proporcionalidad y se analiza también la manera de formular la regla de tres simple directa, inversa, compuesta y cómo calcular el tanto por ciento de una cantidad. En la situación didáctica se continúa con la solución al proble-ma de aplicación: reparto de utilidades a los trabajadores de una fábrica textil, con el cálculo de la parte proporcio-nal de días laborados, la parte proporcional al salario, además de otros problemas de aplicación tomados de casos reales.

Bloque 3Se estudian las sucesiones aritméticas y geométricas, así como las series aritméticas y geométricas. En la situación didáctica se utiliza un ejemplo real en la compra de un refrigerador, se continúa con el estudio de la progresión aritmética, la suma de los términos de la progresión, también se incluyen las progresiones geométricas, y la suma total de términos en una serie. En este bloque se integra un cuadro dinámico desarrollado en Excel para resolver algunos casos de suma y la razón de una sucesión geométrica.

Bloque 4Se inicia con un problema de aplicación de tarjeta de débito, después se estudia el concepto de interés, tasas de interés, interés simple y se continúa con la diferencia entre interés ordinario y exacto, se explica cómo calcular los días a partir de fechas con Excel para posteriormente calcular el interés; después se estudian los conceptos de monto y valor presente, descuento bancario, valor descontado, tasa de rendimiento y se concluye con un caso


VII

Introducción a la asignatura y a tu libro Grupo Editorial Patria®

de ecuaciones de valor. Este bloque incluye un cuadro dinámico desarrollado en Excel para resolver los problemas de descuento e interés simple.

Bloque 5Se explica la forma en que trabajan y aplican el interés simple diferentes instituciones como son: las casas privadas de empeño, tarjetas de crédito, inversión en cetes, inversión en udis, factoraje y pagos parciales a instituciones.

Finalmente queremos mencionar, que el contenido y estructura de cada bloque está enfocado para que el alumno de bachillerato alcance el proceso de comprensión y aprendizaje de las matemáticas financieras, para resolver en un futuro no muy lejano problemas de su vida cotidiana o como usuarios de ésta en la empresa en donde lleguen a laborar.

Los autores


VIII


Competencias genéricas del Bachillerato General

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para

continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-

piados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.


IX


Competencias disciplinares extendidas del campo de MatemáticasBloques de aprendizaje

1 2 3 4 5

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

X X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. X X X X X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos a situaciones reales.

X X X X X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemáticos y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

X X X X X

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X X X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias disciplinares extendidas del campo de Matemáticas


4

BLOQUE 1 Aplica la electricidad en su entorno natural

Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías?

Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer?

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

¿Cómo podemos explicar en equipo las ideas clave y los conceptos principales referentes a alguno de los siguientes temas?:

Formas de electrizar los objetos, electroscopio, materiales conductores y aislantes.

Ley de Coulomb, campo eléctrico, potencial eléctrico y dife-rencia de potencial.

Corriente eléctrica, intensidad de la corriente eléctrica y fuer-za electromotriz.

Ley de Ohm, circuitos eléctricos y conexión de resistencias en serie, paralelo y mixtas.

Potencia eléctrica, efecto Joule y leyes de Kirchho .

Capacitores eléctricos, electroquímica y ley de Faraday de la electrólisis.

A continuación se lista una serie de acciones que debes seguir para responder la pregunta correspondiente a la situación didáctica. Recuerda que es muy importante que las realices con responsabili-dad, actitud cientí ca, entusiasmo y compañerismo.

1. Formen un equipo de tres o cuatro integrantes, pónganse de acuerdo entre ustedes y su profesor(a) con respecto al tema que desarrollarán. Después decidan la manera en que se orga-nizarán para la realización de su investigación bibliográ ca y vía Internet.

2. Apóyense en este libro para hacer la lectura de los conceptos involucrados referentes al tema que seleccionaron, consulten otras fuentes de información que tengan a su alcance: enciclo-pedias, libros, revistas, videos o vía Internet.

3. Identi quen las ideas clave, así como los principales concep-tos involucrados y escríbanlos en su cuaderno o en su compu-

tadora. Deben estar seguros de que comprenden la lectura y en caso de que les surjan dudas en términos o conceptos deben anotarlas en su cuaderno o en su computadora para que a la brevedad posible las resuelvan, ya sea consultando las fuentes de información a su alcance o apoyándose en su profesor(a).

4. Una vez que se han puesto de acuerdo en la selección de la información más relevante, elaboren un resumen o síntesis, primero en su cuaderno y/o computadora.

5. Cuando lo indique su profesor(a), participen todos de mane-ra organizada en la exposición de su investigación realizada, pueden hacerla apoyándose en cartulinas, papel rotafolio o en un programa en su computadora como PowerPoint. Es muy importante el uso de imágenes o fotografías.

Criterios que debes seguir para resolver la pregunta hecha en la si-tuación didáctica, los cuales serán de utilidad para que tú mismo y tu profesor(a) puedan evaluar y valorar tu desempeño:

1. Lee con atención lo referente al tema seleccionado, tanto en tu libro de texto como en las fuentes de información consultadas.

2. Participa con interés y curiosidad cientí ca en el intercambio de ideas, conocimientos y experiencias con tus compañeros(as), lo que favorecerá su aprendizaje y les posibilitará aprender unos de otros.

3. Colabora activamente en la identi cación de las ideas clave y los principales conceptos involucrados.

4. Participa de manera propositiva y respetuosa en la elabora-ción del resumen o síntesis que contendrá la información más relevante que seleccionaron.

5. Ponte de acuerdo con tus demás compañeros de equipo en la parte que te tocará exponer ante los demás equipos y cuál será el apoyo que seleccionarás para tu exposición; hazlo con responsabilidad, compromiso e interés cientí co.

AutoevaluaciónCon el propósito de que re exiones acerca de los resultados ob-tenidos después de resolver la pregunta formulada en la situación didáctica, responde lo siguiente en tu cuaderno.

170

Anexo 3

3Anexo

Constantes físicas y sus valores

Velocidad de la luz en el vacío C 5 2.998 3 108 m/s < 3 3 108 m/s

Masa de la Tierra mT 5 5.98 3 104 kg

Radio de la Tierra rT 5 6.37 3 106 m

Velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol yT 5 30 km/s 5 108 000 km/h

Velocidad de rotación de la Tierra en el ecuador yR 5 463 m/s 5 1 666.66 km/h

Masa de la Luna mL 5 7.25 3 1022 kg

Radio de la Luna rL 5 1.738 3 106 m

Masa en reposo del electrón me 5 9.109 3 10231 kg

Masa en reposo del protón mp 5 1.673 3 10227 kg

Masa en reposo del neutrón mn 5 1.675 3 10227 kg

Unidad de masa atómica u 5 112 masa del C12 5 1.660 3 10227 kg

Energía de un electrón volt eV 5 1.602 3 10219 J

Carga del electrón e2 5 21.602 3 10219 C

Carga del protón P 1.602 3 10219 C

Número de Avogadro NA 6.022 3 1023 moléculas/mol

Constante universal de los gases R 5 8.314 J/K mol

Aceleración normal de la gravedad g 5 9.80665 m/s2

Constante de gravitación universal G 5 6.670 3 10211 Nm2/kg2

Presión atmosférica normal Pn 5 760 mm de Hg 5 1.034 kgf /cm2

Cero absoluto 0 k = 2273.15 °C

Equivalente mecánico del calor 1 cal 5 4.186 J

Constante de Coulomb o electrostática KE 5 8.987 3 109 Nm2/C2

Constante de Planck h 5 6.626 3 10234 Js

Constante magnética KM 5 1027 N/A2

171


Bibliografía

BásicaHewi , Paul G., Física conceptual. México, 9ª. Edición, Pearson Educación, 2004.

Pérez Montiel, Héctor., Física general. México, 5a. edición, Grupo Editorial Patria, 2010.

Tippens, Paul E., Física, conceptos y aplicaciones. México, 6ª. Edición. McGraw-Hill, 2001.

ComplementariaGiancoli, C., Física, principios con aplicaciones. México, 6ª. Edición, Pearson, 2006.

Raymond, A., Fundamentos de física. México, 6ª. Edición, omson Learning, 2004.

44

BLOQUE 1 Aplica la electricidad en su entorno natural

Circuitos eléctricos y conexión de resistencias en serie, en paralelo y mixtasUn circuito eléctrico es un sistema en el cual la corriente uye por un conductor en una trayectoria completa, es decir, cerrada, debido a una diferencia de potencial. Un foco conectado a una pila por medio de un conductor es un ejemplo de un circuito eléctrico básico ( gura 1.42).

En cualquier circuito eléctrico por donde se desplazan los electro-nes a través de una trayectoria cerrada, existen los siguientes ele-mentos fundamentales:

1. Calcular la intensidad de la corriente que pasará por una resis-tencia de 20 Ω al conectarse a un acumulador de 12 V.

2. Determinar la resistencia del lamento de una lámpara que deja pasar 0.6 A de intensidad de corriente al ser conectado a una diferencia de potencial de 120 V.

3. Por una resistencia de 10 Ω circula una corriente de 2 A. ¿Cuál es la diferencia de potencial a la que están conectados sus ex-tremos?

4. Calcular la resistencia de un conductor que al conectarse a una diferencia de potencial de 12 V deja pasar una corriente de 90 miliamperes.

Ejercicios

Resolución de problemas de la ley de Ohm 1. Determinar la intensidad de la corriente eléctrica a través de una

resistencia de 40 Ω al aplicarle una diferencia de potencial de 120 V.

Solución:

Datos Fórmula

I ? I V

RR 40 ΩV 120 V

Sustitución y resultado

I 120 V40 V 3 A

2. Un tostador eléctrico tiene una resistencia de 18 Ω cuando está caliente. ¿Cuál será la intensidad de la corriente que fl uirá al co-nectarlo a una línea de 120 V?

Solución:

Datos Fórmula

R 18 Ω I V

RV 120 V

I ?


I 120 V18 V

6.67 A

3. Un alambre conductor deja pasar 8 A al aplicarle una diferencia de potencial de 120 V. ¿Cuál es su resistencia?

Solución:

Datos Fórmula

I 8 A I V

R ∴ R

V

IV 120 V

R ?


R 120 V

8 A 15 Ω

Ejemplos

4. Calcular la diferencia de potencial aplicada a una resistencia de 12 Ω, si por ella fl uyen 7 A.

Solución:

Datos Fórmula

V ? I V

R ∴ V IR

R 12 ΩI 7 A


V 7 A 12 Ω 84 V

Inicio de bloqueObjetos de aprendizaje

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia en el nivel educativo en el que te encuentras.

Competencias por desarrollar

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Las Secciones de Tu libro

Situación didáctica

Secuencia didáctica

Rúbrica

¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

¿Cómo lo resolverías?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Qué tienes que hacer?

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado que hacen facilitan tu actividad y tus resultados.

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Ejercicios

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Ejemplos

La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarrollar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendizaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

Taller y actividad experimental

Otras herramientas

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

¿Qué sabes hacer ahora?

Desempeños por alcanzar


Instrumentos de evaluaciónLista de cotejo

Portafolio de evidencias Rúbricas

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque; éstos, junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor/a.

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas, otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

Aplica lo que sabes

Actividad de aprendizaje

Para tu reflexión

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos en situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estásadquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.

A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales en el desarrollo del bloque.

Rúbrica


n Identifica los fundamentos y conceptos de las matemáticas financieras en situaciones reales.

nReconoce la Ley de los exponentes y valora su aplicación en situaciones reales.

n Compara operaciones con fracciones para identificar y valorar su aplicación.

nAplica el concepto de tanto por ciento en su contexto, para evaluar su utilidad.

Identificas la aplicación de los fundamentos matemáticos en las matemáticas financieras

n Elige las fuentes de información más relevantes de los fundamentos matemáticos y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y viabilidad.

nDescribe los fundamentos matemáticos como prefacio a la aplicación en las diferentes situaciones reales o hipotéticas.

nArgumenta la solución obtenida de un problema de los fundamentos matemáticos, con métodos numéricos variacionales mediante lenguaje verbal y matemático y el uso de las tecnologías de información, tic.

n Estructura ideas de manera clara, coherente y sintética de la Ley de los exponentes, fracciones propias e impropias y tanto por ciento en diferentes situaciones reales e hipotéticas.

n Formula y resuelve problemas matemáticos financieros aplicando leyes de los exponentes, fracciones propias e impropias y tanto por ciento en casos reales y concretos.

Competencias a desarrollar

Objetos de aprendizaje

1.1 Fundamentos matemáticos

1.2 Logaritmos

1B LO Q U E

01_DGB_MATE FINANCIERAS_B1.indd 1 06/03/14 20:02

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

1. ¿Conoces alguna estrategia efectiva que te apoye en la solución de problemas financieros en tu vida cotidiana?, explica cómo la aplicas y cuáles fueron los resultados que obtuviste.

2. ¿Qué criterios tomas en cuenta para decidir qué hacer y cómo manejar tus finanzas?

3. Después de conocer con detalle un problema, ¿qué medidas desarrollarías para solucionarlo?

4. Encuentra el resultado de las operaciones aritméticas. 9 1 6 3 4 2 5 1

488 5

5. Encuentra el resultado de las operaciones aritméticas aplicando los signos de agrupación.

2 1 5 [(96 3 5) 1 (73 3 6)](19 3 8) 5

n Identifica los fundamentos y conceptos de las matemáticas financieras en situaciones reales.

nReconoce la Ley de los exponentes y valora su aplicación en situaciones reales.

n Compara operaciones con fracciones para identificar y valorar su aplicación.

nAplica el concepto de tanto por ciento en su contexto, para evaluar su utilidad.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

n Elige las fuentes de información más relevantes de los fundamentos matemáticos y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y viabilidad.

nDescribe los fundamentos matemáticos como prefacio a la aplicación en las diferentes situaciones reales o hipotéticas.

nArgumenta la solución obtenida de un problema de los fundamentos matemáticos, con métodos numéricos variacionales mediante lenguaje verbal y matemático y el uso de las tecnologías de información, tic.

n Estructura ideas de manera clara, coherente y sintética de la Ley de los exponentes, fracciones propias e impropias y tanto por ciento en diferentes situaciones reales e hipotéticas.

n Formula y resuelve problemas matemáticos financieros aplicando leyes de los exponentes, fracciones propias e impropias y tanto por ciento en casos reales y concretos.

Competencias a desarrollar

¿Qué sabes hacer ahora?


4

BLOQUE 1 Identificas la aplicación de los fundamentos matemáticos en las matemáticas financieras Grupo Editorial Patria®



Reparto de utilidades a los trabajadores de una f ábrica textil

Toda empresa que obtiene utilidades durante un año de operación, se ve obligada a hacer el reparto de utilidades con base en el artículo 117 de la Ley Federal del Trabajo.

El año pasado la utilidad bruta de la Fábrica Textil Gebara tuvo ga-nancias de $10 500 000. De esta utilidad se tiene que repartir 10% a los trabajadores. Como la cantidad a repartir de utilidad es de $1 050 000, ésta se divide en dos partes iguales:

a) La primera en forma proporcional al número de días trabaja-dos durante el año por los trabajadores (x).

b) La segunda en forma proporcional al salario que reciben men-sualmente (y).

Análisis de la situaciónn ¿Sabes qué dice el artículo 117 de la Ley Federal del Trabajo?

n ¿Qué dice el artículo 123 de la Ley Federal del trabajo?

n ¿Qué empresas deben realizar el reparto de utilidades a sus empleados?

n ¿Cuáles empresas no están obligadas a hacer reparto de utili-dades?

Nombre TrabajadorSalario anual

(pesos)

Días trabajados(en un año)

Andrés Álvarez Gutiérrez Sindicalizado 162 000 360

Eduardo García Chávez Sindicalizado 124 000 315

Adolfo Gómez Mendoza Sindicalizado 90 000 297

María Guerrero Olvera Sindicalizado 76 000 280

Elda Nieto Hernández Confianza 162 000 350

Rafael Linares Juana Sindicalizado 55 000 199

Aldo López Simón Temporal 25 000 35

Ana Mendoza Ramírez Temporal 15 000 26

Erick Gebara Hawk Confianza 524 000 360

Iván Gebara Pietrak Confianza 425 000 360

n ¿Qué trabajadores tienen derecho al reparto de utilidades?

n ¿Quiénes no participan en el reparto de utilidades?

n ¿Qué utilidades obtuvo la fábrica textil el año pasado?

n ¿Qué cantidad le corresponde al inciso a de la situación didác-tica?

n ¿Qué cantidad le corresponde al inciso b de la situación didác-tica?

n ¿Qué trabajadores no reciben reparto de utilidades?

n Encuentra al trabajador con salario mayor.

n Fija el salario base del trabajador con salario mayor.

n Encuentra el salario base para los demás trabajadores.

Proyecto de trabajoCon ayuda de tu profesor y del director de tu escuela, solicita una visita a una empresa y pide la siguiente información:

n ¿Cuántos trabajadores laboran en la empresa?

n ¿Cuántos son sindicalizados y de confianza?

n ¿Cuántos laboran en la empresa y además son socios?

n ¿Cuántos son directores, administradores y gerentes de la em-presa?

Solicita información sobre las utilidades de la empresa del año pasado. Es muy probable que no te den los datos reales, pero no importa porque te proporcionarán datos muy cercanos a los ver-daderos.

Si es posible platiquen con la persona encargada de realizar los cál-culos del reparto de utilidades y pregunten:

n ¿Por qué es importante el reparto de utilidades a los trabajado-res?

n Todas las dudas que les surjan con respecto al cálculo del re-parto de utilidades.


5


Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

1. Elabora un reporte de la información obtenida en la visita a la empresa.

2. Con los datos obtenidos en la empresa visitada calcula el re-parto de utilidades para cada trabajador de la misma.

3. En la solución de los problemas emplea la calculadora y la hoja de cálculo como herramientas de trabajo

4. Muestra tu proyecto en hojas de rotafolio o cartulinas.

5. Presenta el informe ante el grupo y analicen la importancia que tiene para los trabajadores el reparto de utilidades.

6. Escucha y analiza los comentarios de otros estudiantes de ma-nera reflexiva y argumenta y fundamenta por qué lo realizaron de esa manera.

Consulta las siguientes fuentesn Libros y otras fuentes sobre el reparto de unidades a los traba-

jadores

n ¿Cómo se realiza el cálculo del reparto de utilidades?

n El artículo 117 de la Ley Federal del Trabajo.

n El artículo 123 de la Ley Federal del Trabajo.

1.1 Fundamentos matemáticosSe tiene que conocer la utilidad bruta de la empresa del año pasado. Como 10% de la utilidad de la empresa se tiene que repartir a los trabajadores, esta cantidad se divide en dos partes iguales:

La primera en forma proporcional al número de días trabajados durante el año por los trabajadores (x).

La segunda en forma proporcional al salario que reciben cada mes (y).

Identificar al trabajador sindicalizado o de confianza con el salario más alto en la empresa, para calcular el salario base de reparto.

Salario base de reparto 5 Salario más alto del trabajador

1

Sindicalizado o de base (planta)

(20% de su salario)

PorcentajeEl porcentaje es la relación que se establece entre un subconjunto n de un conjunto N, multiplicando esta relación por cien. El porcen-taje se representa con el símbolo % (porcentaje o tanto por ciento).

% del subconjunto x 5 números de elementos del subconjunto n

(100)

Total de elementos del subconjunto Universal N

Ejemplo:

El año pasado, la utilidad de la Fábrica Textil Gebara fue de $10 500 000.00 de los cuales 10% se tiene que repartir a los traba-jadores.

El trabajador con mayor salario es Andrés Álvarez Gutiérrez de la fábrica textil con $135 000 en un año (360 días).

a) Primero se calcula la cantidad a repartir, que es el 10% de la utilidad bruta:

El 10% de $10 500 000.00 es 10100 ($10 500 000.00) 5

$1 050 000.00, esta cantidad se divide en dos partes iguales$1 050 000.00

2 5 $525 000.00

b) $525 000.00 se reparte en forma proporcional al número de días trabajados durante el año por los trabajadores.

c) La segunda en forma proporcional al salario que reciben cada mes es de $525 000.00

Como segundo paso se identifica al trabajador que tiene el salario más alto en la fábrica textil, una vez ubicado se calcula el salario base de reparto

Salario base de reparto 5 ($135 000) 1 ($27 000) 5 $162 000

Este salario base de reparto se aplica a trabajadores tanto sindicali-zados como de confianza.


6


CalculadoraLa calculadora nos posibilita la resolución de operaciones de una manera rápida, pero es necesario manejarla de manera ade-cuada para poder sacar el máximo provecho. En las calculadoras electrónicas existen tres tipos de lógica de programación:

Aritmética. Las operaciones se realizan en el orden en que apare-cen los números y los operadores.

Algebraica. Los cálculos se realizan con base en las reglas algebrai-cas y, por consiguiente, con un orden de prioridad.

Notación polaca inversa (rpn). No se utilizan paréntesis en los cálculos en cadena.

La lógica de notación inversa fue desarrollada por el matemático pola-co Juan Lukasiewicz (1878-1956).

Los signos actuales de suma y resta se deben a que cuando los anti-guos mercaderes pesaban los sacos, los marcaban con un signo más (1) si tenían mayor cantidad de la estipulada o un signo menos (2) si tenían menor cantidad. El signo de multiplicar es la cruz de San Andrés y se atribuye a W. Oughtred.

Los griegos se auxiliaban de una tabla pitagórica para realizar la ope-ración de multiplicación, los babilonios utilizaban las tablas de cuadros, y para los romanos esta operación era muy lenta y difícil debido a la notación numérica que empleaban. En el caso de la división, los prime-ros en conocerla fueron los babilonios y los hindúes.

La división entre cero no está permitida (a/0).

Los signos de relación son indispensables en las operaciones aritméti-cas y algebraicas, los más utilizados son los siguientes:

5 igualdad

desigualdad o diferente

idéntico

menor que

mayor que

mayor o igual que

menor o igual que

Los signos de agrupación son muy útiles en las operaciones aritméti-cas y algebraicas. Se indican a continuación.

( ) paréntesis

[ ] corchete

llave

Para tu reflexión

Contesta las siguientes preguntas y coteja tus respuestas con las de tus compañeros, con el propósito de obtener los resultados correctos.

a) Las operaciones aritméticas se clasifican en , proporciona un ejemplo de aplicación.

b) Explica a qué se refieren las operaciones inversas y señala la im-portancia que tienen en la resolución de problemas aritméticos.

c) ¿Cuál es la jerarquía con que se resuelven las operaciones aritmé-ticas con signos de agrupación? Señala en qué situaciones reales o hipotéticas se pueden aplicar.


Resuelve las siguientes operaciones aritméticas con la calculadora e indica las ventajas y desventajas que tiene esta herramienta como me-dio de solución en situaciones de tu entorno.

Operación Teclas en la Respuesta calculadora en pantalla

2 1 5 2 3 1 2 5 2 1 5 2 3 1 2 5

7 1 3 1 6 2 2 1 8 5 7 1 3 1 6 2 2 1 8 5

9 1 6 3 4 2 5 5 9 1 6 3 4 2 5 5

4 3 5 4 4 1 10 4 3 5 4 3 5 4 4 1 10 4 3 5


Resuelve las siguientes operaciones aritméticas con la calculadora, ex-plica cómo obtuviste los resultados y qué dificultades se te presentaron para llegar a la información correcta.



7


Memoria de la calculadoraTodas las calculadoras tienen por lo menos un registro de memo-ria. Su objetivo es evitar reescribir resultados intermedios, los cua-les se utilizarán más adelante.

En la calculadora elemental, las teclas tienen las siguientes fun-ciones:

m1 Almacena en memoria el número mostrado en la pantalla y también suma el número mostrado en la pantalla con el almacenado en la memoria.

mr o x-m o rcl Muestra el número almacenado en memoria.

En la calculadora científica, las teclas tienen las siguientes funciones:

Min o sto Almacena en la memoria el número mostrado en la pantalla.

mr o rcl Muestra el número almacenado en memoria.

1/2 Tecla de cambio de signo del número mostrado en la pan-talla; en las calculadoras graficadoras el cambio de signo se realiza con la tecla 2 .

Siempre es importante consultar el manual de tu calculadora para realizar las operaciones en forma correcta.

Operaciones aritméticasComposición o directa. Son la suma (1), la multiplicación (3) y la potenciación (x)n, porque si se conocen ciertos datos se encuen-tran los resultados.

Descomposición o inversas. Son la resta (2), la división (4), la radicación ( ) y los logaritmos (Log X, Ln X) porque basta cono-cer el resultado de la operación directa correspondiente y uno de sus datos para encontrar el otro dato.

Operación

Directa Inversa

Suma Resta

Multiplicación División

Potenciación Radicación y logaritmos

a) 8 4 2 3 5 1 (9 2 1) 4 8 2 3 5

8 4 2 3 5 1 ( 9 2 1 ) 4 8 2 3 5

b) 8 1 4 4 2 3 3 2 4 4 (2 3 2) 5

8 1 4 4 2 3 3 2 4 4 ( 2 3 2 ) 5

c) 8 3 5 5 guardar en memoria

(3 3 8 1 6) 3 48 3 5 5

12040 5

8 3 5 Min

( ( 3 3 8 1 6 ) 3 4 ) 4 Min 5

Tipo de teclas 1. Las teclas básicas realizan una sola función primaria como

la suma, la resta, la división, la obtención de una función tri-gonométrica, etc. Se pueden identificar fácilmente porque el símbolo de la función está marcado sobre las teclas.

cos 1

2. La tecla de cambio. Como su nombre lo indica sirve para cambiar de función primaria a función secundaria, estas teclas son diferentes de acuerdo con la marca y el modelo de calcu-ladora; las más usuales son:

inv 2nd Shift

En la parte superior de las teclas básicas se indican las funcio-nes secundarias.

1/x

x2

Antes de iniciar con las operaciones primero se debe ingresar al modo de programación correcto mediante la tecla mode . El ma-nejo de esta tecla varía de una calculadora a otra, por ejemplo:

Cálculos Oprimir las teclas

Cálculos aritméticos básicos modo 1

Cálculos estadísticos modo 2

on/c Sirve para borrar el número que aparece en la pantalla o alguna función activada.

ce En la cadena de operaciones sólo borra la que se muestra en la pantalla y conserva las anteriores.


8


Operación de suma y diferenciaLa suma es la operación cuyo objetivo es sumar varios números de la misma especie, para reunirlos en un solo número (suma o función).

Ejemplo OperaciónTeclas en la calculadora

Resultado en

pantalla

a) 2 1 5 1 3 5 10 2 1 5 1 3 5 10

b) 260 1 8 1 20 1 15 5 303

260 1 8 1 20 1 15 5

303

c) 75.25 1 34.07 5 109.32 75.25 1 34.07 5 109.32

La diferencia o sustracción tiene como objetivo quitar un núme-ro de otro de la misma especie, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos sustraendo, encontrar el otro sumando (resta, diferencia o exceso).


Resultado en

pantalla

a) 9 2 5 5 4 9 2 5 5 4

b) 2 608 2 1 843 5 765 2 608 2 1 843 5 765

c) 75.25 2 34.07 5 41.18 75.25 2 34.07 5 41.18

La multiplicación tiene como objetivo tomar un número llamado multiplicando tantas veces como lo indica el otro llamado multi-plicador, para encontrar uno nuevo llamado producto. Al multipli-cando y al multiplicador también se les llama factores.

La división es la operación contraria a la multiplicación cuyo ob-jetivo es buscar un factor cuando se conoce el otro y el producto.


Resultado en pantalla

a) 273

5 9 27 4 3 5 9

b) 26016

5 16.25 260 4 16 5 16.25

c) 175.8924.35

5 7.2234175.89 4 24.35

57.22340862422

Operaciones en las que hay signos de agrupaciónLas operaciones deben realizarse con el orden siguiente:

1. Primero las operaciones encerradas en los paréntesis más in-ternos (o anidados) hasta convertirlas en un solo número, des-pués el paréntesis menos interno y así sucesivamente (como en álgebra).

2. Identificar si el conjunto de operaciones se encuentra en el mismo nivel de prioridad, y entonces se realizan de izquierda a derecha.

3. Resolver las operaciones de elevar a una potencia y las raíces.

4. Después las multiplicaciones y divisiones.

5. Al final se solucionan las sumas y restas.


Resultado en

pantalla

a) 5 3 3 5 5 1 5 1 5 5 15 5 3 3 5 15

b) 20 3 584 5 11 680 20 3 584 5 11 680

c) 75.25 3 34.07 5 2 563.7675 75.25 3 34.07 5 2 563.7675



a) (25 1 20) 4 5 2 (7 2 4) 3 2 5 3

Primero las operaciones

encerradas en paréntesis

(25 1 20) 5 45 (7 2 4) 5 3

Después la división y multiplicación45 4 5 5 9 3 3 2 5 6

Por último la diferencia

9 2 6 5 3

En forma directa en la calculadora científica

Con una calculadora

elemental

25 1 20 5

4 5 5 M1 C

7 2 4 5

3 3 2 5

C MR 2 6 5

Con una calculadora científica

( 25 1 20 )

4 5 2 ( 7 2

4 ) 3 2 5

45

9

3

6

3

3


9


Figura 1.1 Principales componentes de la ventana de Excel.

A continuación describimos cada una.

Barra de aplicación. En ella se muestra el nombre de la aplicación (Microsoft Excel), el nombre del libro (conjunto de hojas electró-nicas) que se está utilizando (Matemáticas Financieras 1) y los boto-nes de control de la ventana: minimizar, maximizar y cerrar, como se muestra en la figura 1.1.

Barra del menú de comandos. Muestra los comandos del menú principal de Excel: ARCHIVO, EDICIÓN, VER, INSERTAR, FORMATO, HERRAMIENTAS, DATOS, VENTANA y ? (Ayu-da o Asistente).

Las barras de herramientas son conjuntos organizados de ins-trucciones que han sido asignados a pequeños dibujos o iconos. Para ejecutar una instrucción nos ubicamos con el ratón o mouse en alguno de estos iconos y oprimimos el clic izquierdo, con lo cual se ejecutará la instrucción de inmediato, es decir, son comandos rápidos representados por medio de botones, y los dibujos indican de qué tipo es la instrucción asociada a ellos.

Barra de fórmula. Muestra el contenido de la celda y su ubicación. Nos indica si en la celda existe un texto, un número, una fórmula, una función o una combinación de estas características.

Área de trabajo. Está formada por un cuadriculado, en el que las columnas se denotan por letras (de A a IV) y los renglones por nú-meros (de 1 a 65536). El cruce de columnas y renglones forman las celdas de trabajo de la hoja electrónica, por ejemplo, la celda activa B3 en la figura 1.1.



b) (96 3 5) 1 (73 3 6)(19 3 8)

5 6.0395

( 96 3 5 )

1 ( 73 3 6 )

4 ( 19 3

8 ) 5

6.0395

c) 200 4 (10 2 9) (6 2 4) 5 100

200 4 ( 10 2

9 ) 3 ( 6 2

4 ) 5

100

El paquete (Excel) realiza primero las operaciones indicadas den-tro de los paréntesis y posteriormente, la multiplicación.

Las operaciones indicadas en cada celda se realizan de izquierda a derecha a partir del signo de igual. En la hoja electrónica la priori-dad, es decir, el orden de ejecución de las operaciones es:

Más alta (^ acento Elevar a un prioridad circunflejo) exponente

* y / Multiplicar o dividir

1 o 2 Sumar o restar

Menor And, or, not Operadores lógicos prioridad

Al igual que en álgebra, los paréntesis permiten cambiar el orden de ejecución de las operaciones, por ejemplo, cuyas operaciones son:

= (13.5 1 12.6 2 45.7)*(210 1 6)

Principales componentes de la ventana de excelOtra herramienta que resulta de gran utilidad para los cálculos arit-méticos es la hoja electrónica Excel. A continuación encontrarás una breve explicación de su funcionamiento para que la utilices.

En la hoja electrónica Excel se muestran seis secciones o áreas de la ventana y la celda activa. Éstas son:

n Barra de la aplicación (Microsoft excel)

n Barra de menú de comandos

n Barras de herramientas

n Barra de fórmula

n Hoja electrónica o área de trabajo

n Barra de estado

Barra de aplicación Barra de menú de comandos Barras de herramientas

Celda activa Barra de fórmula

Área de trabajo

Barra de estado


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Barra de estado. Nos indica el tipo de información, si está lista la hoja para trabajar, si se está editando una celda, etc. Indica lo que se hace en la hoja activa y las teclas que están activadas (CAPS, NUM, INS, DESP, etc.), así como la situación de la celda en la hoja.

Los archivos en excel reciben el nombre de libros de trabajo. Cada uno de estos libros puede contener una o más hojas electrónicas independientes. Estas hojas a su vez pueden tener un nombre par-ticular, según lo asigne el usuario. En la figura 1.1 se muestra un libro llamado Matemáticas Financieras 1 con tres hojas de trabajo (hoja 1 a 3).

excel cuenta con diversos comandos que permiten al usuario ubicarse en diversas partes de la hoja en forma rápida, entre ellos tenemos:

Tecla Función

HOME Ubica el cursor al inicio del renglón (en la columna A).

END y ( → )Ubica el cursor en la última celda ocupada en el renglón.

END y ( ↓ )Ubica el cursor en la última celda ocupada en la columna.

END y ( ↑ )Ubica el cursor en la primera celda ocupada en la columna.

PgUp Ubica el cursor una página anterior.

PgDn Ubica el cursor una página posterior.

F5 Ubica el cursor en una celda especificada (debemos indicar la celda deseada).

Clic del ratón Ubica el cursor en la celda indicada.

CTRL y HOME Ubica el cursor al inicio de la hoja (celda A1).

CTRL y END Ubica el cursor en la última celda ocupada.

En la figura 1.1, dentro del área de trabajo observamos del lado de-recho una barra sombreada que tiene dos flechas, una en la parte inferior y otra en la superior; al final de la figura también hay otra barra similar, más pequeña, en forma horizontal, a estas barras les llamaremos “barras de desplazamiento”. Éstas nos permiten ubi-carnos en las diversas áreas de una hoja electrónica. Si tenemos un ratón o mouse ( ) este procedimiento lo lograremos mediante los siguientes pasos: colocamos el cursor del mouse sobre el cuadro que se encuentra en las barras y oprimimos el botón derecho del mouse sin soltarlo y se desliza el cursor sobre la barra, luego solta-mos el botón y automáticamente estamos ubicados en otra sección de la hoja. Momentáneamente aparecerá en la pantalla un reloj ( ) que indica que excel está trabajando. En múltiples ocasiones este reloj se aparece en la pantalla, lo cual indica que esperemos unos segundos para seguir tecleando.

Los comandos en excel pueden ser aplicados en cada hoja de tra-bajo independiente que constituya un libro o archivo de trabajo.

En seguida mencionamos los principales submenús de excel y sus principales comandos asociados.

Menú: ARCHIVO

Permite el manejo de los archivos en la hoja electrónica. Sus princi-pales subcomandos son:

Tecla Función

NUEVO Crea un nuevo libro de trabajo (archivo).

ABRIR Abre un libro de trabajo ya existente.

CERRAR Cierra el libro de trabajo activo.

GUARDARGuarda el libro con el mismo nombre, es decir, lo sobreescribe.

GUARDAR COMOGuarda el libro en uso por primera vez, o guarda las modificaciones con otro nombre.

GUARDAR ÁREA DE TRABAJO

Guarda el grupo de libros definidos como grupo de trabajo.

VISTA PRELIMINARReproduce en la pantalla la hoja electrónica como si estuviera impresa.

IMPRIMIRPermite indicar las características de impresión de la hoja, márgenes, tamaño, etcétera.

SALIR Sirve para salir de la aplicación.

Menú: EDICIÓN

Permite realizar operaciones de trabajo con los datos que se en-cuentran en las celdas de la hoja electrónica. Sus elementos son los siguientes:

Tecla Función

DESHACERAnula la última acción ejecutada y tanto las celda(s) como la hoja quedan sin cambio.

CORTAR

“Extrae” el rango de celdas seleccionado de su posición actual y lo coloca en el portapapeles, para después trasladarlo a otra sección de la hoja activa u otra hoja mediante el comando PEGAR.

COPIAR“Registra” en el portapapeles el rango de celdas seleccionado para luego copiarlo a la sección deseada de la hoja mediante el comando PEGAR o al oprimir la tecla ENTER.

PEGARColoca la información que se encuentra en el portapapeles a partir de la celda activa.

BORRAR Elimina columnas, renglones o celdas seleccionados.

Pegado especial

Al copiar las celdas entre hojas de cálculo, establece una liga entre las distintas hojas. La hoja que recibe las celdas es dependiente y la que proporciona los datos es la independiente.


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Menú: INSERTAR

Este menú maneja la creación de las fórmulas o secuencias de valo-res, referencias, nombres, funciones u operadores, y crea un nuevo valor a partir de los datos existentes. Permite dar nombres a rangos, localización de celdas distintas y de textos, así como reemplazo de textos.

Los elementos que forman este menú son:

Tecla Función

CELDASAgrega celdas a la hoja electrónica, desplazando a otras celdas los datos o la información.

FILASAgrega uno o varios renglones a la hoja electrónica, desplazando a otras filas los datos o información.

COLUMNASAgrega una o varias columnas a la hoja electrónica, desplazando a otras columnas los datos o información.

FUNCIÓNIntroduce una función propia de Excel a la celda activa.Presenta la sintaxis requerida para su correcta operación.

NOMBRECrea, elimina o cambia nombres a un rango de celdas seleccionado.

NOTAS Agrega, borra o edita notas en las celdas de la hoja.

HOJA DE CÁLCULO Agrega una nueva hoja de cálculo al libro de trabajo.

Menú: FORMATO

Estos comandos permiten asignar un formato determinado a los datos o información en una celda o en un conjunto de celdas, es de-cir, determina tamaño de la celda (ancho y altura); el tipo, tamaño y color de la letra; el color del fondo de la celda, etcétera.

Tecla Función

CELDA

Asigna características al dato que está en la celda o celdas seleccionadas. Por ejemplo, tipo de letra, tamaño, alineación de la información, color, formato numérico, etcétera.Activa y desactiva la protección de las celdas.

FILAPermite modificar tanto la altura como el ancho de la fila, también restablece la altura de la fila al alto estándar.

COLUMNA Ajusta el ancho de las columnas seleccionadas.

HOJA Cambia el nombre y oculta las hojas seleccionadas.

AUTOFORMATO Da formato de tabla a un rango de datos.

ESTIOAplica o define un modelo de formato para la celda o conjunto de celdas seleccionadas.

Menú: (AYUDA)

Es un menú que permite consultar en forma rápida mediante ejem-plos el uso de comandos y procedimientos de operación del pa-quete.

Tecla Función

AYUDA DE MS EXCELDespliega el contenido de EXCEL para consultar temas.

MOSTRAR EL AYUDANTEMuestra una ventana de apoyo al usuario del paquete. Despliega lecciones rápidas para que el usuario se familiarice con Excel.

ACERCA DE MS EXCELDespliega información sobre la versión de EXCEL, memoria total y memoria disponible.

Operaciones aritméticas con Excel

Tipos de operadores que maneja Excel

Aritméticos. Realizan las operaciones matemáticas más comunes:

1 SUMA

2 RESTA

* MULTIPLICACIÓN

/ DIVISIÓN

% PORCENTAJE

^ EXPONENCIACIÓN

De texto. El único operador es el & (ampersand) que nos permite unir varios textos o valores alfanuméricos con textos.

Lógicos. Compara dos valores y al resultado le asigna un valor lógico, es decir, verdadero o falso.

5 igual

menor que

mayor que

5 mayor o igual que

5 menor o igual que

distinto a

Para tu reflexión


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En la hoja electrónica Excel es muy sencillo realizar operaciones aritméticas, utilizando signos de agrupación o con los operadores aritméticos y lógicos, dependiendo de los requerimientos del usua-rio. El procedimiento que debemos seguir, independientemente de la operación a realizar, es:

1. Abre una hoja electrónica y ubica el cursor en la celda deseada, por ejemplo, la B5.

2. Una vez ubicados en la celda (B5), coloca el signo igual (5) con ayuda del teclado. Este signo le indica al paquete que se esperan números y operadores aritméticos, o una fórmula con celdas de referencia.

En esta celda quedará la operación o fórmula, según sea el caso, pero el usuario observará en ella el resultado de la operación.

Ejemplo: en la figura 1.2, en la celda B5 se muestra la operación aritmética siguiente:

5 (13.5 1 12.6 2 45.7) * (210 1 6)

Figura 1.2

Ahora captura en las celdas B7, B9, B11, B13, B15 y B17 las opera-ciones siguientes y comprueba los resultados que se muestran en la figura 1.2, en las celdas respectivas.

B7 5 (13.5 1 12.6 2 45.7) * (210 1 6)

B9 5 (103.5 1 120.6 2 45.7) * (100 1 16)

B11 5 (1000 1 1200.5 2 450.7)/ 100.5

B13 5 500.25 1 100.75 2 12

B15 5 1870.25 2155.75 1 200

B17 5 3450.75 3 1895

Sugerencias para tu autoevaluación

Operaciones aritméticas en forma mentaln Analiza la operación aritmética a resolver.

n Mentalmente plantea la forma de solucionarla.

n Da la respuesta.

Operaciones aritméticas con calculadoran Analiza la operación aritmética a resolver.

n Ubica la posición que ocupan las teclas de la calculadora que vas a utilizar.

n Teclea con calma y precisión, siempre siguiendo la secuencia de la operación a resolver.

n Por último, oprime la tecla de igualdad para que el indicador de la calculadora muestre el resultado.

Operaciones aritméticas con computadoran Analiza la operación aritmética a resolver.

n Abre un libro en excel.

n En la barra de estado, escribe operaciones aritméticas donde dice libro uno.

n Ubica la celda; después, inicia escribiendo el signo de igual-dad.

n Empieza a plantear la operación aritmética a resolver.

n Revisa que la operación esté bien planteada.

n Por último, oprime la tecla (Intro o Enter).

n En la celda seleccionada donde se planteó la operación apare-cerá el resultado.

Resuelve las siguientes operaciones aritméticas en forma mental y comprueba tus resultados con la calculadora.

Operación Teclas en la Resultado calculadora en pantalla

1. 9 1 4 2 5 1 2 5 10 9 1 4 2 5 1 2 5 10

2. 8 2 3 1 2 2 1 8 2 3 1 2 2 1 1 9 5 15 1 9 5 15


De rango. Une las referencias, ya que toma en cuenta el rango desde la primera referencia hasta la segunda (A1:B3 significa que toma en cuenta la información que tiene la hoja desde la celda A1 hasta la B3).Une referencias aisladas (A1, A7, B9 significa que toma en cuenta la información de las celdas A1, A7 y B9).


13


Resuelve las siguientes operaciones aritméticas primero con papel y lápiz, después con tu calculadora y por último con Excel.

7. 5 1 4 2 3 1 2 5

8. 8 2 3 1 4 2 1 1 9 2 7 5

9. 11 2 4 1 13 2 2 2 6 1 3 5

10. 32 2 19 1 43 2 18 2 10 1 4 2 7 1 9 5

11. 60 2 (8 1 7 1 5) 5

12. (5 1 6) 1 (7 1 8) 5

13. 56 2 (3 1 5 1 11) 5

14. (14 1 5) 2 (6 2 4 1 3) 1 (6 2 4 1 2) 5

15. 150 2 [(5 21 ) 2 (4 2 3)] 5

16. 500 2 6 1 [(14 2 6) 2 (7 2 2) 1 (4 2 1)] 5

17. 9 1 (2 3 3) 5

18. 5 3 4 2 2 5

19. (9 3 3 ) 2 (4 3 2) 5

20. 49 2 (3 3 2 3 5) 1 8 2 (4 3 2) 5

21. (5 3 4) 1 (3 3 2) 2 (4 3 3) 1 (8 3 6) 5

22. (6 1 5 1 4 ) 3 5

23. (20 2 5 1 2) (16 2 3 1 2 2 1 ) 5

24. 3 (8 2 1) 1 4 (3 1 2) 2 3 (5 2 4) 5

25. 500 1 6 (3 1 1) 1 (8 2 5) 3 2 2 (5 1 4) 5

26. 8 1 (6 4 3) 5

27. 15 1 (6 4 3) 2 (4 4 2) 1 4 5

28. (6 4 2) 1 (8 4 4) 5

29. (8 3 5) 1 4 2 (3 3 2) 1 (6 4 3) 5

30. (15 1 20) 4 5 5

31. ((3 4 5) 4 (1/5) 1 (7 1 10)) 4 2 5

32. (8 4 2) 3 5 1 ((9 2 1 4 8) 2 3 5

33. 9 [15 4 (6 2 1) 2 (9 2 3) 4 2] 5


3. 6 3 4 2 5 1 9 5 28 6 3 4 2 5 1 9 5 28

4. 7 3 5 2 3 1 8 7 3 5 2 3 1 8 3 2 5 80 3 2 5 80

5. 12 4 3 3 4 12 4 3 3 4 1 5 5 21 1 5 5 21

6. 4 3 5 4 4 1 9 4 3 4 3 5 4 4 1 9 4 3 2 10 4 5 3 2 5 4 2 10 4 5 3 2 5 –2.133333

34. [(9 2 4) 4 5 1 ((10 2 2) 4 4)] + (9 3 6 4 18) 1 2 5

35. (32 2 16 2 7) 2 8 5

36. (16 2 12 2 2 4 10) 4 2 5

37. Cuatro cuadernos tamaño profesional cuestan $50. ¿Cuánto cos-tará una docena de cuadernos?

38. Seis secretarias hacen un trabajo de captura de información en 12 días. ¿En cuántos días realizarían el mismo trabajo de captura de información ocho secretarias?

39. El dueño de un edificio desea contratar a un grupo de trabaja-dores para limpiar los vidrios del edificio. La experiencia del año anterior nos indica que el tiempo empleado fue de 16 días traba-jando 5 horas diarias. ¿En cuántos días limpiarán los vidrios del edificio si trabajan 8 horas diarias?

40. El rector de la Universidad Autónoma de la Comunicación contrata a un despacho de arquitectos para cambiar las guarniciones y las banquetas en el estacionamiento de los alumnos. El rector de la Universidad le dice al arquitecto Antonio Castro que dispone de máximo 8 días para terminar la obra. El arquitecto al reunirse con su equipo de trabajo analizan con base en su experiencia en una obra similar, en la cual contrataron 3 albañiles trabajando durante 8 horas para construir 80 metros de guarnición y banqueta, una obra que tuvo una duración de 10 días. El equipo de arquitectos acuerda contratar 5 albañiles para trabajar 6 horas diarias con el fin de construir 60 metros de guarnición y banqueta. Con los datos anteriores, ¿en cuántos días se terminará la obra?

Argumenta las soluciones que obtuviste con base en los métodos establecidos.

Por último, menciona la importancia que tiene el uso de las tec-nologías de información tic para la solución de operaciones arit-méticas, así como su utilidad e impacto que tiene en situaciones reales de tu entorno.

Exponentes y radicalesTrata de resolver las siguientes preguntas antes de iniciar la situa-ción didáctica.

Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada pro-blema.

n Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora:

a)

( )

[ ]( )( ) =

=

=

− =

=

−

2 6

13

8

5 7 8 7

2 11 3 48

3

3

93

3 3

b)

( )

[ ]( )( ) =

=

=

− =

=

−

2 6

13

8

5 7 8 7

2 11 3 48

3

3

93

3 3


14


c)

( )

[ ]( )( ) =

=

=

− =

=

−

2 6

13

8

5 7 8 7

2 11 3 48

3

3

93

3 3 d)

( )

[ ]( )( ) =

=

=

− =

=

−

2 6

13

8

5 7 8 7

2 11 3 48

3

3

93

3 3

e) ( )

[ ]( )( ) =

=

=

− =

=

−

2 6

13

8

5 7 8 7

2 11 3 48

3

3

93

3 3

n Simplifica a su mínima expresión:

a)

( )

−

−

yx

a x

xab

44

6

3

2

3

2

4 3

2

es igual a .

b) ( )

−

−

yx

a x

xab

44

6

3

2

3

2

4 3

2

es igual a .

c)

( )

−

−

yx

a x

xab

44

6

3

2

3

2

4 3

2

es igual a .



Conocer el monto de una determinada cantidad de dinero

Cuando una persona necesita determinada cantidad de dinero para comprar un teléfono celular, una lavadora, un automóvil, salir de vacaciones, entre otras, tiene dos alternativas: la primera es pedir dinero prestado a un banco ya sea con respaldo de su salario (de-pósito de nómina), crédito hipotecario (respaldo con escrituras del inmueble), crédito automotriz (respaldo con factura del automó-vil), o en una casa de empeño donde tendrá que dejar en garantía una prenda, una joya, un artículo o un automóvil y pagará intereses sobre la cantidad prestada; esta alternativa le permite tener el di-nero en forma inmediata. La segunda es guardar una determinada cantidad de dinero en una institución financiera, la cual le pagará intereses sobre la cantidad guardada al final de un mes, bimestre,

trimestre, un año o más; transcurrido este tiempo se alcanzará la cantidad deseada, entonces la persona podrá retirar su dinero más los intereses ganados (monto) para adquirir el bien deseado.

El señor Martínez invirtió $22 000 en el Banco del Norte , por un plazo de dos años y medio, con un interés de 9.7% capitalizable tri-mestralmente. Encontrar el monto al final del plazo.

a) ¿Qué cantidad de dinero depósito el señor Martínez?

b) ¿Qué cantidad de dinero tiene el señor Martínez después de dos años y medio?

1. Identifica la cantidad de dinero que tiene que depositar el se-ñor Martínez.

2. ¿Cuál es la tasa de interés que paga el banco?

3. ¿Cuántos años estará depositado el dinero?

4. Investiga, ¿cuántos trimestres tiene un año?

5. Encuentra cuántos trimestres tienen 2 dos años y seis meses (2.5 años).

6. Utiliza la fórmula de monto para interés compuesto, a fin de co-nocer la cantidad acumulada dentro de dos años y seis meses.


15


Análisis de la situación

¿Cómo se le llama al dinero que paga el banco por prestar dinero?

¿Qué nombre recibe el dinero que una persona guarda en el ban-co?

¿Existe alguna relación entre la tasa de interés y el tiempo que está guardado el dinero, para alcanzar una cantidad de dinero mayor al terminar el plazo? Explica por qué.

Proyecto de trabajoCon ayuda de tu profesor y del director de tu escuela solicita una visita a un banco o inviten a un funcionario de un banco a su escue-la y soliciten la siguiente información:

1. ¿Qué se requiere para abrir una cuenta de inversión (ahorros)?

2. ¿Qué cantidad de dinero se necesita para abrirla?

3. ¿Cuánto dinero debe tener la cuenta siempre para no pagar comisiones?

4. ¿Qué tasa de interés anual paga el banco por el dinero que us-tedes le prestan?

5. Pidan que les explique, ¿qué sucede si ustedes no retiran dine-ro durante seis meses?

6. Para la interrogante anterior pregunten ¿cómo se realiza este cálculo y qué fórmula utilizan?

7. ¿Por qué es importante guardar dinero en el banco?

8. ¿Qué beneficio obtengo a largo plazo si guardo dinero en el banco?

Rúbrica de evaluación ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

1. Elabora un reporte de la información obtenida en la visita al banco.

2. Con los datos obtenidos en el banco realiza el cálculo de cuán-to dinero tendrás dentro de nueve meses si hoy abrieras una cuenta.

3. Emplea la calculadora y la hoja de cálculo como herramientas de trabajo en la solución de los problemas.

4. Presenta tu proyecto en hojas de rotafolio o cartulinas.

5. Muestra el informe ante el grupo y analicen la importancia que tiene para todos ahorrar.

6. Escucha y analiza los comentarios de otros estudiantes de ma-nera reflexiva, argumenta y fundamenta por qué lo hicieron de esa manera.


16


MontoEl monto o valor futuro del capital se obtiene de la suma del capital más el interés generado; el monto se simboliza con la letra M.

M 5 C 1 I (1)

I 5 Cni (2)

Sustituyendo la ecuación 2 en la ecuación1 se tiene:

M 5 C 1 Cni

Factorizando a C:

M 5 C (1 2 ni)

Si n = 1 año:

M 5 C (1 1 i) (3)

Donde:

C 5 Valor inicial, valor presente de M o valor descontado .

M 5 Valor compuesto de C, Valor acumulado de C o Monto.

T 5 Tasa nominal de interés (anual).

i 5 Tasa de interés en el periodo.

n 5 Número total de periodos de capitalización que intervienen.

(11i) 5 Factor de acumulación o factor de interés simple.

Cuando el periodo de capitalización de intereses no es anual y se desea conocer el monto de un capital, se emplea la siguiente ex-presión:

= +

M Cip

1np

(4)

Donde:

n 5 Plazo en años.

i 5 Tasa de interés anual capitalizable en p periodos en un año.

p 5 Frecuencia de capitalización.

= +

M Cip

1np

5 Factor de acumulación o factor de interés compuesto.

Periodo de capitalización. Es el tiempo que existe entre dosfechas consecutivas en la que los intereses se le adicionan al capital

En la actualidad las instituciones financieras ofrecen diferentes planes de inversión con periodos de capitalización menores a un año. Al número de veces que los intereses se capitalizan en un año se le conoce como frecuencia de capitalización y se denota por la letra p.

Periodo Frecuencia (p)

Anual 1

Semestral 2

Cuatrimestral 3

Trimestral 4

Bimestral 6

Mensual 12

28 días 13

Catorcena 26

Quincenal 24

Semanal 52

Diario 360 o 365

La frecuencia de conversión se encuentra con la siguiente expre-sión: 1 año p 5 un periodo de capitalización

Ejemplo:

Encontrar la frecuencia de conversión de un depósito que paga 14% anual de interés capitalizable trimestralmente.

1 año 12 meses p 5 5 5 4 periodos de capitalización trimestral 1 trimestre 3 meses

n Para conocer el interés por periodo se utiliza la siguiente fórmula:

Tasa de interés nominalInterés por

periodo (T) 5

Número de periodos de capitalización en un año

• Libros y otras fuentes para conocer el monto de una determinada cantidad de dinero.

• Visita diferentes bancos y ve sus propuestas.

• Visita las páginas web de los diferentes bancos.

• Visita la página web del Banco de México (banxico).

• Consulta libros de matemáticas financieras.

Consulta


17


n El número total de periodos por año se encuentra de la si-guiente forma:

Número total Número de periodos Número de periodos de 5 de capitalización de años 5 np

capitalización en un año

Potencias y raícesEl álgebra se caracteriza por una estructura sencilla de un conjunto de operaciones: suma resta, multiplicación, división, exponencia-ción y extracción de raíces, éstas se realizan de la misma manera que en la aritmética (con números) mientras que en el álgebra se emplean símbolos.

La potenciación es la operación que toma una expresión algebraica como factor dos o más veces, y al resultado de la operación se le llama potencia.

Si x R y n N entonces:

xn 5 (x)(x) (x) … (n -ésima potencia de x)

Donde:

n entero positivo es el exponente

x es la base

La primera potencia de una expresión es: x1 5 x

La segunda potencia de una expresión es: x2 5 (x) (x)

La tercera potencia de una expresión es: x3 5 (x) (x) (x)

En la calculadora, la tecla para encontrar la potencia de una expre-sión es la siguiente:

Y x o Que significa encontrar la elevación a una potencia.

Con la hoja de cálculo Excel:

a) Con la función 5POTENCIA(número, potencia)

b) Con el acento circunflejo 5 número [alt gr] + [] potencia

Ejemplos:

a) 25 5 2 . 2 . 2 . 2 . 2 5 32

b) 123 5 12 . 12 . 12 5 1 728

c) (x 1 1)2 5 (x 1 1) (x 1 1)

d) (x 1 a)n 5 (x 1 a) (x 1 a)… n 5 1, 2, 3…

Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias ope-raciones, con números y símbolos, por ejemplo:

− + −x x x x3 ; 8 4; 5 4a3 4 3

Exponentes enterosEl producto de potencias de igual base se obtiene así:

(an) (am) 5 an+m

Ejemplos:

a) (32) (34) 5 36 5 729

b) (a4) (a6) 5 a4+6 5 a10

Con calculadora:

Operación Teclas en Resultado la calculadora en pantalla

c) (22) (24) 5 64 2 yx 2 3 2 yx 4 5 64

d) (33) (32) (34) 5 19 683 3 yx 3 3 3 yx 2

3 3 yx 4 5 19 683

Elevar una potencia a otra potencia se calcula con la expresión:

(an)m 5 a(n)(m)

Ejemplos:

a) [(21)3]4 5 (21)12 5 1

b) [(2xa)2]4 5 (2xa)8 5 x8a8

Con calculadora:

Operación Teclas en Resultado la calculadora en pantalla

c) (42)3 5 4(2) (3) 5 46 5 4 yx 6 5 4 096

d) (25)4 5 2(5) (4) 5 220 5 1 048 576 2 yx 20 5 1 048 576

En Excel:


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MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1 - Editorial Patria...las empresas financieras, de supermercados,...

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