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1 Semestre 3 Fascículo 6 Matemáticas Financieras

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Semestre 3

Fascículo

6

Matemáticas

Financieras

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Matemáticas

financieras Semestre 3

Matemáticas financieras

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Matemáticas financieras

Semestre 3

Tabla de contenido Página

Introducción 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual fascículo 6 1

Logros 2

Sistemas de amortización 2

Préstamos con cuotas constantes 3

Préstamos con amortización constante 10

Préstamos con período de gracia 14

Sistemas de crédito de vivienda 15

Actividad de trabajo colaborativo 18

Resumen 18

Bibliografía recomendada 19

Nexo 20

Seguimiento al autoaprendizaje 21

Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

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Matemáticas

financieras Semestre 3

Matemáticas financieras

Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

“Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA

Tutor Programa Administración de Empresas

Sede Bogotá, D.C.

Revisión de estilo y forma;

ELIZABETH RUIZ HERRERA

Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ

ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogotá, D.C., Noviembre de 2009.

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Fascículo No. 6

Semestre 3

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Anualidades

Interés Compuesto

Y operaciones crediticias complejasGradientes

En las operaciones de

Se presentan transacciones de

Que se representan mediante

Tablas de amortización

Introducción

En el sistema financiero colombiano existen varios sistemas para amortizar

créditos. En el presente fascículo se analizarán amortizaciones para

cancelar créditos con cuotas constantes; créditos con amortización

(abono) constante; se contemplará el otorgamiento de períodos de gracia,

y finalmente se estudiarán los sistemas para crédito de vivienda.

Los ejemplos que se desarrollarán son las representaciones en tablas de

los casos ya estudiados en los fascículos anteriores (4 y 5), para su mejor

comprensión.

Para el gerente financiero, es necesario planear las amortizaciones de los

Pasivos, debido a que, de acuerdo con la modalidad pactada, se afectan

de manera diferente los flujos de caja de la organización.

Conceptos previos

El estudiante deberá estar en capacidad de interpretar, argumentar y

proponer soluciones financieras por medio de operaciones de interés

compuesto, anualidades y gradientes.

Mapa conceptual fascículo 6

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capacidad

de:

Construir tablas de amortización para operaciones que incluyen series de

pagos fijos o variables, en transacciones de corto y largo plazo.

Interpretar y evidenciar claramente operaciones crediticias descompo-

niendo y planteando sus estructuras de manera propositiva.

Atender con sentido ético la normatividad vigente en materia de intereses y

liquidaciones de créditos en pesos y UVR.

Reconocer las operaciones crediticias y los contextos financieros colom-

bianos a partir de postulados universales en la liquidación de operaciones

crediticias.

Sistemas de Amortización

En relación con las matemáticas financieras y en concordancia con los

temas abordados en el curso, se entiende por amortización (de Pasivos), la

reducción gradual de una deuda durante un período de tiempo, a través de

pagos y a una determinada tasa de interés.

Es abundante la clasificación de sistemas de amortización, pero es normal

utilizar dos formas para calcular los pagos: La primera es la de anualidades

o gradientes con sus combinaciones y la segunda es por abonos fijos a

capital.

Dentro de las combinaciones de anualidades o gradientes, es importante

mencionar los créditos cuota fija vencida, que son los más comerciales,

pero también existen de cuota anticipada. Así mismo, aquellos créditos

amortizados con cuotas crecientes o decrecientes que responden a la

teoría de gradientes, es decir, que su comportamiento presenta variaciones

constantes o en proporciones.

En la segunda forma, por abonos fijos a capital, es posible que la tasa de

interés sea fija o variable y esto conlleva a que sea posible o no, conocer

los pagos periódicos.

LogrosLogrosLogros

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Todas estas formas de amortizar pueden ser representadas en Tablas,

donde se exprese en cada período: el valor del pago o cuota; su

distribución en intereses y abono a capital, y el saldo insoluto al principio y

al final de cada período.

Es de precisar que en todas las formas de amortización que se estudiarán,

el Valor del Pago o Cuota se conforma por dos partes principales: el abono

realizado al saldo del crédito y los intereses calculados sobre saldos

insolutos.

La utilidad de estas tablas de amortización consiste en que en cada

período es posible conocer el comportamiento de cada uno de los pagos y

determinar con claridad los saldos insolutos, lo que le permitiría al deudor,

cancelar el crédito antes del plazo convenido o reliquidar el crédito según

sus necesidade.

Préstamos con Cuotas Constantes

La construcción de tablas de amortización en este tipo de créditos es

posible cuando la tasa de interés es fija durante toda la vigencia del

crédito. En este aparte se analizarán los créditos con tasas fijas, en las que

es posible predeterminar el comportamiento de los pagos.

Ejemplo 1

¿Cuál era el valor de contado del televisor, si fue negociado por 8 cuotas

mensuales de 150.000 y la tasa de financiación que se aplicó fue del 2,5%

mensual?. (Fascículo 4 Ejemplo 3). Elaborar la Tabla de Amortización.

i

iRVP

n)1(1 = 1.075.520,58

Saldo insoluto: es la

parte de una deuda que no ha sido cubierta.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

A B C D E

Saldo insoluto

inicio de períodoCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 1.075.520,58

1 1.075.520,58 150.000,00 26.888,01 123.111,99 952.408,59

2 952.408,59 150.000,00 23.810,21 126.189,79 826.218,81

3 826.218,81 150.000,00 20.655,47 129.344,53 696.874,28

4 696.874,28 150.000,00 17.421,86 132.578,14 564.296,13

5 564.296,13 150.000,00 14.107,40 135.892,60 428.403,54

6 428.403,54 150.000,00 10.710,09 139.289,91 289.113,62

7 289.113,62 150.000,00 7.227,84 142.772,16 146.341,46

8 146.341,46 150.000,00 3.658,54 146.341,46 (0,00)

No.

Tabla 6.1

Este ejemplo representa una Anualidad Vencida Inmediata y su tabla de

amortización, es quizás, la más comercial del mercado. Se observan los

pagos de igual valor, a igual intervalo de tiempo y todos ellos calculados

con una sola tasa de interés.

En la fila (horizontal) del período 0, no se registran saldos insolutos al

principio del período, ni pagos, por cuanto es una anualidad vencida.

Solamente aparece el saldo insoluto al final del período, que corresponde

al valor del crédito. Este momento corresponde al del desembolso del

crédito.

Las columnas se llenan de la siguiente manera:

Columna A. Saldo insoluto inicio del período. Normalmente corresponde al

saldo insoluto al final del período anterior. En este caso, en el primer

período el saldo es de $1.075 52058

que corresponde al valor del crédito.

Columna B. Cuota. Es el equivalente al valor de los Pagos o Rentas

calculadas en la anualidad. En un sistema de amortización cuota fija, es lo

primero que se establece en la tabla, y se hace por medio de las fórmulas

de anualidades, en este caso, utilizando las fórmulas de Valor Presente de

una Anualidad y si es el caso se despeja la variable R=Renta. Cuando se

establece el valor de la cuota en una anualidad, esta contiene el pago de

intereses y el abono que amortizará el crédito. Para este ejemplo el Pago o

Cuota es de $150.000 para todo el tiempo del crédito.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Columna C. Interés. Corresponde al costo que se pagado por la utilización

del dinero y en ese sentido se realiza su cálculo. Se liquida siempre

multiplicando la tasa de interés (i) por el saldo del crédito. En este caso en

la Tabla de Amortización se puede calcular sobre el saldo final del período

anterior o sobre el saldo de inicio de periodo. Para el período 1 el cálculo

será:

Interés = 0,025 * $1.075 52058

= 26.88801

Columna D. Abono a Capital. Corresponde a la parte de la cuota destinada

para amortizar el crédito. Se calcula simplemente restando del valor de la

cuota (que es fija y se conoce de antemano) el valor del interés. Para el

período 1 será:

Abono a Capital = $150.000 - 26.88801

= 123.11199

Columna E. Saldo insoluto final de período. Corresponde en cada período

a la parte del crédito que no ha sido pagada o cancelada. En el período 0,

el saldo será igual al valor del crédito y en cada período sucesivo, será el

resultado de tomar el Saldo insoluto inicio de período y restar el abono a

capital. Para el período 1, será:

Saldo insoluto final de período = $1.075 52058

- 123.11199

= 952.40859

En el último período el saldo insoluto será 0oo

, como se aprecia en la Tabla

6.1. Esto quiere decir que se ha amortizado la totalidad del crédito,

quedando éste, cancelado.

Ejemplo 2

La empresa requiere un crédito por valor de $25.000.000 para adquirir una

maquinaria. La tasa de financiación del banco está en el 2,2% mensual. El

gerente desea saber cuál es el valor de los pagos si se planea cancelar el

crédito en 36 meses. (Fascículo 4 Ejemplo 4a). Elaborar la Tabla de

Amortización.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

i

iVPR

n)1(1 = 1.012.600,09

Este ejemplo corresponde a una anualidad vencida inmediata donde se ha

calculado el valor de la Renta (Cuota o Pago), a partir de la fórmula de

Renta en Valor Presente, para una anualidad vencida.

La Tabla de amortización se construye de la misma manera que en el

ejemplo 1.

A B C D E

Saldo insoluto

inicio de períodoCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 25.000.000,00

1 25.000.000,00 1.012.600,09 550.000,00 462.600,09 24.537.399,91

2 24.537.399,91 1.012.600,09 539.822,80 472.777,29 24.064.622,62

3 24.064.622,62 1.012.600,09 529.421,70 483.178,39 23.581.444,23

4 23.581.444,23 1.012.600,09 518.791,77 493.808,32 23.087.635,91

5 23.087.635,91 1.012.600,09 507.927,99 504.672,10 22.582.963,81

6 22.582.963,81 1.012.600,09 496.825,20 515.774,89 22.067.188,92

7 22.067.188,92 1.012.600,09 485.478,16 527.121,93 21.540.066,99

8 21.540.066,99 1.012.600,09 473.881,47 538.718,62 21.001.348,37

9 21.001.348,37 1.012.600,09 462.029,66 550.570,43 20.450.777,95

10 20.450.777,95 1.012.600,09 449.917,11 562.682,98 19.888.094,97

11 19.888.094,97 1.012.600,09 437.538,09 575.062,00 19.313.032,97

12 19.313.032,97 1.012.600,09 424.886,73 587.713,36 18.725.319,61

13 18.725.319,61 1.012.600,09 411.957,03 600.643,06 18.124.676,55

14 18.124.676,55 1.012.600,09 398.742,88 613.857,21 17.510.819,34

15 17.510.819,34 1.012.600,09 385.238,03 627.362,06 16.883.457,28

16 16.883.457,28 1.012.600,09 371.436,06 641.164,03 16.242.293,25

17 16.242.293,25 1.012.600,09 357.330,45 655.269,64 15.587.023,61

18 15.587.023,61 1.012.600,09 342.914,52 669.685,57 14.917.338,04

19 14.917.338,04 1.012.600,09 328.181,44 684.418,65 14.232.919,39

20 14.232.919,39 1.012.600,09 313.124,23 699.475,86 13.533.443,52

21 13.533.443,52 1.012.600,09 297.735,76 714.864,33 12.818.579,19

22 12.818.579,19 1.012.600,09 282.008,74 730.591,35 12.087.987,84

23 12.087.987,84 1.012.600,09 265.935,73 746.664,36 11.341.323,49

24 11.341.323,49 1.012.600,09 249.509,12 763.090,97 10.578.232,51

25 10.578.232,51 1.012.600,09 232.721,12 779.878,97 9.798.353,54

26 9.798.353,54 1.012.600,09 215.563,78 797.036,31 9.001.317,23

27 9.001.317,23 1.012.600,09 198.028,98 814.571,11 8.186.746,11

28 8.186.746,11 1.012.600,09 180.108,41 832.491,68 7.354.254,44

29 7.354.254,44 1.012.600,09 161.793,60 850.806,49 6.503.447,95

30 6.503.447,95 1.012.600,09 143.075,85 869.524,24 5.633.923,71

31 5.633.923,71 1.012.600,09 123.946,32 888.653,77 4.745.269,94

32 4.745.269,94 1.012.600,09 104.395,94 908.204,15 3.837.065,79

33 3.837.065,79 1.012.600,09 84.415,45 928.184,64 2.908.881,15

34 2.908.881,15 1.012.600,09 63.995,39 948.604,70 1.960.276,44

35 1.960.276,44 1.012.600,09 43.126,08 969.474,01 990.802,44

36 990.802,44 1.012.600,09 21.797,65 990.802,44 0,00

No.

Tabla 6.2

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Es posible hacer algunas consideraciones sobre el comportamiento de

esta Tabla. (6.2)

- Los saldos insolutos van disminuyendo en cada período por efecto y en

proporción a la realización de abonos periódicos a la deuda.

- El valor de la Cuota es el primero que se llena en la Tabla, por cuanto se

ha establecido por las fórmulas de anualidades. En este caso,

permanece constante.

- Los intereses van disminuyendo en cada período debido a que los

saldos cada vez son menores. Los intereses siempre serán una función

dependiente de los saldos.

- El abono a capital en cada período va en aumento, debido a que, al ser

fija la cuota y disminuir gradualmente los intereses, cada vez se destina

una partida mayor a la amortización de la deuda.

- El saldo insoluto final de período va disminuyendo en cada período de

acuerdo con los abonos que se van realizando sobre la deuda.

Si se presentara el caso de la venta de un activo a crédito, sobre el cual se

realiza un abono de enganche, tipo cuota inicial, este valor se ubicará en el

período 0 sin liquidar intereses y la Tabla de Amortización se construirá de

acuerdo con el saldo insoluto final del período sobre el cual se debe

calcular el valor de los pagos.

Por otra parte, si en algún momento del crédito el deudor decidiera

cancelar la totalidad del saldo insoluto y no contara con la tabla de

amortización, deberá calcular el Valor Presente de las cuotas restantes (no

pagadas aún), por la fórmula de VP de una Anualidad Vencida. Por

ejemplo: se requiere calcular el saldo del crédito una vez cancelada la

cuota No. 12.

i

iRVP

n)1(1 =

02,0

)02,01(109,600.012.1

24

= 18.725.319,61

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Este saldo de $18.725.31961

, corresponde al saldo insoluto final de período

del mes 12, como se puede observar en la Tabla de amortización.

El número de períodos utilizado en la fórmula es 24, debido a que el

problema supone que se han cancelado 12 cuotas, sobre un total de 36.

Ejemplo 3

Adquiero un computador de última generación. La forma de pago anun-

ciada es: Tres pagos mensuales de $780.000, el primero al cierre del

negocio. La tasa de financiación que aplica la empresa es del 2,4%

mensual. ¿Cuál es el valor de contado? (Fascículo 4 Ejemplo 7). Elaborar

la Tabla de Amortización.

ii

iRVP

n

1)1(1

= 2.285.584,72

Este caso corresponde a una anualidad anticipada, por cuanto el primer

pago se realiza al momento de la transacción.

A B C D E

Saldo insoluto

inicio de períodoCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 2.285.584,72 780.000,00 780.000,00 1.505.584,72

1 1.505.584,72 780.000,00 36.134,03 743.865,97 761.718,75

2 761.718,75 780.000,00 18.281,25 761.718,75 0,00

No.

Se puede observar que, como el primer pago se realiza justo en el

momento de la transacción, no hay lugar a liquidar intereses en este

período.

Ejemplo 4

Con el propósito de financiar la compra de una máquina importada, la

empresa puede disponer de su flujo de caja en forma trimestral para saldar

la deuda, así: un pago inicial por valor de $4.000.000 dentro de dos

trimestres; cada trimestre posterior aumentará la cuota del período anterior

en $4.000.000 hasta completar 8 pagos. ¿Cuál es el valor por el que podrá

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

constituir el crédito, si la tasa de financiación es del 4,5% trimestral?

(Fascículo 5 Ejemplo 3). Elaborar la Tabla de Amortización.

n

n

ii

iniGVP

1

112 = 107.791.168,50

Este caso corresponde a un gradiente aritmético típico creciente y el valor

del crédito se ha obtenido con la fórmula de Valor Presente.

A B C D E

Saldo insoluto

inicio de períodoCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 107.791.168,50

1 107.791.168,50 4.850.602,58 (4.850.602,58) 112.641.771,08

2 112.641.771,08 4.000.000,00 5.068.879,70 (1.068.879,70) 113.710.650,78

3 113.710.650,78 8.000.000,00 5.116.979,29 2.883.020,71 110.827.630,07

4 110.827.630,07 12.000.000,00 4.987.243,35 7.012.756,65 103.814.873,42

5 103.814.873,42 16.000.000,00 4.671.669,30 11.328.330,70 92.486.542,72

6 92.486.542,72 20.000.000,00 4.161.894,42 15.838.105,58 76.648.437,15

7 76.648.437,15 24.000.000,00 3.449.179,67 20.550.820,33 56.097.616,82

8 56.097.616,82 28.000.000,00 2.524.392,76 25.475.607,24 30.622.009,57

9 30.622.009,57 32.000.000,00 1.377.990,43 30.622.009,57 0,00

No.

Tabla 6.3

Se observa en la tabla 6.3 que las cuotas se incrementan en un valor

constante y en los trimestres en los que no se acordó cancelar cuotas, se

acumulan los intereses, los cuales son sumados al capital. Los intereses

siempre se liquidan sobre saldos insolutos y el abono a capital seguirá

siendo la diferencia entre el valor de la cuota y el pago de intereses. El

saldo final es cero.

Ejemplo 5

En este caso se propone un ahorro inicial de $200.000 al final del primer

mes y este ahorro se realiza en cada uno de los meses siguientes con un

incremento del 20% sobre el depósito anterior: 31 de enero $200.000; 28

de febrero $240.000; 31 de marzo $288.000; 30 de abril 345.600; 31 de

mayo $414.720 y 30 de junio 497.664. La tasa de interés es del 0,4%

mensual. Se requiere calcular el Valor Presente de la serie de pagos

(Fascículo 5 Gradiente Geométrico). Elaborar la Tabla de Amortización.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Este caso corresponde a una operación de Gradiente Geométrico donde

se calcula el Valor Presente de la serie de pagos.

n

nn

iri

riKVP

1

11 = 1.954.401,09

La tabla de amortización representa el comportamiento de cada una de las

cuotas con crecimiento geométrico en forma de crédito.

A B C D E

Saldo insoluto

inicio de períodoCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 1.954.401,09

1 1.954.401,09 200.000,00 7.817,60 192.182,40 1.762.218,69

2 1.762.218,69 240.000,00 7.048,87 232.951,13 1.529.267,57

3 1.529.267,57 288.000,00 6.117,07 281.882,93 1.247.384,64

4 1.247.384,64 345.600,00 4.989,54 340.610,46 906.774,18

5 906.774,18 414.720,00 3.627,10 411.092,90 495.681,27

6 495.681,27 497.664,00 1.982,73 495.681,27 (0,00)

No.

Tabla 6.4

El interés se calcula con base en el saldo insoluto de la obligación. El

abono a capital es la diferencia entre el saldo y el abono. En el período 6 el

saldo es 0. (Tabla 6.4).

Préstamos con Amortización Constante

En este tipo de amortización pueden presentarse dos situaciones:

1. Que la tasa de interés sea fija durante la vigencia del crédito

2. Que la tasa de interés sea variable en cada período de amortización

La decisión de una u otra modalidad se presenta de acuerdo con las

políticas bancarias crediticias, con el origen de los recursos financieros

(créditos con tasas de fomento), o con la disponibilidad del deudor.

Estas tablas de amortización se diferencian, en cuanto los abonos a capital

son fijos en cada período y se calculan simplemente dividiendo el valor del

crédito entre el número de períodos.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Ejemplo 6

Un crédito por valor de $36.000.000 se ha concedido para ser cancelado

mediante 12 pagos mensuales vencidos con un sistema de abonos fijos a

capital. La tasa de financiación es del 2% mensual. Elaborar la tabla de

amortización.

En este caso la tasa de interés es fija. Lo primero que se debe calcular

para elaborar la tabla es el valor del abono fijo mensual, así:

Abono a capital = $36.000.000 / 12 = $3.000.000

A B C D E

Saldo insoluto

inicio de períodoCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 36.000.000,00

1 36.000.000,00 3.720.000,00 720.000,00 3.000.000,00 33.000.000,00

2 33.000.000,00 3.660.000,00 660.000,00 3.000.000,00 30.000.000,00

3 30.000.000,00 3.600.000,00 600.000,00 3.000.000,00 27.000.000,00

4 27.000.000,00 3.540.000,00 540.000,00 3.000.000,00 24.000.000,00

5 24.000.000,00 3.480.000,00 480.000,00 3.000.000,00 21.000.000,00

6 21.000.000,00 3.420.000,00 420.000,00 3.000.000,00 18.000.000,00

7 18.000.000,00 3.360.000,00 360.000,00 3.000.000,00 15.000.000,00

8 15.000.000,00 3.300.000,00 300.000,00 3.000.000,00 12.000.000,00

9 12.000.000,00 3.240.000,00 240.000,00 3.000.000,00 9.000.000,00

10 9.000.000,00 3.180.000,00 180.000,00 3.000.000,00 6.000.000,00

11 6.000.000,00 3.120.000,00 120.000,00 3.000.000,00 3.000.000,00

12 3.000.000,00 3.060.000,00 60.000,00 3.000.000,00 -

No.

Tabla 6.5

Este ejemplo (Tabla 6.5) representa un crédito con cuota decreciente, por

efecto de la amortización fija al capital. Su tabla de amortización es

bastante común y se diseña así:

En la fila (horizontal) del período 0, no se registran saldos insolutos al

principio del período, ni pagos, por cuanto se trata de pagos vencidos.

Solamente aparece el saldo insoluto al final del período, que corresponde

al valor del crédito. Este momento corresponde al del desembolso del

crédito.

Las columnas se llenan de la siguiente manera:

Columna A. Saldo insoluto inicio del período. Normalmente corresponde al

saldo insoluto al final del período anterior. En este caso, en el primer

período el saldo es de $36.000.000 que corresponde al valor del crédito.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Columna B. Cuota. En este sistema de amortización, para calcular la cuota,

se suman los intereses y el abono a capital establecido con anterioridad.

Para este ejemplo el cálculo para el primer período será:

Cuota = $720.000 + 3.000.000 = $3.720.000.

Columna C. Interés. Corresponde al costo que se paga por la utilización

del dinero y en ese sentido se realiza su cálculo. Se liquida siempre

multiplicando la tasa de interés (i) por el saldo del crédito. En este caso en

la Tabla de Amortización puede calcularse sobre el saldo final del período

anterior o sobre el saldo de inicio de periodo. Para el período 1 el cálculo

será:

Interés = 0,02 * $36.000.000 = 720.000

Columna D. Abono a Capital. Corresponde a la parte de la cuota destinada

para amortizar el crédito. Se calcula simplemente dividiendo el valor del

crédito entre el número de pagos. Como ya se anunció, para toda la

vigencia del crédito, el Abono a Capital será:

Abono a Capital = $36.000.000 / 12 = 3.000.000

Columna E. Saldo insoluto final de período. Corresponde en cada período

a la parte del crédito que no ha sido pagada o cancelada. En el período 0,

el saldo será igual al valor del crédito y en cada período sucesivo, será el

resultado de tomar el Saldo insoluto inicio de período y restar el abono a

capital. Para el período 1, será:

Saldo insoluto final de período = $36.000.000 – 3.000.000 = 33.000.000

En el último período el saldo insoluto será 0oo

, como se aprecia en la Tabla

6.5. Esto quiere decir que se ha amortizado la totalidad del crédito,

quedando éste, cancelado.

Ahora se abordara la construcción de una tabla de amortización constante,

pero con tasas variables. Esta modalidad es utilizada cuando el plazo es

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

muy amplio, como en Colombia con el Sistema de Valor Constante,

situación que se detallará en el siguiente aparte del fascículo. También,

cuando las políticas crediticias apuntan a tasas que respondan a

variaciones del mercado. Es normal tomar estas tasas, como la DTF en

Colombia y añadirle uno o varios puntos porcentuales para calcular la tasa

de interés que se aplicará al crédito.

Con base en el ejemplo anterior se elaborará la tabla de amortización

suponiendo unas tasas mensuales derivadas de la DTF E.A. + 4 puntos

porcentuales.

Ejemplo 7

Un crédito por valor de $36.000.000 se ha concedido para ser cancelado

mediante 12 pagos mensuales vencidos con un sistema de abonos fijos a

capital. La tasa de financiación será la DTF + 4 puntos porcentuales.

Elaborar la tabla de amortización.

Lo primero que se debe calcular para elaborar la tabla es el valor del

abono fijo mensual, así:

Abono a capital = $36.000.000 / 12 = $3.000.000

A i B C D E

Saldo insoluto

inicio de período

Tasa de

InterésCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 36.000.000,00

1 36.000.000,00 1,95% 3.702.000,00 702.000,00 3.000.000,00 33.000.000,00

2 33.000.000,00 1,93% 3.636.900,00 636.900,00 3.000.000,00 30.000.000,00

3 30.000.000,00 1,85% 3.555.000,00 555.000,00 3.000.000,00 27.000.000,00

4 27.000.000,00 1,79% 3.483.300,00 483.300,00 3.000.000,00 24.000.000,00

5 24.000.000,00 1,79% 3.429.600,00 429.600,00 3.000.000,00 21.000.000,00

6 21.000.000,00 1,62% 3.340.200,00 340.200,00 3.000.000,00 18.000.000,00

7 18.000.000,00 1,63% 3.293.400,00 293.400,00 3.000.000,00 15.000.000,00

8 15.000.000,00 1,58% 3.237.000,00 237.000,00 3.000.000,00 12.000.000,00

9 12.000.000,00 1,67% 3.200.400,00 200.400,00 3.000.000,00 9.000.000,00

10 9.000.000,00 1,70% 3.153.000,00 153.000,00 3.000.000,00 6.000.000,00

11 6.000.000,00 1,65% 3.099.000,00 99.000,00 3.000.000,00 3.000.000,00

12 3.000.000,00 1,88% 3.056.400,00 56.400,00 3.000.000,00 -

No.

Tabla 6.6

La mecánica de construcción de la tabla es la misma que con la tasa fija.

Pero en este caso, los intereses se calculan periódicamente mediante el

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Matemáticas financieras

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Fascículo No. 6

Semestre 3

producto de la tasa de interés (i) para cada mes y el saldo anterior.

Obsérvese (tabla 6.6)que se ha adicionado una columna i, donde se ha

consignado una tasa de interés mensual.

Si la amortización del crédito es mensual, entonces se debe tomar la DTF

anual, adicionarle los puntos porcentuales pactados en el Pagaré y

determinar su equivalente mensual para ser aplicado en la Tabla.

Préstamos con Período de Gracia

Cuando se conceden períodos de gracia para el pago de los créditos,

estos suelen llamarse créditos diferidos. Lo normal es que en este período

no se realicen abonos al capital, pero en cada período se deben calcular

los intereses. Estos intereses pueden tener dos vías de tratamiento: que se

paguen conforme se van liquidando en cada período; o que se acumulen

al capital para ser considerados al momento de iniciar los pagos.

En el siguiente ejemplo se expondrá una tabla de amortización de un

crédito con amortización constante (abonos iguales a capital) al que se le

ha concedido un período de gracia.

Ejemplo 8

Un crédito por valor de $10.000.000 se ha concedido para ser cancelado

en 12 cuotas mensuales vencidas con abonos fijos a capital. Se concede

un período de gracia de 6 meses. La tasa de interés es del 1,5% mensual.

Elaborar la Tabla de Amortización.

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financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

A B C D E

Saldo insoluto

inicio de períodoCuota Interés Abono a Capital

Saldo insoluto final

de período

0 10.000.000,00

1 10.000.000,00 - 150.000,00 (150.000,00) 10.150.000,00

2 10.150.000,00 - 152.250,00 (152.250,00) 10.302.250,00

3 10.302.250,00 - 154.533,75 (154.533,75) 10.456.783,75

4 10.456.783,75 - 156.851,76 (156.851,76) 10.613.635,51

5 10.613.635,51 - 159.204,53 (159.204,53) 10.772.840,04

6 10.772.840,04 - 161.592,60 (161.592,60) 10.934.432,64

7 10.934.432,64 1.075.219,21 164.016,49 911.202,72 10.023.229,92

8 10.023.229,92 1.061.551,17 150.348,45 911.202,72 9.112.027,20

9 9.112.027,20 1.047.883,13 136.680,41 911.202,72 8.200.824,48

10 8.200.824,48 1.034.215,09 123.012,37 911.202,72 7.289.621,76

11 7.289.621,76 1.020.547,05 109.344,33 911.202,72 6.378.419,04

12 6.378.419,04 1.006.879,01 95.676,29 911.202,72 5.467.216,32

13 5.467.216,32 993.210,96 82.008,24 911.202,72 4.556.013,60

14 4.556.013,60 979.542,92 68.340,20 911.202,72 3.644.810,88

15 3.644.810,88 965.874,88 54.672,16 911.202,72 2.733.608,16

16 2.733.608,16 952.206,84 41.004,12 911.202,72 1.822.405,44

17 1.822.405,44 938.538,80 27.336,08 911.202,72 911.202,72

18 911.202,72 924.870,76 13.668,04 911.202,72 0,00

No.

Corrección Monetaria: Ganacia o Pérdida de valor

como consecuencia de la

inflación.

Tabla 6.7

Como se aprecia en la tabla 6.7, los intereses que se generaron durante el

período de gracia, se fueron sumando periódicamente al saldo insoluto y al

momento del inicio de los pagos, estos se han calculado con base en la

suma acumulada.

En el momento del inicio de los pagos, la construcción de la tabla es

idéntica al de un sistema de amortización sin diferimiento.

Sistemas de Créditos de Vivienda

En Colombia existe lo que se ha denominado el Sistema de Valor

Constante, el cual nació al inicio de la década del 70 y por el que se

pretendió dar impulso al sector de la construcción como dinamizador

determinante de la economía del país. La adquisición de vivienda requería

de préstamos a largo plazo y de un instrumento como el de la corrección

monetaria.

El sistema de valor constante “es aquel que permite la actualización del

valor de las obligaciones dinerarias, con el fin de brindar protección contra

la pérdida del poder adquisitivo de la moneda que genera la inflación, con

base en la corrección monetaria”. http://icav.asobancaria.com

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Así las cosas, el UPAC (Unidad de Poder Adquisitivo de Valor Constante),

fue concebida como la unidad de medida de la pérdida de poder

adquisitivo de la moneda. Sin embargo en la década del 90, su cálculo

tomó un mayor peso de la DTF que de la inflación, razón por la cual se

generó un desequilibrio entre el monto de las cuotas del crédito y sus

saldos, y las posibilidades de pagar por parte de los deudores del sistema.

Luego de que la Corte Constitucional declarara inconstitucionales las

normas del Sistema UPAC, se dio origen al UVR (Unidad de Valor Real),

como representante del Sistema de Valor Constante.

La UVR es una Unidad de cuenta que refleja el poder adquisitivo de la

moneda, con base exclusivamente en la variación del Índice de Precios al

Consumidor, IPC, certificado por el DANE.

No obstante, existen dos modalidades para financiar la adquisición de

vivienda: en pesos y en UVR.

En ninguna de estas dos posibilidades se permite la capitalización de

intereses. Es por esto que en cada pago se debe realizar alguna

amortización al capital. La tasa de interés del crédito permanece constante

durante su vigencia.

Las tablas de amortización corresponden a los desarrollos ya expuestos en

el fascículo. Las tasas de interés para créditos en moneda legal se calculan

en una combinación entre la tasa de interés remuneratorio que fija la Junta

Directiva del Banco de la República adicionados con la variación de la UVR

de los últimos 12 meses vigente al perfeccionamiento del contrato.

Las tasas de interés para créditos en UVR se calculan en una combinación

entre la tasa de interés remuneratorio que fija la Junta Directiva del Banco

de la República adicionales a la UVR.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Estos límites se fijan con unas diferencias para las viviendas de interés

social y los créditos de vivienda que no lo son.

A continuación, un ejemplo del Sistema de Amortización en pesos de

cuota constante, publicado por el Instituto Colombiano de Ahorro y

Vivienda (ICAV), para un crédito de $1.000.000, tasa de interés del 1,46%

mensual y a 180 meses:

Nº cuota Saldo Intereses Amortización Cuota

0 1,000,000.00

1 998,840.17 14,601.69 1,159.83 15,761.51

12 984,908.09 14,401.18 1,360.33 15,761.51

24 966,948.73 14,142.72 1,618.80 15,761.51

36 945,577.08 13,835.15 1,926.37 15,761.51

48 920,144.81 13,469.14 2,292.38 15,761.51

60 889,880.42 13,033.59 2,727.93 15,761.51

72 853,865.80 12,515.28 3,246.23 15,761.51

84 811,008.39 11,898.50 3,863.02 15,761.51

96 760,008.08 11,164.52 4,596.99 15,761.51

108 699,317.71 10,291.10 5,470.42 15,761.51

120 627,096.17 9,251.72 6,509.80 15,761.51

132 541,152.53 8,014.85 7,746.66 15,761.51

144 438,879.61 6,542.99 9,218.53 15,761.51

156 317,174.83 4,791.47 10,970.05 15,761.51

168 172,346.14 2,707.16 13,054.35 15,761.51

180 (0.00) 226.83 15,534.68 15,761.51

Como se puede observar, la estructura y composición de esta tabla, es

idéntica a una anualidad vencida, ya explicada en el fascículo.

También se traslada un ejemplo de sistema de amortización constante a

capital en UVR, publicada por la ICAV. Estos son los datos:

Monto Inicial Pesos 1,000,000

Tasa efectiva anual 0.13

Tasa MV 0.01023684

Plazo Meses 180

UVR Inicial 128.2268 / (Valor a nov. 6 de 2002)

Incremento Anual UVR 0.06 / (Inflación anual)

Incremento Mes UVR 0.00486755

Unidades UVR Iniciales 779.868.171

UVR abono mes 433.260.095

Cálculo cuota pesos 1er. mes 158.692.702

La siguiente es la tabla de amortización de muestra:

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Valor en pesos Valores en unidades UVR

#Cuota Unidad UVR Saldo Cuota Saldo Cuota Intereses Amortización

0 1.282.268 1000000 779.868.171

1 12.885.095 999.284.953 158.692.702 77.553.557 1.231.599 798.338.909 433.260.095

12 135.920.408 989.333.333 160.768.239 72.787.696 118.281.163 749.551.531 433.260.095

24 144.075.632 973.786.667 162.746.254 675.885.748 112.958.903 696.328.937 433.260.095

36 15.272.017 952812.8 164.382.866 623.894.537 107.636.644 643.106.343 433.260.095

48 161.883.381 925.816.437 165.629.984 571.903.325 102.314.384 589.883.749 433.260.095

60 171.596.383 892.150.385 166.434.979 519.912.114 96.992.125 536.661.155 433.260.095

72 181.892.167 851.111.467 166.740.305 467.920.903 916.698.656 483.438.561 433.260.095

84 192.805.696 801.936.138 166.483.104 415.929.691 863.476.063 430.215.967 433.260.095

96 204.374.038 743.795.768 165.594.773 36.393.848 810.253.469 376.993.374 433.260.095

108 216.636.481 675.791.584 164.000.504 311.947.268 757.030.875 32.377.078 433.260.095

120 229.634.669 596.949.232 161.618.782 259.956.057 703.808.281 270.548.186 433.260.095

132 24.341.275 506.212.949 158.360.851 207.964.846 650.585.687 217.325.592 433.260.095

144 258.017.515 402.439.294 154.130.141 155.973.634 597.363.093 164.102.998 433.260.095

156 273.498.565 284.390.435 148.821.646 103.982.423 544.140.499 110.880.404 433.260.095

168 289.908.479 150726.93 142.321.263 519.912.114 490.917.905 576.578.101 433.260.095

180 307.302.988 1,08E-04 134.505.077 3,52E-07 437.695.311 0.44352162 433.260.095

Para mayor información sobre todos los sistemas de amortización

aprobados por la Superintendencia, se puede remitir a la página

http://icav.asobancaria.com/.

En grupos de tres estudiantes, realicen una consulta en entidades financieras

acerca de los métodos de amortización de créditos de largo plazo para vivienda y

formulen una tabla de amortización de un sistema diferente a los ya expuestos.

Las tablas de amortización constituyen una guía bastante útil para los

deudores y acreedores, en la medida que proporcionan los datos sobre

valor de las cuotas, intereses en cada período, abonos al capital y saldos

periódicos.

Esta información permite en cualquier momento realizar planeación

financiera a nivel personal u organizacional y tomar decisiones posteriores

como refinanciaciones de los créditos vigentes.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Igualmente estas tablas de amortización están íntimamente ligadas a todas

las operaciones de interés compuesto. Ellas reflejan el comportamiento de

las transacciones, período a período, detallando cada una de las partes en

las que se descompone la transacción financiera. Su uso se extiende a

pagos constantes, pagos con variaciones crecientes o decrecientes, pagos

decrecientes en proporción a las amortizaciones de capital y a sistemas de

valor constante, que hacen parte del contexto colombiano en cuanto hace

referencia a financiar la adquisición de vivienda.

AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 2001.

BACA CURREA. Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá

D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).

CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.

Primera edición. Mexico: Trillas, 2004

CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:

CECSA, 1999. (Texto guía).

DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 1997.

GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia

finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda,

2000. (Texto guía).

PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:

Mc Graw Hill, 1997.

SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.

Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

En el Fascículo 7, como resultado de toda la conceptualización de

matemáticas financieras, se introducirá el tema de evaluación financiera de

proyectos de inversión analizando el indicador de Valor Presente Neto, a

partir de tasas de oportunidad.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 6

Semestre 3

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Matemáticas Financieras - Fascículo No. 6

Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad __________________________________Semestre: _______________

Resuelva las siguientes preguntas, de las cuales las tres primeras son de

selección múltiple con única respuesta, con el fin de evaluar su proceso de

autoaprendizaje:

1. En una tabla de amortización con pagos constantes:

A. Los intereses liquidados disminuyen por efecto del mayor valor de la

cuota

B. Los intereses liquidados aumentan cada período por el menor saldo a

capital

C. Los intereses liquidados disminuyen por la acumulación de los abonos a

capital

D. Los intereses aumentan por efecto del cambio en la tasa de interés

2. Normalmente el valor de la cuota se compone de dos elementos:

A. La tasa de interés y el interés

B. El saldo insoluto y la tasa de interés

C. El pago y el abono a capital

D. El interés y el abono a capital

3. En los créditos diferidos:

A. No se paga ningún valor durante el período de gracia, debido a que no se

liquidan intereses ni se realizan abonos

B. Solamente se realizan abonos al capital, ya que se suspende la

liquidación de intereses

C. Se liquidan intereses y estos pueden ser cancelados o acumulados al

valor del crédito

D. Se liquidan intereses y estos luego son abonados al saldo insoluto de

capital

4. Mediante la elaboración de una tabla de amortización de un crédito de cuotas

fijas y uno de cuotas variables decrecientes, explique cuál es la mejor

alternativa para el deudor.

5. Explique cuál es el procedimiento para hallar el saldo de un crédito con

amortización en cuotas fijas, en un período x, ante la idea de cancelar el saldo

insoluto de la obligación.