Matemáticas Financieras - Inicio...Matemáticas financieras 1 Fascículo No. 5 Semestre 3...

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1 Semestre 3 Fascículo 5 Matemáticas Financieras

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    Semestre 3

    Fascículo

    5

    Matemáticas

    Financieras

  • Matemáticas

    financieras Semestre 3

    Matemáticas financieras

  • Matemáticas financieras

    Semestre 3

    Tabla de contenido Página

    Introducción 1

    Conceptos previos 1

    Mapa conceptual fascículo 5 1

    Logros 2

    Series variable o gradientes 2

    Gradiente aritmético 3

    Valor Futuro 3

    Valor Presente 7

    Gradientes aritméticos crecientes y decrecientes 10

    Gradientes aritméticos diferidos 16

    Gradiente geométrico 16

    Valor Futuro 17

    Valor Presente 17

    Actividad de trabajo colaborativo 18

    Resumen 18

    Bibliografía recomendada 19

    Nexo 19

    Seguimiento al autoaprendizaje 21

    Créditos: 3

    Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

  • Matemáticas

    financieras Semestre 3

    Matemáticas financieras

    Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

    Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

    “Educación a Través de Escenarios Múltiples”

    Bogotá, D.C.

    Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

    por escrito del Presidente de la Fundación.

    La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

    CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA

    Tutor Programa Administración de Empresas

    Sede Bogotá, D.C.

    Revisión de estilo y forma;

    ELIZABETH RUIZ HERRERA

    Directora Nacional de Material Educativo.

    Diseño gráfico y diagramación a cargo de

    SANTIAGO BECERRA SÁENZ

    ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

    Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

    Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

    Bogotá, D.C., Noviembre de 2009.

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    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Series Fijas o Anualidades

    Interés Compuesto

    A partir del

    y con base en conceptos de

    se construyen operaciones de

    Gradiente geométrico

    Gradiente aritmético

    con algunas variantes

    CrecientesDecrecientes

    Y Diferidas

    Introducción

    Con el fin de facilitar los cálculos para la construcción de amortizaciones y

    capitalizaciones de series variables, se han sistematizado unas fórmulas

    que le permiten al gestor financiero concentrarse en el desempeño de sus

    funciones con facilidad, en la medida que reducen las operaciones para la

    toma de decisiones.

    Estas series variables son cantidades de dinero que usualmente provienen

    de créditos bancarios o particulares y en otras ocasiones representan

    modalidades de ahorros programados en entidades financieras.

    Para comprometer recursos financieros se deben consultar los flujos de

    caja, quienes dan la pauta para definir los tipos de amortización o

    capitalización de valores monetarios.

    Conceptos previos

    El estudiante deberá comprender y aplicar conceptos de Interés

    Compuesto, incluidos los pormenores de conversiones de tasas de interés

    y construcción de anualidades.

    Mapa conceptual fascículo 5

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    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en

    capacidad de:

    Interpretar y proponer soluciones a problemas complejos donde

    intervienen series variables, crecientes o decrecientes.

    Argumentar la pertinencia en el uso y construcción de ecuaciones y

    gráficas de tiempo y valor para la resolución de problemas de gradientes.

    Evaluar el alcance del desarrollo de competencias en el manejo de series

    variables, como condición para gestionar con suficiencia créditos

    financieros y otras operaciones a plazos.

    Reconocer las operaciones crediticias en las formas expresadas mediante

    series variables y sus transformaciones frente a los plazos y tasas.

    Series variables o gradientes

    Se conocen como Series Variables o Gradientes, los pagos que presentan

    un comportamiento creciente o decreciente de manera constante.

    También son llamados “Gradiente Aritmético” si la variación es periódica y

    lineal y ·Gradiente Geométrico” si la variación es periódica y porcentual.

    Algunos autores denominan estas operaciones como Anualidades

    crecientes o Anualidades Decrecientes.

    En este fascículo se analizarán diferentes clases de gradientes, calculando

    sobre cada una de ellas su Valor Presente y su Valor Futuro, así como los

    detalles de manejo e interpretación que correspondan.

    Respecto de la notación que se utilizará en este fascículo se encuentran

    las siguientes variables:

    VP = Valor Presente del gradiente

    VF = Valor Futuro del gradiente

    g = Cantidad en que se incrementa o disminuye el pago

    periódico

    i = Tasa de Interés

    n = Número de períodos: diferencia entre el período que termina

    y el período donde está localizado su cero.

    LogrosLogrosLogros

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    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Gradiente Aritmético

    En este tipo de transacciones, los pagos aumentan gradualmente en cada

    período, es decir, aumentan en forma aritmética. Sobre el gradiente es

    posible calcular al menos dos momentos de consolidación de todos sus

    valores: al principio de la serie de pagos (Valor Presente) y al final de la

    serie de pagos (Valor Futuro).

    Valor Futuro

    Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los

    pagos acumulados al final de la serie, utilizando para ello fórmulas de valor

    futuro a interés compuesto.

    En un gradiente aritmético, el Valor Futuro se ubica justo en el último pago.

    El número de períodos se calcula como la diferencia entre el período

    donde termina la serie de pagos y su período cero. El período cero de un

    gradiente aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los

    pagos.

    La fórmula para hallar el Valor Futuro de un gradiente aritmético es:

    2

    11

    i

    iniGVF

    n

    (Fórmula 5.1)

    Ejemplo 1

    Un padre de familia decide realizar un ahorro para la educación superior

    de su hijo en un fondo que reconoce una tasa del 1,1% mensual. Se

    requiere establecer cuál es el valor final del ahorro si se efectúan las

    siguientes consignaciones: $500.000 dentro de 2 meses; $1.000.000

    dentro de 3 meses; $1.500.000 dentro de 4 meses; $2.000.000 dentro de 5

    meses; y $2.500.000 dentro de 6 meses.

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    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    6

    i = 1,1% mensual

    5

    VF

    2.500.0002.000.000

    1.500.000

    0 1 2 3 4

    1.000.000500.000

    6

    i = 1,1% mensual

    5

    VF

    2.500.0002.000.000

    1.500.000

    0 1 2 3 4

    1.000.000500.000

    Período cerodel gradiente

    Período de inicio de los pagos

    Período del Valor Futuro

    Figura 5.1 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 1.

    En este caso, el Valor Futuro del gradiente se ubica en el período 6 y el

    número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y

    el período cero, es decir 6-0 = 6. Es importante anotar que el número de

    pagos es n-1, o sea 6-1 = 5.

    Figura 5.2 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 1.

    Este ejemplo constituye un gradiente típico, en el que el valor del primer

    pago es igual a la variación periódica de los pagos Se resuelve de la

    siguiente manera: se calcula el Valor Futuro del gradiente, para lo cual se

    trasladan todos los pagos al final del sexto mes, de acuerdo con la fórmula

    5.1, así:

    2

    11

    i

    iniGVF

    n

    2

    6

    011,0

    011,061011,01000.500VF

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    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    000121,0

    001841841,0000.500VF

    VF = 500.000 (15,221823)

    VF = 7.610.911,50

    Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es

    de $7.610.91150

    Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor

    futuro de cada Pago por separado. Así:

    VF = Pago 1 (Valor Futuro de 500.000 durante 4 meses) +

    Pago 2 (Valor Futuro de 1.000.000 durante 3 meses) +

    Pago 3 (Valor Futuro de 1.500.000 durante 2 meses) +

    Pago 4 (Valor Futuro de 2.000.000 durante 1 mes) +

    Pago 5 (2.500.000)

    VF = 500.000(1+0,011)4 + 1.000.000(1+0,011)3 + 1.500.000(1+0,011)2

    + 2.000.000(1+0,011)1

    + 2.500.000

    VF = 522.365,67 + 1.033.364,33 + 1.533.181,50 + 2.022.000 +

    2.500.00

    VF = 7.610.911,50

    Este resultado confirma que el valor acumulado al final de los depósitos

    (Valor Futuro) es de $7.610.91150

    Ejemplo 2

    El Gerente de la empresa requiere renovar los equipos de cómputo al

    finalizar el año. Para ello decide realizar consignaciones cada fin de mes, a

    partir del mes de febrero, iniciando con $200.000 y cada mes aumentará la

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    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    i = 1,3% mensual

    1.800.000

    2.000.000

    2.200.000

    200.000

    400.000

    600.000

    800.000

    VF

    1.000.000

    1.200.000

    1.400.000

    1.600.000

    consignación del mes anterior en $200.000. La entidad financiera ofrece

    pagar una tasa del 1,3% mensual. ¿Qué valor podrá retirar a fin de año?

    Figura 5.3 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 2.

    Este caso se resuelve con la fórmula 5.1 para hallar el valor final de la serie

    de pagos, así:

    2

    11

    i

    iniGVF

    n

    2

    12

    013,0

    013,0121013,01000.200VF

    000169,0

    011651776,0000.200VF

    VF = 200.000 (68,94542171)

    VF = 13.789.084,34

    Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es

    de $13.789.08434

    Para comprobar la anterior operación se construirá una tabla de

    capitalización que representa los ahorros de la empresa:

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    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Mes Saldo Inicial Interés Consignación Saldo final

    0

    1

    2 200.000,00 200.000,00

    3 200.000,00 2.600,00 400.000,00 602.600,00

    4 602.600,00 7.833,80 600.000,00 1.210.433,80

    5 1.210.433,80 15.735,64 800.000,00 2.026.169,44

    6 2.026.169,44 26.340,20 1.000.000,00 3.052.509,64

    7 3.052.509,64 39.682,63 1.200.000,00 4.292.192,27

    8 4.292.192,27 55.798,50 1.400.000,00 5.747.990,77

    9 5.747.990,77 74.723,88 1.600.000,00 7.422.714,65

    10 7.422.714,65 96.495,29 1.800.000,00 9.319.209,94

    11 9.319.209,94 121.149,73 2.000.000,00 11.440.359,67

    12 11.440.359,67 148.724,68 2.200.000,00 13.789.084,34

    Tabla 5.1 Comportamiento de los pagos en la cuenta de ahorro.

    De esta manera queda comprobado que el comportamiento de la cuenta

    de ahorros al final arroja un saldo de $13.789.08434

    , que para efectos

    financieros es el Valor Futuro de la serie de pagos.

    Valor Presente

    Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los

    pagos, descontados al inicio de la serie, utilizando para ello fórmulas de

    valor futuro a interés compuesto.

    En un gradiente típico, el Valor Presente se ubica dos períodos antes del

    primer gradiente, que en este caso es el primer pago. El número de

    períodos se calcula como la diferencia entre el período donde termina la

    serie de pagos y su período cero. El período cero de un gradiente

    aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los pagos.

  • 8

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    i = 4,5% trimestral

    4.000.000

    VF

    24.000.000

    20.000.000

    16.000.000

    12.000.000

    8.000.000

    32.000.000

    28.000.000

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    i = 4,5% trimestral

    4.000.000

    VF

    24.000.000

    20.000.000

    16.000.000

    12.000.000

    8.000.000

    32.000.000

    28.000.000Período del

    Valor Presente(cero del

    gradiente)

    Período de inicio de los pagos

    Período del Valor Futuro

    La fórmula para hallar el Valor Presente de un gradiente aritmético es:

    n

    n

    ii

    iniGVP

    1

    112 (Fórmula 5.2)

    Ejemplo 3

    Con el propósito de financiar la compra de una máquina importada, la

    empresa puede disponer de su flujo de caja en forma trimestral para saldar

    la deuda, así: un pago inicial por valor de $4.000.000 dentro de dos

    trimestres; cada trimestre posterior aumentará la cuota del período anterior

    en $4.000.000 hasta completar 8 pagos. ¿Cuál es el valor por el que podrá

    constituir el crédito, si la tasa de financiación es del 4,5% trimestral?

    Figura 5.4 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 3.

    En este caso, el Valor Presente del gradiente se ubica en el período 0 y el

    número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y

    el período del VP, es decir 9-0 = 9. Es importante anotar que el número de

    pagos es n-1, osea 9-1 = 8.

    Figura 5.5 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 3.

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    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Este ejemplo también constituye un gradiente típico, en el que el valor del

    primer pago es igual a la variación periódica de los pagos.

    Se resuelve de la siguiente manera: se calcula el Valor Presente del

    gradiente, para lo cual se trasladan todos los pagos al inicio de la serie dos

    períodos antes del primer pago, de acuerdo con la fórmula 5.2, así:

    n

    n

    ii

    iniGVP

    1

    112

    92

    9

    045,01045,0

    045,091045,01000.000.4VP

    003009343,0

    08109514,0000.000.4VP

    VP = 4.000.000 (26,94779212)

    VP = 107.791.168,50

    Respuesta: El valor acumulado descontando los pagos en el período cero

    (Valor Presente) es de $107.791.16850

    Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor

    presente de cada pago por separado. Se trasladarán los valores al período

    cero utilizando para ello la tasa de interés del 4,5% trimestral, así:

    VP = Pago 1 (Valor Presente de 4.000.000 durante 2 trimestres) +

    Pago 2 (Valor Presente de 8.000.000 durante 3 trimestres) +

    Pago 3 (Valor Presente de 12.000.000 durante 4 trimestres) +

    Pago 4 (Valor Presente de 16.000.000 durante 5 trimestres) +

    Pago 5 (Valor Presente de 20.000.000 durante 6 trimestres) +

    Pago 6 (Valor Presente de 24.000.000 durante 7 trimestres) +

    Pago 7 (Valor Presente de 28.000.000 durante 8 trimestres) +

    Pago 8 (Valor Presente de 32.000.000 durante 9 trimestres) +

  • 10

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    VP = 4.000.000(1+0,045)2 + 8.000.000(1+0,045)3 +

    12.000.000(1+0,045)4

    + 16.000.000(1+0,045)5

    +

    20.000.000(1+0,045)6

    + 24.000.000(1+0,045)7

    +

    28.000.000(1+0,045)8

    + 32.000.000(1+0,045)9

    VP = 3.662.919,80 + 7.010.372,83 + 10.062.736,12 +

    12.839.216,74 + 15.357.914,77 + 17.635.882,98 +

    19.689.183,56 + 21.532.941,69

    VP = 107.791.168,50

    Este resultado confirma que el valor acumulado al principio de los

    depósitos (Valor Presente) es de $107.791.16850

    5.1

    Formule dos casos de transacciones financieras en los que se

    configuren las dinámicas de gradientes aritméticos. Uno con Valor

    Futuro y uno con Valor Presente. Socialícelos con el tutor.

    Gradientes Aritméticos Crecientes y Decrecientes

    Como se analizó anteriormente, las dinámicas de gradientes aritméticos

    suponen que los pagos realizados en determinada transacción financiera,

    sufren una variación constante, donde cada pago es igual al anterior más

    una cantidad constante (gradiente). No obstante, el comportamiento de

    estos pagos en ocasiones decrece cada período y en este caso, cada

    pago es igual al anterior menos una cantidad constante (gradiente).

    Es frecuente que en ejercicios de amortización de créditos o de

    capitalizaciones de sumas de dinero, el primer pago sea de un valor

    diferente al del gradiente. A continuación se analizarán dos casos en los

    que el primer valor es diferente al del gradiente; en el primero de ellos su

    comportamiento es Creciente y en el segundo es Decreciente:

  • 11

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    6

    i = 0,5% mensual

    1.800.000

    2.200.0002.000.000

    0 1 2 3 4 5

    VF

    2.800.0002.600.000

    2.400.000

    1.000.000GradienteAnualidad +

    200.000400.000

    600.000800.000

    0 1 2 3 4 5 60

    1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000

    1 2 3 54 6

    Ejemplo 4

    La empresa decide constituir un fondo para futuras contingencias. Para

    ello, realiza unas consignaciones mensuales crecientes, iniciando en

    $1.800.000 al final del primer mes y de ahí en adelante incrementando

    cada consignación en $200.000. ¿Cuál es el saldo del fondo al realizar la

    consignación del sexto mes? La tasa que reconoce la entidad financiera es

    del 0,5% mensual.

    Figura 5.6 Representación gráfica Ejemplo 4.

    Se puede observar que, en este caso, el primer pago no corresponde al

    gradiente (diferencia entre los pagos), luego no es posible utilizar la

    fórmula 5.1 de Valor Futuro como se aplicó en los dos primeros ejemplos.

    Analizando la serie de pagos, esta se puede descomponer en dos series:

    la primera, una anualidad de seis pagos de $1.800.000 y la segunda un

    gradiente de 5 pagos que inicia en $200.000 y se incrementa en $200.000

    cada período.

    Esta descomposición se representa así:

    Figura 5.7 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 4

    Así las cosas, es posible utilizar las fórmulas de:

    VF de una Anualidad Vencida y

    VF de un Gradiente Aritmético,

  • 12

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Lo anterior con el fin de hallar el Valor Futuro de estas consignaciones,

    mediante procedimientos abreviados sumando los dos resultados, así:

    Valor Futuro de la Anualidad Vencida

    i

    iRVF

    n 1)1(

    005,0

    1)005,01(000.800.1

    6

    VF

    005,0

    030377509,0000.800.1VF

    VF = 1.800.000 (6,075501879)

    VF = 10.935.903,38

    Valor Futuro del Gradiente Aritmético,

    2

    11

    i

    iniGVF

    n

    2

    6

    005,0

    005,061005,01000.200VF

    000025,0

    000377509,0000.200VF

    VF = 200.000 (15,10037575)

    VF = 3.020.075,15

    Ahora se suman los resultados para obtener el Valor Futuro

    VF de la Anualidad Vencida = 10.935.903,38

    VF del Gradiente Aritmético = 3.020.075,15

    Valor Futuro consolidado = 13.955.978,53

  • 13

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Respuesta: El saldo del fondo al realizar la consignación del sexto mes es

    de $13.955.97853

    El desarrollo de este problema se puede abreviar, simplemente, plantean-

    do una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF de la Anualidad

    Vencida + el VF del Gradiente Aritmético, así:

    i

    iRVF

    n 1)1( +

    2

    11

    i

    iniG

    n

    VF de la Anualidad Vencida VF del Gradiente Aritmético

    Ahora se comprobará el resultado del gradiente, calculando el valor futuro

    de cada Pago por separado. Se trasladarán los valores al período 6

    utilizando para ello la tasa de interés del 0,5% mensual, así:

    VF = Pago 1 (Valor Futuro de 1.800.000 durante 5 meses) +

    Pago 2 (Valor Futuro de 2.000.000 durante 4 meses) +

    Pago 3 (Valor Futuro de 2.200.000 durante 3 meses) +

    Pago 4 (Valor Futuro de 2.400.000 durante 2 meses) +

    Pago 5 (Valor Futuro de 2.600.000 durante 1 mes) +

    Pago 6 (Valor de 2.800.000)

    VF = 1.800.000(1+0,005)5 + 2.000.000(1+0,005)4 +

    2.200.000(1+0,005)3

    + 2.400.000(1+0,005)2

    +

    2.600.000(1+0,005)1

    + 2.800.000

    VF = 1.845.452,26 + 2.040.301,00 + 2.233.165,28 + 2.424.060,00 +

    2.613.000,00 + 2.800.000,00

    VF = 13.955.978,53

  • 14

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    0 4

    i = 0,8% mensual

    2.500.000

    1 2 3

    VF

    4.000.0003.500.000

    3.000.000

    Este resultado confirma que el valor acumulado como saldo del fondo al

    realizar la sexta consignación es $13.955.97853

    Del caso anterior se deduce que cuando el primer pago es diferente del

    gradiente, se puede resolver el problema considerando por separado y

    sumando el resultado de la anualidad con el resultado del gradiente

    aritmético.

    Ahora se analizará el segundo caso: Gradiente Aritmético Decreciente. En

    ocasiones para la amortización de las deudas es conveniente, según los

    flujos de caja, comprometer los pagos de tal manera que sean descen-

    dentes en el tiempo; otra situación se presenta cuando se hacen retiros

    permanentes y descendentes de una cuenta o un fondo y sobre los saldos

    se calculan intereses compuestos; también es posible realizar depósitos

    decrecientes en una cuenta para obtener al final un saldo. Esta situación

    corresponde al siguiente ejemplo:

    Ejemplo 5

    Con el fin de contribuir con los gastos universitarios del segundo semestre,

    se realizan en una cuenta de ahorros los siguientes depósitos mensuales

    vencidos decrecientes: $2.000.000 a finales de marzo y cada fin de mes

    sucesivo, $500.000 menos que el mes anterior, hasta el 30 de junio. La

    tasa de interés pactada es del 0,8% mensual. ¿Qué cantidad se podrá

    retirar a mitad de año?

    Figura 5.8 Representación gráfica del Gradiente Aritmético Decreciente. Ejemplo 5

  • 15

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    4.000.000 4.000.000 4.000.000 4.000.000

    Anualidad Gradiente

    0 1 2 3 40 1 2 3 4

    1.000.000500.000

    -

    1.500.000

    En este caso, igual que en el ejemplo anterior, se observa que el primer

    pago no corresponde al gradiente (diferencia entre los pagos), luego se

    requiere descomponer estos movimientos en dos series: la primera, una

    anualidad de cuatro pagos de $4.000.000 y la segunda un gradiente de 3

    pagos que inicia en $500.000 y disminuye en $500.000 cada período.

    Esta descomposición se representa así:

    Figura 5.9 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 5.

    Así las cosas, se plantea una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF

    de la Anualidad Vencida menos (-) el VF del Gradiente Aritmético, así:

    i

    iRVF

    n 1)1( -

    2

    11

    i

    iniG

    n

    VF de la Anualidad Vencida VF del Gradiente Aritmético

    008,0

    1)008,01(000.000.4

    4

    VF -

    2

    4

    008,0

    008,041008,01G

    VF = 16.193.026,05 - 3.016.032

    VF = 13.176.994,05

    Respuesta: A mitad de año se podrá retirar de la cuenta $13.176.99405

    A continuación se presenta un resumen de las fórmulas más utilizadas en

    Gradientes aritméticos (tabla 5.1):

  • 16

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Valor Presente

    n

    n

    ii

    iniGVP

    1

    112

    Aritm

    ético o

    lin

    eal Gradiente en

    Valor Presente

    ini

    iVPiG

    n

    n

    11

    12

    Valor Futuro

    2

    11

    i

    iniGVF

    n

    Gradiente en

    Valor Futuro

    ini

    iVFG

    n

    11

    2

    Tabla 5.1 Resumen de fórmulas: Gradientes Aritméticos.

    Gradientes Aritméticos Diferidos

    Al igual que ocurre con las anualidades diferidas, este tipo de operaciones

    se presentan cuando se requiere de un tiempo denominado “período de

    gracia”, en el que no se realizan abonos al capital de la deuda. No

    obstante, se deben liquidar los intereses y en el momento del inicio de los

    pagos, estos deben sumarse al capital para calcular el valor de cada cuota.

    También es usual, para no alterar el monto del crédito inicial, cancelar los

    intereses generados durante el período de gracia. Esto permite que el

    monto de las cuotas no se incremente por efecto de la capitalización de

    intereses.

    La variación se reduce a que hay que calcular unos intereses al principio

    de la operación, que se cancelan o se capitalizan y luego se establece el

    monto de las cuotas para amortizar el crédito, utilizando para ello, las

    mismas fórmulas de una serie creciente o decreciente, según corresponda.

    Gradientes Geométricos

    En algunas transacciones se construyen series de pagos cuyo

    comportamiento consiste en un crecimiento geométrico, es decir, cada

  • 17

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    i = 0,4% mensual

    200.000

    288.000240.000

    01-Ene 31-Ene 28-Feb 31-Mar 30-Abr 31-May

    VF

    497.664414.720

    345.600

    30-Jun

    pago corresponde al anterior, multiplicado por un número llamado razón

    (r).

    Supóngase una serie de pagos como los que se plantean:

    Figura 5.10 Representación gráfica del Gradiente Geométrico..

    En este caso, se propone un ahorro inicial de de $200.000 al final del

    primer mes y este ahorro se realiza en cada uno de los meses siguientes,

    con un incremento del 20% sobre el depósito anterior.

    Valor Futuro

    La fórmula para establecer el Valor Futuro de la serie de pagos en un

    Gradiente Geométrico, es:

    ri

    riKVF

    nn11

    (Fórmula 5.3)

    En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:

    2,0004,0

    2,01004,01000.200

    66

    VF

    VF = 2.001.778,28

    El Valor Futuro del Gradiente Geométrico es $2.001.77828

    Valor Presente

    La fórmula para establecer el Valor Presente en un Gradiente Geométrico,

    descontando la serie de pagos al inicio, es:

  • 18

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    n

    nn

    iri

    riKVP

    1

    11 (Fórmula 5.4)

    En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:

    6

    66

    004,012,0004,0

    2,01004,01000.200

    VP

    VP = 1.954.401,09

    El Valor Presente del Gradiente Geométrico es $1.954.40109

    En grupos de tres estudiantes, realicen una consulta en entidades financieras y

    establezcan al menos una transacción en la que se configure el comportamiento

    de gradientes crecientes o decrecientes. Socialicen las respuestas con el tutor.

    Como una variante de las anualidades, aparecen las operaciones de

    gradientes, que presentan las mismas estructuras de aquellas, pero los

    pagos (ingresos o egresos) no son fijos sino variables (crecientes o

    decrecientes).

    Estas series de valores se incrementan o disminuyen de dos maneras: en

    una cantidad constante o a una proporción dada (razón). En la primera

    forma se denominan Gradientes aritméticas o lineales y en la segunda

    forma se denominan Gradientes Geométricas o Exponenciales.

    Sobre estas series de valores se han sistematizado unas fórmulas que

    permiten hallar las equivalencias presentes o futuras de todos los pagos,

    con el fin de facilitar los cálculos y los diseños de planes de capitalización

    o tablas de amortización. Estas fórmulas se han dispuesto en cada uno de

    los temas desarrollados en el fascículo.

  • 19

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc

    Graw Hill, 2001.

    BACA CURREA. Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá

    D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).

    CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.

    Primera edición. Mexico: Trillas, 2004

    CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:

    CECSA, 1999. (Texto guía).

    DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc

    Graw Hill, 1997.

    GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia

    finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda,

    2000. (Texto guía).

    PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:

    Mc Graw Hill, 1997.

    SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.

    Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

    En el Fascículo 6 se construirán y analizarán diferentes estructuras de

    amortización, representan periódicamente los comportamientos de

    anualidades, gradientes y otras transacciones financieras.

  • 20

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

  • 21

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

    Matemáticas Financieras - Fascículo No. 5

    Nombre_______________________________________________________

    Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

    Ciudad __________________________________Semestre: _______________

    Resuelva las siguientes preguntas, de las cuales las tres primeras son de

    selección múltiple con única respuesta, con el fin de evaluar su proceso de

    autoaprendizaje:

    1. Una serie de pagos en forma creciente con variación constante puede ser llevada a su Valor Futuro con la fórmula:

    A.

    i

    iRVF

    n 1)1(

    B.

    ri

    riKVF

    nn11

    C.

    2

    11

    i

    iniGVF

    n

    D. niPF )1(

    2. Para establecer el Valor Futuro de una serie de pagos donde el primero de

    ellos es de $1.000.000 y se incrementa en $50.000 cada mes, se deben

    conjugar las siguientes fórmulas, así:

    A.

    ri

    riKVF

    nn11

    menos

    i

    iR

    n 1)1(

    B.

    2

    11

    i

    iniGVF

    n

    más niP )1(

    C.

    i

    iRVF

    n 1)1( más

    ri

    riK

    nn11

    D. niPF )1( menos

    i

    iR

    n 1)1(

  • 22

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    3. La diferencia entre el Gradiente Aritmético y el Gradiente Geométrico radica en que:

    A. El Gradiente Aritmético tiene un comportamiento positivo y el Gradiente

    Geométrico, negativo

    B. El Gradiente Aritmético es creciente y el Gradiente Geométrico es

    decreciente

    C. El Gradiente Aritmético tiene una variación constante y el Gradiente

    Geométrico, porcentual

    D. El Gradiente Aritmético se calcula al final del período y el Gradiente

    Geométrico, al principio

    4. Una deuda será cancelada mediante 6 pagos mensuales, el primero de ellos

    por valor de 500.000 y cada uno de los pagos sucesivos incrementados en

    500.000. El primer pago se realizará a los seis meses del desembolso. Si la

    tasa de financiación es del 1,8% mensual, ¿cuál fue el valor del crédito?

    5. Debo pagar un crédito de la siguiente manera:

    i = 1,95% mensual

    4 5 6

    600.000300.000

    0 1 2 3

    1.800.0001.500.000

    1.200.000900.000

    Pero solicito se me permita realizar 12 pagos mensuales iguales vencidos. ¿Cuál

    será el valor de los pagos?