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  • 1

    Semestre 3

    Fascículo

    5

    Matemáticas

    Financieras

  • Matemáticas

    financieras Semestre 3

    Matemáticas financieras

  • Matemáticas financieras

    Semestre 3

    Tabla de contenido Página

    Introducción 1

    Conceptos previos 1

    Mapa conceptual fascículo 5 1

    Logros 2

    Series variable o gradientes 2

    Gradiente aritmético 3

    Valor Futuro 3

    Valor Presente 7

    Gradientes aritméticos crecientes y decrecientes 10

    Gradientes aritméticos diferidos 16

    Gradiente geométrico 16

    Valor Futuro 17

    Valor Presente 17

    Actividad de trabajo colaborativo 18

    Resumen 18

    Bibliografía recomendada 19

    Nexo 19

    Seguimiento al autoaprendizaje 21

    Créditos: 3

    Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

  • Matemáticas

    financieras Semestre 3

    Matemáticas financieras

    Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

    Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

    “Educación a Través de Escenarios Múltiples”

    Bogotá, D.C.

    Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

    por escrito del Presidente de la Fundación.

    La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

    CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA

    Tutor Programa Administración de Empresas

    Sede Bogotá, D.C.

    Revisión de estilo y forma;

    ELIZABETH RUIZ HERRERA

    Directora Nacional de Material Educativo.

    Diseño gráfico y diagramación a cargo de

    SANTIAGO BECERRA SÁENZ

    ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

    Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

    Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

    Bogotá, D.C., Noviembre de 2009.

  • 1

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Series Fijas o Anualidades

    Interés Compuesto

    A partir del

    y con base en conceptos de

    se construyen operaciones de

    Gradiente geométrico

    Gradiente aritmético

    con algunas variantes

    Crecientes Decrecientes

    Y Diferidas

    Introducción

    Con el fin de facilitar los cálculos para la construcción de amortizaciones y

    capitalizaciones de series variables, se han sistematizado unas fórmulas

    que le permiten al gestor financiero concentrarse en el desempeño de sus

    funciones con facilidad, en la medida que reducen las operaciones para la

    toma de decisiones.

    Estas series variables son cantidades de dinero que usualmente provienen

    de créditos bancarios o particulares y en otras ocasiones representan

    modalidades de ahorros programados en entidades financieras.

    Para comprometer recursos financieros se deben consultar los flujos de

    caja, quienes dan la pauta para definir los tipos de amortización o

    capitalización de valores monetarios.

    Conceptos previos

    El estudiante deberá comprender y aplicar conceptos de Interés

    Compuesto, incluidos los pormenores de conversiones de tasas de interés

    y construcción de anualidades.

    Mapa conceptual fascículo 5

  • 2

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en

    capacidad de:

     Interpretar y proponer soluciones a problemas complejos donde

    intervienen series variables, crecientes o decrecientes.

     Argumentar la pertinencia en el uso y construcción de ecuaciones y

    gráficas de tiempo y valor para la resolución de problemas de gradientes.

     Evaluar el alcance del desarrollo de competencias en el manejo de series

    variables, como condición para gestionar con suficiencia créditos

    financieros y otras operaciones a plazos.

     Reconocer las operaciones crediticias en las formas expresadas mediante

    series variables y sus transformaciones frente a los plazos y tasas.

    Series variables o gradientes

    Se conocen como Series Variables o Gradientes, los pagos que presentan

    un comportamiento creciente o decreciente de manera constante.

    También son llamados “Gradiente Aritmético” si la variación es periódica y

    lineal y ·Gradiente Geométrico” si la variación es periódica y porcentual.

    Algunos autores denominan estas operaciones como Anualidades

    crecientes o Anualidades Decrecientes.

    En este fascículo se analizarán diferentes clases de gradientes, calculando

    sobre cada una de ellas su Valor Presente y su Valor Futuro, así como los

    detalles de manejo e interpretación que correspondan.

    Respecto de la notación que se utilizará en este fascículo se encuentran

    las siguientes variables:

    VP = Valor Presente del gradiente

    VF = Valor Futuro del gradiente

    g = Cantidad en que se incrementa o disminuye el pago

    periódico

    i = Tasa de Interés

    n = Número de períodos: diferencia entre el período que termina

    y el período donde está localizado su cero.

    LogrosLogrosLogros

  • 3

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    Gradiente Aritmético

    En este tipo de transacciones, los pagos aumentan gradualmente en cada

    período, es decir, aumentan en forma aritmética. Sobre el gradiente es

    posible calcular al menos dos momentos de consolidación de todos sus

    valores: al principio de la serie de pagos (Valor Presente) y al final de la

    serie de pagos (Valor Futuro).

    Valor Futuro

    Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los

    pagos acumulados al final de la serie, utilizando para ello fórmulas de valor

    futuro a interés compuesto.

    En un gradiente aritmético, el Valor Futuro se ubica justo en el último pago.

    El número de períodos se calcula como la diferencia entre el período

    donde termina la serie de pagos y su período cero. El período cero de un

    gradiente aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los

    pagos.

    La fórmula para hallar el Valor Futuro de un gradiente aritmético es:

         

     

      

    2

    11

    i

    ini GVF

    n

    (Fórmula 5.1)

    Ejemplo 1

    Un padre de familia decide realizar un ahorro para la educación superior

    de su hijo en un fondo que reconoce una tasa del 1,1% mensual. Se

    requiere establecer cuál es el valor final del ahorro si se efectúan las

    siguientes consignaciones: $500.000 dentro de 2 meses; $1.000.000

    dentro de 3 meses; $1.500.000 dentro de 4 meses; $2.000.000 dentro de 5

    meses; y $2.500.000 dentro de 6 meses.

  • 4

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

    6

    i = 1,1% mensual

    5

    VF

    2.500.000 2.000.000

    1.500.000

    0 1 2 3 4

    1.000.000 500.000

    6

    i = 1,1% mensual

    5

    VF

    2.500.000 2.000.000

    1.500.000

    0 1 2 3 4

    1.000.000 500.000

    Período cero del gradiente

    Período de inicio de los pagos

    Período del Valor Futuro

    Figura 5.1 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 1.

    En este caso, el Valor Futuro del gradiente se ubica en el período 6 y el

    número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y

    el período cero, es decir 6-0 = 6. Es importante anotar que el número de

    pagos es n-1, o sea 6-1 = 5.

    Figura 5.2 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 1.

    Este ejemplo constituye un gradiente típico, en el que el valor del primer

    pago es igual a la variación periódica de los pagos Se resuelve de la

    siguiente manera: se calcula el Valor Futuro del gradiente, para lo cual se

    trasladan todos los pagos al final del sexto mes, de acuerdo con la fórmula

    5.1, así:

         

     

      

    2

    11

    i

    ini GVF

    n

         

     

      

    2

    6

    011,0

    011,061011,01 000.500VF

  • 5

    Matemáticas financieras

    Matemáticas

    financieras

    Fascículo No. 5

    Semestre 3

     

      

     

    000121,0

    001841841,0 000.500VF

    VF = 500.000 (15,221823)

    VF = 7.610.911,50

    Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Fut