MATEMÁTICAS I - SEMANA 3 - UTEC
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MATEMÁTICAS I - SEMANA 3
Logro F3
Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas
2
Matemáticas 1
Logro de la sesión
Modelar situaciones reales del entorno cercano usando funcionessinusoidales y crea nuevas funciones usando reglas detransformación de la forma af(bx -c)+d.
¿Qué relación tienen las siguientes imágenes?MATEMÁTICAS I
Funciones periódicas
Una función f es periódica si existe un número real positivo k, tal que f(x+k)=f(x), para todo x que pertenezca al dominio.
El menor número positivo k que cumpla que f(x+k)=f(x) se llama período de f.
MATEMÁTICAS I
Círculo trigonométrico y la función trigonométrica
Las funcionestrigonométricas y=senx ,
y=cosx describen el movimiento del punto
P(x,y), que pertenece a la circunferencia de radio 1.
y=senx
Período: 2π
Simetría impar
Intersecciones: (0,0), (kπ,0)
y=cosx
Período: 2π
Simetría par
Intersecciones: (0,0), (kπ/2,0)
MATEMÁTICAS I
Como las funciones seno y coseno tienen períodos 2π, las funciones
y=asenkx y y=acos(kx) (k>0)
completan un período cuando kx varía de 0 a 2π, es decir, para 0 ≤ kx ≤ 2 π o para 0 ≤ x ≤ 2 π /k.
Entonces estas funciones completan un período cuando x varía entre 0 y 2 π /k y por lo tanto tienen período 2 π /k.
MATEMÁTICAS I
h
h
h; h +
h
h
MATEMÁTICAS I
Curvas senos y cosenos
trasladadas
MATEMÁTICAS I
En general para modelos de funciones de
senos y cosenos:
Es importante resaltar que también podemos modelar
las funciones de seno y coseno usando:
Del siguiente gráfico, determine la
amplitud, el período, el desplazamiento
vertical, el desfase y la regla de
correspondencia:
Ejemplo 1:Solución:
MATEMÁTICAS I
Vamos a modelar el gráfico como y=Asen(Bx+C)+D
La siguiente tabla muestra la variación del nivel del agua en una
bahía, en un periodo de 24 horas. Encontrar un modelo que describa
la variación del nivel del agua en función del número de horas
transcurridas desde las 6:00 a.m.
Ejemplo 2:
Solución:
Iniciamos realzando un gráfico trazando los puntos de la tabla De momento nos va quedando el siguiente
gráfico:
MATEMÁTICAS I
MATEMÁTICAS I
MATEMÁTICAS I
La figura muestra diversas gráficas del número de horas de luz durante el
día (desde el amanecer hasta la puesta del sol) como función de la época
del año en diversas latitudes. Si la ciudad de Filadelfia está ubicada a 40°
latitud Norte, encuentre la regla de correspondencia que modele la
duración de la luz del día en la ciudad mencionada en función de los días
del año.
MATEMÁTICAS I
Ejemplo 3:Solución:
Analizando cada gráfico, podemos ver que se
asemeja a una función seno desplazada y alargada.
La curva de color azul representa la latitud a la que
se encuentra la ciudad de Filadelfia. Allí la luz del día
dura alrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2
horas el 21 de diciembre. De manera que podemos
calcular la amplitud de la curva usando la ecuación:
9.2
80𝐷í𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜
14.8
MATEMÁTICAS I
MATEMÁTICAS I
Ejemplo 4:
Una estrella variable es aquella cuyo brillo
aumenta y disminuye alternativamente en el
tiempo. La estrella variable más visible, Delta
Cephei, alcanza su nivel de brillo más alto en el
día 1.35. En el día 4.05, el brillo tiene un valor de
3.65 (su nivel más bajo). El brillo de la estrella
varía en una magnitud de 0.35.
a) Encuentre una función que modele el brillo de
Delta Cephei, en términos del tiempo.
b) Realice la gráfica.
Solución:
Según los datos que nos provee el problema,
podemos modelar el brillo de la estrella
usando una función senoidal:
De forma que: B(t)=Asen(Kx+C)+D
MATEMÁTICAS I
Finalmente; con desfase=0, C=0. Por tanto, la regla de
correspondencia es: