Matemáticas II

GUIA DE ESTUDIO

DIC 2018 Clave: 204

Presentación

Una guía de estudio es una herramienta que sitúa o dirige hacia un objetivo, el aprendizaje eficaz. Te

orienta explicando ciertos contenidos, y te ayuda a identificar el material de estudio, enseñándote

técnicas de aprendizaje y aclarando tus dudas.

En este sentido, para la asignatura de Matemáticas II deberás enfocarte al estudio del programa que se

presenta el Colegio de Bachilleres para tu formación integral como estudiante. Los aprendizajes que

desarrollarás específicamente son de acuerdo a los ejercicios similares que se te aplico con la

intervención pedagógica del docente en el aula y a partir del trabajo colegiado que se realice a nivel de

plantel. Algunos de ellos son, por ejemplo: Estructura y transformación: Elementos básicos de

Geometría, y Trazado y angularidad: Elementos de la Trigonometría plana. La importancia de la

asignatura es promover el desarrollo del pensamiento analítico como base para la resolución de

problemas matemáticos y, posteriormente, apoyar a la toma de decisiones en su vida personal, escolar

y profesional. Sin la generación y fortalecimiento de este tipo de pensamiento, el estudiante pierde la

oportunidad de mirar la realidad desde distintas perspectivas, de descomponer una situación en sus

partes, de percibir que la unidad es parte de la totalidad; todas ellas, habilidades necesarias para

participar de forma pertinente, crítica y ética en la sociedad.

Se recomienda la asesoría por docentes, la utilización de libros y el uso de internet para fortalecer los

conocimientos al contestar la guía.

Competencia genérica: Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

- Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Habilidad socioemocional: Autorregulación

- Reconoce la necesidad de solicitar apoyo

- Fija metas y busca aprovechar al máximo sus opciones y recursos.

Contenido Bloque I. Estructura y Transformación: Elementos básicos de la Geometría ............................................................ 4

Tema 1: Conceptos básicos del espacio y la forma “lo geométrico” ..................................................................... 4

Ejercicio 1: .......................................................................................................................................................... 5

Ejercicio 2: .......................................................................................................................................................... 6

Ángulos ............................................................................................................................................................... 6

Clasificación de los ángulos ................................................................................................................................ 6

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados .................................................................................. 7

Ejercicio 2: .......................................................................................................................................................... 8

Ejercicio 3: .......................................................................................................................................................... 9

Ejercicio 4: ........................................................................................................................................................10

Ejercicio 5 ..........................................................................................................................................................11

Tema 2. El estudio de figuras geométricas y sus propiedades .............................................................................11

Perímetros, áreas y volumen ............................................................................................................................11

Figuras Geométricas .........................................................................................................................................12

Número de diagonales de un polígono ............................................................................................................13

Ejercicio 1..........................................................................................................................................................14

Tema 3. Tratamiento de las formulas geométricas para perímetros, áreas y volúmenes. ..................................14

Ejercicio 1..........................................................................................................................................................16

Ejercicio 2..........................................................................................................................................................17

Ejercicio 3..........................................................................................................................................................18

Tema 4. Tratamiento visual de las propiedades geométricas, los criterios de congruencia y semejanza de

triángulos. .............................................................................................................................................................19

Ejercicio 1: ........................................................................................................................................................20

Clasificación de los triángulos ...........................................................................................................................20

Rectas y puntos notables en el triángulo .........................................................................................................21

Ejercicio 2: ........................................................................................................................................................22

Congruencia de triángulos ................................................................................................................................23

Ejercicio 3..........................................................................................................................................................23

Casos de igualdad de triángulos .......................................................................................................................24

Semejanza o similaridad ...................................................................................................................................24

Ejercicio 4..........................................................................................................................................................25

Teorema de Pitágoras .......................................................................................................................................26

Ejercicio 5..........................................................................................................................................................26

Bloque II. Trazado y Angularidad: Elementos de la trigonometría plana. ................................................................28

Tema 1. Conceptos básicos de la trigonometría. .................................................................................................28

Relaciones trigonométricas ..............................................................................................................................28

Ejercicio 1: ........................................................................................................................................................29

Ejercicio 2..........................................................................................................................................................30

Bloque I. Estructura y Transformación: Elementos básicos de la Geometría

Propósito: El alumno comprenderá los conceptos básicos de la Geometría, identificado los elementos básicos.

Tema 1: Conceptos básicos del espacio y la forma “lo geométrico”

El término “geometría” proviene de las palabras griegas geo (tierra) y metrón (medida); su origen se remonta al

nacimiento de la civilización, cuando surgió la necesidad de medir las tierras.

Desde la antigüedad y hasta finales de la Edad Media, la palabra matemáticas se definía como la ciencia de los números, de las figuras geométricas y de las magnitudes. Sin embargo, los orígenes de las matemáticas se remontan hasta los albores de la propia inteligencia humana. Los estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que los seres humanos realizaron cálculos y medidas desde periodos muy periodos y que llegaron a concebir figuras geométricas incluso antes de que interviniera la escritura.

Tabla 1. Elementos básicos de la geometría

Elemento Definición Representación

Punto No posee longitud, ni ancho y ni profundidad . A Punto A x B Punto B Punto C

Líneas Es una sucesión continua de puntos y solo posee una dimensión: la longitud

Rectas Curvas Mixtas

Superficies Tienen dos dimensiones: Ancho y longitud

c

Geo

met

ría

Geometría plana o Euclidiana

Estudia propiedades de las sperfgicies y figuras planas: triángulos, polígonos, cuadriláteros, circunferencias, etc.

Geometría analítica Conjugacion de algebrqa con geometría plana.

Topología Estudia las propiedades que

permanecen invariables en los cuerpos geométricos.

Trigonometría Estudia los ángulos y los lados de los triángulos.

Sólidos Tienen tres dimensiones: longitud, ancho y profundidad

Proposición Enunciado que puede calificarse como falso o verdadero.

Axioma Proposición que se admite como cierta necesidad de demostrarse.

Postulado Proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se admite sin demostración.

Teorema Proposición que necesita ser demostrada.

Ejemplo:

Axiomas y postulados

La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.

Dos rectas solo pueden tener un punto en común.

Teoremas

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 108°

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejercicio 1: Relaciona los conceptos con sus definiciones, anotando la letra correspondiente en los paréntesis.

A. Proposición ( ) Está constituida por una sola dimensión, la longitud; al ser una sucesión continua de puntos.

B. Sólido ( ) Estudia los lados y ángulos de un triángulo, además, de los ángulos en general.

C. Geometría plana ( ) Enunciado que puede calificarse como falso o verdadero.

D. Punto ( ) Proposición que necesita ser demostrada.

E. Axioma ( ) Son los cuerpos que tienen tres dimensiones: ancho, largo y altura. Es todo lo que nos rodea.

F. Geometría analítica ( ) Proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se admite sin demostración.

G. Superficie ( ) También llamada geometría Euclidiana, estudia las propiedades de las superficies y figuras planas.

H. Trigonometría ( ) Su objetivo es estudiar las propiedades que permanecen invariables en los cuerpos geométricos.

I. Teorema ( ) Proposición que se admite como cierta, sin necesidad de demostrarse.

J. Geometría ( ) Son las figuras que incorporan una dimensión más: el ancho.

K. Línea ( ) Se aplica a la resolución de problemas, calcular perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas. Su etimología se deriva de geo –tierra- y metron –medida-.

L. Topología ( ) Elemento sin dimensiones y se representa con letras mayúsculas A, B, o C; puede ser un circulo muy pequeño, una cruz o una línea.

M. Postulado ( ) Es la conjugación de la geometría plana y el álgebra y se expresa por medio de sistemas de coordenadas.

Ejercicio 2: De la siguiente figura, se representan tres líneas, identifica el tipo de cada una.

1 ___________________________

2___________________________

3___________________________

Ángulos

Un ángulo es la amplitud de giro de una semirrecta de una posición inicial a una final. Las semirrectas son los

lados del ángulo y el origen es el vértice.

Clasificación de los ángulos Los ángulos se pueden clasificar en dos categorías; de

acuerdo, al valor de su medida y a su relación como

pares de ángulos.

Lado

O

Vértice

Lado

Ángulo

A

B

https://www.google.com/search?q=tipos+de+angulos&client=firefox-

1

2 3

A B

B

A A

B

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados La medición de un ángulo se lleva acabo con tres sistemas: Sistema sexagesimal, sistema centesimal y sistema

circular.

1) Sistema sexagesimal: Es la división de una circunferencia en 360 partes iguales, en la cual cada parte es

un grado, que tienen como vértice en centro, este grado se puede dividir en 60 partes iguales, llamados

minutos y cada minuto se puede dividir en 60 partes iguales, llamados segundos.

2) Sistema centesimal: Es una circunferencia dividida en 400 partes iguales llamados grados centesimales,

cada grado se divide en 100 partes iguales, llamados minutos centesimales, y cada minuto se divide en

100 partes iguales, llamados segundo centesimales.

3) Sistema circular: Se utiliza un ángulo llamado “radian”, este ángulo sus lados comprenden un arco cuya

longitud es el radio de la circunferencia.

Ejemplo:

Convertir 4.5 radianes a grados

𝜋

𝑟𝑎𝑑=

180

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Sustituir 𝜋

4.5 𝑟𝑎𝑑=

180

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Despejar

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =(180)(4.5)

𝜋=

810

𝜋= 257.83 = 257°49′

Dos ángulos que suman 90 °

Ángulos complementari

osSon dos ángulos consecutivos que tienen el mismo vértice y tienen un lado común.

Ángulos Adyacentes

Dos ángulos tales que los lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro, estos ángulos son iguales al valor.

Ángulos opuestos por

el vértie

Dos ángulos que suman 180 °

Ángulos Suplementarios

La conversión de grados a radianes y de radianes a grados se da por la siguiente ecuación, de la

cual debes despejar radianes o grados según lo que se pida.

𝜋

𝑟𝑎𝑑=

180

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Convertir 67° a radianes

𝜋

𝑟𝑎𝑑=

180

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Sustituir

𝜋

𝑟𝑎𝑑=

180

67°

Despejar

𝑟𝑎𝑑 =(67)(𝜋)

180=

210.4872

180= 1.1693 𝑟𝑎𝑑

r r

r

A

B

C

Ejercicio 2: Realiza las siguientes conversiones como se mostró en el ejemplo anterior.

a) 2.356 rad a grados ___________________________________________________________

b) 124° a rad __________________________________________________________________

c) 78° a rad ___________________________________________________________________

d) 1.876 rad a grados ___________________________________________________________

e) 135° 43’ a rad _______________________________________________________________

f) 2.986 rad a grados, minutos y segundo ___________________________________________

g) 1.576 rad a grados, minutos y segundo ___________________________________________

h) En un avión comercial que viajaba de Estados Unidos a China, un pasajero pregunto la hora, y un joven le

contesto, que eran las 2/3 radianes. ¿A cuántos grados equivale la hora que menciona el joven?

___________________________________________________________________________

Ejemplo: Para encontrar el complemento y suplemento de un ángulo se muestra lo siguiente.

Hallar el complemento de un ángulo de 70°. 90° - 70° = 20° El complemento mide 20°

Encontrar el suplemento de un ángulo de 65°. 180° - 65° = 115° El suplemento mide 115°

Encontrar los ángulos (3x + 22) + (x + 20) = 90 3x + 22 3x + 22 + x + 20 = 90 3(12) + 22 = 58° 4x + 42 = 90 4x = 90 – 42 x + 20 4x = 48 12 + 20 = 32° X = 48 / 4 X= 12 58° + 32° = 90°

Encontrar los ángulos (2x + 10) + (x + 12) = 180 2x + 10 2x + 10 + x + 12 = 180 2(52.6) + 10 = 115.2° 3x + 22 = 180 3x = 180 – 22 x + 12 3x = 158 52.6 + 12 = 64.6° X = 158 / 3

X = 52.6 115.2 + 64.6 = 179.8 180

3x + 22

x + 20 2x + 10 X + 12

Ejercicio 3: Realiza los siguientes ejercicios correspondientes a encontrar los ángulos, utilizando los ángulos complementarios

o suplementarios.

1. Utiliza el procedimiento para encontrar los suplementos de los siguientes ángulos:

a) AOB = 118° ___________________________________

b) DQE = 68° 36’ __________________________________

2. Encuentra lo que se te pide en cada caso. Recurre al procedimiento que prefieras.

a) El complemento de los siguientes ángulos

20°

36° 75° 39° 28’

34°

47° 86° 76° 16’

b) El suplemento de los siguientes ángulos

134°

78° 167° 90° 36’

163°

105° 149° 15° 56’

3. Un ángulo es igual a la mitad de su complemento, ¿Cuánto mide cada uno?

4. Dos ángulos son suplementarios y uno mide 24° más que el otro, ¿Cuánto miden estos ángulos?

5. Un ángulo es 15° mayor que su complemento, ¿Cuánto mide cada uno?

Ejercicio 4: Encuentra el valor de los siguientes ángulos.

AOC = ________________________

BOC = ________________________

AOC = _______________________

BOC = _______________________

AOD = ___________________

DOC = ___________________

COB = ___________________

AOB = ___________________

COB = ___________________

COD = ___________________

O

3x + 38

x + 12

B

C

A

x – 10 5x – 50 A

C

O B

3x + 40 3x

x B

C

D

A O

x 2x

x/12

A

B C

D O

Ejercicio 5 De la siguiente figura, elige de las posibles respuestas cual presenta las relaciones correctas entre los ángulos que

generan las paralelas cortadas por una transversal.

a) a y d son suplementarios, y el g y h son opuestos por el vértice

b) a y d son opuestos por el vértice, y el g y h son suplementarios

c) a y d son complementarios, y el g y h son opuestos por el vértice

d) a y d son opuestos por el vértice, y el g y h son complementarios

Tema 2. El estudio de figuras geométricas y sus propiedades

Perímetros, áreas y volumen

Perimetro: Es la distancia alrededor de una figura de dos dimensiones, o la medición de la distancia en torno a algo; la longitud de la frontera

Área: La porción interior que determina un polígono se llama superficie y la medida de la misma se conoce como área. La medida del área de una figura se da en unidades cuadradas (m², km², pulgadas cuadradas, hectáreas, etc.).

El volumen de una figura es la medida de cuánto espacio tridimensional ocupa. También puedes pensar en el volumen de una figura como cuánta agua (o aire, arena, etc.) podría albergar si se llenara por completo.

a b

c d

e f

g h

Figuras Geométricas

Polígonos Poliedros

Triángulos y tipos de triángulos

Número de diagonales de un polígono Una diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

Para determinar el total de las diagonales se obtiene a partir de la siguiente ecuación:

𝐷 =(𝑛)(𝑛 − 3)

2

Ejemplos:

1. Determina el número total de diagonales de un triángulo.

𝐷 =(𝑛)(𝑛−3)

2 𝐷 =

(3)(3−3)

2=

(3)(0)

2= 0

2. Un polígono tiene 35 diagonales en total, determine el número de lados del polígono

𝐷 =(𝑛)(𝑛 − 3)

2

Despejar n

2D = (n) (n-3)

2D = n2 – 3n

Acomodar los términos

n 2 – 3n – 2D = 0

Sustituimos D (35 diagonales)

n 2 – 3n – (2)(35) = 0

n 2 – 3n – 70 = 0

Factorizamos

(n – 10) (n – 7) = 0

n = 10 lados

n = 3 lados

Ejercicio 1. Dibuja los siguientes polígonos y determina el total de diagonales de cada uno o el número de lados según sea el

caso.

Pentágono

Eneágono Dodecágono

Dodecágono

Pentadecágono Octágono

Tema 3. Tratamiento de las formulas geométricas para perímetros, áreas y volúmenes.

Formulario para calcular Perímetros y Áreas

https://www.google.com/search?client=firefox-

b&tbm=isch&sa=1&ei=y9_TWoQ047CPBNCZj7AC&q=formulas+de+figuras+geometricas+area+y+perimetro&oq=formulas+de+&gs_l=psy-

ab.3.2.0i67k1j0j0i67k1j0l6j0i67k1.1527428.1529070.0.1534504.12.8.0.4.4.0.134.898.1j7.8.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.12.966....0.rsaVO-eV--Y#imgrc=NY7tGbLA4wuIXM:

Formulario para calcular Perímetros y Áreas

Ejemplos:

Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras

Figura Perímetro Área

P = l + l + l P = (5cm)+(5cm)+(3cm) P = 13 cm

𝐴 =(𝑏)(ℎ)

2

𝐴 =(3𝑐𝑚)(4𝑐𝑚)

2=

12𝑐𝑚2

2= 6𝑐𝑚2

P = 4(a) P = 4(3 cm) P = 12 cm

𝐴 =(𝐷)(𝑑)

2

𝐴 =(5.5𝑐𝑚)(2.35𝑐𝑚)

2=

12.925

2

A = 6.46 cm2

5 cm 5 cm

3 cm

4 cm

D=5.5 cm

d=2.35 cm

a = 3 cm

Ejercicio 1. Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras

Figura Perímetro Área

12 mm

15 mm 8 mm

10 mm

8 cm

5.5 cm

3.9 dm

13.5 mm

9.5 mm

11 mm 8 mm 8 mm

12 cm

D = 6.4 cm

d = 3.4 cm a = 4.4 cm

9 km

5 km 8 km

17 mm 5 mm

Ejemplo:

Determina el volumen de las siguientes figuras.

V = (largo)(ancho)(altura) V = (8 cm)(6cm)(5cm) V = 240 cm3

V = ()(r2)(h)

V = ()((5m)2)(20m)

V = ()(25m2)(20m) V = 1570.79 m3

Ejercicio 2. Determina los volúmenes de las siguientes figuras utilizando adecuadamente las formulas y anota las unidades

correspondientes.

8 cm

5 cm

6 cm

20 m

r = 5 m

Ejercicio 3. Resuelve los siguientes problemas aplicando lo aprendido sobre el cálculo de volúmenes, y elige la respuesta

correcta.

1. Calcula el volumen de una habitación que tiene 5 m de largo, 4 m de ancho y 2.5 m de alto.

a) 550 m2

b) 55 m3

c) 50 m3

d) 50 m2

2. Un tanque de almacenamiento de agua tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad.

¿Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarlo?

a) 72000 litros

b) 72000 m3

c) 720 litros

d) 720 m3

3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos guardar cajas con las

dimensiones 100 cm de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de alto ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

a) 8000 cajas

b) 15 cajas

c) 125 cajas

d) 150 cajas

4. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 litros de capacidad. Para este

problema, te resultara útil saber que 1 dm3 es equivalente a un litro.

a) 4 Dm

b) 4 dm

c) 40 dm

d) 40 Dm

5. ¿A qué altura deberá llegar el agua que se vierte en una probeta de 3 cm de radio para que su volumen

sea igual al volumen de 4 cubitos de hielo de 4 cm de lado?

a) 9.05 cm

b) 9.05 m

c) 9.42 cm

d) 9.50 cm

Tema 4. Tratamiento visual de las propiedades geométricas, los criterios de congruencia y

semejanza de triángulos.

El triángulo puede definirse como la porción de un plano que se encuentra limitada por tres rectas que se cortan

dos a dos. Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ determinan

un triángulo.

Los elementos de un triángulo son: lado, ángulos y vértices.

Para trazar un triángulo se necesitan tres datos, que pueden ser:

1. La longitud de sus tres lados.

2. La longitud de un lado y los valores de sus ángulos adyacentes a él.

3. La longitud de dos lados y el ángulo que comprenden.

A

B

C

A

B

C

Ejemplo:

¿Cómo construir un triángulo cuyos lados midan 5, 8 y 7 cm de lado?

Procedimiento: Se traza la base del triángulo, que puede ser cualquiera de los tres lados. A continuación, se apoya

el compás en uno de los extremos del lado y con una abertura igual a la longitud de uno de los otros dos lados se

traza un arco. Finalmente, se sostiene el compás en el otro extremo del lado inicial y con una abertura igual a la

longitud del tercer lado, se traza otro arco. El punto donde se cruzan los arcos es un vértice del triángulo.

Ejercicio 1: Realiza los siguientes ejercicios:

1. Construye dos triángulos, el primero cuyos lados miden 5, 9 y 6 cm; el segundo, 9, 4 y 3 cm. Contesta lo

que se te pide.

a) ¿Pudiste construir los dos triángulos? __________________________________________________

b) ¿Qué observaste? __________________________________________________________________

c) ¿Por qué crees que sucedió eso? ______________________________________________________

d) ¿crees que con solo tres lados cualesquiera se puede trazar un triángulo? _____________________

e) ¿Qué condiciones deberán tener los lados? ______________________________________________

Clasificación de los triángulos Según sus lados, los triángulos pueden ser:

Equiláteros: cuando sus tres lados son iguales.

Isósceles: Cuando dos de sus lados son iguales.

Escaleno: Cuando sus tres lados son diferentes.

Según sus ángulos, los triángulos son:

Acutángulos: Cuando poseen tres ángulos

agudos.

Triangulo rectángulo: Cuando uno de sus

ángulos es recto.

Obtusángulo: Cuando posee un ángulo obtuso.

8 cm

5 cm 7 cm

Rectas y puntos notables en el triángulo

a) Mediana: Es el segmento de recta trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

b) Altura: Es el segmento de recta perpendicular que se traza desde un vértice al lado opuesto del triángulo

o a su prolongación.

c) Mediatriz: Es el segmento de recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado.

d) Bisectriz: Es el segmento de recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Baricentro

Ortocentro

Circuncentro

e) Recta de Euler: Es la línea que cruza el baricentro, ortocentro y circuncentro.

Para encontrar el valor de los ángulos internos de un triángulo al sumar los tres da como resultado 180 °. La suma

de los ángulos exteriores es 360 °. Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no

adyacentes. A continuación se presenta un ejemplo.

Ejemplo:

Encuentra el valor del ángulo exterior X del siguiente triangulo rectángulo. La suma de los ángulos internos de un

triángulo son 180°

Ejercicio 2: Hallar el valor de los siguientes ángulos de cada triangulo.

90°

48°

X

= 90° + 48° + = 180°

= 180 – 138 = 42°

X = 180 – 42 = 138°

Nota: Para calcular X se sabe que un

ángulo llano tiene valor de 180°.

32°

𝑥

2

x

Congruencia de triángulos

Las figuras congruentes son aquellas que tienen el mismo tamaño y la misma forma. Una manera de comprobar

esta congruencia es sobreponerlas, para ver si coinciden en todos sus puntos; es decir, si todos sus lados y sus

ángulos son respectivamente iguales.

Ejercicio 3. 1. Construye una figura congruente con el siguiente rombo.

150°

A

D

C

E

B

O

45°

15°

Son congruentes No son congruentes

2. ¿comprueba si estos romboides son congruentes?

Casos de igualdad de triángulos Caso 1. Dos triángulos son iguales si los tres lados de uno son iguales a los tres lados del otro (LLL).

Caso 2. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).

Caso 3. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos adyacentes a él (ALA).

Semejanza o similaridad Con mucha frecuencia utilizamos la palabra semejante de una manera muy general para decir que dos figuras,

cosas, objetos o personas son parecidos en algunos aspectos. Pero en geometría, plantear que dos figuras son

“semejantes” indica que tienen la misma forma, aunque su tamaño sea diferente.

Criterios de semejanza de triángulos

1. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales.

A = A’ y B = B’

2. Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual y los lados correspondientes son

proporcionales.

A = A’ 𝐴𝐶

𝐴´𝐶=

𝐴𝐵

𝐴′𝐵

A

A’

B

B’

B’ A’

C’

B A

C

3. Dos triángulos son semejantes si los lados correspondientes son proporcionales.

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐴𝐶

𝐴′𝐶′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′

Ejercicio 4. Aplica los criterios de semejanza para encontrar el valor de x en las siguientes figuras.

A’ B’

A B

C C’

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A’

B’

x

48 2 3

A’

B’ C’

1.5

2.7 75

x

A’

B’

150

3.4

2.5

A’

B’

x

x

46 7

1.72

Teorema de Pitágoras

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Ejemplo:

La escalera del primero al segundo piso de una tienda departamental mide seis metros en forma vertical y nueve

en forma horizontal. Calcula la distancia que se recorre al ascender al segundo.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2

𝑐 = √92 + 62

𝑐 = √81 + 36 = √117 = 10.81𝑚

Ejercicio 5. Resuelve los siguientes problemas, utilizando el teorema de Pitágoras.

1. Al volar un papalote, un niño suelta 200 m de cuerda. Si la distancia desde la parte directamente debajo

del papalote hasta donde se encuentra el niño es de 89 m, ¿a qué altura está el papalote, si consideramos

que de la mano donde sostiene la cuerda al piso hay 1.50m?

a

Cateto adyacente

b

Cateto opuesto

c

Hipotenusa

6 m

9 m

x

200 m

89 m

x

1.50 m

2. ¿Qué longitud debe tener un cable para sostener un poste de 6 m de altura, si queda anclado a 8 m de la

base del poste?

3. La base de una escalera de 7 m de largo queda a 5 m de la pared donde se apoya. ¿Qué altura alcanza

sobre la pared?

4. Para platicar con Julieta, Romeo necesitaba alcanzar la ventana de la casa de su amada, la cual estaba a

una altura de 8 m. ¿Qué longitud debería tener la escalera para llegar a la ventana, si no podía colocarla

a menos de 5 m de la pared?

5. Dos pájaros ven un insecto al mismo tiempo, si las velocidades de vuelo son iguales ¿Cuál crees que llegue

primero para comérselo?

Pájaro 2 Pájaro 1

Insecto

46

24 36

36 X1 X2

8 m

6 m

x

7 m

5 m

x 8 m

5 m

Bloque II. Trazado y Angularidad: Elementos de la trigonometría plana.

Tema 1. Conceptos básicos de la trigonometría.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos de

elementos de las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y en los lados de los triángulos.

Relaciones trigonométricas

Ejemplo:

Hallar las funciones trigonométricas de los ángulos agudos, conociendo dos catetos.

El lado c se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras.

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2

𝑐 = √62 + 82 = 10

Trigonometría

PlanaEstudia los triángulos

rectilíneos construidos en los planos.

Del espacio o esférica

Estudia los triangulos esfericos, la superficie de una

esfera.

A

C

B

c 6

8

Para el ángulo B se utiliza una relación trigonométrica.

tan < 𝐵 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

8

6= 1.333

tan < 𝐵 = 1.333

B = arc tan (1.333)

B = 53.130 = 53° 7’ 48’’

Para el ángulo A se utiliza la misma relación trigonométrica pero con los catetos invertidos.

tan < 𝐴 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜=

6

8= 0.75

A = arc tan (0.75)

A = 36.869 = 36° 52’ 12’’

Ejercicio 1:

Halla lo que se te pide en cada caso, utilizando las funciones trigonométricas, para los ángulos, así como, sus lados

con el teorema de Pitágoras.

12

s

8

S

R T

C

24

H

h

F g

58°

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas, utilizando las razones trigonométricas.

1. Una persona empuja una carretilla con una fuerza de 38 kg y forma con el suelo un ángulo de 34°. ¿Cuál

será la fuerza horizontal que mueve la carretilla?

2. Un ingeniero construye una rampa de 125 metros de largo con una elevación de 25°. ¿Qué altura

alcanza sobre la horizontal?

3. Para calcular la altura de un edificio se midió la longitud de su sombra que proyectaba en el mismo

momento en que el ángulo de elevación del Sol era de 27°. ¿Qué altura tiene el edificio si la sombra

tenía una longitud de 134 metros?

4. Desde una altura de 4562 metros, el piloto de un avión alcanza a ver el aeropuerto con un ángulo de

depresión de 46° 23’. ¿Qué distancia deberá recorrer para volar sobre el aeropuerto?

48

x

y

X

Z Y

24°

Referencias bibliográficas

Acosta Sánchez R. Matemáticas II – Geometría y Trigonometría. Departamento de libros

de texto.

García Uribe L. M. 2012. Geometría y Trigonometría. Una creación de Uribe. Segunda

Edición. México.

Vázquez Peredo C. A. 2012. Matemáticas y Representaciones del Sistema Natural.

Primera Edición. SEP. México.