Rev. R. Acad. Cienc. Exact. Fis. Nat. (Espaa)

Vol. 103, N 2. pp 279-295. 2009

X Programa de Promocin de la Cultura Cientfica y Tecnolgica.

MATEMTICAS Y CIENCIA

Fernando Bombal

Introduccin.

Los matemticos han ganado la guerra. As comienza la pelcula Una Mente Mara-

villosa, inspirada en la vida del matemtico y Premio Nobel de Economa de 1994 John

Nash. Y contina el personaje: Han descifrado los cdi-

gos nazis y japoneses, han desarrollado la Bomba atmi-

ca... (y se podra aadir: han creado la investigacin ope-

rativa para "proporcionar a los departamentos ejecutivos

las bases cuantitativas para su decisin, en relacin con

las operaciones bajo su mando"1 , lo que incluye mtodos

para la deteccin de submarinos, estrategias para mejorar

los combates areos y navales, etc.; han desarrollado el

mtodo del simplex para resolver los problemas de logsti-

ca de los ejrcitos aliados, etc.). La afirmacin del perso-

naje de la pelcula parece ciertamente exagerada. Pero hace referencia a un hecho fun-

damental: Es evidente que las teoras cientficas, por muy incomprensibles que resul-

ten, repercuten de manera decisiva en los avances tecnolgicos que condicionan nues-

tro quehacer cotidiano. Vivimos en un mundo pseudo-mgico, rodeado de mecanismos

maravillosos, cuyo fundamento no conocemos ni comprendemos, pero los utilizamos.

Como dice el cientfico y escritor de Ciencia-Ficcin recientemente fallecido Arthur C.

1 Comentario al artculo Las Matemticas y el arte de la guerra, (F. W. Lanchester), incluido en el Vol. 6 de Sigma, el Mundo de las Matemticas ([19])

Clarke, Toda tecnologa suficientemente avanzada es indistinguible de la magia 2. Y

detrs de gran parte de esas Teoras cientficas, estn las matemticas presentes de una

u o

s, algunos

con el desarrollo de la Ciencia.

Ma

aseando a L. E. Aute, La ciencia es una estrategia para tratar de encontrar la

verd

, no es ade-

cuad

tra manera.

A lo largo de esta Conferencia tratar de mostrar, a muy grandes rasgo

ejemplos de esta relacin de las matemticas

temticas y Conocimiento Cientfico.

Parece claro que, cualquiera que sea la definicin que adoptemos, el objetivo bsico

de la Ciencia es la modelizacin de los distintos aspectos de la realidad en trminos

comprensibles, de modo que puedan utilizarse estos modelos para predecir hechos an

desconocidos y, eventualmente, descubrir mecanismos que permitan modificar el entor-

no. Parafr

ad.

Para desarrollar esta tarea (como cualquier otra actividad humana), hace falta un

lenguaje. Es cierto que todo lenguaje, producto del pensamiento, supone ya un proceso

de abstraccin y modelizacin del entorno, y contiene trminos aritmticos (los padres

deben poder reconocer y evaluar el nmero de sus hijos; los cazadores deben poder in-

formar del nmero y posicin de las presas, etc.) Pero el lenguaje natural desarrollado

por cada grupo de seres humanos para transmitir e intercambiar informacin

o para este fin. Como dice el famoso Fsico Matemtico Yuri Manin,

...este lenguaje natural es una herramienta extremadamente flexible para comuni-

car los factores necesarios para la supervivencia, para expresar las propias emociones

e imponer nuestra voluntad, para la seduccin y la conviccin y capaz de crear los ri-

cos mundos virtuales de la poesa y la religin. Pero el lenguaje natural no es el ms

adecuado para adquirir, organizar y continuar nuestra creciente comprensin de la

naturaleza... A partir de Galileo, Kepler y Newton, el lenguaje natural en las ciencias

qued relegado al papel de un intermediario de alto nivel entre el conocimiento cient-

fico (codificado bien en tablas astronmicas, frmulas qumicas, ecuaciones de la teor-

a cuntica de campos o bases de datos del genoma humano), y nuestro cerebro... Todo

lo que es esencial [para el discurso cientfico] se transmite... a travs de las matemti-

cas... Adems, en el proceso de su desarrollo interno... las matemticas crean, tambin,

2 Cita incluida en su libro Perfiles del Futuro. Investigacin sobre los lmites de lo posible. Biblioteca Universal Caralt, 1977.

mundos virtuales de gran complejidad y belleza, que desafan cualquier intento de ser

desc

ne objetivos propios, independientes de su papel como auxiliar de las

dem

e que el texto inicial contiene

un c hace explcito.

rincipio:

La

el mundo real est controlado por leyes que el

hom

e la Filosofa y las Matemticas primero, y de la Ciencia en sentido moderno

desp

ritos en lenguaje natural...([15])

Este largo prrafo resume muy acertadamente el papel de las matemticas como

lenguaje cientfico. Pero tambin apunta a que las matemticas son algo ms que un

mero lenguaje: tie

s Ciencias.

Como seala el mismo autor ms adelante, las matemticas como lenguaje tienen

una propiedad peculiar: a partir de un texto matemtico inicial y a travs de un juego

formal con las leyes propias de esta ciencia, se obtiene como output un texto ma-

temtico que contiene nuevos conocimientos. Podra decirs

onocimiento implcito que el proceso

Pero comencemos por el p

aparicin de la Ciencia.

Esta nocin de la Ciencia como instrumento para conocer y controlar la realidad, se

origin en Grecia. La posibilidad de desarrollar este planteamiento se basa en una im-

portante hiptesis de partida: la de que

bre puede comprender y conocer.

Esta idea, asumida tcitamente por los escpticos pensadores griegos de alrededor

del siglo VI a. de C., es la causante de la gran revolucin ideolgica que condujo al na-

cimiento d

us.

Los filsofos griegos, en su bsqueda de la naturaleza de la realidad, descubrieron

que las apariencias son engaosas y pueden llevar a conclusiones falsas, por lo que tra-

taron de encontrar un mtodo perfecto de razonamiento. Para ello, observaron con sor-

presa que los objetos matemticos, nmeros y figuras, que usaban los egipcios y babilo-

nios desde tiempo inmemorial, eran tan ontolgicamente simples que el estudio de sus

propiedades verdaderas era mucho ms sencillo que las del mundo real, y este estudio

poda servir de modelo o ensayo para encontrar los mtodos de razonamiento deseados.

Aparecen as las Matemticas como un instrumento para la bsqueda de una explica-

cin verdadera de la realidad. Esta es probablemente la razn de la aproximacin a las

matemticas de hombres como Tales o Pitgoras. Los enunciados de los teoremas ge-

omtricos de Tales seguramente haran sonreir a los matemticos" egipcios y babilo-

nios por su simplicidad y falta de utilidad, pero tienen el carcter de verdades absolutas,

est

atemticos, se obtenan resultados con un grado de cer-

teza

no es aritmtica y los objetos matem-

tico

tas

apo

n hacer ver o poner

en e

n demostrados, y siguen siendo ciertos ahora, despus de ms de 2.000 aos.

Los primeros mtodos de demostracin de los griegos estaban basados en razona-

mientos visuales, especialmente adaptados a los primeros estudios sobre Geometra, la

ciencia de lo que se ve, y a la aritmtica pitagrica, esencialmente discreta. No se trataba

de un mtodo especial para tratar los objetos matemticos, sino del mismo mtodo em-

prico utilizado para analizar la realidad fsica, pero que al aplicarlos sobre los objetos

tan puros y simples como los m

irrefutable.

A comienzos del siglo V A. de C., los Pitagricos haban obtenido y desarrollado

una gran cantidad de resultados sobre la geometra del tringulo y otras figuras geom-

tricas. En particular, desarrollaron una eficaz Teora de Proporciones que permita rela-

cionar entre s diversas magnitudes geomtricas y dar una descripcin de las mismas. La

Filosofa pitagrica parta de la asuncin de que todo objeto estaba formado por una

coleccin de tomos individuales e indivisibles (recurdese la afirmacin de que todo es

nmero). En particular, dos magnitudes geomtricas anlogas eran siempre conmensu-

rables, es decir, exista una unidad de medida comn para ambas. De este modo, las dos

magnitudes estaban en la misma relacin que los correspondientes mltiplos de la uni-

dad de medida comn. Esta teora permita visualizar fcilmente los razonamientos ge-

omtricos, convirtindolos en muchos casos en problemas aritmticos. Por ello el des-

cubrimiento a mediados del siglo V de la existencia de segmentos inconmensurables

(como el lado y la diagonal del cuadrado o del pentgono regular), supuso un verdadero

terremoto. Todas las demostraciones basadas en la teora de proporciones pitagricas

quedaban en principio invalidadas!. la geometra

s, no eran tan simples como se pensaba.

Para agravar las cosas, por esa poca aparecen las aporas de Zenn de Elea, una

serie de brillantes experimentos mentales para demostrar que la existencia de una plura-

lidad de objetos o el movimiento conduce a contradicciones lgicas. La base de es

ras est en la introduccin de procesos infinitos en esos experimentos mentales.

Esta crisis de fundamentos hizo cuestionar la seguridad del mtodo seguido para

demostrar las propiedades de los objetos matemticos, consistente e

videncia que tales resultados eran necesariamente verdaderos.

Y as, en algn momento de la segunda mitad del siglo V a. de C. un grupo de pen-

sadores griegos establecieron un nuevo mtodo para el descubrimiento de la verdad: el

mtodo axiomtico-deductivo, que es esencialmente el mismo que usamos hoy: a par-

tir de unas pocas verdades evidentes (o axiomas, como las llamaron los griegos), se tra-

ta, a travs de una serie de etapas muy simples, de obtener una cadena de afirmaciones,

con la propiedad de que una cualquiera de ellas es verdadera con toda seguridad si lo

son todas las anteriores. A las leyes que rigen la forma correcta de pasar de un escaln a

otro de la cadena, se las llam mas tarde leyes lgicas o deductivas A estas cadenas de

afirm

pa, es decir, en la aplicacin de ese instrumento al conoci-

mie

(cuya ley descubri), la Hidrosttica (recordemos el principio de Arqumedes"),

aciones lgicamente correctas, los griegos las llamaron demostraciones.

Los pensadores griegos quedaron fascinados con el nuevo instrumento de investiga-

cin del conocimiento, y se dedicaron con ahnco a su estudio y desarrollo. Por una se-

rie de razones, que sera prolijo exponer aqu, no fueron muy lejos ni tuvieron demasia-

do xito en la siguiente eta

nto del mundo Fsico.

No obstante, algunos matemticos griegos no desdearon hacer incursiones en el

mundo de la Fsica y la Astronoma. Entre todos, destaca la figura gigantesca de Ar-

qumedes (287-212 a. de C.), uno de los mayores genios que han existido, quien, junto

a maravillosos descubrimientos matemticos, sent las bases de varias partes de la Fsi-

ca moderna: la Mecnica y la introduccin del concepto de fuerza, el estudio de la pa-

lanca

etc.

Y sus estudios no quedaron en meras descripciones tericas: el tornillo de Arqumedes,

un tornillo transportador, muy pronto sirvi para el riego artificial a gran escala. Sus

invenciones mecnicas durante el asedio de su ciudad natal, Siracusa, por las tropas

romanas en la Segunda Guerra Pnica, sembraron el terror entre los atacantes: Bastaba

que hubiera alguna actividad inusual en las murallas para que las tropas romanas huye-

ran despavoridas, pensando que se les vena encima algn nuevo invento del genial Ar-

qumedes en forma de lluvia de piedras, aceite hirviendo o fuego griego", el napalm de

la antigedad, o ingeniosas combinaciones de palancas y poleas que levantaban las na-

ves romanas y las arrojaban contra las rocas. De hecho, despus de dos aos de asedio,

la ciudad slo pudo ser tomada por la traicin de alguno de sus habitantes. Desgracia-

damente, y a pesar de las rdenes explcitas de Marcelo, jefe del Ejrcito romano, du-

rant

e una herramienta indispensable

para

ustancial de que el Universo est gobernado por una serie de le-

Un

del siglo XIII, sent

las b

e el saqueo subsiguiente pereci tambin Arqumedes. Era el ao 212 a. de C.

Adems de Arqumedes, no debemos olvidar las aportaciones de Eratstenes (276-

194 a. de C.) sobre el clculo del radio de la Tierra, o el grandioso trabajo de observa-

cin y clculo astronmico de Ptolomeo (hacia 85-165), recogido en una monumental

obra de 13 libros denominada Almagesto, esto es, el ms grande", por los rabes. En el

libro I del Almagesto se encuentra una tabla, correcta hasta el ltimo segundo, de todos

los arcos desde medio grado hasta 180 grados, que fu

todos los astrnomos de los mil aos posteriores.

A travs de esta aproximacin lgica y deductiva a la naturaleza, los Griegos obtu-

vieron una evidencia s

yes y posee un orden.

largo interludio hasta el Renacimiento

Con el establecimiento del Imperio Romano en el Mediterrneo, la cultura Griega

comienza un lento declive, refugindose principalmente en Alejandra, hasta su conquis-

ta por los rabes en el ao 641. Por otro lado, el colapso del Imperio Romano de Occi-

dente en el siglo V de nuestra Era llev a Europa a un largo perodo de oscuridad en el

aspecto cultural y cientfico. La herencia cultural griega fue conservada en parte y fi-

nalmente transmitida a Europa a travs del Imperio Bizantino primero y, sobre todo, de

los rabes. Finalmente, la asimilacin y aceptacin de la cultura griega y en particular

del pensamiento Aristotlico por parte de la Iglesia Catlica a partir

ases para el renacimiento intelectual en la cultura Occidental.

Este hecho tuvo tambin una importante consecuencia: La creencia griega en un

universo matemticamente diseado se contrapona a las ideas medievales acerca de la

omnipresencia de Dios y su accin constante sobre el Mundo. Como sntesis de ambas

concepciones surgi la doctrina de que el Dios cristiano haba diseado el universo ra-

cionalmente y de ah la gran importancia del descubrimiento de este diseo racional por

parte de la divinidad. La bsqueda de las leyes de la naturaleza se convirti as en una

ligiosa.

La

e estaba en con-

cord

d de stas, fue originando una serie cada vez mayor de dis-

crepancias con el modelo.

cuestin de afirmacin re

nueva Astronoma.

Uno de los ejemplos ms claros de este maridaje entre la concepcin griega de la

Naturaleza y la visin cristiana del mundo, se encuentra en la Revolucin astronmica

protagonizada por N. Coprnico y J. Kepler. Hasta el siglo XVI, la nica teora as-

tronmica aceptada por los astrnomos profesionales (y aplicada para el clculo de ca-

lendarios y la navegacin) era el sistema geocntrico de Ptolomeo, contenido en los

ltimos 12 libros del Almagesto. Como la mayora de los grandes pensadores de la anti-

gedad, Ptolomeo postul un universo esencialmente geocntrico, lo qu

ancia con la idea cristiana del Hombre como centro del Universo.

Bsicamente, en este esquema un planeta P recorre con movimiento uniforme un

crculo (epiciclo del planeta) cuyo centro S (en muchos casos el Sol, aunque en otros es

simplemente un punto matemtico para explicar las observaciones), se mueve a su vez

con velocidad constante sobre otro crculo de centro en la Tierra (llamado deferente).

Seleccionando apropiadamente los radios del epiciclo y el deferente, la velocidad del

planeta y la del centro del epiciclo, Ptolomeo pudo explicar los movimientos aparentes

de los planetas conocidos en bastante concordancia con las observaciones. Pero el au-

mento del nmero y calida

N. Copernico (1474-1543)

Para el tiempo en que Coprnico comenz a trabajar en un nuevo sistema astron-

mico, la teora Ptolomeica se haba vuelto mucho ms complicada. Ms y ms crculos

(hasta 77 en estas fechas) se haban tenido que introducir para adaptar la teora a las

nuevas observaciones.

Estudioso de los griegos y convencido de que el Universo estaba diseado armonio-

samente, Coprnico pensaba que deba existir una teora mucho ms simple que explica-

ra los hechos observables. Y efectivamente, Coprnico consigui un modelo mucho ms

sencillo, reduciendo el nmero total de ciclos de 77 a 34, con la modificacin sustancial

de que el sol era ahora el centro de cada deferente. De este modo, la tierra abandonaba

su posicin privilegiada de centro del universo para convertirse en un planeta ms mo-

vindose sobre un epiciclo. Hay que decir que ya Aristarco de Samos (310-239 a. de

C.) haba concebido un sistema similar, pero las dificultades originadas por una Tierra

en movimiento eran mayores que las ventajas, por lo que el modelo fue abandonado.

Coprnico recogi sus investigaciones en un libro notable, De revolutionibus orbi-

tum coelestium, pero fue lo bastante cauto como para retrasar la publicacin de sus ideas

hasta casi el final de sus dias. Para evitar la palmaria contradiccin de la nueva teora

con algunos pasajes literales de la Biblia, un clebre obispo luterano, A. Osiander

(1498-1552) incluy (al parecer sin el conocimiento de Coprnico) un prlogo a De

Revolutionibus en el que se adoptara una concepcin fenomenista de la ciencia: sta, y

en especial la Astronoma, no tendra ms que un fin: salvar las apariencias" (salvare

apparientias"), e.d., relacionar y ordenar las observaciones por medio de hiptesis de

trabajo que permitan calcular, prever y predecir, sin ninguna pretensin de encontrar las

causas ocultas. Las hiptesis en que se base el modelo, no deben pretender ser verdade-

ras, ni siquiera verosmiles, sino simplemente sencillas y convenientes para el clculo.

Esta postura no es nueva. Los mismos griegos eran conscientes de que puede explicarse

el mismo conjunto de fenmenos con hiptesis matemticas diferentes. En este caso, la

eleccin entre dos explicaciones alternativas (matemticamente equivalentes), debe

hacerse de modo que el modelo elegido sea el ms sencillo posible. Lo cierto es que esta

concepcin se fue extendiendo a toda la ciencia a partir del siglo XVII y se explicita

claramente a comienzos del siglo XIX, cristalizando en la corriente llamada convencio-

nalismo. Hasta tal punto est hoy vigente lo muestra la siguiente declaracin de S.

Hawking con ocasin del 25 aniversario de la creacin de los Premios Prncipe de As-

turias:

Una teora es tan slo un modelo matemtico para describir las observaciones, y

no tiene derecho a identificarse con la realidad, sea lo que sea lo que esto signi-

fique. Podra ser que dos modelos muy diferentes lograran describir las mismas

observaciones: ambas teoras seran igualmente vlidas, y no se podra decir

que una de ellas fuera ms real que la otra [El Pas, 13-04-2005, pg. 38].

La Iglesia Catlica no puso objeciones al principio a los distintos modelos matem-

ticos del cielo. As, el astrnomo jesuita C. Clavius (1538-1612) (principal responsable

de la reforma del Calendario juliano decidida en el Concilio de Letrn y que finalmente

tuvo lugar en 1582) acept sin reservas el modelo de Coprnico, por las ventajas para el

clculo y la prediccin, aunque declar que los axiomas en los que se basaba no tenan

realidad fsica. Los Protestantes presentaron una mayor oposicin a las tesis copernica-

nas. El mismo Lutero seal:

Algunos han prestado atencin a un astrlogo advenedizo que se esfuerza en

demostrar que es la Tierra quien gira y no el cielo o el firmamento, el Sol y la

Luna [...] Este loco anhela trastocar por completo la ciencia de la Astronoma,

pero las Sagradas Escrituras nos ensean que Josu orden al Sol, y no a la

Tierra, que se parara.

Por su parte, Calvino afirm: quin osar colocar la autoridad de Coprnico por

encima de la del Espritu Santo?

Sin embargo, pronto empez a extenderse la idea de la realidad del sistema de Co-

prnico, con lo que supona de contradiccin palmaria con pasajes literales de la Biblia.

El mismo Tycho Brahe contribuy a esta idea, al descubrir en 1572 una nueva estrella

en el cielo (al parecer, se trat de una supernova), que destrua la conviccin de la inmu-

tabilidad de los cielos. La trascendencia de la nueva teora para una nueva concepcin

del Universo en manos de abanderados como Giordano Bruno (detenido por la Inqui-

sicin en 1592, y posteriormente excomulgado y quemado en la hoguera en Roma en

1600 por defender la existencia de otros mundos anlogos a la Tierra en la vastedad del

Universo copernicano), hizo que la Inquisicin condenara en 1616 la teora copernicana

en los siguientes trminos:

La doctrina que asegura que el Sol est inmvil en el centro del mundo es

falsa y absurda, formalmente hertica y contraria a las Escrituras, mientras

que la doctrina que asegura que la Tierra no est en el centro del mundo, si-

no movindose y girando cada da, es filosficamente falsa y absurda y te-

olgicamente errnea.

Como consecuencia, De Revolutionibus fue incluido en el ndice de libros prohibi-

dos en 1616.

Aunque la teora Copernicana su-

pona un cambio revolucionario, se se-

guan manteniendo en ella dos suposi-

ciones bsicas de la teora de Ptolomeo:

los astros describen crculos y se mue-

ven a velocidad uniforme. El abandono

de estas hiptesis fue obra de un hombre

singular, J. Kepler (1571-1630).

Como Coprnico, Kepler era un

hombre profundamente religioso, y esta-

ba convencido de que el Universo haba

sido creado por Dios de acuerdo con

algn plan bello y simple. Por ello, al hacerse cargo de Profesor de Matemticas y Mo-

ral en la escuela del Seminario de Graz en 1594, se dedic de lleno a la bsqueda de ese

plan que explicara simple y satisfactoriamente los hecho observados. El porqu haba

J. Kepler (1571-1630)

exactamente seis planetas (los nicos conocidos en su tiempo) y la bsqueda de alguna

ley que explicara sus distancias sucesivas al sol le preocupaban sobremanera. En 1595

crey haber encontrado la solucin: los planetas describiran rbitas circulares en torno

al sol de acuerdo con el siguiente modelo:

La Tierra es la medida de todas las dems rbitas (y se representa por una

esfera). Ella circunscribe un dodecaedro: la esfera que contiene a ste, es la

de Marte. La rbita de Marte circunscribe un tetraedro; la esfera que lo con-

tiene es la de Jpiter. La rbita de Jpiter circunscribe un cubo; la esfera que

lo contiene es la de Saturno. Pon ahora en la rbita de la Tierra un icosaedro;

la esfera inscrita es la de Venus. En la rbita de Venus coloca un octaedro; la

esfera a l inscrita es la de Mercurio."

Kepler qued entusiasmado por la presunta revelacin del plan divino sobre la es-

tructura del Universo en trminos puramente geomtricos (los cinco slidos regulares

ms la esfera). Su obra Mysterium Cosmographicum le hizo clebre y conocido entre

los astrnomos y matemticos. Galileo le dio la bienvenida como compaero en la

investigacin de la verdad" y el eminente astrnomo dans Tycho Brahe (1546-1601),

a la sazn en Praga bajo la proteccin del emperador Rodolfo II, reconoci su talento y

le invit a visitarle. Kepler acept la invitacin y lleg a Praga a mediados de Octubre

de 1600. Y al ao siguiente, a la muerte de Tycho, fue nombrado matemtico Imperial

(aunque con bastante menos sueldo que el dans, y eso cuando se lo pagaban! Kepler

tuvo que dedicarse a la elaboracin de horscopos para poder mantener a su familia.)

Tras algunos problemas con los herederos de Brahe, Kepler pudo acceder a las ob-

servaciones registradas por Tycho. En vida, ste se haba mostrado renuente para sumi-

nistrar esos datos a Kepler, temiendo (con razn) que se sirviera de los mismos para

afianzar la teora copernicana, en lugar de su modelo (intermedio entre el de Ptolomeo

y el de Coprnico: Los planetas giraban en torno al sol, pero el sol y la luna orbitaban

alrededor de una Tierra fija e inmvil, que as volva a recuperar su lugar de centro del

Universo: una verdadera pesadilla matemtica!) . Cuando finalmente pudo Kepler ac-

ceder a los registros de Tycho, pronto se convenci de la inexactitud de su teora, por lo

que se puso a la tarea de encontrar otra que explicara la abrumadora cantidad de preci-

sos datos de observaciones que tena ahora a su disposicin. Especial atencin prest a

las observaciones sobre la posicin de Marte, el planeta de rbita ms excntrica. De-

jemos hablar al filsofo de la Ciencia Thomas Kuhn (1922-1997):

Fue una labor inmensa, que ocup la mayor parte del tiempo de Kepler du-

rante cerca de 10 aos [] Se vio obligado una y otra vez a cambiar la com-

binacin de crculos que empleaba para calcular las rbitas [] Una larga

serie de infructuosos ensayos convenci a Kepler de que ningn sistema fun-

damentado en una composicin de crculos poda resolver el problema. La

clave deba estar en alguna otra figura geomtrica.[]

Despus de clculos tremendamente laboriosos (recordemos que an no se emplea-

ban los logaritmos) y ensayar todo tipo de rbitas circulares para la Tierra y Marte,

Kepler repar, por puro azar, en que las discrepancias entre las tentativas tericas y las

observaciones variaban con una regularidad matemtica. Y entonces tom una decisin

revolucionaria: Primero, abandon la idea de un movimiento uniforme, y ensay un

modelo en el que Marte describa un crculo excntrico en torno al sol, con un veloci-

dad variable, inversamente proporcional a la distancia al sol. Con sorpresa, descubri

que ahora las reas barridas por un radio vector que uniera Marte con el Sol eran uni-

formemente proporcionales a los tiempos (esta es la segunda ley de Kepler) y los

datos se ajustaban a las observaciones (dentro de los mrgenes de error razonables). En

cuanto a la forma de la rbita, al abandonar la forma circular, los clculos se complica-

ban extraordinariamente. Finalmente Kepler, probablemente inspirado por sus lecturas

de los gemetras griegos, ensay con una elipse, colocando al Sol en uno de sus focos.

Y, de repente, todos los datos concordaban a la perfeccin: se verificaba la ley de las

reas y las posiciones se ajustaban a la perfeccin con las observaciones de Tycho! As

qued establecida la Primera Ley de Kepler: los planetas describen elipses en las que

el Sol ocupa uno de los focos.

Primera Ley de Kepler

Segunda Ley de Kepler

En la Astronomia Nova, aparecida en 1609, se recogen estas dos Leyes. La tercera

Ley que establece que el cuadrado del perodo de revolucin de un planeta es

proporcional al cubo del semieje mayor de su rbita elptica, la descubri Kepler, tras

innumerables ensayos, en 1618, y apareci publicada en su obra Harmonices Mundi, en

1619. la descubri Kepler, tras innumerables ensayos, en 1618.

La Revolucin Cientfica.

El modelo de Kepler, fruto como hemos visto de innumerables ensayos y pruebas,

es paradigmtico de los modelos empiristas en la ciencia. El modelo era sugerente y

explicaba muchos problemas. Pero su rpida popularidad, a pesar de la oposicin de la

Iglesia, se debi en gran parte al trabajo del gran iniciador de la Revolucin Cientfica

en marcha: Galileo Galilei (1564-1642). Galileo es un verdadero hombre del Renaci-

miento. Recibi una esmerada educacin y pronto se dedic a la investigacin y la en-

seanza, alcanzando rpidamente una muy buena reputacin.

La invencin del telescopio por Galileo a comienzos del siglo XVII vino a suponer

un apoyo decisivo para las nuevas teoras astronmicas. A finales de 1609 dirigi su

mejor telescopio al cielo y comenz una serie de

descubrimientos que cambiaron la imagen del

mundo. Galileo describi montaas en la Luna,

cuatro satlites en torno a Jpiter, fases en Venus

y manchas en el Sol. Todo ello indicaba que los

cuerpos celestes no eran en absoluto inmutables y

"divinos", como sostena Aristteles. De hecho,

sus observaciones proporcionaban una fuerte evi-

dencia a favor del modelo copernicano (y en con-

tra del de Tycho Brahe), incluyendo el movimien-

to de rotacin de la Tierra. En 1616 escribi la

Carta a la Gran Duquesa (se trataba de Cristina

de Lorraine) atacando las doctrinas de Aristteles

y defendiendo que el modelo copernicano no era un artificio matemtico, sino que des-

criba la realidad fsica.Tambin abogaba porque no se diera una interpretacin literal a

las Sagradas Escrituras, cuando stas contradecan la evidencia probada.

Galileo Galilei (1564-1642)

Como sabemos, en 1616 la teora de Coprnico fue condenada por la Iglesia. Gali-

leo fue advertido para que no continuara la defensa de esa teora. Por suerte para l, uno

de sus admiradores fue elegido Papa (Urbano VIII), y Galileo se apresur a dedicarle

su nuevo libro Il saggiatore (El Ensayista), aparecido en 1623, en el que describe lo que

debe ser el mtodo cientfico:

La Filosofa est escrita en ese gran libro que es el Universo Pero no pode-

mos entender el libro si antes no aprendemos el lenguaje en el que est escrito

y su alfabeto. Ese lenguaje es el de las matemticas, y sus caracteres son

tringulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin la cuales es humanamente

imposible entender una sola palabra de l

Galileo es uno de los mayores precursores de la gran Revolucin Cientfica que se

iba a iniciar en el siglo XVII y tuvo una influencia decisiva en los hbitos de los cient-

ficos posteriores. Galileo defiende que la Naturaleza est regida por una serie de

principios bsicos simples, que deben descubrirse por la experimentacin y la

induccin. Una vez descubiertos estos principios, debe encontrarse una descripcin o

modelo matemtico del fenmeno estudiado, que permita predecir hechos,

comprobables por medio de la observacin y experimentacin. Esta ltima parte y,

sobre todo, la necesidad de matematizar la Naturaleza, supona un cambio fundamental

con el aristotelismo vigente, y fue trascendental para la gran Revolucin Cientfica en

ciernes.

Las ideas de Galileo eran singularmente arriesgadas para aquella poca. En su Di-

logo sobre los dos mximos sistemas del mundo (es decir, la teora de Ptolomeo y la de

Coprnico), publicado en 1632, Galileo adopta la forma de una amable discusin entre

tres personajes para hacer una crtica feroz de muchas de las teoras vigentes e introdu-

cir su concepcin del mundo, con visiones completamente nuevas sobre la gravedad, el

movimiento en el vaco y, sobre todo, su percepcin de que las leyes cuantitativas que

rigen los movimientos acelerados deben poder deducirse lgicamente de una proporcin

matemtica simple. De esta manera, Galileo se separa de las teoras aristotlicas y es-

colsticas al uso, que trataban de buscar explicaciones causales y cualitativas a los fen-

menos.

El libro tuvo tanto xito que atrajo la atencin de la Inquisicin. Tras un proceso de

20 das, el 22 de Junio de 1632 un tribunal de siete cardenales declar absurda, falsa

en Filosofa y hertica la afirmacin de que el sol ocupa el centro del Universo y que la

Tierra no est inmvil en el centro del mundo. Despus de esto, Galileo tuvo que fir-

mar la frmula de abjuracin y oir la sentencia de reclusin en su casa. A pesar de su

amargura, continu trabajando infatigablemente, hasta su muerte en 1642. En 1638 pu-

blic un estudio sistemtico y revolucionario sobre el movimiento de los proyectiles,

que le llev a formular la ley de composicin de movimientos que, junto con sus ideas

sobre la gravedad, le permiti afirmar (correctamente) que la trayectoria era una par-

bola. De este modo se va confirmando el modelo matemtico de la Naturaleza: las cni-

cas: elipses, parbolas e hiprbolas, curvas inventadas por los gemetras griegos 2000

aos antes, en un contexto puramente geomtrico, aparecen ahora como parte del diseo

fundamental de la Naturaleza.

La influencia del pensamiento de Galileo fue muy grande entre los cientficos de la

poca, aunque, a la vista de la experiencia, la mayora tom buen cuidado en plantear

sus teoras como merashiptesis de trabajo", a semejanza del prlogo del obispo

Osiander a De Revolutiones de Coprnico, que ya hemos citado. Pero el mensaje de

Galileo cal hondo. As, comienzan a desarrollarse una gran cantidad de nuevas tcnicas

matemticas: la teora de los indivisibles para el clculo de volmenes (Cavalieri, Ke-

pler...), las tcnicas de clculos de tangentes de Fermat y Descartes, la Geometra Ana-

ltica, etc. que permitieron enriquecer y fortalecer en gran medida el lenguaje" necesa-

rio para leer la Naturaleza, segn el programa propuesto por Galileo.

Pero el paradigma de la Revolucin Cientfica en marcha es, sin duda, Isaac New-

ton (1642-1727) y su obra Philosophiae naturalis Principia Mathematica o Principia,

como se conoce habitualmente. Esta obra, publicada en 1687 consta de 3 libros, los dos

primeros titulados Sobre el movimiento de los cuerpos y el tercero Sobre el Sistema del

Mundo y es una de las obras cumbre de la Ciencia. Newton trata de encontrar un mode-

lo matemtico riguroso que le permita explicar todos los fenmenos del movimiento a

partir de unos pocos principios.

Los descubrimientos matemticos, imprescindibles para el desarrollo de su obra, los

fue obteniendo Newton a lo largo de toda su vida, y constituyen una de las mayores

aportaciones al desarrollo de la Matemtica desde los tiempos de Arqumedes. Su M-

todo de las fluxiones, o lo que es lo mismo, el Clculo Diferencial, es la herramienta

bsica para la formulacin de los modelos de las Ciencias de la Naturaleza hasta bien

entrado el siglo XX (y todava lo sigue siendo en reas muy grandes de la misma). La

estrategia es realizar un Anlisis del fenmeno estudiado a nivel infinitesimal, utilizan-

do las leyes que lo rigen, para obtener una ecuacin diferencial que relaciona las varia-

bles relevantes. Los mtodos del clculo permiten obtener una solucin de esa ecuacin

que describir totalmente el fenmeno a nivel macroscpico en funcin de las variables

elegidas.

Sin embargo, hay que decir que en los Principia aparecen estos mtodos somera-

mente recogidos en la Seccin 1 del Libro I y en trminos muy geomtricos (probable-

mente, para evitar controversias).

En este Primer Libro, Newton introduce 8 definiciones, entre las que se encuentran

las de fuerza, inercia, masa y cantidad de movimiento y su famoso escolio sobre trmi-

nos de todos conocidos": tiempo, espacio y movimiento. Despus enuncia sus famosas

Tres Leyes del movimiento. Finalmente, incluye 6 Corolarios que contienen las leyes

de composicin de velocidades y fuerzas, entre otros hechos destacados. Con la sola

ayuda de estas definiciones y leyes, Newton obtiene una enorme cantidad de demostra-

ciones matemticas relativas al movimiento de los cuerpos.

En el libro segundo de los Principia se estudia el movimiento de un cuerpo en un

medio resistente, con distintas hiptesis sobre la resistencia ofrecida. Estudia la propa-

gacin de las ondas, comienza el estudio de los fluidos viscosos, etc.

La culminacin de los Principia la constituye el tercer libro, en el que se establece

la teora de la Gravitacin Universal. El gran triunfo del Sistema del Mundo" de

Newton es la demostracin de las 3 leyes de Kepler, obtenidas como vimos tras largos

aos de observacin, ensayo y error, y que aparecen ahora como consecuencia sencilla

de la Ley de Gravitacin y las tres leyes del movimiento.

Newton estudia tambin el movimiento de los satlites alrededor de un planeta; fija

la densidad de la Tierra entre 5 y 6 (valor admitido actualmente: 5,5) y a partir de aqu

deduce las masas de los planetas y del sol en relacin con la de la Tierra. Calcula el

achatamiento producido por la rotacin de la Tierra; explica por primera vez la prece-

sin de los equinoccios; estudia la variacin del peso con la latitud; justifica las rbitas

descritas por los cometas y, finalmente, sienta las bases de la teora de las mareas por la

atraccin combinada del Sol y la Luna. En fin, todo un compendio de resultados, dedu-

cidos matemticamente a partir de unos cuantos principios simples.

La Matematizacin de las Ciencias Fsicas.

La obra monumental de Newton abri a la Humanidad la visin de un nuevo orden

en el mundo: un universo controlado por un pequeo nmero de principios fsicos ex-

presables nicamente en trminos matemticos. Un esquema majestuoso que abarcaba

desde la cada de una piedra hasta el movimiento de los planetas y las mareas. El es-

quema newtoniano fue decisivo para convencer al mundo de que la naturaleza est regi-

da por leyes matemticas.

A lo largo del siglo XVIII, los cientficos (a su vez la mayora matemticos), siguie-

ron con empeo el plan de Newton de matematizacin de la Naturaleza. Y ciertamente

se obtuvieron logros espectaculares en esta direccin, que sirvieron a su vez para con-

firmar las visin Newtoniana del mundo. Entre ellos, podemos citar:

La prediccin del regreso y posicin aproximada del cometa Halley (descubierto

en 1682), realizada por A. C. Clairaut (1713-1765) en una sesin de la Academia de

Ciencias de Paris. Clairaut anunci la aparicin del cometa cerca del sol para mediados

de abril de 1759. El cometa apareci un mes antes de lo anunciado, pero la hazaa resul-

taba enorme, teniendo en cuenta que slo se dispona de las observaciones realizadas

durante unos pocos dias 77 aos antes.

La confirmacin experimental del achatamiento polar de la Tierra, predicha por

Newton y Huygens, como consecuencia de las mediciones del arco de meridiano en

Per y Laponia.

El descubrimiento del planeta Neptuno. Aunque realizado en 1846, el descubri-

miento est enteramente basado en el trabajo matemtico del siglo XVIII. En 1781, el

astrnomo W. Herschel (1738-1822) descubri el planeta Urano, utilizando un potente

telescopio. Pero la rbita de Urano no se comportaba de acuerdo a las predicciones.

Otro astrnomo, A. Bouvard (1767-1843), conjetur que las anomalas se deban a la

presencia de un planeta desconocido. Se hicieron multitud de intentos para localizar al

nuevo planeta, hasta que el joven astrnomo francs J. Leverrier (1811-1877) culmin

un impresionante trabajo de clculo y habilidad matemtica y envi al astrnomo ale-

mn J. Galle (1812-1910) el 23 de Septiembre de 1846 los datos de la rbita del nuevo

planeta, calculada a partir de las perturbaciones observadas en la rbita de Urano. Galle

descubri Neptuno a slo 55 minutos de arco de la posicin predicha por Leverrier.

La formulacin por P. L. M. de Maupertuis (1698-1759) del Principio de M-

nima Accin, clarificado y generalizado por Lagrange, permiti unificar mtodos y de-

ducir soluciones para muchos problemas de la Mecnica. La herramienta matemtica

bsica para la aplicacin de este principio es el Clculo de Variaciones, uno de los gran-

des motores del desarrollo del Anlisis desde el siglo XVIII.

El inters general hacia las Ciencias de la Naturaleza y el xito de los modelos ma-

temticos para su descripcin hacen que durante el siglo XVIII y las primeras dcadas

del siglo XIX una parte importante de los desarrollos matemticos estn dirigidos a su

aplicacin a la mecnica o a la fsica en general. Y, obviamente, haba razones impor-

tantes para ello, pues un mejor y mayor conocimiento en el funcionamiento de los pro-

cesos de la Naturaleza poda tener importantes repercusiones en la tecnologa, la indus-

tria y, en definitiva, el aumento de poder econmico y poltico. Sin embargo, esta expli-

cacin utilitaria", probablemente bastante acertada a partir del ltimo cuarto del siglo

XVIII, es, como seala S. Bochner, demasiado simplista, ya que

... Parece imposible encontrar una explicacin sociolgica de por qu en el siglo

XVIII (y slo en este siglo), con un desarrollo industrial incipiente y muy poca atencin

a la verificacin experimental, se produjo esa fusin casi perfecta entre matemticas y

mecnica, con enorme beneficio para ambas y para toda la fsica y tecnologa por ve-

nir... ([Bo, pg. 7])

Como consecuencia de este maridaje, a partir del ltimo tercio del siglo XVIII, la

mayor parte de las Academias e Instituciones cientficas organizaron multitud de con-

cursos para la resolucin de problemas surgidos en el mundo de las aplicaciones: desde

el diseo de cascos de buques hasta la creacin de mejores modelos matemticos para

entender la transmisin de la luz o el calor.

La percepcin de que las matemticas son una herramienta imprescindible para la

consolidacin de otras ciencias fue ampliamente aceptada y sirvi como base para su

institucionalizacin como ciencia independiente. Un ejemplo tpico de esta opinin pre-

dominante lo encontramos en las palabras del astrnomo J. Zech (18921-1864):

...Creo que no se puede rechazar al menos la posibilidad de que todo lo que es

aprehendido por nuestros sentidos pueda calcularse matemticamente. La razn de que

sto no haya ocurrido todava no reside en las limitaciones de las matemticas, sino en

las de las ciencias naturales, que todava no han progresado lo suficiente en el conoci-

miento de las causas que yacen tras los fenmenos observados...

En consecuencia, durante la primera mitad del siglo XIX gran parte de la matemti-

ca que se produce tiene su motivacin en las aplicaciones. Sin embargo, hay que hacer

notar que esta matemtica prctica" fue desarrollada por hombres como Cauchy, Fou-

rier, dAlembert, Euler, Lagrange, Poisson, Laplace, Gauss, Jacobi, Hamilton, etc.,

que nadie dudara en colocar entre los matemticos puros" . De hecho, la mayor parte

de las teoras desarrolladas por estos arquitectos" de la mecnica y la ingeniera, sur-

gieron de un proceso de abstraccin matemtico, con muy poco que ver con una expe-

rimentacin directamente planificada, a diferencia de los modelos matemticos de los

fsicos tericos" de un siglo ms tarde, como Gibbs, Boltzmann o Plank, creados pre-

cisamente para explicar convincentemente una diversidad de hechos experimentales.

El Siglo XX: Luces y Sombras.

Por supuesto que, como hemos dicho, no toda la matemtica desarrollada en los si-

glos XVII y XVIII, ni siquiera la producida por los matemticos que se distinguieron en

Fsica o en Mecnica, fue originalmente desarrollada con un fin concreto. Ya a media-

dos del siglo XIX, la matemtica se hizo completamente independiente de la Mecnica

y la Fsica en general, lo que no obsta para que estas ciencias siguieran siendo, directa o

indirectamente, el origen de una parte importante de las matemticas desarrolladas en la

poca. Sin embargo, una y otra vez, muchos de los resultados absolutamente abstractos,

obtenidos sin una motivacin prctica aparente, han resultado decisivos para la formula-

cin y desarrollo de algunas de las ms importantes teoras cientficas. Ya hemos sea-

lado el caso de las cnicas en la formulacin del modelo astronmico de Kepler. Pero

tambin esto se puede aplicar a dos de los considerados ms grandes descubrimientos

del siglo XX: la Teora de la Relatividad y la Mecnica Cuntica.

A finales del siglo XIX, la Mecnica clsica creada por Newton, complementada

por la Electrodinmica clsica (finalizada por J. C. Maxwell (1831-1879)), proporcio-

naban un marco totalmente satisfactorio para la comprensin del mundo macrocsmico.

A comienzos del siglo XX, con el aumento de precisin en los instrumentos de medida

y la posibilidad de realizar experimentos ms y ms complejos, los fsicos empiezan a

estudiar fenmenos en condiciones poco usuales: a velocidades muy altas o a escala

microscpica. Y es entonces cuando empiezan a surgir discrepancias con las prediccio-

nes suministradas por la Fsica clsica, lo que motiv una profunda revisin de sus fun-

damentos y dio origen a las dos grandes teoras fsicas de este siglo: la Teora de la Re-

latividad y la Mecnica Cuntica. La primera trata de explicar con precisin los fen-

menos que ocurren a altas velocidades (prximas a la de la luz), mientras que la segunda

intenta describir los acontecimientos que tienen lugar a escala atmica.

.1 La Teora de la Relatividad.

La Teora Especial de la Relatividad, aunque tremendamente atrevida y revolucio-

naria en sus postulados fsicos, no requiere matemticas especialmente innovadoras; de

hecho, algunos historiadores han sostenido que esta Teora est en germen implcita en

la obra de Poincar y Lorentz. Sin embargo, su desarrollo y sus implicaciones ms sor-

prendentes estn indisolublemente ligadas al

nombre de Albert Einstein (1879-1955).

La Teora de la Relatividad Especial resul-

ta una consecuencia absolutamente lgica del

principio de la invariancia de las leyes fsicas

para todos los observadores inerciales (princi-

pio de Galileo), junto al axioma de la constan-

cia de la velocidad de la luz en el vaco. Pero

en este esquema no tiene cabida la Gravedad,

que parece propagarse a velocidad infinita. A

partir de 1911, Einstein dirigi sus esfuerzos a

integrar en su teora especial los efectos de la

gravitacin, tratando de explicarlos por medio

de una estructura geomtrica en el espacio-tiempo que obligara a los objetos a despla-

zarse en la forma prevista por la teora de la gravitacin de Newton. As surgi la Teora

General de la Relatividad (1915), que todo el mundo reconoce que es una creacin ori-

ginal y genuina de Einstein.

En los primeros intentos, el formalismo matemtico empleado por Einstein era bas-

tante elemental y clsico, y los resultados no fueron muy prometedores. Precisamente

entonces, un matemtico conocido suyo, Pick, dirigi su atencin a los trabajos de Ric-

ci y Levi-Civita en una abstracta parcela de la Matemtica pura, la Geometra Riema-

niana. Einstein comenz a estudiar esos trabajos, con la ayuda de su amigo y compaero

de la poca escolar M. Grossman, y descubri que constituan precisamente el aparato

matemtico adecuado que necesitaba.

La formulacin de la Teora General de la Relatividad en trminos de espacios

curvos" y geometra Riemaniana (no eucldea) se hizo ya inseparable de la misma. Co-

mo tantas otras veces, este hecho atrajo la atencin de los matemticos hacia esta teora,

lo que impuls su inters y desarrollo dentro del mbito de las matemticas puras". A

su vez, los fsicos comenzaron a interesarse en este campo de la matemtica, lo que les

llev a aproximarse a reas como la topologa y a intensificar el contacto con la geo-

metra diferencial.

2 La Mecnica Cuntica.

La Mecnica Cuntica, como hemos dicho, surge para explicar las discrepancias

con lo predicho por la Fsica clsica a nivel microcsmico. A diferencia de la Teora de

la Relatividad, centrada en la obra de un slo hombre, la Mecnica Cuntica es una obra

colectiva, aunque plagada de protagonistas sobresalientes (entre ellos tuvo un papel des-

tacado el mismo Einstein). La historia comienza cuando M. Planck (1858-1947), para

explicar el problema de la radiacin del cuerpo negro, postula que la energa emitida

por cada oscilador atmico slamente puede surgir en cantidades discretas,

2 3h h h , , , donde h es una constante universal (constante de Planck) y es la fre-

cuencia intrnseca del oscilador radiante. Del mismo modo, N. Bohr (1885-1962) para

explicar el espectro discreto de emisin del tomo de hidrgeno, tuvo que postular en

1913 que los electrones excitados no podan existir en cualquier estado, sino slo en

aquellos en los que su momento cintico tomara los valores discretos 2 2h h2 / ,/ , .

Otros ejemplos de estos efectos cunticos se fueron descubriendo a lo largo del primer

cuarto de este siglo.

La cuantizacin de las variables fsicas conlleva aceptar que, a nivel microcsmico,

los fenmenos tienen lugar de manera esencialmente discontinua e imprevisible. Las

implicaciones de este hecho iban a hacer tambalear las ideas previas sobre la realidad

fsica y, en ltimo trmino a negar el Principio de Causalidad (entendido como la posi-

bilidad de predecir el estado futuro de un sistema fsico con una probabilidad tan cerca-

na a 1 como se quiera.)

La inevitable interaccin del observador con el hecho observado lleva al Principio

de Complementariedad de N. Bohr, que establece la imposibilidad de realizar una des-

cripcin causal (en trminos de transferencia de energa o momento) de los fenmenos

atmicos que sea a la vez una descripcin espacio temporal (en trminos de posicin),

ya que ambas requieren disposiciones experimentales mutuamente excluyentes. Sin em-

bargo, ambas descripciones, son necesarias para la comprensin del fenmeno. La cuan-

tificacin de este principio conduce al principio de incertidumbre, formulado por prime-

ra vez por W. Heisenberg en 1926, una de cuyas consecuencias es la dualidad onda-

partcula tan tpica del mundo microfsico: las partculas subatmicas se nos aparecen a

veces como diminutas balas tremendamente veloces, y otras veces presentan fenmenos

de difraccin e interferencia propios de las ondas, dependiendo de la disposicin expe-

rimental que empleemos.

Una vez ms, la Fsica se enfrentaba al dilema de elegir entre dos concepciones

contradictorias, cada una de las cuales pareca igualmente demostrable por las observa-

ciones. Intentar resolver esta serie de hechos confusos y a veces contradictorios condujo

a un cambio radical de la imagen de la realidad microfsica: el comportamiento de las

cosas a escala microcsmica es, simplemente, distinto al que estamos habituado. Un

tomo no se comporta como un muelle oscilando, ni como un sistema solar en miniatu-

ra, ni como algn tipo de nube rodeando un ncleo (por citar alguna de las imgenes

habituales). Sin embargo, al menos podemos decir que, en este aspecto, todas las part-

culas subatmicas se comportan igual. En palabras del fsico y Premio Nobel R. Feyn-

man (1918- 1988), todas estn chifladas, pero exactamente de la misma manera.

En la actualidad, la Fsica Moderna parece haberse instalado confortablemente en el

convencionalismo: las teoras proporcionan descripciones y predicciones cada vez ms

exactas de los hechos observados, sin pretender encontrar una explicacin ltima de la

realidad. A este respecto es quiz paradigmtica la reflexin que hace el ya citado R.

Feynman a cuenta de la discusin del conocido experimento para detectar o bien la

energa o bien la posicin de los electrones que pasan a travs de una pantalla con dos

agujeros. Como es bien sabido, en el primer caso los electrones se comportan como on-

das, y en el segundo caso como partculas. Dice Feynman:

La cuestin es saber cmo funciona realmente. Qu mecanismo es el causante de

todo esto? Nadie sabe de ningn mecanismo. Nadie puede dar una explicacin del fe-

nmeno ms profunda que la que yo he dado; o sea, una mera descripcin La formu-

lacin matemtica puede hacerse ms precisa Pero el misterio profundo es el que

acabo de describir y, en la actualidad, nadie puede ir ms al fondo. [Fe: Cap. 6]

Ya hemos citado anteriormente la opinin de S. Hawking al respecto, con ocasin

del 25 aniversario de los Premios Prncipe de Asturias.

Pero volvamos a nuestro tema: A diferencia de otras teoras fsicas, los modelos

matemticos propuestos para desarrollar la Mecnica Cuntica fueron muy diversos. En

muchos casos, las matemticas empleadas eran claramente insatisfactorias y en absoluto

rigurosas. Las formulaciones ms conocidas son la Mecnica de Matrices de Heisen-

berg y la Mecnica Ondulatoria de Schrdinger.

El mismo Schrdinger se encarg de encontrar lo que llam una identidad ma-

temtica formal" entre ambas formulaciones. Esencialmente se trataba de una regla for-

mal que permita trasladar toda ecuacin de la mecnica ondulatoria a una ecuacin de

la mecnica matricial, y un recproco parcial. La unificacin de ambas teoras, sin em-

bargo, se produjo en 1927 como consecuencia del trabajo de un matemtico, J. Von

W. Heisenberg (1901-1976) E. Schrdinger (1887-1961)

Neumann (1903-1957), trabajando a la sazn bajo la direccin del gran D. Hilbert

(1862-1943).

El problema resida en la bsqueda de una analoga formal entre el espacio discre-

to" Z de los valores de los ndices de las matrices que aparecan en la teora de Heisen-

berg, y el espacio de la variable continua" de las ecuaciones de Schrdinger. Como

seala Von Neumann, ... no es de extraar que esto no pueda lograrse sin cierta vio-

lencia sobre el formalismo y la matemtica: los espacios Z y son verdaderamente

muy distintos, y toda tentativa de ponerlos en relacin debe chocar con grandes dificul-

tades.". El descubrimiento innovador de Von Neumann fue percatarse de que, si bien Z

y son muy distintos, los espacios de funciones reales sobre ellos que intervienen

en la Mecnica Cuntica son esencialmente los mismos. En efecto, a las sucesiones

que aparecan en la Mecnica de matrices habitualmente se les impona la condicin de

normalizacin

2 1nx = , mientras que las funciones de la Mecnica ondulatoria

deban cumplir 2 1 = , tras su interpretacin como densidades de probabilidad. Esto sugiri a Von Neumann limitar el mbito de las sucesiones o funciones aceptables en

ambas teoras a lo que hoy conocemos como los espacios

2 1 2

2 { ( ) y ( )n n nx x C x/= = : = < }x x

y

1 2

2

2( ) { es medible Lebesgue y }L C

/

= : : = <

Estos espacios, que Von Neumann design por ZF y F , respectivamente, haban

sido introducidos por Hilbert y Lebesgue alrededor de 1906, y constituyen los primeros

y ms importantes ejemplos de los llamados Espacios de Hilbert. Lo interesante es que

en 1907, independientemente, los matemticos F. Riesz y E. Fischer haban probado

que ambos espacios son isomorfos e isomtricos, es decir, idnticos desde el punto de

vista estructural.

De esta manera, la equivalencia de la mecnica de matrices y la mecnica ondulato-

ria resulta una consecuencia lgica del hecho de que ambas son slo diferentes repre-

sentaciones matemticas de las mismas relaciones abstractas.

Como vemos, de nuevo una herramienta matemtica desarrollada en otro contexto,

resuelve un problema fundamental para la formulacin de una teora fsica. Como en el

caso de la Teora de la Relatividad, este xito impuls enormemente la teora de espa-

cios de Hilbert y la teora de Operadores (que en el modelo de Von Neumann represen-

tan los observables de un sistema fsico).

Otro ejemplo de matemticas prefabricadas" lo podemos encontrar en la teora de

ondas de choque. La necesidad de una tal teora se hizo urgente en los aos 1940, con la

aparicin de la fisin atmica, y result que ya exista todo un libro que contena el

mejor estudio sobre el tema!. El libro, titulado Lecons sur la propagation des ondes

haba sido escrito en 1903 por el eminente matemtico francs J. Hadamard (1865-

1963), e inmediatamente se convirti en libro de referencia para los especialistas en

fisin atmica 40 aos despus de su aparicin!.

Del mismo modo, el trabajo de G. Boole (1815-1864) y su obra Laws of Thought

result crucial como base para el inicio de la Teora Redes y de la Informacin. Y que

decir de la Teora de Grafos, indispensable hoy en da en materias como Diseo de Cir-

cuitos, Mquinas Finitas o Redes Neuronales, y que se inici en 1736 con la solucin

dada por L. Euler (1707-1783) del famoso problema de los siete puentes de Knisberg.

Luces y Sombras.

Los ejemplos anteriores, a los que podramos aadir muchos otros, muestran lo que

el Premio Nobel en Fsica Eugene Wigner llam la irrazonable efectividad de las ma-

temticas en las ciencias naturales". En sus propias palabras ([17])

El milagro de la adecuacin del lenguaje de las matemticas para la formulacin

de las leyes fsicas es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Deberamos

estar agradecidos por ello, con la esperanza de que de que contine siendo vlido en el

futuro y que se extienda [...] a otras ramas del conocimiento.

En el mismo sentido se expresa N. Bourbaki (pseudnimo de un grupo de matem-

ticos, en su mayora franceses, de gran influencia en el desarrollo de la matemtica mo-

derna) (vase [2]):

Que existe una relacin ntima entre los fenmenos experimentales y las estructuras

matemticas parece confirmarse plenamente de la forma ms inesperada mediante los

descubrimientos ms recientes de la fsica contempornea. Pero no sabemos absoluta-

mente nada sobre los fundamentos de este hecho (suponiendo que se pudiera encontrar

realmente significado a estas palabras) y tal vez no lleguemos a saber nunca sobre ello.

En el carcter deductivo y (aparentemente) irrefutable de las Matemticas es donde

reside probablemente gran parte del xito de las mismas como lenguaje universal de la

Ciencia, primero en el campo de las ciencias fsicas y, a partir de este siglo, en todos los

mbitos, incluidas las ciencias sociales, la lingstica, la biologa, la medicina e incluso

el arte. Y sin embargo esta idea de que las Matemticas eran el reino de la verdad irrefu-

table y gozaban de unos cimientos slidos e inamovibles, hace tiempo que ha sido

abandonada por los mismos matemticos, que han tenido que aprender a moverse dentro

de lmites bien precisos, y aceptar que el viejo sueo de alcanzar la infalibilidad y la

certeza absoluta, es imposible. An en 1925 el gran matemtico alemn David Hilbert

expresaba en un famoso artculo:

En cierto sentido, la matemtica

se ha convertido en una corte de

arbitraje, un tribunal supremo

para decidir cuestiones

fundamentales sobre una base

concreta aceptada por todos y

donde cada afirmacin sea

controlable... Un ejemplo del tipo

de cuestiones fundamentales que

pueden ser tratadas de este modo

es la tesis de que todo problema

matemtico es soluble. Todos

nosotros estamos convencidos de

que realmente es as... pues en matemtica no hay ningn ignorabimus D. Hilbert (1862-1943)

.

(El subrayado es mo. Vase [10])3

En 1931, K. Gdel (1906-1978) acababa con la esperanza de Hilbert, probando que

todos los esfuerzos para demostrar que la matemtica est libre de contradicciones, es-

tn condenados al fracaso. De hecho, es imposible probar la consistencia (es decir, la

ausencia de contradicciones) de cualquier sistema formal lo suficientemente amplio

como para contener la aritmtica. Ms an, cualquier sistema formal consistente y ade-

cuado para la aritmtica clsica es necesariamente incompleto, es decir, contiene afir-

3 Hilbert se refiere a la afirmacin de Du Bois-Reymond acerca de la limitacin esencial de la razn para conocer la Naturaleza, resumida en su frase Ignoramus et ignorabimus

maciones legtimas del sistema que son indecidibles, esto es, ni su afirmacin ni su ne-

gacin son demostrables. Esto supone, por tanto, una limitacin fundamental del mto-

do axiomtico mismo que, desde su invencin por los griegos, haba sido considerado

com

Zermelo (1 n

o la ms potente herramienta descubierta para alcanzar la verdad.

La eleccin de diferentes sistemas de axiomas conduce a diferentes teoras matem-

ticas, a veces conteniendo resultados contradictorios entre s. El caso de las geometras

no eucldeas, aparecidas en el siglo XIX, es paradigmtico, y la aceptacin de que todas

ellas son igualmente verdaderas" (es decir, consistentes), supuso una de las ms impor-

tantes crisis de fundamentos del siglo. Tambin Gdel contribuy decisivamente a clari-

ficar esta idea de verdad" dentro de un sistema axiomtico, con sus resultados sobre la

consistencia relativa de la teora de conjuntos abstracta, creada a principios de este siglo

con la idea de constituir una slida fundamentacin de toda la matemtica. En 1904 E.

871-1956) formul explcitamente el siguiente axioma de elecci : Si

{ }S A B = , , es cualquier coleccin de conjuntos no vacos, existe un conjunto Z que

consta precisamente de un elemento de A , uno de B , etc. Con este axioma se pueden

demostrar resultados realmente sorprendentes, a pesar de su aparente inocuidad. Por

ello, pronto se puso en cuestin si los resultados obtenidos con este axioma tendran la

misma validez" que los obtenidos sin l. En 1938, Gdel demostr que si la teora de

conjuntos habitual es consistente, tambin lo es si le aadimos el axioma de eleccin.

En 1963 P. Cohen dio otra vuelta de tuerca a esta historia probando que, recprocamen-

te, la teora de conjuntos usual sigue siendo consistente si le aadimos la negacin del

axioma de eleccin. De modo que este axioma es imposible de demostrar a partir de los

rest

das

mat

isma

naturaleza mortal, quiz emprica, que el resto de las actividades humanas ([4])

antes. El mismo Cohen expres claramente la situacin:

Las matemticas se asemejan a un trabajo propio de Prometeo, lleno de vida, ener-

ga y maravilla, pero que sin embargo contiene la semilla de una duda insuperable . Es

bueno que slo de tarde en tarde nos paremos a revisar la situacin y expresar nuestros

pensamientos acerca de estas profundas cuestiones. Durante el resto de nuestras vi

emticas contemplaremos y quiz participaremos en la gloriosa procesin [...]

Este es nuestro destino, vivir con dudas, perseguir absolutos de los que no estamos

seguros y, en suma, darnos cuenta de que la nica ciencia "verdadera" posee la m

Con

ner, abundando en la opinin ya citada de Yuri Manin al principio de mi

inte

rtos instantes cruciales, es un constitutivo esencial para

su a

chner cita la frmula de Newton para el movimiento de una par-

tcula sobre una recta

clusin.

La mayor parte de nuestra exposicin se ha referido a la interrelacin entre matem-

ticas y fsica, como consecuencia de haber sido esta la conexin ms clara. Pero es evi-

dente que a lo largo de este siglo ha tenido lugar una matematizacin acelerada de mu-

chas otras partes de la ciencia. Y no slo porque se utilice la matemtica para medir o

describir fenmenos, sino como herramienta bsica para su desarrollo. Como seala

Solomon Boch

rvencin:

...Los intentos filosficos para reducir el origen de toda la matemtica a razones

meramente utilitarias, son muy poco convincentes. Pero es cierto que las matemticas

son el lenguaje de la ciencia en un sentido profundo. Las matemticas son el medio

indispensable a travs de cual la ciencia se expresa y se comunica consigo misma. Y as

como el lenguaje no slo expresa pensamientos... sino que tambin los crea, as sucede

que las matemticas no slo especifican, clarifican y hacen manejables en forma rigu-

rosa conceptos y leyes de la ciencia que quiz, parcialmente al menos, podran desarro-

llarse sin ella; sino que, en cie

paricin y creacin. ([1])

Como ejemplo, Bo

2

2m Fdt

d x=

.La m la fuerza F son quiz objetos pero la velocidad ins-

tantnea v dx dt= / y la aceleracin instantnea 2 2a dv dt dx dt

asa y no matemticos, m

= / = / son entes puramente

matemticos, inconcebibles sin una teora del clculo infinitesimal...

Sera prolijo, y probablemente intil, intentar siquiera una enumeracin de las con-

tribuciones de la matemtica a las distintas reas de conocimiento, pero podemos aadir

algunos ejemplos a los ya citados: desde el uso del Anlisis de Fourier por la Psicologa

de la percepcin (como instrumento bsico para modelizar la recepcin e interpretacin

de imgenes a travs de los sentidos), pasando por la creciente utilizacin de la Teora

de Grupos en Qumica, Cristalografa o la Fsica subatmica, la Teora de Nmeros en

Criptografa o la utilizacin de los Sistemas Dinmicos, la Teora del Caos y los Fracta-

les en Medicina, Meteorologa o Economa. Recordemos que varios Premios Nobel en

Economa han sido otorgados a economistas con una fuerte formacin matemtica y por

sus contribuciones a la Economa Matemtica (L. Kantorovich, en 1975; G. Debreu,

en 1983, por ejemplo). En este campo, como en muchos otros, se utilizan cada vez con

mayor frecuencia tcnicas y mtodos matemticos procedentes del rea de la matemti-

ca m

iempo por razones que muchas veces son extraas a

la p

ades, lo que contribuye a enriquecer y fortalecer la unidad ltima de

las Matemticas.

el desa-

e Architecture of Mathematics. American Math.

s sofisticada.

Esta tendencia creciente a la matematizacin, ha originado tambin, como ocurri

en el siglo XVIII, necesidades matemticas especficas, lo que Bochner llama matem-

ticas-para-usos diversos", y que ciertamente ha contribuido a la aparicin y desarrollo

de nuevos mtodos y teoras matemticas. Ello ha producido, a su vez, a lo largo de este

siglo, reavivamientos peridicos de la polmica entre matemtica aplicada" y ma-

temtica pura". Esta polmica, iniciada a mediados del siglo XIX, cuando la Matemtica

obtuvo su status de Ciencia independiente, a mi entender, es en gran parte artificial y

coyuntural, y se reabre cada cierto t

ropia Comunidad Matemtica.

Por otro lado, el enorme crecimiento de los conocimientos cientficos y la progresi-

va fragmentacin de la ciencia en campos ms y ms especializados, hace que esta dico-

toma tenga cada vez menos sentido. Una gran parte de los matemticos profesionales se

mueven en parcelas de saber tan especializadas que sera difcil su adscripcin directa a

una de las dos categoras mencionadas. Ms an, probablemente a lo largo de su vida

profesional, cambien ms de una vez su adscripcin formal a uno u otro campo. Lo que

resulta cada vez ms evidente es la necesidad de colaboracin y trabajo en equipo entre

los distintos especialistas, con el consiguiente efecto de permeabilidad e interconexin

entre las especialid

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