Matemàtiques 3r ESO Llibre de text Projecte digital ... · 108 UNITAT 4 Resoldre sistemes...

Matem

àtiques3r ESO

J. Alcalde A

paricio A

. Am

elivia Andérica

J. González Santana

S. Jiménez H

erranz

ww

w.m

heduc

ati

on.

es

Matemàtiques

3r ESO

Continguts que complementen lateva formació i s’adapten a les

teves necessitats

Llibre de text Projecte digital

Propostes didàctiques per dinamitzari motivar

Recursos pedagògics

Pensat per motivar-te, per despertaren tu la passió per aprendre

Plataforma d’aprenentatge adaptatiu que s’ajusta al teu ritme i reacciona davant les

teves respostes

Matemàtiques 3r ESO

ISBN: 978-84-486-XXXX-X

9 788448 195779 ...una nova forma d’aprendre

José Alcalde AparicioAna Amelivia Andérica

Jonathan González SantanaSantiago Jiménez Herranz

Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

4 Sistemesd’equacions Sumari Equacions lineals amb dues incògnites

Sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites

Resolució algebraica de sistemes de dues equacions amb dues incògnites

4 Resolució de problemes amb sistemes d’equacions

Els teus pares i els teus oncles han organitzat unes vacances familiars en un punt de la península Ibèrica. Com cada any, el lloc encara no està defi nit i depèn d’on us tro-beu. Vosaltres sortiu del vostre domicili a València i ells, del seu a Santander, dues ciutats que estan a una distància de 708 km per carretera. Si el teu pare condueix a una velocitat de 90 km/h i la teva tia ho fa a 110 km/h, quant de temps trigareu a trobar-vos des que heu sortit de València? A quina distància de Santander estareu?

Per respondre aquestes preguntes, podem plantejar equacions. Per fer-ho, cal defi -nir les incògnites que busquem. Anomenarem x la distancia recorreguda pels teus x la distancia recorreguda pels teus xoncles des de Santander fi ns que us trobeu, i y, el temps del viatge.y, el temps del viatge.y

Atès que l’espai recorregut per qualsevol cos que es mou a velocitat constant ve donat pel producte de la seva velocitat pel temps que està en moviment, podem afi rmar que:

{ Els teus oncles recorreran una distància de { Els teus oncles recorreran una distància de { x = 110y quilòmetres.y quilòmetres.y

{ Els teus pares i tu recorrereu una distància de { Els teus pares i tu recorrereu una distància de { 708 - x = 90y quilòmetres (ja quey quilòmetres (ja quey xcomença a comptar-se des de Santander i us moveu en sentit contrari).

Amb aquestes equacions podrem respondre les preguntes que ens hem fet.

SEC_2018_MATES_ACAD_3ESO_CAS_UD_06_104-121_(CAT)v4.indd 104 18/3/19 11:33

Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

Recordes com resoldre equacions? Saps com resoldre un sistema d’equacions?

Creus que és interessant aprendre més sobre algun dels conceptes treballats en la unitat? Per què?

T’ha fet falta resoldre un sistema d’equacions algun cop en la teva vida quotidiana?

Descob reixUn sistema d’equacions lineals només és un conjunt de dues o més equacions lineals.

En aquest curs, treballarem els sistemes de dues equacions amb dues incògnites (x i y), com a l’exem-ple de la pàgina anterior, en què volíem trobar tant el temps invertit com la distància recorreguda. Per fer-ho, necessitem dues equacions que relacionin totes dues incògnites.

Es tracta, per tant, de buscar quins valors de les in-cògnites (x, y) compleixen les dues condicions ex-pressades per les dues equacions.

I, ara, sabries a quina distància de Santander troba-ríeu els vostres oncles i quant de temps trigaríeu a fer-ho? O potser prefereixes no saber on aneu de vacances?

Cadascuna d’aquestes dues equacions amb dues in-cògnites és una recta. Se t’ocorre com obtenir la so-lució d’un sistema? Et donem una pista: haurà de ser un punt comú a les dues rectes. Si això és així, què podríem afi rmar si les dues rectes són paral·leles?


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

10 UNITAT 4

Equacions lineals amb dues incògnites Imagina que el teu professor et proposa fer dos exàmens d’aquesta unitat. Si la nota màxima de cada examen és 10 i, per tant, per aconseguir un resultat global d’aprovat has de tenir una nota mínima de 5 (o un total de 10 punts sumant les notes de tots dos), quina qualificació podries obtenir en cadascun dels exàmens per treure 10 punts i així arribar al 5 de mitjana?

És evident que hi ha moltes combinacions possibles, ja que totes dues notes poden ser dos nombres qualssevol del 0 al 10. Com traduiríem això en una ex-pressió algebraica?

La primera cosa que hem de fer és definir la o les variables (incògnites) del nos-tre problema. Una possibilitat és la següent:

x: nota del primer examen; y: nota del segon examen

Las variables x i y poden prendre qualsevol valor entre 0 i 10. Per tant, per treure un 10 entre les dues proves s’ha de complir la relació següent:

Si x és 3, y haurà de ser 7, si x fos 2,5, y hauria de ser 7,5…; així podríem trobar tants parells de notes com volguéssim. Aleshores, podem afirmar que una equació lineal amb dues incògnites té infinites solucions.

Què passa si aïllem una de les dues variables? Per exemple, la y:

Et recorda alguna cosa aquesta expressió? A què s’assembla? Exacte, a una rec-ta. Saps que una recta té infinits punts que verifiquen aquesta igualtat.

Per dibuixar una recta només necessitem dos punts (x1, y1) i (x2, y2) i traçar la línia recta que els uneix. Vegem-ne un exemple.

Fixa-t’hi Una recta no és un segment, per la qual cosa tot i que passiper dos punts, no està limitada per aquests. Es prolongarà fins a l’infinit.

Pas a pas Ara representarem la recta: x + y = 10.

1. Aïllem la variable y:

2. Donem valors a x per obtenir valors de y:

3. Representem aquests punts en una gràfica i els unim traçant una línia recta.

Y

X

5

−5

−10

−15

10

15

−15 −10 −5 5 10 15

Gràfica de la recta y = 10 - x.

Per tant, una equació lineal amb dues incògnites només és una recta els punts infinits de la qual són les solucions de l’equació. És a dir, una equació lineal amb dues incògnites té infinites solucions.


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

107UNITAT 4

Resolució gràfica: dues rectes no tenen per què tallar-se obligatòriament en un sol punt. De fet, es poden donar tres casos:

Sistemes de dues equacions linealsamb dues incògnites

Equacions lineals amb dues incògnites

Les rectes es tallen en un sol punt.

Sistema compatible determinat: el sistema té una única solució, que és el punt en què es tallen.

Les rectes són coincidents (es tallen en infinits punts).

Sistema compatible indeterminat: el sistema té infinites solucions.

Les rectes no es tallen en cap punt.

Sistema incompatible: el siste-ma no té solució.

Exemple: Exemple: Exemple:

Y

X

2

−2

468

10121416

−2 2 4 6 8 10 12 14

Y

X

2

−2

468

10121416

−2 2 4 6 8 10 12 14

Y

X

2

−2−4−6

468

1012

−2 2 4 6 8 10 12 14

Activitats 1. Relaciona cada una de

les gràfiques següents amb el tipus de siste-ma d’equacions lineals a què corresponen:

2. Resol gràficament els sistemes següents:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Y

X

2

−2−4

4

−2−4 2 4 6

Y

X

2

−2−4

4

−2−4 2 4 6

Y

X

2

−2−4

4

−2–4 2 4 6

Y

X

2

−2−4

4

−2−4 2 4 6

Y

X

2

−2−4

4

−2−4 2 4 6

Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites són dues equacions que comparteixen les incògnites. Per exemple:

La solució del sistema és el parell de valors (x, y) que verifiquen totes dues equacions. O, gràficament, el punt en què es tallen totes dues rectes.


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

108 UNITAT 4

Resoldre sistemes d’equacions dibuixant-ne les gràfiques és poc pràctic quan les solucions no són enteres. Ara veurem tres mètodes diferents de resolució algebraica de sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites: mètode de reducció, mètode de substitució i mètode d’igualació.

3.1. Mètode de reducció

3 Resolució algebraica de sistemes de dues equacions amb dues incògnites

Fixa-t’hiEl mètode de reducció és útil quan tenim una incògnita amb valors iguals o oposats en les dues equacions.

Fixa-t’hiSi en comprovar la solució tro-bes que no és correcta, repe-teix el procés tantes vegades com calgui fins que la trobis.

Pas a pas

Resolem el sistema següent pel mètode de reducció:

1. Multipliquem les dues equacions pels nombres necessaris perquè els coefi- cients d’una de les incògnites (x o y) siguin iguals i de diferent signe.

2. Sumem les dues equacions equivalents: 4x + 0y = 24

3. Resolem l’equació resultant:

4. El valor de la incògnita que obtenim se substitueix en una de les dues equa-cions (preferiblement la més senzilla):

Per tant, la solució és el punt (6, 4).

5. Comprovem: Veiem que x = 6, y = 4 és la solució.

Activitats 3. Resol pel mètode de reducció els sistemes següents:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

El teu torn 1. Resol pel mètode de reducció el sistema següent:

En aquest cas no cal multiplicar les dues equacions per cap nombre perquè tenim x en la primera equació i -x en la segona. Solució: (-1, 3)

Representació del sistema.

Y

X

2

−2

−4

−6

4

6

8

10

12

−2 2 4 6 8 10 12 14

(6, 4)


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

109UNITAT 4

3.2. Mètode de substitució3 Resolució algebraica de sistemes de

dues equacions amb dues incògnitesFixa-t’hiEl mètode de substitució és útil quan tenim una incògnita ja aï-llada o és molt fàcil d’aïllar en una de les equacions.

Pas a pas Resolem pel mètode de substitució el mateix sistema d’abans:

1. Fem servir l’equació més senzilla i aïllem la incògnita que ens sigui més fàcil:

2. Substituïm la incògnita aïllada en l’altra equació:

3. Resolem l’equació:

4. Substituïm el valor obtingut en l’equació en la qual havíem aïllat l’altra incòg-nita: . Per tant, la solució és el punt (6, 4).

5. Comprovem . La solució obtinguda és correcta.

Activitats 4. Resol els sistemes següents pel mètode de substitució:

a) b) c) d) e) f)

El teu torn

2. Resol pel mètode de substitució el sistema: Aïlla la x de la primera equació.

Solució: (-1, 3)

I que passa quan un sistema no té solució o té solucions infinites? Vegem què ens trobem en aquests casos:

Y

X

2

−2−4−6

468

1012

−2 2 4 6 8 10 12 14

Y

X

2

−2−4−6

468

1012

−2 2 4 6 8 10 12 14

No té solució Té infinites solucions

El resultat és una igualtat falsa.

Resolem per substitució: Resolem per substitució:

Substituïm en l’altra equació: Substituïm en l’altra equació:

Sistema incompatible Sistema compatible

indeterminatEl resultat és 0 = 0.


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

110 UNITAT 4

3.. Mètode d'igualació

Fixa-t’hi El mètode d’igualació és útil quan tenim una incògnita que és molt fàcil d’aïllar en les dues equacions.

El teu torn 3. Resol pel mètode d’igualació el sistema següent:

És més fàcil aïllar la incògnita que no està multiplicada per cap nombre.

Solució: x = -1, y = 3

Pas a pas

Ara, tornem al sistema que hem resolt abans:

1. Aïllem la incògnita que ens sigui més fàcil en les dues equacions. Ha de ser la mateixa en totes dues:

2. Igualem les dues equacions aïllades:

3. Resolem l’equació resultant:

4. Substituïm el valor obtingut a l’equació que ens sigui més senzilla d’entre les que hem aïllat l’altra incògnita:

Per tant, la solució és el punt (6, 4).

5. Comprovem: . Efectivament, és la solució.

Activitats 5. Resol els sistemes següents pel mètode d’igualació i comprova les so-

lucions amb un programa de geometria dinàmica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Eines TICAra veurem com resoldre una equació amb GeoGebra. Per exemple:

Selecciona en el menú la vis-ta CAS (Computació Alge-braica Simbòlica) i introdueix el sistema.

En clicar al botó «Resol (x=)», obtindràs la solució.


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

111UNITAT 4

3.. Sistemes amb fraccions

Pas a pas Ara hem de resoldre el sistema següent:

1. Calculem el mínim comú múltiple de cadascuna de les equacions:

mcm (2, 4) = 4

mcm (2, 6) = 6

2. Multipliquem totes dues equacions pel seu corresponent mínim comú múltiple:

3. Un cop que ja tenim un sistema d’equacions sense fraccions, triem un mètode de resolució i el resolem.

La solució es x = 3, y = 6.

4. Comprovem que la solució és correcta. Si no ho és, hem de repetir el procés fins a obtenir-la.

El teu torn 4. Resol pel mètode que prefereixis:

Quin és el mínim comú múltiple de la primera equació? I el de la segona?

Et sembla el mètode d’igualació el més indicat?

Solució: x = 3, y = 9. Comprova la solució amb alguna eina TIC.

Quan un sistema té fraccions, cal transformar-lo en un altre d’equivalent que no en tingui. Per fer-ho, trobem el mínim comú múltiple dels denomi-nadors de cada una de les equacions i les multipliquem per aquest valor.

Eines TICFes servir l’aplicació en línia Wolfram Alpha per resoldre el sistema:

Per fer-ho, selecciona el requa-dre ombrejat a la figura.

A la imatge es mostra la solu-ció que ens dona el programa.

Representació del sistema.

Y

X

1

−1

2

3

4

5

6

7

−1 1 2 3 4

(3, 6)


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

112 UNITAT 4

Activitats 6. Resol pel mètode que vulguis els sistemes següents i comprova’n la

solució amb Wolfram Alpha:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Et proposem un repte 1. La clau secreta.

Com que mai apagues el mòbil, no acostumes a introduir-hi el teu PIN. Un dia et quedes sense bateria i quan el vols engegar no en recordes la clau. Només tens tres intents per introduir-hi la combinació.

Preveient que això podria passar, perquè et co-neixes, has deixat a mà les pistes per deduir-ne la clau de cinc xifres.

Les pistes són les següents:

{ La cinquena xifra i la quarta sumen 17. { La quarta xifra i la tercera sumen 15. { La tercera xifra i la segona sumen 15. { La segona i la primera sumen 9. { La cinquena xifra i la primera sumen 8.

Series capaç d’obtenir el PIN només amb 3 pistes? Raona la teva resposta.

Ara pensa en un codi de 4 xifres i dissenya unes pistes per trobar-ne el valor. Dona-les al teu company i comprova si troba el codi.

Creus que cal tenir tantes contrasenyes per a tot? Per què? Investiga a Internet casos de suplantació d’identitat, hacking de comptes i robatoris relacionats amb claus d’accés.

A CB D E

? ?? ? ?


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

113UNITAT 4

Per trobar la solució de problemes amb un enunciat verbal ens ajudarem de l’estratègia que vam veure en la unitat anterior. Resolem el problema següent:

4 Resolució de problemes amb sistemes d’equacions

4. ESTRATÈGIA

3. TAULERTenim un sistema de dues equacions amb dues incògni-tes. Si cada bitllet de turista costa 25 €, la quantitat total pagada per aquest tipus de bitllet es 25x, mentre que l’im-port de tots els bitllets de preferent és 60y. Per tant, el nostre sistema serà el se- güent:

1. METACalcula la quantitat de bitllets de cada tipus. Tenim dues incògnites: x: la quantitat de bit-llets de turista; y: la quantitat de bitllets de preferent.

2. FITXES

En total hi ha 30 bitllets i en coneixem el preu de cada un: els de turista cos-ten 25 €, i els de preferent, 60 €. A més a més, sabem que en total s’han pagat 1 240 €.

Resolem el sistema pel mètode de reducció.

{ Multipliquem la primera equació per (-25):

{ Sumem les dues equacions per reduir el sistema a una equació d’una incògnita:

{ Aïllem la incògnita:

{ Substituïm el valor obtingut a l’equació del sistema que ens sigui més senzilla:

{ Comprovem les solucions:

{ Per tant, es van comprar 14 bitllets de classe turista, i 16 de classe preferent.

Pas a pas Us n’aneu de viatge amb la classe i la vostra tutora compra 30 bitllets de tren, alguns de classe preferent, i d’altres, de turista, amb un cost de 1 240 €. Si els bitllets de classe turista costen 25 € i els de classe preferent 60, quants bitllets de cada classe ha comprat?


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

114 UNITAT 4

Fixa-t’hiSi en un problema ens parlen d’un nombre de dues xifres, no fem xy (ja que això seria un producte).

La manera d’expressar alge-braicament un nombre de dues xifres és:

10x + y

ja que la x correspondria a les desenes.

Per exemple:

29 = 2 · 10 + 9

Fixa-t’hiSi s’aplica un descompte d’un 10 % a un article, en realitat pa-garàs un 90 % de l’import origi-nal, és a dir, 0,9 pel preu inicial.

Així que, amb un descompte d’un 10 % sobre un preu de 45 € es paga això:

45 · 0,9 = 40,5 €

El teu torn 5. A l’hora del pati, uns quants alumnes de dues aules van de l’una a l’altra.

Si en passen 4 de la primera a la segona, en aquesta aula hi ha 1 alumne més que no pas a la primera. Però si en passen 4 de la segona a la primera seran el doble a la primera que no pas a la segona. Quants alumnes hi ha a cada classe?

2. Fitxes. Si passen 4 alumnes de l’aula 1 a l’aula 2, tindríem (x - 4) i (y + 4) alumnes en cada aula, respectivament. Ens diuen que en tenir aquesta dis-tribució hi ha 1 alumne més a la segona que no pas a la primera. D’altra ban-da, si en passen 4 de la segona a la primera, tindríem (x + 4) i (y - 4), i quedaria el doble de persones a la primera que no pas a la segona.

3. Tauler. La primera equació serà: x - 4 = (y + 4) - 1

Com que hi ha 1 alumne més a l’aula 2, per poder igualar-los hauríem de restar-lo (si no ho veus clar, imagina que a l’aula 1 tenim 30 alumnes i a l’aula 2 en tenim 31: 30 = 31 - 1).

La segona equació queda així: x + 4 = 2 (y - 4)

Multipliquem el segon membre de l’equació perquè ens diuen que l’aula 1 té el doble d’alumnes que l’aula 2 (imagina, per exemple, que tenim 28 alumnes a l’aula; llavors, a l’aula 2 en tindríem 14, i 28 = 14 · 2).

Solució: Hi ha 26 alumnes a l’aula 1 i 19, a l’aula 2.

Activitats 7. Entre la Míriam i en Josep Lluís fan una feina per la qual cobren 654 €.

Si la Míriam ha fet dues terceres parts de la feina que ha dut a terme en Josep Lluís, quant hauria de cobrar cada un si es reparteixen els diners proporcionalment?

8. Un nombre està format per dues xifres que sumen 6 unitats. Si canvi-em les dues xifres d’ordre, el nombre augmenta en 18 unitats. De quin nombre es tracta?

9. Una mare vol repartir els diners de la seva paga extra entre els seus fills. Si dona 700 € a cada fill, li sobren 200 €; però si els dona 800 € a cada un, n’hi falten 200 €. Quants diners li han ingressat com a paga extra? Quants fills té?

10. Una classe celebra que s’han acabat els exàmens amb una festa. Com-pren refrescos a 0,85 € i bosses de patates a 1,25 €. Per cada beguda es compren 3 bosses de patates i en total es paguen 230 €. Quantes begudes i bosses de patates s’han comprat?

11. Unes vambes i una dessuadora costaven 60 € en total. En aprofitar les rebaixes, ens fan un 10 % de descompte en les vambes i un 15 % en la des-suadora, per tant, pagarem un total de 52,8 €. Quant costava cada cosa?

Podries fer intercanvis de classes amb els teus companys per escriure l’enunciat d’un problema semblant a aquest?


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

11UNITAT 4

Et proposem un repte 2. Quant val?

A les targetes que et mostrem a continuació pots trobar combinacions de figures que tenen assignat un valor. Aquestes combinacions es poden su-mar en horitzontal o en vertical, i això dona lloc a resultats diferents.

Seràs capaç de trobar el valor de cadascun dels símbols?

30

46

38

34 54 26

3

34

41

26 33 19

107

97

94

70 75 79 74

25

35

30

15 26 18 31

Activitats 12. Per a un partir de la Champions League es posen

a la venda entrades de tres tipus: fons, tribuna i amfiteatre. En comprar tres entrades, una de cada tipus, hem pagat 154 €. Si les entrades de tribuna costen el triple que les de fons i el doble que les d’amfiteatre, quant val cada entrada?

13. Una companyia de lloguer de vehicles lloga en un dia 12 cotxes en què viatgen 72 persones. Els cot-xes que ofereix l’empresa són de 5 i 7 places. Quants cotxes de cada model haurà llogat aquest dia?

14. L’Elisa vol pintar el seu estudi d’un color original i per fer-ho decideix barrejar dos colors que en do-nen un que li agrada molt. Les dues pintures que barreja tenen un preu de 10 €/l i 14 €/l, respectiva-ment. Si necessita 40 l de pintura i paga 13 €/l, quants litres en necessita de cada tipus?

15. Les 3 xifres d’un nombre sumen 6 unitats. Si s’in-tercanvien la segona xifra i la tercera, el nombre resultant és 9 unitats més gran. Però si s’intercan-vien la primera i la segona, el nombre augmenta en 90 unitats. Podies esbrinar de quin nombre es tracta?


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

11 UNITAT 4

??a)

b)

c)

5. Troba les solucions dels sistemes següents pel mètode gràfic

a)

b)

Equacions linealsamb dues incògnites

1. Dibuixa les rectes corresponents a les equaci-ons lineals següents:

a) b) c)

2. Dibuixa les rectes següents:

a)

b)

c)

En què es diferencien? A quina conclusió arribes?

3. Relaciona cada recta amb la seva equació lineal:

i. iii.

ii. iv.

Sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites

4. A partir de la seva gràfica, classifica els siste-mes d’equacions següents en compatible deter-minat, compatible indeterminat o incompatible.

Y

X

1

−1

2345

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

X

1

−1

2345

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

X

1

−1

2345

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

X

1

−1−2−3

23456

−1−2−3−4−5 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

1

−1−2−3

23456

−1−2−3−4−5 1 2 3 4 5 6 7

Y

−2−4 42

4

2

−2

−4

−6

X0

Y

−2−4 42

6

4

2

−2X0

Y

−2−4 42

2

−2

−4

X0

A

B D

??Activitats finals

Y

−2−4 42

4

2

−2

X0

C


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

117UNITAT 4

1 ??9. Resol pel mètode de substitució:

a)

b)

c)

d) 2x+3y =−13x+ 4y = 0}

10. Resol pel mètode d’igualació:

a)

b)

c) x = 3yx+ 16 = 2(y+ 16)}

d) 3x+ 2y = 7

4x−3y =−2}11. Resol pel mètode que prefereixis:

a)

b)

c)

d)

e)

f) x+ 5y+3 = 2 (x+y)− 1−x+ 2y+ 4 =−y }

g)

h) 8x+ 10y = 450

x+y = 60}12. Resol pel mètode que prefereixis els sistemes

d’equacions següents:

a)

b)

c)

d)

x+y2

= x− 1

x−y2

= y+ 1

⎫

⎬⎪

⎭⎪

13. Resol pel mètode que prefereixis els sistemesd’equacions següents:

a)

b) 4−

2x−y2

= 1

x+3y2

= 5

⎫

⎬⎪

⎭⎪

c)

d)

6. Troba la solució dels sistemes d’equacions següents amb l’ajuda del mètode gràfic.

a)

b)

7. Resol pel mètode gràfic els sistemes d’equacions següents:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Resolució algebraica de sistemes de dues equacions amb dues incògnites

8. Resol pel mètode de reducció:

a)

b)

c)

d) 7x− 5y = 1045x+ 2y = 52}

Y

X

1

−1−2−3

2345

−1−2−3−4−5 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

1

−1−2

23456

−1−2−3−4−5 1 2 3 4 5 6 7


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

118 UNITAT 4

??Resolució de problemesamb sistemes d’equacions 14. En un examen tipus test, les preguntes cor-

rectes sumen un punt i les incorrectes resten mig punt. En total hi ha 100 preguntes i les preguntes no contestades compten com a incorrectes. La nota d’un alumne és 8,5 sobre 10. Calcula quantes preguntes va contestar correctament i quantes van ser incorrectes o es van quedar en blanc.

15. Fent servir la totalitat d’una corda de 34 m es pot crear un rectangle tal que si se’n triplica un dels costat les mides són les mateixes que si se li sumen 3 m a l’altre. Calcula quant fan la base i l’altura del rectangle.

16. En un concert benèfic es venen totes les entrades i es recullen 23 000 €. Els preus de les entrades són de 50 € en el cas de les butaques normals, i de 300 € en el cas de les especials. Cal-cula la quantitat d’entrades venudes de cada ti-pus si la capacitat de l’establiment és de 160 persones.

17. Algú compra un videojoc i es gasta 105 €. El paga amb 12 bitllets de dos tipus, de 5 € i 10 €. Quants bitllets de cada tipus ha fet servir?

18. En una classe han aprovat l’assignatura de Matemàtiques el 80 % de les alumnes i el 62,5 % dels alumnes, mentre que Biologia l’han aprovat el 87,5 % dels nois i el 60 % de les noies. Calcula el nombre d’alumnes de cada sexe que hi ha a la clas-se si el nombre total d’aprovats tant en Matemàti-ques com en Biologia és de 26.

19. Per fer el Camí de Sant Jaume, la Bea vol comprar 6 llaunes de sardines i 4 de tonyina, que li costaran 11,4 € en total. Posteriorment, pensa que no necessita tant de menjar i que li agraden més les sardines, així que modifica la compra per ad-quirir 4 llaunes de sardines i 2 de tonyina, per les quals paga 6,8 €. Quin és el preu d'una llauna de cada tipus?

20. Una orfebre rep l’encàrrec de confeccio-nar un trofeu amb or i plata per a un campionat esportiu. Un cop fet, el trofeu pesa 1 300 g. Si

sabem que els materials li han costat 2 840 €, qui-na quantitat ha fet servir de cada metall preciós si l’or el va adquirir a 8 €/g, i la plata, a 1,7 €/g?

21. Unes quantes amigues llo-guen un local per assajar per 800 € i reparteixen el cost a parts iguals. Si haguessin sigut tres persones més, cadascuna hauria pagat 60 € menys. Quantes amigues són?

22. L’Àngel li diu a l’Olga: «La meva col·lecció de figures de personat-ges de sèries és millor que la teva perquè si te’n passo 10 en tindrem la mateixa quantitat». L’Olga li respon: «Ho has clavat... Només te’n falten 10 per doblar-me en nombre». Quantes figures té cada un?

23. Un fabricant d’auriculars guanya 3 € per cada parell de cascos que surt de la fàbrica, però perd 4 € per cada parell que és defectuós. Un dia en què va fabricar 2 100 auriculars va obtenir un be-nefici de 4 844 €. Quants auriculars bons i quants de defectuosos va fabricar aquell dia?

24. Una empresa de lloguer de cotxes cobra els serveis que dona per dia d’ús i per quilòmetres recorreguts. Un client va pagar 160 € per 3 dies i 400 km, i un altre va abonar 175 € per 5 dies i 300 km. Esbrina quina és la tarifa de l’empresa per dia i per quilòmetre.

25. Dos amics es diuen això:

—Si em dones 1 000 € tindré el doble que tu.

—Millor em dones 1 000 € tu a mi i així tindrem la mateixa quantitat.

Quants diners té cada un?

26. La construcció d’una carretera entre dos po-bles s’inicia alhora per tots dos extrems. Al cap d’un mes, el que s’ha construït per un dels ex-trems és tres quarts del que s’ha construït per l’altre, i falten per construir 4 200 m, que és el do-ble del que ja està construït. Quina longitud tin-drà la carretera?

??Activitats finals


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

119UNITAT 4

??Síntesi27. En un aparcament hi ha un total de 55 ve-

hicles entre cotxes i motos. Si en total es poden comptar 170 rodes, quants cotxes i quantes motos hi ha?

28. Si es compren 2 kg de cireres i 3 kg d’alber-cocs per 7,80 €, però 5 kg de cireres i 4 kg d’alber-cocs costen 13,20 €, a quant està el quilo de cireres i a quant el d’albercocs.

29. En un hotel turístic tenen un total de 36 habitacions que sumes 60 llits, i només hi ha habi-tacions individuals (d’un llit) i dobles (dos llits). Quantes habitacions hi ha de cada tipus?

30. Una marca de llanternes guanya 0,60 € per cada bombeta que ven, però perd 0,80 € per cada una que surt defectuosa. Un dia en què va distribuir 2 100 bombetes va obtenir un benefici de 966 €. Quantes llanternes van sortir defectuoses en aquesta remesa?

31. Un professor de Matemàtiques dona als seus alumnes una col·lecció de problemes, que qualifi-carà de la manera següent: cada problema ben resolt sumarà un punt, mentre que cada proble-ma que no estigui resolt correctament restarà mig punt. Un alumne, en donar la col·lecció de 60 problemes, obté una qualificació de 30 punts. Quants problemes tindrà ben resolts?

32. La Paula li diu a l’Ariadna: «Si em dones 2 bolí-grafs en tindré tants com tu», i l’Ariadna li respon: «És així, però si jo te n’agafo 4, tindré quatre ve-gades més bolis que tu». Quants bolis té cada una?

33. Es fa un estudi en una escola de 364 alumnes sobre la quantitat d’esquerrans i dretans que hi ha, i s’obté que, si hi hagués 6 esquerrans més i 5 dretans menys, el nombre de dretans seria qua-tre vegades més gran que el nombre d’esquer-rans. Quants alumnes són esquerrans i quants dretans?

34. Una comerciant compra dues motos per 3 000 € i les ven per 3 330 €. Calcula quant va pagar per

Distingeixes els diferents sistemes i els resols? Quins?

Has identificat moments en què tenies la sensació de no saber com avançar? Com els has superat?

Reflexiona sobre el teu procés d’aprenentatge i compara’l amb processos anteriors. Quin és millor? Has incorporat millores a partir de reflexions prèvies?

cada una si a la venda de la primera va guanyar un 25 % i a la de la segona va perdre un 20 %.

35. Un pare té 4 vegades l’edat de la seva filla, tot i que d’aquí a 5 anys només tindrà 3 vegades l’edat d’ella. Quines són les edats actuals del pare i de la filla?

36. La factura de l’electricitat del mes passat va pujar a un total de 39 € per un consum de 800 kWh, mentre que la d’aquest mes puja a 31,5 € per un consum de 550 kWh. Si l’import de cada factura és la suma d’una taxa fixa més un preu determinat per quilowatt hora consumit, calcula tant la taxa fixa com el preu de cada qui-lowatt hora.

37. Si se sumés 7 al numerador i al denominador d’una fracció determinada, s’obtindria la fracció . Si es restés 3 al numerador i al denominador, la

fracció resultant seria �. Quina és la fracció?

38. L’avi de la Lluïsa té un petit zoo i li planteja el problema següent perquè ella esbrini el nombre d’animals que té a la finca:

— La suma d’estruços i bisons és 132 i la de les seves potes és 402.

— Es necessiten 200 kg al dia per alimentar els flamencs i els paons. Es té un paó per cada 6 flamencs i se sap que un flamenc menja una mitjana de 500 g al dia, el doble que un paó.

— La sisena part dels guepards solen anar a l’es-tany on beuen els bisons, la qual cosa suposa el triple d’animals a l’estany.


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

120 UNITAT 4

Activitats PISA

Un viatge de final de curs colossalEls alumnes de tercer d’ESO d’una escola estan preparant un viatge d’estudis i, per finançar-lo, vendran entrepans, fruita i tapes durant la setmana cultural del centre educatiu.

S’ha acordat la llista de preus següent per als productes que s’oferiran:

1. Si cada dia es venen 50 tapes de truita de patates i 25 de truita especial, quina quantitat de diners s’obtindrà en to-tal amb la venda d’aquests productes de dilluns a dijous?

Activitat 1

Multiplica el nombre de tapes de cada tipus pel seu preu corresponent i suma aquestes quantitats.

2. Els alumnes pensen que obtindran diàriament 130 € per la venda dels dos tipus de tapes. Si al dia venen 50 tapes de truita de patates, quina quantitat de tapes de truita espe-cial pensen vendre? Quina de les respostes següents és la correcta?

a) 50 tapes de truita especial.

b) 55 tapes de truita especial.

c) 70 tapes de truita especial.

d) 75 tapes de truita especial.

3. L’escola és a la ciutat de Colossal, on hi ha un total de 360 fonts. El 30 % de les fonts tenen pèrdues i necessiten re-paració; per a això, les ha de transportar una empresa de logística, que disposa d’una flota de 42 camions de dues mides diferents. Als camions petits caben 2 fonts i als grans, 3. Si s’han fet servir tots els camions de la flota en el trans-port de les fonts que cal reparar, de quants camions petits disposa l’empresa de logística?

Activitat 2

Si al dia venen 50 tapes de truita de patates, pots saber quina quantitat van recollir amb aquestes tapes. Calcula la quantitat que fa falta per arribar als 130 € que esperen obtenir, tenint en compte el preu de cada unitat.

Activitat 3

Entre els camions que poden transpor-tar 2 fonts i els que poden transpor-tar-ne 3 sumen 42 camions en total. Si calculem el 30 % del nombre de fonts, podem saber quantes han estat trans-portades en total.

Tapes

Truita de patates . . . 1,10 €Truita especial . . . . . 1,50 €

Fruita

Fruita de temporada (dues peces) . . . . . . . . . . 1 €

Entrepans

Truita de patates . . . 2,20 €Llonganissa . . . . . . . . 1,60 €Pernil dolç . . . . . . . . . 1,60 €Xoriço . . . . . . . . . . . . . 1,60 €Formatge . . . . . . . . . . 1,60 €Truita a la francesa . 1,50 €Truita especial . . . . . 2,50 €


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

121UNITAT 4

Autoavaluació

6. En un campament d’estiu hi ha 90 estudiants, i al-guns són vegetarians. Si van d’excursió 40 dels no vegetarians i 10 de vegetarians, entre els qui es queden al campament el nombre de no vege-tarians igualaria el nombre de vegetarians. Quants vegetarians hi ha al campament?

7. En un partit de waterpolo la suma de gols marcats pels dos equips és 20. Quan tots dos equips hagin marcat 5 gols més, la diferència entre tots dos serà de 4 gols. Quants gols porten al marcador en aquest moment cadascun dels equips?

8. En una sala de cinema hi ha 60 persones veient una estrena. El 16 % dels homes i el 20 % de les dones fan servir ulleres. Si el nombre total d’es-pectadors que porten ulleres és 11, quantes per-sones hi ha de cada sexe?

9. Troba un nombre de dues xifres si saps que la desena i la unitat sumen 6 i que, si s’inverteix l’or-dre de les seves xifres, el nombre resultant és 18 unitats més petit.

10. Per la compra de dos ordinadors hem pagat 3 500 €. Si en el primer ens haguessin fet un des-compte del 10 % i en el segon un descompte del 8 %, hauríem pagat 3 170 €. Quin és el preu de cada ordinador?

1. Quantes solucions tenen els sistemes d’equaci-ons corresponents a les gràfiques següents?

a) b)

2. Resol pel mètode gràfic:

a) b)

3. Resol pel mètode algebraic que prefereixis els sistemes següents:

a) b)

4. Resol el sistema d’equacions següent:

5. Resol:

Y

X

1

−1−2

2

−1−2 1 2 3 X

Y

1

−1−2

2

−1−2 1 2 3

Mapa mental

Ara que has arribat al final de la uni-tat, et proposem que elaboris el teu propi mapa mental. Recorda reflec-tir-hi els termes clau de la unitat i or-ganitzar-los al voltant del tema principal de la unitat.

Al costat et proposem paraules clau que hauries d’incloure-hi. Afegeix-hi tu la resta.

Sistema incompatible

Mètode algebraic Mètode gràfic

ReduccióSistema compatible determinat

Sistemes amb 2 equacions i 2 incògnites

Substitució


Unidad de muestr

a promocio

nal

McGraw-H

ill

Matemàtiques 3r ESO Llibre de text Projecte digital ... · 108 UNITAT 4 Resoldre sistemes...

Documents

Transcript of Matemàtiques 3r ESO Llibre de text Projecte digital ... · 108 UNITAT 4 Resoldre sistemes...