Matemàtiques 4t ESO

Alumne/a:____________________________

Grup: ____________

Curs:____________

Unitat 1 • Els nombres racionals i irracionals

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

nom

bre

s ra

cion

als

i irr

acio

nals

Els nombres racionals i les fraccions

1. N és el conjunt dels nombres naturals, Z és el conjunt dels nombres enters i Q el conjunt dels nombres racionals o fraccionaris. Situa els nombres següents dins el conjunt que correspongui:

a −45

2

b −100

c −4

d −12

e 0

f 2020

g 2

h 67

i 90

113

j 500

k 1200

3

l −2

QZ

N

2. Classifi ca les afi rmacions següents en vertaderes (V) o falses (F):

a Tots els nombres naturals són nombres enters.

b Tots els nombres enters són nombres racionals.

c Tots els nombres racionals són nombres naturals.

d Tots els nombres enters negatius són nombres racionals.

e Tots els nombres enters positius són nombres racionals.

f El zero no es troba en cap conjunt de nombres.

g 2020

és un nombre natural, ja que el quocient 20 : 20 és 1.

3. Aplica la regla ab

cd

a d c d= → ⋅ = ⋅ i assenyala quines de les parelles de fraccions següents són

equivalents:

12

24

1 4 2 2= → ⋅ = ⋅

a 34

2736

 i  c −15

911

 i  e −

−6

136

6 i 

b 32

76

 i  d 1040

28

 i −

f −

−7

7101101

 i 

3

Unitat 1 • Els nombres racionals i irracionals

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

nom

bre

s ra

cion

als

i irr

acio

nals

Conversió de nombres decimals en fraccions

6. Calcula el valor aproximat de les fraccions següents i després col·loca’ls dins la taula a la columna corresponent, segons si són nombres decimals exactes o periòdics purs o periòdics mixtos:

a 34

0 75= , d 1313

99= g

65

=

b 16

= e 698

= h 7778

=

c 87

= f 2113

= i 25060

=

decimal exactedecimal periòdic

pur mixt

0,75

7. Escriu en forma periòdica i després posa en forma de fracció els nombres decimals següents, seguint l’exemple:

0 33333 0 313

, ,…�

= =

a 9,090909… =

b 28,333… =

c 0,08333… =

d 0,714285714285… =

4

Unitat 1 • Els nombres racionals i irracionals E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

nom

bre

s ra

cion

als

i irr

acio

nals

Operacions amb nombres racionals

8. Realitza les següents operacions amb fraccions i simplifi ca la fracció resultant sempre que sigui pos-

sible. Recorda que aa

bb

− =1

.

a 13

43

+ = f 236

711

: =

b 34

62

+ =

g 53

85

1711

⋅

+

=:

c 19

427

73

− + =

h 72

3

=

−

d − + − =3

1045

83

i 23

94

2

=:

e 12

57

103

⋅ ⋅ −( )=

j 1

12

54

710

12

45

2

+

− − + −

=:

9. L’àvia Enriqueta va deixar escrit en el testament que s’havia de repartir una herència de 60 000 € entre els seus tres fi lls: en Manel, en Ricard i en Xavier. Però en Manel ja havia mort i la part que li tocava s’havia de repartir a parts iguals entre els quatre fi lls d’en Manel, néts de l’Enriqueta.

a Quants diners li toquen a cada fi ll viu de l’Enriqueta?

b Quina fracció de l’herència correspon a cada un dels fi lls d’en Manel?

5

Unitat 1 • Els nombres racionals i irracionals

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

nom

bre

s ra

cion

als

i irr

acio

nals

Els nombres irracionals

10. Els nombres irracionals són nombres amb infi nits decimals que no segueixen cap repetició i que no es poden escriure com a fracció de nombres enters. Entre els nombres irracionals, n’hi ha quatre d’espe-cialment importants: �, e, � i 2.

a Uneix amb fl etxes les següents columnes amb la informació rellevant d’aquests nombres irracionals:

a � A 2,71828... i arrel de 2 I Relacionat amb molts fenòmens naturals com el creixement exponencial en la reproducció de microorganismes, o la desintegració radioacti-va.

b e B 3,14159... ii nombre d’Euler II Conegut com a divina proporció o secció àuria, marca la proporció entre els costats de molts rectangles.

c � C 1,41421... iii nombre pi III Dóna el valor numèric de la diagonal d’un qua-drat de costat unitat.

d 2 D 1,61803... iv nombre d’or IV Expressa la relació entre el perímetre i el diàme-tre d’una circumferència.

b Dibuixa una recta numèrica en una escala adequada i representa-hi, aproximadament, els anteriors nombres irracionals.

11. Troba el valor de la diagonal d’un quadrat de costat 1 m. Quin serà el valor de la diagonal d’un quadrat de 10 m de costat? I de 5 m?

12. Una aproximació al nombre pi (�) és 227

. Determina l’error d’aquesta aproximació en %. Cerca una

fracció que aproximi millor el nombre �.

6

Unitat 2 • Potències i arrels

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Pot

ènci

es i

arre

ls

Els nombres reals

1. El conjunt dels nombres reals està format per tots els nombres racionals i irracionals.

Indica tots els subconjunts als quals pertanyen els nombres reals següents:

a −13 → reals, racionals i enters.

b 53

→

c 7,5 →

d 255

→

e −24

6 →

f � →

2. Escriu un nombre real que sigui més gran que � i més petit que 103

.

3. Marca a quin conjunt pertanyen els nombres següents:

N Z Q R75

−237

3�

102

7,345912

0,1234567891011…

4. Classifi ca en vertaderes (V) o falses (F) les afi rmacions següents:

a El conjunt dels nombres enters és més gran que el dels nombres naturals. b El conjunt dels nombres enters conté el conjunt dels nombres racionals. c Si un nombre és enter, també és real. d Tots els nombres racionals són també naturals.

7

Unitat 2 • Potències i arrels E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Pot

ènci

es i

arre

ls

Potències i arrels de nombres reals

5. La potenciació és una multiplicació en què tots els factors són el mateix nombre. La base és el nombre que es multiplica i l’exponent és el nombre de vegades que es multiplica.

exponent

base

a a a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ vegades� �������� ��������

Calcula:

a 34 = c 112 =

b (−2)3 = d (−4)4 =

6. Una potència amb l’exponent negatiu equival a la inversa d’aquesta potència, però amb l’exponent positiu.

Observa l’exemple i escriu les potències següents al numerador:

13

355

− =

a 1

7 1( )− = d 135 =

b 1

2 6−( ) =

e

134 =

c 1

3 3−( ) =

f 1

2 2−( )− =

7. Per multiplicar potències amb la mateixa base, deixem la base i sumem els exponents.

Observa l’exemple i fes les multiplicacions següents:

33 ⋅ 35 ⋅ 3−2 ⋅ 34 = 3(3 + 5 − 2 + 4) = 310

a 33 ⋅ 32 ⋅ 3−2 ⋅ 35 ⋅ 3 = 3(3 + 2 − 2 + 5 + 1) = d 12 ⋅ 17 ⋅ 1−1 ⋅ 1−3 =

b 23 ⋅ 27 ⋅ 22 ⋅ 2−2 ⋅ 23 = e 23 ⋅ 26 ⋅ 2−1 ⋅ 25 =

c 5−5 ⋅ 54 ⋅ 53 ⋅ 5 ⋅ 52 ⋅ 53 = f 5 5 552

23

32⋅ ⋅ =

8

Unitat 2 • Potències i arrels

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Pot

ènci

es i

arre

ls

8. Per dividir potències amb la mateixa base, restem els exponents.

Observa l’exemple i fes les divisions següents:

2 22 2

2 2 2 2 2 25 2

2 35 2 2 3 5 2 2 3 8⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = =−

− + − +

a 3 3 3

3 3

3 5 2

2 3

⋅ ⋅⋅

=−

b 5 5 5 5

5 5

3 2 2 2

2 4

⋅ ⋅ ⋅⋅

=− −

9. Per elevar una potència a una altra potència, multipliquem els exponents.

Observa els exemples i fes les operacions amb potències i arrels següents:

7 7 73 4 3 4 12( ) = =⋅ 3 34

14=

a 5 5 5 5 5

5 5

2 5 2 0 2

6 2

−

−

⋅ ( ) ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

b 3 3 3 33 2 5 323( ) ⋅ ⋅ ⋅ =

10. Quan la base és un nombre compost, primer hem de descompondre.

Observa l’exemple i simplifi ca les expressions següents:

102 ⋅ 53 ⋅ 152 = (2 ⋅ 5)2 ⋅ 53 ⋅ (3 ⋅ 5)2 = 22 ⋅ 52 ⋅ 53 ⋅ 32 ⋅ 52 = 22 ⋅ 57 ⋅ 32

a 42 ⋅ 23 ⋅ 82 ⋅ 2 ⋅ 162 =

b 32 ⋅ 123 ⋅ 62 ⋅ 23 ⋅ 92 =

c 43 ⋅ 153 ⋅ 252 ⋅ 203 ⋅ 9 =

d 122 ⋅ 27 ⋅ 32 ⋅ 33 ⋅ 6 =

e 124 ⋅ 45 ⋅ 252 ⋅ 63 ⋅ 12 =

11. Simplifi ca les expressions següents:

a 24 6 45 25 9

5 6 12

1 5 2 0 2

6 2

−

−

⋅ ( ) ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

b 3 3 53 6

12 89562 2

2 23 0⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ =−

9

Unitat 2 • Potències i arrels E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Pot

ènci

es i

arre

ls

Nombres molt grans o molt petits: la notació científi ca

12. Per referir-nos, tant a nombres molt grans com a nombres molt petits, fem servir la notació científi ca. Es tracta del producte d’un nombre real, el coefi cient a, per una potència de 10, en què 1 ≤ a < 10.

Indica quins dels nombres següents estan escrits correctament en notació científi ca:

a 5 ⋅ 102 e 7 ⋅ 23

b 7,5 ⋅ 103 f 125 ⋅ 10

c 15 ⋅ 104 g 7,35 ⋅ 105

d 1,5 ⋅ 103 h 0,02 ⋅ 102

13. Per escriure un nombre molt gran en notació científi ca, desplacem la coma del nombre cap a l’esquer-ra fi ns que només quedi una xifra a l’esquerra de la coma. L’exponent és igual al nombre n de posici-ons que s’hagi desplaçat.

Observa l’exemple i escriu en notació científi ca els nombres següents:

250 000 = 2,5 ⋅ 105

a 72 500 = d 129 500 =

b 50 000 000 = e 1 750 000 =

c 3 200 000 = f 1 000 000 =

14. Per escriure nombres molt petits, desplacem la coma cap a la dreta fi ns que quedi només una xifra a l’esquerra de la coma. L’exponent és igual al nombre de posicions que s’hagi desplaçat, però amb signe negatiu, −n.

Observa l’exemple i escriu en notació científi ca els nombres següents:

0,000045 = 4,5 ⋅ 10−5

a 0,008 = d 0,000957 =

b 0,000000685 = e 0,0000000001 =

c 0,0032 = f 0,000202 =

10

Unitat 2 • Potències i arrels

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Pot

ènci

es i

arre

ls

15. Per multiplicar nombres en notació científi ca, multipliquem els coefi cients i sumem els exponents.

Observa l’exemple i fes les multiplicacions següents:

7,5 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ 104 = (7,5 ⋅ 2) ⋅ 10(3 + 4) = 15 ⋅ 107 = 1,5 ⋅ 108

a 5 ⋅ 102 ⋅ 2 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ 103 =

b 2 ⋅ 104 ⋅ 3 ⋅ 10−1 ⋅ 102 =

c 2,5 ⋅ 103 ⋅ 3 ⋅ 102 ⋅ 2 ⋅ 105 =

d 3,2 ⋅ 102 ⋅ 1,7 ⋅ 103 ⋅ 0,02 ⋅ 10−2 =

e 3,4 ⋅ 106 ⋅ 10−3 =

16. Si el diàmetre de Júpiter és de 1,43 ⋅ 105 km i el de la Terra és de 1,27 ⋅ 104 km, quantes vegades és més gran Júpiter que la Terra?

17. 51 Pegasi b va ser el primer planeta que es va detectar fora del sistema solar. La seva distància del Sol és de 4,83 ⋅ 1017 km, i la distància de la Terra al Sol és de 1,5 ⋅ 108 km. Calcula quantes vegades és més lluny del Sol el planeta 51 Pegasi b que la Terra.

18. Un gra d’arròs pesa uns 0,2 ⋅ 10−3 kg. Quants quilograms pesaran 106 grans d’arròs?

11

Unitat 3 • Els polinomis

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

Monomis i operacions algebraiques

1. Un monomi és la multiplicació d’un nombre per lletres elevades a potències d’exponent natural. El nombre es diu coefi cient, i la suma dels exponents de les lletres s’anomena grau.

Observa l’exemple i completa la taula següent:

monomi coefi cient part literal grau

12x3yz 12 x3yz 3 + 1 + 1 = 5

−2ab

�x4y

−3x2y3

2 2pq

2. Els monomis semblants tenen les mateixes lletres amb els mateixos exponents. Si dos monomis són semblants, els coefi cients es poden sumar o restar, deixant la mateixa part literal. Si no són semblants, aquestes operacions no són factibles.

Fixa’t en aquests exemples i fes les operacions següents, si es pot:

12x2 − 7x2 = 5x2 3x3 − 4x2 = no factible 4x5 + 3x4 = no factible 4x3 + 7x3 = 11x3

a 3x4 + 6x4 = c 3x − 5x6 = e 3x3 + 6x2 = g 3x6 + 6x6 =

b 2x3 − 4x3 = d 2x3 + 5x2 = f 2x5 − 6x5 = h 3x2 − 4x =

3. Les multiplicacions, divisions i potències es poden realitzar sempre.

Fixa’t en els exemples i fes les operacions següents:

3x4 ⋅ 5x3 = 3 ⋅ 5 ⋅ x4 ⋅ x3 = 15x712x5 : 3x2 = (12 : 3) ⋅ (x5 : x2) = 4x3 (3x2)4 = 34(x2)4 = 81x8

a 3x6 ⋅ 4x2 =

b 20x3 : 2x =

c 60x5 : 12x3 =

d (2x)5 =

e (4x5)3 =

f 8x4 ⋅ 2x2 =

g 30x12 : 6x9 =

h (5x)4 =

i (2x3)3 =

12

Unitat 3 • Els polinomis E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

Els polinomis

4. Una suma de monomis de diferent grau, un cop hem agrupat els termes semblants, es converteix en un polinomi. El grau d’aquest polinomi serà el del monomi de més grau. Per sumar-los, primer posem tots els termes ordenats pel grau.

Observa l’exemple i suma els monomis següents:

−5x2 − x + 2x2 + 6 + 7x − 9 = −5x2 + 2x2 − x + 7x + 6 − 9 = −3x2 + 6x − 3és un polinomi de segon grau.

a 3x − 4x2 − 6x + 3 − 5x2 − 9 =

b 7x2 − 5x − 2x3 + 7x − 9x2 + 1 =

c 2 + 3x4 − 2x2 + 5x2 + 3x − 6 =

d 4x3 − 5x2 + 7x − 1 − 3x2 − 8x =

5. El valor numèric d’un polinomi és el resultat de substituir cada lletra per un valor i fer les operacions que resulten.

Així, per exemple, donat el polinomi P(x) = 3x − 7, la x entre parèntesis signifi ca que aquesta és la lletra que podem canviar per un nombre. Si posem P(2), vol dir que ho canviem per 2 (x = 2).

P(2) = 3 ⋅ 2 − 7 = 6 − 7 = −1

Completa la taula següent:

polinomi x valor numèric resultat

P(x) = 5x − 2 3 P(3) = 5 ⋅ 3 − 2 13

Q(x) = 4x − 17 5

R(x) = x2 − 4x + 1 1

S(x) = 2x2 − 6x + 3 4

T(x) = x3 − 3x 2

13

Unitat 3 • Els polinomis

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

Suma, producte i potenciació de polinomis

6. Per sumar polinomis n’hi ha prou amb escriure els polinomis ordenats, col·locar els monomis semblants a la mateixa columna i així poder-los sumar. Si falta algun terme, deixem l’espai.

Observa l’exemple i fes les sumes següents:

P = 2x3 − x2 + 3x + 4 P = 2x3 − x2 + 3x + 4Q = 4x3 − 6x + 5 Q = 4x3 − 6x + 5

P + Q = 6x3 − x2 − 3x + 9

a P = 4x3 − 2x2 + 5x − 4 P =Q = 2x3 + 3x2 − 6x + 5 Q =

P + Q =

b P = 3x3 − x2 + 4x + 3 P =Q = 5x3 − 4x2 − 8 Q =

P + Q =

7. Les restes de polinomis es fan igual que les sumes, però prèviament es canvia el signe del polinomi que resta.

Observa l’exemple i fes les restes següents:

P = 4x3 − 2x2 + 5x + 1 P = 4x3 − 2x2 + 5x + 1Q = 2x3 − 5x + 3 −Q = − 2x3 + 5x − 3

P − Q = 2x3 − 2x2 + 10x − 2

a P = 6x3 − 2x2 + 4x + 3 P =Q = 3x3 − 2x + 6 −Q =

P − Q =

b P = 5x3 − 4x2 + 2x + 4 P =Q = 4x3 − 5x + 6 −Q =

P − Q =

8. Donats P = 3x3 − 4x2 + 5x − 3, Q = 2x3 − x2 + 5 i R = 3x3 − 6x + 7, calcula:

a P + Q − R b P − Q + RP = P =Q = −Q =−R = R =

P + Q − R =P − Q + R =

14

Unitat 3 • Els polinomis E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

9. La multiplicació d’un monomi per un polinomi es fa multiplicant el monomi per cadascun dels termes del polinomi.

Observa l’exemple i fes les multiplicacions següents:

3x(4x2 + 2x + 5) = 3x ⋅ 4x2 + 3x ⋅ 2x + 3x ⋅ 5 = 12x3 + 6x2 + 15x

a 5x2(2x2 − 4x + 3) =

b 3x(x3 − 5x2 + 4x + 7) =

10. Quan hi ha diferents parèntesis, els hem de treure tots i agrupar els termes semblants. És un procés senzill però llarg i cal que ens fi xem de no deixar-nos cap terme.

Observa l’exemple i fes les operacions següents:

3x(x2 − 4x + 5) − x2(3x − 4) = 3x ⋅ x2 − 3x ⋅ 4x + 3x ⋅ 5 − x2 ⋅ 3x − x2(−4) == 3x3 − 12x2 + 15x − 3x3 + 4x2 = 3x3 − 3x3 − 12x2 + 4x2 − 15x = −8x2 − 15x

a 5x(x2 − 4x + 3) − 2x2(5x − 6) =

b 4x2(x − 6) − 3x(x2 − 4) + 5(x3 − 4x) =

c 3x (x2 + 2x +3) − 4x2 (2x − 5 ) =

d 7(x3 − 4x2 + 5x − 2) − 3x(x2 − 3x + 8) =

11. La multiplicació de dos binomis es fa multiplicant els dos termes del primer binomi pels dos termes del segon binomi i sumant els resultats. Hem de posar una atenció especial en els signes.

Observa l’exemple i fes les operacions següents:

(3x + 2) ⋅ (5x + 4) = 3x ⋅ 5x + 3x ⋅ 4 + 2 ⋅ 5x + 2 ⋅ 4 = 15x2 + 12x + 10x + 8 = 15x2 + 22x + 8

a (4x + 3) ⋅ (2x + 5) =

b (5x − 2) ⋅ (4x + 3) =

c (2x − 6) ⋅ (7x + 8) =

d (5x − 2) ⋅ (4x − 7) =

15

Unitat 3 • Els polinomis

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

12. Quan multipliquem polinomis llargs, també els multipliquem tots per tots, però ho fem seguint un es-quema vertical semblant al de les multiplicacions amb nombres naturals. És més pràctic posar el poli-nomi més curt a sota.

Observa com es multipliquen P = 3x2 + 4x + 5 i Q = 2x + 6 i fes les multiplicacions següents:

3x2 + 4x + 5

× 2x + 6

18x2 + 24x + 30

6x3 + 8x2 + 10x

6x3 + 26x2 + 24x + 30

a (x2 − 3x + 6) ⋅ (2x − 7) c (x3 − 4x2 + 3x − 2) ⋅ (2x − 3)

x2 − 3x + 6

× 2x − 7

b (2x2 − 4x + 5) ⋅ (3x + 4) d (x2 − 5x + 4) ⋅ (x2 − 2x + 3)

2x2 − 4x + 5

× 3x + 4

13. Una potència consisteix a multiplicar la base per si mateixa tantes vegades com indiqui l’exponent. Els quadrats de polinomis es calculen multiplicant el polinomi per si mateix.

Observa com es fa (x2 + 2x + 3)2 i efectua les potències següents:

x2 + 2x + 3× x2 + 2x + 3

3x2 + 6x + 9 2x3 + 4x2 + 6x

x4 + 2x3 + 3x2

x4 + 4x3 + 10x2 + 12x + 9

a (2x + 3)2 c (x2 − 4x − 5)2

2x + 3

× 2x + 3

b (x2 + 4x +2)2 d (x3 − 4x2 + 5x + 2)2

16

Unitat 3 • Els polinomis E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

Divisió de polinomis

14. La divisió de dos polinomis es fa aplicant un procediment semblant al de la divisió de nombres natu-rals, basat en multiplicacions i restes reiterades.

Observa l’exemple i fes les divisions següents:

2x + 3 x + 2− 2x − 4 2

− 1

En el quocient hem de posar un nombre que multiplicat pel primer terme del di-visor, que és x, doni el primer terme del dividend, que és 2x. Aquest nombre és 2. Fem la multiplicació i la restem al dividend, i obtenim així el residu de la divisió.

a 2x + 3 x + 2 c 4x − 1 x − 1 e 6x + 10 x + 4 g 3x + 2 x + 1

b 3x − 5 x + 1 d 5x + 4 x + 3 f 4x − 3 x − 4 h 5x + 43 x − 2

15. Si fas un sol pas, com en l’exercici anterior, obtindràs un residu parcial. Si repeteixes el pas amb aquest residu, obtindràs un altre terme del quocient i un nou residu. I així, continues fi ns que no es pugui més (grau del residu més petit que el del divisor).

Observa l’exemple i efectua les divisions similars a les següents:

x2 − 4x + 3 x + 2−x2 − 2x x − 2

− 2x + 3+ 2x + 4

7Quocient: q(x) = x − 2.Residu: r(x) = 7.

1. Posa la x que multiplicada pel primer terme del divisor doni el primer terme del dividend. Multiplicant i restant dóna el primer residu parcial, que és −2x + 3.2. Posa −2 al quocient que multiplicat pel primer terme del divisor doni el primer terme del residu parcial. Multiplicant i restant, dóna el nou residu, que és 7, que és el defi nitiu.

a x2 − 5x x + 3

q(x) =r(x) =

c x2 − 3x + 4 x + 1

q(x) =r(x) =

b x2 − 6x x − 2

q(x) =r(x) =

d x2 + 2x + 3 x − 1

q(x) =r(x) =

17

Unitat 3 • Els polinomis

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

16. La regla de Ruffi ni és una manera ràpida de realitzar divisions, si el divisor és de primer grau.

Observa com es fa la divisió (5x2 + 3x − 2) : (x − 2) i efectua mitjançant la regla de Ruffi ni les divisions següents:

5 3 −22

5

Posem els coefi cients del dividend a la fi la superior, i el 2 del divisor a l’angle esquerre. Si ho dividim per (x + 2), posarem −2. Fem baixar el primer coefi -cient a la fi la inferior.

5 3 −22 10

5 13

Multipliquem el nombre de la tercera fi la per 2 i el resultat el posem a la se-gona fi la. Aquest el sumem amb el de la primera fi la.

5 3 −22 10 26

5 13 24

Repetim aquest procediment fi ns que no puguem continuar més. El darrer nombre de la tercera fi la és el residu, i els altres nombres són els coefi cients del quocient. Per tant, el resultat de la divisió és q(x) = 5x + 13 i r(x) = 24.

a (3x2 − 5x + 3) : (x − 1) c (5x3 − 4x2 + 5x − 2) : (x − 3)

q(x) = q(x) = r(x) = r(x) =

b (4x2 + 5x + 2) : (x + 2) d (4x3 − 6x2 + 4x − 1): (x + 3)

q(x) = q(x) = r(x) = r(x) =

17. Quan situem els coefi cients del dividend a la fi la superior, hem de posar tants zeros com termes faltin. Aplica-ho a les divisions següents:

a (2x3 − 7x + 5) : (x − 1) c (6x3 − 4x2 − 3) : (x − 3)

q(x) = q(x) = r(x) = r(x) =

b (4x4 + 5x2 + 2) : (x + 2) d (4x4 − 5x2 + 2x − 1) : (x + 3)

q(x) = q(x) = r(x) = r(x) =

⋅

⋅

18

Unitat 3 • Els polinomis E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

pol

inom

is

Les identitats notables

18. Les identitats notables permeten calcular de manera ràpida algunes operacions típiques amb polino-mis. Bàsicament n’hi ha tres:

Quadrat d’una suma: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.Quadrat d’una resta: (A − B)2 = A2 − 2AB + B2.Suma per diferència: (A + B) ⋅ (A − B) = A2 − B2.

En tots els casos es tracta de veure qui és A i qui és B, posar-ho a la fórmula que correspongui i fer les operacions indicades. Resulta molt pràctic fer aquestes operacions de forma automàtica.

Observa els exemples i aplica les identitats notables en les fórmules següents:

(2x + 4)2 → A = 2x i B = 4 → (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 4 + 42= 4x2 + 16x + 16

(3x − 7)2 → A = 3x i B = 7 → (3x)2 − 2 ⋅ 3x ⋅ 7 + 72 = 9x2 − 42x + 49

(4x + 5) ⋅ (4x − 5) → A = 4x i B = 5 → (4x)2 − 52 = 16x2 − 25

a (3x + 6)2 → A = 3x i B = 6 →

b (2x − 9)2 → A = i B = →

c (3x + 8) ⋅ (3x − 8) → A = i B = →

d (5x + 6)2 →

e (3x − 8)2 →

f (7x + 11) ⋅ (7x − 11) →

g (6x + 12)2 →

h (10x − 4)2 →

i (9x + 5) ⋅ (9x − 5) →

j (x2 + 4)2 →

k (x2 − 3)2 →

19

Unitat 4 • Les equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

Les igualtats algebraiques

1. Les igualtats es classifi quen en identitats, que són certes per a qualsevol valor de x, i en equacions, que només ho són per a algun valor.

Observa l’exemple i comprova si les igualtats següents són identitats o equacions:

2x − 1 = 3x − 3

x 0 1 2 3 4

2x − 1 −1 1 3 5 7

3x − 3 −3 0 3 6 9

Només és certa per a x = 2.És una equació.

a

4x + 1 = 2x + 7

x 0 1 2 3 4

4x + 1

2x + 7

b

3x + 1 = x + 1 + 2x

x 0 1 2 3 4

3x + 1

x + 1 + 2x

2. El nombre que fa que el valor dels dos membres d’una equació coincideixin s’anomena solució.

Observa l’exemple i completa la taula següent:

equació x valor del primer membre valor del segon membre és solució?

12x − 1 = 7x + 14 3 12 ⋅ 3 − 1 = 36 − 1 = 35 7 ⋅ 3 + 14 = 21 + 14 = 35 sí

8x − 1 = 3x + 9 2

14x − 6 = 4x + 24 5

3. Una manera de resoldre equacions és fer una mateixa transformació als dos membres de la igualtat, de manera que elimini nombres del primer membre i els faci aparèixer al segon membre.

Observa l’exemple i comprova si les igualtats següents són identitats o equacions:

equació transformació primer membre segon membre solució

x + 3 = 11 restar 3 x + 3 − 3 → queda x 11 − 3 = 8 x = 8

2x = 12 dividir per 222x → queda x 12

2= 6 x = 6

x + 6 = 9

x − 4 = 7

7x = 21

−4x = −16

20

Unitat 4 • Les equacionsE

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

Les equacions de primer grau

4. Les regles de transposició de termes permeten aïllar la x i resoldre l’equació de manera molt senzilla.

Observa els exemples i resol les equacions següents fent un sol pas:

equació regla pràctica solució

x + 6 = 11 Un terme que està sumant en un membre, passa restant a l’altre. x = 11 − 6 = 5

x − 1 = 7 Un terme que està restant en un membre, passa sumant a l’altre. x = 7 + 1 = 8

3x = 15 Un terme que està multiplicant, passa dividint. x =  153

= 5

a x + 3 = 8 c 8x = 16 e x + 8 = −2

b x − 4 = 2 d x − 5 = −3 f −4x = 12

5. Per resoldre equacions que tenen lletres i nombres als dos membres, el primer pas és passar les x al primer membre i els nombres al segon, després, agrupar els termes semblants i, fi nalment, aïllar la x.

Observa els exemples i resol les equacions següents:

15x − 5 = 7x + 11Passa 7x al primer membre i −5 al segon: 15x − 7x = 11 + 5 → 8x = 16Aïlla la x:

x = =168

2

5x − 6 + 8x − 16 = 5x − 6Passa 5x al primer membre i −6 i −16 al segon i simplifi ca:5x + 8x − 5x = −6 + 6 + 16 → 8x = 16Aïlla la x:

x = =168

2

a 14x − 6 = 6x + 10 e 8x − 5 + 3x + 12 = 6x + 27

b 22x − 15 = 14x + 17 f 4x − 2 = 6x − 8 − 5x + 15

c 9x − 5 = 5x + 11 g 11x − 3 + 7x − 2 = 7x + 8 + 6x + 2

d 11x + 6 = 5x − 18 h 15x + 4 − 6x + 2 = 5x + 7 − x + 9

21

Unitat 4 • Les equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

Simplifi cació d’equacions de primer grau

6. Per resoldre equacions amb parèntesis hem de seguir unes pautes determinades.

Observa l’exemple i resol les equacions següents:

4(5x − 3) + 3(2x + 6) = 58Primer treu els parèntesis aplicant la propietat distributiva: 4(5x − 3) + 3(2x + 6) = 58 → 20x − 12 + 6x + 18 = 58.Aplica les regles de transposició i passa el 12 i el 18 al segon membre:20x + 6x = 58 + 12 − 18.Simplifi ca i aïlla la x:

26x = 52 → x x= → =5226

2.

a 4x + 5(10 − x) = 48

b 3x + 2(x + 1) + 4(x + 2) = 6(x + 3) + 1

c 2(x − 2) + 5(3x + 4) = 6(2x − 2) + 33

d 7(x − 1) + 4(2x − 3) = 6(x + 1) − 1

e 4(x + 2) − 3(x − 1) = 13 − (x − 2)

f −(x + 1) − 5(x − 2) = 2(x + 3) + 11

g 4(x + 2) − 2(x − 1) = 11 − (x − 2)

h 8(x + 3) − 5(x + 1) = 4(x − 4) − 12

22

Unitat 4 • Les equacionsE

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

7. Quan una equació té denominadors, hem d’eliminar-los i convertir l’equació en una equació del tipus anterior.

Observa l’exemple i resol les equacions següents:

25

32 4

110

x x+ = −

Primer calcula el m. c. m. dels denominadors: m. c. m. (5, 2, 4, 10) = 20.Multiplica tots els termes, un a un, pel m. c. m. trobat:

20 25

20 32

204

20 110

405

602

204

201

⋅+

⋅=

⋅−

⋅→ + = −

x x x x00

Simplifi ca i resol l’equació per transposició:

8x + 30 = 5x − 2 → 8x − 5x= −2 − 30 → 3x = −32 → x =−32

3

a 34

16

25

23

x x− = + b

415

310

512

16

x x+ = −

8. Quan el primer i el segon membres són fraccions, es tracta d’una equació en forma de proporció. El procediment és semblant al de les equacions de l’exercici anterior.

Observa l’exemple i resol les equacions següents:

2 110

315

x x+=

−→ Primer calcula el m. c. m. dels denominadors: m. c. m. (10, 15) = 30.

Multiplica els numeradors pel m. c. m.: 30 2 1

10

30 3

15

x x+( )=

−( )

En simplifi car queda una equació amb parèntesis:3(2x + 1) = 2(x − 3)→ 6x + 3 = 2x − 6.Ara fes la transposició i aïlla la x:

6x − 2x = −6 − 3 → 4x = −9 → x =−94

a 3 1

122 5

10x x−

=+

b 4 3

82 5

6x x+

=−

c 2 3

155

6x x−

=+

23

Unitat 4 • Les equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

Les equacions de segon grau

9. L’equació de segon grau més fàcil de resoldre és la que no té el terme de primer grau, com per exem-ple 3x2 − 75 = 0. Les seves solucions es troben aïllant x2 i fent l’arrel quadrada.

Observa l’exemple i resol les equacions següents:

3 75 0 3 75753

25 252 2 2 2x x x x x− = → = → = → = → = ±

a 6x2 − 294 = 0

b 3x2 − 675 = 0

c 2x2 − 5 = 13

d (x + 1) ⋅ (x − 1) = 8

10. Si falta el terme independent, hem de treure la x com a factor comú i igualem a 0 els dos factors. Ales-hores, x2 es converteix en x i el terme de primer grau perd la x.

Observa l’exemple i resol les equacions següents:

x x x xx

x

x

x2 3 3– –= → ( ) = →

=− =

→=

0 00

3 0

01

2

1

2 ==

3

a x x x xx

x

x2 4– –       

   = → ( ) = →

=

− =

→0 00

1

2

11

2

=

=

   

   x

b x2 + 6x = 0

c (x + 2) ⋅ (x − 3) + 6 = 0

24

Unitat 4 • Les equacionsE

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

Resolució d’equacions de segon grau completes

11. L’expressió general d’una equació de segon grau és ax2 + bx + c = 0. Les lletres a, b i c són nombres

que s’han d’identifi car en cada cas i aplicar la fórmula xb b ac

a=

− ± −2 42

.

Observa l’exemple i resol les equacions següents:

En l’equació 2x2 − 5x + 3 = 0, els valors de les lletres són a = 2, b = −5 i c = 3. Aquests valors s’han de substituir en la fórmula:

xx

x=

− −( ) ± −( ) − ⋅ ⋅⋅

=±

=±

→= =5 5 4 2 3

2 25 1

45 1

4

64

32

21

2 ==

1

a x2 − 4x + 3 = 0 → a = 1, b = −4 i c = 3 e x2 − 6x + 9 = 0

x =−( ) ± ( ) − ⋅ ⋅

⋅=

               

   

24

2

b x2 − 6x + 8 = 0→ a =  , b =  i c =  f x2 + 10x + 25 = 0

c x2 − 2x − 8 = 0 g 2x2 − 3x + 1 = 0

d x2 + 8x + 15 = 0 h 15x2 − 19x + 6 = 0

12. Resol les equacions següents:

a 2(x − 1) ⋅ (x + 3) − (x + 1)2 = 6

b (x + 4)2 + (x + 1) ⋅ (x + 5) = 21

25

Unitat 4 • Les equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

Resolució de problemes

13. Un triangle isòsceles té un angle el doble que els altres dos.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i troba el valor de cada un dels costats.Angles iguals: x.Angle diferent: .Els tres angles d’un triangle sumen 180°, per tant: + +  =  .L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

Els angles són °, ° i °.

14. En Robert porta 65 € repartits en 8 bitllets de 10 € i 5 €.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i troba quants bitllets de cada classe porta:Nombre de bitllets de 5 €: x. Diners que representen aquests bitllets: .Nombre de bitllets de 10 €: . Diners que representen aquests bitllets: . Diners en total: +  = 65 €.L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

Porta bitllets de 5 € i bitllets de 10 €.

15. En Joaquim té 14 anys i el seu pare, l’Òscar, en té 48.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i troba quants anys han de passar perquè el pare tingui el triple d’anys que el fi ll.

Anys que han de passar:

edat actual edat d’aquí a anys

Joaquim 14

Òscar 48

L’edat del pare serà el triple que la del fi ll:  = 3( ).L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

Han de passar anys.

26

Unitat 4 • Les equacionsE

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

16. En Jan, en Pau i la Marina s’han repartit una bossa de caramels. En Jan n’ha agafat la tercera part i 3 caramels; en Pau n’ha agafat la quarta part i 4 caramels i, fi nalment, la Marina n’ha agafat la cinque-na part i 6 caramels.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i troba quants caramels hi havia a la bossa. Caramels de la bossa: x.

expressió verbal expressió algebraica

Jan tercera part i 3 caramelsx3

3+

Pau

Marina

La suma del que ha agafat cadascú són els caramels de la bossa:

x3

3+ + + = x.

L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

A la bossa hi havia caramels.

17. Una fàbrica té un dipòsit ple de fuel. El primer dia en va gastar les dues cinquenes parts del contingut i el segon dia la tercera part del que quedava. El tercer dia quedaven 2 000 L.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i esbrina quina capacitat té el dipòsit.Capacitat del dipòsit: x.

dia expressió verbal expressió algebraica queden

primer dos cinquens del total25

⋅     

     

     

     

     

     

     

     − =

segon un terç de la resta13

⋅     

     

     

     

     

     

     

     − =

tercer 2 000 2 000 0

El que gasta durant els dos primers dies i el que queda per al tercer dia és la capacitat del dipòsit:

        

        

        

        .+ + =2 000 x

L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

El dipòsit té una capacitat de L.

27

Unitat 4 • Les equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

18. Troba dos nombres naturals consecutius que multiplicats donin 156.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i esbrina quins nombres són.Primer nombre: x.Nombre consecutiu: La multiplicació dels dos nombres dóna 156: ⋅ ( ) = 156.L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

Els nombres són i .

19. Un camp rectangular té una superfície de 15 ha. La seva llargada fa 200 m més que l’amplada.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i esbrina quines són les dimensions.

1510 000

12 

  

            ha

mha

m2

⋅ =

 m2

Amplada: x.Llargada: L’àrea és x ( ) = L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

La llargada és m i l’amplada és m.

20. En un triangle rectangle, el catet gran a fa 7 cm més que el catet petit b, i la hipotenusa c mesura 1 cm més que el catet gran.

Segueix les indicacions per plantejar l’equació i esbrina quines són les dimensions dels costats d’aquest triangle.Catet petit: x.Catet gran: .Hipotenusa: .Els tres costats d’un triangle rectangle estan relacionats pel teorema de Pitàgores:c2 = a2 + b2 → x2 + ( )2 = ( )2

L’equació ja està plantejada. Resol-la i expressa’n el resultat.

Els catets fan  cm i  cm, i la hipotenusa fa  cm.

28

Unitat 4 • Les equacionsE

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Les

eq

uaci

ons

21. Resol els problemes següents:

a En Joan ha estalviat 130 €. En total ha recollit 10 bitllets que són de 10 € i 20 €. Quants bitllets té de cada classe?

b En Jordi té 35 anys i la Gemma en té 18. Quants anys fa que en Jordi tenia el doble d’anys que la Gemma?

c M’he llegit un llibre en 3 dies: el primer dia n’he llegit la meitat; el segon dia, la quarta part i 2 pàgines; el tercer dia, la cinquena part i 3 pàgines. Quantes pàgines té el llibre?

d Un terreny rectangular té 30 ha de superfície, i fa 100 m més de llargada que d’amplada. Calcula’n les dimensions.

e El catet gran d’un triangle rectangle mesura 3 cm més que el catet petit, i la hipotenusa fa 3 cm més que el catet gran. Calcula quant fa cada costat.

f Un terreny quadrat de 30 m de costat fa 900 m2. Quant hauria de mesurar un dels costats perquè fes 1 500 m2?

29

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

Les equacions de primer grau amb dues incògnites

1. Un parell de nombres (x, y) és solució d’una equació amb dues incògnites si en substituir-les per aquests nombres fan que es compleixi la igualtat.

Observa els exemples i completa la taula següent:

parell x y equació és solució?

(2, 3) 2 3 2x + y = 7 2 ⋅ 2 + 3 = 7 → sí

(3, 1) 3 1 x + y = 6 3 + 1 = 4 ≠ 6 → no

(1, 1) 3x + 5y = 8

−1 2 4x + 3y = 1

(−2, 3) 2x + 3y = 5

(−3, −4) x + y = 7

2. Troba cinc solucions de l’equació 2x + y = 6 amb l’ajuda de la taula anterior.

x equació y solució x equació y solució

1 2 + y = 6 4 (1, 4) −1

0 3

−2 2

3. Una equació amb dues incògnites pot tenir moltes solucions. Cada solució és un punt en el pla que units formen una recta. Una manera senzilla de trobar aquesta recta és unir els punts de tall amb els eixos de coordenades.

Observa l’exemple i dibuixa la recta de les equacions següents:

2x − 4y = 8Fent x = 0 trobem el punt de tall amb l’eix d’ordenades:

2 0 4 8 4 884

2⋅ − = → − = → =−

→ = −y y y y .

Fent y = 0 trobem el punt de tall amb l’eix d’abscisses:

2 4 0 8 2 882

4x x x x− ⋅ = → = → = → = .

És la recta que passa pels punts (0, −2) i (4, 0).

1

1

–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 –1 2

2

3

3

4

4

0

0

a 3x − 2y = 6

1

1

–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4–5–6 –1 2

2

3

3

4 5 6

4

00

b 5x + 3y = 15

1

1

–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4–5–6 –1 2

2

3

3

4 5 6

4

00

30

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

Els sistemes d’equacions

4. Un sistema d’equacions està format per dues equacions amb dues incògnites. Com que cada equació es pot representar mitjançant un recta, si observem la relació entre les dues rectes podem veure el nombre de solucions del sistema.

– Dues rectes secants: una única solució → sistema compatible determinat. – Dues rectes paral·leles: cap solució → sistema incompatible. – Dues rectes coincidents: infi nites solucions → sistema compatible indeterminat.

Dibuixa les rectes de cada sistema d’equacions en els eixos corresponents, i digues de quin tipus de sistema es tracta. En cas que el sistema sigui compatible, escriu-ne la solució.

a

x y

x y

− = −+ =

1

2 4

Equació x − y = −1x = 0 →y = 0 →La recta passa per ( , ) i per ( , ).Equació 2x + y = 4x = 0 →y = 0 →La recta passa per ( , ) i per ( , ).

1

1

–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 –1 2

2

3

3

4

4

0

0

b

2 4

4 2 4

x y

x y

− =− = −

1

1

–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 –1 2

2

3

3

4

4

0

0

c

4 2 8

2 4

x y

x y

+ =+ =

1

1

–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 –1 2

2

3

3

4

4

0

0

31

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

Els mètodes algebraics

5. Resoldre un sistema d’equacions pel mètode d’igualació es basa a aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions.

Observa l’exemple i resol els sistemes d’equacions següents pel mètode d’igualació.

4 3 5

2 5

x y

x y

− =+ =

Aïlla la y en les dues equacions. Així s’estalvia un denominador.

4 3 5 3 5 4 3 4 54 5

32 5 5

x y y x y x yx

x y y

− = → − = − → = − → =−

+ = → = – 22x

Iguala les dues equacions i resol:

4 53

5 23 4 5

33 5 2 4 5 15 6 4 6

xx

xx x x x

−= − →

−( )= −( ) → − = − → + xx x x x= + → = → = → =15 5 10 20

2010

2

4 53

5 23 4 5

33 5 2 4 5 15 6 4 6

xx

xx x x x

−= − →

−( )= −( ) → − = − → + xx x x x= + → = → = → =15 5 10 20

2010

2.

Sabent que x = 2, substitueix aquest valor i troba y. y = 5 − 2 ⋅ 2 → y = 5 − 4 → y = 1. La solució del sistema és (x, y) = (2, 1).

a 2 3 9

3 10

x y

x y

+ =+ =

c

2 5 13

3 1

x y

x y

+ =− =

b

4 5 7

2 7

x y

x y

− = −+ =

d

x y

x y

+ =− =

2 5

3 1

32

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

6. El mètode de reducció es basa a combinar les dues equacions del sistema per eliminar una de les incògnites. Aquesta combinació pot ser tan senzilla com sumar o restar les dues equacions, però so-vint hem de multiplicar cada equació per un nombre de manera que el coefi cient de la incògnita que volem eliminar tingui el mateix valor absolut però el signe contrari, ja que així en sumar s’elimina.

Observa l’exemple i resol els sistemes d’equacions següents pel mètode de reducció.

4 3 11

6 5 7

x y

x y

+ =− =

Decidim eliminar la x (m. c. m. (4, 6) = 12). Com que el signe del coefi cient de la x és el mateix, una de les dues equacions ha de canviar de signe.

12 : 4 = 4 → 3(5x + 3y = 11) → 12x + 9y = 33

12 : 6 = 2 → −2(6x − 5y = 7) → − 12x + 10y = −14

0 + 19y = 19 → y = 19/19 = 1

La x substitueix la y pel seu valor (1) a 4x + 3y = 11:

4 3 1 11 4 3 11 4 884

2x x x x x+ ⋅ = → + = → = → = → = .

La solució del sistema és (x, y) = (2,1).

a

5 2 4

3 4 18

x y

x y

− =+ =

Elimina la x → m. c. m. (5, 3) = .

d

3 4 1

2 5 7

x y

x y

+ = −− =

b 2 4 0

5 3 14

x y

x y

− =− =

Elimina la y → m. c. m. (4, 3) = .

e

6 2 10

2 5

x y

x y

+ =− =

c

3 2 4

2 5 1

x y

x y

+ =+ = −

f

3 2 1

2 4 6

x y

x y

− =+ =

33

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

7. El mètode de substitució consisteix a aïllar una de les incògnites de l’equació –la que resulti més fàcil–, i canviar l’expressió obtinguda per la incògnita en l’altra equació.

Observa l’exemple i resol els sistemes d’equacions següents pel mètode de substitució.

3 2 19

2 11

x y

x y

+ =+ =

Aïllem la y de la segona equació: y = 11 − 2x.Canviem la y de la primera equació per (11 − 2x) i resolem:3x + 2(11 − 2x) = 19 → 3x + 22 − 4x = 19 → 3x − 4x = 19 − 22 → −x = −3 → x = 3.La y substitueix la x pel seu valor:y = 11 − 2 ⋅ 3 → y = 11 − 6 → y = 5.La solució del sistema és (x, y) = (3, 5).

a

3 2 12

2 7

x y

x y

+ =+ =

d 4 3 23

7

x y

x y

+ =+ =

b 4 3 19

2 2

x y

x y

+ =− =

e 2 5 19

6

x y

x y

+ =− =

c 5 2 4

3 7

x y

x y

+ =+ = −

f 3 7 23

2 4

x y

x y

+ =− =

34

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

Resolució de problemes amb sistemes de primer grau

8. La suma de dos nombres és 27 i la seva diferència és 3.

Segueix els passos per plantejar el sistema d’equacions i troba el valor d’aquest nombre.Primer nombre: x. Segon nombre: y.La suma dels dos nombres és 27: x y = 27.La diferència dels dos nombres és 3: x y = 3.El sistema d’equacions ja està plantejat. Resol-lo per reducció i expressa’n el resultat.

(x, y) = ( , ) → Els dos nombres són i .

9. Fa 5 anys, en Jordi tenia 5 vegades l’edat del seu fi ll Isaac, i d’aquí a 10 anys en tindrà només el doble.

Segueix els passos per plantejar el sistema d’equacions i troba quants anys tenen pare i fi ll, actual-ment.

persona ara fa 5 anys d’aquí a 10 anys

Jordi x

Isaac y

Fa 5 anys, l’edat del pare era 5 vegades la del fi ll: = 5( ).D’aquí a 10 anys, l’edat del pare serà el doble de la del fi ll: . El sistema d’equacions ja està plantejat. Resol-lo i expressa’n el resultat.

(x, y) = ( , ) → En Jordi té anys i l’Isaac en té .

35

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

10. Per fabricar una unitat del cotxe model Daina es requereixen 3 h de planxisteria i 2 h de pintura. En canvi, per fabricar una unitat del cotxe model Caribú, són necessàries 2 h de planxisteria i 3 h de pin-tura. La cadena de producció disposa de 40 h de planxisteria i 35 h de pintura.

Segueix els passos per plantejar el sistema d’equacions i calcula quants cotxes de cada model es poden produir.Unitats fabricades del Daina: x. Unitats fabricades del Caribú: y.

model hores de planxisteria hores de pintura

Daina 3x

Caribú

total + +

Hores de planxisteria totals: + = .Hores de pintura totals: + = .El sistema d’equacions ja està plantejat. Resol-lo i expressa’n el resultat.

(x, y) = ( , ) → Es poden fabricar cotxes del model Daina i cotxes del model Caribú.

11. Volem preparar una bóta de 700 L de vi barrejant-ne un de primera classe a 2,50 €/L, amb un altre de segona classe que va a 1,80 €/L, de manera que surti un vi a 2,00 €/L.

Segueix els passos per plantejar el sistema d’equacions i troba quina quantitat de vi de cada classe hem de barrejar.Litres de vi de primera classe a 2,50 €/L: x. Litres de vi de primera classe a 1,80 €/L: y.

tipus de vi litres preu

primera classe (2,50 €/L) x

segona classe (1,80 €/L)

total + +

Total de litres: + = .Preu total: + = .El sistema d’equacions ja està plantejat. Resol-lo i expressa’n el resultat.

(x, y) = ( , ) → S’han de posar L de vi de primera classe i L de vi de segona classe.

36

Unitat 5 • Els sistemes d’equacions E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Els

sis

tem

es d

’eq

uaci

ons

12. Resol els problemes següents:

a Troba un nombre de dues xifres que sumin 8. Si invertim l’ordre de les xifres, el resultat és igual al nombre original més 18.

b Fa 3 anys, l’Eva tenia el triple d’anys de la seva fi lla Helena, i d’aquí a 12 anys en tindrà només el doble. Quants anys tenen mare i fi lla, actualment?

c Per fer una coca de pinyons ens fan falta 3 kg de massa i 2 h d’elaboració. Per fer una coca de fruita necessitem 2 kg de massa i 4 h d’elaboració. Si disposem de 240 kg de massa i de 280 h de treball, quantes coques de cada classe podem produir?

d Volem preparar una bóta de 600 L de vi que surti a 3,20 €/L. Ho farem barrejant un vi de 3,50 €/L amb un altre que va a 2,60 €/L. Calcula quina quantitat de vi de cada classe hi hem de posar.

37

Unitat • Les inequacions

4

Unitat • Les inequacions

inequació valors

a 2x − y < 5x x = 3, y = 2

b 3 + x ≤ −5 x = −2

c x2 + 2 > 7x x = 0

d x + y + z ≥ 0 x = 3, y = −2, z = −1

e xy ≥ 3 x = −1, y = −2

f 2y – 3 > y y = −

39

Unitat • Les inequacions

40

Unitat • Les inequacions

41

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

El concepte de funció

1. Un dipòsit d’aigua s’està buidant amb l’ajuda d’una bomba. El seu contingut en litres a mesura que passa el temps és el que es mostra a la taula següent:

temps (min) 0 1 2 3 4 5

capacitat (L) 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000

a Dibuixa els punts de la taula en aquests eixos de coorde-nades. Té sentit unir-los?

b Indica quants litres surten cada minut.

c Digues quina és la variable independent i quina la variable dependent.

d Expressa amb una fórmula aquesta relació. És una funció?1 2 3 4 5

1 500

1 000

500

00

2. Un agent comercial de maquinària agrícola cobra 500 € fi xos cada mes i 200 € per cada tractor venut.

a Completa la taula següent:

nombre de tractors venuts en un mes 0 1 2 3 4 5 6

sou (€)

b Dibuixa els punts de la taula en aquests eixos de coorde-nades. Té sentit unir-los?

c Digues quina és la variable independent i quina la variable dependent.

d Expressa amb una fórmula aquesta relació. És una funció?

1 2 3 4 5

1 500

1 000

500

00

42

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

3. Les funcions se les anomena amb una única lletra, com per exemple f, g, h, etc. Les funcions permeten calcular un valor de y a partir d’un valor de x, és a dir, que y depèn de x. Aquesta dependència s’ex-pressa posant la x entre parèntesis:

y = f(x)

Ho llegim així: «y és igual a efe de x». Al costat hi posem, si la coneixem, la fórmula de la funció:

y = f(x) = 3x − 2

La x la podem canviar per un nombre, que es diu original, i el resultat de les operacions, que és un valor de y, es diu imatge.

Observa l’exemple següent i completa la taula següent:

La imatge de l’original x = 4 segons la funció y = f(x) = 3x − 2 és f(4) = 3 ⋅ 4 − 2 = 12 − 2 = 10.

funció original imatge

y = f(x) = 2x − 4 x = 3 f(3) =

y = g(x) = 5x + 3 x = 2 g(2) =

y = h(x) = x2 − 9 x = 4 h(4) =

y = r(x) = −2x + 5 x = −3 r(−3) =

4. Quan hem de calcular la imatge d’originals que són nombres negatius o fraccions, s’aconsella utilitzar parèntesis i tenir ben present la prioritat d’operacions (parèntesis → potències i arrels → multiplicaci-ons i divisions → sumes i restes).

Observa els exemples i completa la taula següent:

funció original imatge

f(x) = 2x − 3 x =23

f23

223

343

93

53

=

− = − =

−

g(x) = −x2 + 2x − 6 x = −2 g(−2) = −(−2)2 + 2(−2) − 6 = −4 − 4 − 6 = −14

f(x) = 5x − 3 x =34

f34

=

g(x) = x2 − 5x − 3 x = −3 g(−2) =

h(x) = −x2 + 3x + 7 x = −4 h(−4) =

r(x) = x2 − 3x x =23

r23

=

43

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

La funció lineal

5. A la verduleria de la Pepi venen els enciams a 0,80 € la unitat.

a Completa la taula següent:

nombre d’enciams 0 1 2 3 4 5

preu (€)

b Dibuixa els punts de la taula en aquests eixos de coordenades. Té sentit unir-los?

c Expressa amb una fórmula aquesta relació.

d Observa la gràfi ca i indica quants enciams hem comprat si hem pagat 8,80 €.

1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

00

6. Volem fer una paella monumental i hem de calcular l’arròs necessari segons el nombre de comensals.

a Completa la taula següent:

nombre de persones 40 125 200

arròs (kg) 5 12,5 3 7

b Dibuixa els punts de la taula en aquests eixos de coordenades. Té sentit unir-los?

c Expressa amb una fórmula aquesta relació.

d Observa la gràfi ca i indica quants quilograms d’arròs fan falta per a 150 comensals.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20

16

18

12

10

14

8

6

4

2

00

44

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

7. A la botiga de queviures de ca la Paquita tenen tots els preus marcats sense l’IVA, que és del 18%.

Observa com s’afegeix l’IVA a un producte i fes els exercicis següents:

Si un article val 20 €, el seu preu amb l’IVA és 20 1820

10023 60+ ⋅ = , € . Això és el mateix que cal-

cular 20(1 + 0,18) = 20 ⋅ 1,18.

a Completa la taula següent:

preu sense l’IVA (€) 20 25 30 60

preu amb l’IVA (€) 47,20 11,80 82,60

b Dibuixa els punts de la taula en aquests eixos de coorde-nades. Té sentit unir els punts?

c Expressa amb una fórmula aquesta relació.

10 20 40 50 70 9030 60 80 100 110

20

30

40

50

60

70

80

90

10

00

8. Han començat les rebaixes, i tots els vestits d’una botiga tenen un descompte del 20%.

a Completa la taula següent:

preu sense descompte (€) 15 20 40 45

preu amb descompte (€) 24 48 80

b Dibuixa els punts de la taula en aquests eixos de coorde-nades. Té sentit unir els punts?

c Expressa amb una fórmula aquesta relació.

10 20 40 50 70 9030 60 80 100 110

20

30

40

50

60

70

80

90

10

00

45

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

9. La constant de la funció de proporcionalitat inversa s’anomena pendent, ja que el seu valor indica si la gràfi ca és més o menys inclinada, i el seu signe indica si és creixent (puja) o decreixent (baixa).

a Completa les taules següents i dibuixa en els mateixos eixos de coordenades les gràfi ques de les funcions corresponents.

y = x y = 2x y = 3x y = −2x

1

1

–2

–2

–3–5–6

–3

–5

–6

– 4

– 4

–1–1

2

2

3

4

5

6

3 4 5 60

0

x y x y x y x y

−2 −2 −2 −2

−1 −1 −1 −1

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

b Observa la gràfi ca i completa les frases següents:Com més gran és el valor absolut del pendent, la recta és

inclinada. Si el seu signe es positiu, la recta és , mentre que si és negatiu, la recta és .

10. El pendent d’una recta és molt fàcil de trobar de manera gràfi ca: marquem dos punts sobre la recta, i per aquests punts tracem paral·leles als eixos de coordenades. D’aquesta manera, obtenim un triangle rectangle. El pendent el calculem dividint el costat vertical per l’horitzontal.

Observa els exemples i troba el pendent de les rectes següents:

2

2H = 1

V = 2 V

Hm = =

3

4

3 41

A

B

00

1

2

1

H = 1

V = 3

A

B

2

2

3

3

4

6

1

1

–1–2–3 00

V

Hm = =

3

1

a

2

2

3

3

1

1

00

c

–1

–2

2 31

1

00

b

2

2

1–1

–1

1

00

d

–1

–1

–2

–2 1

1

0

0

46

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

Estudi de la funció polinòmica de primer grau

11. La funció de primer grau té una fórmula del tipus y = mx + n. La n indica el desplaçament vertical de la gràfi ca respecte de la recta y = mx. Gràfi cament, n és el punt de tall de la recta amb l’eix d’ordena-des. Per aquest motiu, s’anomena ordenada a l’origen.

a Completa les taules següents i dibuixa en els mateixos eixos de coordenades les gràfi ques corres-ponents:

y = x + 2 y = x + 1 y = x − 1 y = x − 2

1

1–1–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4

–5

–5

–6

–6

–7

00

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

6

x y x y x y x y

−2 −2 −2 −2

−1 −1 −1 −1

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

b Completa la frase següent:Si l’ordenada a l’origen és positiva, hi ha un desplaçament cap de la gràfi ca, mentre que si és

, el desplaçament és cap .

12. Tant la m com la n de la funció y = mx + n les podem obtenir a partir de l’anàlisi de la gràfi ca.

Observa l’exemple i troba els valors de m i n de les rectes següents:

Marquem dos punts sobre la recta, i per aquests punts tracem paral·leles als eixos de coordenades, formant un triangle rectangle. Dividint el catet vertical per l’horitzontal, obtenim el pendent:

m = =24

12

El punt de tall amb l’eix d’ordenades és n = 3.

L’equació de la recta és y x= +12

3 .

H = 4

V = 2n = 3

2

2

4

3

3

1

1

–1

–1

–2 00

V

Hm = = =

2

4

1

2y = mx + n = + 3

x

2

B

A

a

2

2

3

3

1

1

–1

–1

–2

–2

00

b

21–1–2–3 0

2

3

1

–1

–2

0

c

2

2

3

3

1

1

–1

–1

–2

–2

00

47

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

L’equació de la recta

13. Si un dels dos paràmetres m o n de la funció afí mx + n ens és desconegut, però coneixem un punt de la recta, és molt fàcil aquests paràmetres.

Observa els exemples i troba les equacions de les rectes següents:

El punt (1, 7) pertany a la recta y = 2x + n. Quant val n?(x, y) = (1, 7) és solució de y = 2x + n.Substituïm x = 1 i y = 7 a l’equació → 7 = 2 ⋅ 1 + n → n + 2 = 7.Aïllant n veiem que n = 5, i que l’equació és y = 2x + 5.

a El punt (−1, 1) pertany a y = mx + 4. Quant val m?

b El punt (−2, 1) pertany a y = 3x + n. Quant val n?

14. Si no coneixem ni la m ni la n, però coneixem dos punts de la recta, les podem obtenir resolent un sistema d’equacions.

Observa l’exemple i troba l’equació de les rectes que passen pels punts indicats.

La recta y = mx + n passa pels punts (1, 3) i (2, 5). Troba m i n perquè sigui així.(x, y) = (1, 3) és solució de y = mx + n → Substituïm x = 1 i y = 3 → 3 = m ⋅ 1 + n → m + n = 3.(x, y) = (2, 5) és solució de y = mx + n → Substituïm x = 2 i y = 5 → 5 = m ⋅ 2 + n → 2m + n = 5.

2m + n = 5− (m + n) = −3

m = 2 → Substituïm m + n = 3 → 2 + n = 3 → n = 1 → L’equació és y = 2x + 1.

a (1, −3) i (3, 3). b (0, 2) i (1, 4).

48

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

15. Les rectes tenen sempre per expressió matemàtica una equació de primer grau amb dues incògnites, que pot ser explícita (y = 2x + 4) o implícita (2x + 3y = 6). En tot cas, una manera molt senzilla de dibuixar-les és calculant els punts de tall amb els eixos de coordenades.

Observa els exemples següents i troba els punts de tall de la recta amb els eixos de coordenades.

Exemple amb una equació explícita:y = 2x + 4x = 0 → y = 2 ⋅ 0 + 4 = 4 → (0, 4)y = 0 → 2x + 4 = 0 → x = −4/2 = −2 → (−2, 0)

2

4

3

1

–1

2–3 1–1–2 00

A

B

Exemple amb una equació implícita:2x + 3y = 6x = 0 → 2x + 0 = 6 → x = 6/2 = 3 → (3, 0)y = 0 → 0 + 3y = 6 → y = 6/3 = 2 → (0, 2)

2

3

1

–1

2 3 41–1

–2

00 A

B

a y = 2x − 4

x = 0 →

y = 0 →

2

4

3

1

–1

2 3 41–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 00

c 2x − 3y = 6

x = 0 →

y = 0 →

2

4

3

1

–1

2 3 41–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 00

b y = −3x + 6

x = 0 →

y = 0 →

2

4

3

1

–1

2 3 41–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 00

d 4x + 5y = 20

x = 0 →

y = 0 →

2

4

3

1

–1

2 3 41–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 00

49

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

L’equació de la recta i els sistemes d’equacions

16. Un sistema d’equacions són dues rectes expressades de forma implícita. Dibuixant-les i observant-ne la posició relativa, podem classifi car la solució del sistema en:

posició relativa nombre de solucions tipus de sistema

dues rectes secants una única solució compatible determinat

dues rectes paral·leles cap solució incompatible

dues rectes coincidents infi nites solucions compatible indeterminat

Classifi ca els sistemes següents i dóna la solució quan sigui compatible determinat.

a 2 2

3 3

x y

x y

− = −+ =

Equació 2x − y = −2.x = 0 →y = 0 →La recta passa per ( , ) i per ( , ).

Equació x + 3y = 3.x = 0 →y = 0 →La recta passa per ( , ) i per ( , ).

2

4

3

1

–1

2 3 41–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 00

b x y

x y

− =− = −

2 4

3 2 62

4

3

1

–1

2 3 41–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 00

c 6 2 9

3 3

x y

x y

+ =+ =

2

4

3

1

–1

2 3 41–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4 00

50

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

La funció polinòmica de segon grau

17. Una funció de segon grau és del tipus y = ax2 + bx + c. El vèrtex és el punt d’una funció de segon grau on canvia la tendència, i també és el punt per on passa el seu eix de simetria.

Observa com es calcula i aplica-ho.

Troba les coordenades del vèrtex de la funció y = x2 − 4x + 3 → a = 1, b = −4 i c = 3.

La seva abscissa es calcula amb xbaV =

−2

→ xbaV =

−=

− −( )⋅

= =2

4

2 142

2.

L’ordenada es calcula substituint aquest valor a la funció:

y = (2)2 − 4 ⋅ 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1

Les coordenades del vèrtex són (2, −1).

a y = x2 − 6x + 5 → a = i b = , c = .

xV =

yV =

Les coordenades del vèrtex són ( , ).

b y = x2 − 8x + 12

18. Per fer una taula de valors d’una funció de segon grau, seleccionem les x tenint en compte que l’eix de simetria conté el vèrtex. Això signifi ca que el centre de la taula és aquest punt. Per completar la taula agafem dos punts anteriors i dos punts posteriors. Després, els dibuixem i fem una corba suau que passi per tots els punts.

Observa l’exemple i fes l’exercici següent:

Per fer la gràfi ca de y = x2 − 6x + 8, primer hem de trobar el vèrtex:

a = 1, b = −6 i c = 8 → xbaV =

−=

− −( )⋅

= =2

6

2 162

3

x y

2

3

1

–1

–1 2 3 4 5 6100

1 3 ← 12 − 6 ⋅ 1 + 8 = 3

2 0 ← 22 − 6 ⋅ 2 + 8 = 0

3 −1 ← 32 − 6 ⋅ 3 + 8 = −1

4 0 ← 42 − 6 ⋅ 4 + 8 = 0

5 3 ← 52 − 6 ⋅ 5 + 8 = 3

y = x2 − 4x + 3 → a = 1, b = −4 i c = 3 → xV =

x y

2

3

1

–1

–1 2 3 4 5 6100

←

←

←

←

←

51

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

19. Dibuixa la gràfi ca de les següents funcions de segon grau. Un cop feta la gràfi ca, fes-ne una descrip-ció com la de l’exemple. Tingues en compte que una corba és còncava quan les branques van «cap amunt» i és convexa en cas contrari.

2

4

5

6

3

1

–1

2

V

3 4100

Decreixent a ]−�, 2[Creixent a ]2, �[Mínim a (2, 1)Còncava

1

2

–1

–2

–3

– 4

–5

2

V

3 410

0

Decreixent a ]2, �[Creixent a ]−�, 2[Mínim a (2, 1)Convexa

a y = x2 − 2x − 3 → a = 1, b = −2 i c = −3 → xV =

x y

1

1–1–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4

–5

–5

–6

–6

–7

00

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

6

Descripció:

←

←

←

←

←

b y = x2 − 4x + 4 → a = 1, b = −4 i c = 4 → xV =

x y

1

1–1–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4

–5

–5

–6

–6

–7

00

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

6

Descripció:

←

←

←

←

←

c y = −x2 − 2x + 3 → a = −1, b = −2 i c = 3 → xV =

x y

1

1–1–1

–2

–2

–3

–3

– 4

– 4

–5

–5

–6

–6

–7

00

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

6

Descripció:

←

←

←

←

←

52

Unitat 7 • Funcions i gràfi ques E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Fun

cion

s i g

ràfi q

ues

Les funcions de proporcionalitat inversa

20. Un grup de joves vol anar a un concert. Lloguen un autocar per 360 €. Necessiten fer un estudi de quant els costarà a cadascú, i tu els pots ajudar.

a Completa la taula següent:

nombre de persones 6 9 10 12 15 18 20 30 45 60

preu (€)

b Dibuixa els punts anteriors en aquests eixos de coordenades. Té sentit unir-los?

c Expressa amb una fórmula aquesta rela-ció. És una funció?

d Diuen que toca pagar 10 € per persona. Quanta gent hi va?

2010 4030 50 60 70

80

90

60

70

40

50

10

20

30

00

21. Completa les taules de valors següents i dibuixa les gràfi ques d’aquestes funcions.

a yx

=4

b y

x=

−2

x y

1

1

–2

–2

–3–5–6

–3

–5

–6

– 4

– 4

–1–1

2

2

3

4

5

6

3 4 5 60

0

x y

1

1

–2

–2

–3–5–6

–3

–5

–6

– 4

– 4

–1–1

2

2

3

4

5

6

3 4 5 60

0

−4 −4

−3 −3

−2 −2

−1 −1

1 1

2 2

3 3

4 4

53

Unitat 8 • Geometria en el pla

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Geo

met

ria e

n el

pla

El teorema de Tales

10. El teorema de Tales afi rma que els segments formats per un conjunt de rectes paral·leles que tallen dues rectes secants són proporcionals.

Tenint en compte que A BAB

B CBC

' ' ' '= , calcula el valor de x en la fi gura següent:

A

A'

B'

C'

B C

BC = 3

B'C' = x

AB = 1,73

A'B' = 2,51

11. Calcula les longituds desconegudes.

NO

x y

J

K

M

L LJ = 3,15

JK = 1,35

KM = 3,06

NO = 3,52

12. Dibuixa un segment de 10 cm i divideix-lo en 7 parts iguals utilitzant regle i compàs.

13. Dibuixa un segment de 10 cm i divideix-lo en parts proporcionals a 2, 3 i 7 cm utilitzant regle i compàs.

54

Unitat 8 • Geometria en el pla E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Geo

met

ria e

n el

pla

Semblança

14. Respon les preguntes següents:

a Quan estan dos triangles en posició de Tales?

b Quan són semblants dos triangles?

c Què són els costats homòlegs en un triangle semblant?

d Què és la raó de semblança?

e Què expressa la raó de semblança?

15. Raona per què els triangles de color gris fosc són semblants als triangles de color gris clar.

a b c d

16. Els costats d’un triangle mesuren a = 6 cm, b = 7 cm i c = 9 cm. Calcula en cada cas les dimensions d’un triangle semblant a aquest en funció de les raons de semblança següents:

a k = 2 c k = 0,5

b k = 1,5 d k = 4

55

Unitat 8 • Geometria en el pla

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Geo

met

ria e

n el

pla

17. A les 11.00 h un edifi ci projecta una ombra de 4 m. A la mateixa hora un arbre de 8,5 m projecta una ombra d’1,7 m. Calcula l’alçada de l’edifi ci.

18. Construeix dos quadrilàters semblants als de la fi gura següent, de raons 0,5 i 1,5.

19. Donat un hexàgon regular de costat 6 cm, troba el perímetre i l’àrea d’un altre hexàgon semblant a aquest de raó de semblança 3.

20. En un mapa a escala 1:250 000, la distància entre dues ciutats és de 6,5 cm.

a Calcula la distància real entre totes dues.

b Si entre dues ciutats la distància real és de 320 km, calcula quina distància hi haurà al mapa.

56

Unitat 8 • Geometria en el pla

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Mov

imen

ts e

n el

pla

Vectors en el pla

1. Defi neix els elements d’un vector fi x.

a Mòdul:

b Direcció:

c Sentit:

2. Components dels vectors.

a Observa l’exemple i calcula les components dels vectors següents:

origen extrem components

A(2, 1) B(4, 2) AB AB� ��� � ���

= − −( ) → = ( )4 2 2 1 2 1,  , 

C(2, 4) D(3, 2)

E(1, −1) F(−3, 2)

G(−1, −2) H(2, 1)

I(−2, 0) J(0, 4)

K(−2, −3) l(−1, −2)

b Representa gràfi cament els vectors obtinguts:

1

1

–1

–2

–2–3– 4–5–6 –1 2

2

3

3

4 5 6

4

0

0

3. Per calcular el mòdul d’un vector, cal aplicar el teorema de Pitàgores.

Observa l’exemple i calcula el mòdul dels vectors següents:

� �v v= ( ) → = + = =3 4 3 4 25 52 2,

a �v = −( )6 8, 

b �v = −( )2 5, 

c �v = −( )4 5, 

57

Unitat 8 • Geometria en el pla E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Mov

imen

ts e

n el

pla

Operacions amb vectors

4. Dibuixa quatre vectors equipol·lents al vector �v = ( )1 3,  .

1

1

–1

–2–3– 4–5–6 –1 2

2

3

3

4 5 6

4

00

5. Calcula la suma dels vectors següents, gràfi cament i numèricament.

AB CD+ = ( )1 4, 

EF GH+ = − −( ,  )4 1

1

A C

B D

G

HH

E E

D

A

F

1

–1

–2

–3

– 4

–1 2

2

3

3

4 5 6 7 8 9

4

00

1

1

–1

–2

–3

– 4

–1 2

2

3

3

4 5 6 7 8 9

4

55

00

1

1

–1

–2

–3

– 4

–1 2

2

3

3

4 5 6 7 8 9

4

5

00

6. Donats els vectors �u = ( )2 3,  ,

�v = −( )4 5,  i w

��= − −( )6 1,  , observa l’exemple i realitza les sumes se-

güents:

� �u v+ = + + −( )[ ] = −( )2 4 3 5 6 2, ,

a � �u w+ = c

� � �u v w+( ) + =

b � �v w+ = d

� � �u v w+ +( ) =

58

Unitat 8 • Geometria en el pla

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Mov

imen

ts e

n el

pla

7. Donats �u = ( )3 4,  i

�v = −( )5 1,  , observa l’exemple i realitza els productes següents d’un vector per un

nombre:

2 2 3 4 6 8�u = ( ) = ( ),  , 

a 3�u = d −( ) =3

�v

b −( ) =1�u e −( ) =1

�v

c 2�v = f − =2

�u

8. Calcula els vectors oposats als vectors següents (recorda que −( ) = −1� �v v ). Després, representa’ls en

els eixos de coordenades.

a �v = ( ) →2 3,  c

�v = − −( ) →3 1, 

b �v = −( ) →1 2,  d

�v = ( ) →3 0, 

1

1

–1

–2

–3

– 4

–2–3– 4–5 –1 2

2

3 4 50

0

9. Donats els vectors �u = ( )3 2,  i

�v = −( )2 1,  , efectua les operacions combinades següents. Recorda la

prioritat de les operacions: primer, les multiplicacions, i després, les sumes i restes.

a 3 2� �u v+ =

b 4� �u v− =

c � �v u− =

d � �v u− =4

10. Esbrina si els punts A(1, −1), B(3, 1) i C(5, 3) estan alineats mitjançant els vectors AB� ���

i AC� ���

.

59

95

Unitat 9 • Trigonometria

60

96

Unitat 9 • Trigonometria

61

97

Unitat 9 • Trigonometria

62

98

Unitat 9 • Trigonometria

25 c

m 84°

A

B

50°

63

Unitat 10 • Atzar i probabilitat

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Atz

ar i

pro

bab

ilita

t

Conceptes bàsics d’atzar i probabilitat

1. Un experiment és aleatori quan repetint-lo en les mateixes condicions no se’n pot predir el resultat; en canvi, és determinista quan ja se sap quin resultat sortirà.

Classifi ca els experiments següents en aleatoris (A) o deterministes (D). Justifi ca’n la resposta.

a Traiem una bola d’una urna que conté 3 boles verdes i 2 de grogues i en mirem el color.

b Traiem una bola d’una urna que només conté boles negres i en mirem el color.

c Tirem un dau no trucat i en mirem el resultat.

d Tirem un dau que només té tresos i en mirem el resultat.

2. Un esdeveniment compost està format per més d’un esdeveniment elemental, que són cada un dels resultats possibles d’un experiment. El conjunt de tots els esdeveniments elementals forma l’espai mostral E.

Troba l’espai mostral dels experiments següents:

a Tirem dos daus.E = {(1, 1),

b Tirem dos daus i en fem la suma.E = {2,

c Tirem dos daus i al resultat més gran li restem el resultat més petit.E = {0,

3. A l’experiment de treure una carta d’un joc de cartes espanyoles de 48 cartes, escriu els esdeveni-ments elementals que formen els esdeveniments següents:

a A = «treure una fi gura (sota, cavall o rei)».A = {

b B = «treure una copa menor que 5».B = {

c C = «treure un múltiple de 5».C = {

64

Unitat 10 • Atzar i probabilitat E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Atz

ar i

pro

bab

ilita

t

4. Dos esdeveniments són incompatibles si no poden donar-se alhora.

Dels esdeveniments de l’exercici anterior, digues si A és compatible amb B, si B és compatible amb C, i si A és compatible amb C.

5. Classifi ca els esdeveniments següents en impossibles (I), poc probables (PP), probables (P), molt probables (MP) o segurs (S). Justifi ca la resposta en cada cas.

a D’una urna que conté 1 bola blanca i 19 de negres, en fem una extracció i en traiem la bola blanca.

b Tirem un dau numerat de l’1 al 6 i en traiem un nombre més gran que 10.

c Agafem una fi txa de dòmino i que la suma dels seus punts sigui menor que 20.

d D’una urna que conté 2 boles blanques i 98 de negres, en traiem dues i que siguin totes dues negres.

e D’una baralla espanyola, en traiem una carta i que sigui un nombre parell.

6. Per fer l’experiment següent, feu grups de 5 alumnes. Cada alumne necessita 3 monedes. Cada mem-bre del grup llança alhora les seves monedes 10 vegades i anota cada vegada el nombre total de cares que li surten (0, 1, 2 o 3). Després, repetiu l’experiment fi ns 9 vegades més (en total, 100 llança-ments). Com que sou un grup de 5, haureu fet l’experiment 500 cops.

a Completa la taula de les freqüències absolutes.

Per fer-ho, vés anotant quantes cares et surten cada cop que llances les tres monedes. Així, per exemple, si en el primer grup de 10 tirades obtens 0, 0, 0, 3, 3, 1, 0, 2, 1 i 2, a la primera columna hauràs d’escriure 4, 2, 2, 2.

grups de 10 tirades

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

no

mb

re d

e ca

res

de

cad

a g

rup

de

10

tira

des

0

1

2

3

65

Unitat 10 • Atzar i probabilitat

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Atz

ar i

pro

bab

ilita

t

b Completa la taula següent, que correspon a les freqüències absolutes acumulades.

Per fer-ho, a la primera columna escriu els mateixos resultats de la primera columna de la taula an-terior; a la segona columna, la suma de les columnes primera i segona de la taula anterior, a la ter-cera, la suma de les columnes primera, segona i tercera de l’anterior, i així successivament.

tirades

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

c Completa la taula següent, que correspon a la taula de les freqüències relatives acumulades.

Per fer-ho, divideix cada xifra pel nombre de dalt de la columna, és a dir, tots els nombres de la primera columna de la taula anterior s’han de dividir per 10, tots els de la segona s’han de divi-dir per 20, etc.

: 10 : 20 : 30 : 40 : 50 : 60 : 70 : 80 : 90 : 100

0

1

2

3

d Els resultats que obtinguis a la darrera columna, la del 100, són els que has de prendre com a pro-babilitat dels esdeveniments 0 = «no obtenir cap cara», 1 = «obtenir una cara», 2 = «obtenir dues cares» i 3 = «obtenir tres cares», que escriuràs P(0), P(1), P(2) i P(3), respectivament.

P(0) =P(1) =P(2) =P(3) =

e Si heu fet l’experiment en grup, segurament cada membre obtindrà resultats diferents. Però això no vol dir que estigui malament. En aquest cas, sumeu els resultats de cada un a la darrera columna de la segona taula (freqüències absolutes acumulades) i dividiu-los per 500 (si éreu 5, o per 400 si éreu 4, etc.).

Aquests resultats també seran diferents dels obtinguts individualment, però seran més fi ables a l’hora de dir que la probabilitat és:

P(0) =P(1) =P(2) =P(3) =

66

Unitat 10 • Atzar i probabilitat E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Atz

ar i

pro

bab

ilita

t

La regla de Laplace

7. Troba la probabilitat de treure una bola vermella d’una urna que conté 3 boles vermelles i 5 de negres,

aplicant la regla de Laplace P A( ) =casos favorablescasos possibles

.

8. Una urna conté 2 boles blanques i 3 boles negres. Traiem 2 boles de cop (que és el mateix que treure’n una, deixar-la a fora i després treure’n l’altra).

Completa el diagrama d’arbre següent de tots els resultats possibles (tingues en compte que quan has tret una bola, a l’urna hi ha una bola menys).

P(mateix color) = P(BB) + P(NN) =

B

B

N

BB

resultat probabilitat

2/5 · 1/4 = 2/20

N

N

B

2/5

1/4

3/4

3/5

9. Tirem dos daus tetraèdrics, és a dir, de 4 cares numerades de l’1 al 4. Completa el diagrama d’ar-bre i troba les probabilitats següents:

a Que el menor dels dos sigui un 3.

1

2

3

1

2

3

4

(1,1)probabilitat

1/4 · 1/4 = 1/161/4

1

21/4

b Que la seva suma sigui 5.

c Que la seva suma sigui un nombre parell.

67

Unitat 10 • Atzar i probabilitat

Ed

itoria

l Cas

als •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Atz

ar i

pro

bab

ilita

t

10. En molts experiments aleatoris, els esdeveniments elementals no tenen tots la mateixa probabilitat de donar-se, és a dir, no són equiprobables.

Així, per exemple, si tirem un dau que té a les seves cares 3 uns, 2 dosos i 1 tres (E = {1, 1, 1, 2, 2,

3}), la probabilitat de treure u és P 136

( ) = , la de treure dos és P 226

( ) = , i la de treure tres és P 316

( ) = .

Un plantejament incorrecte seria dir que l’espai mostral és E = {1, 2, 3} i aleshores P 113

( ) = , cosa que no és certa.

Tenint en compte això, fes:

a Tirem tres monedes i en comptem el nombre de cares. Escriu l’espai mostral.E = {0,

b Explica si són equiprobables els esdeveniments elementals.

c Calcula quina és la probabilitat que hagin sortit dues cares.

11. Fem un experiment que consisteix a llançar tres monedes.

a Escriu l’espai mostral.E = {(cara, cara, cara),

b Explica si són equiprobables els esdeveniments elementals.

c Calcula la probabilitat d’obtenir dues cares.

12. Explica la principal diferència entre els experiments dels exercicis 10 i 11.

68

Unitat 10 • Atzar i probabilitat E

dito

rial C

asal

s •

Mat

eria

l fot

ocop

iab

le •

Atz

ar i

pro

bab

ilita

t

Defi nició axiomàtica de probabilitat

13. A ∩ B representa el conjunt d’elements que són de A i de B alhora. A ∪ B representa el conjunt d’ele-ments que són de A o de B, o de ambdós alhora, i les propietats bàsiques de la probabilitat són P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) i P( A ) = 1 − P(A).

Sabent que P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 i P(A ∪ B) = 0,7, calcula:

a P( A ) =

b P(A ∩ B) =

14. Observa el gràfi c següent i calcula les probabilitats següents (recorda que P(E) = 1).

a P(B) =

b P(A − B) =

c P(B ∩ A ) =

A

B

E

0,1 0,2

0,3

15. Representa esquemàticament la situació P(A) = 0,6, P( B ) = 0,4 i P(A ∪ B) = 0,9 i calcula:

a P(B) =

b x =

c y =

d z =

e t =

A

B

E

z y x

t

16. A partir del gràfi c i sabent que P(B ∩ C) = 0,1 i P(A ∪ B) = 0,7, troba:

a x = P(A ∩ B) =

b y =

c P(A) =

d P(B) =

e P(C) =

f z =

A

B C

E

z

y

x

0,1

0,2

0,4

69

Exercicis de repàs i ampliació

Operacions combinades. (Enters) En les operacions amb operacions combinades hem de fer:

Primer els parèntesis Després les multiplicacions i les divisions, d’esquerra a dreta. Finalment les sumes i les restes, d’esquerra a dreta.

1. Calcula a. 8 – 3 · 5 + 10 = b. 4 – 6 · 3 + 5 = c. 2 · 4 + 5 – 3 · 4 = d. 14 – 3 · 5 + 2 · 6 = e. 5 · 4 – 6 · 3 – 2 · 8 = f. 14 – 40 : 8 – 3 · 2 = g. 48 : 6 – 3 · 4 + 12 : 4 = h. 15 : 3 – 5 + 8 · 2 = i. 18 – 6 · 4 + 24 : 8 = j. 25 – 17 · 2 + 30 : 15 = 2. Calcula: a. 18 – 3 · (6 – 4) = b. 3 · (6 – 2) – 14 = c. 5 · 3 – 12 – 3 · (5 – 3) = d. 12 – 5 · (6 – 7) – 3 · 6 = e. 4 · (2 – 5) + 2 · ( 5 – 7) – 3 · (6 – 8) = f. 2 · (3 – 9) – 6 ·(5 – 6) – 4 · (8 – 9) = 3. Calcula: a. (8 – 3 – 6 + 2) · (5 – 4 – 3) = b. (10 – 6 – 3) · (12 – 4 – 3 + 1) = c. (12 – 3 – 10) · (4 – 2) – (5 – 6) · (8 – 3) =

d. (6 – 10) · (11 – 13 + 7) – (4 – 6 + 5) ·(1 – 7 – 4) = e. (8 – 4) · (5 – 8) · (6 – 9) – (2 – 8) · (4 – 10) = f. (3 – 7) · (2 – 5) + (4 – 7) · (10 – 4) = g. 18 – 3 ·(12 – 15) + 3 · (6 – 4) · (5 – 9) = h. 25 + 5 · (6 – 8) – 4 · (2 – 5) · (5 – 7) = 4. Calcula a. 26 – 5 · [10 + 4 · (5 – 6)] = b. 18 + 3 · [25 - 6 · (8 – 3)] = c. 2 · (5 – 7) – 2 · [8 - 4 · (5 – 3)] = d. 9 · (8 – 3) – 6 · [2 – (6 – 8) · 4] = e. 2 · [22 + 5 · (4 – 2 · 5)] + 18 = f. 6 · [12 – 4 · (13 – 6 · 2)] – 35 = g. [6 + 2 · (3 – 5)] – [4 – 3 · (8 – 6)] = h. [3 + 5 · (8 – 9)] – [7 – 4 · (5 – 3)] =

5. Calcula:

a) ( + 3 ) · ( + 6 ) : ( - 2 ) = b) ( - 30 ) : ( - 5 ) · ( + 200 ) = c) ( + 12 ) : ( + 2 ) : ( - 3 ) = d) ( + 60 ) : ( + 3 ) · ( - 4 ) = e) ( + 1 )·( - 1) : ( - 1 )·( - 1 ) = f) - ( - 8) · ( - 5) : ( - 10) : ( - 2) = g) ( - 100 ) : ( - 2 ) : ( - 5 ) = h) - ( - 18 ) : ( - 9 ) · ( + 3 ) = i) ( + 6):(+ 2)·(+6)·( - 10 ) = j) ( - 121 ) : ( - 11 ) · ( - 3 ) = k) ( + 7 )·( + 17 ) · 0 · ( + 5 ) = l) - (- 8) · (- 8) : (+4) : (+ 2) =

EXERCICIS DE FRACCIONS 1. Redueix a denominador comú les fraccions següents calculant el mínim múltiple comú dels denominadors:

301,

481,

181

167,

145,

103

168,

207,

246

5411,

459,

366

2. Resol les operacions següents escrivint el procés de resolució pas a pas:

=+−+125

43

95

32

=+−−65

122

31

43

=

+−−

+

43

321

43

35

=

+−

+

323

436

3. Resol les operacions següents amb fraccions, simplificant el resultat:

=

−

+

1251:

31

41

=

−

+

12111:

61

43

=

−−

12111·2

62:

31

=

−−

871·2

43:

41

4. Resol les operacions següents amb fraccions, simplificant el resultat:

a) =

++

61

25•

24

32

b) 46

32

34

16

+ −

=•

c) 6

11229

• = d) 7

15215

: = e) 2827

1835

• =

f) 3

20125

: = g) 825

1516

• = h) 89

4027

: =

i) 32

54

26

• : = j) 12

23

13

52

• •+ =

k) 1189

1037

+

+

=• l)

79

25

1112

37

−

−

=•

m) 15

47

43

25

625

17

514

• : : •−

− −

+

=

n) =

−

+−

+

58·

32·

41

43·

32

41

35·

52

23

PROPIETATS DE LES POTÈNCIES

1.Expressa com a potència:

a. 210 12·12 = b. 152 7·7 − = c. 48·8 =

d. 68 5·5 − = e. 314 9·9 = f. 77 6·6 =

g. 49 6·6 = h. 8·810 = i. 57 4·4− = j. 163 11·11 = 2. Expressa com a potència:

a. 47421 9·9·9 = b. 62628 6·6·6− = c. 42 3·3·3 =

d. 2742 6·6·6 − = e. 3·3·3 32 = f. 102823 11·11·11 =

g. =− 26721 9·9·9 h. 141323 3·3·3 = i. 164 10·10·10 = 3. Expressa com a potència:

a. =7

19

99

b. =8

17

1111

c. =4

13

44

d. =−5

8

1111

e. =8

11

77

f. =−

−

5

17

33

g. =−10

17

1212

h. =3

12

77

i. =−7

7

88

4. Escriu com a potència:

a.

18

19

17

333

= b. 14

109

99·9−

= c. 23

17

12·1212

=

d. 2

8

66·6 = e.

33·3

163 = f. 9·

99

2

18−

=

g. 974 9·9·9 − = h. 34

18

10·1010

= i. 10

10·10 32

= j. 5

6

12

888

=

5.Calcula les següents operacions combinades:

a. 82

5

17

10·101010

= b. 3·3

3·32

33

= c.

3

12

9

5·555

=

d. 17

1853

1010·10·10 = e. 19

3

8

12

7·77

7−

= f. 22

20

12·12·1212

=

g. 53

17

10·10·1010

= h.

3

10

46

1111

11·11= i. 17

19

6

10

44·

44

= j. 2

493

99·9·9 =

6. Expressa com a una única potència:

a. ( )259 = b. ( )267 = c. ( )334 =

d. ( )6312 = e. ( )3612 = f. ( )529− =

g. ( )21010 = h. ( ) 6310 −= i. ( )325 = j. ( ) 256 −− =

7. Expressa com a una única potència:

a. ( )

13

53

1212

= b.( )

7

210

55

= c. ( ) 6·6 63 = d. ( )712·12 =

e.( )

5

92

99

= f.( )25

13

1111

= g.( )

1111 35

= h.( )35

20

1111

=

i. ( )2313 8·8 − = j. ( )

13

36

66

=

8. Calcula les següents operacions combinades:

a.( )

11·1111

7

53

= b. ( )2210

8·8

8= c.

3

16

20

88

8−

= d.( )

5

22

15

555

=

e.

( ) 26

17

13

121212

−

= f.( ) 3

4

27

10·1010 − = g.

5

7

7

16

666

= h.( ) 9

3

32

6·6

6 −

=

i.( )

3

63

66·6

= j. ( )

12

338

88·8 −

=

Operacions amb radicals Exercici 1. Calcula, sempre que es pugui: a) 3 64 = b) 36,0 = c) =−3 8 d) 01,0 =

e) =−4 81 f) 3 1 = g) =5 100000 h) 3 1− =

i) =5 32 j) 1 = k) =4 16 l) 1− =

m) =−5 32 n) 3 27 = Exercici 2. Completa, indicant el nombre de solucions: a) ...=parell positiu b) ...=imparell positiu

c) ...=parell negatiu d) ...=imparell negatiu Exercici 3. Digues si les expressions següents són certes:

a) 3·721 = b) 111021 +=

c) 42521 −= d) 24221 =

Exercici 4. Expressa com una sola arrel:

a) =2·5 b) =10·3·6

c) =44 5·12 d) =444 6·3·5

Exercici 5. Expressa com una sola arrel i calcula quan sigui possible:

a) =321

b) =246

c) =525

d) =2

32

e)aa3

= f)3

3

5135 = g)

41

= h) 3125

1=

Exercici 6. Calcula sense calculadora:

a) =13325

b) =728

c) =100064000

d) =205

Exercici 7. Calcula sense calculadora:

a) =12·75 b) =300·3 c) =10·2·5 d) =54·2·3

e) =6·6·28 f) =− 10·8·54 g) =− 3·52

10·2·66

Exercici 8. Calcula sense calculadora, expressant primer el nombre decimal com a

fracció irreductible.

a) =25,2 b) =96,1 c) =04,0 d) =25,30

Exercici 9. Simplifica les expressions sumant les arrels:

a) =++ 56553 b) =+− 292528

c) =++ 111111 d) =+++ 6410510362

e) =−+− 533553 f) =+−+ 78731710712

Operacions amb radicals

Exercici 10. Extreu fora del radical tots els factors possibles:

=52 =32 3·2 =45 3·2

=43 5·3 =5·3·2 22 =222 7·5·3

=5·3·2 24 =5·3·2 32 =337 5·3·2

Exercici 11. Descompon els radicands i extreu-ne tots els factors possibles:

=8 =18 =50

=100 =54 =125

=150 =72 =375

=6000 =169 =147

Exercici 12. Entra tots els factors dins del radical:

=32 =722 =5·33

=7·553 =5·3·5·2 32 =222 7·37·3

Exercici 13. Expressa com una sola arrel:

=5 =3·2 =3 22

=3 7 =23 =3 2 55

Exercici 14. Simplifica els radicals:

=4 23 =6 43 =9 63

=10 153 =12 46 2·3 =30 612 7·2

Exercici 15. Simplifica tant com puguis les expressions:

=++ 501823 =−+− 1802500245206

=−+− 2774822254755 =−+− 1122343398476

OPERACIONS AMB RADICALS Exercici 1.

a) Expressa en forma de radical les potències següents: 43

5 21

3 25

2 52

11

b) Expressa en forma de potència els radicals següents: 5 38 7 29 53 6 Exercici 2. Calcula:

a) 21

9 b) 23

4 c) 32

8 d) 32

8−

e) 21

916

f)

21

254

−

Exercici 3. Expressa en forma d’una sola potència:

a) =65

43

2.2 b) =−25

37

2.2 c) 43

21

3

3− =

d) ( ) =−

− 43

25 e) 3 10000 = f) 001,01

=

Exercici 4. Completa:

a) 124 3 ...2 = b) 16 ...7 = c) ...4 6 =a d) 36 12 ...5 = Exercici 5. Expressa amb un sol radical i simplifica’l, si es pot:

a) =33 5.2 b) =3

12 c) =5 25 3 2.2 d) =3 43 2 . aa

e) 50.2 = f) =10.4,6 g) =2

32 h) =33 2.4

Exercici 6. Expressa amb un sol radical (escriu-los primer en forma d’exponent fraccionari):

a) =3 5.5 b) =43 7.2 c) =3.93 d) =6 58 34 .. aaa e) =5 43

3

Exercici 7. Extreu tots els factors que puguis del radical: a) 27 = b) 60 = c) 72 = d) =180 e) 540 = f) =98 g) 3 54 = h) =4 144 Exercici 8. Expressa amb un sol radical:

=3 5 4 8 = =3 3 7 Exercici 9. Calcula, extraient factors fora dels radicals: a) 54520 +− = e) 3 =+− 12828 b) =−+ 754827 f) 1254206452 −+− = c) =+− 83185724 g) =−+− 5093252007 d) =−+− 722484125 h) =++− 40101446982

POLINOMIS I 1. Escriu: Un pilinomi de grau 4, complet, amb els coeficients imparells. Un polinomi de grau 3, complet, sense terme independent. Un polinomi de grau 5, incomplet, desordenat. 2. Donats els polinomis: P(x) = 4x2 – 1 Q(x) = x3 – 3x2 + 6x -2 R(x) = 6x2 + x + 1 Calcula: P(x) + Q(x) = P(x) – R(x) = 3Q(x) = 2Q(x) + 3R(x) = P(x) + Q(x) – R(x) = 3P(x) – R(x) = 3. Donats els polinomis P(x) = x4 –2x2 - 6x – 1 Q(x) = x3 – 6x2 + 4 R(x) = 2 x4 – 2x - 2 Calcula: P(x) + Q(x) – R(x) = P(x) + 2Q(x) – R(x) = Q(x) + R(x) – P(x) = 4. Multiplica: ( x4 – 2x2 + 2) · ( x2 - 2x + 3) = ( 3x2 - 5x) · (2 x3 + 4x2 - x + 2) = (2x2 - 5x – 6) · (3 x4 – 5x3 - 6 x2 + 4x – 3) = 5. Divideix: ( x4 – 2x3 - 11x2 + 30x -20) : (x2 + 3x – 2) (x6 + 5x4 + 3x2 - 2x) : (x2 – x + 1)

EQUACIONS DE PRIMER GRAU Resol les següents equacions de primer grau: 1) 6(2x + 9) + 2 (4x – 1) = 112 2) 2(7x – 1) + 8(3x + 5) = 304 3) 3(2x + 9) + 7(x – 2) = 26 4) 8(5x – 3) + 3(2x + 6) = 86

5)

E A 8) A

4 x - 14 2 = 35E

9) A

2 x - 16 2 + 2 x - 20

4 = 44E A 10) A

2 x + 24 2 - 2 x - 40

6 = 44E

11) A

2 x - 16 2 - 2 x - 26

4 = 21E A 12) A

4 x - 20 2 - 31 + 3 x

50 = 34E

13) A

2 x + 8 3 + 2 x - 46

15 = 2 x - 42 2 + 2 x + 2

6 E

14) A

11 x + 21 2 - 13 x - 30

5 = 30 + 2 x 10 + 7 x + 19

2 E

15) A

16 + 2 x 2 + 3 x + 12

31 = 1 + 3 x 2 - 2 x - 45

3 E

16) A

8 + 3 x 2 - 3 x + 24

18 = 9 + 3 x 3 + 18 + 3 x

12 E

17)

5 x - 39 3 = 12 6)

7)

2 x - 18 6 = 10

9 + 3 x 3 = 28

61

21

32

=−

−x 18)

41

61

121 −

=−

−xx

Solucions: 1) x = 3 2) x = 7 3)x = 1 4) x = 2 5) Ax = 15E A 6) Ax = 39E A 7) Ax = 25E A 8) Ax = 21E 9) Ax = 38E A 10) Ax = 38E A 11) Ax = 45E A 12) Ax = 23E A 13) Ax = 38E A 14) Ax = 5E A 15) Ax = 27E A 16) Ax = 22E 17) x = 2 18) x = 2

Equacions de segon grau ax2+bx+c=0, ax2+bx=0, ax2+c=0

Donada una equació de segon grau de la forma 02 =++ cbxax On a,b i c són nombres, hi ha com a màxim dues solucions possibles en x, que són

aacbbx

242 −±−

=

Exercicis: 1. Resol les següents equacions i verifica que les solucions trobades són certes: a) 0652 =+− xx

b) 0452 =+− xx

c) 062 =−+ xx

d) 02092 =++ xx

e) 0962 =+− xx

f) 036122 =++ xx

g) 0522 =++ xx

h) 0232 2 =++ xx

i) 0353 2 =++ xx

j) 062 2 =−+ xx

k) 04563 2 =−+ xx

l) 024186 2 =−− xx 2. Resol les següents equacions: a) xx 652 =+

b) 10582 =− xx

c) 62 −−=− xx d) 0)2)(3( =+− xx

e) 3412 +=+ xx f) 311)1( −=−+ xxx

g) 92)3)(1( 2 −=−− xxx

3. Resol les següents equacions: a) 22 32 0x − =

b) 2 16 0x x− =

c) 24 2 0x x+ =

d) 23 27 0x− + =

e) 22 0x x− + =

f) 2 25 0x − =

g) 22 13 2

x x−=

h) 27 21 0x x− − =

i) 225 10 0x x− =

j) 21 9 0x− =

k) 216 4 0x − =

l) 212 24x =

m) 28 2 0x x− =

n) 211 44 0x x− =

o) 24 32x x=

p) 23 48 0x + =

q) 29 25x x− =

r) 225 16 0x − =

s) 23 0x x− =

t) 22 8 0x − =

u) 25 40 0x x+ =

Solucions: 1. a) x = 3, x = 2, b) x = 4, x = 1 c) x = - 3, x = 2 d) x = - 5, x = - 4 e) x = 3 (només hi ha una solució) f) x = - 6 g) No hi ha cap solució.h) No hi ha cap solució. i ) No hi ha cap solució. j) x= -2, x = 3/2 k) x = 3, x = -5, l) x = -1, x = 4. 2. a)x = 1, x = 5 b) x = -7, x = 15 c) x = - 2 , x = 3 d) x = - 2 , x = 3 e) 62,62 +=−= xx f) x

= 22 x,22 =− g) x = 71−− , x = 71+− 3. a) 4 i –4, b) 0 i 16, c) 0 i – 1/2 , d) 3 i –3, e) 0 i 1/2 , f) 5 i –5, g) 0 i -3/4, h) 0 i –3, i) 0 I 2/5, j) 1/3 i -1/3, k) 1/2 i -1/2, l) 2 2i − , m) 0 i 1/4, n) 0 i 4, o) 0 i 8, p) no hi ha, q) 0 i -25/9, r) 4/5 i -4/5, s) 0 i 1/3, t) -2 i 2, u) 0 i –8

1. Resol les següents equacions: a) 2 5 6 0x x+ + = b) 2 6 0x x+ − = c) 2 4 21 0x x+ − = d) 2 2 8 0x x− + + = e) 2 20 64 0x x− + − = f) 23 8 4 0x x+ + = g) 26 1 0x x− − + = h) 212 17 6 0x x− + = i) 2 4 4 0x x− + = j) 2 10 25 0x x− + − = k) 24 4 1 0x x− + = l) 2 2 3 0x x− + = m) 22 6 0x x+ + = n) 26 13 5 0x x+ − =

o) 22 1 1 09 3

x x− − =

p) 24 5 9 03

x x+ + =

Solucions: a) -2 i –3 b) 2 i –3 c) -7 i 3 d) -2 i 4 e) 4 i 16

f) -2 i 23

−

g) 12

− i 13

h) 23

i 34

i) 2 j) 5

k) 12

l) No hi ha m) No hi ha

n) 13

i 52−

o) 32

− i 3

p) No hi ha 2. Resol les següents equacions: a) 2 50 5 10x x x+ − = b) 221 100 21x x x− = + − c) 2 10 12 25x x+ = − d) 23 12 24x x= − e) 216 104 25x x− = − f) 23 2 10 1x x+ = − g) 25 12 4 8x x x− = − + h) 2 27 10 101 3x x x+ = − 3. Resol les següents equacions: a) 11 (11 4) 5x x⋅ − =

b) 7( 1)( 1)12

xx x− + =

c) 3( 1)( 1) 8x x x− + =

d) 2 1 22 3 3x xx − = −

e) 2 32

4 2x x

+ =

f) ( 3)( 1) 21x x− + = g) ( 1)( 6) 4( 2) 14x x x− + − − = h) 2 2( 3) 16 (1 )x x− = − + Solucions:

1. a) 5 i 10 b) 11 c) 5 i 7 d) no hi ha e) 14

i 254

f) 13

i 3 g) 4 i 5 h) 110

i 10

2. a) 111

− i 511

b) 34

− i 43

c) 13

− i 3 d) 12

i 23

− e) 2 i 4 f) –4 i 6 g) e i –4 h) –1 i 3

1.Resol les equacions següents, transformant-les primer a la forma 02 =++ cbxax a) 8)1(5 +=− xxx b) 8)13)(13( =+− xx c) 1)2)(3( =+− xx

d) 20)2()4( 22 =++− xx

e) 15)12( 2 −=− xx f) 7)3)(3( =−+ xx

g) 2 3 5 18

2x x x−

− = +

h) )1)(1()72)(72( −+=−+ xxxx

i) 312 =+x

x

j) 243

5 22

+= xx

k) 0156 =+−x

x

l) x

xx

x3

842

+=

−

Solucions:

1. a) 4 25

i− b) –1 i 1 c) –2.193 i 3.192 d) 0 i 2 e) 1 24

i f) –4 i 4

g) –3.17891 i 8.17891 h) 4 i –4 i) 1 12

i j) –6 i 6 k) 1 13 2

i l) –4 i 4

Problemes equacions de 2n grau ( amb solució)

1. Troba dos nombres positius que es diferenciïn en 7 unitats, sabent que el seu producte és

44. (sol. 4 i 11) 2. Troba dos nombres la suma dels quals sigui 10 i el seu producte, 24.

(sol. 4 i 6) 3. Troba dos nombres naturals consecutius , de manera que la diferència entre el seu

producte i la seva suma sigui 305. (sol. 18 i 19)

4. La suma d’un nombre natural i el seu quadrat és 42. De quin nombre es tracta? (sol. 6)

5. La diagonal d’un rectangle mesura 10 cm. Troba les seves dimensions si un costat mesura

2 cm menys que l’altre. (sol. 6 cm i 8 cm)

6. La base d’un rectangle fa 2 cm més que l’altura. Determineu les seves dimensions sabent que si augmentem la base en 3 cm i disminuïm l’alçada en 1 cm, l’àrea augmenta en 5 cm2 . (sol. a= 5 cm i b = 7 cm ) 7. Els costats d’un triangle rectangle mesuren, tres nombres enters consecutius . troba la

longitud dels tres costats. (sol. 3 m , 4 m i 5 m)

8. Un camp de futbol mesura 30 m més de llargada que d’amplada i la seva àrea és de 7000 m2 , troba les seves dimensions.

(sol. amplada = 70 m llargada = 100 m)

9. La diagonal d’un rectangle té 10 cm. Calcula les seves dimensions si el costat petit mesura ¾ del costat gran.

(sol 6 cm i 8 cm)

Sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites

0.Resol pels tres mètodes el sistema d’equacions

=+−=+

52432

yxyx

1. Resol per substitució els sistemes

=+−=+

75433

yxyx

SOL: x = -2, y = 3

=+=+−

1531023

yxyx

SOL: x = 0, y = 5

2. Resol per igualació els sistemes

=−=+

1243852

yxyx

SOL: x = 4, y = 0

=+−=+

1625134

yxyx

SOL: x = -2, y = 3

3. Resol per reducció els sistemes

=−=+

1342

yxyx

SOL: x = 1, y = 2

=−=+

175632

yxyx

SOL: x = 2, y = -1

4. Resol el sistema:

=−

−+

=−

−−

03

24

2

05

527

211

yx

yx

SOL: x = 2, y = 5

5. Resol pel mètode de substitució els següents sistemes:

a.

=−=+

1723524

yxyx

b.

−=+−=−

1921134

yxyx

c.

=+=+4383152

yxyx

d.

=+−=+

431425

yxyx

e.

=+−=+113

32yxyx

f.

−=−−=+−1510

3483yx

yx

a(11, 8); b(-7, -13); c(3, 5); d(2, 2); e(-4, 5); f(-2, -5) 6. Resol pel mètode d’igualació els següents sistemes:

a.

=+=−

4621

yxyx

b.

=+=−2735025

yxyx

c.

=+=+

152193

yxyx

d.

=+=−25

2523yx

yx e.

−=−=+

6384

yxyx

f.

=−=+−91072

yxyx

a(16, 15); b(12, 5); c(4, 7); d(15, 10); e(0, 2); f(2, 11)

7. Resol pel mètode de reducció els següents sistemes:

a.

=+=−

5132312

yxyx

b.

−=−=−

57493

yxyx

c.

−=+−=+

1844252

yxyx

d.

−=+−=+

1356754

yxyx

e.

=−=+102

1074yx

yx f.

=+−−=−

605413083

yxyx

a(18, 5); b(4, 3); c(6, 6); d(-3, 1); e(6, -2); f(10, 20) 8. Resol els següents sistemes:

a. ( ) ( )( )

−=+−+=−

yyxyxx

33527324

b. ( )( )

++=+−=+

1147325414

yxyxyx

c.

=+=+

55,345,23,878,184,46,2

yxyx

d. ( )

( )

−++=+++=+

yxyxyxyx

3314522

e.

−+=+

+

−=−+

24

52

713

31

343

yxyx

xyx

f.

−+=−

++

−−

+=−

352

3

32

623

yxxyyx

yx

a(10, 3); b(-1, 4); c(3,5, 2,2); d(-10, 5); e(9, 15); f(-2, 11) Per a cadascun dels problemes identifica les incògnites, planteja les equacions i resol els sistemes d’equacions lineals. 9. Troba dos nombres sabent que la seva suma és 436 i la seva diferència és 58. S(189, 247) 10. Troba dos nombres tals que si sumes 7 al primer obtens el segon, i si sumes 3 al segon obtens el doble del primer. S(10, 17) 11. En una classe de 29 alumnes es fan grups de 3 i de 4 alumnes. Si en total se’n fan 8, quants grups hi ha de cada tipus?. S(3, 5) 12. Troba dos nombres tals que el doble del primer més el triple del segon sigui 69, i el segon més la meitat del primer sigui 21. S(12, 15) 13. Després de dinou jornades de lliga, un equip de futbol no ha perdut encara cap partit i té 49 punts. Sabent que per cada victòria es guanyen tres punts i per cada empat un, quants partits ha guanyat i quants n’ha empatat? S(15, 4) 14. En un examen tipus test de 30 preguntes, per cada resposta correcta se suma un punt i per cada resposta incorrecta se’n resten 0,25. Si una persona ha tret 16,25 punts, quantes respostes ha encertat i quantes n’ha fallat? S(19, 11) 15. En una pastisseria fan capses de 12 i de 24 bombons. Si un dia han fet 396 bombons i els ha col·locat en 25 capses, quantes capses han fet de cada tipus? S(17, 8) 16. En una granja, entre gallines i conills hi ha 530 potes i 195 caps. Quants animals hi ha de cada espècie? S(125, 70) 17. El perímetre d’un triangle isòsceles és de 17,5 cm, i la longitud dels costats iguals és el doble que la longitud del costat desigual. Quina és la longitud de cada costat? S(7, 3,5)

DESIGUALTATS. EXERCICIS AMB INTERVALS. 1. Dibuixa en la recta real cadascun d’aquests intervals i representa’ls mitjançant desigualtats. a) ( )5,1 b) [ ]7,4− c) [3, 6)

d) )3,5( −− e) (-4,11]

2. Dibuixa en la recta real aquestes semirectes, i representa-les mitjançant desigualtats: a) ),3[ +∞ b) ( ∞− ,5]

c) ( 8 , ∞+ ) d) )11,( −−∞

3. Expressa com a desigualtat, com a interval i representa gràficament els següents conjunts:

a) Nombres compresos entre 3 i 7, tots dos inclosos. b) Nombres compresos entre 4 i 9. c) Nombres entre 1 i 6, el 6 inclòs. d) Nombres més petits de 5. e) Nombres més grans de 3. f) Nombres més petits o iguals a 39.

4. Expressa com a desigualtat, com a interval i representa gràficament els següents conjunts numèrics:

a) Nombres entre -3 i 7, tots dos inclosos. b) Nombres més petits de -7. c) Nombres entre -9 i -5, el -9 inclòs. d) Nombres positius. e) Nombres no negatius.

5. Representa aquests intervals:

a) [-3, 2]

b)

−∞−

23,

c) [ 4.7 ; ∞+ ] d) ( 2 , 9 )

e) [ 6 , 7 ]

f) [41

,1)

6. Escriu com a interval i representa gràficament: a) 25 <≤− x b) 7>x

c) 3−≤x d) 311 ≤≤− x

EXERCICIS D’INEQUACIONS DE 1r GRAU Resol les inequacions següents, donant el resultat en forma de desigualtat, en forma d’interval i en forma gràfica:

1. x + 1 < 3 2. x – 2 > 4 3. – 3 < – x + 5 4. 5 + x > – 11

5. 2x – 2 < 8 6. – 20 > 4 – 4x 7. – 12 + 5x < – x 8. 3x + x > – 16

9. – 5 < 3x + 10 10. 2x – 8 > 4x 11. 5x – 2 < – 7x 12. 11 + 3x > 11

13. 2x + 3 < 3 – x 14. 22x – 20 > 40 – 8x 15. – 3x + 4 + x > – 10

16. 9 – 3x – 2 < 8 17. – 2 + x > 3 – 5 – 5x 18. 6 + x > – x + 6

19. x – 7 < – 9x + 13 20. – x – x + 4 > – 2x + 6 21. 9 > – 2x – x

22. 4x – 12 < – x – x – 4x 23. 5x – 13 > – 15x + 7 24. 7x + 2 – 3 > – 1 + 7x

SISTEMES D’INEQUACIONS DE 1r GRAU Resol els sistemesd´ inequacions següents, donant el resultat en forma de desigualtat, en forma d’interval i en forma gràfica:

−≥

≤

2x215x3

+≥+

+≥+

4x21x1x37x

( ) ( )

>−

−−≥+−

82x5x13x221x3

( )

+>−

+≤+−

9x1x32x7x13

−≥

≤

2x215x3

+≥+

+≥+

4x21x1x37x

( )

+>−+≤+−

9132713

xxxx

RECORDA!!

1) Digues les coordenades dels punts representats:

La gràfica de la funció de segon grau Definició: Una funció es diu que és polinòmica de segon grau, si és del tipus: 2y ax bx c= + + on a, b, i c són nombres qualssevol, i a mai és zero. Gràfic: El gràfic corresponent a una funció polinòmica de segon grau sempre és d’un dels següents tipus:

Aquest tipus de gràfic s’anomena PARÀBOLA. Definició: Anomenem eix de simetria de la paràbola a la recta (vertical) que al “doblegar” el full faria que els dues “branques” coincidissin. Definició: Anomenem vèrtex de la paràbola, a l’únic punt de la paràbola que està sobre l’eix de simetria. Coincideix amb el punt més alt o més baix respecte l’eix de les y’s. Característiques principals: I. Quan a>0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a dalt. II. Quan a<0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a baix.

III. L’eix de simetria, és la recta vertical d’equació:a2bx −

=

IV. El vèrtex té per coordenades:

−−

a2bf,

a2b

V. Si b=c=0, l’eix de simetria de la paràbola és la recta x=0 i el vèrtex és (0,0).

Tipus de funcións de segon grau: 2ax)x(f = ; cax)x(f 2 += ; cbxax)x(f 2 ++= 1. Representa les següents funcions:

2x41)x(f = 1x)x(f 2 += 3x2x)x(f 2 −−=

X y x y x y -4 -2 -2 -2 -1 -1 0 0 0 2 1 1 4 2 2 3 4

1. 2.

2. Donada la funció 4x3x)x(f 2 −−= , determina: Punts d’intersecció amb l’eix X. Punt d’intersecció amb l’eix Y. Eix de simetria. Coordenades del vèrtex. Creixement i decreixement de la funció. Signe de la funció. Màxims/ Mínims de la funció. Representa aproximadament la gràfica de la funció indicant els elements anteriors 3. Representa, després d’haver calculat els punts de tall amb els eixos, el vèrtex i alguns punts.

1x3x2)x(f 2 +−=

12x8x)x(f 2 +−=

x5x)x(f 2 +−=

4x3x)x(f 2 −+=

Teorema de Tales (I). Determina (sense fer servir el regle...) la longitud dels segments indicats mitjançant el teorema de Tales. Després pots comprovar que la solució obtinguda és correcta mesurant el segment, ja que les figures estan a escala 1:1. a)

OA = 4,2 cm, AB = 3 cm, OA’= 3,4 cm, OC = 11,9 cm. A’B’= ? , OC’ = ? b)

OB = 7,8 cm, OC = 12,3 cm, OB’ = 8,3 cm, B’C’ = 4,7 cm, OA = 4,7 cm. OC’ = ? , BC = ? , OA’ = ?

c)

OA’ = 3,5 cm, A’B’ = 4,3 cm, AB = 6,3 cm, B’C’ = 2,2 cm, OA = ?, BC = ? d)

B’D’ = 7,1 cm, A’C’= 8,1 cm, AB = 3,9 cm, BD = 5,8 cm,OA = 5,1 cm OA’ = ? , AC = ?, A’B’ = ?

e)

A’C’ = 7,2 cm, OA = 4,5 cm, CD = 4,4 cm, B’D’ = 6,7 cm, AC = 7,6 cm OA’ = ?, C’D’ = ?, BD = ? f)

BD = 4,6 cm, AB = 3,1 cm, B’D’ = 5,9 cm, OB’ = 9,5 cm, CD = 2,4 cm A’B’ = ? , OB = ?, C’D’ = ?.

Trigonometria: Resolució de triangles Exercici 1. Quina serà l’altura d’un arbre que forma un angle de 37º des de una distància de 15 m? Exercici 2. Quina serà l’altura d’un edifici si veiem el seu extrem superior amb un angle de 17º des d’una distància de 54 m? Exercici 3. Calcula la profunditat del pou de la figura: Exercici 4. Quina és la longitud d’una escala quan l’extrem que recolza en la paret arriba a una altura de 4,6 m i forma un angle de 71º? Exercici 5. Un cotxe puja per una rampa amb un pendent de 32º. Quants metres pujarà verticalment si ha recorregut 510 m.? Exercici 6. El triangle de la figura és equilàter. Quant mesuren els seus angles α i β? Quant mesura la longitud del costat si la seva altura mesura 14 cm?. Quina és la seva àrea?.

Trigonometria: Resolució de triangles Exercici 7. Un Esquiador baixa per una pista que té un pendent del 15 % ( 8,5º aprox.). Quina serà la longitud del seu recorregut si ha descendit 320 metres en vertical? Exercici 8. Una escala de 3 metres de llarg està recolzada en una paret, de manera que la base de l’escala és a un metre i mig de la paret. Quin és el valor de l’angle que forma l’escala amb el terra?. I l’altura de l’escala sobre la paret?. Exercici 9. Calcula l’altura d’un arbre, sabent que, des d’un punt situat a 20 metres, se n’observa la capçada amb un angle de 65,5º Exercici 10. L’angle d’elevació del Sol és de 43º. Quina és l’altura d’un edifici que, en aquest moment, projecta una ombra de 50 metres?. Exercici 11. Un avió vola a 350 metres d’altura, i el pilot observa que l’angle de depressió d’un aeroport pròxim és de 15º. Quina distància el separa de l’aeroport en el moment de l’observació?. Exercici 12. En un triangle rectangle la hipotenusa mesura 8 m, i un angle, 40º. Calcula’n els catets i l’altre angle. Exercici 13. En un triangle rectangle un catet amida 6,5 metres, i l’angle contigu, 25º. Resol el triangle. Exercici 14. Un costat d’un terreny de forma triangular mesura 132 metres, i els angles adjacents mesuren 35º i 60º. Quina és la superfície?. I el seu perímetre?. Exercici 15. Calcula el valor de l’apotema d’un decàgon regular de costat 20 cm. Quina és la seva àrea?. Exercici 16. Dos radars A i B estan separats entre si 15 km, i detecten un avió, que està en el mateix pla vertical que ells, sota uns angles de 42º i 56º respectivament. Troba l’altura a la que vola l’avió i la distància d’aquest a cadascun dels radars. Exercici 17. Un observador situat a la vora d’un riu veu un arbre que està situat en el costat oposat, sota un angle de 60º. Si s’allunya 20 metres, el veu sota un angle de 30º. Troba l’altura de l’arbre i l’amplada del riu. Exercici 18. Calcula l'alçada de la torre i del pont (de 20 metres de longitud) a partir de les dades dels dibuixos.

Equacions biquadrades (I) (amb solucions). Anomenem equació biquadrada a tota equació que es pugui escriure de la forma

4 2 0ax bx c+ + =

On a, b i c són nombres, i a no és zero. 1. Resol les següents equacions:

a) 4 2 6 0x x− − = b) 4 23 2 0x x− + = c) 4 211 18 0x x− + = d) 4 23 12 9 0x x− + = e) 4 22 12 16 0x x− + − = f) 4 24 45 0x x− − + =

2. Resol les següents equacions:

a) 4 23 2 0x x− + = b) 4 23 2 0x x+ − = c) 4 210 -25 x x= d) 4 22 6 8 x x+ = e) 4 22 4 2 0x x− − =

3. Resol la següent equació:

2 2( 2) ( 1)( 2)x x x− = − − Solucions: 1) a) x= 3, 3x = − b) -1,1,- 2, 2 c) -3,3,- 2, 2 d) -1,1,- 3, 3

e) -2,2,- 2, 2 f) - 5, 5 2. a) 1,1, 2, 2− − b) –1 i 1 c) 5, 5− d) –1 i 1 e) –1.55377 i 1.55377 3. –2.42822 i –0.403787

Coordenades cartesianes i vector determinat per dos punts Coordenades Cartesianes: Per tal d'orientar-nos en una superfície plana s'estableix un sistema de coordenades cartesià. Aquest sistema consisteix en dues rectes perpendiculars, una d'horitzontal (eix "X", o eix d’abscisses) i una de vertical (eix "Y", o eix d’ordenades), les dues rectes estan graduades. Exemple: Les següents lletres estan situades en les coordenades que s'indiquen al costat. Observa que sempre es col·loca primer la coordenada X (eix horitzontal) i després la coordenada Y (eix vertical). Exercici 1.Ara escriu les coordenades dels punts següents:

Exercici 2. Col·loca en els següents eixos cartesians els punts que tenen per coordenades: A=(3, 2) B=(-3, 3) C=(-1, 0) D=(0,-1) E=(-1, -3) F=(2, 3) G=(-3.5, -2) H=(0, -1.5) I=(3, 0) J=(-2.5, 2.5)

Coordenades cartesianes i vector determinat per dos punts Exercici 3. Fes el mateix que l’exercici anterior. Un cop hagis col·locat els punts uneix-los amb un segment i en el mateix ordre que apareixen, uneix també el primer punt amb l’últim i digues de quina figura es tracta. A=(0, -1) B=(2, -1) C=(2, 1) D=(0,1) E=(0, 3) F=(-2, 3) G=(-2, 1) H=(-4, 1) I=(-4, -1) J=(-2, -1) K=(-2, -3) L=(0, -3)

Vectors: Els vectors ens indiquen una direcció, un camí a seguir per tal d’anar d’un lloc i arribar a un altre lloc. Observa el plànol següent. Es tracta de l’eixample de Barcelona. Imaginat que estàs en el punt A i et demanen et demanen què han de fer per anar al punt B.

Tu li diràs: Ha de caminar cinc illes a la dreta i dues illes cap avall.

Això ho escriurem aixins: ),(AB 25 −+=→

. Aquestes són les components del vector. Recorda:

- Si vas a la dreta (+) i si vas a l’esquerra (-) - Si vas amunt (+) i si vas avall (-)

Coordenades cartesianes i vector determinat per dos punts

Exemple: El camí que va de C a D el representem així ),(CD 21−−=→

Exercici 4. Escriu les components dels vectors que van de:

B a D = ),(BD =→

B a E = ),(BE =→

A a C = B a D = C a A = C a B = F a D = B a F = B a B = C a F = E a C = E a D = E a F = D a D = Exercici 5. Digues quines són les coordenades dels vectors que tens aquí representats.

Exercici 6. Imaginat que estàs situat en el punt de coordenades A=(-3, 5) i vas en la

direcció ),(AB 46 −=→

. A quin punt aniràs a parar? Representa el cas sobre els eixos de coordenades que tens a continuació. Repeteix el mateix per als següents casos.

a) Estàs en el punt C=(2, -3) i vas en la direcció ),(CD 31=→

b) Estàs en el punt E=(-2, 0) i vas en la direcció ),(EF 42−=→

c) Estàs en el punt G=(1, 1) i vas en la direcció ),(GH 13=→

d) Estàs en el punt J=(-4, -1) i vas en la direcció ),(JK 06=→

e) Estàs en el punt L=(0, 3) i vas en la direcció ),(LM 43−−=→

Coordenades cartesianes i vector determinat per dos punts Vector determinat per dos punts.

Donats dos punts A=(x1,y1) i B=(x2,y2), anomenem vector →

AB al vector que té per components ( x , y ), on

x = x2-x1 i y = y2-y1

Al punt A s’anomena origen del vector i al punt B, extrem.

La seva longitud és el mòdul del vector, i es calcula : 22 yxAB +=

Exercici 7. Donats els punts A=(1, -3 ) i B=(2,4) troba les coordenades del vector →

AB . Exercici 8. Donats els punts A=(1,0), B=(2,-1), C=(3,2) i D=(-1,-2), troba els vectors →

AB ,→

AC ,→

AD , →

BC , →

BD , →

CD . Exercici 9. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas fes-ne la representació gràfica.

a) →

AB amb A=(-3,4) i B=(6,9)

b) →

CD amb C=(5,1) i D=(4,-3)

c) →

EF amb E=(0,0) i F=(-2,-4)

d) →

GH amb G=(-2,-3) i H=(-5,-8) Exercici 10. Determina el punt B si sabem que

a) )3,4(=→

AB i A=(2,3)

b) )5,2( −=→

AB i A=(-4,6) Exercici 11. Troba els extrems dels vectors que figuren a continuació, si saps que el seu origen és el punt A = ( 2,3)

a) )2,3( −=→

AB

b) )2,1(=→

AB

c) )5,2(=→

AB

d) )1,4( −−=→

AB

Exercici 12. Si el punt B=(-2,1) és l’extrem dels vectors següents, troba’n l’origen:

a) )4,3(=→

AB

b) )2,1( −=→

AB

c) )5,2(=→

AB

d) )1,4( −−=→

AB

GEOMETRIA ANALÍTICA Exercici 1. Dibuixa els següents punts en els eixos de coordenades.

A(-4, -1), B(3, -5), C(2, 3), D(-3, 4), E(-1, 2)

Exercici 2. Calcula els vectors BA

, CA

, DA

, EA

, EB

i EC

, i representa’ls, amb origen el punt O.

Exercici 3. Dibuixa el punt A(-1, -3), i prenent-lo com a origen, aplica-li els següents desplaçaments donats pel vector ( )4,2v , per trobar els punts B, C, D, E i F

vAB

+=

vAC

21

+=

vAD 2+=

vAE

21

−=

vAF −=

Fes el mateix per al punt P(-4, 1), i troba els

punts vPB +=' , vPC

21' += i vPD

−='

Quina característica tenen aquest punts?. Com són les rectes que surten?. Per què?. Podem afirmar que dues rectes són paral·leles si tenen el mateix ..........

GEOMETRIA ANALÍTICA EQUACIONS DE LA RECTA Podem concloure, que a partir d’un punt P, i un vector desplaçament d

, podem construir una recta, on les

coordenades d’un punt qualsevol X(x, y) que pertanyi a la recta les podem escriure com

dtPOXO

+= Aquesta és l’equació vectorial de la recta. En components: (x, y) = (x0, y0) + t(v1, v2) Això ens permetrà escriure les equacions de la recta a partir d’un punt per el qual passa la recta i el vector desplaçament.

Exercici 4. Donat els punt A( 3, 2) i el vector )3,1(−v , escriu l’equació vectorial de la recta. Exercici 5. Separa les coordenades de l’expressió anterior, deixant-les de la forma

+=+=

20

10

tvyytvxx

. Aquesta és l’equació paramètrica de la recta.

Exercici 6. Aïlla el paràmetre t de les expressions anteriors, escrivint l’equació contínua de la recta:

2

0

1

0

vyy

vxx −

=−

Exercici 7. Treu denominadors, multiplicant en creu, i transposa els termes a l’esquerra, arribant a l’equació general de la recta. Ax + By + C = 0 Quina relació hi ha entre els coeficients A i B de l’equació general i les components del vector ( )21 ,vvv =

Exercici 8. Aïlla la y, per a escriure l’equació explícita de la recta. y = mx + n Quina relació hi ha entre el pendent de la recta, m, i les components del vector ( )21 ,vvv =

Exercici 9. Si coneguem un punt A(x0, y0), i el pendent de la recta m, podem escriure directament l’equació punt-pendent de la recta. y – y0 = m (x – x0). Fes-ho amb les dades de l’exercici 4.

GEOMETRIA ANALÍTICA

P

Q

Exercici 10. a. Troba el punt mitjà del segment els extrems dels quals són els punts A(2, - 5) i B(- 3, 2). b. Troba el simètric de A(2, - 5) respecte al punt C(1, -4). Exercici 11. Determina la funció de primer grau ( )f x ax b= + que passa pels punts (1,5)P = i

( 2, 1)Q = − − .

Exercici 12. Determina la funció de primer grau ( )f x ax b= + que passa pels punts (2, 3)P = − i

( 3,7)Q = − .

Exercici 13. Escriu l’equació de la recta, en totes les seves formes (vectorial, paramètrica, contínua i general) de la recta que passa pels punts P(- 1, 3) i Q(-2, 8). Exercici 14. Troba l'equació en forma contínua, general i explícita de la recta que passa per P(-2, 5) i és paral·lela al vector )3,1(−v .

GEOMETRIA ANALÍTICA Exercici 15. Troba l'equació general de la recta les equacions paramètriques de la quals són:

−=+−=

≡ty

txr

3123

Exercici 16. Escriu les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt P(3, -1) i és paral·lela a la recta:

+=−=

≡tytx

s4

32

Exercici 17. Donades les rectes r i s, determina la seva posició relativa i si es tallen, digues quin és el punt de tall. Dibuixa-les:

−=+=

≡tytx

r3221

+−=−=

≡ty

txs

35

Exercici 18. Donades les rectes r i s, determina la seva posició relativa i si es tallen, digues quin és el punt de tall. Dibuixa-les:

−−=+=

≡ty

txr

221

+=−−=

≡tytx

s6231

Exercici 19. Troba les equacions paramètriques de la recta paral·lela a 032 =+−≡ yxr i que passa pel punt P(4, 3).

Avaluació educació secundària obligatòria 4t d’ESO

Proves de

Competència matemàtica

avaluació educació secundària obligatòria4t d’ESOcurs 2014-2015

Per fer la prova utilitza un bolígraf.

Aquesta prova té diferents tipus de preguntes.

La majoria les has de respondre marcant una X a la casella corresponent en el full de respostes.

Només hi ha una resposta correcta per a cada pregunta. Si t’equivoques, has d’omplir tot el quadrat i marcar de nou amb una X la resposta correcta. Les altres preguntes (6, 22 i 27), les has de respondre en el quadern.

Si necessites fer les operacions, pots utilitzar els espais en blanc del quadern.

Pots fer servir la calculadora, però no el mòbil o instruments similars.

Quan acabis, no t’oblidis de respondre a la pregunta que hi ha en el full de respostes.

INSTRUCCIONS

matemàtica

competència

ENGANXEU L’ETIQUETA

IDENTIFICATIVA EN AQUEST ESPAI

2 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 1: METEOROLOGIA

En aquest gràfic es representen la temperatura en graus i la pluja en mil·límetres enregistrades en una població durant un dia.

La línia representa la temperatura en graus i les barres la quantitat de pluja en mil·límetres per metre quadrat.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 hores

Temperatura en graus

Pluja en mm1,1

1,7

3,0 3,3

4,65,5

4,13,1

2,41,8

1,30,7

1 En aquest dia, aproximadament a quina hora es va assolir la temperatura màxima?

a. A les 10 hores

b. A les 11 hores

c. A les 15 hores

d. A les 24 hores

2 A quina altra hora feia la mateixa temperatura que a les 6 hores?

a. 4 h

b. 12 h

c. 20 h

d. 22 h

3 Entre quines hores va ploure més? Entre…

a. les 10 i les 12 hores.

b. les 12 i les 14 hores.

c. les 14 i les 16 hores.

d. les 22 i les 24 hores.

avaluació educació secundària obligatòria 3

matemàtica

competència

ACTIVITAT 1: METEOROLOGIA

4 Entre les 6 i les 8 hores s’han recollit 3,3 mm de pluja, això vol dir que respecte a la pluja recollida entre les 4 i les 6 hores se n’ha recollit…

a. un 0,30 % més.

b. un 10 % més.

c. un 30 % més.

d. la mateixa quantitat.

5 Amb la pluja, es va trencar un test de flors de l’escola. Quina és la probabilitat que es trenqués quan plovia més de 5 mm?

a. 1/12

b. 5/12

c. 1/2

d. 2

6 Una precipitació d’1 mm significa que en un recipient d’1 metre quadrat de base l’aigua ha pujat 1 mil·límetre.

(El dibuix no està fet a escala)

Si un dia la precipitació va ser de 9 mm, quants litres d’aigua van ploure sobre un camp de futbol de forma rectangular de 100 m x 50 m?

Fes els càlculs aquí

Resposta: litres

1 m

1 m1 mm

0-1-2

f

4 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 2: LA CAPSA

La maqueta d’un dipòsit d’aigua és una capsa, sense tapa, de base quadrada de 10 cm de costat i 4 cm d’altura.

10 cm

10 cm4 cm

7 Quin és el volum d’aquesta capsa?

a. 14 cm3

b. 24 cm3

c. 40 cm3

d. 400 cm3

8 Quina d’aquestes quatre figures correspon al desenvolupament de la maqueta?

Figura A Figura B Figura C Figura D

a. Figura A

b. Figura B

c. Figura C

d. Figura D

9 Si a la base de la capsa hi ha dibuixat un quadrat com el del dibuix, quina és la millor aproximació a la longitud del costat d’aquest nou quadrat interior? (El dibuix no està fet a escala)

a. 5 cm

b. 6 cm

c. 7 cm

d. 10 cm

10 La maqueta correspon a un dipòsit de dimensions 15 m x 15 m x 6 m. A quina escala està feta la maqueta?

a. Escala 1:10

b. Escala 1:15

c. Escala 1:150

d. Escala 1:400

10 cm

avaluació educació secundària obligatòria 5

matemàtica

competència

ACTIVITAT 3: FIGURES AMB ESCURADENTS

S’han utilitzat escuradents per dibuixar aquestes figures.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5…

11 Quants escuradents es necessitarien per fer la figura 5?

a. 5

b. 19

c. 23

d. 25

12 Quina de les afirmacions següents és correcta?

a. La diferència del nombre d’escuradents entre dues figures consecutives és 4.

b. El nombre d’escuradents d’una figura sempre és múltiple de 3.

c. Les figures sempre tenen un nombre parell d’escuradents.

d. El nombre d’escuradents de cadascuna de les tres primeres figures és un nombre primer.

13 El nombre d’escuradents necessaris per fer una figura segons el seu número s’observa a la taula següent:

Número de figura 1 2 3 n

Nombre d’escuradents 7 11 15 y

Quina és l’expressió algebraica (y) corresponent al nombre d’escuradents de la figura n?

a. y = 3n + 4

b. y = 4n + 3

c. y = 4n + 7

d. y = 7n + 4

6 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 4: LA SALA

Una sala del centre escolar té forma rectangular, tal com indica la figura:

120 m2

12 m

10 m

14 Si el cost d’enrajolar el terra de la sala és de 1.260 €, a quin preu surt el metre quadrat enrajolat?

a. 10 €/m2

b. 10,50 €/m2

c. 105 €/m2

d. 126 €/m2

15 El paviment de la sala el col·loquen 3 operaris A, B i C. L’operari A és el més experimentat de tots tres i col·loca tant paviment com els altres dos junts.

Quina fracció de sala fa l’operari A?

a. 1/5

b. 1/4

c. 1/3

d. 1/2

16 Si es col·loca una cinta vermella entre els dos punts A i B més allunyats del terra de la sala, la longitud d’aquesta cinta vermella és resultat de fer...

a. 12+10

b. (12+10) / 2

c. 12+10

d. 122+102

10 m

12 m

A

B

avaluació educació secundària obligatòria 7

matemàtica

competència

ACTIVITAT 4: LA SALA

17 Un cop acabada la feina, s’organitza un esdeveniment a la sala i es considera que 10 persones poden estar en 6 metres quadrats. Si la sala és plena a vessar, quin és el nombre màxim de persones que hi ha a la sala? (Recorda les dimensions de la sala: 12 m x 10 m)

a. 40

b. 120

c. 200

d. 1.152

18 Si es necessités una sala de la mateixa forma, però quatre vegades més gran de superfície, quines haurien de ser les seves dimensions?

a. 24 m x 10 m

b. 24 m x 20 m

c. 48 m x 40 m

d. 96 m x 40 m

19 Els alumnes de 4t d’ESO volen demanar la sala per preparar un acte i, d’entre els 60 alumnes de tots els grups de 4t d’ESO, n’han d’escollir un per fer la gestió de demanar-la.

Si els alumnes de 4t B són 29, quina és la probabilitat que l’alumne escollit sigui de 4t B?

a. 29/60

b. 31/60

c. 1/4

d. 29

8 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 4: LA SALA

20 A la sala, cada dimecres a la tarda hi assaja la coral de 4t d’ESO, que està formada per 21 alumnes (13 noies i 8 nois). Aquest dimecres una persona ha arribat tard a l’assaig.

La probabilitat que la persona que ha arribat tard sigui un noi és igual a...

a. 1/21

b. 8/21

c. 1/2

d. 13/21

21 La coral de 4t d’ESO ha tingut una despesa mitjana mensual en els tres darrers mesos de l’any passat de 20 €. Si la despesa mensual del mes d’octubre va ser de 10 € i la del mes de desembre de 35 €, quina va ser la despesa del mes de novembre?

a. 15 €

b. 20 €

c. 35 €

d. 60 €

22 La coral ha pagat 60 € per la compra de material. Si el preu total de 60 € inclou un 20 % d’impostos, quin és el preu del material abans d’incloure els impostos?

(Recorda: material abans impostos + 20 % impostos = preu total)

Fes els càlculs aquí

Resposta: euros

0-1-2

v

avaluació educació secundària obligatòria 9

matemàtica

competència

ACTIVITAT 5: POBLACIÓ

L’any 2013 la distribució per grups d’edat de la població de Catalunya era la següent:

INTERVAL D’EDATS Menys de 20 anys

20 a 39 anys 40 a 59 anys 60 a 79 anys 80 i més anys

Població en milers 1.523 2.017 2.165 1.309 424

Font: Institut d’Estadística de Catalunya. Estimacions de població. Total Catalunya 7.438 milers.

23 Quin d’aquests 4 gràfics s’aproxima més a la distribució de la població segons la taula anterior?

Gràfic A Gràfic B Gràfic C Gràfic D

a. Gràfic A

b. Gràfic B

c. Gràfic C

d. Gràfic D

24 L’any 2013, quantes persones tenien 80 i més anys?

a. 4,24 x 105

b. 4,24 x 106

c. 4,243

d. 4,24 x 109

25 Quin percentatge de la població de Catalunya tenia menys de 20 anys?

a. 15,23 %

b. 20,48 %

c. 74,38 %

d. 79,52 %

10 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 5: POBLACIÓ

26 En aquesta distribució, que està ordenada de menor edat a major, la mediana, és a dir, l’edat de la persona que es troba en el centre de la distribució, pertany a l’interval de…

a. 20 a 39 anys.

b. 40 a 59 anys.

c. 60 a 79 anys.

d. 80 i més anys.

27 Una ciutat de Catalunya ocupa una superfície de 211 km2 i té una població de 140.315 habitants. Si Catalunya tingués la mateixa densitat de població que aquesta ciutat, quants habitants tindria Catalunya? (Dades: superfície de Catalunya: 32.108 km2)

Fes els càlculs i el raonament aquí.

Resposta: habitants

0-1-2

aa

avaluació educació secundària obligatòria 11

matemàtica

competència

ACTIVITAT 6: ELS DESENVOLUPAMENTS DE LA BICICLETA

El desenvolupament és la distància que recorre la bicicleta amb una volta de pedal.

Per calcular aquesta distància, cal saber la longitud de la roda i el nombre de dents del plat i del pinyó que s’està utilitzant i ve donat per l’expressió següent:

28 Cada una de les rodes de la bicicleta té una longitud de 2,10 metres. Quin dels nombres següents s’aproxima més al valor del radi de la roda? (Longitud=2πr)

a. 13,19 cm

b. 21,00 cm

c. 33,40 cm

d. 66,80 cm

29 Quin és el desenvolupament que fa la bicicleta quan es posa un plat de 36 dents i un pinyó de 20 dents? (Recorda: la longitud de la roda és 2,10 m)

a. 0,93 m

b. 3,78 m

c. 720 m

d. 1.512 m

30 El desenvolupament és directament proporcional a...

a. la longitud de la roda.

b. el nombre de dents del pinyó.

c. l’alçada del ciclista.

d. el temps atmosfèric.

31 Si hem escollit una combinació de plat i pinyó que entre els dos sumen 51 dents i el nombre de dents del plat és el doble del nombre de dents del pinyó, quina expressió ens permet conèixer el nombre de dents del plat i el del pinyó?

(x: dents del plat; y: dents del pinyó) (No cal resoldre el sistema d’equacions)

}x + y = 51 x + 2 y = 0

}x + 2 y = 51 x = 2 y

}x + y = 51 x = 2 y

}2 x + 2 y = 51 x = 2 y

a. b. c. d.

desenvolupament = longitud roda x nombre de dents del plat

nombre de dents del pinyó

Moltes gràcies per la teva col·laboració.

Pinyons

Roda

Pedal

Plats

avaluació educació secundària obligatòria4t d’ESOcurs 2015-2016

Per fer la prova utilitza un bolígraf.

Aquesta prova té diferents tipus de preguntes.

La majoria les has de respondre marcant una X a la casella corresponent en el full de respostes.

Només hi ha una resposta correcta per a cada pregunta. Si t’equivoques, has d’omplir tot el quadrat i marcar de nou amb una X la resposta correcta. Per tornar a marcar com a correcta una resposta prèviament emplenada, encercla-la. Les preguntes 11, 23 i 29 les has de respondre en el quadern.

Si necessites fer les operacions, pots utilitzar els espais en blanc del quadern.

Pots fer servir la calculadora, però no el mòbil o instruments similars.

Quan acabis, no t’oblidis de respondre a la pregunta que hi ha en el full de respostes.

INSTRUCCIONS

matemàtica

competència

ENGANXEU L’ETIQUETA

IDENTIFICATIVA EN AQUEST ESPAI

2 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 1: PRIMERES SETMANES

En acabar la setmana, els pares d’un bebè anoten la despesa en euros en un aliment específic que pren. Observa el gràfic associat a l’evolució de les despeses durant les 10 primeres setmanes del bebè.

De

spe

sa s

etm

an

al e

n e

uro

s140

120

100

80

60

40

20

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temps transcorregut (setmanes)

1 Quina va ser, aproximadament, la despesa d’aquest aliment específic durant la primera setmana?

a. 40 euros

b. 60 euros

c. 120 euros

d. 140 euros

2 La setmana en què van tenir més despesa va ser...

a. la primera.

b. la quarta.

c. la cinquena.

d. la desena.

3 Quina setmana van tenir la mateixa despesa que la segona setmana?

a. La primera

b. La tercera

c. La cinquena

d. La vuitena

4 Si a l’evolució d’aquesta despesa li associem una funció com la del gràfic de la dreta, aquesta és una funció que...

a. sempre creix.

b. creix entre 1 i 5 però decreix entre 5 i 10.

c. sempre decreix.

d. decreix entre 1 i 5 però creix entre 5 i 10.

140

120

100

80

60

40

20

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

avaluació educació secundària obligatòria 3

matemàtica

competència

ACTIVITAT 2: LA PANTALLA DEL TELÈFON MÒBIL

En el telèfon mòbil d’en Joan, la mesura de la diagonal de la pantalla ve donada en centímetres (cm) i en polzades (’’).

6’’ (polzades) equivalen a 15,24 cm. (El dibuix no està fet a escala)

15,2

4 cm6”

5 La diagonal de la pantalla del telèfon mòbil de la Paula mesura 4,7” (polzades). Quant mesura, en centímetres, la diagonal d’aquest telèfon mòbil? (El dibuix no està fet a escala)

a. 1,85 cm

b. 4,70 cm

c. 10,66 cm

d. 11,94 cm

6 Observa les mesures de la pantalla dels mòbils d’en Lluís i de la Carme.

L’àrea de la pantalla del mòbil de la Carme és... (Els dibuixos no estan fets a escala)

a. 2 vegades més gran que la d’en Lluís.

b. 3 vegades més gran que la d’en Lluís.

c. 4 vegades més gran que la d’en Lluís.

d. 8 vegades més gran que la d’en Lluís.

7 La pantalla del mòbil d’una amiga de la Paula és com la de la imatge. Quant mesura l’alçada de la pantalla d’aquest mòbil?

(El dibuix no està fet a escala)

a. 8 cm

b. 10 cm

c. 12 cm

d. 18 cm

4,7”

4 cm

6 c

m

8 cm12

cm

LLUÍS CARME

5 cm

alç

ad

a

13 c

m

4 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 3: CONCURS DE BALLS DE SALÓ

En un concurs de balls de saló per parelles, el jurat està format per 7 jutges, que puntuen cadascuna de les parelles amb valors enters de 0 a 10.

El càlcul de la nota final s’obté de la manera següent: s’eliminen la puntuació més alta i la puntuació més baixa, i amb les cinc puntuacions restants es fa la mitjana aritmètica.

Les puntuacions que els 7 jutges han donat a la parella Mercè i Sergi són les següents:

PUNTUACIÓ JUTGE 1 JUTGE 2 JUTGE 3 JUTGE 4 JUTGE 5 JUTGE 6 JUTGE 7

Parella Mercè-Sergi 7 8 3 7 9 5 8

8 En aquest concurs de ball, quina és la nota final de la parella Mercè-Sergi?

a. 5 punts

b. 6 punts

c. 7 punts

d. 8 punts

9 Quins d’aquests efectes s’aconsegueix quan la nota final es calcula d’aquesta manera? Tria l’opció correcta.

a. Evita que un jutge perjudiqui o ajudi una parella, posant-li puntuacions molt altes o molt baixes.

b. Evita que surtin molts decimals, ja que sempre surten més decimals en dividir per 7 que per 5.

c. Evita que es produeixin empats en les notes finals.

d. Evita que una parella tingui de nota final 10.

10 La Marta i en David són una altra parella de ball que ha obtingut, un cop ordenades, les puntuacions següents: 1, 2, 3, 6, 7, 7, 9. La mediana és el...

a. 5, perquè és la mitjana de totes les puntuacions.

b. 6, perquè és la puntuació que queda en el centre.

c. 7, perquè és la puntuació que més vegades ha sortit.

d. 9, perquè és la puntuació més alta.

11 Un focus de llum situat al sostre de la pista de ball té dues posicions que fan ombres diferents, segons s’observa en la imatge següent:

Quants graus fa l’angle C, tenint en compte que el triangle ABC és rectangle?

Fes l’explicació i els càlculs aquí:

Resposta: graus0-1-2

k

A B

120º

C

focus

avaluació educació secundària obligatòria 5

matemàtica

competència

ACTIVITAT 4: LA LLETRA L

Els conductors novells porten al cotxe una placa amb un distintiu que és una lletra dins d’un rectangle: la L (lletra inicial de la paraula anglesa Learning).

12 La lletra L té les mides següents: Alçada: 15 cm, amplada: 10,50 cm i gruix de la lletra: 3 cm

(El dibuix no està fet a escala)

Quina és l’àrea de la lletra L?

a. 31,50 cm2

b. 67,50 cm2

c. 76,50 cm2

d. 157,50 cm2

13 Dins del requadre de la dreta, la figura 1 s’ha transformat per un vector de translació en la figura 2. Quin és aquest vector de translació?

a.

b.

c.

d.

14 La figura de l’esquerra es pot transformar en la figura de la dreta a través...

a. d’una simetria.

b. d’una translació.

c. d’un gir de 45º.

d. d’un gir de 90º.

10,50 cm

3 c

m

15 c

m

3 cm

Eix OX

Eix

OY

Figura 1 Figura 2

O

6 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 5: CONSTRUÏM TETRAEDRES

Amb aquest desenvolupament, en Marc i l’Anna han construït un dau amb forma de tetraedre regular, d’aresta 10 cm.

1

234

1

3

2

4

15 Amb els nombres 1, 2, 3 i 4, en Marc i l’Anna han escrit un nombre diferent a cada cara del dau. Si tiren el dau, quina és la probabilitat de treure un nombre múltiple de 2?

a. 1/2

b. 1/3

c. 1/4

d. 3/4

16 En Marc ha calculat que en el triangle equilàter de 10 cm de costat, l’altura mesura aproximadament 8,66 cm.

Quina és la millor aproximació a l’àrea total del tetraedre d’aresta 10 cm?

a. 43,30 cm2

b. 86,60 cm2

c. 173,20 cm2

d. 346,40 cm2

17 L’Anna ha fet un gràfic que representa la relació entre l’aresta d’un tetraedre regular (x) i l’àrea total del tetraedre (y). A partir d’aquest gràfic, quina és l’àrea aproximada d’un tetraedre d’aresta 13 cm?

a. 3 cm2

b. 13 cm2

c. 250 cm2

d. 300 cm2

10 cm

y: à

rea

en

cm

2

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 2 4 6 8 10 12 14

x: longitud d’aresta en cm

avaluació educació secundària obligatòria 7

matemàtica

competència

ACTIVITAT 6: EINES

L’ús d’eines, com ara ordinadors, calculadores, programes informàtics, etc., és un gran suport per fer tasques matemàtiques.

18 Al final d’un problema de geometria has utilitzat una calculadora o un full de càlcul per calcular 192 + 122. El resultat del càlcul, amb dues xifres decimals, és...

a. 5,56.

b. 22,47.

c. 31,00.

d. 50,50.

19 En un problema de probabilitat s’ha utilitzat la calculadora per fer les operacions següents:

1 – 11

x 7

= 19 8

El resultat es troba entre...

a. 0,33 i 0,34.

b. 0,36 i 0,37.

c. 0,49 i 0,50.

d. 0,50 i 0,51.

20 S’utilitza un programa informàtic de geometria dinàmica per trobar el punt on es tallen les 3 altures d’un triangle. En quina d’aquestes 4 figures hi ha representat el punt on es tallen les altures?

Figura A Figura B Figura C Figura D

a. Figura A

b. Figura B

c. Figura C

d. Figura D

8 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 7: OFERTES

Calculem els nous preus d’un producte i escollim la millor oferta.

21 En una papereria venen el paquet gran de fulls a 4 euros, però a partir d’aquesta setmana n’incrementaran el preu un 15 %. Entre aquestes 4 operacions, quina és la correcta per calcular el nou preu del paquet gran?

a. 4 x 1,15

b. 4 + 1,15

c. 4 + 0,15

d. 4 / 0,15

22 Un producte costava 100 euros. La setmana passada li van aplicar una rebaixa del 10 %, però avui, a partir del preu rebaixat, el producte l’han apujat un 10 %.

Quin preu té el producte avui?

a. 90 euros

b. 99 euros

c. 100 euros

d. 110 euros

23 El supermercat ALFA fa una oferta de 3 x 2 (emporta-te’n 3 i paga’n 2) en els paquets d’arròs i el supermercat BETA fa un descompte del 30 % per paquet d’arròs.

Abans de les ofertes el paquet d’arròs costava 2 euros i se’n volen comprar 3 paquets.

Justifica per què és més barat comprar-los en el supermercat ALFA.

Escriu aquí la justificació.

0-1

w

avaluació educació secundària obligatòria 9

matemàtica

competència

ACTIVITAT 8: L’AULA D’AQUEST ANY

Al centre escolar d’en Marc les aules estan distribuïdes entre 3 plantes. A cada planta hi ha 4 aules etiquetades amb els nombres de l’1 al 4. L’any passat, en Marc anava a l’aula 2 de la segona planta.

Aquest any han distribuït els grups a l’atzar per tot el centre.

AULES

3a planta 1 2 3 4

2a planta 1 2 3 4

1a planta 1 2 3 4

24 Quina és la probabilitat que en Marc vagi a la mateixa aula de l’any passat?

a. 1/12

b. 1/4

c. 1/3

d. 1/2

25 Quin d’aquest successos té de probabilitat 1/2?

a. Aquest any, en Marc anirà a una aula etiquetada amb un nombre parell.

b. Aquest any, en Marc anirà a una aula situada a la segona planta.

c. Aquest any, en Marc anirà a una aula etiquetada amb el número 2.

d. Aquest any, en Marc anirà a una aula de la segona planta amb el número 3.

26 En Marc llegeix el resultat de l’enquesta feta a 80 alumnes de quart d’ESO en la qual se’ls preguntava què pensaven fer en el curs següent.

Quants alumnes van dir que farien batxillerat?

a. 20 alumnes

b. 28 alumnes

c. 35 alumnes

d. 80 alumnes

ENQUESTA FETA A 80 ALUMNES DE 4t D’ESO

Batxillerat35 %

Cicle formatiu de grau mitjà30 %

No ho sé27 %

Treballar8 %

10 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 9: BENEFICIS?

Observa el gràfic de l’evolució d’ingressos i de despeses d’una empresa des de l’any 2012.

Mili

on

s d

’eu

ros

1514131211109876543210

2012 2013 2014 2015 2016

Anys

Despeses

Ingressos

27 L’any 2013, els beneficis han estat de... (Recorda: beneficis = ingressos – despeses)

a. 1 milió d’euros.

b. 2 milions d’euros.

c. 4 milions d’euros.

d. 5 milions d’euros.

28 Quin any els beneficis han estat de 3 milions d’euros?

a. 2012

b. 2013

c. 2014

d. 2015

29 Justifica l’afirmació següent: “Cada any tenim 1 milió d’euros de beneficis més que l’any anterior”.

Escriu aquí la justificació.

0-1

ac

avaluació educació secundària obligatòria 11

matemàtica

competència

ACTIVITAT 10: POLÍGONS AMB BRAÇOS

Amb pals de fusta d’aquest tipus es construeixen les figures següents:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4…

30 Quants pals de fusta es necessiten per fer la figura 5, si se segueix la sèrie?

a. 5

b. 7

c. 10

d. 16

31 L’hexàgon de la figura 3 s’ha partit en dues parts A i B.

A B

Si l’àrea de la part A és de 60 cm2, quina és l’àrea de la part B?

a. 10 cm2

b. 15 cm2

c. 20 cm2

d. 30 cm2

32 L’any 2015, la població de la Terra és, aproximadament, de 7.500 milions d’habitants. Si es poguessin construir tantes figures com habitants té la Terra, el nombre total de figures seria...

a. 7,50 x 103 figures.

b. 7,50 x 106 figures.

c. 7,50 x 109 figures.

d. 7,50 x 1012 figures.

Moltes gràcies per la teva col·laboració.

Carlos

Texto escrito a máquina

avaluació educació secundària obligatòria4t d’ESOcurs 2016-2017

ENGANXEU

L’ETIQUETA IDENTIFICATIVA

EN AQUEST ESPAI

matemàtica

competència

INSTRUCCIONS

Per fer la prova utilitza un bolígraf.

Si necessites fer operacions, pots utilitzar els espais en blanc del quadern.

Pots fer servir la calculadora, però no el mòbil o instruments similars.

Aquesta prova té diferents tipus de preguntes.

La majoria les has de respondre marcant una X a la casella corresponent en el full de respostes.

Només hi ha una resposta correcta per a cada pregunta. Si t’equivoques, has d’omplir tot el quadrat i marcar de nou amb una X la resposta correcta. Per tornar a marcar com a correcta una resposta prèviament emplenada, encercla-la. Les preguntes 8, 12 i 27 les has de respondre en el quadern. No facis servir cap corrector (líquid, cinta...).

Quan acabis, no t’oblidis de respondre a la pregunta que hi ha en el full de respostes.

2 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 1: EL REGAL

A la Marta li regalen un hàmster. Li fa una foto amb el mòbil i la penja a la xarxa. De seguida rep missatges dels seus amics i amigues.

Pes de l’hàmster de la Marta: 150 g

1 Una amiga, la Carla, li comenta que ella té un hàmster més petit que pesa les tres cinquenes parts (3/5) del seu. Quant pesa l’hàmster de la Carla?

a. 30 g

b. 90 g

c. 145 g

d. 147 g

2 En Joan li diu que controli el pes de l’hàmster, perquè si augmenta el 20 % o més del pes que té ara, l’haurà de portar al veterinari. A partir de quin pes la Marta hauria de portar el seu hàmster al veterinari? (Recorda, pes actual de l’hàmster de la Marta: 150 g)

a. 150 g

b. 170 g

c. 180 g

d. 270 g

3 La Mònica, que també té un hàmster, li aconsella que el posi en un habitacle en forma de prisma i amb les dimensions de 80 cm de llarg, 25 cm d’ample i 35 cm d’altura. Quant mesura la superfície del terra de l’habitacle?

a. 140 cm2

b. 210 cm2

c. 2.000 cm2

d. 7.000 cm2

4 En Sergi planteja, a la xarxa, la pregunta següent: quina d’aquestes expressions permet calcular el volum de l’habitacle?

a. 80 ∙ 25 ∙ 35 cm3

b. 80 + 25 + 35 cm3

c. 802 + 252 + 352 cm3

d. (80 + 25) ∙ 5 cm3

5 La Sara comenta que veu la foto de l’hàmster a la pantalla del mòbil en un requadre de 4 cm x 3 cm i, com que és molt petita, la passarà a la tauleta per veure-la en un requadre en què la llargada i l’amplada són el doble de les del mòbil.

Quina àrea tindrà el requadre de la foto a la tauleta? (Els dibuixos no estan fets a escala)

a. 12 cm2

b. 24 cm2

c. 36 cm2

d. 48 cm2

80 cm

35 c

m

25 cm

4 cm

3 c

m

AL MÒBIL A LA TAULETA

avaluació educació secundària obligatòria 3

matemàtica

competència

ACTIVITAT 2: ANIMALS DE COMPANYIA

Els alumnes d’una classe de 4t d’ESO fan un estudi dels animals de companyia que tenen. Les dades recollides, les presenten a la taula i al gràfic següent.

Taula d’animals de companyia Gràfic. Tipus d’animals de companyia

Nombre d’animals de companyia per alumne

Nombre d’alumnes

0 animals de companyia 6

1 animal de companyia 14

2 animals de companyia 4

3 o més animals de companyia 1

No

mb

re d

’an

imal

s d

e co

mp

anyi

a 1110

9876543210

Gos Gat Hàmster Canari Tortuga

Animals de companyia

6 D’aquests gràfics, quin és el que correspon a la taula d’animals de companyia?

1

2Cap

3 o més

Cap 1 2 3 o més

1

2

Cap

3 o més

Cap 1 2 3 o més

a. Gràfic A b. Gràfic B c. Gràfic C d. Gràfic D

7 Quin és el nombre total d’animals de companyia que tenen els alumnes de la classe? (Observa la taula i el gràfic)

a. 11

b. 19

c. 25

d. 27

8 Observa que a la taula d’animals de companyia hi ha un alumne que té 3 o més animals de companyia. A partir de les dades de la taula i del gràfic, calcula el nombre exacte d’animals de companyia que té aquest alumne.

Justifica la teva resposta.

Resposta: animals de companyia

0-1-2

h

4 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 3: EL CINEMA

Els dos gràfics següents mostren l’evolució de la recaptació i el nombre d’espectadors que han anat al cinema en aquests darrers anys.

Recaptació Nombre d’espectadors

Mili

on

s d

’eu

ros

250

200

150

100

50

0

2013 2014 2015 2016

Anys

240210 220

240

Mili

on

s d

’esp

ecta

do

rs

80

60

40

20

0

2013 2014 2015 2016

Anys

6050

4540

9 De l’any 2014 a l’any 2016, l’increment de la recaptació va ser de...

a. 2 milions d’euros.

b. 13 milions d’euros.

c. 15 milions d’euros.

d. 30 milions d’euros.

10 De l’any 2014 a l’any següent, 2015, hi ha hagut un descens en el nombre d’espectadors. Quins d’aquests valors expressa aquest descens en forma de percentatge?

a. 5 %

b. 10 %

c. 13 %

d. 40 %

11 Quant costava, de mitjana, una entrada al cinema l’any 2014?

a. 4 euros

b. 4,20 euros

c. 5,25 euros

d. 6 euros

12 Observa que l’any 2016 hi va haver un descens del nombre d’espectadors respecte a l’any 2013, encara que la recaptació va ser la mateixa (240 milions d’euros). Justifica aquest fet comparant els preus mitjans de les entrades de cada any.

Resposta:

0-1-2

l

avaluació educació secundària obligatòria 5

matemàtica

competència

ACTIVITAT 4: L’ENTITAT ASSOCIATIVA

Una entitat sorteja dues entrades per anar al cinema. S’han posat a la venda 150 números a un euro cadascun. El sorteig es farà introduint 150 paperetes numerades en una capsa i extraient-ne dues, consecutivament i sense retorn.

13 L’entitat ha pagat per cada una de les dues entrades 7 euros i ha venut tots els 150 números. Després del sorteig, quin benefici ha obtingut l’entitat?

a. 75 euros

b. 136 euros

c. 143 euros

d. 150 euros

14 Si es compra un número, quina és la probabilitat que aquest número surti a la primera extracció del sorteig?

a. 1/150

b. 2/150

c. 1/2

d. 1/7

En els primers cinc mesos de l’any passat, l’entitat ha fet el nombre d’activitats següent:

MESOS GENER FEBRER MARÇ ABRIL MAIG

Nombre d’activitats 37 40 30 50 48

15 Quina és la mitjana mensual del nombre d’activitats durant aquests cinc mesos?

a. 30

b. 37

c. 41

d. 50

16 Les despeses en euros de les activitats en els darrers mesos han estat 600, 550, 650, 200 i 500. Quina és la mediana d’aquests valors?

a. 500 euros

b. 550 euros

c. 600 euros

d. 650 euros

6 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 5: ESTELS REGULARS

En alguns dels estels que es fan volar es poden descobrir polígons regulars, com ara triangles equilàters, quadrats, pentàgons regulars... amb els seus eixos de simetria.

Per exemple, en el triangle equilàter i en el quadrat:

17 En un estel amb forma de triangle equilàter es dibuixen dos eixos consecutius de simetria. Quant mesura l’angle marcat al dibuix?

a. 15º

b. 30º

c. 45º

d. 60º

18 Un estel té forma de polígon regular de n costats.

Quina d’aquestes expressions determina la mesura de l’angle més petit que formen dos eixos de simetria consecutius?

(Com a exemple: si n = 4 costats, l’angle és de 45º i si n = 6 costats, l’angle és de 30º)

a. 360ºn

b. 360ºn + 6

c. 360º2n

d. 360ºn2

avaluació educació secundària obligatòria 7

matemàtica

competència

ACTIVITAT 5: ESTELS REGULARS

19 Si s’uneixen dos estels de forma hexagonal, quina d’aquestes figures presenta una simetria respecte a la recta?

Figura A Figura B Figura C Figura D

a. Figura A

b. Figura B

c. Figura C

d. Figura D

20 En una circumferència de radi 1 m, hi ha inscrit un estel que té forma de pentàgon regular.

L’àrea del pentàgon regular, segons en Marc, és de 4 m2.

La Júlia afirma que en Marc s’ha equivocat perquè l’àrea del pentàgon inscrit és...

a. menor de 3,14 m2.

b. igual al nombre de costats: 5 m2.

c. igual al quadrat de costats: 25 m2.

d. més gran de 5 m2.

21 Aquesta figura està formada per triangles i quadrats. Quin és el seu desenvolupament?

Desenvolupament A Desenvolupament B Desenvolupament C Desenvolupament D

a. Desenvolupament A

b. Desenvolupament B

c. Desenvolupament C

d. Desenvolupament D

(Pot ajudar-te: àrea del cercle A = π r2)

8 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 6: LA FERRETERIA

En una ferreteria venen, entre altres productes, tacs, broques i cargols.

tacs broques cargols

Si es compren els tacs solts, d’un a un, el preu d’un tac és de 0,54 euros.

Si es compra un paquet sencer de 12 tacs, el preu d’un paquet és de 4,80 euros.

22 La Laura vol comprar 8 tacs. Si cada tac el pogués comprar al mateix preu que surt el tac del paquet sencer, quant pagaria la Laura?

a. 1,12 euros

b. 2,16 euros

c. 3,20 euros

d. 4,32 euros

23 La Sònia compra el paquet sencer de 12 tacs, i en Joan compra els 12 tacs d’un a un. Tots dos han comprat 12 tacs, però en Joan ha pagat més. En total, quant paga de més en Joan?

a. 0,14 euros

b. 0,60 euros

c. 1,40 euros

d. 1,68 euros

24 La taula següent mostra quant costen els tacs si es compren d’un a un:

NOMBRE DE TACS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Preu en euros 0,54 1,08 1,62 2,16 2,70 3,24 ---- ---- ---- ----

A partir de quin nombre de tacs comença a ser més car comprar els tacs d’un a un que comprar el paquet sencer de 12 tacs? (Recorda, preu del paquet sencer de 12 tacs: 4,80 euros)

a. 7 tacs

b. 8 tacs

c. 9 tacs

d. 10 tacs

25 Un tornavís costa 2 euros i un tac costa 0,54 euros. Si es compra un tornavís i un nombre x de tacs, quina és l’expressió algebraica que determina el cost total?

(y = el cost total en euros, x = el nombre de tacs comprats)

a. y = 2 + 0,54x

b. y = 0,54 + 2x

c. y = 0,54 (x - 2)

d. y = 2 + 0,54 + x

avaluació educació secundària obligatòria 9

matemàtica

competència

ACTIVITAT 6: LA FERRETERIA

26 Un client compra una caixa de cargols i una caixa de claus de ganxo per 7 euros, mentre que un altre client va pagar 10 euros per dues caixes de cargols i una caixa de claus de ganxo. Quin preu té cada caixa?

La de cargols La de claus de ganxo

a. 2 euros 5 euros

b. 3 euros 4 euros

c. 4 euros 3 euros

d. 5 euros 2 euros

27 Aquest gràfic mostra el preu total (y) d’una broca més una quantitat (x) de paquets de tacs especials.

Evolució del preu total

y: p

reu

to

tal e

n e

uro

s

un

a b

roc

a +

x p

aq

ue

ts d

e t

ac

s

14131211109876543210

0 1 2 3

x: nombre de paquets de tacs especials

Segons aquest gràfic, quin és el preu d’una broca i el d’un paquet de tacs especials?

Fes els càlculs i el raonament aquí:

Resposta: Preu d’una broca: euros

Preu d’un paquet de tacs especials: euros0-1-2

aa

10 avaluació educació secundària obligatòria

ACTIVITAT 7: VOLEIBOL PLATJA

A la platja, hi ha instal·lada una xarxa de voleibol.

28 Per subjectar la xarxa es posen uns pals i uns tensors.

Si l’alçada d’un pal és de 2,50 m i la base d’un tensor està situada a 2 m de la base del pal, quina llargada té el tensor? (El dibuix no està fet a escala)

a. 2,12 m

b. 3,20 m

c. 4,50 m

d. 5,00 m

29 En un determinat moment d’un dia assolellat, el pal de 2,50 m fa una ombra de 0,50 m. Quina ombra fa un jugador d’1,75 m, en aquest moment? (Els dibuixos no estan fets a escala)

a. 17 cm

b. 20 cm

c. 35 cm

d. 50 cm

30 Una empresa fabrica 1.000 pilotes de voleibol i les ven a 18,90 euros cada una. Si l’empresa ven totes les pilotes, quin d’aquests nombres representa els ingressos

totals per la venda de les pilotes?

a. 1,89 x 101 euros

b. 1,89 x 102 euros

c. 1,89 x 103 euros

d. 1,89 x 104 euros

tensor

90º

2 m

2,50

m

1,75

m

0,50 m

2,50

m

avaluació educació secundària obligatòria 11

matemàtica

competència

ACTIVITAT 7: VOLEIBOL PLATJA

31 La trajectòria que segueix la pilota des del seu llançament fins que arriba a tocar terra és una paràbola expressada per la funció següent:

f(x) = - 0,05x2 + 0,60x + 2

on x és la distància en horitzontal des del punt de partida i f(x) l’altura de la pilota respecte a terra

Trajectòria de la pilota

y: a

ltu

ra d

e la

pilo

ta e

n m

etr

es

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

x: distància en horitzontal en metres

El gràfic no està acabat.

Observa que a una distància de 13 metres des del lloc de llançament inicial, la pilota encara no haurà tocat terra.

I a una distància de 14 metres, la pilota encara no haurà tocat terra, perquè...

a. f(14) és positiva.

b. f(14) és negativa.

c. el gràfic talla l’eix OX entre 12 i 13 metres.

d. l’altura màxima és de 3 metres.

Moltes gràcies per la teva col·laboració.