Matemàtiques

El llibre de Matemàtiques, per a quart curs d’ESO, és una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creada al Departament d’Edicions Educatives de Grup Promotor / Santillana, dirigit per Teresa Grence Ruiz i Pere Macià Arqué.

En l’elaboració ha participat l’equip següent: José Carlos Gámez Pérez Ana María Gaztelu Villoria Fernando Loysele Susmozas Silvia Marín García Mercè Masllovet Martínez Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa Carles Dorce Polo

EDICIÓ José Antonio Almodóvar Herráiz Silvia Marín García Virgilio Nieto Barrera Laura Sánchez Fernández Rosa Comabella Bernat

EDICIÓ EXECUTIVA Carlos Pérez Saavedra M. Àngels Andrés Casamiquela

DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa

SÈRIE AVANÇA ESO

UNITAT SABER SABER FER

1 Nombres reals. Percentatges

6

1. Nombres racionals 8

2. Nombres irracionals 9

3. Nombres reals 10

4. Aproximació de nombres reals 12

5. Errors d’aproximació 13

6. Intervals 14

7. Percentatges 16

• Trobar els conjunts numèrics als quals pertany un nombre

• Calcular la unió i la intersecció d’intervals

• Resoldre problemes de percentatges encadenats

• Calcular un nombre decimal comprès entre dos de donats

• Operar amb nombres decimals periòdics

2 Potències i radicals

24

1. Potències d’exponent enter 26

2. Radicals 28

3. Potències d’exponent fraccionari 29

4. Operacions amb radicals 30

5. Racionalització 34

6. Notació científica 35

• Extreure factors d’un radical

• Resoldre operacions combinades amb radicals

• Calcular productes de binomis amb radicals

• Sumar i restar en notació científica

• Multiplicar i dividir en notació científica

3 Polinomis i fraccions algebraiques

42

1. Polinomis 44

2. Divisió de polinomis 46

3. Potència d’un polinomi 48

4. Arrels d’un polinomi 49

5. Factorització de polinomis 50

6. Fraccions algebraiques 52

• Extreure factor comú d’un polinomi

• Dividir un polinomi entre ( x - a). Regla de Ruffini

• Factoritzar un polinomi

• Resoldre operacions amb fraccions algebraiques

• Saber quan un polinomi és el quadrat d’una suma o una diferència

• Saber quan un polinomi és producte d’una suma per una diferència

• Calcular un polinomi coneixent-ne les arrels i el coeficient principal

• Calcular el mínim comú múltiple de dos o més polinomis

4 Equacions i inequacions

60

1. Equacions 62

2. Equacions de primer i de segon grau 63

3. Altres tipus d’equacions 65

4. Inequacions 68

• Resoldre una equació biquadrada

• Resoldre una equació mitjançant factorització

• Resoldre inequacions de segon grau

• Resoldre equacions amb radicals• Resoldre equacions racionals

5 Sistemes d’equacions i d’inequacions

76

1. Sistemes d’equacions lineals 78

2. Resolució de sistemes d’equacions 80

3. Sistemes d’inequacions amb una incògnita 82

• Determinar gràficament el nombre de solucions d’un sistema d’equacions

• Resoldre un sistema d’equacions lineals

• Resoldre sistemes d’inequacions amb una incògnita

• Resoldre un problema amb un sistema d’equacions lineals

• Resoldre un problema amb un sistema d’inequacions lineals

6 Àrees i volums. Semblança

90

1. Perímetre i àrea de figures planes 92

2. Àrea de cossos geomètrics 94

3. Volum de cossos geomètrics 98

4. Semblança 100

5. Semblança en àrees i volums 101

• Calcular l’àrea de figures planes

• Calcular l’àrea d’un poliedre

• Calcular l’àrea d’un cos de revolució

• Calcular el volum d’un cos geomètric

• Calcular l’àrea d’un triangle coneguts els costats

7 Trigonometria

108

1. Mesures d’angles 110

2. Raons trigonomètriques d’un angle agut 111

3. Relacions entre les raons trigonomètriques 112

4. Raons trigonomètriques de 30°, 45° i 60° 113

8. Resolució de triangles rectangles 114

• Resoldre problemes per mitjà de trigonometria

• Calcular l’àrea d’un triangle coneixent-ne dos costats i l’angle que formen

• Calcular l’àrea d’un polígon regular

8 Vectors i rectes

122

1. Vectors 124

2. Operacions amb vectors 126

3. Equacions de la recta 128

4. Posició relativa de dues rectes en el pla 131

• Calcular les equacions d’una recta que passa per dos punts

• Calcular l’origen o l’extrem d’un vector

• Calcular el mòdul d’un vector a partir de les coordenades

• Calcular el punt mitjà d’un segment

• Calcular l’equació d’una recta representada gràficament

• Determinar si un punt pertany a una recta

• Determinar el punt d’intersecció de dues rectes secants

Índex

2

UNITAT SABER SABER FER

9 Funcions

138

1. Concepte de funció 140

2. Domini i recorregut d’una funció 142

3. Continuïtat i punts de tall amb els eixos 144

4. Creixement i decreixement 146

5. Simetria i periodicitat 148

• Representar gràficament una funció

• Calcular el domini d’una funció

• Calcular els punts de tall d’una funció

• Estudiar el creixement i el decreixement d’una funció

• Estudiar una funció

• Calcular el domini i el recorregut d’una funció a partir de la representació gràfica

• Calcular la taxa de variació mitjana d’una funció

• Representar una funció coneixent-ne algunes característiques

10 Funcions polinòmiques i racionals

156

1. Funcions polinòmiques de primer grau 158

2. Funcions polinòmiques de segon grau 160

3. Funcions racionals 164

• Representar funcions lineals

• Representar funcions quadràtiques

• Resoldre problemes per mitjà de la proporcionalitat inversa

• Representar gràficament una funció racional del tipus yx a

kb=

-+

• Calcular l’equació d’una funció lineal a partir de la gràfica

• Calcular l’expressió algebraica d’una paràbola del tipus y = ax2

• Calcular l’expressió algebraica d’una paràbola del tipus y = ax2 + c

• Calcular els punts d’intersecció de les gràfiques de dues funcions

11 Funcions exponencials i logarítmiques

174

1. Funcions exponencials 176

2. Funcions logarítmiques 180

• Representar funcions exponencials del tipus y = ax

• Representar funcions exponencials del tipus y = ax + b i y = a(x + b)

• Representar funcions logarítmiques del tipus y = log a x

• Calcular l’expressió algebraica d’una funció exponencial del tipus y = ax a partir de la gràfica

• Representar gràficament una funció exponencial coneixent-ne alguna de les característiques

• Calcular l’expressió algebraica d’una funció logarítmica del tipus y = log a x a partir de la gràfica

• Representar funcions logarítmiques del tipus y = log a x + b i y = log a ( x + b)

12 Estadística

188

1. Mostres i variables estadístiques 190

2. Taules de freqüències 191

3. Gràfics estadístics 192

4. Mesures de centralització 194

5. Mesures de posició 196

6. Mesures de dispersió 198

7. Núvols de punts 200

8. Correlació 201

• Escollir el tipus de gràfic adequat per a cada tipus de variable estadística

• Calcular i interpretar les mesures de centralització

• Calcular i interpretar les mesures de posició

• Interpretar conjuntament les mesures de centralització i dispersió

• Afegir o suprimir dades per obtenir una mitjana determinada

13 Combinatòria

208

1. Mètodes de comptatge 210

2. Nombres combinatoris 212

3. Variacions 214

4. Permutacions 215

5. Combinacions 216

• Calcular el nombre de possibilitats d’un experiment amb un diagrama d’arbre

• Calcular nombres combinatoris simplificant abans de dividir

• Calcular el nombre de possibilitats amb variacions, permutacions i combinacions

• Calcular el nombre de possibilitats que compleixen una propietat

14 Probabilitat

224

1. Experiments aleatoris. Esdeveniments 226

2. Operacions amb esdeveniments 227

3. Probabilitat d’un esdeveniment 228

4. Freqüència i probabilitat 230

5. Propietats de la probabilitat 231

6. Probabilitat condicionada 232

• Utilitzar la regla de Laplace per calcular probabilitats

• Calcular probabilitats en experiments compostos

• Calcular la probabilitat d’alguns esdeveniments no equiprobables

• Calcular la probabilitat d’un esdeveniment compost per mitjà de taules de contingència

Història i curiositats matemàtiques pàg. 240

3

Esquema del llibre

L’estructura de les unitats didàctiques és molt regular i molt senzilla, ja que es tracta de facilitar la localització dels continguts fonamentals, dels exemples resolts i de les activitats proposades.

Pàgines de contingut: Saber i Saber fer com un tot integrat.

Introducció a la unitat: dos elements bàsics, una base sòlida i una motivació adequada.

Has de saber fer...: repàs essencial. Activitats de les pàgines teòriques: l’aplicació dels continguts.

Hi trobaràs també activitats de

càlcul mental.

El tractor

El tractor és un tipus de vehicle que ajuda els pagesos en les seves tasques, ja que les poden fer amb molt menys esforç físic i una productivitat força més alta.

• Si un terreny té forma quadrada i una àrea de 125 m2, quines mides té aquest terreny?

INTERPRETA LA IMATGE

Equacions i inequacions 4SABER

• Equacions de primer i de segon grau

• Equacions biquadrades i factoritzades

• Inequacions de primer i de segon grau amb una incògnita

SABER FER

• Resoldre equacions biquadrades

• Resoldre equacions mitjançant factorització

• Resoldre inequacions amb una incògnita

1912

Sorgeixen els primers tractors amb motor de gasolina. Són molt més forts i barats.

1863

Es creen les primeres màquines remolcadores, propulsades amb vapor.

2000

Apareixen tractors amb motor elèctric.

1940

Es fan servir per primera vegada els pneumàtics de goma.

Diferència entre identitat i equació

Una igualtat algebraica està formada per dues expressions algebraiques separades pel signe igual (=).

Les igualtats algebraiques són de dos tipus:

• Identitat: és certa per a qualsevol valor de les lletres.

• Equació: no és certa per a tots els valors de les lletres.

EXEMPLE

5( x + 1) = 7x - 2 x + 5

Donem valors a x i comprovem si obtenim una igualtat numèrica.

5( x + 1) = 7x - 2 x + 5 x = 1" 5(1 + 1) = 7 ? 1 - 2 ? 1 + 5 " 10 = 10

5( x + 1) = 7x - 2 x + 5 x = 0" 5(0 + 1) = 7 ? 0 - 2 ? 0 + 5 " 5 = 5

Si donem més valors a x, la igualtat es continua complint: és una identitat.

2 x - 7 = -4x + 11

2 x - 7 = -4x + 11 x = 3" 2 ? 3 - 7 = -4 ? 3 + 11 " -1 = -1

2 x - 7 = -4x + 11 x = 0" 2 ? 0 - 7 = -4 ? 0 + 11 " -7 ! 11

Hi ha un valor x, per al qual la igualtat no és certa: és una equació.

ACTIVITATS

1 Indica si aquestes igualtats són identitats o equacions.

a) -6( x - 2) + 5 = -6 x + 17

b) 6 x - 3 x + 11 = 4 ? ( x - 2)

Construcció d’intervals a la recta real

Cada interval està determinat pels seus extrems. Si l’extrem pertany a l’interval, s’indica amb un claudàtor.

F F

F

F

a b

ObertL’extrem no pertany a l’interval.

TancatL’extrem pertany a l’interval.

(a, b]

(a, b] " Els nombres més grans que a i més petits o iguals que b.

EXEMPLE

(-2, 3) " Tots els nombres més grans que -2 i més petits que 3.

[-2, 3) " Tots els nombres més grans o iguals que -2 i més petits que 3.

[-2, 3] " Tots els nombres més grans o iguals que -2 i més petits o iguals que 3.

ACTIVITATS

2 Busca tres nombres que pertanyin als intervals següents.

a) [4, 6] b) (-7, -5) c) (-3, -5]

CLAUS PER COMENÇAR

6160

Les Claus per començar

et permetran recordar els

continguts previs necessaris

per entendre el que estudiaràs.

Comencem la unitat al voltant

de la història, les utilitats i

les curiositats d’algun invent.

A Saber s’especifiquen els

continguts i a Saber fer,

els procediments de la unitat.

Interpreta la imatge

et proposa un exercici senzill,

relacionat amb la imatge

d’entrada, amb el qual podràs

treballar algun contingut

de la unitat.

3 Classifica aquest sistema d’equacions.

x yx y

26

- =

+ =-3

4 Classifica el sistema d’equacions següent.

x y

x y2 2 4

3+ =

+ =3

ACTIVITATS1 Determina si els valors x = 2 i y = 1 són solucions

d’aquests sistemes.

a) x yx y

42 2 5+ =

+ =3

b) x yx y

13

- =

+ =3

2 Representa gràficament i resol aquest sistema

x yx y

52 4+ =

- =3

ACTIVITATS

Sistemes d’equacions lineals1

Un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites és un conjunt d’equacions lineals amb dues incògnites per al qual es vol trobar una solució comuna.

Una solució del sistema d’equacions és cada parell de valors que verifica totes les equacions alhora.

EXEMPLE

1. Calcula les solucions del sistema x yx y

12 0

- =

- + =3.

Representem les solucions de les dues equacions.

Escollim dues solucions de cada equació.

x y y1 1- = =-$x 0

"=

(0, -1)

x 1=$ "y 0=

(1, 0)

x y y2 0 0- + = =$x 0

"=

(0, 0)

y 2=$x

"=1 (1, 2)

Les solucions del sistema verifiquen les dues equacions alhora, és a dir, són els punts d’intersecció entre les dues rectes.

La solució d’aquest sistema és (-1, -2), és a dir, x = -1 i y = -2.

1.1. Classificació de sistemes d’equacions

Segons la quantitat de solucions, un sistema pot ser:

• Compatible determinat: el sistema té una única solució. Com a representació gràfica té dues rectes que es tallen en un punt.

• Compatible indeterminat: el sistema té infinites solucions. La representació gràfica són dues rectes que coincideixen (coincidents).

• Incompatible: el sistema no té solució. La representació gràfica són dues rectes paral·leles.

Y

-2 x + y = 0

-1

-2

X

x - y = 1

HO ESCRIVIM AIXÍ

Els sistemes d’equacions lineals s’escriuen així:

' ' 'ax by c

a x b y c+ =

+ =4

Determinar gràficament la quantitat de solucions d’un sistema d’equacions

Classifica aquests sistemes d’equacions segons la quantitat de solucions que tenen:

a) x yx y

2 03

- =+ =

3 b) x yx y

6 2 63 0+ =+ =

3 c) x y

x y1

2 2 2==

++

3

Passos que cal seguir

1. Trobem dues solucions de cada equació.

a) x y2 0- = " Solucions: (0, 0) i (-1, -2)

x y 3+ = " Solucions: (0, 3) i (3, 0)

b) x y6 2 6+ = " Solucions: (0, 3) i (1, 0)

x y3 0+ = " Solucions: (0, 0) i (-1, 3)

c) x y 1=+ " Solucions: (0, 1) i (1, 0)

x y2 2 2=+ " Solucions: (0, 1) i (1, 0)

2. Representem les dues rectes a partir dels dos punts que hem obtingut.

• Si les rectes són secants, la solució és única i el sistema és compatible determinat.

• Si les rectes són paral·leles, no hi ha solució i el sistema és incompatible.

• Si les rectes coincideixen, hi ha infinites solucions i el sistema és compatible indeterminat.

a)

b)

c)

Sistema compatible determinat.

Té una única solució (1, 2), és a dir, x = 1 i y = 2.

Sistema incompatible.

No té solució.

Sistema compatible indeterminat.

Té infinites solucions.

SABER FER

En un sistema compatible determinat, el punt de tall de les dues rectes és l’única solució del sistema.

Y

2 x - y = 02

1 X

x + y = 3

Y

6 x + 2y = 6

X

3 x + y = 0

Y

2 x + 2y = 2

X

x + y = 1

1

1

1 1

1 1

78 79

Sistemes d’equacions i d’inequacions 5

3 Resol aquestes equacions.

a) ? ( ) ( )x x x5 2 4 7 9- + - - =

b) ?( ) ( )x x x9 2 3 4 6 1+ - + =- -

4 Calcula les solucions de les equacions següents.

a) x2 - 10 x + 24 = 0

b) 2 x ? (1 - x) = x - 6

ACTIVITATS

1 Indica els elements d’aquesta equació.

( x + 2) - ( x - 5) + 2 = 7 - x2

2 Digues si x = 3 és solució de les equacions.

a) ? ( )x x2 4 1- - =-

b) ( )x x2 5 3 22+ =+

ACTIVITATS

Equacions1

1.1. Elements d’una equació

A les equacions, hi podem identificar diversos elements:

• Incògnites: són les lletres, o variables, amb valor desconegut.• Membre: és cadascuna de les dues expressions algebraiques que

hi ha, separades pel signe igual.• Terme: és cadascun dels sumands que conformen els membres de

l’equació.• Grau: és l’exponent més gran dels termes després d’haver-ne reduït

els semblants.

1.2. Solucions d’una equació

Les solucions d’una equació són els valors de les incògnites que fan que la igualtat sigui certa.

EXEMPLE

2. Digues si x = -1, x = 0 i x = 1 són solucions d’aquesta equació:

x 3 - 2 x = -1

x x2 13 - =- x = -1" ?( ) ( )1 2 1 1 13 !- - - = - " No és solució.

x x2 13 - =- x = 0" ?0 2 0 0 13 !- = - " No és solució.

x x2 13 - =- x = 1" ?1 2 1 13 - =- " És solució.

Com es calcula el valor numèric d’un polinomi

El valor numèric d’un polinomi és el nombre que obtenim quan substituïm les lletres pels valors corresponents i operem.

EXEMPLE

1. Calcula el valor del polinomi x2 - 3 x + 1 per a x = - 1.

(- 1)2 - 3 ? ( - 1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5

HAS DE SABER FER...

2x + 3y = x2 + 1

Termes

Incògnites

Membres

NO TE N’OBLIDIS

2x + 3x = x2 + 1

Termes

1r membre 2n membre

Incògnita: x Grau: 2

Equacions de primer i de segon grau2

2.1. Equacions de primer grau

Una equació de primer grau és una equació de grau 1 amb una sola incògnita.

EXEMPLE

3. Resol l’equació 5( x - 2) - x + 4 = 2( x - 1).

Operem; agrupem els termes amb x en un membre i els nombres a l’altre, i aïllem la x.

5 x - 10 - x + 4 = 2 x - 2 " 5 x - x - 2 x = -2 + 10 - 4 "

" 2 x = 4 " x24

2= = " La solució és x = 2.

2.2. Equacions de segon grau

Una equació de segon grau amb una incògnita es pot expressar de la forma ax2 + bx + c = 0, en què a, b i c són nombres reals i a ! 0. Les solucions es calculen amb la fórmula:

xa

b b ac2

42!=

- -

EXEMPLE

4. Calcula les solucions de l’equació 2 x 2 - 3 x + 1 = 2 x + 4.

Posem l’equació com ax 2 + bx + c = 0, i hi apliquem la fórmula:

2 x 2 - 3 x + 1 = 2 x + 4 " 2 x 2 - 5 x - 3 = 0

?

? ?( ) ( ) ( )x

x

x2 24 2 3

45 49

3

21

5 5 2 1

2

! !=

- - - - -= =

=

=-*

Transposició de termes● Si un terme està sumant

en un membre, passa a l’altre membre restant, i si està restant, passa sumant.

● Si un terme està multiplicant tot un membre, passa a l’altre membre dividint, i si està dividint, passa multiplicant.

62 63

Equacions i inequacions 4

Al costat dels textos explicatius

trobaràs informacions complementàries. A més,

a T’hi atreveixes? posarem a

prova els teus coneixements, la

teva intuïció i el teu raonament

matemàtic.

Tan important com saber és

Saber fer. En aquesta secció

aprendràs, pas a pas, els

procediments exposats a les

pàgines teòriques.

Les activitats que acompanyen

Saber fer tenen com a

objectiu consolidar i dominar

els procediments apresos.

La proposta per Saber són

uns textos clars i estructurats.

Els exemples resolts t’ajudaran

a consolidar aquests sabers.

Al final de cada text explicatiu,

et proposem activitats que

has de saber resoldre a partir

del que has après.

En un gran nombre de pàgines

s’inclou Has de saber fer..., secció en la qual repassaràs

continguts o procediments que

cal que coneguis per afrontar

els nous aprenentatges.

Aquesta secció també es

reforça amb exemples resolts.

4

ACTIVITATS FINALS

29 CÀLCUL MENTAL. Resol les equacions.

a) x x8 8 1 0$- - =_ _i i

b) x x7 03 4$- + =-_ _i i

c) x x4 05$- + - =_ _i i

30 Resol aquestes equacions per descomposició factorial.

a) x x x3 6 8 03 2- - + + =

b) x x x8 2 7 3 03 2- + + - =

c) x x x10 9 3 2 03 2- - + =

31 Resol les equacions següents:

a) ? ?( ) ( )x x x x2 1 3 42- + = -

b) ? ? ?( ) ( ) ( )x x x x x2 12 5 15- + + = +

Resoldre equacions radicals

32 Resol l’equació x x1 12- = - .

primer. Elevem al quadrat els dos membres de l’equació per eliminar les arrels.

x x1 122 2

- = -` _j i " x 2 - 1 = x - 1

segon. Resolem l’equació que hem obtingut.

x 2 - 1 = x - 1 " x 2 - x = 0x( x - 1) = 0 " x1 = 0, x2 = 1

tercer. Comprovem si les solucions que hem trobat ho són de l’equació inicial.

x x1 12- = - x = 0" 0 1 1- = -

El radicand és negatiu; per tant, no és solució.

x x1 12- = - x = 1" 1 1 1 1 02- = - =

x = 0 no és solució; x = 1 és solució.

SABER FER

33 Resol aquestes equacions amb radicals.

a) x x3 2 5- = -

b) ( )x x2 2 12- = +

c) x x1 12 - = -

d) x x x2 5 412 + = - -

Resoldre equacions racionals

34 Resol l’equació x

xx1

2 31

72-

+=

+.

primer. Fem productes encreuats per obtenir una equació sense denominadors.

(2 x + 3)( x + 1) = 7( x 2 - 1)

segon. Resolem l’equació que obtenim.

(2 x + 3)( x + 1) = 7( x 2 - 1) "

" 2 x 2 + 2 x + 3 x + 3 = 7x 2 - 7 "

" 5 x 2 - 5 x - 10 = 0 " x 2 - x - 2 = 0

xxx1

21 4 1 2

12

2

1"

! $ $=-- - -

=-

=^ ^h h)xxx1

21 4 1 2

12

2

1"

! $ $=-- - -

=-

=^ ^h h)xxx1

21 4 1 2

12

2

1"

! $ $=-- - -

=-

=^ ^h h)xxx1

21 4 1 2

12

2

1"

! $ $=-- - -

=-

=^ ^h h)

tercer. Comprovem si les solucions que hem obtingut són solucions de l’equació inicial.

xx

x12 3

17

2-

+=

+

x = 2"

?

2 12 2 3

2 17

2-

+=

+

És solució.

xx

x12 3

17

2-

+=

+

x = -1"

?

( )( )

( )1 12 1 3

1 17

2- -

- +=- +

S’anul·la el denominador; per tant, no és solució.

SABER FER

35 Troba la solució d’aquestes equacions racionals.

a) x

xx4 2

50

2 --

+=

b) x x

xx

51

20

2 -

-+

-=

72

Sistemes d’equacions i d’inequacions 5

(Les activitats d’aquesta pàgina s’han de resoldre a la llibreta)

La llauna de refresc

43 En Jesús i la Beatriu han begut uns quants refrescos.

Al principi de la festa, en Jesús ha anat a comprar unes quantes llaunes de refresc per a ell i els seus amics. Ha comprat 6 refrescos i ha pagat amb un bitllet de 5 €, i recorda que li han tornat una moneda de 2 € i algun altre cèntim més.

Després li ha tocat a la Beatriu, perquè havien vingut més amics, i ha comprat 12 llaunes més. Ha pagat també amb un bitllet de 5 €, però no n’ha tingut prou i hi ha hagut d’afegir alguns cèntims.

En Jesús ara es vol prendre un altre refresc, però només li queden 45 ct. Tindrà prou diners?

(Activitat model)

L’excursió

44 La Muntsa i els seus amics planegen una excursió a la muntanya. Han decidit que llogaran una tenda de campanya i que passaran alguns dies fent senderisme.

Perquè els surti més econòmic ho han explicat a altres amics i, així, poder compartir les despeses.

Encara no sap qui s’hi ha apuntat i ha enviat un missatge a la Sònia per esbrinar-ho. Està una mica preocupada pels diners que tocaran per cap.

La Sònia li ha contestat amb aquest missatge:

El lloguer de la tenda són 80 € al dia.

Si fóssim tres més, pagaríem 6 € menys cada una.

Quantes amigues van d’excursió?

(Activitat model)

OBJECTIU: Organitzar l’edició d’una revista del vostre centre

Tan bon punt hàgiu format els grups, seguiu aquest procés:

1a fase

• Formuleu propostes sobre les diferents seccions que tindrà la revista: informació general, esports, cultura, oci, etc.

• Avalueu el període de publicació de la revista (setmanal, mensual, trimestral...).

• Busqueu informació sobre revistes que es publiquin en altres centres.

2a fase

• Proposeu noms per a la revista.

• Determineu quin format tindrà: en paper, digital, butlletí d’informació..., i l’extensió.

• Penseu si es necessitarà una via de finançament per elaborar-la i com podríeu aconseguir els fons.

3a fase

• Feu un esquema del primer número de la revista.

• Redacteu un informe que inclogui la periodicitat de la revista, si tindrà algun cost i la manera de cobrir-lo.

PROJECTE FINAL. Aprenentatge cooperatiu

Proves PISA

89

Necessitat dels nombres irracionalsLa llegenda diu que els seguidors de Pitàgores es van trobar un problema que no van saber resoldre.

Els antics grecs tenien controlada l’existència dels nombres naturals, ja que sabien comptar perfectament (1, 2, 3...) i s’havien adonat que les divisions entre aquests portaven a les fraccions i als nombres racionals. D’aquesta manera, qualsevol persona grega del segle v aC era conscient de l’existència de certs nombres que podríem considerar «senzills». No obstant això, algun pitagòric curiós va plantejar-se un bon dia quina era la longitud de la diagonal d’un quadrat. No sabia què havia fet, el pobre imprudent!

Sembla que no va poder determinar cap fracció que mesurés aquest segment i va decidir anar a l’oracle de Delos a explicar la nova troballa, i els sacerdots no van dubtar: havia de morir! El món no estava preparat per entendre que un nombre no fos representat per una fracció!

Davant d’aquest problema, dos-cents anys més tard, Euclides d’Alexandria va escriure una important obra titulada Elements, on va intentar explicar l’existència d’uns nombres que va anomenar incommensurables, és a dir, els ‘que no es poden mesurar’. Tanmateix, la seva visió del món va fer que no pensés més enllà de l’existència de les arrels quadrades i les seves combinacions:

a a b a b a b a b! ! ! !

A partir d’aquest moment, molts problemes de càlcul de longituds de costats de polígons van anar donant aquest tipus de nombres com a resultat i no va ser fins al Renaixement que la resolució de l’equació cúbica no va regalar-nos nombres del tipus:

2 2 2 23 3

+ - -

S’ha de dir que l’aparició definitiva dels nombres irracionals com a entitats pròpies no es va produir fins que l’alemany Richard Dedekind va plantejar-ne l’existència al segle xix.

Història i curiositats matemàtiques

Temple de Delos

240

ES0000000045853 757889_AVANCA MATES_4_ESO_FINALES_p240a248_54156.indd 240 19/07/2016 8:56:36

Sistemes d’equacions i d’inequacions 5

33 Els bitllets de 50 € i de 20 € que porta en Ramon a la butxaca sumen 380 €. Si canvia els bitllets de 50 € per bitllets de 20 € i al revés, aleshores sumen 320 €. Calcula quants bitllets té de cada mena.

Té bitllets de 20 € i bitllets de 50 €

34 L’edat actual de la Sara més l’edat que tindrà d’aquí a 3 anys és igual a l’edat de la Núria d’aquí a 6 anys, i l’edat de la Núria d’aquí a 3 anys és igual que la que tindrà la Sara d’aquí a 6 anys. Calcula les edats de la Sara i la Núria.

La Sara té anys.

La Núria té anys.

35 Una caravana que viatja pel desert està formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana? (Recorda que els camells tenen dos geps i els dromedaris en tenen un.)

Hi ha camells i dromedaris.

36 Calcula les edats de dues persones si saps que fa 10 anys la primera tenia 4 vegades l’edat de la segona, però d’aquí a 20 anys l’edat de la primera persona serà el doble de l’edat de la segona.

La primera persona té anys.

La segona té anys.

Problemes amb sistemes d’equacions i inequacions

Resoldre un problema amb un sistema d’equacions lineals

31 En Joan i la Maria tenen 15 cromos. La Maria en té el doble que en Joan. Quants cromos té cadascú?

primer. Identifiquem les incògnites.

Anomenem x = nre. de cromos d’en Joan y = nre. de cromos de la Maria

segon. Plantegem les equacions.

Entre tots dos La Maria en tétenen 15 cromos el doble que en Joanx + y = 15 y = 2x

tercer. Resolem el sistema d’equacions

x yy x

x yx y

152

152 0

"+ =

=+

+ =

- =3 4

quart. Comprovem i interpretem la solució.

En Joan té 5 cromos i la Maria, 10 cromos.

SABER FER

32 En una pastisseria hi ha 900 bombons envasats en capses de 6 i 12 unitats. Quantes capses hi ha de cada classe si en total tenen 125 capses?

Hi ha capses de 6 unitats.

Hi ha capses de 12 unitats.

x x x y x x3 153

155 15 15 15 0x 5

" " "= = = + = + = ==

x x x y x x3 153

155 15 15 15 0x 5

" " "= = = + = + = ==

x yy x

152

152 5

5 1010

,x y5 10"

$

+ =

=

+ =

== =3 2

87

Pàgines d’activitats finals: una manera pràctica d’aprendre a aprendre.

Les Activitats finals estan

seqüenciades perquè aprofitis

de la millor manera possible

l’aplicació dels continguts

estudiats.

El Projecte final et planteja

objectius que en un moment

o altre trobaràs en la teva vida

diària, i et permetrà millorar

la competència per a

l’aprenentatge cooperatiu. La unitat es tanca amb les

Proves PISA, unes proves

internacionals que et

permetran comprovar el teu

aprenentatge competencial.

Competència comunicativa, lingüística i audiovisual

Competència artística i cultural

Competència matemàtica

Competència digital

Competència en el coneixement i la interacció

amb el món físic

Competència d’aprendre a aprendre

Competència social i ciutadana

Competència d’autonomia, iniciativa personal

i emprenedoria

Competències

Pàgina de competència matemàtica: un pas més en l’aplicació dels continguts apresos.

Els Saber fer de les activitats

finals t’ajudaran a refermar els

procediments bàsics treballats

a la unitat.

Annex d’història i curiositats matemàtiques: Hi trobaràs unes pàgines que et

permetran conèixer detalls sobre

l’evolució del raonament i el pensament matemàtic al llarg

de la història.

Cada activitat t’ofereix

la dificultat que té.

També hi trobaràs una gran

quantitat de problemes que

et permetran adaptar els teus

coneixements a contextos reals.

5

Segle XVIII aC

Hi ha registres de préstecs individuals concedits a Babilònia.

1118 - 1120 dC

Els cavallers templers creen la primera entitat bancària europea.

Els nombres decimals

Els nombres decimals tenen una part entera, situada a l’esquerra de la coma, i una part decimal, situada a la dreta. Es poden classificar en:

• Decimals exactes: tenen un nombre limitat de decimals. 23,88 -4,23 0,0098

• Decimals periòdics: tenen infinites xifres decimals, i a més, una o més d’una es repeteixen periòdicament (període).

– Decimals periòdics purs: les xifres comencen a repetir-se a partir de la coma. ,236

# ,12 5-

!

– Decimals periòdics mixtos: les xifres no comencen a repetir-se a partir de la coma. ,6 32

! ,12 52-

!• Decimals no exactes i no periòdics: tenen un nombre il·limitat

de xifres decimals que no es repeteixen periòdicament.

, ...2 1 414213562373095= , ......1415926535897933r=

ACTIVITATS

1 Classifica els nombres següents:

a) 34,223 c) 2,2020020002...

b) ,22334! d) ,34 223

&

Nombres decimals i fraccions

Qualsevol nombre decimal exacte o decimal periòdic es pot escriure en forma de fracció.

EXEMPLE

Decimal exacte

F

Part entera i decimal

sense coma

Unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi hagi.

F

,6 39100639

=

Decimal periòdic pur

Part entera i període

Tants nous com xifres tingui el període.

Part entera

F

FF

,4 6599

465 4=

-#

Decimal periòdic mixt

Part entera, anteperíode i període

Tants nous com xifres tingui el període i tants zeros com xifres tingui l’anteperíode.

Part entera i anteperíode

F

F

F

,.

3 745990

3 745 37=

-#

ACTIVITATS

2 Expressa els nombres següents en forma de fracció:

a) 35,47 b) ,13 46#

c) ,5 231#

CLAUS PER COMENÇAR

6

Un compte bancari és un servei que ofereixen els bancs per guardar els diners dels clients, i, alhora, els clients poden controlar el que tenen en cada moment.

• Si tenim 1.440 € al banc i aquest mes hem gastat 480 € del compte, quina part dels estalvis hem gastat? Quin percentatge del que teníem representa aquesta despesa?

INTERPRETA LA IMATGE

Nombres reals. Percentatges 1

SABER

• Nombres racionals i irracionals: nombres reals

• Aproximacions i errors de nombres reals

• Intervals en la recta real

• Percentatges

SABER FER

• Trobar els conjunts numèrics als quals pertanyen certs nombres

• Calcular la unió i la intersecció de dos intervals

• Resoldre problemes de percentatges

1656

Es funda a Suècia el primer banc que accepta paper moneda (bitllets).

1782

Es crea el Banc d’Espanya, anomenat aleshores Banco de San Carlos.

1798 -1818

S’obren les primeres caixes d’estalvis britàniques (Tottenham) i franceses (París).

1995

Es generalitza l’ús de la banca telefònica.

Segle XXI

Es normalitza l'ús de la banca en línia.

7

Nombres racionals1

El conjunt dels nombres racionals, Q, està format per tots els nombres que es poden expressar en forma

de fracció ba

, en què a i b són nombres enters, i b ! 0.

Nombres racionals

Nombres decimals

Nombres enters

Nombres naturals: 1, 2, 3…

Nombre zero: 0

Enters negatius: -1, -2, -3…

Exactes: 0,2; 0,34…

Periòdics: 0,6; 2,263…! #

64748

64444744448

647

48

Tots els nombres racionals es poden representar a la recta numèrica.

EXEMPLE

1. Indica si els nombres següents són racionals i, si ho són, representa’ls:

a) -3 13

=- " Es pot expressar com a fracció. És un nombre racional.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

b) 2,4 1024

= " Es pot expressar com a fracció. És un nombre racional.

32 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

c) 3,69

36 3933

311

=-

= = "!

És un nombre racional.

311

332

= +

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5311

Qualsevol nombre enter es pot escriure com una fracció amb denominador 1.

NO TE N’OBLIDIS

311

332

= + es troba entre 3 i 4.

Per representar aquesta fracció de manera exacta tracem una semirecta des de 3 i prenem tantes parts iguals com el denominador de la fracció, 3. Unim l’última marca amb el 4 i tracem rectes paral·leles per les altres dues marques.

El numerador de la nova fracció, 2, indica les parts que hem de prendre.

1 Representa en una recta:

a) 2,3 b) ,2 3! c) 3

2 CÀLCUL MENTAL. Indica el nombre que correspon a cada lletra i expressa’l com a fracció.

a)

b)

ACTIVITATS

=

=

5 6A

5,1 6,1B

8

3 Classifica en racionals i irracionals i ordena de més gran a més petit.

2 r -15 8125

2

25

931

3r

6 10

4 Indica quins dels nombres següents no són irracionals:

a) 4 b) 9 4+ c) 9 4+ d) 14 2+ e) 4 1+

ACTIVITATS

Nombres irracionals2

El conjunt dels nombres irracionals, I, està format pels nombres que no es poden expressar en forma de fracció. L’expressió decimal d’aquests nombres té una quantitat il·limitada de xifres decimals que no es repeteixen de manera periòdica.

EXEMPLE

2. Determina si aquests nombres són racionals o irracionals i, després, ordena’ls de més petit a més gran:

a) r = 3,1415926535… " La seva expressió decimal té una quantitat il·limitada de xifres que no es repeteixen de manera periòdica. És irracional.

b) -2 = 12-

" Es pot expressar en forma de fracció. És racional.

c) 3

2r = 2,094395102… " La seva expressió decimal té una quantitat

il·limitada de xifres que no es repeteixen de manera periòdica. És irracional.

d) 5 = 2,236067977… " La seva expressió decimal té una quantitat il·limitada de xifres que no es repeteixen de manera periòdica. És irracional.

e) 23

49= " Es pot expressar en forma de fracció. És racional.

Els nombres ordenats són: -2 < 49

< 3

2r < 5 < r

Hi ha infinits nombres irracionals, com, per exemple:

• Qualsevol arrel no exacta: 5 , 7- , 24…

• Alguns nombres especials: r, e, U…

• Alguns nombres obtinguts combinant-ne les xifres decimals, com ara: 0,010010001… o 0,12345678910…

T’HI ATREVEIXES?

Inventa’t un nombre irracional combinant diferents xifres decimals.

9

Nombres racionals 1

Nombres reals3

5 Representa 10 a la recta real. 6 Representa de manera aproximada 3r a la recta real.

ACTIVITATS

El conjunt dels nombres reals, R, està format per tots els nombres racionals i tots els irracionals.

Naturals (N)

Nombre 0

Enters negatius

Enters (Z)Racionals (Q)

Irracionals (I)

Nombres reals (R)

Decimals exactes i periòdics644447

44448

6 4444744448

6 447

448

3.1. Recta real

La recta numèrica en la qual es representen els nombres reals s’anomena recta real.

Tots els nombres reals es poden representar de manera exacta o aproxi-mada a la recta real.

EXEMPLE

3. Representa aquests nombres a la recta real: a) 5 b) r

a) Els nombres del tipus a , en què a és un nombre natural, es poden representar de manera exacta sobre la recta real.

• Descomponem el radicand en suma de dos nombres al quadrat: 5 = 22 + 12.

• Construïm sobre la recta un triangle rectangle els catets del qual mesurin aquests nombres.

• Traslladem, amb un compàs, la hipotenusa sobre la recta real.

b) Els nombres irracionals que no són del tipus a els representem de manera aproximada calculant-ne l’expressió decimal. r = 3,141592…

3 4

3,1 3,2

3,14 3,15

F r

5 3210

1

IRRACIO

NALS

RACIONALS

ENTERS

NATURALS

1,01234…

7

15

-3

-7

21 5

U=+

r 13-

37

73

1010

Trobar els conjunts numèrics als quals pertany un nombre

Indica tots els conjunts numèrics als quals pertanyen aquests nombres:

25 9

16- 7 ,2 37

! 1,1223334444…

918

- 43

- 19 -5

Passos que cal seguir

1. Si el nombre no és decimal, es tracta d’un nombre natural quan és positiu, i enter quan és negatiu o és el nombre 0.

19 " És un nombre natural, enter, racional i real.

-5 " És un nombre enter, racional i real.

2. Si el nombre és decimal:

• És racional si és un decimal exacte o periòdic.

• És irracional si té infinites xifres decimals no periòdiques.

,2 37! " És un nombre racional i real.

1,1223334444… " És un nombre irracional i real.

3. Si el nombre és una fracció:

• Quan el numerador és múltiple del denominador, és natural si la fracció és positiva, i enter si és negativa.

• En cas contrari, és racional.

918

2- =- " És un nombre enter, racional i real.

43

- " És un nombre racional i real.

4. Si el nombre conté alguna arrel quadrada:

• Si el radicand és un quadrat perfecte, és un nombre enter.

• Si conté fraccions i el numerador i el denominador són quadrats perfectes:

– Si el numerador és múltiple del denominador, és un nombre enter.

– En cas contrari, és racional.

• Si el radicand no és un quadrat perfecte, el nombre és irracional.

i real.enter,

255 És un nombre natural, racional3 "

4

=+

enter,5 És un nombre racional i real."-

916

34

- =- " És un nombre racional i real.

7 = 2,64575131… " És un nombre irracional i real.

SABER FER

Per trobar tots els conjunts numèrics als quals pertanyen uns certs nombres, primer busquem el conjunt més petit en què estan inclosos.

7 Determina el conjunt numèric més petit al qual pertanyen els nombres següents:

a) -17

b) 2

c) 53

d) 625

e) 3 r

f ) -37

g) .5

1 125

h) ,21 463#

8 Indica els conjunts numèrics als quals pertanyen cadascun d’aquests nombres:

a) 5,010020003... d) 47

b) 2

14- e) ,54 972

!

c) 35

f) 7 2+

ACTIVITATS

11

Nombres racionals 1

11

9 Aproxima aquests nombres a les centèsimes, per

truncament i per arrodoniment:

a) 24,1587

b) 24,9215

10 CÀLCUL MENTAL. Aproxima aquests nombres per excés i per defecte amb dues xifres decimals.

a) 0,121212...

b) 5,23888...

ACTIVITATS

Aproximació de nombres reals4

Quin és l’ordre d’unitats en el sistema decimal

Desena de miler

Unitat de miler

Centena Desena Unitat Dècima Centèsima Mil·lèsima

HAS DE SABER FER...

Aproximar nombres decimals resulta útil a l’hora de simplificar les dades per fer alguns càlculs.

NO TE N’OBLIDIS

El truncament i l’arrodoniment coincideixen quan la primera xifra que eliminem és més petita que 5.

Aproximar un nombre decimal consisteix a substituir-lo per un altre nombre de menys xifres decimals amb un valor tan pròxim al primer com vulguem.

Es diu que una aproximació es fa per excés si l’aproximació és més gran que el nombre original, i que es fa per defecte si l’aproximació és més petita que el primer.

El truncament és una aproximació que consisteix a eliminar totes les xifres a partir d’un cert ordre establert.

EXEMPLE

4. Aproxima a les centèsimes pel mètode del truncament i determina si l’aproximació que has fet és per excés o per defecte.

a) -21,4785 " Truncament: -21,47 " Aproximació per excés

b) 2 = 1,414213… " Truncament: 1,41 " Aproximació per defecte

L'arrodoniment és una aproximació que consisteix a eliminar les xifres a partir d’un cert ordre, augmentant una unitat a la darrera xifra si la primera eliminada és més gran o igual que 5.

EXEMPLE

5. Aproxima a les dècimes per truncament i arrodoniment.

a) 57,423 " Truncament: 57,4 Arrodoniment: 57,4

b) 3,578 " Truncament: 3,5 Arrodoniment: 3,6

12

11 Determina l’error absolut quan s’arrodoneix 4,7569 a les centèsimes.

12 Determina l’error relatiu que cometem quan es trunca ,2 3

! a les dècimes.

ACTIVITATS

Errors d’aproximació5

L'error absolut d’una aproximació és el valor absolut de la diferència entre el valor real i el valor de l’aproximació.

Ea = |VReal - VAproximació |

EXEMPLE

6. Calcula l’error absolut que es comet quan s’aproxima 5 per 2,23. Quin tipus d’aproximació s’ha fet?

5 = 2,236067977… " Ea = | 2,236067977… - 2,23 | = 0,006067977…

S’ha fet un truncament. És una aproximació per defecte.

L'error relatiu d’una aproximació és el quocient entre l’error absolut i el valor real.

Aproximació

Real Real

RealEVE

VV V

ra ; ;

= =-

EXEMPLE

7. Determina l’error absolut i el relatiu en aquests casos:

a) Un gratacel de 201,12 m d’altura s’aproxima a 200 m.

b) La longitud d’una formiga d’1,3 mm s’aproxima a 1 mm.

Quina aproximació és més precisa? Justifica la resposta.

a) Ea = | 201,12 - 200 | = 1,12 m = 1.120 mm

EVE

6 6201,12 m1,12 m

0,005 0,5 %ra

Real= = = =

b) Ea = | 1,3 - 1 | = 0,3 mm

Real, , %E

VE

0 2308 23 081,3 mm0,3 mm

ra

= = = =

Tot i que l’error absolut de l’aproximació de l’altura del gratacel és molt més gran que el de la longitud de la formiga, el relatiu és més petit.

Un error relatiu més petit indica una aproximació millor; per tant, l’aproximació més precisa és la del gratacel.

L’error relatiu s’acostuma a expressar en tant per cent, multiplicant-lo per 100. En aquest cas, rep el nom de percentatge d’error.

RECORDA

El valor absolut d’un nombre és igual al nombre sense el seu signe.

|1a| 5 a |2a| 5 a

13

Nombres racionals 1

13 Representa els intervals següents a la recta real:

a) (4, 8)

b) (-3, 0]

c) (-3, 2)

14 Escriu aquests intervals.

a) x4 01 #-

b) x1 2# #

c) x10 42 2

ACTIVITATS

Intervals6

Un interval d’extrems a i b és el conjunt de tots els nombres reals inclosos entre a i b.

Els intervals es classifiquen segons si tenen inclosos els extrems o no.

Interval obert (a, b) { x : a < x < b } ba

Interval tancat [a, b] { x : a # x # b } ba

Interval semiobert (a, b] { x : a < x # b } ba

Interval semiobert [a, b) { x : a # x < b } ba

Una semirecta d’extrem a és el conjunt de tots els nombres reals inclosos entre -3 i a, o bé entre a i +3.

Les semirectes poden ser obertes o tancades segons si inclouen l’extrem o no.

Semirecta oberta (a, +3) { x : a < x } a

Semirecta tancada [a, +3) { x : a # x } a

Semirecta oberta (-3, a) { x : x < a } a

Semirecta tancada (-3, a] { x : x # a } a

EXEMPLE

8. Escriu aquests conjunts en forma d’intervals i semirectes, i representa’ls:

a) -3 # x < 2 " [-3, 2)

Nombres més grans o iguals

que -3 i més petits que 2. Interval semiobert

b) x # -4 " (-3, -4]

Nombres més petits o iguals

que -4. Semirecta tancada

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

En l’expressió d’una semirecta, +∞ i -∞ sempre s’escriuen amb parèntesis.

(-∞, 7) [-2, +∞)

HO ESCRIVIM AIXÍ

(a, b]

OBERT L’extrem no pertany a l’interval.

TANCAT

L’extrem pertany a l’interval.

a b

GG

GG

14

15 Troba la unió i la intersecció de (-5,1] i [0,2]. 16 Troba la unió i la intersecció de (-3,0] i (-1,4).

ACTIVITATS

Calcular la unió i la intersecció d’intervals

Troba la unió i la intersecció dels parells d’intervals següents:

a) A = [-4, 2], B = (-2, 4] c) A = (-3, -4], B = [-4, 2)

b) A = [-3, 5], B = (-3, +3) d) A = [-2, 0], B = (2, 4]

Passos que cal seguir

1. Representem els intervals sobre la mateixa recta real.

a)

b)

c)

d)

2. La unió dels intervals serà la part o parts de la recta que ocupen tots els intervals. Pot ser un interval, diversos intervals o el buit si tots els intervals ho són.

La intersecció està formada tan sols per la part de recta en què coincideixen tots els intervals. Pot ser el buit, un nombre o un interval.

a) A , B "

A + B "

b) A , B "

A + B "

c) A , B "

A + B "

d) A , B "

A + B "

3. Expressem de manera numèrica el resultat que hem obtingut gràficament.

a) A , B = [-4, 4] A + B = (-2, 2]

b) A , B = [-3, +3) A + B = (-3, 5]

c) A , B = (-3, 2) A + B = {-4}

d) A , B = [-2, 0] , (2, 4] A + B = Q

SABER FERLa unió de dos intervals A i B s’escriu A , B.

La intersecció de dos intervals A i B s’escriu A + B.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

15

Nombres racionals 1

Percentatges7

El percentatge o tant per cent, a, d’una quantitat, Q, indica que prenem a parts de cada 100 en les quals dividim Q.

?%aa

Q Q100

de =

EXEMPLE

9. Calcula.

a) 35 % de 120 = ?100

12035

= 42

b) 80 % de 145 = ?100

180

45 = 116

7.1. Augments i disminucions percentuals

Efectuem un augment percentual quan augmentem una quantitat Q un a %. Això equival a calcular el (100 + a) % de Q.

Efectuem una disminució percentual quan disminuïm una quantitat Q un a %. Això equival a calcular el (100 – a) % de Q.

S’anomenen percentatges encadenats els augments o les disminucions percentuals que s’apliquen successivament a una mateixa quantitat.

Si apliquem els percentatges d’augment o disminució t1, t2, …, tn,

a Q, la quantitat que en resulta és ? ? ? ?...t t t

Q100 100 100

n1 2d n .

EXEMPLES

10. Un disc dur de 180 € està rebaixat el 25 %. Quant costa ara?

El preu baixa el 25 % " Disminució percentual

(100 - 25) % de 180 = 75 % de 180 = ?10075

180 = 135 €

11. Un ordinador portàtil costava 650 €. Primer en van augmentar el preu

el 20 % i després el van rebaixar el 12 %. Quin preu té ara?

Preu després de l’augment: 100 + 20 = 120 % del preu inicial

Preu després de la rebaixa: 100 - 12 = 88 % del preu augmentat

88 % del 120 % de 650 = 0,88 · 1,2 · 650 = 1,056 · 650 = 686,40 €

F F F

Percentatges encadenats Percentatge final

El percentatge es pot expressar amb el símbol %, com a proporció o com a nombre decimal.

4,2 % = 4,2100

= 0,042

T’HI ATREVEIXES?

Si disminuïm percentualment una quantitat Q el 10 %, quin augment percentual hem d’aplicar a la nova quantitat per tornar a obtenir la quantitat inicial?

16

17 Calcula.

a) 5 % de 1.000 e) 112 % de 750

b) 38 % de 800 f) 0,6 % de 1.430

c) 12,3 % de 500 g) 89 % de 645

d) 122 % de 300 h) 43 % de 529

18 Calcula el 12 % del 115 % de 1.575.

19 La mortalitat a la carretera ha baixat el 12,5 %. Si aquest any han mort en accident de trànsit 98 persones, quantes hi van perdre la vida l’any passat?

Van perdre la vida persones.

20 Després d’augmentar una quantitat el 12 %,

en calculem el 20 % i obtenim 112. Determina la quantitat.

La quantitat és .

ACTIVITATS

17

Nombres racionals 1

Resoldre problemes de percentatges encadenats

Al preu que figura en els productes d’una botiga d’informàtica hi hem d’aplicar una rebaixa del 20 % si comprem a través de la seva web o bé hem d’augmentar el 21 % d’IVA si comprem a la botiga física.

L’Enric ha comprat una impressora làser per mitjà de la pàgina web que costava 352,25 € amb IVA. Quin preu n’hauria pagat si l’hagués comprat a la botiga i no hagués de pagar l’IVA?

Passos que cal seguir

1. Identifiquem els augments i les disminucions percentuals. Els augments se sumen al 100 % i les disminucions es resten.

Rebaixa del 20 % a la web " 100 - 20 = 80 %

Augment del 21 % d’IVA " 100 + 21 = 121 %

2. El preu final de l’article està determinat per:

? ? ? ?...t t t

Q100 100 100

n1 2e o

En què t1, t2, …, tn, són els percentatges d’augment o disminució que apliquem, i Q és el preu final de l’article.

Preu final " 352,25 €

Percentatges d’augment i disminució " 121 % i 80 %

Preu inicial " És la quantitat que busquem.

Preu final ? ? ? ?...t t t

Q100 100 100

n1 2= e o

352,25 ? ? Q10080

100121

= e o

3. Resolem l’equació que en resulta. 352,25 ? ?( , , ) Q0 8 1 21=

352,25 ?, Q0 968=

,

,,Q

0 968352 25

363 89= =

El preu de la impressora, sense rebaixa i sense IVA, és de 363,89 €.

SABER FER

Recorda que per aplicar la fórmula dels percentatges encadenats primer s’han de calcular els percentatges d’augment i de disminució:

Augmenta a % " (100 + a) %

Disminueix a % " (100 - a) %

ACTIVITATS FINALS

Nombres racionals

21 Classifica aquests nombres racionals:

a) 2,333… d) -45

b) 2,345

e) ,8 91#

c) 6,00999…

f) ,57 432#

22 Emparella els nombres que tenen el mateix valor i classifica’ls.

32

7,25

429

2,4666…

1537

7

2196

, ...0 666

23 Escriu, en cada cas, dos nombres que siguin:

a) Naturals

b) Periòdics

c) Exactes

d) Enters però no naturals

e) Racionals però no enters

24 Escriu un nombre decimal que compleixi les característiques següents.

a) Periòdic pur, de període 5

b) Periòdic mixt, d’anteperíode 28

c) Periòdic mixt, amb període 37

d) Exacte, amb part entera 2

25 CÀLCUL MENTAL. Ordena de més petit a més gran:

5,966 5,665 5,565 5,96 5,69 5,556

,0 41! ,0 1

! ,0 14

# ,0 412

# 0,14

26 Representa aquests nombres racionals:

a) 6

17

b) ,8 3!

Calcular un nombre decimal comprès entre dos de donats

27 Calcula tres nombres compresos entre 3,7 i 3,72.

primer. Escrivim els dos nombres decimals amb la mateixa quantitat de xifres decimals, i si cal hi afegim zeros a la dreta.

3,7 " 3,70 3,72 " 3,72

segon. Afegim al nombre més petit (en aquest cas, 3,70) xifres decimals diferents de 0.

3,7 < 3,701 < 3,702 < 3,704 < ... < 3,72

SABER FER

28 Indica un nombre decimal comprès entre els següents.

a) 2,33 i 2,4 d) 0 i -0,1

b) 3,6 i 3,601 e) -3 i -2,99

c) 54

i 65

f) 7,16 i ,7 16#

Operar amb nombres decimals periòdics

29 Fes aquesta operació: , ,12 7 7 2+!

.

primer. Calculem les fraccions generatrius de cadascun dels nombres decimals.

,

,

12 710127

7 29

72 7965

=

=-

=!

segon. Substituïm els decimals per les fraccions generatrius corresponents i resolem les operacions indicades.

, ,

. .,

12 7 210127

965

90127 9 65 10

901 143 650

901 793

19 9

7

2

$ $+ = + =

+=

=+

= =

!!

SABER FER

18

Nombres racionals 1

30 Opera fent servir les fraccions generatrius:

a) , ,1 3 3 4+!

b) , ,10 25 5 7-! !

c) , ,1 36 8 25+# #

31 Fes aquestes operacions:

a) , ,1 25 2 5$!

b) , ,30 0 2 92|! !

c) , ,3 76 4 8$! !

Nombres irracionals

32 Raona quins dels nombres decimals següents són racionals i quins són irracionals.

a) 2,555… d) 2,5255555…

b) 2,55 e) 2,525252…

c) 2,525522555222… f) 2,5522222222…

33 CÀLCUL MENTAL. Indica quins nombres són racionals i quins són irracionals.

a) 2 d) 15

b) 9 e) 6

c) 3 f) 16

34 CÀLCUL MENTAL. Esbrina quins dels nombres següents són racionals i quins són irracionals.

a) 1 2+ d) 8 10+

b) 25

e) 3 16$

c) 3 16$ f) 516

35 Fes servir la calculadora i ordena de més petit a més gran aquests nombres irracionals:

a) 3 , 26

, 33

b) 65, 5 3 , 2265

36 Calcula i determina quin tipus de nombre és, en un triangle equilàter:

a) L’altura, si el costat fa 10 cm.

b) L’àrea, si el costat és de 3 cm.

c) L’altura i l’àrea, si el costat fa 3 cm.

Nombres reals

37 Classifica els nombres reals següents en naturals, enters, racionals i irracionals. Digues de quin tipus és l’expressió decimal corresponent.

a) 25,37

b) 176

-

c) 52

d) 12-

e) r

f) 64

38 Classifica aquests nombres segons els conjunts numèrics als quals pertanyen:

a) ,27 35-!

b) 5r

c) -47

d) 31

39 Ordena aquests nombres de més gran a més petit:

a) 6 , 2 3+ , 8

b) 5 12- , 3 2 , 25

, 316

h

c

19

ACTIVITATS FINALS

40 A quin nombre correspon aquesta representació?

41 Ordena del més petit al més gran aquests nombres i representa’ls:

,3

0 5 22

241

23

-

42 Indica si les afirmacions següents són certes o falses.

a) Tots els nombres decimals es poden escriure en forma de fracció.

b) Tots els nombres reals són racionals.

c) Un nombre irracional és real.

d) Hi ha nombres enters que són irracionals.

e) Hi ha nombres reals que són racionals.

f ) Qualsevol nombre decimal és racional.

g) Un nombre racional és enter.

h) Els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals.

Aproximació de nombres reals

43 Escriu 3 en forma decimal i les aproximacions corresponents a les deumil·lèsimes, tant per excés com per per defecte.

44 Arrodoneix 10 a les deumil·lèsimes. Després, calcula’n les aproximacions per excés i per defecte, i comenta què hi veus.

45 Indica què apareixerà a la pantalla de la calculadora científica si, abans d’introduir els nombres següents, pitgem la seqüència de tecles necessària per fixar 4 decimals. I si fixem 5 decimals?

a) 11,87967575

b) 0,666663

c) 8,987656

d) 25,6543678

46 CÀLCUL MENTAL. Escriu un nombre:

a) Decimal periòdic pur amb arrodoniment a les mil·lèsimes igual a 5,677

b) Decimal periòdic mixt amb truncament a les centèsimes igual a 0,97

c) Irracional amb arrodoniment a les deumil·lèsimes igual a 0,0023

Errors d’aproximació

47 Troba l’error absolut i el relatiu si considerem:

a) 3,5 m com la longitud d’un llistó que fa 3,59 m.

b) 60 m com la distància entre dos fanals situats a 59,91 m.

48 Determina l’error absolut i el relatiu que es comet quan s’arrodoneixen i es trunquen aquests nombres.

a) 10,4798 a les mil·lèsimes

b) 12 a les deumil·lèsimes

c) 32

a les dècimes

0 1 2 3 4

20

Nombres racionals 1

52 Indica cert o fals en aquests casos:

a) (-2, 3) + [-1, 4) = [-1, 4)

b) [-2, 3) , (-1, 4) = [-2, 4)

53 Determina la unió i la intersecció d’aquests intervals:

a) A = [1, 5) B = [0, 3)

b) A = (-2, 4] B = (-1, 2]

Percentatges

54 Calcula els percentatges següents:

a) El 16 % de 220

b) El 8,5 % de 48

c) El 42,6 % de 1.245

55 Calcula:

a) 20 % del 6 % de 400

b) 8,2 % del 2,8 % de 678

56 Determina quin tant per cent representa cadascuna de les quantitats següents:

a) 6 de 24

b) 24 de 30

c) 3 de 5

57 Troba la quantitat final que obtenim en cadascun dels processos següents si partim d’una quantitat inicial de 1.200:

a) Experimentem un augment del 20,5 %.

b) Experimentem una disminució del 35 %.

c) Experimentem un augment del 75 %.

d) Experimentem una disminució del 15,75 %.

49 Fes aquestes operacions i arrodoneix els resultats a les dècimes. Després, arrodoneix cada nombre a les dècimes i resol l’operació. Amb quin procediment cometem un error més petit.

a) 3,253 + 8,45

b) 53,32 - 18,93

c) 13,5 ? 2,7

d) 40,92 : 5,3

Intervals

50 Expressa aquestes situacions mitjançant intervals:

a) L’altura de les cortines ha de ser més petita o igual que 2,8 m.

b) El descompte s’aplica a compres superiors a 40 €.

c) La temperatura va oscil·lar entre –2 °C i 6 °C.

51 Descriu els intervals i representa’ls a la recta.

a) (0, 7)

b) [3, 7)

c) [-2, 4)

21

ACTIVITATS FINALS

Problemes amb nombres reals i percentatges

58 Calcula el costat d’un quadrat inscrit en una circumferència de radi 5 cm. El nombre que has obtingut, és racional o irracional?

59 Quant mesura l’aresta d’un cub que té un volum de 6 m3? Expressa el resultat en forma de radicals.

60 Un edifici té les dimensions següents:

a) Calcula el volum de l’edifici i arrodoneix el resultat a les mil·lèsimes.

b) Arrodoneix les dimensions a les dècimes i torna a calcular el volum. Quina relació té amb el resultat anterior?

c) Troba l’error absolut i el relatiu que comets en cada cas.

a) El volum és de m3.

b) El volum és de m3.

c) L’error absolut és i el relatiu és .

61 La quantitat d’antibiòtic que hi ha en una càpsula és 1,5 g ! 0,2 %. Què significa aquesta afirmació? Entre quins valors oscil·la la quantitat d’antibiòtic de cada càpsula?

Varia entre g i g.

62 La disminució de la quantitat de dies en llista d’espera ha estat del 20 %. Si actualment l’espera és de 24 dies, quants dies s’ha reduït?

S’ha reduït dies.

63 Un minorista compra un lot d’articles a un preu unitari de 34 €. Si vol obtenir uns guanys del 36 %, a quant ha de vendre cada article?

L’ha de vendre per €.

64 Quant valia un producte que després de dos descomptes, un del 25 % i un del 30 %, costa 125 €?

Valia €.

65 Quin era el preu d’un abric que està etiquetat a 120 € si sabem que hi han afegit el 21 % d’IVA i que obtenen un guany del 18 %?

Tenia un preu de €.

50,4

6 m

25,75 m

14,59 m

22

OBJECTIU: Organitzar activitats per finançar el viatge de final de curs

Nombres reals. Percentatges 1

Pagaments per superfície

66 Els habitants d’un edifici de pisos decideixen comprar l’edifici. Posaran els diners entre tots de manera que cadascun pagui una quantitat proporcional a la grandària del seu pis. Per exemple, una persona que viu en un pis que ocupa una cinquena part de la superfície del conjunt de pisos, haurà de pagar la cinquena part del preu total de l’edifici.

a) Justifica si les afirmacions següents són correctes:

• La persona que viu al pis més gran pagarà més diners per cada metre quadrat del seu pis que la persona que viu al pis més petit.

• Si es coneixen les superfícies de dos pisos i el preu d’un dels dos, llavors es pot calcular el preu de l’altre.

• Si es coneix el preu de l’edifici i quant pagarà cada propietari, llavors es pot calcular la superfície total de tots els pisos.

• Si el preu total de l’edifici es reduís un 10 %, cadascun dels propietaris pagaria un 10 % menys.

b) A l’edifici hi ha tres pisos. El més gran, el pis 1, té una superfície total de 95 m2. Els pisos 2 i 3 tenen superfícies de 85 m2 i 70 m2, respectivament. El preu de venda de l’edifici és de 300.000 zeds.

Quant haurà de pagar el propietari del pis 2? Explica els càlculs que has fet.

(Prueba PISA 2003)

Tan bon punt hàgiu format els grups, seguiu aquest procés.

1a fase

• Feu una llista amb totes les activitats, accions, actes, etc. que us vinguin al cap per obtenir diners per pagar-vos el viatge.

• Recolliu informació sobre les accions que van fer els cursos anteriors i sobre activitats que hagin desenvolupat en altres centres.

2a fase

• Feu un estudi de la viabilitat de cadascuna de les propostes. Valoreu els recursos que us caldran, si convé alguna inversió inicial, si disposeu dels espais necessaris per desenvolupar l’activitat...

• Rebutgeu les propostes que penseu que no són viables.

3a fase

• Elaboreu un informe amb les propostes que considereu factibles. En aquest informe hi heu d’incloure les dificultats que implicaria fer l’activitat: estimació de despeses, disponibilitat d’espais per portar-la a terme, adquisició dels recursos necessaris per desenvolupar-la, etc., i quantifiqueu el benefici econòmic que us pot aportar.

(Prova PISA pilot)

PROJECTE FINAL. Aprenentatge cooperatiu

Proves PISA(Les activitats d’aquesta pàgina

s’han de resoldre a la llibreta)

23