ECUACIONES DE TIRO PARABOLICO Y PROBLEMAS

2.2.1 ...(1)

2.2.2 ;sustituyendo

se tiene: ..(1)

2.2.3

..(3)

..(4) 8)

2.2.4. Cuando y es máxima

..(5)

..(6) ; ..(7)

2.2.5.

2.2.6. ..(8) ;

..(9)

• PROBLEMA 2.3.1.- Una manguera arroja agua en A formando un ángulo de con la horizontal. a) Si la manguera arroja agua con una velocidad inicial de , determinar a qué distancia cae el chorro de agua; verificar que el agua rebasa el borde de la azotea( que ). b) Determinar las velocidades máxima y mínima de la salida del agua para que esta caiga sobre la azotea,esto es, para que

Paso1. Cuando la distancia del chorro de agua sea de , la altura debe ser de y=7-1.5=5.5m.

Paso 2. Sabiendo que

; se debe calcular el tiempo que tarda el chorro en alcanzar la altura de 5.5m, y posteriormente con ese tiempo calcular la distacia

Paso 3. Utilizando la ecuación considerando que la altura y es positiva, que g es negativa.

Sustituyendo los datos se tiene: ;

Paso 4. Con el tiempo de 0.12 seg, la distancia horizontal que se recorre es de: .

Resulta , que es el resultado correcto, lo que indica que cuando y=5.5m, Resp.

Con el tiempo de 0.528 seg , se obtiene , y no llega al punto B de la azotea.

Paso 5. Otra forma de resolver el problema consiste en utilizar una expresión que relacione

a x,y: partiendo de sustituyendo el valor de

t, de

simplificado: sustituyendo valores :

; despejando:

;

Siendo el resultado x=15.94m, lo cual significa que cuando la altura del chorro es

de 5.5m, la distancia horizontal correspondiente es de 15.94m.Resp.

Mientras que en x=3.96m no llega al borde B de la azotea.

Paso 6. Para verificar que el chorro sí rebasa el borde B de la azotea, nos

debemos asegurar que cuando la distancia horizontal recorrida por el chorro

sea de 5, su altura sea mayor de 5.5m. Por lo que el tiempo empleado en

recorrer horizontalmente los 5m es: ; en este

tiempo la altura del chorro es de:

con lo que resulta y=6.44m, por lo que sí rebasa el borde B de la azotea. Resp.

Gráfica de la altura con respecto al alcance:

Paso 7. Para determinar la velocidad de salida que debe tener el chorro de agua para que pegue justo en el borde D de la azotea, que en este caso será la velocidad máxima, se debe encontar primero el tiempo necesario para que el chorro de agua recorra horizontalmente la distancia de 25m y verticalmente la altura de 5.5m, y luego calcular la velocidad de salida con éstos valores obtenidos.

Paso 8. Tiempo en recorrer horizontalmente los 25m, xD=25, es: ; en este tiempo se debe alcanzar la altura de 5.5m, y=5.5 , en la expresión:

Se desconocen txD , y vo ; por lo que sustituímos el valor de vo

: ; simplificando:

sustituyendo valores: ; ;

con este tiempo, la velocidad inicial es de: Resp.

Paso 9. Para calcular la velocidad de salida que debe tener el chorro de agua para que pegue justo en el punto B de la azotea, se debe considerar que esto se logra cuando la distancia horizontalmente recorrida sea de 5m, xB=5, y la altura sea de 5.5m, y=5.5m, para ello, se debe realizar un análisis semejante al anterior:

; sustituyendo:

; sustituyendo valores y despejando el tiempo:

Velociad inicial para que el chorro alcance justo en el punto B, es:

Resp.

Gráfica de la velocidad con respecto al alcance:

Problema 2.3.2.- Un hombre sobre un puente a 10 m sobre el agua lanza una piedra en dirección horizontal. Sabiendo que la piedra golpea el agua en un punto situado a 30 m a partir del punto sobre el agua directamente debajo del hombre. Determinar : la velocidad inicial de la piedra, la velocidad de la piedra al llegar al agua,el ángulo con el cual la piedra hace contacto con el agua.

Paso 1. La ecuación de movimiento que se debe utilizar de acuerdo con los datos del problema, es :

; pero como el lanzamiento fué de manera horizontal, entonces la componente vertical de la velocidad de salida es cero, por lo que la ecuación se reduce a:

Con esta expresión se calcula el tiempo que tardó la piedra en descender los 10m, tomando en cuenta que el nivel de referencia es el punto de lanzamiento:

; este tiempo es el que trada es descender 10m y en recorrer horizontalmente los 30m; por lo que la velocidad horizontal de salida es:

; y esta velocidad se mantiene constante en toda la treyectoria. Resp.

Paso 2. La velocidad vertical con la cual la piedra llega al agua, se determina con la ecuación: ; como no hay componente vertical en la velocidad e salida, se

reduce a: esta es la velocidad vertical con la cual la piedra golpea al agua, y la velocidad con la cual la piedra llega al agua, es:

Resp.

Paso 3. El ángulo con el cual la piedra llega al agua, es:

Resp.

Gráfica de la altura con respecto a alcance:

PROBLEMA 2.3.3.- Sale agua de un tanque a presion por A, con una velocidad horizontal Vo. ¿Para qué intervalo de valores Vo el agua pasará por la abertura BC?

Paso 1. El Chorro de agua simultáneamente recorre 2m horizontalmente y desciende 1m al pasar por el punto B, en la abertura BC. La ecuación que se utiliza para determinar la

velocidad de salida horizontal, es: ; pero como la salida es horizontal, la

velocidad no tiene componente vertical, por lo que la ecuación se reduce a: ; para realizar el cálculo más rápido, sustituímos el tiempo por la relación : ; siendo en este caso x=2m , y la velocidad horizontal de salida que se mantiene constante en toda la

trayectoria; por lo que se tiene: ; despejando: ; sustituyendo

valores y considerando que la altura que desciende el chorro así como la

aceleración de la gravedad son negativas: Resp.

Paso 2. Para que el chorro pase por el punto C de la abertura BC, la velocidad

horixontal de salida se determina con la misma expresión: ;

por lo que sustituyendo valores:

Resp.

Por lo que el intervalo de valores que se pide, es:

Resp.

Trayectoria del chorro de agua al pasar por el punto B:

Trayectoria del chorro de agua al pasar por el punto C:

PROBLEMA 2.3.4.- Un proyectil se dispara con una velocidad de y con cierto ángulo, se observa que tiene un alcance horizontal de 3000m, como lo indica la figura. Determinar la altura máxima alcanzada y el ángulo de disparo.

Paso 1. Primero se debe determinar el ángulo de disparo, utilizando la ecuación:

; en la cual se sustituye el tiempo de la componente horizontal de la velocidad en x: ;

; simplificando: ; una forma de resolver la ecuación para , consiste en multiplicarla por :

; sustituyendo los valores del problema:

; con lo cual se obtiene: ;

aplicando la identidad: , se tiene: Resp.

Paso 2. La otra forma de resolver la ecuación para ; consiste

en sustituir por , y aplicar la identidad : : ;

sutituyendo los valores del problema: ;

resolviendo la ecuación

; se obtiene

siendo la respuesta cualesquiera de los dos ángulos.

Gráficas de la ecuaciones y=200Sen23.56o t -4.9t2 ; x=200Cos23.65o t

PROBLEMA 2.3.5.- Una pelota se deja caer verticalmente sobre el punto A de un plano inclinado a con la horizontal, la pelota rebota formando un ángulo de con la vertical. Sabiendo que el próximo rebote tiene lugar en el punto B, calcular: a) la velocidad con la cual rebota la pelota en A; b) el tiempo necesario para que la pelota se mueva de A a B.

Paso 1. Determinamos la altura YB que desciende :

Paso 2. Determinamos ahora el tiempo que tarda en descender 1.73m que es el tiempo que

tarda en recorrer horizontalmente los 3m: como se desconoce la velocidad inicial, sustituímos esta de la ecuación

Paso 3. Sustituyendo valores, y notando que la pelota forma un ángulo de 40o con la horizontal, así como la altura YB que desciende es negativa por estar abajo del nivel del rebote en A: con lo que resulta: t=0.93 seg. Resp.

Paso 4. Para calcular la velocidad con la cual rebota la pelota en A, utilizamos la ecuación de la componente horizontal del movimiento parabólico:

Resp.

Gráfica de la ecuación que nos indica la trayectoria de la pelota al desplazarse de A a B.

Gráfica de la velocidad con respecto al alcance:

PROBLEMA 2.3.6.- Una banda transportadora arroja grava en A la cual cae en el motículo B. Determinar: a) el alcance horizontal x cuando desciende una altura , si la velocidad de salida de la grava es de y el ángulo de la banda con respecto a la orizontal es de ; b) calcula el ángulo de salida para que la grava saliendo con una velocidad de tenga un alcance de x=8m, descendiendo YB =4m.

Paso 1. Para determinar el alcance x, utilizamos la ecuación anteriormente obtenida:

sustituyendo valeres y despejando:

;

resulta: ; ; se

obtiene que x=2.77m es la respuesta.

Paso 2. También se puede determinar el alcance encontrando primero el tiempo

que tarda en descender los 4m, con la expresión :

;

3) En este tiempo, la distancia horizontal recorrida :

Resp.

Paso 4. Para calcular el ángulo de salida, con los datos proporcionados, la

expresión que se utiliza es:

; se sabe que:

; por lo que sustituyendo esta identidad: ;

sustituyendo valores:

;

; con lo que resulta:

;

con lo cual se tiene que el resultado,es : con respecto a la horizontal. Resp.

Gráfica de las ecuaciones

que nos indica la altura y la distancia horizontal en función de tiempo:

PROBLEMA 2.3.7.- Un proyectil es disparado con una velocidad inicial de . Encontrar: a) el ángulo del disparo para que el proyectil golpee a un blanco situado a 3000m, sobre el mismo nivel; b) la altura máxima alcanzada.

Paso 1. Cuando el proyectil se encuentre situado a 3000m medidos horizontalmente, su altura debe ser de cero metros, esto es, x=3000m ; y=0. 2 ) Utilizando la fórmula:

; sustituyendo el tiempo por la expresión ; resulta:

;

simplificando: ; sustituyendo :

; sustituyendo valores:

; simplificando: ; ;

resolviendo:

donde ; siendo el resultado cualesquiera de los dos ángulos. Resp.

Los valores de los ángulos también se pueden obtener con la instruccíon:

Los valores de a son en radianes.

Los valores de a son en radianes.

Gráfica de la altura con respecto al alcance:

Resolver los siguientes problemas de tiro parabólico:

Problema 2.4.1.- Se lanza un chorro de agua con cierto ángulo desde una altura de 1.2m a una velocidad de y recorre una distancia horizontal de 10m para chocar con un muro. Determinar: a) la altura máxima que el chorro alcanza al golpear al muro; b) el ángulo mínimo para que el chorro de agua llegue a la base delmuro. Resp.( 4.12m; ) .

Ecuación de la parábola:

Problema 2.4.2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de y a un ángulo de con la horizontal. Determinar la altura máxima y la distancia horizontal máxima que se

alcanza.

Gráfica de la parábola:

Problema 2.4.3.- Una pelota de golf se golpea con una velocidad de . Determinar: a) la distancia máxima alcanzada x ; b) la velocidad con la que golpea al suelo en el punto B. Resp. (53.5m; 21m/seg)

(Gráficas de )

Problema 2.4.4.- Se golpea una pelota en el punto A y sale con cierta velocidad formando un ángulo de con la horizontal. Si toca al suelo en el punto B que está a 3m abajo de la horizontal del punto de lazamiento y a 10m medidos horizontalmente del punto de lanzamiento, determinar: a) la velocidad con la cual fué golpeada la palota; b) la velocidad con la cual llega al suelo en el punto B.

Resp. ; (Gráfica de )

Problema 2.4.5.- Se lanza un proyectil como lo indica la figura. Encuentra:a) la distancia horizontal que se alcanza. b) la velocidad con la cual golpea al piso y su ángulo de contacto.

Resp.

Problema 2.4.6.- Si se laza un proyectil con una velocidad horizontal como lo indica la figura, determina: a) la altura desde la cual fué disparado, b) la velocidad con la cual llegó al suelo y su ángulo de llegada.

Resp.

Problema 2.4.7.- Se lanza un proyectil en forma horizontal con velocidad desconocida, pero se sabe que la altura desde la cual fué lanzado es de 2m y que su alcance horizontal es de 5m. Determinar: a) la velocidad de salida; b) la velocidad con la cual llegó al piso y su ángulo de llegada con respecto a la horizontal. Resp.

Problema 2.4.8.- Se lanza un proyectil como lo indica la figura. Determina: a) la distancia horizontal alcanzada; b) la velocidad con la que golpea al piso y su ángulo que forma con respecto a la horizontal.

Resp.