Material de Estatistica

8/18/2019 Material de Estatistica

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA

MÓDULO 1 - INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA DESCRITIVA

A Estatística, um ramo da Matemática, é aplicada em diferentes áreas, como

Administração, Engenharia, Medicina, Psicologia, Ciências Sociais etc.Mas, para que serve a Estatística?

Antes de reportagens chegarem aos nossos lares, são elaboradas pesquisas emque se utilizam amplamente os conceitos de Estatística, comprovando que essadisciplina, que será estudada a partir de agora, é freqüentemente presente emnosso cotidiano.

Veja os exemplos a seguir.

“Mais da metade da população brasileira (51%) está acima de seu peso ideal.Uma pesquisa da Sociedade Brasileira de Cirurgia Bariátrica e Metabólica(SBCBM) - realizada em todas as regiões do País com 2.179 pessoas - revela umdado ainda mais preocupante: entre as pessoas de 18 a 25 anos, esse índice é de66%.” Emilio Sant’Anna (estadão.com.br 05/01/2008).

“Um balanço feito para avaliar o desempenho orçamentário do governo federalmostra que, dos 337 programas inscritos que tinham verba prevista em orçamentopara ser gasta em 2007, mais de 200 aplicaram menos de 80% dos recursosautorizados. Isto é, cerca de 62% do total dos programas tiveram gastosinsatisfatórios. Apenas 37% deles, ou seja, 126, apresentaram execução acima de80%, índice considerado razoável, já que também foram incluídas as despesas deanos anteriores, os chamados restos a pagar, quitados em 2007. No entanto, emvalores absolutos, os gastos em 2007 foram os maiores dos últimos seis anos.”

Cecília Melo e Leandro Kleber (www.uol.com.br folhas abertas em 04/01/2008).

“Levantamento mostra que, apesar de mais alunos entrarem nas universidadespúblicas, quantidade de formandos caiu 9,5% em 2 anos. Resultado revela perdade eficiência das instituições, que são financiadas com verba pública; evasão étida como uma das causas.”

Fábio Takahashi (Folha de São Paulo, Cotidiano em 30/12/2007)

1.1 Estatística

Estatística é uma ciência que tem como finalidade coletar, organizar, descrever,analisar e interpretar dados experimentais.

A Estatística pode ser classificada em:

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Estatística Descritiva: Coleta, organização e descrição dos dados experimentais.

Estatística Indutiva: Análise e interpretação dos dados experimentais.

1.2 População e amost ra

População é um conjunto de elementos que possuem, em comum, determinadacaracterística. As populações podem ser finitas, como o conjunto constituído pelonúmero de peças produzidas por uma máquina em um determinado dia, ouinfinitas, como o número de vezes que podemos lançar um dado.

Muitas vezes se torna difícil, ou até mesmo impossível, observar todo um grupo,especialmente se esse for muito grande. Nesses casos, podemos utilizar apenasuma parte desse, denominado amostra.

A amostra deve ser representativa da população, retratando com fidelidade suascaracterísticas, ja que por meio dessa amostra serão tiradas as conclusões paratoda a população.

Após ser definida a população, precisamos estabelecer uma técnica deamostragem, ou seja, um procedimento para a escolha da amostra, entre as quaisdestacamos: amostragem casual simples, amostragem sistemática, amostragemestratificada, amostragem de conveniência.

1.3 Técnicas de amostragem

1.3.1 Amostragem casual simples

É um procedimento em que os elementos para as amostras são retirados aoacaso. Assim, todo elemento da população tem igual probabilidade de pertencer àamostra.

A amostragem casual simples é equivalente a um sorteio numérico.

1.3.2 Amost ragem sis temática

Neste procedimento os elementos que compõem a amostra, não são escolhidospor acaso; pelo contrário, estes elementos devem ser ordenados e a retirada deveser feita através de um sistema.

Exemplo: Na produção de parafusos de uma máquina podemos retirar um a cadadez parafusos produzidos.

1.3.3 Amostragem estratificada

É um procedimento por meio do qual retiramos elementos para amostra dediversos estratos da população.

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Para obtermos uma boa amostra, o processo deve ser tal que o número deelementos retirados seja proporcional ao número de elementos de cada estrato.

Exemplo: Para obtermos uma amostra estratificada da cidade de São Paulo,

devemos obter uma amostra de cada um dos bairros da cidade.1.3.4 Amostragem por conveniência

A amostra de conveniência é formada por elementos que estão disponíveis para opesquisador.

Por exemplo, um médico que quer realizar uma pesquisa sobre determinadomedicamento, para sua conveniência, realiza a pesquisa com pacientes dohospital em que trabalha.

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MÓDULO II - DADOS

Os dados são as informações obtidas através de observações, medidas,respostas de pesquisas ou contagens em geral.

2.1 Classificação dos dadosOs dados podem ser classificados em:

Dados qualitativos: classificação por tipos ou atributos.

Exemplos:

A cor dos olhos (azuis, castanhos, verdes etc.) das modelos de uma determinadaagência.

Qualidade (defeituosa ou não defeituosa) de peças produzidas por uma máquina.

Grupo sanguíneo (A, B, AB ou O) dos alunos doadores de sangue daUniversidade.

Dados quantitativos: quando seus valores são expressos em números.

Exemplos:

O peso líquido de cada um dos sabonetes produzidos por uma empresa.

A altura dos alunos do 1º ano do Ensino Médio.

O diâmetro de parafusos produzidos por uma máquina.

2.2 Representação de dados em tabelas

Os dados podem ser apresentados através de uma tabela.

Dados isolados

No caso de dados qualitativos, a descrição através de uma tabela é muito simples.

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A tabela acima mostra o número de pessoas matriculadas em cada modalidade deensino; este número é denominado freqüência (fi).

Podemos também encontrar a freqüência relativa para cada modalidade; paraisso basta dividir a freqüência de cada modalidade pelo total de freqüências (n).

Veja o exemplo:

* arredondamento de duas casas decimais.

2.3 Distribuições de freqüências

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Uma distribuição de freqüência é uma tabela de intervalos de classes com onúmero total de entradas de dados em cada classe.

A freqüência (fi) de uma classe é o número de entrada de dados na classe.

Veja o exemplo. A seguir, estão listados os salários, em reais, de cinqüenta funcionários de umdeterminado setor de uma empresa automobilística:

2500 1800 2200 680 700 950 1050 980 1090 2100

600 750 1800 1200 520 2450 1490 1600 1800 2000

3000 2800 2100 1900 1880 2300 2750 3200 3800 3700

3500 900 1980 2900 2650 2700 2900 2600 2650 2800

3800 3900 3100 3250 1550 1800 2100 3700 3800 3100

Para organizar a tabela de salários, em reais, devemos construir uma tabela defreqüências. Podemos observar que o menor salário é o de 520 e o maior é de3900; definimos então intervalos de classes iguais de 500 reais, ou seja, de 500 a1000, 1000 a 1500 e assim por diante.

Observação: Uma fórmula utilizada para o cálculo do número de classes é:

K=1+3,222. log n, onde k é o número de classes, n é o número de elementos do

conjunto.No exemplo acima temos: K=1+3,222. log 50 6,47.

Embora exista uma fórmula para o número de intervalos de classe, muitospesquisadores determinam o número de intervalos dependendo da situação. Umnúmero de classes pequeno não é aconselhável, pois há perda de informação. Umnúmero de classes grande é desnecessário na maioria dos casos.

A freqüência (fi) neste caso é o número de funcionários que estão incluídos naclasse de salários.

Temos que fi n , onde n é o número total de elementos da amostra.

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Usamos a notação 500 |—1000, onde o intervalo é fechado à esquerda(pertencem à classe os valores iguais ao extremo inferior) e aberto à direita (nãopertencem à classe os valores iguais ao extremo superior).

Ampl itude do in tervalo de uma classe é a diferença entre o limite superior e oinferior.

Temos no exemplo 1000-500=500; logo, a amplitude do intervalo de classe é de500 reais.

O Ponto médio de um intervalo de classe é a metade da soma do limite inferior eo limite superior.

Veja o exemplo:

A freqüência relativa (fr) de uma classe é a freqüência (fi) desta classe divididapelo total de elementos da amostra(n).

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A Freqüência Acumulada (fa) de uma classe é a soma da freqüência daquelaclasse com a de todas as classes anteriores.

Veja o exemplo:

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MÓDULO III - REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS

A representação dos dados através de gráficos possibilita uma rápidavisualização.

Gráfico de barras

Para construção do gráfico de barras utilizamos o sistema de eixos cartesianos.No eixo das abscissas (x) ou ordenadas (y) representamos as variáveis emestudo; no outro eixo (abscissas ou ordenadas) ainda não utilizado,representamos as freqüências.

Podemos representar a tabela 1 através de um gráfico de barras.

Gráfico 1. Número de matrículas de Educação Básica no Brasil.

Diagrama de Pareto

Um gráfico de barras em que as categorias estão dispostas em ordemdecrescente em relação as freqüências relativas é denominado diagrama dePareto.

A tabela, a seguir, mostra as reclamações mais freqüentes em relação aosBancos.

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Fonte: Banco Central do Brasil (http://www3.bcb.gov.br/ ranking/idxrc.do)

Gráfico 2. Diagrama de Pareto.

A linha que aparece no gráfico 2 representa as freqüências relativas 5 elativasacumuladas.

Gráfico de setores

O gráfico de setores é construído da seguinte maneira: construímos umacircunferência (360º) e fazemos a divisão dos setores utilizando as freqüênciasrelativas.

Usamos a regra de três para saber o valor de cada ângulo do setor.

O gráfico de setores a seguir refere-se à tabela 1.

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Gráfico 3. Setores.

Também podemos construir os gráficos utilizando as freqüências relativas.

Fonte: Revista Quatro Rodas

Veja o gráfico de barras que representa os dados da tabela 8.

Gráfico 4. Diagrama de Barras.

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Veja o gráfico de setores que representa a tabela 8.

Gráfico 5. Setores.

Histograma

O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base decada um deles corresponde ao intervalo de classe, e a sua altura, à respectiva

freqüência. No exemplo abaixo, usamos o ponto médio de cada classe paraconstruir o histograma.

O gráfico a seguir representa os dados da tabela 3.

Gráfico 6. Histograma.

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Polígono de freqüências

Os dados apresentados em tabelas de distribuição de freqüências, tambémpodem ser representados em um polígono de freqüências.

A construção de um polígono de freqüências é bastante simples: a partir dohistograma, basta ligarmos os pontos médios de cada classe. Para fechar opolígono, unimos os extremos da figura com o eixo horizontal, no ponto médio daclasse anterior à primeira e no ponto médio da posterior à última classe.

Veja o exemplo a seguir referente à tabela 3.

Gráfico 7. Histograma e Polígono de freqüências.

Ou ainda,

Gráfico 8. Polígono de Freqüências.

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Podemos também transportar os dados de um gráfico para uma tabela dedistribuição de freqüências.

Uma amostra de peças produzidas por certa máquina forneceu a distribuição de

comprimentos das peças dada através do histograma abaixo.


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MÓDULO IV - Exercícios resolv idos

1. A videolocadora “ALUGUE JÁ” anotou as locações do dia 24/12/2007, obtendoos dados da tabela a seguir:

Para a tabela, pedem-se:

a) as freqüências relativas.

b) construir um gráfico de barras.

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c) construir o gráfico de setores.

Usamos a regra de três para calcularmos o valor do ângulo de cada um dossetores.

Drama

Comédia

Ficção

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Suspense

Outros

3. A seguir, estão listados os rendimentos mensais de 30 famílias.

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Para a tabela acima, pedem-se:

a) Agrupar os dados em uma tabela de distribuição de freqüências. (Use intervalosiguais de 500 reais, iniciando com o intervalo 500 |—1000).

Para agruparmos os dados entre 500|—1000, contamos os valores entre500(incluir) e 1000(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de azulpiscina.

Para agruparmos os dados entre 1000|—1500, contamos os valores entre1000(incluir) e 1500(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela deamarelo.

Para agruparmos os dados entre 1500|—2000, contamos os valores entre1500(incluir) e 2000(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de cinza.

Para agruparmos os dados entre 2000|—2500, contamos os valores entre2000(incluir) e 2500(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de verde.

Para agruparmos os dados entre 2500|—3000, contamos os valores entre2500(incluir) e 3000(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de rosa.

Para agruparmos os dados entre 3000|—3500, contamos os valores entre3000(incluir) e 3500(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela deLaranja.

Veja como ficou o resultado:

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b) Encontre os pontos médios dos intervalos de classe.

c) Encontre as freqüências relativas.

Devemos lembrar que a soma de todas as freqüências relativas deve ser igual a 1ou 100%.

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d) Encontre as freqüências acumuladas.

A freqüência acumulada da última classe deverá ser igual à freqüência total.

e) Desenhe um histograma e o polígono de freqüências para a tabela.

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MÓDULO V - Outros Exercícios resolv idos

1. Analise o gráfico e responda às questões abaixo.

Gráfico 14. Gráfico de Barras.

a) Qual é a freqüência relativa do intervalo de classe de ponto médio igual a 4?Neste caso, qual é o significado desta freqüência?

Freqüência total=6+5+8+2+3=24 pessoas.

A freqüência relativa é igual 25,024

6 ou 25%.

Podemos dizer que no dia 02/01/2008, 25% dos clientes demoraram 4 minutos nocaixa.

b) Qual dos intervalos possui maior freqüência?

A maior freqüência é de 8 pessoas, elas demoraram 12 minutos no caixa.

c) Qual dos intervalos possui menor freqüência?

A menor freqüência é de 2 pessoas, elas demoraram 16 minutos no caixa.

2. Observe o histograma abaixo, onde as notas foram dadas através dos pontosmédios das classes e complete a tabela.


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O intervalo de cada classe é de 2. Podemos calcular os extremos inferiores esuperiores de cada classe através do ponto médio e do intervalo de classe,lembrando que:

Para o primeiro intervalo de classe temos:Extremo inferior: xExtremo superior: x+2Ponto médio: 1

e

As freqüências são facilmente visíveis no gráfico abaixo:

As freqüências relativas e acumuladas são calculadas abaixo:

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3. Uma empresa de aviação recebeu em determinado período algumasreclamações de passageiros, que estão relacionadas na tabela a seguir.

Para tal situação, construir um diagrama de pareto.

Primeiramente, vamos calcular as freqüências relativas e freqüências relativasacumuladas.

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O gráfico acima é composto da seguinte maneira: o gráfico de barras refere-se àsreclamações x freqüências relativas e o gráfico de linha refere-se às reclamações

x freqüências relativas acumuladas.

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MÓDULO VI - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

6.1 Média aritmética

Uma das mais importantes medidas estatísticas utilizadas é a média. Ela é, por

exemplo, utilizada no cálculo de nossa média escolar. A média caracteriza o centro da distribuição de freqüências; ela é considerada oponto de equilíbrio de uma distribuição.

Cálculo da média aritmética para dados isolados

A média aritmética representada por x , é dada pela soma x1 x2 ... xn , dividida porn (número total da amostra), ou seja:

Veja o exemplo a seguir:

Um administrador deseja calcular o tempo médio de espera do lanche “X TUDO”em sua lanchonete. Para isso, analisa uma amostra de 10 pedidos, cujo tempo deespera está listado a seguir:

Tabela 1.

A média é calculada da seguinte maneira:

Cálculo da média aritmética para o caso de distribuição de freqüências.

Exemplo: Em uma amostra de 40 parafusos produzidos por uma metalúrgica,foram medidos os diâmetros, em milímetros, conforme a tabela abaixo. Qual é amedida média do diâmetro?

Tabela 2. Freqüências.

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Neste caso utilizamos a fórmula:

,pois a tabela mostra que existem 5 parafusos com diâmetro igual a 1,1mm, 10parafusos com diâmetro 1,2 mm e assim por diante.Tabela 3.

Veja o outro exemplo a seguir:

onde xi é representado pelo ponto médio da classe.

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Tabela 4. Classes de salários.

6.2 Mediana (Me)

A mediana é uma medida de tendência central. Ela divide um conjunto ordenadode dados em duas partes com igual número de elementos.

No caso de dados isolados temos:

Se a amostra é constituída por um número ímpar de elementos, a mediana é ovalor que fica no centro dos dados ordenados.

Exemplo: 20, 20, 24, 25, 30.

A mediana é 24.

Se a amostra é constituída por um número par de elementos, a mediana é amédia aritmética dos dois valores centrais dos dados ordenados.

Exemplo: 20, 20, 24, 26, 30 e 36

A mediana é

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Curiosidade: Para os dados agrupados, a mediana é calculada através da fórmula:

onde:

Li: limite inferior da classe que contém a mediana.n: freqüência total.fai: soma de todas as freqüências das classes anteriores à mediana.fme: freqüência da classe que contém a mediana.c: amplitude do intervalo da classe da mediana.

Qual é a diferença entre média e mediana?

Embora sejam duas medidas de tendência central, a média e a medianapossuem conceitos diferentes. Observe o conjunto de dados abaixo:

2, 3, 4, 5, 9, 15, 35, 98.

Calculando a média obtemos:

Calculando a mediana obtemos:

O que podemos perceber nesse caso é que o cálculo da média levou emconsideração todos os valores do conjunto de dados numéricos, sendo assim infl

uenciada pelos maiores valores. A mediana levou apenas em consideração osseus dois valores centrais.

Embora a média aritmética seja bastante utilizada, há casos em que a medianadescreve melhor a situação. Cabe ao pesquisador procurar a medida maisconveniente.

6.3 Moda

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A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior freqüência.

Exemplo.

Para o conjunto de dados: 10, 12, 12, 23, 12, 25, 20, a moda é 12.Curiosidade: Para os dados agrupados, a moda é calculada através da fórmula:

, onde:

Li: limite inferior da classe modal.d1: diferença entre a freqüência classe modal e a classe imediatamente anterior.d2: diferença entre a freqüência classe modal e a classe imediatamente seguinte.c: amplitude do intervalo da classe modal.

Um conjunto de dados pode ser:

Amodal: quando nenhum dado se repete.Exemplo. 2, 3, 5, 9, 10 e 12.

Modal: quando um valor se repete.

Exemplo: 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7 e 9.Moda: 4.

Bimodal: quando dois valores se repetem.Exemplo. 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 e 10.Moda: 4 e 6.

Trimodal: quando três valores se repetem.Exemplo. 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6 e 8.Moda: 2, 4 e 6.

Polimodal: mais do que três valores se repetem.Exemplo. 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10.Moda: 1, 3, 5 e 7.

6.4 Medidas de pos ição (quartis, decis e percentis)

Para o conjunto de dados ordenados temos que os valores que dividem o conjuntoem quatro partes iguais são denominados quartis. Esses valores que podem ser

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representados por Q1, Q2 e Q3 denominam-se primeiro, segundo e terceirosquartis, respectivamente.

Os valores que dividem o conjunto ordenado em dez partes iguais denominam-sedecis e os valores que dividem os dados em cem partes iguais percentis.

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MÓDULO VII - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Uma amostra com dez preços de álcool foi extraída em diversos postos no dia02/01/2007. Os preços em reais são:

1,00 1,25 1,35 1,09 1,19 1,25 1,12 1,45 1,39 1,19

Para a tabela acima determine:

a) a mediana.

Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar os dados emordem. (Rol)

1,00 1,09 1,12 1,19 1,19 1,25 1,25 1,35 1,39 1,45

Temos aqui um conjunto com uma quantidade par de elementos (10 elementos).

Devemos então fazer a média aritmética dos dois elementos centrais:

b) a moda.

Para o cálculo da moda não há necessidade de colocar os dados em ordem,porém a visualização dos valores que se repetem fica mais clara.

O conjunto de dados é bimodal, pois há no conjunto dois valores que se repetem:1,19 e 1,25.

c) a média.

O preço médio do álcool é de R$1,23 (arredondamento de duas casas decimais).

2. O peso em quilogramas de 50 alunos de uma academia está listado na tabelaabaixo.

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Determine a média.

Devemos lembrar que essa tabela mostra que existem 2 alunos com peso igual a54 kg, 4 alunos com 58 kg e assim por diante. O número total de alunos é igual a50.

Neste caso, para o cálculo da média utilizamos a fórmula:

Vamos fazer este cálculo utilizando a tabela.

Tabela 5. Cálculo da Média.

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O peso médio dos alunos da academia é de 68 kg.

b) Moda.

A moda é 74 (16 alunos pesam 74 kg).

3. A seguir estão listadas as mensalidades, em reais, do curso de línguas (2 horassemanais) em diversas escolas de um bairro.

240 350 250 300 320 285 450 600 198

Determine:

a) Mediana.

Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar os dados emordem. (Rol)

198 240 250 285 300 320 350 450 600

Temos aqui um conjunto com uma quantidade ímpar de elementos (9 elementos).

A mediana é o termo central.

Me=300.

Podemos dizer que 50% dos preços são maiores ou iguais a R$ 300,00 e 50% dospreços são menores ou iguais a R$ 300,00.

b) Moda.

O conjunto de dados é amodal (nenhum valor se repete).

c) Média.

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O valor médio é de R$332,56.

4. Um nutricionista indicou dietas diferentes para três grupos de pacientes. Atabela indica a perda de peso (em kg) por paciente.

Tabela 7. Perda de Peso.

Calcule a média, a mediana e a moda para cada um dos grupos.

Grupo 1.

A moda é igual a 4 kg.

Grupo 2.

A moda é igual a 2 kg.

Grupo 3.

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Bimodal: 4kg e 6 kg.

Os resultados estão na tabela a seguir:

Tabela 8. Resumo.

Levando em consideração a média, podemos dizer que a dieta do grupo 1 foi aque teve mais efeito.

A mediana para os grupos 1 e 3 foi a mesma, significando que 50% do peso

perdido é maior ou igual a 4,5 kg e 50% menor ou igual a 4,5 kg.5. Considere o histograma abaixo, para calcular a idade média dos alunos em umcurso de Inglês.


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Para calcular a média, primeiramente vamos transportar os dados do gráfico para

uma tabela.


Agora vamos calcular a média:

Tabela 10. Cálculo da Média.

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A idade média é 14,10 anos.

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MÓDULO VIII - MEDIDAS DE DISPERSÃO

Quando descrevemos nossos dados através das medidas de tendência central,

necessitamos muitas vezes de complementos, denominados medidas dedispersão. As medidas de dispersão utilizadas são a amplitude, a variância, odesvio-padrão e o coeficiente de variação.

As medidas de dispersão indicam o quanto os dados var iamem torno da região central.

8.1 Amplitude

A amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado observado.

Por utilizar apenas os extremos, a amplitude não é uma boa medida de dispersão.

No exemplo 2 (capítulo 1) a amplitude é: 39000 - 520 - 3380.

8.2 Variânc ia (s2)

A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelotamanho da amostra menos 1.

O desvio em relação à média é a diferença entre cada dado (xi) e a média doconjunto .

Exemplo: Calcular a variância para o caso abaixo.

Tabela 1. Tempo, em minutos.

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No caso de uma distribuição de freqüências usamos a fórmula:

onde xi é o ponto médio do intervalo de classe e fié a freqüência de cada classe.

Tabela 2. Classes de salários.

8.3 Desvio-padrão (s)

O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância.

Para dados isolados:

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Para dados agrupados:

O desvio-padrão é uma das medidas de dispersão de maior interesse naspesquisas em geral, pois ela é expressa na mesma unidade da variável emestudo.

Verifique o exemplo abaixo:

Vamos considerar as alturas, em centímetros, de 2 grupos de alunos de umauniversidade.

Tabela 3. Alturas.

Devemos observar que, quanto maior o desvio-padrão, maior será a variaçãoentre os dados analisados, e, quanto menor for o desvio-padrão, menor é avariação entre os dados analisados.

No grupo 2, a variação entre as alturas é maior (desviopadrão 18,98 cm), e nogrupo 1 (desvio-padrão 1,08 cm), a variação é menor.

8.4 Coefic iente de Variação (CV)

O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio-padrão e a média.

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Podemos expressar o coeficiente de variação na forma de porcentagem.

No exemplo acima temos: Grupo 1, com CV=0,71%, e Grupo 2, com CV=11,08%.

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MÓDULO IX - Exercícios reso lvidos

1. A variação do preço, em reais, da lata de óleo de soja em diversos mercados.Preços referentes a 03/01/2008.

2,50 2,70 2,30 2,45 2,60

2,10 2,65 2,15 2,35 2,70

Para os dados acima encontre:

a) a média.

O preço médio é de R$2,45.

b) desvio-padrão.

Para facilitar os cálculos, vamos construir uma tabela; veja a seguir:

* arredondamento para duas casas decimais.

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2. Para a tabela a seguir, determine:

Tabela 4. Produção de Biodiesel.

Determine:

a) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de junho a dezembro de2006.

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b) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de janeiro a outubro de2007.

Desvio-Padrão:

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O valor médio da produção de biodiesel, em 2006, foi de 3021,57 m³ e, em 2007,foi de 3112,4 m³. A variação da produção foi maior em 2007.

3. A tabela a seguir mostra os preços de venda no mercado atacadista de 3produtos.

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a) calcule o preço médio de cada produto nos meses de janeiro a outubro de2007.

b) calcule o desvio-padrão e o coeficiente de variação de cada produto nos mesesde janeiro a outubro de 2007.

c) analise os resultados do item b.

Feijão Carioquinha – Tipo 1

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Feijão Carioquinha – Tipo 2

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Feijão Preto – Tipo 1.

Resumindo os nossos dados temos:

Após a análise, podemos concluir que o feijão preto tipo 1 possui menor preçomédio e também a menor variação de preço.

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Entre o feijão carioquinha tipos 1 e 2, o menor preço médio é o do tipo 2; avariação do tipo 1 é de aproximadamente 3% e a do tipo 2 é de 2,8%.

4. A tabela de freqüências abaixo mostra o número de professores agrupados porclasses; de idade de uma Universidade.

Calcule a média, a variância e o coeficiente de variação.

Para o cálculo da média devemos primeiramente encontrar os pontos médios dosintervalos de classe; veja a seguir:

Para o cálculo da média, fazemos:

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*aproximação de duas casas decimais.

Para o cálculo da variância temos:

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Para o cálculo do coeficiente de variação temos:

5. Considere a tabela abaixo.

Calcule a média, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.

Para o cálculo da média, temos:

Para o desvio-padrão temos:

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Para o coeficiente de variação temos:

A média dos salários é de R$1156,67 com um coeficiente de variação de 17,6%.

6. Considere o histograma abaixo e calcule a variância e o coeficiente de variação.

A idade média dos alunos já foi calculada no capítulo anterior, basta agoracalcularmos o desvio-padrão e o coeficiente de variação.

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A variação das idades dos alunos do curso de Inglês é de 18,87%.

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Referências Bibliográficas

LARSON e FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Prentice Hall, 2004.

LEVIN, J. e FOX, J.A. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Prentice Hall,2004.

MOORE, D. A Estatística Básica e sua prática. Rio d Janeiro: LTC, 2000.

NEUFELD, J. L. Estatística aplicada à Administração usando excel. São Paulo:Pearson Prentice Hall, 2003.

PEREIRA, P. H. Noções de Estatística. São Paulo: Papirus, 2004.

SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993.

VIEIRA, S. Introdução a Bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 1980.

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