Material de matematica financiera

Material de Matemática Financiera

______________________________________________________________________ Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas

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Introducción El estudio de las Matemáticas Financieras es importante para todas aquellas personas

que deseamos saber cuánto ganamos o cuanto perdemos en una inversión. El propósito

primordial del estudio de esta asignatura es que podamos evaluar la equivalencia del

valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más

sencilla posible.

Básicamente el estudio de las Matemáticas Financieras se basa en dos métodos para

realizar operaciones financieras y determinar el valor del dinero, los cuales nos facilitan el

análisis del rendimiento financiero, estos métodos son: el Interés Simple y el Interés

Compuesto. En el primero se parte del hecho de que solo el capital o principal produce

intereses, en tanto que el segundo el principal y los intereses ganan intereses.

Los métodos mencionados no son equivalentes ni su uso es optativo por parte del

inversionista o analista financiero. Existe un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia

particular. Por ejemplo, usamos el Interés Simple, si deseamos saber los ingresos de un

determinado capital invertido para un periodo de 3 años a través de un bono que paga

intereses mensualmente (cupón) a una cierta tasa de interés y no se capitalizan los

intereses. Por el contrario, usamos el Interés Compuesto si deseamos saber el monto que

se tendrá al final de 2 años, de una cantidad de dinero invertida periódicamente y

consecutivamente, cuyos intereses se capitalizan por periodo.

Cuando disponemos de una cantidad de dinero podemos destinarlo, o bien a gastarlo -

satisfaciendo alguna necesidad–, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o

menos próximo, según se acuerde.

De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad,

estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte

atractiva. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece

que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los

disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo.

Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor

objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede

definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el

precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo.

Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:

1. Por el riesgo que se asume.

2. Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del dinero o capital durante

un tiempo.



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3. Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres

variables, a saber:

1 La cantidad del capital invertido,

2 El tiempo que dura la operación, y

3 La tasa de interés al que se acuerda la operación.

El capital financiero es una cantidad P de unidades monetarias asociada a un momento

determinado de tiempo n.

En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los

que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a

capitales equivalentes, cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea

de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente

una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy $1,000 a cobrar

$1,100 dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales $1,000 y $1,100 son

equivalentes.

Diremos entonces que, dos capitales cualesquiera, P1 con vencimiento en n1 y P2 con

vencimiento en n2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por

otro.

El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o costo en la operación.

Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos

dispuestos a asumir en una operación concreta.

Para efectuar una operación financiera es necesario que a las personas que intervienen,

las cantidades de dinero que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que

deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y

a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático (Simple o

Compuesto) que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define

como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el

aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo.

Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán

sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones

financieras.



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I UNIDAD: Interés Simple

1.1 Generalidades de las matemáticas financieras Las Matemáticas Financieras son un conjunto de técnicas y procedimientos de carácter cuantitativo que nos sirven para calcular la equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. La medición del valor del dinero nos ayuda a tomar decisiones financieras, es decir; para valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado capital. Las Matemáticas Financieras se ven involucradas en todas las actividades económicas donde pretendamos obtener una ganancia; particularmente la usamos en la medición del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en juego, es decir; si perdemos o ganamos. Los campos de mayor aplicación son el Mercado Financiero y el Mercado de Valores que es donde se oferta y demanda dinero a un precio que está determinado por la libre competencia. En todas las actividades financieras se acostumbra pagar un rédito por el uso del dinero prestado, la mayor parte de los ingresos de bancos y compañías inversionistas se deriva de los intereses sobre préstamos o del retorno de utilidades por inversión. En general el dinero genera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo. El análisis de las causas de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el problema fundamental de las finanzas. Las matemáticas financieras tienen por objeto encontrar el valor del dinero en diferentes momentos en el tiempo, es decir, disponer y saber utilizar los medios y elementos necesarios para trasladar en el tiempo y de manera simbólica las cantidades de dinero que intervienen en cualquier operación financiera, además de asesorar y orientar apropiadamente a quienes tienen la necesidad de pedir dinero prestado y a los que disponen de este para prestarlo o invertirlo a fin de que genere intereses y otros beneficios.

¿Por qué es tan importante la matemática financiera?

Porque prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y en algunas ocasiones considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una camisa nueva aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en ese momento. Por otra parte, el comprar un automóvil nuevo y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.

Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente



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al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Estas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos o el capital de la Compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser una vez más, económicos y no económicos, lo mismo tangibles que intangibles.

Los términos comúnmente utilizados en la matemática financiera son los siguientes: P = Valor o suma de dinero en un momento denotado como el presente,

denominado el valor presente.

S = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro, denominado valor futuro.

R = Serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin de periodo,

denominadas valor equivalente por periodo o valor anual.

N = Número de periodos de interés; años, meses, días.

i = Tasa de interés por periodo de interés; porcentaje anual, porcentaje mensual.

n = Tiempo expresado en periodos; años, meses, días.

1.2 Valor cronológico del dinero.

Si se elige invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una corporación de ahorro y préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido originalmente, de igual manera si una persona o empresa pide hoy dinero prestado, mañana tendrá que pagar una cantidad mayor. Este cambio en la cantidad de dinero durante un periodo de tiempo es lo que se conoce como el valor cronológico del dinero en el tiempo. El valor cronológico del dinero debe verse desde el punto de vista del valor real, o sea; de su poder adquisitivo, el valor del dinero puede cambiar a través del tiempo, no solamente debido a una tasa de interés, sino también por efectos de la variación monetaria (devaluación) o la tasa de inflación. En épocas de inflación, los ingresos fijos suelen reducirse en su poder adquisitivo de forma tal, que terminan por ser insuficientes para mantener los costos de la vida. Por ejemplo: ¿Preferiría usted recibir C$ 10,000 dentro de un año o recibirlos el día de hoy?, probablemente hoy, por las siguientes razones:

La inflación La oportunidad El riesgo

1.3 Flujos de dinero.

Las personas y las compañías tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero, (costos y gastos) que ocurren particularmente cada periodo de tiempo dado. Estos valores que constituyen ingresos y pagos y que se dan periódicamente en el tiempo se denominan flujos de caja. Para simplificar, se supone que todos los flujos de caja ocurren al final de cada periodo de interés. Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo



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si es un ingreso y negativo si es un pago o desembolso. En cualquier instante de tiempo el flujo de caja podría representarse como:

Flujo de caja neto = ingresos – egresos. a) Flujos de cajas positivos (+): Estos representan todas las entradas de dinero

independientemente de donde provengan, ver grafica 1. 80 70 60 50 30

Grafica 1.1.

b) Flujos de caja negativos (-): Estos representan todas las salidas o egresos de

dinero independientemente del concepto que los origine, ver grafica 2. 15 20 25 30 30

Grafica 1.2.

Un préstamo de C$ 25,000 es positivo para la persona o entidad que recibe el préstamo y negativo para la institución financiera que lo otorga. Diagrama de flujo de caja

El diagrama del flujo de caja es la representación gráfica de un flujo de dinero en una escala de tiempo (Ver gráficos 1.1 y 1.2). El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra los valores dados y los que debemos encontrar, es decir; es un instrumento visual para el análisis financiero y nos facilita resolver el problema mirando únicamente el dibujo del diagrama del flujo. Podemos asegurar que el éxito para la resolución de un problema de Matemáticas Financieras, depende de gran manera de la construcción del diagrama de flujo de caja. Los diagramas de flujos de caja 1.3 y 1.4 representan los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión. 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 0 1 2 3 4 5 Años

Gráfico 1.3



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20,000 En el diagrama del flujo de caja, la fecha 0 (cero) es el momento actual (hoy. La fecha 1, es el final del período 1. La fecha 2, es el final del período 2. La fecha 3, es el final del período 3 y así sucesivamente hasta el final del periodo de interés n. El final del periodo n es el vencimiento. En vista de que asumimos que el flujo de dinero ocurre al final de cada período (salvo cuando se estipule lo contrario), solamente debemos considerar las fechas marcadas con 0, 1, 2, 3, . . ., n para registrar los flujos en el diagrama. 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 0 1 2 3 4 5 Años

Gráfico 1.4

20,000 Analicemos en particular los períodos 2 y 5 de la escala del gráfico 1.4: 1 2 4 5 Periodo 2 Periodo 5 Reafirmamos que la dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la solución del problema. Utilizaremos flechas hacia arriba para indicar un flujo positivo (ingreso) y flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (egreso) 20,000 20,000 Flujo positivo Flujo negativo

Los flujos de cajas los podemos presentar de dos formas: diagrama o gráfico (ver gráficos 1.3 y 1.4) y tabular (ver tablas 1.1 y 1.2) Año 0 1 2 3 4 5

Flujo Neto (20,000) 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000

Inicio período 2 Final período 2 Inicio período 5 Final período 5



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Tabla 1.1 Muestra el flujo del diagrama 1.3 Año 0 1 2 3 4 5

Flujo Neto (20,000) 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000

Tabla 1.2

Muestra el flujo del diagrama 1.4 Ejemplo 1.1

Una empresa invierte en una máquina $12,000 que se estima tendrá una vida útil de 6 años. Los ingresos anuales serán de $5,000 y los costos de operación y mantenimiento serán de $1,200 para el primer año y se espera que estos costos aumenten en $300 por año a partir del año 2. La máquina al final de la vida útil tendrá un valor de rescate de $3,000. Elaboremos el flujo de caja en forma tabular y en diagrama. Solución Primero hagamos una tabla reflejando los ingresos y egresos de la actividad económica por año para deducir el flujo neto. (Ver tabla 1.3). Observe que en el año 6 el ingreso es de $8,000 esto es debido a la venta de la máquina por $3,000 . Año 0 1 2 3 4 5 6

Ingreso 000 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000 8,000

Egreso 12,000 1,200 1,500 1,800 2,100 2,400 2,700 Flujo Neto (12,000) 3,800 3,500 3,200 2,900 2,600 5,300

Tabla 1.3

En el diagrama 1.5 se muestra el flujo de caja neto. 5,300 3,800 3,500 3,200 2,900 2,600 0 1 2 3 4 5 6 Años 12,000 Gráfico 1.5 Investigar para el próximo encuentro los siguientes términos:

1. Condiciones para un estudio económico efectivo. 2. Definición de Proyecto.

1.4 Interés Simple

El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.



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Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, no capitaliza. Interés: es el alquiler o rédito que se conviene pagar por el uso del dinero en calidad de

préstamo o depósito. Las leyes de cada país rigen los contratos y relaciones entre prestatarios y prestamistas, por el dinero tomado en préstamo debe pagarse un precio. Fórmula general del interés simple: I = Pin

Dónde:

I : Interés acumulado o devengado P : Principal o capital i : Tasa de interés anual n : Plazo del tiempo expresado en años.

Existe el cálculo del interés simple de forma comercial (360 días) y ordinaria o exacta (365 o 366 días). Ejercicios propuestos:

1. Calcular el interés simple comercial y exacto de un préstamo de C$ 5,000 a 90 días y una tasa de interés del 8.5% simple anual. Resp. C$106.25, C$104.79

2. Un estudiante hizo un préstamo de U$ 2,500 pagaderos con U$ 2,850 dentro de tres meses. ¿Cuál fue la tasa de interés anual que se aplicó? Resp. 56%

3. ¿Cuánto tardaran C$ 1,000 a) en ganar C$ 100 al 15% de interés simple? b) en aumentar a C$ 1,350 al 13.5% de interés simple?. Resp. a)8 meses; b)2 años, 7 meses y 3 días.

4. ¿Qué principal acumulara: a) C$ 5,100 en seis meses al 9% de interés simple? b) C$ 580 en 120 días al 18% de interés simple exacto? Resp. a) C$ 113,333.33 b) C$ 9,800.93

Determinación del tiempo entre fechas

Con el objeto de facilitar los cálculos se acostumbra suponer los años de 360 días divididos en 12 meses de 30 días. Para llevar la cuenta de los días se acostumbra excluir el primer día e incluir el último, así para un préstamo recibido el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo comercial transcurrido es de 15 días, en algunos países se acostumbra contar el primero y el ultimo día, en tal caso el tiempo comercial es de 16 días.



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Existen cuatro métodos para calcular el interés simple entre fechas: 1. El tiempo exacto e interés ordinario o comercial. 2. El tiempo exacto y el interés exacto. 3. El tiempo aproximado y el interés ordinario o comercial. 4. El tiempo aproximado y el interés exacto.

De igual manera anexo a este material encontrara una tabla que permite encontrar el tiempo entre dos fechas, la cual será de utilidad para resolver algunos problemas. Ejercicios propuestos:

Calcular el tiempo exacto y aproximado: 1. Del 18 de abril al 3 de noviembre del mismo año. R. 199 días, 195 días. 2. Del 18 de mayo del 2013 al 8 de abril del 2014. R. 325 días, 320 días. 3. Entre el 15 de marzo y el 3 de septiembre del mismo año. R. 172 y 168 días. 4. Entre el 2 de octubre del 2013 y el 15 de junio del 2014. R. 256 y 253 días. 5. El 7 de abril del 2013 una mujer pidió prestados C$ 1,000 al 8%. Pago la deuda el

22 de noviembre del mismo año. Calcular la cantidad de interés simple, usando los cuatro métodos. R. C$ 50.89, C$ 50.19, C$ 50.00 y C$ 49.32.

6. Se invirtieron C$ 5,000 entre el 3 de noviembre del 2013 y el 8 de febrero del 2014, al 15% de interés simple. Calcular la cantidad del interés ganado, usando los cuatro métodos. R. C$ 202.08, C$ 199.32, C$ 197.92 y C$ 195.21.

1.5 Cálculo del valor presente y futuro

Valor Futuro:

La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro S puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual P como el fondo visto desde arriba. El valor futuro representa la capitalización del dinero en el tiempo y se obtiene por: S = P(1+ in)

Valor Presente:

El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida. Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el valor presente “P” de la fórmula general:

P = S(1+in)-1

Otras fórmulas derivadas de la fórmula general:

Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos:

I = S-P La diferencia entre S y P es el interés (I) generado por P.



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El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Ejercicios para resolver en clase:

1. Encontrar el valor actual, al 5% de interés simple, de C$ 1,800 con vencimiento en 9 meses. Resp. C$ 1,734.94

2. Calcular el valor al vencimiento de un préstamo de C$ 2,500 por 18 meses al 12% de interés simple. Resp. C$ 2.950.00

3. ¿Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido utilidades de C$ 300, después de 8 meses, a interés simple y con el 48% de tasa anual?. Resp. C$

937.50 4. Si tenemos C$ 10,000 y lo invertimos por un año con el 28% de interés anual.

¿Cuánto dinero tendremos al finalizar el año?. Resp. C$ 12,800.00 5. El día de hoy obtenemos un préstamo por C$ 5,000 y después de un año

pagamos C$ 5,900. Determinar el interés y la tasa de interés. Resp. C$ 900.00 y

18% 6. Calcular el interés simple comercial y exacto de un préstamo por C$ 600 con una

tasa de interés del 15% durante un año. Resp. C$ 91.25; C$ 90.00 7. Determinar los intereses y el capital final producido por C$ 10,000 con una tasa del

18% en un año. Resp. C$ 1,800.00; C$ 11,800.00 8. Una pareja pide prestados C$ 10,000. La tasa de interés anual es de 10.5%,

pagadero mensualmente, si el pago mensual es de C$ 200, ¿Cuánto del primer pago es para intereses y cuanto para amortizar el principal?. Resp. C$ 87.50; C$

112.50

1.6 Ecuaciones de valor:

Son sistemas de ecuaciones para resolver problemas financieros, se requiere la determinación de una fecha focal o fecha de comparación la cual sirve de referencia para la aplicación de las ecuaciones matemáticas. Uno de los problemas más importantes en las matemáticas financieras es sustituir un conjunto dado de pagos por un conjunto equivalente. Se dice que dos conjuntos de pagos son equivalentes a determinada tasa de interés simple, si los valores fechados de los conjuntos en cualquier fecha común son iguales. Procedimiento para la solución de problemas:

1. Hacer un diagrama de tiempo que muestre los valores fechados de un conjunto de pagos a un lado de la línea de tiempo y los valores fechados del segundo conjunto de pagos al otro lado.

2. Seleccionar una fecha focal. 3. Plantear la ecuación de valor en la fecha focal. 4. Resolver la ecuación de valor.

Ejercicios propuestos:

1. Un estudiante tiene una deuda con HISPAMER de C$ 500 a 4 meses y otra de C$ 700 que vence en 9 meses, ¿Qué pago único liquidara esas obligaciones al 11% a) ahora, b) en seis meses, y c) en un año. R. C$ 1,128.97, C$ 1,190.44 y C$ 1,255.92.



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2. Una persona tiene dos opciones para pagar un préstamo: puede pagar C$ 200 al final de 5 meses y C$ 300 al final de 10 meses, o bien puede pagar C$ X al final de 3 meses y C$ 2X al final de seis meses. Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 12%, calcular X usando como fecha focal: a) 6 meses y b) tres meses. R. C$ 161.87 y C$ 161.96

1.7 Descuento Simple:

Descuento: Es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor recibido al momento de descontar un pagare, se calcula mediante: D = Sdt. Descontar un pagare: Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura bajo las condiciones convenidas en el pagare. P = S – D = S(1 - dt) Valor nominal de un pagare: Es el que está inscrito en la obligación, indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada. Valor efectivo o líquido de un pagare: Es el valor que se recibe en el momento de descontar la obligación, en otras palabras en valor actual con descuento. Ejercicios:

a) Un pagare con valor de C$ 68,000 vence el 18 de septiembre, se descuenta el 20 de junio al 10%, calcular el descuento, el valor descontado o valor liquido del pagare.

b) El señor Martínez compra al BCN un certificado de inversión con valor nominal de U$ 10,000 a una tasa de descuento del 8.7% a 270 días de plazo, calcular el valor del descuento y el valor liquido del certificado. Resp. C$ 652.50 y C$ 9,347.00

1.8 Descuentos comerciales: Es costumbre de las casas comerciales en épocas especiales ofrecer una rebaja sobre el precio de lista; por ejemplo: promociones por compras al por mayor, por pronto pago, etc.

1. Descuento por comisiones: Estas comisiones se expresan en porcentajes y en

su valor no interviene el tiempo, su cálculo es mediante:

𝐷 = 𝐹 ∗ 𝑑 Dónde: D: Descuento F: Valor de la factura d: Tasa de descuento El valor neto de una factura es igual al valor facturado menos el descuento, de igual manera en su cálculo no interviene el tiempo. 𝑃 = 𝐹(1 − 𝑑) Ejemplo: Un comerciante ofrece descuentos del 10% sobre compras superiores a los C$ 15,000, un cliente factura la cantidad de C$ 18,513.45, calcular el valor que pagara el cliente. Resp. C$ 16,662.11



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2. Descuentos por pronto pago: Son ofrecidos por distribuidores y mayoristas en el comercio según la anticipación del pago en el plazo señalado del crédito. Es costumbre señalar este tipo de descuento por medio de fracciones, el numerador indica el porcentaje del descuento y el denominador indica el tiempo dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al descuento que señala el numerador.

Ejemplo: Un comerciante factura en un almacén C$ 80,000 con las siguientes condiciones: a) 10% al contado, b) 8/10, c) 5/20, d) 3/25, e) neto a 30 días, calcular el pago para cada una de las alternativas. Resp. a) 72,000 b) 73,600 c) 76,000 d) 77,600 e) 80,000

3. Descuentos en cadena: Se hacen sobre una misma factura descuentos entre sí,

cada uno de los descuentos se efectúa sobre el valor neto de la factura después de deducir el descuento anterior, su cálculo es así:

𝑃 = 𝐹(1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2)(1 − 𝑑3) … . . (1 − 𝑑𝑛) Ejemplo: La facturación de una mercadería por valor de C$ 120,000.00, aplica a los siguientes descuentos en ocasión de navidad y año nuevo, 6% por compras al por mayor, 4% por lealtad de cliente, 2% por noches de compras y 3% por promoción especial, calcular el valor neto a pagar. Resp. C$ 102,938.57



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Ejercicio extra clase I. Investigue los siguientes conceptos

a) Interés b) Tasa de interés c) Rédito d) Plazo e) Pagare f) Descuento

II. Encuentre el tiempo

a) Entre el 23 de enero y el 25 de marzo del mismo año b) Entre el 11 de marzo y el 25 de diciembre del mismo año c) Para un pagare que se firmó el 13 de marzo a 210 días de plazo d) Entre el 12 de noviembre del 2009 y el 25 de julio del 2010 e) Para un préstamo que vence el 15 de junio del 2010, si se dio a un lazo de 160

días. f) El tiempo transcurrido entre el 15 de marzo y el 3 de septiembre del mismo año y

entre el 2 de octubre del 2008 y el 15 de junio del 2009.

III. Calcular el interés exacto o real y el interés ordinario o comercial devengado por:

a) Un capital de C$ 18,000 al 12% simple anual durante 180 días. C$1,065.21; C$1,080.00 b) Un capital de C$ 95,000 al 5% simple semestral durante 200 días. C$5,205.48;

C$5,277.78 c) Un capital de C$ 7,850 al 1% simple mensual durante 70 días. C$180.66; C$183.17 IV. Determine:

a) ¿Qué capital produce C$ 2,800 de interés en 3 meses al 9% simple anual? C$124,444.44

b) ¿Qué capital produce C$ 40,500 de interés en 250 días al 11% simple anual? C$530,181.82

c) ¿Cuánto tardaran C$ 1,000 en ganar C$ 100 al 1.5% de interés simple mensual? 6 meses y 20 días.

d) ¿En cuánto tiempo un capital de C$ 18,000 aumentara en C$ 800 al 10% de interés simple anual? 5 meses y 10 días.

e) ¿A qué tasa de interés simple un capital de C$ 15,000 aumentara el doble en 8 años? 12.5%

f) ¿A qué tasa de interés simple un capital de C$ 1,000 aumentara a C$ 1420 en 2.5 años? 16.8%

V. Resuelva cada uno de los siguientes casos:

a) Determinar el valor presente o descontado de C$ 1,000 pagaderos en tres meses, si la tasa es del 11%. Resp. C$ 973.24

b) ¿Cuánto se pagara al final de 2 años por un préstamo de C$ 3,000 al 3% de interés

simple bimestral?. Resp. C$ 4,080.00

c) Encuentre el valor presente de un certificado cuyo valor nominal es de C$ 10,000 a

un plazo de 6 meses al 7% de interés simple mensual. Resp. C$ 7,042.25



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d) Una persona deposita C$ 7,500 en una cuenta de un banco que paga el 8.5% de interés simple anual. Encuentre la cantidad acumulada al cabo de 250 días. Resp. C$ 7,942.71

e) El primero de diciembre del 2010, Luisa adquiere un préstamo de C$ 58,975 al 0.9%

de interés simple mensual a un plazo de 8 meses y 25 días para la compra de equipos. Determine el valor apagar a la fecha de vencimiento. Resp. C$ 63,663.51

f) Un préstamo de C$ 20,000 cuyo vencimiento es a 9 meses al 12%, se reduce

mediante dos abonos, uno de 6,000 efectuado a los tres meses y otro de C$ 8,000 efectuado dos meses antes del vencimiento. Calcule el saldo a la fecha de vencimiento considerando la misma tasa de interés. Resp. C$ 7,280.00

g) Se va a liquidar una deuda de U$ 500 que se venció hace 20 días y otra por U$ 400

que se vence dentro de 50 días, con un pago de U$ 600 hoy y un pago final dentro de 90 días. Calcular el valor del pago final a la tasa de 11% de interés simple con fecha focal de hoy. Resp. U$ 306.23

h) El día de hoy, una empresa realiza una compra a su principal proveedor, acordando

pagar originalmente C$ 7,200 con vencimiento en 5 meses y C$ 8,600 con vencimiento en 11 meses. Al llegar la fecha del primer pago, el gerente financiero de la empresa analiza la posibilidad de pagar las obligaciones bajo las condiciones siguientes. Calcule el valor de los pagos con un interés del 12%:

1. Si se cancelan mediante un pago único inmediato. Resp. C$ 15,313.21 2. Si se cancelan mediante un pago único en 2 meses. Resp. C$ 15,613.24 3. Si se cancelan mediante un pago único en 4 meses. Resp. C$ 15,919.37

i) Por la compra de equipos, Marcos debe C$ 300 pagaderos en tres meses y C$ 500 a

pagar en 8 meses. ¿Qué pago único a) hoy, b) dentro de 6 meses, c) en 1 año, liquidara esas obligaciones, si el dinero vale 8% y la fecha focal es la del único pago?. Resp. a) C$ 768.80, b) C$ 799.42, c) C$ 831.33



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II UNIDAD: Interés Compuesto Objetivos

Al finalizar este capítulo estaremos en capacidad de:

1. Establecer y explicar la diferencia entre monto a interés simple y monto compuesto.

2. Argumentar la diferencia de tasa de interés periódica nominal y tasa periódica

efectiva.

3. Explicar los conceptos de tasas de interés equivalentes, períodos de capitalización, frecuencia de capitalizar intereses según la tasa de interés nominal.

4. Analizar los modelos de capitalización de intereses discreta y continua.

5. Adquirir habilidades en el planteamiento y resolución de problemas relacionados

con: monto compuesto, tiempo, interés, valor actual, tasas de interés nominal, efectivo y equivalentes.

6. Desarrollar habilidades en el planteamiento y resolución de problemas de

ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto. Introducción

Anteriormente abordamos problemas de interés simple, donde el capital permanece invariable o constante durante todo el tiempo que dura la transacción y los intereses se retiran periódicamente. Cuando utilizamos el método de Interés Compuesto, el capital aumenta en cada período; por cuanto el interés se integra al capital, para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada período. Por ello, es muy corriente decir que en el Interés Compuesto “los intereses ganan intereses”, debido que éstos se capitalizan en cada período de liquidación de interés. Al proceso de integración de los intereses al capital al final de cada período de interés, le conocemos como capitalización de intereses y constituye la esencia del método de interés compuesto. Producto de este mecanismo, el capital invertido con este método crece más rápidamente, convirtiéndose en el sistema de cálculo de intereses más utilizado en las operaciones financieras de las instituciones bancarias y de préstamos.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Monto compuesto

El concepto y la fórmula- general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.



16

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación. Estamos interesados en deducir la fórmula general que nos permitirá el cálculo del monto de una suma de dinero a interés compuesto. En particular iniciaremos con el siguiente ejemplo. Una persona acude a un banco y deposita $2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco paga interés del 9% convertible trimestralmente (interés compuesto). ¿Cuál será el valor del depósito al final del año? Solución

Se trata de hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0.09/4 = 2.25% acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla 1.14. Datos P = 2,000, i = 0.0225 trimestre, N = 4 trimestres

Periodo

trimestral Valor inicio de

periodo Interés devengado en el

periodo Valor a final de

periodo

No. P I = P i n F = P + P i n

1 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,045.00 2 $2,045.00 2,045.00(0.0225) = 46.01 $2,091.01

3 $2,091.01 2,091.01(0.0225) = 47.05 $2,138.06

4 $2,138.06 2,138.06(0.0225) = 48.11 $2,186.17 Tabla 1.14 2,138.06 2,186.17 2,045 2,091.01 0 1 2 3 4 Trimestres Gráfico 2.1 1,000 Los nuevos montos o valores futuros en cada periodo, se muestran en el gráfico 2.1, observemos que en cada trimestre, el interés se suma al capital a este proceso se le llama capitalización.

El flujo mostrado en el gráfico 2.1 se puede representar a través del gráfico 2.2 donde la operación se realiza desde el valor presente hasta el valor futuro, o sea, desde el inicio hasta el final del plazo.



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2,186.17 0 1 2 3 4 Trimestres Gráfico 1.16 1,000

2.1 Diferencias entre el interés simple e interés compuesto

Existen dos diferencias entre ambos métodos.

La aplicación de los métodos difiere en las respuestas al tipo de transacción financiera efectuada. Si los intereses son pagaderos por periodos, actúa el interés simple, si los intereses son integrados al principal en cada periodo de capitalización, actúa el interés compuesto.

El crecimiento de una inversión específica se da de forma más acelerada si es colocada a interés compuesto que a interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés.

2.2 Tasa nominal y tasa efectiva

Tasa nominal: La tasa de interés nominal es la tasa pactada o establecida en toda

operación financiera, generalmente es para períodos anuales pero también puede definirse para períodos menores que un año. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Por ejemplo, consideremos las siguientes tasas de interés con su frecuencia de convertir o capitalizar intereses. La tasa nominal la denotaremos por j. es necesario entonces definir una tasa de interés efectiva “i” que aplique a cada periodo de capitalización de los intereses.

a) 20% convertible trimestralmente, significa que es una tasa nominal anual con 4 conversiones en un año.

b) 18% convertible mensualmente, tasa nominal anual con 12 conversiones anuales.

c) 24% convertible semestralmente, tasa de interés nominal anual con 2 conversiones en un año.

Tasa efectiva: La tasa efectiva es periódica y expresa la rentabilidad a interés

compuesto, mide el porcentaje de ganancia de la inversión, por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. En este texto, la tasa efectiva para periodo diferente de un año la denotaremos como i; para periodo anual, la tasa efectiva la denotaremos por ie. La tasa efectiva periódica i está dada por:

efectivaoperiódica Tasa m

ji



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La tasa efectiva anual está por la siguiente fórmula

Ejemplo 2.1.

Para cada uno de los casos determinemos las tasas efectivas. a) Para 24% convertible mensualmente (C.M). Es una tasa nominal j con frecuencia

anual m = 12 de capitalizar intereses con;

b) 7% semestral. Es una tasa efectiva i = 7% por semestre. c) 16% convertible trimestralmente (C.T). Es una tasa nominal j con frecuencia anual

m = 4 con tasas efectivas;

d) 12% semestral, convertible bimensualmente CB. Es una tasa nominal j de con

frecuencia anual m = 6.

Concluimos del ejemplo anterior lo siguiente: si una empresa invierte al 24% convertible mensualmente, entonces tiene una ganancia o rentabilidad anual 26.8241% equivalente una rentabilidad mensual del 2% acumulativo, es decir que la ganancia mensual se invierte a la misma tasa. De igual manera, si invierte al 16% convertible trimestralmente, obtiene una ganancia anual de 16.9859% y una rentabilidad equivalente trimestral de 4% acumulativo. En la tabla 2.1 presentamos las notaciones y las frecuencias más usuales de la tasa nominal anual en las operaciones financieras.

anualefectivaTasa 1m

m

j 1

ei

anualefectivaTasa26.8242% 112

12

0.24 1 1

m

m

j 1

ei

mensual efectivaperiódica Tasa 2% 12

0.24

m

ji

anualefectivaTasa16.9859% 14

4

0.16 1 1

m

m

j 1

ei

trimestral efectivaperiódica Tasa 4% 4

0.16

m

ji

anualtivaefecTasa12.6163% 16

6

0.12 1 1

m

m

j 1

ei

bimensual efectivaperiódica Tasa 2% 6

0.12

m

ji



19

Concepto Notación Frecuencia anual

Convertible anualmente c.a m = 1 Convertible semestralmente c.s m = 2

Convertible cuatrimestre c.c M = 6 Convertible trimestral c.t m = 4

Convertible bimensualmente c.b m = 6 Convertible mensualmente c.m m = 12

Convertible quincenalmente c.q m = 24 Convertible semanalmente c.se m = 52

Convertible diariamente c.d m = 365

Convertible continuamente c.cm m (infinito)

Ejercicios Propuestos:

Calcular la tasa efectiva para:

a. 10% c.t. b. 12% c.m. c. 14% c.s. d. 7% c.c. e. 22% c.d. f. 15% c.se.

2.3 Cálculo del valor presente y futuro

Valor Futuro:

Como se les ha planteado el valor futuro es la cantidad resultante al final de cierto periodo de tiempo, cierto número de periodos de capitalización, después de sucesivas adiciones de los intereses al capital o principal y lo denominaremos (S). El valor futuro representa la

capitalización del dinero en el tiempo y se obtiene por: S = P(1+ i)N

N = (n)(m)

I = j/m

Donde: m : frecuencia de capitalización j : tasa nominal N : número total de capitalizaciones Valor Presente:

El cálculo del valor presente o actual de una cantidad de dinero con vencimiento en el futuro, es su valor en cualquier fecha anterior a su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a las siguientes preguntas: Si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿Cuánto se tendrá que invertir hoy conociendo la tasa de interés y el plazo de inversión?, otra es por ejemplo, ¿Qué cantidad de dinero debe pagarse hoy? Para cancelar una deuda de forma anticipada. Derivamos el valor presente “P” de la fórmula general:

P = S/(1+i)N



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1. Se invierten U$ 1,500 dólares durante 18 meses a una tasa nominal del 13%, calcular el valor acumulado, si el interés se compone a) mensualmente b) diariamente. Resp. a) U$1,821.06 b) U$ 1,822.90

2. Se invierten U$ 2,000 durante 10 años a 10% c.s. durante los primeros tres años,

a 8% c.t. durante los 4 años siguientes y al 9% c.m. por los últimos tres años. Calcular el valor acumulado después de 10 años. Resp. U$4,814.94

3. La población de San Rafael del Sur era de 15,000 al 31 de diciembre del 2000.

Durante el periodo del 2000 al 2010 el pueblo creció a una tasa del 2% anual. Suponiendo que la tasa de crecimiento haya permanecido constante, estimar a) la población al 31 de diciembre del 2020, b) el aumento de la población en el año 2013. Resp. a) 22,289 hab, b) 380 hab.

4. Cuanto habría que depositar hoy en un fondo de inversión que paga el 10.4% c.m.,

para tener U$ 2,000 dentro de 3 años. Resp. U$ 1,465.93

5. Una persona puede comprar un lote ahora en U$ 30,000, o bien, por U$ 12,000 de

enganche, U$ 12,000 en dos años y U$ 12000 en 5 años. ¿Cuál opción es la mejor, si el dinero se puede invertir al a) 12% c.m., b) 8% c.m. durante los primeros 3 años y 6% c.t. durante los dos años siguientes? Resp. a) Financiado U$ 28,056.19,b) Efectivo, U$ 30,617.42

5.2 Cálculo de tasas equivalentes

En la vida diaria con frecuencia se establecen tiempos distintos de capitalización de los intereses. Dos tasas anuales con diferentes periodos de capitalización son equivalentes cuando generan el mismo interés compuesto para un capital al final de un año. Lo anterior obliga a hacer una distinción entre dos tasas distintas: una que se denomina nominal con capitalizaciones que corresponden a la unidad de tiempo (anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, etc) y otra que está ligada al periodo convenido de capitalización que se conoce como efectiva. Conversión de tasa nominal a tasa efectiva: ie = (1+j/m)m - 1

Conversión de tasa efectiva a tasa nominal: j = m((1+ie)1/m – 1) o i = ((1+ie)1/m – 1)

Conversión de tasa nominal a tasa nominal: j1 = m1((1+j2/m2)m2/m1 -1)

5.3 Cálculo del tiempo y la tasa a interés compuesto.

Cuando se conocen P, S, e i, se puede calcular el tiempo usando uno de los métodos siguientes:



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a) Se usan logaritmos para despejar N de la ecuación exponencial, si el interés compuesto se permite en la parte fraccionaria de un periodo de conversión, una solución logarítmica obtiene el valor correcto de N.

b) Se puede hacer una interpolación para aproximar el valor de N. Si se requiere interés simple para la parte fraccionaria de un periodo de conversión, la interpolación lineal obtiene el valor correcto de N.

𝑁 =ln 𝑆/𝑃

ln(1 + 𝑖)

Ejercicios propuestos

1. ¿Cuánto tardaran U$ 2,000 en acumular U$ 800 de interés al 10% c.t?

2. Si el costo de la vida aumenta 8% por año, ¿Cuánto tiempo tardara el poder adquisitivo de U$ 1 en caer a U$ 60 centavos?. Resp. 6 años, 7 meses y 19 días.

Calculo de la tasa de interés

Cuando P, S, y n han sido determinados, se puede calcular la tasa de interés “i”, con la siguiente ecuación:

𝑖 = (𝑆

𝑃)

1/𝑁

− 1

Ejercicios propuestos

1. Calcular la tasa nominal c.t., para que U$ 2,000 se incrementen a U$ 3,000 en 3 años y nueve meses. Resp. 10.96% c.t.

5.4 Ecuaciones de Valor

Ya se estudió ecuaciones de valor a interés simple, la mayor parte de los principios y procedimientos se aplican a interés compuesto. Dos propiedades importantes de la equivalencia del interés compuesto son:

1. A determinada tasa de interés compuesto, si “X” es equivalente a “Y” y “Y” es equivalente a “Z”, entonces “X” es equivalente a “Z”.

2. Si dos conjuntos de obligaciones son equivalentes en una fecha focal (es decir, la suma de los valores fechados equivalentes de los miembros de un conjunto es igual a la suma correspondiente del otro conjunto), entonces son equivalentes en cualquier fecha focal.

2.2 Tiempo equivalente en ecuaciones de valor

Un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento se pueden cancelar mediante un solo pago igual a la suma de los valores del conjunto de obligaciones si se hace en una fecha determinada llamada tiempo equivalente.



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Ejemplo: Una empresa debe C$ 120,000 con vencimiento en 3 meses, C$ 150,000 con vencimiento a 10 meses y C$ 200,000 con vencimiento en 12 meses, si se hace un pago único, determine el tiempo equivalente a un rendimiento del 18% c.m.

Por conveniencia, se fija el mes 12 como fecha focal, se suman las obligaciones para determinar el valor del pago único, obteniendo como resultado C$ 470,000, también se define que el tiempo entre el pago de C$ 470,000 y la fecha focal es N, se plantea la ecuación de valor con i = 0.18/12 =0.015 470,000(1+0.015)N = 120,000(1+0.015)9 + 150,000(1+0.015)2 + 200,000 470,000(1.015)N = 137,206.80 + 154,533.75 + 200,000 470,000(1.015)N = 491,740.55

(1.015)𝑁 =491,740.55

470,000

(1.015)N = 1.046256489 N log 1.015 = log 1.046256489

𝑁 =log 1.046256489

log1.015

N = 3.037122833 N= 3 meses y 1 día La fecha para realizar el pago único es 9 meses y 29 días. Ejercicios:

a) Una empresa debe C$ 90,000 con vencimiento en 3 meses, C$ 50,000 con vencimiento a 8 meses y C$ 100,000 con vencimiento en 12 meses, si se hace un pago único, determine el tiempo equivalente a un rendimiento del 18% c.m.

Ejercicios propuestos para el auto-estudio

Monto compuesto

1. ¿Cuál el valor final de un documento de valor nominal $3,000 a un plazo de 2 años y 7

meses comerciales si el interés es del 18% CT? Respuesta: $4,727.77 2. Calcule el monto de $2,000 desde el 10 de mayo al 18 de diciembre del mismo año al

14.965% CD. Respuesta: $2,190.54 3. ¿Cuál es el valor final de un certificado de valor nominal de $15,500 a un plazo de 8

meses y 12 días si la tasa de interés es de 6.8% CT? Respuesta. $16,249.14 4. Determine qué plan le conviene a una persona para ahorrar cierta cantidad de dinero a

los 5 meses, sabiendo que el dinero gana un interés del 22% CT. Respuesta: plan a) a. Un solo depósito hoy de $8,000 b. Un depósito hoy de $3,500 y otro depósito de $4,500 a los 4 meses c. Tres depósitos en los meses 1, 2 y 3 de $2,800 cada uno

5. Una cuenta de ahorros se abre con $500.00, al tercer mes se depositan $150, a los dos y

seis meses siguientes se retiran $85 y $100 respectivamente. Si el interés que gana es



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del 6.30% CM determine la cantidad en la libreta de ahorros un año después de iniciada la cuenta. Respuesta. $499.91

6. ¿Cuánto gana por concepto de intereses un inversionista que deposita $320,000 en una

cuenta que reditúa el 18.4% CM, en un año y medio de plazo? Respuesta: $100,828.92 7. Una apersona ahorra en el mes cero $1,500 a 4% CB, en el mes 15 ahorra $1,600 a 5%

CT. Halle el monto en el mes 24. Respuesta: $3,285.25 8. La señora Ferrer invierte hoy $25,000, ¿cuánto acumula en un semestre, si su inversión

reditúa el 2.8% mensual capitalizable por mes? ¿Cuánto dinero gana por intereses? Recuerde que esta tasa significa que j/m = j/12 = 0.028 de donde j = 0.336 es la tasa nominal anual CM. Respuesta: a) $29,505.21 b) $4,505.21

Valor actual o presente compuesto

9. ¿Qué capital debe invertir un año después para tener $12,000 en una cuenta que

produce el 24.8% de interés CM? Respuesta:$9,388.02 10. ¿Qué cantidad de dinero recibe hoy una empresa en calidad de préstamo si ha firmado

un documento por $56,500 que incluye capital e intereses a 28% CD y tiene un vencimiento en 20 meses? Respuesta: $35,436.87

11. Determine el valor actual de $855 que vencen dentro de 300 días con las siguientes

tasas de interés: a) 12% CT, b) 14% CB, c) 14% CS, d) 15% CD Respuestas: a) $774.77 b) $761.87 c) $763.82 d) $754.55

12. ¿Qué depósito debe efectuarse hoy en un fondo que paga el 12% CB para tener

disponibles $7,000 al cabo de 3 años? Respuesta: $4,901.12 13. ¿Qué valor tiene un depósito el día de hoy en una cuenta para garantizar dos retiros de

$2,000 y $3,500 dentro de 7 meses y 1.5 años respectivamente con el interés de 9.5% CD? Respuestas: $4,927.41

14. Determine el valor total de dos depósitos el día 30 de noviembre, si el primero es de

$1,400 se efectuó el día 15 de febrero y el segundo por $1,800 se realizó el 26 de junio, el primero con el 12% CD y el segundo con el 13% CS. Respuesta: $3,442.68

15. Determine que le conviene más a un empleado si la patronal le ofrece tres opciones

para liquidar sus prestaciones por servicio, al 15% CS. (sugerencia: halle el valor actual de cada opción y seleccione la mayor) Respuesta: opción c) a. Recibir hoy $3,000 y $3,800 a los 5 meses b. Recibir hoy un solo pago de $6,500 c. Recibir hoy $1,000, $2,000 a los 2 meses y $4,000 a los 6 meses

16. Un documento por $50,000 se vence dentro de 15 meses, si se descuenta a una tasa: (a)

del 18% de forma continua (b) del 18.10 % CT (c) del 18.20% CS. Determine el menor valor al día de hoy. (indicar el inciso) Respuesta. Inciso (a) $39,925.81.



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17. Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% efectivo trimestral al final de 4 años representará $500,000. Determine la cantidad que se deberá pagar si la deuda se cancela al cabo de 18 meses. Respuesta. $221,142.71

18. Una empresa compra un equipo de computación con $3,500 de cuota inicial y un pago

por $10,000 a los dos meses de la compra. ¿Cuál es el precio de contado si se tienen cargos del 33% CM? Respuesta: $12,971.88

19. ¿Cuál es el precio de contado de 40 impresoras que se pagan con un anticipo del 30% y

dos abonos o cuotas de $7,000 y $9,000 respectivamente a 2 y 3 meses de la compra? Suponga intereses del 29% anual con capitalización quincenal. Respuesta: $21,493.50

Combinaciones

20. Una corporación financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de $35,000 con vencimiento en 15 meses y un interés del 24% CT. A los 10 meses solicita que le sea descontada por el Banco de América del Sur que cobra el 2.4% mensual, cuánto recibirá la corporación por la letra? Respuesta. $41,217.35

21. Una empresa debe pagar hoy una deuda cuyo monto es de $3,870 y dentro de 9 meses

tiene que pagar otra por $2,650. Necesita saber cuánto debe pagar dentro de 5 meses si le cargan intereses de 14.5% CD. Respuesta: 6,635.96

22. Si una persona debió pagar hace 1.5 años $580 y tiene que pagar $720 dentro de 8

meses. Si le cobran intereses corrientes del 18% CT y moratorios del 9% anual IC por la cuenta no pagada y el 15% anual por la próxima a vencer ¿Qué pago único debe hacer el día de hoy? Respuesta: $1,491.29

23. En una operación de exportación una empresa recibe un pagaré por $75,000 a 180 días

de plazo y que devenga un interés mensual de 1%. A fin de contar con recursos líquidos, la empresa descuenta el documento en su banco y éste lo acepta cargando un interés de 2.50% trimestral ¿Cuál es el importe neto que recibe la empresa, si el descuenta se efectúa 143 días antes del vencimiento? Respuesta: $76,451.56

24. ¿Cuál de las siguientes alternativas es más redituable para un inversionista? a) Invertir en una cuenta de ahorros que paga el 32.5% CM; b) Invertir en una cuenta bancaria que paga el 33.5% capitalizable por cuatrimestres, o c) Invertir en una cuenta de valores al 30.8% capitalizable por semanas.

Respuesta: con el 32.5 anual compuesto por meses 25. Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de

contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio de contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses ¿qué alternativa debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés mensual de: a) 2% b) 3% c) 4% Respuestas: a) de contado b) de contado c) a plazo

26. Un inversionista local tiene 3 opciones para invertir su dinero a) al 28.5% CM b) al 32%

simple c) al 30% CS ¿Qué opción le sugiere usted? Respuesta. 28.5% CM?



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Tasas de interés 27. A qué tasa nominal CT el monto de $3,000 será de $9,000 en 3 años? Respuesta. j =

38.349% CT. 28. a) A qué tasa efectiva anual se duplica un capital en 2 años? b) A qué tasa nominal CS

se duplica un capital en 2 años? c) A qué tasa nominal CM se duplica un capital en 2 años? Respuesta a) i = 41.42% b) j = 37.84% CS c) j = 35.163% CM

29. Si un certificado de depósito a término en el mercado primario de la Bolsa de Valores es

emitido a $93,677 para ser redimido a $100,000 en 90 días, calcular la tasa de rentabilidad trimestral y la tasa de rentabilidad mensual; a) sin tomar en cuenta la retención en la fuente y b) tomando en cuenta la retención del 3.7%. Respuesta. a) 6.7497% trimestral, 2.2011% mensual b) 6.4838% trimestral 2.1162% mensual.

30. Una persona invierte $4,500 y 15 meses después le devuelven $7,010.85 ¿Qué tasa de

interés efectivo mensual y anual gana sobre la inversión? Respuestas. 3% mensual y 42,5760% anual.

31. Un televisor cuyo precio de contado es de $4,500, al crédito se liquida con $5,200 a los

tres meses. ¿Cuál es la tasa de interés anual capitalizable por quincenas? Respuesta: 58.48%

32. El 2 de junio el señor González compra mercancía por $32,500 y firma un pagaré con

valor nominal de $37,250 y vencimiento al 21 de agosto siguiente. ¿Cuál es la tasa de interés anual CD? Respuesta: 61.4377%

33. ¿Cuál es la tasa nominal anual CB, si un capital de $10,500 genera intereses del 30%

global total en 8 meses? Respuesta: 40.674% 34. ¿Con qué tasa anual compuesta por semanas se triplica un capital en 3 años?

Respuesta: 0.3675%

Plazo o tiempo

35. El 18 de marzo se firma un pagaré de valor nominal de $10,000, con el 15% CM cuyo

monto a pagar es de $11,182.92 ¿En qué fecha vence? 36. En qué tiempo un capital de $48,500 alcanza un valor de $60,000 si es invertido al 8.3%

CM? b) En qué tiempo se duplica? Respuestas. a) 2 años, 6 meses y 27 días b) 8 años, 4 meses, 17 días.

37. ¿En cuánto tiempo se liquidará un crédito de $175,000 con intereses del 30% compuesto

por quincenas y un pago final de $230,000? Respuesta: 22 quincenas. 38. Se depositan $500.00 el día 19 de septiembre al 2.2% CM ¿En qué fecha logra ganar

$8.00 de interés? Respuesta: 6 de junio siguiente. 39. Determinar el día que se cancela con $21,000 un crédito de $18,750, concedido el 5 de

junio con cargos del 36.72% CD. Respuesta: 24 de septiembre.



26

40. Se compra un refrigerador, que de contado cuesta $7,850 el cual se paga con un anticipo del 35% y un pago adicional de $5,650.¿Cuánto tiempo después de la compra se hace este pago, si se pagan intereses del 28.6% capitalizable por semanas? Respuesta: 19 semanas

41. La totalidad de intereses que se paga sobre una deuda de $12,000 contraída el 20 de

junio es de $1,200, si el interés cobrado es del 26% CT ¿Cuál es el plazo y la fecha de vencimiento de la deuda? Respuesta: 136 días, 3 de noviembre.

42. Encuentre la fecha en la que vence un documento con valor nominal de $4,550. Este se

firmó por un préstamo de $4,125 el 1 de junio con intereses del 21.6% CD? Respuesta: 11 de noviembre

43. ¿Cuál es la duración de una inversión de $80,000 al 3% CM para que alcance un valor

de $250,000? Respuesta: 38 años comerciales con 10 días. 44. Calcule el tiempo que se demora una inversión de $25,000 a plazo fijo para alcanzar un

monto de $30,000 al 2.5% efectivo. Respuesta. 7 años, 4 meses, 18 días.

Tasas equivalentes

45. Si un inversionista trabaja con el 2% mensual acumulativo en sus negocios, calcule las

tasas equivalentes: a) nominal CT b) nominal semestral CC c) nominal CB . Respuestas. a) 24.4832% b) 11.8816% c) 24.24%

46. Calcule la tasa nominal CT equivalente a) al 18% CM b) al 20% CS. Respuestas. a)

18.27135% b) 19.5235% 47. a) Cuál es la tasa equivalente convertible continuamente a 24% efectivo? b) Cuál es la

tasa efectiva equivalente 20% CS? Respuesta. a) 21.511137% b) 21% 48. a) Determine una tasa de interés CM que rinda lo mismo que 20% convertible

continuamente. b) Calcule la tasa nominal convertible continuamente, que genere los mismos intereses que 18% CT Respuesta. a) 20.167596% b) 17.606754%

49. Considere una tasa nominal de 22.34% CM y halle el conjunto de tasas equivalentes

siguientes: a) Nominal CT, b) Nominal CD, c) Nominal CC d) Nominal trimestral CC e) Nominal semestral CM. Respuestas: a) 22.7585% b) 22.1413% c) 22.1346% d) 5.5336% e) 11.17%

50. A partir de 3.2% EM calcule el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a)Nominal CT,

b) Efectiva ES, c) Nominal trimestral CT, d) Efectiva ED e) Nominal CB. Respuestas: a) 39.6419% b) 20.8031% c) 9.4496% d) 0.103610% e) 39.0144%

51. Si en un negocio su propietario gana 1.2% EM acumulativo ¿qué porcentaje gana en 2

años? ¿cuánto en 5 años? Respuestas: a) 33.1473% b) 104.5647% 52. Si el desarrollo o crecimiento económico de un país fue de 28.7377% en 6 años ¿de

cuánto fue el crecimiento promedio anual? Respuesta: 4.3%



27

53. ¿Es lo mismo, en términos de la tasa de interés pagar una deuda hoy con el 4.55% nominal trimestral CC, que pagarla dentro de 2 años con el 9.1694% nominal semestral CM? Respuesta: sí (sugerencias: calcule el monto a los 2 años o la tasa efectiva anual para cada caso)

54. Una entidad financiera local paga en depósitos a término fijo de un año una tasa de

interés en dólares de 6.5% CD ¿Cuál es la tasa que paga efectivamente de forma anual? Respuesta. 6.7153%

Ecuaciones de valor con interés compuesto

55. Un préstamo personal por $1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos

pagos uno de $600 el día de hoy y otro por la cantidad que usted determine dentro de 3 meses si el interés es del 10% semestral. Respuesta. $649.43

56. El contador Pérez compra un televisor con video casetera integrada, con un enganche

de 150 dólares que representa el 20% del precio del aparato, y dos abonos iguales para cubrir el 80% restante ¿De cuánto es cada uno, si se tienen cargos del 32% CM y los pagos se hacen a 2 y 3 meses después de la compra? Respuesta: $ 320.37

57. Hoy se cumplen dos meses que la empresa Otelo SA consiguió un préstamo de $7,500 a 7 meses de plazo con el Banco Omega. Tres meses antes del primero le concedieron otro por $12,000 a un plazo de 6 meses. El día de hoy la empresa hace un pago de $10,000 y acuerda con el Banco liquidar el resto en 2 cuota iguales dentro de 2 y 5 meses respectivamente. Si le cargan una tasa de interés de 21.84% efectivo anual, halle el valor de cada cuota. Respuesta: $5708.20

58. Una empresa local tiene 3 deudas así: $5,000 con vencimiento en 5 meses e intereses

del 20% CT. $10,000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% CS $20,000 con vencimiento en 21 meses e intereses del 30% efectivo. Estas deudas se van a cancelar mediante 2 pagos iguales uno el día de hoy y otro al final de 2 años. Suponiendo un rendimiento de 24% CM. Calcule el valor de los pagos. Respuesta. Cada pago $22,022.88.

59. El Señor Ramiro Pascual, 3 meses antes de iniciar la construcción de su casa apertura

una cuenta de débito para este fin y deposita $25,000 y otros $45,000 al iniciar las obras. Determine el valor del depósito 2 meses después si el presupuesto total es de $120,000 distribuidos de la forma siguiente: 30% al comenzar la construcción, 35% a los 2 meses, 20% 3 meses después y el resto al terminar, es decir 8 meses después del inicio y la cuenta devenga el 15% CM. Respuesta: $46,000.74

60. La administración de un proyecto tiene 4 adeudos de $7,000, $15,000, $12,000, y

$13,000 que vencen respectivamente el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre del mismo año y todos devengan intereses de 32.85% CD. Entre deudor y acreedor se acuerda que estos adeudos se liquiden en 3 pagos iguales el quinceavo día de los meses de abril, junio y agosto en sustitución de los primeros ¿de cuánto es cada uno? Respuesta: $15,340.62

61. La Librería Bolívar suscribió 3 operaciones de crédito con la Editorial Nuevo Mundo que

vencen el mismo año. La primera se suscribió el 15 de marzo por $75,000 a pagarse el día 30 de noviembre; la segunda el 8 de mayo mediante un pagaré con valor nominal de



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$50,500 y vencimiento el 10 de diciembre y la última el 1 de junio con un documento con valor nominal de $60,000 y vencimiento el 25 de agosto. Acuerdan reemplazar el compromiso con 2 pagos, uno el 15 de agosto y el otro el 15 de octubre por un valor que es doble del primero. a) De cuánto es cada pago si devengan intereses de 27.375% CD? b) ¿Con cuánto se liquidan las deudas con un pago único el 20 de diciembre? Respuestas: a) $60,112.36 y $120,224.72 b) $192,614.84

62. El día 20 de marzo el Señor Dionisio Bello compra un automóvil usado y paga un

anticipo del 40% y el saldo se liquida en dos pagos uno de $3,000 el día 19 de mayo y el otro de $2,500 el día 18 de junio del mismo año; a una tasa de interés del 30% CM ¿cuánto se pagaría de contado por el auto, si además se hace un descuento del 6.8% adicional? Respuesta $8,041.51

63. En el problema anterior ¿En qué fecha después de la compra, el Señor Bello haría un

pago de $6,000 en sustitución de los dos de $3,000 y $2,500? Respuesta: 15 de septiembre

64. Determine cuánto debe invertir en una cuenta el 10 de marzo y el 7 de mayo la Empresa

de Dulces el Gallito, para disponer de $12,000 el 18 de agosto y de $20,000 el 15 de noviembre del mismo año, sabiendo que la cuenta devenga un interés de 13.87% CD, suponiendo que: a) Los dos depósitos son iguales b) El segundo depósito es 40% mayor que el primero. Respuestas: a) $14,885.54 cada depósito b) el primero $12,427.76, el segundo $17,398.86

65. En el problema anterior, determine el valor de un depósito único efectuado el día 8 de

enero del mismo año, si es bisiesto. Respuesta: $28,758.45



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Ejercicio extra clase I. Explique los siguientes términos

a) Interés compuesto b) Periodo de capitalización c) Tasa nominal d) Tasa efectiva e) Tasas equivalentes f) Diferencia entre interés simple e interés compuesto

II. Determine lo que se pide:

1) El monto compuesto de C$ 100,000 al 5% por: a. 10 años C$ 162,889.46 b. 20 años C$ 265,329.77 c. 30 años C$ 432,194.24

2) El monto compuesto y el interés de:

a. C$ 7,500 por 6 años al 7.5% c.s. C$ 11,665.91, C$ 4,165.91 b. C$ 1,500 por 5 años al 6% c.m. C$ 2,023.28, C$ 523.28 c. C$ 1,800 por 8 años y tres meses al 10% c.t. C$ 4,065.93, C$ 2,265.93

3) El valor presente de:

a. C$ 5,000 pagaderos en 6 años al 6.8% c.t. C$ 3,336.32 b. U$ 4,000 pagaderos en 5 años y 6 meses al 6% c.s. C$ 2,889.69 c. U$ 12,000 pagaderos en 4 años y 9 meses al 8% ct. C$ 8,237.15

4) Un ingeniero coloca en su cuenta de ahorro U$ 2,500 dólares, si esta paga el 7.5%

cs, cuanto retirara de la cuenta después de 8 años. R = 4,505.57

5) Acumular C$ 1,500 por 7.5 años al 5.2% ct. R = 2,209.91

6) Un documento fechado el 01 de marzo del 2007, estipula el pago de U$ 2,500 con

intereses al 5% c.s. 4 años más tarde, encuentre el importe de la venta del documento al 01 de marzo del 2010 suponiendo un rendimiento del 6% c.t. R = U$ 2,869.9

7) Hallar el valor final y el interés de un documento con valor de C$ 50,000 a un

plazo de 3 años y 6 meses si el interés es del 10% c.t. R = C$ 70,648.69, C$ 20,648.69

8) Que deposito debe ser hecho el día de hoy en un fondo que paga el 9% c.m., para

tener disponibles C$ 60,000 al término de 2 años. R = C$ 50,149.88

9) Hallar el tiempo equivalente para el pago de dos deudas de U$ 250 dólares cada

una con vencimiento en 6 y 12 meses respectivamente, a una tasa del 6% c.m. R = 9 meses.



30

10) Una deuda de U$ 500 a pagar en 2 años y otra de U$ 750 a pagar en 6 años, se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4 años. Determine el valor del pago suponiendo un rendimiento del 4% c.t. R = U$ 1,234.04

11) Una persona debe U$ 1,000 a tres años, si hace el día de hoy un pago de U$ 400,

cuál será el importe del pago que tendría que hacer en 2 años para liquidar su deuda mediante un rendimiento del 5% c.s. R = U$ 510.28

12) Un empresario adquiere maquinaria industrial para pagar así U$ 45,000 de inicio,

U$ 40,000 a 6 meses, U$ 50,500 a 12 meses y U$ 42,850 a 18 meses, si la empresa distribuidora no le hubiese aprobado este plan de compra financiada, ¿Cuánto hubiese desembolsado el ingeniero para adquirir de contado los equipos?, considere una tasa del 10% cs. C$ 165,915.67

13) Una persona debe C$ 8,000 a 3 meses y C$ 10,000 a 10 meses; si ofrece pagar

C$ 5,000 hoy, en qué fecha deberá pagar C$ 13,000 para cancelar la deuda? Considere el 21% de interés cm y el día de hoy como fecha focal. R =

14) Sustituir dos deudas de U$ 400 y U$ 800 con vencimiento en 3 y 5 años

respectivamente, por dos pagos iguales con vencimiento en 2 y 4 años, suponiendo un rendimiento de 5% cs. R = U$ 562.71

15) Una empresa distribuidora de equipos y accesorios de informática se comprometió

a pagar cuotas de C$ 375,000 dentro de 5 y 10 meses a una tasa del 10.8% efectivo. Un mes antes de vencerse el primer pago, negocio con el proveedor un nuevo plazo de 9 meses para cancelar toda la deuda con la misma tasa, ¿Qué cantidad pagara entonces? R = C$ 1,361,917.37

16) Un terreno es vendido por U$ 500 en efectivo y U$ 250 anuales por los próximos 4

años, encuentre el precio de contado del terreno a una tasa del 6% efectivo anual. R = 1,366.27

17) Encuentre una tasa nominal ct., equivalente al 12% cm. R = 12.12%

18) Una compañía invirtió C$ 45,000 en un negocio y 18 meses después le regresaron

C$ 54,900, que tasa de interés efectiva anual gano sobre la inversión. R = 14.18%

19) Determine una tasa de interés capitalizable cada bimestre que rinda lo mismo que

25% ct. R = 24.75%

20) Una micro financiera pago por un depósito a plazo de un año una tasa de interés

del 8.5% cs., ¿Qué tasa efectiva anual pago? R = 8.68%



31

III Unidad: Anualidades

3.1. Definición y Clasificación Definición:

El nombre de Anualidad se da en general a cualquier secuencia de pagos de igual valor

hechos a iguales intervalos de tiempo, sin importar si los pagos son mensuales,

trimestrales o semestrales.

A estos pagos periódicos que representamos por “R”, también se les denomina Renta, y

la suma de todos los pagos hechos en un año se conoce como renta anual. Estos valores

fijos que se pagan o reciben en las transacciones comerciales o financieras, pueden

equivaler a depósitos, retiros, amortizaciones o abonos a préstamo, pagos de prima de

seguro recibo o pagos de salario nominales fijos y pagos por alquiler de viviendas.

Por ejemplo, una renta anual de C$ 16,000 que se paga trimestralmente significa el pago

de C$ 4,000.00 cada 3 meses.

El término “anualidad” o “renta” pueden corresponder a un día, una semana, una

quincena, un mes, un trimestre, un semestre, un año, etc., en general a cualquier periodo

que se escoja en la actividad comercial o financiera, aunque por el nombre parezca

corresponder solo a un año.

Periodo de la renta o intervalo de pago: es el pago transcurrido entre cada pago

sucesivo de la anualidad. El número total de periódicos los designaremos por N.

Plaza o término de la anualidad: es el tiempo contado desde el principio primer intervalo

de pago hasta el final del último intervalo de pago.

Tasa de interés de una anualidad: es la tasa de interés compuesto y ocasionalmente

continuo que se paga o recibe en cada periodo. Esta tasa de interés es equivalente

efectiva i por periodos de capitalización.

Periodo de capitalización de una anualidad: es el intervalo de tiempo en el cual los

intereses acumulados se convierten en capital.

Clasificación de las anualidades:

Según la forma en que deben realizarse los flujos de dinero, las anualidades pueden

clasificarse de la siguiente manera:

Ciertas a) Tiempo o plazo Contingentes



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Simples b) Intereses Generales Vencidas c) Pagos Anticipadas Inmediatas d) Iniciación

Diferidas

Por tanto, estudiaremos en este curso:

Anualidades ordinarias o vencidas

Anualidades anticipadas

Anualidades diferidas

Anualidades perpetuas

Anualidades ordinarias o vencidas: Son una serie de flujos periódicos de dinero

(pagos, ahorros o retiros) que se hacen al final de cada periódico de interés. Es decir, el

primer pago (ahorro o retiro) periódico se efectúa al final del primer intervalo de pago

(ocurre en una fecha ubicada a un periódico del capital) y el último pago (ahorro o retiro)

coincide en la fecha que toca cancelar el monto.

Anualidades inmediatas: son aquellas en que el primer pago (ahorro o retiro) se efectúa

en el primer periodo. Este pago puede ser anticipado o vencido.

Anualidades ciertas: aquellas en las que se conoce cuando empiezan y cuando

terminan (se conoce el número de periodos n), es decir, comienzan y terminan en fechas

fijas. Por ejemplo, los pagos por amortización de una deuda.

Anualidades anticipadas: son una serie de flujos de dinero periódicos (pagos, ahorros o

retiros) que se hacen a inicio de cada periodo de capitalización (a inicio del intervalo de

pago) y el último se produce un período antes del plazo de la anualidad.

En este caso, el primer pago (ahorro o retiro) periódico de dinero es simultaneo al capital.

El último pago (ahorro o retiro) ocurre en un periódico antes que venza el monto. Por

ejemplo, el pago por alquiler de una casa y el pago de una prima de póliza de seguro.

Anualidades diferidas: son aquellas en la que el primer pago se hace después del

transcurrido cierto número de periódicos (periodos de gracia).

Anualidades perpetuas: son aquellas en las que se saben cuándo empiezan, pero que

teóricamente no tienen fin.



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Anualidades contingente: son aquellas en que su iniciación o su terminación depende

de un evento contingente como la muerte. Es decir, aquellas en la que el pago depende

de algún suceso cuya realización no puede fijarse. Por ejemplo, las pensiones de

jubilación.

3.2. Anualidades ciertas ordinarias vencidas Cálculo del valor presente y de la renta

Una anualidad tiene dos valores: el valor final y el valor presente, en el primer caso todos

los casos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos

son trasladado al principios de la anualidad.

El valor presente “P” de una anualidad es la suma de los valores presentes de los

distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo.

𝑷 = 𝑹 (𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵

𝒊)

Donde “P” es el valor presente de la anualidad. “R” es la renta o anualidad. “i” es la tasa

de interés y “N” es el periodo de tiempo. Despejando obtenemos la fórmula para el cálculo

de la renta o anualidad.

𝑹 =𝑷

(𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵

𝒊)


1. Hallar el valor presente de una anualidad, consistente en el pago de C$ 1,000 trimestrales durante 1 año al 9% convertible trimestralmente. Resp. C$ 3,784.74

2. Una empresa contrae una deuda de C$ 500,000 para ser cancelada mediante pagos semestrales durante 2.5 años. Calcular el valor del pago semestral (el valor de la cuota de amortización). Suponga interés del 28% c.s. Resp. C$145,641.77

Calculo del valor futuro y de la renta

El monto “S” de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos

S = P (1 + i )N, cada uno acumulado hasta el término del plazo.

𝑺 = 𝑹((𝟏 + 𝒊)𝑵 − 𝟏

𝒊)

𝑹 =𝑺

((𝟏 + 𝒊)𝑵 − 𝟏

𝒊)



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1. En los últimos 10 años, una persona ha depositado C$ 500 al final de cada año en una cuenta de ahorro, la cual paga 3.5 % efectivo. Cuanto había en la cuenta inmediatamente después de haber hecho el décimo deposito? Resp. C$5, 865.70

2. Cual tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorro que paga el 3.5 % c.s., durante 10 años para que el monto sea de C$ 25,000, precisamente después del último deposito? Resp. C$ 1,054.78

3.3. Anualidades anticipadas

Una anualidad anticipada es la que tiene un pago periódico que vence al principio del intervalo de pago. Los pagos se hacen al comienzo del periodo, tal como el pago de la renta de una casa. En la anualidad ordinaria, el intervalo de pago y el periodo del interés coinciden, mientras la anualidad ordinaria tiene pago al final del plazo, la anticipada tiene pago al principio del plazo. Cálculo del valor presente y de la renta

La ecuación de valor presente encuentra una serie de flujos constantes “R”, el primero a

partir del día de hoy y el último un periodo antes del vencimiento.

𝑷 = 𝑹 + 𝑹 (𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝟏

𝒊)

𝑹 =𝑷

𝟏 + (𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝟏

𝒊)


1. En lugar de estar pagando U$ 250 de renta al principio de cada mes durante los

próximos 5 años, un ejecutivo decide comprar su casa. Cuál es el valor en efectivo de los 5 años de renta al 7.5% c.m. Resp. U$ 12,554.30

2. Un auto usado se vende en U$ 9,550, el comprador desea pagarlo en 18 abonos

mensuales, el primero pagadero la fecha de la compra. Si se cobra el 18% c.m., calcular la magnitud del pago mensual. Resp. U$ 600.34

Cálculo del valor futuro y de la renta

El monto o valor futuro de una anualidad vencida, tiene flujos “R” pagaderos durante N + 1

periodos, en cambio, en la anualidad anticipada, se encuentra un flujo o pago “R” demás

que vamos a restarlo.



35

𝑺 = 𝑹((𝟏 + 𝒊)𝑵+𝟏 − 𝟏

𝒊)

𝑹 =𝑺

((𝟏 + 𝒊)𝑵+𝟏 − 𝟏

𝒊)


1. Una empresa alquila una oficina en una zona residencial pagando U$1,500 al comienzo de cada mes, mediante un contrato con vigencia de 3 años. ¿Qué monto recibirá el propietario del inmueble si el valor del arriendo se deposita en una cuenta de ahorro que gana el 9% c.m.? Resp. U$ 63,692.04

2. Una persona de cuarenta años desea acumular en una cuenta registrada de

ahorros para su retiro a los 65 años, la suma de U$ 15,000, ¿Qué cantidad debe depositar al inicio de cada mes si la tasa de interés es del 9% c.m.? Resp. U$ 13.27

3.4. Anualidades diferidas vencidas

Una anualidad diferida es aquella cuyo primer pago se hace algún tiempo después del término del primer periodo de interés. A veces los bancos y entidades financieras ofrecen préstamos con periodo de gracia, es decir, que la serie de pagos comienza después de cierto tiempo. Cálculo del valor presente y de la renta

La característica de este tipo de anualidades, es que el último flujo “R” coincide con el vencimiento de la anualidad. Además, el número de periodos de capitalizaciones donde no se produjo ningún pago o flujo “R, representa el tiempo de gracia “r”. De modo que, la anualidad esta vencida entre los periodos r y N.

𝑷 = 𝑹 (𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝒓

𝒊)(𝟏 + 𝒊)−𝒓

𝑹 =𝑷

(𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝒓

𝒊)(𝟏 + 𝒊)−𝒓


1. Un industrial que va a iniciar operaciones con su nueva fábrica, solicito un

financiamiento de U$ 24,800 a cuatro años de plazo incluido un año de gracia, si la

amortización es mensual y el interés es del 21% cm. ¿Cuál es el valor de la cuota

para cancelar dicho préstamo? Resp. U$ 1,150.59



36

2. El 5 de marzo del 2014 una empresa agropecuaria adquirió implementos agrícolas

a través del financiamiento bancario, con el compromiso de efectuar pagos

mensuales de U$ 3,500 durante 30 meses, comenzando el 5 de julio del mismo

año, ¿Qué valor se pagaría de contado, si el interés cobrado es del 18% c.m.?

Resp. U$ 80,383.64

3. Calcular el valor descontado de una anualidad diferida con 3 años y seis meses de

gracia, que paga U$ 500 semestrales durante 7 años, si el interés es del 17% c.s. Resp. U$ 2,262.56

4. Calcular el valor el 01 de julio del 2009, de pagos anuales de U$ 500 durante 6

años, si el primer pago es el 01 de enero del 2013 y el interés es 11.25% c.s. Resp. U$ 1,540.85

Cálculo del valor futuro y de la renta

𝑺 = 𝑹 ((𝟏 + 𝒊)𝑵−𝒓 − 𝟏

𝒊)

𝑹 =𝑺

((𝟏 + 𝒊)𝑵−𝒓 − 𝟏

𝒊)


1. Al termino de 18 meses, una empresa deberá cancelar una deuda por un valor de

C$ 260,000 mediante pagos uniformes trimestrales al 12% c.t., ¿Qué valor debe enterar, si el primero lo efectúa a los 6 meses del préstamo? Resp. C$ 48,972.19

2. Calcular el valor acumulado de depósitos trimestrales de U$ 300 cada uno,

inmediatamente después de dos años si el primero se hizo a los seis meses de aperturar la cuenta y el dinero rinde 10% c.t. Resp. U$ 2,264.23

3.5. Anualidades perpetuas

Una perpetuidad es una anualidad cuyos pagos se inician en una fecha fija y continúan eternamente. Este tipo de anualidad se presenta cuando se coloca un capital y se deja intacto para retirar unicamente los intereses. Entonces mientras se mantenga el capital y la tasa de interés, se tiene una renta a perpetuidad. No tiene caso hablar del valor acumulado de una perpetuidad, porque el término de una perpetuidad no tiene fin, sin embargo, el valor presente o descontado es el único significado posible por estar bien definido, y es el valor fechado equivalente del conjunto de pagos al principio del término de la perpetuidad.



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Sea “P” el valor descontado de una perpetuidad simple ordinaria, que es una serie infinita de pagos hechos al terminar los periodos de interés y sea “i” la tasa de interés por periodo y “R” el pago periódico de la perpetuidad, entonces:

𝑃 =𝑅

𝑖


1. ¿Cuánto dinero se necesita para establecer el fondo de una beca que pague U$ 1,500 anualmente, si el capital gana un interés del 7% efectivo anual y el primer pago se hará a) al final del primer año, b) de inmediato. Resp. a) U$ 21,428.57 b) U$ 22,928.57

2. Se espera que ciertas acciones paguen un dividendo de U$ 4 al final de cada

trimestre durante un periodo indefinido en el futuro. Si un inversionista desea obtener un rendimiento anual efectivo de 12%, ¿Cuánto debe pagar por las acciones? Resp. 139.19

3. Un filántropo ha creado una institución de estudios de arte y desea asegurar el

funcionamiento de este instituto a perpetuidad, ¿Cuál debe ser el aporte inicial si para su funcionamiento se requieren C$ 65,000 al final de cada mes al 2.05% efectivo mensual? Resp. C$ 3,170,731.71

Ejercicios propuestos para el auto estudio

Anualidades vencidas

1. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $100,000 al final de cada año por 10 años, si la tasa de interés es del 15% efectivo anual Respuestas: $501,876.86 y $2,030,371.82

2. Una Compañía obtiene ingresos semestrales por $50,000 durante 8 años, si los

reinvierte a una tasa de interés del 12.5% c.s., determine el valor final. Respuestas: $1,310,342.80

3. Determine el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda de $

54,443.70 durante 3.75 años, si la tasa de interés que se paga es del 17.2% c.t. Respuesta: $ 5,000.00.

4. Una persona ahorra al final de cada mes la cantidad $100.00 en una cuenta que gana

el 9% c.m. Determine el valor acumulado de la cuenta de ahorros al final de 15 años. Respuesta. $37,840.57.

5. Una empresa desea tener disponible dentro de 51 meses $47,395.02 para reponer

una maquinaria. ¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo al final de cada trimestre, si el fondo gana una tasa de interés de 16% c.t.? Respuesta $2,000.00

6. Determine el valor de la cuota destinada a un fondo de amortización al final de cada

mes durante 5 años, a una tasa de interés del 20% c.m. para saldar el principal de una



38

deuda de $200,000. Nota. Los intereses se pagan por separado al 1.7% mensual. Respuestas. $1,965.44. Intereses mensuales $3,400

7. Una empresa obtiene un préstamo de $18,000 la cual va a cancelar mediante el

sistema de cuotas niveladas mensuales ordinarias en un plazo de 15 años. Si la tasa de interés es del 14.5% c.m., determine el valor de la cuota. Respuesta $245.79.

8. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $320 al final de cada

mes durante 4 años, si la tasa de interés es del 12% c.m. Respuestas. $12,151.67 y $19,591.23

9. Desde hace 5 años una compañía dejó de pagar la cantidad de $4,000 al final de cada

semestre, se quiere saber qué valor tendrían esos pagos en la actualidad si la tasa de interés es del 18% c.s. Respuesta $60,771.72.

10. Determine el principal de una deuda, sabiendo que se efectúan pagos iguales

mensuales vencidos por valor de $652.46 durante 5 años a un interés del 23.3352% c.m. Respuesta. $22,987.17.

11. Una planta generadora de electricidad es vendida en $6,000 de cuota inicial y 18

pagos de $4,000 al final de cada mes. Si después de haber pagado las 6 primeras cuotas y justamente antes de efectuar el pago de la séptima cuota decide cancelar en un pago único el saldo de la deuda, cuánto deberá cancelar con intereses al 0.9950% efectivo mensual? Respuesta: $43,147.39.

12. Una institución desea reunir $300,000 mediantes 6 depósitos semestrales iguales

vencidos con un interés del 5% efectivo semestral. a) Cuál debe ser el valor de la cuota? Respuestas: $44,105.24

13. Un empleado considera que puede abonar $3,5000 por mes con excepción de los meses

de junio y diciembre, cuando por el reparto de utilidades y aguinaldo puede abonar $10,000. Calcule la cantidad por la que puede solicitar un crédito hipotecario, si sabe que le dan 10 años para pagarlo, el tipo de interés es del 21.6% c.m. y comenzaría en diciembre. Respuesta. $227,091.38

Anualidades anticipadas

14. El alquiler de un lote de terreno es de $150 dólares mensuales anticipados. Un contratista desea alquilar el terreno durante 3 años, si el interés pactado es de 0.5% mensual. Determine el pago por anticipado y al final durante el período establecido. Respuestas. $4,955.30 y $5,929.92.

15. Una persona está amortizando un préstamo personal de $ 1,811.72 mediante cuotas

niveladas semestrales vencidas a una tasa de interés del 16% c.s., en un plazo de 5 años. Halle un sistema de pago equivalentes mediante cuotas niveladas semestrales anticipadas. Respuesta $250.00.

16. La empresa ALSA hace una donación de $30,000 a la Cruz Roja para que sea retirada

dentro de 16 meses. Determine la cantidad que deberá invertir la empresa en un negocio financiero mensualmente, comenzando hoy para entregar la cantidad



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prometida, si la tasa de interés es del 5% mensual acumulativo. Respuesta. $1,207.71.

17. Una casa usted la puede comprar hoy a través de tres opciones: a) Cuota inicial $6,500 y pagos anticipados anuales durante 3 años de $5,929.82 a un

interés del 30% anual. b) A través de pagos mensuales de $ 667.18, el primero el día de hoy, a plazo de 4 años

y a una tasa de interés del 2.2232% efectivo mensual. c) Cuota inicial $10,000 y pagos trimestrales vencidos de $2,343.49 durante año y medio

a un interés del 30% CT. Respuesta. Opción b a través del menor costo. 18. Los pagos mensuales anticipados para estudiar una maestría por 2 años en la UCC,

es de $300 dólares. La matrícula al inicio de año es de $500.00, derecho de graduación $1,000.00 a los 2 años. Si se le carga un interés del 6.6 % c.m. Determine el costo de los aranceles de la maestría al final del período y pagando por anticipado. Respuestas. $9,820.87 y $8,609.55.

19. La deuda de un pequeño agricultor con un banco ha crecido hasta el día de hoy en

una cantidad de $14,525.90. La propuesta del banco para cancelar la deuda es mediante pagos anticipados semestrales, en un plazo de 5 años comenzando hoy a una tasa de interés del 31.93868% c.s.. Calcule el valor de la cuota semestral. Respuesta. C$2,588.61.

20. La reposición de un activo fijo de la empresa Gallo y Asociados dentro de 2.5 años es de $500,000. ¿Qué cantidad deberá depositar mensualmente la empresa (comenzando hoy) en fondo de amortización que devenga el 18% c.c., para acumular la cantidad deseada? respuesta: $13,122.75.

21. ¿Cuál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor

C$11,302.31 durante 8 años a una tasa 6.5% trimestral? Respuesta. $160,500.

22. Determine el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor

$$13,302.31 durante 8 años a una tasa de interés del 26% c.t. Respuesta $188,901.24

23. Un comerciante compró una mercadería mediante 8 pagos mensuales al principio de

cada mes de $3,000 y un pago final de $10,000 al término de un año. Si los intereses fueron del 33% c.m. ¿Qué cantidad hubiese pagado de contado? Respuesta: $29,089.56.

24. Al nacer su primogénito, un padre de familia hace un depósito bancario por $3,500, a)

¿cuánto debe depositar al comenzar cada semestre, iniciando en el segundo semestre, para disponer de $150,000 cuando su hijo cumpla 7 años de edad, suponiendo que la inversión reditúa el 30% c.s.? b) ¿De cuánto dispondría a los 15 años de edad si continúa con los depósitos? c ) Obtenga los intereses a los 15 años del primogénito. Respuestas: a) $3,754.95 b) 41,644,241.90 c) $1,535,603.30



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25. Al comenzar su carrera profesional, cuya duración es de 9 semestres, un estudiante decide ahorrar $500 al inicio de cada mes, durante todo ese tiempo, en un banco que paga intereses del 21.6% c.m. ¿De cuánto dinero dispondrá 2 años después de haber concluido sus estudios? Respuesta: $70,312.78

26. ¿Cuánto debe invertir al principio de cada quincena, una persona que pretende

acumular $54,000 en un año y medio, considerando que su inversión gana el 25.92% convertible por quincena? Respuesta: $1,222.03

27. Una empresa debe pagar una deuda que estipula pagos mensuales vencidos de

$1,200 durante 4 años. Halle un pago equivalente mensual anticipado con el interés del 9% c.m. Respuesta: $ 1,191.07

Anualidades Diferidas

28. Un auto se vende mediante un pago inicial de $3,000 y 60 pagos de $350.00 mensuales,

el primero dentro de 3 meses. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18% c.m. Determine (a) el valor del auto al contado (b) al término del último pago mensual. Respuestas. a) $16,378.72 b) $41,226.32.

29. El costo de adquisición de una máquina es de $30,000. Los costos de operación y

mantenimiento se estiman en $500.00 mensuales, comenzando en el mes 5 después de iniciar operaciones. Si la tasa que se le carga es del 1.5% mensual, determine hasta el año 5 el valor presente de los costos. Respuestas: a) $47,762.94

30. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $350.00 trimestrales,

realizados para el fondo de inversiones de una empresa consultora, el primer depósito se efectúa al final del primer año y durante 4 años a una tasa de interés del 16% CT. Respuestas $3,625.60. y $ 7,638.58.

31. Una empresa obtiene un préstamo de $400,000 para pagarlo en un plazo total de 12 años, determine la cuota según se indique: a. Cuotas anuales a una tasa de interés del 18%, la primera en el año 3 después de

iniciada la deuda. Respuesta: $123,931.75

b. Cuotas mensuales a una tasa del 16.6661% c.m., la primera en el mes 5 después de iniciada la deuda. Respuesta: $6,865.93

c. Cuotas trimestrales, la primera al término del año uno a una tasa de interés del 16.8987% c.t. Respuesta: $22,651.11

d. Cuotas mensuales anticipadas con el interés del 1.3888% efectivo mensual. Respuesta: $6,350.58

32. A un empresario capitalino que va a montar una fábrica, le ofrecen un crédito con un

tiempo total de 5 años incluido un período de gracia de 2 años, amortización mediante cuotas iguales mensuales a un interés del 24% c.m. Halle la cuota para un préstamo de $1,000,000.00 Respuesta: $63,103.58.



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Anualidades perpetuas 33. Determine el valor del capital que genera ingresos anticipados anuales de $6,000 de

forma indefinida a un interés del 8% efectivo. Respuesta: $81,000.00 34. ¿Qué cantidad de dinero invertida el día de hoy le permite a una persona ingresos

pagaderos mensuales indefinidos, de 1,200 dólares, si los intereses son del 0.58% mensual? Respuesta: $206,896.55

35. Determine el valor actual de una renta mensual vencida a perpetuidad de $500.00 si la tasa de interés es del 1% mensual. Respuesta: $50,000



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SUGERENCIAS DE TRABAJO EXTRA CLASE

I. Aplicando los conocimientos adquiridos en el estudio de las anualidades, resuelva los siguientes ejercicios.

1. El día de hoy, Martha compra una anualidad de C$ 2,500 anuales durante 15 años

en una compañía de seguros que utiliza el 3% anual. Si el primer pago vence en un año, ¿Cuál fue el costo de la anualidad? C$ 29,844.84

2. Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias

anticipadas: a) C$ 4000 anuales durante 7 años al 8.5% C$22,214.35; C$ 43,322.56 b) C$ 750 mensuales durante 3.25 años al 6% cm. C$ 26,647.39; C$ 33,119.14 c) C$ 480 trimestrales durante 8.75 años al 6% ct. C$ 13,191.23; C$ 22,692.47

3. Juan ahorra C$ 600 cada seis meses y los invierte al 8% cs, encuentre el importe de sus ahorros después de 10 años. C$ 17,866.85

4. Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de C$ 100 al final de cada 3

meses durante 15 años, suponiendo intereses del 5% ct. C$ 4,203.46

5. Encuentre el valor presente y el valor final de 30 pagos de C$ 2,000 hechos al final

de cada mes, suponiendo intereses del 30% cm. C$ 41,860.59; C$ 87,805.41

6. ¿Cuánto debe invertir una empresa al final de cada tres meses durante los

próximos 4 años en un fondo que paga el 4% ct, con el objeto de acumular U$ 2,500. U$ 144.86

7. Si mi sueldo me permite amortizar mensualmente para un crédito un importe

máximo de C$ 1,500 y la tasa de interés es actualmente del 14% cm y el crédito debe pagarse en 3 años, ¿Cuánto dinero puedo pedir prestado? C$ 43,888.36

8. Si deseo acumular C$ 50,000 en 12 ahorros mensuales iguales, en donde la fecha

del último ahorro coincida con la fecha de mi objetivo, ¿Cuánto deberé de ahorrar considerando una tasa del 30 cm? C$ 3,624.36

9. Se ofrece en arriendo un apartamento por la suma de U$ 1,500 mensuales

pagados por anticipado. Un posible arrendatario ofrece pagar de forma anual y al final de cada año, ¿Cuál debe ser el monto a pagar suponiendo un interés del 36% cm? U$ 23,426.69

10. Una deuda de C$ 800,000 concede un periodo de gracia de 6 meses, para comenzar a ser pagada al término del 7mo mes, durante 2 años. Calcule el valor que tendrá que pagarse mensualmente con un interés del 12% cm. C$ 39,975.55

11. Un puente recién construido deberá repararse hasta el término de 5 años, se

estima que de ahí en adelante se necesitaran C$ 300,000 para reparaciones al final de cada año por los próximos 20 años. Determine el valor presente para el mantenimiento del puente sobre la base del 3% efectivo anual. C$ 3,850,032.15



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12. Hallar el valor presente de una renta perpetua de C$ 10,000 mensuales, considerando un rendimiento del 33% cm. C$ 363,636.36

13. Cuanto deberá invertir hoy el señor Francisco Pérez, para obtener una renta anual de C$ 50,000 durante los próximos 6 años si la tasa de interés en el mercado es del 12% anual. C$ 205,570.37

14. Una persona deposita la cantidad de C$ 260,000 en un banco que paga el 8%

anual con el propósito de realizar cuatro retiros anuales durante 4 años, ¿Cuál será el valor de cada retiro? C$ 78,499.41

15. Una empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la

cantidad de C$ 10,000 ¿Cuál será el valor acumulado en el fondo al término del tercer año si el fondo gana una tasa de interés del 12% c.m.? C$ 430,768.78

16. ¿Cuánto deberá invertir una empresa al final de cada tres meses durante los

próximos 5 años en un fondo que paga el 16% c.t., con el objeto de acumular el valor del principal de un préstamo de C$ 250,000? C$ 8,395.44

17. Determine el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda de

C$ 54,443.70 durante 3 años y 9 meses, si la tasa de interés es del 17.2% c.t. C$ 5,000

18. Un préstamo de U$ 18,000 se va a cancelar mediante el sistema de cuotas iguales

mensuales durante 5 años incluidos 4 meses de gracia, determine el valor de la cuota si la tasa de interés es del 12% c.m. U$ 438.46

19. Desde hace 5 años una compañía paga la cantidad de U$ 4,000 al final de cada

semestre, calcular el valor que tienen esos pagos en la actualidad si la tasa de interés es del 18% c.s. Resp. U$ 60,771.72

20. Una empresa desea tener disponible dentro de 51 trimestres U$ 47,395.02 para reponer una maquinaria, ¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo de amortización al final de cada trimestre si este gana un interés del 16.32% c.t.? U$ 289.19

Nota: Este trabajo debe presentarse en equipos de 5 integrantes y manuscrito.



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IV UNIDAD: Amortización de Deudas y Fondo de Amortización En el mercado financiero la expresión amortización se utiliza para denominar el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser iguales o diferentes en intervalos de tiempos iguales o diferentes. Estos pagos son hechos para liquidar tanto el capital o principal, así como los intereses y demás conceptos que genera determinada deuda. La parte del principal no cubierta por las amortizaciones en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o principal insoluto en la fecha. El principal insoluto al inicio del plazo es la deuda original. El principal que resultará al final de la última cuota o pago al término del plazo es cero, y de esta manera la deuda queda pagada. El proceso de amortización de una deuda, es un elemento importante para el financiamiento, ya sea interno o externo de una inversión; debido a que el inversionista necesita conocer el proceso de cálculo que es necesario seguir para estimar el monto del servicio de la deuda, así como también el periodo de reembolso y el factor de recuperación del capital. Elementos de la Amortización

Toda cuota o pago en el proceso de amortización está dada por la siguiente formula estándar: 𝐶𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐼𝑘

Dónde:

Ck = Valor de la cuota periódica nivelada o proporcional

Ak = Principal de la cuota, es la cantidad que es aplicable directamente a la deuda y la disminuye

Ik = Intereses de la cuota, es una cantidad de dinero que devenga el saldo del préstamo o principal adeudado K = Número de periodos o pagos para cancelar la deuda Sistema de pago de intereses – Sobre saldo y FLAT.

El S.F.N. (sistema financiero Nicaragüense), y bancos internacionales que proporcionan dinero en préstamo, generalmente calculan los intereses por periodo en base al saldo actualizado de la deuda (saldos insolutos); este procedimiento es conocido como, amortización con intereses sobre saldos; no obstante, también hay instituciones que cobran intereses sobre principal original, es lo que se conoce como interés FLAT, este

último sistema es muy usado por las casas comerciales que operan en Nicaragua y que conceden financiamiento a sus clientes a través de bancos para la compra de electrodomésticos. A interés FLAT la disminución del saldo no disminuye el interés que se paga. En todos los procesos de amortización, una vez que se ha seleccionado el modelo o sistema a utilizar, se procede a elaborar la tabla de amortización, también conocida como calendario de pago. Esta tabla es manejada por las partes involucradas en la



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operación financiera y facilita dar seguimiento al cumplimiento de todos los pagos acordados, así como; a la elaboración de los flujos de caja. Sistemas de Amortización

1. Amortización mediante cuota nivelada e interés sobre saldo:

Este es un sistema gradual de amortización con intereses sobre saldo, donde los pagos son iguales y periódicos, esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más usada en el campo de las finanzas. Para el cálculo de la cuota recurrimos a las anualidades ya estudiadas anteriormente. Dentro de este sistema pueden presentarse variantes tales como: cuotas niveladas anticipadas, vencidas y diferidas. Cuando se acuerda cancelar un préstamo mediante cuotas niveladas vencidas, cada cuota a pagar es de igual valor, hecha al final de periodos de tiempo iguales. Nuevamente Ck es el valor de dicha cuota, la cual contiene la amortización al principal Ak, y los intereses Ik devengados en el pago K con 1< K < N. El proceso que se sigue de la

forma de pago se muestra en el siguiente grafico donde Ck = C, la cual representa una serie de flujos (C) anualidad ordinaria vencida. Así reemplazando R por C en la fórmula para el cálculo de la renta en una anualidad cierta ordinaria, obtenemos el valor de la cuota nivelada, entonces:

𝐶 = 𝑃 [𝑖

1 − (1 + 𝑖)−𝑁]

Donde: C = cuota nivelada a pagar durante la vida del préstamo i = tasa efectiva de interés corriente por periodo de cuota N = número de cuotas acordadas P = deuda original o principal Como cada cuota contiene interés y principal, necesitamos calcular algunos valores importantes para la elaboración del calendario de pago: El interés Ik se calcula sobre saldos insoluto, o sea sobre el saldo del periodo anterior, entonces: 𝐼𝑘 = 𝑆𝑘−1 (𝑖)

Además, para calcular el saldo justamente después de la k – ésima cuota, se aplica la siguiente ecuación:

𝑆𝑘 = 𝐶 [1 − (1 + 𝑖) −𝑁+𝐾

𝑖]



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2. Amortización constante mediante cuota proporcional e interés sobre saldo:

Este es un sistema de amortización constante Ak y el valor de la cuota Ck es proporcional decreciente debido a que los intereses Ik decrecen por que se calculan sobre saldos.

Este sistema es usual en los préstamos personales, préstamos a pequeñas empresas (industria, servicio y comercio), empresas individuales, sociedades, cooperativas, entre otros.

Calculo de la cuota:

La cuota proporcional se calcula de la siguiente manera: 𝐶𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐼𝑘

Dónde:

𝐴𝑘 =𝑃

𝑁

𝐼𝑘 = 𝑆𝑘−1 (𝑖) = (saldo del periodo anterior) (tasa de interés efectiva)

3. Amortización constante mediante cuota nivelada e interés FLAT:

En este sistema de amortización la cuota se calcula de forma similar que la cuota proporcional, la diferencia es la forma de calcular los intereses FLAT o fijos. El interés se calcula sobre el saldo original, debido a esta forma de cálculo, la tasa de interés efectiva que se paga por un préstamo es elevada. Es un sistema que se aplica con frecuencia en la política de créditos de las casas comerciales de Nicaragua y muy poco en préstamos bancarios, a menos que la tasa de interés se reduzca y se haga equivalente a una tasa de interés activa de interés sobre saldos. La cuota Ck a pagar en este tipo de amortización es de igual valor durante todo el proceso. Tanto la parte que amortiza al principal Ak como los intereses Ik en cada cuota son

iguales. Las amortizaciones no reducen los intereses en cada cuota, por eso se llama interés FLAT. Calculo de la cuota:

La cuota proporcional se calcula de la siguiente manera: 𝐶𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐼𝑘

Donde la parte de la amortización al principal se calcula utilizando la fórmula:

𝐴𝑘 =𝑃

𝑁=

𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑜 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎

# 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑐𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠



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Los intereses iguales Ik en cada cuota se determinan mediante:

𝐼𝑘 =𝐼

𝑁

Fondo de Amortización

El fondo de amortización es una cantidad que se capitaliza (crece) mediante pagos periódicos que devengan cierto interés, de modo que en un numero finito de depósitos se obtenga un monto deseado. En la práctica financiera, la creación de un fondo de amortización puede obedecer a las siguientes razones:

a. Pagar el principal de una deuda a su vencimiento mediante cuotas periódicas, los intereses corrientes que devenga la deuda se pagan por separado.

b. Acumular cierta cantidad de capital para reemplazar activos fijos en empresa que se deterioran con el uso.

c. Tener reservas para proveer el pago de las pensiones de jubilación y vejez a los trabajadores de la empresa.

d. Retirar a su vencimiento los fondos de la emisión de obligaciones, entre otras. En un fondo de amortización, cada pago que se reserva periódicamente es una anualidad que gana intereses que se capitalizan, en cada periodo de capitalización; por eso todos los problemas son similares a los ya estudiados en las anualidades. Es importante establecer la diferencia entre el fondo de amortización y la amortización propiamente dicha, si bien ambos son métodos para pagar a plazos un préstamo o liquidar una obligación, en el primero el importe de los plazos sirve únicamente para pago de capital; en el segundo, por el contrario, los plazos son suficientes para pagar el capital y el interés corriente sobre el mismo. Otra diferencia consiste en que; en el fondo de amortización la deuda permanece constante hasta que se completa el fondo, mientras que en el caso de la amortización, la deuda disminuye en cada pago sucesivo.

Calculo del valor del pago periódico Para el cálculo del pago Dk al final de cada periodo, partimos del conocimiento del valor o monto F que deseamos acumular, la tasa periódica de interés i que devenga el fondo y la cantidad de periodos de capitalización N.

𝐷 = 𝐹 [𝑖

(1 + 𝑖)𝑁 − 1]

Calculo del importe del fondo de amortización después de k-ésimo depósito

Cuando se han venido haciendo pagos a un fondo de amortización por espacio de algunos años o periodos, resulta útil calcular rápidamente el monto total acumulado Sk, justamente después del k-ésimo pago Dk, donde 1 < K < N; para realizar este cálculo,

usamos la fórmula para calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria intercambiando la A por D y N por K, de esta forma resulta:



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𝑆𝑘 = 𝐷 [(1 + 𝑖)𝐾 − 1

𝑖]

Tabla de capitalización

La tabla de capitalización del fondo de amortización, sirve para mostrar el crecimiento periodo a periodo de capital y contiene de forma estándar 5 columnas como se muestra a continuación:

Periodo Cuota o Deposito

Interés sobre Fondo

Incremento al Fondo

Capital en el Fondo

1

2

3 Total

Ejercicios para resolver en clase

1. Un banco otorga un préstamo de C$ 150,000 para el financiamiento de un

proyecto industrial. El préstamo se cancelara en un plazo de 5 años, mediante cuotas niveladas semestrales a una tasa del 15% c.s. a. Calcular el valor de la cuota R= C$21.852,89

b. Elaborar calendario de amortización para el préstamo

2. Una empresa de transporte colectivo compra un microbús en U$ 28,500 con el 20% de prima y 12 meses de plazo. A fin de reducir el valor de cada cuota mensual, ofrece dar 2 cuotas extraordinarias de U$ 4,000 y U$ 4,500 a los 6 y 12 meses respectivamente. a. Calcular el valor de la cuota nivelada de amortización al 24% c.m. y b. Elabore el calendario de pago.

3. Un préstamo por U$ 5,000 es aprobado a un año de plazo incluidos 4 meses de gracia, si la tasa de interés es del 18% c.m. a) Determinar la cuota mensual de amortización nivelada y b) Elabore la tabla de amortización.

4. Una empresa de transporte colectivo compra un microbús en U$ 25,000 con una

cuota inicial del 20% y financiamiento a 12 meses, para reducir el costo de la cuota mensual, la empresa ofrece dar dos cuotas extraordinarias de U$ 4,000 y U$ 4,500 a los 6 y 10 meses respectivamente. a. Calcular el valor de la cuota nivelada de amortización a una tasa del 18% c.m. b. Elaborar tabla de amortización

5. Una microfinanciera otorga un préstamo de C$ 25,000 a una microempresa, la

tasa de interés es del 2.5% efectivo mensual a 12 meses de plazo. a. Determine el valor de la amortización al principal mediante cuota mensual

proporcional b. Elabore la tabla de amortización



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6. Una persona compra un LCD – SONY de 32 pulgadas con valor de C$15,000 al crédito, la casa comercial le solicita una prima del 30% para aprobar un plazo de financiamiento de 12 meses a una tasa de interés Flat del 4% mensual. a. Calcular el valor de la cuota nivelada de amortización a interés Flat b. Elaborar calendario de pago.

7. Una empresa estima que dentro de 10 años debe reemplazar parte de su

maquinaria a un costo de U$ 850,000, con el objetivo de disponer de este capital en su momento, ha decidido crear un fondo de amortización en un banco local a una tasa del 9.5% anual. a. Determinar el valor del depósito anual b. Calcular el valor acumulado después del depósito 7 c. Elaborar tabla de capitalización

SUGERENCIAS DE TRABAJO EXTRA CLASE

1. Una persona adquiere un préstamo de U$ 25,800.00 en un banco local que cobra un interés del 16% c.m., sobre saldo a un plazo de 10 años y se pagara mediante cuotas mensuales niveladas. a) Encuentre el valor de la cuota U$ 432.18 b) Determine el saldo después del quinto y séptimo año U$ 17,771.98,

U$ 12,292.85

2. Una empresa adquiere una deuda de C$ 175,000 en un banco que gana el 15%

c.t., sobre saldo, el cual se pagara mediante cuotas trimestrales niveladas durante 2 años. a) Encuentre el valor de la cuota C$ 25,724.72

b) Elabore tabla de amortización

3. El dueño de un negocio adquiere un financiamiento de C$ 15,000 a un plazo de 8 meses y el 12% c.m., sobre saldo, este se pagara mediante cuotas proporcionales mensuales con amortización constante. a) Calcular la amortización al principal C$ 1,875.00

b) Elabore el calendario de pago.

4. Un préstamo de C$ 35,000 a 1 año de plazo se cancelara mediante cuotas bimestrales con amortización constante e interés sobre saldo del 18% c.b. a) Encuentre el valor de la cuota bimestral C$ 5,833.33 b) Elabore el calendario de pago.

5. Una empresa desea acumular un capital de U$ 60,000 en tres años mediante depósitos semestrales en una institución financiera que le reconoce el 12% c.s. a) Calcular el valor del depósito U$ 8,601.76

b) Elabore tabla de capitalización.

6. Una empresa adquiere un financiamiento de C$ 350,000.00 en un banco que gana el 12% ct., sobre saldo a dos años de plazo. Encuentre el valor de la cuota trimestral nivelada y elabore la tabla de amortización. C$ 49,859.74



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7. Un matrimonio desea acumular U$ 75,000 para comprar su casa dentro de 5 años, por lo que decidieron crear un fondo en un banco que le paga el 8% c.m. a) Determine el valor a depositar mensualmente en dicho fondo U$ 1,020.73 b) Encuentre el valor acumulado a 1, 2 y 3 años. U$ 12,708.01, U$ 26,470.78,

U$ 41,375.86

8. Investigue en una casa comercial el precio de un electrodoméstico y calcule el

valor de la cuota proporcional con amortización constante para plazos de 1, 2 y 3 años a una tasa de interés FLAT del 4.25%. Considere él % de la prima.

9. Una empresa adquiere un financiamiento de C$ 250,000.00 en un banco que gana

el 12% c.t., sobre saldo a dos años de plazo. Encuentre el valor de la cuota trimestral mediante amortización proporcional y elabore la tabla de amortización. C$ 31,250.00

10. Una empresa desea acumular C$ 850,500.00 en un fondo que gana el 6.5% c.s., sobre capital a cinco años de plazo. Encuentre el valor del depósito y elabore la tabla de capitalización. ¿Qué pasaría si la tasa de interés sufre una variación y esta pasa a 7% c.s. C$ 73,339.53



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V UNIDAD: Análisis de alternativas de inversión Esta unidad tiene como objetivo dar una visión general sobre los proyectos de inversión y el proceso de evaluación financiera. 5.1 Generalidades ¿Qué es un proyecto?

Es un paquete discreto de inversiones, insumos y actividades diseñados con el fin de eliminar o reducir restricciones al desarrollo, para lograr uno o más productos o beneficios, en términos del aumento de la productividad y del mejoramiento de la calidad de vida de un grupo de beneficiarios dentro de un determinado periodo de tiempo. Un proyecto surge de la identificación de una necesidad de la sociedad, su bondad depende de su eficiencia en la satisfacción de estas necesidades, teniendo en cuenta el contexto social, económico, cultural y político. En términos generales, el proyecto forma parte de programas o planes más amplios, contribuyendo a un objetivo global de desarrollo, de lo anterior se deduce que los inversionistas, tanto estatales como privados, frecuentemente comparan las diversas alternativas de inversión que se presentan en el ambiente. La necesidad de llevar a cabo estas comparaciones surge del hecho de querer optimizar el uso de los recursos económicos y financieros disponibles en el sentido, generalmente de ahorro de divisas o de eficiencia de inversiones. 5.2 Métodos de evaluación financiera Se pueden identificar dos grupos: El primer grupo reconoce que el momento en el tiempo en que entran y salen recursos

(flujos de fondos) es de importancia para la evaluación. Se incluyen los métodos que utilizan los procedimientos de actualización o descuento y que por lo tanto toman en cuenta la cronología de los flujos de fondo, es decir, le conceden al dinero importancia en función del tiempo. En este grupo se incluyen los siguientes métodos: VAN, TIR, R(B/C), estos métodos dependen de dos variables: la tasa de actualización o descuento y el tiempo. El segundo grupo no toma en cuenta el impacto del tiempo sobre el flujo de fondos. Aquí

se incluyen el PRI, el cual se refiere al número de años necesarios para recuperar la inversión y el método de la rentabilidad contable, que utiliza una metodología y terminología meramente contable y consiste en relacionar la utilidad neta anual promedio con la inversión promedio.

5.2.1 Valor actual neto – VAN

Es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto.

http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_caja



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El método de valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar la equivalencia en el tiempo 0 de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso inicial. Cuando dicha equivalencia es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado.

La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:

Vt representa los flujos de caja en cada periodo t. I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión. n es el número de períodos considerado.

El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo especifico. En otros casos, se utilizará el coste de oportunidad.

Criterios del VAN:

El método del VAN nos conduce a la toma de decisiones sobre invertir o no en un

proyecto, considerando los siguientes criterios:

1. Si el VAN es mayor que 0, el proyecto es atractivo y debe ser aceptado. 2. Si el VAN es igual a 0, la inversión es indiferente, en este caso, k pasa a llamarse

TIR (tasa interna de retorno). La TIR es la rentabilidad que nos está proporcionando el proyecto.

3. Si el VAN es menor que 0, el proyecto no vale la pena, dado que existen otras alternativas de inversión con mayor beneficio, estas son las que se reflejan en el costo de oportunidad del dinero.

Otra forma de expresar estos criterios de aceptación es decir que el proyecto de inversión se aceptara si el VAN de los ingresos es mayor que el VAN de los egresos.

5.2.2 Tasa interna de retorno - TIR

La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión, está

definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero. El VAN o VPN es calculado a partir del flujo de caja anual, trasladando todas las cantidades futuras al presente. Es un indicador de la rentabilidad de un proyecto, a mayor TIR, mayor rentabilidad.

Calculo de la TIR

Para el cálculo de la TIR aproximada seguiremos un proceso iterativo (prueba y error) y luego se aplica una fórmula de interpolación, los pasos a seguir son:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tasa_de_inter%C3%A9s

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_actual_neto

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_presente_neto

http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_caja



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Determinar una tasa de interés i1, que proporcione un VAN1 > 0. Determinar una tasa de interés i2, que proporcione un VAN2 < 0.

Encontrado el VAN1 y el VAN2, se procede a aplicar la fórmula de interpolación siguiente:

𝑇𝐼𝑅 = 𝑖1+ [(𝑖2 − 𝑖1) 𝑉𝐴𝑁1

𝑉𝐴𝑁1−𝑉𝐴𝑁2

]

Criterios de la TIR:

Se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión. Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte, el coste de oportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidad utilizado para comparar la TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo).

1. Si la tasa de rendimiento del proyecto - expresada por la TIR- supera la tasa de corte, se acepta la inversión

2. Si la TIR es igual a la tasa de corte el proyecto debe causar indiferencia 3. Si la TIR es menor a la tasa de corte, el proyecto se rechaza.

Ventajas y limitaciones de la TIR

La TIR es un instrumento fundamental en la determinación del mérito del proyecto y esto es debido a las siguientes ventajas:

La TIR no refleja la dificultad de los otros criterios de actualización los cuales exigen opiniones acerca de las variables externas del proyecto, tal es el caso de las tasas de actualización.

La TIR brinda una información más fácil de comprender en términos relativos, sin embargo es importante señalar que la TIR presenta algunos inconvenientes que, como el VAN no le permiten ser el criterio absoluto en la selección y clasificacion de los proyectos de inversión.

En el caso de los proyectos de inversión que reflejan diferencias considerables entre los valores de las inversiones se pueden dar contradicciones entre los métodos del VAN y la TIR, esto debido a que un pequeño proyecto con baja inversión puede originar una alta tasa de retorno y a la vez mostrar un bajo valor actual neto.

5.2.3 Método de la Relación Beneficio Costo

Este método se apoya en el método del VAN y su utilización es muy frecuente en estudios de proyectos públicos de inversión.

Procedimiento de cálculo:

1. Se determina el VAN de los beneficios VAN (B), mediante la tasa de corte de los

ingresos asociados al proyecto de inversión. 2. Se determina el VAN de los costos VAN (C), a la tasa de corte de los egresos del

proyecto de inversión.

http://es.wikipedia.org/wiki/Coste_de_oportunidad



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3. Se establece una relación entre el VAN de los ingresos y el VAN de los egresos, mediante la siguiente fórmula:

𝑅(𝐵/𝐶) =𝑉𝐴𝑁(𝐵)

𝑉𝐴𝑁(𝐶)

Debemos observar que la R (B/C) prácticamente es una función de la tasa de corte que se emplea para el cálculo del VAN de los ingresos y egresos, de tal forma que al calcular este indicador con propósitos decisorios, es necesario utilizar la rentabilidad mínima aceptable.

Criterios de la R (B/C):

1. Si la R (B/C) > 1, se acepta el proyecto, dado que el VAN de los ingresos es mayor

que el VAN de los egresos. 2. Si la R (B/C) = 1, es indiferente aceptar o rechazar el proyecto, dado que los

beneficios netos apenas compensan el costo de oportunidad del dinero, o sea, la ganancia neta del proyecto es igual a la ganancia de inversiones alternativas.

3. Si la R (B/C) < 1, se rechaza el proyecto, dado que el VAN de los ingresos es

menor que el VAN de los egresos.

De lo anterior se deduce que cuando el valor de la R (B/C) es mayor a la unidad, significa que el VAN de todo el proyecto de inversión es positivo y por lo tanto el proyecto es atractivo.

5.3 Ejercicios

1. Considere un proyecto de inversión inicial C$ 100,000 y una tasa de corte del 22% que presenta flujos netos positivos de: C$ 46,000 año 1, C$ 40,850 año 2, C$ 38,975 año 3 y C$ 46,000 año 4. Determine si es viable la ejecución del proyecto mediante los métodos de evaluación estudiados. Argumente.

2. El gobierno está interesado en un proyecto de adecuación de tierras para cultivos, para lo que se requiere la siguiente inversión. Inversión inicial U$ 50,000 Año 1 U$ 100,000 Año 2 U$ 100,000 Se proyecta que durante 15 años más se deben invertir U$ 20,000 anuales para mantenimiento, se estima que con este proyecto se recuperaran 100 hectáreas, cada una de las cuales puede producir ingresos netos de U$ 1,000 en productos agrícolas por 15 años a partir del año 3, los ingresos son después de deducir los costos de fertilizantes, equipos, fungicidas, entre otros. El costo de mano de obra no se tiene en cuenta, debido a que el gobierno le ha asignado un valor de oportunidad de cero, Calcular el VAN y la R (B/C) del proyecto si la rentabilidad mínima exigida por el gobierno es del 10% anual.



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Guía de ejercicios

I. Resuelva los siguientes ejercicios aplicando VAN, TIR y R (B/C).

1. Una empresa estudia un proyecto de inversión que presenta las siguientes características: Desembolso inicial : C$ 60,000 Flujo de caja 1er año: C$ 30,000, para el resto de los años se espera que los flujos

de caja sean un 10% superior al del año anterior. Duración temporal: 5 años, valor residual: C$ 20,000 Coste medio capital: 26% a) Según el criterio del VAN, ¿se puede llevar a término esta inversión? b) Si la empresa solo acepta aquellos proyectos que representan una rentabilidad de

un 15% superior al coste del capital. ¿Crees que hará esta inversión? c) Calcula el desembolso inicial que habría de hacer para que la rentabilidad fuera un

50%. d) De acuerdo a los resultados del inciso b, según los criterios de la TIR se llevara a

término la inversión

2. Una empresa incorpora una maquina a su activo en la modalidad de leasing en las condiciones siguientes:

Valor de la maquina: U$ 1,000

Duración temporal: 5 años

Cuotas de leasing anuales: U$ 260

Opción de compra de la maquina al fin de 5º año por U$ 40

Rendimiento del 18%

a) Encuentra el coste efectivo que representa esta adquisición para la empresa.

3. Una empresa ha de decidir entre 2 proyectos de inversión:

PROYECTO A

PROYECTO B

Desembolso inicial U$ 10,000 Coste de adquisición U$ 10,000

Cobros anuales U$ 8,000 Costes fijos anuales U$ 5,000

Pagos anuales U$ 4,000 Costes variables unitarios U$ 10

Valor residual U$ 1,000 Precio venta unitario U$ 25

Duración temporal 4 años Duración temporal 3 años

Volumen anual de ventas AÑO 1 - 700 unid

AÑO 2 - 900 unid

AÑO 3 - 1,100 unid

a) Haz la representación gráfica del diagrama temporal de los proyectos A y B b) Si el coste del capital se considera constante para todo el tiempo que dure la

inversión i = 16%. Selecciona la mejor inversión por el criterio del VAN c) ¿Cual tendría que ser la inversión inicial del proyecto B para que la rentabilidad de

la inversión fuera del 30%?



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d) Aplique TIR y R (B/C) al proyecto seleccionado y argumente resultados. 4. Una empresa se plantea un proyecto de inversión para los próximos cuatro años que

representa un desembolso inicial de U$ 215,000 y dispone de dos opciones:

OPCIONES 1 2 3 4

A 30,000 50,000 60,000 100,000

B 60,000 40,000 30,000 110,000

Calcula según tu criterio en cuanto al rendimiento a exigir, el valor actual neto y la tasa interna de retorno de las dos opciones A y B para una tasa de libre de riesgo del 4%. 5. Un inversionista desea saber si un proyecto con una inversión inicial de U$ 39,062.17

dólares y flujos netos positivos de, U$ 8,156.06 año 1, U$ 18,326.37 año 2 y U$ 30,010.31 año 3, es viable, para ello le solicita su asesoría mediante la aplicación de las técnicas de evaluación financiera VAN, TIR y R (B/C) a fin de tomar una correcta decisión.

Para el cálculo de la tasa de corte debe de considerar que la tasa de interés es del 24% y la siguiente información.

Concepto Valor % Costo Costo Promedio

Fondos propios U$ 30,000.00 Financiamiento U$ 9,062.17

Costo de Capital

Tasa de Inflación

Tasa de riesgo Tasa de Corte

II. Responda las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo se analiza el rendimiento para una inversión? 2. Enuncie con sus palabras la diferencia entre inversión con riesgo e inversión libre

de riesgo. 3. ¿Qué entiende por prima de riesgo? 4. ¿Que indica el VAN para una inversión? 5. ¿Que indica la TIR para una inversión? 6. ¿Que indica la R (B/C) para una inversión?

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