Material Estadistica+Aplicada

TIPO DE UNIDAD CURRICULAR cURSOEJE DE FORMACIÓN pROfeSiOnalMODALIDAD A DiSTancia DURACIÓN 75 HORaS VERsIÓN 1

MATERIAL DIDáCTICODE LA Y EL DIsCENTE

eSTaDÍSTica infeRencial aplicaDa a la fUnciÓn pOlicial

TRamO vii

miniSTeRiO Del pODeR pOpUlaR paRa laS RelaciOneS inTeRiOReS Y JUSTicia

Ministro Tareck El Aissami

miniSTeRiO Del pODeR pOpUlaR paRa la eDUcaciÓn UniveRSiTaRia

Ministra Yadira Córdova

aUTORiDaDeS UniveRSiDaD naciOnal eXpeRimenTal De la SeGURiDaD

Rectorasoraya Beatriz El Achkar Gousoub

Vicerrectora de Desarrollo AcadémicoAimara Aguilar

Vicerrector de Creación Intelectual y Vinculación Social

Antonio González Plessmann

Secretario Frank Bermúdez sanabria

viceRRecTORaDO De DeSaRROllO acaDémicO

VicerrectoraAimara Aguilar

Directora de Gestión de Desarrollo CurricularRuzay Rangel

Coordinador del P.N.F. Policial José Cardoso

UniveRSiDaD naciOnal eXpeRimenTal De la SeGURiDaD

Dirección: Calle La línea, zona industrial L, Catia.

Apartado postal: Caracas 1030 - Venezuela.

WWW.UNES.EDU.VE

TRAMO VII: MATERIAL “ ESTADÍSTICA INFERENCIAL APLICADA A LA FUNCIÓN POLICIAL”.

Expertos en contenidoMarcos Vásquez Migdalys Marcano

Diseñadores instruccionales Marcos Vásquez Migdalys Marcano Yesenia Bermúdez

Productora editorial

María Alejandra Morales

Coordinador gráficoRafael León

Corrección de estiloNelba García Maira Rojas Larry Peña

Diseño Gráfico y diagramaciónJohn Mendoza

Caracas, marzo de 2012

cOnTeniDOTRAmO VII eSTaDÍSTica infeRencial aplicaDa a la fUnciÓn pOlicial

PREsENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9PROPÓsITO DE LA UNIDAD CURRICULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ORIENTACIONEs Y RECOMENDACIONEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9EsTRUCTURA DEL MATERIAL DIDáCTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

UNIDADES DIDÁCTICAS

encUenTRO DiDÁcTicO 1NOCIONEs DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

encUenTRO DiDÁcTicO 2NOCIONEs DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

encUenTRO DiDÁcTicO 3PRUEBAs DE HIPÓTEsIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

BIBLIOGRAFíA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5

PRESENTACIÓN

La historia contemporánea de Venezuela registra diversas prácticas policiales inadecuadas que han dejado en evidencia una profunda carencia

de valores, de principios morales y un fuerte desape-go al respeto de los derechos humanos por parte del funcionariado policial.

Dichos modus operandi se derivaron, en parte, del modelo de formación policial con enfoque militarista impartido a los integrantes de los cuerpos policiales. Entre ellos, destacan: el uso indebido o excesivo de la fuerza, la aplicación de técnicas y procedimientos sin diferenciar los casos en los que se producían daños y perjuicios a la población, y un alto grado de corrup-ción policial.

Con la intención de corregir tales desviaciones y en concordancia con el modelo de sociedad demo-crática, participativa, protagónica y corresponsable –expresado en la Constitución de la República Boliva-riana de Venezuela– el gobierno del presidente Hugo Chávez Frías creó la Universidad Nacional Experimen-tal de la seguridad (UNEs). La finalidad de esta insti-tución académica especializada es, pues, encargarse de la profesionalización y del desarrollo integral de las funcionarias y los funcionarios de la seguridad ciu-dadana venezolana; por ello, se ha propuesto como una de sus principales tareas formar el nuevo modelo policial, en el que las y los oficiales desarrollen habili-dades y destrezas para aproximarse a sus semejantes.

Dado que los problemas policiales ya menciona-dos han contribuido directamente con la descompo-sición social por la que atraviesa Venezuela actual-mente, se justifica la implementación del Programa Nacional de Formación Policial. Los propósitos y ob-jetivos de este programa se orientan al acercamiento y ejercicio político legítimo de valores fundamentales como la ética, la justicia y la solidaridad que son, en sí mismos, la misión humanista de la revolución bo-livariana.

Así, la tarea de la UNEs, vista en los múltiples ám-bitos de la cotidianidad comunitaria e individual, apo-yará la transformación que requieren los procesos de formación en los ambientes de aprendizaje para con-tribuir con la profesionalización de las funcionarias y los funcionarios policiales. Esto, a su vez, permitirá la cancelación de la vieja deuda social y política que se tiene con los cuerpos policiales.

sin embargo, el concepto de seguridad ciudada-na abarca, de acuerdo con el Texto Constitucional de 1999, el derecho de protección que tiene el pueblo venezolano frente a todas las situaciones de amenaza, vulnerabilidad y riesgo, tanto de su integridad física como de sus propiedades; también, incluye el disfrute de las garantías y los derechos constitucionales. Por ello, se ha erigido como una de las principales respon-sabilidades y competencias del Estado venezolano.

A fin de brindar confianza y certidumbre a la ciu-dadanía en general, el gobierno bolivariano ha dise-ñado e implementado políticas y planes que permi

TRAMO VII

6 ESTADÍSTICA INFERENCIAL APLICADA A LA FUNCIÓN POLICIAL

tan, en primer lugar, mantener y restablecer el or-den público–esto es, prevenir o represar el delito y la violencia. En segundo lugar, pero no menos impor-tante, dar respuestas efectivas frente a diversas emer-gencias y desastres.

Por ello, es menester que la estructura del gobier-no, responsable de esta política pública, cuente con funcionarias y funcionarios técnico-políticos forma-dos en las distintas profesiones relacionadas con la seguridad ciudadana, que estén debidamente capa-citados para:• Acudir al llamado que se le haga ante situaciones

peligrosas para la colectividad.

• Precisar y decidir sobre las áreas relacionadas con la seguridad ciudadana.

• Realizar un control político eficaz sobre las medi-das que se implementen para la protección de la integridad física y propiedades de las personas o grupos que integran la sociedad venezolana.

• Habilitar y facilitar el funcionamiento de mecanis-mos de participación de las comunidades que ha-gan efectivas las acciones de control para favorecer la transparencia y rendición de cuentas por parte de los responsables de las instituciones a cargo de la política pública de seguridad ciudadana.

Dentro de este marco de ideas, la UNEs −en cum-plimiento con lo establecido en el artículo 332 de la Constitución de la República Bolivariana y el artícu-lo 37 de la Ley Orgánica del servicio de Policía y del Cuerpo de Policía Nacional, además del PNF Policial, se ha planteado como prioridad el diseño y la imple-mentación de los siguientes Programas Nacionales de Formación:• Protección Civil y Administración de Desastres

• Bomberil

• Investigación Penal

• Penitenciaria

Del mismo modo, se ha trazado la profesionaliza-ción de las y los oficiales de los órganos de seguridad estadales y municipales para elevar su nivel de forma-

ción, instrucción y técnica; en virtud de lo cual, esta universidad orientará y asistirá técnicamente a las academias estadales y municipales para que asuman los nuevos planes de estudio.

Para lograrlo, la UNEs rompe con los paradigmas de la educación tradicional bancaria y se basa en el enfoque de la Teoría Crítica. Aborda la formación des-de la perspectiva de la emancipación, cuyo fin último es la aprehensión de la realidad para originar cambios profundos que permitan, individual y colectivamen-te, la construcción de la historia cotidiana por parte de sujetos con conciencia ciudadana crítica, capaci-dad de inventiva y discernimiento.

se trata de una educación en la que las y los estu-diantes son considerados sujetos políticos de acción, que deben y pueden generar la transformación perso-nal y social. Es decir, se trata de una educación para el ejercicio del poder ciudadano, que demande la garan-tía de sus derechos, denuncie la barbarie y proponga nuevas formas de organización institucional. Desde una comunidad de sujetos políticos, este poder ciuda-dano permite participar en la construcción de políti-cas, levantar la voz y la mano para aprobar o rechazar, así como proponer o criticar, las decisiones a tomar.

Desde esa óptica, las acciones formativas en la UNEs se conducen desde la educación popular, como modelo de educación integral que asume el proceso educación-acción-transformadora a modo de pilar para la refundación de la institucionalidad de segu-ridad ciudadana en general, en concordancia, por supuesto, con los cambios socio-históricos y políticos registrados en la Venezuela actual. Los principios de la educación popular permiten a mujeres y hombres adquirir nuevas categorías para enfrentarse a su rea-lidad, superar las alienaciones a las que están some-tidos y autoafirmarse como cocreadores de su futuro histórico, conscientes de que sólo las reflexiones y la práctica de un conjunto de acciones les permite la confrontación continua, progresiva y permanente.

Uno de los elementos característicos de la educa-ción popular es la dialogicidad como estrategia emi

7TRAMO VII

ESTADÍSTICA INFERENCIAL APLICADA A LA FUNCIÓN POLICIAL

nentemente ética y epistemológica, cognoscitiva y política; como un proceso de rigor en el que exis-te la posibilidad real de construir el conocimiento, de aceptar al otro y asumir la radicalidad en el acto de amar. El diálogo es más que un método, es una pos-tura frente al proceso de aprender-enseñar: “unos en-señan, y al hacerlo aprenden, y otros aprenden, y al hacerlo enseñan” (Freire 1993: 106).

Esta manera de entender el diálogo rompe el mo-delo tradicional del docente como agente poseedor de los conocimientos y del alumno como el deposi-tario de los mismos. Por el contrario, los Programas Nacionales de Formación impartidos en el marco de la UNEs desechan la idea del alumno como ser sin luz depositario de los conocimientos estáticos del docen-te. En este modelo de educación democrática y parti-cipativa, el alumnado pasa a ser estudiantado; por su parte, el cuerpo docente se convierte en educadoras y educadores, quienes con su mayéutica incentivan la reflexión y construcción social. En resumen, los acto-res educativos se convierten en verdaderos protago-nistas del proceso enseñanza-aprendizaje, en el que ambos enseñan y ambos aprenden, a través de un intercambio permanente de saberes intermediados por el diálogo crítico y reflexivo.

Por otro lado, la participación en el ámbito acadé-mico, socio-político y cultural, en términos de produc-ción cultural y simbólica, permitirá construir a partir de la sistematización de experiencias comunitarias. El ob-jetivo es que este contexto de acción permee el dise-ño curricular para que responda a las necesidades de transformación social: disminución de la exclusión, re-versión de los procesos delictivos, fortalecimiento de la ecología social (desde el mejoramiento del hábitat) y equilibrio entre lo femenino y lo masculino. Como es-tas condiciones se complementan en el complejo en-tramado de las relaciones humanas, permiten estable-cer una visión integrada de los procesos individuales, comunitarios e institucionales en los que intervienen.

Del mismo modo, los procesos formativos de la Uni-versidad Nacional Experimental de la seguridad se aco-

gen al enfoque de género, que posibilita la comprensión de las diferencias de la diversidad y específicamente, que lucha por erradicar, de las prácticas sociales cotidia-nas, tanto el sexismo lingüístico como el sexismo social de los cuales son víctimas las mujeres en general.

Un tema que también distingue la formación UNEs es el enfoque del ecosocialismo. Éste hace énfasis en el cuidado del entorno ecológico donde se habita; en la producción de mercancías sin deterioro del ambien-te, lo que se traduce en una apreciación de los valores de uso en detrimento de los valores de cambio, que se funda en la actividad económica propia de empre-sas de producción socialista, lo que genera una trans-formación de las necesidades y un cambio profundo hacia la dimensión cualitativa del ser humano.

Otra importante característica de los procesos de formación de esta Universidad es la glocalidad. Ésta se refiere a una forma de resistencia social ante la globa-lización de corte neoliberal que se nos ha intentado imponer con fuerza. Es una invitación a vernos en la dialéctica de lo cercano (local) y lo lejano (global), sin que esa tensión degenere en minusvaloración de uno u otro componente de la relación. En términos educa-tivos, implica compaginar la búsqueda de soluciones a los problemas que afectan la seguridad ciudadana de la población y la posibilidad de enriquecimiento que brinda el intercambio de saberes con actores que debaten y construyen, en sintonía, sobre los mismos problemas y necesidades.

En esta misma línea, destaca que el modelo de educación integral asumido por la UNEs se caracte-riza por el humanismo, por fomentar el desarrollo de una ética profesional respetuosa de los derechos hu-manos. Como se sabe, éstos representan el conjunto de libertades, facultades y reivindicaciones que ga-rantizan una vida digna a toda persona. son inde-pendientes de factores particulares como estatus, sexo, orientación sexual, etnia o nacionalidad; tam poco dependen exclusivamente del ordenamiento jurídico vigente. Desde un punto de vista más rela-cional, los derechos humanos se han definido como

TRAMO VII


las condiciones que permiten crear una relación integrada entre el individuo y la sociedad, que le per-mita ser persona, identificándose con sí mismo y con los otros. Por esta razón, desde la perspectiva institu-cional, se constituyen en la base del modelo consti-tucional y están plenamente reconocidos como ob-jetivos y fines de la educación.

En la UNEs los derechos humanos se privilegian; por ello, transversalizan los objetivos de sus cinco PNF, así como las diferentes actividades previstas para las interacciones didáctico-formativas. En líneas generales, se asumen como un conjunto de necesida-des, valores y principios esenciales para el disfrute y desarrollo de la dignidad humana.

Estos temas son, pues, el pilar axiológico de los proyectos educativos UNEs en aras de ofrecer, a la Venezuela que se está construyendo, un nuevo mo-delo de servidora y servidor público que refleje en sus prácticas y en su discurso cotidiano: mística, sentido

de dignidad de la función encomendada y valor al-truista del servicio al pueblo. En resumen, nuevas ser-vidoras y servidores cuya imagen, discurso y acciones sean cónsonos con la nueva visión de la seguridad ciudadana preventiva y de proximidad, inscrita en el paradigma socialista del siglo XXI.

En líneas generales, la Universidad Nacional Expe-rimental de la seguridad pretende afianzar en sus es-tudiantes la formación básica, la capacitación perma-nente, la investigación, el estudio y la divulgación de todas aquellas materias relacionadas con la seguridad ciudadana, de acuerdo con los campos de estudio es-pecíficos. Así, se propone garantizar al estudiantado un proceso de formación de elevada calidad cuyo corolario será la expresión de sus fortalezas, poten-cialidades y conocimientos producto de sus prácticas.

Soraya Beatriz el achkarRectora

9TRAMO VII


INTRODUCCIÓN

En nuestro país se ha incrementado de manera alarmante el fenómeno de inseguridad, es por ello que nace la necesidad de analizar esta si-

tuación con la intención de mejorarla. Con la unidad curricular Estadística Inferencial se busca que las y los estudiantes puedan interpretar y analizar diversos datos y así poder inferir y formular hipótesis que le permitan abordar el problema.

La Estadística inferencial consiste en los procedi-mientos con los cuales se deducen o se infieren pro-piedades en una población, a partir de una pequeña muestra de la misma. Esto nos permite “predecir” su-cesos con cierto grado de precisión, que ayuda al fun-cionario y funcionaria a resolver distintos problemas en materia de seguridad ciudadana. En esta unidad curricular se abordan contenidos de probabilidad que le permiten al discente conocer el nivel de pre-dicción de sus deducciones.

El y la discente al culminar la unidad curricular será capaz de analizar una determinada cantidad de da-tos con la finalidad de estudiarlos y formular hipótesis basadas en estos. Además, las y los estudiantes desa-rrollarán su capacidad de síntesis y de interpretación para realizar análisis, no solo en el área de la estadís-tica, sino también en diversas áreas de la seguridad ciudadana.

La Estadística Inferencial es de suma importancia dentro de la función policial para la prevención del delito, es por ello que realizar estudios estadísticos a

diversos casos de inseguridad nos permite contribuir a la predicción de los actos delictivos, pues por medio del análisis de los datos arrojados se puede predecir comportamientos que ayuden a considerar medidas para proponer los planes de seguridad.

En esta unidad curricular se desglosan los siguien-tes saberes: Nociones básicas de probabilidad, mues-treo estadístico, estimación de parámetros, estima-ción de intervalos de confianza y prueba de hipótesis. Cada uno de estos saberes está vinculado a su aplica-ción en la seguridad ciudadana y por ello posee un importante contenido práctico.1. Los saberes a desarrollar en cada encuentro didác-

tico son los siguientes:

• encuentro didáctico 1: Nociones de Probabilidad

• encuentro didáctico 2: Estimación de Parámetros

• encuentro didáctico 3: Pruebas de Hipótesis

PROPÓSITO DE LA UNIDAD CURRICULAR

La unidad curricular busca la aproximación de las y los estudiantes a la exploración de diversas re-presentaciones matemáticas que le permitirán

inferir sobre la realidad que le circunda, para desarro-llar la capacidad de análisis en situaciones de su que-hacer diario, a través del estudio de datos estadísticos con el fin de prevenir la comisión de delitos en el ejer-cicio de su función.

TRAMO VII


ORIENTACIONES Y RECOMENDACIONES

Estimada y estimado discente, valorando la im-portancia que tienes para nuestra Institución, hacemos llegar a tus manos el presente mate-

rial didáctico, que contiene una serie de actividades a realizar durante el desarrollo de la unidad curricu-lar Estadística Inferencial Aplicada a la Función Policial, coadyuvando al empoderamiento de los saberes en cada uno de los encuentros didácticos. Por esta razón, se ha establecido que cada encuentro se desarrolle de manera orientada y creativa, que sea enriquecido con tus aportes vinculados a las experiencias previas del ejercicio de tu función en el servicio de policía y que, para un mayor aprendizaje colaborativo, podrás realizar en equipo.

En este sentido, te invitamos a:• Leer en detalle la introducción de cada encuentro,

pues allí se describen las actividades que desarro-llarás durante el proceso de aprendizaje previsto en esta acción formativa.

• ser consciente de tu proceso de formación, re-flexionando e investigando sobre cada una de las actividades propuestas.

• Consultar con tu educadora o educador, quien siempre estará a tu disposición.

• Realizar todas las lecturas del material y consultar otras fuentes relacionadas con los saberes aborda-dos en el encuentro.

• Realizar todas las actividades propuestas de ma-nera progresiva, iniciando con el encuentro didác-tico 1 y así sucesivamente.

• No perdamos la oportunidad de vivir la expe-riencia de compartir nuestras habilidades, for-talezas, dudas, saberes, conocimientos y estra-tegias de aprendizaje con nuestras compañeras y compañeros.

• Mantengamos siempre una actitud responsable y protagónica.

• Aprovechemos los recursos existentes (biblioteca virtual, laboratorios de informática, material di-dáctico, libros vivientes, entre otros) para enrique-cer nuestro aprendizaje.

• Investiguemos sobre los saberes abordados en cada encuentro didáctico, ello permitirá profun-dizar y tener una visión holística de los mismos al vincularlo con el ejercicio de nuestras funciones.

• Por último, mantengamos una actitud favorable para realizar todas las actividades; recordemos que ello implica tener una buena disposición y buen estado de ánimo para emprenderlas.

ESTRUCTURA DEL MATERIAL DIDÁCTICO

introducción: en esta parte se contextualiza cada en-cuentro y se explica su finalidad y alcance a través de los aspectos a abordar, las relaciones con los demás encuentros e incluso algún antecedente importante que se deba resaltar para, finalmente, expresar el pro-pósito que tiene dicho encuentro en la organización del Material Didáctico.Orientaciones: cada encuentro tiene las orientacio-nes específicas que indicarán la manera de abordar las actividades propuestas; en ellas están descritos los pasos a seguir para alcanzar las metas.actividades: para efectos de los logros que esta uni-dad curricular pretende, se establecen actividades que le dan coherencia a los encuentros didácticos, ellas son: ejercicios teóricos y casos prácticos, lecturas e investigación. Todos se encuentran intercalados en el desarrollo de cada encuentro y, en algunos casos, la actividad final estará acompañada de las respuestas correctas. La finalidad de este apartado es contribuir con la comprensión y facilitar el manejo de las situa-ciones propuestas. encuentro Didáctico: en la UNEs, los encuentros didácticos reflejan las políticas, los principios, funda-mentos y bases que le dan sustento al modelo educa-

11TRAMO VII


tivo que rige nuestra institución (Educación Popular), expresando así, las orientaciones teórico-metodoló-gicas de la acción educativa, que tienen un propósi-to claro y vinculado con el saber a desarrollar. Éstas facilitan, orientan e informan de manera secuencial los contenidos para la activación de los saberes mediante la puesta en práctica de actividades, a fin de provocar su evocación, la investigación y el análisis crítico reflexivo en las interacciones de aprendizaje.

Dorrego y García (2001) y Feo (2009) definen en-cuentro didáctico como el acercamiento de las y los estudiantes con las estrategias instruccionales inmer-sas en el material didáctico, trascendiendo así de los procesos educativos de ambientes de aprendizaje convencionales a las necesidades de aprendizaje donde la interacción presencial continua de las y los educadores y estudiantes no es indispensable para lograr las metas comunes de aprendizaje.encuentro presencial: está caracterizado por la Política de Administración del PNF Policial como el acompañamiento permanente de las y los estu-

diantes, educadoras y educadores y la comunidad, en diferentes ambientes de aprendizaje. Por ello, la asistencia a los encuentros presenciales es de carác-ter obligatorio, a fin de cumplir con las actividades de capacitación y mejoramiento profesional. En este sentido, el recorrido de las actividades didácticas que tendremos en los encuentros presenciales permitirá aclarar dudas, intercambiar y fortalecer los saberes, compartir reflexiones y valorar nuestro proceso de aprendizaje. evaluación: se propone asegurar la calidad del pro-ceso de formación que se desarrolla en la UNEs, a tra-vés de la evaluación formativa durante el desarrollo de los encuentros didácticos y la evaluación sumativa en los encuentros presenciales, entendiendo que el proceso de evaluación busca potenciar las habilida-des y capacidades desarrolladas por las y los estudian-tes en relación con los planteamientos descritos en el encuentro didáctico, con el fin de regular o modificar las acciones pedagógicas propias de la universidad.

TRAMO VII


pROpÓSiTO

Conocer las nociones de probabilidad y su aplicabilidad en la función policial.

encUenTRO DiDÁcTicO 1.

nOciOneS De pROBaBiliDaD

Para desarrollar los saberes mencionados anteriormente te presentamos unas actividades que consisten en:

1. Preguntas generadoras, a partir de las cuales, activarás tus saberes previos con respecto a la temática que se va a desarrollar, con el fin de partir de tu realidad, condición histórica, y de la toma de conciencia crítica en torno a ella.

2. Problemas de probabilidad que nos permiten ejercitarnos y comprender las nociones de probabilidad que más adelante profundizaremos y aplicaremos en la estadística.

3. Una encuesta que permitirá posteriormente calcular diversas probabilidades en base a la misma. Con estos cálculos podemos describir la población a la cual entrevistamos.

Para culminar el encuentro nos encontraremos con una actividad final donde deberás utilizar todo lo apren-dido, consta de ejercicios con distintos niveles de complejidad. Al finalizar encontraras una clave de respuestas que te permitirá evaluar tus avances.

Estimados y estimadas estudiantes, el encuentro didáctico denomina-do “Nociones de probabilidad” pretende que nos apropiemos de los con-ceptos básicos de la probabilidad enmarcados en su aplicación dentro de las funciones policiales. En este sentido, abordaremos los siguientes saberes: Definición de probabilidad, espacio muestral, evento, conjunto, probabilidad condicional, probabilidad en conjuntos, teorema de Bayes, variables aleatorias, combinatoria, variables aleatorias discretas y conti-nuas y distribución de probabilidad.

acTiviDaD 1. lecTURa: inTRODUcciÓn a la pROBaBiliDaD

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes, aunque las condiciones iniciales en las que se produ-ce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lan-zar una moneda unas veces resultará cara y otras ve-ces sello. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.

En el lenguaje habitual, frases como “probablemen-te...”, “es poco probable que...”, “hay muchas posibilida-des de que...” hacen referencia a esta incertidumbre.

La teoría de la probabilidad pretende ser una he-rramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo; por otra parte, cuando aplicamos las técni-cas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación

de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas.

pROBaBiliDaD

La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La probabilidad de un even-to es medida por valores comprendidos entre 0 y 1. Mientras mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad estará más próxima a 1. La probabilidad de certeza es 1. La probabilidad de una imposibilidad es 0. Esto se podría expresar así :

Por tanto,

¡Leamos Con atenCión!

13TRAMO VII


En donde es algún evento.La probabilidad de que el sol salga mañana es

muy alta – muy cercana a 1. La probabilidad de que se aumente el sueldo en un 50% ó más, estando en el otro extremo, está muy cerca de cero.

El proceso que produce un evento se denomina experimento. Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien de-finido. Lanzar un dado (mitad de un par de dados) es un experimento. Un resultado bien definido en un número de 1 a 6. Un experimento puede consistir en revisar un producto para determinar si cumple con ciertas especificaciones de fabricación. El resultado es o (1) defectuoso o (2) no defectuoso.

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados para un experimento. El espacio muestral para lanzar un dado es:

Mientras que el espacio muestral para el experi-mento de lanzar una moneda al aire es:

La probabilidad de que al menos uno de los even-tos que están en el espacio muestral ocurra es igual a 1. si se lanza un dado, el resultado debe ser un nú-mero entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:

De manera informal o clásica, podemos calcular la probabilidad de un experimento A de la siguiente forma:

Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor a 3 al lanzar un dado?; que caiga

un número menor a 3 significa un 1 ó un 2 y como la cantidad de resultados posibles es 6 (El número de la-dos de un dado), entonces nuestra probabilidad sería:

No siempre se conoce la cantidad total de resulta-dos posibles de un experimento o la cantidad de re-sultados contenidos en el mismo, es por ello que po-demos definir la probabilidad a partir de un número de experimentos seguidos realizados de la siguiente forma (llamada empírica o por frecuencias relativas):

por ejemplo: si se quiere tener una idea de cuál es la probabilidad de que eligiendo un o una discente de la universidad al azar, éste o ésta tenga ojos cla-ros, se puede tomar a 50 estudiantes al azar y contar cuántos o cuántas tienen ojos claros. Luego si 13 de esos 50 tienen ojos claros, estimaremos que:

si en vez de examinar a 50 estudiantes hubiéra-mos examinado a 200, la exactitud esperable sería mayor. Por ejemplo quizás entre los 200 estudiantes habría 53 con ojos claros, y entonces:

eSpaciO mUeSTRal

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de es-pacio muestral.

Algunos ejemplos de espacio muestral son:

1. si el experimento consiste en arrojar un dado y ob-servar el número que sale, el espacio muestral es:

TRAMO VII


Vemos que el espacio muestral se denota con la letra e.

2. si el experimento consiste en tomar un lapicero y medirlo, el espacio muestral es:

Vemos que el espacio muestral no tiene por qué ser un conjunto finito. Como en este caso el resultado puede ser cualquier número real positivo, E tiene infi-nitos elementos.

3. si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver con qué letra empieza el título, el espacio muestral es:

Vemos que los resultados posibles del experimen-to, es decir, los elementos del espacio muestral, no tienen necesariamente por qué ser números. En este caso son letras.

4. si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio muestral es:

Aunque también podríamos haber respondido si consideráramos como un resultado posible el caso en que la moneda caiga de canto.

Vemos que el conjunto de resultados posibles para un experimento es subjetivo. Generalmente adecua-mos el espacio muestral a lo que consideramos po-sible o no posible, y a los fines del experimento. Por ejemplo, en este caso una solución posible es definir y determinar que si cae de canto, se tira nuevamente.

evenTO

Un evento (también llamado suceso) del espacio muestral es un subconjunto de éste. Algunos ejem-plos pueden ser:

1. En el experimento de arrojar un dado y ver qué sale, el espacio muestral es:

Cualquier subconjunto de E es un evento, por lo tanto ejemplos de eventos de este experimento pueden ser:

1) {1}2) {6}3) {3, 4}4) {4, 5, 6}5) {1, 3, 5}6) {2, 4, 6}

También podemos expresar estos subconjuntos por comprensión:

1) “que salga un número par”2) “que salga un número impar”3) “que salga un número mayor que 3”

Y no olvidemos los siguientes subconjuntos:

1) {}

Dicho evento es conocido como “evento nulo”, “evento falso” o “evento imposible”. Además de la no-tación {} se puede usar la alternativa 0.

1. {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Este subconjunto del espacio muestral es exacta-mente el espacio muestral (recordemos que un con-junto siempre es subconjunto de sí mismo). Dicho su-ceso es conocido como “evento verdadero”, “evento forzoso” o “evento cierto”.

2. En el experimento de tomar un lapicero y medir su longitud en cm:

Ejemplos de eventos (es decir, subconjuntos de E) pu-eden ser:

1) {15}

2) {14,2}

3) {17,3333333...}

4)

15TRAMO VII


si el suceso A consiste en obtener cara al tirar una moneda, entonces podríamos definir:

1) El experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale.

2) El espacio muestral es 3) El evento A es Vemos que

Como dijimos antes, un suceso es un subconjunto del espacio muestral.

conjuntos

Como los eventos son conjuntos, operar con even-tos es operar con conjuntos.

1. intersección de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, es el conjunto que ocurre cuando suceden simultáneamente A y B. se puede llamar “A intersección B” o bien “A y B”.

ejemplo:

se tira un dado, y se definen los eventos:

a: que salga menos de 4B: que salga más de 2

Con lo cual queda:

2. conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes:

son los conjuntos cuya intersección es nula. Da-dos los conjuntos a y B, son disjuntos

ejemplo:

se tira un dado, y se definen los sucesos:a: que salga 1 ó 2B: que salga más de 4

Con lo cual queda:

Como A y B tienen intersección nula, no pueden suce-der simultáneamente.

3. Unión de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, es el conjunto que resulta cuando ocurre

A, B, o los dos simultáneamente. se puede llamar “A unión B” o bien “A ó B”.

TRAMO VII


ejemplo:

se tira un dado, y se definen los sucesos:a: que salga menos de 4B: que salga 2 ó 6

Con lo cual queda:

4. complemento de los conjuntos:

Dado un conjunto A, su “complemento” es el con-junto que contiene los elementos que no están en A. El complemento de A se escribe o bien y se lla-ma “complemento de A”, “A negado” o bien “no A”.

ejemplo:

si arrojó un dado y el conjunto A es que salga un 4, entonces el conjunto es que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6.

Expresados como conjuntos quedan:

Observamos que:

1. Así como A es un subconjunto de E, también es un subconjunto de E.

2. , es decir, la unión de A y forma E. Esto es lógico: llueve o no llueve.No hay ninguna otra posibilidad.

3. . Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden ocurrir al mismo tiem-po. No puede “llover” y “no llover” al mismo tiempo.

pROBaBiliDaD cOnDiciOnal

Con frecuencia se desea determinar la probabili-dad de algún evento, dado que ya otro evento haya ocurrido antes. Lógicamente, ésta es llamada proba-bilidad condicional. se denota como y se lee la “probabilidad de A dado B”.

Ésta es la fórmula general para la probabilidad condicional del evento A; dado que se conoce que el evento B ya ha ocurrido:

pROBaBiliDaD en cOnJUnTOS

Antes de ver algunas probabilidades para conjun-tos, definamos de forma axiomática la función de pro-babilidad. sea E un espacio muestral, y A un evento cualquiera, se llama función de probabilidad sobre el espacio muestral E a P(A) si satisface los siguientes axiomas:

1.

2.

3. si A y B son subconjuntos de E y (Los eventos son disjuntos) entonces

.

Ahora veamos algunas propiedades de la probabi-lidad en conjuntos:

1. Probabilidad de la unión de conjuntos:

Dados dos conjuntos A y B contenidos en el espa-cio E, entonces:

Véase que si los conjuntos son disjuntos ( ) entonces la expresión queda como el tercer axioma.

2. Probabilidad de la intersección de conjuntos:

Para esta probabilidad vamos a usar la definición de probabilidad condicional:

17TRAMO VII


TeORema De BaYeS

En el año 1763, dos años después de la muerte del reverendo Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la deter-minación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados (Probabili-dad condicional). El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. El teorema dice lo siguiente: si B1, B2,…, Bn son eventos mutua-mente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir , entonces

Veamos un ejemplo: Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, el 90% (P=0,9) lo tenía mientras que únicamente el 5% (P=0,05) de los no fumadores lo padecía. si la proporción de fu-madores es de 0,45, ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador?

sean B1 y B2 los eventos “el paciente es fumador” y “el paciente no es fumador”. se supone que las probabilidades para estas dos alternativas son 0,45 y 0,55, respectivamente. si un paciente tiene, o no, cáncer pulmonar puede estar afectado por cual-

quiera de las dos alternativas que constituyen la evi-dencia experimental. se sabe que y

. se desea determinar la probabili-dad de seleccionar un fumador, puesto que el pacien-te tiene cáncer, o .

Así por el teorema de Bayes tenemos:

Así, la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado aleatoriamente sea fumador, es de 0,9364.

vaRiaBleS aleaTORiaS

Vamos a llamar variable aleatoria a una variable cuyo valor sería el resultado de un determinado ex-perimento, si lo hiciéramos. Por ejemplo, si el experi-mento consiste en arrojar un dado, podemos definir la variable aleatoria X cuyo valor será el número que salga en el dado. El conjunto de valores posibles de X es el espacio muestral. Y en general nos interesará cuál es la probabilidad de que X asuma cada valor.Usaremos variables porque nos permiten operar y mostrar determinadas conclusiones.

Para el caso del dado, podemos escribir “la probabi-lidad de que al tirar el dado salga un número mayor que 3” simplemente como P(X > 3), habiendo antes definido X como el número que saldría si tiráramos el dado.

TRAMO VII


Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas. Para designar a uno de sus valores posibles, se usan las letras minúsculas. Por ejemplo, si X es la variable aleatoria asociada a lo que sale al tirar un dado, podemos decir que:

cOmBinaTORia

El cálculo combinatorio es una herramienta mate-mática que, dada una determinada cantidad de ele-mentos, permite calcular de cuántas formas posibles podemos tomar una parte de ellos y/u ordenarlos.

Por ejemplo, si tenemos un mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de ese mazo, nos puede interesar calcular cuántas manos distintas podría reci-bir. Es decir, cuántas “combinaciones” se pueden for-mar con 5 cartas tomadas de entre 52.

Veamos cada modo de calcular las combinatorias:

permutación

se tienen n elementos, y se desea ver de cuántas formas se les puede ordenar. Es decir, los elementos son siempre los mismos, y cada forma posible sólo di-fiere de las demás en el orden en que se toman los elementos.

Fórmula:

Donde “n” es la cantidad de elementos a ordenar

ejemplo:

¿De cuántas formas se pueden ordenar los ele-mentos {a,b,c}?

abc, acb, bac, bca, cab, cba (6 formas)

variación

Es como la permutación, pero no se usan los n ele-mentos sino que se utilizan solamente k de ellos. Enton-ces habrá que tener en cuenta no solamente el orden, sino cuáles de los n elementos se eligen (naturaleza).

Fórmula:

Donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad de elementos que se eligen. se lee: “varia-ciones de n elementos tomados de k”.

ejemplo:

se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿De cuántas for-mas se pueden tomar 2 de ellos, sin repetir ninguno, y teniendo en cuenta el orden?

Comencemos por aclarar que:

1) tener en cuenta el orden significa que “ab” ¹ “ba”2) tener en cuenta la naturaleza significa que elegir

al a y al b no es lo mismo que elegir al a y al c.

Entonces las variaciones en este caso son:

ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc

combinación

Consiste en tomar k elementos entre n que hay en total, sin importar en qué orden. Es decir, impor-ta la naturaleza (“cuáles”) pero no importa el orden. Observamos que esto es como las variaciones, pero olvidándonos del orden; las variaciones distinguen “ab” de “ba”, en cambio para las combinaciones “ab” = “ba”, y sólo importa el hecho de que fueron “a” y “b” los elementos elegidos.

Fórmula:

Donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad que se toman.

19TRAMO VII


ejemplo:

se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿Cuántas formas posibles hay para elegir 2?

Comencemos por aclarar que como son combina-ciones, no tenemos en cuenta el orden, con lo cual “ab” = “ba”. Además recordamos que por tratarse de combinación simple, no se puede elegir 2 veces el mismo elemento. Entonces en este caso las combina-ciones son:

ab, ac, ad, bc, bd, cd.

vaRiaBleS aleaTORiaS DiScReTaS Y cOnTinUaS

Comparemos ahora el ejemplo del dado con este otro: haremos el experimento de elegir una naranja al azar en una verdulería, y llamaremos Y al peso de la naranja elegida. si pensamos en los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria Y, veremos que no solamente son infinitos, sino que además, dado un valor posible no hay un “siguiente” porque entre cual-quier valor y aquel al que consideráramos su “siguien-te” hay infinitos valores posibles. La variable aleatoria X es discreta. La variable aleatoria Y es continua.

En principio definiremos las variables aleatorias discretas y continuas así:

1. variable aleatoria discreta: Aquella cuya canti-dad de valores posibles es finita, o infinita pero nu-merable. En otras palabras, aquella cuyos valores posibles son todos puntos aislados del conjunto de valores posibles. Dicho incluso de una tercera forma: aquella tal que si tomamos dos, cualesqui-era de sus valores posibles, hay entre ellos una cantidad finita de valores posibles.

2. variable aleatoria continua: Aquella que no es discreta, es decir, aquella tal que la cantidad de va-lores posibles es infinita y no numerable.

¿A qué nos referimos con infinito numerable y no nu-merable?

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales tiene una cantidad finita pero numerable de elemen-tos, porque sus elementos se pueden enumerar. En cambio, el conjunto de los números reales tiene una cantidad infinita no numerable de elementos, porque sus elementos no se pueden enumerar.

veamos un problema:

1) Indique para cada una de las siguientes variables aleatorias si son discretas o continuas. Haga las aclaraciones que considere necesarias.

a) El número que sale al tirar un dado.b) La cantidad de caras que salen al tirar 5 monedas.c) La cantidad de accidentes por mes.d) Peso de una naranja.e) Diámetro de una arandela.f ) El país donde nació una persona.g) La edad de una persona.

Resolución:

a) Discreta. La cantidad de resultados es finita.b) Discreta. La cantidad de resultados es finita.c) Discreta. Aunque la cantidad de resultados es in-

finita, porque no hay un valor máximo posible, es numerable, porque los resultados se pueden enu-merar. Otra forma de ver que es discreta: todos los resultados son puntos aislados.

d) Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no podemos enumerar todos los resultados). Otra forma de ver que es continua: los resultados no son puntos aislados, sino que forman un continuo (por ejemplo, un segmento de recta).

e) Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no podemos enumerar todos los resultados).

f ) Discreta. La cantidad de resultados es finita. Ob-servemos que las variables que no son numéricas por lo general son discretas.

TRAMO VII


g) Puede ser discreta o continua. si tomamos la edad como la cantidad entera de años que ha vivido la persona, entonces es discreta. si tomamos la edad como un número real de años que ha vivido la per-sona (ejemplo: 5,37 años) entonces es continua.

DiSTRiBUciÓn De pROBaBiliDaD

Una variable aleatoria tal que todos sus valores po-sibles son equiprobables es un caso muy particular. En general, cada uno de los valores posibles puede tener distinta probabilidad. Por eso nos interesa es-tudiar cómo se distribuyen las probabilidades en los distintos valores posibles de la variable.

Al conjunto de valores posibles, y la relación entre ellos y sus respectivas probabilidades, se le conoce como distribución de probabilidad.

Notemos que:

1) La probabilidad de un determinado valor no pu-ede ser menor que cero.

2) La suma de las probabilidades de todos los valores da 1, porque al hacer el experimento siempre se obtiene uno de los resultados posibles.

La distribución de probabilidad se puede expresar de diversas formas. Generalmente se usa la función de densidad de probabilidad.

fUnciÓn De DenSiDaD De pROBaBiliDaD

Esta función le asigna a cada valor posible de la va-riable aleatoria un número real que consiste en la pro-babilidad de que ocurra, y por supuesto debe cumplir con las2 condiciones que enunciamos antes:

a) no puede ser negativa en ningún punto.b) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1.

Puede pensarse que la condición a es insuficiente, porque la probabilidad no solamente no puede ser menor que cero, sino tampoco mayor que uno. Pero agregar esa condición sería redundante, porque la con-dición b garantiza que eso no puede ocurrir, ya que si la probabilidad para un valor fuera mayor que 1, como

ninguna probabilidad puede ser negativa, entonces la suma daría necesariamente mayor a 1.

En variables aleatorias discretas, la función de densidad se define así:

Es una función que a cada valor posible le asig-na su probabilidad.

Es una función de densidad de probabilidad discreta si y solo si cumple con:

1) 2)

Veamos algunas funciones de distribución comunes:

BeRnOUlli

Es un experimento que puede arrojar dos resulta-dos posibles. A uno de los resultados se le denomina arbitrariamente “éxito” y al otro “fracaso”. El experi-mento de Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de “éxito”).

Distribución:

“¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n in-tentos?”

si

Es decir: X es una variable binomial con parámetros n y p

Es decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n experimentos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito p.

Daniel Bernoulli, matemático, físico, estadístico y médico holandés-suizo

21TRAMO VII


pOiSSOn

“¿Cuál es la probabilidad de obtener x eventos en el intervalo estudiado?”

si bien el proceso de Poisson trabaja con los pará-metros (longitud del intervalo) y (intensidad), la distribución de Poisson usa solamente el parámetro

Como es la longitud del intervalo, y es la cantidad esperada de eventos porunidad de tiempo, entonces m resulta ser la media. Es decir que esta dis-tribucióntiene la característica de que su media resulta valer directamente lo mismo que valga el parámetro .

si .

Es decir: X es una variable Poisson con media .

Es decir: X es la variable que representa la cantidad de eventos obtenidos en un intervalo de longitud e intensidad . Entonces:

normal

Cuando la función de densidad es la siguiente: GaUSS

La distribución se llama “Normal” (o de “Gauss”).

La gráfica de esta función de densidad se conoce con el nombre de “campana de Gauss”.

A primera vista podemos observar:

1. A diferencia de todas las distribuciones que vimos an-teriormente, es no-nula para todos los números reales.

2. Tiene 2 parámetros, y .

El parámetro puede ser cualquier número real, y es, directamente, la media de la distribución.

El parámetro puede ser cualquier número real positivo, y es, directamente, el desvío estándar de la distribución.

La notación significa que la variable aleatoria tiene una distribuciónnormal con pará-metros y . O dicho de otra forma, que la variable aleatoria tiene una distribución normal, cuya media es , y cuya varianza es .

Cuando y , la distribución se lla-ma normal estándar. se puede demostrar que si es cualquier variable aleatoria normal, y tomamos la va-riable aleatoria , entonces, resulta ser una variable aleatoria normal estándar.

Es decir: lo cual puede ser demostrado mediante un simple cam-bio de variables. Esto nos permite, dada cualquier va-riable aleatoria normal, encontrar una variable alea-toria normal estándar, que es la que encontraremos en las tablas.

TeORema cenTRal Del lÍmiTe

si es el promedio de una muestra de tamaño n de una población con media y desviación estándar

, entonces la variable aleatoria tiene una distribución aproximadamente normal estándar, bajo las siguientes condiciones:

TRAMO VII


1. si , la distribución de es aproximadamente normal estándar sin importar la distribución de las .

2. si , la distribución de es aproximadamente normal solamente si la distribución de las no difiere mucho de la distribución normal (por ejemplo: si es simétrica).

3. si la distribución de las es normal, la distribución de es normal sin importar el valor de n.

acTiviDaD 2. laS pROBaBiliDaDeS en nUeSTRO qUeHaceR DiaRiOEn nuestro quehacer cotidiano se presentan situaciones en las cuales los resultados parecen no tener un

patrón, se podría decir que los resultados son una cuestión de “azar”. Por ejemplo, al lanzar un dado al aire, éste puede caer en cualquier número del 1 al 6, y no podemos saber con exactitud cuando sale uno u otro. Estas situaciones podrían llamarse aleatorias.

Las probabilidades son una herramienta que nos permiten modelar estas situaciones, y así poder tener una noción de los posibles resultados.

Conociendo esto, te invitamos a reflexionar en función de las siguientes preguntas generadoras partiendo de tus saberes y de los saberes estudiados en este encuentro:

1. ¿qué entiendes por probabilidad? Descríbelo con tus propias palabras.

2. ¿cómo usas o podrías usar la probabilidad en tu vida diaria?

3. ¿cómo las probabilidades podrían ser una herramienta útil en tu rol como funcionario o funcionaria policial?

acTiviDaD 3. calcUlanDO pROBaBiliDaDLas probabilidades nos permiten modelar situaciones aleatorias de nuestra vida. Éstas reflejan un número

que indica la posibilidad de que suceda o no un evento. Con esto podemos comprender mejor lo que está su-cediendo y hasta predecir posibles sucesos futuros. Por ello, te invitamos a realizar la siguiente actividad en la cual es necesario calcular la probabilidad de eventos de nuestro quehacer.

Resolvamos los siguientes planteamientos:

1. Calculemos la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salga:a. Dos caras.b. Una cara y un sello.c. Dos sellos o una cara y un sello

23TRAMO VII


2. En la unidad motorizada de una estación policial se recibió una dotación de 12 motos, de las cuales 5 son de cilindraje de 250cc y 7, el resto, de 650cc. si se encuentran 3 funcionarias y 8 funcionarios activos en este servicio. Responda:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que a una funcionaria le toque una moto con cilindraje de 250cc?b. ¿Cuál es la probabilidad de que a un funcionario le toque una moto con cilindraje de 250cc?c. ¿Cuál es la probabilidad de que a una funcionaria le toque una moto con cilindraje de 650cc?

3. En una estación policial integrada por 32 funcionarios y 18 funcionarias policiales, de los cuales, la mitad de ambos grupos de oficiales están adscritos al servicio de vigilancia y patrullaje

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea funcionario y que esté en el servicio de vigilancia y patrullaje?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea funcionaria y no esté en el servicio de vigilancia y patrullaje?c. ¿Cuál es la probabilidad de que ejerza en el servicio de vigilancia y patrullaje dado que sea funcionaria?

acTiviDaD 4. ReSOlvienDO pROBlemaS De pROBaBiliDaD

Estimadas y estimados estudiantes, en la actividad número 2, titulada “Calculando probabilidad”, resolvi-mos problemas de probabilidad; en este apartado te proponemos que determines algunas probabilidades relacionados a nuestro quehacer. Los problemas son:

1. Realiza una encuesta en tu comunidad de una muestra mayor a 30 personas, la encuesta rec-ogerá datos como:

a. Nombre.b. Mes de nacimiento.c. Edad.d. sexo.e. Estado civil.f. Problema de la comunidad que más le afecta.

Elabora una tabla de frecuencias con los datos recogidos. Esta encuesta nos permite caracterizar la población de una determinada región. Calcula los porcentajes de los renglones: mes de nacimiento, edad, sexo, estado civil y problema de la comunidad que más le afecta, y determina las siguientes proba-bilidades:

a) Al seleccionar una encuesta al azar ésta tenga una edad menor a 25 años.

b) Al seleccionar una encuesta al azar ésta sea soltera o soltero.

c) selecciona uno de los problemas de las comuni-dades y calcula la probabilidad de que se escoja ese problema al seleccionar dos encuestas al azar.

d) Al seleccionar una encuesta al azar ésta tenga una edad entre 20 y 30 años y sea mujer.

e) Al seleccionar tres encuestas al azar la probabilidad de que alguna tenga mes de nacimiento enero.

f ) Al seleccionar una encuesta al azar ésta esté casa-da, dado que tiene una edad mayor a 25 años.

Redacta tus conclusiones sobre la población estu-diada basándote en las probabilidades y porcentajes calculados. Haz énfasis en la problemática de la co-munidad.

TRAMO VII


acTiviDaD finalCon el fin de sistematizar los saberes abordados a través de las actividades planteadas en el encuentro di-

dáctico, cerraremos con una actividad final donde podrás valorar tu proceso de aprendizaje. En esta sección, encontrarás una serie de planteamientos referidos a problemas de la probabilidad y su aplicabilidad en la fun-ción policial, a los cuales darás respuesta clara y coherente. Para ello:

Respondamos todas las preguntas planteadas en el orden que se te presentan.socialicemos tus reflexiones y comentarios con tus demás compañeras y compañeros de ambiente en los

encuentros presenciales.sistematicemos la experiencia para establecer relaciones entre los saberes abordados y nuestro contexto

laboral.Al finalizar todos los ejercicios, puedes comparar tus respuestas con la hoja de respuestas ubicada al final

del encuentro didáctico.

actividades

1. sean A y B dos sucesos y , sus complementarios. si se verifica que , y, hallar:

a.

b.

c.

2. En un polígono de tiro se realiza una práctica por parte de dos funcionarios policiales. El primero da en el blanco (disco metálico) con un promedio de 2 aciertos cada 5 disparos y el segundo un acierto cada 2 dis-paros. si los dos disparan al mismo tiempo hacia el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que den en el blanco?

25TRAMO VII


3. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 10 oficiales policiales en una fila de 4 oficiales?

HOJa De ReSpUeSTaS1. a. Calculamos . si , entonces , por tanto , Entonces, .

b. Calculamos . Aplicamos . Conocemos todo menos , despejamos y nos queda:

, sustituimos p(A)= .

c. Calculemos . Apliquemos p(A/B)= .

2. La probabilidad del primer funcionario es p(A)= 2/5 y del segundo funcionario es de p(B)= ½ .

Luego la,

Finalmente,

3. Nótese que no importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez. Por lo tanto, hay

maneras.

TRAMO VII


Estimados y estimadas estudiantes, en el encuentro didáctico esti-mación de parámetros abordaremos los siguientes saberes: muestreo, intervalos de confianza y estimación de errores. Cada una vista desde la perspectiva de mirada policial, los cuales contribuyen como herramientas importantes que fortalecen el ejercicio de las funcionarias y funcionarios policiales en aras de garantizar la seguridad ciudadana.

Para desarrollar los saberes mencionados anteriormente, te presen-tamos varias actividades que deberás realizar con el fin de sintetizar tu teoría y práctica desde la función policial, dentro de las cuales tenemos:

1. Lectura sobre Estimando Parámetros en la Función Policial, lo que nos permitirá profundizar sobre la teoría de muestreo, que puede emplear-

pROpÓSiTO

Facilitar a las y los estudiantes herramientas teórico-practicas que le permitan estimar e inferir situaciones inherentes a sus funciones.


eSTimaciÓn De paRÁmeTROS

se para obtener información acerca de muestras obtenidas aleatoriamente de una población conocida.2. seguidamente, algunos planteamientos vinculados al ejercicio de tus funciones donde se utilice la estima-

ción de parámetros para describir una población y en el que debas plantear las soluciones, para luego hacer un escrito reflexivo que nos hable de las ventajas de la estimación.

3. Luego, la actividad Estimando Parámetros en la Función Policial será la oportunidad de practicar para apren-der a reconocer cómo llevar a cabo todo el proceso de análisis de los datos o información recogida a través de un estudio. El propósito de la misma es brindarnos herramientas que nos permitan elaborar un informe completo sobre las situaciones de una determinada población.

Para culminar el encuentro, presentamos una actividad final donde deberás utilizar todo lo aprendido, cons-ta de ejercicios con distintos niveles de complejidad. Al final, encontrarás una clave de respuestas que te per-mitirá evaluar tus avances.

Iniciemos nuestro recorrido con la mejor disposición para aprender y así a enriquecer nuestra función policial.

acTiviDaD 1. lecTURa: eSTimaciÓn De paRÁmeTROSPor lo general las poblaciones a estudiar son muy

grandes como para ser estudiadas en su totalidad. su tamaño requiere que se seleccionen muestras, las cuales se pueden utilizar más tarde para hacer infe-rencias sobre las poblaciones. si un oficial quiere es-tudiar la edad promedio de las personas que come-tieron un delito en los últimos 3 años, la población puede ser muy grande y por lo tanto calcular el pro-medio resultaría muy complicado. sería mucho más

fácil estimar la media poblacional con la media de una muestra representativa.

Hay por lo menos dos tipos de estimadores que se utilizan más comúnmente para este propósito: un estimador puntual y un estimador por intervalo. Un estimador puntual utiliza un estadístico (cantidad ob-tenida de una muestra con el propósito de estimar un parámetro de la población) para estimar el parámetro en un solo valor o punto. Por ejemplo, el oficial puede

27TRAMO VII


tomar una muestra de tamaño 100 y calcular el pro-medio de las edades.

Una estimación por intervalo especifica el rango dentro del cual está el parámetro desconocido. El ofi-cial puede decir que la media poblacional está entre 24,3 y 27,8. Tal intervalo, con frecuencia va acompaña-do de una afirmación sobre el nivel de confianza que se da en su exactitud. Por tanto se llama intervalo de confianza.

RepaSemOS Un pOcO el mUeSTReO eSTaDÍSTicO:

muestreo

Habitualmente, el investigador no trabaja con to-dos los elementos de la población que estudia sino sólo con una parte o fracción de ella; a veces, porque es muy grande y no es fácil abarcarla en su totalidad. Por ello, se elige una muestra representativa y los datos obtenidos en ella se utilizan para realizar pronósticos en poblaciones futuras de las mismas características.

se conoce con el nombre de muestreo al proceso de extracción de una muestra a partir de la población. El proceso esencial del muestreo consiste en identifi-car la población que estará representada en el estudio.

La importancia del muestreo radica en que no es necesario trabajar con la totalidad de los elementos de una población (N) para comprender con un nivel “razonable” de exactitud la naturaleza del fenóme-no estudiado. Este conocimiento se puede obtener a partir de una muestra que se considere representati-va de aquella población.

Tipos de muestreo

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad.

muestreo probabilístico

Conocido también como muestreo de selección aleatoria, utiliza el azar como instrumento de selección, pudiéndose calcular de antemano la probabilidad de

que cada elemento sea incluido en la muestra. Para Marín Ibáñez (1985) este tipo de muestreo es el que alcanza mayor rigor científico, y se caracteriza porque se cumple el principio de la equiprobabilidad, según el cual todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de salir elegidos en una muestra.

Es la modalidad de muestreo más conocida y que alcanza mayor rigor científico. Garantiza la equipro-babilidad de elección de cualquier elemento y la in-dependencia de selección de cualquier otro. En este procedimiento se extraen al azar un número determi-nado de elementos, ‘n’, del conjunto mayor ‘N’ o po-blación, procediendo según la siguiente secuencia: a) definir la población, confeccionar una lista de todos los elementos, asignándoles números consecutivos desde 1 hasta ‘n’; b) la unidad de base de la muestra debe ser la misma; c) definir el tamaño de la muestra, y d) extraer al azar los elementos.

La muestra quedará formada por los ‘n’ elemen-tos obtenidos mediante sorteo de la población. Los procedimientos más comunes de extracción de los elementos en este tipo de muestreo son: las tablas de números aleatorios, incluidas en los manuales de estadística; los clásicos sistemas de lotería y otros pro-cedimientos de extracción al azar, incluidos las aplica-ciones informáticas.

muestreo estratificado

Este muestreo se utiliza cuando la población está constituida en estratos o conjuntos de la población homogéneos con respecto a la característica que se estudia. Dentro de cada estrato se puede aplicar el muestreo aleatorio o sistemático. Consiste en subdi-vidir la población en subgrupos o estratos con arreglo a la(s) característica(s) que se consideren y en elegir la muestra, de modo que los diferentes estratos estén representados.

Para la obtención de la muestra estratificada se si-guen los siguientes pasos:

a) se divide la población en estratos; b) de cada estrato se extrae una muestra por algún procedimiento de

TRAMO VII


muestreo; c) el número de individuos de cada estra-to se puede decidir por paridad o proporcionalidad; y d) la suma de las muestras de cada estrato forman la muestra total ‘n’. (Latorre, Rincón y Arnal, 2003)

muestreo no probabilístico

En estas técnicas no se utiliza el muestreo al azar, sino que la muestra se obtiene atendiendo al crite-rio o criterios del investigador o bien por razones de economía, comodidad, etc. Consecuentemente, estas técnicas no utilizan el criterio de equiprobabili-dad, sino que siguen otros criterios, procurando que la muestra obtenida sea lo más representativa posi-ble. Estas muestras, al no utilizar el muestreo al azar, no tienen la garantía de las muestras probabilísticas, pero en la práctica son a menudo necesarias e inevi-tables, en opinión de Kerlinger (1975). Dentro de este tipo de muestreo se suele distinguir entre muestreo accidental e intencional o deliberado.

muestreo accidental o no casual

Este tipo de muestreo se caracteriza por utilizar las muestras que tiene a su alcance. se denominan ac-cidentales porque no responden a una planificación previa en cuanto a los sujetos a elegir. De hecho, toma las muestras disponibles sin introducir selección o modificación alguna. Por ejemplo, empresas, centros completos, cursos o grupos dentro de un nivel, etc.

muestreo intencional

En esta técnica, el investigador selecciona de modo directo los elementos de la muestra que desea participen en su estudio. se eligen los individuos o elementos que se estima son representativos o típi-cos de la población. se sigue un criterio establecido por el experto o investigador. se suelen seleccionar los sujetos que se considera pueden facilitar la infor-mación necesaria.

inTeRvalOS De cOnfianzase llama así a un intervalo en el que sabemos que

está un parámetro, con un nivel de confianza específico.

nivel de confianza (nc)

Probabilidad de que el parámetro a estimar se en-cuentre en el intervalo de confianza.

Veamos las ecuaciones para los intervalos de con-fianza de la media en variables aleatorias que se dis-tribuyen de manera normal y no normal.

población

Desviación poblacional conocida

Desviación poblacional desconocido

normal

no normal

Debemos pedir Debemos pedir

Donde:

1. es el promedio muestral.2. es el tamaño de la muestra.3. es el desvío poblacional.4. es el desvío muestral (calculado a partir de la

muestra).5. . Es decir, si nos piden 95% de con-

fianza, 6. .

7. es un valor de la distribución normal es-tándar.

8. es un valor de la distribución t-student.

Los valores y se obtienen de las correspon-dientes tablas.

Recordemos que el símbolo quiere decir que se deben calcular dos resultados uno con el más y otro con el menos

29TRAMO VII


ejemplos:

1) La cantidad de horas que diversos oficiales pa-trullan en una determinada zona es una variable aleatoria normal, cuya media se desea estimar, para lo cual se toma una muestra de 9 días, con las siguientes duraciones en horas, resultan: 6,3; 6,8; 7,3; 5,4; 8,1; 7,9; 6,9; 6,2; 8,3.

se pide, calcular el intervalo del 95% de confianza para estimar la media.

solución:

Como no conocemos el desvío poblacional, usare-mos

El tamaño de la muestra es n = 9.Vamos a necesitar calcular y .

Buscamos el valor de la t-student en la tabla (esta tabla se encuentra al final del capítulo), y obtenemos

.

Ya estamos en condiciones de obtener los límites del intervalo:

De esta forma el intervalo nos queda: .

errores de estimaciónEl error de la estimación viene dado por las siguien-

tes fórmulas:

población Desviación poblacional conocida


normal

no normal


ejemplo: En nuestro problema anterior el error viene dado por:

Tamaño de la muestraEl tamaño de la muestra está dado por el número

de sujetos que componen la muestra extraída de una población.

El tamaño de la muestra se calcula de la siguiente forma:

población Desviación poblacional conocida


normal

no normal


TRAMO VII


TaBlaS De la nORmal

normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090 0,5 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,5279 0,53188 0,53586

0,1 0,53983 0,5438 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,575350,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,614090,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,6293 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,651730,4 0,65542 0,6591 0,66276 0,6664 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,687930,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,7054 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,7673 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,7823 0,785240,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,813270,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891

1 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,862141,1 0,86433 0,8665 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,879 0,881 0,882981,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,901471,3 0,9032 0,9049 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,917741,4 0,91924 0,92073 0,9222 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,931891,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,944081,6 0,9452 0,9463 0,94738 0,94845 0,9495 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,954491,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,9608 0,96164 0,96246 0,963271,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,970621,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,9732 0,97381 0,97441 0,975 0,97558 0,97615 0,9767

2 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,9803 0,98077 0,98124 0,981692,1 0,98214 0,98257 0,983 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,985 0,98537 0,985742,2 0,9861 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,9884 0,9887 0,988992,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,9901 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,991582,4 0,9918 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,993612,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,9943 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99522,6 0,99534 0,99547 0,9956 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,996432,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,9972 0,99728 0,997362,8 0,99744 0,99752 0,9976 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,998072,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861

3 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,9993,1 0,99903 0,99906 0,9991 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,999293,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,9994 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99953,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,9996 0,99961 0,99962 0,99964 0,999653,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,9997 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,999763,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,9998 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,999833,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,999893,7 0,99989 0,9999 0,9999 0,9999 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,999923,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,999953,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

4 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

31TRAMO VII


por ejemplo:

Entonces buscamos en la tabla un valor aproximado a éste, que es: 0,95053, en ese valor a indica en la primera columna 1,6 y en la primera fila 0,05, así el valor de la normal es la suma de ambos, es decir 1,65:

TaBlaS De la T-STUDenT 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995

1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 0,697 0,876 1,088 1,363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 0,695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 0,694 0,870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 60 0,679 0,848 1,046 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617

0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576

por ejemplo:

Buscamos el valor 0,95 en la primera fila y el valor de 25 en la primera columna, así el valor de .

TRAMO VII


acTiviDaD 2. cOnSTRUYenDO pROBlemaS De eSTimaciÓn De paRÁmeTROSLa estimación de parámetros es una herramienta

muy útil dentro de las estadísticas, ya que nos per-mite caracterizar o describir de forma aproximada una población que desconocemos en su mayoría. En la función policial, ésta nos permite comprender di-versas situaciones a partir de una pequeña muestra. Por ello, te invitamos a realizar la siguiente actividad que tiene como propósito desarrollar un pensamien-to analítico con el cual las y los estudiantes lleven a cabo estudios estadísticos vinculados al ejercicio de sus funciones.

La actividad a realizar es la siguiente:

1. Construye 3 planteamientos (problemas) vincula-dos al ejercicio de tus funciones en la cual se utili-

ce la estimación de parámetros para describir una población. Los planteamientos deben incluir el es-tudio de una población específica y la realización de los cálculos estadísticos necesarios para poder estimar parámetros. (Los planteamientos no nece-sitan tener datos reales)

2. Realiza las soluciones a los planteamientos pro-puestos en el ítem anterior.

3. Realiza un escrito en el cual reflexiones sobre las ventajas de la estimación de parámetros en la fun-ción policial.

33TRAMO VII


acTiviDaD 3. eSTimanDO paRÁmeTROS en la fUnciÓn pOlicial

¡sigamos avanzando estimadas y estimados es-tudiantes! En esta oportunidad te proponemos una actividad en la cual podemos llevar a cabo todo el proceso de análisis de los datos o información re-colectada a través de un estudio. El propósito de la misma es brindarnos herramientas que nos permitan elaborar un informe completo sobre las situaciones de una determinada población. Por ello, la actividad que te proponemos es la siguiente:

1. Recolecta información referente al número de situaciones delictivas que han vivido los vecinos

de las comunidades en las cuales te desempeñes. Recolecta una muestra de tamaño 20. La encuesta debe tener: nombre, edad, sexo y el número de si-tuaciones delictivas vividas.

2. Elabora una tabla de frecuencia y un gráfico de barras en la cual se reflejen los resultados de tus encuestas.

3. Estima la media poblacional a partir de la muestra con un nivel de confianza de 95% y calcula el error.

4. Refleja tus conclusiones en un texto de 7 líneas máximo.

TRAMO VII


acTiviDaD final Con el fin de sistematizar los saberes abordados a través de las actividades planteadas en el encuentro di-

dáctico, cerraremos con una actividad donde podrás valorar tu proceso de aprendizaje. En esta sección, encon-trarás una serie de problemas referidos al muestreo, intervalos de confianza y estimación de errores, cada una vista desde una mirada policial, cuyas respuestas deben ser claras y coherentes en función de los aprendizajes adquiridos. Para ello:

Respondamos todas las preguntas planteadas en el orden que se te presentan.socialicemos tus reflexiones y comentarios con tus demás compañeras y compañeros de ambiente en los

encuentros presenciales.sistematicemos la experiencia para establecer relaciones entre los saberes abordados y nuestro contexto

laboral.Al finalizar todos los ejercicios, puedes comparar tus respuestas con la hoja de respuestas ubicada al final

del encuentro didáctico.

actividades.

1. sea la población de elementos: {22,24,26}. suponga que esta población representa el número de armas incautadas en los últimos tres meses en una determinada zona.

a. Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple.

b. Calcule la varianza de la población.

35TRAMO VII


2. se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

95 108 97 112 99 106 105 100 99 98 104 110 107 111 103 110

suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida:

1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?

b. Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.

HOJa De ReSpUeSTaS:

1. a.

b. La varianza de la población es:

TRAMO VII


2. a.

= 104 es la distribución de la media muestral.

b. = = .

Como debemos calcular el intervalo de confianza al 95 %

Luego

Buscamos el valor 0,975 en la tabla de la normal nos encontramos con 0,97615 que es su mayor aproxima-ción, la cual se encuentra en la casilla 1,9 y 0,06. Por lo tanto : = 1,96+0.06= 1,96.

Finalmente, nos queda que:

(104 - 1,96 * 1,25, 104 + 1,9 * 1.25) = (101,55; 106,45) es el nivel de confianza para la media muestra al 95%.

37TRAMO VII


Apreciados y apreciadas estudiantes, en el encuentro didáctico deno-minado pruebas de Hipótesis abordaremos los siguientes saberes: tipos de hipótesis, pruebas bilaterales y unilaterales y tipos de errores, será vis-to desde la perspectiva de la función policial con el fin de contribuir con la prevención y detección del delito.

Para desarrollar los saberes mencionados anteriormente te ofrecemos unas actividades que consisten en:

1. Preguntas generadoras, a partir de las cuales, activarás tus saberes pre-vios con respecto a la temática que se va a desarrollar, esto con el fin de partir de tu realidad, condición histórica, y de la toma de conciencia crítica en torno a ella y al nuevo modelo policial que se construye.

pROpÓSiTO

Brindar a las y los estudiantes

herramientas teóricas que les permitan

realizar hipótesis que impacten en el desempeño de sus

funciones.


pRUeBaS De HipÓTeSiS

2. Lecturas sobre la prueba de hipótesis, pues es una herramienta que nos permite caracterizar una población sin necesidad de manejar los datos completos, es decir, a partir de una muestra se puede inferir la población mediante la realización de una prueba de hipótesis.

3. Prueba de hipótesis a través de diversos ejercicios planteados y, posteriormente, calcular diversas probabili-dades con base en encuestas elaboradas bajo unos estándares con los que podemos describir la población a la cual entrevistamos.

Para culminar el encuentro, presentamos una actividad final donde deberás utilizar todo lo aprendido. Éste consta de ejercicios con distintos niveles de complejidad. Por último, encontrarás una hoja de respuestas que te permitirá evaluar tus avances.

Iniciemos nuestro recorrido con la mejor disposición para aprender y así enriquecer nuestra función policial.

acTiviDaD 1. planTeanDO HipÓTeSiS en la fUnciÓn pOlicialEl nuevo modelo policial busca hacer énfasis en la prevención del delito, es por ello que las pruebas de

hipótesis son una herramienta valiosa en la función policial. Estas pruebas nos permiten plantear hipótesis y evaluarlas a partir de datos recogidos de la población.

Conociendo esto, te invitamos a compartir, en este espacio, tus saberes en referencia a las hipótesis, a partir de las siguientes preguntas generadoras: ¿Qué entiendes por hipótesis? ¿Cómo realizar una hipótesis puede ayudar a la prevención del delito?

Posterior a esto, compartamos con nuestras compañeras y compañeros nuestras reflexiones en el encuen-tro presencial.

TRAMO VII


acTiviDaD 2. lecTURa: pRUeBaS De HipÓTeSiSNuestro objetivo al tomar una muestra es extraer alguna conclusión o inferencia sobre una población. Nues-

tro interés es conocer acerca de los parámetros que caracterizan a la población en estudio. El único motivo para examinar muestras es que las poblaciones suelen ser demasiado grandes y costosas de estudiar.

La prueba de hipótesis es un procedimiento estadístico que comienza con una suposición que se hace con respecto a un parámetro de población, luego se recolectan datos de muestra, se producen estadísticas de muestra y se usa esta información para decidir qué tan probable es que sean correctas nuestras suposiciones acerca del parámetro de población en estudio.

Ejemplos de hipótesis pueden ser, se desea:

a) Probar si la media de robos en el municipio durante un fin de semana ha disminuido con respecto al anterior.b) Probar si el promedio de denuncias por alteraciones de orden público ha disminuido en los últimos fines

de semana.

OBJeTivO De la pRUeBa De HipÓTeSiS

Decidir, basado en una muestra de una población, cuál de dos hipótesis complementarias es cierta.Las dos hipótesis complementarias se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa.

39TRAMO VII


cOncepTOS BÁSicOS

Hipótesis nula (H0)

Representa la hipótesis que mantendremos cierta, a no ser que los datos indiquen su falsedad. Esta hipótesis nunca se considera aceptada, en realidad lo que se quiere decir es que no hay suficiente evidencia estadística para rechazarla por lo que aceptar H0 no garantiza que H0 sea cierta.

Hipótesis alternativa (H1)

Hipótesis que se acepta cuando los datos no respaldan la hipótesis nula.

TipOS De pRUeBaS

a) Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales. Estas pruebas son del tipo:

b) Pruebas de hipótesis de un extremo o unilateral.

b.1)

b.2)

metodología

La lógica de una prueba de hipótesis es similar a la de un juicio penal, donde debe decidirse si el acusado es inocente o culpable y el juicio consiste en aportar evidencia para rechazar la hipótesis de inocencia más allá de cualquier duda razonable. Por su parte una prueba de hipótesis analiza si los datos observados permiten recha-zar la hipótesis nula, comprobando si éstos tienen una probabilidad de aparecer lo suficientemente pequeña cuando es cierta la hipótesis nula.

Las etapas de una prueba de hipótesis son:

a) Definir la hipótesis nula a contrastar.

b) Definir una medida de discrepancia entre los datos muestrales y la hipótesis Ho. supongamos que el parámetro de interés es la media de una población y que apartir de una muestra hemos obtenido su esti-mador , entonces debemos medir dealguna manera la discrepancia entre ambos, que denotaremos como .

c) Decidir qué discrepancia consideramos inadmisibles con , es decir, a partir dequé valor de , la discrepancia es muy grande como para atribuirse al azar y considerar que pueda ser cierta. Para ello debemos entonces:

1. Tomar la muestra.2. Calcular el estimador del parámetro, en nuestro ejemplo .3. Calcular la medida de discrepancia .4. Tomar la decisión: si es “pequeña”, aceptar , si es lo “suficientemente” grande, rechazarla y aceptar .

TRAMO VII


Es por ello que necesitamos establecer una Regla de Decisión mediante la cual sea especificada:

a) La medida de discrepancia.b) Un criterio que nos permita juzgar qué discrepan-

cias son “demasiado grandes”.

Veamos entonces:

a) Medidas de discrepancias:Es natural considerar medidas de discrepancias

del tipo:

En las cuales será posible conocer su distribución de probabilidad.

si las hipótesis son bilaterales, el signo de la des-viación entre no es importante, sin embargo cuando la hipótesis es unilateral el signo de la discre-pancia sí lo es.

b) Cálculo de un valor mínimo para la discrepan-cia para la aceptación de .

Para ello definamos:

nivel de Significancia

Para realizar una prueba de hipótesis, dividire-mos el rango de discrepancias que puede observarse cuando es cierta en dos regiones: una región de aceptación de y otra de rechazo.

se consideran discrepancias “demasiado grandes”, las que tienen una probabilidad pequeña de ocurrir si

es cierta. A este valor lo llamamos nivel de signi-ficación: generalmente tomamos valores de 0,1; 0,05; 0,01 ó 0,005.

El nivel de significación puede interpretarse tam-bién, como la probabilidad que estamos dispuestos a asumir para rechazar cuando ésta es cierta. Cabe destacar que mientras más alto sea el nivel de signifi-cancia que se utiliza para robar una hipótesis, mayor

será la probabilidad de rechazar una hipótesis nula cuando es cierta.

Región de Rechazo

Una vez fijado , la región de rechazo se deter-mina a partir de la distribución de probabilidad de

cuando es cierta. Como esta distribución es conocida elegiremos de manera que discrepan-cias mayores de tengan probabilidad de ocurrir menor de , si es cierta.

La región de rechazo será y la de no re-chazo será por consiguiente:

si la discrepancia observada cae en la región de rechazo se dice que se ha producido una diferencia significativa y se rechaza la hipótesis nula .

Tipos de errores

Cuando se decide sobre el rechazo de una hipóte-sis se pueden cometer dos equivocaciones.

1. Error tipo I ( ): es el rechazo de una hipótesis nula cuando es cierta. P(Error tipo I) = (su probabili-dad es el nivel de significancia).

2. Error tipo II ( ): es la aceptación de una hipótesis nula cuando es falsa. Una vez especificado el valor de , el de queda fijado para cualquier tamaño de muestra determinada. El valor de depende del valor verdadero de , por lo tanto existe un número infinito de valores de , ya que hay un valor de diferente para cada valor verdadero que pueda tomar . Ahora bien, dado un valor fijo de , la probabilidad de cometer un error de tipo II disminuirá a medida que aumente el tamaño muestral.

Existe un equilibrio entre los dos tipos de errores, la probabilidad de cometer un tipo de error puede re-ducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad de cometer el otro.

41TRAMO VII


TipOS De pRUeBaSa) pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales

Es una prueba en la que se rechaza si el valor de la muestra es significativamente mayor o menor que el valor hipotetizado del parámetro de población. Esta prueba involucra dos regiones de rechazo.

b) pruebas de hipótesis de 1 extremo o unilaterales

Es una prueba en la que sólo hay una región de rechazo, es decir, sólo nos interesa si el valor observa-do se desvía del valor hipotetizado en una dirección. Pueden ser:

b. 1) Prueba de extremo inferior: Es una prueba en la que si hay un valor de muestra que se encuentra significativamente por debajo del valor de la po-blación hipotetizado, nos llevará a rechazar la hi-pótesis nula. Gráficamente:

b. 2) Prueba de extremo superior: Es una prueba en la que si hay un valor de muestra que se encuen-tra significativamente por encima del valor de la población hipotetizado, nos llevará a rechazar la hipótesis nula. Gráficamente:

pasos Generales

1) Identificar si el parámetro de interés es o

2) Establecer las hipótesis correspondientes y el nivel de significancia.

3) Calcular la medida de discrepancia o estadístico de muestra.

4) Buscar el valor del percentil, en dependencia de la distribución encontrada en 3.

5) Comparar los valores, tomar la decisión e interpre-tar los resultados.

fórmulas

a) Pruebas de hipótesis para medias:

conocida

desconocida(muestras pequeñas,

n<30, y aproximadamente normal la población, t)

b) Pruebas de hipótesis para proporciones (mues-tras grandes, y ):

veamos un ejemplo:

En el transcurso de una investigación antidrogas, se ha identificado el estilo de pesaje de la droga de un laboratorio en aproximadamente 1000 grs. por pane-la de restos y semillas vegetales, con una desviación

TRAMO VII


de 20 grs.; el laboratorio aparentemente se ha perca-tado del seguimiento que se hace a través de la inves-tigación policial y, a objeto de evadir las pesquisas ha modificado su pesaje en 100 grs. El peso de las 200 últimas panelas decomisadas ha resultado ser aproxi-madamente de 1083 grs. con un nivel de confianza del 95%, pruebe que las panelas siguen siendo pro-ducción del mismo laboratorio y efectivamente incre-mentaron en 100 grs. su peso a objeto de desvirtuar posibles seguimientos en la investigación policial.

solución:

1. Datos:

En este caso conocemos la varianza de la po-blación, , además

grs., grs., y .

2. Hipótesis:

grs. grs.

3. Estadístico de Prueba:

4 .Percentil:

ó como n > 30

5. Justificación y decisión:

58,68>1,96 por lo tanto se rechaza y se conclu-ye con un nivel de significancia del 0,05 que el peso promedio de panelas ha sido modificado y proviene del mismo laboratorio.

acTiviDaD 3. RealizanDO pRUeBaS De HipÓTeSiS

Apreciados y apreciadas estudiantes, como vimos en la actividad 1, las pruebas de hipótesis son un ele-mento que nos permite evaluar hipótesis realizadas con lo cual podemos mejorar nuestra accion. Por ello, en este espacio te invitamos a realizar pruebas de hi-pótesis a los siguientes planteamientos:

1. Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal de media 11,5. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 estudiantes ha proporcionado las siguientes puntuaciones:

11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8,23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15.

A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo?

43TRAMO VII


2. En el transcurso de una investigación antidrogas, se ha identificado el estilo de pesaje de la droga de un laboratorio en aproximadamente 1005 grs. por panela de restos y semillas vegetales, con una desviación de 19 grs.; el laboratorio aparentemen-te se ha percatado del seguimiento que se hace a través de la investigación policial y, a objeto de evadir las pesquisas ha modificado su pesa-je en 100 grs. El peso de las 800 últimas panelas decomisadas ha resultado ser aproximadamente de 1.032 grs. Con un nivel de confianza del 95%, pruebe que las panelas siguen siendo producción del mismo laboratorio y efectivamente incremen-taron en 100 grs. su peso a objeto de desvirtuar posibles seguimientos en la investigación policial.

acTiviDaD finalCon el fin de sistematizar los saberes abordados a

través de las actividades planteadas en el encuentro didáctico, cerraremos con una actividad final donde podrás valorar tu proceso de aprendizaje. En esta sec-ción encontrarás una serie de problemas referidos a la hipótesis, pruebas bilaterales y unilaterales y tipos de errores que serán vistos desde la mirada policial, cuyas respuestas deben ser claras y coherentes en función de los aprendizajes adquiridos. Para ello:

Respondamos todas las preguntas planteadas en el orden que se te presentan.

socialicemos tus reflexiones y comentarios con tus demás compañeras y compañeros de ambi-ente en los encuentros presenciales.

sistematicemos la experiencia para establecer relaciones entre los saberes abordados y nuestro contexto laboral.

Al finalizar todos los ejercicios, puedes comparar

tus respuestas con la hoja de respuestas ubicada al final del encuentro didáctico.

actividades

1. El director general de policía en una región del país, al rendir cuentas ante su superior, afirma que la media por zonas de delitos por robo a mano ar-mada, que se cometen en esa región, ha disminui-do con respecto al año anterior. se quiere estudiar la veracidad de las declaraciones del Director ana-lizando una muestra de diversos municipios de la región. se conoce que la media del año anterior fue de 839,5, los datos de los municipios para este año son:

853 754 345 980 834 456 672 1056

Con un nivel de confianza del 5%, verifique si lo descrito por el comandante es cierto.

2. Un informe establece que los funcionarios y fun-cionarias de una estación policial del país están trabajando alrededor de 22 horas cada dos días, con una desviación estándar de 6 horas. Este in-forme parece haber sido manipulado y los funcio-narios y funcionarias trabajan más, por lo que se decide realizar una investigación a fondo para co-nocer la realidad de esa estación. La investigación arroja que de una muestra de 64 policías, éstos tienen una media de 25 horas trabajadas cada dos días. si se utiliza un nivel de confianza del 95%. Verifique si la afirmación del informe es realmente cierta, a fin de planificar el trabajo considerando lo establecido en los estándares policiales.

TRAMO VII


HOJa De ReSpUeSTaS

1. Establezcamos nuestra hipótesis:

Nuestra prueba es de una cola:

Como no tenemos la desviación típica debemos calcularla:

Recordemos que la forma de calcular ésta la po-demos ver en la unidad curricular estadística básica aplicada a la función policial.

Como la muestra es menor a 30 y la desviación tí-pica de la población no está dada, entonces la ecua-ción a usar es:

El tamaño de la muestra es n=8 y nos falta sólo cal-cular la media de la muestra:

Ahora apliquemos la ecuación:

Veamos ahora el percentil de la t-student para el nivel de confianza del 5% (Consultamos la tabla):

Conclusión: como entonces se rechaza la hipóte-sis nula y se acepta la hipótesis alternativa, es decir el Director General tenía razón y los delitos por robos han disminuido.1. Los datos que tenemos son los siguientes:

Establezcamos nuestra hipótesis:

Calculemos el estimador:

Veamos el estimador dado el nivel de confianza:

Así como el estadístico de prueba es mayor que el de la tabla (4>1,96) se rechaza el estadístico de prueba y se aprueba la hipótesis alternativa, es decir el infor-me era erróneo y los funcionarios y funcionarias tra-bajan más horas.

BiBliOGRafÍa

spiegel, M. (2006). Probabilidad y estadística. Mé-xico. Editorial McGraw-Hill.

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Segunda Edición500 ejemplares

Imprenta UNESMarzo 2012

Material Estadistica+Aplicada

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