Material mate 2015 1

UNIVERSIDAD ANTONIO RUIZ DE MONTOYACentro Preuniversitario

CURSO : MATEMÁTICACICLO : 2015 – 1PERIODO : MARZO – JULIOHORAS DE CLASES : 5 HR/SEMPROFESORAS : CAROLINA REAÑO

OBJETIVO

El objetivo de este curso consiste en formar a los estudiantes en el conocimiento del cálculo, de los números, de la geometría, la estadística y la introducción a la Geometría analítica.Se espera contribuir a que los estudiantes puedan desenvolverse eficientemente en el mundo universitario y en el de la vida diaria.

PROGRAMA SINTÉTICO

CAPÍTULO TEMA

1 Fracciones

2 Ecuaciones lineales y cuadráticas

3 Regla de tres

4 Porcentaje

5 Triángulos

6 Cuadriláteros

7 Gráficos estadísticos

8 Plano Cartesiano

9 Función lineal

1

PROGRAMA CALENDARIZADO

SEMANA CLASE TEMA

0124 – 27 marzo

01FRACCIONES

Ejercicios de cálculo de fracciones.

02 Ejercicios de cálculo de fracciones.

0230 – 3 abril

03ECUACIONES

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

04 FERIADO (SEMANA SANTA)

03 6 – 10 abril

05ECUACIONES CUADRÁTICAS

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

06SISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas de ecuaciones lineales

0413 – 17 abril

07REGLA DE TRES

Regla de tres simple - directa

08PORCENTAJE

Porcentaje cálculo

0520 – 24 abril

09 REPASO

10 Práctica calificada 1

0627 – 1 mayo

11 PORCENTAJE Porcentaje Aplicaciones

12 Feriado (1 de mayo)

074 – 8 mayo

13TRIÁNGULOS

Clasificación Propiedades

14TRIÁNGULOS

Ejercicios

2

0811 – 15 mayo

15CUADRILÁTEROS

Clasificación Propiedades

16CUADRILÁTEROS

Ejercicios

0918 – 22 mayo

17 Repaso

18 Práctica calificada 2

10 25 – 29 mayo

19 Elaboración de gráficos

20 Elaboración de gráficos

111 – 5 junio

21GRÁFICOS

Gráfico de barras simples

22 Gráfico de barras dobles

128 – 12 junio

23 Grafico circular simple

24 Plano cartesiano

1315 – 19 junio

25 Función lineal

26 Repaso

1522 – 26 julio

29 EXAMEN FINAL

SISTEMA DE EVALUACIÓN

Las notas a promediar son las siguientes:

Examen Parcial: Corresponde al promedio de las Prácticas Calificadas, tiene un

3

peso de 30%. Trabajos: Corresponde al promedio obtenido de los controles, Trabajos personales o

grupales, exposiciones, desempeño, participación, asistencia, etc. Tiene un peso de 40%

Examen Final: corresponde al promedio obtenido del examen final con la nota de tutoría. Tiene un peso de 30%

4

___________________________ FRACCIONES

Número Fraccionario o Quebrado: Es aquel que expresa una o varias partes de un todo y tiene dos términos: numerador y denominador. Así por ejemplo:

4 Numerador 21 Denominador

1.1 OPERACIONES CON FRACCIONES 01. Calcular: 6/24 + 21/49 + 13/28

02. Efectuar: 3/8 + 3/4 - 3/16

03. Calcular: 7 3/5 + 10 3/10 – 7/15

04. Efectuar: 2 – (4 – 3 3/5) – 5 7/20

SEMANA 1

5

05. Calcular: (2 4/7 + 3/14) x 21/4

06. Efectuar: 6 2/3 + 3 5/8 x 2 3/4

07. Resolver: 2/7 3/6

08. Calcular: (9/5 6/7) (7/8 5/4)

09. Resolver: 1/n 3/4n

10. Efectuar: ½ 1/6 + 1/3 – ¼ x 1/5

6

1.2 APLICACIONES VARIAS

11. El sueldo de Lucy se redujo en sus 2/5. ¿Qué fracción de su sueldo le queda?

12. Maricielo, Laura y Eliana realizan juntas una tarea. Maricielo hace la tercera parte de la tarea, Laura la tercera parte de lo que queda y Eliana el resto. ¿Qué parte de la tarea realiza Eliana?

13. Juan emplea la cuarta parte del día en estudiar, la sexta parte en hacer tareas y la novena parte para hacer deportes. Si el resto del tiempo descansa, ¿qué fracción del día le queda para hacer esto último?

14. Fátima pintó su casa en cuatro días consecutivos. Los 2/5 el lunes, los 3/8 el martes, los 3/40 el miércoles y el resto el jueves. ¿Qué fracción pintó el último día?

15. Carolina gana mensualmente $350 y gasta $100 2/5 en alimentos, en vestido gasta $130, $50 ¾ en distracciones y el resto lo ahorra. ¿A cuántos dólares asciende su ahorro mensual?

16. Un fardo de tela tiene 35 metros. Si Rocío compra 5 2/5 metros. Natalia compra 12 metros y Pamela compra la mitad del resto, ¿cuántos metros de tela sobran?

17. Sonia le debe a Favio una cantidad igual a los 3/5 de 120, pero Jorge debe a Sonia una cantidad igual a los 7/8 de 240. Si Jorge le paga a Sonia y esta a su vez le paga a Favio, ¿cuánto le sobra aún a Sonia?

7

18. Los 3/7 de los 4/5 de los 5/3 de 420 excede en 40 a los 2/3 de los 6/7 de los 7/8 de N. Hallar N.

19. ¿Cuál es la variación que sufre 13/30 si le sumamos 5 a sus dos términos?

20. En una escuela hay 300 alumnos entre hombre y mujeres. Se sabe que 2 de cada 5 alumnos son hombre y de estos, 5 de cada 8 están en el nivel Inicial. ¿Cuántos hombres no están matriculados en el nivel Inicial?

21. ¿Por qué número hay que dividir los 3/7 de 13 para obtener los 2/3 de 26?

22. ¿Cuál es la variación que sufre 13/30 si le restamos 5 a sus dos términos?

23. ¿Cuál es la variación que sufre 13/30 si multiplicamos a sus dos término por el mismo número?

8

__________________________ ECUACIONES

2.1 Ecuaciones de primer grado con una variableResolver una ecuación es encontrar su conjunto solución, que es el conjunto de los valores de la variable que hacen que la ecuación se cumpla

Ejemplo:

Halla x en:

10(x-9)-9(5-6x)=2(4x-1)+5(1+2x)Suprimiendo símbolos de agrupación y efectuando los productos indicados.

10x-90-45+54x=8x-2+5+10x

Transponemos términos (a un lado todos los términos que tienen variable y al otro lado los que no la tienen):

10x+54x-8x-10x=-2+5+90+45 46x=138

Despejamos y simplificamos:

x=138/46=3

Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x-(2x+1)=8-(3x+3) f)

X6+5=1

3−X

b) X-[5+3X-{5X-(6+X)}]=-3 g)

X2+2− X

12= X

6−5

4

c) x+3(x-1)=6-4(2x+3) h)

3 X5

−2 X3

+ 15=0

d) 9X-(5X+1)-{2+8X-(7X-5)}+9X=0i)

X−23

− X−34

= X−45

SEMANAS 2 y

9

e) 15X-10=6X-(X+2)+(-X+3) j)

X−12

− X−23

− X−34

=−X−55

2.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable

Ecuaciones cuadráticas

Son ecuaciones de la forma ax2+bx+c=0, donde a, b y c son números reales fijos y a ≠ 0.

Ejemplos:

;

;

Para resolver una cuadrática se tienen varios métodos:

Método de Factorizaciónx2+x-6=0

Factorizando: (x+3) (x-2)=0

Luego:x+3=0 ó x-2=0

x=-3 ó x=2

Entonces, el conjunto solución es: C.S.=

Este método es fácil de aplicar cuando las raíces son enteras o fracciones, pero eso no siempre ocurre.

Fórmula General:

Las raíces de la ecuación se pueden hallar reemplazando los valores de a, b y c en la siguiente fórmula:

Si las raíces obtenidas por la ecuación general son r1 y r2, la ecuación cuadrática se podrá expresar como:

(x - r1)(x - r2)=0

Se verifica que r1 + r2= y r1 r2= para ax2+bx+c=0.

Ejemplo 1

Escribir como producto de dos factores las siguientes ecuaciones:

Procedimiento Ejemplo Ejercicio

Ecuación

Identificar los coeficientes:

0623 2 xx 015 2 x

032 2 xx 04 2 x

2,3

a

acbbx

2

42

a

ba

c

0623 2 xx 0122 xx

6

2

3

c

b

a

c

b

a

10

Reemplazar en la fórmula

Calculamos los valores de x

Expresamos la ecuación en función de las raíces

ó en forma simplificada

A la expresión = se le llama discriminante de la ecuación cuadrática y dependiendo del valor que tome, la ecuación tendrá dos, una o ninguna solución en el conjunto de los números reales, así:

Si , la ecuación tendrá dos soluciones reales y distintas.

Si , la ecuación tendrá dos soluciones reales e iguales.

Si , la ecuación no tendrá soluciones reales .

Ejemplo 2

Determinar el número de soluciones reales de las siguientes ecuaciones:

Procedimiento Ejemplo Ejercicio

Ecuación

Identificar los coeficientes:


Analizamos el número de raíces

Entonces tendrá dos raíces, reales y diferentes.

)3(2

)6)(3(4)2()2( 2 x

) (2

) )( (4) ()2( 2 x

11961

7861

2

1

,r

,r

2

1

r

r

0))1196,1()(786,1( xx

0)1196,1)(786,1( xx

acb 42

042 acb

042 acb

042 acb

0623 2 xx 0436 2 xx

6

2

3

c

b

a

c

b

a

)6)(3(4)2( 2

0;76

11

Ejercicio 1

Diego está siguiendo el cuarto año de secundaria. Las materias que lleva son: Matemática, Física, Biología, Historia e inglés. Cada materia tiene su propio cajón en el cual guarda los apuntes de clase. El archivo de Diego se muestra en la siguiente figura:<

1 2 3

4 5 6

Utilizar las siguientes pistas para encontrar en qué cajón archiva Diego cada materia (un cajón quedará libre).

Los apuntes de Matemáticas están agrupados en el cajón cuyo número es solución positiva de la

ecuación .

Los apuntes de Historia están guardados en el cajón cuyo número es el numerador de la mayor

solución de .

01032 xx

3

8

1

11

xx

12

Los apuntes de Inglés están guardados en el cajón cuyo número es la suma de las raíces de

.

Los apuntes de biología están guardados en el cajón cuyo número es la semisuma de las raíces

de .

Los apuntes de Física no están guardados en el cajón cuyo número es solución positiva de

.

01522 xx

12

1

2

1

xx

4

91

8

52

x

13

Ejercicios

I. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. es una ecuación lineal............................................................ ( )

2. Si luego .................................................................................... ( )

3. La ecuación no tiene solución real................................................ ( )

4. La ecuación tiene como C.S. a todos los reales.........................................( )

5. es una solución o raíz de la ecuación lineal .................................( )

6. 8 no puede ser solución de ......................................................................( )

7. y son ecuaciones equivalentes............................................. ( )

8. La ecuación no tiene solución en .............................................................( )

9. Al resolver la ecuación , un alumno hizo lo siguiente:

como esto es absurdo, la ecuación no tiene solución..( )

10. La ecuación y la ecuación son ecuaciones equivalentes.........( )

II. Resuelve los siguientes ejercicios:

1. 4(2y+5) = 3(5y-2)

2. 1,5x-0,7 = 0,4(3-5x)

3. 8 - = 2 +

4. (3x-2)2 = (x-5)(9x+4)

5. (x+5)2 + 3 = (x+2)2

6. (2x+9)(4x-3) = 8x2 - 12

a,b bax 0

ba cbca

50858 xx

12

2

x

x

3

8x

083 x

68

2

x

092 x xx 294

2x

x

9527446 xxxx

52524542 xxxx

2

61

2

3

xx

x02 x

x

5

x

3

14

7. =

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

2.3 Sistemas de ecuaciones de primer grado.

Trabajaremos con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.Ejemplos:

a) Resolver el sistema:

{2 x+9 y=20 .. . .. .. .(1) ¿ ¿¿¿

Método de reducción o eliminación:Multiplicamos (1) por 2 y (2) por 3 para eliminar la variable “y”

{4 x+18 y=40 ¿ ¿¿¿Sumamos las ecuaciones y obtenemos 13x=13 x=1

310

25

x

x

32

8

x

x

15

5

x

x

2)1(36)1(2 xx

)2(5)2(10)2(8 xxx

)47(2)2(3)5(4 xxx

68)3(43 xxx

)6(2322)2(7 xxx

8

54

4

12

40

1

xxx

3

)3(25

6

32

2

1

xxx

x

10

)32(4

2

2

5

)3(2

xxx

35

215

2

2

x

xx

3

24

4

3

2

1

3

xxx

15

Reemplazando en (1): 2(1)+9y=20 9y=18 y=2

Luego x=1 e y=2.El par ordenado (1;2) es la solución del sistema:

b) Resolver el sistema:

{ y+2(5−x )=3−2x .. . ..(1 )¿ ¿¿¿Método de sustitución:Sustituimos x por 2y en (1):y+2(5-2y)=3-2(2y)Operando y+10-4y=3-4y y=-7

De (2) x= 2(-7)=-14El par ordenado (-14;-7) es la solución del sistema.

c) Resolver el sistema:

{ y−3=5 x−7 . .. .. .(1) ¿ ¿¿¿

Método de igualación:Despejamos “y” en las dos ecuaciones e igualamos:

{ y=5 x−4 ¿ ¿¿¿Luego: 5x-4=2x+8 3x=12 x=4En cualquiera de las dos ecuaciones reemplazamos x por 4 y obtenemos y=16.El par ordenado (4;16) es la solución del sistema.

EjerciciosResolver:

1. {5 x+6 y=20 ¿ ¿¿¿ 9.- { x+6 y=27

7 x−3 y=9

2. {3 x−(4 y+6 )=2 y−( x+18) ¿¿¿¿ 10.- { 3 x−2 y=−2

5x+8 y=−60

16

3.{5 x−2( y+x )=7 ¿¿¿¿

11.- {3 x2+ y=11

x+ y2=7

4.- {9 x+16 y=74 y−3 x=0

12.- { 5 x12

− y=9

x−3 y4=15

5.- {8 x−5=7 y−96 x=3 y+6

13.- { x7+ y

3=5

3 y− x14

=26

6.- { x−1= y+1x−3=3 y−7

14.- {x+ y6

− y−x3

= 724

x2+ x− y

6= 5

12

7.- {3(x+2)=2 y2( y+5)=7 x

15.- { 30−(8−x )=2 y+305 x−29=x−(5−4 y )

8.- { x−1=2( y+6)x+6=3 (1−2 y) 16.- {3 x−(9 x+ y )=5 y−(2 x+9 y )

4 x−(3 y+7 )=5 y−47

17

______________ REGLA DE TRES Y PORCENTAJE

La regla de tres simple directa es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres de ellos.

En una Regla de Tres Simple Directa se puede distinguir:

- El supuesto, constituido por los datos de la parte del problema que ya se conocen.

- La pregunta, constituida por los datos del problema que contienen la incógnita.

APLICACIONES VARIAS

1. Si seis CD cuestan un total de $ 55.4, ¿cuánto costarán en total 15 CD?

2. Los 3/8 de la capacidad de una piscina son 4 284 litros. ¿Cuál es la capacidad total de la piscina?

3. Una granja pertenece a dos hermanos: Pedro y Pablo. Si la parte de Pedro, que es los 3/5 del total, está valorizada en $ 12 420, ¿cuál es el valor de la parte de Pablo?

SEMANA 4

18

4. Un salón de baile de 5 m de largo y 8 m de ancho está cubierto con 1 000 losetas. ¿Cuántas losetas serán necesarias para cubrir otro salón cuyo largo sea el doble del anterior y cuyo ancho es ¾ del anterior?

5. Si un tren recorre con velocidad constante la tercera parte de su ruta en dos horas, ¿cuánto le faltará para completarla tres horas más tarde, si sigue con la misma velocidad?

6. Los 2/3 de la capacidad de un tanque de agua son 2 358 litros. Si se le agregan x litros, el tanque se llena. Hallar la suma de las cifras de x.

7. Un terreno pertenece a dos hermanas: Rosa y Juana. Si Rosa es dueña de los 2/7 del terreno, y la parte de Juana está valorizada en $ 36 000, ¿cuánto vale el terreno?

19

8. Si Lucy puede escribir dos páginas en 15 minutos, ¿cuántas horas demorará en escribir 30 páginas?

9. Si cuatro libros cuestan $ 11,5; entonces ¿cuánto costarán en total 32 libros?

10. Vania recorre en su automóvil la tercera parte de su ruta en 5 horas. ¿En cuántas horas recorrerá la mitad del total?

11. Si diez sastres confeccionan 1 000 trajes, ¿cuántos sastres confeccionarán 600 trajes?

20

12. Si dulce puede escribir una carta en 2/5 de hora, ¿cuántas cartas podrá escribir en 3,2 horas?

21

__________________________ PORCENTAJE

Se llama tanto por ciento de un número a una varias de las cien partes en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número.

El signo de tanto por ciento es “%”. Así, el 4% de 80 o 4/100 de 80, equivale a cuatro centésimas partes de 80, es decir, que 80 se divide en cien partes iguales y de ellas se toman cuatro.

4% de 80 = 4 80 = 3,2 100

REPRESENTACIÓN: Completa la siguiente tabla.

Literal Simbólica Fraccionaria Decimal

25 por ciento de A 25% (A) 25 (A)

1000,25 (A)

60 por ciento de B 60% (B) 60 (B)

1000,60 (B)

75 por ciento de C 75% (C) 75 (C)

1000,75 (C)

50 por ciento de 50 50% (50)

25 por ciento de 10 25% (10)

60 por ciento de 80

75 por ciento de 200

CONVERSIÓN DE FRACCIÓN A PORCENTAJE: Completa la siguiente tabla.

3 de X 4

3 de 100% de X = 75% de X 4

1 de X 4

2 de X 3

5 de X 2

3 de X 8

3 de X 5

22

Completa las siguientes tablas.

Fracción Porcentaje Decimal

La cuarta parte de N 1 N

425% N 0,25 N

Los tres quintos de N

1 N 3

120% N

0,20 N

REPRESENTACIÓN GRÁFICAPARTE SOMBREADA

FRACCIÓN PORCENTAJE

24

50%

26

33,33%

23

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Efectuar y dar la respuesta en forma fraccionaria y en forma decimal.25% de X + 0,07 X – 12% de X

2. Si el 12,4% de X es 62,5; halla el 10% de X.

3. Si al 15% de 30 se le agrega el 20% de 50 y luego se le disminuye el 45% de 20, ¿cuál es el resultado?

4. ¿Qué porcentaje de 50 es el 20% de 150?

24

5. Se tiene una finca de 40 hectáreas. Se vende el

20%, se alquila el 50% del resto y se cultiva el

25% del resto. ¿Cuántas hectáreas se cultivan?

6. ¿Qué porcentaje de 200 es el 10% de 250?

7. De los 700 alumnos de una escuela, 280 son mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de hombres con respecto al total?

TRIÁNGULOS Se denomina triángulo a una región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

ELEMENTOS

VÉRTICES: A, B, C LADOS: AB, BC, CD

INTERIORES α ,

25

BASEα α

En general el triángulo se denota como

sigue Δ ABC

CLASIFICACIÓNSegún sus lados- Equiláteros: tienen sus tres lados

iguales.- Isósceles: tienen dos lados iguales. El

lado desigual se llama base.- Escalenos: tienen sus tres lados desiguales.

EQUILATERO ISÓSCELES

ESCALENO

Según sus Ángulos:

- Rectángulos: tienen un ángulo recto (90ª). El lado opuesto al ángulo recto

recibe el nombre de HIPOTENUSA, y los otros dos lados se llama CATETOS.

Catetos Hipotenusa

- Oblicuángulos: Si ningún ángulo interno es recto. Pueden ser:Acutángulos: tienen sus tres ángulos

agudos.Obtusángulos: tienen un ángulo obtuso.Equiángulos: tienen sus tres ángulos

iguales.

ACUTÁNGULO OBTUSANGULO

EQUIANGULO

Resumen:

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

ELEMENTOS

VÉRTICES: A, B, C LADOS: AB, BC, CD

INTERIORES α ,

Perímetro: 2p = a + b + c

Semiperímetro: p = a + b + c

a. Según sus lados Equilátero Isósceles Escaleno

Clasificaciónde los b. Según sus ángulos triángulos Rectángulo

acutángulo

Oblicuángulo obtusángulo equiángulo

α α

α

SEMANA 7

26

BisectrizEs la semirrecta que parte de un vértice y divide al ángulo en dicho vértice en dos ángulos congruentes.En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices de los ángulos interiores (bisectrices interiores), las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que recibe el nombre de “Incentro”

- Propiedad de la Bisectriz:Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.

-

Propiedad del Incentro:El incentro equidista de los tres lados del triángulo y además, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.El radio de la circunferencia recibe el nombre de “inradio” r.

I : incentroIH = IJ = IK = rr : radio de la circunferencia inscrita

MedianaEs el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las cuales se cortan en un punto interior del triángulo que recibe el nombre

de “Baricentro”, “Centroide” o “Centro de Gravedad”

- Propiedad del Baricentro:En todo triángulo, el baricentro divide a cada mediana en dos partes cuya relación es 2 a 1.

27

Así, en el triángulo ABC, cuyo baricentro es G, se verifica que:

MediatrizEs la recta perpendicular a un lado del triángulo, trazada desde su punto medio. En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, las cuales se cortan en un punto llamado “Circuncentro”, el cual se ubica:

a. En el interior del triángulo, en el caso del triángulo acutángulo.

b. En el punto medio de la hipotenusa, en el caso del triángulo rectángulo.

c.

Fuera del triángulo, en el caso del triángulo obtusángulo.

- Propiedad de la Mediatriz:Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

- Propiedad del Circuncentro:El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo y además, es el centro de la circunferencia circunscrita al

triángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de “circunradio”.

P:

circuncentroAP = BP = CP = RR : radio de la circunferencia circunscrita

Altura

AG =

23 AM, BG =

23 BN, CG =

23

CP

28

Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se cortan en un punto que recibe el nombre de “Ortocentro”, el cual se ubica:

a. En el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo.

b.

En el vértice del ángulo recto, en el caso de triángulo rectángulo.

c.Fuera del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo.

29

LINEA NOTABLEPUNTO

NOTABLE

TRIANGULOS

ACUTÁNGULO OBTUSANGULO RECTANGULO

MEDIANA BARICENTRO DENTRO

BISECTRIZ INTERIOR

INCENTRO DENTRO

MEDIATRIZ CIRCUNCENTRO DENTRO FUERA SOBRE HIPOTENUSA

ALTURA ORTOCENTRO DENTRO FUERA VERTICE ANG. RECTO

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISOSCELES

Teorema

En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

TeoremaLa bisectriz del ángulo en el vértice de un triángulo isósceles es a la vez altura, mediana y mediatriz respecto a la base de dicho triángulo

AlturaBM Bisectriz Mediatriz Mediana

TeoremaEn todo triángulo equilátero las líneas notables son las mismas, por lo tanto al punto de corte también lo será:

OrtocentroBM Incentro Baricentro Circuncentro

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS

Teorema 1 (De la suma de Ángulos Internos)La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180ª.

Teorema 2 (De la medida del Angulo Exterior)Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

Teorema 3 (De la suma de Ángulos Exteriores)La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360ª.

Teorema 4Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a ellos tampoco lo son, y a mayor lado se opone mayor ángulo.

PROPIEDADES DE ÁNGULOS CON LAS LÍNEAS NOTABLESTeorema 1BI : Bisectriz interior

q=α+ β

α+β+θ=180º

Si b > c ⇔ β > θ

m + n + q = 360ª

30

CI: Bisectriz interior

Teorema 2BE : Bisectriz exteriorCE: Bisectriz exterior

Teorema 3BE : Bisectriz interiorCE: Bisectriz exterior

EJERCICIOS PROPUESTOS DE TRIÁNGULOS

1. Complete de manera adecuada lo que se menciona a continuación.

Un triángulo __________________ tiene un ángulo obtuso.

Si los tres ángulos de un ________________ son agudos entonces es un triángulo _______________________.

Un _________________ tiene un ángulo de 90º.

2. De acuerdo a la medida de sus ángulos, coloque el nombre respectivo de cada triángulo.

60º

8

60º 30º

31

3

4

B

M

3. En la figura siguiente, encuentre el valor de la hipotenusa.

a) 4b) 3c) 5d) 7e) 8

4. De la figura. Halle el valor de “x”

a) 14b) 7c) 21d) 12

e) N.A.

5. De acuerdo al gráfico. Calcule el valor de “”

a) 10b) 5c) 8d) 7e) 24

6. Calcule el máximo valor entero de “x”. Si el triángulo es acutángulo.

a) 9ºb) 10ºc) 8ºd) 7ºe) 6º

7. Indique el mínimo y máximo valor entero que puede tomar “x”. Si el triángulo es obtusángulo.

a) 3 y 6 b) 2 y 5 c) 4 y 5

d) 2 y 4 e) Imposible

8. De acuerdo a la figura, indique el nombre del triángulo.

a) Acutángulo b) Obtusánguloc) Rectángulod) Oblicuánguloe) Ambiguo

9. Indique el nombre correspondiente del siguiente triángulo.

a) Acutángulo b) Rectángulo c) Obtusángulo d) Esférico e) N.A.

10. Relacione las dos columnas de manera apropiada :

a) Es la línea trazada desde un vértice del triángulo en forma perpendicular al lado opuesto.

b) Es la línea trazada desde un vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto.

c) Es la línea trazada desde un vértice del triángulo que biseca al ángulo interno correspondiente a dicho vértice.

d) Es la perpendicular a uno de los lados del triángulo trazada por el punto medio de dicho lado.

( ) Mediana( ) Mediatriz( ) Bisectriz interior( ) Altura

11. Observa los siguientes triángulos y coloca el nombre a la línea notables trazadas

a)

10xº

30xº

3xº

2xº xº

4xº

2xº 3xº

30º 20º

25

24

x

1213

32

C

B

DA

B

A C

L1

x

55º 45ºA D C

B

A

B

M

C30º

130ºx

80º80º

x

P

B

AC

D

AM : ___________

b)

BD : ___________

c)

L1 : ______________________

12. Hallar “x” si BD es bisectriz interior del ABC.

a) 80ºb) 90ºc) 40ºd) 35ºe) 30º

13. Hallar “x” si AM es bisectriz interior del ABC.

a) 20ºb) 40ºc) 140ºd) 160ºe) 100º

14. Hallar “x” si CP es bisectriz interior del BCD

a) 40ºb) 20ºc) 50ºd) 60ºe) 70º

CUADRILÁTEROS

DEFINICIÓNLos cuadriláteros son aquellos polígonos que tienen cuatro lados.

Elementos:Vértice (A, B, C y D)

Lados (AB, BC, CD y DA)

Ángulos

Interiores: α

1 ,α

2 ,α

3 ,α

4

Exteriores: β

1 , β

2 , β

3 , β

4 Diagonales: AC y BD

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOSLos cuadriláteros convexos se clasifican en:

Paralelogramo Rectángulo

Paralelogramo Rombo Cuadrado

T. RectánguloTrapecio T. Escaleno

T. Isósceles

Trapezoide T. Asimétrico T. Simétrico

33

PARALELOGRAMOLos paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos.

Clasificación de los ParalelogramosSe distingue cuatro clases de paralelogramos.a. Paralelogramo (o romboide)

I. Ángulos y lados opuestos iguales dos a dos AB=DC, AD=BC.

II. Ángulos adyacentes a un mismo lado son

suplementarios α+β = 180ªIII. Diagonales se cortan en el punto medio.

b. Rectángulo (o cuadrilongo)

1. Ángulos iguales2. Diagonales igualesTambién se cumplen I, II, III

c. Rombo (o losange)

1. Lados iguales2. Diagonales perpendiculares y bisectrices.También se cumplen las propiedades I, II, III

d. Cuadrado

Se cumplen las propiedades

1 y 2 del Rombo1 y 2 del RectánguloI, II y III también

Propiedades Adicionales del Paralelogramo

1. Si en un paralelogramo cualquiera unimos un vértice con los puntos medios de los lados opuestos la diagonal queda dividida en tres partes iguales.

M punto medio de ADN punto medio de CD

NOTASe cumple en cualquier paralelogramo.

TRAPECIO

SEMANA

34

Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos no paralelos y los otros dos paralelos, y los otros dos paralelos llamados “BASES” del trapecio.

Definiciones en el Trapecio

Mediana de un TrapecioEs el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Se le conoce también como “BASE MEDIA”.

Altura de un TrapecioEs la distancia que existe entre las dos bases.

EF : MedianaAH : AlturaBC : Base mayor (B)AD : Base menor (b)

Clasificación de los TrapeciosSe distinguen tres clases de trapecios

- Trapecio RectánguloEs aquel que tiene dos ángulos rectos. Esto significa que en un trapecio rectangular, uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.

- Trapecio escalenoEs aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.

- Trapecio IsóscelesEs aquel que tienen sus lados no paralelos iguales.

Propiedades de los Trapecios1ra PropiedadLa medida de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.

2da PropiedadEn todo trapecio, el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases y se encuentra sobre la mediana del trapecio.

TRAPECIO ISÓSCELESAB = CD

B=C ; { A=D ¿B+D=180ªBD = AC (Diagonales)BH = EC = B – b 2BE = B + b 2

35

ELABORACIÓN DE GRÁFICOS

1. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden 2 cm y 14 cm, respectivamente. Traza la mediana relativa a AC.

7. Se tiene un triángulo isósceles ABC, obtuso en C. Sobre la prolongación de CA se toma el punto E tal que AE = 7. Se traza EP perpendicular a AB y se prolonga hasta cortar a la prolongación de BC en Q.

2. En un triángulo ABC, obtuso en A, AC = 5 y AB = 4. Si se construye exteriormente a él, un triángulo equilátero BCD.

8. Hallar la medida del ángulo comprendido entre la mediatriz y la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si uno de sus ángulos agudos mide 20ª.

3. En un triángulo escaleno ABC, AB = 1 m y

BC = 10 m. Trazar la mediana relativa al

lado AC.

9. En un triángulo ABC, BE es bisectriz

interior. Hallar la medida de C , si AB = BE = EC.

SEMANA 10

36

4. En un triángulo ABC, la bisectriz exterior

del ángulo C es paralela al lado AB.10. Si en un triángulo ABC, B= 22ª y C =

93ª, hallar el ángulo formado por la mediatriz de AB y la prolongación de AC.

5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH relativa a la hipotenusa. Luego, se traza la bisectriz

BF del ángulo A B H (F sobre AC). Si AB = 5, BC = 12 y AC = 13, hallar AF.

11. En un triángulo acutángulo ABC, la

bisectriz interior de B forma un ángulo de 115ª con el lado AC.

6. En un triángulo ABC, de ángulos A =

70ª y C = 102ª, hallar el ángulo

formado por la bisectriz exterior de B y la prolongación de AC.

12. En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC y BE es la

bisectriz del ángulo B . Si A = 66ª y C

= 48ª, hallar el ángulo AF B, si F es el punto de intersección de AD y BE.

37

GRÁFICOS

El MÉTODO GRÁFICO es una manera diferente de mostrar o representar relaciones entre dos o más rubros. Para representar estas relaciones existen muchas formas pero, en este curso, nos centraremos en las más comunes:

- Gráfico de barras- Gráfico Circular- Gráfico Lineal

8.1 GRÁFICO DE BARRAS

En este tipo de gráficos, la información se representa en forma de rectángulos para cada período o rubro estudiado.Los estadísticos los clasifican en histogramas y diagramas de barras.

01. El siguiente gráfico muestra el rendimiento de una persona durante los primeros seis meses del año:

Gráfico 1

0

10

20

30

40

50

60

70

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Mes

Ren

dim

ien

to (

%)

Serie1

Es cierto que:

a. Tiene el rendimiento más bajo en febrero y marzo..........

b. A partir de marzo se ve una recuperación en su eficiencia............

c. Después de Junio decrece su eficiencia............

02. A partir del siguiente gráfico:

Gráfico 2

02468

1012141618

88 89 90 91 92

Años

Cre

cim

ien

to (

$)

Serie1

Es cierto que:

a) El mayor crecimiento se dio en el año 92.............

b) El crecimiento promedio anual es de 10,4............

c) Su menor crecimiento se dio en el año 91............

SEMANA

38

03. En el siguiente gráfico se muestra la distribución de notas del curso de Aptitud Matemática en la tercera práctica calificada:

GRÁFICO 3

0102030405060708090

5 10 15 20

NOTAS

NÚ

ME

RO

DE

AL

UM

NO

Sa. ¿Cuántos alumnos

rindieron la prueba?

b. ¿Cuántos alumnos han obtenido nota mayor que 10?

c. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que ha obtenido nota mayor que 10?

d. ¿Cuál es la nota promedio de todos estos alumnos?

04. El siguiente gráfico muestra las ventas de una distribuidora de víveres en el período 1998 – 2003.

GRÁFICO 4

0102030405060708090

1998 1999 2000 2001 2002 2003

AÑOS

VE

NT

AS

(en

mil

es d

e s

ole

s)

Hallar el promedio anual de las ventas en el periodo dado.

05. A partir del siguiente gráfico:

GRÁFICO 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO

MESES

INF

LA

CIÓ

N (

%)

Podemos afirmar:

a) La inflación acumulada es de 4,66%................

b) La inflación de mayo no fue la más baja...........

c) La inflación promedio es de 0,96%...................

39

8.2 GRÁFICO CIRCULAR

Debemos tener en cuenta que la suma de los diferentes componentes representa el 100%, y esto, como se representa en un círculo, mide 360 grados.

06. El gasto mensual de una persona se muestra en el siguiente gráfico:

Alimento40%

Ropa25%

Diversión10%

Ahorro25%

a) ¿Cuánto vale el ángulo central del sector Alimento?

b) ¿Cuánto mide el ángulo que le corresponde a Ropa?

c) ¿Cuánto vale el ángulo central del sector Diversión?

d) ¿Cuánto mide el ángulo que le corresponde a Ahorro?

e) ¿Cuánto vale el ángulo que le corresponde a Diversión más Ahorros?

07. Una persona destina el 25% de sus ingresos mensuales a la compra de caramelos de 4 tipos: A, B, C y D. El siguiente gráfico muestra la relación entre ellos:

A 25.0%

B 12.5%

C 25.0%

D 37.5%

Si sus ingresos mensuales son de 600 soles,

a) ¿cuánto gasta en caramelos mensualmente?

b) ¿cuánto gasta en caramelos tipo A?

c) ¿cuánto gasta en caramelos tipo B?

d) ¿cuánto gasta en caramelos tipo D?

40

08. Manteniendo la distribución del problema anterior, si determinado mes gastó 40 soles en C, ¿cuáles fueron sus ingresos dicho mes?

09. El siguiente gráfico muestra una distribución de gastos:

Alimentación 20.0%

Vivienda 10.0%

Ropa 10.0%Educación

45.0%

Otros 15.0%

a. Si diversión representa el 30% del rubro Otros, ¿qué porcentaje del total gasta en ello?

b. Si su gasto total es 500 soles, ¿cuánto gasta en Educación?

c. Si en Educación, el 30% representa compra de libros, ¿cuánto le asigna a éstos si sus gastos totales ascienden a 600 soles?

10. El siguiente gráfico muestra la distribución de gastos de una persona en enero:

A 294

B 201

C 165

D 180

a. ¿Cuánto vale el ángulo central del sector A?

b. ¿Qué porcentaje mayor se gasta de B que de D?

41

11. En una encuesta realizada a 1 500 personas de un club, acerca de su deporte favorito, se obtuvieron los siguientes resultados:

Fútbol 31%

Basquet 23%

Voley 28%

Otros 18%

a. ¿Qué ángulo forma el sector de los prefieren otros deportes?

b. ¿Cuántas personas prefieren fútbol?

SEMANAS 12 y

42

P (x1 ; y1)

Y

XO

y1

x1

_____ PLANO CARTESIANO –FUNCIÓN LINEAL PLANO CARTESIANO:

Coloquemos sobre el plano dos rectas perpendiculares, denotemos por X a la recta horizontal y a la vertical por Y. Luego, llamemos O, origen, al punto de intersección de estas. El siguiente paso será considerar a cada una de estas rectas como si fuera la recta real, y establecer como convención que a la derecha de O, los valores de X serán positivos y a la izquierda serán negativos, y que los valores de Y sobre el origen O serán positivos y debajo del origen serán negativos.

De esta manera, a cada punto del plano le corresponderá un par de valores ( x; y) correspondientes a la proyección en el eje X y a la proyección en el eje Y, respectivamente.

Por ejemplo el punto P mostrado en la figura tendrá las coordenadas (x1; y1). A la coordenada x1 se le denomina abscisa del punto P y a la coordenada y1 se le llama ordenada del punto P.

Resuelve los siguientes ejercicios:

¿Cuánto se obtiene al dividir la suma de las ordenadas entre el producto de las abscisas de los puntos (5; 2) y (2;-7)?

Se tienen los siguientes puntos: A (4; 1), B (2;-2) y C (-1;-3). ¿Cuál de ellos está más cerca del eje x?

Se tienen los siguientes puntos: P (3; ), Q (- ; 3) y R (-2;-2). ¿Cuál de ellos está más cerca del eje y?

Si A (3; -1), B (5; 2), C (-2; 5) y D (-2; -1), ¿cuál de los lados del cuadrilátero ABCD es paralelo al eje x?

Con los datos de la pregunta anterior, ¿cuál de los lados del cuadrilátero ABCD es paralelo al eje y?

Distancia entre dos puntos en el plano

2 5

43

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

y

A

B

d

x2 – x1

y1 – y2

A(x1 ; y1)

B(x2 ; y2)

Y

X

Cuando hablamos de distancia entre dos puntos nos referimos a la longitud del camino más corto que los une. Por ejemplo, en la recta real, ¿cuál es la distancia entre 4 y 6? De inmediato decimos que es 2 y es correcto. Ahora reflexionemos un poco: ¿será que el camino más corto entre dos puntos sobre una recta es la longitud del segmento que los une?

Si ahora regresamos al plano, ¿cómo hallar la longitud del camino más corto que une los puntos A(2;10) y B(6; 3)?

Ahora no es tan evidente como en la recta, ¿verdad?

Rápidamente caemos en la cuenta que lo que debemos hacer es calcular la longitud del

segmento , lo que equivale a hallar la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma.

Usando Pitágoras:

d2 = (x2 – x1 )2 + (y1 – y2 )2

d2 = (x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2

Es decir:

AB

212

212 ) y - (y ) x - (xd

44


1. En cada uno de los siguientes casos, ubicar los pares de puntos A y B en el plano y determinar la distancia entre ellos.

A(0; 6) y B(0; -4)

A(3; 0) y B(0; -4)

A(2; 5) y B(-7; 5)

2. Utilizando la fórmula obtenida para el cálculo de la distancia entre dos puntos, determinar la distancia entre los puntos A y B si:

a. A(5; -1) y B(7; 6)

b. A(2; - ) y B(5; 2 )

3. Dados los puntos A(-5;4), B(3;6), C(-2;-6) y D(4;-1), determinar:

a. cuál de ellos se encuentra más cerca al origen.

b. cuál de ellos (sin contar a D) se encuentra más cerca a D.

Punto medio de un segmento

Los puntos P(x1 ; y1) y Q(x2 ; y2) determinan el segmento , si M(x ; y) es el punto medio del segmento entonces sus coordenadas serán:

Ejemplo

Dado el segmento PQ, hallar las coordenadas de su punto medio M, sabiendo que P (5; -6) y

Q (3; 4)

Solución:

2 2

QP

222121 yy

yxx

x

e

45

, por lo tanto M(4; -1)

Pendiente de un segmento

Los puntos P(x1 ; y1) y Q(x2 ; y2) determinan el segmento .

¿Cuál es la inclinación de este segmento? Podríamos responder a esta pregunta, indicando la medida del ángulo o también, indicando cuál es la tangente de . Observar que es

el ángulo que forma la horizontal con el segmento y se mide en sentido antihorario.

Al valor de la tangente de se le llama pendiente del segmento y se calcula de la siguiente manera:

Pendiente de = .

A este valor se le suele denotar por .

Ejemplo

Procedimiento Operación

Segmento PQ P(3;-2); Q(-4; 1)

Identificar las coordenadas:


¿Qué ocurre con las pendientes de dos segmentos que son paralelos?

Como tienen la misma inclinación, el ángulo será el mismo, entonces tendrán la misma pendiente.

)2

46;

2

35(

M

QP

QP

PQ

PQ 21

21

xx

yy

21

21

xx

yymPQ

2

3

1

1

y

x

1

4

2

2

y

x

7

3

)4()3(

)1()2(

PQm

15

5

)3()2(

)0()5(

PQm

15

5

)1()4(

)1()4(

MNm

46

¿Qué ocurre con las pendientes de dos segmentos que son perpendiculares, si ninguno de ellos es horizontal?

En este caso, al multiplicar las pendientes de los dos segmentos, el resultado será -1.

En general:

Sean las rectas L1 y L2 de pendientes m1 y m2, si L1 es paralela a L2

=> m1=m2

Sean las rectas L1 y L2 de pendientes m1 y m2, si L1 es perpendicular a L2

=> m1 m2 = -1


1. En cada uno de los siguientes casos, determinar la pendiente del segmento de extremos A y B.

A(3; -2) y B(5; -4)

A(4; -1) y B(-6; -3)

A(5; -1) y B(5; 6)

A(2; 5) y B(-7; 5)

2. Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos y el otro par de lados opuestos no paralelos. Determinar, en cada uno de los siguientes casos, si el cuadrilátero ABCD es o no un trapecio.

A(1; -4), B(7; -1), C(4; 1) y D(-4; -3)

A(-3; 4), B(2; 3), C(-1; -4) y D(-6; -3)

6

5

)3()3(

)0()5(

PQm

5

6

)1()6(

)1()7(

MNm

15

6

6

5

ABPQmm

47

A(2; -6), B(5; 1), C(4; 2) y D(1; 3)

3. En cada uno de los siguientes casos, ubicar los pares de puntos A y B en el plano y determinar la distancia entre ellos.

A(0; -4) y B(4; -5)

A(-2; -1) y B(3; -4)

A(-3; -4) y B(3; -2)

4. En cada uno de los siguientes casos, determinar la pendiente del segmento de extremos A y B.

A(-1; -2) y B(-3; 4)

A(-6; 5) y B(6; -3)

A(4; -3) y B(5; 6)

A(2; 7) y B(-7; 4)

5. Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos y el otro par de lados opuestos no paralelos. Determinar, en cada uno de los siguientes casos, si el cuadrilátero ABCD es o no un trapecio.

A(1; -4), B(5; -2), C(7; 3) y D(-1; -1)

A(-3; 4), B(3; -1), C(2; -3) y D(-1; -2)

A(-3; 2), B(-2; -2), C(2; -4) y D(3; -1)

48

FUNCIÓN LINEAL

Definición

Las funciones lineales tienen la forma f(x)= mx+b, donde m y b son números reales fijos.La gráfica de la función lineal es una recta donde:

El valor de m representa la pendiente.

El valor de b se denomina ordenada en el origen y representa el punto de intersección de la recta con el eje y.

Pendiente

La pendiente de la función lineal f(x)= mx+b es el coeficiente m de x y representa la variación de f cuando x aumenta en una unidad.

Dados dos puntos (x1; y1) y (x2; y2) de una función lineal, la pendiente se calcula mediante la siguiente expresión:

Cuando m>0, m representa el incremento de la función f cuando x aumenta en una unidad.

Cuando m<0, m representa la disminución de la función f cuando x aumenta en una unidad.

Si m=0, f(x)=b para todo valor de x, por lo tanto la función f es constante.

Ejemplo:

Analicemos la forma de la gráfica de las funciones lineales. Para ello consideremos nuevamente la función f(x)=3x+1 con algunos valores para x, se obtiene:

x=0, f(0)=1

x=1, f(1)=4

x=2, f(2)=7

Al ubicar estos puntos en el plano y unirlos, se obtiene:

12

12

xx

yym

13 xxf

49

x

y

x

y

x

y

x

y

Ejercicios

1. Graficar la siguientes funciones, señalando los puntos en los que la recta corta a los ejes de coordenadas (interceptos)

a. f(x)=2x+3

b. f(x)=5x+

c. f(x)=-4

d. f(x)=-3x

e. f(x)=-5x-

1. Establecer una relación entre las siguientes reglas de correspondencia y las cuatro gráficas mostradas de manera que a cada función se le asigne una gráfica. Todas las gráficas han sido elaboradas a la misma escala.

f(x) = 2x - 1; g(x) = -3x+2; h(x) = 3x+1; j(x) =-x + 2

a. b.

c. d.

2. Encontrar las reglas de correspondencia de:

a. la función lineal f, cuya gráfica pasa por M (0,4) y tiene pendiente m=-2.

b. la función lineal g, cuya gráfica pasa por P (0, 0) y tiene pendiente m=1.

c. la función lineal h, cuya gráfica pasa por Q (-2, 3) y por R (5,2).

d. la función constante j que pasa por el punto (7,6).

e. la función lineal k de pendiente -3 y que corta al semieje negativo x a cuatro unidades del origen.

2

3

3

4

50

La RectaSe llama línea recta al lugar geométrico de todos los puntos distintos para los cuales la pendiente resulta siempre constante.La ecuación general de la recta es:

Donde a, b y c son números reales, y en donde a y b no se anulan simultáneamente. A esta ecuación también se le conoce como ecuación lineal.

2x-3y+6=0, 4x-3=0, y-4=0, 2x-y=0 son ejemplos que corresponden a la ecuación de la recta.

Ejemplo

Graficar la recta cuya ecuación es 2x-3y+6=0

Solución:Para graficar una recta bastará con graficar un par de puntos por donde pase ésta y luego se trazará la línea correspondiente, tabulando se tiene:

X Y 0 2 -3 0


I. Grafica la recta correspondiente a cada una de las siguientes ecuaciones, determinando los interceptos con los ejes coordenados.

1. 2x-y+3=02. x+y-1=03. y=x-1

0 cbyax

51

4. y-4x+13=05. y-x=06. y=3x7. 2x+y=0

II. En los problemas 1 a 8 encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.

1. (4;1), ( 7;10)

2. (6;-2), (8;-3)

3. (5;3), ( 5;-8)

4. (5;-2), ( 4;-2)

5. (-2;10), ( 5;3)

6. (2;-4), ( 3;-4)

7. (0;-6), ( 3; 0)

8. (1;-7), ( 9; 0)

III. En los problemas 9 a 24, encuentre la ecuación lineal general (AX + BY + C = 0) de la recta que tiene las propiedades indicadas, y haga el bosquejo de cada recta.

9. Pasa por (-1; 7) y tiene pendiente -5

10. Pasa por el origen y tiene pendiente 75

11. Pasa por (-2; 5) y tiene pendiente

12. Pasa por ( ; 5) y tiene pendiente

13. Pasa por (-6; 1) y ( 1; 4)

14. Pasa por (5; 2) y ( 6; -4)

15. Pasa por (-3; -4) y ( -2; -8)

16. Pasa por (0, 0) y ( 2; 3)

17. Pasa por (-6; 1) y ( 1; 4)

18. Tiene pendiente 2 y su intersección y es 4

19. Tiene pendiente 5 y su intersección y es -7

4

1

2

5

3

1

52

20. Tiene pendiente 0 y su intersección y es

21. Tiene pendiente y su intersección y es -322. Es horizontal y pasa por ( -5; -3)

23. Es vertical y pasa por ( -1; -1)

24. Pasa por origen y es horizontal

2

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Material mate 2015 1

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