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1. UNIDADES Y SISTEMAS DE UNIDADES El contenido de este tema se presenta en el siguiente cuadro sinptico que puede ser utilizado por el profesor para introducirse en el tema: -conceptos generales -Antecedentes histricosUNIDADES Unidad Magnitud Medida

-Sistemas de unidades

-Sistemas absolutos -Sistema de unidades derivadas -Sistema internacional de unidades

-CGS -MKS -FPS

-Anlisis dimensional y conversin de unidades Para la Fsica en su calidad de ciencia experimental, la medida constituye una operacin fundamental. Sus descripciones del mundo fsico se refieren a magnitudes o propiedades medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparacin, forman parte de los resultados de las medidas. 1.1. MAGNITUDES Y MEDIDA El gran fsico ingls Lord Kelvin consideraba que solamente puede aceptarse como satisfactorio nuestro conocimiento si somos capaces de expresarlo mediante nmeros. La operacin que permite expresar una propiedad o atributo fsico en forma numrica es precisamente la medida. Magnitud, cantidad y unidad La nocin de magnitud est inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema fsico que pueden ser expresados en forma numrica. En otros trminos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles. La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes fsicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuntas veces una persona o un objeto es ms bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad. En el lenguaje de la fsica la nocin de cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada en un cuerpo o sistema concreto; la longitud de esta mesa, la masa de aquella moneda, el volumen de ese lapicero, son ejemplos de cantidades. Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema fsico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrn. 1.2. SISTEMAS DE UNIDADES En las ciencias fsicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemticamente entre s grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en funcin de dicho conjunto. Esas pocas magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales, tales como: la longitud, la masa, el tiempo, etc., mientras que el resto que pueden expresarse en funcin de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas, entre estas: la velocidad, la aceleracin, la fuerza, etc. Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de unidades.

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Con las magnitudes fundamentales anteriores se construyeron los SISTEMAS ABSOLUTOS DE UNIDADESLongitud --- cm CGS Masa --------- g Tiempo ------ seg MKS Longitud ----m Masa -------- kg Tiempo ------ seg FPS Longitud ---- foot Masa -------- pound Tiempo ------ second

1.3. SISTEMA DE UNIDADES DERIVADAS los sistemas de unidades derivadas se obtienen a partir de las magnitudes fundamentales de los sitemas absolutos, como se explica en algunos ejemplos de la siguiente tabla, como un ejercico de retroalimentacin complemnta la tabla. Si tienes dudas pregunta a tu profesor. Cantidades fsicas derivadas rea Volumen Velocidad Aceleracin Fuerza Trabajo frmula A = l2 V = l3v= d t

CGS Cm2 Cm3cm seg

MKS m2 m3

FPS Ft2

ft seg

a =

v t

Centimetro Segundo 2

F = maw = F d

(kg ) (

m ) = NEW s2

(dina)(cm)= Ergio Puondal ftm m2 (kg )( ) 2 = kg 2 = joul s s

Energa cintica

Ec =

mv 2 2

Energa potencial Presin

Ep = mgh P= f a

1.4. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Magnitud fundamental Longitud Masa Tiempo Corriente elctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Nombre de la Unidad Metro Kilogramo Segundo Ampere Kelvin Mol Candela Smbolo m Kg s A k mol ca

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1.5. CONVERSION DE UNIDADES EJEMPLOS A CONTINUACION SE EJEMPLIFICA UNO DE VARIOS PROCEDIMIENTOS QUE EXISTEN PARA REALIZAR UNA CONVERSION DE UNIDADES, OBSERVA DETENIDAMENT: EJEMPLO 1 1. Igualemos ambas razones 2. Ahora despejemos a X 3. Como vamos a convertirkm hr

CONVERTIR

30 km30

m hr a seg

km m =x hr seg

X =

30 ( km ) ( seg ( hr ) ( m )

)

a seg

m

entonces en la ultima expresin sustituyamos km a m y hr a

seg, utilizando sus respectivas equivalencia ( 1 km. = 1000 m 1 hr. = 3600 seg.) X = 30 1000 m

(3600

(

) ( seg ) seg ) ( seg )

4. Al analizar l ltimo resultado observemos que las unidades se cancelan por lo que solo nos queda realizar una simple operacin aritmtica, con la cual obtenemos el factor de conversin: X = 8.3 De aqu concluimos que30 km m = 8.3 hr seg

EJEMPLO 2 1. Igualemos ambas razones

789 NEWTON A DINAS 750 dinas = x New

antes de despejar a x sustituyamos las equivalencias de unidades fundamentales de la dina y el neton, esto es 2. Ahora despemos a X750 ( gr ) ( cm m ) = x (kg ) ( 2 ) 2 s sX = 750 ( gr ) (cm )(s 2 ) (s 2 )(m)( kg )

3. ahora sustituyamos los gr y cm por su equivalencia en kg y m y concluye el ejemploX = 75 0

(

.00 1

( )

kg ) ( .01 2 s ( m)( kg )

m) s 2

( )

= 750 dinas = 7.5 x 10_3New

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EJERCICIOS DE ANALISIS PARA SU REAFIRMACION Y COMPRENSION Aplicando el mtodo anterior se resolvieron los siguientes conversiones, te toca a ti analizarlos y en la parte posterior de la hoja escribe la explicacin del proceso solucion paso a paso. a) 200 joule a ergios 200 New . m = x dina . cm 200 kg . m/s2 (m) = x gr. cm/s2 (cm) x = 200 (Kg) (m2) (s2) / (gr) (cm2) (s2) x = (200) (1000 gr) (10000 cm2) (s2) / (gr) (cm2) (s2) 200 joule = 20, 000, 000, 000 ergios b) 35 m s2 a km hr 2 x = 35 m . hr2/ km . s2 x = (35) ( .001 km) (3600 s2) / (km) (s2) 35 c) 850 kg m3 a lb ft 3 m s2 = 126 km hr 2

x = 850 (2.22 lb) (0.028 m3) /( lb) ( m3) 850 kg m3 = 52.8 lb ft 3

d) 150 New/m2 a dina/cm2

150 kg . s2 = x gr . s2 x = (150) (1000 gr) 150 New/m2 = 150 000 dina/cm2

e) 34534 ergios a jouils

34534 dina . cm = x New . m 34534 gr. cm/s2 (cm) = x kg . m/s2 (m) x = 34534 (gr) (cm2) (s2) / (Kg) (m2) (s2) x = 34534 (.001 Kg ) (1x10_6 m2) / (Kg) (m2) 34534 ergios = 3.4534 x 10_5 jouils

f) 859 lb a grs

x = 859 (454 gr) / (gr) 859 lb = 389,986 grs

g) 234324 cm a ft

x = 234324 (.032 ft) / (ft) 234324 cm = 7, 687.79 ft

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2.- SISTEMA DE REFERENCIA

Concepto general Sistemas de referencia Sistema de referencia tridimensional Sistema de referencia unidimensional Sistema de referencia bidimensional

Concepto Caractersticas Concepto Caractersticas Concepto Caractersticas

Los sistemas de referencia son indispensables para determinar la posicin de un cuerpo y para describir si el cuerpo se mueve o est en reposo. Sin embargo, tanto el movimiento como el reposo son conceptos relativos, pues no se dispone de ningn sistema de referencia que sea inmvil. El sistema de ejes cartesianos anteriormente definido est en el laboratorio, pero ste se encuentra sobre la Tierra y sta gira sobre su eje y se mueve alrededor del Sol. 2.1. SISTEMA TRIDIMENSIONAL En la realidad fsica todo fenmeno se desarrolla en tres dimensiones o sea que solo existe un sistema llamado sistema tridimensional o espacio el cual se traza con tres lneas perpendiculares entre si, se divide en ocho partes llamada cada una octante, cada punto en este sistema se denota por P(x, y, z), la distancia entre dos puntos recibe el nombre de mtrica, ver figura.

y

x

zMtrica

d = ( x f xo ) 2 + ( y f y o ) 2 + ( z f z o ) 2

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2.2. SISTEMA UNIDIMENSIONAL De este sistema se desprende el sistemas unidimensional, que es cualquiera de los tres ejes, en matemticas a este sistema le llamamos recta numrica, ver figura. Cada punto en este sistema se denota por P(x), la distancia entre dos puntos recibe el nombre de mtrica unidimensional, ver figura.

(-)O Mtrica xo

(+)xf

d = x f xo

2.3. SISTEMA BIDIMENSIONAL El sistemas bidimensional, se construye con dos ejes de cualquiera de los tres ejes del sistema tridimensional en el cual se forma cuatro planos, a este sistema le llamamos tambin sistema cartesiano. Cada punto en este sistema se denota por P(x,y), la distancia entre dos puntos recibe el nombre de mtrica y bidimensional, ver figura.yf yo x xo xf

d

Mtrica

d = ( x f xo ) 2 + ( y f y o ) 2

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3. VECTORES

Concepto, nomenclatura y caractersticas Vectores posicionales Vectores Tipos de vectores Vectores localizados Mtodos grficos Algebra vectorial Mtodo analtico Mtodo del paralelogramo Mtodo del polgono

Componentes rectangulares Suma y resta de vectores Producto escalar de dos vectores

Un vector es un elemento matemtico que debe tener magnitud, direccin y sentido Los vectores se representan grficamente por una flecha y se denotan por las letras maysculas con un guin en la parte superior A ; B ; C , etc

A

La magnitud es el tamao o mdulo del vector y se denota por el valor absoluto del nombre del vector A ; B ; C , etc. La direccin est definido por el ngulo que forma un vector con el eje X positivo y se denota por las letras del alfabeto griego, ; ; , etc. El sentido es el rumbo que sigue el vector y esta indicado por la punta del vector Los vectores se clasifican en: Vectores posicionales. Son aquellos vectores que parten del origen del sistema de referencia Vectores localizados. Son aquellos que no parten del origen del sistema de referencia

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3.1. VECTORES POSICIONALES Observa, analiza y trata de comprender mediante los siguientes ejemplos el procedimiento para construir la grafica de un vector Asia como para determinar sus caractersticas. EJEMPLO 1. DE. Si el vector A parte del origen del sistema de referencia bidimensional y llega al punto P(7,8), traza su grfica y determina sus caractersticas. Su grafica se obtiene al localizar el punto que define al vector y sus caracteristicas se determinan mediante las formulas indicadas en la llave. y Magnitud 8

ACaractersticas x 7

A = X 2 + Y 2 = 7 2 + 82 = 10.63 DireccinY = ang tan X 8 0 = ang tan = 48 48' 7 Sentido A = ( IC )

EJEMPLO 2: Si el vector A parte del origen del sistema de referencia bidimensional y llega al punto P(7,8) su grfica y caractersticas se determinan como se muestra a continuacin. y Magnitud 8

ACaractersticas x 7

A = X 2 + Y 2 = 7 2 + 82 = 10.63 DireccinY = ang tan X 8 0 = ang tan = 48 48' 7 Sentido A = ( IC )

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3.2. VECTORES LOCALIZADOS: EJEMPLOS Sea P1 (10,14) el punto inicial y P2 (!3,7) el punto final del vector D . Y sea P3 (-9,7) el punto inicial y P4 (-19,-3) el punto final del vector F . Traza la grafica de cada vector y determina sus caractersticas. Solucin: Representacin grfica. Para ello localiza los puntos dados, en el sistema cartesiano y dibujemos cada uno de los vectores tal como se ilustra en la siguiente figura: Y P1 (10,14)

D P3 (-9,7) F P2 (13,7) X

P4 (-19,-3) Caractersticas del vector D Magnitud. La sustitucin en la formula correspondiente se muestra a continuacin: D = ( X f X i ) 2 + (Y f Yi ) 2 = (13 10) 2 + (7 14) 2 = (3) 2 + (7) 2 = 7.6 Direccin. La sustitucin en la formula correspondiente es la siguiente:

= Ang TgSentido D = IVC

Yf Yi X f Xi

= Ang Tg

7 14 7 = Ang Tg = 294 13 10 3 x

Caractersticas del vector F Magnitud. La sustitucin en la formula correspondiente se muestra a continuacin: F = ( X f X i ) 2 + (Y f Yi ) 2 = (9 (10)) 2 + (7 (3)) 2 = (1) 2 + (10) 2 = 10.04 Direccin. La sustitucin en la formula correspondiente es la siguiente:

= Ang TgSentido F = IIIC

Y f Yi X f Xi

= Ang Tg

(7 (3) 10 = Ang Tg (9 (10) 1

x

= 8417

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EJERCICIOS PARA REAFIRMAR CONOCIMIENTOS Siguiendo el procedimiento anterior, grafica y determina las caractersticas de los siguientes vectoresA def por Po(7,0) N def por Pf (8,-6) B Po(-6,-12) y Pf(6,16) C def por Pf(-8,7) y Pf(10,7)

3.3. ALGEBRA VECTORIAL Con vectores se pueden realizar diferentes operaciones, tales como la suma y diferencia de vectores, el producto de un escalar por un vector, el producto escalar de dos vectores y el producto vectorial de dos vectores. Estas operaciones pueden realizarse de forma grafica y de forma analtica: Existen tres mtodos grficos para realizar las operaciones de suma y resta de vectores, el mtodo del paralelogramo, el mtodo del triangulo y el mtodo del polgono. Para todos ellos es necesario el uso del estuche geomtrico los cuales se ilustran a continuacin mediante la solucin de un ejemplo: 3.3.1. METODOS GRAFICOS 3.3.1.a. METODO DEL PARALELOGRAMO EJEMPLO: Supngase que las caractersticas de los vectores A y B son las siguientes: | B | = 8 cm A |= 5 cm = 65 Obtener los vectores resultantes: R1 = A + B y R = A B2

= 0

mediante el mtodo del

paralelogramo (El mtodo del paralelogramo consiste en construir un paralelogramo con la grafica de los vectores dados utilizando el juego de escuadras.) Solucin. Siguiendo el procedimiento indicado, obtenemos. R1 = A + B B R1 A A A R2 B Resta de dos vectores por el mtodo del paralelogramo A R2 = A - B B

B Suma de 2 Vectores por el mtodo del paralelogramo 3.3.1.b. MTODO DEL POLGONO

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EJEMPLO. Las caractersticas de los vectores A, B, y C estn dadas por: A(30, 30, IC), B(28, 180,( - )) y C(40, 210,IIIC), determina El vector resultante R=A+B+C (El mtodo consiste en construir un polgono colocando un vector en el punto final del vector anterior, respetando sus caractersticas, el nuevo vector resultante es aquel que une al punto inicial del primer vector con el punto final del ultimo vector, sus caractersticas las obtienes midiendo con la regla su magnitud y con el transportador el ngulo que determina la direccin. Tal como se muestra a continuacin)

B B

B AA A

C C

C

R R

R1 = 37 Caractersticas

= 184 R = IIIC

EJERCICIOS PARA REAFIRMAR CONOCIMIENTOS-

Las caractersticas de los vectores A, B y C D E son A(8, 28 , IC) B(12, 160o , IIC) C(9, 308 , IVC) D ( 33,180, - ) E (25, 90, +)

Determina los siguientes vectores resultantes por los mtodos graficados indicados. a) R1 = A + B ; Paralelogramo b) R4 = 2A + B C c) R6 = A + E R5 =B + C E A R6 = A C 3E + 2B . . . . . por el mtodo del polgono R2 = C-D ; Y R3 = D + A . . . . . . . . .. . . . . . por el mtodo del

R7 = B C

R8 = A + D . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .por el mtodo del triangulo

3.4. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR.

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El vector A llega al punto P( 4 , 7 ), en su grafica dibujamos dos vectores unidimensionales, el que esta en el eje x tiene magnitud 4 y el que esta en el eje y tiene magnitud 7 y para diferenciarlos les llamamosai = 4 y aj = 7 como ambos forman un ngulo de 90 a estos vectores se les llama vectores componentes

rectangulares del vector A , ahora bien de acuerdo a la ley del paralelogramo al sumar ambos dan como resultado el vector A , esto es A = ai + aj . i y j se les denomina vectores unitarios por que su

magnitud es uno, el vector i se grafica en el eje x y j en el eje y

y

P (4,7)

aj = 7 j

A

ai = 4iA = 4i + 7 jLos vectores componentes rectangulares de un vector

x

En funcin de las componentes ai, aj el vector

se

determinan

con

la

frmula

A = A Cos i + A Sen j; donde A es la magnitud del vector y su direccin EJEMPLO. En el siguiente ejemplo se muestra el procedimiento para determinar los vectores componentes rectangulares de un vector Con las caractersticas del vector B (7,110, IIC) determinar sus componentes rectangulares. Solucin: aplicando la expresin B = B Cos i + B Sen j; B = 7 Cos 110 i + 7 Sen 110 j B = 2.39i + 6.57 j EJERCICIOS PARA REAFIRMAR CONOCIMIENTOS Determina los componentes rectangulares de los vectores y traza la grfica de cada uno A (7, 12 , IC) B( 18,81 , IC) C(11,210 , IIIC) C(9, 308 , IVC) A(8, 28 , IC)

3.5. LGEBRA VECTORIAL (Mtodo analtico)

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Para este mtodo es necesario conocer los vectores, componentes rectangulares de los vectores, como se ilustra en los siguientes ejemplos: EJEMPLO 1 S A = 3i + 8 j , B = 6i 10 j , y C = 14i + 12 j determina la resultante R = A + B R = (3i + 8j) + (6i 10j) La operacin se resuelve sumando componente a componente como se muestra a continuacin: R = (3i + 6i) + (8j 10j) = 9i + (-2j) = 9i 2j La resta de A B se obtendra de forma anloga R = A B = (3i + 8j) (6i 10j) = (3i 6i) + (+8j + 10j) R = -3i + 18J Sus caractersticas se obtienen de la siguiente manera: Magnitud R = X 2 + Y 2 = (3) 2 + (18) 2 = 18.24 Y 18 = ang tan = 8032' X 3

Direccin = ang tan

Las componentes ortogonales de R nos indican que se localiza en el IIC (segundo cuadrante) entonces x (ngulo con respecto al eje x positivo) Ser EJEMPLO 2 5 Determina el vector resultante R = 2 A 3B + C 2 Un procedimiento sencillo es obtener por separado los nuevos vectores para determinar R como se muestra a continuacin, A, B y C son los mismos vectores del ejemplo 1). 2 = 2(3i + 8j) -3B = -3(6i 10j) 5 5 C = (14i + 12j) 2 2 = 6i + 16j = -18i + 30j = 35i + 30 j = 23i + 76j Por lo tanto el vector resultante es: R = 23i + 76j Concluye el problema Determinando sus caractersticas y graficndolo = 180 - 8032 = 9928

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EJERCICIOS PARA REAFIRMACION DE CONOCIMIENTOS Dados los vectores F = 8i + 10j N = -6i 18j M = 14i 8j 4 1 N + M 3F 3 2 O= -9i + 12j Determina los nuevos vectores resultantes siguientes y calcula sus caractersticas y grafcalos: R1 = F + 2 M R2 = 6 N 4 F + 2M R3 = R4 = 3F+ N + 3M 2O

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Esta operacin con vectores nos da como resultado un escalar (un nmero), se define como: A B = A B cos Donde es el menor de los ngulos formado por los vectores A B , el cual puede A B = ang cos obtenerse al despejarlo de la formula, esto es AB EJEMPLO Obtener el ngulo entre los vectores A y B dados a continuacin: A = 5i + 4j B = 3i - 9j Solucin. El ngulo entre dos vectores se obtiene con la formula = ang cos A B . Entonces: AB

La formula me pide el producto escalar de AB, as como la magnitud de A y B. Por lo tanto __ A . B = (5i + 4j) . (3i - 9j) / A/ = 52 + 4 2 = 25 + 16 = 41 = 6.3 = (5i . 3i) + (4j . (-9) j ) = (51 , 3i) + (4j , (-9) j ) = 15 ( i , i ) + (-36) ( j:j ) = 15 (1) + (-36) (1) A . B = -21 Sustituyendo en la expresin, los valores anteriores, se tiene:__ __

/ A/ = 6.3 / B/ = 32 + ( 9) 2 = 9 + 81 = 90 = 9.4 / B/ = 9.4__ __

__

= Ang Cos

A. B__ __

/ A/ . / B / 21 = Ang Cos (6.3) (9.4)

= 110 oEJERCICIOS PARA REAFIRMAR CONOCIMIENTOS Con los vectores del ejercicio anterior y obtener el ngulo que se vectores N y M ; F y O ; R1 y R4 forma entre los

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FORMULARIO DE FSICA I

Vector posicional Magnitud. bidimencional (V.P.B.) Formulas para determinar Direccin. sus caractersticas

A = x2 + y2 = ang tany x

Vector localizado bidimensional (V.L.B.) Formulas para determinar sus caractersticas Magnitud. B = Direccin

(x

f

xi ) + ( y f y o )2

2

= Ang Tg

Y Y X Xf f i

i

Componentes rectangulares de un vector Formula para determinar las componentes rectangulares de un vector:

A = ai + ajA = A (COS ) i + ( A SEN ) j

TABLA DE EQUIVALENCIASCentmetro 0.01 (cm) Centmetro 0.3937 (cm) Gramo (gr) 0.001 Gramo F.P.S. Kilogramo (Kg) Kilogramo (Kg) Kilogramo (Kg) Libra (lb) Litro Litro Litro Metro Metro Metro Metro (l) (l) (l) (m) (m) (m) (m) 1000 35.273 2.20 453.59 1000 61.02 0.2641 100 3.28 39.37 1.093 1.6093 1.8432 28.34 30.48 12 0.3048 2.54 91.44 3 36 0.9144 metro pulgadas Kilogramos Gramos Onzas Libras Gramos Centmetros cubicos Pulgadas cubicas Galon Centmetros Pies Pulgadas Yardas Kilmetros Kilmetros Gramos Centmetros pulgadas Metros Metros Centmetros pies Pulgadas Metros

Tabla de algunas cantidades fsicas derivadasen el Cantidad fisica formula sistema M.K.S.

UnidadC.G.S.

(gr) 0.03527 onzas

Velocidad

v =a =

d tv t

Centimetro SegundoCentimetro Segundo 2

Metro Segundom Segundo 2

Pie SegundoPie Segundo 2

Aceleracin

Fuerza Trabajo

F=ma W=fd

gr) (

cm ) = Dina s2

m (kg ) ( 2 ) = new s(New)(m)=Joul

(libra)(P/s2)= Poundal Poundal -FT

(Dina)(cm)= Ergio

Milla terrestre Milla nautica Onza troy

Sistema internacional de unidades Unidad Longitud Masa Tiempo Corriente elctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Nombre de la Unidad Metro Kilogramo Segundo Ampere Kelvin Mol Candela Smbolo m Kg s A k mol ca

Pie (ft) Pie (ft) Pie (ft) Pulgada (in) 1 grado Yarda Yarda yarda Yarda

0.01745 Radianes