Modelos Matema ticos. 1

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Los modelos matemáticos.

¿Qué son?

¿Para qué sirven?

¿Cuál es su valor?

La programación Lineal

La toma de decisiones.

Modelos Matema ticos. 2

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El tomador de decisiones. ____________________________________________________

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Modelos Matema ticos. 3

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El valor de los modelos matemáticos ____________________________________________________

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Elementos de un modelo matemático ____________________________________________________

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Ejemplos de modelos matemáticos.

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Modelos Matema ticos. 4

Modelos Matema ticos. 5

Instrucciones.

Preguntas abiertas

1 Los problemas más difíciles son aquellos para los que no existen modelos. Interpreta y propón 2 ejemplos.

2. Explica la relación entre datos, modelos y variables

3. ¿Por qué muchos modelos se construyen, pero no llegan a utilizarse? ¿Significa que su elaboración fue una pérdida de tiempo?

4. ¿Qué significa aplicación exitosa del modelo?

5. Traduce al lenguaje de modelos matemáticos la frase: Máxima producción al mínimo costo.

6. ¿Que significa la frase siguiente?: “Abreviemos las cosas, ¿qué palancas estás pidiendo? y ¿qué rase-ro deberé usar si apruebo tu propuesta?”

Falso o verdadero – Explica claramente tu respuesta

7. Un modelo es más útil en la medida en que es más complejo

8. Los modelos suelen pasar por alto gran parte de la realidad

9. Una ventaja de la construcción de modelos es que frecuentemente elimina la necesidad de conocer muy a fondo el ambiente que se estudia.

10. Los datos sólo son necesarios cuando la construcción del modelo se ha finalizado

11. Los modelos solamente son necesarios cuando existe algún problema

Cu

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s Entregar un trabajo con el siguiente contenido:

1. Lleva a cabo una investigación documental en al menos 3 libros y 3 pá-

ginas web. Anota esta bibliografía en el trabajo que vas a elaborar.

2. Trae al salón de clases los libros y artículos que vayas a utilizar para ela-

borar el trabajo.

3. Contesta detalladamente las preguntas que vienen a continuación.

4. Utiliza las respuestas y el resto de la información que conseguiste para

elaborar un ensayo: La importancia de los modelos matemáticos en la

toma de decisiones.

5. Incluye un apartado acerca del modelo de la programación lineal; sus

antecedentes históricos y sus aplicaciones.

6. Participa en el trabajo grupal.

7. Envía el trabajo en formato electrónico a: licmata@hotmail.com

8. Incluye en este envío los materiales informáticos consultados.

Modelos Matema ticos. 6

Opción múltiple, elige una, varias o ninguna; justifica tu respuesta.

12. Un modelo es:

A. Una representación selectiva de la realidad

B. Una abstracción

C. Una aproximación

D. Una verdad a medias

E. Una idealización

13. Con frecuencia las decisiones están basadas en (ordenar por frecuencia):

A. Una evaluación de datos numéricos

B. Números producidos por modelos

C. El uso de la intuición y el sentido común

D. Creencias y prejuicios

14. Un modelo:

A. No puede ser útil a menos que refleje con mucho detalle una situación real

B. Es un instrumento para la toma de decisiones

C. Rara vez se somete a revisión después de haber sido construido

D. Sólo debe ser conocido por el tomador de decisiones

15. Con el análisis “what if” estamos seguros de encontrar:

A. Una solución óptima

B. Una buena solución

C. Una solución factible (si es que existe)

D. Ninguna solución Ejemplo: Una fábrica de ropa tiene problemas económicos, a pesar de que las ventas han estado aumentando consistente-mente, el departamento de finanzas afirma que está teniendo problemas para pagar a los proveedores, ya que no cuenta con recursos suficientes; en ocasiones ha tenido que esperar hasta el último momento para hacer el depósi-to de la nómina. El gerente de producción no está de acuerdo con estas afirmaciones, ya que dice haber entregado todos los pedidos a tiempo, de modo que probablemente ventas o cobranza no están haciendo bien su trabajo. Finalmente el director de calidad, presenta la siguiente gráfica. Comentarios: _______________________________

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Cu

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0

50

100

150

200

250

300

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Ventas Ganancias

Programacio n Lineal. 7

La Programación Lineal es un modelo matemático; toma de la realidad solamente lo que es relevante. El proceso de solución del modelo requiere herramientas algebraicas muy sencillas, incluso es posible emplear software que se encargue de esta etapa del proceso.

El ejemplo siguiente es una simplificación del problema clásico de la programación lineal: Maximizar la ganancia sujetándose a las restricciones de recursos escasos.

Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos artículos A1 y A2. Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3; para el producto A2 hace falta una hora en la máquina M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3. Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3. La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40. ¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?

Existen varios métodos para resolver esta clase de ejercicios, para visualizar con mayor claridad el procedi-miento, vamos a estudiar primero el método gráfico.

El primer paso para resolver esta clase de problemas consiste en organizar la información de tal forma que sea más fácil de entender, suele emplearse una tabla como la siguiente.

En vista de que los recursos empleados en el proceso de fabricación no pueden exceder a la disponibilidad de los mismos, debemos in-dicar estas restricciones como desigualdades. El segundo paso con-siste en escribir esta relaciones.

A la derecha se muestra un ejemplo del uso de un programa desarrollado Para resolver problemas de programación lineal por el método gráfico, se llama ProLin. Anota en los espacios correspondientes, los coeficientes de las desigualdades citadas. Recuerda que los signos de desigualdad son: En el software ProLin se anotan en la forma que generalmente se usa en computación.

Ap

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Pro

gram

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n L

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Productos que se van a fabricar

Recursos necesarios A1 A2 Disponibilidad de los recursos

M1

M2

M3

La ganancia se anota en las mismas columnas pero separada de los recursos.

Ganancia

:

:

:

:

Menor que

Mayor que

Menor o igual que

Mayor o igual que

Programacio n Lineal. 8

Las relaciones encontradas forman un sistema de tres desigualdades con dos incógnitas. La solución de estos sistemas es una región del plano y no un punto, como en las ecuaciones.

El tercer paso consiste en resolver este sistema, para ello, se trazan las rectas y se determina la re-gión del plano que es solución de cada ecuación. El área donde coinciden las tres regiones, es la so-lución del sistema de desigualdades. Sombrea el área correspondiente a cada desigualdad y señala el área en la que se superponen las tres.

En la programación lineal, a la solución del sistema de desigualdades se le llama “Área de soluciones facti-bles” ¿Qué significa la palabra “factible”? _________________________________________________________ En este problema, ¿por qué un punto fuera de esta región no es factible? Explica detalladamente tu res-puesta. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________

Programacio n Lineal. 9

En la siguiente figura están señaladas 3 regiones separadas por rectas. Determina, en cada una, si es una región factible o no y por qué.

En el número cuatro, elige una región cualquiera y determina su factibilidad.

Observa en la gráfica el área de soluciones factibles, está delimitada por un polígono. ¿Cuántos lados tiene este polígono? ________ ¿Y cuántos vértices? _________

Número de región

¿Es factible? Explicación

1

2

3

4

Programacio n Lineal. 10

Es importante observar este polígono, ya que es posible demostrar que la ganancia máxima se obtiene en uno de los vértices de dicho polígono. Algunos de los vértices se pueden determinar a simple vista, pero cuando no es así, es necesario emplear algún método algebraico de solución de sistemas de ecuaciones, anota sus nombres: Métodos: _________________________, _________________________, _________________________

En este paso, determina las coordenadas de cada vértice, emplea el método que mejor convenga en cada caso.

Vértice A. Es el punto donde la recta tres (3x + 5y = 480) toca al eje de las ordenadas (y). A( _____, _____)A( _____, _____)A( _____, _____) Vértice B. Es el origen, no es necesario llevar a cabo ninguna operación, solamente anota sus coordenadas. B( _____, _____)B( _____, _____)B( _____, _____) Vértice C. Es el punto donde la recta uno (2x + 1y = 180) toca al eje de las abscisas (x). C( _____, _____)C( _____, _____)C( _____, _____) Vértice D. Es el punto donde se cortan la recta uno (2x + 1y = 180) y la dos (1x + 1y = 110). D( _____, _____)D( _____, _____)D( _____, _____) Vértice D. Es el punto donde se cortan la recta dos (1x + 1y = 110) y la recta tres (3x + 5y = 480). E( _____, _____)E( _____, _____)E( _____, _____) Es buena idea identificar las ecuaciones y sus gráficas con colores, ayuda mucho a identificarlas tanto en la gráfica como en el proceso algebraico.

Programacio n Lineal. 11

Una vez determinadas las coordenadas de los vértices, sólo es cuestión de determinar en cuál de ellos la ganancia es máxima.

Vamos a sustituir las coordenadas de cada vértice, en la función objetivo: g = 50x + 40 y

Expresa el resultado en términos de la pregunta que nos hacen: ¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea máxima?

Se deben fabricar ___________ artículos del tipo A1 y

___________ artículos del tipo A2

Punto Valor de x

Valor de y

Sustitución en la fórmula de ganancia: g = 50x + 40y

Resultado

A(0, ____)

B(0, 0)

C(____, 0)

D(___, ___)

E(___, ___)

Programacio n Lineal. 12

Resuelve los siguientes ejercicios empleando el formato 1, trata de iden-tificar las ecuaciones y gráficas con números y colores.

1. La “Eloísa y Ramón” fabrica dos productos: (1) el Walkman (2) y la TV portátil. El proceso de producción

de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un cierto número de horas de trabajo en los departamentos de electrónica, montaje y soldadura. Cada Walkman necesita 6 horas de trabajo en electrónica 8 en el taller de montaje y 7 en el departamento de soldadura; Cada TV necesita 5 horas de electrónica 3 en montaje y 4 en soldadura. Durante el actual periodo de producción se dispone de 659 horas en el departamento de electrónica, 600 horas en el taller de montaje y 580 en soldadura. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 9 dólares, mientras que para el televisor el beneficio unitario es de 8 dólares. ¿Cuántas piezas de cada equipo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?

2. La compañía de seguros "Obed" está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial (SRE) e Hipotecas (H). La ganancia esperada es de $5 por cada SRE y de $2 por cada H. Se desea establecer las cuotas de venta de los dos productos para maximizar la ganancia total espe-rada. Cada SRE requiere de 3 horas hombre en el departamento de Suscriptores, no requiere tiempo en Administración y necesita 2 horas en el departamento de reclamaciones; cada hipoteca requiere 2 horas hombre en suscriptores y 1 hora en administración, no requiere tiempo en reclamaciones. Se dispone de 2400 horas en suscripciones, 800 en administración y 1200 en reclamaciones.

3. El modelo es: Maximizar Z = x + y, sujeto a: 2x + 5y <=60, y<=10, x<=13, 3x + 2y <= 44. Redacta un pro-blema que corresponda con los datos de este modelo.

4. El modelo es: Maximizar Z = 10x + 20y, sujeto a: -x + 2y <=15, x + y<=12, 5x + 3y <= 45. Redacta un pro-blema que corresponda con los datos de este modelo.

5. La fabrica de televisores “Juan” debe decidir el número de televisores de 27 in y 20 in producidas en una de sus fabricas. La investigación de mercado indica ventas de un máximo de 40 TV de 27 in y 10 televisores de 20 in al mes. El número máximo de horas hombre disponibles es de 500 por mes. Un Tv de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, sólo 10 horas. Cada TV de 27 in produce una ganan-cia de $120 y cada uno de 20 in produce una ganancia de $80. Un distribuidor está de acuerdo en com-prar todos los televisores si el número no excede el máximo indicado en el estudio de mercado. ¿Cuántas piezas de cada tipo de TV deben fabricarse para maximizar la ganancia?

Redacción de los problemas: 3. __________________________________________________________________________________

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4. __________________________________________________________________________________

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* Consulta en cualquier libro 5 problemas de programación lineal que puedan ser resueltos por el método gráfico, resuélvelos y entrégalos.