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7/21/2019 Matlab

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CÁLCULO SIMBÓLICO

Operaciones realizadas a la fecha: Numéricas.

En muchas aplicaciones matemáticas, científicas y técnicas se requieren operaciones

simbólicas. Es decir, operaciones matemáticas con expresiones que contienen ariables

simbólicas !ariables que no contienen un alor numérico específico asi"nado cuando laoperación se e#ecuta$.

El resultado de tal operación es también una expresión matemática que contiene ariables

simbólicas. %n e#emplo sencillo es despe#ar una ariable de una ecuación al"ebraica de

arias ariables. &or e#emplo, si a, b y x son ariables simbólicas y ax ' b ( ) , se desea

calcular x a partir de a y b, cuyo resultado es x ( b*a .

Otros e#emplos de operaciones simbólicas son la resolución analítica de deriadas, inte"rales

y ecuaciones diferenciales. &or e#emplo, la deriada con respecto a t de la ecuación: +t - t

/ 0 , es 1t+ - .

2at3ab permite realizar diferentes tipos de operaciones simbólicas, donde la parte numérica

de la operación simbólica, se llea a cabo de forma exacta, sin aproximar alores numéricos.

&or e#emplo, el resultado de sumar: x*4 y x* es !5*6+$x y no ).0x.

&ara traba#ar en 2at3ab con operaciones simbólicas, se debe instalar la ca#a de

herramientas correspondiente !7ymbolic2ath8oolbox$.

3os comandos y funciones para las operaciones simbólicas tienen el mismo estilo y sintaxis

que las operaciones numéricas. 3as operaciones simbólicas son e#ecutadas por 2aple, el

cual está inte"rado dentro de 2at3ab. &ara comprobar si la librería de operaciones

simbólicas está instalada, utilizar la instrucción: ver mostrándose las herramientas !tool

boxes$ instaladas.

&ara traba#ar con operaciones simbólicas, se debe tratar con ob#etos simbólicos. %n ob#eto

simbólico está compuesto por ariables y n9meros que, cuando se utilizan en operaciones

matemáticas, indican a 2at3ab que debe e#ecutar la operación en forma simbólica.

El usuario inicialmente define o crea las ariables simbólicas !ob#etos$ necesarias, y después

las utiliza para crear expresiones simbólicas.

FUNCIONES POR CATEGORÍA

FUNCIONES

álculo ;unciones que llean a cabo operaciones de cálculo con

expresiones simbólicas.

<l"ebra 3ineal ;unciones para manipulación matricial simbólica.

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7implificación ;unciones para modificar o simplificar datos simbólicos.

7olución de ecuaciones ;unciones para resoler una expresión simbólica

<ritmética de &resición

=ariable

;unciones para cálculo que requiere control exacto de la

exactitud numérica

Operaciones<ritméticas ;unciones para la funcionalidad de expresiones aritméticas osimbólicas

;uncionesEspeciales ;unciones con aplicación matemática específica

<cceso a 2aple ;unciones para accesar el >ernel de 2aple

<plicaciones&eda"ó"icas y

?ráficas

;unciones que suministran más información con "ráficos y

calculus.

onersiones ;unciones para conertir datos simbólicos de un tipo a otro

Operaciones@ásicas ;unciones para operaciones básicas de datos simbólicos

8ransformacionesAnte"rales

;unciones que llean a cabo transformaciones inte"rales

Creación de Objetos Simbólicos.

&ueden ser ariables o n9meros. 7e crean con el comando symy*o syms , los cuales crean

n9meros, ariables u ob#etos simbólicos.

7intaxis: nombre_objeto = sym(‘cadena’)

Bonde cadena puede ser:

' %na letra o combinación de letras sin espacios. E#emplo: CaD, CxD o CarD.' %na combinación de letras y dí"itos que comience por letra !sin espacios$. E#emplos:

Cxh6+D, Cr+d+D.' %n n9mero. &or e#emplo: C6D, C4D.

Ejemlo: rear con el mismo nombre las ariables simbólicas para a, bb y x.

a ( sym!CaD$a (abb ( sym!CbbD$

bb ( bb x ( sym!CxD$x ( xEjemlo: rear el ob#eto simbólico "amma con el nombre ".

" ( sym!C"ammaD$" ( "amma

Nota: El objeto simbólico se llama gamma, y el nombre del objeto es g .

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Ejemlo: rear ob#etos simbólicos a partir de los n9meros y 5.

c ( sym!$

c (

d ( sym!5$

&ara crear más de una ariable simbólica, utilizar el comando syms.

7intaxis: symsnombre_variablenombre_variablenombre_variable F..

Ejemlo: rear ariables simbólicas para y, z, d.

syms y z d

!Obserar que no se muestran automáticamente. &ara isualizarlas, teclear su nombre$

yy ( y rea la ariable simbólica y y la "uarda en y .

Creación de e!resiones simbólicas.

7intaxis: nombre_expresion = expresión matemática

Ejemlo: rear la expresión simbólica para: ax+ - bx - c con el nombre f

syms a b c x y f ( a G x H + - b G x - cf (a G x H + - b G x - c !Sin sangría$

uando se introduce una expresión simbólica que incluye operaciones matemáticas que se

pueden e#ecutar ! suma, resta, multiplicación y diisión$, 2at3ab las e#ecuta a medida que se

crean. &or e#emplo:

"(+Ga*-4Ga*5'1.Gx-x*-4G*'6." (!+1Ga$*+6 ' !5Gx$*1 - 6*1

Ejemlo: <nalice las si"uientes operaciones realizadas en forma simbólica y numérica.

a ( sym!$I b(sym!$I

e(b*a-sqrt!+$

e (

+H!6*+$ - *

c(I d(I

f(d*c-sqrt!+$

f (

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.)0)J !Con sangría$

Ejemlo"

syms x beta real es equialente a:

x ( sym!KxK,KrealK$Ibeta ( sym!KbetaK,KrealK$I

CO#ENTARIOS SO$RE E%PRESIONES & O$'ETOS SI#$()ICOS

6. 3as expresiones simbólicas pueden incluir ariables numéricas, ocasionando que el

resultado sea exacto.E#emplo: h ( 6) *

h (

. L ( sym!$I m ( sym!5$I p ( L * m - hp(0*+6

+. 7e puede utilizar la instrucción double()para conertir una expresión simbólica

!ob#eto$ 7, escrita en forma exacta, a su forma numérica !Mo. en punto flotante de

doble precisión$.E#emplo:a$ p se conierte a su alor numérico.

pM ( double!p$pM (

4.)451

b$ 7e crea un ob#eto simbólico y después se conierte a forma numérica: y ( sym!6)$ G cos!Gpi*1$y ('GH!6*+$yM ( double!y$yM (

'0.11)

. 7e puede crear una función simbólica sin declarar las ariables.E#emplo:

f ( sym!CaGxH+-bGx-cD$f (aGxH+-b-c

NOTA: Diferencia con caso anterior: No se pueden realiar operaciones simbólicas.

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4. 7e pueden crear nueas expresiones simbólicas utilizando las existentes.E#emplo:

syms x y 7< ( x - y, 7@ ( x / y7< (x-y

7@ (x'y ; ( 7< H + * 7@ H - x H +; (!x - y$H+ * !x ' y$H - xH+

CO#AN*OS!indsym" collect" expand y !actor

CO#AN*O SINTA%IS *ESCRIPCI+N & E'E#P)O

!indsym

findsym!;$

findsym!;,n$

Enlista las ariables simbólicas inolucradas en una

expresión simbólica.

n son las primeras ariables simbólicas.

collect

collect!;$

collect!;,ariable$

<"rupa los términos de i"ual potencia que se

encuentran en una expresión.

syms x y

7 ( !xH+ - x / exp!x$$ G !x - $

7 (

!xH+ - x / exp!x$$ G !x - $

; ( collect!7$

; (

xH - 4 G xH+ - !!'exp!x$ - $ G x / G exp!x$

expand expand!7$

Besarrolla expresiones aplicando la propiedad

distributia utilizando sumas, identidades

tri"onométricas, exponenciales y lo"arítmicas.

syms a x y

7 ( !x - $ G !x ' a$ G !x - 4$

7 (

!x - $ G !x ' a$ G !x - 4$

8 ( expand!7$

8 (

xH - J G xH+ / xH+ G a / J G a - +) G x / +) G a

expand!sin!x ' y$$

ans (

sin!x$ G cos!y$ / cos!x$ G sin!y$

;actoriza una expresión en forma de polinomio y

entre"a otra expresión simbólica compuesta por

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Existen dos formas para crear funciones: utilizando expresiones simbólicas, o utilizando un

archio m.

Utiliando E!resiones Simbólicas"

3a secuencia de commandos:

syms x y zr ( sqrt!xH+ - yH+ - zH+$t ( atan!y*x$f ( sin!xGy$*!xGy$

"eneran las expresiones simbólicas r , t, y / . on estas funciones se puede: diferenciar con la

instrucción di// , inte"rar con int, sustituir con s,bs, y otras funciones de las Qerramientas

2atemáticas 7imbólicas !7ymbolic2ath8oolboxfunctions$ para manipular tales expresiones.

Creando ,n arc0i1o m

3os archios m permiten un uso "eneral de funciones. 7uponer por e#emplo, que se desea

crear la función sincsin!x$*x. &ara hacer esto, se crea el archio de función m:

function z ( sinc!x$R7AM 3a functionsinc simbólicaR sin!x$*x. Esta funciónR acepta un sym como el ar"umento de entrada.if isequal!x,sym!)$$ z ( 6Ielse z ( sin!x$*xI

end

C2)CU)O SI#$+)ICO A3AN4A*O

2atlab realiza los cálculos aanzados equialentes a los realizados normalmente, como la

solución de: una ecuación no lineal, sistemas de ecuaciones no lineales, deriación,

inte"ración, solución de ecuaciones diferenciales ordinarias !EBODs$, etc.

Sol,ción de ,na ec,ación no lineal.

%na ecuación no lineal puede tener una o más ariables simbólicas. 7i tiene una ariable, lasolución es numérica. 7i tiene más de una ariable, la solución se obtiene para una ariable

en función de las demás.

7e utiliza el comando sole.

7intaxis: h ( sole!eq$ , h ( sole!eq, ar$

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• eq puede ser el nombre de una expresión simbólica o una expresión completa.

uando la expresión no contiene el símbolo ( , se resuele para eq ( ).

• 7e pueden resoler f!x$ ( "!x$

• sole!eq$ opera en función de la ariable simbólica por defecto. &ara obtener la

solución para otra ariable, usar sole!eq, ar$

• 7i la ecuación tiene más de una solución, la salida h será un ector columna

simbólico, donde cada elemento representará una solución.

E#emplos:

6.' Sesoler con cálculo simbólico: e!+z$ (

syms a b x y z

h ( sole!exp!+Gz$ / $h (T G lo"!$

+.' Sesoler con cálculo simbólico: f!x$ ( x+ / x ' 1 ( )

7 ( xH+ / x / 17 (xH+ / x / 1 L ( sole!7$L (N'+PNP

.' Sesoler con cálculo simbólico: cos!+y$ - sen!y$ ( +

sole!Ccos!+ G y$ - G sin!y$ ( +D$ans (N6*+ G piPN6*1 G piPN*1 G piP

4.' Sesoler con cálculo simbólico: f!x$ ( ax+ - bx - +)

8 ( a G x H + - G b G x - +)

8 (a G x H + - G b G x - +)sole!8$ans (N6 * + * a G ! ' G b - ! + G b H + / 0) G a $ H !6 * + $$ PN6 * + * a G ! ' G b ' ! + G b H + / 0) G a $ H !6 * + $$ P

2 ( sole!8, a$2 (

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' G !b G x - 4$ * x H+

4.' Antroduciendo la función como cadena de caracteres, resoler con cálculo simbólico:f!x$ ( ax+ - bx - +)

ts ( sole!C4 G t G h H + - +) G t / G "D$

ts ( * 4 G " * !h H+ - $ NOTA: !as "ariables no existen como simbólicas independientes.

Sesoliendo para otra ariable:

"s ( sole!C4 G t G h H + - +) G t / G "D, C"D$"s (4 * G t G h H + - 4 G t

Sol,ción de Sistemas de Ec,aciones no )ineales.

7e utiliza también el comando sole.

7i se tiene un sistema del mismo n9mero de ecuaciones que de incó"nitas, la solución esnumérica. En caso contrario, la solución es simbólica.

%n sistema de ecuaciones no lineales puede tener una solución o arias.

7intaxis: ar ( sole!eq6, eq+, F, eqn$ I ar ( sole!eq6, eq+, Feqn, ar6, ar+, Farn$

8ambiUn se utiliza: Nar<, ar@, arP ( sole!eq6, eq+, eq$uando se tiene arre"los como salidas.

E#emplo: Sesoler el sistema: 6)x - 6+y - 61t ( ) I x / y ( 6t

syms x y t 7 ( 6) G x - 6+ G y - 61 G tI Nxt ytP ( sole!7, C G x / y ( 6 G tD$xt (+ G tyt (' G t R El sistema se resuele para x e y !primeras ariables$

E#emplo: Sesoler las mismas ecuaciones, pero para y y t.

Ntx yxP ( sole!7, C G x / y ( 6 G tD, y, t$tx (6*+ G xyx (' * + G x R El sistema se resuele para t e y !ariables definidas$

&ara la salida como una estructura: <M ( sole!eq6, eq+, eq$ <M es una estructura con elementos con los nombres de las ariables que dan la solución.

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&ara traba#ar con las funciones f!x$ ( x - 6y "!z$ ( z+ - 6 podemos hacerlo creando las

expresiones simbólicas correspondientes por cualquiera de los dos métodos:

clear syms x, f(xH-6, "(DzH+-6Df(

xH-6"(zH+-6

%na ez deXnidas podemos realizar con ellas las operaciones habituales: calcular su alor enunpunto, deriarlas, inte"rarlas, etc.

7i en una expresión simbólica queremos sustituir una ariable por otra o por una constantepara calcular su alor en un punto, utilizamos el comandosubs:

7intaxis: subs!f, anti"uas, nueas$

7ustituye las ariables anti"uas por las nueas. 7i hay más deuna ariable las escribiremosentre llaes y separada por comas.

E#emplo, calcularf!$ y"!6$

subs!f,x,$,subs!",DzD,6$ans(+0ans(+

Motar que se escribe subs!",DzD,6$, en ez de subs!",z,6$, ya que al no estar declarada zcomo ariable simbólica, al e#ecutar esta Yultima orden el pro"rama nos deolería unmensa#ede error indicando que la ariable z no existe.

subs!",z,$ZZZ%ndefinedfunctionor ariable DzD.

E#emplo: onstruir f ( ax+ -bx -c y sustituir x por t. &ara a(+, b(6, c(),obtener el alor def,cuando t(+ y t(N6:4P.

symsxa b cf(aGxH+-bGx-cf(aGxH+-bGx-csyms t"(subs!f,x,t$ Rsustituyeen f, xpor t"(aGtH+-bGt-ch(subs!",[a,b,c\,[+,6,)\$h(

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+GtH+-tu(subs!h,t,+$u(6)(subs!h,t,N6:4P$(

6) +6 1

*ERI3ACI(N E INTEGRACI(N

&ara deriar e inte"rar una expresión simbólica ! , se utilizan los comandos di ff e int , que

act9an como se indica en el si"uiente cuadro:

CO#AN*O *EFINICI+N

diff!f$ Beria f respecto de la ariable simbólica preferente.

diff!f,u$ Beria f respecto a la ariable u.

int!f$ alcula una primitia de f respecto de la ariable simbólicapreferente.

int!f,s$ alcula una primitia de f respecto de la ariable s.

int!f,a,b$ alcula la inte"ral deXnida de f respecto de la ariable simbólica

preferente.

int!f,s,a,b$ alcula la inte"ral deXnida de f respecto de la ariable s.

Nota: &or defecto, la ariable preferente en una expresión simbólica es la letra x . 7i ésta nointeriene en la expresión, se toma la letra min9scula más próxima a ella se"9n elorden alfabético y que no sea ni la i ni la j. En caso de que haya dos !una anterior yotra posterior$, se considera ariable preferente el carácter posterior.

*ERI3ACI+N di!!(!) # di!!(" u) # di!!(" u" n)

n es el orden de la deriada a calcular.

Ejemlo: Beterminar la deriada de la función f!x$ ( e!x4$

syms x y t

7 ( exp!xH4$7 (exp!xH4$ diff!7$ans (4GxHGexp!xH4$

Ejemlo: Beterminar la deriada de la función f!x$ ( !6 / 4x$

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A+(int!f,a$ R inte"ra respecto de aA+(6*+GaH+Gx-bGa

A(int!"$ Rinte"ra respecto de la ariable preferente y . Equiale a int!",DyD$.

A(6*GyH-zGy

A4(int!",DzD,),6$ Rinte"ra respecto de la ariable $ .A4(yH+-6*+

SO)UCI+N *E ECUACIONES *IFERENCIA)ES OR*INARIAS 5O*E6s7

7e utiliza el comando: dsolve(‘e%’) # dsolve(‘e%’" ‘var’)

e% :

6. 8oma como defecto la ariable independiente t.+. 7i se requiere que sea otra ariable independiente, se especifica en ar.. &ara introducir el término diferencial, iniciar con B.

E#emplo:dy

dt +3 y=100

se introduce como: CBy - Gy ( 6))D

4. 3a se"unda deriada se representa como B+y, la tercera como By, y así

sucesiamente.

E#emplo:

d2 y

d t 2 +3

dy

dt

+5 y=sent

, se introduciría como: CB+y - GBy - Gy ( sin!t$D

. Mo se requiere definir las ariables como simbólicas.1. En la solución que ofrece 2atlab, se utilizan 6, +, , etc. omo constantes de

inte"ración.

SO)UCI+N GENERA)

Ejemlo: Sesolerdy

dt =4 t +2 y

.

dsole!KBy ( 4Gt - +GyK$ans (Gexp!+Gt$ ' +Gt / 6

Ejemlo: Sesolerd

2 x

d t 2 +2

dx

dt + x=0

.

dsole!KB+x - +GBx - x ( )K$

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dsole!KBy - 4 G y ( 1)K,Ky!)$ ( K$ans (6 ' 6)*exp!4Gt$

Ejemlo: Sesolerd

2 y

d t 2 −2

dy

dt +2 y=0, y (0 )=1, y

' (0 )=0

dsole!KB+y ' +GBy - + G y ( )K,Ky!)$ ( 6K,KBy!)$ ( )K$ans (exp!t$Gcos!t$ ' exp!t$Gsin!t$

GR2FICOS PARA E%PRESIONES SI#$+)ICAS

7e utiliza el comando ezplot.

7intaxis: e$plot() e$plot(" &min" max') e$plot(" &xmin" xmax" ymin" ymax')

7i la expresión a "raficar tiene una sola ariable simbólica, se "raficará 7!ar$ s ar.

7i tiene dos ariables simbólicas, "raficará una contra la otra.

7i se tiene una sola ariable simbólica, el "ráfico se realizará por defecto en el interalo

'+`≼ar ≼+`.

&ara representar y frente a x, donde x ( x!t$ e y ( y!t$, se utilizan las si"uientes formas:

ezplot!76, 7+$o ezplot!76, 7+, Nmin, maxP$

76 y 7+ tienen la misma ariable independiente. 7e "rafican 7+!ar$ contra 76!ar$ con

dominio: ) ar +`

Ejemlo" Sealizar el "ráfico de la función simbólica: (3 x+2 ) /(4 x−1 ) .

Ejemlo" Sealizar el "ráfico de la función simbólica: 4 x2−18 x+4 y

2+12 y−11=0

Ejemlo" Sealizar el "ráfico de la función simbólica: x=cos (2 t ) , y=sen(4 t ) .

GRÁFICOS III

También es posible dar formato al texto dentro de la cadena para comandos gr!cos a

partir de parmetros opcionales del tipo propiedades " #alores$ %a sintaxis es en general

la misma &'e para los comandos xlabel( ylabel( title " text $

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)or e*emplo( la sintaxis del comando text + text(x,y,’texto’,Propiedades,Valores)

,lg'nas de las propiedades " #alores permitidos se m'estran en la sig'iente tabla+

Propiedad Descripción Valores posibles-rotation. /speci!ca la orientacin del texto /scalar grados$ )or omisin+ 0

-ont,ngle. )ermite cambiar entre caracteres

en itlica o normales

normal( italic$

)or omisin+ normalontame /speci!ca la f'ente de letra de

texto$

ombres de f'ente disponibles

en el sistema Times( ,rial(

%'cida( etc$ontie /speci!ca el tamao de la

f'ente$

/scalar p'ntos$ )or omisin+

10onteigt /speci!ca el anco de los

caracters$

Ligth( normal( bold

)or omisin+ normal:olor /speci!ca el color del texto$ :olores del sistema$

)or omisin+ ning'no;ac<gro'nd:ol

or

/speci!ca el color del fondo rea

rectang'lar

:olores del sistema$

)or omisin+ ning'no/dge:olor /speci!ca el color del borde de

'na ca*a rectang'lar alrededor

del texto$

:olores del sistema$

)or omisin+ ning'no

%ineidt /speci!ca el grosor del borde de

'na ca*a rectang'lar alrededor

del texto

/scalares p'ntos$

)or omisin+ 0.5

-2 -1 0 1 2 3 4-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Eje

E j e

Grafica de funcion1 y primera y segunda derivada

1

Graficos f, pd, sd

Tres Gráficos

Función

Primera Derivada

Segunda Derivada

El coando axis$

:'ando el comando plot(x,y) se e*ec'ta( =atlab crea los e*es correspondientes para la

representacin gr!ca( basndose en los #alores mximo " m>nimo de los #alores

posibles &'e toman x e "$

/l comando axis permite cambiar el inter#alo de los e*es( as> como s' apariencia$

)osibles formatos del comando axis +

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axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) /stablece los l>mites de ambos e*es$

xis e!"al /stablece la misma escala en ambos e*es$

xis s!"are /stablece la regin de los e*es en 'n c'adrado$

axistight /stablece los l>mites de los e*es en f'ncin del rango de los

datos$

El coando grid.

gridon ,ade 'na c'adr>c'la a la representacin gr!ca$

grid o# /limina la c'adr>c'la de la representacin gr!ca$

E!eplo"?acer 'n gr!co de la intensidad de la l' " en f'ncin de la distancia x( en

donde se m'estren dos gr!cas &'e permita comparar los datos tericos

respecto a los obtenidos en forma experimental$ %a gr!ca de los datos tericos

se deben mostrar en el inter#alo de 10 a 22 cm en incrementos de 0$1( " la

intensidad se obtiene por la expresin+ " @ 95000 A x2 $

%os datos experimentales se obt'#ieron en el inter#alo de 10 a 22 cm en

incrementos de 2( obteniéndose las intensidades+ " @ B950 640 460 340 250

180 140C

)oner en el gr!co+ t>t'lo en 14 p'ntos( eti&'etas x e "( 'na le"enda en la

posicin 14(700 &'e indi&'e+ D:omparati#a entre datos tericos "

experimentalesE$

/l gr!co correspondiente a los datos experimentales debe contener marcadores

de tamao 10 p'ntos con redondeo ro*o$

/l anco de la l>nea del gr!co de los datos tericos debe mostrarse con 'n

anco de 1 p'nto( " el de los datos experimentales con anco de l>nea de 2

p'ntos$

/l gr!co debe contener en la es&'ina s'perior dereca( las le"endas+ Terico "

/xperimental$

/l Fr!co &'e debe obtener como se m'estra en la sig'iente !g'ra$

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Gna #e obtenido el gr!co anterior( modi!carlo 'tiliando las erramientas de la

Hentana de Fr!cos( " obtener el gr!co &'e se m'estra a contin'acin$

8 10 12 14 16 18 20 22 240

200

400

600

800

1000

1200

DISTANCIA (cm)

I N T E

N S I D A D ( l u x )

Antensidad de la luz en función de la Bistancia

Comparativa entre datos teóricos y experimentales

Teorico

Experimental

8 10 12 14 16 18 20 22 240

200

400

600

800

1000

1200

DISTANCIA (cm)

I N T E N S I D A D (

l u x )

Antensidad de la luz en función de la Bistancia

Comparativa entre datos teóricos y experimentales

Teorico

Experimental

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20

10 12 14 16 18 20 22100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Distancia

I n t e n s i d a d d

e

L u z

Intensidad de luz vs Distancia

Datos experimentales

Datos teóricos

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

50

100

150

200

250

300

CURVA DEL FLUJO DEL FLUIDO

Esfuerzo de Corte

R a p i d e z d e C o r t e

Prueba Color

10

20

30

40

50

60

Gr#$cos con E!es Lo%ar&'icos(

/n el caso de &'e se re&'ieran gr!cos con e*es logar>tmicos( 'tiliar los sig'ientes

comandos+

• semilogy(x,y)$ /scala logar>tmicabase 10 para el e*e "( " lineal para ele*e x$

• semilogx(x,y)$ /scala logar>tmicabase 10 para el e*e x( " lineal para ele*e "$

• loglog(x,y)$ /scala logar>tmica base 10 en ambos e*es$

Ie ig'al manera se p'eden aadir especi!cadores( propiedades " #alores a los

comandos$

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Coando" s"bplot )ermite presentar ms de 'n gr!co en 'na sola #entana$

intaxis+ s"bplot(m,n,p)

Ionde+ m( n matri en las &'e se di#ide la #entana$ /*emplo+ 2 J 2+ Ios

l>neas " dos col'mnas$

) o$ consec'ti#o de asignacin a cada gr!co$

E!eplo" =ostrar 4 gr!cos con las combinaciones de las diferentes escalas+ lineal(

semilogx( semilog"( " loglog( para la f'ncin+ y=2(−0.2 x+10 )

$ Fenerar #ector x con

linespace para 1000 #alores de 0$1 a 60$

Gr#$cos Especiales(

Fr!cos de+ ;arras( de /scalera( de )astel o :irc'lares( de Tallo o de %>neas Herticales(

etc$

Gr#$cos de Barras" Verticales u Horizontales.

Verticales$ intaxis+ bar(x,y)

%ori&ontales$ intaxis+ barh(x,y)

Gr#$cos de Escalera" intaxis+ stairs(x,y)

Gr#$cos de )allo o L&neas Ver'icales" intaxis+ stem(x,y)

Gr#$cos de Pas'el o Pie" intaxis+ pie(y)

E!eplo" ?acer las gr!cas para todos los tipos de gr!cos para el e*emplo de #entas

de los aos de 1988

a 1994$ Gtilice el comando+ s"bplot )

#entas en millones de pesos+ 8 12 20 22 18 24 27

*is'o%raa" intaxis+ hist(y, no. de inter'alos)

NOTA: Por omisin, el nmero de barras es *0.

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%acer e+emplo para los sig"ientes datos$ 58 73 73 53 50 48 56 73 73 66 69 63 74

82 84

91 93 89 91 80 59 69 56 64 63 66 64 74 63 69

/l comando hist se p'ede 'tiliar en operaciones &'e proporcionan salidas n'méricas en

l'gar de gr!cas$

)ara obtener el nKmero de datos &'e caen en 'n inter#alo( se p'ede escribir+ n

hist(y) o n hist(y, -o/nt) o n hist(y,x). %a salida n es 'n #ector( donde el nKmero

de elementos es el nKmero de inter#alos$

e p'ede obtener también la =arca de :lase 'tiliando+ [n xo"t] hist(y) o [n xo"t]

hist(y, -o/nt)

Ionde+ xo"t es 'n #ector &'e contiene las marcas de clase$

)area" Lbtener en 'na sola !g'ra( los seis gra!cos indicados en la !g'ra sig'iente$

Fenerar el istograma " practicar las opciones de hist $

GRÁFICOS IV

)roporcionan 'na forma prctica de representar datos de ms de 2 #ariables$

a Gr#$cos de l&nea(e obtienen al 'nir p'ntos en 'n espacio tridimensional$ %a forma ms simple es la

f'ncin+ plot3

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-5

0

5

-5

0

50

2

4

6

8

10

xy

z

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ntaxis+ plot(x, y, &, 12speci3cadores de l4nea’, 1Propiedades’,’Valores’)

Ionde+ x ( y ( & representan los #ectores con las coordenadas de los p'ntos

2speci3cadores de!nen el tipo " color de la l>nea " de los marcadores$

Propiedades " Valores on opcionales &'e especi!can el grosor de la l>nea(

el tamao " color del borde " el relleno de los marcadores$

Notas:

• %os tres #ectores con las coordenadas de los p'ntos deben tener el mismo nKmerode elementos$

• %os especi!cadores de l>nea( propiedades " #alores son e&'i#alentes a gr!cos 2MI$

E!eplo" Lbtener el gr!co 3MI si las coordenadas x ( y ( & estn determinadas en

f'ncin de la #ariable t por las ec'aciones+ x=√ t sen (2t ); y=√ t cos (2 t ) ; z=0.5 t

Lbtener el gr!co en el inter#alo+ 0 t 67

t@0+0$1+6NpiO

x@s&rtt$Nsin2NtO

"@s&rtt$Ncos2NtO

@0$5$NtO

plot3x("((PrP(PlineQidtP(2

grid on

title-Fr!co de 3 Iimensiones.O

xlabelPxM%abelPO"labelP"M%abelPOlabelPM%abelPO

b Gr#$cos de Malla + de S,per$cie(

Fr!cos tridimensionales para representar f'nciones &'e tienen la forma & 8(x, y) (donde x e y son #ariables independientes( " & es la dependiente$

%os gr!cos de malla " de s'per!cie se generan en tres pasos$ /l primero consiste en

crear 'na malla o re*illa en el plano x 9 y &'e c'bra el dominio de la f'ncin$ /l seg'ndo

es calc'lar el #alor de & en cada p'nto de la re*illa$

:reacin de la re*illa en el plano x R "$

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Frid +Gna re*illa se p'ede de!nir como 'n con*'nto de p'ntos correspondientes al plano

x 9 y del dominio de la f'ncin$ %a densidad de la re*illa debe ser de!nida por el 's'ario$

E!eplo+ Se*illa con densidad M1 x 3 " 1 " 4 20 p'ntos

/n esta re*illa la distancia entre los p'ntos es de 1$ %os p'ntos se p'eden de!nir

mediante dos matrices J e U &'e contienen las coordenadas de todos los p'ntos x e y (

respecti#amente$

%a instr'ccin meshgrid se p'ede 'tiliar para crear a'tomticamente las matrices : e

; $

intaxis+ [X !" # meshgrid$x %&

Ionde : e ; son las matrices con las coordenadas x ( y de la re*illa a constr'ir( " x e y

son #ectores &'e representan el dominio de x " de y $

E!eplo" %as matrices de malla : e ; del caso anterior se obtienen de la sig'iente

manera+

-- plo'./01+12134313line5id'63178

--%rid on

--0label/30389+label/3+3892label/32389

-- 0 : ;7".9

-- +:7"<9

-- =>1 ?@:es6%rid/01+8

J @

M1 0 1 2 3

M1 0 1 2 3

M1 0 1 2 3

M1 0 1 2 3

Gna #e &'e las matrices de re*illa an sido creadas( éstas se p'eden 'tiliar para

calc'lar el #alor de & en cada p'nto de la re*illa$

:lc'lo del #alor de & en cada p'nto de la re*illa$

%os #alores de & se p'eden calc'lar con operaciones elemento a elemento a partir de los

#alores correspondientes de x e y $

U @

1 1 1 1

1

2 2 2 2

2

3 3 3 3

3

4 4 4 4

4

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propia matri W$ /l nKmero de !la est sobre el e*e x( " el nKmero de col'mnasobre el e*e "$

O'ras ins'r,cciones para %enerar %r#$cos 'ridiensionales(

/xisten otras instr'cciones 'tiliadas para representar gr!cos tridimensionales( losc'ales se m'estran en la sig'iente tabla$ )ara esto( se 'tilia la f'ncin

z=1.8−1.5√ x2+ y2

sen ( x) cos (0.5 y ) en el dominio+ M3 x 3 " M3 " 3

>> x?$0.@5$A

>> y?$0.@5$A

>> [:, ;]meshgrid(x,y)A

>> <*.B.C(?*.5Ds!rt(:.C@E;.C@)).Dcos(0.5D;).Dsin(:)A

>>mesh(:,;,<)

>>xlabel(FxF)Aylabel(FyF)A&label(F&F)A

)ipo de Gr#$co Sin'a0isFr!co de =alla mesh(:, ;, <)Fr!co de 'per!cie s"r8(:, ;, <)Fr!co de =alla con cortina dib"+a "na cortina alrededor de

la malla)

mesh&(:, ;, <)

Fr!co de =alla con contorno dib"+a "n contorno deba+o de

la malla)

meshc(:, ;, <)

Fr!co de 'per!cie con contorno dib"+a "n contorno

deba+o de la s"per3cie

s"r8c(:, ;, <)

Fr!co de s'per!cie con al'mbrado s"rG(:, ;, <)Fr!co de cascada dib"+a "na malla "nidireccional Hater8all(:, ;, <)Fr!co de contorno 3MI

n es el -o. de ni'eles de contorno y es opcional

conto"r(:, ;, <, n)

Fr!co de contorno 2MI

dib"+a proyecciones de ni'eles de contorno sobre el plano x?

y)

(n es en -o. de ni'eles de contorno y es opcional

conto"r(:, ;, <, n)

Gr#$cos Especiales en .;D()ipo deGr#$co

Descripción Sin'a0is

/sfera Ie'"el'e las matrices :, ; y < de "na

es8era "nitaria de @0 secciones. Je

p"ede especi3car n, !"e es el -o. de

secciones !"e se desean.

sphere$n&

o$ [X ! ("#sphere$)*&+

sur,$X ! (&

:ilindro Ie'"el'e las matrices :, ; y < de "n [X ! (" c%linder$r&

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cilindro de per3l r. >> tlinspace(0,pi,@0)A

>> r*Esin(t)A

>> [:,;,<]cylinder(r)A

>> s"r8(:, ;, <)

>> axis s!"areFr!co de

;arras 3MI

=ada elemento de ; es "na barra. Las

col"mnas se agr"pan para larepresentacin grK3ca.

-ar3$!&

>> ;[* 6.5 A@ 6 A 5.5AM 5 A M A @ A* @ ]A

>> bar(;)Fr!co de tallo

o l>neas

#erticales 3MI

Iib"+a "na sec"encia de p"ntos con

marcadores y l4neas 'erticales a partir

del plano x?y

stem3$X ! (&

>> t 0$0.@$*0A

>> xtA

>> ysin(t)A

>> &t.C*.5A

>> stem(x,y,&,F3llF)

>> grid on

>>

xlabel(FxF)Aylabel(FyF)A&label(F

&F)Fr!co de

dispersin 3MI

scatter3$X explode&

>> t 0$0.@$*0A

>> xtA

>> ysin(t)A

>> &t.C*.5A

>> scatter(x,y,&,F3lledF)

>> grid on

>> colormap([0.* 0.* 0.*])

>> xlabel(FxF)Aylabel(FyF)A&label(F

&F)Fr!co de pie

3MI

explode es "n 'ector de la misma

longit"d !"e : comp"esto por "nos y

ceros. Nn "no indica la porcin del pie

!"e estarK separada del resto de las

secciones

pie3$X explode&

>> :[5 O *M @0]A

>>explode[0 0 * 0]A

>> pie(:,explode)

La ins'r,cción ie/

:ontrola la direccin desde la &'e se #er el gr!co generado$ )ara ello se especi!ca la

direccin en términos de los ng'los de aim't " ele#acin( a2i,'6+ ng'lo entre e*es

x R"( eleAación+ ng'lo entre los e*es xM ( o de!niendo 'n p'nto en el espacio desde el

c'al se #er el gr!co$

intaxis+ ie/$az el& o ie/$[az el"&

Ionde+ a& es el asim't( en grados a partir del e*e " negati#o( " de!nido positi#o en

la direccin contraria a las manecillas del relo*$

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el en grados desde el plano xM"$ Gn #alor positi#o indicar 'n ng'lo &'e se abre

en la direccin $

los ng'los de #isin por omisin( son+ a& @ 20Z ( el @ 30Z$

E!eplo" )ara el e*emplo de las gr!cas 3MI( representar el gr!co de s'per!cie con

ng'los de #isin a& @ 20Z " el @ 35Z$

VV x@M3+0$25+3O

VV "@M3+0$25+3O

VV BJ UC@mesgridx("O

VV W@1$8$XM1$5Ns&rtJ$X2YU$X2$Ncos0$5NU$NsinJO

VVs'rfJ( U( WO

VV#ieQ20(35O

/scogiendo el aim't " la ele#acin apropiados( la instr'ccin 'ieH permite dib'*ar

pro"ecciones 3MI en #arios planos( de ac'erdo con+

Plano de Pro+ección Valor az Valor el

xM" #ista aérea 0 90

xM #ista lateral 0 0

"M #ista lateral 90 0

E!eplo" Her en #ista aérea el gr!co Ddel resorteE$

t@0+0$1+6NpiO

x@s&rtt$Nsin2NtO

"@s&rtt$Ncos2NtO

@0$5$NtO

plot3x("((P<P(PlineQidtP(1

#ieQ0(90

grid on

xlabelPxPO"labelP"POlabelPPO

)RE 77(

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1 %a %e" de los Fases [deales relaciona presin( temperat'ra " #ol'men de 'n gas

mediante+ P=

nRT

V donde ) es la presin en )a( n es el nKmero de moles( S @

8$31 \AmolMZ] es la constante de los gases( T es la temperat'ra en Z] " H es el#ol'men en m3$?acer 'n gr!co en 3MI &'e m'estre la #ariacin de la presin#ariable dependiente( e*e ( con respecto al #ol'men #ariable independiente e*e

" " la temperat'ra #ariable independiente( e*e " de 'n mol de gas$ %os dominiosdel #ol'men " la temperat'ra son+ 0$5 N 10M3 H 2 N 10M3( " 273 T 473 ^]$

2 %as moléc'las de 'n gas &'e se enc'entran en el interior de 'n recipiente sem'e#en en todas las direcciones a diferentes #elocidades$ %a %e" de distrib'cinde #elocidades de =axQell proporciona la distrib'cin probabil>stica )# en f'ncinde la temperat'ra " de la #elocidad+

P (v )=4 π ( M

2πRT )3

2 v2e

(− M v2 )/ (2 RT )

Ionde = es la masa molec'lar del gas en <gAmol( S @ 8$31 \AmolMZ] es la

constante de los gases( T es la temperat'ra en Z] " # es la #elocidad de las

moléc'las en mAs$Lbtener el gr!co 3MI de )# " T( para 0 # 1000 mAs " 70 T 320 Z](

para moléc'las de L2 masa molec'lar 0$032 <gAmol$

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