MATLAB PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE...

MATLAB EN EL ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA

Hernan Catari – Rodmy Miranda 1/65

MATLAB PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

Elaborado por:

Hernan Catari Ramos Rodmy Miranda Ordoñez

La Paz, Marzo 2009



INDICE GENERAL

1. ENTORNO BÁSICO DE MATLAB ................................................................................................ 3 1.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 1.2. AMBIENTE MATLAB .............................................................................................................. 3 1.3. BUSQUEDA DE AYUDAS EN MATLAB ............................................................................. 4 1.4. MANEJO DE VARIABLES Y MATRICES EN MATLAB ..................................................... 4

1.4.1. TIPOS DE VARIABLES ................................................................................................. 4 1.4.2. MANEJO DE VARIABLES ............................................................................................. 5 1.4.3. MANEJO DE MATRICES ............................................................................................... 6

1.5. SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES ............................................................................... 11 1.6. MANEJO DE NUMEROS COMPLEJOS .............................................................................. 13

2. DESARROLLO DE GRÁFICOS EN MATLAB ............................................................................ 13 2.1. CREACION DE GRÁFICOS BIDIMENSIONALES ................................................................ 13 2.2. GRÁFICOS EN 3D .............................................................................................................. 17

3. ENTORNO DE PROGRAMACIÓN DE MATLAB ........................................................................ 18 3.1. MODOS DE TRABAJO EN MATLAB .................................................................................... 18 3.2. FACILIDADES QUE OFRECE MATLAB EN PROGRAMACIÓN ......................................... 19 3.3. OPERADORES COMUNES ................................................................................................. 19 3.4. COMANDOS BASICOS DE PROGRAMACIÓN ................................................................... 19

3.4.1. COMANDO IF ................................................................................................................ 19 3.4.2. COMANDO WHILE ....................................................................................................... 20 3.4.3. COMANDO FOR ........................................................................................................... 20 3.4.4. SENTENCIA SWITCH ................................................................................................... 22

4. MANEJO BÁSICO DE SIMULINK............................................................................................... 23 4.1. INTRODUCCION ................................................................................................................... 23 4.2. MODELADO DE ECUACIONES ......................................................................................... 24 4.3. MODELADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ............................................................. 25 4.4. MODELADO MEDIANTE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA ......................................... 27

5. DINÁMICA Y MODELADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS ........................................................ 32 5.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 32 5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS PRINCIPALES COMPONENTES DEL SISTEMA ELÉCTRICO .. 32

5.2.1. Generador Sincrónico ..................................................................................................... 32 5.2.2. Sistemas de excitación ................................................................................................... 36 5.2.3. Motores Primos y Sistemas de Control .......................................................................... 36 5.2.4. Cargas Eléctricas ........................................................................................................... 37

5.3. CONDICIONES INÍCIALES Y PARAMETRIZACION DE MODELOS .................................. 38 5.4. OPTIMIZACIÓN DE MODELOS MEDIANTE EL USO DE SUBSISTEMAS ......................... 41

6. CONTROL DE POTENCIA ACTIVA Y FRECUENCIA ............................................................... 44 6.1. FUNDAMENTOS DE CONTROL DE FRECUENCIA ............................................................ 44

6.1.1. Modelo del Gobernador .................................................................................................. 44 6.1.2. Modelo de las líneas de interconexión de áreas ............................................................ 46

6.2. CONTROL AUTOMÁTICO DE GENERACIÓN EN SISTEMAS INTERCONECTADOS Y SISTEMAS AISLADOS ................................................................................................................. 47 6.3. RECHAZO DE CARGA POR BAJA FRECUENCIA .............................................................. 48

6.3.1. Factores que influencian la disminución de la frecuencia .............................................. 48 6.3.2. Transferencia Máxima por Seguridad de Áreas ............................................................. 50

6.4. ESQUEMA AUTOMÁTICO DE ALIVIO DE GENERACIÓN DEL SISTEMA NORTE ........... 52 7. ESTABILIDAD DE FRECUENCIA .............................................................................................. 57

7.1. REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA ..................................... 57 7.1.1. Ecuaciones generales del sistema. ................................................................................ 57 7.1.2. Tratamiento de las ecuaciones diferenciales del Generador ......................................... 58

7.2. ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD DE FRECUENCIA EN SEP .............................................. 60 7.3. SIMULACIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE LARGOS PERIODOS DE TIEMPO .... 63



1. ENTORNO BÁSICO DE MATLAB

1.1. INTRODUCCIÓN

Es un paquete de software orientado hacia el cálculo numérico científico e ingenieril, el cual integra cálculo numérico, computación de matrices y gráficos en un entorno de trabajo cómodo para el usuario. Teniendo también un lenguaje de programación propio de tipo interprete. Se debe tener en cuenta que MATLAB optimiza el tiempo de ejecución de cálculos al máximo. MATLAB dispone de un código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes), entre las cuales tenemos el SIMULINK, SimPowerSystem y otros.

Los usos más comunes de MATLAB son:

Cálculos matemáticos Desarrollo de algoritmos Modelado y simulación Análisis de datos, exploración y explotación. Gráficas científicas y de Ingeniería.

1.2. AMBIENTE MATLAB

Al ingresar a Matlab se mostrará la siguiente ventana, siendo en el caso de MATLAB 7.0 el mostrado en la figura 1.1.

Fig. 1.1. Ventana de trabajo de MATLAB

Entre los principales elementos que se visualizan al ingresar a MATLAB tenemos:

El Escritorio de Matlab (Matlab desktop): Es la ventana principal que se visualiza al iniciarse MATLAB.



Ventana de comandos (Command window): Es la ventana donde se pueden introducir las sentencias mediante teclado. El signo característico de esta ventana es el prompt “>>”, que nos indica que el programa esta preparado para recibir instrucciones.

Ventana histórica de comandos(Command history): Nos muestra los últimos comandos ejecutados.

Directorio actual (current directory): Nos muestra el directorio en el cual se está desarrollando los programas.

Herramientas propios de Windows: Son los componentes propios del ambiente o plataforma WINDOW como: La Barra de menú, y la barra de herramientas.

1.3. BUSQUEDA DE AYUDAS EN MATLAB

Debido a la gran variedad de herramientas que posee el software, éste presenta ayudas con varias formas de acceso:

a) Ayuda en línea

Se debe escribir en la ventana de comandos de la siguiente manera:

>>help calendar

>>help clear

>>help inv

b) Navegador de ayuda (help)

Se encuentra en el menú help.

c) Ayuda mediante demos

MATLAB contiene varios ejemplos con los códigos fuentes con acceso libre, denominados demos.

d) Comando lookfor

Nos permite encontrar palabras claves relacionadas a un comando.

>>lookfor laplace

1.4. MANEJO DE VARIABLES Y MATRICES EN MATLAB

1.4.1. TIPOS DE VARIABLES

Existen dos tipos de variables principales que maneja este Software:

Variables matriciales: Que pueden ser reales o complejas Variables tipo String: Es decir cadena de caracteres



1.4.2. MANEJO DE VARIABLES

La sentencia:

>>A=3

Asigna el valor numérico 3 en la variable A.

>>b=’Hola’

Asigna el valor String Hola en la variable B.

Se puede observar que las variables se definen de forma automática, dependiendo del valor asignado.

>>C=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

En forma extendida se tiene:

C =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

De esta forma se ha creado una matriz de dimensiones 3x3, asignándolo a la variable C.

Hasta aquí se ha creado 3 variables.

Para ver el contenido de cada variable simplemente tecleamos la variable:

>>A

A =

3

Para listar las variables:

>>who

your variables are:

A b C

Para eliminar alguna variable de la memoria:

>>clear b

>>who

your variables are:

A C



1.4.3. MANEJO DE MATRICES

MATLAB trabaja sobre matrices mediante operadores y mediante funciones, existiendo también los matrices predefinidos. En la Tabla 1.1 se muestra las operaciones más comunes que se puedan realizar con matrices mediante operadores:

OPERACIONES MAS COMUNES CON MATRICES

SIMBOLO PROCESO REALIZADO EJEMPLOS OBS

1 + Suma >>A+B

2 - Resta >>A - B

3 * Producto >>A*b

4 ' Transpuesta >>A'

5 ^ Potenciacion >>A^2 >>A*A

6 .* Producto elemento a elemento >>A .*5

7 .^ Elevar a una potencia elemento a elemento >>A .^4

Tabla 1.1. Operadores comunes que trabajan con matrices

OPERACIÓN MEDIANTE FUNCIONES

inv() inversion de matriz >>inv(A)

Size() Devuelve el tamaño de una matriz cuadrada >>size(A)

[m,n]=size(B) Devuelve el número de filas y columnas en una matriz rectangular >>[m,n]=size(B)

d=det(A) Devuelve la determinante de la matriz cuadrada A >>d=det(A)

Tabla 1.2. Funciones que actúan sobre matrices

MATRICES PREDEFINIDOS

eye(4) Forma la matriz unidad de tamaño 4x4

zeros(2,3) Forma la matriz de ceros de tam. 2x3

rand(4) forma una matriz de num. Aleatorios entre 0 y 1, de distribución uniforme de tamaño 4x4

randn(4) Forma una matriz de num aleatorios(4x4), con distribucion normal, de valor medio 0 y varianza 1

Tabla 1.3. Matrices predefinidos



FUNCIONES QUE ACTUAN SOBRE VECTORES

[xm,ym]=max(x) Devuelve el valor máximo en xm y su posicion en ym

min(x) Devuelve el valor mínimo y su posición

sum(x) Suma de los elementos de un vector

cumsum(x) Devuelve la suma acumulativa de los elementos del vector

mean(x) Valor medio de los elementos de un vector

Std(x) Desviación típica

prod(x) Producto de los elementos de un vector

cumprod(x) Producto acumulativo

[y,i]=sort(x) Ordenación de menor a mayor en y, y las posiciones en i

Tabla 1.4. Funciones importantes aplicados a vectores

Para mayor información podemos buscar en el help de MATLAB

Trabajemos con las anteriores matrices:

Hallemos la transpuesta:

>>C’

ans’ =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

para acceder mediante filas y columnas tendremos:

>>m=C(2,2)

m =

5

Para acceder a toda una fila:

>>C(2 , : )

ans =

4 5 6

para acceder a toda una columna

>>C( : , 1 )



ans =

1

4

7

Para mostrar componentes en la fila de 1 a 2, y las columnas de 2 a 3 tendremos:

>>C(1:2,2:3)

ans =

2 3 5 6

Para modificar un componente

>>C(2,3)=10

ans =

1 2 3

4 5 10

7 8 9

>>C(4,4)=11

ans =

1 2 3 0

4 5 10 0

7 8 9 0

0 0 0 11

Para crear un vector de términos crecientes:

>> D = [0:2:10]

D =

0 2 4 6 8 10

Se puede observar que las dimensiones de la matriz se modifican automáticamente.



Para crear un vector de términos decrecientes:

>>E = [0:-1:-3]

E =

0 -1 -2 -3

Suma de matriz con escalar

>>A=[1 2 3 4 5];

>>B=A + 5

A = 6 7 8 9 10 El escalar es sumado a cada componente.

Suma entre matrices

>>B=[0 1 2 1 1];

>>C= A + B

C = 1 3 5 5 6 La suma entre matrices debe ser entre matrices de las mismas dimensiones, caso contrario no se realizará la suma.

Algunos aspectos con la multiplicación de matrices

Esta operación es muy importante para desarrollar bases de tiempo



Ahora practiquemos con MATLAB

>>A=[1 2;3 4] >>A =

1 2 2 4

>>B=[1 ; 3] B=

1 3

>>C=A*B C=

7 15 Se puede observar que se aplica el producto de matrices definidos en Álgebra lineal. Pero también en MATLAB existen otras herramientas, como en el siguiente caso:

>>A=[1 3 5]; >>B=[2 0 2]; >> C = A*B ??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree.

Ahora apliquemos lo siguiente:

>>C=A . *B C=

2 0 10 Para aplicar este operador los vectores deben ser de la misma dimensión, y se debe tomar en cuenta que MATLAB no aumenta ceros en caso de no ser iguales las dimensiones. Producto escalar

>>A=[2,3]; >>B=[4,2]; >>c=sum(A.*B) c =

14 Algunos aspectos con la potenciación

>> A=[1 2 3];



>> C=A^2 ??? Error using ==> mpower Matrix must be square.

Esto es debido a que la multiplicación no es coherente. Probemos lo siguiente:

>> A=[1 2 3]; >> C=A.^2

C = 1 4 9

Composición de una matriz a partir de otras matrices Para esto las submatrices deben ser coherentes en las dimensiones. Ejemplo:

>> J1=[1 2;4 5]; >> J2=[3;6]; >> J3=[7 8]; >> J4=[9]; >> jacobiano=[J1 J2;J3 J4]

jacobiano =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.5. SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES Resolvamos el siguiente problema de despacho económico: Minimizar

20050

400100

600150

850

00482.097.778)(

00194.085.7310)(

001562.092.7561)(

3

2

1

321

23333

22222

21111

321

P

P

P

PPP

PPPF

PPPF

PPPF

FFFZ

Aplicando el método de Lagrange se tiene:

i

i

dP

dF N ecuaciones



max,min, iii PPP 2N inecuaciones

load

N

ii PP

1

1 restricción

Formándose el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Ingresando los datos en MATLAB tendremos:

>> A=[2*0.001562 0 0 -1 0 2*0.00194 0 -1 0 0 2*0.00482 -1 1 1 1 0] A =

0.0031 0 0 -1.0000

0 0.0039 0 -1.0000 0 0 0.0096 -1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0

>> b=[-7.92 -7.85 -7.97 850]'

b =

-7.9200 -7.8500 -7.9700 850.0000

>> x=A\b

x =

393.1698 334.6038 122.2264 9.1483

El mètodo utilizado para la obtención del resultado final es conocido con el nombre de eliminación gausiana.



También se puede resolver el sistema de ecuaciones mediante el método de la inversa, como sigue a continuación:

>> x=inv(A)*b x = 393.1698 334.6038 122.2264 9.1483

1.6. MANEJO DE NUMEROS COMPLEJOS Realicemos la siguiente operación:

>>b=sqrt(-1) b =

0 + 1.0000i >>c = 3 + 4j c =

3.0000 + 4.0000i También podemos definir de la siguiente manera:

>>d=complex(2,3) d =

2.0000 + 3.0000i Hallemos algunos valores importantes de el número complejo c:

>>abs(c) %nos permite hallar el modulo del número complejo ans =

5 >>angle(c) %nos permite hallar el ángulo en radianes ans =

0.9273 >>angle(c)*180/pi %nos permite hallar el ángulo en grados ans =

53.1301 >>c’ %hallamos la conjugada ans =

3.0000 - 4.0000i >>real(c) %hallamos la parte real ans =

3 >>imag(c) %hallamos la parte imaginaria ans =

4

2. DESARROLLO DE GRÁFICOS EN MATLAB

2.1. CREACION DE GRÁFICOS BIDIMENSIONALES



La forma más práctica de crear gráficos bidimensionales es con el comando plot.

Lo primero que se debe hacer es formar un dominio de puntos para el eje x, luego se genera el conjunto imagen en base al dominio dado, por ejemplo grafiquemos la función f(x)=x^2, en el rango 1 a 4:

>> x=1:1:4;%generamos el dominio >> y=x.^2;%generamos la imagen para cada punto del dominio >> plot(x,y)%graficamos x versus y

En la figura 2.1. se muestra el gráfico obtenido:

Fig. 2.1. Grafica con MATLAB

Realicemos la siguiente operación

>> x=0:0,01:2*pi; y=sin(x); plot(x,y),gris, title (‘Funcion sen(x)’) obtendremos la gráfica mostrada en la figura 2.2.



Fig.2.2. Gráfica de una función senoidal

>>z=cos(x); si deseamos ver las graficas en ventanas separadas tendremos:

>>plot(x,y); >>figure; >>plot(x,z)

si deseamos ver las dos graficas en la misma ventana tendremos:

>>plot(x,y); >>hold on; >>plot(x,z)

Las opciones de la función plot son las siguientes: Superponer gráficas sobre las mismos ejes:

>>plot(x,y,x,z) Usar distintos tipos de línea para el dibujo de la gráfica:

>>plot(x,y,’+’) Etiqueta en el eje X

>>xlabel(‘texto’) Etiqueta en el eje Y

>>ylabel(‘texto’) Título en la cabecera de la gráfica actual

>>title(‘texto’) dibujar una rejilla

>>grid



Fig. 2.3. Dos gráficas en la misma ventana

Si deseamos mostrar las dos gráficas en una misma ventana tendremos:

>>subplot(1,2,1); %crea una ventana de 1x2 y selecciona el primer grafico >>plot(x,y); %realiza el grafico de la funcion sen(x) >>subplot(1,2,2); %selecciona la ventana 2 >>plot(x,z) %grafica la función cos(x)

Obtendremos la siguiente gráfica:

Fig. 2.4. Gráfica en dos ventanas



Ejemplo:

Dada la función: )(xsenxy . Realizar la correspondiente gráfica en el intervalo[0,10].

El código será el siguiente: >> plot(x,y) >> x=[0:0.1:10]; >> y=x.*sin(x); >> plot(x,y),title('grafica de la funcion y=x*sen(x)')

Se debe tener en cuenta que se esta realizando operaciones con vectores, de tal forma que el producto debe ser coherente. Finalmente el gráfico obtenido es el siguiente:

Fig.2.5. Gráfica obtenido en MATLAB

Practica:

Dada la función : )10(110 3/ xseney x , definida en el intervalo [0,10]. Realizar la

correspondiente gráfica.

El código es el siguiente:

>> x=[0:0.1:10]; >> y=10*(1-exp(-x/3).*sin(10*x)); >> plot(x,y),title('grafica de una funcion')

2.2. GRÁFICOS EN 3D Primeramente se debe crear un dominio de puntos en forma de malla rectangular en el plano (x,y), dentro del cual se desea representar la función.



Ejemplo. Graficar la función : 221 yxz , en el dominio dado por el plano (x,y) comprendido

entre (-1.25,-1.25) y (1.25,1.25). El código será el siguiente:

>> [x,y]=meshgrid(-1.25:0.1:1.25,-1.25:0.1:1.25); >> z=sqrt(1-x.^2-y.^2); >> mesh(z)

Obteniéndose la siguiente gráfica:

Fig. 2.6. Grafica tridimensional

3. ENTORNO DE PROGRAMACIÓN DE MATLAB

3.1. MODOS DE TRABAJO EN MATLAB

En MATLAB se puede trabajar de dos maneras distintas:

a) Mediante la introducción directa de comandos:

b) Mediante creación de comandos o ficheros .m



3.2. FACILIDADES QUE OFRECE MATLAB EN PROGRAMACIÓN Elección automática del tipo de variables Dimensionamiento automático de las matrices Posibilidad de manejar números complejos(similar a los operadores sobrecargados

utilizados en lenguajes de alto nivel) Posibilidad de funcionamiento en modo interpretado Entorno de depuración integrado

3.3. OPERADORES COMUNES a) Operadores relacionales

A==B Igualdad

A<B verifica si A es menor que B

A>B verifica se A es mayor que B

A<=B verifica si A es menor o igual que B

A>=B verifica si A es mayor o igual que B

A~=B verifica se A es diferente a B

b) Operadores lógicos

OPERADOR DESCRIPCION

& Y(AND)

| O(OR)

~ NO(NOT)

3.4. COMANDOS BASICOS DE PROGRAMACIÓN

El estilo de programación es similar al entorno C. Del menú new, elegimos la opción M-File, de ésta manera ingresaremos al editor de MATLAB, donde crearemos nuestros programas o ficheros .m.

3.4.1. COMANDO IF

base=230; a = input(‘ingrese valor de tensión final en la carga:’); d=abs(base-a); r = d*100/230; if r<=5



disp(‘ La caída de voltaje es aceptable’); else disp(‘ La caída no es aceptable ‘);

end

3.4.2. COMANDO WHILE

Realiza un trabajo mientras se cumple una condición, su sintaxis es la siguiente while condicion sentencias end Ejemplo Resolver mediante método numéricos la siguiente ecuación no lineal de dos variables:

31

xx

Despejando valores tenemos

xx

13

Para la iteración se forman las siguientes ecuaciones:

1

13

kk

xx

realizar n iteraciones introducidas por el usuario

n=input('dame el numero de iteraciones:');%guardamos en n el num de iteraciones i=2; %inicializamos contador x(i-1)=0.5; %inicializamos el vector x(1) while i<n+1 x(i)=3-1/x(i-1); i=i+1; end x %mostramos las iteraciones

3.4.3. COMANDO FOR

Esta sentencia repite un conjunto de sentencias un número predeterminado de veces. En MATLAB esta sentencia es muy flexible, a diferencia de otros lenguajes como el C/C++.

La siguiente sintaxis permite ejecutar sentencias de 1 en 1 hasta n



for i=1:n sentencias end Para ir aumentando con un paso de 0.2 tendremos: for i=1:0.2:n sentencias end Una parte interesante de este bucle es la siguiente donde A es un vector: for i=A sentencias end Donde la variable i es un vector que va tomando en cada iteración el valor de una de las columnas de A. Ejemplo:

Hallar las corrientes en el siguiente circuito eléctrico:

Fig.3.1. Circuito eléctrico

Planteando mediante el método de las corrientes de malla:

Finalmente en forma matricial tendremos:

El programa es el siguiente:



Práctica:

Desarrollar la siguiente serie:

21 nnn xxx donde: 1

0

1

0

x

x

Debe generarse los siguientes valores:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,….

La serie generada es llamado como la serie de Fibonacci, la cual se puede encontrarse en varios aspectos de la naturaleza:

Fig. 3.2. El primer cuadro nos muestra un Nautilos El segundo cuadro nos muestra un piñon de pehuén. En ambos se puede observar la serie de Fibonacci

3.4.4. SENTENCIA SWITCH

Su forma general es el siguiente:

V=[50;50];

for i=1:2

for j=1:2

mensaje1=sprintf('dame el componente [%d %d] de Z',i,j);

disp(mensaje1);

Z(i,j)=input('');

end

end

I=inv(Z)*V;

for i=1:2

mod(i,1)=abs(I(i,1));

angulo(i,1)=angle(I(i,1))*180/pi;

end

disp(' modulo angulo ');

for i=1:2

res=sprintf(' %f %f ',mod(i,1),angulo(i,1));

disp(res);

end



switch switch_expresion case case_expr1, bloque1 case case_expr2,case_expr3,… bloque2 : : otherwise, %opción por defecto bloque_fin end

4. MANEJO BÁSICO DE SIMULINK

4.1. INTRODUCCION Es una librería de MATLAB, que nos permite representar diagramas de bloques de un sistema y a continuación proceder a su simulación. Para ingresar a Simulink, se debe teclear simulink desde la ventana de comandos. Al cargar el programa se debe mostrar la siguiente ventana:

Fig. 4.1. Librería de Simulink

Del menú File, debemos escoger nuevo, de donde se visualizará una ventana donde nosotros desplazaremos todos los bloques necesarios.



En la librería Simulink, podemos observar varias bibliotecas de las cuales pocas son las que generalmente son muy requeridas, revisemos las bibliotecas mas utilizadas:

Commonly Used Blocks

En la figura 4.2 se muestra los bloques mas usados de ésta biblioteca para la implementación de un modelo sencillo:

Fig. 4.2. Bloques comúnmente utilizados de Commonly Used Blocks

Sources

En la figura 4.3 se muestra los bloques mas usados de ésta biblioteca para la implementación de un modelo sencillo:

Fig.4.3. Bloques comúnmente utilizados de Sources

Existen varios bloques, que se irán desarrollando posteriormente en los siguientes capítulos.

4.2. MODELADO DE ECUACIONES Modelemos la siguiente ecuación, la cual representa la conversión de grados centígrados a grados Fahrenheit.

325

9 CF TT

Para el modelado se debe identificar la entrada y la salida, por lo tanto tendremos:



Entrada CT

Salida FT

Luego despejamos la salida, obteniendo la ecuación anterior. Procedemos a la elección de Bloques de SIMULINK tal como se muestra en la siguiente figura:

Fig. 4.2. Modelado de ecuación

Los bloques: Gain, Scope, Sum y Constant, se encuentran en la dirección: simulink/Commonly Used Blocks

El bloque Ramp se encuentra en la dirección: simulink/Sources.

En el bloque Ramp, se puede elegir la pendiente en la opción slope, al cual se ingresa haciendo doble click en el bloque.

4.3. MODELADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Modelar la siguiente ecuación diferencial:

uxx 2'

Identificando variables tenemos:

Entrada u

Salida x

Para el modelado mediante bloques, se debe despejar la derivada de mayor orden. El modelo obtenido es el siguiente:

Fig.4.3. Modelado de una ecuación diferencial

Queda como práctica la implementación del modelo en SIMULINK.



El bloque integrador se encuentra en la dirección: simulink/ Commonly Used Blocks Modelar la siguiente ecuación diferencial mediante bloques:

)('525'' 111 tfxxx

Se debe realizar el siguiente cambio de variables:

21 ' xx

Por lo tanto tendremos:

)(525' 212 tfxxx

Ya una vez ordenado, procedemos a la formación de bloques. Obteniéndose la siguiente figura:

Fig.4.4. Modelado de una ecuación diferencial de segundo grado

Queda como practica su implementación en SIMULINK. La señal de entrada puede ser un escalón unitario. Ejemplo Modelar la siguiente ecuación diferencial:

xKxBxMtf ''')(

Identificando variables tenemos:

Entrada )(tf

Salida x

Luego debemos despejar la derivada de mayor orden:

)(''' tfxKxBxM

Obteniendo el siguiente diagrama de Bloques:



Fig.4.5. Modelado de una ecuación diferencial

4.4. MODELADO MEDIANTE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Debido a que la representación de modelos se realiza mediante ecuaciones diferenciales, se hace un tanto difícil su manejo. Uno de los métodos utilizados para facilitar esto, es el uso de la Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace nos permite hallar la Función de transferencia G(s).

Implementemos el modelo de la figura 4.6. mediante la ventana de comandos y Simulink:

v(t) y(t)

i(t)

Fig.4.6. Sistema Eléctrico

Del cual resultan las siguientes ecuaciones diferenciales:

dttiC

tiRtv )(1

)()( donde dttiC

ty )(1

)(

Aplicando La Place con condiciones iniciales igual a cero tendremos:

)(1

)()( sICs

sIRsV )(1

)( sICs

sY

entrada de Laplace de daTransforma

salida de Laplace de daTransformasG



Realizando operaciones obtendremos la Función de Transferencia:

1

1

1

1

)(

)()(

TsRCssV

sYsG

Consideremos que: R=2200Ω y C=1000µF, de donde RC=T= 2.2seg.

a) Para una señal tipo impulso unitario tendremos:

1)()()( sVttv

Luego: 1

1)()()(

TssVsGsY

Aplicando la transformada inversa de La Place tendremos:

T

t

eT

ty

1

)(

Resolvamos el problema mediante código de MATLAB

>> T=2.2; >> num=1; >> den=[T 1]; >> funcion=tf(num,den)

Transfer function: 1 --------- 2.2 s + 1

>> [h1,t1]=impulse(funcion); >> plot(t1,h1)

Mostrándonos la siguiente gráfica:



Fig.4.7. Respuesta a función impulso

b) Resolvamos para el caso de una entrada de tipo escalón unitario. En forma analítica tendremos:

ssVtv

1)(1)(

1

11)()()(

Tss

sVsGsY

Aplicando la transformada inversa de La Place tendremos:

T

t

ety

1)(

Para la resolución con los codigos de MATLAB tendremos:

>> T=2.2; >> num=1; >> den=[T 1]; >> funcion=tf(num,den)

Transfer function: 1 --------- 2.2 s + 1

>> step(funcion)

El cual nos mostrará el siguiente gráfico:



Fig. 4.8. Respuesta a función paso

Resolvamos el mismo sistema con SIMULINK Las direcciones de los bloques nuevos son las siguientes:

- Para el bloque Mux Commonly Used Blocks/Mux

- Para el bloque Transfer Fcn Continuous/Transfer Fcn

El modelo debe implementarse como en la figura 4.9.

Fig. 4.9. Modelo en Simulink

Obteniéndose la siguiente respuesta:



Fig. 4.10. Resultado mediante Simulink

Practica Construir el diagrama de bloques del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

xyczdt

dz

yzbxdt

dy

xyadt

dx

)(

)(

donde: a = 10 b = 28 c = -(2 + 2/3) Simular su comportamiento: representar la variable x(t), dibujar el diagrama de fase z(t) respecto x(t).

Fig. 4.11. El Atractor de Lorenz es una figura geométrica similar a una mariposa

y que para ser contenida necesita más de dos dimensiones y menos de tres (2.06), por lo tanto es un fractal. (el inverso del exponente de Hurst es igual a la

dimensión fractal de una serie de tiempo).



5. DINÁMICA Y MODELADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS

5.1. INTRODUCCIÓN La respuesta dinámica del sistema eléctrico depende del conjunto de componentes y de la disposición de los mismos. Cada uno de los componentes influye de manera particular a la respuesta dinámica del sistema. El esquema del modelo y el grado de detalle del mismo depende de los fenómenos dinámicos a ser representados.

5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS PRINCIPALES COMPONENTES DEL SISTEMA ELÉCTRICO Todos los elementos de la red eléctrica que puedan ser representados como una resistencia, inductancia y capacitancia son los que determinan los modos de oscilación natural del sistema. Estos elementos son las líneas de transmisión, transformadores, la carga y los devanados de las unidades generadoras. Los elementos mencionados conectados entre sí constituyen la topología de la red eléctrica para determinado punto de operación y la dinámica sub-transitoria del sistema eléctrico obedece a la configuración de la topología de la red. Los generadores contribuyen con la dinámica de la red a través del regulador automático de voltaje (RAV) y el regulador de velocidad (Gobernador). El RAV aporta de manera determinante con la dinámica del sistema, está contribución dependiendo del sistema de excitación puede influenciar incluso en el comportamiento transitorio del sistema. Los estabilizadores de potencia (PSS) actúan en este tipo de dinámica. El gobernador de las unidades generadoras contribuye en la dinámica de la red a través del control de la potencia mecánica que influye directamente al control de la frecuencia del sistema.

5.2.1. Generador Sincrónico

En el modelo del generador para análisis de estabilidad transitoria y dinámica, asumiremos un circuito amortiguador para el eje directo y dos circuitos amortiguadores para el eje de cuadratura, en la representación de un generador de polos lisos, utilizado en las Centrales Termoeléctricas (Figura 5.1), y un circuito amortiguador en el eje directo y el eje de cuadratura, en la representación de un generador de polos salientes, utilizado en las Centrales Hidroeléctricas. En la representación en diagramas de bloques del generador sincrónico de polos lisos y polos salientes se usan los modelos GENROU y GENSAL respectivamente, presentados en la Figura 5.2.

d ad q aq

Figura 5.1. Circuito equivalente de la máquina sincrónica de polos lisos



Modelo GENROU

Modelo GENSAL

Figura 5.2. Diagrama de Bloques del Generador Sincrónico – Modelo GENROU y GENSAL



Por otra parte, el generador sincrónico puede ser representado mediante una f.e.m. detrás de una reactancia subtransitoria, para un análisis simplificado del sistema, donde se despreciarán las resistencias del sistema, y representará la diferencia angular entre la f.e.m. y el voltaje de la red y el diagrama de bloques que representa el sistema generador – carga que considera un tiempo de arranque mecánico (M = 2H) y una constante de amortiguamiento de la carga (D), es el siguiente:

Figura 5.3. Modelo del generador y la carga Ejemplo 5.1

Los parámetros de un generador sincrónico de polos salientes son presentados en las siguientes Tablas, utilizando el modelo Gensal (Ver Figura 5.2) determine la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario en el voltaje del sistema de excitación (Efd) y una corriente en el eje directo y el eje de cuadratura (id, iq) igual a cero. Debe tenerse en cuenta que en cantidades por unidad, el valor de las inductancias es igual al valor de las respectivas reactancias (Li = Xi).

REACTANCIAS (1) (en valores por unidad referidos a los valores nominales del generador)

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD VALOR

Reactancia sincrónica de eje directo no saturada Xd pu 1.300 Reactancia sincrónica de eje en cuadratura no saturada Xq pu 0.900

Reactancia transitoria de eje directo no saturada X’d pu 0.300

Reactancia transitoria de eje en cuadratura no saturada X’q pu 0.900

Reactancia subtransitoria de eje directo no saturada X”d pu 0.250

Reactancia subtransitoria de eje en cuadratura no saturada X”q pu 0.320

Reactancia de Dispersión Xl pu 0.130

Reactancia de secuencia negativa no saturada X2 pu 0.280

Reactancia de secuencia cero no saturada X0 pu 0.100

Reactancia de Potier Xp pu -------

CONSTANTES DE TIEMPO(1)


Cte. de tiempo transitoria de eje directo a circuito abierto T’do s 8.480 Cte. de tiempo subtransitoria de eje directo a circuito abierto T”do s 0.110

Cte. de tiempo transitoria de eje en cuadratura a circuito abierto T’qo s 0.000

Cte. de tiempo subtransitoria eje en cuadratura a circuito abierto T”qo s 0.400

Cte. de tiempo transitoria de eje directo en cortocircuito T’d s 1.970

Cte. de tiempo subtransitoria de eje directo en cortocircuito T”d s -------

Cte. de tiempo transitoria de eje en cuadratura en cortocircuito T’q s -------

Cte. de tiempo subtransitoria eje en cuadratura en cortocircuito T”q s 0.100



En la saturación magnética del eje directo del modelo Gensal (Figura 5.2), se considerada una curva de característica no lineal en el tramo de saturación del flujo del entrehierro (φat > 0.8 p.u.), representada por la siguiente relación exponencial:

)( 1TatSatBsatI eA

Donde Asat y Bsat son constantes dependientes de la característica de saturación, cuyos valores se determinan con ayuda de los factores de saturación, de la siguiente manera:

82.52.1

5045.02.1 0.1

2.1

2.1

20.1

S

SLnB

S

SA satsat

Finalmente la función de saturación será igual a φat cuando φat <= 0.8 p.u y φat + φI cuando φat > 0.8 p.u. Es importante señalar que φat = E’q, en la representación del modelo Gensal. La respuesta obtenida con Simulink, se presenta en la siguiente figura.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Fuerza Electromitriz Inducida vs. Tiempo

Tiempo (segundos)

Vol

taje

(p.

u.)

OTROS DATOS


Cte. de Inercia del conjunto turbina + generador H(3) MWs/MVA 1.352 Resistencia de armadura por fase (dc) @20ºC Ra

(1) Ω 0.00417

Resistencia del arrollamiento de campo (dc) @120ºC Rf(1) Ω 0.0967

Factor de Saturación en Vacío a Tensión Terminal 1.0 p.u. (2)S1.0 - 0.143

Factor de Saturación en Vacío a Tensión Terminal 1.2 p.u. (2)S1.2 - 0.382

Corriente de campo para MVA, Tensión y cos ϕ nominales I (1) fnom A 1127

Relación de cortocircuito SCR(1) p.u. 0.870



Figura E1. Respuesta de la Fuerza Electromotriz (φ’’d) ante una entrada escalón unitario del voltaje de campo (Efd)

5.2.2. Sistemas de excitación

Desde el punto de vista del sistema de potencia, el sistema de excitación debería contribuir al control efectivo del voltaje y a mejorar la estabilidad del sistema. Este debería ser capaz de responder rápidamente a una perturbación para mejorar la estabilidad transitoria del sistema, y ajustar el voltaje de campo del generador para producir componentes de par de sincronización y de amortiguamiento suficientes, que permitan mejorar la estabilidad debido a pequeñas perturbaciones en el sistema. Para lograr esto algunos sistemas de excitación son provistos de un estabilizador de potencia (PSS), que proporciona señales de estabilización auxiliares, en adición a la señal de error del voltaje en terminales, para controlar el voltaje de campo y de esta manera amortiguar las oscilaciones del sistema. Existen diversos tipos de sistemas de excitación, los cuales pueden ser clasificados dentro de las siguientes categorías:

Sistemas de excitación de corriente continua Sistemas de excitación de corriente alterna con rectificadores giratorios (sin escobillas,

“brushless”). Sistemas de excitación con rectificadores estáticos.

Estos tres tipos están presentes en las unidades de generación del SIN y los modelos desarrollados por IEEE serán utilizados para su modelación. La figura 5.4, muestra la representación general de los sistemas de excitación.

Figura 5.4. Representación General de un Sistema de Excitación

5.2.3. Motores Primos y Sistemas de Control

El modelo del control de la potencia mecánica será subdividido de acuerdo con los sistemas físicos que están involucrados en el proceso de la producción y dinámica de la potencia mecánica. Estos subsistemas son la turbina y el controlador de velocidad ó gobernador.

Vref

Estabilizador del sistema de potencia

Límites y circuitos de protección

Transductor de voltaje en terminales y compensador de

carga

GeneradorRegulador ExcitatrizE t



El primotor que impulsa un generador puede ser una turbina de gas, vapor o una hidráulica. El modelo del primotor debe relacionar la posición de la válvula que regula el flujo de vapor o agua y la potencia mecánica de salida de la turbina. El sistema gobernador se encarga de sensar la velocidad de la máquina o la frecuencia eléctrica, y ajustar la posición de la válvula reguladora de tal forma que la velocidad y la frecuencia eléctrica regresen a sus valores nominales luego de producida una perturbación en la red. El gobernador se compone de un sensor electrónico y sistema compuesto generalmente por una parte mecánica, una eléctrica y otra hidráulica para ajustar la posición de la válvula. La figura 5.5 representa el diagrama de bloques general empleado para representar un regulador de velocidad asociado a una turbina térmica a vapor (T4 = 0) o una turbina hidráulica (T4 ≠ 0).

Figura 5.5. Modelo de un regulador de velocidad de turbina térmica/hidráulica

5.2.4. Cargas Eléctricas

Los transitorios asociados con la red de transmisión decaen muy rápidamente. Por lo tanto es usualmente adecuado considerar la red, durante las condiciones electromagnéticas transitorias, como si pasaran directamente de un estado estable a otro. Para el análisis convencional de estabilidad transitoria, la representación del modelo de la red es similar al utilizado en el análisis de flujos de carga. La forma más conveniente de la representación de la red es utilizando el método de corrientes nodales. La corriente nodal (Ii) y la tensión nodal (Vi) están descritas por la relación lineal de la ecuación (5.1) en el marco de referencia complejo de la red:

VYI * (5.1) El vector (I) está compuesto por las (n) componentes reales e imaginarias de las corrientes inyectadas (Ii). Los elementos de la matriz (Y) se obtienen por el conocido proceso de formación de la matriz de admitancia nodal. Modelo de la carga estática El modelo de la carga estática expresa la característica de la carga en cualquier instante del tiempo como una función algebraica de la magnitud del voltaje de barra y la frecuencia en ese instante. La componente de la potencia activa (P) y la componente de la potencia reactiva (Q) son consideradas separadamente. La dependencia del voltaje y la frecuencia sobre la carga es representada de la siguiente manera:



fKV

VQQ

fKV

VPP

qf

b

oo

pf

a

oo

1

1

(5.2)

Con los exponentes a y b igual a 0, 1, o 2, el modelo representa una característica de potencia constante, corriente constante, o impedancia constante, respectivamente.

En la ecuación (5.2), f es la desviación de la frecuencia off . Los valores típicos de Kpf

están en los rangos 0 a 3, y Kqf está entre los rangos de –2 a 0. La frecuencia en las barras f no

es una variable de estado en el modelo del sistema usado para el análisis de estabilidad. Por lo tanto está es evaluada mediante el cálculo de la derivada del ángulo del voltaje de barra respecto del tiempo. Las cargas estáticas son representadas como parte de las ecuaciones de la red. Cargas con características de impedancia constante son incluidas en la matriz de admitancia nodal. Las cargas no lineales son modeladas como funciones algebraicas de la magnitud del voltaje y la frecuencia, dadas por la ecuación (5.2), y son tratadas como inyecciones de corriente en el nodo apropiado de acuerdo a la ecuación (5.1). El valor de la corriente de nodo desde tierra a la red es:

*L

LLL

V

jQPI

(5.3)

Donde *

LV es el conjugado del voltaje de la barra de carga, PL y QL son las componentes de

potencia activa y reactiva de la carga, que se calculan mediante la ecuación (5.2). Para una carga inductiva QL es positiva. Para el cálculo de la red es conveniente modificar la matriz de admitancia nodal (Y) de la siguiente forma. Las admitancias del generador, así como las admitancias de la carga con características de impedancia constante son introducidas directamente a los elementos diagonales de la matriz (Y), la matriz de admitancia nodal modificada es denominada (YN), y la ecuación de la red es idéntica a la ecuación (5.2), la cual en notación matricial puede ser escrita como:

VYI N * (5.4)

5.3. CONDICIONES INÍCIALES Y PARAMETRIZACION DE MODELOS

En el análisis de estabilidad transitoria se debe resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas y diferenciales con valores iníciales conocidos. El análisis de flujos de potencia proporciona los valores iníciales de las variables de la red, incluyendo la potencia activa y reactiva entregada por el generador, así como también la tensión en terminales. El procedimiento para el cálculo de los valores iníciales de las cantidades del generador para valores conocidos en terminales es el siguiente:



qaqqq

dfdadd

dadfdfdadfd

fdfdfd

ad

ddqaqfd

dadq

qaqd

itq

itd

itq

itd

tqtat

tatqi

tt

t

t

ttt

iL

iiL

iLiLL

iRe

X

iXiRei

iRe

iRe

Ii

Ii

Ee

Ee

IXIRE

IRIX

IE

P

E

QPI

21

1

1

1

22

cos

sin

cos

sin

sincos

sincostan

cos

(5.5)

dddd

qqqq

iX

iX

''"

''"

Ejemplo 5.2

Para describir el comportamiento transitorio del generador sincrónico de la central Yanacachi se utiliza el modelo Gensal (Ver Figura 5.2), cuyos parámetros son los presentados en el ejemplo 5.1. y los datos generales de la central se muestran en la siguiente Tabla.

DATOS GENERALES


Voltaje Nominal Vnom kV 11.50 Potencia Aparente Nominal Snom MVA 58.675

Frecuencia Nominal f Hz 50

Velocidad de rotación nominal n r.p.m. 750 Factor de Potencia Nominal cos ϕ - 0.85

Potencia Nominal Pnom MW 51.0

Potencia reactiva máxima (a Pnom y en sobreexcitación) Qmáx MVAr 26

Potencia reactiva mínima (a Pnom y en subexcitación) Qmín MVAr -24



Determinar la respuesta del sistema para una incremento del 10% del voltaje del sistema de excitación (Efd), considerando que la central Yanacachi operaba en el bloque de alta previo al evento, con los siguientes parámetros:

P = 46 MW, V = 11.5 kV, Q = 5 MVAr (sobreexcitado)

La función de transferencia del bloque integrador en el eje de cuadratura del modelo Gensal (Figura 5.2) tiene la siguiente relación matemática:

sTiLL qoqqqq

q

''

1

''''

''

La anterior ecuación en el dominio del tiempo considerando que el operador (s) de La Place es d/dt, es la siguiente:

qqqqq

qo iLLdt

dT ''''

''''

Cuando el sistema es estable (condición de pre-falla), los valores como φ’’q son constantes y por lo tanto la derivada de un valor constante será cero y en base a este criterio es posible obtener los valores de pre-falla de cualquier función de transferencia, encontrando que:

qqqq iLL ''''

El diagrama de bloques del eje de cuadratura del modelo Gensal, puede ser representado en simulink de la forma siguiente:

Figura E2.1 Diagrama de bloques del eje de cuadratura – Modelo Gensal

En el cuadro de dialogo del bloque integrador, permite introducir la condición inicial de la variable de estado resultante que para la Figura E2.1 es (φ’’q). A partir de las ecuaciones (5.5) se determina los siguientes valores iníciales del generador utilizados en el modelo Gensal:

id = 0.28 iq = 0.41 Efd = 1.5 E’q = 1.1 φ1d = 1 φ’’q = 0.24 La gráfica resultante del sistema es mostrada a continuación, considerando la perturbación realizada luego de 10 s. Es importante señalar que la respuesta del sistema para el eje directo presenta una pequeña desviación, debido a la saturación del flujo del entrehierro.

-FIq''

iq

ed

-K-

Xq-Xq''

-C-

Iq

1s

Integrator

-K-

1/Tqo''



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2Fuerza Electromotriz vs. Tiempo

Tiempo (segundos)

Vol

taje

(p.

u.)

Voltaje Inducido eje directo

Voltaje Inducido Eje de cuadratura

Figura E2.2 Respuesta del voltaje inducido en el eje directo y de cuadratura ante un incremento del

10% del voltaje del sistema de excitación

5.4. OPTIMIZACIÓN DE MODELOS MEDIANTE EL USO DE SUBSISTEMAS

Con la finalidad de mejorar la representación de un sistema grande, es posible representar un sistema como el modelo Gensal dentro de otro sistema, para esto se usa la librería “Port & Subsystem”, esto permite también crear un cuadro de dialogo para las variables del sistema interno y graficar la forma deseada para el bloque principal que contiene al ahora denominado Subsistema. Ejemplo 5.3

Representar el Modelo Gensal de la Figura 5.2, como un subsistema con una entrada igual al voltaje de campo (Efd) y salidas iguales a φ’’d y φ’’q, como se muestra en Figura E3.1 y con un cuadro de dialogo similar al mostrado en la Figura E.2, en base a los parámetros necesarios para modelar al generador.

Figura E3.1 Representación del Generador con Subsistemas

YAN

Fi''q

Fi''d

Efd



Figura E3.2 Cuadro de Dialogo para la representación del Generador con Subsistemas

El subsistema se obtiene copiando el bloque “Subsystem”, de la librería “Port & Subsystem” al archivo (Model) y copiando el diagrama de bloques del modelo Gensal dentro del bloque “Subsystem”, definiendo las variables de entrada y de salida con los bloque Inport y Outport, que aparecen por defecto dentro del bloque “Subsystem” al hacer doble click sobre él. Para el formato requerido, haga click con el botón derecho del mouse sobre el bloque “Subsystem” e ingrese a “Mask Subsystem”. En la pestaña de Icono (Icon) ingrese el siguiente comando:

plot(x,y,x,y1,x1,y2,xr,yr,xv,yv) y en la pestaña Inicialización (Initialization) ingrese las siguientes sentencias: x=-5:0.025:5; y=sqrt(25-x.^2); y1=-sqrt(25-x.^2); x1=-pi:.1:pi; y2=sin(x1); xr=[5,6.25]; yr=[0,0]; xv=[6.25,6.25]; yv=[-2,2]; esto como se muestra en la Figura E3.3.



Figura E3.2 Cuadro de Dialogo para la representación del Generador con Subsistemas

Finalmente los parámetros internos del Modelo se generan en la pestaña Parámetros (Parameters).



6. CONTROL DE POTENCIA ACTIVA Y FRECUENCIA

6.1. FUNDAMENTOS DE CONTROL DE FRECUENCIA La frecuencia del sistema de potencia depende del balance de la potencia activa. Los cambios en la frecuencia ocurren porque varía aleatoriamente la carga del sistema a lo largo del día de manera que no se puede asegurar una predicción exacta de la demanda real de potencia. Con el fin de compensar variaciones de potencia en el sistema ante variaciones en la demanda o por contingencias, los reguladores de velocidad realizan la regulación primaria de frecuencia en forma automática modificando la potencia de generación de las unidades en operación. La regulación primaria permite estabilizar la frecuencia del sistema, pero no logra eliminar el error en estado estable, o desplazamiento (offset), y la frecuencia final del sistema será diferente a la nominal. El error en estado estable de la frecuencia del sistema depende del efecto combinado del estatismo permanente de los reguladores de velocidad y la sensibilidad de la carga para variaciones de frecuencia. Considerando un sistema con “n” generadores y una constante de amortiguamiento compuesto de

la carga (D), el error en estable de la frecuencia ( SSf ) seguido a un cambio de carga ( LP ) está

dado por:

DR

Pf

eq

LSS

1

Con:

n

eq

RRRR

R1

.....1111

321

Donde, Ri son los estatismos permanentes de las unidades en operación. Con el fin de complementar la Regulación Primaria de Frecuencia, se realiza el control suplementario cuya función es restaurar el intercambio de potencia a los valores programados y también restaurar la frecuencia del sistema al valor deseado. El control de la potencia generada y la frecuencia es comúnmente conocido como control frecuencia/carga (load-frequency control LFC).

6.1.1. Modelo del Gobernador

El gobernador debe actuar cuando existe un error entre la frecuencia eléctrica generada y la frecuencia de referencia. Si el error es positivo quiere decir que se debe cerrar la válvula, por lo tanto el error se debe invertir (multiplicar por -1) y para minimizar el error permanente en la frecuencia eléctrica se debe integrar el error.



Figura 6.1 Modelo del gobernador para un generador aislado Para poder poner a trabajar generadores en paralelo se debe introducir una nueva señal para asegurarse que ambos operen a la misma frecuencia y que compartan los cambios de carga que se den de acuerdo a la capacidad de generación de cada uno. Esto se logra colocando un lazo de realimentación que toma la diferencia entre la posición de la válvula respecto a una posición de referencia para una carga determinada y la multiplica por el estatismo permanente (R) del gobernador. El parámetro R del gobernador es un valor en unidades Hz/MW que cambia la pendiente de la característica frecuencia en función de la potencia activa del generador, que es típicamente similar a la siguiente.

Figura 6.2. Característica típica frecuencia-potencia activa de un generador.

Figura 6.3. Modelo del gobernador para generadores en paralelo.

El diagrama de bloques simplificado del sistema de control de la Figura 6.3, se presenta a continuación.



Figura 6.4. Modelo del generador, la carga, el primotor y el gobernador.

6.1.2. Modelo de las líneas de interconexión de áreas

Las líneas de interconexión de áreas transmiten potencia de un área a otra (Ptie) según un programa previamente determinado. En caso de contingencias (aumento considerable de la carga o pérdida de generación) se introduce una variación Ptie en el flujo de potencia entre áreas. Esta desviación del valor nominal o programado para ese momento se puede expresar como una función de las desviaciones de los ángulos de fase de las maquinas de cada área.

La potencia consumida en un área debe ser igual a la potencia generada en el área mas la potencia que el área recibe a través de las interconexiones con áreas vecinas. Para entender mejor el concepto, considere dos áreas con un generador cada una como se muestra en la Figura 6.5, pero en este caso se interconectan las áreas mediante una línea. Este sistema interconectado puede ser representado con el siguiente diagrama de bloques.

Figura 6.5. Modelo simple de dos áreas de un generador interconectadas.



Ante un cambio de carga PL en el área 1, las dos áreas registraran una variación en la frecuencia y cuando en sistema se estabilice y regrese a régimen permanente, la frecuencia será constante e igual en ambas áreas.

6.2. CONTROL AUTOMÁTICO DE GENERACIÓN EN SISTEMAS INTERCONECTADOS Y SISTEMAS AISLADOS

Con el propósito de tener control del sistema, este se subdivide en áreas de control que, generalmente forman las fronteras de una o más compañías. El intercambio neto de potencia en las líneas de interconexión de un área es la diferencia algebraica entre la generación del área y la carga del área (más las pérdidas). Los objetivos principales del control automático de la generación (Automatic generation control / AGC) son la regulación de la frecuencia al valor nominal especificado y mantener el intercambio de potencia entre las áreas al valor programado, mediante el ajuste de la potencia de salida de los generadores seleccionados. Como objetivos adicionales del AGC, se desea que el error acumulado (integral del error) tanto para la frecuencia como para los intercambios de potencia sean cero o por lo menos que sean acotados. Como último objetivo, se puede incluir en el AGC criterios de despacho económico. El AGC actúa entre 30 segundos y 15 minutos después de una gran perturbación. La redistribución de potencia se basa en un criterio totalmente distinto al del gobernador. El AGC es un control descentralizado que opera en cada área de control y no recibe señales externas, sólo toma en cuenta las mediciones locales de frecuencia y flujo de potencia en las líneas de interconexión. Para hacer el error de la frecuencia igual a cero se debe incluir un control integral al gobernador que ajuste el valor de la potencia de entrada del generador.

)()( sfs

KsP I

ref

Para lograr los objetivos anteriores se debe definir además para cada área una señal de error llamada Error de Área de Control (ACE) que tiene una componente proporcional al error en la frecuencia del área y otra componente proporcional al error de los intercambios de potencia comprometidos con esa área. Esta señal de error se introduce después a un integrador para garantizar que se van a variar las potencias de entrada a los generadores hasta que el error del área sea cero. El ACE se define como

)(sfBPACE tie

Donde B es una constante propia de cada área de generación llamada frequency bias. La selección de KI y B en las expresiones anteriores afectan la velocidad y estabilidad de la respuesta. El valor de B debe ser suficientemente alto para que todas las áreas contribuyan adecuadamente al control de frecuencia. La ganancia del integrador (KI) tiene unidades de Hz/MW e indica la rapidez con que disminuye el error de la frecuencia. Sin embargo existe una cota para su valor para evitar que el sistema se vuelva inestable. El diagrama de bloques final para modelar las áreas interconectadas incluyendo AGC se presenta a continuación:



Figura 6.6. Sistema de control de frecuencia para dos áreas interconectadas. En un sistema de potencia aislado, mantener el intercambio de potencia entre áreas ya no sería una función del AGC. Por lo tanto la función del AGC es restaurar la frecuencia al valor nominal especificado. Esto es realizado añadiendo un control integral o de reajuste (reset), el cuál actúa sobre el ajuste de la variación de carga de referencia (setpoint) de los reguladores de velocidad de las unidades con control suplementario. La acción de control integral asegura que el error en estado estable de la frecuencia será cero.

6.3. RECHAZO DE CARGA POR BAJA FRECUENCIA

6.3.1. Factores que influencian la disminución de la frecuencia

Considerando que en el área separada se ignora la operación de los reguladores de velocidad para la activación de la reserva rotante, la magnitud a la cuál disminuye la frecuencia en el área aislada y la velocidad de variación de la frecuencia dependen principalmente de tres factores: la magnitud de la sobrecarga o transferencia L , la constante de amortiguación de la carga D aplicable a la carga final del área, y la constante de inercia equivalente Meq que representa la inercia rotacional total de los generadores en el área. En forma matemática la variación de la frecuencia puede ser determinada mediante la siguiente fórmula:

KeLf T

t

)1(

Donde: K = 1/D y T = Meq/D La constante de amortiguamiento de la carga es expresada como un porcentaje de cambio en la carga para un 1% de cambio en la frecuencia. Valores típicos para SEP están entre 1% y 2%, para nuestro caso se usará un valor de 1.8%, que representa que un 1% de cambio en la frecuencia causara un 1.8 % de cambio en la carga. Con la finalidad de realizar el análisis de un SEP, es necesario normalizar las variables Meq y D con ayuda de las siguientes ecuaciones:

n

iieq MM

1

; B

imaqimaqi S

SHH )(

)( ; BS

LD

8.1



En las graficas siguientes se presenta la respuesta de la frecuencia de un sistema con déficit de generación para diferentes valores de transferencia, constante de amortiguación y constante de inercia equivalente; donde se observa que la magnitud a la cual disminuye la frecuencia en el área aislada es fuertemente influenciada por la magnitud de la transferencia (potencia importada por la red).

Figura 6.1. Respuesta de la frecuencia del sistema con deficiencia de generación para diferentes valores de Meq, con D=1.8 y L =0.1 p.u.

Figura 6.2. Respuesta de la frecuencia del sistema con deficiencia de generación para diferentes valores de D, con M=10 y L =0.1 p.u.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5047

47.5

48

48.5

49

49.5

50

tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(Hz)

Variación de la frecuencia debido a deficiencia en la Generación

Meq=10

Meq=8Meq=5

Meq=2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5046.5

47

47.5

48

48.5

49

49.5

50Variación en la frecuencia debido a la deficiencia en la Generación

tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(Hz)

D = 5.5

D = 4D = 3

D = 1.5



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5036

38

40

42

44

46

48


tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(Hz)

dPl = 0.1

dPl = 0.15dPl = 0.25

dPl = 0.5

Figura 6.3. Respuesta de la frecuencia del sistema con deficiencia de generación para

diferentes valores de L , con M=10 y D=1.8

6.3.2. Transferencia Máxima por Seguridad de Áreas

Las condiciones de desempeño mínimo del SIN aprobadas mediante Resolución SSDE N° 227/2004, establecen la metodología para determinar la potencia máxima importación de un área (Transferencia Máxima), la cuál es función de la capacidad del esquema de alivio de carga (a), reserva rotante (r), demanda (D) y capacidad efectiva (G) del área importadora. Y para el caso del sistema norte se determina con la siguiente ecuación:

2.1

**max

GrDaT

Por lo señalado, la Transferencia Máxima es determinada para que en caso de pérdida de la única línea de interconexión Kenko- Vinto, el sistema norte sea capaz mediante la ayuda de la desconexión de carga (43 % de la demanda) y la reserva rotante (10%, 15% y 19% Bloques Alto, Medio y Bajo respectivamente) de restituir el balance energético (generación = demanda + perdidas), logrando el menor racionamiento de energía posible bajo estas circunstancias. Ejemplo E6.1

Analizar la desviación máxima de la frecuencia en el sistema de La Paz, cuando la potencia de importación (Transferencia Máxima) por la línea de interconexión (Kenko-Vinto) se interrumpe y determinar el esquema de alivio de carga adicional a conectar en la subestación Kenko para cumplir las condiciones de desempeño mínimo del sistema. Con la finalidad de analizar los requerimientos necesarios de un esquema de alivio de carga EDAC en el área norte para mejorar la confiabilidad del mismo ante la pérdida de la línea Kenko-Vinto cuando el sistema se encuentra importando energía en época seca, se ha considerando el informe



UO 34/2007 “Análisis de suministro de energía al área norte”. De este documento se puede ver que la máxima transferencia de Vinto a Mazocruz sería de 108.7 MW en el mes de julio 2008, potencia inferior a la capacidad de la línea. Asimismo, se para este periodo se determino la constante de amortiguación de la carga del sistema norte según las ecuaciones señaladas líneas arriba, encontrándose que la misma varía entre 1.61 y 5.42. Por otra parte se determino que de acuerdo al parque generador despachado, la inercia equivalente del sistema variaría entre 7.82 y 10.51. La variación de la frecuencia ante la pérdida de la línea Vinto a Kenko para el escenario de máxima transferencia del mes de julio 2008 se presenta a continuación:

Escenario Base:

Bajo este escenario, la respuesta del sistema debido a la perdida de la línea de interconexión, se muestra en la siguiente figura:

Figura E6.1. Respuesta de la frecuencia del sistema con deficiencia de generación para diferentes esquemas de protección

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5034

36

38

40

42

44

46

48

50


tiempo (s)

Fre

cuen

cia

(Hz)

Sin EDAC

con EDAC (43% Demanda)con EDAC y DAC (10% Demanda)

con EDAC, DAC y reserva rotante

JULIO 2008

HORA 09:00

DEMANDA NORTE 186.3

GENERACIÓN

SISTEMA ZONGO 61.5

SISTEMA TAQUESI 0.7

KENKO 15.4

Total Generación 77.6

TRANSF. MAZ-VIN 108.7

RESERVA LOCAL 13.7

Constante de Amort. Carga 3.4

Constante de Inercia 8.8



De la figura anterior se observa que para el escenario analizado y considerando una DAC en Kenko del 10% de la demanda como plantea la UO y la reserva local esperada, se obtendría una respuesta aceptable por las condiciones de desempeño mínimo, obteniéndose una frecuencia de magnitud igual a 50.54 Hz. En este sentido el valor de demanda adicional desconectada necesaria para lograr un equilibrio entre la demanda y la generación del sistema norte para este escenario debería ser igual a 18.63 MW (10% de la demanda de La Paz).

6.4. ESQUEMA AUTOMÁTICO DE ALIVIO DE GENERACIÓN DEL SISTEMA NORTE En el análisis del control de frecuencia/carga (load-frequency control LFC), nos interesa el funcionamiento colectivo de todos los generadores del sistema. Las oscilaciones entre máquinas y el funcionamiento del sistema de transmisión no son considerados. Se asume un funcionamiento coherente de la respuesta de todos los generadores a los cambios en la carga del sistema y se los representa mediante un generador equivalente. El generador equivalente tiene una inercia constante Meq igual a la suma de las constantes de inercia de todas las unidades generadoras y sobre esta inercia equivalente actúa la combinación de la potencia mecánica de cada una de las turbinas como se muestra en la Figura 6.7. El efecto de la variación de la carga con la frecuencia es representado mediante una constante de amortiguamiento D. La velocidad del generador equivalente representa la frecuencia del sistema, y en valores normalizados o en p.u. estás son iguales.

Figura 6.7. Sistema equivalente para el análisis LFC

Debido a que la excursión máxima de la frecuencia es proporcional a la diferencia entre la potencia generada y la potencia demandada y que los controladores de un sistema de potencia por su tiempo de acción solamente mejoran la respuesta dinámica del sistema y no impiden el sobrepaso de la frecuencia (primera oscilación) ante fuertes perturbaciones en la red, como es la desconexión de una línea de interconexión entre sistemas, es necesario utilizar esquemas de alivio de generación para mitigar la magnitud del sobrepaso de la frecuencia, esta situación a dado lugar a emplear un esquema de alivio de generación (EDAG) en el sistema de La Paz (sistema norte), para posibilitar la operación económica del sistema interconectado nacional en época húmeda, cuando se dispone de generación abundante en el sistema norte que cuanta con un parque generador predominantemente hidroeléctrico. Ejemplo E6.2

Analizar los posibles esquemas de alivio de carga que permiten limitar las excursiones de frecuencia hacia arriba en 56.5 Hz, para el sistema norte cuando se pierde la línea de interconexión Kenko-Vinto y el área norte se encuentra exportando aproximadamente 130 MW de potencia, considere el escenario mostrado en la siguiente tabla.

P L

P m n

P m 2

P m 1

f =



Con la finalidad de utilizar un manejo rápido y simple para el análisis de posibles esquemas de alivio de generación, se empleara la interacción de un archivo en Excel donde se establecen posibles escenarios, como los mostrados en la siguiente Tabla y el modelo del sistema norte en el análisis LFC pude tener la representación mostrada en la Figura E6.2.

ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 ETAPA 4 ETAPA 5 ETAPA 6 ETAPA 7 ETAPA 8 ETAPA 9

No. Combinación UGENout1 UGENout2 UGENout3

52 53 53.5 54 54.5 55 55.5 56 56.5

1 1 HAR1 HAR2 CAH1 CAH2 HUA1 HUA2 CHU1 CHU2 CHJ3

2 2 ZON1 HAR1 HAR2 CAH1 CAH2 HUA1 HUA2 CHU1 CHU2

3 3 HAR1 TIQ1 HAR2 CAH1 CAH2 HUA1 HUA2 CHU1 CHU2

4 4 HAR1 HAR2 CHJ3 CAH1 CAH2 HUA1 HUA2 CHU1 CHU2

5 5 HAR1 HAR2 CAH1 CHJ3 CAH2 HUA1 HUA2 CHU1 CHU2

6 6 HAR1 HAR2 CAH1 CAH2 CHJ3 HUA1 HUA2 CHU1 CHU2

7 1 2 HAR1 HAR2 CAH1 CAH2 HUA1 CHJ3 HUA2 CHU1 CHU2

8 1 3 HAR1 HAR2 CAH1 CAH2 HUA1 HUA2 CHJ3 CHU1 CHU2

CENTRAL UGEN COD. UN Sn (MVA) Pn (MW) H (s) Meq (s)

ZONGO ZON1 1 12.50 10.50 3.13 0.78

TIQUIMANI TIQ1 2 11.10 9.50 2.64 0.58

BOTIJLACA BOT1 3 2.50 1.90 1.52 0.08

BOT2 4 1.75 1.60 1.77 0.06

BOT3 5 3.50 3.50 2.17 0.15

CUTICUCHO CUT1 6 2.50 2.50 2.19 0.11

CUT2 7 2.50 2.30 2.17 0.11

CUT3 8 2.75 2.30 2.70 0.15

CUT4 9 1.90 1.60 1.82 0.07

CUT5 10 15.00 13.10 2.18 0.65

SANTA ROSA SRO1 LL 11 8.28 4.00 1.68 0.28

SRO2 HL 12 12.28 8.17 1.13 0.28

SAINANI SAI1 13 11.00 10.40 1.94 0.43

CHURURAQUI CHU1 14 14.50 12.50 2.34 0.68

CHU2 15 14.50 12.50 2.18 0.63

HARCA HAR1 16 15.20 13.25 1.35 0.41

HAR2 17 15.20 13.25 1.48 0.45

CAHUA CAH1 18 16.00 13.75 2.70 0.86

CAH2 19 16.00 13.75 2.70 0.86

HUAJI HUA1 20 17.70 15.25 2.65 0.94

HUA2 21 17.70 15.25 2.65 0.94

KENKO KEN1 22 18.63 9.00 2.00 0.75

KEN2 23 18.63 9.00 2.00 0.75

CHOJLLA CHJ3 26 40.76 38.40 1.39 1.13

YANACACHI YAN1 27 58.68 51.10 1.35 1.59

CHOJLLA CHJ1 24 0.25 0.25 1.90 0.01

CHJ2 25 0.75 0.60 1.90 0.03

TOTAL GENERAL 352.04 289.22 55.61 13.75



Figura E6.2. Representación del Sistema Norte para el análisis LFC

En la Figura E6.2, los bloques se encuentran enmascarados y la representación del sistema se realiza con el siguiente programa que se encuentra en la pestaña Inicialización del Editor de la Máscara del bloque “Sistema Norte”. La lectura e interacción con el archivo en Excel se realiza con el comando de lectura “xlsread”.

%valores iniciales de la planta Sb=S(1); fb=S(2); %ax=N+5; rango=[ax,3,ax,76]; ax1=4+N; %global genera %genera='dunidades_sn21b'; %Definir el archivo importado Gh=xlsread('LFC_EDAC','I10:T47') Gh1=xlsread('LFC_EDAC','I4:T6') dP=dP/Sb; %valores en p.u. if MO==1 %ingresamos todos los valores del archivo externo f0=Gh1(1,3); gf0=Gh1(2,3); t0=Gh1(3,3); f1=Gh1(1,4); gf1=Gh1(2,4); t1=Gh1(3,4); f2=Gh1(1,5); gf2=Gh1(2,5); t2=Gh1(3,5); f3=Gh1(1,6); gf3=Gh1(2,6); t3=Gh1(3,6); f4=Gh1(1,7); gf4=Gh1(2,7); t4=Gh1(3,7); f5=Gh1(1,8); gf5=Gh1(2,8); t5=Gh1(3,8); f6=Gh1(1,9); gf6=Gh1(2,9); t6=Gh1(3,9); f7=Gh1(1,10); gf7=Gh1(2,10); t7=Gh1(3,10); f8=Gh1(1,11); gf8=Gh1(2,11); t8=Gh1(3,11); f9=Gh1(1,12); gf9=Gh1(2,12); t9=Gh1(3,12); PL0=Gh(31,1)/Sb %variacion en la carga (<0) dPg1=Gh(31,3)/Sb; dPg2=Gh(31,4)/Sb; dPg3=Gh(31,5)/Sb;

f sist (Hz)1

f sist (Hz)

ZON

YAN

TIQ

SRO1-2

SAI

KEN1-2

HUA1-2

HAR1-2

du/dt

Derivative

dPe

Data StoreMemory

SISTEMA NORTE

CUT1-5

CHU1-2

CHOJ

CAH1-2

BOT1-3

f (Hz)



dPg4=Gh(31,6)/Sb; dPg5=Gh(31,7)/Sb; dPg6=Gh(31,8)/Sb; dPg7=Gh(31,9)/Sb; dPg8=Gh(31,10)/Sb; dPg9=Gh(31,11)/Sb; dPg10=Gh(31,12)/Sb; else f0=PF(1); gf0=PF(2); t0=PF(3); f1=PF(4); gf1=PF(5); t1=PF(6); f2=PF(7); gf2=PF(8); t2=PF(9); PL0=dP(1); %variacion en la carga (<0) dPg1=dP(2)/Sb; dPg2=dP(3)/Sb; dPg3=dP(4)/Sb; end A=Gh(1:25,2)'; % Unidades en giro en tiempo=0 A1=Gh(1:25,3)'; % Unidades en giro en tiempo=1 A2=Gh(1:25,4)'; % Unidades en giro en tiempo=2 A3=Gh(1:25,5)'; % Unidades en giro en tiempo=3 A4=Gh(1:25,6)'; % Unidades en giro en tiempo=0 A5=Gh(1:25,7)'; % Unidades en giro en tiempo=1 A6=Gh(1:25,8)'; % Unidades en giro en tiempo=2 A7=Gh(1:25,9)'; % Unidades en giro en tiempo=3 A8=Gh(1:25,10)'; % Unidades en giro en tiempo=0 A9=Gh(1:25,11)'; % Unidades en giro en tiempo=1 A10=Gh(1:25,12)'; % Unidades en giro en tiempo=2 M=Gh(38,2); %Tiempo de arranque en el tiempo=0 M1=Gh(38,3); %Tiempo de arranque en el tiempo=1 M2=Gh(38,4); %Tiempo de arranque en el tiempo=2 M3=Gh(38,5); %Tiempo de arranque en el tiempo=3 M4=Gh(38,6); %Tiempo de arranque en el tiempo=0 M5=Gh(38,7); %Tiempo de arranque en el tiempo=1 M6=Gh(38,8); %Tiempo de arranque en el tiempo=2 M7=Gh(38,9); %Tiempo de arranque en el tiempo=3 M8=Gh(38,10); %Tiempo de arranque en el tiempo=0 M9=Gh(38,11); %Tiempo de arranque en el tiempo=1 M10=Gh(38,12); %Tiempo de arranque en el tiempo=1 D=Gh(36,2); %Tiempo de arranque en el tiempo=0 %Condiciona perturbacion o por tiempo if f0==0 %Si la frecuencia de primera etapa es cero utiliza la perturbacion por tiempo T0=1; Ag1=dPg1; Ag2=dPg2; Ag3=dPg3; dPg1=0; dPg2=0; dPg3=0; else T0=0; Ag1=0; Ag2=0; Ag3=0; Ag4=0; Ag5=0; Ag6=0; Ag7=0; Ag8=0; Ag9=0; Ag10=0; end



La respuesta del sistema para una desconexión de 125 MW de potencia, se presenta en la siguiente figura:

Figura E6.3. Respuesta del sistema para la desconexión de 125 MW de generación a través del

EDAG

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5100

150

200

250

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a (M

W)

Potencia vs Tiempo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 530

40

50

60

Tiempo (segundos)

Fre

cuen

cia

(Hz)

Frecuencia vs Tiempo



7. ESTABILIDAD DE FRECUENCIA

7.1. REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA El análisis de estabilidad dinámica muestra el efecto de los elementos de control (reguladores de tensión, velocidad y estabilizadores) y la dinámica de las máquinas sobre el sistema en general luego de presentarse la contingencia simulada. Este análisis sirve para simular el comportamiento del sistema, desde el instante en que ocurre la falla hasta el momento en el cual retorna a otra condición que puede ser un nuevo punto de equilibrio (estable) o la pérdida de sincronismo parcial o total del sistema (inestabilidad). Los análisis de estabilidad transitoria de sistemas eléctricos de potencia, involucran el cálculo de las respuestas dinámicas no lineales para grandes perturbaciones, usualmente una falla en la red de transmisión, seguido por el aislamiento del elemento en falla mediante los relevadores de protección. La Figura 7.1 describe la estructura general del modelo del sistema de potencia aplicado al análisis de estabilidad transitoria, el cual incluye los siguientes componentes individuales:

Generadores sincrónicos, sistemas de excitación y reguladores de velocidad

asociados. Redes de transmisión incluyendo las cargas estáticas. Motores sincrónicos y de inducción, que forman parte de las cargas

Figura 7.1. Estructura del modelo completo de un SEP para análisis de estabilidad

7.1.1. Ecuaciones generales del sistema.

Las ecuaciones para cada unidad generadora y otros elementos dinámicos pueden ser expresados de la siguiente forma:

dddd Vxfx ,

(7.1)

dddd VxgI , (7.2)

Ecuaciones del estator y transformación de ejes

Sistemade excitación

Gobernadory turbina

Ecuaciones de loscircuitos del rotordel Generador

Ecuación de oscilacióno aceleración

Ecuaciones de la red eléctrica, incluyendocargas estaticas

Otros generadores

Motores

Otros elementos dinámicos

Marco de referenciacomún: R-I

Marco de referencia individual de cada maquina: d-q

ER, EI

IR, II

** **

**

* *

*Ecuaciones diferenciales**Ecuaciones algebraicas



Donde: xd = vector de estado de cada elemento individualmente Id = Componentes real e imaginaria de las inyecciones de corriente desde el elemento a la red Vd = Componentes real e imaginaria del voltaje de barra.

Las ecuaciones generales del sistema, incluyen la ecuación diferencial (7.1) para todos los elementos dinámicos y la combinación de las ecuaciones algebraicas de estos (7.2) y la red (5.4) son expresadas de la siguiente forma general que comprende un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Vxfx ,

(7.3)

y un conjunto de ecuaciones algebraicas

VYVxI N *, (7.4)

Con un conjunto de condiciones iníciales oo Vx , , donde:

x = Vector de estado del sistema V = Vector de voltajes de barra I = Vector de inyecciones de corriente

En la resolución las ecuaciones del SEP es necesario considerar:

(a) La forma de interacción entre las ecuaciones diferenciales (7.3) y las ecuaciones algebraicas (7.4), en la solución del sistema, ya sea por partes o simultanea puede ser empleado.

(b) Los métodos de integración usados pueden ser métodos implícitos o explícitos. (c) El método usado para resolver las ecuaciones algebraicas. Como en el caso del análisis de

flujos de carga puede ser: (i) método de Gauss-Seidal basado en la formulación de la matriz de admitancia, (ii) una solución directa empleando la factorización triangular de una matriz esparcida, y (iii) una solución iterativa usando el método de Newton-Raphson.

7.1.2. Tratamiento de las ecuaciones diferenciales del Generador

Ecuaciones del voltaje del estator El voltaje del estor puede ser escrito de la siguiente manera:

qddqaq

dqqdad

EiXiRe

EiXiRe

''''

''''

(7.5)

Con:

d

d

fd

fdadsqd

q

q

q

qaqsdq

LLLE

LLLE

1

1

2

2

1

1

''''"

''''"

(7.6)



ER R

d

ed

Et

I

q

eq

EI

ed = ERsin- EIcoseq = EIsin ERcosER = edsin eqcosEI = eqsin edcos

Estás ecuaciones están en el marco de referencia individual de la máquina d-q (eje directo y de cuadratura), el marco de referencia d-q gira con el rotor de la máquina. Para la solución de las ecuaciones de la red de transmisión, un marco de referencia giratoria y sincrónica es usado R-I (real, imaginario). Las relaciones mostradas en la Figura 7.2, son usadas para transformar las variables de un marco de referencia al otro. El eje real del marco de referencia común también es utilizado como referencia para la medida del ángulo del rotor () de cada máquina. (3)

Figura 7.2. Transformación del marco de referencia y definición del ángulo del rotor δ Por conveniencia en la organización del conjunto completo de ecuaciones algebraicas, las ecuaciones del voltaje del estator son expresadas en el marco de referencia común R-I, como se indica en la Figura 7.2. Usando las ecuaciones de transformación señaladas, la ecuación del voltaje del estator (7.5) se puede representar de la siguiente manera:

I

R

I

R

IIIR

RIRR

I

R

E

E

I

I

RX

XR

E

E

''

'' (7.7)

Los elementos de la matriz de impedancia están dados por:

22

22

cos''sin''

sin''cos''

cossin''''

cossin''''

qdIR

qdRI

adqII

aqdRR

XXX

XXX

RXXR

RXXR

(7.8)

Las componentes del voltaje interno están dados por:

cos''sin''''

cos''sin''''

dqI

qdR

EEE

EEE

(7.9)

Para la solución de la red, el generador puede ser representado mediante un equivalente de Thevenin o un equivalente de Norton. La forma más adecuada de acoplar al generador con las



ecuaciones de la red, es representarlo como una fuente de corriente respecto a sus bornes “Equivalente Norton”.

El par ó momento del entrehierro ( eT ) requerido para la solución de la ecuación de oscilación es:

daqqade iiT (7.10)

Ecuaciones de movimiento

ro

rDeMr

t

KTTHt

2

1

(7.11)

Donde: o = 2o rad eléctricos/s r = desviación de velocidad del rotor en p.u.

7.2. ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD DE FRECUENCIA EN SEP

a. Calculo de flujos de carga para obtener las condiciones del sistema antes de la falla (pre-falla).

b. Modificar los parámetros del sistema para simular el disturbio en la red a analizar. Perdidas en generación o en la carga, fallas en la transmisión pueden ser efectuadas, modificando la topología de la red. Una falla trifásica será simulada colocando el voltaje en la barra fallada igual a cero.

c. Resolver las ecuaciones del SEP modificado, para obtener las condiciones de la red después del disturbio

La solución de las ecuaciones de la red requiere durante la simulación dinámica la mayor parte del tiempo de cálculo por iteración y es por consiguiente determinante en la eficiencia del método de simulación, la selección del método de cálculo para la solución de estas ecuaciones dependerá básicamente de:

Modelo de los generadores Modelado de la carga Métodos de integración y tratamiento de las ecuaciones algebraicas y diferenciales.

Dentro de los métodos de integración usados en estabilidad se puede señalar al “Método modificado de Euler” y el método de Runge – Kutta. Ejemplo 7.1

Considere un sistema conformado por cuatro unidades de 13.9 MVA, 10 kV y 50 Hz conectado a una barra infinita a través de un sistema de transmisión a través de dos líneas de transmisión como se muestra en la Figura E7.1.



F

Figura E7.1. Sistema Generador – Barra Infinita La reactancia de la red mostradas en la figura, están en por unidad sobre una base de 55.6 MVA, 10 kV (referido al lado de baja tensión). Las condiciones iníciales del sistema sobre las mismas bases son las siguientes:

P = 0.9, Q = 0.436 MVAr (sobreexcitado), Vt = 1 / 28.34°, EB = 0.90081 /0°

El sistema de generación es representado con el modelo clásico, mediante una f.e.m. detrás de una reactancia subtransitoria, cuyos parámetros en valores en por unidad son:

X’d = 0.3 H = 3.5 MWs/MVA D = 0 Considerando que en el segundo circuito se presenta una falla en el punto F como se muestra en la Figura E7.1 y la misma es aislada con la protección respectiva. Determine el tiempo critico para aislar la falla y con ayuda de Simulink grafique la respuesta del ángulo del rotor. La representación del sistema de la Figura E7.1, usando el modelo clásico del generador es la siguiente La f.e.m. del generador será:

77.411626.1'' tdt IjXEE

sensenePePsenseneP

1024.195.0

90081.01626.10351.1

7752.0

90081.01626.1

TransformadorB.T.

A.T.

BARRAINFINITA

j0.5

j0.93j0.15

Et

PQ

4X13.9MVA

E'?d

X1 = 0.5

EB=0.90081?0°X2 = 0.93

Xtr = 0.15X'd = 0.3

Et=1?28.34°

E'=1.1626?d

XT = 0.7752

EB=0.90081?0°

PREFALLA

E'=1.1626?d EB=0.90081?0°

PREFALLA

E'=1.1626?d EB=0.90081?0°

PREFALLA

XT = 0.45 XT = 0.95



Utilizando la ecuación 7.11, el diagrama de bloques del sistema generador barra infinita, utilizando la interacción de Simulink y de un fichero M, puede ser representado de la siguiente forma:

Figura E7.2. Diagrama de bloques del Sistema Generador – Barra Infinita El bloque “MATLAB Funtion”, contiene el nombre del fichero M, que contiene el siguiente programa: %Fichero M %Análisis de estabilidad transitoria para un generador conectado a una barra infinita function [Pe] = ejm(x) tf=0.095; %tiempo de libramiento de falla if x(1)<tf K=0; end if x(1)>=tf K=1.1024; end Pe=K*sin(x(2)); %El sistema se torna inestable en 0.096 s, con simulink La respuesta del sistema es la siguiente:

dW dW

d

1

7s

ctes.inercia

314

s

Transfer Fcn(with initial states)

R2D

Radiansto Degrees

0.9

Pm

MATLABFunction

MATLAB Fcn

Clock

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

Tiempo (segundos)

Áng

ulo

(gra

dos)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.02

0

0.02

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad (

p.u.

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

Tiempo (segundos)

Pot

enci

a (p

.u.)



Para un tiempo de libramiento de la falla de 0.095, el cual es el tiempo crítico, ya que modificando este tiempo se puede observar que con un tiempo mayor al señalado, el sistema es inestable.

7.3. SIMULACIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE LARGOS PERIODOS DE TIEMPO La estabilidad transitoria es la habilidad del sistema de mantenerse en sincronismo, cuando está sujeto a fuertes perturbaciones transitorias.

El análisis de medianos periodos de tiempo, desde 10 segundos a algunos minutos, esta asociado a grandes perturbaciones y se debe considerar algunos de los controladores y protecciones del sistema.

El análisis de periodos largos de tiempo, desde algunos minutos hasta 10 minutos, esta

asociado a fuertes perturbaciones, donde se deben tomar en cuenta todos los controladores y protecciones del sistema.

Ejemplo 7.2

En el siguiente sistema usando el modelo Gensal para los generadores sincrónicos y sin considerar la acción de los controladores. Determine los efectos en el SEP mostrado en la Figura E7.3, para una falla trifásica en la barra 2 con una duración de 0.1 s. El flujo de carga de pre-falla, los valores de los generadores en p.u. con valor base de 100 MVA y la matriz de barra se presentan en las siguientes Tablas.

Figura E7.3. Sistema de Potencia de 5 barras

Constantes de los Generadores

Generador H (s) xd' ypiG1 50 0.25 0‐j4G2 1 1.5 0‐j0.66667

NORTE LAKE MAIN

ELMSUR

1 3 4

52



Flujo de Carga de Pre-falla

MW MVAr MW MVAr1 1.06000+j0.00 129.565 ‐7.48 0 02 1.04621‐j0.05128 40 30 20 103 1.0232‐j0.08920 0 0 45 154 1.01917‐j0.09506 0 0 40 55 1.01209‐j0.10906 0 0 60 10

GENERACIÓN CARGABARRA VOLTAJE

6.25‐j18.695 ‐5+j15 ‐1.25+j3.75 0 0‐5+j15 10.83334‐j32.415 ‐1.66667+j5 ‐1.66667+j5 ‐2.5+j7.5

Ybarra = ‐1.25+j3.75 ‐1.66667+j5 12.91667‐j38.695 ‐10+j30 00 ‐1.66667+j5 ‐10+j30 12.91667‐j38.695 ‐1.25+j3.750 ‐2.5+j7.5 0 ‐1.25+j3.75 3.75‐j11.21

En la representación del sistema se usa subsistemas enmascarados para la representación de los generados y el bloque “MATLAB Funtion” que contiene el nombre del fichero M, para representar el modelo iterativo de la red en la solución del sistema. El programa iterativo del fichero M, es el siguiente: function [V]=satu(x) %0. Declaración de variables %0.1. Variables Globales global Va %Asignación de las variables de entrada t=x(1); Ig=zeros(5,1); Ig(1)=complex(x(2),x(3)); Ig(2)=complex(x(4),x(5)); %Armado de la red %1.Formación de la matriz de admitancia ra=0.003; xds=0.23; xqs=0.25; a=ra/(ra^2+(xds*xqs)); b=-(xds+xqs)/(2*(ra^2+(xds*xqs))); ygk1=complex(a,b); ygk2=complex(a,b);

40.0684

-C-

1.7123

2.4022

m

Is_ri

ik_qd

Vs_ri

delta

N

Pt

if d

i_qd

phim_qd

SubSystem2

m

Is_ri

ik_qd

Vs_ri

delta

N

Pt

if d

i_qd

phim_qd

SubSystem1

Scope39

Scope17

Mux

Pm

Ef d

V

I

m_pu_st

Maquina sincronica2

Pm

Ef d

V

I

m_pu_st

Maquina sincronica1

MATLABFunction

MATLAB Fcn1

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

em P1



Y=[6.25-18.695i -5+15i -1.25+3.75i 0 0 -5+15i 10.83334-32.415i -1.66667+5i -1.66667+5i -2.5+7.5i -1.25+3.75i -1.66667+5i 12.91667-38.695i -10+30i 0 0 -1.66667+5i -10+30i 12.91667-38.695i -1.25+3.75i 0 -2.5+7.5i 0 -1.25+3.75i 3.75-11.21i]; Barra=[129.565 -7.48 0 0 40 30 20 10 0 0 45 15 0 0 40 5 0 0 60 10]; Vo=[1.06;1.04621-0.05128i;1.02032-0.0892i;1.01917-0.09506i;1.01209-0.10906i]; ygo=zeros(5,1); ygo(1)=ygk1; ygo(2)=ygk2; %calculo de admitancias constantes for i=1:5 ylo(i)=complex(Barra(i,3)/100,-Barra(i,4)/100)/abs(Vo(i))^2; Y(i,i)=Y(i,i)+ygo(i)+ylo(i); end %simulación de la falla en t=0.5s, con duración de 0.1s if t>=0.15 & t<=0.20 Y(2,2)=10e7; end Yn=inv(Y); %programa for i=1:5 I(i,1)=Ig(i)+ygo(i)*Va(i); end Va=Yn*I; V(1)=real(Va(1)); V(2)=imag(Va(1)); V(3)=real(Va(2)); V(4)=imag(Va(2)); La respuesta de la velocidad de los generadores es la siguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 103550

3560

3570

3580

3590

3600

3610

3620

3630

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad (

rev/

min

)

Velocidad vs Tiempo

MATLAB PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE...

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