Matlab UCH1 Clase7

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MATEMÁTICA DISCRETA

Clase 7•INDUCCIÓN MATEMATICA

¿ INDUCCION MATEMATICA ?

Universidad de Ciencias y HumanidadesAlgebra Computacional

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EL PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN

Todo conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo.

Esta no es una consecuencia de las reglas aritméticas de N.El principio del buen orden implica que:

Dado mєZ, todo subconjunto no vacío de {nєZ / n ≥ m} tiene elemento mínimo.

El principio del buen orden es usado para probar la validez de los principios de inducción matemática.


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INDUCCIÓN MATEMÁTICA

El método de inducción matemática se aplica cuando:

1. sabemos la respuesta al principio.2. sabemos cómo determinar la respuesta en

una etapa a partir de la respuesta en la etapa anterior, y

3. tenemos una expectativa (una idea) de la respuesta general.


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En conclusión, el proceso de obtener proposiciones generales de proposiciones particulares se llama inducción.

El razonamiento inductivo puede conducir a conclusiones falsas así como verdaderas. Se pondrá en claro este punto mediante dos ejemplos:


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Ejemplo11)140 es divisible entre 5.2)Todos los números que terminan en cero son divisibles entre 5.La proposición general (2) obtenida de la particular (1) es verdadera.

Ejemplo21)140 es divisible entre 5.2)Todos los números con tres cifras significativas son divisibles entre 5.En este caso la proposición general (2), deducida de la particular (1) es falsa

¿Cómo puede aplicarse la inducción en las matemáticas, de manera que sólo se obtengan proposiciones verdaderas a partir de proposiciones particulares?


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EJEMPLOS DE INDUCCIÓN ERRONEA

Ejemplo 3Para

)1.(

1...4.3

1

3.2

1

2.1

1

+++++=

nnSn

4

3

4.3

1

3.2

1

2.1

13

2

3.2

1

2.1

1

2

1

2.1

1

3

21

=++=

=+===

S

SS

En base a los resultados anteriores podemos concluir que para todos los números naturales se cumple que:

1+=

n

nSn

Las siguientes igualdades son fáciles de verificar

¿Verdadero o faso?


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41)( 2 ++= xxxPPara el polinomio

61)4(:tenemos4si53)3(:tenemos3si47)2(:tenemos2si

43)1(:tenemos1si

==

==

==

==

PxPxPxPx

¿Basándonos en los resultados anteriores podemos decir que para todo entero no negativo x, el valor de P es un número primo?

Ejemplo 4


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EL PRINCIPIO DE LA INDUCCIÓN MATEMATICA.-

Una proposición se cumple para todo número natural n si se satisface las condiciones siguientes:

Condición 1: La proposición se cumple para n=1.

Condición 2: La veracidad de la proposición para cualquier número natural n=k implica la veracidad para el número siguiente n=k+1.


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DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Ejemplo1.-Halle la suma

)1.(

1...4.3

1

3.2

1

2.1

1

+++++=

nnSn

Solución.

Se sabe que ;5

4;4

3;3

2;2

14321 ==== SSSS

Los resultados anteriores nos conducen a la conclusión de que

1+=

n

nSn

Pero esto se da para los 4 primeros números naturales, probemos que esto se da para todos los números naturales, esto lo haremos mediante la inducción matemática.


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1)1.(

1...4.3

1

3.2

1

2.1

1

+=

+++++=

k

k

kkSk

2

11

+

+=+

k

kSk

Condición 1.- La hipótesis es verdadera para n=1 tal y como se vio anteriormente.

Condición 2.- Supóngase que la hipótesis es verdadera para n=k; esto es

Donde k es cualquier número natural. Probemos que a consecuencia, la hipótesis también debe cumplirse para n=k+1, es decir que

Pero

)2)(1(

11

+++=+

kkSS kk


11

De donde sustituyendo el valor de Sk se obtiene

2

1)2)(1(

1

1

1

1

+

+=

+++

+=

+

+

k

kS

kkk

kS

k

k

De donde se satisfacen ambas condiciones. De aquí que, a base del principio de inducción matemática , ahora puede afirmarse que para todo número natural n se cumple:

1+=

n

nSn


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Ejemplo 2.-“Teorema”. Todo número natural es igual al número que le sigue“Demostración”Suponiendo que k=k+1 (1)Probemos que k+1=k+2 (2)

En efecto sumando 1 a ambos miembros de la igualdad (1)Se obtiene la igualdad (2). Por lo tanto, si la proposición del teorema es verdadera para n=k , también es verdadera para n=k+1; entonces se ha “ probado el teorema”.

¿Esto es cierto?, ¿En donde se cometió el error?


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El error consiste en considerar sólo la condición 2 del principio de inducción y no la condición 1.

Cada una de las condiciones 1 y 2 tiene su propio significado especial.

•La condición 1 proporciona la base para la inducción .

•La condición 2 proporciona la justificación para generalizar a partir de esta base, es decir para pasar de n a n+1.

Si no se satisface la condición 1 no existe base para aplicar el principio de la inducción matemática


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Ejemplo 3.-Se sabe que

1)1.(

1...4.3

1

3.2

1

2.1

1

+=

+++++=

n

n

nnSn

Supongamos que al hallar la suma obtenemos13

1

+

+=

n

nSn

La fórmula anterior es valida para n=1.

Supongamos que se cumple para n=k

13

1

+

+=

k

kSk

Debemos llegar a probar que se cumple para n=k+1, es decir

43

21

+

+=+

k

kSk


15

Pero

)2)(1(

11

+++=+

kkSS kk

De donde obtenemos:

)13)(2)(1(

384

)2)(1(

1

13

1

231

1

+++

+++=

+++

+

+=

+

+

kkk

kkkS

kkk

kS

k

k

Que no es el resultado esperado. Por lo tanto, la validez de la fórmula para n=k no implica su validez para n=k+1, con lo cual descubrimos que la fórmula

13

1

+

+=

k

kSk

Es falsa.


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Ejemplo 4.-Considere la siguiente función en seudocódigo que calcula elCuadrado de x.

Función cuadrado(x)c=0d=0While (d≠x)

c=c+xd=d+1

Retornar(c)

Probemos que lo anterior es cierto para cualquier valor


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Sean cn y dn los valores de c y d luego de pasar n veces por

While.

Sea P(n) el enunciado: cn=x.dn

Se probará por inducción que P(n) es verdadera para todas las n≥1

La condición 1, es c1=x.d1 lo cual es verdad, ya que d1=1 y c1=xLa condición 2, supongamos que P(n) es verdadera para n=k, es decir ck=x.dk , debemos probar que ck+1=x.dk+1Después de pasar una vez mas por While, a c se le suma x y a d se le suma 1.

ck+1=ck+xdk+1=dk+1

Entoncesck+1=ck+x =(x.dk)+x=x(dk+1)=x.dk+1Es decir ck+1=x.dk+1Por lo cual P(k+1) es verdadera. Por el principio de induccionmatemática, se concluye que el ciclo siempre ocurre.


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Problemas complementarios

1.- Halle la suma de los primeros n números impares

Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)

2.- Hallar el termino general de la sucesión de números un, donde u1=1 y si para todo número natural k>1 se cumple uk=uk-1+3

Sugerencia: u1=3.1-2 u2=3.2-2

3.- Halle la suma

Sn=1+21+22+23+24+…+2n-1

Sugerencia: S1=21-1, S2=22-1


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4.- Pruebe que el seudocódigo siempre calcula la diferencia z=x-y

subrutina diff(x,y,z)

z=x

w=y

While (w>0)

z=z-1

w=w-1

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