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Métodos Cuantitativos II 1 MAE Luis Fernando López

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II

Matrices Matriz: Es un arreglo rectangular de números compuesto por m renglones y n columnas. Por lo general se encierran entre corchetes o paréntesis y se representan con letras mayúsculas. Cada uno de los números en la matriz se conoce como elementos o entradas. El orden o tamaño de una matriz es:

m x n

donde m es el número de renglones o filas y n el número de columnas. Elemento Columnas

358012372451

A Renglones

La matriz A es una matriz de orden o tamaño 3x4 y tiene 12 elementos La notación que se utiliza para identificar un elemento de una matriz es:

aij

donde i es el número de renglón y j el número de columna,

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A


Tipos de Matrices

a) Matriz renglón: es una matriz que tiene un solo renglón, es decir una matriz de 1xn.

3601 A

b) Matriz columna: es una matriz que tiene una sola columna, es decir una matriz de mx1.

742

B

c) Matriz nula o cero: es una matriz de mxn en la cual todos los elementos son ceros.

000000

O

d) Matriz cuadrada: es una matriz que tiene el mismo número de renglones que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada es de nxn.

367432172

C

4245975.0836122321

D


En las matrices cuadradas los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha se conocen como elementos de la diagonal principal. (los elementos aij donde i=j)

33

22

11

aa

aA

44

33

22

11

bb

bb

B

e) Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros. (los elementos aij donde i≠j son ceros)

4000070000200001

E

f) Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros. (los elementos aij donde i>j son 0)

4000170058204521

F

g) Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están por arriba de la diagonal principal son ceros. (los elementos aij donde i<j son 0)

4519077100210001

G


h) Matriz identidad: es la matriz diagonal en la cual los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. (los elementos aij donde i=j son 1 y los elementos donde i≠j son ceros).

1000010000100001

G

Transpuestadeunamatriz Si A es una matriz de mxn, entonces la transpuesta de A, denotada AT es la matriz de nxm que se obtiene al intercambiar ordenadamente los renglones por las columnas.

La transpuesta de

367432172

A es

341637722

TA

Igualdaddematrices Si A y B son matrices de mxn, entonces se dice que A=B si cumple lo siguiente: Ambas matrices tienen el mismo orden o tamaño

Si aij=bij, es decir las entradas correspondientes son iguales.

4931

A

)2(21894/4B

Entonces A=B

)2(218

94/44931


SumayrestadeMatrices Para sumar o restar matrices, estas deben tener el mismo orden o tamaño. Propiedades de la suma de matrices (siempre y cuando las sumas estén definidas): A+B=B+A

A+(B+C)=(A+B)+C

A+0=0+A=A

-A = -1(A)

Multiplicaciónporunescalar(k) Si A es una matriz de mxn y k es un numero real (también llamado escalar), entonces kA es la multiplicación de k por cada elemento de la matriz A.

kA entonces

333231

232221

131211

333231

232221

131211

kakakakakakakakaka

aaaaaaaaa

A

Propiedades de la multiplicación por escalar: k(A+B)=kA+kB

(k1+k2)A= k1A+ k2A

k1(k2A)=(k1k2)A

k0=0

0A=0


Multiplicacióndematrices Dos matrices se pueden multiplicar siempre y cuando el numero de columnas de la primera matriz es igual al numero de renglones de la segunda matriz. A B AB mxn nxp mxp

deben ser iguales Cada elemento en la multiplicación de matrices se obtienen al sumar los productos de los elementos de la fila i de la matriz A por la correspondiente columna j de la matriz B

232221

131211 CAB 621502

B 4631

cccccc

A

C11= 1(2)+3(1) =5 multiplicar el primer renglón de A por la primera columna de B C12= 1(0)+3(2) =6 multiplicar el primer renglón de A por la segunda columna de B C13=1(5)+3(6)=23

C21= 6(2)+4(1) =16

548162365

B

C22= 6(0)+4(2) =8 C23= 6(5)+4(6)=54

Propiedades de la multiplicación de matrices (siempre y cuando las sumas y multiplicaciones estén definidas): A(BC)=(AB)C

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

A0=0A=0

AI=IA=A

A0=I (si A es cuadrada)

Ap= A•A•A•….A

P factores


Propiedades de Transpuestas (AT)T=A

(A+B)T= AT+ BT

(AB)T= BTAT

IT= I

(kA)T = k AT

Matriz Reducida Se dice que una matriz es reducida si cumple lo siguiente:

a) La primera entrada distinta de cero del primer renglón (entrada principal) debe ser un 1. Los elementos de la columna donde aparece una entrada principal deben ser ceros. En este caso la entrada principal es el elemento a11

__0__0__1

En este caso la entrada principal es el elemento a12

_00_00_10

En este caso la entrada principal debería ser el elemento a11 pero hay que convertir el 2 en un 1

__0__0__2


b) En cada renglón donde existe una entrada principal siempre debe estar ubicada a la derecha de la entrada principal del renglón anterior. En el segundo renglón la entrada principal es el elemento a21 y debe estar a la derecha la entrada principal del primer renglón.

100010001

En el segundo renglón la entrada principal es el elemento a23 y debe estar a la derecha la entrada principal del primer renglón.

000100010

En este ejemplo podemos ver que la entrada principal del segundo renglón es el elemento a23 ya que esta a la derecha de la entrada principal del renglón anterior.

100001000001

c) Si existen renglones de ceros estarán ubicados en la parte inferior de la matriz. (solo en caso que existieran)

000100010

000000100001


Operaciones elementales con renglones de una matriz

Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar son las siguientes:

1. Intercambiar dos renglones de una matriz.

21 RR

2. Multiplicación de un escalar distinto de cero a cualquier renglón de una matriz. Esta operación se utiliza para convertir cualquier elemento en 1.

1kR

3. Suma de un múltiplo de un renglón de una matriz a otro renglón de la misma matriz. Esta operación se utiliza para convertir cualquier elemento en 0.

21 RkR

Matriz Inversa A es una matriz cuadrada, entonces A-1 es la inversa de A siempre y cuando cumpla lo siguiente:

AA-1=I A-1A=I

(A-1)-1=A


Programación Lineal Es una técnica matemática diseñada para ayudar a los administradores de producción y operaciones en la planeación y toma de decisiones para asignar recursos. Estos recursos pueden ser tiempo, dinero, materiales etc. La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de desigualdades lineales. Método Simplex Es un procedimiento repetitivo que progresivamente permite obtener una solución óptima para los problemas de programación lineal. El método Simplex comienza con un punto vértice inicial y a continuación evalúa sistemáticamente otros puntos de manera que la función objetivo mejore en cada repetición. Pasos: Método Simplex

1) Formulación de un problema

Definir la variable de decisión:

o Es lo que se pretende decidir. Pueden ser unidades, dinero, horas, artículos etc.

Escribir la función objetivo:

o Función Objetivo: Se expresa matemáticamente. Es lo que se intenta maximizar (ingresos, ganancias) o minimizar (costos).

Escribir las restricciones:

o Son los factores que limitan los valores de las variables de decisión. Se expresan como ≤, ≥, =.

o Incluir Restricciones de No Negatividad: Las variables de decisión deben ser positivas o cero. (x,y≥0)


2) Configure la tabla inicial:

V. D. V. Holgura x y s1 s2 s3 z b

V.

Hol

gura

s1 s2 s3

z S1 S2 : Variables holgura. La holgura representa una cantidad no utilizada o la diferencia entre lo que es usado y el límite de lo que puede usarse. Por cada restricción se suma una variable de holgura.

3) Si todos los indicadores en el último renglón son no negativos, entonces el problema tiene una solución óptima. Si existen indicadores negativos, localice la columna en la que aparezca el indicador más negativo.(columna pivote o columna entrante). Esta columna proporciona la variable que entra. Si más de una columna tiene el indicador más negativo, la elección se hace de manera arbitraria.

4) Divida cada entrada positiva de la columna b entre cada valor correspondiente a la columna pivote. Seleccione el renglón que corresponde al cociente más pequeño, este renglón determina la variable que sale (renglón pivote).

5) Encerrar en un círculo el elemento pivote que es la intersección del renglón

pivote y la columna pivote.

6) Utilice operaciones elementales sobre renglones para transformar la tabla en una tabla equivalente, que tenga un 1 en la entrada pivote y 0 en las demás entradas de la columna.

7) En el lado izquierdo de la tabla la variable que entra remplaza a la que sale.


8) Si los indicadores de la nueva tabla son todos no negativos, tendrá una solución óptima. Si al menos uno de los indicadores es negativo repita el proceso con el paso 3.

Pasos: Método Grafico

1) Formulación de un problema:

Definir la variable de decisión:

o Es lo que se pretende decidir. Pueden ser unidades, dinero, horas, artículos etc.

Escribir la función objetivo:

o Función Objetivo: Se expresa matemáticamente. Es lo que se intenta maximizar (ingresos, ganancias) o minimizar (costos).

Escribir las restricciones:

o Son los factores que limitan los valores de las variables de decisión. Se expresan como ≤, ≥, =.

o Incluir Restricciones de No Negatividad: Las variables de decisión deben ser positivas o cero. (x,y≥0)

2) Trazar las gráficas de las restricciones: por medio de intercepto.

3) Identificar la región factible: La región factible representa todas las combinaciones permitidas de las variables de decisión.

4) Determinar los puntos vértices o soluciones factible que se localizan en:

El cruce de dos o más rectas de restricciones en la región factible.

El cruce de rectas de restricciones con los ejes en la región factible.

5) Determinar la Solución Óptima: sustituimos los puntos vértices en la función objetivo y seleccionamos el mayor resultado si estamos maximizando o el menor resultado si estamos minimizando.


Ejemplos:

1) Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes, muñecas y soldados, con base en la información concernientes a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue:

Maquina A Maquina B Acabado Muñecas 2hrs 1 hr 1 hr Soldados 1 hr 1hr 3 hrs

Las horas disponibles empleadas por semana son: para operación de la maquina A, 70hrs; para la B, 40hrs; para acabado 90hrs. Si las utilidades en cada muñeca y cada soldado son de $4 y $6, respectivamente, ¿Cuántos juguetes de cada uno debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cual es esta utilidad máxima?

2) Un agricultor va a comprar fertilizante que contiene 3 nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizante en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 la bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 la bolsa, y contiene 2 unidades de cada nutriente. Si el agricultor desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrientes, ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

3) Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada

uno requiere para su fabricación del uso de tres máquinas, A, B y C. Cada artículo manual requiere del uso de la maquina A durante dos horas, de la maquina B por una hora y de la maquina C otra hora. Un artículo eléctrico requiere una hora de la maquina A, dos horas de la B y una de la C. Además, supongamos que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y 100 respectivamente. La utilidad para cada artículo manual es de $4 y por cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos que puede producir, ¿Cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual?


4) Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la siguiente tabla:

Madera Plástico Aluminio Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades Sillón 1 unidad 2 unidades 5 unidades

La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se venden en $21, $24 y $36, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden venderse, determine la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo?


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II

I Ecuaciones Matriciales Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

1)

7064

32

wzyx

2)

890976124

80323124

wzyx

3)

1271224

14

211

022

2132011

3x

yvuvw

vuz

t

y

x

4)

7041

62z

yx

5)

30

1213231

22

32

yx

6)

741

132

302012

zy

x

7)

121302

111264

031)(2/132

2vw

zyx

8)

4118

321

235012

zy

x


9)

2161512

2154

122

2331312

3tv

zywx

10)

321302

031)(2/132

412/11264

3vw

zyxx

11)

268406

2/1 43212

1432

1111264131320

T

wz

yx

12)

121302

0315.032

2111264

vwzyx

13)

wv

u

yz

x

07751

726

014321

2132

21214

321

II Construcción de Matrices

a) Determine la matriz aij de 3x3 que satisfaga lo siguiente:

aij= 2i + j2

b) Determine la matriz aij de 4x4 que satisfaga lo siguiente:

aij = 3ij

c) Determine la matriz aij de 2x5 que satisfaga lo siguiente:

aij = j-i

d) Determine la matriz columna de 5 elementos que satisfaga lo siguiente:

aij = 2i-3j


e) Determine la matriz aij de 5x2 que satisfaga lo siguiente:

aij = |i-2j|

f) Determine la matriz aij de 2x3 que satisfaga lo siguiente:

aij = i+2j-1

g) Determine la matriz aij de 4x4 que satisfaga lo siguiente:

aij = i+j si i≠j

0 si i=j

h) Construya una matriz A, triangular inferior de orden 3, donde aij=i+j para los elementos que no se requiere que sean ceros.

i) Construya una matriz A, diagonal de 16 elementos, donde aij=2i+3j

para los elementos que no se requiere que sean ceros.

j) Efectué las operaciones indicas: a) Construya una matriz columna llamada A de 4 elementos en

la cual 1)( 2 iaij b) Construya una matriz renglón llamada B de 3 elementos en la

cual jibij c) Con las matrices obtenidas en los incisos anteriores efectuar

la operación (AB)T k) Construya una matriz llamada A de orden 3x2 en la cual

)2()1( jia jiij


III Algebra Matricial

1) Encuentre AB y BA de las siguientes matrices

4021

23A

132021

B

2)

3312

A

3256

B

3312

C

a) 3(A-C) + C b) 2A – ½(B – C)

c) 2( A – 2B)

d) (2A + 4B)T

e) A2-2B2

3) Resolver

a)

654321

211201

2113202

3

b)

233011

141032

3021

c)

423011

141032

23011

3


d)

010110011

200012100 T

e)

1452

01661214

4)

1324

21A

35

12B

22

30C

507227

D

Determinar:

a) 3AT + D b) CT – 4B c) (B – C)T d) (D – 2AT)T e) 2BT – 3CT f) 2D + 4AT

5) Si

6325

A ,

1221

B y

1001

C encuentre

a) ACT - (A-1)-1 + B3 b) 3A – 1/2B c) (CBTA)T – ATBCT +2ABC

6) Efectué las operaciones indicadas:

1321

A

124133

B

12

10C

320121

D

a) A2+ CT b) (A+C)-1 c) (2B-3D)T(C)



1321

A

12/11123

B

12

10C

1422

01D

a) (A+C)2 b) (2B-3DT)T(C) c) A-1-C-1


a) 1

8/3615

42/12

157

b) 33 422

621


6420

32

42

5231

CBA

a) A-1(C-B) b) BT+2C c) BCA + ABC d) 2A + 3B – 4CT

IV Reducción de Matrices Reducir las siguientes matrices:

a)

131241302

b)

718461

32

c)

3324111

1123301

d)

302415122321


V Sistemas de Ecuaciones Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de reducción de matrices.

a. yx

xy

24

b. 222

3

yxyx

c. 1

43

xyx

d. 43312132

zyxzyx

zyx

e. 322

23

zyxzxzyx

f. 122

124

zyxzyx

zyx

g. 3/10233/723

2

zyxzyxzyx

h.

541232

yxyx

i.

062015.0

yxyx

j. 1423

5236

zyxzyx

zyx

k. 125

7223245

zxzx

zyx

l. 9432164

135

zyxzyxzyx

m. 3

23212

yxzyx

zx

n. 1423523

6

xzyzyx

zyx

o. 042

9343423

zyxyx

zyx

p. 114163

2232

yxzx

zyx

q. 323

2432

zyxzxyzyx


VI Inversa Determinar la inversa de la matriz dada:

1)

2413

2)

6231

3)

130301

4)

120301012

5)

111032111

6)

213123

111

7)

175142311

8)

011321201

9)

210315

10)

663251412

11)

043101210

12)

126

63

13)

663251412

14)

4/18/13/52/1


VII Programación lineal

PROBLEMA #1(Método Grafico o Simplex) Una empresa se dedica a fabricar pantalones y camisas para uniformes de escuelas. Cada artículo pasa por el proceso de corte, costura y revisión. Cada camisa requiere 20 minutos de corte, 70 minutos de costura y 12 minutos de revisión. Cada pantalón requiere 60 minutos de corte, 60 minutos de costura y 4 minutos de revisión. La fábrica emplea a la semana 60,000 minutos en el área de corte, 84,000 minutos en el área de costura y 12,000 minutos en el área de revisión. La utilidad que genera cada camisa es de $7 y $8.50 cada pantalón. Determine la cantidad de cada artículo que debe producir para maximizar las ganancias. (480 camisas, 840 pantalones. Utilidad máxima $10,500) PROBLEMA #2(Método Grafico o Simplex) Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a $200 y $150 cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? (Solución 20 bicicletas de paseo y 30 bicicletas de montaña con Utilidad Max $8,500) PROBLEMA #3(Método Grafico o Simplex) Un autobús ofrece plazas para fumadores al precio de $10 y a no fumadores al precio de $6. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio? (Solución 90 fumadores y 0 no fumadores con ingreso Max $900) PROBLEMA #4(Método Grafico o Simplex) Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con $50.000 . Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a $50 el kg. y las de tipo B a $80 el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a $58 y el kg. de tipo B a $90, contestar justificando las respuestas: ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener una utilidad máxima ? ¿Cuál será ese utilidad máxima? (Solución 200kg de naranjas A y 500kg de maranjas B con Utilidad Max $6600) PROBLEMA #5(Método Grafico) Un autobús ofrece plazas VIP al precio de $8 y plazas Ejecutivo al precio de $6. Al VIP se le deja llevar 50 kgs. de peso y al Ejecutivo 30 kgs. Si el autobús tiene 80 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalildad de optimizar el ingreso? (Solución 30 VIP y 50 Ejecutivo con ingreso Max $540)


PROBLEMA #6(Método Grafico o Simplex) Una industria produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿ Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? (Solución x=2.5, y=4.5 Max 42.5) PROBLEMA #7(Método Grafico o Simplex) Una campaña produce paletas con sabor a limón o a fresa. La compañía puede producir hasta 40.000 paletas. Cada paleta de limón necesita para su elaboración 0,3 gr. de un producto de fermentación y cada paleta de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9000 gr. de ese producto para fermentación. El precio de venta de una paleta de fresa es de L.6 y la paleta de limón se vende a L. 7.50 . ¿Cuántas paletas de cada tipo se deben producir para que el ingreso sea máximo? (Solución 10,000 de limón y 30,000 de fresa con Ingreso Max L 255,000) PROBLEMA #8(Método Grafico o Simplex) Al final de cada mes, después de surtir los pedidos de los clientes regulares, a una compañía le sobra cierta cantidad de café puro y de café especial. La práctica de la compañía ha sido empaquetar una mezcla de menor calidad con 4 onzas de café puro y 12 onzas de café especial, y otra mezcla de mayor calidad con 8 onzas de café puro y 8 onzas de café especial. Así logra una ganancia de $0.30 por paquete de mezcla de menor calidad y $0.40 por paquete de mezcla de mayor calidad. Este mes sobraron 1920 onzas de café especial y 1600 onzas de café puro. ¿ Cuantos paquetes de cada mezcla hay que preparar para lograr la ganancia máxima? (Solución 40 bolsas de café menor calidad y 180 bolsas de café de mayor calidad con Utilidad Max de $84) PROBLEMA #9(Método Grafico o Simplex) Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27’5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. La utilidad que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Determine el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que la utilidad sea máxima. (Solución 5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 5 docenas de pasteles del tipo Q.)


PROBLEMA #10 (Método Grafico o Simplex)Una granja tiene 100 acres de tierra disponibles para la siembra de soya y maíz. La tabla siguiente muestra el costo de cultivo por acre, costo de mano de obra por acre y la ganancia esperada por acre:

Soya Maiz Dinero Disponible Costo de cultivo por acre $40 $60 $1800

Costo de mano de obra por acre $60 $60 $2400 Ganancia por acre $200 $250

Determine el número de acres de cada cosecha que deben plantarse para maximizar la ganancia. (Solución 10 acres de maíz, 30 acres de soya con una ganancia de $8500)

PROBLEMA #11(Método Grafico o Simplex) Una fábrica produce dos productos A y B. La utilidad del producto A es de $40 por unidad y el del producto B $60 por unidad. La producción diaria no puede superar 400 unidades del producto A ni 300 del producto B y en total no pueden superarse las 600 unidades. ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir la fábrica para obtener el máximo beneficio? ( Solución 300 A y 300 B con UMax $30000)

PROBLEMA #12(Método Grafico o Simplex) Un estudiante dedica parte de su tiempo a repartir revistas. La empresa A le paga $5 por cada revista repartida y la empresa B, con revistas más grandes, le paga $7 por revista. El estudiante lleva dos bolsas: una para las revistas A, en la que caben 120, y otra para las revistas B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 revistas como máximo. ¿ Cuantas revistas habrá de repartir de cada tipo para que su beneficio diario sea máximo? ( Solución 50 revista A y 100 revistas B con UMax $950)

PROBLEMA #13(Método Grafico o Simplex) Una compañía fabrica dos productos: Dvd y TV. Ambos productos requieren un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica y de ensamblaje. Cada Dvd necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos de ensamblaje. Cada TV necesita tres horas de electrónica y una de ensamblaje. Se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de ensamblaje. Cada Dvd vendido supone una utilidad de 7 dólares, mientras que cada TV es de cinco dólares. Determine la mejor combinación posible que debe producir para alcanzar el máximo beneficio. ( Solución 30 dvds y 40 tvs con UMax $410)

PROBLEMA #14(Método Grafico o Simplex) Un sastre tiene 80m2 de tela de algodón y 120m2 de tela de lana. Un traje de hombre requiere 1m2 de tela de algodón y 3m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2m2 de cada tipo de tela. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar su utilidad si el vende cada traje a L200 y cada vestido a L200. ( Solución 20 trajes de hombre y 30 vestidos de mujer con UMax $10000)


PROBLEMA #15 Se dispone de 120 gaseosas y de 180 refrescos naturales. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres gaseosas y tres refrescos naturales, y los de tipo B contienen dos gaseosas y cuatro naturales. El vendedor gana 6 lempiras por cada paquete que venda de tipo A y 5 lempiras por cada uno que vende de tipo B. Calcular cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar la ganancia.

PROBLEMA #16 Se desea cultivar en un terreno dos tipos de frijoles: rojos y negros. No se puede cultivar más de 8 hectáreas de frijol rojo, ni más- de 10 hectáreas de frijol negro. Cada hectárea de frijol rojo necesita 4 metros cúbicos de agua anualmente y cada hectárea de frijol negro necesita 3 metros cúbicos de agua. Se dispone anualmente de 44 metros cúbicos de agua. Los costos de cultivar cada hectárea de frijol rojo es de $500 y el costo de cada hectárea de frijol negro es de $225. Se dispone de $4500 para cubrir los costos. Cada hectárea de frijol rojo genera una utilidad de $50,000 y la de frijol negro una utilidad de $30,000.

a) Determine las variables de decisión. b) Escriba la función objetivo c) Escriba las restricciones.

PROBLEMA #17 Una compañía se encarga de fabricar camisas deportivas y camisas formales. La compañía dispone de 750 metros de tejido de algodón y de 1000 metros de tejido de poliéster. Cada camisa deportiva requiere 1 metro de algodón y 2 metros de poliéster. Cada camisa formal requiere de 1.5 metros de algodón y 1 metro de poliéster. El precio de cada camisa deportiva es de $50 y el de cada camisa formal $40. ¿Cuantas camisas de cada tipo debe vender para maximizar el ingreso? (Sol 375 formales, 250 deportivas IMax $28750)

PROBLEMA #18 Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la siguiente tabla:

Madera Plástico Aluminio Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades Sillón 1 unidad 2 unidades 5 unidades

La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se venden en $24, $32 y $48, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden venderse, determine la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo? Sol(x1=0, x2=250, x3=150 Max 15200)


PROBLEMA #19 Una compañía fabrica tres tipos de productos: A, B y C. Cada uno requiere de tres materiales M1, M2, M3, como se muestra en la siguiente tabla:

Producto A Producto B Producto C Disponible M1 5 unidades 12 unidades 24 unidades 90,000 unidades M2 1 unidad 2 unidades 4 unidades 12,000 unidades M3 1 unidad 1 unidad 1 unidad 9,000 unidades Precio de venta $3 $4 $8

Suponiendo que todos los productos pueden venderse, determine la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo? Sol(x1=8,000, x2=0, x3=1,000 Max 32,000) PROBLEMA #20 La Editorial Universitaria produce dos libros: Métodos I y Métodos II. La utilidad por unidad es de L 25 para el libro de Métodos I y L 30 para el libro de Métodos II. El libro de Métodos I requiere 1 hora para su impresión y 1.5 horas para su empastado. El libro de Métodos II requiere 1.5 horas para su impresión y 1 hora para su empastado. Se dispone de 750 horas para imprimir y 750 horas para el empastado. Determine cuantos libros de cada tipo debe producir para maximizar la utilidad. PROBLEMA #21 Una repostería vende tres tipos de cajas de galletas, Pequeña, Mediana y Grande. Cada caja de galletas contiene 3 tipos de galletas, A, B y C. La caja pequeña contiene 1 docena de galletas A, 1 docena de galletas B. La caja mediana contiene 2 docenas de galletas A, 1 docena de galletas B y 1 docena de galletas C. La caja grande contiene 2 docenas de galletas A, 2 docenas de galletas B y 3 docenas de galletas C. La repostería dispone de 80 docenas de galletas A , 120 docenas de galletas B y 90 docenas de galletas C. El precio de venta de la caja pequeña es de $3, la caja mediana $5 y la caja grande $8. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender para maximizar el ingreso? (Sol. 20 peq, 30 grandes Imax 300) PROBLEMA #22 Una repostería vende tres tipos de cajas de galletas, Pequeña, Mediana y Grande. Cada caja de galletas contiene 3 tipos de galletas, A, B y C. La caja pequeña contiene 1 docena de galletas A, 1 docena de galletas B y 1 docena de galletas C. La caja mediana contiene 2 docenas de galletas A, 1 docena de galletas B y 1 docena de galletas C. La caja grande contiene 2 docenas de galletas A, 2 docenas de galletas B y 3 docenas de galletas C. La repostería dispone de 80 docenas de galletas A , 120 docenas de galletas B y 90 docenas de galletas C. El precio de venta de la caja pequeña es de $3, la caja mediana $5 y la caja grande $8. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender para maximizar el ingreso? (Sol. 15 med, 25 grandes Imax 275)


PROBLEMA #23 Una compañía fabrica tres tipos de productos: A, B y C. cada producto requiere del uso de dos máquinas: M1 y M2. El producto A requiere 1 hora de M1 y 1 hora de la M2. El producto B requiere 2 horas de la M1 y 1 hora de la M2. El producto C requiere 2 horas de cada máquina. El número de horas disponibles por semana para M1 es 40 horas y 34 horas para M2. La utilidad por unidad para los productos A, B y C es $10, $15, y $22, respectivamente. Cuantas unidades de cada tipo debe fabricar para obtener la utilidad máxima. PROBLEMA #24 Max z= 60x1+30 x2 +20 x3 Sujeta a 8x1+6 x2 + x3≤48 4x1+2 x2 +1.5 x3≤20

2x1+1.5 x2 +0.5 x3≤8 x1, x2, x3 ≥ 0 Sol(x1=2, x2=0, x3=8 Max 280) PROBLEMA #25 Max z= x1+2x2 +4x3 Sujeta a 3x1+ x2 + 5x3≤10 x1+4x2 + x3≤8

2x1+ 2x3≤7 x1, x2, x3 ≥ 0 Sol(x1=0, x2=30/19, x3=32/19 Max 188/19) PROBLEMA #26 Max z= 200x1+150x2 +120x3 Sujeta a 15x1+ 7.5x2 + 5x3≤315 2x1+3x2 + 2x3≤110

x1+ x2+x3≤50 x1, x2, x3 ≥ 0 Sol(x1=4, x2=10, x3=36 Max 6620)


PROBLEMA #27 Max z= 6x1+13x2 +20x3 Sujeta a 5x1+ 7x2 + 10x3≤90000 x1+3x2 + 4x3≤30000

x1+ x2+x3≤9000 x1, x2, x3 ≥ 0 Sol(x1=2000, x2=0, x3=7000 Max 152000) PROBLEMA #28 Max z= 20x1+12x2 +12x3 Sujeta a x1 + x3 ≤ 40 x1 + x2 ≤ 30

x2 + x3 ≤ 40 x1, x2, x3 ≥ 0 Sol(x1=15, x2=15, x3=25 Max 780) PROBLEMA #29 Max z= 10x1+8x2 +5x3 Sujeta a 2x1 + x2 + x3 ≤ 40 x1+2x2 ≤ 10

x2 + 2x3 ≤ 80 x1, x2, x3 ≥ 0 Sol(x1=6, x2=2, x3=26 Max 206) PROBLEMA #30 Max z= 500x1+800x2 +1150x3 Sujeta a x1 ≤ 26 x2 ≤ 40

x3 ≤ 60 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 250

x1, x2, x3 ≥ 0 Sol(x1=26, x2=40, x3=48 Max 100200)


Método Grafico (Minimizar)

1) Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.

Min z= 2000x+2000y Sujeta a

1x+ 2y ≥ 80 3x + 2y ≥ 160

5x+ 2y ≥ 200 x, y ≥ 0

Sol(x=26, y=40, Min 120000)

2) En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo?

Min z= 10x+30y

Sujeta a 1x+ 5y ≥ 15 5x+ 1y ≥ 15 x, y ≥ 0 Sol (x=2.5,y=2.5 Min 100)


3) Min z = 3x + 2y con las siguientes restricciones:

Sol (x=0,y=3, Min 6)

4) Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:

dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B

dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.

Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿cuál es la distribución óptima para el menor costo?

FO Min Z = 2.5x+1.45y

Sujeta a

2x+1y≥70

3x+2y≥120

x, y ≥ 0 Sol (x=20,y=30 Min 93.5)

00

2231243

yx

yxyx


5) Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0.3 barriles de gasolina (G), 0.2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0.3 barriles de combustible para turbinas (T). Mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0.3 barriles de G, 0.4 barriles de C y 0.2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900.000 barriles G, 800.000 barriles de C y 500.000 barriles de T. hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

FO Min Z = 35x+30y

Sujeta a

0.3x+0.3y≥900000

0.2x+0.4y≥800000

0.3x+0.2y≥500000

x, y ≥ 0 Sol (x=0,y=3M, Min90M )

6) Una compañía productora de fertilizantes es propietaria de 2 minas que le genera la materia prima básica para sus productos. La mina 1 produce semanalmente 10 ton de materia prima grado A; 30 ton de materia prima grado B; y 50 ton de grado C. La mina 2 produce 30 ton de cada grado semanalmente, la compañía para la producción anual de fertilizantes requiere al menos de 160 ton de grado A y 300 ton grado B pero no más de 800 ton de grado C. Los costos de explotación semanal de la mina A es de $800 y de la mina B $700 cuantas semanas al año se debe explotar cada mina para cumplir los planes de producción minimizando costos.

FO Min Z = 800x+700y

Sujeta a

10x+30y≥160

30x+30y≥300

50x+30y≤800

x, y ≥ 0 Sol (x=0,y=10 Min7000 )


7) Una persona decidió hacer una dieta continua de solo estos dos alimentos.

Se requiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo.

FO Min Z = 4x+2y

Sujeta a

5x+15y≥50

20x+5y≥40

15x+2y≥60

x, y ≥ 0 Sol (x=3.72,y=2.09 Min19.07 ) 8) Un agricultor va a comprar fertilizante que contiene 3 nutrientes: A, B y C. Los

requerimientos mínimos necesarios son 80 unidades de A, 120 unidades de B y 240 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizante en el mercado. Marca X cuesta $8 la bolsa, contiene 2 unidades de A, 6 unidades de B y 4 unidades de C. Marca Y cuesta $10 la bolsa, y contiene 2 unidades de A, 2 unidades de B y 12 unidades de C. Si el agricultor desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrientes, ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

FO Min Z = 8x+10y Sujeta a

2x+2y≥80

6x+2y≥120

4x+12y≥240 x, y ≥ 0

Sol (x=30,y=10 Min340 )


9) Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 unidades de proteínas. El alimento X contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas. El alimento Y contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento X cuenta $1.20 y el alimento Y $0.80, ¿Cuántos alimentos de cada tipo debe comprar para minimizar los costos?

FO Min Z = 1.20x+0.80y

Sujeta a

2x+2y≥16

4x+1y≥20

x, y ≥ 0 Sol (x=4,y=4 Min8 ) 10) Una compañía petrolera que tiene dos refinerías necesita al menos 8000 barriles

de petróleo de grado bajo, 14000 barriles de petróleo de grado medio y 5000 barriles de petróleo de grado alto, Cada día la refinería I produce 2000 barriles de grado bajo, 3000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto. La refinería II produce 1000 barriles de grado bajo, 2000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto. Si operar la refinería I cuesta $25000 y la refinería II cuesta $20000 al día. Cuantos días debe operar cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo?


2000x+1000y≥8000

3000x+2000y≥14000

1000x+1000y≥5000 x, y ≥ 0

Sol (x=4,y=1 Min120000 )


11) Una compañía extrae minerales.

Mina I Mina II Mineral A 100lb 200lb Mineral B 200lb 50lb Costo $50 $60

Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuánto debe procesarse de cada mina con el objetivo de minimizar el costo?


100x+200y≥3000

200x+50y≥2500 x, y ≥ 0

Sol (x=10,y=10 Min1100 )


Restricciones Combinadas PROBLEMA #1 (Método Grafico o Simplex) Se cuenta con 80 kgs. del material A y 120 kgs. del material B que se utilizan para fabricar el producto X y el producto Y, su precio de venta es de $200 el producto X y $150 el producto Y. Para el producto X se empleará 1 kg. de A y 3 kgs de B. Para el producto Y se empleara 2 kgs. de ambos materiales. El fabricante quiere producir por lo menos 24 productos X. ¿Cuántos productos de cada tipo debe fabricar para maximizar el ingreso? (Solución 24 bicicletas de paseo y 24 bicicletas de montaña con Utilidad Max $8,400) PROBLEMA #2 Juan Perez tiene 2 millones de dólares de un fondo de pensiones, todo o parte de los cuales debe invertir. Tiene dos inversiones en mente: unos bonos conservadores con poco riesgo que producen 5% anual, y unos bonos hipotecarios, un poco más riesgosos, que producen 8% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no se puede invertir más de $400,000 en bonos hipotecarios. Además, se debe invertir al menos $250,000 en bonos conservadores. Determine las cantidades de las dos inversiones que maximizarán los ingresos por intereses. (Utilice el método simplex) PROBLEMA #3 Un señor tienes pensado poner un puesto en una feria. Piensa vender dos tipos de llaveros, A y B. Tiene disponibles L 200,000 para comprar su mercancía. El costo de los llaveros tipo A es de L 20.00 que luego venderá a L30.00, mientras que el costo de cada llavero tipo B es de L 40.00 que luego venderá a L 55.00. El puesto tiene espacio disponible para 5000 llaveros tipo A y como máximo 4000 llaveros tipo B. De experiencias pasadas sabe que puede vender hasta 7000 llaveros en la semana.

a) Determine las variables de decisión y escriba la función objetivo si se desea maximizar el ingreso

b) Escriba la función objetivo si se desea maximizar la utilidad c) Escriba las restricciones

PROBLEMA #4

Max z= x+2y Sujeta a x+y≥2 x+y≤-2 x,y≥0 (No tiene solución)


PROBLEMA #5

Max z= 2x+3y Sujeta a 1/2x+y≥2 4x+y ≤ 6 x,y≥0 (Solución x=0, y=6 Max18)

PROBLEMA #6

Max z= 3x+4y Sujeta a

x+6y≥12 x+2y ≤ 8 x,y≥0 (Solución x=6, y=1 Max22)

PROBLEMA #7

Max z= 3x+4y Sujeta a

x+6y≥12 x+2y ≤ 8 y≥2 x,y≥0 (Solución x=4, y=2 Max20)

PROBLEMA #8

0, 0000,60 000,130

210,000y xnesRestriccio0.08y0.10xz Max. FO.

yxyx

PROBLEMA #9

Max z= 3x+2y Sujeta a x≥8 9x+6y≤108

x+2y≥6 x,y≥0 Sol( x=8, y=6 Max 36)


PROBLEMA #10 Max z= 5x+2y Sujeta a x+y≤10 2x+y≥10

x+2y≥10 x,y≥0 Sol(x=10, y=0, Max 50) PROBLEMA #11 Max z= 2x+3y Sujeta a y≤5 x≤16

x+y≥2 x,y≥0 Sol( x=16, y=5 Max 47) VIII Selección Única

1) Si

13

21A y C= AAT entonces el coeficiente c22 es:

a) -1 b) 5 c) 10 d) 1

2) Si A =

121010001

, su inversa A-1 es igual a

a)

121010001

b)

15.01010001

c)

121010001

d)

121010001


3) Si

311202312

A

010022100

B y C=AB entonces la segunda columna de C es:

a)

1028

b)

525

c)

220

d)

100

4) Si A es una matriz de 2x3 entonces

a) A-1 es de 3x2 b) A-1 es de 2x3 c) A-1 es de 2x2 d) Ninguna

5) Si A es una matriz de 2x3 entonces a) AT es de 3x2 b) AT es de 2x3 c) AT es de 2x2 d) Ninguna

6) Si A es una matriz de 3x4 y queremos multiplicar AB entonces: a) El número de filas de B tiene que ser 3 b) El número de columnas de B tiene que ser 4 c) El número de filas de B tiene que ser 4 d) Ninguna de las anteriores

7) Dado el sistema 3342

12

zyzxzx

a) No tiene solución b) Tiene infinitas soluciones c) Tiene una única solución

8) Sea A la matriz

1001

, su inversa es:

a)

1001

b)

1001

c)

1001

d)

10

01


9) Si A es una matriz de 2x3 y B es una matriz de 3x2, entonces el producto BA es

una matriz de: a) 2x3 b) 3x3 c) 2x2 d) no está definida

10) Si 321A y

321

B entonces el producto AB es:

a) 14AB b) no está definido c) 941AB d) 15AB

11) La solución del sistema 0432

026zyx

zyx

a) Infinitas soluciones b) No tiene solución c) x=0, y=1, z=3 d) ninguna

12) La siguiente matriz representa una matriz reducida

a)

100201 b)

010021 c)

110201 d)

001010

13) En una matriz triangular inferior los ceros están ubicados en:

a)Los elementos aij donde i >j c) Los elementos aij donde i = j b)Los elementos aij donde i <j d) no tiene ceros

14) Se dice que AB=C, si

4132

A y

4132

B , al multiplicar AB, el elemento c21 de

la matriz C es: a) c21 = 9 b) c21 = 6 c) c21 = 1 d) c21 = 18

15) Si A, B y C son matrices de 3x3, entonces ( A CT B ) T es igual a: a) BT CT AT b) AT CT BT c) BT C AT d) AT C BT

16) La matriz

340020001 es una matriz:

a) Diagonal b) Identidad c) Triangular Superior d) Triangular Inferior


17) Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la cual: a) Los elementos aij donde i≠j son 0 b) Los elementos aij donde i˃j son 0 c) Los elementos aij donde i˂j son 1 d) Los elementos aij donde i≠j son 1

Verdadero o Falso

1. Si A es una matriz de 2x3 y B una matriz de 3x2, entonces A-B está definido_____ 2. Si A es una matriz de 2x3 y B una matriz de 3x2, entonces AB está definido_____ 3. Si A es una matriz de 3x3 y es invertible y la matriz B es de 3x4, entonces A 1B

está definido_____ 4. Si AB y BA están definidos y tienen mismo orden, entonces son AB=BA.____ 5. Toda matriz invertible debe ser cuadrada_____ 6. Una matriz invertible puede tener dos renglones iguales______

Respuestas de los problemas: I Ecuaciones Matriciales

1) x=2, y=6, z=0, w=7/3 2) x=3/2, y=7, z=3, w=9 3) w=0, t=-1, v=3, z=2,u=-2, y=1, x=0 4) No existe igualdad 5) x=3/2, y=9/2 6) x=-3, y=2/3, z=-16 7) x=-3, y=-3, z=1/6, w=0, v=1/6

II Construcción de Matrices

a)

1510713851163

b)

483624123627189241812612963

c)

32101

43210 d)

75311

e)

1302112031

f)

753642

g)

0765705465035430


III Algebra Matricial

1) AB

4128245

2121 BA

6325

IV Reducción de Matrices

a)

100010001

b)

00001001

c)

000100010001

d)

000100010001

V Sistemas de Ecuaciones

a) x=-1, y=3 b) no tiene solución c) x=1, y=1 d) x=-3, y=-1, z=4 e) x=-1, y=1, z=3 f) x=2, y=-1, z=3 g) x=1/3, y=1, z=2/3 h) x=3, y=-2 i) no tiene solución j) x=1, y=3, z=-2 k) x=1, y=6, z=-3

VI Inversa

1)

2/322/11

2) No es invertible 3) No tiene inversa porque no es cuadrada

4)

13/113/413/213/613/213/113/313/113/6

5)

4/12/14/52/102/14/32/14/3


6)

7/17/27/37/47/17/9

7/37/17/5

7) No es invertible

8)

211523423

9) No es invertible 10) No es invertible 11)

5/15/35/45/25/65/35/15/85/4

12) No es invertible 13) No es invertible 14)

62/3

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