Décimo Grado

Instituto Pre Universitario “Leonel Rugama Rugama”

Instituto Pre Universitario “Leonel Rugama Rugama”

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subíndices, el primero indica la fila y el segundo la columna

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3333231

2232221

1131211

A = (ai,j)=

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

2 1 1

1 1 11 1 0

Juan

AnaElena

16151413121110987654321

A

En la siguiente matriz indica la posición del número circulado

2 __________

7 __________

9 __________

14 __________

Calcula la dimensión y el lugar que ocupan los elementos en color rojo

Coloca las tarjetas de acuerdo a la posición que ocupa cada elemento de la matriz e indica la dimensión de la matriz.

1 2 4

2 3 5

4 5 -1

0 2 -4

-2 0 3

4 -3 0

Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )

Matriz columna: A =

2

4 6

jiij aa

Diagonalsecundaria Diagonal

principal

Matriz cuadrada: A=

1 3 5

2 4 6 1 1 1

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

jiij -aa

A = AT

A = –AT

• Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.

• Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.

• Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.

• Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.

33

000000000

O

23

000000

O

400320631

T

100030002

D

100010001

I3

200020002

A

453023001

T

Clasifica las siguientes matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de matrices

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B.Ejemplo

Suma y diferencia de matrices

                                                      

Sin embargo,                            no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

Actividades

Dadas las siguientes matrices

Calcular 1. A+B 2. B+D 3. C+A 4. A-D

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.