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CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Matrices y determinantes

1

MATRICES Y DETERMINANTES

1. Definición de matriz. 2. Tipos de matrices. 3. Suma de matrices. 4. Producto de un número real por una matriz. 5. Producto de matrices. 6. Ejercicios 7. Determinante de una matriz. 8. Menor complementario y adjunto. 9. Propiedades de los determinantes. 10. Cálculo de determinantes de cualquier orden. 11. La matriz inversa mediante determinantes. 12. Rango de una matriz mediante determinantes.

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

EJEMPLO:

130121

A

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un

elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

mnmm

n

mxn

aaa

aaaA

.......................................................

....................

21

11211

En el ejemplo: la matriz A es de orden 2x3 El elemento a13 = 1, a22 = 3, a21 = 0 Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que

ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. 2. TIPOS DE MATRICES

Matriz fila: Es una matriz constituida por una sola fila. 102

Matriz columna: Es una matriz con una sola columna.

12

01


2

Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada: La que tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

120231

201 Es una matriz de orden 3

Diagonal principal

Matriz nula: “O” Todos los elementos son nulos.

Matriz triangular superior: Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.

100030311

Matriz triangular inferior: Los elementos situados por encima de la diagonal

principal son 0.

312001́002

Matriz diagonal: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la

diagonal principal son nulos.

3000010000200001

Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal

principal son iguales.

2000020000200002

Matriz identidad o unidad: “I” Es una matriz diagonal en la que los elementos de la

diagonal principal son iguales a 1.

I =

100010001


3

Matriz transpuesta: “At” Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

422301

420231 tAA

PROPIEDADES: (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α · A)t = α· At (A · B)t = Bt · At

Matriz idempotente: Si A2 = A. Matriz involutiva:Si A2 = I. Matriz simétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = At. Una matriz es

simétrica si es cuadrada y el elemento aij es igual al elemento aji

231302121

231302121

tAA

Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A =

- At. La matriz debe ser cuadrada y aij = - aji, por tanto los elementos de la diagonal aii deben ser nulos

AAA t

031302120

031302120

Matriz ortogonal: Si verifica: A·At= I 3. SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).

Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

032324

113002211331

232142

113002211331

130213

102131

BA

BA

B

A

PROPIEDADES

Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + O = A Elemento opuesto: A + (-A) = O Conmutativa: A + B = B + A


4

4. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k: kA=(k aij)

Es decir, todos los elementos de A quedan multiplicados por k

6393

32131

AA

PROPIEDADES

a · (b · A) = (a · b) · A AMmxn, a, b a · (A+B) = a · A + a · B A,BMmxn a (a+b)·A = a·A + b·A A Mmxn a, b 1 · A = A A Mmxn

5. PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mmxn x Mnxp = Mmxp El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Es decir, se multiplica cada fila de A por cada columna de B como si fuese un producto escalar de vectores

8111714

910192610162

)3,1)(3,1()0,1)(3,1()3,2)(3,1()3,1)(2,1()0,1)(2,1()3,2)(2,1(

303112

3121

BAB

A

PROPIEDADES

Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A · I = A No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C


5

6. EJERCICIOS

1. Dadas las matrices:

122013121

A y

231214

013B

Calcular:

A + B; A - B; A.B; B.A; At.

2. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:

011101110

A

3. Sea A la matriz

100010101

. Hallar An , para n

4. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

101234

3

012221

2

BA

BA

5. Sean las matrices:

122013121

A

231214

013B

123111

211C

Efectuar las siguientes operaciones: (A + B)2; (A - B)2; (B)3; A·Bt·C.

6. Sean las matrices:

230121

A

1321

B

120121

C

a) Justificar si son posibles los siguientes productos: (At·B)·C (B·Ct)·At

b) Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A·M·C c) Determina la dimensión de M para que Ct·M sea una matriz cuadrada.


6

7. CONCEPTO DE DETERMINANTE Es un escalar que se asigna a cada matriz cuadrada A. Se expresa como |A| o det (A).

DETERMINANTE DE ORDEN UNO |a11| = a11 55 22 DETERMINANTE DE ORDEN DOS

743)2(2131223

211222112221

1211

aaaaaaaa

DETERMINANTE DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32) Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Regla de Sarrous

Pierre Sarrous (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3:

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria

y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Ejemplo

15161)0106(405

101512213212013511502111

321


7

8. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO MENOR COMPLEMENARIO αij Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

8)4(42412

124201312

23

ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE Aij Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario multiplicado por (- 1)i+j , es decir, anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es – si i+j es impar.

8)4(42412

2412

)1(124201312

3223

A

CALCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes: Ejemplo

23)12(11)1002()308(

23)5(1)2(0)9(21213

14253

04151

21

23)1(2)1(3)9(25110

24110

34151

21

412513102

SARROUS

FILA

COLUMNA

9. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales. |At|= |A|

2. |A|=0 si posee dos líneas paralelas iguales 0212103212 A (la fila 1 y 3 son iguales)

3. |A|=0 si todos los elementos de una línea son nulos 0000103212 A


8

4. |A|=0 si los elementos de una línea son combinación lineal de las otras

0315103212 A (F3 = F1 + F2)

5. En una matriz triangular el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

40542512043002

A

6. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

103031212

031103212

(se ha cambiado la fila 2 con la 3)

7. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

15321701814089902211721

15161)0106(405502111

321

a la C3 se le ha sumado 2C1 + C2

8. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

2

1

3502131

361

3502111

963

502111

3213

C

F

9. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

102

341

102

341

102

341fdbecafedcba

10. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes: |A·B| =|A|·|B|


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10. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE DE CUALQUIER ORDEN Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por

elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos:

1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

1123230822176326332

2. En caso negativo podemos hacer dos cosas: o Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos

nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).

322353082476336332

F2 = F2 – F1

322353082413016332

o Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe: común en una línea de uno de sus elementos.

3251304276316331

2

3252304476326332

hemos dividido la F1 entre dos y lo hemos sacado fuera

3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los

elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

14

13

12

2

3251304276316331

2FFFFFF

31209620

13006331

2

4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de

orden inferior en una unidad al original.

116)58(2312962

13012


10

11. MATRIZ INVERSA La matriz inversa de una matriz cuadrada, es otra matriz que cumple que:

A · A-1 = A-1 · A = I No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Para que exista la matriz inversa de A su determinante tiene que ser distinto de cero:

A-1 existe si 0A PROPIEDADES

1. (A · B)-1 = B-1 · A-1 2. (A-1)-1 = A 3. (k · A)-1 = k-1 · A-1

4. (A t)-1 = (A -1)t CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

tdAA

A 11 , siendo Ad la matriz formada por los adjuntos de los elementos de A

EJEMPLO 3)000(300115003102

115003102

AA

Hallamos los adjuntos de cada elemento:

01100

11 A 31503

12 A 31503

13 A

11110

21 A 31512

22 A 21502

23 A

00010

31 A 30312

32 A 00302

33 A

030231

330dA

Calculamos la transpuesta de la matriz adjunta.

023333010

tdA

La matriz inversa se obtiene dividiendo todos los elementos de (Ad)t entre el determinante de A.

0321

111

0110

311 tdAA


11

12. RANGO DE UNA MATRIZ

Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta definición, se puede calcular usando el método de Gauss.

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada de determinante no nulo. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES

411017123

701115232312

B

1. Podemos descartar una línea si:. Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras:

c3 = c1 + c2

4101723

711123212

411017123

701115232312

2. Calculamos los determinantes de las submatrices cuadradas de mayor orden posible, si hay alguno distinto de cero, el orden de la submatriz es el rango de B

0711

123212

0410

123212

01723

711212

0410711

212

…

Son todos nulos, por tanto el determinante es menor que 3. 3. Buscamos si hay alguna submatriz de orden 2 cuyo determinante sea no nulo:

01342312

rango = 2


12

CÁLCULO POR EL MÉTODO DE GAUSS Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas. EJEMPLOS: 1.

21101223121

122504

123

051450000046242

1101223121

rgCFFF

FFF

C

2.

3

1310347000001241

123132

13101012361231241

rgDFFFF

D

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