Matriks SMK Non Teknik
of 38
Embed Size (px)
Transcript of Matriks SMK Non Teknik
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
1/38
Bab
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Ide matriks pertama kali dikemukakan oleh Arthur Cayley (1821-1895)
seorang matematikawan Inggris. atriks merupakan penemuan dalam
matematika yang memudahkan seseorang untuk mengolah data! yang
tentunya akan sangat "erman#aat dalam peker$aan mereka (siswa) kelak.
%iswa akan memperoleh ketrampilan men&ari data! mengolahnya se&ara
le"ih terurut'hierarkis dengan mudah melalui operasi-operasi matriks
hingga diperoleh suatu penyelesaian! sehingga dengan mempela$ari
matriks siswa dapat memperoleh ke&akapan "er#ikir rasional! dan
ketrampilan yang menun$ang ke&akapan keahlian mereka.
mumnya pada materi tentang matriks ini! siswa masih sering
melakukan kesalahan karena kurang memahami konsep-konsep dasar
matriks dan al$a"ar matriks serta kurangnya ketelitian dalam operasi
hitung matriks. adahal matriks "isa dipahami dengan daya nalar dan
&ukup realistis! meskipun dapat dikem"angkan men$adi konsep yang
sangat a"strak. Contoh matriks yang a"strak adalah matriks polinomial
yaitu matriks dengan elemen-elemennya adalah suku "anyak.
ntuk mem"angkitkan minat siswa! perlu dikem"angkan suatu teknik
pem"ela$aran tentang matriks yang menarik! agar siswa dapat
mempela$arinya dan memahaminya dengan mudah. %e"agai &ontoh!
siswa perlu mendapat pen$elasan tentang man#aat mempela$ari matriks!
1
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
2/38
$uga perlu dikem"angkan tema-tema pem"ela$aran matematika yang
kontekstual! aplikati# pada "idang keahliannya dan mem"eri kesempatan
pada siswa untuk mengem"angkan daya nalar dan kreati#itasnya.
B. Tujuan
odul ini disusun se"agai "ahan a$ar yang "erisi konsep-konsep dasar
tentang matriks dan masih dapat dikem"angkan sesuai keadaan di
lapangan. *iharapkan dapat semakin memantapkan penguasaan materi
sehingga guru dapat meningkatkan ketrampilan siswa menyelesaikan
masalah yang menyangkut matriks khususnya di "idang keahlian masing-
masing.
C. Ruang Lingkup
ateri tentang matriks ini meliputi +
1. engertian matriks dan $enis-$enis matriks
2. ,perasi matriks
. *eterminan dan Iners matriks! serta
/. Contoh-&ontoh penerapannya dalam kehidupan sehari-hari dan dalam
"idang keahlian
2
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
3/38
Bab
Matriks
A. Pengertian Matriks
1. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks
*alam men$elaskan pengertian matriks! se"aiknya mengangkat
peristiwa kehidupan sehari-hari agar le"ih mudah dipahami oleh siswa.
atriks yang kita $umpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya + ta"el
matrikulasi di sekolah atau kantor! penya$ian data pada suatu media &etak
yang disa$ikan dalam "entuk matriks! dan se"againya.
Contoh + ta"el matrikulasi yang memuat data $umlah siswa di suatu
sekolah
0a"el umlah %iswa
elas 3aki-laki 4anita 2/ 18
22 21
25 25
*ari ta"el di atas! "ila diam"il angka-angkanya sa$a dan ditulis dalam
tanda siku! "entuknya men$adi
2525
2122
182/
. 6entuk sederhana inilah yang
kita se"ut se"agai matriks.
Pengertian Matriks+ %usunan "ilangan "er"entuk persegi pan$ang yang
diatur dalam "aris dan kolom yang diletakkan dalam kurung "iasa atau
kurung siku. (7erry %ukarman! 22 + hal 2)
atriks dinotasikan dengan huru# kapital A! 6! ! dan se"againya.
3
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
4/38
Contoh+ A
25
-
2:
15
1-
1/
6ilangan;"ilangan yang tersusun dalam "aris-"aris dan kolom-kolom
terse"ut dise"ut elemen'unsur.
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
5/38
Contoh+ C -?1 [ ]5-1
&. atriks kolom yaitu matriks "erordo n ? 1atau hanya memiliki satu
kolom
Contoh+ < 1?2
/
8
d. atriks tegak yaitu matriks "erordo m ? n dengan [email protected]
Contoh+ A
-
1
8
/
:
! A "erordo > 2 dan @ 2 sehingga matriks A tampak
tegak
e. atriks datar yaitu matriks "erordo m ? n dengan mn
Contoh+ B
1
5
:
-
/
2! B "erordo 2 > dan 2 sehingga matriks B tampak
datar
6erdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat $enis-$enis matriks +
a. atriks nol yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah
dan dinotasikan se"agai ,.
Contoh+ , -?1 [ ] ! , 2?2
". atriks diagonal yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan
di"awah diagonalnya adalah dan dinotasikan se"agai *.
Contoh+ * -?-
-
2
1
&. atriks skalar yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada
diagonalnya sama.
5
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
6/38
Contoh+ * /?/
5
5
5
5
d. atriks simetri yaitu matriks persegi yang setiap elemennya! selain
elemen diagonal! adalah simetri terhadap diagonal utama.
Contoh+ 2?2B
/1
1-
e. atriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen-elemennya!
selain elemen diagonal! saling "erlawanan.
Contoh+ -?-
2
25
5
#. atriks Identitas'satuan yaitu matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonalnya adalah 1 dan dinotasikan se"agai I.
Contoh+ I 2?2
1
1
g. atriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di
"awah diagonal utamanya adalah .
Contoh+ -?-
:
/2
5-1
h. atriks segitiga "awah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di
atas diagonal utamanya adalah .
Contoh+ 7 -?-
:9/
2:
1
6
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
7/38
i. atriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan
elemen-elemen "aris men$adi elemen pada kolom dan elemen-elemen
kolom men$adi elemen pada "aris. %e"agai pengingat adalah
transperpindahan dan poseletak. 0ranspose matriks A dilam"angkan
dengan A0
Contoh+ A 2?-
-
1
8
/
:
! maka A0
-
1
/
8
:! perhatikan "ahwa ordo dari A
0 adalah 2 > .
!. "esa#aan Matriks
*ua "uah matriks atau le"ih dikatakan sama "ila dan hanya "ila
mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen penyusun yang seletak
$uga sama.
Contoh+ A -?2
8
/
:
-
/
2! 6 -?2
8
/
:
-
/
2maka A 6
erhatikan "ahwa C -?2
-
/
:
8
/
2 dan C -?2 A -?2 karena ada
elemennya yang seletak dan nilainya tidak sama.
erhatikan $uga "ahwa *
8:
/
/-
2
dan * A karena ordo kedua matriks
terse"ut tidak sama.
B. Operasi Matriks dan $i%atsi%atn&a
*alam men$elaskan operasi hitung pada matriks! kita dapat
mengangkat peristiwa sehari-hari. isalnya dengan mengam"il &ontoh di
7
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
8/38
suatu toko kelontong. ntuk menun$ukkan operasi pen$umlahan dan
pengurangan kita dapat mengam"il ta"el matrikulasi $umlah "arang yang
ter$ual.
0a"el umlah "arang yang ter$ual pada "ulan ei (0a"el 1)
enis 6arang umlahie instan 2/%a"un &u&i 1asta gigi 8
0a"el umlah "arang yang ter$ual pada "ulan uni (0a"el 2)
enis 6arang umlahie instan 2%a"un &u&i 12asta gigi
ika kita ingin mengetahui "erapa $umlah mie instan yang ter$ual dalam
waktu dua "ulan terse"ut! maka kita harus men$umlahkan "aris 1 ta"el 1
dengan "aris 1 ta"el 2. 0otal mie instan yang ter$ual adalah 2/D2
//. ntuk mengetahui total sa"un &u&i yang ter$ual! kita harus
men$umlahkan "aris 2 ta"el 1 dengan "aris 2 ta"el 2! demikian pula untuk
$enis "arang "erikutnya. 6erdasarkan prinsip yang sama! siswa kita
perkenalkan dengan operasi pen$umlahan dan pengurangan pada matriks.
1. Penju#lahan Matriks
rinsip pen$umlahan dua atau le"ih matriks yaitu men$umlahkan
setiap elemennya yang seletak.
Pengertian penju#lahan #atriks+ ika A D 6 C! maka elemen-elemen
C diperoleh dari pen$umlahan elemen-elemen A dan 6 yang seletak! yaitu
& i$ a i$ D " i$ untuk elemen C pada "aris ke-i dan kolom ke-$.
8
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
9/38
Aki"atnya! matriks A dan 6 dapat di$umlahkan apa"ila kedua matriks
memiliki ordo yang sama.
Contoh+ A
/-
21! 6
8
:5maka A D 6
/-
21D
8
:5
121
8: C
erhatikan "ahwa C mempunyai ordo sama dengan A dan 6
%i#at-si#at pen$umlahan matriks +
a. AD6 6DA (hukum komutati# untuk pen$umlahan)
". AD(6DC) (AD6)DC (hukum asosiati# untuk pen$umlahan)
&. AD, ,DA
d. (AD6)0 A0 D 60
2. Pengurangan Matriks
,perasi pengurangan pada matriks menggunakan prinsip yang
sama seperti pada operasi pen$umlahan. atriks A dikurangi matriks 6
dengan &ara mengurangi elemen matriks A dengan elemen matriks 6
yang seletak.
Pengertian pengurangan #atriks+ ika A6 C! maka elemen-elemen
C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan 6 yang seletak! yaitu
& i$ a i$" i$ atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang se"agai
pen$umlahan! yaitu A D (-6)
9
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
10/38
%yarat + atriks A dan 6 dapat dikurangkan $ika ordo kedua matriks
terse"ut sama.
Contoh+ A
9
/
:
5
! 6
2
/
:
1
5
-
A6
9
/
:
5
2
/
:
1
5
-
2:
51
22
atau A6 AD(-6)
9
/
:
5
D
21
/5
:-
2:
51
22
aidah ilmu hitung yang "erlaku pada pengurangan adalah +
a. AA ,
". A , A
!. Perkalian Matriks
,perasi perkalian pada matriks ada dua ma&am yaitu perkalian
matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks. %e"elum
memperkenalkan perkalian matriks dengan matriks! siswa terle"ih dahulu
diperkenalkan perkalian matriks dengan "ilangan'skalar.
a. Perkalian Matriks dengan skalar
atriks A dikalikan dengan & suatu "ilangan'skalar maka &A
diperoleh dari hasilkali setiap elemen A dengan &. *engan demikian!
matriks ;A dapat dipandang se"agai hasil kali matriks A dengan skalar
(-1). adi ;A (-1)A.
10
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
11/38
6erikut ini adalah &ontoh perkalian matriks dengan "ilangan skalar!
Contoh+
158- maka / /
158-
/2-212
ika a dan " "ilangan real dan 6! C dua matriks dengan ordo
sedemikian hingga dapat dilakukan operasi hitung "erikut! maka "erlaku
si#at-si#at perkalian matriks dengan skalar +
1) a(6DC)a6DaC
2) a(6C) a6aC
) (aD")C aCD"C
/) (a-")C aC"C
5) (a")C a("C)
:) (a6)0 a60
b. Perkalian #atriks dengan #atriks
ntuk le"ih memahami perkalian matriks dengan matriks! kita
perhatikan kem"ali &ontoh di se"uah toko kelontong. isalnya da#tar
harga "arang disa$ikan pada ta"el "erikut ini!
0a"el 7arga "arang
enis 6arang ie instan %a"un &u&i asta gigi7arga (rupiah) 1 22
0a"el umlah "arang yang ter$ual
enis 6arang umlah
ie instan 22%a"un &u&i 1asta gigi 8
11
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
12/38
ntuk mengetahui total pendapatan! kita akan menghitung dengan &ara +
(?22) D(1?1) D (22?8) /:. erhitungan itu dapat
ditun$ukkan dalam "entuk perkalian matriks se"agai "erikut +
[ ]221
8
1-
22
[ ])8?22()1-?1()22?( ++
[ ]/:
*ua matriks A6 dapat dikalikan "ila dan hanya "ila $umlah kolom
matriks A sama dengan $umlah "aris matriks 6. adi Am?n6n?p "isa
dide#inisikan! tapi 6n?pAm?n tidak dapat dide#inisikan.
A 6 A6
m?n n?p m?p
erhatikan "ahwa hasil kali matriks A6 "erordo m?p
ntuk mengu$i apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan $uga
untuk menentukan ordo hasil perkaliannya! dapat $uga menggunakan
aturan memasang kartu domino se"agai "erikut +
sama
1 ? 2 2 ?
1? (7asil)
12
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
13/38
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
14/38
1) A(6C) (A6)C
2) A(6DC) A6 D AC
) (6DC)A 6A D CA
/) A(6C) A6AC
5) (6C)A 6ACA
:) a(6C) (a6)C 6(aC)
) AI IA A
erlu diingat "ahwa "ila A6 dapat dide#inisikan! maka 6A "elum tentu
dapat dide#inisikan! sehingga A6 "elum tentu sama dengan 6A.
C. 'eter#inan Matriks
ntuk setiap matriks persegi terdapat suatu "ilangan tertentu yang
dise"ut determinan.
Pengertian 'eter#inan #atriks adalah $umlah semua hasil perkalian
elementer yang "ertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A).
(7oward Anton! 1991 + hal :)
Eang diartikan dengan se"uah hasil perkalian elementer "ertanda dari
suatu matriks A adalah se"uah hasil perkalian elementer pada suatu
kolom dengan D1 atau -1. ntuk le"ih $elasnya! "erikut ini diuraikan &ara
men&ari determinan matriks "erordo 2?2 dan matriks "erordo ?.
1.'eter#inan #atriks berordo 2 ( 2
ika matriks A
d&
"amaka det (A) A
d&
"a ad"&
14
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
15/38
%e"agai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari
d&
"a
Contoh+
/-
/8! maka det() )
/-
/8 (8?/)-(/?) 2
2. 'eter#inan #atriks berordo ! ( !
ntuk men&ari determinan matriks "erordo > dapat digunakan
dua metode! se"agai "erikut +
a. etode %arrus
ika matriks 6
?w
uts
rFp
maka det(6) 6 ?w.
uts
rFp
pt? D Fu Drsw ; rt ; Fs?-puw
%e"agai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari
?w
uts
rFp
w.
ts
Fp
erlu diperhatikan "ahwa &ara demikian tidak berlaku"ila matriks
"erordo /?/ dan yang le"ih tinggi lagi.
Contoh+ G
98
5-1
:/2
! maka det(G) G adalah
98
5-1
:/2
98
5-1
:/2
8
-1
/2
(2??9)D(/?5?)D(:?1?8)-(:??)-
(2?5?8)-(/?1?9) 2/2-2/2
". etode o#aktor
15
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
16/38
0erle"ih dahulu siswa di$elaskan tentang su" matriks atau minor
dari suatu matriks. inor suatu matriks A dilam"angkan dengan i$
adalah matriks "agian dari A yang diperoleh dengan &ara menghilangkan
elemen-elemennya pada "aris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-$.
Contoh+ G
98
5-1
:/2
! maka 11
98
5-1
:/2
98
5-
12
98
5-1
:/2
9
51! 1-
98
5-1
:/2
8
-1
11 ! 12 dan 1- merupakan su"matriks hasil ekspansi "aris ke-1 dari
matriks G.
o#aktor suatu elemen "aris ke-i dan kolom ke-$ dari matriks A
dilam"angkan dengan i$ (-1) $i+ i$ (-1) $i+ det ( i$ )
ntuk men&ari det(A) dengan metode ko#aktor &ukup mengam"il satu
ekspansi sa$a misal ekspansi "aris ke-1
Contoh+ G
98
5-1
:/2
! untuk mendapatkan det(G) dengan metode
ko#aktor adalah men&ari terle"ih dahulu determinan-determinan minornya
yang diperoleh dari ekspansi "aris ke-1 diatas! yaitu det( 11)-1 ! det(
12 )-2: dan det(1- ) -1! maka +
G F11 .k11 DF12 .k12 D F1- .k1-
16
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
17/38
F11 .(-1) 11+ det(11)DF12 (-1) 21+ det( 12 )DF1- (-1) -1+ det(1- )
2.1/.2: D :.1
!. Adjoin Matriks
Adjoin #atriks A adalah transpose dari ko#aktor-ko#aktor matriks
terse"ut! dilam"angkan dengan ad$ A (k i$ ) t
Contoh+ G
98
5-1
:/2
telah diketahui dari hitungan se"elumnya "ahwa
k111! k12 2: dan k1- 1 sekarang kita hanya men&ari ko#aktor dari
ekspansi "aris ke-2 dan ekspansi "aris ke-! yaitu +
k21(-1) 12+ 98:/
12! k22(-1) 22+ 9:2
2/! k2-(-1) -2+ 8/2
12
k-1(-1) 1-+ 5-:/
2! k-2 (-1) 2-+ 51:2
/! k-- (-1) --+ -1/2
2
Ad$ A
--2-1-
-22212
-12111
kkk
kkk
kkk
2121-
/2/2:
2121-
7al yang menarik dalam men&ari ad$oin matriks "erordo 2?2
ditun$ukkan se"agai "erikut +
17
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
18/38
ika A 2?2
d&
"a! maka ko#aktor-ko#aktornya adalah k11d! k12 -&! k
21-" dan k22a. emudian Ad$ A
2212
2111
kk
kk
a&
"d
7al ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal
utamanya dan mengu"ah tanda pada elemen-elemen pada diagonal
lainnya
'. )n*ers Matriks
ntuk men$elaskan iners matriks! perhatikan &ontoh dalam kehidupan
se"agai "erikut +
*i koperasi sekolah Ana mem"eli 5 "uah "uku tulis dan : "uah pensil! Ani
mem"eli : "uah "uku tulis dan 8 "uah pensil. ntuk itu Ana mem"ayar
Hp. 8!- dan Ani mem"ayar se"esar Hp. 1.!-. 6erapakah harga
"uku tulis per-"uah dan pensil per-"uah =
%oal kehidupan sehari-hari di atas dapat diselesaikan dengan model
al$a"ar yaitu menggunakan persamaan linear. isalkan ?harga "uku tulis
per-"uah dan yharga pensil per-"uah. %istem persamaan linearnya+
5?D:y8
:?D8y1
oe#isien persamaan di atas $ika di tulis dalam "entuk matriks adalah
se"agai "erikut+
18
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
19/38
8:
:5
y
?
1
8 atau A 2?2
y
? 6 1?2 ! untuk mengetahui nilai ?
dan y kita perlu men$elaskan pada siswa adanya iners matriks.
Pengertian )n*ers #atriks+ 3awan atau ke"alikan suatu matriks dalam
perkalian yang dilam"angkan dengan A 1 .
6erlaku AA 1 A 1 A I! I matriks identitas.
ntuk soal diatas + A 2?2
y? 6 1?2 ! maka A 1 .A
y? A 1 .6
I.
y
? A 1 .6
y
? A 1 .6
ita tun$ukkan "ahwa hasil kali C 2?2
/
5
2
-2
-2
dengan A 2?2 adalah I
2?2 (matriks identitas)! se"agai "erikut+
/
5
2
-2
-2
8:
:5
1
1.
aka C 2?2 adalah iners matriks A 2?2 atau C A 1 .
%ehingga kita dapat memperoleh nilai ? dan y! se"agai "erikut+
y
?
A 1
.6
/
5
2
-2
-2
1
8
5
1
19
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
20/38
Cara men&ari iners matriks "erordo 2?2 dan iners matriks "erordo ?
dipaparkan "erikut ini.
1. )n*ers #atriks berordo 2+2
ika A
d&
"a! maka A 1
)Adet(
1.Ad$ (A)
)Adet(
1
a&
"d
Contoh+ A
2-
-5! tentukan A 1
awa"+ det(A) (5?2) (?) 1
A 1 1
1
5-
-2
5-
-2
2. )n*ers #atriks berordo !+!
ika 6 -?- ! maka 6 1 )6det(
1.Ad$(6)
Contoh + 6
:
5/
-21
!tentukan iners dari matriks segitiga terse"ut
awa" + ntuk men&ari determinan matriks 6! &ara paling praktis adalah
dengan metode ko#aktor dengan mengekspansi "aris yang memuat nol
ter"anyak yaitu "aris ke-! maka det(6):(1?/-?2) 2/
Ad$ 6
++
+
++
/
21
21
/
5
-1
:
-1
:
5
5/
-2
:
-2
:
5/
/
5:
2122/
20
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
21/38
6 1 2/
1
/
5:2122/
2/
/
2/
5
2/
:
2/
2
2/
121
%i#at-si#at iners matriks +
1. (A6) 1 6 1 A 1
2. ika A6 6A I! maka A dan 6 dikatakan se"agai matriks yang saling
iners karena A 6 1 dan 6 A 1
6ila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A)
maka matriks A tidak mempunyai iners. %uatu matriks yang tidak
mempunyai iners dise"ut matriks singular. 6ila det(A)! maka matriks A
pasti mempunyai iners. %uatu matriks persegi yang mempunyai iners
dise"ut matriks non singular.
Bab
Aplikasi Matriks
mumnya aplikasi matriks yang dapat dia$arkan di % adalah untuk
menyelesaikan soal kehidupan sehari-hari atau yang "erkaitan dengan
"idang keahlian dengan langkah +
1. engu"ah soal &erita dalam "entuk ta"el lalu diselesaikan dengan
matriks! atau
2. enyatakan nilai yang akan di &ari dalam aria"el! menyusun sistem
persamaan linearnya dan menyelesaikannya dengan matriks.
21
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
22/38
Contoh $oal Aplikasi Matriks
1. 0oko J%em"ada ArtK Eogyakarta men$ual kera$inan tangan pada Lnik
aleryK akarta yang dituliskan dalam nota pen$ualan "erikut +
M, enis 6arang umlah 7arga %atuan
(Hp)
0otal
(Hp)1 atung 3ilin 2 1. 2..
2 atung keramik 5 15. 5.25.
6oneka akar wangi 5 2. 1..
umlah 8.25.
ertanyaan+
a. 6uatlah dua ta"el "erdasarkan nota pen$ualan di atas! yaitu ta"el yang
memuat $umlah "arang dan ta"el yang memuat harga "arang
". 6erdasarkan ta"el pada $awa"an a! u"ahlah kedalam "entuk matriks
perkalian untuk memperoleh total harga pen$ualan
awa"+
a. 0a"el umlah 6arang
enis 6arang atung 3ilin atung eramik 6oneka Akar 4angi
umlah 2 5 5
0a"el 7arga 6arang
enis 6arang 7arga %atuan (Hp)
22
S e m b a d a A r tYogyakarta
M,0A
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
23/38
atung 3ilin 1
atung eramik 15
6oneka Akar 4angi 2
". 6entuk perkalian matriksnya adalah +
[ ]5-52
2
15
1
[ ])2?5()15?-5()1?2( ++
[ ]825
2. erusahaan garmen LIndahK tiap "ulannya mengekspor ma&am model
"usana ke-/ negara tu$uan. 6erikut ini adalah ta"el da#tar "arang pesanan
pada "ulan Moem"er 2 dalam satuan lusin.
enis Megara 0u$uan
odel epang orea Cina 0aiwanA 25 1 6 2 11 2/C 15 12 1:
0a"el "erikut adalah da#tar harga masing-masing model "usana dalam
satuan % N.
odel 7arga per lusinA 12
6 1//C 18
ertanyaan+
a. 6erapakah pemasukan yang akan diperoleh perusahaan terse"ut dari
negara orea pada "ulan Mopem"er terse"ut =
23
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
24/38
". ika pada "ulan *esem"er 2 pesanan dari epang meningkat
kalinya dan pesanan dari Cina meningkat 2 kalinya! sedangkan pesanan
dari orea dan 0aiwan tetap! "erapakah total pesanan "a$u masing-
masing model pada "ulan *esem"er 2 terse"ut =
awa"+
a. 7asil matriks perkalian "erikut ini merupakan nilai pemasukan yang
akan diperoleh perusahaanKIndahK
[ ]181//12
1:1215
2/11-2
125
emasukan dari negara orea diperoleh dari hasil kali "aris ke-1 matriks
harga dengan kolom ke-2 matriks pesanan! yaitu +
(12?25)D(1//?)D D/2 2. adi pemasukan yang akan
diperolehnya adalah % N 2.
".
1:1215
2/11-2
125
1
2
1
-
85
1-:
/5
adi da#tar pesanan dari / negara pada "ulan *esem"er 2 adalah /5
lusin model A! 1: lusin model 6 dan 85 lusin model C.
. *ewi dan teman-temannya memesan mangkok "akso dan 2 gelas es
$eruk di kantin sekolahnya. 0ak lama kemudian! datang *oni dan teman-
temannya memesan 5 mangkok "akso dan gelas es $eruk. *ewi
menantang Amir! seorang siswa % non 0eknik! untuk menentukan
harga "akso per mangkok dan harga es $eruk per gelas $ika *ewi harus
24
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
25/38
mem"ayar Hp. ! untuk semua pesanannya! dan *oni harus
mem"ayar Hp. 11.5! untuk semua pesanannya itu. aka "erapakah
harga "akso per mangkok dan es $eruk per gelasnya=
etun$uk + 6uatlah sistem persamaan linearnya lalu selesaikan dengan
matriks.
awa"+
isalkan ? harga "akso per mangkok
y harga es $eruk per gelas
%istem persamaan linearnya + ? D 2y
5? D y 115
*alam "entuk matriks adalah se"agai "erikut +
-5
2-
y
?
115
atau A
y
? 6! maka
y
? A 1 6
A 1 )2.5-.-(
1
-5
2-
-5
2-
y
?
-5
2-
115
+
)-/5-5(
)2-21(
5
2
7arga "akso Hp. 2! per mangkok dan harga es $eruk Hp. 5! per
gelas.
/. %e"uah perusahaan roti donat selalu men&atat $umlah tiap $enis donat
yang ter$ual di tiga tokonya! sehingga perusahaan itu dapat terus
memantau penyaluran produknya tanpa harus memproduksi ekstra.
6erikut adalah data pen$ualan selama 2 hari +
%enin+
Coklat a&ang e$u %traw"erry
25
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
26/38
0oko 6ig *onat 12 9 :/ 5
0okoCalOs *onat 8 59 : :0oko *onats In& 2 8/ 29 /8
%elasa +
Coklat a&ang e$u %traw"erry
0oko 6ig *onat 112 8 5: /
0okoCalOs *onat 8/ :5 9
0oko *onats In& 88 98 / :
ertanyaan+
a. 0ulislah dalam "entuk matriks dan "eri nama untuk masing-masing
hari. 7itunglah total donat yang ter$ual pada kedua hari itu dalam "entuk
matriks
". %etiap $enis donat memerlukan kira-kira/
1&awan tepung. ika ada /
&awan dalam 1 pon tepung! "erapa pon tepung yang diperlukan untuk
memproduksi pada dua hari terse"ut =
awa"+
a. atriks pen$ualan pada hari %enin
/8298/2
:-:598
5:/912
atriks pen$ualan pada hari %elasa 0
:/-9888
-9:58/
/5:8112
umlah total donat yang ter$ual selama dua hari D 0
/8298/2
:-:598
5:/912
D
:/-9888
-9:58/
/5:8112
1821821:
1-512/1:/
1/91218/2-2
26
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
27/38
". 1 pon tepung dapat dipakai untuk mem"uat /?/ 1: donat . 0otal
donat yang ter$ual pada dua hari untuk masing-masing toko adalah
1:
1:/
2-2
D
182
12/
18/
D
2
5
12
D
18
1-
1/9
522
/9-
:85
0otal donat yang ter$ual dari ketiga toko adalah :85D/9D522 1! $adi
tepung yang di"utuhkan untuk memproduksi donat se$umlah 1 adalah
1 + 1: 1:! 25.
5. %e"uah pa"rik tekstil hendak menyusun ta"el aktia mesin dan
penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 1P dari
harga perolehan se"agai "erikut+
enis
Aktia
7arga
erolehan (Hp)
enyusutan
tahun (Hp)
7arga 6aku
(Hp)
esin A 25.. 2.5.
esin 6 :5.. :.5.
esin C /8.. /.8.
ntuk melengkapi ta"el terse"ut! hitunglah harga "aku masing-masing
mesin dengan menggunakan matriks
awa"+
7arga "aku harga perolehan-penyusutan tahun
27
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
28/38
../8
..:5
..25
-
.8./
.5.:
.5.2
.2./-
.5.58
.5.22
adi! ta"el Aktia esin se&ara lengkap adalah+
enis
Aktia
7arga
erolehan (Hp)
enyusutan
tahun (Hp)
7arga 6aku
(Hp)
esin A 25.. 2.5. 22.5.
esin 6 :5.. :.5. 58.5.
esin C /8.. /.8. /.2.
Contoh penyelesaian aplikasi matriks pada soal-soal di atas
"ukanlah satu-satunya &ara. %iswa hendaknya diper"olehkan men&ari
penyelesaian lain selama penyelesaian di"uat dengan logis dan mengikuti
kaidah al$a"ar matriks serta memperoleh hasil sama. ntuk tahap
selan$utnya kepada siswa dapat dia$arkan tentang persamaan dan
pertidaksamaan! "aik yang linear atau kuadrat! $uga relasi dan #ungsi.
28
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
29/38
Le#bar "erja
1. ika A
8-:
9/
:812
! tentukan ordo A dan a 2-
2. %e"utkan $enis matriks "erikut ini +
a.
15
1-
".
/9
-:8
9:25
851
&.
11
11
11
. ika A
51
--! 6
-/
212 dan A D 6 C0 ! tentukanlah
matriks C
/. ika A
:9
28dan (A6) 1
1/12
/-! maka +
a. 0entukan A 1
". 0entukan 6 1
5. ika
/
-
2
1
dan G
98
112
a. 0entukanlah G
". 0entukan (2
1G)
:. ntuk sem"arang nilai a &arilah nilai ? yang memenuhi "ila diketahui
det(A) untuk matriks +
a. A
2a
a?". A
?a
/a
29
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
30/38
. ika
-5
1/dan G
22
1-! hitunglah +
a. *et() ". *et(G) &. *et(G)
Apa kesimpulan anda setelah melakukan perhitungan di atas =
8. ika -?-
:5
2-/
1
&arilah det() dengan menggunakan +
a. etode %arrus
". etode o#aktor
9. 6iro trael L3intas K mengelola per$alanan antar kota. 6erikut adalah
&atatan per$alanan trael L3intasK pada tanggal 22 Mopem"er 2!
se"uah mo"il yang "erangkat dari kota A tu$uan kota 6 mem"awa 8
penumpang! dan mo"il tu$uan kota C mem"awa 12 penumpang! mo"il
yang "erangkat dari kota 6 ke kota A mem"awa 1 penumpang dan
mo"il tu$uan kota C mem"awa 9 penumpang! dari kota C "erangkat
se"uah mo"il tu$uan kota A "erpenumpang 11 dan tu$uan kota 6
"erpenumpang orang. 6ila harga tiket antar kota A ke 6 Hp./2.!
per orang! antar kota 6 dan kota C Hp. /5.! per orang dan antar
kota A ke kota C Hp./.! per orang. "ahlah soal ini dalam
"entuk matriks 6agaimana &ara menghitung pendapatan "iro hari itu
dengan matriks yang anda "uat =
1. erusahaan roti L 7arumK mempunyai tiga pa"rik yang masing-masing
memproduksi $enis roti yang "er"eda. 0iap harinya perusahaan itu
memasarkan produknya antar tiga &a"ang pa"rik se$umlah 5 kotak
30
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
31/38
(tiap kotak "erisi 5 "ungkus roti) dan mengem"alikan roti yang sudah
rusak ke pa"rik pem"uatnya. 6erikut ini adalah da#tar pengem"alian roti
per kotak +
0u$uan
engirim
Ca"ang I Ca"ang II Ca"ang III
Ca"ang I 2 Ca"ang II / 2Ca"ang III 1
7itunglah $umlah roti yang diterima masing-masing &a"ang setelah
dikurangi roti yang rusak
Rangku#an
1. atriks adalah susunan dari "ilangan-"ilangan dalam "aris dan kolom
yang disa$ikan dalam kurung siku-siku.
31
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
32/38
,rdo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam "anyaknya
"aris kali "anyaknya kolom.
%e&ara umum! matriks Am?n
mn-m2m1m
n----2-1
n22-2221
n11-1211
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
amn menyatakan elemen matriks A pada "aris ke-m dan kolom ke-n
2. enis-$enis matriks + matriks "u$ursangkar'persegi! matriks "aris! matriks
kolom! matriks tegak! matriks datar! matriks nol! matriks diagonal!
matriks skalar! matriks identitas! matriks segitiga "awah dan segitiga
atas! matriks transpose! matriks simetri! dan matriks simetri miring
. atriks 0ranspose merupakan matriks hasil perpindahan elemen-
elemen "arisnya men$adi elemen pada kolom dan elemen-elemen
kolomnya men$adi elemen pada "aris.
Am?n A0 n?m ! dengan a i$ a t $i
/. esamaan matriks menyatakan "ahwa dua "uah matriks atau le"ih
dikatakan sama "ila + mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen
penyusun yang seletak $uga sama.
5. ,perasi pen$umlahan dan pengurangan matriks A dan matriks 6 hanya
dapat dilakukan $ika ordo kedua matriks terse"ut sama.
Am?nD6m?n Cm?n ! dengan & i$ a i$ D" i$
Am?n6m?n Cm?n ! dengan & i$ a i$" i$
32
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
33/38
:. ,perasi perkalian matriks A dengan skalar & diperoleh dari mengalikan
setiap elemen A dengan &
. ,perasi perkalian matriks A dengan matriks 6 dapat dide#inisikan hanya
$ika $umlah kolom matriks A sama dengan $umlah "aris matriks 6.
Am?nBn?p= Cm?p , dengan & i$ a in " $n untuk n1!2!!Q!n
8. %i#at-si#at operasi hitung matriks +
a. omutati# + AD6 6DA
". Assosiati# + AD(6DC) (AD6)DC
(A6)C A(6C)
&. *istri"uti# + A(6DC) A6DAC
(AD6)C ACD6C
d. Identitas + AD, ,DA A
A.I I.A A
9. *eterminan matriks adalah $umlah semua hasil perkalian elementer
yang "ertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A).
*eterminan matriks A 2?2 d&"a
(ad-"&)
*eterminan matriks "erordo ? dapat di&ari dengan 2 metode! yaitu +
a. etode %arrus! atau
". etode o#aktor
1. inor suatu matriks A dilam"angkan dengan i$ adalah matriks
"agian dari A yang diperoleh dengan &ara menghilangkan elemen-
elemennya pada "aris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-$.
11. o#aktor suatu elemen "aris ke-i dan kolom ke-$ dari matriks A
dilam"angkan dengan i$ (-1) $i+ i$ (-1) $i+ det ( i$ )
33
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
34/38
12. Ad$oin matriks A adalah transpose dari ko#aktor-ko#aktor matriks
terse"ut! dilam"angkan dengan ad$ A (k i$ ) t
1. Iners matriks adalah 3awan atau ke"alikan suatu matriks dalam
perkalian yang dilam"angkan dengan A 1 .
ika A 2?2
d&
"a! maka A 1
)Adet(
1
a&
"d
ika 6 -?- ! maka 6 1 )6det(
1.Ad$(6)
Bab IV
Penutup
atriks merupakan salah satu metode dalam matematika untuk
menyelesaikan soal-soal yang "erkaitan dengan "e"erapa data atau
"e"erapa aria"el. *ata-data yang tersa$ikan dalam "entuk ta"el dapat
34
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
35/38
dianalisa dengan menggunakan matriks. Raria"el-aria"el dalam masalah
persamaan linier $uga dapat diselesaikan dengan matriks.
*alam pem"ela$aran matriks hendaknya+
1. *ikaitkan dengan realitas kehidupan! dekat dengan alam pikiran siswa
dan relean dengan masyarakat . 7al-hal yang "erkaitan dengan "idang
keahlian siswa atau kehidupan sehari-hari diangkat se"agai masalah yang
dapat diselesaikan dengan matriks.
2. em"eri kesempatan pada siswa se&ara "ersama-sama untuk akti#
men&ari dan menemukan konsep dasar matriks.
. *apat mem"erikan keterampilan yang menun$ang ke&akapan hidup
"agi siswa! mem"antu "erkem"angnya ke&akapan personal dalam diri
siswa yaitu dengan mengenal diri le"ih "aik se"agai "agian dari suatu
kelompok atau masyarakat! $uga dapat meningkatkan kemampuan siswa
untuk "er#ikir rasional dan kreati# untuk men&ari peme&ahan masalah.
Ba,aan &ang 'isarankan
aman A"durrahman. 2. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen
Tingkat I. 6andung+ Armi&o
35
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
36/38
'a%tar Pustaka
Bad$ar %hadiF. 21. Diklat Matematika Guru SMK (Non Teknik)embelajaran Matriks. Eogyakarta+ atematika
7oward Anton S alih "ahasa oleh antur %ila"an. 1991. Aljabar !inier"lementer. akarta+
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
37/38
. C
85
-1
85
/. a. A 1
-
8
-
9
-
2
-
:
". 6 1
:-
-:
5. a. 2?/ G -?2
-:-228
--:
181:1/
112
". (2
1G)
181:1/2
-
2
--
98
2
1
2
11
:. a. ? 2
1a 2
". ?/ untuk sem"arang nilai a.
. a. *et()
". *et(G) /
&. det(G) 28
esimpulan + det(G) det(). det(G)
8. a. etode %arrus
det() 9
". etode o#aktor
37
-
7/26/2019 Matriks SMK Non Teknik
38/38
det() 9
9. matriks penumpang
11
91128
!
7matriks harga
/
/5
/2
Cara menghitung pendapatan pada hari itu adalah kali 7! apa"ila
ingin mengetahui total pendapatan dari ke- &a"ang kita tinggal
men$umlahkan elemen-elemen matriks 7.
1.
/8/
//8
/9/:
! elemen i$ menyatakan $umlah kotak roti yang dikirim
pa"rik i ke $ setelah dikurangi yang rusak.
