Matriz Inversa y Matrices Semejantes
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MATRICES EQUIVALENTES O SEMEJANTES
Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente de A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las operaciones elementales de fila:
Multiplicar una fila de A por un número real cualquiera diferente de cero. Intercambiar filas. Sumar a una fila de A cualquier otra fila.
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Ejemplo:
A=
f1←f1 + 3f2
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MATRIZ ESCALONADA
Matriz escalonada por filas
Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan de izquierda a derecha fila a fila.
Ejemplo:
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Matr iz esca lonada reduc ida por f i las
Es una matriz escalonada cuyos elementos son iguales a 1, y
en sus respectivas columnas son los únicos diferentes de cero.
Una matriz es reducida por filas si cumple lo siguiente:
1. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, es
12. Encima (y debajo) de cada pivote solo hay cerosEjemplo:
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¿Qué es el pivote de una matriz?
Se denomina “pivote” al elemento delantero de cada fila diferente de cero. Estos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior.
Pivotes
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Ejercicio:
Reducir la siguiente matriz a su forma escalonada y luego a su forma escalonada reducida por filas.
Matriz escalonada por filas
F4←F4 - 4F1
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Matriz escalonada reducida por filas.
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MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz que denotemos por A-1 que cumple:
A · A-1 = A-1 · A = I
*Encontrar una matriz B de modo que A · B = B · A = I
Cuando tenemos este caso decimos que dicha matriz B que cumpla las condiciones anteriores es la matriz inversa de la matriz A
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Para:A · A-1 = A-1 · A = I
Donde I es la matriz identidad. En este caso se dice que A-1 es la inversa de A
Notamos que:A · A-1 son conmutables
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PROPIEDADES
(A · B)-1 = B-1 · A-1 (A-1)-1 = A (k · A)-1 = k-1 · A-1 (A t)-1 = (A -1)t
No toda matriz cuadrada tiene inversa, la condición es que su determinante sea
diferente de cero
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Cálculo de una matriz inversa:Ubicamos la matriz A y junto a esta ubicamos lamatriz identidad luego aplicamos el método de Gauss Jordan. Al final debemos obtener la matriz identidad pero en el lado izquierdo y lo que nos quede en el lado derecho será nuestra matriz inversa.
(A|I) (I|A-1)GAUSS
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EJERCICIO
Hallar la matriz inversa de la matriz An
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F2=F2 - F1 F3 F3+F2 F2 F2-F3
F1 F1+F2 F2<- (-1)F2
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COMPROBACIÓN
A · A-1 = A-1 · A = I