Maximas Avenidas

OBRAS HIDRAULICAS

CALCULO DE MAXIMAS AVENIDAS


1.0) OBJETIVOS

Calcular los valores de máximas avenidas para una serie de datos aplicando los

métodos estadísticos: Método Gumbel, Método de Distribución Normal y el Método de

Distribución de Pearson III.

Realizar los cálculos considerando distintos periodos de diseño, tomando un valor

mínimo de T=2 años hasta un valor de T=200 años.

Realizar una comparación con los valores encontrados de los caudales de máximas

avenidas con su respectivo periodo de retorno.

2.0) MARCO TEORICO

El objeto de calcular los caudales extremos o máximos es el de poder realizar diseños de

estructuras hidráulicas confiables, que nos brinden la suficiente seguridad de que no

colapsarán cuando se presente un evento extraordinario de avenidas dentro de un

periodo T de años, y está aquí la importancia del porque empezamos a calcular las

máximas avenidas.

El procedimiento para el cálculo es el que se describe a continuación:

Primer paso:

Es necesario el tener un registro de caudales mensuales de avenidas de los últimos años,

una vez que se tenga los datos se tiene que elegir el máximo valor de entre los caudales

mensuales de un mismo año, para luego tener el registro de cada año con su respectivo

caudal máximo, denominándose serie anual máxima.

Segundo paso:

Denominado la etapa de posiciones de trazado, una vez seleccionada la serie con la que

se va a realizar el análisis de frecuencia se ordenan los valores de mayor a menor.

Tercer paso:

Luego es necesario asignarle a cada valor una probabilidad de excedencia. Esta

probabilidad de excedencia o frecuencia (P) que se asigna a cada valor de la serie es la

que se conoce como posición de trazado. Su inversa es el período de retorno (T).

A través del tiempo diferentes autores han desarrollado fórmulas para determinar

posiciones de trazado.

De todas las fórmulas propuestas la que mejor aceptación ha tenido hasta el momento es

la de Weibull.

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Fórmula Weibull (1923):

donde: m = número de orden de los valores ordenados de mayor a menor.

N = número total de valores de la muestra.

Cuarto paso:

Se aplica los métodos estadísticos para el cálculo de las máximas avenidas.

Método Gumbell:

Considera que el caudal máximo está dado por:

Dónde: Qmax=caudal máximo calculado para un periodo de retorno T años.

Qprom=caudal promedio de la serie anual máxima.

Dónde:

K = factor de frecuencia, que indica el número de veces de desviación típica en que el

valor extremo considerado excede a la media de la serie.

Yt = variable de Gumbel para el período de retorno T. Se determina a partir del valor del

período de retorno. El valor se puede obtener de la tabla adjunta ó Yt = -ln ln (T/T-1).

Yn = valor que se obtiene a partir del número de años de la serie, mediante tablas.

Sn = valor que se obtiene a partir del número de años de la serie, mediante tablas.

Tabla. Valores de "Yn" y "Sn" según número de observaciones (tabla reducida de acuerdo

a nuestro trabajo).

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Distribución Normal:

La funcion de densidad de probabilidad normal se define como:

Dónde: m, s son la media y desviación estándar.

La función de distribución normal es:

Donde la variable estandarizada es:

Ahora la funcion se puede escribir como:

Los valores de la integral para distintos valores de z se tienen en la tabla que se

encuentra como anexo.

Para el cálculo de Qmax para distintos periodos de retorno se tiene la siguiente ecuación:

Por lo tanto:

De allí se calcula z por tabla, y luego se reemplaza en:

Distribución log Pearson tipo III:

Para el uso de esta distribución se convierten los valores de la serie a sus logaritmos

decimales y se hallan los siguientes parámetros:

Media:

Desviación estándar:

Coeficiente de asimetría:

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3.0) CALCULO DE DATOS:

Método Gumbel:

AÑO Q m3/s Q(ord.) Posicion P>=Q

1984 120.0 261.0 1 0.03448276

1985 151.0 239.0 2 0.06896552

1986 150.0 210.0 3 0.10344828

1987 210.0 196.0 4 0.13793103

1988 182.0 190.0 5 0.17241379

1989 261.0 189.0 6 0.20689655

1990 180.0 189.0 7 0.24137931

1991 150.0 182.0 8 0.27586207

1992 189.0 180.0 9 0.31034483

1993 167.0 179.0 10 0.34482759

1994 111.0 176.0 11 0.37931034

1995 126.0 172.0 12 0.4137931

1996 170.0 170.0 13 0.44827586

1997 104.0 169.0 14 0.48275862

1998 151.0 167.0 15 0.51724138

1999 169.0 163.0 16 0.55172414

2000 137.0 158.0 17 0.5862069

2001 179.0 153.0 18 0.62068966

2002 189.0 151.0 19 0.65517241

2003 153.0 151.0 20 0.68965517

2004 239.0 150.0 21 0.72413793

2005 140.0 150.0 22 0.75862069

2006 158.0 140.0 23 0.79310345

2007 196.0 137.0 24 0.82758621

2008 176.0 126.0 25 0.86206897

2009 163.0 120.0 26 0.89655172

2010 190.0 111.0 27 0.93103448

2011 172.0 104.0 28 0.96551724

PROM 167.3 N= 29

DESV 34.89

Calculos:

N= 29

Yn= 0.5343

Sn= 1.1047

Prom= 167.2500

Desv= 34.8910

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T Yt k Qmax

2 0.367 -0.152 161.952

5 1.500 0.874 197.750

10 2.250 1.553 221.452

25 3.199 2.412 251.399

50 3.902 3.049 273.615

75 4.311 3.419 286.528

100 4.600 3.681 295.667

150 5.007 4.049 308.527

200 5.296 4.310 317.639

0.000

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

350.000

0 50 100 150 200 250

Grafico Maximos Caudales Metodo Gumbel

Método Distribución Normal:

Al ser los mismos datos, solo se muestra los valores de media y desviación estándar.

PROM 167.3

DESV 34.89

Calculos:

Prom= 167.2500

Desv= 34.8910

T F(x)=P(Xx) z(de tabla) Qmax

2 0.500 0 167.250

5 0.800 0.8415 196.611

10 0.900 1.2817 211.970

25 0.960 1.7511 228.348

50 0.980 2.0542 238.923

75 0.987 2.2168 244.596

100 0.990 2.3268 248.434

150 0.993 2.4752 253.612

200 0.995 2.5762 257.136

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0.000

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

0 50 100 150 200 250

Grafico Maximos Caudales Metodo Distribucion Normal

Distribución log Pearson tipo III:

AÑO Q m3/s log(Q)

1984 120.0 2.079 -0.00247

1985 151.0 2.179 -0.00004

1986 150.0 2.176 -0.00006

1987 210.0 2.322 0.00126

1988 182.0 2.260 0.00010

1989 261.0 2.417 0.00828

1990 180.0 2.255 0.00007

1991 150.0 2.176 -0.00006

1992 189.0 2.276 0.00024

1993 167.0 2.223 0.00000

1994 111.0 2.045 -0.00483

1995 126.0 2.100 -0.00148

1996 170.0 2.230 0.00000

1997 104.0 2.017 -0.00768

1998 151.0 2.179 -0.00004

1999 169.0 2.228 0.00000

2000 137.0 2.137 -0.00047

2001 179.0 2.253 0.00006

2002 189.0 2.276 0.00024

2003 153.0 2.185 -0.00003

2004 239.0 2.378 0.00441

2005 140.0 2.146 -0.00032

2006 158.0 2.199 0.00000

2007 196.0 2.292 0.00047

2008 176.0 2.246 0.00003

2009 163.0 2.212 0.00000

2010 190.0 2.279 0.00027

2011 172.0 2.236 0.00001

PROM 167.3 2.21435 -0.00204

DESV 34.89 0.090388

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Ag= -0.11

logx(prom)= 2.21435

Desv(logx) 0.09039

T F(x)=P(Xx) k(de tabla) log(Qmax) Qmax

2 0.500 0.1771 2.230 169.97

5 0.800 0.8442 2.291 195.28

10 0.900 1.1066 2.314 206.24

25 0.960 1.3293 2.335 216.03

50 0.980 1.445 2.345 221.29

75 0.987 1.4988 2.350 223.78

100 0.990 1.532 2.353 225.33

150 0.993 1.5987 2.359 228.48

200 0.995 1.6646 2.365 231.64

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

0 50 100 150 200 250

Grafico Maximos Caudales Metodo Distribucion log-Pearson tipo III

OBRAS HIDRAULICAS


4.0 GRAFICA COMPARATIVA DE LOS VALORES DE LOS METODOS:

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

0 50 100 150 200 250

Comparacion de los tres metodos

log-Pearson tipo III

Distr. Normal

Distrib. Gumbel

5.0 CONCLUSIONES:

- Se observa que de los tres métodos el método de Gumbel es el que da resultados

mayores en comparación a los otros dos, por lo que se recomienda realizar el diseño con

este valor.

- En este caso Gumble obtuvo valores mayores, pero se ha observado veces en que los

otros dos superan al método de Gumbel por lo que se recomienda realizar los cálculos de

máximas avenidas con más de dos métodos.

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