MCD MCM

Academia de Ciencias HARVARD Dale xito a tu Talento8

Lic. Hctor G. Quionez Flores Prof. de Aritmetica y Algebra8

MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)El MCD de dos o ms nmeros cumple las siguientes condiciones:

Es un divisor comn de los nmeros Es el mayor de todosEjemplo#sDIVISORES

81,2,4,8

121,2,3,4,6,12

201,2,4,5,10,20

Divisores comunes: 1, 2,4MCD (8,12,20) = 4

El mayor nmero que divide a 8,12 y 20 a la vez es el 4ObservacinDivisores del MCD (1,2,4)

Divisores comunes de 8,12y 20

# de divisores= # de divisores del MCD

Ejemplos:

1.- Hallar cuantos divisores comunes tienen los nmeros 72 y 60.

Solucin:Al calcular el MCD (72; 60) = 12Los divisores comunes son los divisores del MCD.

12 1, 2, 3, 4, 6,12D (12) = 6

El # de divisores comunes es 62.- Si el MCD Calcular: a x b

Solucin:Si se cumple:

Criterio por 5: a = 5

Criterio por 9:

10+2b=b=4Nos piden: a x b: 5 x 4 = 20

3.- Hallar la suma de divisores comunes de los nmeros 54 y 90

Solucin:

MCD (54; 90) =18 =

La suma de divisores comunes es:

PROPIEDADES:1.- El MCD nunca es mayor que una de los nmeros.Ejm.MCD (15,20,40) = 52.- Si el menor de los nmeros es divisor comn de los otros nmeros entonces el MCD ser el menor numero.Ejm. MCD (9;18;36;90) = 9Divisor comn y menor** Si: 32 = MCD(32;8)= 8*** Si: MCD (A;B) = B3.- El MCD de 2 nmeros primos entre si es la unidad.Ejm. MCD (k ; k + 1) = 1

MCD () = 1

MCD (31 y 37) = 1Si A y B son primos entre si (PESI) o primos relativos.MCD(A ; B) = 1

FORMAS PRCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD.

1.- DESCOMPOSISCION SIMULTNEA

20 15 5 MCD4 3

PESI MCD (20; 15) = 5

2.- POR DESCOMPOSICION CANONICASea toman los factores primos comunes elevados a sus menores exponentesEjm.Sean los nmeros

A=B=MCD(A; B) =

3.- DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES

Algoritmo de Euclides

D d

r q D=d.q+r

Notacin:D = Dividendod = Divisorq = Cocienter = Residuo

Propiedad:MCD(D;d) = MCD(d;r)

Si disponemos:

2 CocienteDividendo 20 8 Divisor Residuo 4

Divisiones sucesivas

2 2 20 8 4 4 0En general

= Cocientes sucesivos A B MCD 0 Residuos Sucesivos

MCD (A; B) =

PROPIEDADES:

I.- MCD (A, B, C) = dSe cumple:

** MCD (An, Bn, Cn) = dn

** MCD () =

II. - MCD (A; B; E; F) = MCD (M; N)Dnde:M= MCD (A; B); N= MCD (E; F)Tambin:MCD(A;B; E; F)= MCD

Ejemplo 01MCD (A; B)=36MCD (B; C)=54Hallar el MCD de A; B; CSolucin:MCD(A; B; B; C)=MCD (36; 54)MCD(A; B; C)=18Ejemplo 02MCD (5A; 7B)=30MCD (7A; 5B)=210Hallar el MCD(A; B)Solucin:MCD (5A, 7A, 7B, 5B)=MCD (30,210)MCD =30MCD(A, B) x =30MCD(A; B)=30 III.- MCD(A, B, C)=d

A=p.d ; B= q.d ; C= r.d A, B y C son p, q y r son PESI

IV.- Para 2 nmeros A y B A B MCD q1 q2 PESI

Dnde: y son PESI

V.- Dados los nmeros: A, B y C

A = B = C = MCD(A, B, C)=

MINIMO COMN MLTIPLO (MCM)

El MCM de un conjunto de nmeros cumple dos condiciones:

** Debe ser un mltiplo comn a los nmeros** Debe ser el menor de estos mltiplos comunes

Ejemplo:

Mltiplos comunes MCM (4,6)=12

OBSERVACIONMltiplos comunes = mltiplos del MCMDe (A, B, C) de A, B y C

PROPIEDADES

1.- El MCM nunca puede ser menor que alguno de los nmeros.EjemploMCM (6, 9,27)=54

2.- Si el menor nmero es mltiplo de los otros entonces el MCM es el mayor nmero.Ejemplo:* * MCM (5, 10,15,)= 90 Mayor mltiplo comn

** 28= = 4x7MCM (28,4)=28

** Para 2 nmeros A y BA = = B x K

3.- El MCM de 2 nmeros primos entre s, es el producto de dicho nmeros

Ejemplos:** MCM (K; K+1) = K (K+1)** MCM (27; 29) = 27 x 29** Si A y B son PESI MCM (A; B) = A x B

FORMAS PRCTICAS PARA DETERMINAR EL MCM.1.- DESCOMPOSISCION SIMULTNEA

20 15 210 - 15 2 MCM5 - 15 35 - 5 51 - 1 MCM (20; 15) = 2x2x3x5= 60

2.- POR DESCOMPOSICION CANONICASea toman los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentesEje.Sean los nmeros

A=B=MCM(A; B) =

PROPIEDADES

I.- MCM (A, B, C, D) = MCM (M, N)DondeM=MCM(A, B) N= MCM(C, D)

II. - MCM (An; Bn; Cn) = n MCM (A; B; C)

III. - MCM

IV.-

RELACIONES ENTRE EL MCD Y MCM PARA DOS NUMEROS

Se sabe:A B d = MCD PESI

A=MCD. B=MCD.

MCM= MCD x A x B = MCD x MCM

OBSERVACION

1. - MCD (A; B) =MCD (A+B; AxB) MCD(A;B)=MCD(A-B ; AxB )

2.- MCD(A;B)=MCD(A ; m) Donde m= MCM(A;B)

EJERCICIOS DE APLICACION

PROBLEMA 01Si el MCD () = 45Calcular : a x ba) 15 b) 16 c) 20 d) 24

PROBLEMA 02Hallar la suma de divisores comunes de los nmeros 54 y 90a) 38 b)35 c) 39 d) 36

PROBLEMA 03Calcular la suma de 2 numeros PESI si al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 2.5,3 y 2 respectivamente.a) 123 b) 152 c) 118 d) 120

PROBLEMA 04Al hallar el MCD de mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como cocientes sucesivos.1 , 2 , 1 , 2 y 3Hallar: m + a + pa) 13 b) 15 c) 18 d) 16

PROBLEMA 05La suma de 2 numeros es 972 y al determinar el mcd por el algoritmo de Euclides se obtiene los restos 30 ; 7 ; a ; b y 0 donde la diferencia entre a y b es 1.Hallar el mayor numero si los 2 primeros cocientes son iguales.a) 813 b) 815 c) 818 d) 816

PROBLEMA 06Si: MCD (A,B) = 36MCD(A;B)= 54Hallar: MCD(A,B,C)a) 13 b) 15 c) 18 d) 81PROBLEMA 07SI:MCD(5A,7B)= 30MCD(7A,5B)=210Hallar: MCD(A,B)a) 30 b) 50 c) 88 d) 86

PROBLEMA 08Hallar: a + b + cSi:MCD = 55Adems : c es impara) 30 b) 50 c) 10 d) 20

PROBLEMA 09Hallar la suma de dos nmeros que cumplan que su MCD es 9 y el producto entre ellos es 1620.a) 300 b) 520 c) 81 d) 180

PROBLEMA 10Hallar el producto de dos nmeros cuya suma sea 192 y su diferencia no es mayor de 30. Adems su MCD es 12.a) 9730 b) 950 c) 9072 d) 9786

PROBLEMA 11Si el MCD de 15A y 25B es 560 y el MCD de 25A y 15B es 480.Hallar el MCD(A,B) a) 3 b) 5 c) 18 d) 16

PROBLEMA 12Calcular el MCD de :

a) b) c) d)

PROBLEMA 13Encontrar el MCD de: (4) y (8)

En base 4a) (4) b) (4) c) (4) d) (4)PROBLEMA 14Hallar cuantos nultiplos comunes tiene 9 y 6 entre 180 y 360.a) 13 b) 15 c) 18 d) 9

PROBLEMA 15Hallar n en los numeros: Sabiendo que el MCM de dichos numeros es 12 veces su MCD.a) 3 b) 5 c) 8 d) 2

PROBLEMA 16Hallar el MCD de y , sabiendo que el cociente entre su MCM y su MCD es 221. Adems se sabe que el MCM de ellos es par.a) 3 b) 5 c) 6 d) 2

PROBLEMA 17Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210 , 300 y 420 litros de capacidad en envases que sean iguales entre si.Cul es la menor cantidad de envases que se empleara para que todos estn llenos y no desperdiciar aceite?a) 30 b) 50 c) 60 d) 20

PROBLEMA 18El numero de paginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. Cuntas paginas tiene el libro?a) 530 b) 550 c) 562 d) 524

PROBLEMA 19El MCM de las edades de dos personas es el doble de A y el MCD de sus edades es la tercera parte. Si A nacio 24 aos antes que B. Cuntos aos tiene A?a) 31 b) 70 c) 62 d) 72

PROBLEMA 20Dos nmeros A y B tienen 16 multiplos comunes menores que 10000. Sabiendo que el MCM de A y B tiene 18 divisores y que es divisible entre 34.Calcular A + B Si se sabe que A y B tienen 9 divisores comunes.a) 630 b) 560 c) 648 d) 5620PROBLEMA 21Si MCD(k 4 ; 3k 7 ; k - 5) = k 10Hallar el mayor de dichos nmeros.a) 30 b) 50 c) 26 d) 20

PROBLEMA 22Si MCD () = 119Hallar: MCD()a) 3 b) 5 c) 6 d) 4

PROBLEMA 23Si el numero de naranjas que tiene un vendedor se cuanta de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 siempre sobran 11. Hallar el numero de naranjas si es el menor posible.a) 320 b) 351 c) 371 d) 391 e) 357

PROBLEMA 24Se tienen 3 rollos de tela que miden 2442m, 2772m, y 3300m de longitud. Se quiere sacar rollos mas pequeos todos de igual longitud. Cuntos de estos rollos como minimo se podrn obtener en total?a) 129 b) 137 c) 141 d) 131 e) 128

PROBLEMA 25Hallar k si se sabe que:MCD(210k ; 300k ; 420k) = 1200a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 25

PROBLEMA 26Si se sabe que el cuadrado del MCM de 2 numeros es igual al cubo de su MCD y que la suma de estos nmeros es 180. Hallar su MCD.a) 24 b) 56 c) 36 d) 72 e) 32

PROBLEMA 27El cociente de 2 numeros es igual a su MCD. Si su MCM es igual a 81. El menor de dichos nmeros es:a) 9 b) 18 c) 15 d) 81 e) 36

PROBLEMA 28La suma de los cuadrados de 2 numeros es 676 y que uno de ellos es 12 veces su MCD. Hallar la diferencia de los nmeros.a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

PROBLEMA 29

PROBLEMA 30

PROBLEMA 31

PROBLEMA 32

PROBLEMA 33

PROBLEMA 34

PROBLEMA 35

PROBLEMA 36

PROBLEMA 37