INTRODUCCIÓN

En la teoría del máximo común divisor juega un papel muy importante el siguiente teorema:

Si

D d

r q donde D = d × q + r ... ( I )

Entonces, el conjunto de los divisores comunes de los números D y d coíncide con el conjunto de los divisores comunes de los números d y r.

Demostración: Sea k el mayor divisor

común de D y d. Luego:

o oD k d k

En ( I ) oº

k k r entonces

or k

MCD (D; d) = MCD (d; r)

MÁXIMO COMÚN DIVIDOR (MCD)

CONCEPTOEs el mayor divisor común que hay entre dos o más números.

Sean los números 20 y 30.

Número Divisores24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 2430: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

Divisores comúnes

1; 2; 3; 6

Máximo

MCD (24; 30) = 6Se observa que 1; 2; 3 y 6 son divisores de

6.

Luego:

Ejemplos:

• Determine el MCD de 8 y 15Número Divisores

8: ; 2; 4; 815: ; 3; 5; 15

único divisor común

MCD

(8 ; 1 5 ) = 1

S o n P E S I

En General: Si A; B y C son PESI MCD (A; B; C) = 1

OBJETIVOS

• Recordar algunos conceptos previos ya estudiados.

• Establecer el concepto del máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

• Conocer los métodos para calcular el MCD y MCM.

• Conocer y aplicar las propiedades en la resolución de problemas.

• Distinguir la diferencia entre el MCD y MCM para su aplicación en variados

problemas.

“Los divisores comunes de dos o más números son a su vez divisores del MCD de ellos”.

• Determine el MCD de los números 4; 8 y 12.Número Divisores 4 1; 2; 4 8 1; 2; 4; 8 12 1; 2; 3; 4; 6; 12Divisores comúnes {1; 2; 4}

MáximoMCD (4; 8; 12) = 12

En general

Si A es divisor de B y C entoncesMCD (A, B, C) = A

MÍMINO COMÚN MÚLTIPLO MCM

Es el menor de todos los múltiplos comunes que hay entre dos o más números.Sean los números 4 y 6

Número Múltiplos4 4; 8; 12;16;20;24;28;32; 36;....6 6; 12; 18; 24; 30; 36; .....Múltiplos comúnes {12; 24; 36; ......}

MínimoMCM [4; 6] = 12.

Se observa que:12; –24; 36; .... son múltiplos de 12.

Luego:

“Los múltiplos comunes que tienen dos o más números son a su vez los múltiplos del MCM de ellos”.

Ejemplos:• Determine el MCM de 3 y 5

Número Múltiplos3 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21;....5 5; 10; 15; 20; 25; ..... MCM En general: si A y B son PESI, entonces

MCM [A; B] = A × B

• Calcular el MCM de 4 y 8Número Múltiplos4 4; 8;12; 16; ....8 8; 16 ; 24; .... MCM [4; 8] = 8

En general: Si A y B son divisores de C, entonces

MCM [A: B; C] = C

METÓDO PARA EL CÁLCULO DEL

MCD Y MCM

1. Descomposición simultánea.• El MCD de dos o más números será

el producto de todos los factores comunes extraídos a los números hasta conseguir en ellos números primos entre sí.

• El MCM de dos o más números será el producto de todos los factores comunes y no comunes extraídos a todos los números hasta conseguir en ellos la unidad.Ejemplo:Calcule el MCD y MCM de 60; 40 y 100* Para el MCD60 - 40 - 100 230 - 20 - 50 215 - 10 - 25 5 3 - 2 - 5 20

S o n P E S I

MCD (60; 40; 100) = 20Además: 60 = 20 (3 ) 40 = 20 (2 )100 = 20 (5 )

S o n P E S I

En general: si MCD (A, B, C) = k

A = · B = · C = ·

k pk qk r

p q r; y so n

P E S I

* Para el MCD260 40 100

230 20 50515 10 25

23 2 5

33 1 551 1 5

|| 6001 1 1

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

×

MCM [60; 40; 100] = 600Además:

6 00 = 60 (1 0)

6 00 = 40 (1 5)

6 00 = 10 0 (6)

so n P E S I

En general: si MCM [A; B; C] = m

m p

m q

m r

= A

= B

= C

·

·

·

p ; q r y so n P E S I

2. Descomposición canónica• El MCD de los números será el

producto de los factores primos comunes afectados de su menor exponente.

• El MCM de los números será el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.Ejemplo:* Calcule el MCD y MCM de A; B y C si:

A = 22 × 33 × 5B = 23 × 32 × 7C = 24 × 33 × 5 × 11Para el MCDMCD (A; B; C) = 22 × 32 = 36Para el MCMMCM [A; B; C] = 24 × 33 × 5 × 7

× 11

3. Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides (sólo permite el cálculo del MCD de dos números)Ejemplo:Calcule el MCD de 132 y 36.Los divisiones son:

132 36

24 3

36 24

12 1

24 12

0 2

Se dispone así:

Cocientes

3 1 2

132 36 24 12 MCD

24 12 0

Residuos

MCD (132; 36) = 12

Ejemplo:Calcule el MCD de 208 y 88.

2 2 1 3

208 88 32 24 8

32 24 8 0

MCD (208; 88) = 8PROPIEDADES DEL MCD Y MCM

1. Si MCD (A, B; C) = KDonde:

A = ×

B = ×

C = ×

k p

k q

k r

P E S I

Multiplicando cada igualdad por un entero n >1A × = ×

B

n k n p

× = ×

C × = ×

n k n q

n k n r

P E S I

MCD (An; Bn; Cn) = k × n

2. Si MCM [A; B; C] = mDonde:m p

m q

m r

= A ×

= B ×

= C ×

P E S I

Multiplicando cada igualdad por un entero n >1m n n p

m

× = A ×

× = B ×

× = C ×

n n q

m n n r

P E S I

MCM [An; Bn; Cn] = m×n.

3. Sólo para el MCD y MCM de dos números.Sean los números A y B donde:

MCD (A; B) = kMCM [A; B] = mA × B = k.m

4. MCD (A; B; C; D) = ....• MCD (A; B) = x• MCD (C; D) = y

MCD (A; B; C; D) = MCD (x; y)

5. MCM [A, B, C, D] = ....• MCM [A; B] = m• MCM [C; D] = n

MCM [A; B; C; D] = MCM [m; n]

Problema Desarrollado

Si (a; b) = d; {A; B; D} Demostrar que: (kA;kB)=KD,

Resolución:

Si: A

MCD A;BB

dpd

dq

donde p y q son PESI; entoncesMCD(kA; kB) = MCD(kdp; kdq) = kdMCD(p; q)...()pero como p y q son PESI:

MCD ; 1p q

En (): MCD(kA; kB) = kd×1 = kd (L.q.q.d)

Problema Por Desarrollar

Si: (A; B) = m; donde A; B; m

Demostrar que: A B

; ;m

k k k donde k

Resolución:

1. El cociente de 2 números enteros es 18. Si su MCD es 17. Determine el número mayor.

Rpta.: .....................................

2. MCD(800a:1200b) = 3600Determine MCD(90a;135b)

Rpta.: .....................................

3. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 180; 360 y 480 litros de capacidad en envases que son iguales entre sí: ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite?

Rpta.: .....................................

4. Los números A y B están en relación tanto como 80 y 30. Si el MCD de A y B es 13, determinar la diferencia de los números.

Rpta.: .....................................5. La suma de dos números es 1133,

además los cocientes sucesivos al calcular el MCD por divisiones sucesivas son; 4; 2; 2; 1 y 2. ¿Cuál es el mayor número?

Rpta.: .....................................

6. Determinar el valor de k, sabiendo que:• MCD(A; B) = k

• MCD(C; D) = k/6• MCD(A; B; C y D) = 15

Rpta.: .....................................

7. Si se cumple: MCD(N; 1200) = 6Calcular cuántos valores toma N si es menor que 1200.

Rpta.: .....................................

8. La suma de los cuadrados de dos números es 676 y uno de ellos es 12 veces su MCD. Determine la diferencia de los números.

Rpta.: .....................................

9. La suma de los cuadrados de un par de números es 244 y MCD es 2. El mayor de los números es:

Rpta.: .....................................

10. Calcule (m+n) si los cocientes sucesivos al calcular el MCD por divisiones sucesivas de los números:

• ( 1)m mn

• ( 2)( 1)0m n

fueron 1; 1; 1; 3; 2

Rpta.: .....................................

11. En MCD de ( 1)( 3)( 5)b b b y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 36. Hallar la suma de dichos números.

Rpta.: .....................................

12. Al calcular el MCD de yaaa mnp se obtuvo como cocientes sucesivos 1; 4;

3 y 2 si aaa tiene 12 divisores, calcular (m×n)

PRACTICA DE CLASE

Rpta.: .....................................

13. Un número está formado por 20 cifras 9, mientras que un segundo número tiene 15 cifras nueve. La suma de las cifras del MCD de ambos números es:

Rpta.: .....................................

14. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 3050; 4540 y 6030?

Rpta.: .....................................

15. ¿Cuántos pares de números suman 312 y tienen como MCD a 24?

Rpta.: .....................................16. Al determinar el MCD de dos números

enteros por el algoritmo de Euclides los cocientes sucesivos fueron 4; 3; 2 y 5 si los números son primos relativos. Determinar el mayor de ellos.

Rpta.: .....................................

17. Si el MCD de 40A y 56B es igual a 32. Calcule el MCD de 15A y 21B.

Rpta.: .....................................

18. Se quiere dividir un terreno en parcelas cuadradas y las más grandes posibles. ¿Cuál será el número de parcelas si el terreno tiene 192 m de largo y 144 m de ancho?

Rpta.: .....................................

19. Hemos dividido 3 barras de acero cuyas longitudes son 360 m; 480 m y 540 m en trozos de igual longitud, los más largos posibles. Se desea conocer cuántos trozos se han obtenido.

Rpta.: .....................................

20. Si:

• 2

MCD A;B;2

k

• 2 5

MCD C;D3

k

Si el MCD de A; B; C y D es igual a 9. Calcular k si está comprendido entre 20 y 120.

Rpta.: .....................................

1. Si el MCD de 45A y 63B es igual a 36. Calcule el MCD de 25A y 35B.

A) 21 B) 32C) 20 D) 15E) 25

2. Un comerciante realiza dos ventas consecutivas de frutas: por 1170 soles las papayas, y por 910 soles los duraznos. Si las papayas y los duraznos tienen el mismo precio y es el mayor posibles ¿cuántas vendió en total?

A) 16 B) 15C) 17 D) 20E) 21

3. Calcular la suma de los cocientes que se obtienen al determinar el MCD de 930 y 735 por divisiones sucesivas:

A) 9 B) 10C) 11 D) 12E) 13

4. Determine el MCD de !mnp y 5!

A) 40 B) mnpC) 5 D) 5!E) falta más información

5. Si el MCD(A, B, C) = 360. ¿Cuántos divisores comunes tiene A, B y C?

A) 12 B) 16C) 18 D) 20E) 24

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