MAximo Minimos

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.– Dado un punto P = (a, b) situado en el primer cuadrante del plano, determinar el segmentode con extremos en los ejes coordenados y que pasa por P que tiene longitud mınima.

2.– Demuestra que entre todos los rectangulos con un perımetro dado, el que tiene mayor areaes un cuadrado.

3.– Encontrar un punto P de la circunferencia x2 +y2 = 1 con coordenadas positivas y tal queel triangulo cuyos vertices son (0, 0) y las intersecciones de la tangente a la circunferenciaen P con los eje coordenados tenga area mınima.

4.– Se necesita construir un deposito de acero de 500 m3, de forma rectangular con basecuadrad y sin tapa. Tu trabajo, como ingeniero, es hallar las dimensiones del depositopara que su costo sea mınimo.

5.– Dados dos puntos A y B situados en el primer cuadrante del plano, dıgase cual es el caminomas corto para ir de A a B pasando por un punto del eje de abscisas.

6.– Una empresa tiene 100 casa para alquilar. Cuando la renta es de 80 euros al mes, todaslas casas estan ocupadas. Por cada 4 euros de incremento de la renta una casa quedadeshabitada. Cada casa alquilada supone a la empresa un coste de 8 euros en reparacionesdiversas. ¿Cual es la renta mensual que permite obtener mayor beneficio?

7.– Calcular la distancia mınima del punto (6, 3) a la parabola de ecuacion y = x2.

8.– se proyecta un jardın en forma de sector circular de radio r y angulo central θ. El area deljardın ha de ser A fija. ¿Que valores de r y θ hacen mınimo el perımetro del jardın?

9.– Un ranchero tiene a la mano 3000 pies de cerca. Determine las dimensiones de corralrectangular que abarque el area maxima.

10.– Un granjero desea construir un corral rectangular de 128.000 pies2 con un lado a lo largode un acantilado vertical. la cerca cuesta $1, 5 dolares por pie en el lado del acantiladoy $2, 5 dolares por pie en los otros tres lados. Encuentre las dimensiones del corral demanera que el costo de construccion sea mınimo.

11.– Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32.000cm3. Encuentre las dimensiones que requiere la menor cantidad de material.

12.– Una hoja rectangular de metal con perımetro de 4 m va a ser enrollada para formar la caralateral de un recipiente cilındrico. Encuentre las dimensiones del recipiente con el maximovolumen.

13.– Un vaso plastico de forma de cono circular recto va a tener un volumen de 24πcm3.Encuentre las dimensiones que minimizaran la cantidad de material empleado.

14.– Una persona desea cortar un pedazo de alambre de 1m de largo en dos trozos. Uno de ellosse va a doblar en forma de cırculo y el otro en forma de cuadrado. ¿Como debe cortarseel alambre para que la suma de las areas sea maxima?

J. Rodriguez




15.– Si el numero de turistas que hacen un recorrido en autobus a una ciudad es exactamente30, una empresa cobra $20 (dolares) por persona. Por cada persona adicional a las 30,se reduce el cobro personal en $0, 50. ¿Cual es el numero de turistas que debe llevar unautobus para maximizar los ingresos de la empresa?

16.– Una empresa rentadora de camiones obtiene una ganancia de $84(dolares) por camion alrentar hasta 50 unidades. Debido a que se incrementan los costos de mantenimiento ylos pagos a los empleados, la empresa deja de ganar $1 (dolar) por cada camion rentadoadicional a los 50. Determine el numero de unidades que deben alquilarse para que lasganancias sean maxima. ¿Cual es su monto?

17.– Un tanque rectangular abierto de base cuadrada debe tener un volumen de 125m3. Elcosto por metro cuadrado para el fondo del tanque es $24 y el de los laterales es $12.Obtenga las dimensiones del tanque para que el costo sea mınimo.

18.– Un fabricante de caja va a fabricar una caja cerrada con un volumen de 288 cm2 cuya basesera un rectangulo con una longitud tres veces mayor que su anchura. Determine cualesson las dimensiones mas economicas.

19.– Obtenga una ecuacion de la tangente a la curva y = x3 − 3x2 + 5x cuya pendiente seamınima.

20.– Hallar el trapecio de mayor area que puede inscribirse en un semicırculo, teniendo la baseinferior en el diametro.

21.– Un camion ha de recorrer 300 Km en una carretera llana a velocidad constante de x Kmpor hora. Las leyes de circulacion prescriben 35 ≤ x ≤ 55. Se supone que el carburante

cuesta 3 ptas por litro y que el consumo es de 10 +x2

120litros por hora. Si el conductor

cobra P pesetas por hora y si obedece todas las leyes de trafico, determinar cual es lavelocidad mas economica y el coste del viaje si P = 0, P = 20, y P = 40.

22.– Una ventana tiene forma de rectangulo terminado por un semicırculo de diametro igual ala base del rectangulo. La porcion rectangular ha de ser de cristales transparente y la partecircular ha de ser de cristales de color que admite solo la mitad de luz por metro cuadradoque el cristal transparente. El perımetro total de la ventana ha de tener longitud fija P.Hallar, en funcion de P, las dimensiones de la ventana que deja pasar la mayor cantidadposible de luz.

23.– De todas las parejas de numeros reales cuyas componentes tienen suma S dada encontraraquella para la cual el producto P de las mismas es maximo.

24.– De todas las parejas de numeros reales cuyas componentes positivas tienen producto dado,encontrar aquella para la cual la suma de esas componentes es mınima.

25.– Demostrar que de todos los rectangulos de perımetro p dado, el de maxima area es elcuadrado.

26.– Se desea construir un tanque con forma de paralelepıpedo rectangular de 45 m3 de volumen,con la parte superior abierta segun indica la figura. El largo del rectangulo base debe ser

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doble del ancho. El material de la base tiene un costo de 100$/m2 y el de las paredes de80$/m2. Determina las dimensiones del recipiente para que el costo de los materiales seamınimo, ası como el correspondiente precio del tanque.

Figure 1:

27.– Un punto luminoso esta situado en la linea de los centros de dos esferas y se encuentrafuera de ellas. ¿Conque posicion del punto luminoso sera maxima la suma de las areasiluminadas de la superficie de las dos esferas?

28.– Se desean fabricar envases cilındricos de hojalata para lubricante de volumen V dado. Nose desperdicia material al cortar la hoja que constituye la pared cilındrica , pero las basesse recortan de trozos cuadrados como indica la figura, desperdiciandose los recortes.

a) Halla la relacion entre la altura y el diametro de la base para que el gasto de materialincluido el desperdicio, sea mınimo.

b) Aplica los resultados para el caso V = 1lt.

c) ¿Cual es el porcentaje de material desperdiciado respecto al total usado?

29.– Una fabrica necesita una superficie de piso de forma rectangular y area Am2 para estibade materiales. Para cerrar esa superficie se construiran paredes de espesores fijos de ametros y b metros como indica la figura.

a) Dimensiona el rectangulo de estiba para que la superficie rectangular exterior nece-saria sea mınima.

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b) Demuestra que en ese caso tambien es mınima la superficie de piso ocupada por lasparedes.

c) Aplicar los resultados para el caso A = 100m2, a = b = 0, 20m.

30.– Una inmobiliaria es duena de 150 apartamentos que se ocupan en su totalidad si el alquileres 300 dolares. Se sabe que al aumentar el alquiler el numero de apartamentos alquiladosdisminuye linealmente a razon de 5 aptos. por cada 30 dolares de aumento.

a) Expresa la ganancia G en funcion del numero x de apartamentos alquilados y graficala funcion.

b) ¿Cual es el numero de apartamentos a alquilar y cual su alquiler mensual para quela inmobiliaria obtenga maxima ganancia?

c) ¿Cuanto perderıa la empresa si alquilara todos los apartamentos?

31.– Un estudio sobre la eficiencia de los trabajadores del turno matutino de una fabrica indicaque el numero N de artıculos ensamblados por un trabajador promedio esta dada por larelacion:

N(t) = −t3 + 6t2 + 15t

siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio del turno (8:00 a 13:00 hrs.)

a) Grafica la curva de produccion N(t) para 0 ≤ t ≤ 5

b) A que hora de manana la tasa de produccion(dNdt

)del trabajador (eficiencia) es

maxima?.

c) A que hora es minima?.

d) Grafica la tasa de produccion para 0 ≤ t ≤ 5

32.– Se consideran los cilindros rectos de base circular de radio r y altura h inscritos en unaesfera de radio R dado.

a) Determina r y h para que el cilindro tenga volumen maximo.

b) Determina las dimensiones r y h para que el cilindro tenga superficie lateral maxima.

c) ¿ Que porcentaje del volumen de la esfera ocupa el cilindro de maximo volumen?

33.– Encuentra las dimensiones r y h del cono recto de base circular de volumen maximo quepuede inscribirse en una esfera de radio R dado.

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34.– Se desea construir un silo de forma cilındrica rematado por un boveda semiesferica. Elcosto de construccion por m2 es doble en la boveda que en la parte cilındrica. Encuentralas dimensiones h y φ del silo de volumen V dado, de forma que el costo de construccionsea mınimo.

35.– Sobre la ribera de un rıo cuya orilla se supone rectilınea se desea alambrar una superficierectangular de 10 hectareas. Admitiendo que el costo de alambrado es proporcional a lalongitud a alambrar, dimensionar el rectangulo para que el costo de alambramiento seamınimo.Se supondra que no se alambra sobre la ribera. Recuerda que 1hectarea = 10.000 m2. Siel alambrado se construye con 5 hilos y el rollo de 1.000 m vale U$S 35 calcula ademas elcosto del alambre necesario

36.– Un productor dispone de 600 hectareas aptas para sembrar. Sabe que la ganancia total Gen $ que obtendra de su produccion dependera del numero de hectareas sembradas x, deacuerdo a la expresion:

G(x) = 2000x− 2x2

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a) Calcula cuantas hectareas deberıa sembrar para obtener maxima ganancia.

b) ¿En cuanto disminuirıa su ganancia si sembrara las 600 hectareas disponibles?

37.– Un fabricante vende x artıculos por semana a un precio unitario p que depende de x segunla expresion: p(x) = 200 − 0, 01x p en $. El costo total de produccion de x artıculos es:C(x) = 50x+ 20000 $ /sem.

a) Calcula el numero de artıculos que el fabricante debe producir para obtener maximaganancia y el correspondiente precio de venta por unidad.

b) Supongamos que el estado fija un impuesto de $10 por cada unidad vendida per-maneciendo invariables las otras condiciones.

¿Que parte del impuesto debe absorber el fabricante y cual debe transmitir al compradorpara obtener maxima ganancia? Comparar las ganancias antes y despues de establecidoel Impuesto.

38.– Un empresario ha calculado que el costo total de repartir x unidades del producto que

fabrica es: C(x) = 2.x+217800

x

a) Si la unidad de reparto puede transportar como maximo 300 unidades de productohalla el numero de unidades que hara mınimo el costo del pedido.

b) ¿Que ocurrirıa si la unidad pudiera transportar hasta 400 unidades de producto?

39.– Considera una circunferencia de radio R dado. Se inscriben en ella triangulos isoscelesABC .

a) Calcula el perımetro de los triangulos en funcion del angulo θ.

b) Halla el triangulo de perımetro maximo.

40.– Un vehıculo debe trasladarse desde el punto A hasta el punto B de la figura. El punto Adista 36 Km de una carretera rectilınea. Sobre la carretera el vehıculo puede desarrollaruna velocidad de 100Km/h, mientras que sobre el terreno puede desarrollar una velocidadde 80Km/h.

a) Se desea saber cual es el recorrido que debe realizar el conductor para que el tiempoempleado en ir desde A hasta B sea mınimo.

b) Calcula ese tiempo.

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41.– A la hora 12:00 del mediodıa dos barcos A y B se encuentran en el oceano a una distanciade 80 millas nauticas como indica la figura. El barco A navega hacia el Este a una velocidad

VA de 20 nudos y el barco B navega hacia el Sur a una velocidad VB de 25 nudos. Si lasrutas iniciales no se modifican:

a) ¿A que hora crees que la distancia entre los barcos es mınima?

b) Calcula esa distancia en Km.

Recuerda que: 1 nudo = 1 milla nautica/hora 1 milla nautica = 1852,2 m.

42.– Se considera un cuadrado de lado 1m. En tres vertices consecutivos de el se toman loscentros de tres circunferencias de forma que los radios de las que tienen centros en verticesconsecutivos, sumen 1m. (ver figura).

a) Encuentra los valores extremos de los radios de forma que los cuadrantes de cırculosombreados no se solapen.

b) Halla los radios de las circunferencias para que el area sombreada sea:

i) maxima

ii) mınima

c) Calcula dichas areas.

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43.– Sea un rectangulo de lados a y b con b > a. En los vertices de uno de los lados de longituda se consideran dos cuadrantes de cırculo con centros en aquellos, y radios cuya suma esa.

a) Halla los radios de los cırculos para que el area sombreada del rectangulo sea:

i) maxima

ii) mınima

b) Calcula dichas areas en funcion de a y b

44.– Dos tanques A y B situados entre si a una distancia de d Km. se encuentran ubicados aun mismo lado de la orilla rectilınea de un rıo y a una distancia de este de a Km y b Km.respectivamente fig (1). Se desea ubicar sobre la orilla una bomba para alimentar de agua

a los tanques mediante tuberıas rectilineas PA y PB.

a) Demuestra que la longitud de tuberıa sera minima cuando se cumpla que: θ1 = θ2(Admite que el punto critico que encontraras corresponde a un mınimo ).

b) Calcula la distancia x que permite ubicar la posicion de la bomba en funcion de a, by d para las condiciones de la parte a) .

c) Calcula la longitud total de tuberıa si a = 1, 5 Km. b = 3 Km. d = 3, 5 Km. asıcomo la posicion del punto P .

45.– Trazar una recta de modo que pase por un punto P (1, 4) y que la suma de las longitudesde los segmentos positivos cortados por dicha recta en los ejes coordenados, sea la menorposible.

46.– Dados dos puntos A(1, 4) y B(3, 0) en la elipse 2x2 + y2 = 18. Hallar el tercer punto C talque el area del triangulo ABC sea la mayor posible.

47.– Una cerca de 8 pies de alto al nivel del suelo va paralela a un edificio alto. La cerca distaa 1 pie del edificio. Calcule la longitud de la escalera mas corta que se pueda apoyar entreel suelo y el edificio por encima de la reja.

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48.– Un recipiente con pared vertical de altura h se encuentra sobre un plano horizontal. Deun orificio en la pared del recipiente fluye un chorro. Determine la posicion del orificio conla que el alcance del chorro sera el maximo si la velocidad del lıquido que fluye es igual a√

2gx.

49.– La fabrica A debe unirse mediante una carretera con la linea ferrea rectilınea en la que seencuentra el poblado B. La distancia AC desde la fabrica hasta el ferrocarril es igual aa, En tanto que la distancia BC por el ferrocarril es igual a b. El costo del transporte delas mercancıas por la carretera es k veces (k > 1) mayor que por el ferrocarril. ¿En quepunto D del segmento BC hay que trazar la carretera desde la fabrica para que el costodel transporte de la mercancıa desde la fabrica hasta el poblado B sea el mınimo?

50.– Encuentre el punto de la grafica y = x2 + 1 mas cercano al punto P (3, 1).

51.– Determine las dimensiones del rectangulo que se puede inscribir en un semicırculo de radior de manera que dos de sus vertices esten sobre el diametro.

52.– Se desea construir un oleoducto de un punto A a otro punto B que distan 10Km y seencuentran en riberas opuestas y luego sobre el suelo de C a B. El costo por Kilometrode una tuberıa bajo el agua es cuatro veces mas del costo sobre tierra. Calcule la posicionde C que minimizara el costo.

53.– Una isla situada a 20Km de una costa practicamente recta, tiene que disponer perma-nentemente el servicio trasbordador para los carros de una ciudad situada a 50Km costaabajo:

a) Si el trasbordador va a 15Km/h y los automoviles a un promedio de 80Km/h. ¿Dondedebe localizarse la terminal, en tierra, del trasbordador para que el viaje sea lo masrapido posible?

b) Si el trasbordador va a F Km/h y los automoviles promedian los C Km/h para quevalores de F/C debe localizarse la terminal exactamente en la ciudad sobre tierrafirme para que el viaje sea lo mas rapido posible.

54.– Una carretera A que va de norte a sur y otra carretera B que va de este a oeste se cruzaen un punto P . A las 10 horas un automovil pasa por P viajando hacia el norte sobreA a 80Km/h. En ese mismo momento, un avion que vuela hacia el este a 320Km/h ya una altura de 8500 m, pasa exactamente por arriba del punto de la carretera B que seencuentra 160 Km al oeste de P . Suponiendo que el automovil y el avion mantienen lamisma velocidad y direccion. ¿A que hora se encontraran mas cerca uno de otro?.

55.– Hay que construir un silo de forma cilındrica rematado por una boveda semiesferica. elcosto de construccion por m2 es doble en la boveda que en la parte cilındrica. Calcularlas dimensiones, si el volumen se fija de antemano, para que los costos de produccion seanmınimos.

56.– Si la suma de las superficies de un cubo y una esfera es constante, determinese la relaciondel diametro de la esfera a la arista del cubo en los casos de que

a) Sea minima la suma de los volumenes.

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b) Sea maxima esta suma.

57.– Un alambre de 36 cm de largo se va a partir en dos partes. Una de las partes se ha dedoblar en forma de triangulo equilatero y la otra forma de rectangulo cuya longitud esel doble de su anchura. ¿Como se debe partir el alambre para la suma de las areas deltriangulo y el rectangulo sea maxima?

58.– Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 en el primercuadrante y que forma con los ejes coordenados el triangulo de menor area posible.

59.– Dos ciudades, situadas a un mismo lado de un rıo rectilıneo, acuerdan construir en la orillauna estacion de bombeo y filtrado para el suministro de agua potable a las mismas.Si sona y b las distancias de las ciudades al rıo y es c la distancia que las separa, pruebese quela suma de las longitudes de tuberıa necesaria para unirla con la estacion de bombeo esigual o mayor que

√c2 + 4ab.

60.– Dos fabricas A y B que se encuentran a 4 millas una de la otra, emiten humo con partıculasque contaminan el aire de la region. Suponga que el numero de partıculas provenientes decada fabrica es directamente proporcional a la cantidad de humo e inversamente propor-cional al cubo de la distancia desde la fabrica. ¿Que punto entre A y B tendra la menorcontaminacion si la fabrica A emite el doble de humo que la fabrica B?.

61.– Una pequena isla esta a 2 millas, en lınea recta del punto mas cercano P de la ribera deun gran lago. Si un hombre puede remar en su bote a 3 millas por hora y caminar 4 millaspor hora,¿Donde debe desembarcar para llegar a un pueblo que esta 10 millas playa abajodel punto P , en el tiempo mas corto?. Suponga que el hombre usa su bote de motor queavanza 20 millas por hora, ¿Donde debe desembarcar?

62.– Un triangulo isosceles tiene base b y lados iguales de longitud a. Encuentre las dimensionesdel rectangulo de mayor area que se puede inscribir en el triangulo de manera que uno desus lados coincide con la base del triangulo.

63.– Una ventana tiene forma de un rectangulo coronado por un triangulo equilatero. Encuentrelas dimensiones del rectangulo para el cual el area de la ventana es maxima, si el perımetrode la misma debe ser de 12 pies.

64.– Un barco debe navegar 100 millas rıo arriba contra una corriente de 10 millas por hora.Sea v la velocidad del barco en millas por hora. El numero de galones de gasolina queconsume la nave es directamente proporcional a v2.

a) Demuestre que si se mantiene la velocidad constante de v millas por hora, entonces el

numero total y de galones de combustible que se consumen esta dado por y =100kv2

v − 10,

donde v > 10 y k una constante positiva.

b) Calcule la velocidad que minimiza el numero de galones de gasolina que se consumendurante el viaje.

65.– Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado,con el mismo eje y con el vertice del cono interior tocando la base del exterior. ¿Cual debeser la razon de sus alturas para que el cono inscrito tenga el maximo volumen?.

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66.– Se desea construir una tienda de campana con forma de piramide de base cuadrada. Unposte de metal colocado en el centro sera el soporte de la tienda. Se cuenta con s piescuadrados de loma para los cuatro lados del albergue y X es la longitud de la base.Demuestre que:

a) El volumen V de la tienda es V =1

6x√s2 − x4.

b) V alcanza un valor maximo cuando x =√

2 veces la longitud del poste.

67.– Girando un rectangulo de perımetro p alrededor de uno de sus lados, se genera un cilindrocircular recto. Calcule las dimensiones del rectangulo que producen el cilindro de mayorvolumen.

68.– Un punto luminoso esta situado en la lınea de los centros de dos esferas y se encuentrafuera de ellas. ¿Con que posicion del punto luminosos sera maxima la suma de las areasde las partes iluminadas de las superficies de las esferas?.

69.– Un embudo conico, de radio de base R y altura H esta lleno de agua. Una esfera pesadaesta sumergida en el embudo. ¿Cual ha de ser el radio de la esfera para que el volumen deagua expulsada del embudo por la parte sumergida de la esfera, sea el mayor posible?.

70.– Dos cuerpos se mueven por rectas en el sentido hacia su punto de interseccion A. Lasvelocidades de los cuerpos son constantes e iguales a v1 y v2. En el momento inicial loscuerpos se hallan a las distancias a y b del punto A respectivamente. El angulo entre lasdirecciones de movimiento de los cuerpos es igual a α. Encuentre la distancia mınimaentre ellos.

71.– Se desea construir un almacen con un volumen de 100 metros cubicos que tenga techoplano y base rectangular cuya anchura sea tres cuartas partes de su longitud. El costo pormetro cubico de los materiales es de 36 dolares para el piso, 54 dolares para los lados y 27dolares para el techo. ¿Que dimensiones minimizan el costo?.

72.– Una pista de 400 metros de longitud esta formada por dos semicırculos iguales y dos partesrectas tambien iguales ¿Cuales son las dimensiones de la pista que encierra la mayor area?.La pista encierra tres areas, un rectangulo y dos semicırculos. ¿Cuales son las dimensionesde la pista que encierra el rectangulo de mayor area?.

73.– Hallar el area total maxima de un cilindro inscrito en una esfera de radio R.

74.– En un triangulo esta inscrito un rectangulo de forma que uno de los lados yace en uno delos lados del triangulo y dos vertices, en otros dos. Encuentre el area maxima posible delrectangulo si la del triangulo es igual a A.

75.– A las 13:00 horas el barco A se encuentra 30 millas al sur del barco B y viaja hacia elnorte a 15 millas por hora. El barco B navega hacia el oeste a 10 millas por hora. ¿A quehora se alcanza la distancia mınima entre las dos embarcaciones?.

76.– Dado un cierto punto A en una circunferencia, trazar una cuerda BC paralela a la tangenteen el punto A de modo que el area del triangulo ABC sea la mayor posible.

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77.– Encuentre el radio de la base y la altura de un cono circunscrito a una esfera si el volumendel cono tiene el valor mınimo de los posibles y el radio de la esfera es igual a R.

78.– Un hombre que navega en una barca de remos a 2 millas del punto mas cercano de unacosta recta, desea llegar a su casa, la cual esta en la citada costa a 6 millas de dicho punto.El hombre puede remar a razon de 3 millas por hora y caminar a 5 millas por hora. ¿Quedebe hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible? Si el hombre tiene una lanchaa motor que puede viajar a 15 millas por hora. ¿Que debe hacer para llegar en el menortiempo posible?.

79.– El perımetro de un triangulo isosceles es 2p. ¿Cuanto deben medir sus lados para que elvolumen del cuerpo engendrado por la rotacion del triangulo en torno a su base sea elmayor posible.

80.– El perımetro de un triangulo isosceles es 2p. ¿Cuanto deben medir sus lados para que elvolumen del cono engendrado por la rotacion del triangulo en torno a su altura bajadasobre la base sea el mayor posible.

81.– Un torpedero esta anclado a 9 Km del punto mas proximo de la orilla. Se necesita enviara un mensajero al campamento situado en la orilla. La distancia entre este y el punto masproximo referido, es igual a 15 Km. Teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5Km/h, y en una barca, remando, 4 Km/h, en que punto de orilla debe desembarcar parallegar al campamento lo mas pronto posible.

82.– Tres puntos A, B y C se hallan situados de modo que < (ABC) = π/3. Un automovil saledel punto A, en el mismo momento del punto B parte un tren. El auto avanza hacia elpunto B a 80 Kilometros por hora, el tren se dirige hacia el punto C a 50 Kilometros porhora. Teniendo en cuenta que la distancia AB = 200Km, ¿En que momento, al comenzarel movimiento, sera mınima la distancia entre el automovil y el tren?.

83.– Un veterinario cuenta con 30 metros de malla de metal y quiere construir 6 jaulas paraperros levantando primero una cerca alrededor de una region rectangular, y dividiendoluego la region en seis rectangulos iguales mediante cinco rejas paralelas a uno de loslados. ¿Cuales son las dimensiones de la zona rectangular para que las que el area total esmaxima?.

84.– Se tendera un cable desde una central electrica situada al lado de un rıo de 900 metros deancho hasta una fabrica en el otro lado, 3000 metros rıo abajo. El costo de tender el cablebajo el agua es 85 por metro, y el costo sobre tierra es 84 por metro. ¿Cual es la ruta maseconomica sobre la cual tender el cable?

85.– Una banda de hierro, de anchura a, ha de ser encorvada de modo que tome la forma decanalon cilındrico abierto (la seccion del canalon ha de semejarse a un arco de segmentocircular). ¿Cual ha de ser la abertura del angulo central que se apoya en este arco paraque la capacidad del canalon sea la mayor posible?

J. Rodriguez

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