MBasica CAP1

8/17/2019 MBasica CAP1

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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 1

SISTEMA DE LOS

NÚMEROS REALES

En este capítulo se estudia el conjuntode números reales como una agrupaciónde números dotados de operaciones yde una relación de orden. Se presentansus propiedades básicas, así como elvalor absoluto de un número real.

También se tratan métodos para resolverecuaciones e inecuaciones algebraicasde grado mayor o igual a dos.

Conocimientos previos

Operaciones con los númerosreales. Álgebra elemental:operaciones algebraicas,

factorización y productos notables.

Secciones

1.1 Conjuntos numéricos.1.2 Números reales.1.3 Valor absoluto.1.4 Ecuaciones.1.5 Inecuaciones.1.6 Revisión del capítulo.

Sabes

Capacidades necesarias

Piensas

Habilidades a desarrollar

Resolver ejercicios y problemasque involucren ecuaciones einecuaciones algebraicas.

Efectuar operaciones conlos números reales.

Operar correctamente conpolinomios y fracciones

algebraicas.

Haces

Competencias a lograr

Resolver ecuacionesalgebraicas.

Resolver inecuacionesalgebraicas.

Resolver ecuaciones e

inecuaciones con valor absoluto.

Capítulo

1

P

P

P

P

P

P


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2 MATEMÁTICA BÁSICA

Los números han sido usados por el hombre desde tiempos remotos,

incluso antes de la aparición de las grafías para simbolizarlos ya se

utilizaban para dar información importante que permitía contribuir

con la recolección, planificación y distribución de los recursos para

que la sociedad, cualquiera sea su cultura, avance y progrese.

Las sociedades, aun las menos desarrolladas desde el punto de vista

occidental, tenían una noción de número que utilizaban en susdiversas transacciones. Algunas solamente manejaban información

numérica para el uno y el dos. Los demás números estaban

representados por un adjetivo que significaba “más de dos”. Su

economía, al ser muy simple, no necesitaba de una mayor

información numérica, ni de otros recursos matemáticos.

En sociedades de estructuras más complejas fue necesario crear más

números, así como nuevos objetos matemáticos, pues el desarrollo de

sus economías así lo exigía. De esta manera se pasó de contar a

medir.Para mostrar cómo la matemática acompañó al hombre en su avance

cultural, se presenta el significado y origen de dos palabras que

definen partes importantes de esta.

Por ejemplo, la palabra cálculo significa “piedra”, ya que nuestros

antepasados contaban su ganado según los montoncitos de piedras

que iban juntando, una piedra por cada uno de sus animales. En la

actualidad la palabra cálculo, en matemática, se usa para estudiar

conceptos muy importantes que se aplican en diferentes áreas del

saber humano.

Asimismo, la palabra geometría significa “medida de la tierra”, debido

a que en el antiguo Egipto las inundaciones periódicas del río Nilo

ocasionaban caos respecto a los límites de las tierras cultivables. Los

agrimensores del faraón, apoyados en la geometría, reconstruían

estos límites de acuerdo a su estado anterior.

Y para referirnos a una época más reciente, podemos afirmar que los

viajes de las naves tripuladas a la Luna, así como la navegación de las

sondas espaciales, tienen como base primordial la precisión de las

trayectorias antes de lanzarlas al espacio. Para esto se utilizancomputadoras que analizan grandes cantidades de datos a

velocidades increíbles que ningún ser humano sería capaz de

efectuar. Vivimos en una era tecnológicamente privilegiada,

imaginada solamente por algunos autores de novelas de ciencia

ficción, que la matemática ha hecho realidad.


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1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOSEn la vida cotidiana hay muchas ocasiones en las que se utilizan

números: para expresar la edad de una persona, la temperatura del

medio ambiente, el peso de un objeto o la nota que obtiene un

alumno en un examen. No solo se utilizan los números para expresar

cantidades, sino también para efectuar operaciones con ellos; por

ejemplo, se calcula la rebaja en el precio de un producto que se deseacomprar, el área de un terreno o el promedio de las notas de una

asignatura.

En general, en la mayoría de las actividades que realiza el ser humano

está presente algún número que pertenece a uno de los siguientes

conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, irracionales,

reales y complejos.

Conjunto de los números naturales

El matemático alemán Leopold Kronecker decía: “Dios ha creado a los

números naturales, el resto es obra del ser humano”. Esto tiene que

ver con el uso que se le da a estos números, que es el de contar

objetos. Desde hace mucho tiempo, el hombre ha contado animales,

personas, frutos u otros objetos, incluso antes de tener una idea clara

y precisa acerca del concepto de número. ¿Cuántas ovejas tengo?

¿Cuántos son los integrantes de la tribu?, etc.

El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra ℕ eincluye también al cero, esto es

ℕ = 0; 1; 2; 3; . . . ; ; . . . , siendo un elemento genérico del conjunto ℕ.Conjunto de los números enteros

Para referirse al número de metros al que se encuentra una ciudad

sobre o bajo el nivel del mar, o a las bajas o altas temperaturas que se

presentan en invierno o verano, se necesita otra clase de número que

exprese su posición relativa respecto del cero, es decir si es mayor,

menor o igual que cero. Estos conforman el conjunto de números

enteros que incluyen a los números naturales y a sus negativos. Por

ejemplo, la ciudad de New Orleans se encuentra a 3 msnm mientrasque la ciudad de Chosica está a 810 msnm; en el invierno latemperatura en algunas ciudades del sur del Perú es de 10 °C ,mientras que en el verano la ciudad de Iquitos soporta temperaturas

de hasta 45 °C.El conjunto de los números enteros se simboliza con ℤ y está dadopor ℤ = . . . ; ; . . . ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; . . . ; ; . . .

Se observa que ℕℤ, es decir, todonúmero natural es también entero, pero

existen números enteros que no son

naturales.


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Se observa queℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Esto es,todo número entero es también

racional pero existen números

racionales que no son enteros. Por

ejemplo, el número entero 3 = − esun número racional ya que se escribe

como un cociente de dos números

enteros; sin embargo, 0,42= es unnúmero racional que no es entero.

Conjunto de los números racionales

Al medir la estatura de una persona en metros, por experiencia se

sabe que no siempre se obtiene un número entero, ya que la estatura

puede estar comprendida entre dos números enteros. Para expresar

esta medida se necesita otra clase de número: los números

racionales. En este conjunto se encuentran los números naturales, los

números enteros y las fracciones decimales finitas o infinitas

periódicas. Por ejemplo, al describir a una persona se puede decir que

su estatura es de 1,72 m y su peso de 80,5 Kg.

El conjunto de los números racionales se simboliza con ℚ y está dadopor

ℚ = ab / a ∈ ℤ , b ∈ ℤ y b ≠ 0 Por ejemplo, son números racionales:

5 = 51 ; 8 = 81 ; 0 ,25= 25100 = 14 ; 0, 3̂ = 39 = 13 . Conjunto de los números irracionales

Al calcular la longitud de una circunferencia de radio igual a 2 cm, no

se puede usar ninguno de los números señalados hasta ahora, porque

esa longitud es igual a 4 cm, donde la letra griega es un númeroque en su forma decimal es

=3,1415926335… Este número, a

diferencia de los números racionales, tiene una expresión decimalinfinita no periódica. Un número como se denomina númeroirracional, que por el prefijo “i“, que antecede a la palabra racional,

significa “no racional”. Otros números irracionales destacados,

además de , son el número =2,7182818284… (base de loslogaritmos naturales) y el número áureo = 1,6180339887….Asimismo, si es un número racional positivo entonces su raízcuadrada, cúbica o de cualquier índice que no resulta racional, es un

número irracional, por ejemplo

√ 2 ó √ 4

son números irracionales.

El conjunto de los números irracionales se denota con la letra y estádado por = / tiene una expresión decimal infinita y no periódica Se observa que ℚ ∩ = ∅. Esto es, no hay ningún número que seasimultáneamente racional e irracional. Evidentemente, los números

naturales y enteros no son irracionales.


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Conjunto de los números reales

Se llama número real a cualquiera de los números anteriores. Esto es,

un número natural, entero, racional o irracional es un número real. El

conjunto de los números reales se simboliza con ℝ y está dado por

ℝ = / ∈

ℚ ∪

Nota. Un diagrama de Venn que representa a los conjuntos numéricosℕ,ℤ,ℚ, y ℝ se muestra en la figura 1.1.1.

50

21 72,1

10 3

0

Q

Z

N

e

R

5

2

Fig. 1.1.1

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 1.1

1. Identifique los conjuntos numéricos a los que pertenecen cada uno

de los siguientes números:

a) 5 c) 0,101010… e) 3,1416 g) 1 √ 2 b)

1 √ 8

d)

f)

Solución

a) El número 5 es un número natural porque se usa para contar, y

como ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, entonces 5 ∈ ℕ , 5 ∈ ℤ , 5 ∈ ℚ y 5 ∈ ℝ (ver figura 1.1.2).

b) El número 1 √ 8 = 1 2 = 1 es un número entero, dadoque es el negativo de un número natural; además, comoℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ , entonces 1 ∈ ℤ , 1 ∈ ℚ y 1 ∈ ℝ (ver figura1.1.3).

c) El número 0,101010…=0,10 es un número con expresióndecimal infinita periódica y por esta razón es un númeroracional, y como ℚ⊂ ℝ, entonces 0,10 ∈ ℚ y 0,10 ∈ ℝ (verfigura 1.1.4).

d) El número de Neper =2,718281… es un número irracional,ya que su expresión decimal es infinita no periódica. Dado que ⊂ ℝ, entonces ∈ y ∈ ℝ (ver figura 1.1.5).

ℚ

ℤ

ℕ

ℝ

5

Fig. 1.1.2

ℚ

ℤ

ℕ

ℝ

1

Fig. 1.1.3

ℚ

ℤ

ℕ

ℝ

...101010,0

Fig. 1.1.4

ℚ

ℤ

ℕ

ℝ

e

Fig. 1.1.5


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ℚ

ℤ

ℕ

ℝ

1416,3

Fig. 1.1.6

ℚ

ℤ

ℕ

ℝ

Fig. 1.1.7

ℚ

ℤ

ℕ

21

Fig. 1.1.8

ℝ

La fracción generatriz es la fracción

irreductible que genera un número

decimal exacto o finito, o uno periódico.

Regla:

La fracción irreductible que genera un

número decimal periódico se obtiene de

la siguiente manera:

En el numerador se escribe la resta

entre el número y la parte no

periódica, en ambos no se considera

la coma decimal.

En el denominador se escriben tantosnueves como cifras tenga el periodo,

seguido de tantos ceros como cifras

no periódicas tenga la parte decimal.

ℚ

ℤ

ℕ

Fig. 1.1.9

ℝ

Q

Z

N

Fig . 1.1.10

R

e) 3,1416 es un número racional, dado que su expresión decimales finita, y como ℚ⊂ ℝ, entonces 3,1416∈ℚ y 3,1416∈ℝ (ver figura 1.1.6).

f) =3,141592… es un número irracional, porque su expresióndecimal es infinita no periódica. Como ⊂ ℝ, entonces π ∈ y ∈ ℝ

(ver figura 1.1.7).

g) 1 √ 2 es un número irracional, porque la expresión decimalde √ 2 es infinita no periódica. Ya que ⊂ ℝ , entonces1 √ 2 ∈ y 1 √ 2 ∈ ℝ (ver figura 1.1.8).2. Exprese cada uno de los siguientes números: 0,24; 0,53̂ ; 0, 63 y1,234 como una fracción de números enteros.

Solución

Las fracciones generatrices que corresponden a las cifras dadas

son:

a) 0,24= 24100 = 625 b) 0,53̂ = 5 3 590 = 4890 = 815 c) 0,63 = 6 3 099 = 6399 = 711 d) 1,234 = 12341999 = 1233999 = 411333 = 137111

3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?

a)

ℕ⊂ ℝ c)

⊂ ℝ

b) ℤ ⊂ d) ℚ ⊂ SoluciónDe acuerdo al diagrama de Venn (ver figura 1.1.9) la veracidad o

falsedad de cada una de las afirmaciones es:

a) ℕ⊂ ℝ , verdaderab) ℤ⊂ , falsac) ⊂ ℝ, verdaderad) ℚ⊂ , falsa

4. En el diagrama de Venn de los conjuntos numéricos, sombree laregión que corresponda a cada uno de los siguientes conjuntos:

a) ℝ ∪ c) ℚ ℕ b) ∩ ℚ d) ℕ´ Solución

a) Como ⊂ ℝ, entonces ℝ ∪ = ℝ (ver figura 1.1.10).b) Dado que y ℚ no tienen elementos comunes, entonces ∩ ℚ = ∅ (ver figura 1.1.9).


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c) El conjunto ℚ ℕ está formado por todos los númerosracionales que no son naturales (ver figura 1.1.11).

d) ℕ´ está formado por los números reales que no son naturales

ℕ ´ = ℝ ℕ (ver figura 1.1.12).

5. Complete el siguiente cuadro escribiendo ∈,∉,⊂ ó ⊄ en cadarecuadro en blanco, según corresponda.

Solución

ℚ

ℤ

ℕ

Fig. 1.1.11

ℝ

ℚ

ℤ

ℕ

Fig. 1.1.12

ℝ

|e2,7172| ∈ √1 √ 4 = 1 2 = 1 ∈ ℕ

12,1212…=12,12 ∈ ℚ ℝ ´ = ∅ ℤ ∩ ℕ = ℕ ℤ+ ∪ ℚ = ℚ ℝ ℚ

ℝ´ ℤ ∩ ℕ ℤ+ ∪ ℚ ℝ ℚ |e2,7172|

√ 1

√ 4

12,1212… ℤ 1;1;0

ℝ´ ℤ ∩ ℕ ℤ+ ∪ ℚ ℝ ℚ

|e2,7172| ∉ ∉ ∉ ∈

√ 1 √ 4 ∉ ∈ ∈ ∉ 12,1212… ∉ ∉ ∈ ∉ ℤ 1;1;0 ⊄ ⊄ ⊂ ⊄


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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1

1. Determine a qué conjunto o conjuntos numéri-

cos pertenece cada uno de los siguientes

números:

a) 3 √ 4 b) √ 8 5 c) 0,12135 d) 5 0 , 2̂ e) √ 2 f) 2,1736…

2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ver-

daderas o falsas?

a) ℕ ⊂ ℤ b ℤ ⊂ ℚ c) ℤ ℕ ⊂ ℤ d) ⊂ ℝ e)

ℚ ⊂ ℝ f)

ℝ ℚ ⊂ ∪ ℚ ´

3. En el diagrama de Venn de los conjuntos

numéricos, sombree la región que corresponde a

cada uno de los siguientes conjuntos:a ℚℤ b) ∩ ℝ c) ℝ d ℚ ∩ ℕ e) ℚ′⋃ℚℤ f) ℕ ´ ∪ ℤ ∩ ℚ ℤ ∪

4. Ubique en un diagrama deVennde los conjuntos

numéricos cada uno de los siguientes números:

a) 3 √ 12 b) √ 27 c) 1 √ 8 d) √ 22 35 e) 2− 49 2√ 24 √ 22 f (√ 2 √ 3)(√ 2 √ 3)

5. Complete los espacios colocando ∈ , ∉ , ⊂ ó ⊂ según corresponda en cada una de las siguientes

relaciones:

a)34 … . b) 0.25. . . . ℚ

c) ℤ … . d) 1 √ 22 … . e) ℝ ℚ … . ℝ f) ℚ ´ ….ℚ ´ g)

229 … . . h) √ 22 … . ℚ

i 3,1416 ; π … . j 2 (π √ 7) … . ℤ 6. Exprese las regiones sombreadas mediante ope-

raciones entre los conjuntos indicados.

ℚ

ℤ

ℕ

a)

ℚ

ℤ

ℕ

b)

ℚ

ℤ

ℕ

c)

7. Determine por extensión cada uno de los

siguientes conjuntos: = ∈ ℚ / 1 = 0 = ∈ / 1 = 0

= ∈ ℕ /

9 = 0

= ∈ ℤ / 4 = 0

= ∈ ℝ / 3 = 0 = ∈ ℝ / 3 = 0 = ∈ ℕ / 1 = 0 8. Escriba la fracción generatriz de cada uno de los

siguientes números: 0,75;0,015̂ ;0,038 y 2,312 .


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1.2 NÚMEROS REALES

Los números reales se utilizan para representar y operar las medidas

de las diversas magnitudes que se presentan en la vida real, razón por

la cual se desarrollan con mayor detalle en esta sección.

Operaciones con números reales

Las operaciones básicas que se definen en el conjunto de los númerosreales son la adición y la multiplicación ⋅. A partir de estas seobtienen las operaciones de sustracción, división, potenciación y

radicación.

A continuación se presentan los axiomas que definen las operaciones

de adición y multiplicación.

1. Clausura

Si

y

son números reales cualesquiera, entonces

∈ ℝ y ∈ ℝ 2. Conmutatividad Si y son números reales cualesquiera, entonces = =

3. Asociatividad

Si , y son números reales cualesquiera, entonces = y = 4. Existencia de los elementos neutros

a) Neutro aditivo. Existe el número cero, denotado por el símbolo

0, tal que para todo número real

se cumple

0 = 0 = b) Neutro multiplicativo. Existe el número uno, denotado por elsímbolo 1, tal que para todo número real se cumple1==1

5. Existencia de los elementos inversos

a) Inverso aditivo. Para todo número real existe su inversoaditivo ,tal que = = 0 Al inverso aditivo de

también se le denomina opuesto o

simétrico de

.

b) Inverso multiplicativo. Para todo número real diferente decero existe su inverso multiplicativo 1/, tal que 1 = 1 = 1 Al inverso multiplicativo de también se le denomina recíprocode .

6. Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición

Si , y son números reales cualesquiera, entonces

= =

En la operación de adición de dos

números reales y , el resultado de laoperación se llama suma de y y sedenota por ; y en la operación demultiplicación, el resultado se llama

producto de y y se simboliza por ó ⋅ ó .

El inverso multiplicativo de , ≠ 0 , también se denota por −, es decir ⋅ − = − ⋅ = 1


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En la operación de sustracción de dos

números reales y el resultado de laoperación se llama diferencia de

y

y

se denota por .

En la operación de división de dos

números reales y con ≠ 0 , elresultado de la operación se llama

cociente de

y

y se denota por

÷ ó

.

Nota

i) El símbolo " ∧ " representa el conectivo“”.

ii) El símbolo " ∨ " representa el conectivo“”.

Sustracción de números reales

Sean y dos números reales cualesquiera. La operación desustracción entre y , denotada por , es la adición de con elinverso aditivo de , es decir = Por ejemplo, la sustracción de 5 y 8 se realiza del siguiente modo:

5 8 = 5 8 = 3 División de números reales

Sean y dos números reales cualesquiera, con ≠ 0 . La operaciónde división entre y , denotada por ÷, es la multiplicación de con el inverso multiplicativo de , es decir ÷ = 1 = , ≠ 0 Por ejemplo, la división entre

8 y

2 se realiza del siguiente modo:

8 ÷ 2 = 8 12 = 82 = 4 Relación “menor que” en los números reales

Los números reales están ordenados mediante la relación menor que,

la cual se simboliza por “ ii) ≤ ⟺ < ∨ = iii) ≥ ⟺ ≤ iv) < < ⟺ < ∧ <


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Representación geométrica de los números reales

El conjunto de números reales se representa geométricamente como

el conjunto de puntos de una recta numérica, recta en la cual se

define un origen de coordenadas , un sentido y una unidad. Así, acada número real le corresponde un único punto de la recta numérica

y viceversa. El punto

asociado al número real

se denota por

. Al número real se le denomina coordenada del punto .12 210

P x

u1 P O

Los números reales mayores que cero se denominan positivos,

mientras que los números reales menores que cero se llaman

negativos. El número real cero no es positivo ni negativo.

El conjunto de los números reales positivos se denota por ℝ y elconjunto de los números reales negativos por ℝ−. Luego,

ℝ = ℝ− ∪ 0 ∪ ℝ+ Observación 2Si y son números reales cualesquiera y es un número realnegativo, entonces < ⟺ > Los axiomas 2 y 3 y la observación 2 justifican la transposición de

términos en una inecuación:

El axioma 2 hace referencia a que cuando sumamos o restamos a

ambos miembros de una desigualdad un mismo número, ladesigualdad no se altera.

El axioma 3 se refiere a que si multiplicamos o dividimos a ambos

miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, la

desigualdad permanece igual.

La observación 2 indica que cuando se multiplica o divide ambos

miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la

desigualdad cambia de sentido.

Por ejemplo, para despejar

en la inecuación

3 < 1 2 (*)Se multiplica a los dos miembros por 1/3 (axioma 3), es decir

3 < 1 2 ⟺ 3 13 < 1 2 13 ⟺ < 4

El conjunto de números reales no

negativos esℝ+ = ℝ+ ∪ 0 El conjunto de números reales no

positivos esℝ− = ℝ− ∪ 0


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Un manera práctica para despejar en la inecuación (*) es transponerel coeficiente 3 del primero al segundo miembro, pasando de

multiplicar a a dividir a 12, es decir3 < 1 2 ⟺ < 123 ⟺ < 4

Además, al transponer un número negativo de un miembro a otro,

pasando de multiplicar a dividir o de dividir a multiplicar, se debetener especial cuidado, porque en estos casos la desigualdad cambia

de sentido.

Por ejemplo, en la inecuación 5 > 3 5, para despejar se divide aambos miembros entre 5 (observación 2), por lo que la desigualdadcambia de sentido

5> 35 ⟺ 5

5< 35

5 ⟺ < 7

IntervalosLos intervalos son conjuntos de números reales definidos por una

doble inecuación o una inecuación, tal como se presentan en los

siguientes cuadros. Se clasifican en acotados y no acotados.

i) Intervalos acotados. Para ∈ ℝ y ∈ ℝ tal que ≤ , se tieneNombre del intervalo Definición conjuntista Representación geométrica

Abierto de extremos a y b

Cerrado de extremos a y b

Semiabierto osemicerrado

de extremos a y b

b xa xba /R ;

b xa xba /R ;

b xa xba /R ;

b xa xba /R ;

a b

a b

a b

a b

La representación gráfica de un intervalo acotado es un segmento de

recta o un punto.

ii) Intervalos no acotados. Para ∈ ℝ , se tieneNombre del intervalo Definición conjuntista Representación geométrica

No acotado por la derecha

No acotado por la izquierda

No acotado por la derechani por la izquierda

a xR xa /; a

a

a xR xa /;

a xR xa /;

a xR xa /;

R ;

a

a

La representación gráfica de un intervalo no acotado es una

semirrecta, un rayo o una recta.


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Nota. Un error frecuente es considerar a un intervalo como un

conjunto de números enteros, cuando lo correcto es que se trata de

un conjunto de números reales. Por ejemplo:1 ; 3 ≠ 1; 0; 1; 2; 3, porque en el intervalo 1 ; 3 hay infinitos números reales talescomo

0,5 ó √ 2, entre otros, mientras que en el conjunto

1;0; 1; 2; 3 solo hay cinco números enteros.Operaciones con intervalos

Con los intervalos se efectúan operaciones básicas tales como

reunión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos.

Ejemplo 1.Dados los intervalos = 1 ; 6 y = 〈2 ; 8〉, determine:

∪ , ∩ , , ,

y

′

Solución

i) El conjunto ∪ está formado por los números reales quepertenecen por lo menos a uno de los dos conjuntos, es decirA ∪ B = 1 ; 6 ∪ 〈2 ; 8〉 = 1;8〉 (ver figura 1.2.1).

ii) El conjunto ∩ está formado por los números realescomunes a ambos conjuntos, esto es,A ∩ B = 1 ; 6 ∩ 〈2 ; 8〉 = 〈2; 6 (ver figura 1.2.2).

iii) El conjunto

A B está formado por los números reales que

pertenecen al conjunto A, pero no al conjunto B, es decirA B = 1 ; 6 〈2 ; 8〉 = 1 ; 2 (ver figura 1.2.3).iv) B A tiene como elementos a los números reales que

pertenecen al conjunto B, pero no al conjunto A.B A = 〈2 ; 8〉 1 ; 6 = 〈6 ; 8〉 (ver figura 1.2.4).v) El complemento de está formado por los números reales que

no pertenecen al conjunto , esto esA = 〈∞ ; 1〉 ∪ 〈6 ;∞〉

(ver figura 1.2.5).

vi) B está formado por los números reales que no pertenecen alconjunto B, es decirB = 〈∞; 2 ∪ 8;∞〉 (ver figura 1.2.6).

Fig. 1.2.1

1 6

1 6

8

A

2

B

8

Fig. 1.2.2

1 6

1 6

8

A

2

B

Fig. 1.2.3

1 6

1 6

8

A

2

B

Fig. 1.2.4

1 6

1 6

8

A

2

B

8

Fig. 1.2.5

1 6

1 6

A

´ A

Fig. 1.2.6

2 8

B

´ B82


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Recuerde que al multiplicar a ambos

miembros de una desigualdad por un

mismo número negativo, la desigualdad

cambia de sentido.

Fig. 1.2.7

Ejemplo 2. Dados los conjuntos:

= ∈ ℝ / 3 ≤ 1 2 < 4 y = ∈ ℝ /

2∈ 1; ∞〉

Determine el intervalo que corresponde al conjunto ∩ . SoluciónPara determinar ∩ se expresa previamente cada conjunto comoun intervalo. Así, se tiene

Conjunto :3 ≤ 1 2 < 4

Al multiplicar a los tres miembros por 2, resulta

32 ≤ 1 2 2 < 42 ⟺ 6 ≤ 1 x < 8Al sumar 1 a los tres miembros de la última expresión, se obtiene⟺ 6 1 ≤ 1 1 < 8 1 ⟺ 7 ≤ < 7Al multiplicar a los tres miembros del último resultado por (1, paracambiar el signo a – , se tiene⟺ 7 ≥ > 7 ⟺ 7 < ≤ 7Por consiguiente,

A = x ∈ ℝ / 7 < ≤ 7 = 〈7; 7 Conjunto B:

2 ∈ 1; ∞〉 ⟺ 2 ≥ 1 Al multiplicar a ambos miembros de la desigualdad por (2), se tiene

2 2 ≤ 12 ⟺ ≤ 2 Luego,

= ∈ ℝ / ≤ 2 = 〈∞;2 Por lo tanto, el intervalo que corresponde al conjunto A ∩ B esA ∩ B = 〈7; 7 ∩ 〈∞; 2 = 〈7; 2


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1. Identifique el axioma de los números reales que se utiliza en cada

una de las siguientes operaciones

a) 7 ∙ 1 = 1 ∙ 7 = 7 b) 8 0 = 0 8 = 8 c)

2 5 9 = 2 5 9

d) 2 8 = 2 4 e) 7 ∙ = ∙ 7 = 1 f) 5 5 = 5 5 Solución

En cada operación se utiliza el axioma que se indica

a) Existencia del elemento neutro multiplicativo.

b) Existencia del elemento neutro aditivo.

c) Asociatividad de la adición.

d) Distributividad de la multiplicación con respecto de la adición.

e) Existencia del elemento inverso multiplicativo.

f) Conmutatividad de la adición.

2. Determine si la operación de multiplicación en el conjunto

A=1;0;1 verifica:a) La propiedad de clausura.

b) La existencia del elemento neutro multiplicativo.

Solución

a) En la siguiente tabla se muestran todos los resultados de la

operación multiplicación entre dos elementos cualesquiera del

conjunto .

Se observa que en todos los casos el resultado de la

multiplicación pertenece al conjunto .Por lo tanto, la operación de multiplicación verifica la propiedadde clausura en el conjunto .

b) Existe el elemento 1 ∈ tal que: 1 ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 = 1 0 ⋅ 1 = 1 ⋅ 0 = 0 1 ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 = 1 Como al multiplicar cada elemento de por 1 el resultado es elmismo elemento, entonces 1 es el elemento neutro

multiplicativo del conjunto .

Nota

i) Propiedad de clausura.

Una operación * definida en un

conjunto cualquiera verifica lapropiedad de clausura (o cerradura),

si el resultado de operar con dos

elementos cualesquiera de , perte-nece también al conjunto

. Esto es,

si ∈ ∈ , entonces ∗ ∈ ii) Propiedad de existencia del elemento

neutro

Una operación * definida en un

conjunto cualquiera verifica lapropiedad de existencia del elemento

neutro, si existe un elemento quepertenece a , tal que al operarlo,por la derecha o por la izquierda, con

cualquier otro elemento

de

, da

como resultado

. Esto es,

∗ = ∗ =

⋅ 1 0 11 1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1


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NotaPropiedad de la existencia de los

elementos inversos.

Una operación * definida en un conjunto

cualquiera verifica la propiedad deexistencia de los elementos inversos, si:

i) Existe el elemento neutro ∈ .ii) Para cada ∈ , existe ∈ tal que ∗ = ∗ = .El conjunto de los números racionales no

enteros se simboliza por ℚ ℤ

El conjunto ℤ ℕ representa a losnúmeros enteros que no son naturales,

esto es, los números enteros negativos.

Nota

Propiedad asociativa.

Una operación * definida en un conjunto

cualquiera verifica la propiedadasociativa, si para los elementos , , que pertenecen al conjunto, se cumple ∗ ∗ = ∗ ∗

3. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o

falsas. Justifique su respuesta.

a) En el conjunto de los números naturales existe elemento

neutro para la operación de multiplicación.

b) En el conjunto de los números enteros cada elemento tiene su

inverso aditivo.

c) En el conjunto de los números racionales no enteros existeelemento neutro para la operación de multiplicación.

d) En el conjunto de los números irracionales cada elemento tiene

su inverso aditivo.

e) La sustracción en el conjunto de los números enteros negativos

verifica la propiedad de clausura.

Solución

a) Verdadero, porque para todo ∈ ℕ se cumple1 ∙ = ∙ 1 =

y

1 ∈ ℕ

b) Verdadero, pues para todo ∈ existe ∈ ℤ, tal que = = 0,donde 0 es el elemento neutro aditivo en ℤ. c) Falso, ya que 1 ∉ ℚ ℤ.d) Falso, pues la operación de adición de números irracionales no

posee elemento neutro 0 ∉ . e) Falso, pues por ejemplo 2 8 = 6, y 6 no es un número

entero negativo.

4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?

Justifique su respuesta.

a) La operación de multiplicación verifica la propiedad de clausura

en el conjunto (ℤ – ℕ).b) La operación de adición verifica la propiedad de existencia de

los elementos inversos en ℚ.c) La operación de multiplicación verifica la propiedad de

existencia de los elementos inversos en ℤ. Solución

a) Falso, pues, por ejemplo:

2 ∙ 1 = 2 y 2 ∉ ℤ ℕ b) Verdadero, porque para todo ∈ ℚ existe ∈ ℚ, tal que = = 0,donde 0 es el elemento neutro aditivo en ℚ.

c) Falso, ya que por ejemplo, para 2 ∈ ℤ no existe otro númeroentero que multiplicado por 2 sea igual al elemento neutro

multiplicativo, que es 1.

5. Determine si la operación de sustracción en el conjunto de los

números enteros pares verifica la propiedad asociativa.


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Solución

La operación de sustracción no verifica la propiedad asociativa, ya

que, por ejemplo, para los números enteros pares 2, 4 y 6, se tiene2 4 6 ≠ 2 4 6 ⟺ 2 2 ≠ 2 6 ⟺ 4 ≠ 8 6. Determine si la operación de adición verifica la propiedad de

clausura:a) En el conjunto de los números racionales no enteros.

b) En el conjunto de los números irracionales.

Solución

a) La operación de adición no verifica la propiedad de clausura en

el conjunto ℚ ℤ, pues, por ejemplo, para los números34 y 14 se tiene 34 14 = 1 y 1 ∉ ℚ ℤ b) La operación de adición no verifica la propiedad de clausura en

el conjunto de los irracionales, ya que, por ejemplo, para losnúmeros √ 3 √ 3 se tiene √ 3 (√ 3) = 0 y 0 ∉ .

7. Sean ; ⊂ ℚ y ; ⊂ . En cada recuadro en blanco coloqueun aspa donde corresponda. En el caso de que marque la opción

“A veces” indique en la columna de observaciones la justificación.

Solución

ℚ ℤ representa al conjunto de losnúmeros racionales no enteros.

Proposición Siempre Nunca A veces Observaciones

∈ ℚ ⋅ ∈ ∈ ∈ ℚ ℤ ∈ ∈

Proposición Siempre Nunca A veces Observaciones

∈ ℚ X ⋅ ∈ X Si = 0 , entonces ∙ = 0 y 0 ∉ ∈ X Si = , entonces = 1 y 1 ∉

∈ ℚ ℤ X Si = , ≠ 0, entonces = 1 y 1 ∉ ℚ ℤ ∈ X ∈

X Si = , entonces = 0 y 0 ∉


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Notación científica

Un número real se expresa en notacióncientífica cuando se escribe en la forma = × 1 0 Donde es un número entero o decimalmayor o igual que 1 y menor que 10, y es un número entero.

8. Efectúe las siguientes operaciones:

a)57 92 45 b) 1

3 2 c)

√ 24 √ 54 √ 96d)

8

27

−

32

243

−

e) 7,2×10−8,0×10 exprese el resultado en notación científica Solución

a) Para obtener la suma de las fracciones se halla el mínimo

común múltiplo de los denominadores. Luego, se tiene

57 92 45 = 51093541470 = 42170 b) Al efectuar las operaciones, resulta1 3 2 =

+3 =− =

=2710

c) Al factorizar 6 en cada subradical, se tiene

√ 24 √ 54 √ 96 = 46 96 166

= 2√ 6 3√ 6 4√ 6 = 3√ 6

d) Al expresar las potencias de exponentes negativos como

potencias de exponentes positivos y efectuar las operaciones

indicadas, se obtiene

827− 32243−

= 278 24332

= 32 32

= 94 32 = 34 e) Al efectuar las operaciones y expresar el resultado en notación

científica, se tiene7,2×10−8,0×10 = 7,28,0 × 10−10 = 0 , 9 × 1 0− = 9 × 1 0−


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9. Dados los conjuntos = 〈4;6〉 , = 〈2; ∞〉 y = 3; 8〉 , hallea) ∪ b) ∩ c) d) ′ e) ∪ f) ∩

Solución

a) ∪ = 〈4;6〉 ∪ 〈2; ∞〉 = 〈4;∞〉 (Fig. 1.2.8)b) ∩ = 〈2; ∞〉 ∩3;8〉 = 3; 8〉 (Fig. 1.2.9)c) = 〈4;6〉 〈2; ∞〉 = 〈4;2 (Fig. 1.2.10)d) = 〈∞;4 ∪ 6;∞〉 〈2; ∞〉 = 〈∞;4 (Fig. 1.2.11)e) Sea ∪ = , = 〈∞;3〉 ∪ 8; ∞〉 ∪ 〈2;∞〉 〈4;6〉 = 〈∞;3〉 ∪ 8; ∞〉 ∪ 6; ∞〉 = 〈∞;3〉 ∪6;∞〉 (Fig. 1.2.12)f) ∩ = 〈∞;4∩ 〈∞;3〉 ∪ 8; ∞〉 = 〈∞;4 (Fig. 1.2.13)

10. Halle el conjunto solución de la inecuación

3 ≤ 3 2 2 2 ≤ 7 SoluciónAl multiplicar por 2 a los tres miembros de la inecuación y efectuar

las operaciones, se tiene

3 ≤ 3 2 2 2 ≤ 7 ⟺ 6 ≤ 2 1 ≤ 1 4

⟺ 7 ≤ 2 ≤ 15

Al multiplicar por a los tres miembros de la inecuación, elsentido de la desigualdad cambia y resulta, 152 ≤ ≤ 72

Luego, el conjunto solución es = 152 ; 72

Fig. 1.2.84 0 62

Fig. 1.2.9

0 82 4 63

Fig. 1.2.104 0 62

Fig. 1.2.11

4 0 62

0 63 8

Fig. 1.2.12

Fig. 1.2.13

4 3 8


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Observación 1(iv): < < ⟺ < ∧ <

Nota

Si al resolver una ecuación o una

inecuación se obtiene:

a) Una relación numérica verdadera,

entonces el conjunto solución es el

conjunto de los números reales.

Ejemplo 1 < 3⟺ 1 < 3

(Verdadera)

Luego, S= ℝ b) Una relación numérica falsa, entonces el

conjunto solución es el conjunto vacío. Ejemplo 12 ≤ 6⟺ ≤6 (Falsa)Luego, S=

11. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones y escriba su

conjunto solución como un intervalo.a 1 < 3 ≤ 2 b) 12 ≤ 6 < 2 12 c)

3 <

≤ 3

Solución

Al descomponer cada una de las inecuaciones (observación 1(iv))

y aplicar las propiedades básicas de la relación de orden, se tiene

a 1 < 3 ≤ 2 ⟺ 1 < 3 ∧ 3 ≤ 2 ⟺ 1 < 3 ∧ 3 ≤ ⟺ ∈ ℝ ∧ ≥ 3 Luego, el conjunto solución es = ℝ ∩ 3; ∞ > = 3; ∞ >

b) 12 ≤ 6 < 2 12 ⟺ 12 ≤ 6 ∧ 6 < 2 12 ⟺ 12 ≤6 ∧ 112 < ⟺ ∈ ∧ x > 112 Luego, el conjunto solución es = ∩ 112 ; ∞ = c) 3 < ≤ 3 ⟺ 3 < ∧ ≤ 3 ⟺ 3 < ∧ ≤ 3 ⟺ < 3 ∧ 4 ≥ 0 ⟺ < 3 ∧ ≥ 0 Luego, el conjunto solución es = 〈∞; 3〉 ∩ 0;∞〉 = 0; 3〉

12. Dados los conjuntos = ∈ ℝ ⁄ 1 ∈ 〈3;6 〈0; 2〉 = ℝ 1 ; 4 Determine ∩ ∩ ℕ, siendo ℕ el conjunto de númerosnaturales.

Solución

Al escribir los conjuntos y como intervalos, se tiene


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= ∈ ⁄ 1 ∈ 〈3;6 〈0; 2〉 = ∈ 3 < ⁄ 1 ≤ 6 〈0; 2〉 = ∈ 4 < ⁄ ≤ 5 〈0; 2〉

= 〈4;5 〈0; 2〉 = 〈4;0∪ 2; 5

= 〈∞;1〉 ∪ 〈4;∞〉. Luego, ∩ = 〈4;1〉 ∪ 〈4;5 Por consiguiente, resulta ∩ ∩ ℕ = 5

13. Determine el intervalo o unión de intervalos que corresponden a

cada uno de los siguientes conjuntos:

= ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 12 ∈ 1; 2〉

= ∈ ℝ / 2 1 ∉ 1; 2〉 = ∈ ℝ / 1 2 ∈ 〈2; 3 1 = ∈ ℝ / 1 ∈ ; 2〉 ∩ 〈x 1; 4〉 Solución

Al escribir los conjuntos , , como intervalos, se tieneConjunto

= ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 12 ∈ 1; 2〉 = ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 1 ≤ 12 < 2 = ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 32 < ≤ 32 = ∈ ℝ / ∈ 0 ; 32

Por lo tanto, el intervalo correspondiente al conjunto es = 0 ; 32

Conjunto = ∈ ℝ / 2 1 ∉ 1; 2〉 = ∈ ℝ / 2 1 ∈ 〈∞;1〉 ∪ 2; ∞⟩ = ∈ ℝ / 2 1 < 1 ∨ 2 1 ≥ 2 = ∈ ℝ / < 1 ∨ ≥ 3

2


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Luego, el conjunto es la unión de intervalos = 〈∞; 1〉 ∪ 32 ; ∞

Conjunto = ∈ ℝ / 1

2 ∈ 〈2; 3 1

= ∈ ℝ / 1 2 ∈ 〈2; 3 ∧ 1 2 ≠ 1 = ∈ ℝ / 2 < 1 2 ≤ 3 ∧ ≠ 0 = ∈ ℝ / 4 ≤ < 6 ∧ ≠ 0 Por lo tanto, el conjunto es la unión de intervalos = 4; 0⟩ ∪ 〈0; 6〉 Conjunto

= ∈ ℝ / 1 ∈ ; 2〉 ∩ 〈x 1; 4〉

= ∈ ℝ / ≤ 1 < 2 ∧ 1 < 1 < 4 = ∈ ℝ/ > 1 ∧ 3 < < 0 Por consiguiente, el conjunto D es = 〈1; 0〉

14. Un alumno que está matriculado en la asignatura de Matemática

Básica tiene 13 en el examen parcial (EP) y 12 en tarea académica

(TA). ¿Cuál es la nota que debe obtener en el examen final (EF),

para aprobar la asignatura con 15 de promedio final (PF)?

La fórmula que se aplica para obtener el promedio final es

= 33410 Solución

Al reemplazar las notas en la fórmula del promedio final, se tiene

= 313312410 Dado que en el Reglamento de Estudios de la Universidad de

Lima se establece que “toda fracción en las notas mayor o igual a

0,5 es redondeada al entero superior”, y como el alumno desea

obtener 15 de promedio final, se tiene14,5≤ < 15,5 14,5≤ 313312410


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Luego, para aprobar la asignatura de Matemática Básica con 15

el alumno debe obtener 18 ó 19 en el examen final.

15. A una mesa de sufragio de las últimas elecciones asistieron a

votar un total de personas. Hasta el mediodía ya habíanvotado

80 personas y faltaban votar más de la tercera parte de

. Entre el mediodía y las tres de la tarde votaron 29 personas

más, con lo que el número de personas que faltaban votar fue

menos de 13 personas. Si se sabe que todas las personas que

figuraban en el padrón electoral asistieron a sufragar,

determine el número de personas que faltaban votar al

mediodía.

Solución

Sea el número de votantes en la mesa de sufragio. Luego, deacuerdo al enunciado del problema, se tiene

8 0 > 3 ∧ 80 2 9 < 1 3⟺ > 1 2 0 ∧ < 1 2 2 ⟺ = 1 2 1 Por lo tanto, al mediodía faltaban votar 41 personas.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.2

1. Marque con un aspa si se verifica o no lapropiedad de clausura en cada una de las

operaciones definidas para cada conjunto.

Conjunto numérico Operación Sí No

Irracionales Multiplicación

Naturales pares Adición

Enteros negativos Adición

Naturales impares MultiplicaciónRacionales no enteros Multiplicación

Enteros no naturales Adición

2. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos

numéricos no se verifica la propiedad declausura con respecto a la operación desustracción? Justifique su respuesta medianteun ejemplo.

a) Conjunto de números naturales b) Conjunto de números enterosc) Conjunto de números racionalesd) Conjunto de números irracionalese) Conjunto de números reales

3. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos existeelemento neutro con respecto a la operación

de adición?a) Conjunto de los números racionales no

enterosb) Conjunto de los números irracionales

c) Conjunto de números enteros pares

d) Conjunto de números reales no irracionales

4. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos existeelemento neutro con respecto a la operaciónde multiplicación?

a) Conjunto de los números racionales nonaturales

b) Conjunto de los números racionales

c) Conjunto de números reales no racionales

d) Conjunto de números enteros impares

e) = 1;0;1 5. ¿Qué propiedad de los números reales

justifica cada una de las siguientes igualdades?


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a) 9 ∙ 1 = 9 b) 170 = 17c) 5 3 8 = 5 3 8 d) 5 15 = 5 3 e) 4 ∙ 4− = 1 f)

8 8 = 0

6. En cada uno de los siguientes casos nombrelas propiedades de los números reales que

justifican cada igualdad.

a) 1 9 71 = 9 1 7 b) 2 3 7 = 2 7 3 c) 4 0 (√ 3 √ 5) = 4√ 3 4√ 5

7. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos numéri-cos se verifica la existencia del elementoinverso aditivo?

a) Conjunto de números naturales

b) Conjunto de números racionales

c) Conjunto de números reales

d) Conjunto de números irracionales

8. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos numéri-

cos se verifica la existencia del elemento

inverso multiplicativo?

a) Conjunto de números enteros impares

b) Conjunto de números racionales diferentesde cero

c) Conjunto de números reales no racionales

d) = 1; 1 9. Escriba en los espacios correspondientes las

propiedades que se utilizan en la solución de

la siguiente inecuación3 2 ≤ 6 ⟺ 3 2 3 ≤ 6 3

(…..…….)

⟺ 2 ≤ 9 ⟺ 2 ≤ 9 (…..…….) ⟺ 3 ≤ 9 ⟺31 ≥91 (…..…….) ⟺ 3 ≥ 9 ⟺ 3 13 ≥ 9 13 … . … . ⟺ ≥ 3

10. Determine cuáles de las siguientesafirmaciones son verdaderas o falsas.Justifique su respuesta.

a) En el conjunto de los números

irracionales existe elemento neutro para

la operación de multiplicación

b) En el conjunto de los números racionales

existe elemento neutro para la operación

de adición

c) En el conjunto de los números racionales

existen elementos inversos para la

operación de adición

d) En el conjunto de los números naturales

existen elementos inversos para la

operación de multiplicación

e) La diferencia de dos números enteros

negativos siempre es un número enteronegativo

f) En la operación de división de los

números enteros el elemento neutro es

el número uno

g) El número cero es el elemento neutro de

la operación de sustracción de números

naturales

11. Marque con un aspa si se verifica o no lapropiedad señalada en cada una de lasoperaciones definidas para cada conjunto.

Conjunto Operación Propiedad Sí Noℚ 0 División Clausuraℝ ℚ Adición E. neutroℤ ℕ Adición E. inversoℚ+ ℕ Multiplicación Clausura1;0;1 Adición E. inverso12. Dados los siguientes intervalos:

= 〈7;2 = 5;∞〉 = 〈4;8 0; 2 Determine los intervalos o unión de

intervalos correspondientes a cada una de

las siguientes operaciones.

a) ´ ∩ c) ∪ ´ ∩ b) d) ∩


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13. Determine los intervalos o unión deintervalos correspondientes a cada uno delos siguientes conjuntos. = ∈ ℝ / 4 ≤ 2 13 ≤ 1 = ∈ ℝ / 4 ∈ 〈3;2 = ∈ ℝ / 17 ∈ 〈1,2 ; ∞〉 = ∈ ℝ / 3 ∉ 〈2;6 = ∈ ℝ / 2 2 ∈ 1;7〉 〈1; 4

14. Si los números reales y verifican larelación 1 < < 0 < < 1, ¿cuáles de lassiguientes desigualdades siempre secumplen? Justifique su respuesta.

a)

– 2 > 2b)

– <

c) 2 < 0 d) > 0 e) > f 1 < 1 g) 1 < 1 h) 1 > 1

15. Sean , y números reales. ¿Cuáles de lassiguientes afirmaciones son siempreverdaderas?a) Si

< , entonces

≤

b) Si = , entonces ≤ c) Si ≤ , entonces < d) Si ≤ , entonces = e) Si ≤ , entonces < ó =

16. En cada uno de los siguientes casos,efectúe las operaciones indicadas.a) 〈2;2〉 〈∞;3 ∪ 〈3; 6 b) 〈3;2〉 0 ∩ 〈4;8 c) 〈2;3〉 ∪ 〈3; 5 〈1;4 d) ([4;5⟩—3;2⟩) ∩ ℤ e) ([8;2⟩—3;5⟩) ∩ ℝ 2;6

17. Resuelva cada una de las siguientesinecuaciones y presente su conjuntosolución como un intervalo o unión deintervalos.

a) 4 < 2 13 ≤ 72 b) 3 ≤ 15 13 < 3 c) 5 < 2 13 ≤ 52

d)

2 4 ≤ 2 5 < 4 12

e) 4 < 13 < 2 72 18. Halle el conjunto solución de cada

inecuación y exprese su conjunto solucióncomo intervalo.a) 2 ≤ 2 ≤ 2 b) 4 < 2 12 ≤ 1 c)

3 2 ≤ 2 5 < 2 6

d) ( √ 10 ) < 3 < √ 30 19. Un alumno que está matriculado en laasignatura de Cálculo I tiene 10 en elexamen parcial (EP) y 13 en tarea académica(TA). ¿Cuál es la nota que debe obtener en elexamen final (EF), para aprobar la asignaturacon 13 de promedio final (PF)?La fórmula que se aplica para obtener elpromedio final es

= 33410 20. Un usuario del servicio de agua yalcantarillado de una ciudad ha pagadoS/.130 por el consumo de agua en el últimomes, mientras que por el mes anterior pagóS/.50. Si cada mes paga S/.15 como un cargofijo y S/.5 por cada m de agua consumida,determine entre qué valores ha variado elconsumo de agua, en m, entre estos meses.

21. Las estaturas de dos personas están en larelación de 5 a 6. Si la suma de las mismasestá comprendida entre 3 y 4 metros,determine el intervalo al cual pertenececada una de estas estaturas.

22. Halle los posibles valores del precio (en S/.)de un litro de vino, si se sabe que el tripledel precio más 14 es menor que 200, y queel doble del mismo más 6 es mayor que 100.


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1.3 VALOR ABSOLUTO

Para cualquier número real el valor absoluto de , denotado como||, es el número real no negativo dado por

|| = ; si ≥ 0

; s i < 0

Así, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número, sieste es positivo o cero, o es igual a su inverso aditivo si es negativo.Por ejemplo, los valores absolutos de los números4 , 0 ó6 son |4| =4, |0| = 0, |6 | = 6 = 6, respectivamente.Ejemplo 1. Determine el valor que corresponde a cada una de las

siguientes expresiones:

a) |2 2| b √ 3 2 c) | 3| d)

|2

52

5 |

Solución

Al aplicar la definición de valor absoluto, se tiene

a) |2 2| = |0| = 0b) √ 3 2 = (√ 3 2) = 2 √ 3 (porque √ 3 2 < 0 c) | 3| = 3(porque 3 > 0)d) |2525 | = |25 5 | = |2| = 2 Ejemplo 2. Si los números reales y son tales que < 0 y > 0,determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ofalsas. Justifique su respuesta:a || = b || = c) | | = d) = Solución

a) Como

es negativo, su valor absoluto es

–. Luego, la

afirmación es falsa.b) Dado que – es positivo, su valor absoluto es –. Porconsiguiente, la afirmación es falsa.


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c) Ya que es negativo, su valor absoluto es .Por lo tanto, laafirmación es verdadera.

d) Puesto que es negativo, su valor absoluto es . Luego, la

afirmación es verdadera.

Ejemplo 3. Aplique la definición del valor absoluto en cada una de las

siguientes expresiones:a)| 6| b)|3 2| Solución

Al aplicar la definición del valor absoluto, se tiene

a) | 6| = 6; si 6 ≥ 06 ; si 6 < 0 = 6; si ≥ 66 ; si < 6

b) |3 2| = 3 2; si 3 2 ≥ 03 2; si 3 2 < 0 = 3 2; si ≥ 233 2; si < 23

Interpretación geométrica

El valor absoluto de un número real

se interpreta geométricamente

como la distancia entre el punto de coordenada y el origen decoordenadas.

En general, si los puntos y tienen coordenadas y , entoncesla distancia entre el punto y el punto está dada por | |.

Ejemplo 4. Interprete geométricamente las siguientes expresiones

que contienen valor absoluto:

a) || = 2 b) | 4| = 1 c)| 1| = 5 d) | 3| = 2 e) | 2| ≤ 3 f) | 3| > 2

|| 0

|

|


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Solución

a) || = 2 representa que la distancia entre el punto decoordenada y el origen de coordenadas es igual a 2. Los valoresde que verifican esta ecuación son 2 y 2.

b) | 4| = 1 expresa que la distancia entre el punto decoordenada

y el punto de coordenada 4 es igual a 1. En este

caso los valores de que verifican la ecuación son 3 y 5. c) Al escribir | 1| = 5 como |1| = 5 , esta últimaecuación representa que la distancia entre el punto de

coordenada y el punto de coordenada 1 es igual a 5. Losvalores de que verifican esta ecuación son6 y 4.

d) | 3| = 2 no representa ninguna distancia porque no existeningún número real que la verifique. (El valor absoluto nopuede ser negativo)

e) La inecuación | 2| ≤ 3 expresa que la distancia entre el puntode coordenada y el punto de coordenada 2 es menor ó igual a3. En este caso los valores de que verifican la inecuaciónpertenecen al intervalo 1;5.

f) La inecuación | 3| > 2 expresa que la distancia entre el puntode coordenada y el punto de coordenada 3 es mayor que 2.En este caso los valores de que verifican la inecuaciónpertenecen a la unión de intervalos 〈∞ ; 1 〉 ∪ 〈 5; ∞〉.

Nota

El valor absoluto tiene diversas aplicaciones. Una de ellas se refiere a

la diferencia de dos números, cuando no se conoce cuál de ellos es el

mayor. Por ejemplo, para indicar que la diferencia de dos

temperaturas T y T es 10 °C, sin conocer cuál es la mayortemperatura, se escribe |T T| =10 ó |T T| =10, ambasigualdades expresan lo mismo. Otra aplicación se presenta en el

cálculo de los valores de ciertas magnitudes, que por su naturaleza no

pueden ser negativas, como por ejemplo la longitud de un segmento

o la distancia entre planos paralelos.

Propiedades del valor absoluto

Sean , y números reales cualesquiera. Se verifican las siguientespropiedades básicas del valor absoluto.

i. || ≥ 0


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ii. || = 0 si y solo si = 0 iii. || = || iv. || = || = v. || = √

vi.

|| = ||||

vii. = |||| , ≠ 0 viii. | | ≤ || || (Desigualdad triangular)ix. | | ≥ || || x. || = || si y solo si = ∨ = xi. || = si y solo si = ∨ = ∧ ≥ 0 xii. || ≤ si y solo si – ≤ ≤ xiii.

|| < si y solo si

– < <

xiv. || ≥ si y solo si ( ≤ ∨ ≥ )xv. || > si y solo si < ∨ > )Solución de ecuaciones e inecuaciones de primer grado con

valor absoluto

Para hallar el conjunto solución de una ecuación o inecuación de

primer grado que contiene al menos un valor absoluto, se aplican las

propiedades básicas correspondientes o la definición del valor

absoluto.

En los ejemplos 7, 8 y 9 se resuelven las ecuaciones e inecuaciones

mediante el uso de las propiedades básicas del valor absoluto,

mientras que en los ejemplos 10 y 11 se utiliza la definición.

Ejemplo 5. Halle el conjunto solución de la ecuación

2 12 = 3 1 Solución

Al aplicar la propiedad xi, se tiene2 12 = 3 1⟺ 2 12 = 3 1 ∨ 2 12 = 3 1 ∧ 3 1 ≥ 0 ⟺ = ∨ = ∧ ≥


30/110


⟺ ∈ 32 ; 110 ∩ 13 ; ∞〉 ⟺ ∈ 32 Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es el conjunto = 32 Ejemplo 6. Determine el conjunto solución de la inecuación2 12 ≤ 23 1 Solución

Al aplicar la Propiedad xii, se tiene2 12 ≤ 23 1

⟺ 23 1 ≤ 2 12 ≤ 23 1⟺ 4 3 ≤ 12 ≤ 4 9 ⟺ 4 3 ≤ 1 2 ∧ 1 2 ≤ 4 9 ⟺ 316 ≤ ∧ ≤ 98 ⟺ ∈ 316 ; ∞〉 ∩ 〈∞; 98 ⟺ ∈ 316 ; 98

Luego, el conjunto solución de la inecuación es = 316 ; 98 Ejemplo 7. Determine el conjunto solución de la inecuación|2 2 | ≥ 32 1 Solución

Al aplicar la propiedad xiv, se tiene|2 2 | ≥ 32

1⟺ 2 2 ≤ 32 1 ∨ 2 2 ≥ 32 1 ⟺ 2 ≤ ∨ ≤ 67 ⟺ ∈ 〈∞; 67 ∪ 2; ∞〉

Por consiguiente, el conjunto solución de la inecuación es

= 〈∞; 67 ∪ 2; ∞〉


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Ejemplo 8. Utilice la definición de valor absoluto para resolver la

ecuación|3 2| = 12 Solución

Al aplicar la definición del valor absoluto a la ecuación, se tiene

|3 2| = 12 ⟺ 3 2 ≥ 0 ∧ 3 2 =

12∨3 2 < 0 ∧ 3 2 = 12

⟺ ≥ 23 ∧ = 54

∨ < 23 ∧ = 38

⟺ ∈ 23 ; ∞〉 ∩ 54∨ ∈ 〈∞; 23 ∩ 38

⟺ ∈ 54

∨ ∈ 38

⟺ ∈ 54 ∪ 38 ⟺ ∈ 38 ; 54

Luego, el conjunto solución de la ecuación es = 3

8 ; 5

4

Ejemplo 9. Utilice la definición de valor absoluto para resolver la

inecuación

4 32 ≤ 2 12 Solución

Al aplicar la definición de valor absoluto a la inecuación, se tiene


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4 32 ≤ 2 12 ⟺ 4

32 ≥ 0 ∧ 4 32 ≤ 2 12∨ 4 32 < 0 ∧ 3 2 4 ≤ 2 12

⟺ ≤ 83 ∧ ≥ 97∨ > 83 ∧ ≥ 7

⟺ ∈∞;83 ∩ 97 ;∞∨

∈ 83 ; ∞∩ 7 ; ∞〉

⟺ ∈ 97 ; 83∨ ∈ 83 ; ∞

⟺ ∈ 97 ; 83 ∪ 83 ; ∞

⟺ ∈ 97 ; ∞ Luego, el conjunto solución de la inecuación es = 97 ; ∞


1. Efectúe las operaciones y escriba el resultado sin valor absoluto.

a) √ 3 11 √ 3 b) |5 | | 5| c) 3 3√ 3 d 0,9̂ 0 , 8̂ e 45° √ 2 f) 1 1√ 3 1√ 3 1


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Solución

Al aplicar la definición de valor absoluto en cada ejercicio, se tiene

a) √ 3 11 √ 3 = (√ 3 1)(√ 3 1) = 3 1 = 2 b)

|5 π

| |π

5| = 5 π— (π 5) = 5 π

π

5

= 5 π π 5 = 0 c 3 3√ 3 = 3 √ 3 = 3 √ 3 d 0,9̂ 0 , 8̂ = 1,8̂ = 1,8̂ e)sen45° √ 2 = √ 22 √ 2 = √ 2 2√ 22 = √ 22 f)

1 1√ 3 1 1√ 3 = 1 13 = 23 = 23

2. Si y son números reales tales que < 8y > 7, simplifiquelas expresiones , y .a) = |2| |3| | | | | 1 b) = |2 | |2 | |2 | 4 c) = 2 √ 2 √ 2 5 √ 2 2

Solución

Al aplicar la definición de valor absoluto en cada una de las

expresiones, se tiene

a) = |2| |3| | | | | 1 =2 3 1 = 2 3 1 = 1 b)

= |2 | |2 | |2 | 4

= 2 2 2 4 = 2 2 2 c = 2 √ 2 √ 2 5 √ 2 2 = 2 √ 2 √ 2 5 √ 2 2 = 4 5 √ 2


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3. Si ∈ ℝ− y ∈ ℝ+, determine si las siguientes afirmaciones sonverdaderas o falsas. Justifique cada respuesta.

a) |3| =3 b) = c)|| || = 0 d)

−−

+ = 1

e) 1 1 = 1Solución

a) |3| =3 Como y tienen signos diferentes, entonces 3 < 0. Luego,su valor absoluto es igual a su inverso aditivo. Por lo tanto, la

afirmación es verdadera.

b)

23 =

23

Dado que y tienen signos diferentes, la expresión esnegativa. Luego, su valor absoluto es igual a su inverso aditivo, es decir 23 = 23 Por lo tanto, la afirmación es falsa.

En forma análoga a los casos a) y b), se tiene

c) || || = = =2

Así, la afirmación es falsa.

d) 1 22 1 = | 1 2||2 1| = 1 21 2 = 1 2 1 2 = 1 Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

e) 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 Luego, la afirmación es verdadera.

4. Efectúe las operaciones y escriba el resultado sin valor absoluto.

a) = 1 3√ 2 √ 2 3 3√ 2 2 2√ 2 3 √ 2 b) = 7 √ 5 5√ 5 6 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 c) = 1 √ 3 √ 3 √ 2 5√ 3 4 2 2√ 2 3


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Solución

Al aplicar la definición de valor absoluto en cada ejercicio, se tiene

a) = 1 3√ 2 √ 2 3 3√ 2 2 2√ 2 3 √ 2 = (1 3√ 2) (√ 2 3) (3√ 2 2) (2√ 2 3) √ 2 = 1 3√ 2 √ 2 3 3√ 2 2 2√ 2 3 √ 2 = 7 2√ 2

b) = 7 √ 5 5√ 5 6 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 = 7 √ 5 5 √ 5 6 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 = 1 6 3 √ 5

c)

= 1 √ 3 √ 3 √ 2 5√ 3 4 2 2√ 2 3

= 1 √ 3 √ 3 √ 2 5√ 3 4 2 2√ 2 3 = 4 3√ 3 √ 2 5. Exprese cada uno de los siguientes enunciados como una

desigualdad que contenga valor absoluto:

a) El radio de una bola de billar difiere a lo más en 0,01 cm de suradio ideal, que mide 5 cm.

b) La estatura E de una persona para ser aceptada en una

institución militar debe tener una diferencia máxima de 6 cmrespecto de la estatura ideal, que es 1,74 cm.

c) La diferencia de las temperaturas y (medidas en gradoscentígrados) de dos elementos químicos al combinarse, debeestar entre 15 °C y 40 °C, inclusive.

d) El diámetro D de un cuerpo esférico debe tener 0,7 cm pero seaceptan aquellos cuerpos esféricos cuyos diámetros seencuentren dentro de los límites de tolerancia de 0, 67 cm y0,73 cm.

e) La distancia entre los puntos de coordenadas

y

9 es de por

lo menos 8,2 unidades.

f) La distancia entre los puntos de coordenadas 3 y √ 2 es a losumo √ 5.

Solución

Al expresar los enunciados en términos de desigualdades que

contienen valor absoluto, se tiene

a) | 5| ≤0,01


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b) |1,74| ≤ 6 c) 15 ≤ | | ≤ 40 d) | 0 , 7|


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Por lo tanto, para el próximo año la producción mínima de

petróleo es de 1 800 barriles y la máxima es de 2 200 barriles.

b) Al emplear la propiedad xii, se tiene| 3 500 000| ≤ 150 000

⟺ 150 000 ≤ 3 500 000 ≤ 150 000

⟺ 3 350 000 ≤ ≤ 3 650 000, ∈ ℕ Por consiguiente, para el primer bimestre del próximo año laproducción mínima de monedas es de 3 350 000 unidades y la

máxima es de 3 650 000 unidades.

c) Al aplicar la propiedad xii, se tiene| 1| ≤ 0,05 ⟺ 0,05≤ 1≤ 0,05 ⟺ 0 , 9 5 ≤ ≤ 1 , 0 5 Así, las tuercas aprueban el control de calidad si la longitudmínima de su radio es 0,95 cm y su longitud máxima es 1,05

cm.

d) Al emplear la propiedad xiv, se tiene

5 010 ≥1,5 ⟺ 5 010 ≥1,5 ∨ 5 010 ≤1,5 ⟺ ≥ 6 5 ∨ ≤ 3 5

⟺ ∈ 65; ∞⟩ ∪ ⟨∞; 35, ∈ ℕComo ∈ ℕ y ≤ 1 0 0, la moneda es falsa si el número decaras obtenidas pertenece al conjunto0;1;…;35;65;66;…;100 7. Utilice las propiedades del valor absoluto para determinar el

conjunto solución de las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

a) | 5| ≥ 8 b)| 3| < c)

|5 10| < 5 d)

| 5| 4 > 2 6

e) 3 |1 | ≤ 1 2 f)|4 5 | 3 2 = 8g)

12 ≤ |3 2| < 32 h)| 2| 6 = 1 0 Solución

a) Al aplicar la propiedad xiv, se tiene| 5| ≥ 8 ⟺ [( 5 ≥ 8 ∨ 5 ≤ 8 )]


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⟺ ≥ 132 ∨ 3 ≤ 0 ⟺ ∈ 132 ; ∞ ∨ ∈ ∅

⟺ ∈ 132 ; ∞ ∪ ∅

Por consiguiente, el conjunto solución de la inecuación es

= 132 ; ∞ b) Al aplicar la propiedad xiii, se tiene| 3| < ⟺ < 3 < ⟺ < 3 ∧ 3 <

⟺ > 32 ∧ 3 < 0

⟺ ∈ 32 ; ∞ ∧ ∈ ℝ ⟺ ∈ 32 ; ∞ ∩ ℝ

Luego, el conjunto solución es

= 32 ; ∞ c) Al aplicar la propiedad xiii, se tiene

|5 10| < 5 ⟺ 5 < 5 1 0 < 5 ⟺ 5 < 5 1 0 ∧ 5 1 0 < 5 ⟺ < 109 ∧ > 0 ⟺ ∈ ∞ ; 109 ∩ 〈0;∞〉 ⟺ ∈ 0 ; 109 Luego, el conjunto solución de la inecuación es

= 0 ; 109 d) Al despejar el valor absoluto, se obtiene

| 5| 4 > 2 6 ⟺ | 5| > 6 6 Luego, al emplear la propiedad xv, se tiene

5 > 6 6 ∨ 5 < 6 6


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⟺ < 15 ∨ < 117 ⟺ ∈ ∞ ; 15 ∪∞; 117 ⟺ ∈ ∞ ; 117

Por tanto, el conjunto solución de la inecuación es

= ∞; 117 e) Al despejar el valor absoluto, resulta

3 |1 | ≤ 1 2 ⟺ |1 | ≥ 1 Luego, al aplicar la propiedad xiv, se tiene

1 ≥ 1 ∨ 1 ≤ 1

⟺ 1 ≥ ∨ 1 ≤ 1

⟺ ∈ ⟨∞; 1 ∨ ∈ ℝ ⟺ ∈ ℝPor lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es

= ℝ f) Al despejar el valor absoluto, se obtiene

|4 5 | 3 2 = 8 ⟺ |4 5 | = 2 5 Luego, al aplicar la propiedad xi, se tiene

[4 5 = 2 5 ∨ ( 4 5 = 2 5)] ∧ 2 5 ≥ 0 ⟺ = 17 ∨ = 3 ∧ ≥ 52 ⟺ ∈ 17 ; 3 ∩ 52 ;∞

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es

= 17 ; 3 g) Al descomponer12 ≤ |3 2| < 32

en dos inecuaciones, resulta12 ≤ |3 2| ∧ |3 2| < 32 …


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Al aplicar la propiedad xiv a la primera inecuación de , setiene

3 2 ≥ 12 ∨ 3 2 ≤ 12

⟺ ≥ 45 ∨ ≤ 47

⟺ ∈ 45 ;∞∪∞; 47 Así, el conjunto solución de la primera inecuación de es

= 45 ;∞∪∞; 47 En forma análoga, al aplicar la propiedad xiii a la segunda

inecuación de

, se tiene

⟺ 32 < 3 2 < 32 ⟺ 32 < 3 2 ∧ 3 2 < 32 ⟺ > 18 ∧ < 74 ⟺ ∈ 18 ;∞ ∩ ∞; 18

Luego, el conjunto solución de la segunda inecuación de

es

el intervalo

= 18 ; 74 Por consiguiente, el conjunto solución de la inecuación dada es

= ∩ = 〈∞ ; 47 ∪ 45 ;∞ 〉 ∩ 18 ; 74

= 18 ;

47 ∪

45 ;

74

h) Dado que para todo número real , 2 > 0, se tiene| 2| 6 = 1 0 ⟺ | 2 | 6 = 1 0 ⟺ | 2| = 6 1 0


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Luego, al utilizar la propiedad xi, se tiene 2 = 6 1 0 ∨ 2 = 6 1 0 ∧ 6 1 0 ≥ 0 ⟺ = 85 ∨ = 127 ∧ ≥ 53

⟺ ∈ 85 ;

127 ∩

53 ; ∞ ⟺ ∈

85

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es = 85 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.3

1. Efectúe las operaciones indicadas y escriba el

resultado sin valor absoluto.

a)

√ 7 11 √ 7

b) |3 | | 3| c)5 √ 3 2√ 3 4 √ 3 5 d) 0, 3̂ 0 , 2̂ 0,1 e) |tan 135° 120°| f)

1 1

√ 2 1

√ 2 1

2. Sean y números reales tales que < 1 y > 1 . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sonverdaderas o falsas? Justifique su respuesta.

a) |5| =5 b) 34 = 34 c)

|5 1 1 | = 5 1 1

d) || = || e) 1 1 = 1 f) 1 1 = 1

3. Simplifique cada una de las siguientes

expresiones para ∈ ℝ+ y ∈ ℝ−.a) |2| || | | | | b) |3 | |3 | |3 | c) |3| |4| | | | | 2 d) | | | 3 | |3 | 3 2 2

4. Escriba cada uno de los siguientes enunciados

como una desigualdad, o una doble desigualdad,

en la que intervenga un valor absoluto.

a) La longitud del radio de un rodaje esféricono debe diferir en más de 0,02 cm de su radioideal de longitud 0,5 cm.b) Una de las condiciones para que una persona

sea aceptada en una escuela de educación

física es que su peso difiera a lo más 5 kgrespecto del peso exigido por la escuela, que

es de 75 kg.

c) La diferencia de las temperaturas

y

de

dos reactivos, dentro de una combinación de

elementos químicos, debe ser mayor a 5 ℃ ya lo más 30 ℃.

d) El diámetro de un cuerpo esférico debetener 0,5 cm pero se aceptan aquellos que

están dentro de los límites de tolerancia de

0,480 cm y 0,520 cm, inclusive.


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e) El número real difiere a lo sumo 2 unidadesdel número 15.

f) El número real que difiere por lo menos 3unidades del número 7.

g) El número real

3 1 no difiere en más de 4

unidades del número real 5 3.5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

a) La producción de gas natural en el Lote 41,

para el primer trimestre del próximo año, se

ha estimado mediante la inecuación

| 3 × 1 0| ≤ 1 , 2 × 1 0, donde

es el número de metros cúbicos de

gas. Determine la producción mínima ymáxima de metros cúbicos de gas estimada

para el primer trimestre del próximo año.

b) La producción de una refinería de petróleo

para el próximo bimestre se estima en barriles, donde satisface la inecuación| 4 000 000| ≤ 200 000 Determine la producción máxima y mínima

estimada para el próximo bimestre.

c) La longitud (en cm) del radio de unamoneda de un nuevo sol, fabricada por el

Banco Central de Reserva, verifica la

inecuación|1,25| ≤0,01

Obtenga la longitud mínima y máxima que

deben tener los radios de estas monedas

d) Una moneda es declarada legítima si se

verifica la inecuación

2 55 ≤1,6

Donde es el número de caras obtenidas allanzar 50 veces la moneda al aire. ¿Para quévalores de la moneda es legítima?

6. Aplique las propiedades del valor absoluto para

determinar el conjunto solución de las siguientes

ecuaciones e inecuaciones:

a)

|3 6| ≥ 1 2

b) 2 < c) |4 2 | ≤ 2 d)|4 2| 3 > 1 e) 2 |3 | ≤ 4 f)

|2 3 | 2 3 = 6

g) ≤ |2 1| < 1 h) 2 < | 4| 3 = 8


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1.4 ECUACIONES

Una ecuación algebraica en la variable es un enunciado de la forma = 0,Donde es una expresión algebraica.Por ejemplo, son ecuaciones algebraicas:

a) 5 3 4 = 0 b) 2 3√ 4 = 0 c) 5 6 1 = 0 , ya que los primeros miembros de las ecuaciones son expresiones

algebraicas.

Mientras que, por ejemplo, no son ecuaciones algebraicas:

a) 1 = 0 b) 2+ 4 1 = 0 c) 3 log 1 2 = 0 Porque los primeros miembros no son expresiones algebraicas. Las

ecuaciones que involucran a funciones trigonométricas, logaritmos o

exponenciales son llamadas ecuaciones trascendentes.

El conjunto de validez de la expresión

es el conjunto de números

reales

para los cuales

es un número real. Por ejemplo,

a) La expresión algebraica = 53 es un número real para todo ≠ 3. Por lo tanto, su conjunto de validez es el conjunto ℝ 3.b) La expresión algebraica = √ 4 representa un número

real para todo tal que 4 ≥ 0. Luego, su conjunto devalidez es el intervalo 4; ∞〉.

c) La expresión algebraica

= 2

7

4 1 representa

un número real para todo

∈ ℝ . Por consiguiente, su conjunto

de validez es ℝ.d) La expresión algebraica = 2 63 representa un número

real para todo tal que 2 ≥ 0 ∧ ≠ 6 . Luego, suconjunto de validez es el conjunto 2; ∞〉 6.

Sean una variable y una constante.Una expresión algebraica se construye en

forma recurrente de la siguiente manera:

i) Son expresiones algebraicas , ,

y

.

ii) La suma, diferencia, producto,cociente y potencia (de exponente

constante) de expresiones algebraicas

son también expresiones algebraicas.

Las ecuaciones algebraicas = 0 seclasifican en:

a) Ecuaciones enteras. Son aquellas en

las que

es un polinomio en

. El

conjunto de validez de es elconjunto de los números reales.Ejemplo: = 2 7 4 1 = 0

b) Ecuaciones racionales.Son aquellas

donde es un cociente depolinomios. En este caso, el conjunto

de validez de es el conjunto ℝ menos el conjunto de números que

hacen cero el denominador de

.

Ejemplo:

= 5 2 1 = 0 El conjunto de validez de esℝ 1; 1

c) Ecuaciones irracionales. Son aquellas

en las que presenta al menos unradical cuyoradicando contiene a la

variable . El conjunto de validez de es el conjunto de númerosreales para los cuales

esun

número real.

Ejemplo: = 3√ 2 1 = 0 El conjunto de validez de es elintervalo 〈2; ∞〉 , ya que √ − esun número real para todo tal que 2 > 0 , es decir para > 2.


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Las propiedades sobre equivalencia de

ecuaciones justifican el procedimiento

denominado transposición de términos,

que se utiliza al resolver una ecuación.

Así, cuando un término que suma a un

miembro de la ecuación pasa a restar al

otro miembro, en realidad se aplica lapropiedad ii.

Por ejemplo: 3 = 4 ⇔ 3 3 = 4 3 ⇔ = 1 El número 3 pasa de sumar a restar, pero

en realidad se resta 3 de ambos

miembros.

Asimismo, cuando un factor pasa de un

miembro a dividir al otro miembro, en

realidad se aplica la propiedad iv.Por ejemplo:6 = 2 4 ⇔ 66 = 246 ⇔ = 4 El factor 6 pasa de multiplicar a dividir,

pero en realidad se dividen ambos

miembros entre 6.

Raíz de una ecuación

Se llama raíz o solución de la ecuación = 0 a un número real que al reemplazar a la variable verifica la ecuación, es decir verifica = 0. La agrupación de las raíces de la ecuación se denominaconjunto solución de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación

= 4 = 0

tiene como raíces a los números = 2 y = 2, ya que2 = 2 4 = 0 2 = 2 4 = 0Luego, el conjunto solución de la ecuación es = 2; 2.Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto

solución.

Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son equivalentes

= 1 6 = 0 ⇔ = 16√ 1 9 = 0 pues, el conjunto solución de ambas ecuaciones es = 4; 4.Resolver una ecuación consiste en formar una sucesión de ecuaciones

o conjunto de ecuaciones equivalentes, hasta encontrar su conjunto

solución.

Por ejemplo, al resolver la ecuación 16 = 0, se tiene

16 = 0 ⇔ 4 4 = 0⇔ 4 = 0 ∨ 4 = 0 ⇔ = 4 ∨ = 4Luego, el conjunto solución de la ecuación dada es = 4; 4. Algunas ecuaciones equivalentes se obtienen de acuerdo a la

siguiente propiedad.

Propiedades de equivalencia de ecuaciones

Dada la ecuación

=

Si es una expresión algebraica, entonces cada una de lassiguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación dada:i) = ii) = iii) = , para ≠ 0 iv)

= , para ≠ 0


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Las equivalencias de las ecuaciones se dan sobre la intersección de los

conjuntos de validez de las expresiones algebraicas y ,teniendo en consideración las restricciones de las propiedades iii y iv.

El conjunto de validez de la expresión es el conjunto de númerosreales para los cuales es también un número real.Ejemplo 1. En la ecuación

= √ 2 3 = 1 = Las expresiones y tienen como conjunto de validez alintervalo ;∞ y al conjunto de los números reales,respectivamente. Luego, al resolver la ecuación mediante ecuaciones

equivalentes, estas serán válidas sobre la intersección de los

conjuntos de validez de y . Esto es,

32 ; ∞ ∩ ℝ =

32 ;∞

Ecuación de primer grado

Se denomina ecuación de primer grado a una expresión de la forma = 0 , donde ∈ ℝ , ∈ ℝ y ≠ 0. En los ejemplos que siguen se resuelven algunas ecuaciones de primer

grado o reducibles a primer grado.

Ejemplo 2. Determine el conjunto solución de la ecuación35 3 = 14 Solución

Al multiplicar ambos miembros de la igualdad por el mínimo común

múltiplo de los denominadores, que en este caso es 60 (propiedad iii),

se tiene

35 3 = 14 ⟺ 60 35 60 3 = 60 14 ⟺ 3 6 2 0 = 1 5 1 5 ⟺ 1 6 = 1 5 1 5 ⟺ = 1 5 Luego, el conjunto solución de la ecuación es = 15.


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Ejemplo 3. Resuelva la ecuación

42 3 104 9 = 12 3 Solución

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por el mínimo común

múltiplo de los denominadores, que es 2 32 3, se tiene2 32 3 42 3 104 9 = 2 3 2 3 12 3 ⟺ 2 34 1 0 = 2 3 ⟺ 8 2 2 = 2 3 ⟺ = 256

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es

=

256

Ejemplo 4. Un trabajador recibe una bonificación de 5000 nuevossoles y los ahorra durante un año de lasiguiente manera: una parte ladeposita en una cuenta de ahorros que le rinde 3 % anual, mientras

que la cantidad restante la coloca a plazo fijo en una institución

financiera a una tasa del 6 % anual. ¿Cuánto debe invertir en cada

caso si desea que su ganancia total, después de un año, sea de 240

nuevos soles?

Solución

Sea

la cantidad que deposita el trabajador en la cuenta de ahorros.

Luego, la cantidad restante que coloca a plazo fijo es 5000. Así, la ganancia que obtiene, en cada caso, después de un año es:En la cuenta de ahorros: 3 % de , esto es 3100 =0,03 A plazo fijo: 6 % de 5000, esto es

6100 5000= 0,065000 Como la ganancia debe ser 240 nuevos soles, se tiene

0,03 0,065000 =240 ⟺ 0,03 300= 240 ⟺ = 2000 Por lo tanto, el trabajador debe depositar 2000 nuevos soles en la

cuenta de ahorros y 3000 nuevos soles a plazo fijo.


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Conjunto de números complejos

Al resolver ecuaciones de grado mayor o igual a dos pueden aparecer

raíces que no son reales, como por ejemplo √ 4. Por ello, esnecesario ampliar el conjunto de los números reales a un nuevo

conjunto que se denomina conjunto de los números complejos, que

se denota por la letra

ℂ y es igual a

ℂ = / ∈ ℝ , ∈ ℝ, = 1 Observación

1. El número complejo está escrito en la llamada formabinomial o estándar; además, “” es llamada parte real y “” parteimaginaria de .

2. Si = 0 , entonces el número complejo es un número real, ya quesi ∈ ℝ, = 0 ∧ 0 ∈ℂ.Si ≠ 0 , el número se denomina número imaginario. Siademás = 0 , el número se denomina imaginario puro.Luego, ℂ = ℝ ∪ (donde representa el conjunto de losnúmeros imaginarios).

3. = √ 1 se denomina unidad imaginaria, además =1 ∧ ( > 0 ⟹ √ = √ ) 4. Igualdad de números complejos:

= ⟺ =

=

5. Conjugado de un número complejo: Si = , el conjugado de es ̅ = .Operaciones con números complejos

Dados los números complejos = ; = , se definenlas siguientes operaciones:

Adición y sustracción = = Multiplicación

= = División

Para efectuar la división de dos números complejos y expresar la

respuesta en su forma binomial, se multiplican, tanto el numerador

como el denominador, por el conjugado del denominador, esto es = = ∙ =

C

,bia 0b

R

Im

,bia 0b


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Potencias de i = 1 = ∙ = 1 = = ∙ = 11 = 1 = ⋅ = 1 = = ⋅ = 1 = = 1 = ⋅ = 1 = = ⋅ = 11 = 1 En general,

+ = =1 =

Ejemplo 5.Efectúe las operaciones indicadas y escriba la respuesta

en forma binomial.

a) (5 √ 9) (√ 8 3) b) 23 4 c)1 Solución

a) Como √ 9 = √ 9 = 3 y = 1, se tiene(5 √ 9) = 5 3 = 2 5 3 0 9 = 2 5 3 0 91 = 1 6 3 0 b) (√ 8 3) = (√ 8 3) = (2√ 2 3) = 2√ 2 3 = 2√ 21 3 = 2√ 2 3 c) 2

3 4 = 2

9 2 4 1 6 = 2

724

= 2724 ⋅ 724724 = 144849576 = 4814625 = 48625 14625 d) 1 = 1 = 1 2 = 2 = 2 = 1 024 = 1 0241 = 1 024 Ejemplo 6. Sea = 3 6 4 a) Calcular el valor de k para que z sea un número imaginario puro.

b) Calcular el valor de k para que z sea un número real.

Solución

Al efectuar las operaciones indicadas y expresar en su formabinomial, se tiene = 3 6 4 = 1 2 3 2 4 6 = 12 6 3 2 4 a) Para que sea un número imaginario puro, la parte real debe ser

cero. Así,

1 2 6 = 0 ⟹ = 2 Por consiguente, para = 2 , = 3 0 , número imaginariopuro.

b) Para que que sea un número real, la parte imaginaria debe sercero. Así,3 2 4 = 0 ⟹ = 8Por lo tanto, para = 8 , = 6 0 , número real.


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Ecuación de segundo grado

Se denomina ecuación de segundo grado a una expresión de la forma = 0 donde los coeficientes , y son números reales con ≠ 0 . Los principales métodos de solución de la ecuación de segundo grado

son:

a) Método de solución por factorización

Para resolver una ecuación de segundo grado por este método se

factoriza su primer miembro en dos factores lineales. Luego, se aplica

la siguiente propiedad.

Propiedad 1. Si son números reales, entonces se cumple ∙ = 0 ⟺ = 0 ∨ = 0 Esto es, el producto de dos números reales es igual a cero si y solo sipor lo menos uno de los factores es igual a cero.

Ejemplo 7. Resuelva la ecuación 2 1 = 0 Solución

Al factorizar el primer miembro de la ecuación, resulta2 1 = 2 1 1 = 0 Luego, al aplicar la propiedad, se tiene

2 1 = 0 ∨ 1 = 0

⟺ = 12 ∨ = 1 Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es

= 12 ; 1 Ejemplo 8. Obtenga el conjunto solución de la ecuación = ,donde es una constante real diferente de cero.Solución

Al transponer al primer miembro y factorizar, se tiene = 0 ⟺ = 0 ⟺ = 0 ∨ = Por consiguiente, el conjunto solución de la ecuación es = 0 ;

Nota

Un error frecuente en la solución de una

ecuación es cancelar en ambos miembros

un factor que contenga , sin colocarninguna restricción. La consecuencia de

este error es que al hacer esa simplifica-

ción ya no se obtiene una ecuación

equivalente, porque se pierde la raíz que

hace cero al factor cancelado.En el ejemplo 8, al cancelar el factor enambos miembros no se obtiene una

ecuación equivalente, esto es = ⇎ = Con lo cual se pierde la raíz = 0.


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Ejemplo 9. Determine el conjunto solución de la ecuación = ,donde es una constante real no negativa.Solución

Al transponer al primer miembro y factorizar, se tiene = 0 ⟺(

√

)(

√

)

= 0 ⟺ = √ ∨ = √ Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es = √ ; √ }

b) Método de solución por la fórmula general

Para obtener la fórmula general que resuelve la ecuación de segundo

grado se completan cuadrados y se aplica la propiedad demostrada en

el ejemplo 9.

Así, para completar cuadrados en el primer miembro de la ecuaciónde segundo grado = 0, ≠ 0, se dividen ambos miembros de la ecuación entre y luego se lessuma

, es decir = 0 ⟺ 4 = 4

Dado que el primer miembro de la última ecuación es un trinomio

cuadrado perfecto, resulta

2 = 44 Luego, al aplicar la propiedad demostrada en el ejemplo 9, se obtiene

2 = ± 44 ⟺ = ± √ 42 Por lo tanto, las raíces de una ecuación de segundo grado se obtienen

al utilizar la expresión = ± √ 42 ,

que se denomina fórmula general de la ecuación

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