184

M.C.D. – M.C.M. Fracciones Algebraicas

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más expresiones algebraicas enteras, es otra expresión algebraica entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado contenida un número exacto de veces en cada una de las expresiones dadas. Ejemplo 1 Dado los siguientes monomios:

� � 6������� � � 12��������� � � 30���������

Hallar el MCD Solución:

� ����, �, ��� 6������� Ejemplo 2: Hallar el MCD de los polinomios:

� � ��. ��� ���. �� � ���� � � ��. �� � ���. �� � ���

Solución: � ����, � �� ��. ��� ���

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más expresiones algebraicas enteras, es la menor expresión algebraica entera y de menor coeficiente que contiene exactamente a cada una de las expresiones dadas.

Ejemplos 1: Si 352 zyx3P = ; 635 zyx4Q = Entonces: M. C. M (P, Q) = 12x5y5z6

Ejemplos 2 Hallar el MCM de los polinomios:

� � ��. ��� ��� � � ������� ������ � ���

Solución: � �� � ���. �. �� � ������ � ���

PROPIEDADES: - Si dos o más expresiones algebraicas son

primas entre si, entonces, el MCM es el producto de ellas y el MCD es la unidad.

- Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras; entonces:

- MCD(A,B) x MCM(A,B) = A x B

- Todo polinomio P(x) , Q(x) contiene al MCD. Es

decir: MCD

)x(P da residuo cero.

- Todo MCM contiene a dichos polinomios.

PASOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM

a) Se factorizan cada una de las expresiones dadas.

b) El MCD está dado por el factor o producto de factores comunes afectados de sus menores exponentes.

c) El MCM está dado por el producto de factores comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

Ejemplo 1: Hallar el grado absoluto del MCM de los polinomios: A = x5 – xy4 ; B = (x2 – y2) (x4-y4) a) 5 b) 4 c)3 d) 6 e)7 Solución: Factorizando : A = x (x4 – y4) = x(x2+y2) (x2- y2) A = x(x2+y2) (x+y) (x-y) B = (x + y) ( x – y) (x2+y2) (x+y) (x-y) B = (x + y)2 ( x – y)2(x2+y2) Por lo tanto: M.C.M(A,B) = x (x2+y2) (x+y)2(x-y)2; Se observa que el grado absoluto del m.c.m es: 1+2+2+2 = 7

Rpta. Alternativa “e”

Ejemplo 2 : Sean: P(x) = Ax2 +2x –B ; Q(x) = Ax2 – 4x + B Si (x-1) es el M.C.D de P y Q. Determinar el cociente B/A. a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solución Por el teorema del resto: P(1) = A + 2 –B = 0 Q(1) = A –4 + B = 0 Resolviendo el sistema A – B = -2 A + B = 4 Luego : B/A = 3/1 = 3

Ejemplo 3 : Dados los polinomios: P(x) = 2x4 – 3x3 + x2 + Ax + B

Q(x) = 3x4 – 7x3 + Cx + D

Si : MCD (P,Q) = x2 – x – 6. Hallar AD + BC

Solución:

185

Si x2 – x – 6 es el MCD (P,Q), entonces x2 – x – 6 divide exactamente a P(x) y

a Q(x). Aplicando el método de Horner,

P(x) ÷ (x2 – x – 6) se resuelve por :

1 2 -3 1 A B 1 2 12

6 -1 -6 12 72 2 -1 12 A+6 B+72 Luego, afirmamos que el resto es cero ↔

A + 6 = 0 → A = -6 B + 72 = 0 → B = -72 También : Q(x) ÷ (x2 – x – 6) dividimos por el método de Horner: 1 3 -7 0 C D

1 3 18

-4 -24

6 14 84

3 -4 14 C-10 D+84 Así, si C – 10 = 0 entonces c = 10 y si

D + 84 = 0 entonces D = -84

Luego : AD + BC = (-6) (-84) + (-72) (10) = -216

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones algebraicas son expresiones de

la forma )x(Q)x(P , donde P(x) y Q(x) son polinomios,

siendo Q(x) ≠ 0,

Ejemplos: a) 1x

1+

− b) 4x32x3

+−

Propiedad: "Si a los términos de una fracción algebraica

se les multiplica o divide por una misma cantidad distinta de cero, se obtiene otra fracción equivalente".

Así; kbka

kbka

ba

÷÷

=⋅⋅= , k ≠ 0

Ejemplo: Sea la fracción:

11

xx

+−

Si se le multiplica por 2 al numerador y denominador obtenemos:

2 22 2

xx

+−

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Fracciones Homogéneas: Cuando tienen el

mismo denominador.

Ejemplos: 3x2x y

3x2 2

++

+

2. Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son

equivalentes si toman los mismos valores numéricos para todos los valores admisibles de sus variables.

Ejemplo: 1x

1x2x y1x1x

2

2

−

++−+

Estas fracciones obtienen los mismos valores numéricos, para todo valor real de x, con excepción de ± 1.

3. Fracción Propia: Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Ejemplos:

1x

1-x ; 6x5x4

3x223

2

+++

−

4. Fracción Impropia: Cuando el grado del

numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Ejemplos:

1xx36x210x ;

1xx7x

3

5

23

3

−+

++

+−

−

5. Fracción Compuesta: Cuando el numerador

y/o denominador poseen a su vez otras fracciones algebraicas.

Ejemplos:

1x1x2

3x

2xx6

2

2

+

−−

+

−+

186

6. Fracción de Valor Constante : Cuando asume el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores asignados a sus variables:

Si ycxybxa

cybxyaxA111 ++

++= es una

fracción de valor constante. Entonces se cumple que:

111 cc

bb

aa

== = valor constante de A

Ejemplos: Sabiendo que la fracción az bcz d

++

Es independiente de “z” entonces el valor de la

expresión: 2b ad a

d bc c+ −

Solución

Bajo la propiedad tenemos: a bc d

=

Por proporciones: ad bc= , luego sustituyendo

en la expresión: 2 2 2a ad a ad

c bc c ad+ − = =

7. Fracción Irreductible : Cuando el

numerador y denominador no tienen factores comunes.

Ejemplo: 1x3x2

−+

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para simplificar una fracción se procede de la siguiente manera: 1. Se factorizan el numerador y denominador de

la fracción.

2. Se eliminan los factores comunes hasta obtener una fracción irreductible. Ejemplos Resueltos

1.Simplificar:

3

a51a1616

a51a15

3a51a22

a51a1

A 2

2

+−+

+

−+

−−+

+

−+

=

Solución Haciendo el cambio de variable

x = a51a1

−+

Entonces ( )( )

( )( )3x1x51x3x

3x16x53x2xA 2

2

++−+

=++

−+=

1x51xA

+−

=

Finalmente reemplazando x;

aa

aaaa

A ==+

−+

−−+

=6

6

151

15

151

1

2. Simplificar:

b)1a(1

1)ab1(aab2

b1a

11

1A++

+++−

++

=

Solución: Evaluemos por partes :

=

++

=

++

1abb1

1

b1a

11

1

abb1ab1

1abb1ab

1++

+=

+++

Además :

abb11baaab2

b)1a(11)ab1(aab2 2

+++++

=++

+++

Restando ambos resultados; se obtiene:

=++

+++−

+++

abb11baaab2

abb1ab1 2

abb1)ab1b(a

abb1baaab 2

++++−

=++−−− = -a

3. Simplificar

2� � �2� � � � 2� � �

2� � �2� � �2� � � � 2� � �

2� � �.

��2� � ��� � 4���4

Solución Se hace un cambio de variable 2� � � � �2�� � � � Donde tenemos: ����

�����

�∗ ��������

�

Efectuando tenemos

�� � ��

���� � ��

��

∗��� � 4���

4

Luego al simplificar y remplazar los términos originales tenemos:

�2� � ��� � �2� � ���

�2� � ��� � �2� � ��� ∗��2�� ��� � 4���

4

187

Simplificando tenemos ab

FRACCIONES PARCIALES

Para descomponer una fracción racional en sus fracciones parciales, se debe cumplir las siguientes condiciones:

1. La fracción debe ser propia. 2. El denominador debe ser factorizable.

CASOS: Primer Caso: Cuando el denominador contiene factores lineales sin repetición. Ejemplo:

( )( ) ( ) ( ) cx

C bx

B ax

A cx bx ax

xP+

++

++

=+++

Segundo Caso: Cuando el denominador contiene factores lineales con repetición.

Ejemplo: :

323 a)(xC

a)(xB

axA

)ax()x(P

++

++

+=

+

Tercer Caso: Cuando el denominador contiene

factores cuadráticos irreductibles sin repetición. Ejemplo:

=++++

)dcx(x )baxx(

)x(P22

dcxxD Cx

baxxBAx 22 ++

++

++

+

Cuarto Caso: Cuando el denominador contiene

factores cuadráticos irreductibles con repetición.

Ejemplo :

2)bax2(x

DCx bax2x

B Ax 2)bax2x(

)x(P

++

++

++

+=

++

Quinto caso: Cuando el denominador contiene un factor lineal y un factor cuadrático irreductible, ambos factores sin repetición. Ejemplo:

)(x

Bx a) x(

A ))((

)(22 cbx

Ccbxxax

xP++

++

+=

+++

Sexto caso: Cuando el denominador tiene factores lineales y factores cuadráticos irreductible, ambos con repetición. Ejemplo:

22

22222

)(xEx

x

D Cx )(a)(x

A

)()()(

cbxF

cbxaxB

cbxxaxxP

+++

+

+++

++

++

=+++

Ejemplos Resueltos

ü Descomponer en sus fracciones parciales la

fracción: x2xx2x6x2

23

2

−−

−+

Solución:

)1x()2x(x2x6x2

)2xx(x2x6x2

x2xx2x6x2 2

2

2

23

2

+−−+

=−−

−+=

−−

−+

De esta manera :

1xC

2xB

xA

)1x()2x(x2x6x2 2

++

−+=

+−−+

=+−−+

)1x()2x(x2x6x2 2

)1x()2x(x)2x()x(C)1x()x(B)1x()2x(A

+−−++++−

Entonces: 2x2 + 6x– 2 = A (x – 2).(x + 1) + B x (x + 1) + Cx (x –2) .. (*)

Una forma práctica: igualamos a cero los factores lineales y obtenemos:

x = 0 , x = 2 , x = 1 Estos valores obtenidos los reemplazamos en

la ecuación (*) Si x = 0 : 2(0)2 + 6(0) – 2 = A (0 – 2)

(0 + 1) + B (0) (0 + 1) + C (0) (0 – 2) - 2 = -2 A A = 1 Si x = 2 : 2(2)2 + 6(2) – 2 = A (2 – 2)

(2 + 1) + B (2) (2 + 1) + C (2) (2 – 2) 18 = 6B B = 3

Si x = -1 : 2(-1)2 + 6(-1) – 2 = A (-1 – 2)

(-1 + 1) + B (-1) (-1 + 1) + C (-1) (-1 – 2) -6 = - C (-3) C = -2 De esta manera las fracciones parciales son :

xxx

xxxxx 2

2621

22

3123

2

−−

−+=

+−

−+