Mcdi u1 ea_lula

Cálculo diferencial Luis López Acosta Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software

Evidencia de aprendizaje. Modelado de funciones

Instrucciones: Resuelve los siguientes planteamientos que se presentan a continuación,

tomando en cuenta los axiomas de los números reales, desigualdades y funciones.

1. Dado x la función x se define como el número entero menor o igual a x .

Resolver:

a. Graficar la función ( )f x x en el intervalo 5,5 .

Se analiza el entero de 2 enteros consecutivos por medio de las definiciones

mencionadas tales que:

K ≤ x<k+1

Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del intervalo 5,5

comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo dado entonces

si

K ≤ x<k+1

Para k= -5

-5 ≤ x < -4 ⟦𝑥⟧ = -5

Para k= -4

-4 ≤ x < -3 ⟦𝑥⟧ = -4

Para k = -3

-3 ≤ x < -2 ⟦𝑥⟧ = -3

Para k=-2

-2 ≤ x < -1 ⟦𝑥⟧ = -2

Para k=-1

-1 ≤ x < 0 ⟦𝑥⟧ = -1

Para k=0

0 ≤ x < 1 ⟦𝑥⟧ = 0

Para k=1

1 ≤ x < 2 ⟦𝑥⟧ = 1

Para k=2

2 ≤ x < 3 ⟦𝑥⟧ = 2

Para k=3

3 ≤ x < 4 ⟦𝑥⟧ = 3

Para k=4

4 ≤ x < 5 ⟦𝑥⟧ = 4

Para k=5

5 ≤ x < 6 ⟦𝑥⟧ = 5


b. Graficar la función ( ) 2f x x en el intervalo 5,5 .



k ≤ 2x<k+1 k ≤ k < k+1

2 2

Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del

intervalo 5,5 comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo

dado entonces si

k ≤ k < k+1 k ≤ 2x < k + 1

2 2

Para k= -5

−5

2 ≤ x < -2 -5 ≤ 2x < - 4 ⟦2𝑥⟧= -5

Para k= -4

-2 ≤ x < −3

2 -4 ≤ 2x < - 3 ⟦2𝑥⟧= -4

Para k= -3

-−3

2 ≤ x < -1 - 3 ≤ 2x < - 2 ⟦2𝑥⟧= -3

Para k= -2

-1 ≤ x <−1

2 - -2 ≤ 2x < - 1 ⟦2𝑥⟧= -2


Para k= -1

−1

2 ≤ x < 0 -1 ≤ 2x < 0 ⟦2𝑥⟧= -1

Para k= 0

0 ≤ x < 1

2 0 ≤ 2x < 1 ⟦2𝑥⟧= 0

Para k= 1

1

2 ≤ x < 1 1 ≤ 2x < 2 ⟦2𝑥⟧= 1

Para k= 2

1 ≤ x < 3

2 2 ≤ 2x < 3 ⟦2𝑥⟧= 2

Para k= 3

3

2 ≤ x < 2 3 ≤ 2x < 4 ⟦2𝑥⟧= 3

Para k= 4

2 ≤ x < 5

2 4 ≤ 2x < 5 ⟦2𝑥⟧= 4

Para k= 5

5

2 ≤ x < 3 5 ≤ 2x < 6 ⟦2𝑥⟧= 5

Gráfica


c. Graficar la función ( )2

xf x en el intervalo 5,5 .



K ≤ 𝑥

2 < k +1 2k ≤ x < 2k +2

Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del

intervalo 5,5 comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo

dado entonces si

2 k ≤ x < 2k +2 k ≤ 𝑥

2 < k +1

Para k= -5

-10 ≤ x < -8 -5 ≤ 𝑥

2 < - 4 ⟦

𝑥

2⟧ = - 5

Para k = - 4

-10 ≤ x < -6 - 4 ≤ 𝑥

2 < - 3 ⟦

𝑥

2⟧ = - 4

Para k = - 3

-6 ≤ x < - 4 -3 ≤ 𝑥

2 < - 2 ⟦

𝑥

2⟧ = - 3

Para k = - 2

-4 ≤ x < - 2 -2 ≤ 𝑥

2 < - 1 ⟦

𝑥

2⟧ = - 2

Para k = - 1

-2 ≤ x < - 0 -2 ≤ 𝑥

2 < - 0 ⟦

𝑥

2⟧ = - 1

Para k = 0

0 ≤ x < 2 - 0 ≤ 𝑥

2 < 1 ⟦

𝑥

2⟧ = 0

Para k = 1

2 ≤ x < 4 1 ≤ 𝑥

2 < 2 ⟦

𝑥

2⟧ = 1

Para k = 2

4 ≤ x < 6 2 ≤ 𝑥

2 < 3 ⟦

𝑥

2⟧ = 2


Para k = 3

6 ≤ x < 8 3 ≤ 𝑥

2 < 4 ⟦

𝑥

2⟧ = 3

Para k = 4

8 ≤ x < 10 4 ≤ 𝑥

2 < 5 ⟦

𝑥

2⟧ = 4

Para k = 5

10 ≤ x < 12 5 ≤ 𝑥

2 < 6 ⟦

𝑥

2⟧ = 5

Gráfica

2. Se construyen rectángulos con la condición de que un lado es 3 cm más grande que

el otro, resolver:

a. Expresar el área del rectángulo ( )A l como función de uno de los lados l donde

l es el lado más pequeño el cual está dado en centímetros.

El área de un rectángulo es la base por la altura A = xh

Consideremos llamar x = l el lado más pequeño, entonces el grande medirá respecto a los

datos que es h = l + 3 y el área será

A (L) = l (L + 3) = L2 + 3L

b. Calcular (5)A .

Sustituimos L = 5

A (5) = 52 + 5 (5) = 25 + 15 = 40 cm2


c. Hallar el valor de l que satisface 228 cm .

El área es A(L) = L2 + 3L y si A(L) = 28 cm2 esto implica que:

L2 + 3L = 28 L2 + 3L – 28 = 0

Resolviendo por formula general queda

L=−3±√32−4(1)(28)

2(1) =

−3±√9−4(28)

2 = L=

−3±√121)

2 =

−3±11

2

La solución de la ecuación cuadrática es

L1 = −3+11

2 =

8

2 = 2

L2 = −3− 11

2 =

−14

2 = -7

El resultado negativo no cumple la condición por ser longitud negativa y el resultado

positivo si lo cumple

Entonces

L = 4

3. Al dejarse caer una piedra su altura con respecto al suelo está dada por la función 2( ) 50 4 4.9h t t t , donde t está en segundos, resolver:

a. ¿a qué altura esta la piedra al comenzar el movimiento?

Basados en la ley de movimiento parabólica de la ley de mecánica clásica El

movimiento comienza en el instante t= 0

Su altura será

h(0) = 50 - 4 (0) – 4.9 (0)2 = 50 m

b. ¿en cuánto tiempo llega la piedra al suelo?

Llegará al suelo cuando su altura sea cero es decir h(t) = 0 implica que:

0 = 50 – 4t – 4.9 t2 4.9 t2 + 4t – 50 = 0

Resolviendo por formula general queda

t =−4±√16−4(4.9)(50)

2(4.9) =

−4±√16 + 980

9.8 =

−4±√16 + 980

9.8 =

−4±√996

9.8


Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

t1 = −4+√996

9.8 = 2.81219

t2 = −4− √996

9.8 = -3.6285

El resultado negativo no tiene sentido y el resultado positivo es el importante

Entonces t= 2.8 seg.

c. ¿Cuánto recorre la piedra después de 2 seg?

Calcularemos la altura en 2 seg y la diferencia con la altura inicial será el espacio

recorrido

Primero

h(2) = 50 – 4(2) – 4.9 (2)2 = 50 – 8 – 19.6 = 22.4

Luego y finalmente calcularemos la distancia recorrida

Distancia recorrida = 50 – h(2) = 50 – 22.4 = 27.6 m

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